Metode Numerice Lab 3 - Rezolvarea ecuatiilor neliniare

Rezolvarea ecuatiilor neliniare

Aplicatia 1.Sa se determine radacinile functiei f(x)=x5-20x3+15 pe intervalul [-1.5 , 5]

f x( ) x5 20x3− 15+:= x 1.5− 5..:=

0 2 4

400−

300−

200−

100−

100

f x( )

x

<-----Insert....Graph...X-Y Plot(Format...Axes Style...Crossed)

Metoda I Matchad <----- Cautam prima radacina pe intervalul [-1.5, 2]

<-----Functia de rezolvatf x( ) x5 20x3

− 15+:=

x 1.5:= <-----Solutia aproximativa initiala

SolutiaMetoda1 root f x( ) x, ( ):=

SolutiaMetoda1 0.922= <----Radacina cautata

Metoda II Mathcad <----- Cautam a doua radacina pe intervalul [2, 5]

x 4:= <-----Solutia aproximativa initiala

Given<-----Ecuatia de rezolvat

x5 20x3− 15+ 0=

SolutiaMetoda2 Find x( ):=

SolutiaMetoda2 4.453= <----Radacina cautata

Aplicatia 2.Sa se determine radacinile functiei g(x)=11.09 -24.13(e -0.1x - e -0.5x) pe intervalul [0, 5]

g x( ) 11.09 24.13 e 0.1− x e 0.5− x−( )⋅−:= x 0 0.1, 5..:=

0 1 2 3 4 5

5−

5

10

15

g x( )

x

1

Metode Numerice Lab 3 - Rezolvarea ecuatiilor neliniare

Metoda Newton-Raphson

Aceasta metoda necesita calculul derivatei functiei: gder x( )x

g x( )dd

:=

N 10:= <--------Numarul de iteratii:

x0 4:= <----------Aproximatia initiala a radacinii

Metoda poate fi scrisa in secventa de program:

NewRaph g x, N, ( )

x xg x( )

xg x( )d

d

−←

i 0 N..∈for

x

:=

NewRaph g 0, N, ( ) 2.089= <------------Radacina cautata

Aplicatia 3.

Sa se determine o radacina reala a functiei h(x) = x4 - 4x3+ 4x2 -0.5 pe intervalul [-5 , 5]

x 5− 4−, 5..:=h x( ) x4 4x3− 4x2

+ 0.5−:=

6− 4− 2− 0 2 4 6

500−

500

1 103×

1.5 103×

h x( )

x

Metoda SecanteiPentru aceasta metoda nu trebuie calculata derivata functiei, dar sunt necesare 2 aproximari initiale ale radacinii:

N 10:= <-------------Numarul de iteratii

x0 4:= <-----------Aproximarea initiala a radacinii

Metoda poate fi scrisa in secventa de program:

2

Metode Numerice Lab 3 - Rezolvarea ecuatiilor neliniare

Secanta h x, N, ( )

x1 x←

x2 x 10 6−+←

x x1 h x1( )x2 x1−

h x2( ) h x1( )−⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅−←

i 0 N..∈for

x

:=

Secanta h 4, 5, ( ) 2.307= <------------Radacina cautata

Aplicatia 4.

Sa se determine o radacina reala functiei p x( ) τadm5.1 Mtor⋅

x3 1 q4−( )⋅

−:= pe intervalul [30 , 45]

q 0.4:= Mtor 9.188 105⋅:= τadm 86.16:= x 35 36, 45..:=

p x( ) τadm5.1 Mtor⋅

x3 1 q4−( )⋅

−:=

34 36 38 40 42 44 46

40−

20−

20

40

p x( )

x

N 10:= <--------Numarul de iteratii

Metoda Bisectiei

Pentru aceasta metoda sunt necesare limitele inferioare si superioare ale intervalului in care este cautataradacina. Acesata metoda este usor de executat in secventa de program:

Bisectie p a, b, N, ( ) xjos a←

xsus b←

xmedxjos xsus+

2←

xjos xmed← p xjos( ) p xmed( )⋅ 0>if

xsus xmed← p xjos( ) p xmed( )⋅ 0≤if

i 0 N..∈for

xjos xsus+

2

:= Limita inferioara

Limita superioara

Bisectie p 30, 45, N, ( ) 38.214= <------------Radacina cautata

3