COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

PROFESOR MĂDĂLINA BONDREA

Linia mijlocie în triunghi. Linia mijlocie în trapez. Proprietăţi

Def.: Segmentul ale cărui extremităţi sunt mijloacele a două laturi ale unui triunghi se

numeşte linie mijlocie.

Segmentul care uneşte mijloacele a două laturi ale unui triunghi (linia mijlocie) este

paralele cu cea de-a treia latură şi are ca lungime jumătate din lungimea acesteia.

MN - linie mijlocie 2

||

BCMN

MN BC

Def.: Segmentul care are ca extremităţi mijloacele laturilor neparalele ale unui trapez se

numeşte linia mijlocie a trapezului.

1) Lungimea liniei mijlocii a unui trapez este egală cu semisuma lungimilor bazelor

trapezului;

2) Lungimea segmentului inclus în linia mijlocie a unui trapez, cuprins între intersecţiile

sale cu diaginalele acestuia este egală cu semidiferenţa lungimilor bazelor trapezului.

A

B C

M N

A B

C D

M N

P Q

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

PROFESOR MĂDĂLINA BONDREA

MN - linie mijlocie

|| , ||

2 2

MN AB MN DC

AB DC B bMN

2 2

AB DC B bPQ

Probleme rezolvate:

1. Se consideră triunghiul ABC cu AB=12cm, (AE) şi (BD) sunt mediane, AE BD G ,

AG=8cm şi BD=10cm. Calculaţi perimetrul GED .

Rezolvare:

,AE BD mediane G este centru de greutate al triunghiului ABC3

3

BDGD

AEGE

10

3GD cm

2 2 8 3 128 12 4

3 3 2 3AG AE AE AE cm GE cm cm

,AE BD mediane12

. . 62 2

BAEDl m ED cm cm

A

B C E

D

G

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

PROFESOR MĂDĂLINA BONDREA

3)10 10 40 14 6 10 33

3 3 3 3GEDP GD GE ED cm cm cm cm cm cm cm .

2. Într-un triunghi ABC, D şi E sunt mijloacele laturilor AB şi, respective, AC, F BC şi

DE AF P . a) Dacă 1

3BF BC , să se demonstreze că EF=BP. b) Dacă ||EF BP să se

determine valoarea raportului BF

FC.

a)

În : . . ||ABC DEl m DE BC

În 1

: . .2 3

FCAEF PE l m PE BC BF

În patrulaterul FEPB: ||

PE BFFEPB

PE BF

parallelogram BP EF

b) ||BF PB FEPB paralelogram BF PE

În : . . 22

FCAEF PE l m PE FC PE

1

2 2

BF PE

FC PE .

3. Într-un trapez diferenţa dintre lungimea bazei mari şi lungimea liniei mijlocii este egală cu

6cm. Determinaţi lungimea liniei mijlocii ştiind că lungimea bazei mici este de 8cm.

Rezolvare:

Ip.: Notăm cu x lungimea liniei mijlocii

6B x

A

B C

D E

F

P

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

PROFESOR MĂDĂLINA BONDREA

8b

C.: ?x

Dem.:

6 6B x B x

6 82 14 14

2 2

B b xx x x x x cm

.

4. În trapezul isoscel ABCD cu ||AB CD şi AB CD diagonalele sunt perpendiculare, O este

punctul de intersecţie al diagonalelor iar M şi N sunt respective mijloacele laturilor AD şi

BC. a) Să se arate că 2ABCD OMNP P . b) Dacă 18OMNP cm iar înălţimea trapezului este de 6

cm, să se determine lungimile segmentelor MN, AD, BC.

Rezolvare:

Ip.: ABCD trapez isoscel

||AB CD , AB CD , ,BD AC BD AC O

M mij. AD, N mij. BC

C.: a) 2ABCD OMNP P

b) 18OMNP cm , 6h cm

, , ?MN AD BC

Dem.:

a) 2ABCD

ABCD

P AB BC CD ADP AB CD BC

AD BC

MONP MN ON OM

M mij. AD, N mij BC . .2

AB DCMN l m MN

A B

C D

M N

O

h

COLEGIUL GRIGORE ANTIPA BACĂU

PROFESOR MĂDĂLINA BONDREA

BD AC DOA dreptunghic cu OM mediană2

ADMO (în triunghiul dreptunghic

mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză)

BD AC COB dreptunghic cu ON mediană2

BCON

2

2 2 2 2 2 2

ABCD ABCDMON MON

P PAB DC AD BC AB AD BCP MN ON OM P

2ABCD OMNP P

b) ABCD trapez isoscel ortodiagonal 2

AB CDh

. . 62

AB CDMN l m MN MN h cm

MONP MN ON OM

2

2

ADMO

BCON MO ON

AD BC

2

6 6 2 18 2 12

18

MON

MON

P MN ON

MN cm ON ON

P cm

6 2 2 6 12 12ON cm BC ON cm cm AD BC cm