CAPITOLUL I

CAPITOLUL II

MODULE PROIECTIVE I INJECTIVE

1. MODULE PROIECTIVE I GENERATORI

DEFINIIA 1.1. Un R modul stng P se numete proiectiv dac pentru orice epimorfism de module p : RM RN i fiecare homomorfism g : RP RN exist un R homomorfism : RP RN astfel nct diagrama P

M p N O

este comutativ , adic g = p o .

CARACTERIZAREA MODULELOR PROIECTIVE

PROPOZIIA 1.2. Urmtoarele afirmaii despre un R modul stng P snt echivalente :

(a) P este proiectiv ;

(b) Pentru orice epimorfism f : RM RN aplicaia HomR (P,f) : HomR (P,M) HomR (P,N) este un epimorfism ;(c) Pentru fiecare structur de (R,S) bimodul RPS , functorul HomR (PS, - ) : R MOD S MOD este exact.(d) Pentru fiecare ir exact Mf M g M n categoria R MOD irul HomR(P,M) f* HomR(P,M) g* HomR(P,M) este exact .DEMONSTRAIE : (a) (b) i (a) (c)

(c) (d)

PROPOZIIA 1.3. Orice R modul liber este proiectiv.

DEMONSTRAIE : Fie L un R modul liber cu baza (ei)iI i diagrama exact:

L

M g N O

Exist yi M astfel nct g(yi ) = (ei ) . Dac x L , atunci x = iI aiei , unde (ai)iI este o familie unic de elemente din R i de suport finit .

Definim : L M prin (x) = iI aiyi . Este clar c este un homomorfism i

= g o .

CONSECINA 1.4. R conceput canonic ca R modul stng este proiectiv.

DEMONSTRAIE : Presupunem c avem partea solid a diagramei i c linia este exact:

R

M g N O

atunci exist m M cu g(m) = (1) . Evident aplicaia (m) : r rm definete un R morfism de la R la M ce face comutativ diagrama .

PROPOZIIA 1.5. Fie (M ) o familie de R module stngi .

Atunci M este priectiv dac i numai dac pentru orice , M este priectiv.

DEMONSTRAIE : Presupunem c M snt proiective oricare ar fi . Fie diagrama

M i M

M g N O

cu linia exact . Dac i : M M este injecia natural , atunci exist f : M M astfel nct g o f = o i , M fiind proiectiv oricare ar fi .

Din teorema de universalitate a sumelor directe exist f : M M astfel nct

f o i = f , oricare ar fi . Deci :

(g o f )o i = o i ( ) i aplicnd din nou teorema de universalitate , obinem c g o f = , ceea ce arat c M este proiectiv .

Invers presupunem c M este proiectiv . Considerm diagrama cu linia exact :

P

M

M

M g N O

Fie P : M M morfismul canonic. Cum M este proiectiv , exist h : M M astfel nct f o P = g o h . Cum P o i = 1M , atunci f = g o ( h o i), ceea ce arat c M este proiectiv .

PROPOZIIA 1.6. Urmtoarele afirmaii despre un R modul P snt echivalente :

(a) P este proiectiv ;

(b) Fiecare epimorfism RM RP O este scindat;(c) P este izomorf cu un sumand direct al unui R modul stng liber .DEMONSTRAIE :

(a) (b) Fie f : M P un epimorfism. Cum P este proiectiv , rezult c exist h : P M morfism astfel nct f o h = 1p , ceea ce arat c irul este scindabil , deci f este scindat .

(b) (c) De la module libere se tie c pentru un R modul exist un modul liber L i un epimorfism g : L P . Atunci considerm irul exact O Ker g L g P O . Acest ir fiind scindabil rezult c P este izomorf cu un sumard direct al lui L .

(c) (a) rezult din propoziiile 1.3. i 1.5.

COROLAR 1.7. Un R modul stng P este finit generat i proiectiv dac i numai dac pentru un anumit R modul stng P i un anumit ntreg n > 0 , exist un R izomorfism astfel nct P + P R(n) .

DEMONSTRAIE : P este finit generat dac i numai dac pentru un anumit n N exist un epimorfism de la R(n) la P (R(n) P O ).

Din propoziia 1.6. epimorfismul este scindat dac i numai dac O este proiectiv.

COROLAR 1.8. Un inel R este semisimplu dac i numai dac fiecare R modul stng este proiectiv .

DEMONSTRAIE : tim de la inele semisimple c R este semisimplu dac i numai dac fiecare epimorfism n categoria R MOD este scindat , dar din propoziia 1.6.(b) , aceast condiie are loc dac i numai dac fiecare R modul stng este proiectiv.

COROLAR 1.9. Fie RP un R modul stng proiectiv de tip finit , atunci RP este reflexiv.

DEMONSTRAIE : Rezult din propoziia 1.6. , caracterizarea unui modul liber de tip finit ca fiind reflexiv i din lema urmtoare :

LEMA 1.10. Fie M i N dou R module stngi . Atunci MN este reflexiv dac i numai dac M i N snt reflexive .

DEMONSTRAIE : Fie i1 : M MN i i2 : N MN injeciile canonice i p1 : MN M , p2 : MN N proieciile canonice.Atunci avem irurile scindabile OM i1 M Np2 NO i ONi2 M N p1 MO . Din primul ir obinem diagrama comutativ cu liniile exacte :

O M i1 M N p2 N O

M M+N N

O M** i1 (M N)** p2 N**O

Dac M i N snt reflexive , atunci M i N snt izomorfisme , de unde rezult imediat , din lema celor cinci homomorfisme c M+N este izomorfism .

Dac M N este reflexiv , atunci M este injectiv i N este surjectiv . Procednd analog cu cel de al doilea ir scindabil se obine c M este surjectiv i N este injectiv . Deci M i N snt reflexive.

CARACTERIZAREA GENERATORILOR

Reamintim c un R modul stng G este un generator dac G genereaz fiecare modul al categoriei R modulelor stngi , R MOD , adic G este generator dac i numai dac pentru fiecare R modul stng M exist o mulime A i un R epimorfism G(A) M O (dac i numai dac Tr M(G) = M ) .

Un gen de dualitate exist ntre generatori i proiectivi , i anume:

Proiectivii snt modulele P pentru care Hom (P , - )aplic fiecare epimorfism ntr un epimorfism;

Generatorii snt acele module G pentru care HomR (P , - ) aplic numai epimorfisme n epimorfisme .

Alte exemple ale acestui fenomen pot fi gsite comparnd propoziia 1.2. cu urmtoarea caracterizare a generatorilor:

PROPOZIIA 1.11. Pentru un R modul stng G urmtoarele afirmaii snt echivalente :

(a) G este un generator ;

(b) Pentru orice morfism f n categoria R MOD dac HomR (G,f) = 0 , atunci f= 0 (c) Pentru f : RM RN morfism n categoria R MOD , dac f* : HomR (G,M) HomR (G,N) este epimorfism , atunci f este epimorfism ;

(d) Un ir M f M g M este exact n categoria R MOD dac irul HomR (G,M) f * HomR (G,M) g * HomR (G,M) este exact.

DEMONSTRAIE : (a) (b) Din G generator rezult c pentru fiecare R modul stng M exist mulimea A i epimorfismul h : G(A) M O . Fie f morfism in categoria R MOD , f : M N , astfel nct HomR (G,f) = 0 . Aplicm functorul HomR (G, - ) diagramei :

G(A) h M O

f

N

Din f* = HomR (G, f) = 0 f*(h) = f o h = 0 , () h f = 0 .

(a) (d) Fie G un generator i irul n categoria R MOD astfel nct , pentru M f M g M , irul HomR (G,M) f * HomR (G,M) g * HomR (G,M) este exact , adic f* este monomorfism , g* este epimorfism i Im f* = Ker g* . Atunci avem c g* f* = (gf)* = HomR (G, gf) = 0 . Cum are loc (a) i (a) (b) rezult c avem HomR (G, gf) = 0 gf = 0 Im f Ker g .

Pentru incluziunea invers considerm x Ker g , oarecare. Cum G este generator rezult conform definiiei c G genereaz orice modul al categoriei R- MOD , deci i pe Ker g .Deci exist morfismele i : G Ker g M i elementele yi G astfel nct x = ni=1 i (yi) . Cum x Ker g rezult g(x) = 0 pentru fiecare i = exist i Hom R (G,M) astfel nct i = f*( i) .

Deci avem : x Ker g x Im f Ker g Im f .

Deci are loc egalitatea Ker g = Im f irul este exact.

(d) (c) este clar .

(c) (a) Presupunnd c are loc (c) este suficient s artm c pentru fiecare R modul stng M , trasa TrM (G) este M .

Considerm irul exact canonic O TrM (G) i M n M/ TrM (G) O care duce la un ir exact :

O Hom R (G, TrM (G)) i * Hom R (G,M) n * Hom R (G, M/ TrM (G)) .

Dac Hom R (G,M) , atunci avem [n*()] (G) = (n)(G) = n((G)) = 0 , deoarece (G) TrM (G) = Ker n .

Astfel cum irul este exact , avem Im i* = Ker n* = Hom R (G,N) i deci i* este surjectiv i conform lui (c) : i este surjectiv Im i = M i cum irul era exact avem : Im i = Ker n = M = TrM (G) . Rezult deci : M = TrM (G) , adic G este generator.

tim c modulul regulat RR este generator , deci un modul genereaz RR dac i numai dac el genereaz fiecare modul . Aa cum RR este de asemenea finit generat , tot aa orice modul ce genereaz RR trebuie s genereze finit RR .

n final deoarece RR este proiectiv (consecina 1.4.) rezult c RG este generator dac i numai dac exist un epimorfism scindat G(n) RO . Adic are loc urmroarea propoziie:

PROPOZIIA 1.12. Un R modul stng este generator dac i numai dac pentru un anumit modul R i pentru un anumit numr ntreg n > 0 exist un R izomorfism astfel nct G (n) R R .

Comportarea dual a generatorilor i a modulelor proiective finit generate este ilustrat de propoziiile 1.7. i 1.12. .

Urmtoarele dou rezultate importante snt echivalente:

LEMA 1.13. Fie RQS un (R,S) bimodul balansat fidel . Atunci Q considerat ca un R modul stng este un generator dac i numai dac Q este S modul drept finit generat i proiectiv.

DEMONSTRAIE : Deoarece multiplicarea la dreapta : S End (RQ) este un izomorfism de inele (considerate ca S module drepte) avem c HomR (RQ , QS) SS .

De asemenea , din propoziia 1.12. deoarece RQ este generator , rezult c RQ(n) R R pentru un anumit R modul stng Ri un anumit n > 0 .

innd cont de proprietatea functorului HomR ( - , - ) aplicat unor sume directe de module avem :

SS(n) HomR (RQ , QS)(n) HomR (RQ(n) , QS) HomR (R R , QS) HomR (R , QS) HomR (R , QS) Q Q.

Deci SS Q Q i conform propoziiei 1.7. QS este finit generat i proiectiv.

Reciproca rezult din propoziiile 1.7. i 1.12. deoarece :

RQ(n) HomS (S , RQ)(n) HomS (S(n) , RQ ) HomS (Q Q , RQ) HomS (Q , RQ) HomS (Q , RQ) R R , deci RQ este generator.

TEOREMA 1.14. Un R modul stng G este un generator dac i numai dac snt ndeplinite urmtoarele dou condiii :

(i) RG este fidel i balansat ;

(ii) G End (RG) este finit generat i proiectiv .

DEMONSTRAIE : Presupunem c RG este generator ; atunci conform propoziiei 1.12. RG(n) R R pentru un anumit R modul R i un ntreg n>0. innd cont de proprietatea inelului de biendomorfisme a sumelor directe avem urmtoarea diagram comutativ de morfisme de inele :

R 1R R 1R R 1R R

1 2 3 4

BiEnd (G) BiEnd (G(n)) BiEnd(R R) BiEnd(R)

unde compunerea aplicaiilor pe linia inferioar este injectiv i 4 este bijectiv . Astfel 1 este un izomorfism ; adic , fcnd identificrile evidente : R BiEnd (G) = BiEnd (G(n)) = BiEnd(R R) BiEnd(R) = R .

Astfel RG este fidel i balansat adic RG End (RG) este un bimodul balansat fidel , deci are loc (i) . Aplicnd propoziia 1.13. rezult (ii) .

Reciproca rezult din propoziia anterioar .

Desigur , modulul regulat RR sau ntr adevr orice modul stng liber , este att un modul proiectiv ct i un generator . n general , nu toate modulele proiective snt generatori .

Urmtorul rezultat , desigur , arat c importana clasic a generatorilor proiectivi poate fi caracterizat ca acele module proiective care genereaz toate modulele simple .

PROPOZIIA 1.15. Fie P un R modul stng proiectiv . Urmtorele afirmaii snt echivalente :

(a) P este un generator ;

(b) HomR (P,T) 0 pentru toate R modulele stngi simple T ;

(c) P generaez fiecare R modul simplu .

DEMONSTRAIE : Implicaiile (a) (c) i (c) (b) snt triviale .

(a) (a) Presupunem c R - modulul stng P satisface (b).

Este suficient s artm c P genereaz R sau echivalent TrR (P) = R .

Presupunem c TrR (P) R . Cum TrR (P) este ideal stng rezult c este coninut ntr-un ideal stng maximal I al lui R .Astfel R/I este modul simplu i din (b) rezult c exist un R morfism nenul : P R/I , cu HomR (P,T) 0 , unde am notat T = R/I .

Deoarece P este proiectiv rezult c exist o diagram comutativ astfel nct = nI o .

P

M nI N OAceasta produce o contradicie deoarece Im TrR (P) I.

RADICALUL MODULELOR PROIECTIVE

Avnd n vedere propoziia 1.6. nu este surprinztor c compararea modulelor proiective reproduce mult din aceea a modulului regulat RR . Observm n continuare c acesta este cazul radicalului modulelor proiective .

PROPOZIIA 1.16. Fie R un inel cu radicalul J(R) = J . Dac P este un R modul stng proiectiv , atunci Rad P = JP .

DEMONSTRAIE : Propoziia 1.6. permite s presupunem c P este un sumand direct al unui modul liber , adic PP = R(A) . Atunci avem : Rad P Rad P = Rad R(A) (Rad R)(A) . Astfel deoarece JP Rad P i JP Rad P , trebuie s avem Rad P = JP .

Calculm acum radicalul inelului de endomorfisme al unui modul proiectiv .

PROPOZIIA 1.17. Fie P un R - modul stng proiectiv cu inelul de endomorfisme End (RP) = S . Fie a S . Atunci a J(S) dac i numai dac Im a