Limitele funcțiilor elementare

Limitele funcțiilor elementare Aplicații1) Funcția constantă f : R→R , f ( x )=c , c∈R.

limx→a

f ( x )=c, ∀ a∈R

limx→2

f ( x )=limx→2

12=

limx→−∞

f ( x )= limx→−∞

12=

limx→∞

f ( x )=limx→∞

12=

2) Funcția polinomială (an≠0 ,n∈ {1,2}); f : R→R ,

f ( x )=an xn+an−1 xn−1+.. .+a1 x+a0 , a i∈ R ,i=0 , n

,

limx→a

f ( x )=f (a ) , a∈ R ;

limx→−∞

f ( x )= limx→−∞

xnan=¿ {∞ , dacă(an<0 , n−impar )sau (an>0 , n−par ); ¿ ¿¿¿¿

limx→∞

f ( x )=limx→∞

xnan=¿ {∞ , dacăan>0 ; ¿ ¿¿¿¿

limx→2

(3 x2−4 x+1 )=

limx→−∞

(3 x2−4 x+1)=

limx→∞

(3 x2−4 x+1)=

3) Funcția rațională f : R {x|Q( x )=0¿→R ,¿

f ( x )=P( x )Q( x )

=an xn+an−1 xn−1+.. .+a1 x+a0

bm xm+bm−1 xm−1+ .. .+b1 x+b0 ; limx→a

f ( x )=f (a ) , a∈ R ,Q (a)≠0 ;dacă x = a și Q(a) = 0 se calculează limitele

laterale;

limx→±∞

f ( x )=¿ {0 , dacă :n<m ; ¿ { an

bm

, dacă : n=m ; ¿¿¿¿

limx→2

x2−3 x+1x+4

=

limx→∞

x2−3 x+12 x3−x+3

=

limx→−∞

x2−3x+15 x2+2

=

limx→−∞

x2−3 x+1−5 x+4

=

4) Funcția radical

f : [ 0 ,∞)→R , f ( x )=√ x ; limx→a

f ( x )=√a , a≥0 ; limx→∞

√x=∞ .

f : R→R , f ( x )=3√ x ; limx→a

3√ x=3√a ; limx→−∞

3√x=−∞;

limx→∞

3√x=∞ .

Teoremă Fie șirul (xn ), cu xn=nα ,n≥1 , α∈R .

Atunci

limn→∞

nα=¿ {0 , dacă { α̇¿.<0 , ¿ {1 ,dacă α=0 ,¿ ¿¿¿

limx→3

√2x−1=

limx→∞

√3 x+1=

limx→−∞

3√−2 x3+x−1=

5) Funcția exponențială f : R→(0 ,∞) , f ( x )=bx , b>0 , b≠1 .

Dacă 0< b<1: limx→a

bx=ba , a∈R ; limx→−∞

bx=∞ ; limx→∞

bx=0 .

Dacă 1 < b: limx→a

bx=ba , a∈R ; limx→−∞

bx=0 ; limx→∞

bx=∞ .

Teoremă Fie șirul (an

), cu baza a.

Atunci

limn→∞

an=¿ {0 , dacăb∈(−1,1) ,¿ {1 , dacăb=1 , ¿ {∞ ,dacăb>1 ,¿ ¿¿¿

limx→3

5x= ;

limx→3

( 27 )

x

=

limx→−∞

3x= ;

limx→−∞( 3

5 )x

=

limx→∞

2x+3x

3x+4x=

limx→∞

x2

2x=

6. Funcția logaritmică f: (0, ∞)→R , f(x) = log b x

, b>0 , b≠1 .

Dacă 0< b<1: lim ¿ x→0 ¿

x>0 ¿¿ f ( x )=∞ , a=0 ;¿ lim

x→af ( x )= f (a ) , a∈(0 ,∞);

limx→∞

f ( x )=−∞ .

Dacă 1 < b: lim ¿ x→0 ¿

x>0 ¿¿ f ( x )=−∞ ;¿lim

x→af ( x )=f (a ) , a∈(0 ,∞); lim

x→∞f ( x )=∞.

lim ¿ x→0 ¿x>0 ¿

¿ lg x=¿ ;

lim ¿ x→0 ¿x>0 ¿

¿ log 13

x=¿

lim ¿ x→∞ ¿¿

¿ log12

x=¿ ;

lim ¿ x→0 ¿x>0 ¿

¿ log5 x=¿

7. Limitele funcțiilor trigonometrice

f : R→[−1,1 ] , f ( x )=sin x ; limx→a

sin x=sin a;

f : R→[−1,1 ] , f ( x )=cos x ; limx→a

cos x=cosa;

f : R { (2 k+1 ) π2|k∈Z ¿→ R ,¿

f ( x )=tgx ; limx→a

tgx=tga,

a∈R { (2k+1 ) π2

¿¿;

lim ¿ x→π /2 ¿x>π /2 ¿

¿ tgx=−∞¿;

lim ¿ x→π /2 ¿x<π /2 ¿

¿ tgx=∞¿

f : R {kπ|k∈Z ¿→R ,¿ f ( x )=ctgx ; limx→a

ctgx=ctga,

a∈R {kπ|k∈R ¿¿ ;

lim ¿ x→0 ¿x>0 ¿

¿ctgx=∞¿;

lim ¿ x→0 ¿x<0 ¿

¿ctgx=−∞¿.

f : [−1,1 ]→[− π2

,π2 ] , f ( x )=arcsin x ;

limx→a

arcsin x=arcsin a;

f : [−1,1 ]→ [ 0 , π ] , f ( x )=arccos x ; limx→a

arccos x=arccos a;

f : R→(−π2

,π2 ) ,

f ( x )=arctgx ; limx→a

arctgx=arctga, a∈R ;

limx→∞

arctgx= π2 ;

limx→−∞

arctgx=−π2 .

f : R→(0 , π ) , f ( x )=arcctgx ; limx→a

arcctgx=arcctga, a∈R ;

limx→−∞

arcctgx=π;

limx→∞

arcctgx=0.

limx→ π

2

sin x=

;

limx→ π

4

sin x=

limx→ π

3

cos x=

;

limx→ π

4

cos x=

limx→ π

3

tgx=

;

limx→ π

4

tgx=

limx→ π

3

ctgx=

;

limx→ π

4

ctgx=

limx→−1

arcsin x= ;

limx→√2

2

arcsin x=

limx→ 1

2

arccos x=

;

limx→√2

2

arccos x=

limx→√3

arctgx= ;

limx→1

arctgx=

limx→√3

arcctgx= ;

limx→1

arcctgx=

LIMITE REMARCABILE

limx→∞(1+ 1

x )x

= limx→−∞(1+ 1

x )x

=limt →0

(1+t )1t =e

;

limx→∞(1+ 1

2 x )x

=

limx→0

(1+sin x )1x=

limx→0

ln (1+5 x )x

=

limx→0

ln (1+x )x

=1; limx→0

ax−1x

= ln a , (a>0 , a≠1 );

limx→0

(1+ x )r−1x

=r ,r∈R¿ .

limx→0

sin xx

=1; limx→0

tgxx

=1; limx→0

arcsin xx

=1; limx→0

arctgxx

=1.

limx→0

e6 x−13 x

=

limx→0

(1+4 x )2−1x

=

limx→0

sin 4 xx

=

limx→0

tg3 x2 x

=

limx→0

arcsin 5 xx

=

limx→0

arctg3 x2 x

=

Operații cu limite de funcțiiTeoremă Fie f , g : E→R , a∈ E ’ și c∈R , iar

limx→a

f ( x )=l1, limx→a

g( x )=l2. Atunci:

1) limx→a

( f +g )(x )= limx→a

f ( x )+ limx→a

g( x )=l1+l2; Caz exceptat: ∞−∞ ;

2) limx→a

cf (x )=c limx→a

f ( x )= cl1 ;

3) limx→a

( f⋅g )( x )= limx→a

f ( x )⋅¿ ¿limx→a

g( x )=l1⋅l2; Caz exceptat: 0⋅(±∞ ) ;

4) limx→a

f ( x )g ( x )

=

limx→a

f ( x )

lim g( x )x→a

= l1

l2 ; Cazuri exceptate:

00

; ±∞±∞ ;

5) limx→a

|f ( x )|=|limx→a

f ( x )| = |l1 |;

6) dacă f ( x )>0 , ∀ x∈E și dacă l1l2 are sens, atunci:

limx→a

( f ( x ))g( x )= limx→a

f ( x )lim g (x )

x→a =l1

l2 ;

Cazuri particulare: limx→a

n√ f (x )=n√ limx→a

f ( x )=n√ l1; limx→a

bg( x )=blimx →a

g(x )=b

l2

, b > 0;

Cazuri exceptate: 00 ;±∞0 ;1∞

.

Aplica ț ii:

1) limx→1

(3 x+5x+ln x ); 2)

limx→∞

−2 x2+65x2−x ; 3)

limx→2

x2−4x−2 ; 4)

limx→−∞

3x

1+4 x;

5)

limx→π

3

(sin x )(cos x )

; 6) limx→∞

1+2+22+.. .+2x

1+3+32+.. .+3x; 7)

limx→∞

x

√ x2+1+x ; 8) limx→∞

√ x√ x+1+√x+2 ;

9) limx→∞( x

x+1 )3 x

2 x+1

; 10)

limx→∞(√ x2+1

4 x2+x )x+1

.