5/pg. 4 Rezolvare:

a) 1

, 21max , 2

2, 2

T TT T

T T

S S KS S K

S K S K

panta = (0,5; 1) b) , 1, 2,H t t t tC S C C . Scriem această relaţie la scadenţă ( t T= ).

,

10, 0, 2, 2

2, 2 , 2

, 2

,

, 2

2 , 2

T TT TH T T

T T T TT T

T T

T T T

T T T T

S K S KS S KC S

S K S K S K S KS K S K

S S K

S S K K S K

S S K S K S K

1

20 .

1

2

a

b

g

ìïï =ïïïïï =íïïïï =ïïïî

22,5’2 K⋅

K

payoff

TS 0

45’

9/pg. 6 Un investitor din România are de făcut plăţi peste 9 luni în valoare de 6,6 milioane RON iar în acest scop el va primi 1 milion EUR şi 1 milioan USD. Cursurile de schimb în prezent sunt 1 EUR = 3,6 RON şi 1 USD = 3 RON. Ratele dobânzilor sunt

5%, 4%, 6%.eur usd leur r r Cercetaţi dacă investitorul poate utiliza o schemă de

hedging utilizând contracte forward (cu suport EUR şi USD) astfel încăt să obţină o acoperire completă. Rezolvare: Riscul pentru investitor este de scădere a cursurilor date. Calculăm:

( )0

( )0

3,627 /

3,045 /

ron eur

ron usd

r r Teureur

r r Tusdusd

F S e ron eur

F S e ron usd

- ⋅

- ⋅

= ⋅ =

= ⋅ =.

Investitorul va lua poziţie short pe 1 mil USD şi 1 mil EUR cu scadenţa peste 9 luni. La scadenţă va obţine exact 6,672 mil. RON adică suficient pt. a-şi face plăţile în valoare de 6,6 mil. RON. Obs. Dezavantajul acoperirii prin forward constă în faptul că valoarea finală a investiţiei este fixată. Spre deosebire de forward, o acoperire prin long PUT are avantajul că limitează riscul pierderii din scăderea cursului dar în acelaşi timp lasă posibilitatea obţinerii unor câştiguri din evoluţia favorabilă a cursului (în acest caz creşterea cursurilor mondei naţionale) dar contra plăţii primei la iniţierea operaţiunii de hedging.

12/pg. 7 Rezolvare:

a) 0.5 ( ),

,T P T P

TT P T P

S F dacă S FPayoff

S F dacă S F

ì ⋅ - £ïï=íï - >ïî

panta = (0,5; 1)

Pante T PS F< T PS F³

0,5*Short Put ( PE F= ) 0,5 0

Long Call ( PE F= ) 0 1

Participation Forward 0,5 1

sau:

Pante T PS F< T PS F³

0,5*Long Put ( PE F= ) -0,5 0

Long Forward ( Pret fw PF= ) 1 1

Participation Forward 0,5 1

b) Conform ipotezelor, la emisiune contractul participation forward costă 0:

( ) ( ) ( )

1 ( . ) ( )

21 1

( , ) 0 ( , ) .2 2

t t P t P

r T t r T tP t P t

Participation Forward Long Forward preţ fw F Long Put E F

F t T F e P F t T F e P- ⋅ - - ⋅ -

= = + ⋅ = =

= - ⋅ + ⋅ = - =- ⋅ ⋅

22,5’PF

2PF

payoff

TS 0

45’

16/pg. 8 Considerăm o acţiune AAA al cărei preţ este azi 40$. Sunt observate de asemenea următoarele preţuri pentru opţiuni europene pe acţiunea AAA cu scadenţa peste 6 luni:

Preţ de exercitare Prima CALL 25 21 50 1

Sunt preţurile în echilibru sau există posibilitate de arbitraj? Explicaţi. Rezolvare: La momentul iniţial investitorul ia următoarele poziţii: 2 Short Call (E=25) = 42 Long S = -40 Long Call (E=50) = -1 Profit 1 (sau altfel costul strategiei la iniţiere este -1). La scadenţă (T):

( ) ( ) ( ) ( )2 max 25;0 max 50;0 max 50;0 max 2 50;0T T T T T TPayoff S S S S S S=- ⋅ - + - + = - - ⋅ - + =

0, 25

0, 50 0, 2550 2 ,25 50

50, 50 2 50, 25, 50

, 25

50 , 25 50 0.

0, 50

TT T

T T T TT T T T

T T

T T

T T

T

SS S

S S S SS S S S

S S

S S

S S

S

ì £ïïì ì£ £ï ï ïï ï ï= - + = + - ⋅ < £ =í í íï ï ï- > ⋅ - >ï ï ïî î ï- >ïîüì ï£ï ïï ïïï ï= - < £ ³í ýï ïï ïï > ïïî ïþ

Pr cost_strategie 1ofit Payoff arbitraj= - ³ .

17/pg. 9 Opţiunile CALL cu scadenţa peste un an şi preţ de exercitare 50$ au preţul 2 $, iar cele cu preţ de exercitare 55$ au preţul 1,5$. Opţiunile PUT cu scadenţa peste un an şi preţ de exercitare 50$ au preţul 1,22$ , iar cele cu preţ de exercitare 55$ au preţul 3$. Preţul activului suport este 49$. Există oportunităţi de arbitraj? Rezolvare:

0C 0P

50E = 2 $ 1,22$ 55E = 1,5$ 3$

Dacă alegem o strategie de forma Call Bull Spread (long Call cu 50E = + short Call cu

55E = ) + Put Bear Spread (short put cu 50E = + long Put cu 55E = ) costul ei la iniţiere ar fi 2,28 u.m. deoarece: ( ) ( )2 1,5 1, 22 3 2, 28- + + - =- .

Prin poziţie short pe activul suport, la iniţiere, investitorul ar obţine 49 u.m. cu care ar putea cumpăra 20 de strategii de genul celor de mai sus şi un call cu 50E = şi ar mai rămâne cu un profit de 1,4 u.m. Aşadar: la 0t : 21 strategii Call Bull Spread (long Call cu 50E = + short Call cu 55E = ) + Put

Bear Spread (short put cu 50E = + long Put cu 55E = ) + short activul suport + long Call cu 50E = Profit la 0t = 1,4 u.m.

la T : ( )

( )Re 20 cos _ max( 50;0)

20 5 2,28 max( 50; ) 54.4 50 4.4 . .

T T

T

zultat spread t strategie S S

S u m

= ⋅ - + - - =

= ⋅ - + - - ³ - =

Adică profit sigur fără apot de capital propriu şi fără riscuri, deci arbitraj.

18/pg. 9 Rezolvare: a) Prin reducere la absurd, dacă:

i) 01

dSS

r

atunci construim următorul portofoliu de arbitraj:

la 0t : long acţiunea şi 0S unităţi obligaţiuni poziţie short (cost la iniţiere 0);

la T : ( )Pr 0 (1 )T

T d u

ofit S S r

S S sau S

= - ⋅ +

= dar ( )0 (1 ) d uS r S S⋅ + < < de unde Profit > 0

adică avem oportunitate de arbitraj. Pentru a elimina această posibilitate singura variantă

este 01

dSS

r

.

ii) 01

uSS

r

atunci construim următorul portofoliu de arbitraj:

la 0t : short acţiunea şi 0S unităţi obligaţiuni poziţie long (cost la iniţiere 0);

la T : ( )Pr 0 (1 ) T

T d u

ofit S r S

S S sau S

= ⋅ + -

= dar ( )0 (1 ) u dS r S S⋅ + > > de unde Profit > 0

adică avem oportunitate de arbitraj. Pentru a elimina această posibilitate singura variantă

este 01

uSS

r

.

Singura variantă posibilă este ca: 01 1

d uS SS

r r

.

b) Probabilitatea neutrală la risc este acea probabilitate de creştere a cursului acţiunii pentru care valoarea aşteptată în viitor a acesteia este egală cu valoarea investiţiei la rata fără risc (adică în obligaţiuni zero cupon).

( )( ) (0) (1 )1 (0) (1 ) d

u du d

S r Sp S p S S r p

S S

⋅ + -⋅ + - ⋅ = ⋅ + =

-.

Obs. Pentru scrierea în timp continuu se înlocuieşte factorul de fructificare 1 r+ cu

( )r T te ⋅ - .

4/pg. 10 Să considerăm o opţiune put americană cu următoarele caracteristici:

95 ; 30 ; 98 ; 7%S euro T zile K euro r= = = = . Coeficientul de creştere 1,1u = . Calculaţi preţul acestui put american utilizând modelul Cox-Ross-Rubinstein (modelul binomial) cu 2 perioade. Determinaţi preţul opţiunii call americane corespondente. Deduceţi o relaţie de arbitraj între cele două preţuri. Rezolvare:

La 0t : Long CALL + Short PUT + Short activul suport

Profit: 6,6453 4.0706 95 97,5747 care fructificaţi la rata fără risc devin:

La T :1

0.071297,5747 98,1455e

,Re max{ ;0} max{ ;0}

0,

0,98.

,

T TT T T

T

TT T T

T T

S E S Ezultat strategie S E E S S

S E

S ES S E S E

E S S E

Profit net: 98,1455 98 0,1455 fără capital propriu iniţial şi fără riscoportunitate de arbitraj.

At each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 98Discount factor per step = 0.9971Time step, dt = 0.0417 years, 15.21 daysGrowth factor per step, a = 1.0029Probability of up move, p = 0.4915Up step size, u = 1.1000Down step size, d = 0.9091

114.950

104.51.521085

95 956.645389 3

86.3636411.63636

78.512419.4876

Node Time: 0.0000 0.0417 0.0833

At each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 98Discount factor per step = 0.9971Time step, dt = 0.0417 years, 15.21 daysGrowth factor per step, a = 1.0029Probability of up move, p = 0.4915Up step size, u = 1.1000Down step size, d = 0.9091

114.9516.95

104.58.306502

95 954.070677 0

86.363640

78.51240

Node Time: 0.0000 0.0417 0.0833

14/pg. 15 Presupunem că:

0ln lnt tX X t B ,

unde şim s sunt parametri constanţi, 0X este cunoscut iar tB reprezintă o mişcare

browniană standard. Fie mt tY X şi

2 21

2m m t

t tZ Y e , unde m este o constantă. Să se

arate că:

a. t t tdZ mZ dB ;

b. 21

20 0

t t

tE X X X e

;

c. 2 21

20 0

m t m tm mtE X X X e

;

d. 2 22 20 0 1t t t

tVar X X X e e .

(examen Inginerie fin. 2006)

Rezolvare: Vezi fisierul Subiecte examene rezolvarea de pe Barem a exerciţiului I.

15/pg. 15

Să se arate, prin utilizarea lemei Ito, că 2

0t tS B S este soluţia ecuaţiei diferenţiale

stocastice 2t t tdS dt S dB , unde 0S este cunoscut iar tB reprezintă o mişcare

browniană standard. Rezolvare: Vezi fisierul Subiecte examene rezolvarea de pe Barem a exerciţiului II. Solutie alternativă: se aplică Lema Ito functiei tS care depinde de tB ce are ca ecuaţie de

dinamică stocastică: 0 1t tdB dt dB= ⋅ + ⋅ .

8/pg. 18 Se consideră un proces stocastic tX a căruidinamică este dată de următoarea relaţie:

( )t t t tdX k X dt X dBq s= - + , unde ,k şiq s sunt constante. Să se calculeze

( ) ( )T t T tE X X şi VAR X X . (modelul CIR pentru dinamica ratei dobânzii).

Rezolvare:

( )t t t tdx k x dt x dB

Integrand si aplicand operatorul de medie obtinem: ( ) [ ( ) ( )]T

T t s

t

E x x k T t E x

.

( ) ( )not

TE x f T ' ( ) ( )f T k kf T şi înmulţind relaţia cu kTe putem integra prin părţi:

'( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

T Tks ks ks kT kt kT kt

t t

t

e f s ke f s ds e k ds e f T e f t e e

f t x

De unde: ( )( ) ( ) k T t

T tE x x e

Pentru varianţă pornim de la funcţia 2

tx pentru care aplicăm Lema Ito:

2 21

[2 ( ) 2 ] 22t t t t t t tdx x k r x dt x x dB

Integrand obţinem: 2 2 2 2 3/ 2(2 ) 2 2T T T

T t s s s s

t t t

x x k x ds k x ds x dB şi aplicăm

operatorul de medie:

2 2 2 2 3/ 2

( )

0

( ) (2 ) ( ) 2 ( ) 2 ( )T T T

T t s s s s

t t tnotatie T

E x x k E x ds k E x ds E x dB

' 2 2 ( )( ) (2 ) ( ) 2 ( ) (2 )( ( ) ) 2 ( )k T ttT k f T k T k x e k T

şi înmulţind relaţia cu 2 ( )k T te putem integra prin părţi:

2 ' 2 ' 2 ( )( ) ( ) ( ) (2 ) ( ( ) )T T

ks ks k s tt

t t

e s e s ds k x e ds de unde:

22 22 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( )

22 22 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

( ) ( ) 2 22

2 22

k T t k T t k T t k T ttT t

k T t k T t k T t k T t k T t k T t k T ttt t

xT E x x e e e e

k k k

xx e e x e e e e e

k k k

iar 2 2 2 2( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )T T TVar x E x E x T f T

de unde: 2

2 ( ) ( ) ( )( ) (1 )[ (1 )]2

k T t k T t k T tT tVar x e x e e

k

Obs. Mediile şi varianţele sunt condiţionate de informaţia de la momentul t . 9/pg. 19 Determinaţi procesul urmat de variabila stochastică ( )Z t (ecuaţia diferenţială stochastică) pentru următoarele situaţii: a) ( )( ) x tZ t e unde 0( ) , (0) .tdx t dt dB x x

b) 2( ) ( )Z t x t unde ( ) ( ) ( ) .tdx t x t dt x t dB

c) 1

( )( )

Z tx t

unde ( ) ( ) ( ) .tdx t x t dt x t dB Determinaţi în această situaţie expresia

pentru ( )Z t ca funcţie de , şi ( )B t

Rezolvare: Se aplică Lema lui Ito şi se obţine: a)

( ) 2 ( )

( ) 2 2 ( ) ( )

0; ;

1

2

x t x t

x t x t x tt

Z Z Ze e

t x x

dZ e e dt e dB

b)

2

2

2 2 2 2

0; 2 ( ); 2

2 2 t

Z Z Zx t

t x x

dZ x x dt x dB

c)

2

2 2 3

22

20

0 0

1 20; ;

( ) ( ) ( ) şi integrând, rezultă:( ) ( ) ( )

.

t t

T T

T s s s

Z Z Z

t x x x x

dZ t dt dB Z t dt Z t dBx t x t x t

Z Z Z ds Z dB

11/pg.19 Se notează cu tB mişcarea geometrică browniană şi cu

( ) , 2.kk

r tE B kb é ù= ³ê úë û

Să se arate că:

( ) 2

0

11 .

2

tk kt sk k dsb b -= - ò

Să se calculeze ( )2

tE Bé ùê úë û

şi ( )6

tE Bé ùê úë û

.

Rezolvare:

t tdB dB= şi aplicând lema lui ITO funcţiei ( )k

tB obţinem:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2

2

21

2

10 0 1 1

2

1

k k kk t t t

t tt t t

kkt

t t

B B Bd B dt dB

B B B

k k Bdt k B dB

--

æ ö¶ ¶ ¶÷ç ÷ç= + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =÷ç ÷ç ¶ ¶ ¶÷çè ø

⋅ - ⋅= ⋅ + ⋅ ⋅

Integrând, rezultă:

( )( )

( ) ( )2 1

2

0 0

10

t tk k k

t s s s

k kB B ds k B dB

- -⋅ -- = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ò ò

şi aplicând operatorul de medie se obţine:

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1

2

0 0

2 2

00

1

1 11 0 1 .

2 2

t tk k k k

t s s s t

ttk k

s s

k kE B E B ds k E B dB

k k E B ds k k ds

b

b

- -

- -

é ù é ù⋅ -é ù ê ú ê ú= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = =ê ú ê ú ê úë û ê ú ê úë û ë û

é ù= ⋅ - ⋅ ⋅ + = -ê úë û

ò ò

ò ò

( ) ( )2 2 2

0 0

12 2 1

2

t t

t sE B ds ds tb -é ù = ⋅ ⋅ - ⋅ = =ê úë û ò ò

( ) ( )3

6 6 2 4 2 3

0 0 0

16 6 1 15 15 15 5 .

2 3

t t t

t s s

tE B ds ds s ds tb b-é ù = ⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ê úë û ò ò ò

15/pg. 22 Un investitor are un portofoliu de opţiuni având următoarea structură:

i. o opţiune CALL poziţie long cu preţul de exercitare 95E = ; ii. o opţiune CALL, tot poziţie long cu preţul de exercitare 105E = ;

iii. 2 opţiuni CALL, poziţie short cu preţul de exercitare 100E = ;

Acţiunea suport a acestor opţiuni prezintă următoarele caracteristici: 100; 30%S s= = , scadenţa opţiunilor este aceeaşi: 3T luni= iar 10%.r = Se cere:

a) Valoarea portofoliului, respectiv suma investită de investitor la momentul iniţial;

b) Notândcu TV câştigul net al investitorului, care este funcţie de cursul acţiunii suport

la scadenţă, respectiv ( )T T TV V S= , să se completeze următorul tabel:

TS 90 95 96 98 100 102 104 105 110 115

( )T TV S

Rezolvare: a) Notăm cu 0p valoarea portofoliului la momentul iniţial.

0 0 0( 95) ( 105) 2 ( 100) 0,82.0

C E C E C Ep = = + = - ⋅ = =

Unde fiecare din cele 3 valori ale opţiunilor call s-au calculat folosind modelul Black-Scholes: b) 0 max( 95) max( 105) 2 max( 100) 0,82.T T T T TV S S Sp p= - = - + - - ⋅ - -

TS 90 95 96 98 100 102 104 105 110 115

( )T TV S -0,82 -0,82 0,18 2,18 4,18 2,18 0,18 -0,82 -0,82 -0,82

Grafic, profitul se poate reprezenta astfel:

95 105

100

95 105

100

Long Butterfly format din call-uri

18/pg. 22 Ecuaţia de dinamică a cursului unei acţiuni este t t t tdS S dt S dzm s= + . Fie

2

( , ) ln ( )2t t tD t S S S r T tsé ùæ ö÷çê ú÷= ⋅ + + ⋅ -ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

, unde r este data dobânzii.

i) Să se arate că ( , )tD t S este preţul la momentul t al derivativului care la scadenţă (T )

are un payoff ( ) ln( )T T Tf S S S= ⋅ ;

ii) Utilizând lema lui Ito sa se determine ecuaţia de dinamică a lui ( , )tD t S , precum şi

volatilitatea acestuia. Să se arate că acest derivativ este mai riscant decât activul suport. Rezolvare: i) ( , )tD t S verifica ecuatia Black-Merton_Scholes, deoarece:

2

2

2

2

( , )

2

( , )ln ( ) 1

2

( , ) 1

tt

tt

t

t

t t

D t SS r

t

D t SS r T t

S

D t S

S S

s

s

æ ö¶ ÷ç ÷=- ⋅ +ç ÷ç ÷ç¶ è øæ ö¶ ÷ç ÷= + + ⋅ - +ç ÷ç ÷ç¶ è ø

¶=

¶

2 2 22 2

2

22 2

1ln ( ) 1

2 2 2

1 1ln ( )

2 2

t t tt t t t t

t t t tt

D D Dr S S S r r S S r T t

t S S

S r S S r T t r DS

Payoff-ul derivativului este:

2

( , ) ln ( ) ( ) ln( ).2T T T T T TD T S S S r T T f S S Ssé ùæ ö÷çê ú÷= ⋅ + + ⋅ - = = ⋅ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

ii) Aplicând lema lui Ito obtinem:

22 2

2

2 22 2

2

1

2

1 1ln ( ) 1

2 2 2

ln (2

t t t tt t t t t

t t t tt

t t

D D D DdD S S dt S dB

t S S S

S r S S r T t S dtS

S S r T t

m s s

s sm s

ss

æ ö¶ ¶ ¶ ¶÷ç ÷= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =ç ÷ç ÷ç ¶ ¶ ¶ ¶è øì üé ùæ ö æ öï ïï ï÷ ÷ç çê ú÷ ÷= - ⋅ + + ⋅ ⋅ + + ⋅ - + + ⋅ ⋅ ⋅ +ç çí ý÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç çï ïè ø è øê úï ïë ûî þ

æ ö÷ç ÷+ ⋅ ⋅ + + ⋅ -ç ÷ç ÷çè ø[ ]) 1 ( ) ( )t t t t t tdB D r S dt S D dBm m s

é ùê ú+ = ⋅ + - ⋅ + ⋅ +ê úê úë û

Volatilitatea derivativului este data de difuzia procesului rentabilitatii derivativului: t

t

dD

D.

( ) 1t tt

t t

SdD S tr dt dBD D D

tm m s

æ öé ù ÷ç ÷çê ú ÷= + - ⋅ + ⋅ + ⋅ç ÷ê ú ç ÷÷çë û è ø de unde 1 .

St

D Dt

s s sæ ö÷ç ÷ç ÷= ⋅ + >ç ÷ç ÷÷çè ø

20/pg. 23 O opţiune call europeană cu suport o acţiune care nu distribuie dividende are scadenţa peste 3 luni. Preţul curent al acţiunii suport este egal cu preţul de exercitare actualizat cu rata dobânzii fără risc. În prezent preţul acţiunii este 15 euro iar analiştii au estimat că

2[ ( ) ( )] [ ( )]Pr { } 16%.r T t T t r T tTob S e S S e Care este preţul curent al opţiunii?

Rezolvare:

( )

( )1 2

22

( )

1

2 1 1

2 1

15

0,25

?

( ) ( )

ln ( )ln ( )( )22 ( )

2( ) ( )

( ) ( )2

( ) 1 ( )

r T tt

t

r T tt t

ttr T t

S E e

T t

C

C S N d Ee N d

SST tr T t

EeEd T tT t T t

d d T t T t d

N d N d

1[2 ( ) 1] [2 ( ) 1]2t t tC S N d S N T t

Stim din textul problemei ca:

2[ ( ) ( )] [ ( )]Pr .{ } 16%r T t T t r T t

t T tob S e S S e de unde:

2[ ( ) ( )] [ ( )] 2

2

Pr .{ } Pr .{ ( ) ( ) ln ( )} 16%

stim: ln ( )( ), ( )2

r T t T t r T t Tt T t

t

T

t

Sob S e S S e ob r T t T t r T t

S

SN r T t T t

S

deoarece evaluarea se face in mediu neutru la risc (suntem in conditiile modelului Black Scholes) r . De aici:

22 22 ln ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )22 2Pr .{ }

( ) ( ) ( )

Pr .{ ( ) ( )} ( ( )) ( ( )) 2 ( ) 1 16%2 2 2 2 2

T

t

Sr T tr T t T t r T t r T t r T tS

obT t T t T t

ob T t z T t N T t N T t N T t

Unde (0,1)z N

1[2 ( ) 1] [2 ( ) 1] 15 0,16 2,42t t tC S N d S N T t euro

.

26/pg. 30 Un activ suport are în prezenta valoarea S = 200. Rata dobânzii fără risc este 10%r = , iar volatilitatea activului suport este 30%s= . Un investitor are un portofoliu format din opţiuni pe acest activ suport:

- long 1000 opţiuni A cu 6.0 , 05.0 şi 4.0 - short 700 opţiuni B cu 2.0 , 04.0 şi 6.0

unde S

D

, 2

2

S

D

şi

D

.

a. (1.5 pct) Să se calculeze indicatorii ,, pentru portofoliu, ştiind că valoarea

portofoliului este în prezent de 8000, iar t

D

.

b. (0.5 pct) Să se formeze un portofoliu neutru pornind de la portofoliul dat. c. (1 pct) Să se formeze un portofoliu , neutru pornind de la portofoliul dat.

d. (1 pct) Să se formeze un portofoliu ,, neutru pornind de la portofoliul dat. (test seminar 2008) Rezolvare: a.

1000 700

1000 700 740

1000 700 22

1000 700 20

A B

A B

A B

A B

p

p

p

p

u u u

= ⋅ - ⋅D = ⋅D - ⋅D =

G = ⋅G - ⋅G =

= ⋅ - ⋅ =-

Din ecuaţia Black-Merton-Scholes obţinem:

2 21

2r S S rp p pq s p+ ⋅ ⋅D + ⋅ ⋅ ⋅G = ⋅ de unde 53600pq =- .

b.

1

1

0 740.

x S

x xp p

p p= + ⋅

D =D + = =-

Investitorul trebuie să ia poziţie short pe 740 unităţi din activul support. c. Alegem în plus şi opţiunea A pentru operaţiunea de hedging, întrucât are indicatorul G mai mare decât opţiunea B.

2

2

2

0 476

0 0 440

A

A

x S y A

x y x

y y

p p

p p

p p= + ⋅ + ⋅

ìD =D + + ⋅D = ìï =-ïï ïí íï ïG =G + + ⋅G = =-ïîïî

d. Alegem în plus şi opţiunea B pentru operaţiunea de hedging.

3

3

3

3

0 0

0 0 1000.

7000 0

A B

A B

A B

x S y A z B

x y z x

y z y

zy z

p p

p p

p p

p p

u u u u

= + ⋅ + ⋅ + ⋅

ìïD =D + + ⋅D + ⋅D = ì =ïï ïï ïïï ïG =G + + ⋅G + ⋅G = =-í íï ïï ï =ï ï= + + ⋅ + ⋅ = ïîïïî

27/pg. 30 Se consideră un contract CALL de tip european pentru a cumpăra lire sterline. Se ştie că scadenţa contractului este 6T luni , cursul spot este 1,9803S , preţul de exerciţiu este

2,0114E , volatilitatea cursului este 25% , rata dobânzii este în SUA este 5,2% iar rata de dobândă în Anglia este 6,8%.

a) Să se determine prima opţiunii CALL;

b) Să se precizeze modificarea primei opţiunii CALL în cazul în care rata dobânzii în SUA creşte cu 1 p.p. iar în Anglia cu 2 p.p.

Rezolvare: a)

( ) ( )1 2

2

1

2 1

( ) ( )

ln ( )( )2

( )

( )

GBP USDr T t r T tt t

tUSD GBP

C S e N d E e N d

Sr r T t

EdT t

d d T t

0,1148 /tC USD GBP

b)

( )2

( )1

( ) ( ) 0,4039

( ) ( ) 0,4613

USD

GBP

r T tC

USD

r T tC t

GBP

CT t E e N d

r

CT t S e N d

r

1 21 0 1 20,004039 0,004613

100 100C CC C

31/pg. 31 O firmă din Aliteria, în care moneda naţională este A, are de făcut peste 1 an plăţi în valoare totală de 7,9 milioane A. În acest scop ea va primi 1 milion USD şi 1 milion EUR. Cursurile de schimb, în prezent sunt: 4A=1USD şi 3,7A = 1 EUR. Volatilităţile cursului de schimb sunt: A/USD: 1 15%s = ; A/EUR: 2 20%s = ; EUR/USD: 3 10%s = . Ratele dobânzilor sunt: zona EURO: 2 8%r = ; SUA: 1 6%r = ; Aliteria: 3 10%r = .

a) Să se prezinte o schemă de hedging utilizând opţiuni care să asigure cel puţin 7,9 milioane A şi care să aibă un cost cât mai redus. Se va preciza tipul de opţiuni utilizat, preţurile de exerciţiu, precum şi dacă s-au utilizat scheme de tip „cross”.

b) Să se prezinte şi o schemă utilizând contracte forward.

Rezolvare:

a) Investitorul va avea 1 mil. EUR + 1 mil. USD care vor trebui transformaţi în A pentru efectuarea plăţilor. Opţiunea PUT este cea care protejează investitorul împotriva scăderii cursului activului suport. Investitorul va cumpăra 1 mil. opţiuni PUT cu suport 1 USD şi 1 mil. opţiuni PUT cu suport 1 EUR.

max( ,0) max( , )

( ) ( ) 7,9 7,9T T T T T T

T T USD EUR EUR USD

PP P S K S S K S K

PP USD PP EUR K K A K A K

Costul acoperirii va fi: 0 0( ) ( )USD EURP K P K , iar problema se scrie:

0 0

0 0

min ( ) (7,9 )

( ) (7,9 ) (7,9 ). . : 0

(7,9 )

USDUSD USD

K

USD USD USD

USD USD USD

P K P A K

P K P A K A KC O I

K A K K

de unde:

3 3( ) 7,9 ( )( ) (7,9 ) 2 2

2 2

7,92 2

0 ( ) ( )

4 0,15 3, 2 0, 2ln 0,1 0,06 1 ln 0,1 0,08 1

2 7,9 2

0,15 1 0, 2 1

USD USD

USD USD

USD USD

K r T t A K r T tP K P A K

K A K USD USD

N d e N d e

K Kd d

0,15 ln(7,9 ) 0,2 ln( ) 0,08675 0.USD USDK K

Fie: .

( ) 0,15 ln(7,9 ) 0, 2 ln( ) 0,08675 0not

USD USD USDg K K K

Aplicăm Newton-Rhapson funcţiei g plecând de la ,0 4USDK şi obţinem:

.0,1 ,0

.0

( )4,15

'( )USD

USD USDUSD

g KK K

g K

.1,2 ,1

.1

( )4,15

'( )USD

USD USDUSD

g KK K

g K

de unde: 4,15 7,9 4,15 3,75USD EURK A K A A A .

Nu s-au utilizat scheme de tip cross. b) Se iau poziţii short forward pe 1 mil. USD şi pe 1 mil. EUR. Preţurile forward sunt:

( ) 0,040

( ) 0,020

4 4,163 / $

3,7 3,774 / €

A USD

A EUR

r r TUSD

r r TEUR

F S e e A

F S e e A

La scadenţa T , investitorul primeşte din vânzarea forward a valutelor exact: 4,163 / $ 1 .$ 3,774 / € 1 .€ 7,937 . 7,9 .A mil A mil mil A mil A Obs. Avantajul utilizării protective-put-ului este că pierderea este limitată iar câştigul potenţial este nelimitat. La acoperirea utilizând contractele forward rezultatul este fixat de la momentul intrării în contracte.

34/pg. 32 Pentru o opţiune CALL de tip european având ca suport o acţiune se cunosc următorii indicatori de senzitivitate:

1( )N dD= ; ( )2( )r T te N d- ⋅ -=- ⋅ ;

21

21 1

2

d

eS T ts p

-G= ⋅ ⋅

-

Se definesc suplimentar următorii indicatori: E

Sa= şi ( )

Cf

Sa = .

i) Ştiind că 0,85a= ; 0,81401D= şi 0,69349=- . Să se calculeze ( )f a .

ii) Să se calculeze expresiile pentru indicatorii de senzitivitate 2

2

( ) ( )f fşi

a aa a

¶ ¶¶ ¶

.

iii) Pentru cazul numeric de la punctul i, ştiind că 0,00789G= şi 10S = să se

calculeze 2

2

(0,85)f

a¶

¶.

(examen Inginerie fin. 2007) Rezolvare: i)

( ) ( )1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0.2245

r T t r T tC C

C Ef N d e N d N d e N d

S Sf

a a a

a

- ⋅ - - ⋅ -= = - ⋅ ⋅ = - ⋅ ⋅ =D + ⋅

=

ii)

( ) ( )1 1 2 22

1 2

( ) ( )( )( )r T t r T tN d d N d df

e e N da d d

aa

a a- ⋅ - - ⋅ -¶ ¶ ¶ ¶¶

= ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅¶ ¶ ¶ ¶ ¶

Calculăm cele două derivate parţiale:

2

1 11 1 12

1

1ln ( )

2

( )

( ) 1 1( ) ( ) ( )

( ) ( )

r T t

T t

N d dn d n d n d

d T t T t

sa

sa

a a a s a s

é ùæ öæ ö ÷ç÷ê úç ÷+ + ⋅ -ç÷ç ÷÷ê úç ç ÷çè ø è øê ú¶ ê ú⋅ -ê úê ú¶ ¶ -ê úë û⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =- ⋅

¶ ¶ ¶ ⋅ - ⋅ ⋅ -

( )12 2 12 2

2

( )( ) ( )

d T tN d d dn d n d

d

s

a a a

¶ - ⋅ -¶ ¶ ¶⋅ = ⋅ = ⋅

¶ ¶ ¶ ¶

21

2 2 2 22 1 1 1

21

12 ( ) ( )ln ( )2 2 2

2 1

1( )

2

1 1 1( ) ( )

2 2 2

d

d d d T t T t d r T tr T t

n d e

en d e e e e n d

s sa

p

ap p p

-

æ ö- ⋅ ⋅ ⋅ - + ⋅ - ⋅ -÷ç + ⋅ -÷ç- - - ÷÷çè ø

= ⋅

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

Şi revenind:

( ) ( )1 1 2 22 1

1 2

( ) ( )12 2 1

( )( )

1

( ) ( )( ) 1( ) ( )

( )

1( ) ( ) ( )

( )

1( )

( )

r T t r T t

r T t r T t

r T tr T t

N d d N d dfe e N d n d

d d T t

de n d e N d n d

T t

ee n d e

T t

aa

a a a a s

aa a s

aa a s

- ⋅ - - ⋅ -

- ⋅ - - ⋅ -

⋅ -- ⋅ -

¶ ¶ ¶ ¶¶= ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ =- ⋅ -

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ⋅ ⋅ -

¶- ⋅ ⋅ ⋅ - ⋅ =- ⋅ -

¶ ⋅ ⋅ -

æ ö÷ç ÷ç- ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - -÷ç ÷÷ç ⋅ ⋅ -è ø( ) ( )

2 2( ) ( )r T t r T tCN d e N d- ⋅ - - ⋅ -⋅ =- ⋅ =

iar:

21

( )2 ( )2 ( ) ( )2 2

122

2

1 2 2

( ) ( )( ) 1( )

( )

1 1( )

( ) 2 ( )

r T t r T tr T t r T t

d

e N d N d df ee e n d

d T t

en d

T t T t

aa a a a a s

a s p a s

- ⋅ - ⋅ -- ⋅ - - ⋅ -

-

é ù æ ö¶ - ⋅ ¶ ¶¶ ê ú ÷çë û ÷ç= =- ⋅ ⋅ =- ⋅ ⋅ ⋅ - =÷ç ÷÷¶ ¶ ¶ ¶ ç ⋅ ⋅ -è ø

= ⋅ = ⋅⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ -

iii)

2

2 2

(0,85)0,1092C

f S

a a¶

=G ⋅ =¶

.

9/pg. 44 Utilizând metodologia Black-Scholes, să se evalueze o opţiune call asset-or-nothing de tip european pe o acţiune ce nu distribue dividende a cărei valoare la scadenţa T este:

0,( )

,T

T T

dacă S KC T

S dacă S K

ì <ïï=íï ³ïî

unde TS este preţul acţiunii-suport la momentul T , iar K este preţul de exercitare. Preţul

TS urmează o mişcare browniană geometrică. Deduceţi relaţia de paritate call-put pentru

acest tip de opţiuni. Rezolvare:

( ) ( ) ( )

ln( )

0, 0,[ / ] / /

1, 1,

0,/

1,

T

t

T Tr T t r T t r T t Tt Q T t Q T t Q t t

T Tt

STSr T t

t Q tT

S K S KSC e E C e E S e E S

S K S KS

S KS e E e

S K

- ⋅ - - ⋅ - - ⋅ -

- ⋅ -

é ù é ùì ì< <ï ïï ïê ú ê ú= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =í íê ú ê úï ï³ ³ê ú ê úï ïî îë û ë ûé ùì <ïïê ú= ⋅ ⋅ ⋅íê úï ³ê úïîë û

F F F

F

unde 2

ln ~ ( ), ( )2

notT

Tt

SX N r T t T t

S

ss

é ùæ ö÷çê ú÷= - ⋅ - ⋅ -ç ÷ê úç ÷çè øê úë û. Rezultă:

22

2

ln( )

ln ( )21

ln2( ) ( )

ln

0, ln ln

1, ln ln

1ln

2 ( )

T

t

T

tT

t

t

TS

t tSr T tt t Q

T

t t

Sr T t

SS

Sr T t T t Tt

tK

S

S K

S SC S e E e

S K

S S

SS e e e d

ST t

s

s

s p

- ⋅ -

é ùæ ö÷çê ú÷ç- - ⋅ -÷çê ú÷ç ÷è øê ú¥ ë û- ⋅- ⋅ - ⋅ -

é ùìïïê ú<ïê úïïê ú= ⋅ ⋅ ⋅ =íê úïïê ú³ïê úïïê úîë û

æ ö÷ç ÷= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ççç⋅ ⋅ ⋅ - è øò ( )

ln

( )T

t

Xr T tt T T

K

S

S e e f X dX¥

- ⋅ -= ⋅ ⋅ ⋅÷÷ ò

unde ( )Tf X este funcţia de densitate a distribuţiei normale urmate de variabila TX .

Fie

2

2( )

2(0,1) ( ) ( )

2( )

T

T T T

x r T t

z N x z T t r T tT t

ss

ss

æ ö÷ç ÷- - ⋅ -ç ÷ç ÷ æ öçè ø ÷ç ÷= = ⋅ ⋅ - + - ⋅ -ç ÷ç ÷çè ø⋅ - . La

momentul T , ( )T Tdx T t dzs= ⋅ - ⋅ .

Când

2

2

ln ( )2

ln( )

tT T

t

Kr T t

SKx z d

S T t

s

s

æ ö÷ç ÷- - ⋅ -ç ÷ç ÷çè ø³ ³ =-

⋅ -.

( )

22

2

2 22 2

2 2

( ) ( )2( ) 2

1( ) ( ) 2 ( ) ( )

2 2 2

1(

2

1( )

2 ( )

1 1

2 2

1

2

TT

TT T T

T

zz T t r T tr T t

t t T

d

zz T t T t z z T t T t

t T t T

d d

z T

t

C S e e e T t dzT t

S e dz S e dz

S e

ss

ss s s

s

ss p

p p

p

æ ö÷ç¥ ÷ç⋅ ⋅ - + - ⋅ -÷ç -÷ç ÷- ⋅ - è ø

-

¥ ¥- + ⋅ ⋅ - - ⋅ - - - ⋅ ⋅ ⋅ - + ⋅ -

- -

- - ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - =⋅ ⋅ ⋅ -

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

= ⋅ ⋅⋅

ò

ò ò

( )2

2

)t

T

d

dz¥

-

-ò

Fie: ( )T T T Ty z T t dy dzs= - ⋅ - = . Rezultă: 12 2 2

12

1 1 1

2 2 21

( )

1 1 1( )

2 2 2

T T T

dy y y

t t T t T t T t

dd T t

C S e dy S e dy S e dy S N ds p p p

¥ ¥- ⋅ - ⋅ - ⋅

- -¥- - ⋅ -

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ò ò ò

0,

,T

TT T

S KP

S S K

ì ³ïï=íï <ïî iar T T TP C S+ = de unde din ipoteza A.O.A se obţine că t t tP C S+ =

pentru orice .t T£

10/pg. 45

Considerăm un instrument financiar derivat ceplăteşte la scadenţă n

TS unde TS este

valoarea activului suport la scadenţă. Activul suport are o distribuţie lognormală:

dS Sdt SdB

a. Arătaţi că valoarea instrumentului financiar la momentul t este:

21

( 1) ( 1) ( )2

n n r n T tn

tS e .

b. Să se determine valoarea unui instrument financiar derivat ce plăteşte la scadenţă

21TS .

Rezolvare:

a. Ştim că: 2

ln ~ ln ( ), ( )2T tS N S r T t T ts

sé ùæ ö÷çê ú÷+ - ⋅ - ⋅ -ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

de unde

2

ln ~ ln ( ), ( )2T tn S N n S n r T t n T ts

sé ùæ ö÷çê ú÷⋅ ⋅ + ⋅ - ⋅ - ⋅ ⋅ -ç ÷ê úç ÷çè øê úë û

.

( )

( ) ( ) ( )

( )2 2 2

2

.

ln ln( ) ( ) ( )

( ) 1ln ( ) ( 1) 1 ( )2 2( ) 2 .

nT T

t

not n

T T

n S n Sr T t r T t r T tt Q T t Q t Q t

n T tn S n r T t n n n r T t

r T t nt

D S

D e E S e E e e E e

e e S es s

s

⋅- ⋅ - - ⋅ - - ⋅ -

æ ö ⋅ ⋅ -÷ é ùç ÷ç⋅ + ⋅ - ⋅ - +÷ ê ú⋅ ⋅ - ⋅ + - ⋅ ⋅ -ç ÷ç ÷ ê ú- ⋅ - è ø ë û

=

é ùé ù é ù= ⋅ = ⋅ = ⋅ =ê úê ú ê úë ûë û ë û

= ⋅ = ⋅

F F F

Obs: se poate verifica că tD verifică ecuaţia Black-Merton-Scholes deci este preţul unui

instrument financiar derivat.

Altfel: ( )21

( 1) 1 ( )2

n n n r T tn

t tD S es

é ùê ú⋅ ⋅ - ⋅ + - ⋅ ⋅ -ê úë û= ⋅ verifică ecuaţia Black-Merton-Scholes deci este

preţul unui instrument financiar derivat iar ( )n

T TD S= c.c.t.d.

b.

( )

( ) ( )

. 2

2( ) ( ) 2

1

1 2 1

not

T T

r T t r T tt Q T t Q T T t

D S

D e E S e E S S- ⋅ - - ⋅ -

= -

é ù é ù= ⋅ - = ⋅ - ⋅ +ê ú ê úë ûë ûF F

Folosind rezultatul de la punctul a pentru 0,1şi 2n = rezultă:

( )2 ( )2 ( )2r T t r T t

t t tD S e S es + ⋅ - - ⋅ -= ⋅ - ⋅ + .

Aplicaţiile 5, 7, 8 şi 11 se rezolvă similar cu aplicaţia 10 iar 15 analog cu aplicaţia 9.