Inegalitati Geometrice in Triunghi - · PDF fileîncât . Atunci triunghiul ABD este...
3
Inegalitati Geometrice in Triunghi Acest curs prezinta Inegalitati Geometrice in Triunghi. In acest PDF poti vizualiza cuprinsul si bibliografia (daca sunt disponibile) si aproximativ doua pagini din documentul original. Arhiva completa de pe site contine un fisier, intr-un numar total de 38 pagini. Fisierele documentului original au urmatoarele extensii: doc. Extras II.1 Inegalităţi fundamentale Definiţia II.1.1: Spunem că segmentul [AB] este mai mic decât segmentul [CD] dacă măsura segmentului [AB] este mai mica decât măsura segmentului [CD] şi scriem [AB]<[CD] dacă AB<CD sau dacă AB<CD (fig. II.1.1) . Definiţia II.1.2: Spunem că este mai mic decât dacă măsura unghiului este mai mică decât măsura unghiului şi scriem: dacă (fig. II.1.2) fig.II.1.1 fig.II.1.2 Definiţia II.1.3: Un unghi se numeşte exterior al unui triunghi dacă este adiacent cu unul dintre unghiurile triunghiului şi suplementar cu el. fig.II.1.3 În fig.II.1.3; (BN şi (BC sunt semidrepte opuse, unghiurile şi sunt adiacente şi suplementare, iar este unghi al triunghiului, deci unghiul este unghi exterior triunghiului ABC. De asemenea, unghiurile , , , , sunt unghiuri exterioare triunghiului ABC. Teorema II.1.1: (Teorema unghiului exterior). Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât oricare dintre unghiurile triunghiului, neadiacent cu acel unghi. Demonstraţie: Fie triunghiul ABC (fig.II.1.4). Unghiurile şi sunt exterioare triunghiului ABC, unde . Se va arăta că: . Fie D mijlocul segmentului (AC) şi astfel încât . Punctele E şi M sunt de aceeaşi parte a dreptei AC, iar E şi D sunt de aceeaşi parte a dreptei AM, deci . Rezultă că: .
Transcript of Inegalitati Geometrice in Triunghi - · PDF fileîncât . Atunci triunghiul ABD este...
Inegalitati Geometrice in TriunghiAcest curs prezinta Inegalitati Geometrice in Triunghi.In acest PDF poti vizualiza cuprinsul si bibliografia (daca sunt disponibile) si aproximativ doua pagini dindocumentul original.Arhiva completa de pe site contine un fisier, intr-un numar total de 38 pagini.Fisierele documentului original au urmatoarele extensii: doc.
ExtrasII.1 Inegalităţi fundamentale
Definiţia II.1.1: Spunem că segmentul [AB] este mai mic decât segmentul [CD] dacă măsura segmentului[AB] este mai mica decât măsura segmentului [CD] şi scriem [AB]<[CD] dacă AB<CD sau dacă AB<CD (fig.II.1.1) .
Definiţia II.1.2: Spunem că este mai mic decât dacă măsura unghiului este mai mică decât măsuraunghiului şi scriem: dacă (fig. II.1.2)
fig.II.1.1
fig.II.1.2
Definiţia II.1.3: Un unghi se numeşte exterior al unui triunghi dacă este adiacent cu unul dintre unghiuriletriunghiului şi suplementar cu el.
fig.II.1.3
În fig.II.1.3; (BN şi (BC sunt semidrepte opuse, unghiurile şi sunt adiacente şi suplementare, iar este unghial triunghiului, deci unghiul este unghi exterior triunghiului ABC.
De asemenea, unghiurile , , , , sunt unghiuri exterioare triunghiului ABC.
Teorema II.1.1: (Teorema unghiului exterior).
Un unghi exterior al unui triunghi este mai mare decât oricare dintre unghiurile triunghiului, neadiacent cuacel unghi.
Demonstraţie:
Fie triunghiul ABC (fig.II.1.4). Unghiurile şi sunt exterioare triunghiului ABC, unde . Se va arăta că: .
Fie D mijlocul segmentului (AC) şi
astfel încât .
Punctele E şi M sunt de aceeaşi
parte a dreptei AC, iar E şi D sunt
de aceeaşi parte
a dreptei AM, deci .
Rezultă că: .
Dar
(unghiuri opuse la vârf) şi
rezultă că (cazul L.U.L.)
De aici obţinem şi, fig.II.1.4
ţinând cont că , deducem că adică .
Se va arăta acum că .
Fie P mijlocul segmentului (AB) şi
astfel încât (fig.II.1.5).
Punctele Q şi N sunt de aceeaşi parte
a dreptei AB, iar Q şi P de aceeaşi
parte a dreptei AN. Deci
rezultă că .
Dar şi
ceea ce implică congruenţa
triunghiului APQ cu triunghiul BPC.
fig.II.1.5
De aici rezultă că dar prin urmare avem adică
Cum (opuse la vârf) obţinem . Deci am demonstrat că şi .
Teorema II.1.2:Într-un triunghi cu două laturi necongruente, laturii cu lungimea mai mare i se opuneunghiul cu măsura cea mai mare.
Demonstraţie:
Fie triunghiul ABC cu AC>AB (fig.II.1.6).
Se consideră punctul astfel
încât . Atunci triunghiul ABD
este triunghi isoscel şi .
Dar este unghi exterior triunghiului
BDC şi folosind teorema II.1.1 obţinem că
. Rezultă că
iar cum avem şi
deci Prin urmare,
ceea ce implică .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Documentul complet de 38 pagini il poti citi daca il descarci din Biblioteca.RegieLive.ro
Imagini din documentul complet:
Mai multe detalii se gasesc in pagina documentului din Biblioteca.RegieLive.ro
