A BDef. Perpendiculara pe segment dusă prin mijlocul lui

O

O ∈ [AB] [AO] ≡ [OB]d

d ⊥ AB d ∩ AB = {O} se numeşte mediatoarea segmentului.

⇒ d mediatoarea [AB]

Proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment Un punct este situat pe mediatoarea unui segment dacă şi numai dacă este egal depărtat de capetele segmentului.

d mediat. [AB], M ∈ d ⇒ [AM] ≡ [MB]Fie M un punct astfel încât [AM] ≡ [MB].⇒ M ∈ mediatoarei [AB]

M

∆ABC ascuţitunghicA

B Cdc

dA

dB dA mediatoarea [AB]dB mediatoarea [BC]dC mediatoarea [AB]dA ∩ dB ∩ dC = {O}O

Punctul O se numeşte centrul cercului circumscris ∆ABC.∆ABC ascuţitunghic ⇒ O ∈ Int ∆ABC

∆ABC obtuzunghicAB C

dc

dA

dB dA mediatoarea [AB]dB mediatoarea [BC]dC mediatoarea [AB]dA ∩ dB ∩ dC = {O}O

∆ABC obtuzunghic ⇒ O ∈ Ext ∆ABC

∆ABC dreptunghic, m(∢A)=90∘

A B

C

dc

dAdB

dA mediatoarea [AB]dB mediatoarea [BC]dC mediatoarea [AB]dA ∩ dB ∩ dC = {O}

O

∆ABC dreptunghic ⇒ O este mijlocul ipotenuzei

∆ABC ascuţitunghicA

B CC’

A’B’ AA’ ⊥BC ⇒ AA’ înălţimeBB’ ⊥AC ⇒ BB’ înălţime

CC’ ⊥AB ⇒ CC’ înălţimeAA’ ∩ BB’ ∩ CC’ = {H}H Punctul H se numeşte ortocentrul ∆ABC.∆ABC ascuţitunghic ⇒ H ∈ Int ∆ABCDEF. Perpendiculara dintr-un vârf al triunghiuluipe latura opusă luise numeşte înălţime.

∆ABC obtuzunghicAB CC’

A’ B’ AA’ ⊥BC ⇒ AA’ înălţimeBB’ ⊥AC ⇒ BB’ înălţimeCC’ ⊥AB ⇒ CC’ înălţimeAA’ ∩ BB’ ∩ CC’ = {H}

H∆ABC obtuzunghic ⇒ H ∈ Ext∆ABC

∆ABC dreptunghic, m(∢A)=90∘

A B

CA’ AA’ ⊥BC ⇒ AA’ înălţime

AB ⊥ACAA’ ∩ AB ∩ AC= {A}H=

∆ABC dreptunghic ⇒ H este vârful unghiului drept

x

yODef. Semidreapta cu originea în vârful unghiului,situată în interiorul lui,şi care îl împarte în două unghiuri congruente

z

se numeşte bisectoare.

[Oz⊂ Int∢xOy∢xOz ≡∢zOy[Oz este bisectoarea ∢xOyProprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi Un punct este situat pe bisectoarea unui unghi dacă şi numai dacă este egal depărtat de laturile unghiului.[Oz bisectoarea ∢xOy , M∈[Oz ⇒ d(M, Ox)=d(M,Oy)

M

d(M, Ox)=d(M,Oy) ⇒ M ∈ bisectoarei ∢xOy

∆ABC ascuţitunghicA

B CC’

A’B’

∢BAA’≡∢CAA’ ⇒ AA’ bisectoare∢ABB’≡∢CBB’ ⇒ BB’ bisectoare∢ACC’≡∢BCC’⇒ CC’ bisectoare

AA’ ∩ BB’ ∩ CC’ = {I}I Punctul I se numeşte centrul cercului înscris în triunghi.∆ABC ascuţitunghic ⇒ I ∈ Int ∆ABC

∆ABC obtuzunghic

A

B CC’

A’B’

I ∆ABC obtuzunghic ⇒ I∈ Int ∆ABC

A B

CA’B’

C’I

∆ABC dreptunghic ∆ABC dreptunghic ⇒ I∈ Int ∆ABC

A

B C

Def. Segmentul care uneşteun vârf al triunghiuluicu mijlocul laturii opusese numeşte mediană în triunghi.A’ A’ ∈ BC, [BA’]≡[A’C] ⇒ [AA’] mediană

B’B’ ∈ AC, [AB’]≡[B’C] ⇒ [BB’] mediană

C’

C’ ∈ AB, [AC’]≡[C’B] ⇒ [CC’] medianăAA’ ∩ BB’ ∩ CC’ = {G}

G

Punctul G, de intersecţie a medianelor unui triunghi, se numeşte centrul de greutate al triunghiului.

Centrul de greutate este situat pe fiecare mediană la o treime de bază şi două treimi de vârf.

∆ABC obtuzunghic

A

B CC’

A’B’

G A BA’B’

C’G

∆ABC dreptunghic

C