Studiul functiilor - Istoriculnotiunii de functieISTORICUL NOIUNII DE FUNC IE n matematic, no iunea de func ie este una dintre no iunile fundamentale. Astfel, func ia stabile te dependen a dintre diferitele cantit i care intervin n natur. ConformWikipedia, ofuncieesteorelaiecareasociazfiecrui element dintr-o mulime(domeniul)unsingurelementdintr-oalt (posibil din aceeai) mulime (codomeniul).Noiunea de funcie este fundamental n aproape toate ramurile matematicii i n toate tiinele exacte.Definiia formalFie A i B dou mulimi. Notm cu G produsul lor cartezian : G = A X B.Fie F o submulime a lui G.F este o funcie dac ndeplinete urmtoarele dou condiii:1. Pentru orice element x din mulimea A, exist un element y n mulimea B astfel nctperechea (x,y) se afl n F. 2. Pentru oricare dou perechi (x1,y1) i (x1,y2) din F avem y1=y2. Nevoile vie ii materiale, au obligat omul s observe fenomele naturii, s cerceteze n ce mod ele ar putea folosi pentru u urin a vie ii sale, prin creerea a noi condi ii mai bune de trai. Mi careaastrelorpeboltacereasc, cre tereaplantelor si animalelor, lumina, aerul, apa, sunetele de tot felul, electricitatea cptat prin mijloace chimice sau cea ob inut prin induc ie, energia nuclear, toate acestea i nc multe altele, au constituit i constituie centre de preocuparei destudiuimpusedecondi iilevie ii materiale, dupgradul dedezvoltareal mijloacelor de produc ie. Pn la Rena tere, func ia matematic a fost neclar, independent. La sfr itul secolului al XV-lea, ncepe o noua er n dezvoltareatiin ei. Introducerea artileriei n arta militari construc ia hr ilori a tabelelor astronomice pentru naviga ie, au constrns pe matematicieni s ia n studiu probleme n care intervin dependen a dintre timpi spa iu, adicfenomenedemi care. Dezvoltareaorologeriei (tehnicafabricrii i reparrii ceasurilori a pendulelor cf DEX) a dat celor care erau pu i n situa ia de a rezolva anumite probleme, n care interveneau no iunea de timp, s foloseasc unit ile mici de timp, care pn naceastepocnuputeaufi folositencercetri.Astfel, msurareaexactatimpului era necesar pentru studiereatiin ifici perfec ionarea proceselor tehnologice din industrie. Intensificareaschimbului, deci acomer ului, adus ladezvoltareanaviga iei, lanoi descoperiri geografice, iarpentruorientareapemri eranecesardezvoltareacartografiei 1 / 5Prof. Claudia MARINStudiul functiilor - Istoriculnotiunii de functie(disciplina care se ocup cu ntocmirea, redactarea i editarea hrilor i a planurilortopografice)i sporirea cuno tintelor de astronomie. Prinintroducereaprafului depu cnEuropa, armateleaunceput sutilizeze, ca mijloc dedistrugere aobiectivelor du mane, artileria, impunndmatematicienilor onou problemi anume: folosirea precis a tunului pentru atingerea obiectivelor vizate. Distan a OA, delatun, laobiectivulvizat(fig.1), depindede unghiul ,format de direc iaevii tunuluii sol. Astfel, OA este func ie de . Cunoa terea acestei func ii, a rezolvat problemaesen ial dinartilerie. Odatcurezolvareaacestei probleme s-auputut realiza economii n folosirea materialului balistic. Fig. 1Pentru a ajunge la cunoa terea func iei OA, oamenii detiin au legat pozi ia ghiulelei de timp.Cltoriile pe mri cereau rezolvarea problemei pozi iei navei. Pentru prima oar s-a folosit sistemul de coordonate. Pozi ia navei se determin prin distan e fa de dourmuri. Exprimarea coordonatelor geografice prin ni te func ii, a permis rezolvarea problemelor de naviga ie pe mri. Astfel, marile distante pe mri auputut fi nfruntate cu u urin . Probleme practice de mecanic, optici geometrie au condus mai trziu pe cercettori la descoperirea calcului diferen iali integral. Prindescoperireacalculului diferen ial i integral s-afcut unsalt calitativ. Dela func iilematematiceelementaresimple, s-aputut trecelanoi func ii matematice, carei-au gsit aplicarea imediat n astronomiei fizici s-a putut adnci studiul func iilor folosite mai nainte.Omul, cutnd un mijloc pentru a ob ine secunda, folose te formula: T= gl, unde T este durata unei oscila ii simple a unui pendul de lungime l, iar g accelera ia gravita ional. n formula anterioar se alege T=1, iar prin rezolvare se ob ine: l= 2g, stabilindu-se cu precizie lungimea unui pendul care bate secunda.Delaaceastmaredescoperire, mijloacele demsuratimpului s-aunmul it i, totodat, fizicai astronomoia, care folosesc aceste msuri. 2 / 5Prof. Claudia MARINStudiul functiilor - Istoriculnotiunii de functieStudiul imaginilor prin lentile a condus la descoperirea altor func ii, ca spre exemplu: p=f ppf, unde am notat cu f distan a focal a unei lentile, iar p si p distan ele pn la lentil aobiectului i aimaginii sale. Prin aceastfunctie ne exprimmmodul de producere a imaginilor prinlentile. Cunoa tereafenomenului sintetizat nfunc iademai sus, apermis omului sfoloseascrezultatelelaconstruc iaaparateloroptice: lupe, microscoape, lunete, binocluri, att de necesare pentru cercetarea naturii viii a spa iului. Aceste cercetri au dus la u urarea vie ii omuluii la scutirea lui de multe suferin e. Princldur, corpurilesedilat. Lungimea tl= 0l(1+ t ), unde 0lestelungimea barei la 0 grade, iar o valoare constant de natura barei.Cunoa tereaacestei func ii a permis omului s nfrunte toate dezastrele pecare le-ar putea provoca diferitele schimbri de temperatur, spre exemplu, cnd barele unui pod n-ar fimbinate.Introducereafunc iilortrigonometriceperiodice adat posibilitateasseadnceasc studiul multor fenomene din fizic, a caror esen este mi carea periodic. A a sunt fenomenele de acustic, optic, electricitate, electro-magnetism etc.nteoriacuren iloralternativi, deexemplu, for aelectromotoare, ce iana terentr-o spiral, care se rote te ntr-un cmp magnetic uniform, se exprim prin func ia: E= TtE 2sin0,unde 0Eestefor aelectromotoare maxim,t timpulexprimatn secundeiT perioadaunei oscila ii. Vitezancdereaunui corp, carentmpinrezisten aaerului, seexprimprintr-o func ieexponen ial . Formulacarepermitecalculul acestei vitezeestedatderela ia: v=k 221kgxe, ncarexestespa iulprcursn cdere, gaccelera ia gravita ionalnloculde experimentare, vvitezalacaptul drumului parcursx, iarkoconstant, caresedetermin experimentali depinde de felul corpului care cade. Altitudinea z a unui loc unde barometrul indic citirea x, se calculeaz printr-o func ie logaritmic. Astfel, func ia: z- 1z=18400 lgxc1metri, ne permite calcularea lui z, cnd cunoa tem indica ia barometric x n mm, la altitudinea zi indica ia barometric c 1 n mm, la altitudinea z1.Rezolvarea problemelor de transport funicular, rezisten a firelor de telegraf, construc ia podurilor suspendate, a impus spre cercetarefunc iile hiperbolice . Firele de telegraf, 3 / 5Prof. Claudia MARINStudiul functiilor - Istoriculnotiunii de functiefunicularul au forma curbei numit lan i or, a crei ecua ie este: y=a ch ax , reprezentat grafic n figura 2, de mai jos: Fig. 2Ch x este func ia cosinus hiperbolic care se calculeaz dup egalitatea: ch x= 2x xe e+.Durata T a unei oscila ii complete a unui pendul de lungime l, care face cu verticala punctului de suspensie al pendulului unghiuleste dat de seria: T=2gl]]]]

+

,`

.|+

,`

.|+ ...2sin4 . 23 . 12sin2114222 .n fizica modern, functia matematic este un instrument de cunoa tere de cea mai mare importan . n teoria elementelor radioactive, ntlnim o func ie care ne permite s calculm numrul atomilor dezagrega i, ntr-un timp t determinat. Aceast func ie este: N=N o te , n care N este numrul atomilor dezagrega i dup t secunde, Nonumrul atomilor din substan a radioactiv la momentul ini ial,iar o constant de dezagregare caracteristic elementuluiradioactivrespectiv. Putemcalcula dinformula: =02 lnt, unde0testetimpul ncare substan a radioactiv a sczut la jumatatea valorii ei ini iale. Aceastfunc iejoacunrol important ncercetareastructurii scoar ei Pmntului, ceea ce este de mare importan pentru studiul geologiei, atunci cnd descoper noi zcminte care pot fi puse n folosul mbunt irii vie ii omului. Studiul funciilor a avut o larga dezvoltare n secolul al XVIII-lea , fiind organic legat de avntul tehnicii acelei epoci. No iunea de func ie, n aceasta faz , se confund cu expresia ei analitic. Fizica moderni tehnica nou au impus o revizuire a acestei concep ii. Azi, func ia e definit prin legea de dependen ntre eai argumentul ei, n toate cazurile posibilei ea poate fi dat printr-o descriere grafic, tehnic sau verbal. Expresiile analitice, cum sunt de pild:y=x2, y=sin x,y=xe - cosx etc., sunt cazuri particulare de func ii. Pentru ilustrarea varia iei func iilori pentru scopuri practice de calcul rapid, cerut de tehnicieni, matematicienii au introdus reprezentarea grafic a func iilor, familiar elevilor din 4 / 5Prof. Claudia MARINStudiul functiilor - Istoriculnotiunii de functienv mntul mediu. Preocuparea de a reprezenta grafic numai anumite func ii, a fcut ca elevii s conceap curba, numai ca o trstur continu. Matematica modern ne-a pus n fa ,i cu func ii care reprezentate grafic, ne dau puncte care umplu un ptrat, ceea ce uime te pe oricine. Funciile matematice ne permit s facem previziunitiin ifice. Previziuniletiin ifice se bazeaz pe cunoa terea legilor naturii. Pe baza acestor legi exprimate prin func ii, astronomii prezic eclipsele de Soarei de Lun, fizicieniii chimi tii prevd, de pild, ce se va ntampla cu materia, cndiimprimmoanumittemperatur, tehnicienii prevdcondi iilencares-ar putea produce prbu irea unui pod etc. Se pot prevedea cu ajutorul func iilor, nu numai producerea unor fenomene care au mai fost observate, dari a altora care n-au mai fost observate. Astronomul Leverier a descoperit i a calculat mi carea unei planete necunoscute nainte.Fizicianul Maxwell aprevzut existen a i propriet ile undelor electromagnetice a caror existen a a fost dovedita de fizicianul rus A.S.Popov, prin folosirea lor laprimele comunica ii fr fir. Fizicianul rus Lebedev a dovedit experimental, presiunea luminii, a a cumfusese prevzut teoretic.Marele savant rus Mendeleev, datorit legii periodicit ii elementelor, descoperit de el, a prevzut existen a unor elemente chimice, necunoscute pn atunci. Astfel c, prevederea lui Mendeleev s-a confirmat ntocmai. Chiar n timpul vie ii lui au fost descoperite: galiu, scandiu i germaniu. Marele nv ati inventator rusioleovschi a prevzut aplicarea tehnic prin reac ie. Studiul func iilor, pornit delacontemplareavie, adus lastudii abstracte, careau adncit cunoa terea func iilor descoperitei au condus, apoi la descoperirea altor func ii noi. La rndul lor, aceste func iii-au gsit aplicarea n practic. Astfel c, teza lui Lenin asupra procesului cunoa terii este foarte bine verificat: De la contemplarea vie la gndirea abstracti de la ea la practic iat calea dialectic a cunoa terii adevrului, a cunoa terii realit ii obiective. BibliografieNr. Crt.Autor(i) Titlul lucrrii EdituraAnul apariiei1. O. Sacter Articol - Gazeta matematic editie electronicIntuitexNr. 4 / 19502. www.gazetamatematica.ro 3. http://ro.wikipedia.org/wiki/Func%C5%A3ie_(matematic%C4%83) 5 / 5Prof. Claudia MARIN