Interpolare

Dr. István Blahota

1 Ce este interpolarea?

Interpolarea este un procedeu matematic, pe parcursul c ruia leg m punctecu o curb  aparµinând unei clase de funcµii dat .

Întrucât punctele aparµin unei oarecare funcµii, curba de interpolare aprox-imeaz  curba funcµiei date. Pentru a putea s  aproxim m o funcµie, evidenttrebuie s  dispunem de informaµii despre ea. În baza acestor informaµii putemobµine diverse procedee de aproximare a funcµiilor. Unul dintre acestea estedeci, interpolarea.

Interpolarea are nenum rate aplicaµii practice. Adesea este utilizat  deexemplu pentru �netezirea� gra�celor �colµuroase� provenite din procedeele dee³antionare. Cu o tehnologie asem n toare acesteia se retu³eaz  imaginilem rite, a³a cum putem observa în �gura 1.

2 Interpolarea

2.1 Noµiuni de baz 

Notaµie: S  reprezinte R mulµimea numerelor reale, P mulµimea numerelorîntregi pozitive ³i N mulµimea numerelor întregi nenegative.

De�niµie 1. Fie [a, b] ⊂ R un interval real. Funcµia L(x) rezultat  din com-binaµia liniar  arbitrar  a a³a-numitelor funcµii elementare ψ1(x), . . . , ψn(x) :[a, b]→ R, o numim polinomul generalizat al funcµiilor elementare.

1

Figura 1: M rirea imaginii cu interpolare (în stânga) ³i f r 

Observaµie: Noi ne vom ocupa exclusiv cu funcµii reale, respectiv cu combi-naµii liniare reale, deci în cazul nostru

L(x) =n∑k=1

ckψk(x), ck ∈ R.

Observaµie: Denumirea de �polinom� provine evident din faptul c  alegereaψn(x) = xn−1 d  polinoamele clasice.

Cu astfel de polinoame generalizate L(x) vrem s  aproxim m o funcµief(x).

De�niµie 2. S  consider m funcµia f(x) : [a, b]→ R, despre care ³tim doar,c  în diferite puncte x1, . . . , xN ∈ [a, b] (în a³a-numitele noduri) se cunoscvalorile funcµiei. Pe parcursul interpol rii c ut m acele constante reale c1, . . . ,cn aparµin toare funcµiilor elementare �xate ψ1(x), . . . , ψn(x), care determin funcµia

L(x) =n∑k=1

ckψk(x),

undeL(xi) = f(xi), ∀i ∈ {1, . . . , N}.

În acest caz numim funcµia L(x), polinomul (generalizat) de interpolare afuncµiilor elementare.

2

Observaµie: Existenµa lui L(x) nu este evident , precum nici faptul c , dac exist  o asemenea funcµie, atunci în ce condiµii este univoc  acea funcµie.

Observaµie: Se poate întâmpla, c  nu funcµia f(x) este cunoscut , ci doarsunt date puncte de abcise diferite în plan, la care am dori s  tras m înanumite condiµii o curb . În acest caz putem folosi f r  probleme în loc def(xi) pe yi, unde yi indic  ordonata care aparµine lui xi.

Observaµie: Indexarea nodurilor nu înseamn  neap rat ³i ordinea lor înfuncµie de m rime.

2.2 Rezolvabilitate, rezolvare

De�niµie 3. Spunem despre un sistem de funcµii elementare ψ1(x), . . . , ψn(x)c  este de tip Cebî³ev, dac  polinomul generalizat L(x) rezultat din el, ar-bitrar, dar nu identic nul, are cel mult n − 1 zerouri diferite pe intervalul[a, b].

Teorem  1. Dac  un sistem de funcµii elementare este de tip Cebî³ev, atuncisistemul este liniar independent.

Demonstraµie. Trebuie s  ar t m, c  în cazul în care

L(x) =n∑k=1

ckψk(x) = 0, ∀x ∈ [a, b]

atuncic1 = · · · = cn = 0.

Deoarece, în caz contrar ar exista L(x) =∑n

k=1 ckψk(x) = 0, pentru ∀x ∈pe[a, b] nu doar cu coe�cienµi 0, ceea ce s-ar contrazice faptului, c  L(x) arecel mult n− 1 zerouri diferite pe [a, b].

De acum, în partea ce urmeaz  din curs, presupunem c  num rul nodurilor³i num rul de funcµii a sistemului de baz  corespund, adic  N = n.

Teorem  2. Pentru o funcµie f(x) : [a, b] → R ³i pentru nodurile x1, . . . ,xn ∈ [a, b] alese arbitrar exist  exact un polinom generalizat de interpolare,dac  sistemul de funcµii elementare ψ1, . . . , ψn este de tip Cebî³ev pe [a, b].Dac  aceast  condiµie este îndeplinit , atunci polinomul de interpolare esteunivoc.

3

Demonstraµie. Egalit µile∑n

k=1 ckψk(xi) = f(xi), i ∈ {1, . . . , n} le putemscrie ³i sub form  matriceal :

ψ1(x1) . . . ψn(x1). . .. . .. . .

ψ1(xn) . . . ψn(xn)

c1...cn

=

f(x1)...

f(xn)

,

sau ³i mai scurt: Ψc = f .Deoarece matricea Ψ care �gureaz  în partea stâng  este p trat , obµinem

univoc coe�cienµii c utaµi, dac  determinantul ei Ψ nu este nul, notat scurt|Ψ| 6= 0.

Demonstr m c , condiµia |Ψ| 6= 0 ³i faptul c  sistemul de funcµii ele-mentare ψ1, . . . , ψn este de tip Cebî³ev, sunt echivalente.

S  presupunem mai întâi, c  |Ψ| = 0. Atunci coloanele matricei Ψ suntliniar dependente, astfel exist  coe�cienµi d1, . . . , dn nu toµi nuli, pentru careL(xi) =

∑nk=1 dkψk(xi) = 0, pentruorice ∀i ∈ {1, . . . , n}. Aceasta înseamn ,

c  L(x) are cel puµin n zerouri, astfel ψ1, . . . , ψn nu este de tip Cebî³ev pe[a, b].

Pe de alt  parte, dac  ψ1, . . . , ψn nu este un sistem de funcµii elementarede tip Cebî³ev pe [a, b], atunci exist  o funcµie L(x) =

∑nk=1 ckψk(x) cu

cel puµin un coe�cient ck diferit de zero, care are cel puµin n zerouri pe[a, b]. S  alegem dintre zerouri n noduri, �e acestea x1, . . . , xn. Atunci∑n

k=1 ckψk(xi) = 0, i ∈ {1, . . . , n} este un sistem de ecuaµii liniar omogen,care are o soluµie netrivial . În acest caz îns  |Ψ| = 0.

Iar faptul c  polinomul de interpolare este univoc, rezult  imediat din|Ψ| 6= 0.

Observaµie: S  observ m, c  pentru univocitatea soluµiei am ales ca num rulnodurilor ³i al funcµiilor sistemului de baz  s  �e acela³i. Dac  alegem preamulte noduri, raportat la funcµiile sistemului de baz , se poate întâmpla, s nu se formeze un polinom de interpolare, pe când în caz invers, dac  nodurilesunt prea puµine, putem obµine prea multe (in�nit de multe) soluµii.

Un exemplu pentru prima situaµie este, c  prin trei puncte de poziµiegeneral , nu putem trasa o dreapt  (în acest caz sistemul de baz  const  dinfuncµiile 1 ³i x), pe când pentru a doua situaµie rezult  c  prin dou  punctepot trece in�nit de multe parabole (sistemul de baz  este tripletul 1, x ³ix2).

Exerciµiu 1. Fie ψ1(x) = 1, ψ2(x) = x, ψ3(x) = 2x, ψ4(x) = sin(πx2

),

iar nodurile s  �e x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2, de asemenea se mai

4

cunoa³te, c  f(x1) = 1, f(x2) = −1, f(x3) = 1, f(x4) = 2. S  scriemecuaµia polinomului generalizat de interpolare !

Rezolvare. Pentru scrierea sistemului de ecuaµii necesar rezolv rii exerciµiu-lui, vom aplica primii pa³i în demonstrarea teoremei 2. Deoarece

1 −1 2−1 sin(π·(−1)

2

)1 0 20 sin

(π·02

)1 1 21 sin

(π·12

)1 2 22 sin

(π·22

) =

1 −1 1

2−1

1 0 1 01 1 2 11 2 4 0

,

sistemul de ecuaµii va � urm torul:

c1 −c2 +12c3 −c4 = 1

c1 +c3 = −1c1 +c2 +2c3 +c4 = 1c1 +2c2 +4c3 = 2

.

Sistemul de ecuaµii obµinut se poate rezolva univoc, soluµia lui va � c1 = −9,c2 = −21

2, c3 = 8, c4 = 9

2, adic  ecuaµia polinomului generalizat c utat va �:

L(x) = −9− 21

2x+ 8 · 2x +

9

2sin(πx

2

).

Se poate observa u³or, c  L(−1) = 1, L(0) = −1, L(1) = 1, L(2) = 2, adic funcµia obµinut  are chiar proprietatea dorit , a³a cum se ³i poate vedea în�gura 2.

−1 0 1 2

1

−1

2

Figura 2: Funcµia L(x) = −9− 21

2x+ 8 · 2x +

9

2sin(πx

2

)

5

3 Interpolarea polinomial 

A³a cum am putut vedea în exerciµiul 1., prin alegerea special  a funcµiilorelementare putem obµine o funcµie de interpolare concret .

Cel mai des interpol m cu polinoame clasice, adic  ψ1(x) = 1, ψ2(x) =x, ψ3(x) = x2, . . . , ψn(x) = xn−1, pe scurt �e ψk(x) = xk−1, unde k ∈{1, . . . , n}. În cele ce urmeaz  ne vom ocupa doar de acest caz, astfel dac vorbim de interpolare, atunci începând de acum ne gândim exclusiv la inter-polare polinomial .

Observaµie: Fie acum de�nit  00, ap rut în cazul k = 1 ³i x = 0, iar valoareasa s  �e 1.

3.1 Unicitate ³i existenµ 

Teorem  3. Sistemul de funcµii elementare ψk(x) = xk−1, k ∈ {1, . . . , n}este de tip Cebî³ev.

Demonstraµie. În cazul interpol rii polinomiale, polinomul de interpolareaparµin toare sistemului de funcµii elementare cu n elemente este de cel multgrad n− 1. Astfel în cazul în care acesta nu are funcµia identic nul , atunciconform teoremei fundamentale a algebrei nici num rul r d cinilor sale nupoate � mai mare de n − 1. Aceasta semni�c  chiar a�rmaµia care trebuiedemonstrat .

Observaµie: Din aceasta rezult  ( folosind teorema 2.), c  în cazul interpol riipolinomiale întotdeauna exist  polinom de interpolare, ³i acesta este univoc.

Observaµie: S  observ m, c  în cazul interpol rii polinomiale matricea Ψformat  � s  not m în cele ce urmeaz  cu V (x1, . . . , xn) � îmbrac  forma demai jos: 1 x1 . . . xn−11

......

. . ....

1 xn . . . xn−1n

.

De�niµie 4. Fie xk ∈ R, k ∈ {1, . . . , n}. Matricea V (x1, . . . , xn) o numimmatricea Vandermonde.

Teorem  4. Determinantul matricei Vandermonde va �

|V (x1, . . . , xn)| =∏

1≤j<i≤n

(xi − xj).

6

Demonstraµie. Demonstraµia o realiz m conform inducµiei complete referi-toare la n.

Întrucât n = 2, atunci

|V (x1, x2)| =∣∣∣∣ 1 x1

1 x2

∣∣∣∣ = x2 − x1,

ceea ce ne-am ³i dorit.S  presupunem c  determinantul Vandermonde pentru n − 1 are forma

corespunz toare, adic 

|V (x1, . . . , xn−1)| =∏

1≤j<i≤n−1

(xi − xj).

S  calcul m valoarea lui

|V (x1, . . . , xn)| =

∣∣∣∣∣∣∣1 x1 . . . xn−11...

.... . .

...1 xn . . . xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣. Prima dat  sc dem ultimul rând din toate cel lalte rânduri. Valoareadeterminantului nu se modi�c :

|V (x1, . . . , xn)| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 x1 − xn . . . xn−11 − xn−1n...

.... . .

...0 xn−1 − xn . . . xn−1n−1 − xn−1n

1 xn . . . xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Dezvoltând determinantul dup  coloana întâi, obµinem

|V (x1, . . . , xn)| = (−1)n+1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x1 − xn . . . xn−11 − xn−1n

x2 − xn . . . xn−12 − xn−1n...

. . ....

xn−1 − xn . . . xn−1n−1 − xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Dac  scoatem din primul rând pe (x1−xn), din al doilea pe (x2−xn), ³i a³amai departe, din ultimul pe (xn−1 − xn), rezult  determinantul de mai jos:∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 x1 + xn x21 + x1xn + x2n . . . xn−21 + xn−31 xn + · · ·+ xn−2n

1 x2 + xn x22 + x2xn + x2n . . . xn−22 + xn−32 xn + · · ·+ xn−2n...

......

. . ....

1 xn−1 + xn x2n−1 + xn−1xn + x2n . . . xn−2n−1 + xn−3n−1xn + · · ·+ xn−2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .7

Iar din ultima coloan , din penultima coloan , ³i a³a mai departe pân  la adoua coloan  a acestuia, sc zând una dup  alta coloana anterioar  înmulµit cu xn, îl obµinem chiar pe |V (x1, . . . , xn−1)|. La pasul urm tor schimb mîntre ei membrii desc zuµi ³i membrii sc z tori existenµi între paranteze, apoiaplic m condiµia inducµiei:

|V (x1, . . . , xn)| = (x1 − xn) . . . (xn−1 − xn)(−1)n+1|V (x1, . . . , xn−1)|= (xn − x1) . . . (xn − xn−1)|V (x1, . . . , xn−1)|= (xn − x1) . . . (xn − xn−1)

∏1≤j<i≤n−1

(xi − xj)

=∏

1≤j<i≤n

(xi − xj).

Cu aceasta am terminat demonstraµia.

Observaµie: Deoarece nodurile noastre sunt diferite, determinantul matriceiVandermonde rezultat în cazul interpol rii polinomiale difer  întotdeaunade zero. ³i din aceasta rezult  deci, c  în cazul interpol rii polinomiale în-totdeauna exist  un polinom de interpolare de cel înalt grad n − 1, ³i acelpolinom este univoc.

3.2 Determinarea polinomului de interpolare

3.2.1 Metoda clasic 

Polinomul de interpolare îl putem determina prin rezolvarea sistemuluiregulat de ecuaµii liniare obµinut. S  numim aceast  metoda clasic . Re-zolvarea sistemului de ecuaµii în sine se poate realiza utilizând o metod arbitrar  cunoscut , de exemplu metoda de eliminare Gauss sau regula luiCramer.

Exerciµiu 2. S  consider m nodurile x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2,respectiv, s  presupunem c  f(x1) = 1, f(x2) = −1, f(x3) = 1, f(x4) = 2.S  determin m funcµia de interpolare!

Rezolvare. Deoarece1 −1 (−1)2 (−1)3

1 0 02 03

1 1 12 13

1 2 22 23

=

1 −1 1 −11 0 0 01 1 1 11 2 4 8

,

8

sistemul de ecuaµii va � urm torul:

c1 −c2 +c3 −c4 = 1c1 = −1c1 +c2 +c3 +c4 = 1c1 +2c2 +4c3 +8c4 = 2

.

Rezolvarea sistemului de ecuaµii c1 = −1, c2 = 56, c3 = 2, c4 = −5

6, adic 

ecuaµia polinomului c utat va �:

L(x) = −1 +5

6x+ 2x2 − 5

6x3.

Putem observa, c  L(−1) = 1, L(0) = −1, L(1) = 1, L(2) = 2, adic polinomul obµinut chiar dispune de propriet µile dorite, a³a cum se poatevedea pe �gura 3.

−1 0 1 2

1

−1

2

Figura 3: Funcµia L(x) = −1 +5

6x+ 2x2 − 5

6x3

3.2.2 Interpolare Lagrange

Cu ajutorul interpol rii Lagrange putem realiza o funcµie de interpolareprintr-o alt  metod , mai constructiv .

Fie −∞ < a ≤ x1, . . . , xn ≤ b < ∞ noduri. În primul rând obµinemfuncµii lk(x), pentru care

lk(x) =

{1 dac  x = xk0 dac  x = xi, unde i ∈ {1, . . . n}, dar i 6= k.

9

Polinom de cel înalt grad n− 1 cu astfel de propriet µi, putem obµine înfelul urm tor:

lk(x) =(x− x1) . . . (x− xk−1)(x− xk+1) . . . (x− xn)

(xk − x1) . . . (xk − xk−1)(xk − xk+1) . . . (xk − xn)=

n∏i=1i 6=k

x− xixk − xi

.

Se poate observa u³or, c  aceste funcµii au chiar propriet µile dorite.Deoarece în nodurile x1, . . . , xn se cunosc valorile funcµiei f(x) de aproxi-

mat, cu ajutorul funcµiilor lk(x) astfel de�nite putem obµine u³or acel polinomde cel înalt grad n− 1, notat cu L(x), care ia acelea³i valori în noduri, ca ³if(x), a³a cum am putut observa ³i în de�niµia 5.

De�niµie 5. Funcµia

L(x) =n∑k=1

f(xk)lk(x) =n∑k=1

f(xk)n∏i=1i 6=k

x− xixk − xi

îl numim polinomul de interpolare Lagrange corespunz tor nodurilor x1, . . . , xn.

Observaµie: Dac  n = 1, atunci L(x) = f(x1).

Observaµie: S  observ m, c  în cazul unui num r de n noduri polinomul deinterpolare Lagrange va � un polinom de cel înalt grad n − 1, ba chiar a³acum se observ  ³i din construcµia sa, trebuie s  corespund  cu polinomul deinterpolare adecvat.

Exerciµiu 3. S  consider m nodurile x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2,respectiv s  presupunem, c  f(x1) = 1, f(x2) = −1, f(x3) = 1, f(x4) = 2.S  determin m polinomul de interpolare Lagrange!

Rezolvare. S  scriem prima dat  funcµiile lk(x), k ∈ {1, 2, 3, 4}:

l1(x) =x(x− 1)(x− 2)

(−1− 0)(−1− 1)(−1− 2)= −x(x− 1)(x− 2)

6,

l2(x) =(x+ 1)(x− 1)(x− 2)

(0− (−1))(0− 1)(0− 2)=

(x+ 1)(x− 1)(x− 2)

2,

l3(x) =(x+ 1)x(x− 2)

(1− (−1))(1− 0)(1− 2)= −(x+ 1)x(x− 2)

2,

l4(x) =(x+ 1)x(x− 1)

(2− (−1))(2− 0)(2− 1)=

(x+ 1)x(x− 1)

6.

10

De aici

L(x) = 1 ·(−x(x− 1)(x− 2)

6

)+ 0 · (x+ 1)(x− 1)(x− 2)

2

−1 ·(−(x+ 1)x(x− 2)

2

)+ 2 · (x+ 1)x(x− 1)

6

= −1 +5

6x+ 2x2 − 5

6x3,

a³a cum era de a³teptat, deoarece nu puteam obµine alt rezultat, decât încazul exerciµiului 3.

3.2.3 Interpolarea iterativ  a lui Neville

Punctul slab al metodelor prezentate pân  acum, const  în faptul c dac  lu m un nod nou, trebuie s  începem din nou toate calculele, calculeleparµiale formate anterior nu vor � de niciun folos.

Acest neajuns este remediat de metodele de interpolare iterativ . În celece urmeaz  vom face cuno³tinµ  cu una dintre ele, ³i anume interpolareaiterativ  a lui Neville. O metod  asem n toare a fost elaborat  ³i de c treAitken.

Notaµie: Notaµi cu L(n1,...,nk)(x) polinomul de interpolare generat de nodurilexn1 , . . . , xnk

.Metoda lui Neville se bazeaz  pe urm toarea identitate.

Teorem  5. Fie 1 ≤ k < n. Atunci

L(k,...,n)(x) =1

xn − xk

∣∣∣∣ L(k,...,n−1)(x) xk − xL(k+1,...,n)(x) xn − x

∣∣∣∣ .Demonstraµie. S  not m expresia din partea dreapt  a egalit µii cu L̃(k,...,n)(x).

S  presupunem prima dat , c  x = xl, unde k < l < n. Atunci

L̃(k,...,n)(x) =1

xn − xk

∣∣∣∣ f(xl) xk − xlf(xl) xn − xl

∣∣∣∣=

1

xn − xkf(xl)(xn − xk) = f(xl)

= L(xl).

11

Fie apoi x = xk. În acest caz

L̃(k,...,n)(x) =1

xn − xk

∣∣∣∣ f(xk) 0L(k+1,...,n)(xk) xn − xk

∣∣∣∣=

1

xn − xkf(xk)(xn − xk) = f(xk)

= L(xk).

În mod asem n tor, dac  x = xn, atunci

L̃(k,...,n)(x) =1

xn − xk

∣∣∣∣ L(k,...,n−1)(xn) xk − xnf(xn) 0

∣∣∣∣=

1

xn − xk(−f(xn)(xk − xn)) = f(xn)

= L(xn).

Am demonstrat deci, c  L̃(k,...,n)(xl) = f(xl), pentruorice ∀l ∈ {k, . . . , n}. Pede alt  parte, deoarece L(k,...,n−1)(x) ³i L(k+1,...,n)(x) sunt polinoame de celmare grad n − k − 1, de aceea L̃(k,...,n)(x) este un polinom de cel mare gradn− k.

Rezumând toate acestea rezult  c  L̃(k,...,n)(x) datorit  univocit µii nupoate � altul, decât un polinom de interpolare corespunz tor nodurilor xk, . . . ,xn, adic 

L̃(k,...,n)(x) = L(k,...,n)(x).

Acest lucru am dorit s  îl demonstr m.

Aplicând teorema de mai sus � înaintând de la un rând la alt rând ³iutilizând calculele anterioare � putem calcula pân  la adâncimea dorit  dateletabelului Neville de mai jos:

x1 x1 − x L(1)(x)x2 x2 − x L(2)(x) L(1,2)(x)x3 x3 − x L(3)(x) L(2,3)(x) L(1,2,3)(x)x4 x4 − x L(4)(x) L(3,4)(x) L(2,3,4)(x) L(1,2,3,4)(x)...

......

......

.... . .

Exerciµiu 4. S  consider m nodurile x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2,respectiv s  presupunem, c  f(x1) = 1, f(x2) = −1, f(x3) = 1, f(x4) = 2.S  determin m polinomul de interpolare utilizând metoda lui Neville!

12

Rezolvare. S  complet m primele patru rânduri ale tabelului de tip Neville!Cu ocazia complet rii rândurilor de la stânga la dreapta s  folosim atâtelementele rândului actual, cât ³i elementele rândurilor precedente!

Completarea primului rând este trivial :

−1 − 1− x 1.

Deoarece

L(1,2)(x) =1

x2 − x1

∣∣∣∣ L(1)(x) x1 − xL(2)(x) x2 − x

∣∣∣∣ =1

0− (−1)

∣∣∣∣ 1 −1− x−1 0− x

∣∣∣∣= −1− 2x,

al doilea rând se formeaz  în felul urm tor:

0 0− x − 1 − 1− 2x.

Acum urmeaz  L(2,3)(x) ³i L(1,2,3)(x):

L(2,3)(x) =1

x3 − x2

∣∣∣∣ L(2)(x) x2 − xL(3)(x) x3 − x

∣∣∣∣ =1

1− 0

∣∣∣∣ −1 0− x1 1− x

∣∣∣∣= −1 + 2x,

L(1,2,3)(x) =1

x3 − x1

∣∣∣∣ L(1,2)(x) x1 − xL(2,3)(x) x3 − x

∣∣∣∣=

1

1− (−1)

∣∣∣∣ −1− 2x −1− x−1 + 2x 1− x

∣∣∣∣= −1 + 2x2,

de aceea al treilea rând va �:

1 1− x 1 − 1 + 2x − 1 + 2x2.

Mai r mâne determinarea lui L(3,4)(x), L(2,3,4)(x) ³i L(1,2,3,4)(x):

L(3,4)(x) =1

x4 − x3

∣∣∣∣ L(3)(x) x3 − xL(4)(x) x4 − x

∣∣∣∣ =1

2− 1

∣∣∣∣ 1 1− x2 2− x

∣∣∣∣= x,

L(2,3,4)(x) =1

x4 − x2

∣∣∣∣ L(2,3)(x) x2 − xL(3,4)(x) x4 − x

∣∣∣∣ =1

2− 0

∣∣∣∣ −1 + 2x 0− xx 2− x

∣∣∣∣= −1 +

5

2x− 1

2x2

13

³i în sfâr³it

L(1,2,3,4)(x) =1

x4 − x1

∣∣∣∣ L(1,2,3)(x) x1 − xL(2,3,4)(x) x4 − x

∣∣∣∣=

1

2− (−1)

∣∣∣∣ −1 + 2x2 −1− x−1 + 5

2x− 1

2x2 2− x

∣∣∣∣= −1 +

5

6x+ 2x2 − 5

6x3.

Evident ³i în acest caz am obµinut acelea³i soluµii ca ³i în cazul exerciµiului2. ³i 3.

S  scriem aici ³i al patrulea rând:

2 2− x 2 x − 1 +5

2x− 1

2x2 − 1 +

5

6x+ 2x2 − 5

6x3.

În �gura 4. putem vedea în prezentare animat  polinoamele de interpo-lare: L(1)(x) corespunz tor punctului x1, L(1,2)(x) corespunz tor punctelorx1, x2, L(1,2,3)(x) corespunz tor punctelor x1, x2, x3 ³i L(1,2,3,4)(x) corespunz -tor punctelor x1, x2, x3, x4 (în varianta tip rit  se poate vedea L(1)(x)).

Figura 4: Pa³ii interpol rii iterative

3.3 Estimarea erorilor, convergenµ 

3.3.1 Noduri de poziµie general 

Notaµie:

ω(x) =n∏k=1

(x− xk).

14

Teorem  6. Fie funcµia f(x) de n ori derivabil  pe intervalul [a, b]. Atuncipentru ∀x ∈ [a, b] exist  ∃ξ ∈ [a, b], astfel încât

f(x)− L(x) =f (n)(ξ)

n!ω(x).

Demonstraµie. Dac  x = xk este îndeplinit pentru oarecare k ∈ {1, . . . , n},atunci f(xk) = L(xk) ³i ω(xk) = 0, astfel egalitatea de demonstrat esteîndeplinit .

Deci, s  presupunem c  x ∈ [a, b] nu este nod. Atunci ω(x) 6= 0, de aceeaputem de�ni funcµia de mai jos:

g(z) = f(z)− L(z)− ω(z)

ω(x)(f(x)− L(x)), z ∈ [a, b],

care datorit  condiµiilor teoremei este de asemenea de n ori derivabil  pe[a, b]. S  observ m, c  g(x1) = · · · = g(xn) = g(x) = 0, deci g(z) va avea celpuµin n+ 1 zerouri diferite pe [a, b].

Între zerourile funcµiei derivabile conform teoremei lui Rolle, întotdeaunaexist  un punct în care derivata este nul . Aplicând aceasta pentru g(z)primim, c  g′(z) are cel puµin n, apoi aplicând pentru g′(z) obµinem c  g′′(z)are cel puµin n − 1, ³i a³a mai departe g(n)(z) are cel puµin un zerou ξ(bineînµeles dependent  de x) pe [a, b].

Deoarece L(z) este cel mare grad n− 1, astfel L(n)(z) = 0. De asemenease observ  u³or, c  ω(z) este un polinom exact de grad n, al c rui coe�cientprincipal este 1, astfel este evident, c  ω(n)(z) = n!. Rezumând toate acestearezult  c 

g(n)(z) = f (n)(z)− n!

ω(x)(f(x)− L(x)), z ∈ [a, b],

de unde prin substituµia z = ξ, obµinem

0 = g(n)(ξ) = f (n)(ξ)− n!

ω(x)(f(x)− L(x)).

Rearanjând egalitatea primit  ajungem la a�rmaµia care trebuia demon-strat .

Exerciµiu 5. S  d m o estimare cu ajutorul teoremei 6. pentru eroarea deaproximare prin interpolare luat  în punctul cu abscisa 2 a funcµiei

√x, dac 

am ales ca noduri punctele x1 = 1, x2 = 3625, x3 = 49

25, x4 = 64

25, x5 = 81

25, x6 =

4 !

15

Rezolvare. Deoarece (√x)(6) = − 945

64x112, de aceea în cazul în care x ≥ 1,

|(√x)(6)| ≤ 945

64, respectiv un calcul simplu arat , c  ω(2) = − 12152

390625. Astfel,

în baza teoremei 6.

|√

2− L(2)| ≤94564

6!

12152

390625=

31899

50000000< 7 · 10−4.

Observaµie: Alegerea nodurilor poate � justi�cat  prin faptul c , deoareceacestea sunt p trate ale numerelor raµionale, L(2) d  aproximarea raµional a num rului iraµional

√2.

Notaµie: Fie Ln(x) o serie de funcµii de interpolare corespunz toare la seriilede noduri −∞ < a ≤ x

(n)1 , . . . , x

(n)n ≤ b < ∞. În acest caz, în loc de ω(x)

folosim expresia

ωn(x) =n∏k=1

(x− x(n)k ).

Observaµie: Bineînµeles, pentru noi sunt valoroase acele polinoame de in-terpolare, în cazul c rora este îndeplinit  lim

n→∞Ln(x) = f(x) pentru noduri

x ∈ [a, b], unde dorim s  estim m valorile f(x).Cel mai bine ar � bineînµeles, dac  am reu³i s  g sim asemenea condiµii,

pentru care convergenµa ar � îndeplinit  pentru �ecare punct x ∈ [a, b].Despre asta (³i despre mai multe) este vorba în urm toarea teorem , careare mari a³tept ri de la f(x): presupunem despre ea, c  este derivabil  deori de câte ori pe întreg intervalul [a, b].

Teorem  7. Dac  ∃M > 0, pentru care |f (n)(x)| ≤Mn este îndeplinit pentruorice ∀x ∈ [a, b] pentru orice ∀n ∈ N, atunci

limn→∞

maxx∈[a,b]

|f(x)− Ln(x)| = 0.

Demonstraµie. Aplicând teorema 6. obµinem

|f(x)− Ln(x)| = |f(n)(ξ)|n!

|ωn(x)| < Mn

n!(b− a)n =

cn

n!→ 0.

Maximul evident exist , deoarece funcµia |f(x) − Ln(x)| este continu  peintervalul închis [a, b], astfel convergenµa nu va � doar pe noduri, ci ³i uni-form .

16

Observaµie: Deci teorema 7. o putem formula ³i în a³a fel încât, dac ∃M > 0, pentru care |f (n)(x)| ≤ Mn este îndeplinit pentru orice ∀x ∈ [a, b],atunci polinoamele de interpolare Ln(x) converg uniform la funcµia f(x) pe[a, b].

Observaµie: S  observ m c  despre noduri am presupus doar atât, c  num rullor tinde c tre in�nit. Nu este necesar, ca ele s  �e poziµionate uniform, leputem limita chiar ³i pe o mic  porµiune a intervalului [a, b]. În subcapitolul3.3.2. vom vedea c , cu un sistem de noduri poziµionat special putem obµinepolinoame de interpolare care converg mai rapid.

Exerciµiu 6. S  demonstr m, c  polinoamele de interpolare converg uniformla funcµia f(x) = e2x, dac  num rul nodurilor din intervalul [0, 1

2] este n →

∞! Care este situaµia, dac  f(x) = 1x+1

? Ne ajut  în deciderea acestuiateorema 7.?

Rezolvare. În cazul în care f(x) = e2x, se poate observa u³or c , f (n)(x) =2ne2x, astfel dac  x ≤ 1

2, atunci ca urmare a monotoniei funcµiei exponenµiale

|f (n)(x)| ≤ 2ne < 6n,

din care rezult  în baza teoremei 7. convergenµa uniform .Dac  f(x) = 1

x+1, un calcul simplu arat  c , f (n)(x) = (−1)nn!

(x+1)n+1 , de unde

datorit  monotoniei lui f (n)(x) pentru orice ∀x ≥ 0 rezult  c 

n!(32

)n+1 ≤ |f(n)(x)|.

Pentru îndeplinirea condiµiilor teoremei 7. ar trebui s  existe M > 0, pentrucare |f (n)(x)| ≤ Mn este îndeplinit pentru orice ∀x ∈ [0, 1

2]. Dac  ar � un

astfel de M , atunci pentru acesta n!

( 32)

n+1 ≤ Mn, ³i astfel ³i n!

( 3M2 )

n ≤ 32ar �

adev rat, dar acest lucru nu este posibil pentru �ecare n, deoarece n!cn→∞.

Mai precis, aplicând teorema 7. nu putem decide în privinµa îndepliniriiconvergenµei uniforme.

S  observ m c  de fapt ³i aici exist  convergenµa uniform . Deoarecedatorit  lui f (n)(x) = (−1)nn!

(x+1)n+1 este îndeplinit  ³i

|f (n)(x)| ≤ n!,

dac  x ≥ 0. Iar de aici, datorit  teoremei 6.

|f(x)− Ln(x)| = |f(n)(ξ)|n!

|ωn(x)| ≤ |ωn(x)| <(

1

2

)n→ 0.

17

Notaµie: Fieh = max

k∈{1,...,n−1}(xk+1 − xk),

respectiv în cazul unei serii de noduri

hn = maxk∈{1,...,n−1}

(x(n)k+1 − x

(n)k ).

Lem  1. Dac  x ∈ [a, b], atunci

|ω(x)| ≤ hn(n− 1)!

4.

Demonstraµie. Dac  x = xk este îndeplinit pentru oarecare k ∈ {1, . . . , n},atunci în acest caz inegalitatea de demonstrat este evident adev rat , deoareceω(xk) = 0.

Se observ  u³or c , dac  x ∈ (xk, xk+1), k ∈ {1, . . . , n−1}, atunci datorit inegalit µii aritmetice-geometrice

√(x− xk)(xk+1 − x) ≤ xk+1−xk

2, de unde

|x− xk||x− xk+1| = (x− xk)(xk+1 − x) ≤(xk+1 − xk

2

)2

≤ h2

4.

S  folosim,|ω(x)| = |x− x1| . . . |x− xn|.

Astfel, dac  x ∈ (x1, x2), atunci

|ω(x)| ≤ h2

4· 2h · 3h · . . . · (n− 1)h =

hn(n− 1)!

4,

dac  x ∈ (x2, x3), atunci

|ω(x)| ≤ 2h · h2

4· 2h · 3h · . . . · (n− 2)h =

hn2!(n− 2)!

4,

dac  x ∈ (x3, x4), atunci

|ω(x)| ≤ 3h · 2h · h2

4· 2h · 3h · . . . · (n− 3)h =

hn3!(n− 3)!

4,

³i a³a mai departe, dac  x ∈ (xn−2, xn−1), atunci

|ω(x)| ≤ (n− 2)h · . . . · 2h · h2

4· 2h =

hn2!(n− 2)!

4,

18

respectiv, dac  x ∈ (xn−1, xn), atunci

|ω(x)| ≤ (n− 1)h · . . . · 3h · 2h · h2

4=hn(n− 1)!

4.

Deoarece, în cazul în care 1 ≤ k ≤ n, k!(n−k)! ≤ (n−1)!, putem observa c funcµia |ω(x)| am estimat-o mai sus cu cea mai mare expresie, pentru primul³i ultimul interval. Aceasta ne d  exact a�rmaµia care trebuie demonstrat .

Teorem  8. Pentru �ecare x ∈ [a, b], pentru care este îndeplinit |f (n)(x)| ≤Mn, exist 

|f(x)− L(x)| ≤ Mnhn

4n.

Demonstraµie. În baza teoremei 6. ³i lemei 1. este evident, c 

|f(x)− L(x)| = |f(n)(ξ)|n!

|ω(x)| ≤ Mn

n!

hn(n− 1)!

4=Mnh

n

4n.

Observaµie: A�rmaµia teoremei 8. puteam evident prezenta ³i ca

|f(x)− Ln(x)| ≤ Mnhnn

4n.

Exerciµiu 7. Vrem s  determin m valorile funcµiei sinx pe intervalul [0, 1],cu exactitate de cel puµin 6 zecimale. În acest scop potrivim un polinom deinterpolare la capetele intervalului, respectiv la acele puncte, care se formeaz cu ocazia diviz rii intervalului în p rµi egale. Cel puµin câte noduri trebuies  lu m în acest mod?

Rezolvare. Deoarece (sinx)(n) rezult  din funcµiile ± sinx ³i ± cosx, de aceeapentru un x arbitrar |(sinx)(n)| ≤ 1. Pe de alte parte, atunci se formeaz  npuncte de diviziune în modul dorit, dac  diviz m intervalul [0, 1] în n−1 p rµiegale, de aceea distanµa dintre punctele de diviziune vecine va � frac1n− 1,adic  hn = 1

n−1 .Astfel, aplicând teorema 8. obµinem

| sinx− Ln(x)| ≤1 ·(

1n−1

)n4n

=1

4n(n− 1)n.

Seria format  în partea dreapt  a inegalit µii este strict monoton descresc -toare, valoarea sa este mai mare pentru n = 6, decât 2 · 10−6, mai mic pentru n = 7, decât 2 · 10−7, astfel în baza teoremei 8. trebuie s  lu m celpuµin 7 noduri în modul de�nit în exerciµiu pentru îndeplinirea exactit µiidorite.

19

3.3.2 Noduri Cebî³ev

De�niµie 6. Funcµia

Tn(x) = cos(n arccosx), x ∈ [−1, 1], n ∈ N

o numim polinom Cebî³ev de grad n.

Observaµie: Faptul c  Tn(x) este polinom, ³i înc  de grad n, nu este delocevident. Îns  este adev rat, a³a cum a�rm  ³i teorema 9.

Teorem  9. Funcµia Tn(x) este polinom de grad n pe [−1, 1], al c rui coe�-cient principal în cazul n ∈ P este 2n−1.

Demonstraµie. S  introducem notaµia θ = arccosx. Atunci

Tn±1(x) = cos((n± 1)θ) = cos(nθ ± θ) = cos(θ) cos(nθ)∓ sin(θ) sin(nθ)

= xTn(x)∓ sin(θ) sin(nθ),

de undeTn−1(x) + Tn+1(x) = 2xTn(x),

adic Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x), pentru ∀x ∈ [−1, 1].

S  ad ug m la aceasta, c  T0(x) = cos 0 = 1, respectiv c  T1(x) =cos(arccosx) = x, ³i am obµinut o formul  recursiv  pentru Tn(x). Din for-mula recursiv  se poate deduce c  Tn(x) este polinom pentru �ecare n, graduls u la �ecare pas cre³te cu unu, ³i c  în cazul lui n ≥ 2 coe�cientul principalal �ec rui membru este dublul precedentului. Cu aceasta am demonstrata�rmaµiile teoremei.

De�niµie 7. Funcµia

T̃n(x) = 21−nTn(x), n ∈ P, T̃0(x) = 1, x ∈ [−1, 1]

o numim polinom Cebî³ev de grad n normat  pe 1.

Observaµie: Denumirea este justi�cat  de faptul ce rezult  din teorema 9.,conform c reia funcµia T̃n(x) este polinom de grad n cu coe�cientul principal1.

Observaµie: Speci�cul, ³i în acela³i timp utilitatea polinoamelor Cebî³ev esteprezentat  de c tre urm toarea teorem .

20

Teorem  10. Dintre polinoamele de grad n cu coe�cient principal 1, polino-mul Cebî³ev de grad n normat pe 1 va � cel a c rui valoare absolut  va luacea mai mic  valoare maxim  pe intervalul [−1, 1].

Demonstraµie. Datorit  propriet µilor funcµiei cosx, maximul lui Tn(x) va �1, minimul −1, respectiv va lua aceste valori alternativ în total de n + 1ori, �indc  soluµiile ecuaµiilor cos(n arccosx) = ±1 vor � xk = cos kπ

n, unde

k ∈ {0, 1, . . . , n}. Evident ³i punctele de extrem  a lui T̃n(x) vor � tot aici.S  presupunem în mod indirect, c  exist  un polinom de grad n cu coe-

�cient principal 1 notat cu p(x), pentru care

maxx∈[−1,1]

|p(x)| < maxx∈[−1,1]

|T̃n(x)|.

În acest caz polinomul r(x) = p(x)− T̃n(x) este de cel mult gradul n−1, îns între punctele de extrem ar tebui s  schimbe semnul, între cele n+ 1 punctede cel puµin n ori. Iar acesta este o contradicµie, deoarece un polinom de celmai mare grad n−1 doar atunci poate avea mai mult de n−1 r d cini, dac este nul, dar un polinom cu coe�cientul principal 1 nu poate � astfel.

Observaµie: Tot din propriet µile funcµiei cosx rezult  c ,

−21−n ≤ T̃n(x) ≤ 21−n.

Observaµie: R d cinile polinomului Cebî³ev de grad n (care sunt ³i r d cinilepolinomului Cebî³ev de grad n normat  la 1) sunt soluµiile ecuaµieicos(n arccosx) = 0. Atunci n arccosxk = π

2+ kπ, de unde (luând în consid-

erare, c  0 ≤ arccosx ≤ π) obµinem soluµia diferit  n de mai jos:

xk = cos(2k − 1)π

2n, k ∈ {1, . . . , n}.

De�niµie 8. R d cinile polinomului Cebî³ev le numim nodurile Cebî³ev aintervalului [−1, 1].

Observaµie: n numere de noduri Cebî³ev le obµinem chiar din polinomulCebî³ev de grad n.

Teorem  11. S  presupunem c , |f (n)(x)| ≤Mn este îndeplinit pentru orice∀x ∈ [−1, 1]. Dac  nodurile interpol rii sunt de tip Cebî³ev, atunci pentruorice ∀x ∈ [−1, 1]

|f(x)− L(x)| ≤ Mn

2n−1n!.

21

Demonstraµie. Fie nodurile interpol rii de tip Cebî³ev. În acest caz ω(x) =T̃n(x), deoarece r d cinile lor sunt identice ³i ambele sunt polinoame de gradexact n, cu coe�cientul principal 1. Deoarece |T̃n(x)| ≤ 21−n, aplicând teo-rema 6. este îndeplinit

|f(x)− L(x)| = |f(n)(ξ)|n!

|ω(x)| ≤ Mn

2n−1n!

pentru orice ∀x ∈ [−1, 1].

Observaµie: Importanµa nodurilor Cebî³ev este dat  de faptul c , (a³a cumse observ  din teorema 10.) max

x∈[a,b]|ω(x)| cu ele va � cel mai mic, de aceea

cu ele se poate obµine cea mai bun  estimare a aproxim rii uniforme a lui|f(x)− L(x)|. Deci, în cazul în care avem posibilitatea, merit  s  alegem canodurile s  �e de tip Cebî³ev, evident pentru n noduri r d cinile polinomuluiCebî³ev de grad n.

Observaµie: În cazul în care în locul intervalului [−1, 1] interpol m pe uninterval real arbitrar [a, b], aplic m asupra nodurilor Cebî³ev aceia³i transfor-mare liniar , cu ajutorul c reia din [−1, 1] obµinem pe [a, b]. Nodurile astfelobµinute vor îndeplini pe [a, b] rolul nodurilor Cebî³ev.

În primul pas m rim intervalul [−1, 1] de lungime 2 la lungimea b− a. Înacest caz se formeaz  intervalul [− b−a

2, b−a

2], care are deja lungimea corespun-

z toare, dar mai trebuie prelungit în a³a fel încât cap tul inferior s  �e în a,adic  la ambele capete a intervalului ad ug m a−

(− b−a

2

). Aplicând aceea³i

transformare pentru nodurile Cebî³ev, obµinem nodurile Cebî³ev aparµin -toare intervalului [a, b] :

xkb− a

2+ a−

(−b− a

2

)= xk

b− a2

+a+ b

2,

unde k ∈ {1, . . . , n}, respectiv am notat cu xk nodurile Cebî³ev a intervalului[−1, 1].

În baza acestora este justi�cat  de�niµia 9.

De�niµie 9. Punctele

a+ b

2+b− a

2cos

(2k − 1)π

2n, k ∈ {1, . . . , n}

le numim nodurile Cebî³ev a intervalului [a, b].

22

Teorem  12. S  presupunem c , |f (n)(x)| ≤Mn este îndeplinit pentru orice∀x ∈ [a, b]. Dac  nodurile interpol rii sunt de tip Cebî³ev pe [a, b], atuncipentru orice ∀x ∈ [a, b]

|f(x)− L(x)| ≤ Mn(b− a)n

22n−1n!.

Demonstraµie. Notaµi cu x1, . . . , xn nodurile Cebî³ev a intervalului [−1, 1],respectiv cu ω[−1,1](x) a intervalului [−1, 1], iar cu ω[a,b](x) funcµia ω(x) gen-erat  de nodurile Cebî³ev a intervalului [a, b]. Atunci

ω[a,b](x) =n∏k=1

(x− a+ b

2− b− a

2xk

)=

n∏k=1

((2x− a− bb− a

− xk)b− a

2

)=

(b− a

2

)nω[−1,1]

(2x− a− bb− a

),

de unde, datorit  lui |ω[−1,1](x)| = |T̃n(x)| ≤ 21−n rezult 

maxx∈[a,b]

|ω[a,b](x)| =(b− a

2

)nmaxx∈[−1,1]

|ω[−1,1](x)| ≤(b− a

2

)n21−n.

În �ne, datorit  teoremei 6. este îndeplinit

|f(x)− L(x)| = |f(n)(ξ)|n!

|ω[a,b](x)| ≤ Mn(b− a)n

22n−1n!

pentru orice ∀x ∈ [a, b].

Exerciµiu 8. S  rezolv m exerciµiul 7. cu noduri Cebî³ev! Observ m vreomodi�care a rezultatului?

Rezolvare. ³i în acest caz putem utiliza, c  |(sinx)(n)| ≤ 1. Datorit  teoremei12.

| sinx− Ln(x)| ≤ |Mn|(b− a)n

22n−1n!≤ 1

22n−1n!.

Seria format  în partea dreapt  a inegalit µii este strict monoton descresc -toare, valoarea ei este mai mare pentru n = 5, decât 10−5, mai mic  pentrun = 6, decât 7 · 10−7, astfel, în baza teoremei 12. trebuie s  lu m cel puµin6 noduri Cebî³ev (adic  r d cinile polinomului Cebî³ev de grad 6) pentruîndeplinirea exactit µii dorite.

Mai precis, folosind noduri Cebî³ev va � îndeajuns cel puµin un nod pentruîndeplinirea condiµiilor exerciµiului, decât în cazul în care nodurile le-amobµinut divizând intervalul în p rµi egale.

23

Exerciµiu 9. S  demonstr m c  polinoamele de interpolare converg uniformla funcµia f(x) = 1

x+ cos(3x), în m sura în care num rul nodurilor Cebî³ev

pe intervalul [1, 3] este n→∞! Ajut  oare la demonstraµie teorema 7.?

Rezolvare. Deoarece f (n)(x) este una dintre funcµiile − n!xn+1 ± 3n sin(3x) ³i

n!xn+1 ± 3n cos(3x), de aceea |f (n)(x)| ≤ n! + 3n = Mn, dac  x ≥ 1. Astfel, înbaza teoremei 12.

|f(x)− Ln(x)| ≤ (n! + 3n)2n

22n−1n!=

1

2n−1+

2 ·(32

)nn!

→ 0,

ceea ce înseamn  convergenµa uniform  a seriei de polinoame. Pentru ilus-trare s  privim �gura 5. !

Figura 5: Nodurile Cebî³ev a intervalului [1, 3], aparµin toare funcµiei f(x) =1x

+ cos(3x) ³i polinoamele de interpolare corespunz toare lor.

Deoarece f (4n)(1) = (4n)!+34n cos(1) ≥ (4n)!, de aceea condiµia teoremei7., adic  f (n)(x) ≤ Mn, poate � îndeplinit  pentru orice ∀x ∈ [1, 3], astfelteorema 7. nu poate � utilizat  la acest exerciµiu.

Bibliogra�e

[1] Móricz Ferenc: Analiza numeric  I-II. Nemzeti Tankönyvkiadó, Bu-dapesta, 1993.

[2] Szidarovszky Ferenc: Introducere în metodele numerice. Editura Eco-nomic  ³i Juridic , Budapesta, 1974.

24

Cuprins

1 Ce este interpolarea? 1

2 Interpolarea 1

2.1 Noµiuni de baz  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Rezolvabilitate, rezolvare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Interpolarea polinomial  6

3.1 Unicitate ³i existenµ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Determinarea polinomului de interpolare . . . . . . . . . . . . 8

3.2.1 Metoda clasic  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2.2 Interpolare Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2.3 Interpolarea iterativ  a lui Neville . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Estimarea erorilor, convergenµ  . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.1 Noduri de poziµie general  . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3.2 Noduri Cebî³ev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

25