limite__de_functii_brg.doc

8/19/2019 limite__de_functii_brg.doc

http://slidepdf.com/reader/full/limitedefunctiibrgdoc 1/5

43. Limite de funcţii43.4 Cazuri exceptate şi neexceptate la operaţii cu limite de funcţii

I. În calculul limitelor de funcţii se întâlnesc următoarele cazuri exceptate sau forme nedeterminate,care se mai numesc şi nedeterminări şi se scriu simbolic astfel:

∞

∞ ; ∞−∞ ;0

0; ∞1 ; 0

0 ; ∞⋅0 ; 0∞ .

II. În calculul limitelor de funcţii se întâlnesc următoarele cazuri neexceptate , care nu cer eliminareanedeterminărilor, dar se calculeaă direct !nemi"locit#.

• Cazurile neexceptate se scriu simbolic astfel:1) 0

1=

∞±; 2) ∗

∈∀=∞±

Raa

,0 ; 3) −∞=− 00

1; 4) +∞=

+ 00

1;

5) ±∞=0

1; 6) #!#s$n!

00−∞⋅=

−a

a, ∗

∈∀ Ra ;

7) ∗∈∀+∞⋅=

+ Raa

a#,!#s$n!

00; ) +∞=∞+∞ ; !) ∞=∞

∞ ;

1") 0=∞−∞ ; 11) #!#1!#! +∞⋅−=±∞

nn ; 12) −∞=∞−−∞=−∞+∞− #! ;

13) #!#s$n!#! ±∞⋅=±∞⋅ aa ; 14) ±∞=∞±a , unde ∗∈ Ra , !a este un număr real măr$init#;

15) 00 =∞ ; 16) +∞=−∞⋅−∞=+∞⋅+∞ #!#!#!#! ; 17) −∞=+∞⋅−∞=−∞⋅+∞ #!#!#!#! ;

1) ∗

∈∀±∞⋅=∞±

Raaa #,!#s$n! ; 1!) +∞=∞

α

, dacă 0>α ; 2") 0=∞α

, dacă 0<α .

III. #imite laterale ale funcţiei #!,: x f y R D f =→ $

1) #imita de %t&n'a a funcţiei f în %unctul este numărul sl : s

x x x x x x

s l x f x f x f xl ===−=

<

→−→

#!lim#!lim#0!#!

0

00 000 ;

2) #imita de dreapta a funcţiei f în %unctul este numărul d l :

d

x x x x x x

d l x f x f x f xl ===+=

>

→+→ #!lim#!lim#0!#!0

00 000

(efiniţia 14$ &umerele reale#!lim#0!#!

0

0

00 x f x f xl

x x x x

d

>

→

=+= şi

#!lim#0!#!

0

0

00 x f x f xl

x x x x

s

<

→

=−= se numesc limite

laterale ale funcţiei R D R D f ⊆→ ,: în %unctul R x ∈0 .eorema 2a *Condiţia nece%ară şi %uficientă de exi%tenţă a limitei funcţiei +ntr,un punct )$

'ie R x R D ∈⊂ 0, , R D R D f ⊆→ ,: şi 0 x un %unct de acumulare %entru mulţimile #;! 0 ∞+∩ x D şi#;! 0 x D −∞∩ . (u loc următoarele %ro%rietăţi:

1. )acă funcţia f are limită în %unctul 0 x , atunci ea are limite laterale e$ale în %unctul 0

x şi au loc

e$alităţile #0!#0!#!lim00

0

+=−=→

x f x f x f x x

!43.*#

2. )acă funcţia f are limite laterale e$ale în %unctul 0 x , adică #0!#0! 00 +=− x f x f , atunci funcţia f

are limită în %unctul 0 x şi au loc e$alităţile #0!#0!#!lim 000

+=−=→

x f x f x f x x

.

eorema 2- *criteriul de exi%tenţă a limitei funcţiei +ntr,un punct )$

'uncţia R D R D f ⊆→ ,: are limită în %unctul de acumulare R x ∈0 al mulţimii D dacă şi numai dacă

ea are limite laterale e$ale în %unctul 0 x

.+ Conform teoremelor 2a şi 2-$

1) )acă #!#! 00 xl xl d s = , atunci #!lim0

x f x x→

∃ şi #!#!#!lim 000

xl xl x f d s x x

==→

;



2) )acă #0!#0! 00 +=− x f x f , atunci #!lim0

x f x x→

∃ şi are loc e$alitatea

#0!#0!#!lim 000

+=−=→

x f x f x f x x

;

3) )acă eistă limitele laterale şi ele sunt e$ale, adică l xl xl d s == #!#!00 , atunci eistă limita funcţiei f

în %unctul 0 x şi l x f

x x=

→

#!lim0

.

43.5 #imite remarca-ile şi fundamentale de funcţii realeI. #imite remarca-ile de funcţii reale$

1) ;1sin

lim0

=→ x

x

x x 2) ;1lim

0

=→ x

tgx

x x 3) 1

arcsinlim

0

=→ x

x

x x; 4) 1lim

0

=→ x

arctgx

x x.

5) e x

x

x=+

∞→

#1

1!lim ; 6) e x

x

x=+

−∞→

#1

1!lim 7) e x x

x=+

→

1

0#1!lim

&umărul e - ,/114*04*2 este un număr iraţional numit numărul lui uler .

) a x

a x

ln1

lim0

=−

→

, 0>∀a ; !) 11

lim0

=−

→ x

e x

;

1") a x

xa

x ln

1#1!lo$lim

0=

+

→

, 1,0 ≠>∀ aa ; 11) 1#1ln!

lim0

=+

→ x

x

x;

12) α

α

=−+

→ x

x

x

1#1!lim

0, R∈∀α ; 13)

∗

>→

∈∀= N n x

xn

x x

,1ln

lim

00

14)

∗

>→

∈∀=⋅ N n x xn

x x

,0lnlim

00 ;

15)

∗

>→

∈∀

∈>∞+∈<<= N n

Raa pentru

Raa pentru

x

an

x

x x

,,1,

,10,0lim

00

;

16) ∗

∞→

∈∀+∞= N n x

en

x

,lim

; 17) Re

x x

∈∀+∞=∞→

α

α

,lim

;

1) 1lim00

=

>

→

x

x

x

x; 1!)

1cos1lim

0=

−

→ x

x

x;

2") cos1

lim0

=−

→ x

x

x; 21)

cos1lim

0

k

x

kx

x=

−

→

.

/emarcă 1$ )acă 0→ x , atunci:1) x x →sin ; x x →arcsin ; x xtg → ; x xarctg → ;2) kxkx →sin ; kxkx →arcsin ; kxkxtg → ; kxkxarctg → .

3) a# 1sin

lim0

=→ kx

kx

x; b# 1

arcsinlim

0=

→ kx

kx

x; c# 1lim

0=

→ kx

tgkx

x; d# .1lim

0=

→ kx

arctgkx

x

/emarcă 2$ a) entru demonstrarea limitelor remarcabile 1) şi 2) se a%lică dubla ine$alitate: xtg x x ≤≤sin , unde

π π <<− x .

-) În caz 'eneral au loc următoarele formule %entru limite uuale:



1# e x g

x g

x=+

∞→

#!##!

11!lim , dacă ∞=

∞→

#!lim x g x

;

# e x g

x g

x=+

−∞→

#!##!

11!lim , dacă ∞=

−∞→

#!lim x g x

;

3# e x g x g

x=+

→

#!

1

0##!1!lim , dacă 0#!lim

0=

→

x g x

;

4# a x g

a x g

ln#!

1 lim

#!

0=

−

→, 0>∀a şi 0#!lim

0=

→

x g x

;

*# 1#!

1lim

#!

0=

−

→ x g

e x g

, dacă 0#!lim0

=→

x g x

;

2#a x g

x g a

x ln

1

#!

##!1!lo$lim

0=

+

→, 1,0 ≠>∀ aa şi 0#!lim

0=

→

x g x

;

/# 1#!

##!1ln!lim

0=

+

→ x g

x g

x, dacă 0#!lim

0=

→

x g x

;

# α

α

=−+

→ #!

1##!1!lim

0 x g

x g

x, R∈∀α şi 0#!lim

0=

→

x g x

;

# 1

#!

#!sinlim

0=

→

x g

x g

x, dacă 0#!lim

0=

→

x g x

;

10# 1#!

#!arcsinlim

0=

→ x g

x g

x, dacă 0#!lim

0=

→

x g x

;

11# 1#!

#!lim

0

=→ x g

x g tg

x x, dacă 0#!lim

0=

→

x g x

;

1# 1#!

#!lim

0=

→ x g

x g arctg

x, dacă 0#!lim

0=

→

x g x

.

II. #imite fundamentale de funcţii reale

0-%eraţie$ entru funcţiile elementare R D R D f ⊆→ ,: eistă limita lor în %unctul D x ∈0 şi ea este

e$ală cu 5aloarea funcţiei în acest %unct: #!#!lim 00

x f x f x x =→ .

etode de calculare a limitei funcţiei$I. 6e a%lică definiţia limitei funcţiei;II. 6e a%lică criteriile de eistenţă ale limitei funcţiei;III. 6e a%lică formulele 1#71# de mai sus;I. 6e a%lică re$ulile lui L89os%ital;. 6e a%lică limite fundamentale de funcţii reale de mai "os.

#imite neexceptate ale unor funcţii elementare

1#

−≤

>∞

=

<

=∞→

1,

1,

1,1

1,0

lim

q pentruexistanu

q pentru

q pentru

q pentru

q x

x, unde Rq∈ .

# )acă R x ∈0 şi 0

1

1 ...#! aax xa xa xa x P m

m

m

mm +++++=

−

− şi

0

1

1 ...#! bbx xb xb xb xQ

k

k

k

k k +++++=

−

− sunt două %olinoame cu coeficienţi reali, atunci:

a# #!#...!lim#!lim 00

1

100

x P aax xa xa xa x P m

m

m

m

m x x

m x x

=+++++= −

−→→

;

b# #!#...!lim#!lim 00

1

100 xQbbx xb xb xb xQ k

k

k

k

k x xk x x=+++++=

−

−→→ ;

c# =→ #!

#!lim

0 xQ

x P

k

m

x x=

→

→

#!lim

#!lim

0

0

xQ

x P

k x x

m x x

#!

#!

0

0

xQ

x P

k

m, dacă 0#! 0 ≠ xQk ;



d# #!#s$n!#!#!lim#!lim ±∞⋅=±∞⋅==∞±→∞±→

mm

m

m x

m x

aa xa x P ;

e#

<⋅>∞−

>⋅>∞+

=

<

==+∞→+∞→

0,0,

,

,0

lim#!

#!lim

k m

k m

k

m

k

k

m

m

xk

m

x

ba şik m pentruba şik m pentru

k m pentrub

a

k m pentru

xb

xa

xQ

x P

f#

<⋅>∞+

>⋅>∞−

=

<

==−∞→−∞→

0,

0,

,

,0

lim#!

#!lim

k m

k m

k

m

k

k

m

m

xk

m

x

ba şik m pentru

ba şik m pentru

k m pentrub

a

k m pentru

xb

xa

xQ

x P

3# a# −∞=+

<

→ 1.

00

1lim

n

x

x x

; b# +∞=+

>

→1

00

1lim

n

x x x

; c# 01

lim1 =+

±∞→ n x x

, N n∈∀ ;

d# +∞=→

n x x0

1lim ; e# 0

1lim

=

±∞→ n x x, ∗

∈∀ N n .

4# a# −∞→ x

lima

x

- 0, dacă a>1; b#+∞=

+∞→

x

x

alim, dacă a>1;

c#+∞→ x

lim a x - 0, dacă 0 a 1; d# +∞=−∞→

x

xalim , dacă 0 a 1;

*# a# +∞=+∞→

xa

xlo$lim , dacă a1 şi Ra∈ ;

b#−∞=

>→

xa

x x

lo$lim

00 , dacă a1 şi Ra∈ ;

c# −∞=+∞→

xa x

lo$lim , dacă 0 a 1 şi Ra∈ ;

d# +∞=>→ xa

x x lo$lim

00 , dacă 0 a 1 şi Ra∈ .

2# a# 0lnlnlim0

x x x x

=→

, 00 >∀ x ; b# +∞=+∞→

x x

lnlim ; c#−∞=

>

→

x

x

x

lnlim

00 .

/# a# 0l$l$lim0

x x x x

=→

, 00 >∀ x ; b# +∞=+∞→

x x

l$lim ; c#−∞=

>

→

x

x

x

l$lim

0

0 .

# a# 00

lim xtg xtg x x

=→

, Z nn x ∈+≠∀ ,

π π

; b#+∞=

−→

xtg x 0

limπ ; c#

−∞=+→

xtg x 0

limπ .

# a# 00

lim xctg xctg x x

=→

, Z nn x ∈≠∀ ,π ; b# +∞=+→

xctg x 00lim ; c# −∞=

−→ xctg

x 0lim

π .



10# a# R x xarctg xarctg x x

∈∀=→

00 ,lim0

; b#

lim π

=+∞→

xarctg x

; c#

lim π

−=−∞→

xarctg x

.

11# a# R x xarcctg xarcctg x x

∈∀=→

00 ,lim0

; b# 0lim =+∞→

xarcctg x

; c# π =−∞→

xarcctg xlim .

/emarcă$ entru determinarea şi reţinerea limitelor din %unctele 3# < 11# se a%lică re%reentările $rafice!$raficele# ale funcţiilor res%ecti5e.

limite__de_functii_brg.doc

Documents

Transcript of limite__de_functii_brg.doc