Inductie Matematica - Clasa a 10-A (1)

Clasa a X-a Algebra - 1 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica

Principiul Inductiei MatematiceInductiei Matematice :

- Propozitia este adevarata pentru orice numar natural daca sunt verificate urmatoarele doua conditii :

1). Propozitia este adevarata pentru ;

2). Din presupunerea ca este adevarata pentru , ( ) rezulta ca este adevarata si pentru .

Metoda Inductiei MatematiceInductiei Matematice :

- Fie o propozitie care depinde de un numar natural , fiind un numar natural fixat ;

- Demonstratia prin metoda inductiei matematica a propozitiei , consta din doua etape :

1). Etapa de verificare : se verifica mai intai ca este adevarata .

2). Etapa de demonstratie : se presupune ca este adevarata si se demonstreaza ca

este adevarata , fiind un numar natural ( adica , )

Daca ambele etape ale demonstratiei sunt verificate , atunci propozitia :

este adevarata pentru orice numar natural .

Exercitiul nr. 1 :

Inductie Matematica . Combinatorica


Folosind metoda inductiei matematice , sa se demonstreze ca pt. orice numar natural n , sunt adevarate egalitatile :

a). ; b). ;

c). ; d).

;

e). ; f).

;

g). ;

h). ;

i). ;

j). .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se demonstreze ca :

a). ;

b). ;

c). ;

d). .

Exercitiul nr. 3 :




a). ;

b). .

Exercitiul nr. 4 :


a). ; b).

.

Exercitiul nr. 5 :

Sa se demonstreze inegalitatile urmatoare:

a). ;

b). ;

c). .

Exercitiul nr. 6 :

Sa se demonstreze ca pt. orice numar natural n avem :

a) ; b). ;

c). ; d).

;

e). ; f). .

Exercitiul nr. 7 :

Sa se calculeze sumele urmatoare :

1). ; 2). ;



3). ; 4). ;

5). . 6). ;

7). ; 8). ;

9). ; 10).

;

11). ; 12).

.

Exercitiul nr. 8 : Sa se calculeze urmatoarele sume :

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). ;

6). ;

7). ;

8). ;

9). ;

10). ;

11). ;

12). .

Exercitiul nr. 9 :

Sa se calculeze urmatoarele sume :

1). ;

2). ;



3). ;

4). ;

5). ;

6). ;

7). .

Exercitiul nr. 10 :

Sa se calculeze urmatoarele sume :

1). ;

2). ;

3). ;

4). ;

5). ;

6). ;

7). .



Definitie PermutarePermutare :

- Fie o multime , finita , cu n elemente ;

- Aceasta multime se poate ordona in mai multe moduri ;

- Se obtin , astfel , multimi ordonate diferite , care se deosebesc intre ele numai prin ordinea elementelor ;

- Fiecare din multimile ordonate care se formeaza cu cele elemente ale multimii , se numeste permutare a acestei multimi .

- Se mai spune ca este o permutare a elementelor sale sau , inca , o permutare de n elemente.

- Numarul permutarilor de elemente se noteaza cu si se citeste “ permutari de

elemente “ .

Teorema :

- Oricare ar fi , numar natural , .

- Avem : .



Proprietati :

1). ;

2). .

Definitie AranjamenteAranjamente :


- Fie ;

- Se numeste aranjament de elemente luate cate orice combinatie alcatuita din elemente ale multimii ;

- Se poate exprima sub forma :

, .

Proprietati :

1). ;

2). .



Definitie CombinariCombinari :


- Fie ;

- Se numesc combinari de elemente luate cate submultimile lui avand fiecare cate elemente ;

- Se pot exprima sub forma :

, .

Proprietati :

1). ;

2). ;

3). ;

4). Formula combinarilor complementare :

, daca ;

5). O formula de recurenta pentru :



, daca ;

6). Pentru orice numar natural are loc egalitatea :

;

7). Suma combinarilor de rang impar = suma combinarilor de grad par = :

.

Exercitiul nr. 1 :

Sa se simplifice expresiile :

a). ; b). ; c). ; d). ; e). ; f). ; g). ;

h). ; i). .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se rezolve ecuatiile cu necunoscuta n :

a). ; b). ; c). ;

d). ; e). ; f). .

Exercitiul nr. 3 :

Sa se rezolve inecuatiile :

a). ; b). .



Exercitiul nr. 4 :

Sa se calculeze :

a). ; b). ; c). ; d). ;

e). f). g). .

Exercitiul nr. 5 :

Sa se rezolve in N ecuatiile :

a). ; b). ; c). ; d).

;

e). ; f). ;g). ; h).

;

Exercitiul nr. 6 :

Sa se rezolve ecuatia cu necunoscuta x :

a). .

Exercitiul nr. 7 :

Sa se resolve sistemele de ecuatii :

a). b).



Exercitiul nr. 8 :

Sa se calculeze :

a). b). c).

d). e). f). .

Exercitiul nr. 9 :

Rezolvati urmatoarele ecuatii cu necunoscuta n N :

a). ; b). ; c). ; d). ;

e). ; f) ; g). ;

h). ; i). .

Exercitiul nr. 10 :

Sa se afle n , daca :

a). ; b). ; c). .

Exercitiul nr. 11 :

Sa se determine x N astfel ca : a). ; b). .

Exercitiul nr. 12 :

Sa se rezolve inecuatiile in n :

a). ; b). ; c). ; d).

.

Exercitiul nr. 13 :

Sa se rezolve sistemele de ecuatii :



a). ; b). ;

c). ; d). .

Exercitiul nr. 14 :

Sa se deduca egalitatile :

a).

b).

c).

Scopul acestui paragraf este de a prezenta formula pentru :

, unde si

precum si proprietati pentru coeficientii termenilor din dezvoltarea acestui binom .



Are loc urmatoarea formula :

Formula binomului lui NEWTONbinomului lui NEWTON :

+ + ….. + + ….. +

unde : membrul drept al egalitatii se numeste dezvoltarea binomului la putere !

Observatii de baza :

1). Coeficientii , , , … , din formula lui NEWTON se numesc

coeficienti binomiali si sunt in numar de , cu unul mai mult decat exponentul al puterii ;

2). A se face distinctie intre un coeficient binomial al unui termen si coeficientul numeric al acelui termen :

Exemplu : fie termenul

- acesta are : - coeficientul binomial ;

- coeficientul numeric al lui .

3). In dezvoltarea , dupa formula lui NEWTON , sunt termeni ( nr.

termenilor fiind egal cu numarul coeficientilor binomiali , , , ….. , ) .

4). In formula lui NEWTON exponentii puterilor lui descresc de la la , iar exponentii puterilor lui cresc de la la .

Suma exponentilor puterilor lui si in orice termen al dezvoltarii este egala cu , adica este egala cu exponentul puterii binomului .

5). Coeficientii binomiali din dezvoltare egal departati de termenii extremi ai dezvoltarii sunt

egali intre ei , deoarece ( fiind combinari complementare ) .

6). Daca exponentul puterii este un numar par ( adica ) , atunci coeficientul binomial

al termenului din mijloc al dezvoltarii ( adica ) este cel mai mare .

Daca este impar ( adica ) , atunci coeficientii binomiali ai celor doi termeni de

la mijloc sunt egali intre ei ( adica ) si sunt cei mai mari .

7). Un rol important in rezolvarea problemelor legate de binomul lui Newton il joaca termenul general de rang , adica al ( ) - lea termen din egalitate , se numeste termenul



de rang si se noteaza cu avand urmatoarea formula :

, .

8). Formula de recurenta : intre doi termeni consecutivi din dezvoltarea

binomului are loc relatia



Exercitiul nr. 1 :

Sa se dezvolte :

a). ; b). ; c). ; d).

;

e). ;f). .

Exercitiul nr. 2 :

Sa se determine :

a). termenul al optulea al dezvoltarii : ;

b). termenul al cincilea al dezvoltarii : ;

c). termenul al zecelea al dezvoltarii : ;

d). termenul al cincilea al dezvoltarii : ;

e). termenul al treilea al dezvoltarii : ;

f). termenul din mijloc al dezvoltarii : ;

g). cei doi termini din mijloc ai dezvoltarii : ;

h). termenul din mijloc al dezvoltarii : ;

i). termenii din mijloc ai dezvoltarii : ;

j). termenul din mijloc al dezvoltarii : .

Exercitiul nr. 3 :



Sa se determine :

a). termenul din dezvoltarea care il contine pe x6 ;

b). termenul din dezvoltarea care il contine pe x16 ;

c). termenul din dezvoltarea care il contine pe x3 ;

d). termenul din dezvoltarea care il contine pe a4 ;

e). termenul in care nu apare x din dezvoltarea ;

f). termenul din dezvoltarea care il contine pe ;

g). termenul din dezvoltarea care il contine pe ;

h). termenul din dezvoltarea care il contine pe x ;

i). termenul liber din dezvoltarea .

Exercitiul nr. 4 :

Sa se determine rangul termenului din dezvoltarea :

, in care x si y au puteri egale .

Exercitiul nr. 5 :



Sa se determine n , daca in dezvoltarea coeficientii lui x5 si x12 sunt egali .

Exercitiul nr. 6 :

Sa se determine n N* minim astfel incat in dezvoltarea sa existe

termeni care nu depind de x .

Exercitiul nr. 7 :

In dezvoltarea raportul dintre coeficientii binomiali ai celui de-al patrulea

si

celui de-al saselea termen este egal cu . Are dezvoltarea termen liber ?

Exercitiul nr. 8 :

Fie dezvoltarea . Stiind ca suma coeficientilor binomiali de rang

impar este 32 si ca al patrulea termen al dezvoltarii este 200 , sa se afle numarul real x .

Exercitiul nr. 9 :

Se considera dezvoltarea .

a). Sa se determine n N* stiind ca suma primilor trei coeficienti ai dezvoltarii este 46 .

b). Pentru n determinat la punctul a). aflati al treilea termen .

Exercitiul nr. 10 :

Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii :

Exercitiul nr. 11 :



Cati termeni rationali contine dezvoltarea : .

Exercitiul nr. 12 :

Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii :

a). ; b). .

Exercitiul nr. 13 :

Sa se gaseasca rangul celui mai mare termen din dezvoltarea :

a). ; b). ; c). .

Exercitiul nr. 14 :

Se considera dezvoltarea : , , , , .

a). Sa se determine , a.i. coeficientul binomial al termenului al treilea sa fie 105 .

b). Pt. , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care contine pe .

Justificati raspunsul .

Exercitiul nr. 15 :

Se considera dezvoltarea : , , , .

a). Sa se determine , a.i. coeficientul binomial al termenului al treilea sa fie 55 .

b). Pt. , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care nu contine pe .Justificati raspunsul .



Exercitiul nr. 16 :

Coeficientul al 3-lea de la sfarsitul dezvoltarii binomului este egal cu 45 .

Sa se afle termenul acestei dezvoltari care contine pe .

Exercitiul nr. 17 :

In dezvoltarea , sa se afle termenul care contine pe , stiind ca

diferenta dintre coeficientii termenilor al treilea si al doilea este 35 .

Exercitiul nr. 18 :

Se considera dezvoltarea , , , .

a). Sa se determine a.i. raportul dintre coeficientul binomial al termenului al patrulea si al treilea sa fie 4 .

b). Pt. , verificati daca exista un termen care nu contine pe .

Exercitiul nr. 19 :

Se considera dezvoltarea : , , , , .

a). Sa se determine a.i. : .

b). Pt. , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care nu contine pe .Justificati raspunsul .

Exercitiul nr. 20 :

In dezvoltarea binomului , , raportul dintre coeficientul termenului al

cincilea si coeficientul termenului al treilea este 3,5 . Sa se afle termenul binomului care contine pe .

Exercitiul nr. 21 :



Se considera dezvoltarea : , , .

a). Sa se determine a.i. suma coeficientilor primilor trei termeni ai dezvoltarii sa fie

97

b). Pt. , verificati daca exista un termen care contine pe . Justificati raspunsul .

Exercitiul nr. 22 :

Se considera dezvoltarea : , , , .

a). Sa se determine pntru care coeficientii termenilor 1 , 2 , respectiv 3 ai dezvoltarii formeaza o progresie aritmetica .

b). Pentru , sa se gaseasca termenii dezvoltarii a.i. puterea lui sa fie un numar natural .

Exercitiul nr. 23 :

Se considera dezvoltarea : , , .

a). Determinati a.i. ; ; sa fie termeni succesivi ai unei progresii

aritmetice .b). Pt. , verificati daca exista valori ale lui a.i. diferenta dintre termenii al saselea si al

patrulea ai dezvoltarii sa fie 56 .

Exercitiul nr. 24 :

Pentru ce valoare a lui , coeficientii al 2-lea , al 3-lea si al 4-lea ai dezvoltarii binomului

formeaza o progresie aritmetica ?

Exercitiul nr. 25 :

Sa se gaseasca rangurile a trei termeni consecutivi ai dezvoltarii binomului ai

caror coeficienti formeaza o progresie aritmetica .

Exercitiul nr. 26 :

Sa se gaseasca trei coeficienti binomiali consecutivi , formand o progresie aritmetica .

Exercitiul nr. 27 :



Se considera dezvoltarea : , , . Stiind ca suma

coeficientilor binomiali de rang par este 128 , sa se determine termenul care contine pe .

Exercitiul nr. 28 :

Sa se afle acel termen al dezvoltarii binomului care , dupa efectuarea

simplificariloe , contine pe , stiind ca suma coeficientilor binomiali este egala cu 128 .

Exercitiul nr. 29 :

Stiind ca suma coeficientilor binomiali ai dezvoltarii , ,

este 1536 , sa se determine coeficientul lui .

Exercitiul nr. 30 :

In dezvoltarea binomului , , , termenul al doilea este egal cu

240 ,al treilea cu 720 si al patrulea cu 1080 . Sa se determine , si .

Exercitiul nr. 31 :

In dezvoltarea binomului suma coeficientilor este mai mica cu 240 decat

suma coeficientilor din dezvoltarea binomului . Sa se gaseasca termenul al 3-lea al

primei dezvoltari .

Exercitiul nr. 32 :

Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii binomului : .

Exercitiul nr. 33 :




Exercitiul nr. 34 :


Exercitiul nr. 35 :

Sa se determine numarul termenilor rationali ai dezvoltarii : .

Exercitiul nr. 36 :

Sa se determine numarul termenilor rationali ai dezvoltarii : .

Exercitiul nr. 37 :

Gasiti termenii rationali ai dezvoltarii : .

Exercitiul nr. 38 :

Sa se gaseasca termenii irationali ai dezvoltarii binomului : .

Exercitiul nr. 39 :

Exponentul puterii unui binom este mai mare cu 3 decat a altui binom . Sa se determine acesti exponenti daca suma coeficientilor din ambele dezvoltari este egala cu 144 .

Exercitiul nr. 40 :

Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : .

Exercitiul nr. 41 :


Exercitiul nr. 42 :




Exercitiul nr. 43 :

Sa se gaseasca rangul tremenului cel mai mare din dezvoltarile : .


Inductie Matematica - Clasa a 10-A (1)

Documents

Transcript of Inductie Matematica - Clasa a 10-A (1)