Micii MATEMATICIENI revista lic 2008 final.pdf · Vectori de poziţie . ai unor puncte importante...

Micii

MATEMATICIENI

Revista elevilordinHîrlãu

Anul II, nr. 2, martie 2008

Liceul Teoretic “Ştefan Cel Mare” – Hîrlău

Micii Matematicieni (Online) - ISSN 2344 - 4827

Acela-i matematician pentru care egalitatea2xe dx

este evidentă ca

"2 × 2 = 4". W. Thompson (lord Kelvin)

Micii

MATEMATICIENI

Revista elevilor din Hîrlău Anul II, nr. 2, martie 2008

REDACŢIA REVISTEI

Redactor şef: Ioan Săcăleanu

Membrii redacţiei:

Aurel Neicu Gheorghe Oancea

Constantin Nastase Dana Pavel

Adresa redacţiei: LICEUL TEORETIC „ŞTEFAN CEL MARE” HÎRLĂU, Str.

Mihai Eminescu, nr.5, Tel/Fax 0232/720911, web: http://hirlau.licee.edu.ro

Tehnoredactare: Cosmin-Alexandru Spînu; Lucian Rotaru

Colaboratori: Maria Raţă (Deleni) ; Ramona Mihaela Săcăleanu (Iaşi) ; Maria Ilie (Iaşi) ;

Corneliu Constantin Ilie (Iaşi) ; Mirela Munteanu (Hîrlău) ;

Rodica Chihaia (Tg. Frumos) ;Cezar-Marius Romaşcu ; Costache Raţă (Deleni) ;

Mihai Crăciun (Paşcani) ; Mihaela Turnea (Tg. Frumos) ; Elena Andone (Iaşi) ;

Sorin Căileanu (Tg. Frumos); Bogdan Dorneanu (Hîrlău); Florin Bularda (Hîrlău);

Mihaela Manole (Darlington High School, SC, USA)

Sponsorii revistei:

Asociaţia părinţilor”Ştefan cel Mare” , Hîrlău

S.C. COTNARI S.A.

S.C. CREŢUCOMPANY. S.R.L.

S.C. BEST COLOR S.R.L.

C.M.I. DR. STELA NEICU

ISSN-L 1844-153X

http://hirlau.licee.edu.ro/

Micii MATEMATICIENI 1

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

Vectori de poziţie

ai unor puncte importante în triunghi

de Maria Anton

Cu ajutorul a două relaţii vectoriale generale voi găsi vectorii de poziţie

pentru centrul de greutate, centrul cercului înscris, centrul cercului circumscris,

ortocentru, centrul cercului exînscris, punctul lui Gergonne, punctul lui Nagel.

Teorema 1 Fie ABC oarecare, ' [ )A BC , [ ')P AA a.î. '

'

BAq

A C ;

'

APt

PA .

Atunci M avem: (1 )(1 ) (1 )q t MP q MA tMB tqMC .

Demonstraţie În'

'1

MA tMAMAA MP

t

(1). În MBC '1

MB qMCMA

q

(2).Din (1)

şi (2) 1

1

MB qMCMA t

qMP

t

, adică

(1 )(1 ) (1 )q t MP q MA tMB tqMC .

Teorema 2 Fie ABC oarecare, ' [ )A BC , [ ' [ ']P AA AA aî. '

'

BAq

A C ,

'

PAt

PA . Atunci M avem: (1 )(1 ) (1 )t q MP q MA tMB tqMC .

Demonstraţie:

'

' 1

PA MA tMAt MP

PA t

(3).

''

' 1

BA MB qMCq MA

A C q

(4).

Din (3) si (4) 1

1

MB qMCMA t

qMP

t

(1 )(1 ) (1 )t q MP q MA tMB tqMC .


Aplicaţii: 1) P=G=centrul de greutate al ABC 2, 1t q

6 2 2 2MG MA MB MC 3MG MA MB MC .

2) P=I=centrul cercului înscris în ABC =punct de intersecţie al bisectoarelor

';

' ' '

BA c AI AB b cq t

A C b IA BA a

(s-a folosit şi teorema bisectoarei)

T1 devine: 1 1 1b c c c b c b c c

MI MA MB MCa b b a a b

adică a b c MI aMA bMB cMC .

3) P=H= ortocentrul ABC = punct de intersecţie al înălţimilor

' cos

' cos

BA c Bq

A C b C ; Aflăm ?

'

AHt

HA

' ' ' ' 90AHB BHA BHA HBA C

' '' : cos ' sin

sin

AB ABAHB HAB C AH

AH C

'' : ' ' '

'

HABHA tg HBA ctgC HA BA ctgC

BA

Deci ' 1 cos cos

' sin ' cos cos cos cos

AH AB c A At

HA C BA ctgC c B C B C .Teorema 1

devine:

cos cos cos cos1 1 1

cos cos cos cos cos cos

A c B c B AMH MA MB

B C b C b C B C

cos cos

cos cos cos

c B A

b C B C

cos cos

cos cos cos

B CMH MA

B C A

cos cos 1

cos cos cos

b A CMB

B C A a

cos cos 1

cos cos cos

c A BMC

B C A a

cos cosb C c B a

Dar cos cos cos cos cos cos( ) sin sinB C A B C B C B C .

Avem cos cos cos cos cos cos

sin sin sin sin sin sin

B C b A C c A BMH MA MB MC

B C a B C a B C .

Din Teorema sinusurilor sin sin

;sin sin

b B c C

a A a A


Deci MH ctgB ctgC MA ctgA ctgC MB ctgA ctgB MC .

4) P=O=centru cercului circumscris ABC = punctul de intersecţie al

mediatoarelor

Fie 1A = punctul diametral opus luiA pe

C(O;R) R=OA=OB=OC Calculăm rapoartele q,t.

În 'ABA ,conform teoremei sinusurilor,

avem: '

sin ' sin '

BA AB

BAA AA B .

Dar 1sin ' sin(90 )BAA AA B =

sin(90 ) cosC C . Deci

cos'

sin '

c CBA

AA B .

În 'ACA , conform teoremei sinusurilor, avem: '

sin ' sin '

A C AC

A AC AA C

Dar 1sin ' sin(90 ) sin(90 ) cosA AC AAC B B . Deci

cos cos sin ' cos sin cos sin 2'

sin ' sin ' cos cos sin sin sin 2

b B c C AA C c C C C CA C q

AA C AA B b B b B B B B

Iar sin ' cos( )

sin '' cos cos

sin '

AO R OA B B Ct

R OBAOA A A

OA B

,conform celor ce

urmează: 'O B A rezultă prin teorema sinusurilor

' sin ''

sin ' sin ' sin '

OA OB R OBAOA

OBA OA B OA B

180sin ' sin sin 90 sin(90 ) cos

2 2

BOC BOCOBA A A

sin ' sin( ' ' ) sin cos ' sin ' cosOA B A CA A AC C A AC A AC C

= sin sinB C cos cos cos( )B C B C

Teorema 1 devine 1

1 (1 )(1 ) (1 )(1 )

t tqMO MA MB MC

t t q q


1 1 cos cos( )

cos cos( )cos( )1 cos cos( ) 2sin sin

1cos

A B CA B C

B Ct A B C B C

A

sin sin cos cos 1(1 )

2sin sin 2

B C B CctgBctgC

B C

1 1 sin 2 2sin cos

sin 21 sin 2 sin 2 2sin( )cos( )1

sin 2

B B B

Cq B C B C B C

B

cos( ) cos sin cos cos

(1 )(1 ) cos 2sin sin sin( )cos( ) 2sin sin

t B C A B B B

t q A B C B C B C A C

1(1 )

2ctgActgC

cos sin cos cos( )

(1 )(1 ) 2sin sin sin( )cos( ) cos

tq A B B B C

t q B C B C B C A

cos 1(1 )

2sin sin 2

CctgActgB

A B

Deci: 1

1 1 12

MO ctgBctgC MA ctgActgC MB ctgActgB Mc

5) P=T=punctul lui Gergonne, unde

AD BE CF şi D, E, F sunt

punctele de intersecţie aşe cercului

înscris în ABC cu laturile (BC),

(AC), respectiv (AB).

Avem: AF=AE=p-a ; BF=BD=p-b;

CD=CE=p-c

1AF BD CE

FB DC EA , deci conform RT

Ceva AD, BE, CF coincide în . În teorema 1 luăm A’=D, P= ;

'

'

BA BD p bq

A C DC p c

; Aflăm ?

At

D


În ADC cu transversala BTE, aplicăm T. Menelaus şi avem:

A BC AE a p a

D BD EC p b p c

. Teorema1 devine:

( )1 1

( )( )

a p a p bM

p b p c p c

= 1

p bMA

p c

+( ) ( )

( )( ) ( )( )

a p a a p a p bMB MC

p a p c p b p c p b

. Avem

2

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

p b p c a p a a a a p a a p aM MA MB MC

p b p c p c p c p b p c p a

( )( ) ( ) 1 1 1

( )( )( )

p b p c a p aM MA MB MC

p a p b p c p a p b p c

, relaţie care

se mai poate scrie: 4 1 1 1r R

O MA MB MCpr p a p b p c

.

6) P=N=punctul lui Nagel, unde ' ' 'N AD BE CF şi D’,E’, F’ sunt

puncte de intersecţie ale cercului exînscrise

cu laturile (BC), (AC), respectiv (AB).

Avem AF’=CD’=p-b; BF’=CE’=p-a;

BD’=AE’=p-c şi ' ' '

1' ' '

AF BD CE

F B D C E A , deci

conform T.R.Ceva, AD’, BI, CF’ sunt

concentrate în N.

Pentru

'

' ' '

AN BC AE a p c at

ND BD E C p c p a p a

(în ' , 'AD C BNE este transversală, deci se

aplică teorema lui Menelaus) şi '

'

BD p cq

D C p b

Teorema 1 devine:

1 1 1 ,a p c p c a a p c

MN MA MB MCp a p b p b p a p a p b

adică ( ) ( ) ( )pMN p a MA p b MB p c MN


7). '

'

BA cq

A C b (conform T.Bisectoarei interne) '

acBA

b c

;

' '

a

a

I A BA b ct

I A BA a

(conform T.Bisectoare externe)

Teorema 2 devine:

1 1 1a

b c b c b c b c cMI MA MB MC

a c b a a b

( )( ) aa b c b c MI ( ) ( ) ( )a b c MA b b c MB c b c MC

( ) ab c a MI aMA bMB cMC

2( ) ap a MI aMA bMB cMC

Analog se obţine: 2( ) ap b MI aMA bMB cMC şi

2( ) cp c MI aMA bMB cMC

Profesoară, Liceul „Ion Neculce”, Târgu-Frumos,


Forme ale relaţiilor metrice din triunghiul dreptunghic

în triunghiul oarecare

de Ioan Săcăleanu

Def.: Fie un punct P exterior dreptei d. Numim - proiecţia punctului P pe

dreapta d punctul P d pentru care unghiul orientat în sens trigonometric

dintre PP şi d este , (0, ) .

Obs.: 1. Pentru 2

, proiecţiei P a punctului P i se asociază proiecţia P

. Cum PP P este isoscel, rezultă că PP =PP . Putem defini

-distanţa de la P la d ca fiind lungimea segmentului PP .

2. Pentru 2

, proiecţiile P şi P coincid cu proiecţia

ortogonală a punctului P pe dreapta d.

Folosind proprietăţile triunghiului isoscel se arată uşor:

Propoziţie: Pentru 2

, proiecţia ortogonală a punctului P pe d este

mijlocul segmentului PP .

***

Considerăm triunghiul ABC orientat în sens trigonometric,

nedreptunghic.

Definiţii. Notaţii :

Latura CA se numeşte A-catetă, iar CPA proiecţia ei pe A-ipotenuza ABC.

Latura BA se numeşte A-catetă, iar

BP proiecţia ei pe A-ipotenuza ABC.

Latura CB se numeşte A-ipotenuza triunghiului ABC.

[ ] [ ]A AAP AP se numeşte A-înălţime şi se notează cu hA.

Notăm cu h, S, R, a, b, c lungimea înălţimii ortogonale din A, aria ABC ,

raza cercului circumscris ABC , BC, AC, AB.

Din asemănarea AABC P AC A A

AB BC AC

AP AC CP Din

A

BC AC

AC CP

2

AAC BC CP (1)

A

AP APB C


Relaţia (1) se poate enunţa: Pătratul lungimii unei A-catete este egal cu

produsul dintre lugimea A-ipotenuzei triunghiului şi lungimea A-

proiecţiei sale pe A-ipotenuză. ( teorema A-catetei ).

Din A

AB BC

AP AC A

AB ACAP

BC

A

bch

a (2)

Are loc şi 2

AAB BC BP (3)

Relaţia (2) se poate enunţa: Lungimea A-înălţimii corespunzătoare A-

ipotenuzei este egală cu raportul dintre produsul lungimilor A-catetelor şi

lungimea A-ipotenuzei. ( teorema a II-a a înălţimii )

Din (2) 2 2

2

2A A

AB AC AB ACh h

BC BC

. Ţinând cont de (1) şi (3) obţinem

2

2

A AA

BC BP BC CPh

BC

2

A A Ah BP CP (4) ,

adică teorema I a înălţimii.

Pătratul lungimii A-înălţimii este egal cu produsul lungimilor A-

proiecţiilor A-catetelor pe A-înălţime.

Legătura dintre înălţimea ortogonală h şi A-înălţimea hA este dată de

formula h=hA sinA

hA

h

Avem: sin 2

ABC hBC BC AB AC abc

A h h BC S

. Analog,

sin 2

AC abc

B S şi

sin 2

AB abc

C S . Astfel se obţine teorema sinusurilor:

sin sin sin 2

a b c abc

A B C S (6)

Evaluând în mod clasic raportul 2sin

aR

A se obţine formula

4

abcR

S (7)

Folosind (1) si (3) obţinem: 2 2 ( )A A A AAC AB BC CP BC BP BC CP BP . Cum

2 2 2

A A A A A ACP BP BC P P BC AB AC BC P P (8), adică

teorema lui Pitagora generalizată

Folosind forma clasică a teoremei cosinusului, obţinem

2 cosA A

ac AP P

b (9)


Din 2(5) (6)

2

sin 4

2 2 4

A AA

h A a h aha SRS h

R a

(10)

Avem

3(10)

3

22 2 2

4 4 4 14

4A B C

SR SR SR abch h h R abc

a b c R abc

.

Deci A B Ch h h abc (11)

Aplicaţie:

Fie O intersecţia diagonalelor patrulaterului convex ABCD. Demonstraţi că

oricare două dintre afirmaţiile:a) O este mijlocul lui BD

b) ABC ADC c) AB AD

CD BC

Demonstraţie:

Notăm ( )m ABC şi

( )m ADC .

Fie S - proiecţia lui B pe AC

si T - proiecţia lui D pe AC

astfel încât ( )m ASB şi

( )m CTD .

Aplicând teorema a II-a -înălţimii în triunghiurile

ABC şi ADC, obţinem AB BC

BSAC

şi

AD CDDT

AC

, de unde

BS AB BC

DT AD CD

(1)

Dacă (b) este adevărată atunci . Cum sunt unghiuri alterne externe

rezultă că BS DT şi cu teorema fundamentală a asemănării obţinem

BS BO

DT DO (2)

Atunci (a)(2) (1)

1 1 ( )BO BS

cDO DT

Dacă are loc (a) şi (c), atunci, din (1) BS DT , BO=DO şi cum

unghiurile B şi D au aceeaşi natură (b)

Profesor, Liceul Teoretic “Ştefan cel Mare” , Hîrlău

A

C

D

O

S

TB


VIAŢA MATEMATICĂ ZONALĂ Această rubrică conţine concursul “Micii matematicieni”, ediţia a II a

din 2007 , Testarea elevilor de clasa în vederea înscrierii în clasa a V a ; o

prezentare a proiectului educaţional ―SUPER MATE” şi concursul de creaţie

a revistei ―Micii MATEMATICIENI‖ denumit ― Cea mai frumoasă problemă‖

SUPER MATE

MATEMATICA-o taină greu de înţeles pentru unii, atractivă şi uşoară

pentru alţii. Totul depinde de noi, învăţătorii, să-i facem pe copii să o

îndrăgească. Încercăm încă din primele zile de şcoală. Greu !?!?Greu de

realizat!!!Apelăm la măiestria didactică a fiecăruia. Poate sună banal, dar

acesta este adevărul. Şi, într-un final, reuşim! Nu contează câte fire de păr alb

au mai apărut în plus !

Iată că o mână de oameni inimoşi din judeţul Iaşi s-au gândit să vină în

sprijinul copiilor cu capacităţi aptitudinale înalte, la disciplina matematică. Au

iniţiat acest proiect educaţional ,,SUPER MATE‖,care a fost primit în şcoala

noastră cu mare interes, atât de cadrele didactice, cât şi de elevi şi părinţi .

Şi în acest an şcolar, la Şcoala ,,Petru Rareş‖ Hîrlău, s-a continuat

desfăşurarea cu succes a activităţilor cuprinse în Proiectul educaţional

,,SUPER MATE‖. În cele două grupe de la clasele a III-a şi a IV-a, sunt

cuprinşi elevi de la şcolile: Hîrlău, Pîrcovaci, Scobinţi, Bădeni, Deleni, Maxut,

Zagavia, Slobozia şi Sticlăria.

În aceşti cinci ani care s-au scurs, proiectul a reprezentat o nouă

provocare atât pentru cadrele didactice, cât şi pentru elevii implicaţi. Chiar

dacă este vânt, ploaie, zăpadă, ger sau vreme bună, copiii vin sâmbătă de

sâmbătă, pentru că le place ceea ce fac.

Proiectul se bucură de un real interes, deoarece toate cadrele didactice

sprijină această activitate, iar cei implicaţi direct, indiferent de şcoală,

formează o echipă de lucru, sprijinindu-se reciproc, găsind mai multe soluţii

pentru rezolvarea unor subiecte .

Referitor la activitatea elevilor, pot spune că se îmbină modalităţi de

lucru individual, frontal şi pe echipe, încurajându-i să colaboreze pentru a găsi

soluţii variate de rezolvare. Interesul elevilor şi al cadrelor didactice de la

şcolile din zonă a crescut, acest lucru reieşind din numărul mare de elevi care

au participat la testare şi la cursurile proiectului. De menţionat este şi faptul că

elevii au prezentat subiectele colegilor din şcolile din care provin, provocându-

i să le rezolve şi ei, impulsionându-i să se pregătească pentru anul următor ca

să participe şi ei.


Rezultatele muncii cadrelor didactice şi ale elevilor se oglindesc în premiile

obţinute la concursurile organizate de ISJ Iaşi :

Concursul ,, Micii matematicieni” organizat de Liceul ,,Ştefan cel Mare‖-

Hîrlău :

clasa a III-a –locul II-Ciubotaru Raluca; Bobîrnă Costin;

-locul III-Muraru Maria

-menţiune-Chifan Lavinia; Rugină Rareş;

clasa a IV-a –locul I-Zapan Ioana;

-locul II-Călinescu Ana Maria;

-locul III-Poruşniuc Cosmin

-menţiune-Mititelu Melisa; Tofan Remus

Admitere clasa a V-a, la Liceul ,,Ştefan cel Mare‖-din cei 25 elevi admişi, 13

erau cuprinşi în proiect

Concursul ,,Prâslea cel isteţ”

-cl.a III-a -faza judeţeană:-menţiune- Creangă Lucian, Cotiugă Ştefan,

Ciubotaru Raluca

Olimpiada de matematică-

-cl.a IV-a -menţiune-Mititelu Melissa; Călinescu Ana Ioana

Concursul ,,Florica T.Câmpan”

-clasa a III-a –locul III-Ciubotaru Raluca;

-menţiune-Bobârnă Costin.

Întreaga activitate a Proiectului Educaţional ,,SUPER MATE‖ este

prezentată în revista centrului nr. 6- Hîrlău, care cuprinde opinii ale cadrelor

didactice, părinţilor şi elevilor, dar şi exerciţii şi probleme propuse de elevi şi

cadre didactice. Autorii revistei au iniţiat un concurs de desene cu mascote

SUPER MATE, care s-a finalizat cu diplome şi premii.

În sprijinul elevilor din clasele a III-a şi a IV-a pentru anul şcolar

următor, am conceput un Auxiliar - SUPER MATE, bucurându-ne de

colaborarea unor colegi din Iaşi.

Cursurile proiectului s-au finalizat cu o festivitate de încheiere, la care

au participat cadre didactice, părinţi şi elevi, aceştia din urmă primind o

diplomă de participare.

Deoarece antrenează mulţi elevi, părinţii şi cadrele didactice şi-au

exprimat dorinţa ca proiectul să se deruleze şi în anii următori.

Responsabil centru

Înv.Mirela Munteanu


Concursul “Micii matematicieni”

Ediţia a II a, 31 martie 2007

A doua ediţie a concursului ―Micii matematicieni‖ organizat de catedra

de matematică a Liceului Teoretic “Ştefan cel Mare”, Hîrlău în parteneriat cu

I.S.J. Iaşi şi Asociaţia ―Recreaţii matematice‖, Iaşi putem spune că a fost o

reuşitǎ datoritǎ rezultatelor obţinute (40 premii şi menţiuni)

Îmi face o deosebită plăcere să menţionez prezenţa unor invitaţi importanţi

din judeţ, îndrumători activi pentru multe generaţii de elevi şi studenţi:

Prof. Dr. Temistocle Bârsan, Institutul Politehnic ―Gh. Asachi‖, Iaşi

Prof. Dr. Dan Brânzei, Universitatea ―Alexandru I. Cuza‖, Iaşi

Prof. Constantin Chirilă, inspector de matematică ISJIaşi

Institutor Constantin Ilie, inspector ISJ Iaşi

Organizatorii cu sprijinul sponsorilor au oferit premii în bani şi diplome

tuturor câştigǎtorilor concursului. Este o datorie de onoare sǎ mulţumesc pe

aceastǎ cale sponsorilor celei de a doua ediţii a concursului „Micii

matematicieni‖ : S.C. Cotnari S.A. ; S.C. Construct S.R.L. Hîrlău;

A.F. Huţanu S.R.L. Hîrlău ; Conf. Dr. Marius Spânu – consilier local şi

preşedinte de onoare a concursului; B.R.D. GSG Ag. Hîrlău ; C.M.I. Dr.

Stela Neicu ; S.C. Chipnet computer S.R.L. ; Cabinet Expert Contabil

Adriana Moraru şi contăm în continuare de sprijinul lor.

Concursul ―Micii matematicieni‖ a câştigat simpatia şi recunoaşterea

elevilor şi profesorilor. ―Întrecerile de agerime a minţii, spunea D-l Prof. Dan

Brânzei, corelate cu obligaţia unei înşiruiri impecabile de argumente sunt

relevante atât pentru prezentul pregătirii, cât şi pentru justificarea unor

speranţe relative la desfăşurare unei vieţi de creativitate intelectuală”.

Prin participarea a 362 elevi din 20 de unităţi şcolare din judeţ, putem

spune că am încheiat cu un real succes a doua ediţie a concursului. Aşteptăm

cu interes profesorii şi învăţătorii care doresc să se implice în buna organizare

a ediţiei a III a din 29 martie 2008 şi să ne contacteze . Vă mulţumim anticipat

pentru participare .

Prof. Ioan Săcăleanu,

Responsabil al catedrei de matematică


Rezultatele concursului

„Micii matematicieni”, ediţia a II a

Cla

sa

Nume si prenume

Şcoala de provenienţǎ

Profesorul

îndrumǎtor

Punc-

taj

Premi

ul

III Vîntur Cristian Lic.‖Miron Costin‖, Paşcani Înv. Zenovia Gheorghincă 40 I III Ciubotaru Raluca Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Înv. Carmen Niculescu 31 II

III Bobîrnă Costin Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Înv. Carmen Niculescu 30,75 II

III Răileanu Diana Alexandra Şc.„G. Ibrăileanu‖ Tg.Frumos Înv. Petru Bostaca 28,50 III

III Muraru Maria Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Înv. Gabriela Onofrei 28,00 III

III Iacob Ionela Şc.„N. Iorga‖,Paşcani Înv. Silvia Sorodoc 27,75 III

III Nicu Iulian-Andrei Şc.„ Ştefan cel Mare‖, Cotnari Înv. Teodora Laiu 26,12 M

III Chifan Lavinia Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Înv. Maria Simionescu 26,00 M

III Ioniţă Denisa Elena Gr. Şc.‖M. Busuioc‖, Paşcani Înv. Valentin Duduman 26,00 M

III Leu Lavinia Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Înv. Constanţa Dumitriu 26,00 M

III Rugină Rareş Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Înv. Constanţa Dumitriu 26,00 M

III Savin Andreea Beatrice Lic.‖Miron Costin‖, Paşcani Înv. Zenovia Gheorghincă 26,00 M

IV Zapan Ioana Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Înv. Mihaela Tomulesei 40,00 I

IV Călinescu Ana Maria Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Înv. Constanţa Dumitriu 39,00 II

IV Poruşniuc Cosmin Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Înv. Maria Budacea 38,00 III

IV Mititelu Melissa Florina Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Înv. Constanţa Dumitriu 37,50 M

IV Ciuculău Emilia Şc.„G. Ibrăileanu‖ Tg.Frumos Înv. Axinia Sandu 37,00 M

IV Tofan Remus Andrei Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Înv. Constanţa Dumitriu 37,00 M

V Asofiei Cosmina Lic.‖M. Sadoveanu‖, Paşcani Prof. Mariana Pleşcan 34,00 I

V Pletan Denisa Elena Lic.‖Ştefan cel Mare‖, Hîrlǎu Prof. Ioan Săcăleanu 31,00 II

V Ivănuţă Andreea Simona Lic.‖Ştefan cel Mare‖, Hîrlǎu Prof. Ioan Săcăleanu 30,00 III

V Bran Răzvan Lic.‖I.Neculce‖, Tg.Frumos Prof. Maria Anton 26,00 M

V Mertic Silviu Lic.‖M. Sadoveanu‖, Paşcani Prof. Mariana Pleşcan 26,00 M

V Creangă Aryna Alexandra Lic.‖Ştefan cel Mare‖, Hîrlǎu Prof. Ioan Săcăleanu 25,50 M

V Hugeanu Răzvan Lic.‖Bogdan Vodă‖Hălăuceşti Prof. Maria Bejan 25,50 M

VI Puhă Răzvan Petru Lic.‖Ştefan cel Mare‖, Hîrlǎu Prof. Gheorghe Oancea 16,75 I

VI Buzemurgă Mihaela Lic.‖Ştefan cel Mare‖, Hîrlǎu Prof. Gheorghe Oancea 15,00 II

VI Pădurariu Cristian Lic.‖I.Neculce‖, Tg.Frumos Prof Laurenţa Doca 15,00 II

VI Foca Alexandra Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Prof. Ioan Rǎuţu 13,00 III

VI Ciubotari Alexandra Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Prof. Ioan Rǎuţu 12,00 M

VI Găină Elena Şc.„Petru Rareş‖, Hîrlǎu Prof. Oana Spânu 12,00 M

VI Hanuş Ştefan Lic.‖Ştefan cel Mare‖, Hîrlǎu Prof. Gheorghe Oancea 12,00 M

VII Frumoasa Luiza Lic.‖M. Sadoveanu‖, Paşcani Prof. Vasile Pricop 19,50 I

VII Stumbea Ioana Lic.‖M. Sadoveanu‖, Paşcani Prof. Vasile Pricop 19,00 II

VII Muşat Loredana Prof. Gheorghe Oancea Prof. Maria Anton 18,50 III

VII Dandea Iulia Alexandra Lic.‖Ştefan cel Mare‖, Hîrlǎu Prof. Constantin Năstasă 18,00 M

VIII Bursuc V Ioan Ciprian Lic.‖Ştefan cel Mare‖, Hîrlǎu Prof. Aurel Neicu 26,00 I

VIII Pintilii Anda Dumitrela Lic.‖Ştefan cel Mare‖, Hîrlǎu Prof. Aurel Neicu 25,00 II

VIII Chihaia Cristina Gr.Şc‖V.M.Craiu‖Belceşti Prof. Elena Pegeanu 18,87 III

VIII Şerban Georgiana Lic.‖Ştefan cel Mare‖, Hîrlǎu Prof. Aurel Neicu 17,25 M


Probleme de concurs. Bareme de corectare

„Micii matematicieni”, ediţia II

Clasa a III a : Enunţuri

I Calculează : 25 + 36 : 9 x 5 : (70 – 10 x 6 + 10) – 30 : 5 =

II Determină valoarea lui m, m diferit de 0, din expresia:

m : m + 0 x m + 10 + 10 : m = 16

III Mati participă la Concursul „Micii matematicieni‖. Fiind întrebat pe ce

loc s-a clasat, el răspunde: „Numărul elevilor din faţă mea reprezintă a cincea

parte din numărul celor clasaţi după mine.‖ Ştiind că diferenţa dintre cele două

numere este 36, află locul ocupat de Mati şi numărul total al concurenţilor.

IV Doi fraţi, unul având 15 mere, iar celălalt 9 mere merg spre casă. Pe

drum se întâlnesc cu sora lor şi îşi propun să împartă merele în mod egal.

Aceasta le dă, în schimbul merelor primite, 8 bomboane. Câte bomboane

primeşte fiecare băiat, ştiind că cei doi fraţi nu împart bomboanele în două

părţi egale.

Barem de corectare

I oficiu…………………….........…………………. ……………………....1p

calculul parantezei ... =20…………………………....................………... 3p

efectuarea operaţiilor de înmulţire şi împǎrţire ……………................….. .. .4p

finalizare =20..........................…………………………….................…..… 2p

II oficiu……………..…………………………………………….….……. 1p

Calculul m : m=1 .............................................................................................2p

Calculul 0xm=0................................................................................................2p

10 : m=5................................................................................................3x1p=3p

Finalizare : m=2 ....................................................................................2x1p=2p

III oficiu………………………………………………………….…….…. 1p

reprezentarea grafică a datelor.…………....………………..................… . ...2p

aflarea numǎrului de pǎrţi : 5-1=4 pǎrţi............................................................1p

valoarea unei părţi=36:4=9 …………….……….................…...................…2 p

poziţia lui Mati în clasament : 9+1=10 ............................................................2p

numǎrul total de participanţi : 9+1+45=55.......................................................2p

IV oficiu…………………………………………………………………... 1p

Calculul sumei numǎrului de mere:15+9=24...................................................2p


Aflarea numǎrului de mere primit de fiecare copil 24 : 3=8..........................2p

Calculul nr. De bomboane oferit în schimbul unui mǎr 8:8=1 ........................2p

Calculul nr. De mere dat de primul frate 15-8=7..............................................1p

Calculul nr. De mere dat de al doilea frate 9-8=1.............................................1p

Finalizare..........................................................................................................1p

Clasa a IV a : Enunţuri

I Efectuaţi: 3x{342:9+2x[37x5-(872:8+54:6)]}-515=

II Aflaţi termenul necunoscut:

37x6+5x{64:16+5x[104-(320:m-618:103)]}+15=2007

III Ce vârstă are Maria, dacă cu 4 ani în urmă avea vârsta egală cu o cincime

din vârsta tatei, iar peste 2 ani vârsta ei va fi doar o treime din vârsta tatei?

IV La proba de rezistenţă de 600 metri, primii 5 care au ajuns au fost

Andrei, Bogdan, Cătălin, Doru şi Eduard. Stabileşte ordinea clasamentului

ştiind că:

a) Eduard a fost mai slab decât Doru şi s-a clasat pe locul al III-lea.

b) Cătălin nu şi-a învins colegii.

c) Andrei a fost destul de mulţumit de rezultatul lui.

d) Bogdan s-a clasat imediat după Cătălin.

e) Doru nu a fost al II-lea

Barem de corectare

I oficiu……………………………………………. …………………...…..1p

calculul parantezei ... =118………………................……………... 3x1p=3p

calculul primei paranteze ... =67 ……………….....................…..…..2x1p=2p

calculul parantezei ... =134…………………………....................…..3x1p=3p

finalizare =1......................................................................................................1p

II oficiu………………………………………………………….…...……. 1p

Aflarea parantezei ... =354.………………………...................……..3x1p=3p

Aflarea parantezei ... =70.......... ….…………………...................…..3x1p=3p

calculul parantezei ... =34............…………………………...................… 1p

finalizare m=8.........................................................................................2x1p=2p

III oficiu……………………………………………………………..……. 1p

Reprezentarea graficǎ (stabilirea relaţiilor)......................................................5p

Aflarea unei pǎrţi..............................................................................................2p


Aflarea vârstei actuale=10................................................................................2p

IV oficiu………………………………………………………………..…. 1p

Stabilirea locului lui Eduard (al III lea)............................................................2p

Stabilirea locului lui Cǎtǎlin ( al V lea)............................................................2p

S tabilirea locului lui Bogdan ( al IV lea).........................................................1p

Stabilirea locului lui Doru (primul)..................................................................2p

Stabilirea locului lui Eduard (al II lea).............................................................2p

Clasa a V a : Enunţuri

I a) Determinaţi mulţimile X şi Y ştiind că sunt îndeplinite simultan

condiţiile:

(1.) X U Y = { 1; 2; 3; 4; 5; 6} ; (2.) X ∩ Y = { 1; 2; 4}

(3.) X ∩ {3} ≠ şi (4.) Y – {1; 2; 4} =

b) Determinaţi Nn astfel încât A = B unde A = {0; 4n – 1} si

B = {n2 – n ; 2n + 1} si apoi aflaţi elementele mulţimii A.

II a) Demonstraţi egalitatea *,1

11

)1(

1Nn

nnnn

a) Calculaţi 110

1

90

1

72

1

56

1

42

1

30

1

III Să se determine cifrele distincte x, y, z scrise în baza 10, ştiind că:

3xyzxyxxx . Câte soluţii admite problema?

IV a) Arătaţi că 1 + 3 + … + 97 + 99 este pătrat perfect.

b) Calculaţi 100 · 99 – 99 · 98 + 98 · 97 – 97 · 96 + … + 4 · 3 – 3 · 2 + 2 · 1.

Barem de corectare

I oficiu……………………........…………………. ……….……………....1p

a) din 2)1; 2; 4X …......................................................................... 1 p

1; 2; 4Y …......................................................................... 1 p

din 3)3X …................................................................................. 1 p

din 4)Y={ 1; 2; 4} …..................................................................... 1 p

din 1)X={1; 2; 3; 4; 5; 6} …......................................................... 1 p

b) 4n-1; 2n+1 impare

0, n(n+1) pare….................................................................................. 1 p

2 1 4 1

10 ( 1)

n nn

n n

…................................................................... 2 p


suma elementelor este egală cu 3 …........................................................ 1 p

II oficiu…………………………………..……………………….………. 1p

a) 1 1 1

1 ( 1)

n n

n n n n

…....................................................................... 1 p

1

( 1)n n

…......................................................................... 1 p

b) 1 1 1 1 1 1

30 42 56 72 90 110

1 1 1 1 1 1

5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11

…...................................... 2 p

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 …......................... 2 p

1 1

5 11 …......................................................................................... 2 p

6

55 ….................................................................................................. 1 p

III oficiu……………………………………………………………….…. 1p

Din enunţ ultima cifră a sumei este 3x+x+x=3 …................................ 1 p

deoarece numai pentru x=1, ultima cifră a lui 3x=3x=1 …....................... 1 p

pentru x=1, egalitatea din enunţ devine 11 1 1 1 3y z y …........................ 1 p

sau 11+10y+1+10z+1=100+10y+3 (*) …...................................................... 1 p

făcând reducerile obţinem 10z=90 …............................................................. 1 p

sau z=9 …....................................................................................................... 1 p

cum în egalitatea (*) y s-a redus, rezultă că y este arbitrar, cu condiţia ca

cifrele x, y, z să fie distincte . ……………………………………………….1 p

y{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} …................................................................................ 1 p

problema admite 7 soluţii ….......................................................................... 1 p

IV oficiu……………………………………………………………..……. 1p

a) 1+3+ … +97+99=502 …..................................................................... 4 p

b) 100 99-99 98+98 97-97 96+ … +4 3-3 2+2 1=

= 99(100-98)+97(98-96)+ … +3(4-2)+2 1= …................................. 2 p

= 99 2+97 2+ … 3 2+1 2= …........................................................... 1 p

=2(99+97+ … +3+1)= …..................................................................... 1 p


=2 2500=5000 ….................................................................................... 1 p

Clasa a VI a : Enunţuri

I Determinaţi Zzyx ,, astfel încât 12884

423 zyx şi xyz = 32.

II Fie A = 2x + 3y, B = x + 5y, *, Nyx .

Să se arate că 7 divide A dacă şi numai dacă 7 divide B.

III Prin vârfurile triunghiului ABC cu măsura unghiului A de 60º şi măsura

unghiului B de 70º, se construiesc paralele la laturile opuse şi se notează cu A’, B’ C’ punctele de intersecţie ale acestor paralele. (A’B’// AB, B’C’ // BC,

C’A’ // CA).

a) Să se calculeze măsurile unghiurilor tringhiului A’B’C’.

b) Să se demonstreze că AA’, BB’, CC’ sunt mediane în triunghiul ABC.

IV Fie M un punct pe latura BC a triunghiului dreptunghic ABC (măsura

unghiului A = 90º). Se consideră punctele P, Q astfel încât laturile AB şi AC

ale triunghiului ABC sunt mediatoarele segmentelor [MP] si [MQ].

Demonstraţi că P, A, Q sunt coliniare şi BP + CQ = BC .

Barem de corectare

I oficiu……………………………………………. ………….……..……..1p 3 2 4

3 2 44 , 8 , 1284 8 128

x y zk x k y k z k …............................... 2 p

12 8 4 12 18 6 12 21 32 ; 2 ; 2x k y k z k …....................................................... 2 p

(xyz)12

=247

k13

…....................................................................................... 2 p

260

=247

k13

…............................................................................................. 1 p

213

=k13k=2 …....................................................................................... 1 p

Finalizare x=2, y=4, z=4 …...................................................................... 1 p

II oficiu…………………………………………..……………….………. 1p

3A+B=3(2x+3y)+(x+5y)=7x+14y=7(x+2y) …........................................ 3 p

3 7( 2 )7 |

7 | ;7 | 7( 2 )

A B x yB

A x y

…................................................................ 3 p

3 7( 2 ) 7 | 37 |

7 | ;7 | 7( 2 )

A B x y AA

B x y

…................................................ 3 p

III oficiu…………………………...…………………………...…………. 1p

( ) 50 ; ( ') 60 ; ( ') 50 ( ' ' ') 70o o o om ACB m ACB m CAB m A B C .2 p


m( BCA')=70 ; ( ') 50 ( ' ' ') 60o o om CBA m C A B …........................ 1 p

finalizare ( ' ' ') 50om A C B ….................................................................. 1 p

b) 'ABC A CB …...................................................................................... 2 p

'ABM A CM …........................................................................................ 2 p

finalizare [ ] [ ] 'BM MC AA -mediană ….................................................. 1 p

IV oficiu……………………..……………………………………………. 1p

a) MP AC CAQ MPQ …....................................................... 2 p

MQ AB MQA BAP …........................................................ 1 p

( ) ( ) 90oMP MQ m MQA m MPA …................................. 2 p

( ) ( ) ( ) ( ) 90 90 180o o om QAP m QCA m CAB m BAP

, , ,Q A P C coliniare ….......................................................................... 1 p

b) AC mediatoarea [MQ] [CQ] [CM] ….......................................... 1 p

AB mediatoarea [MP] [BP] [BM] ….......................................... 1 p

BC=CM+MB=CQ+PB ….................................................................. 1 p

Clasa a VII a : Enunţuri

I Dacă *2 1 3 2 1... ,

2 6 ( 1)n

n na n

n n

calculaţi a15 şi

determinaţi n , n ≤ 24 pentru care na Q

II Fie * *, ,a b c Q si x N astfel ca , 1 2a b c

x x xb c a c a b

a) Determinaţi x ştiind că xx 2

32

b) Calculaţi a2+b

2+c

2 ştiind că 2 2 2a b c

III Intr-un triunghi ascuţitunghic ABC avem , ( ),AD BC D BC ducem

// , ( ),DE AB E AC şi // , ( ),DF AC F AB Construim , ( )EM BC M BC

şi , ( )FN BC N BC .Să se arate că D este mijlocul segmentului [MN].

IV Fie ABCD un trapez cu bazele [AB] si [CD] o paralelă la baze

intersectează AD, AC, BD şi BC în punctele E, F, G şi respectiv H. Să se arate

că EH=3FG dacă şi numai dacă DF, CG şi AB sunt drepte concurente.

Barem de corectare

I oficiu……………………………...................……. ……………………..1p


a) 1

11

nan

…....................................................................................... 3 p

15

3

4a …................................................................................................ 2 p

c) n+1 pătrat perfect …................................................................................. 2 p

n{3, 8, 15, 24} …................................................................................... 2 p

II oficiu……………………………………………......………….………. 1p

a) D3 …........................................................................................................... 1 p

x=1 …......................................................................................................... 2 p

d) x(x+1)(x+2) ….......................................................................................... 2 p

x+(x+1)+(x+2) …....................................................................................... 2 p

a2+b

2+c

2 …................................................................................................. 2 p

III oficiu…………………..………………………………………………. 1p

AEDF paralelogram …................................................................................... 3 p

proprietatea diagonalelor …........................................................................... 2 p

NFEM trapez ….............................................................................................. 2 p

linia mijlocie în trapez …............................................................................... 2 p

IV oficiu……………………………..………………………….…………. 1p

demonstrarea relaţiei EF=GH ….................................................................... 2 p

demonstrarea relaţiei EF=FG …..................................................................... 2 p

demonstrarea relaţiei de concurenţă ….......................................................... 2 p

demonstrarea relaţiei EH=3FG ….................................................................. 3 p

Clasa a VIII a : Enunţuri

I Fie p un număr prim. Calculaţi

2 22 2 2 2 ( 2)E p p p p p p p

II a) Dacă ),0(, yx demonstraţi că xyyx

2 .Când are loc

egalitatea ?

e) Dacă ),0(,, zyx , demonstraţi că (x+2y) (y+z) (z + 2x) ≥ 16xyz

III Pe planul deptunghiului ABCD se ridică perpendiculara AM = 12cm.

Stiind că d(M, CD) = 413 cm şi d(M, BC) = 344 cm. Calculaţi

d(A,(MBD)).


IV Se consideră funcţiile f, g, h : R → R definite prin :

( ) , ( ) , ( ) 33

xf x x g x h x Notăm {A} = Gg ∩ Gh, {B} = Gf ∩ Gh, iar C si

D sunt punctele de intersecţie ale dreptei x = 2 cu Gf, respectiv Gg. Determinaţi

măsurile unghiurilor, perimetrul şi aria patrulaterului ABCD.

Barem de corectare

I oficiu…………………...………………. …… …………..............……..1p

2 2 2

2 2E p p p p …..................................... 2,5 p

2 2E p p p p …........................................................ 2,5 p

p număr primp 2p> 2 2 2p p …................................ 1 p

p2 2 2 2p p p …................................................ 1 p

2 ( 2) 2 2 0E p p p p p p …...................... 1 p

II oficiu……………………………….…………………………..………. 1p

a) 2

2 2 0 02

x yxy x y xy x y xy x y

2 p

b) 2 2 2x y xy …............................................................................... 1,5 p

2y z yz ……................................................................................ 1,5 p

2 2 2z x zx …................................................................................ 1,5 p

2 2 2( 2 ) 8( 2 )( ) 4 16z xx y y z x y z xyz …...................................... 2,5 p

III oficiu…………………………………......................…………………. 1p

Figura................................................................................................................1p

T3 : d(M, CD)=MD şi d(M, BC)=MB..........................................................1p

Calculul AB=20; AD=15..................................................................................1p

Aflarea lui BD=25............................................................................................1p

Construirea ,AE BD E BD . Demonstrarea MAE MBD ................1p

Aflarea 12AB AD

AEBD

.............................................................................1p

Fie MBDF pr A . demonstrarea că ,d A MBD AF ..............................1p

Aflarea 12 2ME .........................................................................................1p


, 6 2d A MBD AF ..............................................................................1p

IV oficiu………………………………………………………………...…. 1p

Determinarea coordonatelor varfulurilor patrulaterului ABCD ….......... 1 p

Reprezentarea grafică a funcţiilor f,g,h şi a dreptei (d): x=2 …............... 1 p

( )m A …............................................................................................ 0,75 p

( )m B …............................................................................................. 0,75 p

( )m C …............................................................................................ 0,75 p

( )m D …............................................................................................ 0,75 p

Aflarea lungimilor laturilor AB, BC, CD, DA ….................................... 1 p

Calcularea perimetrului …....................................................................... 1 p

Calcularea ,APD BPCA A …....................................................................... 1 p

Calcularea ABCD APD BPCA A A …........................................................ 1 p

Testarea absolvenţilor de clasa a IV a

în vederea înscrierii în clasa a V a

Varianta nr. 1, mai 2007

I Să se determine a din egalitatea:

a) 14 + 3 – 2 x [3 : (4 – a) + 5] = 1

b) 3 x [2 x (a – 1) – 1] = 999

II Calculaţi produsul dintre dublul lui a şi triplul lui b, dacă:

a = [(20 + 5 : 5) x 10 – 10] : 10

b = [(20 : 4) x 5 + 20 x 2] – 4

III Ionel citeşte o carte de 161 de pagini timp de o săptămână, în fiecare zi

câte o pagină în plus faţă de ziua precedentă.

Câte pagini a citit în ultima zi?

IV Pe un lac creşte un nufăr, care în fiecare zi îşi dublează suprafaţa pe care

el a avut-o cu o zi înainte. În 20 zile el ocupă întreaga suprafaţă.

După câte zile acoperă nufărul jumătate din suprafaţa lacului?

După câte zile acoperă nufărul un sfert din suprafaţa lacului?

Barem de corectare

Oficiu ..............................................................................................10 puncte


.I .....................................................................................................25 puncte

f) Aflarea parantezei [...]=8...............................................................5x1p=5p

Aflarea parantezei (...)=1.....................................................................4x1p=4p

Finalizare a=1.......................................................................................2x1p=2p

g) aflarea parantezei [...]=343.............................................................2x2p=4p

Aflarea parantezei (...)=167..................................................................4x2p=8p

Finalizare a=168....................................................................................2x1p=2p

.II .....................................................................................................30 puncte

calculul parantezei ... =21……………………….….................…....2x3p=6p

calculul primei paranteze ... =200 ……………….................………2x3p=6p

a=20................................................................................................................2p

calculul parantezei ... =6……………………….…...................…................2p

calculul primei paranteze ... =70 ……………...................…………..3x2p=6p

b=66..................................................................................................................2p

dublul lui a=40..................................................................................................2p

triplul lui b=198................................................................................................2p

finalizare 7920..................................................................................................2p

.III ......................................................................................................20 puncte

Reprezentarea graficǎ (stabilirea relaţiilor)......................................................4p

Aflarea celor 7 pǎrţi=140.......................................................................2x4p=8p

Aflarea unei pǎrţi =20.......................................................................................4p

În ultima zi a citit 26 pagini..............................................................................4p

.IV ......................................................................................................15 puncte

Cu o zi în urmǎ acoperǎ jumǎtate din suprafaţǎ...............................................4p.

Finalizare: dupǎ 19 zile....................................................................................3p

Sfertul este jumǎtatea jumǎtǎţii........................................................................5p

Finalizare : dupǎ 18 zile...................................................................................3p


I Calculaţi:

a) (2007 – 1229) x 6

b) [26 + 192 x (36 + 4 : 4)] : 10 + 9 x (856 : 8 + 0 : 2)

II Determinaţi termenul necunoscut din egalităţile:

a) 2041 – a = 1956

b) b x 8 = 656


c) [14 + (15 – m) : 6] x 2 – 19 = 9

III Suma a trei numere este 510. Să se afle numerele ştiind că primul este de

trei ori mai mare decât al doilea, iar al treilea este diferenţa dintre primul şi al

doilea.

IV a) Dacă un pepene galben cântăreşte 1 kg şi jumătate de pepene, cât

cântăreşte un pepene galben?

h) Câte drumuri (dus) trebuie să facă o barcă cu 4 locuri pentru ca să

transporte pe celălalt mal al unui râu 12 persoane.?

Barem de corectare

Oficiu ..................................................................................................10 puncte

.I .........................................................................................................36 puncte

a) rezultat:4668.......................................................................................2x3p=6p

b) calculul primei paranteze (...)=37.......................................................2x3p=6p

calculul parantezei [...]=7130.................................................................2x3p=6p

calculul celei de a II a paranteze (...)=107..............................................3x3p=9p

finalizare : 1676......................................................................................3x3p=9p

.II .......................................................................................................14 puncte

a) aflarea lui a=85...........................................................................2x1p=2p

b) aflarea lui b=82...........................................................................2x1p=2p

c) aflarea parantezei [...]=14...........................................................4x1p=4p

aflarea parantezei (...)=0...................................................................4x1p=4p

finalizare m= 15................................................................................2x1p=2p

.III .......................................................................................................25puncte

Se deduce cǎ al III lea nr. Este dublul celui de al II lea...................................5p

Reprezentarea graficǎ a datelor .......................................................................5p

Aflarea unei pǎrţi 510:6=85 (al doilea )...........................................................5p

Primul numǎr=255............................................................................................5p

Al treilea numǎr=170........................................................................................5p

.IV .......................................................................................................15puncte

a) Un pepene are douǎ jumǎtǎţi........................................................................2p

O jumǎtate de pepene = 1 kg............................................................................2p

1 pepene=2 kg...................................................................................................2p

b) o persoana conduce barca............................................................................3p

un drum lasǎ pe celǎlalt mal 3 persoane...........................................................3p

finalizare 12 : 3=4 drumuri ............................................................................. 3p



I Efectuaţi: 14 – 2 x [16 x (15 – 6) : (16 – 8) – 21 : (18 – 11)] : 3

II Determinaţi termenul necunoscut din egalităţile:

a) 218 – a = 29

b) 657 : a = 9

c) [(a + 260 : 2) x 3 + 6] x 3 = 2007

III Mama are 38 de ani, iar cei trei copii ai săi au 10 ani, 8 ani şi respectiv 6

ani. După câţi ani mama va avea vârsta egală cu suma vârstelor copiilor?

IV a) În clasa noastră sunt 26 elevi: băieţi şi fete. 18 copii poartă pantaloni.

Câte fete nu poartă pantaloni ştiind că în clasă sunt 15 fete.

b)Sunt un număr de trei cifre. Am 46 zeci, iar cifra unităţilor este jumătate din

cifra sutelor. Cine sunt eu?

Barem de corectare

Oficiu .................................................................................................10 puncte

.I ……………………………………….......................…………….25 puncte

(15 – 6) = 9 ……………..........................................................………….…. 2 p.

(16 – 8) = 8 ………………........…….............................................….….…. 2p.

(18 – 11) = 7 ……………........………...……............................................... 2p.

16 x 9 = 144 ……………...................................................……………..…. 3p.

144 : 8 = 18 …………….......………….…..............................................…. 3p.

21 : 7 = 3 ………………....................................................……………..…. 3p.

[….] = 15 ……………………………………………….………….….…… 2p.

2 x [ …] ………………………………………..…………………..….…….3 p.

30 : 3 = 10 ……………………………………………………………..…… 3p.

14 – 10 = 4 …………………………..………………...…………………… 2p.

.II …………………………………………......................………….25 puncte

a) a = 218 – 29 ………………………………………………….…………. 2p

a = 189 ………………………………………………………...….………… 2p

b) a = 657 : 9 ………………………………………………………………. 2p

a = 73 ………………………………..……..…………………….…………. 3p

c) 260 : 2 = 130 …………………………………………..………………… 2p

[ … ] = 2007 : 3………………………..……………………………....…… 3p

[ … ] = 669 ……………………………….…………………….…….……. 3p

(… ) x 3 = 663 ………………………………………..……………….…… 3p

a + 130 = 221 ……………………………………………………………….. 3p

a = 91 …………………………………………...……………..……………. 2p


.III .………………………....................………………………….30 puncte

Reprezentarea graficǎ ………………………...................……………….. 10 p.

38 = 10 + 8 + 6 +2 x pǎrţi...................................... ……..……................... 10 p

38 = 24 + 2 x pǎrţi.................... ……………....................………………… 4 p

2 x pǎrţi = 14 ….....................................…………….…..…………………. 2p

o parte = 7 …………......................……..................…….………………… 3p

Finalizare : peste 7 ani …………………...........................................……... 1p

.IV .......…………………………….........................……………….10 puncte

a) 26 – 15 = 11 bǎieti ……………………………….……..………….. 2p

Bǎietii poarta pantaloni ………………. ………………………………..……1p

18 – 11 = 7 fete poarta pantaloni ………………………………………….... 1p

15 – 7 = 8 fete poarta fusta ………………………..…………….………….. 1p

b) Se noteazǎ numǎrul cu abc

ab = 46 ……………………………………………………..…….………… 2p

cifra sutelor a=4 ………………………..…….. ……………………………..1p

cifra unitatilor c = 4 : 2 = 2 ……………..……. ………………………….....1p.

finalizare : 462 ……………………………………………………………… 1p

Concursul de creaţie matematică

“Cea mai frumoasă problemă” te invită să îţi pui la încercare intuiţia, perspicacitatea , creativitatea în

conceperea de probleme originale. Acum ai ocazia să propui şi tu probleme, nu

numai să rezolvi problemele propuse de alţii. Aşadar, este o invitaţie la efort,

care va fi încununată de satisfacţii pe măsură, pentru acei elevi care au înţeles

că matematica nu înseamnă numai probleme ―încruntate‖ de calcul, mai mult

sau mai puţin asemănătoare, ci înseamnă creativitate, imaginaţie, effort de

gândire, toate grefate pe o solidă pregătire teoretică.

Au răspuns invitaţiei în anul 2007 următorii elevi:

Buzilă Andreea (cl VI) ; Ivănuţă Andreea Simona (cl VI) ; Jitariu Adina

Diana (cl VI) şi Onofrei Andrei Codruţ (cl XII)

Câştigătorii ediţiei I a concursului de creaţie matematică sunt: Buzilă Andreea (cl VI)

Onofrei Andrei Codruţ (cl XII) Felicitări ! Premiile se vor înmâna la festivitatea de premiere a concursului ―Micii

matematicieni‖ din 29 martie 2008.


PROBLEME ŞI SOLUŢII SOLUŢIILE PROBLEMELOR PROPUSE ÎN NR. 1 DIN 2007

MATEMATICA PITICĂ

P.1 : Ce număr face posibilă egalitatea:

2007 2007 1 2007 2006 2007 : 2007 2007 2007a

Mara Neicu, elevă, Hîrlău

Soluţie : ... 0 1 ... 2007 2007 ... 0a

2006 1 2007 1a a

P.2: Un microbuz porneşte în traseu cu 4 pasageri. Ştiind că în prima staţie

urcă un pasager, în a doua staţie coboară doi, în a treia urcă trei, în a patra

coboară patru pasageri şi aşa mai departe, să se determine câte staţii are

traseul de microbuz dacă în ultima staţie coboară toţi pasagerii.

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău Soluţia 1 :

Tabelul de mai jos reprezintă distribuţia pasagerilor în staţii :

Nr. staţiei 1 2 3 4 5 6 7 8

Nr. de pasageri 5 3 6 2 7 1 8 0

Observăm că în a opta staţie nu mai sunt călători, deci traseul are 8 staţii .

Soluţia 2 :

Cei 4 pasageri trebuie sa coboare. Se observă că după a 2-a staţie , a 4-a , a 6-a

, a 8-a staţie coboară câte un pasager « vechi ». Cum în ultima staţie coboară

toţi rezultă că sunt 8 staţii.

P.3 : Se considerǎ scǎderea abc cba xyz .Arǎtaţi cǎ x z y .

Câte numere abc sunt dacǎ z = 5 ?

Alexandru Şerban, elev, Hîrlău

Soluţie : Cum a c rezultă că 10 c a z ; 9 b b y şi 1a c x .

Rezultă că 9y şi 1 10 9x z a c c a . Deci x z y .

Din 10 c a z găsim 5a c , fiind cifre 1,2,3,4c . Numerele

abc sunt bine determinate de perechile ,c b . Cum sunt 4 10 40 perechi,

rezultă că avem 40 numere abc .

P.4 : Suma tuturor numerelor ce se pot forma cu cifrele distincte a, b, c este

minimă. Să se determine cel mai mic număr abc .

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău


Soluţie : Pentru ca suma să fie cea mai mică trebuie ca cifrele distincte a, b, c

să fie cele mai mici, adică 0 , 1 , 2 . Deci abc =102 , iar suma este 66.

P.5 : Este posibilă adunarea: EURO EURO BANII , unde literele distincte

reprezintă cifre distincte ?

Codrin Niculescu, elev, Hîrlău Soluţie : Este posibilă având mai multe soluţii . De exemplu :

8394+8394=16788 ; 5394+5394=10788 ; 6394+6394=12788 ; etc.

P.6 : Împǎrţirea exactǎ a numǎrului ab la o cifrǎ a sa are câtul tot o cifrǎ a

sa . Aflaţi numǎrul ab .


Soluţie : Notǎm numǎrul cu ab . Avem 0 10ab a a . Nu putem avea

ab a b cǎci am avea 10a b a , adicǎ 10b , fals. Nici ab a a cǎci

am gǎsi cǎ 10a , fals. Rǎmâne situaţia ab b b , ce ne dǎ numerele : 25 şi

36 .

P.7 : La concursul “Micii matematicieni” participă elevi din patru localităţi:

Hîrlău, Deleni, Scobinţi şi Cotnari. Dacă 21 elevi nu sunt din Hîrlău, 23 elevi

nu sunt din Deleni, 22 elevi nu sunt din Scobinţi şi 24 elevi nu sunt din

Cotnari, aflaţi câţi elevi participă din fiecare localitate.

Aurel Neicu, Hirlău

Soluţie : Notăm cu H, D, S, C numărul de participanţi din localităţile Hîrlău,

Deleni, Scobinţi şi respectiv Cotnari. Avem H+D+S=24 ; H+D+C=22;

D+C+S=21; H+S+C=23. Însumând egalităţile obţinem H+D+S+C=30. Au

participat: Hîrlǎu = 9 elevi; Deleni=7 elevi; Scobinţi=8 elevi şi Cotnari=6

elevi.

P.8 : Într-un catalog sunt numerotaţi 10 elevi. Emi a observat că produsul

numerelor de ordine al colegilor din faţa lui este egal cu produsul numerelor

de ordine al elevilor de după el din catalog. Ce număr de ordine are la catalog

Emi ?


Soluţia 1 :

Efectuând calculele pas cu pas observăm că 1 2 3 4 5 6 8 9 10 720 .

Deci , Emi este al şaptelea elev în catalog.

Soluţia 2 :

Notăm cu p numărul de ordine al lui Emi şi cu x produsul nr. din faţa sa .

Cum produsul numerelor de ordine al colegilor din faţa lui Emi este egal cu

produsul numerelor de ordine al elevilor de după el , obţinem egalitatea : 2x p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 21 2 3 2 5 2 3 7 2 3 2 5


8 4 22 3 5 7 2

4 22 3 5 7 Cum 9p şi p multiplu al lui 7 , rezultă că

p=7 . Deci , Emi este al şaptelea elev în catalog.

P.9: Utilizând paranteze şi cel puţin o dată operaţiile de adunare, scădere şi

înmulţire scrie numărul 2007 folosind cifra 1 de 13 şi apoi, folosind cifra 1

de 17;

Mara Neicu, elevă, Hîrlău

Soluţie : O modalitate ar fi : 2007 1111 111 1 1 1 1 1 1 şi

2007 1111 111 1 1 1 1 1 1 11 11 .

P.10: Succesorul succesorului unui numǎr este egal cu predecesorul

predecesorului altui numǎr . Arǎtaţi cǎ cele douǎ numere nu pot fi numere

rǎsturnate.


Soluţie : Din secvenţa

1 1 1 1

a s ss pp p b obţinem că 4b a .Două numere

de o cifră sunt răsturnate dacă sunt egale. Cum 4b a rezultă că a şi b sunt

numere de mai mult de o cifră. Notăm cu x , y prima, respectiv ultima cifră a

numărului b .Avem ... ,x y b ...y x a cu x y . Ultima cifră a diferenţei

b-a este 10+y-x=4, adică x-y=6 . Prima cifră a numărului b-a poate fi 5 sau

6 . Deci b-a nu este număr de o cifră, adică 4b a , absurd. Prin urmare, a ,

b nu pot fi numere răsturnate.

MATEMATICA GIMNAZIALĂ

Clasa aV a

5.1 Calculaţi suma 1 1 1

...1 2 1 2 3 1 2 3 ... 2007

S

.

Costache Raţă, Deleni

Soluţie : Ţinând cont de formula: 1

1 2 3 ...2

n nn

şi de

1 1 1

1 1n n n n

obţinem :

2 2 2...

2 3 3 4 2007 2008S

2 2 2 2 2 2...

2 3 3 4 2007 2008

2 2 1003

2 2008 1004


5.2 Câte numere abc verificǎ egalitatea :

2 5 50 1756 19 ?a bc abc

Elena Huţanu, elevă, Hîrlău

Soluţie : Egalitatea devine: 100 250 1756 1900 100a bc a bc

2006 1900 2 bc 2 106 53bc bc . Avem 9 numere abc .

5.3 Determinaţi , ,x y z N astfel încât 2 2

168xy xz x .


Soluţie : Dacă 2 3 30x x xy şi 2 2

30 1800xz xy xz

168 1800x , absurd. Dacă 2 1 20x x xy şi 20xz 2 2

800xy xz 168 800x , absurd. Deci x=2.

Datorită simetriei putem presupune că y z .

Dacă 9 9 2 28z y y şi 2 28z 2 2

2 22 2 28 28y z

1682 1568 , absurd . Deci z=9. Înlocuind în egalitatea din enunţ, obţinem 2 2

22 29 1682 2 841y y 2

22 29 9y y .

Prin urmare, (x,y,z)=(2,9,9) .

5.4 Arătaţi că numărul 1 2 2006

1 2 ... 2006 2008 : 22007 2007 2007

este un

număr natural, pătrat perfect. Generalizare.

Gheorghe Oancea, Hirlău

Soluţie : Cum 1 2 2006

1 2 ... 20062007 2007 2007

=

2007 1 1 2007 2 2 ... 2007 2006 2006

2007

=

2008 1 2 ... 2006

2007

=

2008 2007 2006 : 22008 1003

2007

rezultă că

numărul este 2008 1003 2008 : 2 = 22008 1004: 2 1004 ,deci este un

număr natural, pătrat perfect.

Generalizare : Numărul 1 2 2 2

1 2 ... 2 2 2 : 22 1 2 1 2 1

nn n

n n n

este

pătrat perfect oricare ar fi n număr natural. Se demonstrează în mod

asemănător.


5.5 Alba ca Zăpada şi cei şapte pitici au suma vârstelor egală cu 212. Ştiind

că piticii au vârstele numere naturale consecutive, arătaţi că Alba ca

Zăpada nu poate avea vârsta unuia dintre pitici.

Aurel Neicu, Hîrlău

Soluţie : Notǎm cu a , a+1 a+2 , a+3 , a+4 , a+5 , a+6 vârstele celor 7 pitici.

Dacǎ Alba ca Zǎpada ar avea vârsta unuia dintre pitici atunci ea ar avea vârsta

de forma a+r cu r<6 . Avem 1 2 ... 6 212a a a a a r

8 1 2 ... 6 212a r 8 21 212a r 8 191a r

.Cum r<6 rezultǎ cǎ r este restul împǎrţirii lui 191 la 8 r =7 . Dar r<67<6

, fals . Prin urmare , Alba ca Zăpada nu poate avea vârsta unuia dintre pitici.

5.6 Se dau următoarele 1 2 3 20071 ; 3 ; 3 , 3 , ... , 3

a) Arătaţi că produsul numerelor date este pătrat perfect.

b) Arătaţi că suma numerelor date este divizibilă cu 8 .

c) Aflaţi restul împărţirii sumei numerelor date la 13.

Constantin Nastasa, Hîrlău

Soluţie :

a)Avem 1 2 3 2007 1 2 ... 20071 3 3 3 ... 3 3P 2008 2007:23 2

2007 1004 2007 5023 3

este pǎtrat perfect

b)Grupând termenii sumei câte 4 , obţinem 2008:4=501grupe . Avem succesiv:

1 2 3 4 5 6 7 2004 2005 2006 20071 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 3 3S =

1 2 3 4 1 2 3 2004 1 2 3 4 20041 3 3 3 3 1 3 3 3 ... 3 1 3 3 3 40 1 3 ... 3

Cum 8 840 S .

c) Grupând câte 3 pornind de la ultimul termen se obţine 669grupe complete şi

a 670 – a grupǎ având termenul 1 .

Deci 2007 2006 2005 2004 2003 2002 3 23 3 3 3 3 3 ... 3 3 3 1S

3 2 2004 20013 3 3 3 3 ... 1 1S Cum

2005 200213 3 3 ... 3 1S rezultǎ ,din unicitatea restului, cǎ R=1

5.7 Notǎm cu U x , ultima cifrǎ a numǎrului natural x .

a) Arǎtaţi cǎ, dacǎ 2 2 9U a b atunci 29 .U a b

b) Este adevǎratǎ reciproca afirmaţiei de la punctul a) ?

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău Soluţie : a)Ultima cifră a unui pătrat poate fi 0 ; 1; 4; 5 ; 6 sau 9 . Tabelul

+ 0 1 4 5 6 9


exprimă faptul că 2 2 9U a b

2 0;4;5;9U a , iar

2 9;5;4;0U b .

Datorită simetriei, analizăm numai

cazurile :

Dacă 2 0U a şi 2 9U b

atunci 0U a şi 3;7U b . Deci 3;7U a b

29U a b

Dacă 2 4U a şi 2 5U b atunci 2;8U a şi 5U b .

Deci 3;7U a b 29U a b

b) Reciproca este falsă. Este suficient să luăm numere a şi b astfel încât

1U a şi 2U b . Atunci 3U a b 29U a b . Dar,

2 4U a şi 2 1U b 2 2 5 9U a b .

5.8 Completaţi cu doi termeni şirul: 1 4 2 32 8

; ; ; ; ; ...2 1 16 4 1024

.

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău Soluţie : Se observă că numitorul unei fracţii este pătratul numărătorului

fracţiei precedente, iar numărătorul dublul numitorului. Se obţin fracţiile :

2

2 1024 2048

8 64

şi

2

2 64 128

2048 4194304

.

Clasa a VI a

6.1 Demonstraţi că, dacă abc cab bca

ac cb ba atunci a b c .

Ioana Sârbu, elevă , Hirlău Soluţie : Formula fundamentală a şirului de rapoarte egale ne dă

111 111

11 11

a b cabc abc cab bca

a b cac ac cb ba

. Obţinem că 111 divide abc .

Cum orice multiplu de trei cifre a lui 111 are cifrele egale rezultă că a b c

.

0 0 1 4 5 6 9

1 1 2 5 6 7 0

4 4 5 8 9 0 3

5 5 6 9 0 1 4

6 6 7 0 1 2 5

9 9 0 3 4 5 8


6.2 Considerăm ABC şi D BC . Dacă AM este bisectoarea BAD şi

AN este bisectoarea BAC . Demonstraţi că AD AC dacă şi numai

dacă 45mMAN .

Monica-Elena Ambros, Hirlău

Soluţie : Avem 1 1

2 2m MAN m BAN m BAM m BAC m BAD

Deci 1

2m MAN m CAD . Are loc

45om MAN 90m CAD AD AC

6.3 Pe ipotenuza BC a triunghiului dreptunghic ABC cu 60m ABC ,

considerǎm punctele ,D M BC astfel ca DAM ACB . Demonstraţi

cǎ AD este înǎlţime în ABC dacă şi numai dacă AM este medianǎ în

ABC .


Soluţie :

Avem ( ) 30 ( ) 30o om ACB m DAM

" " Presupunem că AD BC .Cum ( ) 30om BAD rezultă că M DC căci

altfel M=B(BC)Din BAD DAM AD înălţime

( ) 60o

ABM isoscelABM echilateral BM AM AB

m ABM

Dar 2( ) 30o

ABC dreptunghic BCAB

m C

. Deci

2

BCBM AM -mediană

" " Presupunem AM mediană2

BCAM BM MC ABM - isoscel

cu un unghi de 60o ABM -echilateral ( ) 60om BAM . Cum MAC -

isoscel ( ) ( ) 30om MAC m C . Din ( ) 30om DAM M DC

( ) ( ) ( ) 90 ( ) 30om DAM m MAC m BAD m BAD

secAD bi toareAD BC

ABM isoscel


6.4 Fie ABC cu 1

2AB AC şi

1

2mC mA . Demonstraţi cǎ ABC este

triunghi dreptunghic in B.

(o reciprocă a teoremei unghiului de 30 ) Cosmin-Alexandru Spînu, Hirlău

Soluţie : Fie M mijlocul laturii [AC] Rezultă că AM=AB. Construim (AD

bisectoarea unghiului BAC DAC DCA ,de unde DAC este isoscel de

bază AC. Cum DM este mediană rezultă că 90DM AC m AMD . Din

congruenţa ABD AMD LUL rezultă măsura unghiului ABC de 90.

6.5 Fie *, ,a b c cu proprietatea că , ,a b c

b c a c a b sunt numere

naturale consecutive. Calculaţi 2 2 2a b c ştiind că 2 2 2a b c .

(în legătură cu E.12957 din GM 5 / 2005 ) Lucian Rotaru, elev,Hirlău

Soluţie: Notăm a

xbc

, 1b

xac

şi 2c

xab

. Înmulţind aceste trei relaţii

obţinem 1

1 2x x xabc

şi

2

1 2

xa

x x x

2 1

1 2

xb

x x x

,

2 2

1 2

xc

x x x

. Astfel, obţinem 2 2 2a b c =

3 1

1 2

x

x x x

=

3

2x x . Dar, din 2 2 2a b c N

3

2x x N x=1. Deci 2 2 2a b c

=1.

6.6 Ştiind că , , , ,ab a b xy ba x y yx , să se calculeze 2007 2007

ab yx


Soluţie : Dacǎ a b rezultǎ cǎ ab ba Avem ba a b 10b a a b

0b fals Deci ba xy ab yx . Prin urmare 2007 2007

ab yx =0

Dacǎ a=b atunci 2 ; ;a xy x y yx . Cum xy x y cǎci altfel x=0,

rezultǎ cǎ xy yx , adicǎ x=y şi cum 2a=x+y gǎsim a=x Prin urmare 2007 2007

ab yx =0


Clasa a VII a

7.1 Să se arate că expresia 2 2 2 2 2E n m n m n m m n n m este

divizibilă cu 2 pentru orice ,m n


Soluţie : Avem 2

E nm n m n m n m 1n m nm n m

1 1n m m n . Dacă m şi n au aceeaşi paritate atunci factorul m+n va

fi număr par, deci E divizibilă cu 2. Dacă n şi m sunt de parităţi diferite atunci

unul din factorii n+1 sau m+1 este par , deci şi E va fi divizibilă cu 2.

7.2 Fie numerele reale a, b, c, d . Ştiind că suma oricăror două numere este

egală cu produsul celorlalte , să se afle numerele.


Soluţie : Adunând relaţiile ;a b cd a+c=bd şi b+c=ad obţinem

2 a b c a b c d . Se disting cazurile :

Dacă d=2 atunci prin scăderea relaţiilor a+b=2c şi a+c=2b obţinem a b c ,

de unde ecuaţia 22 2 1 0a a a a . Se obţin numerele

2 ; 2 ; 2 ; 2 sau -1; -1; -1; 2.

Dacă 2d atunci a b c (1). Cum a b cd deducem 1 0c d (2).

Scăzând ;a b cd a+c=bd găsim 1 0b c d (3)

Dacă 1d atunci adunând 1a bc şi 1b ac şi ţinând cont de

a b c obţinem 22c c cu soluţile 1c şi 2c

o Dacă 1c atunci 1a b şi 2ab c d de unde obţinem

1a şi 2b

o Dacă 2c atunci din a+d=bc 1 2a b şi cum 2a b

rezultă 1a b

Dacă 1d atunci , din (1) şi (3) avem 0b c şi din (1) 0a , iar din

a+d=bc avem 0d

Prin urmare , numerele pot fi sau 2 ; 2 ; 2 ; 2 sau 0 ; 0 ; 0 ; 0 sau -1; -1; -1; 2.

7.3 Numărul natural n are numai doi divizori naturali : x şi y. Notăm cu

2 2

s x y x y .Arătaţi că numărul s nu poate fi pătrat perfect.

Determinaţi n astfel încât s să fie cub perfect.



Soluţie : Avem : 2 2

s x y x y

2 2 2 22 2 4x xy y x xy y xy .

Cum numărul n are numai divizorii x şi y rezultă că n este număr prim şi n=xy,

de unde s=4n. Deoarece un număr prim nu este pătrat perfect rezultă că

numărul s nu poate fi pătrat perfect. Pentru ca s să fie cub perfect trebuie ca n

să se dividă cu 2, fiind şi prim găsim n=2.

7.4 Dacǎ mediana BM, înǎlţimea AH şi bisectoarea CD ale triunghiului

dreptunghic ABC sunt concurente atunci BM este cea mai mare dintre

mediane .


Soluţie : Notăm cu mA, mC lungimea celorlalte

mediane.

Cum ABC este dreptunghic în A,

rezultă că ma2

BC . Din teorema medianei

avem: 2 2 2

22

(2)4

AB BC ACBM

2 2 22 2( )

(3)4

C

AC BC ABm

Trebuie demonstrat că ABM m şi CBM m .

Avem BM2- 2

Am =

2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 30

4 4 4 4

AB BC AC BC AB BC AC AB ( s-a folosit

Teorema lui Pitagora ) Deci BM>mA. Calculăm

2 2 2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2 3

4 4 4C

AB BC AC AC BC ABBM m AB AC

(*)

Arătăm că AB>AC. Din concurenţa BM, AH, CD rezultă că:

1CH BD AM

HB DA MC (**)Dar AM CM . Din teorema bisectoarei avem

AD AC

DB BC . Înlocuind în (**) obţinem că:

CH ACCH BC HB AC

HB BC

Din teorema catetei avem 2CH BC AC . Deci 2AC HB AC AC HB ( )


În AHB dreptunghic în H avem AB>HB=AC, deci AB>AC. Din (*)

BM>mC.

În concluzie, BM este cea mai mare mediană.

Reciproca: Fie mediana BM, înălţimea AH şi bisectoarea CD ale ABC

dreptunghic în A. Dacă BM este cea mai mare mediană, atunci BM, AH şi CD

sunt concurente.

Demonstraţie: Această reciprocă este falsă. Este suficient să

considerăm ABC : AC=3, AB=4, BC=5. Avem mA=5

2,

2 2 22 2(3 5 ) 4

134

Cm

, 2 2 2

2 2(4 5 ) 4 73

4 4BM

Deci

25 7313

4 4 .

Dar 2 16

35

BABH AC

BC Deci BM, AH, CD nu sunt concurente cf. ( )

7.5 Se considerǎ ABC şi M BC astfel încât AMB BAC .

Demonstraţi cǎ urmǎtoarele afirmaţii :

1. AM este medianǎ în ABC ;

2. 2 ;BC AB

3. 2AC AM sunt echivalente.


Soluţie :Conform cazului II de asemănare rezultă că ABM CBA , de unde

.AB AM BM

BC AC BA Obţinem 2 (4)AB BC BM ; (5)

AB ACAM

BC

1 2: Presupunem că AM mediană .2

BCBM Folosind (4) obţinem

22 22 2

2

AB BCAB BC AB BC

BC adică (2).

2 3: Presupunem 2BC AB . Înlocuind în (5) obţinem

ABAM

AC

AB

22AC AM (3).

3 1: Presupunem 2AC AM AC 2

2(2).AB AC

BC ABBC

2 2AB ABBM

BC

AB

2.

2 22

AB BC Deci AM mediană.


7.6 Fie unghiul xOy şi punctele distincte ,A B Ox şi ,C D Oy astfel

încât OB OC şi 2 2, , 0t v t v

t v cu t vOA OD OB OC

.

Demonstraţi cǎ AD, BC şi una din bisectoarele xOy sunt concurente dacǎ

şi numai dacǎ t v .


Soluţie : Egalitatea din enunţ se poate scrie OB OA OD OC

t vOA OB OD OC

.

Cum O, A, B şi O, D, C sunt coliniare rezultă că OB OA AB şi

OD OC DC . Deci (1)tOA CD OC

OD AB v OB

" ": Presupunem că AD, BC şi una din bisectoarele lui xOy sunt concurente

în M . Cum OM este bisectoare în OBC rezultă că 2CM OC

MB OB Aplicând

teorema lui Menelaus în OBC (A, D, M coliniare) obţinem

3OA CD CM

AB OD MB . Din (1) , (2) şi (3) rezultă că

tCM CM

BM v BM ,

de unde t v

" ": Presupunem că t v . Presupunem prin absurd că AD BC . Din

teorema lui Thales rezultă că OA OD

AB DC . Din (1) găsim OC=OB , contradicţie.

Prin urmare AD şi BC sunt concurente în P . Aplicând teorema lui Menelaus în

OBC (A, D, P coliniare) obţinem 1OA BP CD CP OA CD

AB CP OD BP AB OD

.

Înlocuind în (1) obţinem OC CP

OB BP . Rezultă cu reciproca teoremei bisectoarei

că OP este bisectoarea lui xOy (interioară sau exterioară , după caz) . Deci

AD, BC şi una din bisectoarele xOy sunt concurente .


7.7 Fie ABC , isoscel de bază BC. Să se demonstreze că pentru orice

T IntC ABC IntBAC există un punct S AT astfel încât

mBSC mABT mACT .


Soluţie :Fie TIntC(ABC) ( )Int BAC . Fie ABDC înscris,

DATC(ABC), ( ) ( ) 180om ABT m ACT

Construim S(AT astfel încât ASB ABT . Din

asemănarea triunghiurilor ABT şi ASB 2AB AS AT

2 AC ATAC AS AT

AS AC

CAT SAC ACT ASC

( ) ( ) ( ) ( ) 180om ABT m ACT m ASB m ASC

( ) ( ) ( )m BSC m ASB m ASC . Deci mBSC mABT mACT

Clasa a VIII a

8.1 Desenul de mai jos reprezintă desfăşurarea în plan a unui paralelipiped

dreptunghic:

1) Aflaţi valorile lui x şi y .

2) Dacă figura se pliază formându-se o « cutie » , determinaţi :

a) punctele care coincid cu punctul P ?

B

ACK

J

F

D

EH

GL

M

N

P

9cm

12cm

15cm

x

cmy

cm


b) volumul “cutiei” .

3) Se poate introduce în cutie o baghetă de lungime 20 cm (foarte subţire)

astfel încât capacul să fie închis ?


Soluţie : 9x LG KF JK MN cm şi 15y PL cm . Punctele P, E, B

coincid .

Volumul « cutiei » este 1620 3cm . Se poate introduce o baghetă de lungime

20 cm deoarece diagonala « cutiei » este 2 2 212 9 15 450 21,21d

8.2 Fie ABCD un dreptunghi cu AB = a, BC = b ( a < b ). Perpendiculara

din B pe AC intersectează latura [AD] în E şi se consideră perpendiculara

în E pe planul (ABC).

a) Demonstraţi că MA2 – MC

2 = a

2 – b

2 .

b) Determinaţi EM ştiind că d(E;(BMC)) = d(B;AC).


Soluţie : Notăm cu S intersecţia dintre AC cu BE. Din ME ABCD şi

ES AC rezultă că 3MS AC T Aplicând teorema lui Pitagora în MSA

şi MSC şi scăzând relaţiile obţinem

2 2 2 2 2 2 2 2MA MC MS AS MS SC AS CS , iar din BSA şi

BSC găsim 2 2 2 2 2 2 2 2BA BC BS AS BS SC AS CS

Deci MA2 – MC

2 = a

2 – b

2 .

b) Ducem ,ET BC T BC Avem MT BC . Distanţa de la E la (MBC)

este lungimea înălţimii în 090MST mS . Din T2Î rezultă

;EM ET

d E MBCMT

Cum

2 2;

a bd B AC

a b

( s-a folosit T2Î şi TP în

ABC ) rezultă că 2 2

;MT MT b

EM d B ACET a b

2 2

2 2 2

EM b

MT a b

.Dar ,

în . .T PMST 2 2 2MT EM a 2 2 2 2 2 2EM a b EM a b

EM b


8.3 Fie funcţiile :f D şi :g cu

22 2 3 3

2 3

a x ac b c x c bcf x

a x b

şi

22 5 3g x a x a b x b .

a) Determinaţi a, b, c, D astfel ca funcţiile f şi g sǎ fie egale.

b) Pentru a=b=2 şi 1c , calculaţi distanţa dintre graficele funcţiilor f

şi g.

Codruţ-Andrei Onofrei , Hirlău

Soluţie :a) Pentru ca f g trebuie ca D şi ,f x g x x D .Dacă

2a atunci 3

\ .2

bD

a

, iar dacă 2a şi 3b atunci .D Pentru

2a şi 3b avem D .Pentru 2a avem

3 3

3

b x c bcf x x c

b

iar 3 3g x b x b .Din

f x g x rezultă că 3 1b şi 3 b c adică 2b şi 1.c Prin urmare

, f g dacă şi numai dacă 2a b şi 1c .

b) Pentru 2a b , 1c avem:

, : , 1f g f x x şi 1.g x x

Graficele celor două funcţii sunt drepte paralele.

Intersecţiile cu axele sunt 1;0 fA G

, 0; 1 fB G

, 1;0 fC G şi 0;1.fB G Avem

1.OA OB OC OD

ABCD este pătrat deoarece diagonalele ;AC BD

se înjumatăţesc, sunt congruente şi perpendiculare.

Deci distanţa de la AB şi CD este egală cu lungimea 2 2 2.BC OB OC

8.4 Rezolvaţi în mulţimea numerelor întregi ecuaţia 2 2 2 210 6 4 4 2 0x xyz xy y z y

Mihai Crăciun , Paşcani

Soluţie :Avem 2 2 2 2 29 6 4 4 2x xyz y z x xy y

2 2

3 2 2x zy x y .Din faptul că 2=1+1este singura scriere ca sumă

de pătrate rezultă cazurile:


3 1.

2 1

x zyI

x y

, , 3, 2, 5 , 5,2, 7 , 3,1, 8 , 1, 1, 4x y z

3 1.

2 1

x zyII

x y

, , 3, 1, 8 , 5, 2, 7 , 3,2, 5 , 1,1, 4x y z

3 1.

2 1

x zyIII

x y

7, 4, 5 , 9,4, 7 , 3, 2, 4 , 9,2, 8 ,

3,1, 10 , 1, 1, 2

3 1.

2 1

x zyIV

x y

1,1, 2 , 3, 1, 10 , 3,2, 4 , 5, 2, 8

7,4, 5 , 9, 4, 7

8.5 Ştiind că numerele reale a, b, x ,y, z verifică simultan condiţiile : a<b ;

;z a b şi 1

a x a y a z b

b x a y b

, să se demonstreze că :

a) Să se afle x, y în funcţie de a, b şi z.

b) Determinaţi a, b, z ştiind că maxx - minx =1 ; 2x y z şi 23x y x z z .


Soluţie : Scăzând cele două relaţii obţinem 1 az

xb a

şi înlocuind în a doua

găsim 1b bz

ya b a

. Adunându-le avem

1 1b bz azx y

a b a b a

bx y z

a Deci 2b a . Din 21 1 1a z b a az ab

2

max min

1 1ab ax x a

b a b a

Rezultă că a=1 şi b=2 . Înlocuind găsim

1x z şi 1 2y z . Avem 23x y z z 21 1 3z z z , de unde

1

2z . Avem

3 1, , ,0,

2 2x y z

sau 1 1

, , , 2,2 2

x y z

.


8.6 Se consideră sistemul :

2

22

2 2

1 20

30

1 1 5

ax y

aa

x y

b x a y

, , , 0a b a .

a) Să se determine o relaţie între a şi b de forma , 0f a b astfel încât

sistemul să fie compatibil determinat .

b) Pentru , 0f a a , să se determine x şi y .

c) Să se determine o relaţie independentă de a şi b între x şi y .


Soluţie : Notând 1 1

,u vx y

2

2 2

2

3

u v a

a u v a

2

2 2 2

2

2 3

u a v

a a v v a

4 2 22 3a a v v a 2 2 22 3 1a v a a 2 2

2

1;

2 3

a av

a

2 2 4 2 4 2 22

2 2 2

1 2 3 2 2

2 3 2 3 2 3

a a a a a a au a

a a a

2

2

2 3ax

a

(1) şi

2

2 2

2 3

1

ay

a a

(2) Înlocuim x şi y în ultima relaţie, avem

2 2

2 2

2 2 2

2 3 2 31 1 5

1

a ab a

a a a

2 2 2 21 2 3 2 3 5b a a a

2 2 2 2 2 22 2 3 3 2 3 5a b a b a a 2 2 2 22 5 3 0a b a b

Deci 2 2 2 2, 2 5 3f a b a b a b


b) 4 2 2 4 2, 0 2 5 3 0 2 2 0f a a a a a a a

2 22 1 0a a 1 2 30, 1, 1a a a . Rămâne

2 1a sau3 1a .Găsim

5x 5

2y

c) Din (1) şi (2) avem 2 21 1x x

a ay y . Înlocuind în (1) se obţine

în final relaţia 2 2 6 0x xy x y .

8.7 Fie numerele *,a b supraunitare cu b şi a b . Aflaţi

valorile raţionale ale expresiei

2

22 2a b a b b b b b a b .


Soluţie :Avem succesiv : not

E 2

22 2a b a b b b b b a b

= 2 2

a b b b a b a b b b a b

Cum 1 b 2b b b b b b b b

Dacă 1 a b atunci 2b ab b şi din 1 a b rezultă 2a b b

a b b . Atunci 0E b a b b b a

Dacă 1 b a atunci 2a ab a şi din 1 b a rezultă 2b a a

b a a E a b b b a b

Dacă a b atunci 2 2E a b b b b a a b căci

altfel 2

a b a b ab ab , contradicţie.

Dacă b a atunci 2 2E a b b b a b b b căi

altfel b , cotrazice ipoteza.

Prin urmare valoarea raţională este E=0 .

MATEMATICA LICEALĂ

Clasa a IX a


9.1. Fie funcţia :f ,

3 2 22cos 2cos2 1 2cos 1 2cosX

f X X X X X

Arătaţi că cos sin1 ,f f

Dragoş Pascariu, Hirlău

Soluţie : Folosind formula 2cos2 2cos 1 şi dezvoltând parantezele se

obţine 2 1f X X . Deci

2 2

cos sincos 1 sin 1 1 ,f f

9.2. Aflaţi *n N ştiind cǎ aproximarea prin lipsǎ la o zecime a

numǎrului 3 3 23n n este de forma ,xxx x .


Soluţie : Se observǎ cǎ 33 3 3 1n n n n 3 3 23 1n n n n Deci n

este partea întreagǎ a lui 3 3 23n n , adicǎ n xxx . Vom arǎta cǎ prima

zecimalǎ a numǎrului 3 3 23n n este 9 . Pentru aceasta este suficient sǎ

demonstrǎm cǎ : 3 3 293 1

10n n n n

3

393

10n n n

. Aplicând

cubul binomului se obţine în final inecuaţia 2 2 2 33 10 3 10 9 9 0n n (*) .

Discriminantul este 2270 93 şi 1,2

81 9 93

20n

. Cum 9n n

81 9 938,39

20

rezultă că are loc inegalitatea (*) .

Prin urmare, n=999 .

9.3. Fie numerele reale ;a y xy x 2b y xy y şi 2c x x xy .

a) Sǎ se compare x şi y ştiind cǎ a, b, c sunt simultan strict negative.

b) Arǎtaţi cǎ existǎ o infinitate de numere raţionale x, y pentru care a, b,

c sunt simultan negative.

c) Pentru 1,0x şi y<0 , sǎ se demonstreze cǎ

2 22 2

2 2

1 14

x y y x y x

y xy y x x xy.

Codruţ-Andrei Onofrei, elev, Hîrlǎu

Soluţie :


a) Din a+c<0 rezultǎ cǎ 2 2 20 0, ă 0x y y x y c ci x .

Ţinând cont cǎ 1 0b y x y şi y<0 , obţinem cǎ 1 0.x y

Arǎtǎm cǎ x<0 . Presupunem , prin absurd, cǎ 0.x Din

1 0c x x y rezultǎ cǎ x<-1+y. Dar -1+y<0, deci x<0, contradicţie.

Prin urmare, x, y sunt numere negative ,rezultă cǎ xy>0.

Cum a<0 y x xy , deducem cǎ y<x.

b) Pentru , 2n N n luând 1 1

;n

x yn n

obţinem

2

2

1n na

n ;

2

2 2 2;

nb c

n n . Pentru , 2n N n avem

a, b, c numere simultan negative.

c) Inegalitatea din enunţ se poate scrie 2 2

2 24

b y c x

y b x c.

Avem 1c x x xy . Cum 1,0x şi cum x<0, rezultǎ cǎ

x(x+1)<0. Dar xy>0, deci c<0. Avem 1b y y xy . Din y<0

rezultǎ y(1-y)<0. Dar –xy<0, deci b<0. Aplicând, inegalitatea

12 0u u

u, cu egalitate pentru u= -1, pentru

2

bu

y,

respectiv 2

cu

x şi adunând inegalitǎţile obţinute , deducem

inegalitatea doritǎ cu posibilă egalitate.

Arǎtǎm cǎ nu poate avea loc egalitatea. Presupunând cǎ are loc

egalitatea , obţinem cǎ 2 2 2 1 0b y y xy y y y x y=0 sau x=1, absurd,

cǎci 1,0x şi y<0 .

9.4. Fie D , o mulţime de numere reale cu proprietatea cǎ, din

2x D avem x D . Demonstraţi cǎ D dacǎ şi numai dacǎ existǎ

o funcţie :f D cu 0 0 ,xx x

f si f x f x D

.


Soluţie : " " : Dacă D considerăm funcţia : ,f f x x care

verifică condiţiile din enunţ.

" " : Presupunem că :f D cu 0 0xx x

f si f x f x D

.


Fie 0x D . Datorită principiului bunei ordonări, trebuie să analizăm cazurile :

Dacă 0 0x 0x .

Dacă 0 0x rezultă 0 0 0 0f x x x f x 0 0 0 0x f x f

0ox f x căci 0f x

Dacă 0 0x atunci 0 0 02f x x f x 0 02ox f x f x căci

, din 0 02x D avem x D şi deci 02f x

Prin urmare, D şi cum D , obţinem D .

9.5. Fie ABC şi punctele M, N, P cu ,M AB N AC şi

AP AM AN . Demonstraţi cǎ P BC AM CN

AB CA .

Constantin Nastasa, Hirlău

Soluţie : Notăm 0AM

aAB

; 0CN

bAC

. Avem AM a AB şi CN b AC

. Din AP AM AN obţinem 1AP a AB b AC . Înlocuind în

CP CA AP găsim relaţia vectorială 1CP a b AC aCB

" ": Dacă P BC ,CP CB vectori coliniari * :k CP kCB

Din (1) rezultă k a CB a b AC . Cum ;AC CB sunt vectori

necoliniari obţinem 0k a a b Deci a=b adică AM CN

AB CA .

" ": DacăAM CN

AB CA , adică a=b. Din (1) rezultă CP aCB . Cum

M AB rezultă 0,1a CP CB şi P CB . Deci P BC .

9.6. ABC are 90mA şi AB=36 şi AC=48. Considerǎm punctele

,M BC ,N AC P AB astfel ca BM=10, CN=8 şi AP=6.

a) Demonstraţi cǎ 0AM BN CP .

b) Arǎtaţi cǎ cevienele AM, BN şi CP nu sunt concurente.



Soluţie : a) Aplicând teorema lui Pitagora obţinem BC=60 cm . Avem relaţiile

vectoriale 1

6BM BC ;

1

6AP AB ;

1

6CN CA . Atunci AM BN CP

AB BM BC CN CA AP 7

06

AB BC CA

b) Presupunem prin absurd că AM , BN , CP sunt concurente . Cu teorema lui

Ceva obţinem 1MC BP AN

BM PA NC

50 30 401 125 1

10 6 8 , ABSURD.

9.7. Sǎ se determine numerele întregi x, y pentru care

2 22 2 22 1x y y x y x y

unde a reprezintǎ partea întreagǎ a numǎrului real a .


Soluţie : Notăm 2

2k x y y k

. Dar

22 2 21k x y x y (1)

22 2 2

2 1

1

yk

x y x y

(2) . Din

k 2 1 0y şi cum y y .

Avem 22 2 21 1 2 1x y x y y y y Rezultă 1k . Pentru k=0

rezultă din (2) că 1

2y . Pentru k=1 obţinem din (1)

22 2 21 1x y x y . Prin ridicare la pătrat găsim 2 2y x y de

unde x=0 . Folosind definiţia părţii întregi găsim 2 2 21 2 2 1 2 4y y y y

22 1 5y .Singurul pătrat întreg

este 4, de unde 1 2 3y y căci y Deci , 0,3x y .

Clasa a X a

10.1 Sǎ se reprezinte grafic soluţiile reale ale ecuaţiei 2 21 3 1 3x y x y .


Lucian Rotaru,, Hirlău

Soluţie : Folosim 0x y x y xy

Cum 2 21 3 1 1 3 1x y x y

2 1 3 1 0x y Rezolvând sistemele

de inecuaţii asociate se obţine

1 1 1

, 1 , 1, , 1,1 ,3 4 3

S

.

10.2 Să se afle soluţiile reale ale ecuaţiei 16 10 8 34 31 0x x x x

Florin Bularda, Hîrlău

Soluţie : Din 16 10 8 31 34x x x x rezultă că 0x . Aplicând teorema de

medie numerelor 16 10 8

31

, , , 1,1,...,1

ori

x x x obţinem

16 10 816 10 8

34

31

311 1 ... 1

34

x x xx x x

16 10 8 31 34x x x x cu

egalitate dacă 16 10 8 1x x x 1x . Cum x>0 rezultă x=1 , singura

soluţie reală.

10.3 Fie şirul 1

1n

n

nx

, unde este o rădăcină cubică a unităţii .

Arătaţi că pentru orice n are loc egalitatea :

0 1

0 1 2 1... 1nn

n n n n nC x C x C x x .


Soluţie : Avem 2 1 0 şi 2

1 0 , fiind rădăcini cubice ale

unităţii. Atunci 11

0 0 0 0 0

n n n n nk kk k k k k k k

n k n n n n

k k k k k

C x C C C C

1 1nn

2 12 2 11nn nn n

=

2 11n

nx q.e.d

10.4 Fie funcţia *:f D ,

29

100 1

2 3 122 2 2 1

log

1 1lg

2 2 2 1

xx

x x

x x

C

x xC

x x x xf x C C

.

a) Stabiliţi domeniul de definiţie al funcţiei f .

b) Studiaţi bijectivitatea funcţiei f .

Codruţ-Andrei Onofrei, elev, Hîrlău


Soluţie :Folosind relaţia de recurenţă a combinarilor

22 2

1 1

2 2 2 1 1. 1

x x x

x x x x xC C C

Cu ajutorul formulei combinării

complementare

2 2

210 10

100 1 10 1

10 101 1

log log

log log

x x

x x

x x

C CC C

2

1

10

1log . 2x

xxC C

. Din

(1) şi (2) relaţia din enunţ devine:

10

12

12

log10

1 1

x xCx

x

x x

Cf x f xC C

Din condiţiile de existenţă avem 2 2 1 1x x x ; 1 10x ; 1x şi

2

1 1x x 9, , , 9D n n n

b) Funcţia 10*

1:9, , 9,

xf n n f x C

nu este surjectivă deoarece ecuaţia

2f x nu are soluţie în D căci 10

10 1C şi 10

11 11C . Deci nu este nici

bijectivă.

10.5 Sǎ se determine cifrele a, b astfel încât *...n

ab ab n .

Constantin Nastasa , Hirlău

Soluţie : Pentru n=2, 2 2

... 100 100 | ( 1)ab ab ab ab ab ab Cum

5 | ( 1) 5 | {0,5}ab ab ab b sau 5 | ( 1) {1,6}ab b . Deci b{0, 5, 1,

6}

Dacă b=0 100 | 0( 0 1) 10 | ( 0 1) 10 | (10 1).a a a a a a Cum 10| (10 1)a

rezultă 10|a a 10-imposibil ( a este cifră )

Dacă b=1 avem 100 | (10 1)(10 1 1) 10 | (10 1)a a a a .Cum

10| (10 1)a 10 | 10a a - imposibil.

Dacă b=5 avem 100 | (10 5)(10 4a a ) 10 | (2 1)(5 2)a a . Cum 2a+1-

impar 2 | (5 2) 2 |a a a-par. Se verifică imediat că a=2, b=5.

Dacă b=6 100 | (10 6)(10 5) 10 | (2 1)(5 3)a a a a . Cum 2| (2 1)a

2 | (5 3)a a-impar . Deci a=7, b=6 verifică.

Demonstrăm prin inducţie că P(n): ...n

ab ab pentru valorile găsite.

I. Pentru n=2, P(2) adevărată.

II. Demonstrăm că P(k)P(k+1) 1 2

2 2... (10 ) 10n n

ab ab ab ab ab A ab ab A ab ab

...00 ... ...ab ab

Deci P(n) adevărată, n N .


OBS.: Se poate folosi şi binomul lui Newton.

10.6 Aflaţi ultimele douǎ cifre ale numǎrului 1 *70 6 6nn n


Soluţie :Observăm 1 1 1 1 170 6 6 70 6 1 6 70 6 6n n n n n n n

n nn n C C .

Folosind binomul lui Newton şi că 2

100

0

70 6n

n k k

k

rezultă că ultimele două

cifre ale 1 1 1 170 6 6 70 6 6n n n n n

n nn C C sunt aceleaşi ca ale sumei

0

70 6 76n

nk n k k

n

k

C

. Vom arăta prin inducţie

*:"76 76, "n

P n are ultimeledoua cifre n

Cum 1

76 76 şi 2

76 5776 rezultă că P(1) ; P(2) sunt adevărate.

Presupunem că 10076 76n . Atunci 1

10076 76 76 76 76n n

2

100 100 10076 5776 76 . Deci, are loc implicaţia

1P k P k

Prin urmare,ultimele douǎ cifre ale numǎrului 170 6 6nn sunt 76 .

10.7

a) Demonstraţi prin inducţie propoziţia : “ Dacă :f o funcţie

strict crescătoare atunci ,f n n n ” .

b) Descoperiţi greşeala! Pentru ln ln ,f n n n n n , iar

pentru nf n e , ln ln ,n ne n n e n n

ln ,n n n . Deci ln ,n n n .Pentru n=1 obţinem

ln1 1 0 1 .


Soluţie : a) Notăm cu F(n) propoziţia : " , "p n n n

Cum 0 rezultă că 0p 0 0p . Deci 0F este adevărată.

Presupunem F k adevărată p k k . Cum p este strict crescătoare

rezultă că 1p k p k k .Dar, din 1p k şi 1p k k deducem

că 1 1p k k


Deci implicaţia F k 1F k este adevărată .Conform metodei inducţiei

matematice rezultă că propoziţia F(n) este adevărată, oricare ar fi n .

b) Imaginea mulţimii prin funcţia exponenţială nu este mulţimea numerelor

naturale. De exemplu, 11p e e . Deci nu poate fi aplicată propoziţia

de la punctul a) .

10.8 Fie ABC şi funcţia *:f AB AC cu ,K L

BK CLf

AK AL .

Pentru orice M Int ABC definim mulţimea

, , \M K L AB A C M KL

a) Pentru punctele distincte M şi N avem :

M N MN BC .

b) Demonstraţi cǎ ,

1 , GK Lf K L , G fiind centrul de greutate

al ABC .

c) Arǎtaţi cǎ funcţia f este surjectivǎ, dar nu este bijectivǎ.

d) Ştiind cǎ O G arǎtaţi cǎ G H , unde O, G şi H reprezintǎ

centrul cercului circumscris,centrul de greutate, respectiv ortocentrul

ABC .


Soluţie : a) " ": Presupunem M N există , M NK L

dreptele KL şi MN coincid. Cum KL taie laturile AB şi AC rezultă din

teorema transvesalei că nu taie latura BC, deci MN BC

" ": Presupunem MN BC . Cum ,M N Int ABC rezultă că

există K MN AB şi L MN AC . Din ,M N KL şi

, ,K L AB A C rezultă , M NK L . Deci M N .

b) Fie /A mijlocul lui BC şi , ,K L AB A C . Ducem / /B B A A şi

/ /C C A A cu / /,B C KL . Notăm /M KL A A . Din teorema

asemănării găsim /B B BK

AM AK şi

/C C CL

AM AL , iar din teorema liniei mijlocii în

trapezul / /BB C C avem / / /2B B C C A M . Deci

/

,

2K L

A Mf

AM (*). Avem


echivalenţele ,

1K L

f /2

1A M

AM / 1

3A M AM M G centrul de

greutate G KL , GK L

c) Fie *t . Caut , ,K L AB A C astfel încât ,K L

f t . Luăm pe

/AA un punct M astfel încât /

2

A M t

AM (un astfel de punct există întrucât

/

/1

2

A M t

AA t

) Ducem prin M o paralelă la BC , care intersectează (AB) în

K şi (AC) în L . Din relaţia (*)rezultă că

/

,

2K L

A Mf

AM = t, adică f este

surjectivă.

Funcţia f nu este injectivă deoarece pentru orice , MK L cu 1K BC

unde 1C BM AB verifică ,K Lf t .

d) Fie , GK L , OK L dreptele KL şi OG coincid. Se ştie din

dreapta lui Euler că punctele remarcabile O , G, H coliniare H KL

, HK L . Prin urmare, G H

Clasa aXI a

11.1 Fie matricea 30

0

a b c

A c a

b a

. Arătaţi că det A nu depinde

de ,b c şi determinaţi *,nA n .

Constantin Nastasa, Hirlău

Soluţie : Aplicând Sarrus se obţine 3det A a , nu depinde de b şi c. Scriem

3A aI B unde

0

0 0

0 0

b c

B c

b

. Avem 2 2

2

0 0 0

0

0

B bc c

b cb

şi 3

3B O

Aplicând binomul lui Newton obţinem 3

nnA aI B

1 20 1 2 2

3 3 3

n n n

n n nC aI C aI B C aI B

Prin urmare

1 2 2

3

1

2

n n n nn n

A a I na B a B


11.2 Fie mulţimea matricelor de forma 2 3

1 4

x xX

x x

cu 1 2 3 4, , ,x x x x în

progresie aritmeticǎ neconstantǎ şi 2a X x a

a) Demonstraţi cǎ orice matrice X , neinversabilǎ are forma

2

1 1

3 3X x

b) Determinaţi a dacă pentru aX avem det X >0.


Soluţie :Din 1 2 3 4, , ,x x x x în progresie aritmetică neconstantă rezultă că x şi

0r a.î. 1 2 3, ,x x r x x x x r şi 4 2 .x x r

Avem 2

2 4 1 3det 2X x x x x x x r x r x r x 22xr x 2r

2det 2X r xr .

a) Din X F , neinversabilă det 0X şi2

x x rX

x r x r

.

Din 2det 0 2 0 : 0 2 .X r rx r r x

Deci forma lui X este 1 1

.3 3 3 3

x xX x

x x

Deci 2

1 1.

3 3X x

b) Pentru 2

20 0 0 det 0a x x X r căci 0.r

Presupunem prin absurd 0a 2 0 0.x x det 0, aX X F

2 2 0 , 0r xr x r Luând x r obţinem 2det det 0.X r X

Contradicţie! Deci 2 0.x 0a

11.3 Calculaţi L=

2

2limx ax a

x ax a b

b x b a x a b

dacă *,a b ,

unde […] reprezintă partea întreagă.


Soluţie : Din definiţia părţii întregi avem :

2 2 21

a b a b a b

x b a x a b x b a x a b x b a x a b

de

unde


2 2 2

2 2

a b x b a x a b x ax x ax a b

x b a x a b b b x b a x a b

(1) şi

2 2

2 2

x ax a b a b x ax

b x b a x a b x b a x a b b

(2) . Trecând la

limită în (1) şi (2) obţinem 2

lim limx a x a

a b x b a x a b x x a bL

x b b b x b

Deci b

La

11.4 Arătaţi că22 4

1 1

lim arcsin limn n

n n

k karctg

nk n

şi aflaţi valoarea

lor comună.

Cosmin-Alexandru Spînu, elev, Hîrlău

Soluţie : Funcţia 2

arcsin arc1

xH x tgx

x

are derivata nulă , deci H este

constantă. Rezultă că H(x)=H(0)=02

arcsin arc1

xtgx

x

. Sumând

egalităţile pentru 2

, 1,k

x k nn

şi trecând la limită obţinem

22 41 1

lim arcsin limn n

n n

k karctg

nk n

. Vom calcula

21

limn

n

karctg

n cu

ajutorul teoremei « Dacă f, g : (a,b) R, a 0<b, g(x)>0, 0

( )lim 1

( )x

f x

g x ,

şirul (akn)n>0 este convergent la zero, k{1,2,...,n}, 1

lim ( )n

knn

k

g a

există, atunci

: 1 1

lim ( ) lim ( )n n

kn knn n

k k

f a g a

. »

Considerăm f : 0; R cu f(x)= arctgx şi akn= 2

k

n cu lim 0kn

na

.


Căutăm g : [0; ) R cu g(x)>0 şi 0

( )lim 1

( )x

f x

g x . Avem

0 0 0

arc arc1 lim lim lim

( ) ( ) ( )x x x

tgx tgx x x

g x x g x g x Pentru ca

0lim

( )x

x

g x=1 avem

g(x)=x >0. Astfel sunt îndeplinite toate ipotezele teoremei.

Deci 2

1

lim arcn

nk

ktg

n

2 2 21 1

1 ( 1) 1lim lim lim

2 2

n n

n n nk k

k n nk

n n n

11.5 Şirul na este convergent şi are limita e . Să se calculeze lim nn

b

,

unde 1

21

1sin

nk

n

k

ab

n n

.


Soluţie :Avem 1sin

când 0 0, a.î. pentru

avem 11 1 1 1sin sin

<

111

sin

. Pentru valorile succesive valorilor 1 ,..., ,naa

n n avem:

21

1 11 1 1,

sink k

n ncu k n

aa a n

n

Însumând după k obţinem

11 1

1

1 1 1 1... ...

1 sin 1n

n i n

i

a a a a a

n n n

Aplicând teorema lui Cesaro-Stolz, avem:

1 1 1 11

1 1 1 11 1... ......

1lim lim lim

1

n nn

x x xn

a a a aa ae

n n n a

, deci

1 1 1

1

1 lim sin 1n

i

xi

ae e

n

1

1

lim sin ,n

i

xi

aa

n

deci

1 1 , 0 1e a e a şi 11 1 .e a e a a e

Am folosit următorul rezultat cunoscut :

Dacă , 0 .a b a b


Demonstraţie: Prin reducere la absurd presupunem ,a b luăm

a b a b a b a b (absurd) Deci a b .

11.6 Arătaţi că 2 2 22 2 3 1

lim ...2

n n n nn

ne e e e n

.


Soluţia autorului : În numărul 1 al revistei am prezentat următoarea teoremă

« Dacă f, g : (a,b) R, a 0<b, g(x)>0, 0

( )lim 1

( )x

f x

g x , şirul (akn)n>0 este

convergent la zero, k{1,2,...,n}, 1

lim ( )n

knn

k

g a

există, atunci :

1 1

lim ( ) lim ( )n n

kn knn n

k k

f a g a

. » pe care o voi aplica in acest exerciţiu.

Considerăm f : 0; R cu f(x)=ex-1 şi akn= 2

k

n cu lim 0kn

na

. Căutăm g

: [0; ) R cu g(x)>0 şi 0

( )lim 1

( )x

f x

g x . Avem

0

11 lim

( )

x

x

e

g x

0

1lim

( )

x

x

e x

x g x

0lim

( )x

x

g x Pentru ca

0lim

( )x

x

g x=1 avem g(x)=x >0. Astfel sunt

îndeplinite toate ipotezele teoremei. Deci 2

1

lim 1

kn

n

nk

e

2 2 21 1

1 ( 1) 1lim lim lim

2 2

n n

n n nk k

k n nk

n n n

Clasa aXII a

12.1 Legea de compoziţie " " definitǎ pe G admite element neutru şi are

proprietatea

, ,P x y z z x y x y z G

Demonstraţi cǎ legea " " este asociativǎ şi comutativǎ .

Monica-Elena Ambros , Hirlău


Soluţie : Notăm cu e, elemenul neutru. Avem

P

x y x e y y x e y x . Deci legea este comutativă. . Deoarece

C P C

x y z x z y y x z x y z rezultă că legea este asociativă .

12.2 Fie P un polinom cu coeficienţi întregi. Demonstraţi cǎ a Z este

rǎdǎcinǎ a polinomului P dacǎ şi numai dacǎ

,P t

Z t Z t at a

.


Soluţie : Din împărţirii polinoamelor P şi x-a , rezultă că există

C X Z X şi R X Z X astfel încât P X X a C X R X

cu 1grad R X (1) .

" " : Dacă a Z este rădăcină a lui P 0P a . Atunci

P X X a C X şi cum C X Z X , rezultă că

, ,

P tC t Z t Z t a

t a

.

" " : Presupunem că

, ,P t

Z t Z t at a

.Din (1) rezultă că

P t P aC t

t a t a

. Cum

P t

t aZ şi C t Z rezultă că

P a

t aZ

,t Z t a . Avem 0P a , căci altfel alegând 2t P a a Z cu t a

găsim P a

t a=

1

2 2

P aZ

P a a a

, contradicţie. Deci 0P a , adică a

rădăcină a polinomului P.

12.3 Se consideră numerele *, ,a b c R şi ecuaţia :

2 2 23 2

2 2 2

1 1 1 10

a b cX X X

a b c a b c a b c

Arătaţi că soluţiile

ecuaţiei date sunt în progresie geometrică, aritmetică şi respectiv

armonică dacă şi numai dacă 2 2 2, ,a b c sunt în progresie geometrică,

aritmetică şi respectiv armonică.

Constantin Nastasa , Hirlău


Soluţie : Avem 2 2 2

1 2 3

a b c a b cx x x

abc bc ac ab

;

1 2 3

a b cx x x

bc ac ab şi 1 2 1 3 2 3

a b a c b cx x x x x x

bc ac bc ab ac ab

Se observă că , ,a b c

bc ac ab verifică relaţiile lui Viette , deci sunt soluţii ale

ecuaţiei din enunţ.

, ,a b c

bc ac ab sunt în progresie geometrică

2b a c

ac bc ab

2 21b

ac b

2b ac 2 2 2, ,a b c sunt în progresie geometrică .

, ,a b c

bc ac ab sunt în progresie aritmetică

2b a c

ac bc ab

2 2 22b a c 2 2 2, ,a b c sunt în progresie aritmetică .

, ,a b c

bc ac ab sunt în progresie armonică

2a c

b bc aba cac

bc ab

2 2 2

2b abc

ac b a c

2 22

2 2

2a cb

a c

2 2 2, ,a b c sunt în progresie

armonică.

12.4 Pentru numǎrul real 1q definim mulţimea

1 2

1 2 3 4

3 4

/ , , ,q

a aG X a a a a

a a

sectermeni con utivi ai unei

progresii geometrice deratieq Demonstraţi cǎ adunarea şi înmulţirea

matricelor structureazǎ qG ca un corp comutativ.


Soluţie : Dacă qX G atunci există a astfel încât 2 3

1 qX a aS

q q

unde matricea S are proprietatea 2 31S q S . Deci

/q a aG X X aS si a Avem a b a bX X aS bS X qG


,a b qX X G adică este lege .Se verifică imediat că 0 2X O este element

neutru şi că aX

este opusa luia qX G a . Avem

31a b qab qX X X G

,a b qX X G adică este lege.Elementul neutru este 3

1

1

q

q

X G

, iar orice

0aX X are invers pe

2

3

1

1a q

X

qG . Cum adunarea matricelor pătratice este

asociativă şi comutativă atunci ea este asociativă şi comutativă şi pe

2qG . Asociativitatea şi distributivitatea înmulţirii faţă de adunare în

2 se transferă şi pe 2qG . Datorită comutativităţii înmulţirii

numerelor reale rezultă imediat comutativitatea înmulţirii pe .qG Deci

; ,qG este corp comutativ.

12.5 Fie funcţia : , 0, ,f a a R şi legea de compoziţie

x yx y f f a definitǎ pe ,G a . Sǎ se determine f ştiind cǎ

*: , ,f G R este izomorfism de grupuri .


Soluţie : Fie e elementul neutru al grupului ,G . Folosind morfismul găsim

*,f x f x e f x f e x . Dar, x x e f x f e a .

Obţinem ,f x x a x G . Legea « * » devine ,x y x a y a a

,x y G şi se verifică uşor axiomele grupului obţinându-se elementul neutru

e=a+1 şi 1

x ax a

simetricul lui oricărui x din G .

12.6 Determinaţi mulţimea 1

, 0; ; , 0sin cos

dx x a ba x b x

.


Soluţie : Există numărul real pentru care b

tga

. Atunci :

sin cosa x b x = sin cosa x tg x sin

cos

xa

. Avem

1 cos 1

sin cos sindx dx

a x b x a x

=

2

sincos

1 cos

xdx

a x

. Făcând


substituţia cosv x şi ţinănd cont că 2

1ln

1 1

dv v

v v

obţinem

cos 11 cosln

sin cos cos 1

xdx k

a x b x a x

, k real.

12.7 Arătaţi că

6

*

2 2 22

1/ , ,

b

a

b

a

dx R Q a b Q

ax a x b

.


Soluţie : Notăm cu I, integrala . Din formula radicalilor compuşi găsim că

2 2 2

2 2

ax b ax bax a x b

.Avem :

6

2

1

2 2

b

a

b

a

I dxax b ax b

6

2

2 1

2 2

b

a

b

a

adx

a b bx x

a a

6

2

2 2 2

4

b

a

b

a

a b bx x dx

b a a

3 3 6

2

2 2 2 44 2

6 3

b

ab

a

a b bx x b

b a a a

Integrala I */ , ,R Q a b Q căci altfel 4 2 b

18 8 2 b 2 (absurd)


PROBLEME PROPUSE

MATEMATICA PITICĂ P. 11 : Un elev a scris: 7 8 5 5 4 47 15 5 5 51 75 5 51

70 51 19 . Precizaţi toate greşelile pe care le-a efectuat elevul. Efectuaţi

corect calculul

Înv. Maria Raţă, Deleni

P. 12 : Cenuşăreasa avea de ales în fiecare seară 90 de boabe de orez din

cenuşa din sobă, ea alegând câte 50 de boabe într-o oră. În seara balului,

cele două surori vitrege ale ei , au mai adăugat la cele 90 boabe dublul

celor existente şi încă jumătate din numărul boabelor ce le-ar allege în trei

ore. În câte ore a terminat Cenuşăreasa de ales boabele de orez în ziua

balului ?

Andreea Buzilă, elevă, Hîrlău P. 13 : Mergând pe jos , unul din fraţii Tricǎ şi Fǎnicǎ nu ajunge la timp la

şcoalǎ. Ştiind cǎ Tricǎ parcurge 3 km în trei sferturi de orǎ , iar Fǎnicǎ

2100 m în jumǎtate de orǎ, aflaţi numele celui care a întârziat la şcoalǎ.

Înv. Ramona Mihaela Săcăleanu, Ţuţora, Iaşi

P. 14 : Un numǎr de douǎ cifre care conţine cifra 7 îi spunem şeptar. Aflǎ

suma dintre dublul celui mai mare şeptar şi triplul rǎsturnatului celui mai

mic şeptar.

Aurel Neicu, Hirlău P. 15 : Sǎ se verifice adevǎrul egalitǎţii :

1122 :11 3 : 7 11 13 8 19 2 529 2008

Înv. Ramona Mihaela Săcăleanu, Ţuţora, Iaşi

P. 16 : Dacă cumpăr 4 tricouri mai am nevoie de 15 lei, iar dacă aş cumpăra 3

tricouri aş rămâne cu 9 lei. Care este suma cu care am plecat de acasă ?

Înv. Maria Ilie şi Inst. Corneliu Constantin Ilie, Iaşi

P. 17 : Suma a patru numere distincte este egală cu 43, iar suma diferenţelor

dintre primul număr şi celelalte numere este egală cu 9. Care sunt numerele

? Câte soluţii sunt?

Înv. Maria Ilie şi Inst. Corneliu Constantin Ilie, Iaşi

P. 18 : La un concurs s-au cumpărat, în valoare de 900 lei două serviette (de

acelaşi preţ fiecare) pentru două premii şi trei truse de desen pentru trei

menţiuni. Înurma rezultatelor s-a constat că se pot acorda trei premii şi

două menţiuni. De aceea, s-a renunţat la o trusă, s-au mai adăugat 100 lei şi

s-a mai cumpărat o servietă. Aflaţi preţul servietei şi a trusei.



P. 19 : De ziua sa, Narcis trebuie sǎ stingǎ lumânǎrile aprinse de pe tort, ce

reprezintǎ numǎrul anilor împliniţi. La fiecare ―suflare‖ , el stinge jumǎtate

din lumânǎrile aprinse. Ce vârstǎ a împlinit Narcis dacǎ din şase ―suflǎri‖ a

stins toate lumânǎrile de pe tort ?


P. 20 : Tatăl, mama şi Vlăduţ şi-au propus să planteze flori în grădiniţă. Dacă

ar lucra fiecare singur, ar termina astfel: tatăl în 4 ore, mama în 6 ore, fiul

în 12 ore. În câte ore ar termina lucrarea toţi împreună ?

Înv. Mirela Munteanu, Hîrlău

P. 21 : Maria este sora lui Vlad. Ea are de 5 ori mai mulţi fraţi decât surori, iar

Vlad are de 2 ori mai mulţi fraţi decât surori. Câţi copii sunt în acea familie

Înv. Mirela Munteanu, Hîrlău

P. 22 : Aflaţi numărul a, ştiind că 3

4 din 2008 se adună cu două jumătăţi din

1292, iar suma obţinută se împarte la a , se obţine numărul 2008 .

Înv. Rodica Chihaia, Tg. Frumos

P. 23 : Suma a 13 numere naturale, distincte este92. Care sunt aceste numere ?


P. 24 : Sǎ se determine câte perechi (a , b) de cifre distincte pentru care a-b ,

a+b şi a b pot fi numere naturale consecutive


MATEMATICA GIMNAZIALĂ Clasa aV a

5.9 : Determinaţi numerele naturale abc cu a,b,c cifre distincte douǎ câte

douǎ din egalitatea: 13 3 17a b c a

Aurel Neicu, Hirlău 5.10 : În anul 2008, patru prieteni au descoperit cǎ rǎstunatul numǎrului care

reprezintǎ data naşterii fiecǎruia este tot data naşterii fiecǎruia. Pe cel mai

mare dintre ei îl cheamǎ Emi. Care este data lor de naştere ?


5.11 : Arătaţi că fracţia *2006 2007;

2007 2008

nn

n

este ireductibilă.

Cezar-Marius Romaşcu,

5.12 : Să se găsească numărul natural m din egalitatea 2319683 3m

.



5.13 : Dacă fracţiile 3 7 9 5 16

; ; ; ;5 4a b a b

sunt ordonate crescător, determinaţi

media lor aritmetică ştiind că *,a b .


5.14 : Un vânzǎtor a primit trei lǎzi cu fructe în greutate totalǎ de 120 kg.

Din ―ochi‖ el estimeazǎ cǎ lada cu mere şi cea cu pere nu depǎşeste 70 kg,

cea cu pere şi cea cu prune nu cântǎreşte mai mult de 80 kg, iar cea cu

mere şi cea cu prune mai mult de 90 kg. Câte kg din fiecare fruct a primit

vânzǎtorul ştiind cǎ estimǎrile sale sunt corecte.


5.15 : Să se afle x din egalitatea 21008 1009 ... 2008 2233x


5.16 : Există numere naturale astfel încât numerele 2 3a b c , 2 3b c a şi

2 3c a b sunt toate impare ?

Mihai Crăciun, Paşcani

5.17 : O mamă are doi copii. Vârsta mamei se exprimă printr-un număr de

două cifre, fiecare cifră fiind vârsta unuia dintre copii. Dacă la vârsta

mamei se adună vârstele celor doi copii se obţine 49 ani. Ce vârstă are

mama şi cei doi copii ?


5.18 : Dacǎ suma cifrelor unui numǎr este multiplu de 9 atunci spunem cǎ

acel numǎr este « nouar ». Sǎ se determine numărul « nouar » abc ştiind

cǎ numerele xabc ; xaybc şi xaybzc sunt numere « nouare », iar

numǎrul xbyazc este numǎr polindromic (adică este egal cu rǎsturnatul

sǎu).


Clasa a VI a

6. 7 : Doi dintre cei trei iezi ai Caprei din poveste au vârstele mai mari de

zece ani . Cu cât este iedul mijlociu mai mare decât cel mic cu atât este

mai mic faţǎ de iedul cel mare . Pe care ied a mâncat Lupul cel rǎu, dacǎ

iezii rǎmaşi au împreunǎ 12 ani ? Ce vârstǎ au iezii ?


6. 8 : Pentru cele 25 de locuri scoase la concurs în vederea înscrierii în clasa

a V a participă un număr de concurenţi. Ştiind că 64 % dintre ei au reuşit la

matematică şi 56 % au reuşit la limba română, să se afle câţi au participat

la concurs.

Dana Pavel, Hîrlău


6. 9 : Dacă adunăm jumătatea, sfertul şi optimea măsurii unghiului x ,

obţinem suplementul său. Care este măsura complementului suplementului

unghiului x ?

Mihaela Turnea, Tg. Frumos

6. 10 : Câtul, restul şi împǎrţitorul sunt cifre ale deîmpǎrţitului . Aflaţi

deîmpǎrţitul.


6. 11 : Un elev întârzie la o orǎ. Profesorul observǎ cǎ poate sǎ numere elevii

din clasǎ şi câte doi, şi câte trei. Dupǎ ce a venit întârziatul a constatat cǎ

poate sǎ îi numere câte cinci. Câţi elevi sunt în clasǎ ştiind cǎ nu pot depǎşi

50 elevi.


6. 12 : Fie a, b cifre pare consecutive, iar c şi r , restul şi câtul împǎrţirii

numerelor ab şi ba la n . Arǎtaţi cǎ c şi r nu pot fi numere consecutive .


6. 13 : Determinaţi cifra a din egalitatea:

2 4 2284

41 8 3

a a a a .


6. 14 : Fie ABC cu 0120m BAC . Perpendiculara în C pe AC

intersectează mediatoarea lui [AB] în D . Notăm cu E DC AB .

Demonstraţi că 2AB AC dacă şi numai dacă BDE este dreptunghic în D

şi A este mijlocul lui [BE] .


6. 15 : Fie ABC . Cercul de diametru [AB] şi centru M intersectează linia

mijlocie MN, N AC în punctele D şi E . Demonstraţi că D şi E sunt

centrele cercului înscris sau a cercului exînscris în ABC


Clasa a VII a

12. 8 Să se arate că nu există nici un număr raţional x cu proprietatea

x2007

-5x-1=0

Elena Andone , Iaşi

7. 8 : Arătaţi că 2005 2007n , oricare ar fi n .

Cezar-Marius Romaşcu


7. 9 : Demonstraţi că pentru orice x , numărul x2 + 11x +30 nu este pătrat

perfect

Elena Andone , Iaşi

7. 10 : Bisectoarea unghilui drept A a ABC împarte latura BC în segmente

direct proporţionale cu 3 şi 4 . Notăm cu N, piciorul bisectoarei unghiului

B. Determinaţi raza cercului înscris şi raza cercului circumscris a ABC

ştiind că 25BC CN .

Sorin Căileanu, Tg. Frumos

7. 11 : La o furtună, un stâlp de transport al energiei electrice se rupe, vârful

său ajungând pe sol la o distanţă de 5 m de trunchiul rămas şi formând un

unghi de 060 . Pentru ca pe viitor să nu se mai întâple astfel de incidente

constructorul s-a gândit să asigure stabilitate stâlpilor cu o ancoră

confecţionată din cablu oţelit şi legată de acesta la o înălţime ce reprezintă 80 % din cea a stâlpilor. Determinţi lungimea acestui cablu şi la ce distanţă

de stâlp va fi ancorat dacă el va face cu solul un unghi de 030 .


7. 12 : În triunghiul dreptunghic ABC (m(∢𝐵𝐴𝐶)= 90𝑜 ) se consideră

punctele ,D N BC , ,M Q AB astfel încât AD BC , DM AB ,

MN BC şi PQ BC .Dacă AB = a şi BC = 20 , calculaţi 𝐵𝑄

𝐵𝐶 ,

determinaţi natura patrulaterului MPND şi aflaţi aria acestuia

Bogdan Dorneanu, Hirlău

7. 13 : Fie ABCD un trapez AD BC în care diagonala AC este bisectoarea

unghiului BCD . Dacă E AB DC , DC=7,5 cm , BC=12 cm, AB=6 cm

să se arate că ABCD este trapez dreptunghic şi apoi, să se calculeze

perimetrul şi aria BDE .


7. 14 : Fie ABC , dreptunghic în A şi punctele ,D AB E BC astfel încât

AD=3 cm şi CE=3,75 cm. Ştiind că BC=10 cm şi AC=6 cm, se cere:

a) Să se arate că DE AC ;

b) Să se calculeze lungimile segmentelor DE şi DC ;

c) Să se arate că (CD este bisectoarea unghiului ACB .

Şerban Alexandru, elev, Hîrlău


Clasa a VIII a

8. 8 : Fie , ,a b c Z astfel încât numǎrul abc+ab+ac+bc+a+b+c+7 este

numǎr prim . Demonstraţi cǎ a , b , c nu pot fi numere consecutive.


8. 9 : Ştiind că are loc x4-7x

3+5x

2-14x+6 = (x

2+ax+2)(bx

2-7x+3) x , să

se verifice adevărul propoziţiei : 2 2 2a b a b .

Mihaela Manole, Darlington High School, SC, USA

8. 10 : Fie mulţimea , ,A a b a b unde

2007 2 1 2 3 ... 2006a ; 2 20061 2 2 ... 2b . Să se

determine mulţimea A Q .


8. 11 : Pe planul dreptunghiului ABCD cu AD<CD se ridică perpendiculara

MD astfel încât MD=3 cm . Notăm cu N mijlocul MB şi P mijlocul MC .

a) Demonstraţi că NDC este isoscel ;

b) Arătaţi că AM BPD ;

c) Calculaţi MA, MC, MB ştiind că sunt trei numere naturale consecutive.


8. 12 : În cubul / / / /ABCDA B C D diferenţa dintre diagonala cubului şi

diagonala unei feţe este 17 4 15 13 4 10 .

a) Calculaţi perimetrul şi aria secţiunii diagonale a cubului.

b) Determinaţi aria şi perimetrul AMN , unde M este mijlocul lui /CC

, iar Neste mijlocul lui / /C D .

c) Calculaţi distanţa de la D la planul /ABC


8. 13 : Să se arate că triplul ariei totale a unui tetredru este mai mc decât suma

pătratelor muchiilor


8. 14 : Există trei numere naturale mai mici decât 1 astfel încât a b c să fie

multiplu de 3 , dar numărul 3 3 3a b c să nu fie multiplu de 3 ?



MATEMATICA LICEALĂ Clasa a IX a

9. 8 : Funcţiile , :f g au proprietăţile : 670 669 2007 1f x x

şi 2007 2010 669 1g x x , pentru orice x , număr real. Graficul

funcţiei f intersectează Ox şi Oy în A, respective B, iar graficul funcţiei g

intersectează Ox şi Oy în C, respective D . Determinaţi funcţiile. Arătaţi că

AD BC şi aflaţi coordonatele ortocentrului .ABC

Sorin Căileanu, Tg. Frumos

9. 9 : Sǎ se determine *n astfel încât prima zecimalǎ a numǎrului

2 2n n să fie cifră pară.


9. 10 : Fie punctele A(0, 6), B(-4, 3), C(-4, -2), D(0, -5), E(4, - 2) şi F(4, 3).

Reprezentaţi punctele într-un reper cartezian şi:

a) Stabiliţi natura triunghiurilor ACE şi DBF .

b) Arătaţi că ∆𝐴𝐵𝐶 ≡ ∆𝐴𝐸𝐹

c) Calculaţi aria poligonului ABCDEF

Bogdan Dorneanu, Hirlău

9. 11 : Fie : 1,3f , 3 1f x x x .

a) Arătaţi inegalitatea 3 1 1,x x x

b) Determinaţi imaginea funcţiei f .

c) Să se rezolve în ecuaţia 2

3 1 2x x x y .

Aurel Neicu, Hîrlău

9. 12 : Fie 1n n

a

o progresie aritmetică şi mulţimea 1,kA a k n .Ştiind

că funcţia :f A A este strict monotonă , să se arate că există

:x A f x x dacă şi numai dacă n este număr impar.

Codruţ-Andrei Onofrei, elev, Hirlău

9. 13 : Fie k un număr natural astfel încât k nu este multiplu de 3 .

Demonstraţi că există *m cu proprietatea că 3 1m se divide cu k .


9. 14 : Există m pentru care ecuaţia 2 7x x m m are patru soluţii

reale în progresie aritmetică ? Dar în progresie geometrică ?



9. 15 : Fie ABCD un paralelogram şi punctele M , N astfel încât a

AM ADb

şi b

BN BMc

cu , ,a b c . Arătaţi că punctele A, N, C sunt coliniare

dacă şi numai dacă a b c .

Lucian Rotaru, elev , Hîrlău

Clasa a X a

10. 9 : Câte submulţimi ale mulţimii numerelor mai mici ca 2008 au

intersecţia nevidă cu mulţimea cifrelor numărului 2008 ?

Mihaela Manole, Darlington High School, SC, USA

10.10 : Să se arate că: 2 4 6 8 10 1

cos cos cos cos cos11 11 11 11 11 2


10.11: Determinaţi numărul natural m pentru care are loc:

3sin, 0,

cos 2

m mm

m m

x tg xtg x x

x ctg x

Ioan Sǎcǎleanu, Hirlău 10.12 Să se rezolve în mulţimea numerelor naturale ecuaţia

3 3 3 2 2 23 3 3 0x y x y y z x y z y x z z x y

Florin Bularda, Hîrlău

10.13: Să se afle x, y, z dacă 2 3 233 3 3 3 6y

x z y x z


10.14: Fie a şi egalitatea z a z a cu z număr complex.

a) Arătaţi că egalitatea este adevărată pentru z dacă şi numai dacă

0a .

b) Există z astfel încât egalitatea să fie adevărată pentru a ?


10.15 : În rombul ABCD se consideră M, mijlocul lui [BC] şi punctul N

astfel încât 1

3CN CD . Demonstraţi că AM BN

1cos .

5C



10.16 Dacă , , 1a b c atunci avem:

2 2 2

2 2 2ln ln lnln ln ln ln

ln ln ln

a b ca b c abc

bc ac ab


Clasa aXI a

11. 6 : Se dă numărul complex 2 1, ,z a b i i a b şi matricea

2

a iA

b a

.Notăm cu A matricea conjugată(obţinută prin

conjugarea elementelor matricei A).

a) Să se arate că A A A A dacă şi numai dacă z .

b) Determinaţi z astfel încât 1A A şi detA=z .

c) Aflaţi ,nA n şi apoi demonstraţi prin inducţie.


11. 7 : Fie figura de mai jos.

Ştiind că ecuaţia tangentei 0TM este 0 0 0' ,y y f x x x a normalei

0 :M N

0 0

0

1

'y y x x

f x şi că 0 0'tg f x să se afle:

a) lungimea tangentei 0TM , normalei 0NM , subnormalei PN şi

subtangentei TP.

b) Ecuaţia tangentei şi a normalei la curba 2

3f x x în punctul 0 8x .

Dana Pavel, Hîrlău

11. 8 : Găsiţi o funcţie :f cu urmatoarele proprietati:


a) Are exact doua rădăcini: 2

3,1 21 xsix ,

b) Are exact două asimptote verticale de ecuaţii: x=7 si x=2

1 ,

c) 1)(lim)(lim

xfxfxx

d) )3()(lim3

fxfx

.

Lucian Rotaru, elev , Hîrlău

11. 9 : Fie matricea 2 2008

0 2A

. Determinaţi matricea 2X M cu

proprietatea că 2007X X A .

Mihaela Turnea, Tg. Frumos 11.9 : Determinaţi domeniul maxim de definiţie şi apoi, asimptotele funcţiei

2008 2008

2007 2

sin cos

1 3

x x xf x

x x


11.10 : Fie numerele reale a, b > 0. Demonstrati ca:

a) ...

lim 1n

x

b b b

n

b)

ln...lim

...

n

n n

nx

a a a a

bb b b


Clasa aXII a

12. 9 Pe mulţimea 2 se defineşte legea de compoziţie " " prin

2, ,X Y X Y X Y X Y Să se arate că:

a. 2 2X Y X O O X dacă şi numai dacă X Y Y X

b. dacă X Y Y X şi X Y Y X atunci det detX Y

c. dacă matricele X, Y comută faţă de legea " " şi faţă de înmulţirea

matricelor atunci det detX Y dacă şi numai dacă ttrX rY

d. dacă X X X X X X atunci det 0X trX

e. există x astfel încât 2 2 22008x I I O



12. 10 Există P X un polinom cu proprietatea că

21 ,P x P x P x x

Codruţ-Andrei Onofrei, elev, Hirlău

12. 11 Arătaţi că imaginea mulţimii *Q prin funcţia

2

2 2

1

1 1

x xf x dx

x x x

este disjunctă cu mulţimea *Q .


12. 12 Determinaţi mulţimea 1 ln , 0xI x x x x dx x


12. 13 Fie o funcţie derivabilă *:f cu / 0 1f şi fie şirul

/ ,na f n n . Ştiind că ,nf a f x dx n , arătaţi că

oricare ar fi *p ecuaţia f x x are o soluţie multiplă de ordin p.


12. 14 Fie A un inel astfel încât 2 0,x x A . Demonstraţi că

0 , , ,abc abc a b c A


Rubrica rezolvitorilor

Clasa a VI a LICEUL ―ŞTEFAN CEL MARE‖ , HÎRLĂU

Ivănuţă Andreea Simona (P2; P7; 5.1; 5.2; 5.3; 5.4; 5.5; 5.6; )

Jitariu Adina Diana (P2; P7; 5.1; 5.2; 5.3; 5.5; 5.6)

Buzilă Andreea (P2; P7; 5.1; 5.2; 5.3; 5.5; 5.6; 5.8)


Concursul de creaţie a revistei “m M-2008” “Cea mai frumoasă problemă”

Concursul se adresează tuturor elevilor (clasele I-XII) .Elevii participă

cu probleme originale. Problemele care nu sunt originale nu vor fi publicate

sau nu vor participa la premiere. Fiecare problemă propusă trebuie însoţită de

rezolvarea completă şi de clasa pentru care este propusă.

Expediaţi problemele folosind una din variantele:

prin poştă , pe adresa Liceul Teoretic “ Ştefan cel Mare” , Hîrlău , str.

Mihai Eminescu, nr. 5 , cu menţiunea ―Pentru concursul mM-2008‖

direct prof. Ioan Săcăleanu

prin e-mail, pe adresa : [email protected] În luna decembrie a fiecărui an vor fi stabiliţi câştigătorii pentru fiecare

clasă .Va fi premiat autorul celei mai frumoase probleme, pentru fiecare clasă.

Alte informaţii găsiţi pe site-ul liceului http://hirlau.licee.edu.ro/

În atenţia elevilor !

Numele elevilor ce vor trimite redacţiei soluţii corecte la problemele din

rubrica Probleme propuse vor fi menţionate în Rubrica rezolvitorilor.

Se va ţine seama de următoarele reguli:

1. Pot trimite soluţii la minim 3 probleme propuse în numărul anterior; pe

o foaie va fi redactată soluţia unei singure probleme;

2. Elevii din clasele III—VI au dreptul să trimită soluţii la problemele

propuse până la clasa lor şi pentru orice clasă mai mare. Elevii din

clasele VII-XII pot trimite soluţii la problemele propuse pentru clasa

lor, pentru orice clasă mai mare şi din două clase mai mici , imediat

anterioare.

3. Vor fi menţionate următorele date personale: numele şi prenumele,

clasa, şcoala, localitatea şi profesorul clasei.

4. Plicul cu probleme rezolvate se va trimite prin poştă pe adresa

Redacţiei: Liceul ―Ştefan cel Mare‖, Hîrlău, str. Mihai Eminescu, nr. 5

sau va fi adus direct prof. Ioan Săcăleanu.

mailto:[email protected]


SUMAR

ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE

o Vectori de poziţie ai unor puncte importante în triunghi

de Maria Anton

o Forme ale relaţiilor metrice din triunghiul dreptunghic în

triunghiul oarecare

De Ioan Săcăleanu

VIAŢA MATEMATICĂ ZONALĂ

Prezentarea proiectului educaţional „SUPER MATE‖

Concursul „Micii matematicieni‖, ediţia a II a

Prezentarea concursului

Rezultatele concursului

Probleme de concurs. Bareme de corectare

Testarea pentru clasa a V a. Variante propuse.

Concursul de creaţie matematică

‖Cea mai frumoasă problemă‖.

PROBLEME ŞI SOLUŢII

Soluţiile poblemelor propuse în numărul 1

Matematica pitică

Matematica gimnazială

Matematica liceală

PROBLEME PROPUSE

Matematica pitică

Matematica gimnazială

Matematica liceală RUBRICA REZOLVITORILOR

Micii MATEMATICIENI revista lic 2008 final.pdf · Vectori de poziţie . ai unor puncte importante...

Documents

Transcript of Micii MATEMATICIENI revista lic 2008 final.pdf · Vectori de poziţie . ai unor puncte importante...