1. IntroducereMathcad este folosit pentru realizarea, documentarea şi lucrul colaborativ cu calcule

inginereşti, metode şi algoritmi de calcul în proiectare. Formatul vizual unic şi interfaţa whiteboard uşor de utilizat, care integrează într-o singură foaie de calcul notaţii matematice standard, text şi reprezentări grafice, fac din Mathcad soluţia ideală pentru captarea şi valorificarea cunoştinţelor asociate calculelor şi pentru îmbunătăţirea colaborării în proiectare. Cu Mathcad, avem libertatea de a lucra interactiv, pe proiecte ce pot fi uşor modificate, având acces la metodele si algoritmii de calcul care au stat la baza fiecărui proiect.

Modul de lucru cu Mathcad poate rezolva orice problemă de matematică imaginabilă, numeric sau simbolic. Scrierea ecuaţiilor în Mathcad se face exact ca în teoria matematică, nefiind necesară învăţarea vreunei sintaxe complicate, iar rezultatele formulelor şi ecuaţiilor se obţin imediat. În plus, pentru o documentare completă a calculelor, pot fi inserate oriunde în foaia de calcul zone de text, reprezentări grafice, imagini, animaţii, etc.

Spre deosebire de programele de calcul tabelar, unde ecuaţiile sunt exprimate criptic, iar conversia între sisteme de unităţi diferite este imposibilă, sau, de limbajele de programare, accesibile îndeosebi programatorilor, Mathcad reprezintă o modalitate mult mai bună de efectuare şi administrare a calculelor inginereşti, acestea fiind uşor de realizat, înţeles, verificat, comunicat şi urmărit logic.

Mathcad realizează corelarea şi conversia între sisteme de unităţi de măsură diferite, cu corectarea implicită a erorilor şi cu asigurarea consistenţei dimensionale. Mathcad permite efectuarea unui calcul într-un anumit sistem de unităţi, în timp ce, numai pentru un anumit set de ecuaţii/secvenţe, calculul să se facă într-un sistem de unităţi diferit. Prin integrarea de ecuaţii, text şi reprezentări grafice într-o singură foaie de calcul, Mathcad uşurează urmărirea logică a procedurilor şi iteraţiilor de calcul, indiferent de complexitate.

Beneficii– Calculul - numeric sau simbolic, modelarea şi reprezentarea vizuală a oricărei idei;– Lucrul interactiv pe proiecte ce pot fi modificate cu uşurinţă, modificarea unei variabile

conducând la recalcularea automată a ecuaţiilor, actualizarea instantanee a graficelor şi a parametrilor de proiectare;

– Documentarea calculelor folosind notaţii matematice standard, capabile să “înţeleagă” unităţi de măsură;

– Realizarea de grafice printabile în format 2D şi 3D;– Verificarea, reprezentarea vizuală şi adnotarea soluţiilor pentru orice disciplină;– Interoperabilitate şi conectare cu cele mai întâlnite aplicaţii desktop şi de proiectare şi

analiză;– Reducerea erorilor datorită algoritmilor de verificare şi corelare a sistemelor de unităţi;– Import şi export de date.

Funcţionalităţi de calcul– Calcul numeric: calcule aritmetice, calcul diferenţial şi integral, operaţii Booleene, funcţii

trigonometrice, exponenţiale, hiperbolice, transformate;– Calcul simbolic: simplificarea expresiilor matematice, calcul derivatelor şi primitivelor,

dezvoltări în serie Taylor, determinarea transformatei directe şi inverse Fourier, Laplace;– Calcul vectorial şi matriceal: operaţii cu şiruri, diferite operaţii de algebră liniară, inclusiv

determinarea de vectori şi valori proprii;

– Calcul statistic şi analiza de date: generare numere aleatorii, reprezentarea grafică prin histograme, calcul de interpolare, modele de distribuţie probabilistică;

– Rezolvarea de ecuaţii diferenţiale ordinare sau cu derivate parţiale, sisteme de ecuaţii diferenţiale, probleme de calcul variaţional cu condiţii la limită;

– Suport pentru diferite sisteme de unităţi de măsură: calculul în unităţi de măsură, conversia între diferite sisteme de unităţi, corectarea automată a erorilor;

– Adăugarea de unităţi de măsură specifice unui anumit domeniu.

Detalii funcţionalităţi Dispunerea calculelor şi afişarea soluţiei în Mathcad

– Operaţii cu numere reale, raţionale, complexe– Reprezentarea în sistem zecimal, binar, octal, hexazecimal– Peste 200 de sisteme de unităţi încorporate, cu opţiunea de adăugare a unor sisteme de

unităţi definite de utilizator– Afişarea valorilor în format ştiinţific– Afişarea soluţiei la probleme de programare liniară la care se cere maximul/minimul

funcţiei obiectiv (cu aplicabilitate în optimizarea de probleme care modelează procese economice)

– Calcul explicit cu afişarea întocmai a valorilor şi variabilelor în ecuaţii, pentru o verificare vizuală şi control al calculelor, mult îmbunătăţite.

Funcţionalităţi de calcul numeric şi simbolic, în timp real– Declararea şi exprimarea variabilelor şi funcţiilor, numeric sau simbolic– Operaţii cu matrice, calculul transpusei, determinantului şi inversei unei matrice,

extragerea unei submatrice dintr-o matrice, ecuaţii matriceale, vectori şi valori proprii, etc.

– Calcul algebric simbolic, simplificarea şi gruparea în factori ireductibili a expresiilor algebrice

Operatori– Mai mult de 17 operatori aritmetici, 12 operatori pentru calcul vectorial şi matriceal, 5

operatori sumă şi produs– 2 operatori diferenţiali şi 5 operatori pentru calculul integralelor şi limitelor de funcţii şi

şiruri– 9 operatori pentru operaţii de evaluare a expresiilor aritmetice– 10 operatori pentru evaluări de expresii logice (Booleene)– Posibilitatea adăugării de operatori definiţi de utilizator– Operaţiile aritmetice sunt conforme cu standardele IEEE (Institutul inginerilor electricieni

şi electronişti, cea mai mare asociaţie profesională de profil tehnic, din lume) Reprezentări grafice

– Reprezentarea grafică a funcţiilor se poate face în coordonate carteziene, polare, grafice cu bare, de tip scatter, reprezentări vectoriale, linii de contur zonal sau tip izosuprafeţe

– Reprezentarea grafică a funcţiilor de o variabilă: curbe în coordinate carteziene, polare sau curbe date de ecuaţii parametrice

– Reprezentarea grafică a suprafeţelor cu ajutorul operatorului QuickPlot™– Funcţionalităţi pentru adnotare, zoom interactiv, obţinerea unghiului ideal de vizualizare,

afişarea coordonatelor oricărui punct de pe grafic pe care se poziţionează mouse-ul (util în rezolvarea aproximativă a ecuaţiilor)

– Opţiuni de formatare pentru: numere, tipuri de linii pentru reprezentare, careiaj, scală, selectare culori

– Reprezentarea în format BMP, GIF, JPG, TARGA, PGM, TIFF– Operaţii cu ferestrele grafice: zoom, pan, crop, contrast, luminozitate, rotire, navigare prin

ferestrele deschise cu opţiunea flip, schimbarea orientării orizontale/verticale a unei matrice pe o foaie de calcul

Funcţii intrinseci– Peste 80 de funcţii matematice şi 10 funcţii de transformare discretă– Peste 110 funcţii de analiză statistică şi probabilistică– 18 algoritmi de soluţionarea a ecuaţiilor diferenţiale ordinare şi cu derivate parţiale– 28 funcţii de acces la fişiere– 14 funcţii de manipulare de expresii matematice sau şiruri de caractere– 18 funcţii pentru calcul financiar– 13 funcţii simbol pentru calcul algebric

Personalizarea şi extinderea aplicaţiei– Mathcad foloseşte fişiere în format nativ XML pentru integrare cu alte aplicaţii– posibilitatea de a adăuga funcţii definite de utilizator în limbaje de programare C sau C++– posibilitatea de a încorpora în Mathcad orice aplicaţie conformă OLE sau de a introduce

componente ActiveX folosind VBScript™ sau JScript™– folosirea tehnologiei OLE Automation & Visual Basic®– noi unelte de dezvoltare (SDK) pentru crearea de componente personalizate cu C++

pentru integrarea cu aplicaţii third-party în Mathcad– suport pentru definirea de către utilizator de biblioteci de funcţii proprii

Soluţionare– 7 funcţii intrinseci pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii– 18 funcţii intrinseci pentru soluţionarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare sau cu derivate

parţiale– Blocuri de rezolvare pentru sisteme de ecuaţii liniare, neliniare şi diferenţiale, conţinând

notaţii matematice consacrate– Parametrizare, programare, dezvoltare de subprograme care pot apela la rândul lor alte

subprograme Mathcad Funcţii de editare a documentelor

– Funcţie pentru verificarea ortografiei, customizabilă, plus bază de date cu termeni tehnici– Şabloane de formatare şi template-uri– Folosirea de hyperlink-uri– Protejarea documentelor cu parolă, hide, collapse– Suport pentru UNICODE – Meniu pentru inserarea de zone de calcul în zone de text– Selectarea şi aranjarea simultană a mai multor regiuni de calcul sau text

Siguranţă şi uşurinţă în utilizare– Recalculare automată– Editor de ecuaţii uşor de utilizat– Localizarea erorilor şi notificări pentru redefinirea variabilelor în vederea corectării

erorilor– Undo multi-step

– Flexibilitate în ceea ce priveşte importul de date - date de tip text sau numeric, date în format tehnic, reale sau complexe, funcţii de ştergere/copiere, import dintr-o varietate de formate (Excel, tabele în format fix, reprezentări în sistem binar)

– Mesaje de avertizare la detectarea de erori, cu indicarea clară a sursei acestora– Funcţii de depanare a programului– Suport pentru sisteme de unităţi– Salvare automată

Format fişiere, suport pentru publicare şi pentru web– Salvarea documentelor în format HTML, XHTML şi RTF– Posibilitatea conversiei în format Adobe Acrobat® PDF– Suport pentru deschiderea fişierelor prin HTTP– Publicarea foilor de calcul pe Mathcad Calculation Server

Transfer de date– Transfer al datelor simplu şi eficient datorită formatului nativ XML– Wizard pentru transferul de date– Importă fişiere .mat, Excel, Lotus 1-2-3, ASCII, binare, etc.– Suport pentru baze de date Microsoft® Access, FoxPro şi SQL, conectare cu ODBC– Transfer de date şi integrare cu Excel, mult îmbunătăţite

Interoperabilitate cu alte aplicaţii, inclusiv:– Microsoft® Excel şi PowerPoint– MathWorks MATLAB®– National Instruments® LabVIEW™– Bentley Microstation®– ANSYS Workbench™

Integrarea Mathcad în Pro/ENGINEER– Integrarea bidirecţională între cele două aplicaţii facilitează transferul sigur şi eficient de

date – mărimi de calcul rezultate din Mathcad şi parametric Pro/ENGINEER– Actualizarea dinamică atât a calculelor cât şi a modelului şi documentaţiei aferente, odată

cu modificarea parametrilor, variabilelor– Valori critice, calculate în Mathcad se constituie în date de intrare pentru modelul 3D

Pro/ENGINEER, «conducând» astfel realizarea si controlul geometriei– Parametri aferenţi unui model 3D Pro/ENGINEER, pot fi date de intrare în Mathcad

pentru calcule Resurse

– Tabele, formule de bază, constante– Bază de cunoştinţe conţinând informaţii specializate pentru suport tehnic– Tutoriale în detaliu pentru toată gama de aplicaţii Mathcad– Help on-line, uşor de utilizat, cu opţiuni de căutare şi index alfabetic– Peste 300 de formate tip QuickSheets pentru analize şi operaţii standard– Dicţionare în 11 limbi– Forumuri ale utilizatorilor, biblioteci Web Resurse hardware

2. Descrierea ferestrei principaleFereastra principală are aceeaşi structură ca şi cea a componentelor MS Office. Linia întâi

a meniul principal al aplicaţiei conţine următoarele submeniuri:

Sub-meniul File conţine comenzile:New – pentru a începe un nou document de tip MathCAD. Extensia unui document MathCAD este .mcd;Open – pentru deschiderea unui document MathCAD deja existent;Close – pentru închiderea documentului curent;Save – pentru salvarea documentului curent;Save as – pentru salvarea cu un alt nume a documentului curent;Page setup – pentru stabilirea dimensiunilor hârtiei la imprimantă;Print preview – pentru vizualizarea documentului înainte de a fi imprimat;Print – pentru imprimarea documentului curent.

Sub-meniul Edit conţine comenzile referitoare la editarea de documente. Câteva dintre comenzile de editare:Undo – pentru renunţarea la ultima acţiune de editare a documentului curent;Redo – are efect invers comenzii Undo;Cut – pentru decuparea zonei selectate din document;

Copy – pentru a trece în Clipboard zona selectată;Paste – pentru a plasa conţinutul din Clipboard în locul precizat;Paste Special – pentru a plasa obiecte şi imagini, care se găsesc în Cliboard, în locul precizat;Delete – pentru a şterge zona selectată;

Select All – pentru a selecta documentul întreg;Find – pentru a găsi un cuvânt în documentul curent. Cursorul se poziţionează pe cuvânt dacă acesta există;Replace – pentru găsirea unui cuvânt şi înlocuirea acestuia printr-un altul;Go to page – pentru a plasa cursorul la începutul paginii indicate;

Sub-meniul View conţine următoarele comenzi privind aspectul ecranului:Tools bar – bara de instrumente, conţinând tipurile:Standard – include butoanele corespunzând celor mai utilizate comenzi ale sub-meniurilor File, Edit. Ea se plasează sub bara de meniu principală;Formating – are butoane pentru stabilirea tipurilor şi dimensiunii caracterelor, poziţia şi indentarea textului;Math – conţine butoane corespunzând barelor instrumentelor (palete) pentru: calcule aritmetice

(Calculator), evaluări de expresii aritmetice (Evaluation) şi logice (Boolean), reprezentări grafice de funcţii (Graph), definirea vectorilor şi matricelor şi calcul matriceal (Matrix), calcul de sume, integrale, derivate, limite (Calculus), comenzi pentru scrierea programelor MathCAD (Programming), caractere ale alfabetului grecesc (Greek), calcul simbolic (Symbolic).Status bar – bara de stare a documentului curent. Ea se plasează la baza ecranului;Header and Footer – permite inserarea numărului de pagină într-un document fie în antetul paginii, fie în subsol;Regions – pentru identificarea zonelor documentului (de text şi conţinând expresii matematice, programe etc);Refresh – pentru refacerea imaginii afişate pe ecran;Zoom – pentru stabilirea dimensiunii caracterelor în vederea afişării pe ecran.

Sub-meniul Insert are comenzi pentru inserarea în document a graficelor, matricelor, funcţiilor, imaginilor, pentru stabilirea unităţilor de măsură etc. Câteva comenzii ale acestui sub-meniu:Graph – MathCAD permite reprezentarea grafică a funcţiilor în două sau trei dimensiuni sub forme diferite;Matrix – pentru stabilirea dimensiunilor unui tablou (vector sau matrice);Function – permite inserarea funcţiilor care se găsesc în biblioteca aplicaţiei;Unit – MathCAD, având posibilitatea de a rezolva probleme de fizică, mecanică etc, are nevoie

de unităţi de măsură în care sunt exprimate datele;Picture – permite inserarea unei imagini în documentul MathCAD;Area – pentru separarea documentului în zone distincte;Math/Text Region – pentru delimitarea zonelor documentului în care sunt formule matematice şi programe pe de o parte de zonele de text (comentarii) pe de altă parte.

Sub-meniul Format are comenzi pentru aranjarea aspectului documentului. De exemplu:Equation – pentru stabilirea tipurilor de caractere pentru variabile şi constante incluse într-o ecuaţie;Result – pentru precizarea formei rezultatelor (numărul de cifre zecimale, simbolul pentru numărul complex 1− etc);Text – permite stabilirea tipului şi dimensiunii caracterelor unui text;Paragraph – pentru indentarea textului;Style – pentru editarea documentului împărţit în secţiuni, capitole, sub-capitole etc;Color – permite stabilirea culorii fondului documentului;Separate Regions – pentru delimitarea regiunilor documentului;

Headers/Footers – pentru inserarea antetului şi sub-solului în document;Repaginate Now – pentru numerotarea paginilor documentului.

Sub-meniul Tools conţine comenzii pentru lansarea calculelor (fie numerice, fie simbolice). De exemplu:Calculate – determină execuţia calculelor pentru zona unde se găseşte cursorul;Calculate Worksheet – execută calcu-lele cuprinse în documentul curant;Automatic Calculation – execută automat calculele de fiecare dată când o formulă este scrisă;Preference – permite stabilirea valorii iniţiale pentru indicele unităţi de măsură, tipul de entităţi;Animation – pentru realizarea unei animaţii într-o reprezentare grafică a unei funcţii.

Sub-meniul Symbolics are comenzi care permit calcul simbolic (calculul derivatelor, primitivelor, dezvoltări în serie Taylor etc). Câteva comenzi ale acestui sub-meniu:

Simplify – pentru simplificarea expresiilor matematice;Factor – pentru scrierea expresiilor ca un produs de factori ireductibili ; Polinomial Coefficients – pentru determinarea vectorului coeficienţilor unui polinom;Variable – are la rândul său o listă de opţiuni care devin accesibile dacă se plasează cursorul pe o variabilă, pentru aflarea rădăcinii (Solve) unei ecuaţii, pentru calcularea derivatei (Differentiate), a primitivei (Integrate), pentru dezvoltarea în serie Taylor (Expand to Series) etc;Matrix – pentru determinarea matricei transpuse (Transpose), a matricei inverse (Inverse), determinantul unei matrice (Determinant);Transform – pentru determinarea transformatei directe şi a transformatei inverse de tip Fourier, Laplace, Z;

Sub-meniul Window are comenzi pentru divizarea ferestrei în două părţi, fie orizontale, fie verticale, pentru aranjarea ferestrelor în cascadă şi are o listă a documentelor deschise în sesiunea curentă.

Sub-meniul Help are informaţii asupra acestei aplicaţii şi se pot accesa aceste informaţii fie apăsând tasta F1, fie făcând clic deasupra sub-meniului Help.

În zona de editare regiunile pot fi: regiune de calcule (implicită), Text Region (comentarii), regiune de grafice. Dacă se suprapun două regiuni, cu Separate Regions din sub-meniul Format, aceste devin vizibile. Un comentariu se deschide cu semnul ” sau din sub-meniul Insert se selectează Text Region. Pentru părăsirea unei regiuni de text se face clic în afara acesteia sau se folosesc săgeţile direcţionale.

În MathCAD se face distincţie între literele majuscule şi cele minuscule în zonele de calcul. Într-un document MathCAD calculele se fac de la stânga spre dreapta de sus în jos!

Numele de variabile (identificatori) se formează cu litere şi/sau cifre prima obligatoriu literă, la care se pot adăuga şi indici cum se arătă mai jos.

Implicit, în MathCAD, indicii încep cu valoarea zero!Se poate schimba valoarea iniţială a indicilor utilizând Worksheet Options din sub-meniul

Tools, înlocuind zero cu noua valoare în câmpul Array Origin, ca în figura alăturată.

Atribuirea în MathCAD se face utilizând simbolul : care devine în documentul MathCAD :=. Afişarea pe ecran se face folosind semnul =.

Tabelul următor prezintă operatorii aritmetici şi tipul operanzilor. Operaţie Simbol Operanzi

Adunare + Variabile, constante şi funcţii numerice, vectori şi matrice Scădere - Variabile, constante şi funcţii numerice, vectori şi matrice Înmulţire * Variabile, constante şi funcţii numerice, vectori şi matrice Împărţire / Variabile, constante şi funcţii numerice Produs vectorial × Vectori tridimensionali Ridicare la putere ^ Variabile, constante şi funcţii numerice

Adunarea, scăderea, produsul vectorilor şi matricelor se realizează foarte simplu scriind operanzii şi operatorii corespunzători.

3. Calcul numeric3.1. Aplicaţii simple de calcul numeric

În acest paragraf se prezintă principalele operaţii matematice de calcul numeric din matematică.a) Utilizarea constantelor matematice. Principalele constantele matematice implicite sunt şi e.EXEMPLU

b) Calcule aritmetice.EXEMPLU

Din cele prezentate în exemplu de mai sus se poate observa că rezultatele pot fi afişate în diferite formate. Formatul afişării se poate selecta dacă se dă dublu clic pe rezultat şi apare fereastra de mai jos.

c) Calculul numeric al expresiilor algebrice. Acest calcul se poate efectua dacă se cunosc valoric toate elementele expresiei algebrice.EXEMPLU

d) Utilizarea funcţiilor matematice. Pentru a folosi principalele funcţii matematice se utilizează paleta Calculator.EXEMPLU

e) Calculul sumelor şi produselor. Pentru calculul sumelor şi produselor se utilizează paleta Calculus.EXEMPLU

Să se calculeze suma pătratelor numerelor naturale mai mici sau egale cu 10.

sau

sau

Din exemplul de mai sus se poate observa că există diferite moduri de calcul pentru a efectua aceiaşi operaţie. Acest lucru este valabil şi pentru efectuarea produsului.

Să se efectueze produsul numerelor naturale mai mici sau egale cu 10.

3.2. Aplicaţii în analiza matematicăCalculul derivatelor unei funcţii de o variabilă: într-un document MathCAD după

definirea funcţiei şi precizarea punctului în care se doreşte evaluarea derivatei, din paleta

Calculus se alege , după care se precizează variabila în raport cu care se calculează derivata şi

apoi funcţia. După semnul egal, MathCAD va afişa valoarea derivatei. Analog pentru derivatele

de ordin superior, însă de această dată se alege operatorul .

EXEMPLUConsiderăm funcţia: .

Dacă calculăm derivata de ordinul 1 pentru rezultă:

Dacă calculăm derivata de ordinul 3 pentru rezultă:

Pentru calculul derivatelor parţiale ale unei funcţii de mai multe variabile se utilizează

semnul care apare dacă se face clic cu butonul drept al mouse-ului deasupra operatorului .

Din „meniul imediat” care apare se selectează View Derivate As şi de aici Partial Derivate.EXEMPLU

Considerăm funcţia

Putem calcula derivatele parţiale , pentru ,

Calculul integralelor se face utilizând icoana de integrare din paleta Calculus. Pentru calculul integralelor trebuie acordată o mare atenţie definirii intervalului de calcul.EXEMPLU

- înseamnă că există o eroare în definirea acestei integrale.

ceea ce înseamnă că în cazul precedent definirea începutului intervalului de la

valoarea 0 este eronată.În MathCAD se pot calcula şi integrale duble şi triple, singura condiţie obligatorie pentru

obţinerea unui rezultat valid este definirea corectă a intervalelor de integrare.

Calculul limitelor funcţiilor şi şirurilor este de asemenea posibilă. Tot în paleta Calculul, se pot găsi trei icoane pentru calcularea limitelor. Acestea se folosesc pentru calcul limitei la stânga, la dreapta şi limita într-un punct.EXEMPLU

Limita la stânga se calculează astfel:

Limita la dreapta se calculează astfel:

Pentru a calcula o limită se utilizează următoarea reprezentare:

Se observă că pentru evaluarea unei limite nu se mai foloseşte semnul “=”. Se v-a folosi tot din paleta Evaluation icoana .

Limitele şirurilor se pot calcula la fel ca şi limitele funcţiilor . Practic singura diferenţă este că în locul funcţiei se va trece şirul la care dorim să îi calculăm limita.EXEMPLU

3.3. Aplicaţii în algebrăCalculul vectorial şi matriceal este bine implementat în MathCAD, operaţiile cu vectori şi

matrice efectuându-se scriind comenzi apropiate de scrierea matematică obişnuită. Vectorii şi matricele se inserează într-un document MathCAD din sub-meniul Insert, se

selectează Matrix, iar în caseta de dialog care apare (Insert Matrix) se precizează numărul de linii şi de coloane. Operaţiile care se pot efectua cu vectori şi matrice se regăsesc în paleta Matrix

După definirea vectorilor se poate trece la calcule cu acestea. Calculele ce se pot efectua sunt prezentate mai jos.EXEMPLU

Se dau doi vectori:

şi

Produsul scalar a doi vectori:

Produsul vectorial a doi vectori:

În continuare vom efectua operaţii cu matrice. Se va considera matricea:

Calculul transpusei, determinantul şi inversa matricei A:

Cea mai comună aplicaţie cu matrice este rezolvarea sistemelor de ecuaţii de tip Cramer.EXEMPLU

Se dă un sistem de ecuaţii:

Ecuaţia se poate rezolva în mai multe moduri. Două dintre ele sunt prezentate mai jos.

Rezolvare clasică utilizând inversa:

Rezolvare cu funcţia lsolve:

Valori şi vectori proprii pentru o matrice se pot obţine precizând matricea şi apelând la funcţiile MathCAD eigenvals() şi respectiv eigenvec(), (din sub-meniul Insert se alege Function, iar din fereastra Insert Function se selectează funcţia respectivă) ca în figura următoare.

Reamintim că având o matrice pătratică A, se numeşte polinom caracteristic . Se numeşte valoare proprie a matricei A orice rădăcină a polinomului

caracteristic. Vectorul propriu al matricei A corespunzător valorii proprii λ este orice vector nenul , soluţie a sistemului .EXEMPLU

Se consideră matricea:

Valorile proprii se determină astfel:

Vectorii proprii se determină astfel:

4. Reprezentări grafice.4.1. Funcţii de o variabilă.

Pentru reprezentarea grafică a unei funcţii de o variabilă se precizează funcţia, apoi domeniul de variaţie al variabilei independente. Din paleta Graph se alege butonul corespunzător tipului de reprezentare dorit.

Altfel, se poate ca din sub-meniul Insert, să se selecteze Graph şi de aici tipul de grafic pentru reprezentarea funcţiei. Se poate alege reprezentarea într-un sistem de axe cartezian (X-Y Plot) sau reprezentare polară (Polar Plot).Precizarea domeniului de variaţie al variabilei se poate face astfel: a) dacă se scrie , unde p este pasul cu care se modifică valorile lui x, iar a şi b capetele intervalului;b) se precizează pe grafic în colţul din stânga jos a , iar în colţul din dreapta jos b.

Domeniul implicit de variaţie al variabilei independente se poate modifica folosind oricare dintre cele două posibilităţi de mai sus.

Foarte important de reţinut este că se pot reprezenta pe aceleaşi axe mai multe funcţii, putându-se astfel face comparaţii între graficele diferitelor funcţii. Se poate determina coordonatele unui punct de pe grafic cu ajutorul comenzii Trace. Aceasta se activează făcând clic cu butonul drept al mouse-ului deasupra graficului. Graficului i se poate ataşa un nume, astfel: clic cu butonul drept al mouse-ului deasupra graficului, iar din meniul imediat care apare se alege Format. Din fereastra Format, selectând Labels, se poate da un nume graficului şi de asemenea axelor. Această fereastră permite şi selectarea de culori pentru grafic, tipuri de linii pentru reprezentare, careiaj, scală etc.

În exemplele următoare sunt prezentate secvenţele MathCAD care permit reprezentarea grafică a curbelor date de ecuaţia carteziană explicită, ecuaţia în coordonate polare şi ecuaţii parametrice.

În continuare se vor prezenta principalele modalităţi de reprezentare pentru acelaşi grafic. Tot odată se vor prezenta şi posibilităţile de formatare a unui grafic.

În continuare se va prezenta un şir de numere pe baza căruia vom ridica graficele.

Se ridică graficul după care se formatează. În meniul X-Y Axes, în funcţie de căsuţele care sunt bifate se pot obţine diferite posibilităţi de a formata graficul.

Tot din acelaşi meniu se poate selecta scara logaritmică ca şi în figura de mai jos.Din meniul Traces se poate defini modul de reprezentare a curbei definite în grafic. Astfel

avem posibilitatea de a pune simboluri pe curbă la fiecare punct care defineşte curba, se poate selecta mărimea simbolului, se poate selecta tipul de linie (linie continuă, linie punctată, etc), grosimea liniei şi poate cel mai important, tipul graficului (cu linie – ca cele prezentate până acum, bar, step, solid bar, etc.) acest meniu se poate ataşa un nume graficului.

Grafic cu Scară logaritmică pe axa y Grafic cu simbol de tip pătrat

Tipul Bar Tipul Step

Tipul Step Bar Tipul Stem

1) Reprezentarea grafică a curbelor în coordonate carteziene.Se vor reprezenta grafic principalele funcţii matematice:

- funcţia logaritmică şi funcţia exponenţială:

- funcţia inversa, lineară, pătratică, cubică

- Funcţiile trigonometrice sin, cos, tangenta, cotangenta:

2) Reprezentarea grafică a curbelor date în coordonate polare.- Roza cu 3 bucle şi cu 4 bucle:

- Spirala lui Arhimede şi spirala logaritmică

4.2. Funcţii cu două variabile.Există două modalităţi de reprezentare a suprafeţelor în MathCAD:- punctele suprafeţei vor fi depuse într-o matrice - folosind QuickPlot Data din 3-D Plot Format .

Pentru reprezentarea suprafeţelor folosind o matrice se procedează astfel:- se precizează funcţia de reprezentat,

- se depun în vectori valori ale celor două variabile,

- se depun valorile funcţiei în punctele precizate într-o matrice,

- din sub-meniul Insert, se selectează Graph, apoi Surface Plot şi în zona de editare care apare se trece matricea în care s-au depus punctele suprafeţei, sau din paleta Graph se selectează butonul Surface Plot ca în figură.

Ca şi în cazul curbelor, se poate da un nume graficului, axelor, se poate colora graficul, se pot reprezenta mai multe suprafeţe pe aceleaşi axe etc. Graficul se poate roti pentru a găsi o poziţie mai avantajoasă a figurii.

Făcând clic cu butonul drept al mouse-ului deasupra graficului apare meniul imediat din figura alăturată şi de aici selectând Format apare fereastra 3-D Plot Format, care permite aranjarea într-o manieră personalizată a graficului.

5. Aplicaţii.1. Să se rezolve ecuaţia de gradul doi de forma , unde a, b, c iau diferite

valori. După obţinerea soluţiilor să se verifice dacă acestea sunt corecte.2. Să se calculeze perimetrul (P) şi aria (A) pentru următoarele corpuri geometrice:

a. Cercul de rază R (unde R ia diferite valori);b. Pătratul de latură L (unde L ia diferite valori);c. Dreptunghiul care are lungimea L şi lăţimea l (unde L>l şi L, l iau diferite valori);d. Triunghiul echilateral de latură L (unde L ia diferite valori);e. Cercul circumscris triunghiului echilateral de latură L (unde L ia diferite valori);f. Cercul înscris în triunghiul echilateral de latură L (unde L ia diferite valori).

3. Să se calculeze suma şi produsul seriilor cu termenul general:

a.

b.

4. Să se calculeze derivatele parţiale , (în diferite puncte x,y) pentru

următoarele ecuaţii:a.

b.

c.

d.5. Să se calculeze integralele următoare funcţii:

a.

b.

c.

d.

6. Să se definească vectorii de n termeni dacă termenii se calculează cu una din relaţiile de mai jos (n ia valori diferite):

7. Să se definească o matrice de patru linii şi patru coloane în care termenii matricei se calculează astfel: . Pentru matricea astfel obţinută să se calculeze, transpusa, inversa şi determinantul.

8. Să se rezolve următoarele sisteme de ecuaţii:

a.

b.

c.

9. Să se deseneze graficele definite de funcţiile de o variabilă:a.

b.

c.

d.

e.10. Să se deseneze graficele în coordonate polare:

a. - ecuaţia cardioidei

b. - Lemniscata lui Bernoulli

c.

d.11. Să se reprezinte suprafeţele date de următoarele funcţii:

a.

b.

c.

d.