IRA_Cap2

(R.-E. Precup, UPT, 2013)

2. ELEMENTE DE OPTIMIZARE A SISTEMELOR DE REGLARE AUTOMAT

2.1. Definirea unei probleme de optimizare n sens larg, optimizare nseamn aciunea de stabilire, pe baza unui criteriu prestabilit, a celei

mai bune decizii ntro situaie dat cnd sunt posibile mai multe decizii, precum i aciunea de implementare a deciziei stabilite precum i a rezultatului acesteia. n sens restrns, optimizare nseamn doar aciunea de stabilire a celei mai bune decizii (soluii). Cea mai bun decizie (soluie) este numit decizie optimal (soluie optimal).

Enunul unei probleme de optimizare (PO) n sens restrns trebuie s conin dou elemente: A) Modelul mediului la care se refer situaia dat. B) Criteriul de optimizare.

Rezolvarea unei PO presupune existena unui al treilea element, i anume: C) Metoda de optimizare.

n cele ce urmeaz vor fi fcute referiri la aceste trei elemente. A) Modelul mediului. Modelul mediului caracterizeaz procesul cauzal din cadrul mediului la care se refer PO i reprezint elementul pe baza cruia sunt estimate efectele diferitelor decizii care pot fi luate n considerare. Modelul mediului conine patru categorii de relaii:

1) Ecuaiile procesului, n diferite forme cunoscute, prezentate n capitolele anterioare sub forma modelelor matematice ale proceselor. n cadrul acestora apar trei tipuri de mrimi: a) Variabile n timp: - de intrare (comand), u U Rm, - de stare, x X Rn, - de ieire, y Y Rp. b) Variabila independent timp: t T0f R pentru sisteme cu timp continuu (SC); t T0f = {tk0, tk0+1, , tkf} = {tk | k = k0, , kf Z} R pentru sisteme cu timp discret (SD). Domeniul T0f se numete interval de optimizare sau orizont de timp. n anumite probleme orizontul de timp este finit: T0f = [t0, tf] R, cu t0 i tf finite pentru SC, respectiv k0 i kf finite pentru SD, iar n altele este infinit: T0f = [t0, ) R, cu t0 finit pentru SC, respectiv k0 finit, kf infinit pentru SD.

Momentul t0 (tk0) se numete moment iniial i tf (tkf) se numete moment final. c) Constante n timp (parametri):

- parametri constructivi sau de proiectare, pc Pc Rqc, - parametri de acordare sau funcionali, pa Pa Rqa.

2) Domeniile admise pentru mrimile care apar n ecuaiile procesului. Acestea au fost prezentate anterior (este vorba despre U, X, Y, T0f, Pc, Pa).

3) Condiiile iniiale i finale care se asociaz capetelor (bornelor) t0 (tk0) i tf (tkf) ale orizontului de timp pe care a fost definit PO. Aceste condiii se refer de regul la mrimile de stare:

x(t0) = x0, x(tf) = xf i, mai rar, la mrimile de ieire:

y(t0) = y0, y(tf) = yf, domeniile corespunztoare avnd expresiile:

x0 X0 X, xf Xf X, respectiv: y0 Y0 Y, yf Yf Y

i purtnd denumirile: - X0, Y0 varietate (domeniu) iniial (de lansare), - Xf, Yf varietate (domeniu) final (int).

60 Elemente de optimizare a sistemelor de reglare automat 2 (R.-E. Precup, UPT, 2013)

4) Condiiile suplimentare impuse mrimilor care apar n ecuaiile procesului. Aceste condiii sunt datorate particularitilor situaiei n care se afl mediul considerat. Ele pot fi exprimate printr-un sistem de ecuaii algebrice i / sau difereniale (cu diferene) i / sau inecuaii algebrice i / sau integrale i / sau difereniale (cu diferene), valabil pe ntregul orizont de timp T0f sau numai la anumite momente ale acestuia.

n cazul utilizrii unor ecuaii, condiiile suplimentare sunt numite restricii de tip egalitate (RTE). Pe de alt parte, n cazul utilizrii unor inecuaii, condiiile suplimentare sunt numite restriii de tip inegalitate (RTI).

Se numete proces admisibil sau traiectorie global admisibil orice soluie a sistemelor de ecuaii ale procesului menionate la punctul 1), care aparine integral domeniilor admise i care satisface condiiile iniiale, finale i suplimentare impuse. Se noteaz cu 0f mulimea proceselor admisibile, care are expresia

0f = {{x(t), u(t), , pa} | x X, u U, , pa Pa, t T0f; x0 X0, , yf Yf; g(x, ..., pa) = 0, h(x, ..., pa) 0, t T0f; (2.1.1) g0(x0, ..., y0) = 0, gf(xf, ..., yf) = 0}, n care cu g(x, ..., pa) = 0, g0(x0, ..., y0) = 0 i gf(xf, ..., yf) = 0 au fost exprimate RTE, iar cu h(x,...,pa)0 au fost exprimate RTI. B) Criteriul de optimizare. Criteriul de optimizare este exprimat n general prin funcia obiectiv (numit i funcie criteriu sau funcie cost i abreviat FO) i reflect atitudinea fa de FO, imprimat de problema de optimizare (PO). FO are rol de indicator de calitate global [P2-1] i servete la evaluarea numeric a diferitelor decizii, iar atitudinea fa de FO trebuie s specifice sensul de variaie dorit al FO, minimizare sau maximizare. Funcia obiectiv este de regul o funcional notat cu J:

RJ f 0: , (2.1.2) care asociaz fiecrui proces admisibil fatt 0},),(),({ = pux K un numr real prin care este apreciat calitatea absolut a procesului n raport cu mulimea f0 .

Pentru sistemele cu timp continuu, forma general a FO este

+==

ft

tff

acff

dttttEtt

ttttJ

0

. )),(),((),,,(

),),(),(,,,,(

00

00

uxxx

ppuxxx

(2.1.3)

Termenul , numit component de tip Mayer, evalueaz calitatea capetelor traiectoriei. Termenul integral, numit component de tip Lagrange, evalueaz parcursul traiectoriei pe care evolueaz procesul considerat. n consecin, se vorbete de criteriu de tip Mayer, corespunztor FO

),,,( 00 ffttJ xx= , (2.1.4) care penalizeaz capetelor traiectoriei i de criteriu de tip Lagrange, corespunztor FO

=ft

tdttttEJ

0

)),(),(( ux , (2.1.5)

care penalizeaz parcursul traiectoriei i de criteriu de tip Bolza, corespunztor FO (2.1.3), care penalizeaz traiectoria n ansamblu.

Pentru sistemele cu timp discret, forma general a FO (de tip Bolza) este

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 2.1 Definirea unei probleme de optimizare 61

, ),(),,,(

),,,,,,,(1

00

00

0

=

+=

=fk

kkkkkkfkfkh

ackkkfkfkk

Ett

ttJ

uxxx

ppuxxx

(2.1.6)

aspectele de terminologie de la cazul cu timp continuu fiind variabile i n cazul cu timp discret. O funcie obiectiv discret poate fi obinut dintro FO continu prin discretizare.

n funcie de precizarea sau nu a orizontului de timp, exist probleme de optimizare dinamic (POD), pentru care precizarea orizontului de timp e fundamental i probleme de optimizare staionar (POS), pentru care precizarea orizontului de timp nu e necesar nici pentru modelul mediului i nici pentru FO i n care intereseaz doar regimul staionar al sistemului dinamic. n cazul POS, FO au expresia ),( ux=J . (2.1.7) C) Metoda de optimizare. Metoda de optimizare reprezint ansamblul de mijloace utilizate pentru determinarea deciziei optimale pe baza modelului mediului i a FO.

Considernd o problem de optimizare pentru care singura variabil (singurul element programabil) este reprezentat (reprezentat) de comanda u(t) (pentru SC) sau uk (pentru SD), adic o problem de conducere optimal, se zice comand optimal acea funcie de comand Ut )(u sau

1, , , 00 = ffk kkkTtUu , care extremizeaz FO J n sensul cerut de criteriul de optimizare. Mulimea U reprezint mulimea comenzilor admisibile, adic mulimea funciilor de comand care apar n mulimea f0 a proceselor admisibile. Dac mulimea U este compact, n cazul minimizrii poate fi exprimat rezultatul

UJ = uuuu

),(min arg . (2.1.8)

Altfel spus, comanda optimal este acea funcie de comand admisibil care minimizeaz funcia obiectiv J. n cazul sistemelor discrete, n care comanda optimal este reprezentat de un ir de vectori

},,,{ 1100 + kfkk uuu K aplicat secvenial la intrarea procesului condus, este vorba despre probleme de optimizare n mai muli pai.

n particular, exist probleme de optimizare ntr-un singur pas, care din punct de vedere matematic nu se deosebesc de POS [D2-1]. Acestea sunt cunoscute i sub numele de probleme de programare matematic, liniar, neliniar (ptratic, convex).

Remarc: Pentru PO cu mai multe variabile / elemente programabile (de exemplu, tf, xf i u) elementele programabile optimale sunt definite similar.

Din punct de vedere al implementrii comenzii optimale exist probleme de conducere optimal n circuit deschis i n circuit nchis, situaii n care se vorbete despre funcii de comand optimal (independente de starea / ieirea procesului condus) respectiv de legi de comand optimal,

),( xuu t= sau )( kk xuu = . Observaii: 1. Orice problem de maximizare poate fi transformat ntro problem de minimizare prin

schimbarea semnului FO. 2. ntro PO valoarea FO e mai puin important, conteaz doar ca valoarea sa s fie minim. Definirea unei PO trebuie concretizat sub forma acesteia. Enunul unei PO poate fi exprimat

sub urmtoarea form general:

)(min arg: vvv

BJA == , supus la RTE, RTI, (2.1.9)


n care v reprezint variabilele problemei (elementele programabile, exprimate sub form vectorial), A este nlocuit cu denumirea PO i B este nlocuit cu expresia FO.

n subcapitolele urmtoare vor fi prezentate modaliti de rezolvare a unor clase de probleme de optimizare n contextul sistemelor de reglare automat. Prezentarea este orientat n vederea atingerii scopului de proiectare unor sisteme de reglare automat optimal.

2.2. Probleme de optimizare parametric a regimurilor dinamice ale sistemelor liniare reductibile la probleme de optimizare ntr-un singur pas soluionabile pe baza egalitilor lui Parseval

A) Formule de baz pentru sistemele cu timp continuu. Fie f1 i f2 funcii original, RRfRRf ++ : ,: 21 , care satisfac proprietatea

0)()(lim 21 = tftft . (2.2.1) Fie )}({)( 11 tfLsf = i )}({)( 22 tfLsf = transformatele Laplace ale lui f1 respectiv f2. Atunci poate fi calculat integrala urmtoare:

dttfsfLdttftf )()}]({[)()( 20

11

021

= .

n continuare, prin aplicarea formulei de inversiune de la transformarea Laplace, teoremei lui Fubini i definiiei transformrii Laplace, rezult succesiv:

{ }. )()(

21)()(

21

)()( 2

1)()(

21

)(0

)(21

20

10

21

2

=

=

=

=

j

j

j

jtfL

ts

j

j

st

dssfsfj

dsdtetfsfj

dttfdsesfj

dttftf

44 344 21

Prin urmare, se obine urmtorul rezultat:

=0 2121

)()( 2

1)()(j

jdssfsf

jdttftf . (2.2.2)

n particular, dac f1(t) = f2(t) = f(t) i 0)(lim = tft , atunci din (2.2.2) rezult

=0

2 )()( 2

1)(j

jdssfsf

jdttf . (2.2.3)

Formulele (2.2.2) i (2.2.3) se numesc egalitile lui Parseval. O clas de funcii care verific (2.2.3) n condiii de convergen a integralei este reprezentat de funciile de tip H2 (de exemplu, [D2-2]).

Remarc: Cjs += este variabila operaional. n cazul n care f(s) este funcie raional strict proprie n s cu coeficieni reali,

0, , ,......

)( 001

01

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 2.2 Probleme de optimizare parametric a regimurilor dinamice 63

==

0

22

1)( cn

n ddttfJ , (2.2.5)

n care

13

2

20

31

420

...000

...000..................00...000...000...

=

nn

nn

dddd

dddd

ddd

(2.2.6)

i c reprezint determinantul obinut din prin nlocuirea ultimei linii a lui cu linia [ ]110 ... nCCC , unde coeficienii sunt exprimai n (2.2.7):

. ...

, )1(22)1(...2

..., 22

, 2

,

211

1

22011

2

4031222

20211

200

=++

=

+=++=

+==

=

nn

k

llklk

lkk

kkkkk

cC

ccccccccC

cccccCcccC

cC

(2.2.7)

Observaii:

1. n relaia (2.2.7) 2,1 = nk , iar pentru C0 i Cn-1 sunt utilizate formule speciale. 2. i c sunt determinani de ordinul n. 3. De cele mai multe ori n aplicaii este cunoscut f(s) (imaginea Laplace) i nu f(t) (funcia

original). n aceste situaii, pentru ca s fie asigurat condiia 0)(lim = tft este necesar ca toate rdcinile numitorului lui f(s) s fie situate strict n semiplanul stng al planului complex asociat variabilei s.

Relativ la relaia (2.2.4) sunt de interes cazurile particulare caracterizate prin m=n1, prezentate n cele ce urmeaz.

o Cazul 01

0)(01dsd

csfmn +=== .

Se obine: 1ddn = , 00 dd == . Aplicnd (2.2.7) rezult 2020200 cccC c === . n final se efectueaz nlocuirile n (2.2.5), obinndu-se

10

20

1 2 ddc

J = .

o Cazul 01

22

01)(12dsdsd

cscsfmn ++

+=== .

n acest caz se obine: 2ddn = , 101

20

0dd

ddd == . Aplicnd din nou relaia (2.2.7), rezult


200 cC = , 2200212

120

20211 dcdccc

ddcC c +=

== . Apoi, se efectueaz nlocuirile n (2.2.5), cu rezultatul

210

2200

21

2 2 ddddcdc

J+= .

o Cazul 01

22

33

012

2)(23dsdsdsd

cscscsfmn +++

++=== .

Se particularizeaz: 3ddn = , )(00

0

30210

20

31

20

ddddddddd

dd=

= . Se aplic (2.2.7) 200 cC = ,

20211 2 cccC = , 222 cC = , 32203020211022

2220

21

20

31

20

)2(2

00

ddcddcccddccccccdd

dd

c ++=

= .

Aplicnd din nou relaia (2.2.5), se obine

)(2)2(

302130

32203020

2110

22

3 ddddddddcddcccddc

J ++= .

B) Cazuri derivate din formulele de baz. Pornind de la formulele (2.2.1) (2.2.7), n continuare vor fi abordate trei cazuri utilizate n practic.

B.1) Cazul 0)(lim = ftft = finit. Atunci, n locul integralei

0

2 )( dttf prezint interes ca

funcie obiectiv integrala

0

2))(( dtftf . Funcia definit sub forma = ftftf )()(~ satisface

condiia 0)(~

lim = tft i este funcie original, prin urmare verific egalitatea lui Parseval (2.2.3):

=0

2 )(~

)(~

21)(

~ j

jdssfsf

jdttf .

Dac expresia lui f(s) este sdsdsd

cscscsf n

n

mm 1

......

)(01

'0

'1

'+++

+++= , atunci din teorema valorii finale de la transformarea Laplace se obine 0'0 / dcf = . ns de regul expresia sfsfsf /)()(~ = poate avea forme relativ complicate datorit coeficienilor lui f(s) care, la rndul lor sunt funcie de anumii parametri, de regul parametrii de acordare ai unui sistem de reglare automat (SRA). De aceea, se recomand ca n locul formei (2.2.5), n care intr coeficienii lui )(

~ sf , s fie utilizat direct formula

)2...(2

1 '1

'01

'11

'10

'02

0+++= ccCCCdJ nnn ,

n care intr coeficienii lui f(s). este determinantul anterior; coeficienii 1,0 ,' = nkCk , au expresiile coeficienilor Ck din formulele de baz nlocuind pe ck cu

'kc ; determinanii k se obin din

prin nlocuirea coloanei (k+1) cu coloana [ ]Tdd 0...001 .


B.2) La optimizarea sistemelor dinamice, n particular a SRA, n cadrul FO apar att

termeni integrali de forma

0

2 )( dttf i

0

2))(( dtftf deja discutai ct i termeni integrali de

forma

0

2)( k ,)]([ Ndttf k .

Se poate demonstra fr dificultate urmtorul rezultat: dac )(lim tft = finit

0)(lim )( = tfk

t. Prin urmare, pe baza egalitii lui Parseval (2.2.3) se obine

== 0

)()(2)()( )()( 2

1)]([j

j

kkkkn dssfsfj

dttfJ ,

unde transformata Laplace )()( sf k rezult din teorema derivrii originalului i are expresia )0()0(...)0()0()()}({)( )1()2('21)()( ++++ == kkkkkkk fsffsfssfstfLsf .

Dac )()( sf k este forma raional strict proprie (2.2.4), atunci = c

n

kn d

J2

1)( , cu i c avnd expresiile cunoscute (2.2.6) respectiv (2.2.7).

B.3) La optimizarea SRA intereseaz FO de forma

=0

2 )( dttftJ k , cu proprietatea:

= Nktft

kt

,0)(lim 2 .

n acest caz, din teorema derivrii imaginii de la transformarea Laplace este cunoscut faptul c:

NpsFds

sfdtftL ppp

pp == ),()()1()}({ . Pentru exprimarea funciei obiectiv se descompune k sub forma: Nnqnqk += , , , se aplic egalitatea lui Parseval (2.2.2) i rezult:

==j

jnq

nqk dssFsFj

dttfttftdttft )()( 2

1)]([)]([)(0 0

2 ,

cu notaia pentru )(sFq i )(sFn definit anterior.

n cazul particular k = par, constantele q i n pot fi considerate egale, 2/knq == i se obine:

== 0

22 )()( 2

1)(j

jqq

q dssFsFj

dttftJ ,

situaie n care dac )(sFq este raional avnd o expresie de tip (2.2.4) pentru J, poate fi aplicat formula deja cunoscut (2.2.5). C) Probleme de optimizare parametric a sistemelor cu timp continuu bazate pe utilizarea egalitilor lui Parseval. n cele ce urmeaz va fi analizat cazul a dou tipuri de FO folosite n optimizarea parametric a sistemelor dinamice cu timp continuu.

C.1) Cazul FO avnd expresia

+++=0

2)(22'21

2 })]([...)]([)({ dttftftfJ kkk , (2.2.8)

n care f(t) este o funcie caracteristic a sistemului considerat, corespunztoare unui regim dinamic bine precizat. De exemplu, pentru sistemele de reglare automat convenional (SRA-c, fig.2.1), de cele mai multe ori f(t) = e(t) eroarea de reglare, f(t) = u(t) comanda sau f(t) = y(t) ieirea reglat.


Fig.2.1. Schema bloc simplificat a unui SRA-c.

Celelalte elemente din fig.2.1 au semnificaia cunoscut: w intrarea de referin, u comanda, v intrarea de perturbaie, RG regulatorul, PC procesul condus. Cazurile cele mai frecvent utilizate n practic sunt surprinse n relaiile

+==0

221

2

0

2 )]()([ ,)( dtteteJdtteJ & ,

,)]()([0

222 += dttuteJ =0

2 )( dttyJ . (2.2.9)

Dac 0 ,0 ue sau 0y , atunci n locul lui e, u sau y sunt folosite diferenele ))(( ),)(( utuete i respectiv ))(( yty pentru a asigura convergena integralelor.

Ponderile (coeficienii de ponderare) kii ,1 , = , sunt constate cu dimensiunea timp, numite i constante de timp de ponderare, iar este o constant cu dimensiunea aleas astfel nct s fie asigurat omogenitatea integrandului din FO. Prin intermediul acestor parametri sunt ponderai n mod diferit termenii componeni ai FO, acionndu-se astfel asupra aspectului funciei caracteristice n sensul dorit de proiectant.

Remarc: n general, ntruct termenii sunt ptratici, mrirea coeficientului de ponderare a unui termen conduce la reducerea ponderii termenului respectiv n valoarea minim a FO.

ncadrnd funciile obiectiv (2.2.8) i (2.2.9) n clasificarea prezentat n subcapitolul anterior privind diferite probleme de optimizare, poate fi observat c problemele de optimizare bazate pe aceste FO sunt de tip Lagrange, ecuaiile sistemului de optimizat reprezint restricii de tip egalitate, iar parametrii de acordare ap reprezint elementele programabile ale problemei. Pe baza egalitilor lui Parseval aceste probleme pot fi reduse la POS cu FO de tip Mayer, )( aJ p= , fr restricii (probleme fr restricii, PFR)

PFR: aa

qaaa RJ == ppp p ),(min arg . (2.2.10)

Procedeul de rezolvare a PFR, adic de determinare a parametrilor de acordare optimali, se numete procedeul Hall-Phillips-Newton. n continuare va fi prezentat algoritmul de determinare a minimului absolut pentru procedeul Hall-Phillips-Newton, care const n parcurgerea urmtoarelor etape:

1. Se determin transformata Laplace a funciei caracteristice aferente fiecrui termen al FO aducndu-se la forme canonice raionale n s. Trebuie respectat condiia ca rdcinile polinomului de la numitorul funciei raionale n s s fie toate situate n semiplanul complex stng.

2. Folosind relaiile = c

nn d

J2

1 sau )2...(

21 '

1'01

'11

'10

'02

0+++= ccCCCdJ nnn ,

funcie de caz, se stabilete expresia FO )( ap . 3. Se calculeaz gradientul

ap i se rezolv ecuaia 0pp = )( aa (este vorba despre condiiile de optimalitate de ordinul I) avnd ca soluii punctele staionare ap .


4. n punctele staionare se calculeaz hessianul )( aaa ppp i se aleg acele valori = ,1 ,, iiap , care satisfac condiiile de optimalitate de ordinul II (vor fi explicitate ulterior) i care reprezint punctele de minim relativ.

5. Se selecteaz minimul absolut )( ap din cadrul minimelor relative ),( , iap pe baza condiiei = ,1 ,0)()( , iiaa pp .

Observaii: 1. Revenind la notaia din (2.1.9) pentru variabilele problemei (elementele programabile ale

problemei) i observnd corespondena cu relaia (2.2.10), v=pa, n algoritmul prezentat a fost utilizat pentru gradientul lui calculat n punctul v* (este vorba despre derivata unei funcii scalare de variabil vectorial) notaia urmtoare:

T

nvvv *...)(

21 vvv v

=

= . (2.2.11)

Calculul gradientului este necesar n condiiile de optimalitate de ordinul I din pasul 3 al algoritmului prezentat i care apar n general n condiiile necesare pentru ca punctul v* s fie punct de minim relativ, exprimate n general sub forma (2.2.12) i (2.2.13) (de exemplu, [P2-2]):

0vv = )( * , (2.2.12) 0)( * vvv . (2.2.13) Condiia (2.2.12) se numete condiie de optimalitate de ordinul I, iar punctele v* care o verific se numesc puncte staionare. 2. Condiia (2.2.13), denumit condiie de optimalitate de ordinul II, amintit la pasul 4 al algoritmului prezentat, cere ca hessianul funciei obiectiv , calculat n punctul v*, s fie pozitiv semidefinit (n notaia >0). Condiia se refer n general la derivata a doua a unei funcii reale de variabil vectorial ce are forma unei matrice ptratice numit matricea lui Hess (hessian),

*2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

12

21

2

21

2

21

2

*

...

............

...

...

)(

vv

vv v

=

=

nnn

n

n

vvvvv

vvvvv

vvvvv

. (2.2.14)

3. Condiiile suficiente pentru ca punctul v* s fie punct de minim relativ strict sunt

0vv = )( * , (2.2.15) 0)( * > vvv , (2.2.16) alctuite din nou din condiia de optimalitate de ordinul I (2.2.15) i condiia de optimalitate de ordinul II (2.2.16).

4. Pentru a fi verificate condiiile de extrem (2.2.12)-(2.2.13) i (2.2.15)-(2.2.16), funcia trebuie s fie de clas C2 (de dou ori continuu difereniabil) avnd numai extreme netede (puncte de extrem v* pentru care exist o vecintate n care este de clas C2 i 0vv = )( * ).

5. n general, derivata unei funcii vectoriale de variabil vectorial mn RR :f n raport cu vectorul nRx este matricea Jacobian de dimensiune (m, n),


=

=

n

mmm

n

n

Tm

T

T

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

f

f

f

...............

...

...

...

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

,

,2

,1

x

x

x

xf . (2.2.17)

6. Sunt considerate utile n aplicaii urmtoarele relaii de calcul al gradienilor i formule de derivare:

axa x =)( T , (2.2.18) bbx x =)( T , (2.2.19) unde a i b sunt matrice coloan constante de aceeai dimensiune cu x, AxA x = )( , (2.2.20) cu A, dim A = (m, n) matrice constant, nRx , affa xx TT =)( , (2.2.21) cu a matrice coloan constant de aceeai dimensiune cu f(x), mn RR :f .

7. La pasul 4 al algoritmului prezentat trebuie determinate punctele de minim relativ, care satisfac condiiile de optimalitate de ordinul II exprimate sub forma relaiilor (2.2.13) sau (2.2.16). n acest scop, se reamintete criteriul lui Sylvester, care trebuie aplicat matricei Hessian calculate n punctele staionare (de exemplu, [V2-1]):

o matrice A este pozitiv definit, adic A > 0, dac i numai dac det A > 0 i toi minorii principali ai lui A sunt strict pozitivi;

o matrice A este pozitiv semidefinit, adic adic A 0, dac i numai dac det A = 0 i toi minorii principali ai lui A sunt pozitivi.

C.2) Cazul FO de forma

=0

)( dttftJ lk , cu Nlk, , unde f reprezint funcia caracteristic asociat SRA, corespunztoare unui regim dinamic bine precizat. Cazurile particulare de interes sunt urmtoarele:

===0 0 0

222 )( ;)( ,)( dttetJdttteJdttetJ ,

n condiiile 0)(lim = tet , precum i aceleai integrale, dar cu ))(( ete n locul lui e(t) dac 0)(lim = etet finit.

Exemplul 2.1: Se consider sistemul de reglare automat a vitezei unui hidrogenerator (SRA-V) avnd structura prezentat n fig.2.2, n care sunt puse n eviden: w referina de vitez, Cm cuplul de rotaie dezvoltat de turbina hidraulic (TH), v perturbaia echivalent modificrii puterii active, y ieirea reglat (viteza), e = w y eroarea de reglare, u comanda, RG-V regulatorul de vitez, PC procesul condus alctuit din dou subsisteme, SAT subsistemul aduciune-turbin i SGS subsistemul generator sincron-sarcin. n condiiile fluidului incompresibil i ale rigiditii peretelui conductei de aduciune, funcia de transfer (f.d.t.) aferent SAT obine urmtoarea expresie simplificat [M2-1]:

sTK

sTKsH

wqh

wqhySAT

+=

5.01

1)( , (1)

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 2.2 Probleme de optimizare parametric a regimurilor dinamice 69 care corespunde unui sistem cu faz neminim [I2-1].

Fig.2.2. Structura simplificat a unui SRA-V.

Considernd un studiu de caz reprezentat de reglarea turaiei unui hidrogenerator (HG) de tipul celui din centrala hidroelectric Porile de Fier 1 (PdF 1), valoarea constantee de timp Tw, calculat pe baza datelor nominale ale amenajrii conform [N2-1], este Tw = 2.2 sec . (2) Pentru ceilali doi parametri literatura recomand urmtoarele valori uzuale [H2-1], [I2-2]: y [0.3; 1.3] , qhK [0.3; 1.3] , (3) valori dependente de coordonatele punctului de funcionare staionar constant (p.d.f.s.c.) n vecintatea cruia a fost efectuat liniarizarea modelului matematic detaliat al SAT [P2-3] i de caracteristicile TH.

Expresia simplificat a f.d.t. aferente SGS este (de exemplu, [M2-1])

sT

sHm

SGS += 1)( , (4)

n care parametrul , numit coeficient de autoreglare a reelei, depinde de coordonatele p.d.f.s.c. n jurul cruia a fost efectuat liniarizarea i, n acelai timp, reprezint o msur a gradului de cuplare a generatorului sincron (GS) la sistem energetic (SE) / sarcin. poate lua urmtoarele valori dependent de regimul de funcionare al GS (de exemplu, [P2-4]): a) = 0 , pentru GS n gol (presincronizare) ; (5) b) (0; 1] , pentru GS cuplat la SE (sarcin) . (6) Valorile foarte mici ale lui corespund unui GS funcionnd izolat pe o sarcin local; valoarea lui crete pe msur ce crete gradul de cuplare a GS la SE. n relaia (4) Tm este constanta de timp mecanic a prii mobile (rotorului TH-GS); pentru HG luat n considerare n cadrul studiului de caz acceptat Tm are valoarea Tm = 6.8 sec . (7) Reunind modelelele matematice (MM) simplificate (1) i (7), se obine urmtoarea expresie de aproximare pentru f.d.t. aferent procesului condus (PC):

sTsTK

sTKsH

mwqh

wqhyPC ++

=

15.01

1)( . (8)

Procesul condus cu f.d.t. conform relaiei (8) reprezint un sistem cu faz neminim de ordinul al doilea cu doi poli i un zero cu f.d.t. de form general (9), analizat n [P2-3],

))(1(

1)(

332

1

sTsTsT

ksH PCPC ++= , (9)

n care: T1, T2 i T3 sunt constante de timp (strict pozitive), dintre care T1 i T2 sunt variabile, iar T3 este constant; kPC > 0 i 3 0 sunt parametri variabili (cu valoarea dependent de condiii reale posibile de operare ale procesului real).

Pentru studiul de caz al reglrii turaiei unui HG al unei centrale hidroelectrice de tipul celei de la PdF 1 valorile numerice nominale ale parametrilor PC pentru un GS cuplat la SE sunt


kPC = 1 , T1 = 2.2 sec , T2 = 1.1 sec , T3 = 6.8 sec, 3 = 1 . (10) Corespondena parametrilor ntre f.d.t. (8) i (9) este

yPCk = , =3 , wqhTKT =1 , wqhTKT = 5.02 , mTT =3 . (11) Pentru conducerea procesului menionat se constat (de exemplu, [P2-3]) c utilizarea unui RG-

V de tip PI cu f.d.t.

+=

sTksH

iRR

11)( , (12)

n care kR coeficientul de transfer i Ti constanta de timp de integrare, poate asigura sistemului de reglare automat perfoemanele impuse.

Observaii: 1. Structura de SRA-V ilustrat n fig.2.2 cu f.d.t. a PC din relaia (8) sau (9) este acceptat n

stadiul de dezvoltare a RG-V i n cel de testare a performanelor de regim dinamic i staionar realizabile de SRA-V prin simulare pe calculator numeric (de exemplu, [P2-4], [M2-1]). Trebuie subliniat c parametrii },,{ qhy K depind continuu (n permanen) de coordonatele p.d.f.s.c. n jurul cruia a fost efectuat liniarizarea.

2. n schema din fig.2.2 putea fi pus n eviden i prezena unui element neliniar de tip saturaie amplasat pe ieirea regulatorului, la care limitarea corespunde regimului de mari perturbaii. n regimul de mici perturbaii PC poate fi considerat cu o bun aproximaie ca fiind liniar i limitarea poate fi omis [P2-3]. Studiul dezvoltat n continuare se refer la cazul liniar, fr limitri, funcionare la mici perturbaii fa de p.d.f.s.c. corespunztor frecvenei reelei de 50 Hz.

Pentru studiul de caz acceptat, pentru SRA-V cu structura prezentat n fig.2.2 se cere s se

stabileasc expresia FO

+=0

222 )]()([ dtteteJ & pentru SRA-V cu structura prezentat n fig.2.2 n

funcie de parametrii de acordare strict pozitivi {kR, Ti} ai RG-V i apoi s se determine valorile acestor parametri astfel nct J s obin valoarea minim n regimul dinamic caracterizat prin aplicarea unui semnal de tip treapt unitate (t) pe intrarea de referin, w, a SRA: w(t) = (t) i sistemul nu este perturbat, adic v(t) = 0.

Remarc: Optimizarea parametric a SRA poate fi efectuat att n raport cu regimul considerat ct i n raport cu regimul dinamic v(t) = (t) , w(t) = 0, n ideea dezvoltrii unor SRA cu comportare optimal n raport cu ambele regimuri.

Utilizarea unei FO de forma prezentat asigur un regim tranzitoriu corespunztor cu limitarea ptratului erorii de reglare e(t). Se asigur suplimentar i limitarea valorii derivatei erorii de reglare,

)(te& , avnd ca efect limitarea valorii suprareglajului i, eventual, a subreglajului. Mrirea constantei

de tip de ponderare conduce la scderea ponderii termenului

0

22 )( dtte& n valoarea minim a FO,

cu efectul reducerii valorii suprareglajului i, eventual, a subreglajului. Soluie: innd seama de liniaritatea integralei, funcia obiectiv J poate fi descompus n alte

dou funcii obiectiv conform sumei

==+=0

2**

0

2***2* )( ,)( , dtteJdtteJJJJ & . (13)

Apoi se parcurg etapele din algoritmul aferent procedeului Hall-Phillips-Newton. 1, 2. Pentru FO J*, sistemul este simplu integrator i semnalul de intrare este de tip treapt

= 0)(lim tet egalitile lui Parseval sunt valabile.


Se calculeaz transformata Laplace a erorii de reglare pe baza schemei bloc din fig.2.2 utiliznd expresiile (9) i (12) ale f.d.t. [P2-5]:

ssH

swsH

se 1)(1

1)()(1

1)(00

+=+= , (14)

unde H0(s) este f.d.t. a sistemului deschis,

))(1()1)(1(

)()()(332

10 sTsTsT

sTsTkksHsHsH

i

iRPCPCR ++

+== . (15)

Dup efectuarea calculelor se obine

. )]([)(

)( ,)(

))(1()(

132

1233

332

332

RPCiRPCiiRPC

ii

kksTTkkTsTTkkTT

sTTTsAsA

TsTsTse

++++++=++=

(16)

Utiliznd expresia (16), se face identificarea coeficienilor conform formei utilizate n cazul n=3 (m=2) al paragrafului A):

. , )( , )

( , , , )( ,

0131123

32323302331322

RPCiRPCiiRPC

iiii

kkdTTkkTdTTkkTTdTTTdTcTTTcTTTc

=+=++===+==

(17)

ntruct m = n 1 = 2, FO J* este de tip J3, deci poate fi aplicat relaia din paragraful A):

.)(2

)2(

302130

32203020

2110

22

3*

ddddddddcddcccddc

JJ ++== (18)

Utiliznd relaiile (17) i (18), rezult expresia FO J*:

. ]))( [(2)( ,)

()()

()( ,)()(

212331

332*3

32123

323

232

22

23

231

32

32

2*

*

**

iRPCRPCRPCiRPC

iRPCiRPC

iRPCiRPCRPC

iRPCi

TTTkkTkkTTTkkTkkTTTkksATTTTkkT

TTTTkkTTTkkTkk

TkkTTTsBsAsBJ

+++=+++++

+==

(19)

Pentru FO J** trebuie calculat transformata Laplace )(se& , cu teorema derivrii originalului: )0()()( += esesse& . (20) ns, din teorema valorii iniiale rezult 1)(lim)0( == + sese s , (21) deci utiliznd relaiile (16), (20) i (21), se obine

)(

]1)([)( 1

21

sAsTTsTTkk

se iiRPC=& , (22)

n care polinomul A(s) are expresia din (16). n continuare, se face identificarea coeficienilor din expresia transformatei Laplace )(se& :

. , )(

, )( , , , )( , ,21

01

3112332323

01112

RPCiRPC

iiRPCi

RPCiRPCiRPC

kkdTTkkTdTTkkTTdTTTd

kkcTTkkcTTkkcnm

=++=+==

===== (23)

Particulariznd din nou egalitile lui Parseval, se obine o relaie de tip (18) pentru J**, care se transform n (24) prin utilizarea lui (23):


,)

()()

()( ,)()(

22123

332323322

133

1

32

1**

*

****

iRPCRPC

RPCiiRPCRPC

iRPCi

TkkTkkT

TTTTTkkTTTkkTkk

TkkTTsBsAsBJ

+++++

+== (24)

n care polinomul A*(s) are expresia din (19). Adunnd cele dou componente ale funciei obiectiv din (19) i (24) innd seama de

descompunerea (13), rezult expresia FO J:

),()(

)()(*

**2*

iR TksAsBsBJ =+= , (25)

cu polinoamele conform relaiilor (19) i (24), iar formularea PO este urmtoarea:

PFR: 0 ,0 ),,(minarg][],[

>>== iRiRTk

TiR TkTkJTk T

iR

. (26)

Remarc: Un aspect important de altfel la toate problemele de reglare optimal l constituie impunerea condiiilor de stabilitate a SRA. Aceste condiii fac ca problema de optimizare iniial fr restricii s se transforme ntro problem cu restricii de tip inegalitate care pot fi fixate, de exemplu, prin aplicarea criteriului Hurwitz [R2-1], [V2-1].

Impunerea condiiilor de stabilitate a SRA conduce i la asigurarea convergenei integralelor din componena FO (13).

Pentru surprinderea acestor aspecte, n subcapitolul urmtor vor fi prezentate elemente privind rezolvarea problemelor de optimizare cu restricii de tip egalitate i de tip inegalitate.

3, 4. Paii 3 i 4 ai algoritmului implic efectuarea unor calcule legate de gradient i hessian, care sunt relativ dificile pentru FO obinut. Pentru studiul de caz considerat i valorile parametrilor PC din (10), poate fi apelat Optimization Toolbox din cadrul mediului Matlab [C2-1], care permite rezolvarea PFR (26).

Prin apelarea funciei Matlab fminunc se obin urmtoarele valori ale parametrilor de acordare optimal: (a) Rk = 1.4422 i iT = 9.1299 sec pentru = 1 sec;

(b) Rk = 1.1823 i iT = 8.1229 sec pentru = 2 sec;

(c) Rk = 0.9748 i iT = 7.4146 sec pentru = 3 sec. Acceptnd un scenariu de simulare caracterizat prin w(t) = (t), v(t) = (t50), pe o durat de

100 sec, n fig.2.3 este ilustrat n cazul (b) rspunsul SRA optimal a vitezei HG, caracterizat prin evoluia n funcie de timp a ieirii reglat y (reprezentat cu linie continu) i a comenzii u (reprezentat cu linie punctat). Rspunsul prezentat evideniaz valori bune ale indicatorilor de calitate empirici precum i stabilitatea SRA-V.


Fig.2.3. Rspunsul SRA optimal a vitezei HG din exemplul 2.1.

D) Probleme de optimizare parametric a sistemelor cu timp discret bazate pe utilizarea egalitilor lui Parseval. Fie Rf k eantioanele unui semnal stabil cauzal i FO ptratic general

=

=0

2

kkfJ . (2.2.22)

Fie transformata Z a acestor eantioane, notat cu f(z) = Z{fk}. Atunci, conform unui raionament similar celui din paragraful A), FO (2.2.22) poate fi exprimat n form operaional sub forma egalitii de tip Parseval (2.2.23):

=

=== 1

11

0

2 )()( 2

1

zkk dzzzfzfj

fJ . (2.2.23)

n cazul n care produsul din (2.2.23) poate fi adus la forma

1111 )()()()( = zzgzgzzfzf , (2.2.24) n care g(z) este o funcie raional strict proprie stabil, cu expresia (2.2.25):

01

01

......

)()()(

azazabzbzb

zAzBzg n

n

mm

++++++== , (2.2.25)

cu 0 ,1 ,0, , 10 =< nn bnmaanm (n cazul general), integrala din relaia (2.2.23) poate fi adus la o form raional. Pentru aceasta, utiliznd notaia (2.2.25), integrala din (2.2.23) se transform n

=

= 11

1

1

)()(

)()(

21

z

dzzzAzB

zAzB

jJ . (2.2.26)

Apoi, pentru a face trecerea de la planul complex z la planul complex s, se efectueaz transformarea conform w (de exemplu, [I2-1]):

wwz

+=11

, (2.2.27)


care transform discul 1z din planul z n semiplanul 0Re w din planul w. Din relaia (2.2.27) rezult difereniala

2)1(2

wdwdz = . (2.2.28)

Prin aplicarea transformrii (2.2.27), polinoamele )( ),( ),( 1 zBzAzA i )( 1zB devin

.

)1()()( ,

)1()()(

,)1()()( ,

)1()()(

11111

11

111

11

1

1

+=

+=

+=

+=

+==

+==

nwwznw

wz

nwwznw

wz

wwCzB

wwCzB

wwDzA

wwDzA

(2.2.29)

S-au obinut, deci, polinoamele C(w) i D(w) de grad (n1), respectiv n, care sunt definite n (2.2.29). n continuare, prin utilizarea relatiilor (2.2.27) (2.2.29), FO din (2.2.26) poate fi rescris sub forma

=

j

j

dwwDwC

wDwC

jJ

)()(

)()(

1

. (2.2.30)

Introducnd notaiile

0, ,...

...)(

)()(

001

011

1 ++++++==

dddwdwd

cwcwcwh

wDwC

nnn

nn (2.2.31)

relaia (2.2.30) devine

==

j

j

dwwhwhj

JJ )()( 2

122 ' . (2.2.32)

Concluzionnd, pentru integrala 'J din (2.2.32) pot fi aplicate relaiile prezentate n paragraful A), specifice sistemelor cu timp continuu, care permit aducerea integralei la forme raionale continue. Urmeaz aplicarea procedeului Hall-Phillips-Newton similar cazului cu timp continuu.

Remarc: Valabilitatea trasformrii (2.2.27) trebuie analizat de la caz la caz cu atenie deosebit n cazul sistemelor de ordin relativ mare [S2-1]. Calculele pot deveni foarte complicate, motiv pentru care este recomandat algoritmizarea.

Exemplul 2.2: Se consider servosistemul de ordinul nti, cu timp discret, cu structura simplificat prezentat n fig.2.4, n care H0(z) este f.d.t. a sistemului deschis care include elementul de eantionare i reinere (zero-order-hold, ZOH).

Fig.2.4. Schema bloc a SRA-c din exemplul 2.2.

S se determine valoarea coeficientului de transfer k care asigur minimizarea FO =

=0

2

kkeJ n

condiiile aplicrii unui semnal de tip treapt unitate pe intrarea de referin w. Soluie: Pe baza schemei bloc din fig.2.4 se calculeaz

11

1

11)(1

1)()(0 +

=+

=+= kzz

zkz

zzH

zwze . Produsul 11)()( zzeze se transform n


1111 )()(1

111

111

11

1

1)()( =

++=+

+= zzgzgzkz

kzzkz

zkzzzzeze ,

unde 1

1)( += kzzg . Aplicnd transformarea conform w sub forma wwz

+=11

, cu 2)1(2

wdwdz = ,

expresia lui J devine succesiv:

=++++=

=+

+++

+=

j

j

j

j

j

j

dwwhwhj

dwkwkkwkj

wdw

ww

kwwk

wwj

J

, )()( 2

121)2(

11)2(

1 2

12

)1(2

11

111

1

111

1 2

12

unde a fost utilizat notaia: 1)2(

1)( ++= kwkwh . Pentru calculul ultimei integrale pot fi aplicate formulele cunoscute din paragraful A). Astfel,

prin identificarea coeficienilor, n = 1, m = 0, c0 = 1, d1=2k, d0 = k+1 i aplicarea formulei cunoscute pentru J1, rezult

)(2

1)1)(2(2

122

222

10

20

1 kkkkkddc

JJ ==+=== . Prin urmare, problema de optimizare poate fi formulat astfel:

PFR: 0 ),(min arg >== kkJkk

.

Se calculeaz gradientul FO: === 0

)2(12

22 kkk

dkd

k punctul staionar 2/1=k . Apoi, n acest punct staionar se calculeaz valoarea hessianului:

0)2(

2(...)

)(...)12((...)2)(2/1

222/1

4

2

2/12

2 >===

===

kkkkk kk

kdkdk ,

cu poriunea punctat din parantez () corespunztoare factorului )2( 2 kk . Poate fi observat faptul c k este punct de minim, este unicul, deci 2/1 =k (soluia

problemei). n final, pentru valoarea optimal a lui 2/1 , =kk , se verific stabilitatea SRA. Se pornete de la exprimarea polinomului caracteristic al SRA:

0101

10)(1 0 =+=+=+ kzzkzH

se obine polinomul caracteristic 1)( += kzz , cu polul 2/111 == kp . Cum |p1|


2.3.1. Optimizarea cu restricii de tip egalitate

O problem de optimizare cu restricii de tip egalitate are enunul

PRE: )(min arg vvv

== J , supus la 0vg =)( , (2.3.1)

n care gnnn RRRR :,: g i 0vg =)( reprezint un numr de ng restricii de tip egalitate (RTE) liniar independente.

Remarc: Situaia n care ng n nu constituie o PO ntruct cu primele n RTE poate fi construit un sistem de n ecuaii cu n necunoscute care, dac este compatibil determinat i dac soluia sa verific i restul de (ng n) ecuaii, ea reprezint soluia problemei (nu de optimizare), iar dac nu le verific sau dac sistemul este incompatibil, problema nu are soluie.

Se consider c funciile i g sunt de clas C2. Punctele de extrem ale acestei probleme se numesc puncte de extrem condiionat.

Cele mai rspndite metode pentru rezolvarea problemei sunt: metoda substituiei i metoda multiplicatorilor lui Lagrange, abordate n continuare. A) Metoda substituiei. La rezolvarea PRE utiliznd metoda substituiei se ncepe cu rezolvarea sistemului de ecuaii reprezentat de RTE n raport cu ng variabile obinnd soluia v care este funcie de restul de (n ng) variabile v, adic v=r(v). Apoi, soluia v este substituit n FO, rezultnd n acest mod o PFR de ordinul (n ng). Pentru aceast PFR funcia obiectiv are expresia

)''()])''())''((([)])''()'([()( vvvrvvv ==== TTTTTTJ , (2.3.2) iar PO devine

PFR: gnnRJ == '' ),''(min arg''''

vvvv

. (2.3.3)

n continuare, va fi determinat soluia PRE conform algoritmului din subcapitolul anterior:

TTT ])''())''(([ vvrv = . (2.3.4) De cele mai multe ori metoda substituiei nu poate fi aplicat n mod direct. Dificultile apar

la calculul analitic al soluiei v=r(v), calcul care poate fi fcut doar n cazuri particulare. De asemenea, forma concret a PO sugereaz de multe ori utilizarea unei alte metode, mai simple, de optimizare. Totui, metoda substituiei este aplicabil ca instrument auxiliar altor metode de optimizare. Eliminarea prin substituie chiar a unui numr mai mic de variabile dect ng simplific de obicei rezolvarea PO considerate. Restul de restricii i variabile rmase se trateaz apoi cu o alt metod de rezolvare a PO cu RTE. B) Metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Aceast metod presupune introducerea unei funcii numit funcie Lagrange (lagrangean), definit astfel:

RRLL nT += : , )()()( vgvv . (2.3.5) Vectorul coloan , dim = (ng, 1), este constant i componentele sale, n numr egal cu numrul RTE, se numesc multiplicatorii lui Lagrange.

Observaie: n multe situaii se folosete notaia L(v; ) pentru lagrangean.

Dac punctul v* este punct de extrem condiionat, atunci ntruct 0vg =)( * , n acest punct valoarea FO i valoarea lagrangeanului coincid, adic

gnT RLJ =+== vvgvv , )()()()( . (2.3.6)

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 2.3 Probleme de optimizare cu restricii 77 Notnd cu gi, gni ,1= , componentele lui g, dac derivatele lui gi n raport cu v (gradienii lui gi) n punctul v* sunt vectori liniari independeni, atunci punctul v* se zice punct regulat (de extrem regulat).

Din analiza matematic este cunoscut urmtorul aspect: dac v* este punct de extrem regulat, atunci exist ntotdeauna vectorul care, mpreun cu v*, ndeplinete condiiile

0vv = )( , (2.3.7) 0vv = )(L i 0vg =)( . (2.3.8) Condiiile (2.3.7) sau (2.3.8) reprezint condiiile de optimalitate de ordinul I n cazul PRE. Se observ c sunt in numar de (n+ng) i pot fi privite ca un sistem de (n+ng) ecuaii cu acelai numr de necunoscute (n datorate lui v i ng datorate lui ). De aceea, relaiile (2.3.8) se numesc condiiile de optimalitate de ordinul I completate. Rezolvarea sistemului (2.3.8) conduce la punctele regulate v*.

Condiiile necesare pentru ca un punct regulat v* s fie punct de minim local pentru PRE sunt (2.3.8) i condiiile de optimalitate de ordinul II, care n acest caz sunt exprimate sub forma (de exemplu, [D2-1]):

nT RL zzvz vv , 0)( cu 0zvg v = )( , (2.3.9) unde a fost utilizat urmtoarea notaie relativ la derivata unei funcii vectoriale de variabil vectorial (a se vedea i relaia (2.2.17)):

=

n

nnn

n

n

v

g

v

g

v

g

vg

vg

vg

vg

vg

vg

ggg ...

............

...

...

21

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

vg . (2.3.10)

Condiiile suficiente de optimalitate sunt (2.3.8) i (2.3.9) n care inegalitatea este strict. Dac 0)( >vvvL , atunci punctul v* este un punct de minim; dac 0)(


2. Pentru fiecare punct staionar v* se calculeaz hessianul )( vvvL n care multiplicatorii lui Lagrange se nlocuiesc cu valorile obinute la etapa 1, apoi:

a) se selecteaz minimele relative 1,1, nii =v , obinute direct din condiia 0)( >iL vvv ; b) din punctele staionare rmase se selecteaz punctele 21 ,1, nnii +=v , care satisfac relaia

(2.3.11); c) din punctele staionare rmase se determin un ultim grup de minime relative 32 ,1, nnii +=v ,

pe baza derivatelor de ordin superior ale lagrangeanului (se continu dezvoltarea n serie Taylor).

3. Se determin punctul de minim global / absolut v din cadrul minimelor relative *iv pe baza inegalitii

3* ,1 , 0)()( nii = vv . (2.3.13) Se constat simplificarea calculelor dac se combin metoda multiplicatorilor lui Lagrange cu

metoda substituiei. Fiecare substituie reuit reduce cu 2 (o variabil i un multiplicator) numrul de ecuaii din condiiile de optimalitate de ordinul I. n paragraful urmtor va fi prezentat un exemplu de aplicare a metodei multiplicatorilor lui Lagrange.

2.3.2. Optimizarea cu restricii de tip inegalitate O problem de optimizare cu restricii de tip egalitate are enunul

PRI: )(min arg vvv

== J , supus la 0vh )( , (2.3.14)

n care hnnn RRRR :,: h . Observaii: 1. Funciile i h se presupun de clas C2. 2. Dac problema impune RTI de forma 0vh )( , prin nmulire cu (1) va rezulta 0vh )( . Fie hi nih ,1 ),( =v , componentele lui h. Dac un punct v satisface RTI, atunci v este punct

admisibil. O restricie se zice activ (saturat) cnd ea acioneaz la limit ca egalitate. Se noteaz cu (v) mulimea indicilor restriciilor active n punctul v admisibil:

},1,0)(|{)( hi nihi === vv . (2.3.15) Se zice c punctul admisibil v* este regulat dac gradienii )( ,, vv ihi , sunt liniar independeni n v*.

Metodele de rezolvare a PRI pot fi categorisite n dou categorii: grafo-analitic, metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

n continuare vor fi fcute referiri la metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Problema se trateaz iniial ca o PFR, a crei soluie, FRv , trebuie s satisfac cele nh RTI iar FRv este punctul de optim cutat. Dac este nclcat cel puin una din RTI, atunci soluia se afl pe frontiera domeniului punctelor admisibile, adic ntr-un punct n care cel puin una din restricii este activ.

Dac se tie care din RTI este nclcat, se reia problema ca o PRE lund ca RTE doar pe cea nclcat (care, astfel, devine activ). n general, ns, nu se cunoate RTI nclcat, aa c PRE se rezolv pentru fiecare RTI n parte, punctul de minim determinat n fiecare caz, hjRE nj ,1 , 1 =v , trebuind s verifice toate RTI.

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 2.3 Probleme de optimizare cu restricii 79

Dac nici una din soluii nu satisface aceast condiie, atunci se reia PRE considernd ca RTE

cte dou din RTI care devin, astfel, saturate. Punctul de minim gsit n fiecare caz, 22 ,1 , hnjRE Cj =v , trebuie s verifice celelalte RTI. n caz contrar, se iau 3 RTE .a.m.d. pn ce soluiile PRE,

lnRElj h

Cj ,1 , =v verific toate celelalte RTI. Lagrangeanul problemei are expresia

)()();( vhvv TL += , (2.3.16) unde RRL n : i hnR reprezint vectorul multiplicator al lui Lagrange, numii n cazul PRI multiplicatori Kuhn-Tucker.

Condiiile necesare ca un punct regulat v* s fie punct de minim local pentru PRI (2.3.14) sunt: - condiiile de optimalitate de ordinul I:

===

;0)()( ,,),(

,)(

vhvh00v

0vh

TTvL (2.3.17)

- condiiile de optimalitate de ordinul II:

nT RL zzvz vv , 0);( cu )( , 0)(, = vzvv ihTi . (2.3.18) Se observ c prima i cea de-a treia relaie din condiiile de optimalitate de ordinul I corespund situaiilor:

0)()( = vv ihi i 0i , (2.3.19) 0)()( > vv ihi i 0i = , (2.3.20) cu observaia c situaiile din (2.3.19) i (2.3.20) se exclud reciproc (pentru aceeai restricie este valabil doar una dintre ele). Condiiile suficiente difer de cele necesare doar prin ultima relaie, n care inegalitatea este strict.

Exemplul 2.3: S se determine minimul FO 2

212

22

121 ][ ,)1()1(),( RxxxxxxJT =+== x ,

supus la RTI

++

++

0301

31

21

22

21

21

22

21

xxxx

xxxx

.

Soluie: Se ncepe cu rezolvarea PFR: 2 ),(min arg RJFR == xxx x . Gradientul are expresia:

T

xx

xx

]11[ ,11

00

)1(2)1(2

2

1

2

1 ===

=

=

xx punct staionar.

Hessianul devine

>

= 02002

xx x* este punct de minim relativ.

ntruct x* este unic TFR ]1 ,1[ == xx . Apoi, se verific cele dou RTI:

prima: 1 + 1 1 0; a doua: 1 + 1 3 < 0 nu este verificat.

Deci, este necesar rezolvarea urmtoarei probleme de optimizare cu metoda multiplicatorilor lui Lagrange conform algoritmului din paragraful 2.3.1:


PRE: 212 ),(min arg RJRE == xxx x , supus la 0321 =+ xx . Lagrangeanul pentru aceast PO are expresia:

)3( )1()1();,( 21222121 +++= xxxxxxL . Se caut punctele staionare ca soluii ale sistemului:

=+==+===+=

032/10)1(22/10)1(2

21

22

11

2

1

xxxxLxxL

x

x

.

nlocuind n relaia a treia, se obine 1032/12/1 ==+ , de unde rezult: Txx ]2/32/3[2/3,2/3 21 === x .

Hesianul lagrangeanului obine expresia:

>

= 02002

);( * xxxL x* este punct de minim relativ.

ns, x* este unic TRE ]2/32/3[ 12 = x . Dar, 12 REx astfel determinat verific i cea de-a doua RTI. Prin urmare,

T]2/32/3[ =x este minim absolut (soluia PRI).

Exemplul 2.4: S se rezolve problema de optimizare din exemplul 2.3 utiliznd multiplicatorii Kuhn-Tucker.

Soluie: Se ncepe cu identificarea datelor problemei conform formulrii standard: , 3)( , ][ , 1)( 21221

22

211 +==+= xxhxxxxh T xxx

. )3()1()1()1( )()()()()(),;();(

21222

211

22

21

221121

+++++==++=+==

xxxxxxhhLL T xxxxhxxx

Condiiile de optimalitate de ordinul I devin

01)()(0)( 22211 + xxh x , (1) 030)( 212 + xxh x , (2) 02)1(20);();( 21111 =++== xxLL x x0xx , (3) 02)1(20);( 22122 =++= xxLx x , (4) 0)( =xih i 2,1 , 0i = i , (5) sau (exclusiv):

0)( >xih i 2,1 , 0i == i . (6)

Rezolvnd sistemul (3), (4) n raport cu 1x i 2x , se obine =+= 2

1

21 )1(2

2 xx . nlocuind apoi 1x i

2x n expresia lui )(1 xh , rezult 2

1

21 1

22 2

21

22

1 )1(224421

)1(2)2()( +

+=+=xh . n cele ce

urmeaz sunt posibile dou cazuri, I) i II).

I) Cazul 0)(1 =xh (situaia (5) pentru h1). Se obine += 21 22 )1(2)2( )1(22 1 2 += i rezult 01 (din (5)). nlocuind apoi 1x i 2x n expresia lui

)(2 xh , rezult

(R.-E. Precup, UPT, 2013) 2.3 Probleme de optimizare cu restricii 81

03231

)1(23

12

)(1

1

1

2 2 +>+= 0)22)(22(0

242

)( 2 2 22 2

1 xh

),22()22,(2 + ; 2 2 1

2 2 13231

2)( ==+=xh . Prin urmare, rezult

dou subcazuri posibile, II.1) i II.2).

II.1) Cazul 0)(2 >xh (situaia (6) pentru h2). n aceast situaie este valabil relaia 0101 2 2 2 , deci acest caz nu convine. Prin urmare, este necesar cazul II.2).

II.2) Situaia (5) pentru h2, deci cazul 010)( 2 2 ==xh i ).,22()22,(2 + De aceast dat se obine 01 = i ,12 = deci

T]2/32/3[=x este punct staionar. Hessianul calculat n x* are expresia

>

= 02002

);( * xxxL x* este punct de minim relativ, unic.

n concluzie, soluia PRI va fi: T]2/32/3[ =x minim absolut. Valoarea minim a funciei obiectiv pentru problema dat este:

5.0)2/1(2)12/3()12/3()( 222min ==+== xJ . Remarc: Pentru rezolvarea asistat de calculator a PO cu restricii poate fi apelat funcia

Matlab fmincon.

2.4. Elemente de optimizare parametric a sistemelor de reglare automat cu reacie dup stare cu timp continuu

Se consider structura de sistem de reglare automat cu reacie dup stare (SRA-x) cu schema bloc informaional prezentat n fig.2.5, n care: u U Rm vectorul mrimilor de comand; yYRp vectorul mrimilor de ieire; x X Rn vectorul de stare; w W Rm vectorul mrimilor de referin (prescriere); v V Rq vectorul mrimilor perturbatoare; BC-x blocul de compensare prin reacie dup stare (compensatorul stabilizator). Se consider c procesul condus (PC) este neliniar i caracterizat prin urmtoarele ecuaii de stare: ),,()( tt uxfx =& , (2.4.1)

Fig.2.5. Structura unui SRA-x.


n care f: Rm+n+1 R este o funcie de clas C2. ntruct intereseaz doar comportamentul dinamic al SRA-x, adic doar regimurile tranzitorii, pentru simplitate se accept regimul liber al SRA-x, ceea ce presupune intrri nule: w(t) = 0, v(t) = 0. (2.4.2) BC-x de tip proporional este caracterizat printro funcie vectorial K de variabil vectorial aferent legii de reglare prin reacie dup stare: u = K(x). (2.4.3)

Problema de conducere optimal n aceast situaie const n determinarea comenzii optimale (matricei K) astfel nct FO de tip Bolza

+===ft

t

f dttEtttt

tJ0

),,(),( 0

uxx , (2.4.4)

cu funcia E corespunztor definit i de clas C2, s-i ating minimul. n plus, sub forma unor restricii de tip egalitate se dau:

condiii iniiale asociate lui x: x(t0) = x0, (2.4.5)

condiii finale asociate lui x: x(tf) = xf. (2.4.6) Condiia (2.4.6) corespunde situaiei frecvent ntlnite cnd se cere ca PC s ajung n starea final de repaus; ns, din punct de vedere tehnic este vorba de un repaus relativ n sensul c variabilele au semnificaia de creteri n raport cu punctul de funcionare nominal, deci, se cere ca PC s fie readus n starea nominal. Rezolvarea problemei de optimizare menionate se face pe baza principiului minimului al lui Pontryagin, a crui formulare este prezentat succinct n cele ce urmeaz (de exemplu, [P2-2]): Se definete funcia lui Hamilton (hamiltonianul)

H(x, u, , t) = E(x, u, t) + T f(x, u, t), (2.4.7) unde Rn este vectorul de stare adjunct. Se impune condiia

}|{ , ), ,,(), ,~,(~ UtHtHU

(REP) 2.4 Elemente de optimizare parametric a sistemelor de reglare automat cu reacie dup stare 83 ),[ , )( )( )( 0 += ttttt uBxAx& , (2.4.12) cu A de dimensiune (n, n) i B de dimensiune (n, m). Rezolvarea problemei parcurge calea cunoscut folosind funcia lui Hamilton

),[ ), ( )2/1( )2/1(),,,( 0 +++= tttH TTT uBxAuRuxQxux . (2.4.13) Ecuaiile adjuncte (2.4.9) devin

),[ , 0 += ttT AxQ& , (2.4.14) cu observaia c relaia (2.4.14) a fost obinut n urma utilizrii operaiilor de derivare de tip (5.2.12) i (5.2.13). Impunnd condiii de minim (n raport cu u) hamiltonianului, rezult Hu = 0, (2.4.15) deci R u + BT = 0, t [t0, ), (2.4.16) de unde se obine u = R-1 BT , t [t0, ). (2.4.17)

Se caut o soluie de forma = S x, t [t0, ), (2.4.18) n care matricea constant S este simetric, pozitiv semidefinit, de dimensiune (n,n). Substituind vectorul de stare adjunct din relaia (2.4.18) n relaia (2.4.14), rezult

S x& = Q x + AT P x, t [t0, ). (2.4.19) Apoi, n ecuaia (2.4.19) se nlocuiete derivata vectorului de stare conform relaiei (2.4.12) i se obine n final ecuaia matriceal algebric Riccati S A + AT S S B R-1 BT S + Q = 0. (2.4.20) Prin urmare, problema regulatorului liniar-ptratic n cazul omogen staionar se reduce la rezolvarea ecuaiei matriceale algebrice Riccati (2.4.20) n raport cu S. innd seama de relaiile (2.4.17) i (2.4.18), expresia legii de reglare (dup stare) devine u = R-1 BT S x, t [t0, ). (2.4.21) Dac n relaia (2.4.21) se nlocuiete soluia S a ecuaiei matriceale algebrice Riccati (2.4.20), atunci comanda u va fi comanda optimal notat cu u . Relaia (2.4.21) corespunde unui BC-x de tip proporional invariant n timp, care asigur urmtoarea lege de reglare: u = K x, (2.4.22) unde matricea compensator K de dimensiune (m, n) are expresia K = R-1 BT S. (2.4.23) Pentru rezolvarea ecuaiei matriceale algebrice Riccati poate fi utilizat Optimization Toolbox din cadrul mediului Matlab [C2-1].

n finalul subcapitolului trebuie remarcat faptul c n cazul general (neomogen nestaionar) problema regulatorului liniar-ptratic se reduce la rezolvarea unei ecuaii matriceale difereniale Riccati [I2-3], pentru a crei integrare se recomand [C2-2], [S2-2], [V2-2]. n aceast situaie BC-x este variant n timp, iar matricea compensator se numete matrice Kalman.

Rmne ca exerciiu pentru cititor aducerea celor dou probleme cea de conducere optimal i cea a regulatorului liniar-ptratic n cazul omogen staionar la forma general a unei PO, (2.1.9).

Exemplul 2.4: Se dau ecuaiile de stare liniarizate de forma (2.4.12) ale PC corespunztor unui HG cu turbin Kaplan, n care matricele au expresiile urmtoare n care sunt puse n eviden doar elementele nenule [A2-1]:


=

=

52

51

55

44

35343332

2524232221

12

000

,

00000000

0

0000

bb

aa

aaaaaaaaa

a

BA , (1)

iar variabilele vectorului de stare x = [x1 x2 x3 x4 x5]T au semnificaia (fiind exprimate n creteri): x1 unghiul intern, x2 viteza unghiular, x3 debitul n turbin, x4 i x5 poziiile celor dou servomotoare aferente TH. n cazul unui HG al centralei hidroelectrice PdF 1 pe partea din Serbia, parametrii din (1) obin valorile

.71.0,2,71.0,2,61.0

,28.1,46.1,566.0,18.0,37.0,59.0,594.0,23.0,16.314

5141554435

34333225

2423222112

=========

=====

bbaaaaaaa

aaaaa

(2)

Se cere s se dezvolte regulatoare liniar-ptratice n cazul omogen staionar, altfel spus s se dezvolte regulatoare dup stare care s asigure minimizarea FO (2.4.11) considernd matricea de ponderare Q=I5 (matricea unitate de ordinul 5) i mai multe valori ale matricei de ponderare R = r (scalar), r{0.5, 1, 2}.

Soluie: n condiiile problemei date rezolvarea se face apelnd funcia Matlab lqr i se obin urmtoarele rezultate:

- n cazul r = 0.5: K= [0.4212, 41.6433, 2.0140, 2.7976, 1.5928] i polii SRA-x: (AB K) = {2.0794+9.1266i, 2.07949.1266i,5.2891, 1.1498, 0.8926};

- n cazul r = 1: K= [0.4169, 25.8047, 1.6516, 1.9691, 1.1351] i polii SRA-x: (AB K) = {1.6129+8.8781i, 1.61298.8781i, 4.2355, 1.1819, 0.8651};

- n cazul r = 2: K= [0.3465, 15.3366, 1.2371, 1.3191, 0.7685] i polii SRA-x: (AB K) = {0.6373+8.5296i, 0.63738.5296i, 2.4317, 1.3439, 0.7555}.

Considernd structura de SRA-x din fig.2.5 i acceptnd un scenariu de simulare caracterizat prin modificarea n treapt unitate a intrrii de referin w=w, SRA-x fiind monovariabil la intrare n acest exemplu, n fig. 2.6 ... 2.8 sunt prezentate rspunsurile celor trei SRA-x cu regulator liniar-ptratic (cu linie continu pentru variabila de stare x1 i linie punctat pentru comanda u=u).

Fig.2.6. Rspunsul SRA-x cu regulator liniar-ptratic n cazul r = 0.5.

(REP) 2.4 Elemente de optimizare parametric a sistemelor de reglare automat cu reacie dup stare 85

Fig.2.7. Rspunsul SRA-x cu regulator liniar-ptratic n cazul r = 1.

Fig.2.8. Rspunsul SRA-x cu regulator liniar-ptratic n cazul r = 2.

2.5. Elemente de optimizare parametric a sistemelor de reglare automat cu timp discret

2.5.1. Ecuaia Euler-Lagrange discret n cazul problemei fr restricii

Fie variabila vectorial v Rn i mulimea de puncte },...,,{ 1, 000 ff kkkkkV vvv += , (2.5.1.1) asociat orizontului de timp


},...,,{ 100 fkkkof tttT += , (2.5.1.2) deci cu un numr de (kf k0 + 1) momente de timp discrete. Fie problema de optimizare

PFR: ),(minarg1

1,0,0

0=

+==f

fkkf

k

kkkkkVkk

EJV vv . (2.5.1.3)

Funciile Ek(vk, vk+1) se consider de clas C2 n raport cu vk i vk+1. Se definete urmtoarea variabil vectorial:

)1(1,0

000]...[ ++ = kknTTkTkTkkk fff Rvvvv (2.5.1.4)

i PO (2.5.1.3) devine

PFR: )1(,,,0

00,0

0 , )(minarg +== kknkkkkkk fff

fkkf

RJ vvvv

, (2.5.1.5)

n care FO (de tip Lagrange) are expresia

=

+=1

1,0

0),()(

f

f

k

kkkkkkk E vvv . (2.5.1.6)

Rezolvarea PFR (2.5.1.5) se face pe baza rezultatelor din subcapitolul 2.2 n urma considerrii problemei ca o problem de programare matematic neliniar. Condiia de optimalitate de ordinul I este

0vv = )( * ,0,0 ffkk kk . (2.5.1.7) Observaie: Notnd

l

kkkkkk

EEEElll v

vv vvv === + )(),( 1,, , (2.5.1.8)

se obine

++=

== +

++ +

}{k,klklE

klEE kkk

kkk

kkk k

k

l

1dac1dac),(

dac),(),( 1,

1,

1, 10

vvvv

vv vv

v . (2.5.1.9)

Dac se efectueaz derivarea lui (cerut de condiia de optimalitate (2.5.1.7)) i se utilizeaz expresia (2.5.1.6), atunci ecuaia (2.5.1.7) devine

==+

=+=

+

+

,

,...,

,

,

,1

,1,2

,1,

,

11

10000

00

0

0

0

0

v

vv

vv

v

fkf

fkffkf

kk

k

k

kk

kk

k

E

EE

EE

E

(2.5.1.10)

iar setul de relaii (2.5.1.10) este echivalent cu

1,1 ,),(),( 0* 1*,** 1,1 +==+ + fkkkkkk kkkEE kk 0vvvv vv , (2.5.1.11) 0vv0vv vv == + ),( ,),( ** 1,1* 1*, 0000 fffkfk kkkkkk EE . (2.5.1.12)

(RE Precup) 2.5 Elemente de optimizare parametric a sistemelor de reglare automat cu timp discret 87 Ecuaia (2.5.1.11) se numete ecuaia Euler-Lagrange discret (EELD) pentru PFR (de exemplu, [A2-2]) i mpreun cu cele dou ecuaii din (2.5.1.12) formeaz un sisitem algebric de n(kf k0 + 1) ecuaii cu tot attea necunoscute *kv prin rezolvarea cruia se obin punctele staionare * ,0 fkkv .

n multe aplicaii *0kv i / sau

*fkv sunt precizate. Atunci ecuaiile corespunztoare din

(2.5.1.12) nu mai au sens. ntotdeauna ns rmne un sistem la care numrul de ecuaii este egal cu cel al necunoscutelor i acest aspect trebuie urmrit n toate aplicaiile. Ecuaiile (2.5.1.12) se numesc condiiile de transversalitate (CT) asociate EELD. Ele pot apare i sub forma de prim variaie:

0),( * 1*, 00000 = +kkkTk kE vvv v , (2.5.1.13) 0),( ** 1,1 = fffkff kkkTk E vvv v . (2.5.1.14) Se observ c dac *

0kv i / sau *

fkv nu sunt precizate, atunci 0kv i / sau fkv sunt arbitrare i pentru ca aceste ultime dou relatii (2.5.1.13) i (2.5.1.14) s fie satisfcute trebuie satisfcute relaiile (2.5.1.12). Dac *

0kv i / sau *

fkv sunt precizate, atunci 0kv i / sau fkv sunt nule i (2.5.1.12) sunt satisfcute, deci nu mai are sens asocierea lor la EELD. Condiiile de optimalitate de ordinul II necesare sunt

0)( * ,0,0,0 ffkkfkk kkvvv (2.5.1.15) i dificil de evaluat analitic.

2.5.2. Problema de conducere optimal discret Fie problema de optimizare

PRE: { } { }

= +=

===

1

01,

01,0

0 ),()(minarg

f

fkkkf

k

kkkkk

fkkkkk Ekk

kkJ uxxu

u,

supus la 1, ),,( 01 ==+ fkkkk kkkuxfx , (2.5.2.1) n care: ,: , , mmnkmknk RRRRR fux ,: ,: RRRERR mnknk funciile fiind de clas C2. Aceast problem poate fi denumit i problem de tip Bolza discret i cere determinarea secvenei de comand optimal { } 1,0 fkkku cu (kf k0) componente astfel nct ea s minimizeze funcia obiectiv J care conine n mod distinct i doi termeni ce depind numai de variabilele de stare ale sistemului cu timp discret ),(1 kkkk uxfx =+ . Lagrangeanul problemei este

, )]),((

),([)();(

1T

1

1

0,

00

++

=

+++=

== kkkkk

k

kkkkk

fkkkk

f

fE

kkkk

L

xuxf

uxxv (2.5.2.2)

unde au fost utilizate notaiile (2.5.2.3) i (2.5.2.4) pentru: - vectorul multiplicatorilor lui Lagrange:

)(10

00]...[ kknTTk

Tk

Tk

f

fR + = ; (2.5.2.3)

- variabilele problemei:


.,1, ,][

,]...[

]...[

0

))((1111

1,

0

0000

000

nkkf

mnTTk

Tkk

nkkmnTTk

Tk

Tk

Tk

Tk

Tk

Tk

TTk

Tk

Tkkk

RkkkR

R

ff

f

fff

ff

====

==

+

++++

+

xvuxv

xuxuxux

vvvv

(2.5.2.4)

Pentru uurarea calculelor se introduce funcia lui Hamilton (hamiltonianul)

1, ),,(),();( 0T 11 =+= ++ fkkkkkkkkkk kkkEH uxfuxv (2.5.2.5) i expresia lagrangeanului devine

( ) =

+++ +===

1

1T

110

,0

0]);([);(

f

f

k

kkkkkkk

fkkkk Hkk

kkL xvxv . (2.5.2.6)

Se fac notaiile

1,1 ,);();,(~

01

1111 +== +++++ fkTkkkkkkkk kkkHE xvvv ; ;);()();,(

~1

1111 00000000000 +++++ += kTkkkkkkkkkk HE xvxvv (2.5.2.7)

fffffffffff k

Tkkkkkkkkkk HE xxxxv 11 11 );()();,(

~ += . n continuare vor fi particularizate condiiile de optimalitate de ordinul I completate innd seama de notaiile anterioare: EELD 0vv =+ kk kk EE ,,1

~~, utiliznd kTkkkkkkkk HE xvvv

11 11 );();,(

~ = se transform n

1,1 ,);();(

01

*,

1 *

, +==

+

++

fkkk

kkkk kkkHH

k

k 0vv

0

u

x . (2.5.2.8)

CT la momentul iniial 0v =00 ,~

kkE se transform n

0

x

u

xx =

++

+);(

);()(

1*

,

1*

,*

,

0000

0000000

kkk

kkkkk

vH

vH

k

kk . (2.5.2.9)

CT la momentul final 0v = fkfkE ,1~ se transform n

0xx = fffkf kkk )( *, . (2.5.2.10) RTE au expresia

1, ),,( 0*** 1 ==+ fkkkk kkkuxfx . (2.5.2.11) Pentru o scriere unitar se adaug notaia

);,();( 1**,1*, 0000000000 ++ == kkkkkkkk kk HH uxv xx . (2.5.2.12) Utiliznd relaiile anterioare se formuleaz urmtorul rezultat. Considernd functia hamiltonian

,1, ),,(),();,( 0 1 1 =+= ++ fkkkTkkkkkkkk kkkEH uxfuxux (2.5.2.13) dac * ,0 fkkv reprezint un punct de minim local al problemei de conducere optimal discret cu RTE,

atunci exist ntotdeauna multiplicatorii lui Lagrange fkkk ,...,, 100 + , care satisfac relaiile

(RE Precup) 2.5 Elemente de optimizare parametric a sistemelor de reglare automat cu timp discret 89 1, ),;,( 01 **, == + fkkkkk kkkH k ux x ; (2.5.2.14) )( ),( *,*, 0000 ffkffk kkkkkk xx xx == ; (2.5.2.15) 1, ,);,( 01**, ==+ fkkkk kkkH k 0uxu ; (2.5.2.16) 1, ),,( 0*** 1 ==+ fkkkk kkkuxfx ; (2.5.2.17) , ,0 )( ))((* ,

0

0,0,0

nkkmnkk

T fffkkfkk

RL ++ zzvz vv cu . )(]),([ * ,1 0,0

0zvxuxf v = +ffkk kkkkkk

(2.5.2.18)

Relaiile (2.5.2.14) (2.5.2.18) reprezint condiiile necesare de minim local n punctul * ,0 fkkv , iar

condiiile suficiente difer de cele necesare prin inegalitatea strict n (2.5.2.18). Unele relaii dintre acestea i unele variabile poart denumiri consacrate i anume: (2.5.2.17) ecuaii de dinamic ale procesului condus; (2.5.2.14) ecuaii adjuncte; (2.5.2.15) condiii de transversalitate; (2.5.2.16) ecuaii de legatur; variabile adjuncte; ansamblul (x, ) variabile canonice. Relaiile (2.5.2.14) (2.5.2.17) formeaz un sistem de

)()1(2)()(2)( 00000 kkmkknkknkkmnkkn fffff ++=+++ ecuaii cu tot attea necunoscute. Rezolvarea problemei const tocmai n rezolvarea acestui sistem. Mai mult, n rezolvrile practice de probleme, dup scrierea tuturor ecuaiilor trebuie verificat egalitatea dintre numrul de ecuaii i numrul de necunoscute; dac acest lucru nu este verificat, nseamn c s-a procedat greit. Dup cum ecuaiile de dinamic au variabila de stare pe xk, n aceeai manier ecuaiile adjuncte pot fi privite ca ecuaii de variabil de stare k+1. Interdependena dintre cele dou categorii de variabile canonice este stabilit de ecuaiile de legtur. Astfel, rezolvnd ecuaiile de legtur n raport cu secvena de comand *ku i substituind rezultatul n ecuaiile de dinamic i n ecuaiile adjuncte, se ajunge la sistemul cu timp discret exprimat n forma sistemului de ecuaii recurente (2.5.2.19), (2.5.2.20):

);(~ 1** 1 ++ = kkkk xFx , (2.5.2.19) );( *1 kkkk xG =+ , (2.5.2.20) cu fkkk ,0= . nlocuind pe k+1 din ecuaia (2.5.2.20) n (2.5.2.19), rezult sistemul

=

++

);();(

*

*

1

*1

kkk

kkk

k

k

xGxF

x

. (2.5.2.21)

Pentru rezolvarea sistemului (2.5.2.21) se dispune i de condiiile de transversalitate.

Dac *0kx i / sau

*fkx sunt fixate, atunci prima i / sau a doua din condiiile de

transversalitate i pierde / pierd sensul. Problema de rezolvare a sistemului (2.5.2.21) n condiiile dispunerii de date corespunztoare momentului iniial (

0kt ) i final ( fkt ) se numete problem bilocal sau problem cu valori n dou puncte de frontier.

Remarc: n cazul general, n problema de conducere optimal discret apar i restricii auxiliare, care pot fi RTE i / sau RTI. Tratarea problemei se face conform celor prezentate n subcapitolul 2.3, ca o problem de optimizare cu RTE, n care ca RTE apar ecuaiile de dinamic ale procesului, RTE auxiliare precum i RTI saturate.


Exemplul 2.5: S se minimizeze FO =

+=3

0

224 2

1

kkuxJ pentru sistemul

,3,0 ,1 =+=+ kbuaxx kkk cu 10 =x i }0{\const, Rba = . Soluie: Se identific datele problemei cu forma canonic.

;0)( ,)( 002444 == xxx ;3,0 ,21),( 2 == kuuxE kkkk 3,0 ,),( =+= kbuaxuxf kkkkk .

Deci hamiltonianul este 3,0 ),()2/1();,( 1 21 =++= ++ kbuaxuuxH kkkkkkkk . Rezult succesiv: - ecuaiile adjuncte

3,0 ,1 == + ka kk ; (1) - condiiile de transversalitate

*44 *0 2 ,1 xx == ; (2) - ecuaiile de legtur

3,0 ,01 * ==+ + kbu kk ; (3) - ecuaiile de dinamic

3,0 ,*** 1 =+=+ kbuaxx kkk . (4) Relaiile (1) (4) reprezint un sistem de 14 ecuaii cu 14 necunoscute. n continuare se rezolv sistemul (1) (4). Din relaiile (1) se obine

0,3 ,4 4

== ka kk . (5) Apoi, din (3) i (5) rezult

3,0 ,4 3* == kbau kk . (6) Urmeaz scrierea detaliat a relaiilor (4):

*3

*3

*4

*2

*2

*3

*1

*1

*2

*0

*0

*1

buaxxbuaxxbuaxxbuaxx

+=+=+=+=

. (7)

Prin nmulirea primei relaii din (7) cu a3, a celei de-a doua cu a2, a celei de-a treia cu a i adunarea membru cu membru a relaiilor (7), rezult

*3*2*12*03*04*4 buabubuabuaxax ++++= . (8) Se nlocuiesc n (8) toate variabilele n funcie de 4

= 4 24 224 244 2644 2/ bbababaa )]1(5.0/[ 246244 ++++= aaaba . (9) Din (6) i (8) se obine

3,0 )],1(5.0/[ 24627* =++++= kaaabbau kk . (10) Din (2) i (8) se obine apoi

4,0 )],1(21/[ 24644*4 =++++= kaaabax . (11)

(RE Precup) 2.5 Elemente de optimizare parametric a sistemelor de reglare automat cu timp discret 91 n final, ntruct funcia obiectiv J este convex i punctul de extrem este unic, se obine secvena de comand optimal 3,0 , * == kuu kk , precum i traiectoria de stare optimal, .4,0 , * == kxx kk Rmne ca exerciiu pentru cititor calculul valorii minime a funciei obiectiv.

2.5.3. Problema regulatorului liniar-ptratic discret n cazul omogen nestaionar n cadrul acestui paragraf se trateaz problema regulatorului liniar-ptratic discret n cazul

omogen nestaionar (PRLPD-CON) formulat ca urmtoarea problem de optimizare:

=

++

+==

1

}{1,

0

1,00

),(21

21minarg}{

f

fffkkk

f

k

kkkk

Tkkk

Tk

kTkkkk J

uRuxQx

xSxuu

supus la:

1, , 01 =+=+ fkkkkk kkkuBxAx ecuaiile de dinamic ale PC, 00 xx =k fixat, (2.5.3.1) 1,,0,0,0 0 => fkk kk k Q RS simetrice, date, ),(dim),,(dim),,(dim nn mm nn kk === QRS , 1, , ,, , 00 == fmkfnk kkkRkkkR ux , 1,),,(dim),,(dim 0 === fkk kk kmn nn BA . n literatur, aceast problem se gsete sub denumirile de Discrete Linear Quadratic Regulator Problem (DLQR Problem) sau Linear Quadratic Optimal Control (LQ Optimal Control) (de exemplu, [A2-2]).

Termenul liniar din denumirea problemei se datoreaz formei liniare a ecuaiilor de dinamic ale PC, iar termenul ptratic se refer la forma funciei obiectiv (FO). Avnd n vedere faptul c n expresia FO apar numai termeni de gradul II ptratici, se vorbete despre cazul omogen al PRLPD. Termenul nestaionar provine de la variana n timp a ecuaiilor de dinamic i a matricelor de ponderare Qk i Rk.

Rezolvarea problemei se poate face apelnd rezultatele obinute n cazul problemei de conducere optimal discret, sau ca aplicaie la principiul minimului discret, sau ca aplicaie la metoda programrii dinamice discrete. n cele ce urmeaz se recurge la rezolvarea PRLPD-CON prin aplicarea principiului minimului discret. Conform rezultatelor prezentate n paragraful anterior, rezolvarea problemei (2.5.3.1) ncepe cu exprimarea hamiltonianul (pentru simplitate, se minimizeaz funcia obiectiv 2J) sub forma

),(),,( 11 kkkkkTkkTkTkkTkkkkkH uBxAuRuxQxux +++= ++ 1,0 = fkkk . (2.5.3.2) n continuare, se determin *ku din condiia de minim impus hamiltonianului (2.5.3.2). ntruct nu se impun restricii de tip inegalitate asupra comenzii n procesul de conducere, minimizarea va reprezenta o PFR, rezolvat n continuare.

Se calculeaz gradientul lui Hk innd seama de faptul c trebuie derivat un produs (n paranteze vor fi marcai factorii care vor fi derivai), de proprietile transpusei i de faptul c matricea Rk este simetric:

,2)()(

)() '()(

11

1 '

,

++

+

+=++==++=

kTkkk

Tk

Tk

Tk

Tkkk

kkTkkk

Tkkk

Tkk kkkk

H

RuRRRuuR

uRuRuuRu uuuu

111

, )2/1()2/1( ++ === kkTkkkk kH RRu0u , 1,0 = fkkk .


Hessianul lui Hk are expresia 02)(2, >== kkkk kkkH RuR uuu . Prin urmare, vectorul uk obinut asigur minimizarea hamiltonianului, deci se poate nota

1* )2/1( += kk u , 1,0 = fkkk . (2.5.3.3) Celelalte elemente necesare n rezolvarea problemei sunt: ecuaiile de dinamic ale procesului condus

*** 1 kkkkk uBxAx +=+ , 1,0 = fkkk ; (2.5.3.4) ecuaiile adjuncte

),,,( * 1**, += kkkkk kH ux x 1,0 = fkkk , care, prin derivarea hamiltonianului din (2.5.3.2) n raport cu xk, devin

1*2 ++= kTkkkk AxQ , 1,0 = fkkk ; (2.5.3.5) condiiile iniiale

0*0 xx =k ; (2.5.3.6) condiiile de transversalitate la momentul final (corespund funciei obiectiv 2J)

)() ()( **, ffkffffkff kkTkkkk xxSxx xx == ,

echivalente cu

ff kk xS 2= . (2.5.3.7)

Nu au fost introduse condiiile de frontier deoarece n formularea problemei nu sunt impuse RTE suplimentare.

Rezolvarea PRLPD-CON const n rezolvarea sistemului format de relaiile (2.5.3.3) (2.5.3.7). n acest scop, se ncepe cu substituirea comenzii *ku din (2.5.3.3) n ecuaiile de dinamic (2.5.3.4), rezultnd

11** 1 21

++ = kTkkkkkk BRBxAx , 1,0 = fkkk . (2.5.3.8) A fost obinut astfel problema bilocal liniar discret (2.5.3.5) (2.5.3.8). n continuare, se prelungete condiia de transversabilitate din (2.5.3.7) pe ntreg intervalul de conducere

*2 kkk xP = , fkkk ,0= , (2.5.3.9) n care a fost introdus matricea simetric Pk 0, dim Pk = (n, n), care trebuie determinat. nlocuind expresia lui k din (2.5.3.9) n (2.5.3.5), rezult 1, ,222 0* 11** =+= ++ fkkTkkkkk kkkxPAxQxP , de unde

1, ,)( 0* 11* == ++ fkkTkkkk kkkxPAxQP . (2.5.3.10) Substituind apoi expresia lui k din (2.5.3.9) n (2.5.3.8), rezult urmtoarea relaie:

1, , 0* 111

1**

1 == +++ fkkTkkkkkk kkkxPBRBxAx , echivalent cu

1, ,)( 0* 11111* =+= ++ fkkTkkkkk kkkxIPBRBAx . (2.5.3.11) Eliminnd *kx din (2.5.3.10) i (2.5.3.11), se obine

. 1, ,)()( 0*

11*

111

11 ==+ ++++ fkkTkkkTkkkkkk kkkxPAxIPBRBAQP (2.5.3.12)

(RE Precup) 2.5 Elemente de optimizare parametric a sistemelor de reglare automat cu timp discret 93 Apoi, utiliznd (2.5.3.12), se exprim diferena (Pk Qk). Pentru aceasta, se efectueaz un ir de operaii matriceale care pornesc de la adunarea i scderea produsului kkTk APA 1+ . n final, se obine

expresia kkTkkkTkkkkTkkkTkkk APBBPBRBPAAPAQP 11111 )( ++++ += . Ultima relaie poate fi rearanjat i conduce la concluzia c matricele Pk sunt obinute ca soluii

ale ecuaiei matriceale recurente Riccati (EMRR)

, ..., ,2 ,1

,)(

0

11

111

kkkk ffkk

Tkkk

Tkkkk

Tkkk

Tkkk

=++= ++++ APBBPBRBPAAPAQP (2.5.3.13)

care se iniializeaz cu (a se vedea (2.5.3.7) i (2.5.3.9)) SP =

fk . (2.5.3.14)

Rmne de determinat expresia legii de comand optimal. Substituind k din (2.5.3.9) n (2.5.3.3), rezult (se renun la indicele superior * corespunztor punctelor staionare)

111 ++= kkTkkk xPBRu , 1,0 = fkkk . (2.5.3.15) ns, relaia (2.5.3.10) se poate rescrie sub forma

1, ,)()( 0111 == ++ fkkkTkkk kkkxQPAxP . (2.5.3.16) Se substituie Pk+1xk+1 din (2.5.3.16) n (2.5.3.15) rezultnd

kkkTkTkkk xQPABRu )()(( 11 = , 1,0 = fkkk . (2.5.3.17) Dar expresia (Pk Qk) este cunoscut din EMRR (2.5.3.13). n concluzie, din (2.5.3.17) se obine legea de comand optimal

kkk xKu = , 1,0 = fkkk , (2.5.3.18) unde matricea Kk are urmtoarea expresie, obinut din prelucrarea relaiilor (2.5.3.13) i (2.5.3.17) utiliznd proprietile operaiilor cu matrice:

kkTkkkTkkk APBBPBRK 111 )( +++= , 1,0 = fkkk . (2.5.3.19)

2.5.4. Observaii i aspecte de implementare n cadrul acestui paragraf vor fi prezentate observaii i aspecte de implementare privind

PRLPD-CON. Acestea au ns un grad mai mare de generalitate, fiind valabile la conducerea optimal cu timp discret i n unele cazuri la conducerea optimal cu timp continuu. A) Rezolvarea PRLPD-CON a condus la acelai rezultat exprimat sub forma EMRR (2.5.3.13) iniializat conform relaiei (2.5.3.14). Dup rezolvarea EMRR, comanda optimal ku are expresia (2.5.3.18), n care matricea Kk se obine din (2.5.3.19).

Odat matricele Kk determinate off-line pentru un proces dat i o FO dat, ele se memoreaz, iar structura sistemului de reglare automat numeric (SRAN) cu regulator liniar-ptratic discret (RLPD) va fi conform schemei bloc informaionale din fig.2.9 (ecuaiile de ieire ale PC sunt yk = Ckxk, cu yk vectorul ieirilor reglate). n schema bloc din fig.2.9 este pus n eviden algoritmul de reglare numeric (ARN) dup stare, iar Te reprezint perioada de eantionare (pasul de discretizare).


Fig.2.9. Structura sistemului de reglare automat cu regulator liniar-ptratic discret.

La declanarea operaiei de conducere, pentru a genera mrimea (vectorul) de comand optimal ku se citesc matricele Kk pas cu pas din memorie i se utilizeaz mpreun cu starea xk a sistemului dinamic, msurat sau estimat. Prin urmare, dispozitivul de conducere numeric trebuie s realizeze urmtoarele sarcini:

msurarea / estimarea strii curente xk; calculul mrimii de comand conform ARN: kkk xKu = ; generarea / transmiterea semnalului de comand (optimal) ku ctre PC.

Rezultatul obinut este independent de starea iniial xk, ceea ce i confer un mare grad de generalitate. B) Denumirea de regulator se datoreaz tocmai asemnrii comenzii cu cea obinut n cazul unui bloc compensare prin reacie dup stare (BC-x) convenional. Cum ns modalitile de obinere a matricei-compensator K din cazul unui SRA-x convenional i a setului de matrice Kk din cazul analizat sunt diferite, este normal ca SRA ce utilizeaz aceste legi de comand s prezinte diferene.

Blocul de compensare K (numit i compensator stabilizator) are mn parametri. Adoptarea acestor valori astfel nct s fie obinute performane dorite de regim dinamic n condiiile variaiei mrimilor de comand ntre anumite limite i ale unei implementri ct mai avantajoase a legii de comand constituie o problem dificil. Majoritatea procedurilor de stabilizare prin reacie dup stare nu recurg la adoptarea direct a tuturor parametrilor BC-x, ci la adoptarea doar a celor n valori proprii ale matricei Ax = A + B K, adic la o procedur de alocare. O astfel de metod posed, ns, un numr de n(m1) grade de libertate. Diversele proceduri de alocare difer ntre ele prin modul de rezolvare a celor n(m1) grade de libertate, fiecare element al matricei K putnd constitui unul din gradele de libertate.

Atingerea performanelor impuse prin metoda de alocare necesit n consecin de cele mai multe ori un volum mare de calcule i realizeaz cu greu compromisul ntre obinerea unei viteze de reglare dorite i meninerea mrimilor de comand n domenii de variaie admise. Compensatorul (BC-x) optimal are avantaje tocmai din acest punct de vedere. Compromisul menionat poate fi realizat destul de simplu prin adoptarea adecvat matricelor de ponderare din FO. n plus, structura obinut este valabil att pentru procese variante n timp ct i pentru procese invariante n timp. C) Problema de stabilire a matricelor ponderare din funcia obiectiv (Qk i Rk) constituie problema cheie pentru aceast aplicaie. Numrul aplicaiilor tehnice de conducere optimal a proceselor industriale pentru care s existe FO bine precizate este redus. Dezideratele tehnico-economice sunt formulate de regul n termeni cantitativi impunndu-se condiii de tipul consum de energie ct mai redus, variaii ct mai mici ale uneia sau mai multor mrimi, etc.; totodat se impun i valori limit pentru indicatorii de calitate empirici de tip: suprareglaj, timp de cretere, timp de reglare, timp de prim reglare, amortizare, lrgime de band, etc. Toate acestea se refer la mrimi de intrare de referin sau de perturbaie bine precizate.

(RE Precup) 2.5 Elemente de optimizare parametric a sistemelor de reglare automat cu timp discret 95

Pe baza tuturor acestor cerine proiectantului de SRA i revine sarcina de a stabili forma FO pentru cazul concret. n asemenea situaii FO se stabilete iterativ modificndu-se componentele matricelor de ponderare (coeficienii de ponderare) pn cnd se ating performanele impuse.

Astfel, plecnd de la o prim form a FO stabilit de catre proiectant i care este apropiat sau departat de forma final, n funcie de experiena proiectantului se calculeaz coeficienii legii de comand, Kk. Se analizeaz apoi performanele realizate de SRAN obinut. Dac performanele impuse nu sunt ndeplinite, atunci din nou n funcie de experiena proiectantului se modific ponderile unor termeni din FO, eventual se adaug noi termeni i se repet proiectarea analizndu-se din nou performanele realizate.

Din punct de vedere statistic a rezultat c aceast metod conduce mai rapid la soluia final comparativ cu procedurile de alocare (de exemplu, [D2-1]).

Datorit dimensiunilor fizice diferite ale mrimilor ce intr n componena FO i domeniilor de valori admisibile ale mrimilor, prima form a FO se construiete considernd variabilele n valori normate. Normarea se face prin raportare la valori nominale i / sau maxime i coeficienii de ponderare rezult adimensionali pentru fiecare termen.

Dac, de exemplu, FO se refer la un sistem

IRA_Cap2

Documents

Transcript of IRA_Cap2