1

MORFISME SI IZOMORFISME DE INELE SI CORPURI

Definiţie. Fie ( ) ( )⊗⊕⋅+ ,,A' si ,,A două inele. O aplicaţie 'AA:f → se numeşte morfism (sau omomorfism) de inele dacă satisface următoarele două condiţii: 1) ( ) ( ) ( ) A;y x,orice pentru ,yfxfyxf ∈⊕=+ 2) ( ) ( ) ( ) A.y x,orice pentru ,yfxfxyf ∈⊗=

Obs.: 1)Din definţie rezultă că orice morfism de inele este şi un morfism de grupuri, de la grupul aditiv al lui A la grupul aditiv al lui A’. Atunci, dacă 'AA:f → este morfism de inele, din proprietăţile morfismelor de grupuri, rezultă:

1°) ( ) '00f = (unde 0 este elemental nul al lui A, iar 0’ este elementul nul al lui A’) (spunem simplu că morfism de inele „duce“ elementul nul în elementul nul) 2°) ( ) ( ) ( ) Ax ,xfxf ∈∀−=− (imaginea opusului prin morfism este opusul imaginii). Condiţia 2) spune că ( ) ( )⊗→⋅ ,'A,A:f este morfism de semigrupuri.

2) Dacă inelele A şi A’ sunt unitare, atunci din condiţia 2) nu se poate deduce că ( ) '11f = (1 este elemental unitate pentru A, iar 1’este elemental unitate al lui A’).

Dacă în plus A’ este domeniu de integritate, atunci f(1)=1’.

Definiţie. Fie (A,+,⋅) şi (A’,⊕,⊗) două inele unitare. Un morfism de inele f : A →A′ cu proprietatea f(1)=1’ se numeşte morfism unitar de inele (1, respective 1’ sunt elementele unitate din A şi respective A’).

Un morfism de inele de la un inel la el însuşi se numeşte endomorfism al inelului respective. Compunerea a două morfisme de inele este încă morfism de inele (Verificaţi!)

2

Exemple. 1) Fie A şi A’ două inele. Aplicaţia f : A → A’ definită prin f (x) = 0’, ( ) Ax∈∀ este un morfism de inele, numit morfismul nul.

Se verifică uşor cele două condiţii din definiţie: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) Ay,x,yfxf'0'0'0yxf ∈∀⊕=⊕==+ şi 2) ( ) ( ) ( ) ( ) .Ay,x,yfxf'0'0'0xyf ∈∀⊗=⊗==

2) Fie A un inel. Aplicaţie identică ( ) xx1 ,AA:1 AA =→ este un morfism de inele, aparţinând endomorfismelor lui A. Dacă A este inel unitar, atunci 1A este endomorfism unitar. 3) Fie inelul [ ]2Z . Atunci aplicaţia [ ] 2Z2Z:f → definită prin ( ) 2ba2baf −=+ este un morfism de inele pentru că avem:

1) ( ) ( )( ) ( ) =+−+=+++=+++ 2bbaa2bbaaf2ba2baf 212121212211 ( ) ( ) ( ) ( )2baf2baf2ba2ba 22112211 +++=−+−=

şi 2) ( )( ) ( )( ) −+=+++=++ 2121122121212211 bb2aa2bababb2aaf2ba)(2baf ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )2baf2baf

b2ab2aab2b22baa2baba

2211

22111121121221

++=

=−−=−+−=+−

4) Aplicaţia f:(Z,+,⋅)→ (Zn,+,⋅), n≥2, n∈N, f(x)= x , este un morfism de inele, numit morfismul canonic.

Într-adevăr avem:

1) ( ) ( ) ( ) ( ) Zy,x ,yfxfyxyxyxf ∈∀+=+=+=+∧

şi

2) ( ) ( ) ( ) ( ) .Zy,x ,yfxfyxxyxyf ∈∀===∧

Definiţie. Un morfism de inele f: A→ A’ se numeşte morfism injectiv, dacă f este injectivă. Un morfism de inele f: A→ A’ se numeşte morfism surjectiv, dacă f este surjectivă. Un morfism de inele f: A→ A’ se numeşte izomorfism, dacă f este bijectivă. Dacă între două inele A, A’ există cel puţin un izomorfism de inele spunem că inelele sunt izomorfe şi scriem A≅A’ (citim: inelul A este izomorf cu inelul A’).

Să reţinem conceptul important de izomorfism de inele. Aplicaţia f: A →A’ este izomorfism de inele dacă:

1) f este morfism de inele; 2) f este bijectivă.

Dacă două inele sunt izomorfe, atunci grupurile aditive (A,+), (A’, ⊕) sunt izomorfe, iar semigrupurile (A,⋅), (A’,⊗) sunt de asemenea izomorfe, Se verifică faptul că morfismul de inele f: A→ A’ este injectiv dacă Ker f = {0}, (Ker f = {x∈A| f(x) =0’} se numelte nucleul morfismului f).

3

Un izomorfism de la inelul A la el însuşi se numeşte automorfism. Compunerea a două izomorfisme de inele este încă izomorfism de inele (Verificaţi!). Exemple. 1) Fie A un inel. Aplicaţia identică 1A:A→A, 1A(x)=x este un automorfism al inelului A. Am arătat mai sus (exemplul 3)) că 1A este endomorfism al inelului A. Cum 1A este o aplicaţie bijectivă, se deduce că 1A este automorfism al inelului A. 2) Morfismul [ ] [ ] ( ) 2ba2baf ,2Z2Z:f −=+→ este bijectivă deoarece f este injectivă, adică dacă ( ) ( ) 2122112211 aa2ba2ba2baf2baf =⇒−=−⇒+=+

21 bb si = ceea ce dă .2ba2ba 2211 +=+ (Se ştie că dacă ,b'b ,a'a atunci Zb'b,,a'a, ,2'b'a2ba ==∈+=+ deoarece scriind

relaţia sub forma ( ) ,a'a2'bb −=− atunci dacă b ≠ b’ , s-ar obţine ,'bb

a'a2−−

= fals

deoarece Q2 ∉ în timp ce .Q'bb

a'a∈

−− Deci b = b’ şi atunci evident a = a’ . Reciproca

este imediată). Aplicaţia f este surjectivă deoarece pentru ,2baz += atunci există

[ ]2Z2baz ∈−= pentru care ( ) .zzf =

Definiţie. Fie (K,+,⋅) şi (K’, ⊕, ⊗) două corpuri. O aplicaţie f: K →K’ se numeşte a) morfism de corpuri dacă: 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Ky,x ,yfxfyxf ∈∀⊕=+ 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ;Ky,x ,yfxfxyf ∈∀⊗= b) izomorfism de corpuri, dacă 1) f este morfism de corpuri, 2) f este bijectiv

Observăm din definiţia de la a) că morfimul de corpuri fiind un morfism între domenii de integritate avem f(1) = 1’. Un morfism de corpuri de la un corp la el însuşi se numeşte endomorfism al acelui corp. Un izomorfism de corpuri de la un corp la el însuşi se numeşte automorfism al acelui corp. Exemple. 1) Aplicaţia f : Q→C, f(x) = x este un morfism de corpuri numit morfismul-incluziune. 2) Aplicaţia f: C→C, ( ) zzf = este automorfism al lui C (Verificaţi!).

Teoremă. Orice morfism de corpuri este injective.

4

Dem. Fie f : K → K’ un morfism de corpuri. Fie x,y ∈ K pentru care f(x) = f (y). Notăm z = x-y. Avem ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) '.0xfxfyfxfyfxfyxfzf =−+=−+=−+=−+= Dacă ,0z ≠ atunci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,'0zf'0zfzfzzf1f'1 111 ===== −−− contradicţie deoarece

.0'1 ≠ Deci z = 0, adică x = y, ceea ce înseamnă că f este injectiv. Comportarea subinelelor (subcorpurilor) la morfisme de inele (corpuri) este dată de următoarea

Teoremă Fie f : A → A’ un morfism de inele (respectiv de corpuri). Atunci: 1) Pentru orice subinel (respectiv subcorp) B al lui A, mulţimea B’ = f(B) este subinel (respectiv subcorp) al lui A’ ; în particular Imf = f(A) este subinel (respectiv subcorp) al lui A’. 2) Dacă f este morfism injective, atunci A este izomorf cu un subinel (respectiv subcorp) al lui B.

Obs.:

1) Prima afirmaţie din teoremă se poate formula astfel: imaginea unui subinel (subcorp) printr-un morfism de inele (corpuri) este de asemenea un subinel (subcorp). Partea a doua a teoremei afirmă că inelul (corpul) A se poate scufunda izomorf într-un subinel (subcorp) al lui B printr-un morfism injectiv. Dem. 1) Dacă se traduce morfismul de inele (corpuri) în limbaj de morfism de grupuri aditive (f :(A, +) →( A’, ⊕)) şi morfism de semigrupuri (f :(A, +) → (A’, ⊗)), iar subinelul B al lui A ca subgrup al lui (A, +) şi respectiv semigrup al lui (A, ⋅) şi se ţine seama de propoziţia de la morfisme de grupuri şi semigrupuri conform căreia imaginea unui subgroup al lui (A, +) prin f este subgrup al lui ( A’, ⊕) şi imaginea unui subsemigrup al lui (A, ⋅) este tot semigrup al lui (A’, ⊗) demonstraţia lui 1) este imediată.

2) Dacă A este morfism injectiv de inele, atunci A ≅ Imf (Imf este subinel (subcorp) al lui A’. În consecinţă la 2), dacă f : K → K’ este morfism de corpuri, corpul K este izomorf cu un subcorp al lui K’ (evident f este injectiv).

5

Probleme rezolvate

1. Să se arate că aplicaţia ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=→impar, este x daca ,1

par este x daca ,0zf ,ZZ:f 2 este morfism de inel.

R. Trebuie să verificăm cele două condiţii ale morfismului de inele. 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Zy,x ,yfxfyxf ∈∀+=+

2) ( ) ( ) ( ) ( ) .Zy,x ,yfxfxyf ∈∀= Pentru verifcarea condiţiei 1) analizăm cazurile: a) x,y numere întregi pare (x,y ∈2Z). Atunci: ( ) 0yxf =+ (deoarece x+y este par) şi ( ) ( ) 000yfxf =+=+ .

Deci în acest caz, 1) are loc. b) x,y ∈ Z de parităţi diferite. Să spunem x ∈2Z, y∈2Z + 1. Atunci ( ) 1yxf =+ (x+y este impar) şi ( ) ( ) 110yfxf =+=+ . Şi în acest caz, 1) se verifică. Analog se tratează cazul x ∈2Z + 1, y ∈2Z. c) x,y numere întregi impare (x,y ∈2Z + 1). Avem: ( ) ( ),par este yx0yxf +=+

( ) ( ) 011yfxf si =+=+ ceea ce arată că 1) are loc. Pentru verificarea condiţiei 2) se analizează aceleaşi cazuri. Avem: a) x,y ∈2Z, ( ) ( ) ( ) ,000yfxf si 0xyf =⋅== adică 2) are loc. b) x ∈2Z şi y∈2Z+1 când ( ) ( ) ( ) ,010yfxf si 0xyf =⋅== adică 2) se verifică. c) x,y∈2Z+1, când ( ) ( ) ( ) ,111yfxf si 1xyf =⋅== şi din nou 2) are loc.

2. Pe mulţimea R se consideră operaţiile: x T y = x+ y- 1, x ⊥ y= x+ y –xy. Să se arate că (R, T , ⊥) este inel izomorf cu (R, +, ⋅) prin f : R → R, f(x) = 1 – x. R. Lăsăm în seama cititorului să verifice că tripletul (R, T , ⊥) este un domeniu de

integritate. Probăm că f : R → R, f(x) = 1 – x este izomorfism de inele. Trebuie să verificăm că: 1) f este morfism de inele, 2) f este bijectivă. 1) Funcţia f este morfism de inele dacă: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Ry,x ,yfxfxTyf ∈∀+= b) ( ) ( ) ( ) ( ) .Ry,x ,yfxfyxf ∈∀=⊥ Verificăm a). Avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).yfxfy1x1yx21yx11yxfxTyf +=−+−=−−=−+−=−+=

Verificăm b). Avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).yfxf)y1)(x1(xyyx1xyyx1xyyxfyxf =−−=+−−=−+−=−+=⊥

Cum a) şi b) au fost verificate deducem că f este morfism de inele. 2) Funcţia liniară f : R → R, f(x) = ax + b se ştie că este bijectivă dacă 0a ≠ . Deci în cazul nostru a = -1, b = 1, funcţia f este şi bijectivă. Deoarece condiîiile 1) şi 2) au fost verificate rezultă că f realizează izomorfimul între cele două inele.

3. Pe mulţimea numerelor întregi Z se definesc aplicaţiile: ( ) 6yx2-xyy x,2yxyx ++=−+=∗

împreună cu care devine domeniu de integritate. Să se arate că avem izomorfismul de inele ( ) ( ) ( ) .xxf de dat ,,Z,,Z β+=∝⋅+≅∗

6

R. Se arată uşor că tripelrul ( ),,Z ∗ este un domeniu de integritate. Atunci ştim că morfismul de inele are proprietăţile ( ) ( ) ,1uf si 0ef 0 ==∗ unde ∗e este elementul neutru în raport cu legea *, iar 0u este elemental unitae al inelului (în raport cu a doua lege °).

Găsim uşor .3u ,2e 0 ==∗ Deci avem sistemul: ( )( )⎩

⎨⎧

==

13f02f

cu soluţia 2 ,1 −=β∝= .

Prin urmare f: Z → Z, f(x) =x-2. Probăm că f este izomorfism de inele, adică:

1) f este morfism de inele, 2) f este bijectivă.

Afirmaţia 1) se verifică dacă avem: a) ( ) ( ) ( ) ( ) Zy,x ,yfxfyxf ∈∀+=∗ şi b) ( ) ( ) ( ) ( ) Zy,x ,yfxfyxf ∈∀⋅= Într-adevăr pentru a) avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).yfxf2y2x4yx22yx2yxfyxf +=−+−=−+=−−+=−+=∗ Analog pentru b) se obţine: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).yfxf2y2x26y2x2xy6y2x2xyfyxf =−−=−+−−=+−−= Demonstrăm 2). Aplicaţi f este bijectivă dacă: a’) f este injectivă, şi b’) f este surjectivă. Verificăm a’). Funcţia f este injectivă dacă din f(x) = f(y), x,y ∈ Z ⇒ x = y. Avem ( ) ( ) .2y2xyfxf −=−⇔= De aici x = y.

Pentru b’), funcţia f este surjectivă dacă pentru orice y ∈ Z (codomeniu) există x ∈Z (domeniu) astfel încât f(x) = y. Din f(x) = y rezultă x-2 = y, adică x = y +2, aceasta fiind elementul căutat. Evident x = y + 2 ∈Z. Din cele de mai sus rezultă că inelele sunt izomorfe.

4. Arătaţi că inelele { }( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅+∈+= ,,Zy x,|

x3yyx

A' ,,,Zy x,| 3yxA

(+, ⋅ sunt adunarea şi înmulţirea uzuală pe mulţimile respective) sunt izomorfe. R. Se arată uşor că tripeletele respective sunt domenii de integritate. Aplicaţia care

realizează izomorfismul de inele este ( ) .xy3yx

3yxf ,'AA:f ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+→

Avem de verificat că: 1) f este morfism de inele şi 2) f este bijectivă. Afirmaţia 1) se traduce prin: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Az,z ,zfzfzzf 212121 ∈∀+=+ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Az,z ,zfzfzzf 212121 ∈∀⋅= Verificăm a). Fie Azz ,3yxz ,3yxz 21222111 ∈+=+= . Avem:

7

( ) ( )( ) ( )( ) ( ).zfzf

xy3yx

xy3yx

xxyy3yyxx

3yyxxfzzf

21

22

22

11

11

2121

2221212121

+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=+++=+

Verifică b). Avem: ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )2122

22

11

11

21211221

12212121

12212121221121

zfzfxy3yx

xy3yx

yy3xxyxyx3yxyxyy3xx

3yxyxyy3xxf3yx3yxfzzf

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=

=+++=++=

Afirmaţia 2) înseamnă să arătăm că: a’) f este injectivă, b’) f este surjectivă. Probăm a’). Fie ( ) ( ).zfzf care pentru Azz ,3yxz ,3yxz 2121222111 =∈+=+=

Să arătăm că z1=z2. Din ( ) ( ) ,xy3yx

x3yyx

rezulta zfzf22

22

11

1121 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= iar de aici x1 = x2

şi y1 = y2. Deci z1 = z2.

Verificăm b’). Fie '.Axy3yx

A ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Atunci există A3yxz ∈+= pentru care f(z)= A.

Deci f este surjectivă. În concluzie f este izomorfism de inele.

5. Fie C ([0,1]) mulţimea funcţiilor reale continue pe [0,1] şiD([0,1]) mulţimea funcţiilor reale derivabile pe [0,1]. Arătaţi că între inelele (C([0,1]),+, ⋅) şi (C([0,1]),+, ⋅), unde + şi ⋅ sunt adunarea şi înmulţirea uzuală, nu există nici un izomorfism.

R. Se verifică cu destulă uşurinţă că tripletele din enunţ sunt inele comutative. Vom demonstra că nu există un izomorfism între cele două inele, prin metoda reducerii la absurd. Presupunem deci că ar exist F : C ([0,1]) → D([0,1]) un astfel de izomorfism. Considerăm f ∈D([0,1]), f(x)=x. Din F surjectivă se deduce că există g ∈C([0,1]) astfel încât F(g) = f. Din g ∈C ([0,1]) rezultă că şi [ ]( ).1,0Cg3 ∈ Utilizând faptul că f este morfism avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) .gFgFgFgFgggFgFf3

3333333 ==== De aici ( ) .xfgF 333 ==

Aici am ajuns la o contradicţie deoarece 3 xx → nu este derivabilă la dreapta în x = 0. Deci presupunerea făcută este falsă, adică nu există nici un izomorfism între cele două inele.

Obs. Ca şi în cazul grupului izomorfe şi pentru inele izomorfe, o proprietate adevărată pe o structură algebrică se conservă şi pe structura algebrică izomorfă. Aici se ştie că există funcţii continue pe o mulţime fără a fi derivabilă pe acea mulţime (aici într-un punct, x = 0).

6. Pe mulţimea A = R x R se definesc legile de compoziţie

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),y'x'xy,'xx'y,'xyx, ,'yy,'xx'y,'xy,x +=⋅++=+ împreună cu care formează un inel comutativ.

8

Arătaţi că acest inel este izomorf cu inelul matricilor ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Ry x,|

x0yx

'A (împreună

cu operaţiile de adunare şi înmulţire uzuale). R. Se verifică uşor că tripletele (A,+,⋅), (A’,+,⋅)sunt inele.

Verificăm să aplicaţia ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→

x0yx

yx,f ,'AA:f este izomorfism.

Trebuie să arătăm că: 1) f este morfism de inele, 2) f este bijectivă. Pentru 1) se verifică egalităţile a) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Az,z ,zfzfzzf 212121 ∈∀+=+ b) ( ) ( ) ( ) ( ) .Az,z ,zfzfzzf 212121 ∈∀⋅=⋅ Avem pentru a) (luăm ( ) ( )222111 y,xz,y,xz == ):

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ).zfzfx0yx

x0yx

xx0yyxx

yy,xxfy,xy,xfzzf

212

22

1

11

21

21212121221121

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=++=+=+

Analog pentru b) obţinem:

( ) ( )( )

( ) ( ).zfzfx0yx

x0yx

xx0yxyxxx

yxy,x,x,xfzzf

212

22

1

11

21

12212112212121

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=+=

Faptul că f este bijectivă se verifică imediat.

7. Fie M o mulţime nevidă. Arătaţi că inelele ( )( ) ( )( )⋅+∩Δ ,,ZM,F ,, ,MP 2 sunt izomorfe ( )5,6 exercitiul vezi - multimi de simetrica diferenta este Δ de la inele, F(M,Z2) = {f : M→Z2 }).

R. Aplicaţia care defineşte izomorfismul este F : P(M) → F (M, Z2), F (P) = Ψp, ( ) ( )MPP∈∀ , unde Ψp (se citeşte: psi indice P) este funcţia caracterisitică a mulţimii P

definită prin ( )⎩⎨⎧

−∈∈

=ψ→ψ.PMx,0

Px,1x ,ZM: p2p

Aplicaţia F este izomorfism de inele dacă: 1) F este morfism de inele, 2) F este bijectivă. Verificăm 1). Aplicaţia F este morfism de inele dacă: a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),MPB,A ,BFAFBAF ∈∀+=Δ b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),MPB,A ,BFAFBAF ∈∀=∩ Pentru a proba a) să observăm că ( ) ( ) ( )BFAFBAF BABA +=ψ+ψ=ψ=Δ Δ . Într-adevăr

9

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )BABABAA2ABA

BABABABA

2B

2A

2BAB

2ABABABA

BABABAABBBAA

ABBAABBA

ABBAABBAABBABA

, folosit Am

21

1111

ψ⋅ψ−ψ+ψ=ψψ=ψψ+ψ=

=ψψ+ψψ−ψψ−ψ+ψ==ψψ+ψψ−ψψ−ψψ+ψψ−ψ+ψ=

=ψψ+ψ−ψ−ψψ+ψψ−ψ+ψψ−ψ==ψ−ψ⋅ψ−ψ+ψ−ψ+ψ−ψ=

=ψ⋅ψ+ψ+ψ=ψ=ψ

∪

−−−−−∪−Δ

Pentru b) avem: ( ) ( ) ( ).BFAFBAF BABA =ψ⋅ψ=ψ=∩ ∩ Verificăm 2). Aplicaţia F este bijectivă dacă: a’) F este injectivă, b’) F este surjectivă. Pentru a demonstra a’) presupunem că ( ) ( ) ( ) ( ).MPB,A ,BFAF ∈∀= Să arătăm că A = B. Din ( ) ( ) BABFAF BA =⇒ψ=ψ⇒= (prin dubla incluziune).

Pentru a demonstra b’) să luăm ( ),Z,MFf 2∈ arbitrar. Atunci ( )⎩⎨⎧

∈∈

=A.-M x0,

A x,1xf

Ori această funcţie este chiar ΨA, pentru care A∈P(M) şi evident F(A) = f, ceea ce arată că F este surjectivă. Prin urmare F este izomorfism de inele.

8. Fie d,e ∈Z, întregi liberi de pătrate, d ≠ e, Să se arate că inelele [ ]( ) [ ]( )⋅+⋅+ ,,eZ ,,,dZ nu sunt izomorfe.

R. Vom proceda prin reducere la absurd. Presupunem că ar exista [ ] [ ]eZ2Z:f → un izomorfism de inele (sunt chiar domenii de integritate). Deci f(0) = 0, f(1) = 1. Se arată (vezi construcţia endomorfismelor grupului ( ) ( ) ( ) .Zn ,nnf ca ),Z ∈∀=+ Rămâne să extindem construcţia lui f şi în puncte de forma 0.b cu ,dbax ≠+= Avem: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),dbfadfbfafdbafxf +=+=+= ceea ce arată că f este perfect determinat

dacă ştim cine este ( )df . Notăm ( ) [ ].eZenmdf ∈+= Atunci ( ) ( )=== ddfdfd

( ) ( ) ( ) .emn2enmenmdfdf 222++=+==

De aici d = m2+n2e şi 2mn = 0. Dacă m = 0, arunci din d = m2+n2e rezultă d = en2 şi cum d este liber de pătrate rezultă n = 1, adică d = e, fals. Dacă n = 0, atunci d = m2 şi cum d este liber de pătrate rezultă m = ±1, când d = 1, fals.

Obs. Se arată că inelul [ ]( ) Z,d ,,,dZ ∈⋅+ d întreg liber de pătrate este izomorf cu inelul de

matrici .Zba, | adbba

A d⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Deci dacă d ≠ e, d,e ∈ Z, întregi liberi de pătrate, atunci inelele de matrici, Ad, Ae nu sunt izomorfe.

9. Să se determine endomorfimele inelului (Z, +, ⋅). R. Fie f : Z → Z un endomorfism al inelului Z. În particular f este endomorfism al grupului aditiv (Z, + ). Am văzut morfime de grupuri (problema 2) rezolvată) că forma lui f ∈ End(Z) este f(n) = na, unde f(1) = a ∈Z. Vom preciza pe a ∈ Z din condiţia ( ) ( ) ( ) ( ) .Zy,x ,yfxfyxf ∈∀=⋅ Avem a = f(1) = f(1⋅ 1) = f(1)f(1) = (f(1))2 = a2. Din a = a2

10

rezultă a1 = 0, a2 = 1, când avem f1(x) = 0 (morfism nul şi f2(x) = x (morfismul identic – care este chiar automorfism al lui Z).

10. Pe R definim legile ( ) ,3yx21

4xy xTy,2yxyx ++−=−+=⊥ împreună cu care

tripelrul (R, ⊥, T ) este corp comutativ. Arătaţi că (R, +, ⋅) ≅ (R, ⊥, T ). R. Se verifică uşor că (R, ⊥, T ) este corp comutativ. Deoarece legea ⊥ conţine pe x, y la puterea întâi, vom căuta forma izomorfismului

( ) ( ) ( ) β+=∝⊥→⋅+ xxf ,T,,R,,R:f . Coeficienţii β∝, se determină din cerinţele: ( ) ( ) T11f ,00f == ⊥ , unde ⊥0 este elementul neutru în raport cu legea ⊥, iar T1 este elementul unitate în raport cu legea T . Se găseşte uşor că 0⊥ = 2 şi T1 = 6. Deci ( ) ( ) 4. da 61f iar ,220f ∝===β⇒= Prin urmare f(x) = 4x + 2. Evident f: R →R, f(x) = 4x + 2 este bijectivă. Rămâne să probăm că f este morfism de corpuri, adică a) ( ) ( ) ( ) ( ) ,Ry,x ,yfxfyxf ∈∀⊥=+ b) ( ) ( ) ( ) ( ) .Ry,x ,yTfxfxyf ∈∀= Avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .2yx422y42x42yfxfyfxf si 2yx4yxf ++=−+++=−+=⊥++=+

Adică a) se verifică. Pentru b) avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )−

++=++−=+=

42y42x43yfxf

21

4yfxfyTfxf si 2xy4xyf

( ) ( )( ) ( ) ,2xy431yx21y21x232y42x421

+=+++−++=++++− ceea ce arată că b)

are loc. Deci cele două structuri algebrice sunt izomorfe.

11*. Să se determine automorfismele corpului [ ]( ) ,Z d unde ,,,dQ ∈⋅+ d întreg liber de pătrate.

R. Fie [ ] [ ]dQdQ:f → un astfel de izomorfism. Atunci f(0) = 0, f(1) =1. Evident că ( ) ( )⋅+→⋅+ ,,Z,,Z:f este morfism de inele, adică endomorfism al lui Z. Deci f(n) = n,

(∀) n∈Z. Vom extinde construcţia lui f la Q+, Q- şi apoi la extinderea [ ]dQ . Mai întâi să observăm că din ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]dQy,x ,yfxfyxf ∈∀+=+ rezultă 0 = f(0) = =f(x+(-x))= f(x) + f(-x), adică ( ) ( ) ( ) [ ],dQx ,xfxf ∈∀−=− ceea ce arată că f este impară. Construcţia lui f pe Q+. Avem:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++==

n1nf

n1f...

n1f

n1 ...

n1

n1f1f1

ori nori n

Deci .n1

n1f =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Acum avem uşor:

11

( ) .0n,Nn,m ,nm

n1m

n1mf

n1...

n1f

nmf

ori m

≠∈∀==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Construcţia lui f pe Q-. Fie .Qnm

+∈ Atunci (f este impară) nm

mmf

nmf −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− .

Aşadar am arătat că ( ) ( ) .Qx ,xxf ∈∀= Construcţia lui f pe [ ].dQ Pentru [ ]dQdbax ∈+= trebuie să precizăm cine este ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).dbfadfbfafdbfafdbafxf +=+=+=+=

Deci f(x) este bine determinat dacă ştim cine este ( ) [ ].dQddf ∈β+=∝

Avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ddfdfddfdfd2

β+∝====

Din această egalitate rezultă sistemul ⎩⎨⎧

=β∝=β+

.0dda 22

Dacă β = 0 (în a doua ecuaţie), atunci din prima d = ∝2, fals; dacă ∝ = 0, atunci β2= 1, adică β = ±1. Deci pentru ( )df avem două posibilităţi, ( ) ddf = , când ( ) dbadbaf +=+ (automorfismul identic) şi ( ) ddf −= , când ( ) dbadbaf −=+ (automorfismul conjugat).

12. Fie A = {0, 1,a,b} un inel cu patru elemente. Arătaţi că:

1) Funcţia ( ) ( ) Ax ,x1xf ,AA:f ∈∀+=→ este bijectivă, 2) ( ) 0.1111 si ba1xf

Ax=+++++=∑

∈

3) Dacă A este corp, artunci 1+1 = 0. 4) A este corp ⇔ există x ∈ A astfel încât 1 + x = x2. R. 1) Se ştie că pentru A finită şi f : A →A, afirmaţiile: 10) f injectivă; 20) f surjectivă; 30) f bijectivă sunt echivalente. Deci este de ajuns să probăm că f este, de exemplu, injectivă. Într-adevăr din ( ) ( ) Ax x,xfxf 2121 ∈= rezultă

,x1x1 21 +=+ iar de aici 21 xx = . 2) Dacă f este bijectivă, atunci elemente ( ) ( ) ( ) ( ) Abf ,af ,1f ,0f ∈ şi sunt distincte, adică sunt 0, 1, a, b, eventual în altă ordine. Deci:

( ) ba1ba10xfAx

++=+++=∑∈

.

Ţinând seama de f(x) = 1+x, relaţia de mai sus se scrie (1+0)+(1+1)+(1+a)+ (1+b) = 1+a+b, în care simplificând prin 1+a+b se obţine 1+1+1+1=0. 3) Presupunem, prin absurd, că 1+1 ≠ 0. atunci (1+1)(1+1) ≠ 0, deoarece un corp este fără divizori ai lui zero. Dar (1+1)(1+1)=1+1+1+1=0 (conforma cu 2)), absurd. 4) Presupunem că A este corp. Conforma cu 3) rezultă 1+1 = 0. Tablele legilor sunt: + 0 1 a b ⋅ 0 1 a b 0 0 1 a b 0 0 0 0 0 1 1 0 b a 1 0 1 a b a a b 0 1 a 0 a b 1 b b a 1 0 b 0 b 1 a

12

Se observă că 1+a=a2, 1+b=b2. Reciproc, dacă există x ∈ A pentru care 1+x=x2, atunci A este corp. A demonstra că A este corp revine la a arăta că elementele a,b sunt inversabile. Să presupunem că 1+a=a2. În aceste condiţii să arătăm că ab=ba=1. Presupunem prin absurd, că ab=0. De aici a2b = 0 sau (1+a)b =0 sau b + ab = 0, adică b = 0, fals. Analog se arată că ab ≠ a, ab ≠ b. Rămâne ab = 1. Analog ba=1.

13*. Să se determine endomorfismele corpului (R, +, ⋅). R. Din f(0) = 0, f (1) =1 şi faptul că f : R → R este endomorfism de corp (este şi de inel al lui Q) rezultă f(x) = x, (∀) x ∈ Q (vezi problema 9 rezolvată mai sus). Arătăm că f este strict crescătoare, observând mai întâi că dacă x ∈ R, x>0, există y∈R astfel încât y2 = x şi de aici f(x) = f(y2) =f(y)f(y) = (f(y)2 >0, ceea ce arată că dacă x >0, atunci f(x) > 0. Acum fie x1 < x2, adică x2-x1 >0. Conform observaţiei de mai sus 0< f(x2-x1)= f(x2) – f(x1) sau f(x2) – f(x1) sau f(x2) > f(x1), adică f este strict crescătoare pe R. Arătăm acum că f = 1R (aplicaţia identică a lui R). Presupunem, prin absurd, că f ≠ 1R, adică există x0 ∈ R astfel încât f(x0) ≠ x0. Dacă f(x0) < x0, atunci există a ∈ Q astfel încât f(x0) < a < x0 (Q este densă în R). De aici a = f(a) < f(x0), flas. Analog se tratează cazul f(x0) > x0. Prin urmare singurul endomorfism al corpului (R, + , ⋅) este cel identic, f(x) = x, (∀) x ∈ R.

14*. Să se determine automorfismele corpului numerelor complexe (C, +, ⋅) care invariază numerele reale (f(x) = x, (∀) x ∈ R).

R. Fie f: C → C un astfel de automorfim pentru care f(x) = x, x ∈ R. Aplicaţia f este bine determinată dacă ătim cum definim f(i). Într-adevăr fie z = x +iy, x,z ∈ R. Atunci f(x) = f(x+iy) = f(x) + f(iy) = f(x) + f(i)f(y) = =x + f(i)y Pentru aceasta să observăm că -1 = f(-1) = f(i2) = f(i⋅i) = f(i)f(i) = (f(i))2. De aici f(i) = ± i. Aşadar avem doar două astfel de automorfisme f(x + iy) = x + iy (cel identic) şi f(x + iy) = x – iy (cel conjuga).

15. Fie (A, +, ⋅) un inel cu element unitate 1 ≠ 0 cu proprietatea x2 = 1 pentru orice x ∈ A - {0}. Să se arate că (A, +, ⋅) este corp izomorf cu Z2 sau Z3. R. Relaţia x2 = 1 arată x ≠ 0 este inversabil şi x-1 = x. Deci (A, +, ⋅) este corp. Pe de altă parte să observăm că (x+1)(x-1) = x2 – x + x – 1 = x2 – 1 = 0. Cum A este corp (nu are divizori ai lui zero) rezultă x + 1 = 0 sau x – 1 = 0, adică x ∈ {-1, 1}, (∀)x ≠ 0. Prin urmare A = {0, 1, -1}. Avem două posibilităţi: 1) 1 = -1, adică A = {0, 1} şi atunci aplicaţia 11 ,00 →→ este izomorfismul de la A la Z2. 2) 1 ≠ -1, adică A = {0, 1, -1} şi aplicaţia 21- ,11 ,00 →→→ este izomorfismul de la A la Z3.

13

Probleme propuse

1.Fie ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Zba, |

abba

A cu operaţiile uzuale de adunarea şi înmulţire.

Aplicaţia baabba

f ,ZA:f −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→ este un morfism de inele.

Determinaţi nucleul morfismului.

2. Se consideră C([-1, 1]) inelul funcţiilor continue pe [-1, 1] cu valori reale determinat de operaţiile de adunare şi înmulţire a funcţiilor.

Să se arate că aplicaţia [ ]( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=→−

21ffF ,R1,1C:F este morfism.

Determinaţi nucleul morfismului.

3. Fie A = R × R. Definim pe A două aplicaţii ( ) ( ) ( ),bbaab,ab,a 21212211 ++=∗ ( ) ( ) ( ),babb,aab,ab,a 1221212211 += împreună cu care devine inel. Arătaţi că aplicaţia f : A → R, f ((a,b)) = a este morfism surjectiv de inele, dar nu este injectiv.

4. Pe mulţimea A = Z × Z se definesc aplicaţiile: (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d), (a,b) ⋅ (c,d) = (ac – bd, ad + bc),

împreună cu care devine inele. Arătaţi că A≅ Z [i]

5. Pe mulţimea Z definim aplicaţiile: x ∗ y = x + y – 2, x ο y = xy -2(x + y) +6, împreună cu care devine domeniu de integritate.

Arătaţi că (Z, ∗, ο) ≅ (Z, +, ⋅), unde izomorfimul este dat de f: Z → Z, f(x) = ∝ + β.

6. Pe Z se definesc perechile de aplicaţii:

⎩⎨⎧

++=⊗++=⊕

.yxxyyx,1yxyx

⎩⎨⎧

+−−=−+=∗

.2yxxyyx1yxyx

Arătaţi că inelele (Z, ⊕, ⊗), (Z, ∗, ο), sunt izomorfe, printr-un izomorfism de forma f: Z → Z, f(x) = ∝ + β.

7. Arătaţi că inelele A şi A’ cu operaţiile de adunare şi înmulţire uzuale sunt izomorfe, în cazurile:

1) A { },Zy x,| 7yx ∈+= A ' ;Zy x,| xy7yx

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2) A { },Zy x,| 5yx ∈+= A ' ;Zy x,| xy

y5x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

14

3) A { },Zy x,| 2yx ∈+= A ' ;Zy x,| y2xy2

y2y2x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+=

4) A { },Z2y x,| 3yx ∈+= A ' ;Z2y x,| xyy3x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5) A { },Zy x,| iyx ∈+= A ' ;Zy x,| xyyx

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

6) A { },Z3y x,| iyx ∈+= A ' ;Z3y x,| xyyx

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

7) A { },Z3y x,| i3yx ∈+= A ' ;Zy x,| xy

y3x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

8) A ,paritate aceeasi dey x,Z,y x,| 2

i3yx

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈+

=

A ' ;paritate aceeasi dey x,Z,y x,|

2x

2y

2y3

2x

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=

9) A { },Qy x,| i3yx ∈+= A ' ;Qy x,| xy

y3x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

10) A { },patrate de liber d Z,d Z,y x,| dyx ∈∈+= A ' .Zy x,| xdyyx

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

8. Pe mulţimea A = Z × Z se definesc operaţiile „+“ şi „⋅“, împreună cu care formează inele în cazurile:

1) ( ) ( ) ( )21212211 bbaab,ab,a ++=+ ( ) ( ) ( );bb,aab,ab,a 21212211 =⋅ 2) ( ) ( ) ( )21212211 bbaab,ab,a ++=+ ( ) ( ) ( );baba,bbaab,ab,a 122121212211 ++=⋅ 3) ( ) ( ) ( )21212211 bbaab,ab,a ++=+ ( ) ( ) ( ).baba,aab,ab,a 1221212211 +=⋅ Arătaţi izomorfismele de inele:

a) ( ) ;,,Zba, | b00a

'A)1 la deA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≅

b) ( ) ;,,Zba, | abba

'A)2 la deA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≅

c) ( ) .,,Zba, | a0ba

'A)3 la deA ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≅

15

9. a) Arătaţi că inelul H al cuaternionilor este izomorf cu inelul de matrici

H⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= Czu, | zuuz

(cu adunarea şi înmulţirea obişnuită a matricilor).

b) Să se arate că mulţimea C cu operaţiile ( ) ( ),zImzImzzzz,zzTzz 2121212121 +=⊥+= este inel unitar izomorf cu inelul

matricilor M⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= Ry x,|

x0yx

cu adunarea şi înmulţirea uzuală a matricilor prin

izomorfismul ( ) .x0yx

iyxf ,MC:f ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+→

10*. Arătaţi că inelul H al matricilor de forma R,dc,b,a,,

bacdbadc

cdabdcba

∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−− este

izomorf cu inelul H al cuaternionilor. 11*. Fie A un inel comutativ M mulţimea de matruici cu elemente din A

M ( ) .Adc,b,a, |

d0c00d0cb0a00b0a

d,c,b,aM

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

arătaţi că M este un inel (în raport cu operaţiile de adunare şi înmuţire a matricilor) izomorf cu inelul M2(A).

12*. Să se determine morfismele de inele de la (Z, +, ⋅) la (Zn, +, ⋅).

Determinaţi aceste morfisme pentru n = 6. 13*. Să se determine morfismele de inele de la (Zn, +, ⋅) la (Z, +, ⋅). 14*. Să se determine endomorfimele inelului (Zn, +, ⋅).

Determinaţi aceste endomorfisme pentru n = 6. 15*. Să se determine morfimele de inele de la (Zn, +, ⋅) la (Zm, +, ⋅).

Determinaţi aceste morfisme pentru n = 4, m = 6. 16. Pe A = (0,∞) se defines aplicaţiile .xyx,xyyx yln=⊗=⊕

Arătaţi că tripletul (A, ⊕, ⊗) este corp comutativ izomorf cu corpul numerelor reale R, printr-un izomorfism dat ( ) ( ) .exf,,0R:f xβ=∝∞→

17. Să se arate că aplicaţiile xy y x,yxyx 3 33 =+=∗ , determină pe R o structură de corp comutativ, izomorf cu corpul numerelor reale, printr-un izomorfism

( ) ( ) 3 xf(x) ,,,R,,R:f β+α=∗→⋅+ . 18. Definim pe R aplicaţiile: ( ) 10yx4-2xyy x,2yxxTy ++=∗−+= .

Arătaţi că tripletul ( )∗,T,R este un corp izomorf cu ( )⋅+,,R .

16

19. Să se demonstreze că aplicaţiile ( ) 56yx7-xyy x,7yxyx ++=⊗−+=⊕ , determină pe Q o structură de corp comutativ, izomorf cu corpul numerelor raţionale ( )⋅+,,Q .

20. Arătaţi că pe mulţimea ( )∞,0 aplicaţiile: 3 ylnxy x,xyyx ==∗ determinnă o structură

de corp comutativ, izomorf cu corpul numerelor reale ( )⋅+,,R printr-un izomorfism de forma ( ) nef(x) ,,0R:f mx +=∞→ .

21. Pe R se definesc legile de compoziţie: ( ) 3y-x-xy2y x,1yxxTy +=∗−+= . Arătaţi că ( )∗,T,R este corp izomorf cu ( )⋅+,,R printr-un izomorfism ( ) ( )⋅∗→∗+ ,,R,,R:f ,

nmxf(x) += . 22. Arătaţi izomorfismele de corpuri K şi K’ cu operaţiile de adunare şi înmulţire uzuale, în cazurile:

1) K [ ],3Q= K’ Q}ba, | a3bba

{ ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ;

2) K ,C= K’ R}y x,| xy-yx

{ ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ;

3) K [ ],5Q= K’ Q}ba, | ab

5ba{ ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ;

4) K ,Q= K’ ( ) ( ),,K' Q},a , Q x0, Q xax,

xf | RR:{f aa +∈⎩⎨⎧

∉∈

=→= ;

5) K ,C= K’ R}ba, | bab-

ba{ ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= ;

6) K ,R= K’ R} x|

00000xx00xx00000

{Ax ∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

== .

23. Fie R} x|

00000xx00xx00000

A| (R)M{AK x4x ∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∈= .

a) Să se arate că tripletul (K,+,⋅) este corp comutativ; b) Funcţia ( ) ( ) 2x)f(A ,,,R,.K:f x =⋅+→⋅+ este izomorfism de corpuri; c) Să se calculeze *Nn ,An

x ∈ .

Indicaţii şi răspunsuri

1. Za ,aaaa

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛. 2. [ ]( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∈= 0

21f | 1,1-CfF Ker . 3. ( ) ( ) ( ) ,Aba, ,Ra ∈∃∈∀

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,afa,0f dar ,1,a0a,0 ;aba,f =≠= ; 4. [ ] ( ) ( )b,abiaf ,AiZ:f =+→ ; 5. Condiţiile pentru determinarea lui ∝ şi β sunt f(2)=0 şi f(3)=1 (această ultimă condiţie are loc deoarece cele două inele sunt domenii d integritate!). De aici ∝=1, β= -2 şi f(x)=x-2;

17

6. Inelele sunt domenii de integritate. Din f(-1)=1, f(0)=2 rezultă ∝=1, β= 2 şi f(x)=x+2;

7. 'AA:f → ; 1) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

xy7yx

7yxf ; 2) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=+

xyy5x

5yxf ; Construcţii

analoge pentru morfismele de la 3)-10). 8. a) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

b00a

b,af ; b) ( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

abba

b,af ;

9. F:H→H, dicu bi,az ,dkcjbiazuuz

F +=+=+++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

; 10.* Matricea din enunţ

se poate scrie sub forma aU+bI+cJ+dK, unde U=I4,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

=

0001001001001000

K ,

0010000110000100

J ,

01001000

00010010

I .

Se verifică egalitiţăle J-IKKI I,-KJJK K,-JIIJ ,IKJI 4222 ========= , relaţii

analoge celor satisfăcute de cuaternionii i, j şi k. Funcţia f:H→H, f(aU+bI+cJ+dK)=a+bi+ +cj+dk este izomorfismul căutat; 11.* Se defineşte f:M→M2(A) prin

( )( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dcba

d,c,b,aMf ; 12.* Fie f:Z→Zn morfism de inele. Deci f morfism de grupuri

aditive de la (Z,+) la (Zn,+). Notăm nZa)1(f ∈= şi se obţine ∧

= xa)x(f . Pe de altă parte (folosind a doua condiţie din morfism de inele), avem: =⋅=⋅== )1(f)1(f)11(f)1(fa

= 22 a))1(f( = . Deci f:Z→Zn, ∧

= xa)x(f , aa2 = sunt morfisme de inele. Pentru n=6,

{ }4,3,1,0a∈ , deci se obţin patru morfisme: ( ) ( ) ( ) ( )∧∧

==== x4xf ,x3xf ,xxf ,0xf 4310 . 13.* Fie f:Zn→Z morfisme de inele. În particular f este morfism de grupuri aditive. Punem

Za)1(f ∈= . Din na)n(f)0(f0 === rezultă a=0, când f este morfism nul (f≡0); 14. Fie f:Zn→Zn un endomorfism de inele al grupului (Zn,+,⋅). În particular este endomorfism al grupului (Zn,+). Punând a)1(f = şi ţinând cont d condiţia de morfism multiplicative avem:

2a)1(f)1(f)11(f)1(fa =⋅=⋅== .

Deci f:Zn→Zn , a)1(f = şi 2aa ,ka)k(f ==∧

este forma endomorfismelor inelului Zn.

Reciproc nna ZZ:f → , 2a aa ,ka)k(f ==

∧

reprezintă morfism de inele.

În particular pentru n=6 avem { }4,3,1,0a∈ şi deci endomorfismele: ( ) 60 Zk ,0)k(f ∈∀= (morfism nul)

( ) 61 Zk ,k)k(f ∈∀= (morfismul identic)

( ) 63 Zk ,k3)k(f ∈∀=∧

sau 5 4 3 2 1 0

3f 3 0 3 0 3 0

18

( ) 64 Zk ,k4)k(f ∈∀=∧

sau 5 4 3 2 1 0

3f 3 0 3 0 3 0

15.* Fie f:Zn→Zm. Notăm mZa)1(f ∈= (am notat elementele lui Zn cu a , iar elementele

lui Zm cu b ). Atunci ax)x(f = . În plus 2

a)1(f)1(f)11(f)1(fa ==⋅== şi na)n(f)0(f0 === . Deci f:Zn→Zm, este morfism de inele dacă a)1(f = , ax)x(f = ,

aa2= şi 0na = . Reciproca imediată.

În cazul particular, elementele a din Z6 pentru care aa2= sunt 4 ,3 ,1 ,0 . Condiţia

0a4 = este satisfăcută doar de 3 ,0 . Deci avem doar două morfisme de inele de la Z4 la Z6: 3 2 1 0 3 2 1 0

0f 0 0 0 0

0f 3 0 3 0

16. e=1, u=e. Din f(0)=1, f(1)=e ⇒ α=β=1; 17. e=0, u=1. Din f(0)=0, f(1)=1⇒ α=1, β=0 şi deci 3 x)x(f = ; 18. Se caută un izomorfism ( ) ( ) β+α=∗→⋅+ xf(x) ,,T,R,,R:f . Din

f(0)=2, f(1)=25 rezultă α=

21 , β=2; 19. Se caută izomorfism ( ) ( ),,,Q,,Q:f ⊗⊕→⋅+

β+α= xf(x) ; 21. f(1)=0, f ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23 =1 ⇒ f(x)=2x-2; 22. 1) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

ab3ba

3baf ; 2)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+abba

ibaf ; 3) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

abb5a

5baf ; 4) g:K’→Q, g(fa)=a; 5)

b2

3i1abab

baf −

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

; 6) f(Ax)=2x; 23. a) 0xy2yxyxyx AE ,AA A,AAA ===+ + ,

x41x

21xxx A' A',AU ,AA'A ===−= − ; b) ( ) ( ) ( ) ,AfAfy2x2AAf yxyx +=+=+

( ) ( ) ( ) ( )yxxy2yx AfAf2y2x4xyAfAAf =⋅=== ; c) ( ) ( )( ) ( ) ==== ynnn

xnx Afx2AfAf

n1n x2yy2 −=⇒= şi nxy AA = .