ikoyukl

7/21/2019 ikoyukl

1/138

Cuprins

0 Elemente preliminare 3

0.1 Multimi. Relatii. Functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.2 Corpul numerelor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.2.1 Forma algebrica a numerelor complexe . . . . . . . . . . 6

0.2.2 Reprezentarea numerelor complexe . . . . . . . . . . . . 8

0.2.3 Planul complex extins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.2.4 Functii de o variabila complexa . . . . . . . . . . . . . . 10

Exemple. Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 Spatii topologice 15

1.1 Structuri topologice. Vecinatati . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 Sisteme fundamentale de vecinatati. Baze de topologii . . . . . 24

1.3 Pozitionarea punctelor unui spatiu topologic fata de o multime 291.4 Spatii separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5 Spatii Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.6 Spatii topologice produs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42


2 Convergenta. Limita. Continuitate 53

2.1 Siruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2 Limite de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2.1 Limita unei functii complexe n punctul de la infinit . . 62

2.2.2 Limita nC a unei functii complexe . . . . . . . . . . . 63

2.3 Continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.4 Secvential continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


3 Spatii metrice 74

3.1 Definitii. Topologizarea unui spatiu metric . . . . . . . . . . . . 74

1

7/21/2019 ikoyukl

2/138

2

3.2 Convergenta n spatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Spatii metrice complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3.1 Completitudinea spatiilorRn, C siM(M, Y) . . . . . . 853.3.2 Caracterizarea spatiilor complete . . . . . . . . . . . . . 88


4 Spatii si multimi compacte 944.1 Definitii. Teoreme de caracterizare . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2 Proprietati topologice ale multimilor compacte . . . . . . . . . 994.3 Spatii metrice compacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3.1 Compactitatea n cazul spatiilorRn, C, C . . . . . . . . 1064.3.2 Produse de spatii compacte . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.3.3 Continuitate uniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.4 Spatii local compacte. Compactificatul

Alexandrov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Exemple. Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5 Conexitate 1225.1 Spatii si multimi conexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.2 Conexitatea n R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.3 Conexitatea n C. Domenii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Exemple. Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Bibliografie 137

7/21/2019 ikoyukl

3/138

Capitolul 0

Elemente preliminare

0.1 Multimi. Relatii. Functii

Multimile uzuale de numere sunt: multimea numerelor naturale N, multi-mea numerelor ntregi Z, multimea numerelor rationaleQ, multimea numerelorreale R, multimea numerelor complexe C. Un asterisc asezat n dreapta sussimbolizeaza faptul ca, din multimea respectiva, a fost eliminat numarul zero.Astfel, de exemplu,N = {1, 2, . . .}.

Daca A si X sunt multimi iar A X, spunem ca A este o parte sauo submultime a lui X. O multime ale carei elemente sunt multimi se vanumi clasasau familiede multimi. Vom nota cu

P(X) clasa tuturor partilor

multimiiX.Fie (Ai)i o familie de multimi. Definimreuniunea si, respectiv, inter-

sectia acesteia, astfel:i

Ai := {x: i astfel ncat x Ai}i

Ai := {x: x Ai, i }.

Vom utiliza conventia cai

Ai = .De asemenea, produsul cartezianal familei (Ai)i va fi

i

Ai := {f : f : i

Ai, f(i) Ai}.

In particular, daca = N, elementele produsuluii

Ai =n=1

An= A1 . . . An . . .

3

7/21/2019 ikoyukl

4/138

4 Cap.0 Elemente preliminare

vor fi siruri x = (xn)n cuxn An, pentru n = 1, . . ..De asemenea, daca n N iar = {1, . . . , n}, avem

iAi =

ni=1

Ai = A1 . . . An= {x= (x1, . . . , xn), xi Ai, i= 1, . . . , n}.

Daca A si B sunt doua multimi, notam diferenta lor prin A \ B iar dacaA P(X), notam complementara luiA (fata de X) prin A.

Pentru familia (Ai)i P(X), au loc relatiile lui De Morgan:

i

Ai

=i

Ai,

i

Ai

=i

Ai.

Daca (Bj)jJeste o alta familie de multimi, vom folosi egalitatea demon-strabila imediat, utilizand distributivitatea intersectiei fata de reuniune,

i

Ai jJ

Bj =i

jJ

(Ai Bj)

=

(i,j)(J)

(Ai Bj).(1)

O familie de multimi indexata dupa multimea numerelor naturale se nu-meste sir de multimi. Vom folosi notatia (An)nN sau, mai simplu, (An)npentru a desemna un astfel de sir. Un sir (An)nse numestecrescator(respectivdescrescator) daca

An An+1 (respectiv An An+1), pentru oricen N.

Spunem despre un sir ca este monotondaca este crescator sau descrescator.

Daca A si B sunt doua multimi, spunem ca A este mai mica decat B(respectiv B este mai mare decatA) n sensul incluziunii, daca A B.

O submultime a produsului cartezian AB se numeste relatie ntreelementele multimiiA si ale lui B . Notam xy daca (x, y). Daca A = B ,spunem ca este o relatiepe A.

O relatie pe multimea A se numeste relatie de echivalent a daca estereflexiva (adica: x A xx), simetrica (adica: xy yx) si tranzitiva(adica: xy, yz

xz).

Daca este o relatie de echivalenta pe multimea A, atunci, pentru fiecareelementx A, definim

x:= {y A: xy}.Atunci familia A| :={x : xA} de parti ale lui A este o partitie a lui

A si se numeste multimea cat(factor)a luiA prin.

7/21/2019 ikoyukl

5/138

0.1 Multimi. Relatii. Functii 5

O relatie pe multimea A (notata adesea ) se numesterelatie de ordinedaca este reflexiva, antisimetrica(adica: x y, y x x= y) si tranzitiva.In acest caz perechea (A, ) se numeste multime ordonata.

Daca (A, ) este o multime ordonata, doua elemente x, y A se numesccomparabiledaca avem x y sau y x.

O submultimeB a luiAse va numitotal ordonatadaca orice doua elementeale sale sunt comparabile (n raport cu relatia indusa de n B).

Un element z Aeste un majorantal multimii M (A, ), daca, pentruorice xM, avem xz . Se spune ca elementul zA este maximalpentrumultimea M, daca z M si, pentru orice x M, comparabil cu z, avemx z. Putem enunta acum un rezultat foarte util n constructiile care vorurma:

Axioma lui Zorn Fie(A, )o multime ordonata cu proprietatea ca oriceparte a sa total ordonata are un majorant. Atunci (A, ) poseda un elementmaximal.

Daca se dau doua multimiX siY si o relatiefcare face ca fiecarui elementdin X sa-i corespunda n mod unic un element din Y, spunem ca am definito functie sau o aplicatiepe Xcu valori n Y. Vom utiliza notatia cunoscutaf :X Y.

Fie, n continuare, f : X Y o functie si A X, B Y. Definimmultimile

f(A) := {y Y : x X, f(x) =y}, f1(B) := {x X : f(x) B}

numite imaginea (imaginea directa) a lui A prin f, respectiv preimaginea(imaginea inversasau reciproca) a lui B prinf.

De asemenea, dacaF P(X),G P(Y) sunt clase de multimi, atuncifamiliile

f(F) :={f(A) : A F}respectiv

f1(G) := {f1(B) : B G},se numescimaginea directaa familieiFprinf, respectivimaginea inversasaureciprocaa familieiG prin f.

Consideram familiile de multimi (Ai)i P(X), (Bj)jJ P(Y). Atunciau loc relatiile (verificabile fara dificultate):(a) f(

i

Ai) =i

f(Ai);

(b) f(i

Ai) i

f(Ai), egalitatea avand loc atunci candf este injectiva;

7/21/2019 ikoyukl

6/138


(c) f1(jJ Bj) =jJ f1(Bj);

(d) f1(jJ

Bj) =jJ

f1(Bj).

De asemenea, sunt utile pentru cele ce urmeaza relatiile:

(a) f este injectiva f(A) f(A), A X;(b) f este surjectiva f(A) f(A), A X;(c) f este bijectiva f(A) =f(A), A X;(d) f1(B) =f1(B),

B

Y.

0.2 Corpul numerelor complexe

0.2.1 Forma algebrica a numerelor complexe

Se considera perechile ordonate de numere reale (a, b). Pe multimea acestorperechi consideram relatia de echivalenta data de identitatea obisnuita, adicaelementul (a, b) este echivalent cu (a,b ) daca a= a si b= b ; asadar fiecareclasa de echivalenta se compune dintr-o singura pereche. Perechea (a, b) senumestenumar complex. Operatiile algebrice adunare si nmultire se definesc,pentruz1= (a1, b1), z2= (a2, b2), astfel:

z1+ z2:= (a1+ a2, b1+ b2), respectiv z1z2:= (a1a2 b1b2, a1b2+ a2b1).

Prin definitie, multimea numerelor complexe C este multimea R2

dotata cu aceste operatii de adunare si nmultire.Se arata ca C este corp comutativ iar (0, 0) si (1, 0) sunt elemente

neutre pentru adunare si, respectiv, nmultire,z:= (a, b) este opusul luiz = (a, b). De asemenea, orice element z = (a, b) C = C\ {(0, 0)} areinvers, notat

1

z, acesta fiind

aa2 + b2

, ba2 + b2

C.

Asadar, nC, putem efectua scaderi si mpartiri:

z1 z2= (a1 a2, b1 b2), z1z2

= a1a2+ b1b2a22+ b

22

,a2b1 a1b2a22+ b

22

, z2= (0, 0).Operatiile de mai sus au toate proprietatile operatiilor cu numere reale n

afara de acelea n care intervin inegalitati. In domeniul numerelor complexenu s-a introdus o relatie de ordine.

7/21/2019 ikoyukl

7/138

0.2 Corpul numerelor complexe 7

Multimea R {0} ={(x, 0) : x R} C dotata cu operatiile induseeste un subcorp al lui C iar aplicatia : R R {0}, cu (x) = (x, 0),este un izomorfism de corpuri. De aici deducem ca numerele de tipul (x, 0)cu x R pot fi tratate ca numere reale iar n loc de (x, 0) vom scrie simplux. Asadar putem scrie, avand n vedere cele de mai sus, RC. Elementele(0, y),y R, se numescnumere pur imaginare. O notatie speciala se folosestepentru numarul complex imaginar, anume i := (0, 1) numitunitate imaginara.

Asadar, pentru simplificarea scrierii, se poate renunta acum la parantezesi putem reprezenta fiecare numar complex z = (a, b) n mod unic sub formaz = a+ i b, unde a, b R iar i C si i 2 =1. Asadar orice numar com-plex poate fi reprezentat ca suma unui numar real si a unui numar imaginar:z = a+ i b, a se numeste partea reala iar b partea imaginara a lui z notate

Re z, respectiv Im z; aceasta scriere este numita forma algebricaa numaruluicomplex z. Adunarea numerelor reale reprezinta acum un caz particular aladunarii numerelor complexe. Vom scrie, asadar,

(a1+ i b1) + (a2+ i b2) =a1+ a2+ i (b1+ b2)

si(a1+ i b1)(a2+ i b2) =a1a2 b1b2+ i (a1b2+ a2b1).

Definim, de asemenea, pentru numarul complex z = a + i b, conjugatul simodululca fiind numarul complexz := a i b, respectiv numarul real si pozitiv|z| := a2 + b2.

Printr-un calcul direct se demonstreaza ca, oricare ar fi numerele complexez, z1, z2, avem urmatoarele proprietati fundamentale:

Re z =1

2(z+ z), Im z=

1

2i(z z);

z1+ z2 = z1+ z2, z1z2= z1z2, z= z;

|z| Re z |z|, |z| Im z |z|, |z| = |z|;

|z|2 =zz, z R z = z, 1z

= z

|z|2 , daca z= 0;

|z| = 0 z = 0, |z1z2| = |z1||z2|, |z1+ z2| |z1| + |z2|.Folosind relatiile precedente, se deduc imediat:

|z1+ z2|2 + |z1 z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2) legea paralelogramului;z1z2 =|z1||z2| dacaz2= 0.

7/21/2019 ikoyukl

8/138


0.2.2 Reprezentarea numerelor complexe

Se considera un sistem de coordonate carteziene rectangulare si se reprezintape axa Ox partea reala iar pe axa Oy partea imaginara avand ca unitate penumarul i . Astfel Ox se va numi axa realaiarOy axa imaginara. Numaruluicomplex z = a + i b i se pune n corespondenta atunci punctul (z) cu coordo-natele (a, b) sau vectorulz = care porneste din origine si are extremitatea nacest punct. Aceste corespondente sunt biunivoce1. Sumei z1+z2 i corespundevectorul 1+ 2 obtinut prin adunare vectoriala (regula paralelogramului) avectorilor1 si 2.

Pentru a putea reprezenta geometric si produsul a doua numere complexese reprezinta z = a + i b cu ajutorul lungimii r a vectorului z si al unghiului pe care-l face acest vector cu axa Ox pozitiva; r este, de fapt, modululnumarului complex z, r =|z| = a2 + b2. Din aceasta reprezentare rezultaimediat ca a = r cos , b = r sin si deci

z= r(cos + i sin ).(2)

Pentru orice numar complex z= 0, orice solutie a ecuatiei

cos + i sin = z

|z|(3)

se numeste argument al numarului complex z. Pentru z = 0 nu corespundenici un argument iar oricarui numar complex z

C i corespund o infinitate

de argumente, multimea acestora se noteaza Arg z. Solutia unica (, ]a ecuatiei (3) se numeste argumentul principal al lui z si-l vom nota arg z.Asadar Arg z arg z(mod2) sau, echivalent

Arg z = {arg z+ 2k : k Z}.

Egalitatea (2) se numeste forma trigonometricaa numarului complex z .Daca z1, z2 C, zi = ri(cos i+ i sin i), i= 1, 2, atunci:

z1z2= r1r2(cos(1+ 2) + i sin(1+ 2))

relatie care se extinde usor la un numar oarecare de factori. In particular seobtine formula lui Moivre:

zn =rn(cos n + i sin n).

1Avand n vedere aceasta reprezentare, vom identifica pe C cu planul R2 si vom folosiadesea denumirea de plan complex

7/21/2019 ikoyukl

9/138

0.2 Corpul numerelor complexe 9

Daca n este un numar natural, prin n

x se ntelege numarul complex w

care ridicat la puterea n sa dea z , adica solutia ecuatiei binome wn =z.Fie w = (cos + i sin ). Din formula lui Moivre rezulta, pentru

wn =z = r(cos + i sin ),

n =r, = n

r, =

n+

2k

n , w= n

r

cos

n

+2k

n

+ i sin

n

+2k

n

pentru k = 0, 1, . . . , n1. Rezulta asadar n valori diferite pentru w. Inmultimea numerelor complexe simbolul n

z reprezinta mai multe numere spre

deosebire de cazul n care z este real si pozitiv. In domeniul numerelor com-plexe se poate extrage fara restrictii radacina de orice ordin.

Se poate defini n acest mod zq pentru orice z

C si orice q rational,

daca pentru exponentii negativi puterea se defineste ca n cazul numerelorreale. De o deosebita importanta este urmatoarea teorema fundamentala aalgebrei, demonstrata prima data de catre Friedrich Gauss (1777-1855):

Teorema Multimea numerelor complexe este algebric nchisa, adica oriceecuatie algebrica cu coeficientii complecsi este rezolvabila n multimea nu-merelor complexe.

0.2.3 Planul complex extins

Ca si n cazul dreptei reale, n unele probleme de analiza complexa este nece-sara extinderea multimii C a numerelor complexe prin adaugarea unui numar

impropriu notat cu. Obtinem astfel multimea C := C {} cu / C.Legatura numerelor dinC cu elementulse stabileste prin extinderea la

acest element a operatiilor cu numere complexe, punand

z+ = + z := , z = z := , z C \ {0}.Prin conventie speciala (referitoare la operatia de mpartire) vom scrie

z

0:= , z C \ {0} si z := 0, z C.

Nu se definesc operatiile: , 0 , 00

,

.

De asemenea sa remarcam ca, n C, nu avem elementul.Deci n ce priveste structura algebrica a lui C, se pot extinde operatiile

algebrice dinC fara a fi peste tot definite.Conventia|| = extinde modulul de la C la C.Multimea C cu structura algebrica de mai sus se va numi multimea extinsa

a numerelor complexesau planul complex extins.

7/21/2019 ikoyukl

10/138


Pentru reprezentarea geometrica vom conveni sa consideram peca ele-ment al oricarei drepte din C. In schimb nu apartine nici unui cerc si niciunui semiplan.

0.2.4 Functii de o variabila complexa

O functie f : M C definita pe o multime M C din planul complex senumeste functie complexa de variabila complexa. Daca z este un element dinM, atunci valoarea lui f n z se noteazaf(z) si va fi de forma

f(z) =u(z) + i v(z)

unde u si v sunt functii reale definite pe M, adica u, v : M R. Scriindz = x + i y (x, y fiind numere reale), putem considera pe u siv ca fiind functiide doua variabile reale x si y . Astfel putem scrie

w= f(x + i y) =u(x, y) + i v(x, y).

Functiile reale u si v se numesc partea reala, respectiv partea imaginara,ale functiei f. Notam u = Re f, respectiv v= Im f.

De asemenea, vom mai utiliza notatiaf(z) :=f(z) =u(z) i v(z), pentrua simboliza conjugata.

Functia complexafse interpreteaza geometric ca o transformare punctuala

a unei multimi M C din planul (z) ntr-o multime f(M) C din planul(w).O functief : C C se numeste:Aditiva, daca

f(z+ w) =f(z) + f(w), z , w C ;

C-omogena, daca

f(z) =f(z), , z C ;

R-omogena, daca

f(z) =f(z), R, z C ;

C-liniara, daca este aditiva siC-omogena;

R-liniara, daca este aditiva siR-omogena.

7/21/2019 ikoyukl

11/138

Exemple. Exercitii 11

Exemple. Exercitii

1o.Fie X, Y doua multimi sif :X Y o functie. Atunci, pentruA Xsi B Y, au loc relatiile:

(a) A f1(f(A)), egalitatea avand loc daca f este injectiva ;(b)f(f1(B)) B, egalitatea realizandu-se cand f este surjectiva.2o. Consideram o multime X si o functieF : P(X) P(X) care satisface

conditiile:

(a) F(A B) =F(A) F(B), pentru orice A, B X,(b)F(F(A)) =A, oricare ar fi A X.Atunci exista o bijectief :X Xastfel ncat f(A) =F(A), pentru orice

A X.Indicatie : Se arata ca, daca A are un singur punct, atunci F(A) este formata

dintr-un singur element.Pentru aceasta se arata ca F mai are proprietatile:

() A B F(A) F(B) ;()F(A) = A= .De aici deducem ca putem defini functia f : X X prin f(x) = y, unde

{y} =F({x}) care, tinand cont de (b), are proprietatea ca (f f)(x) = f(f(x)) = x,fapt ce rezulta din F(F({x})) = {x}.

Asadar feste inversabila, deci bijectiva.

3o. Fie Xo multime nevida. Aratati ca relatiadefinita peP(X) prinA B A B

este o relatie de ordine iar (P(X), ) este o multime complet ordonata(oriceparte nevida si majorata a sa are un supremum).

DacaXare cel putin doua elemente, atunci (P(X), ) nu este total ordo-nata.

Indicatie : Faptul ca verifica axiomele relatiilor de ordine se constata imediat.Apoi, dacaF = (Ai)i P(X) este o familie nevida si majorata (evident de

X), atunci iAi reprezinta supremumul luiF.4o.Consideram o multimeX= si aplicatiaF : P(X) P(X) data prin

F(A) = A.

Sa se arate caFeste strict descrescatoare (n sensul incluziunii multimilor),inversabila cuF1 =F.

7/21/2019 ikoyukl

12/138


5o. Pe familia tuturor partilor unei multimi X definim relatia:

F1 F2 B F2, A F1 cuA B.

Stabiliti daca relatia astfel definita este reflexiva, antisimetrica, tranzitiva.

Indicatie : Faptul ca relatia este reflexiva si tranzitiva se observa cu usurinta.Pentru a arata ca nu este antisimetrica, consideram urmatorul contraexemplu:

daca X= R iar

F1 := {(p, q) : p, q Q, p < q}, F2 := {(, ) : , R \Q, < },

este evident caF1 F2 siF2 F1 fara a avea egalitateaF1 = F2.6o.Aratati ca orice familie de intervale de numere reale disjuncte doua cate

doua este cel mult numarabila.

Indicatie : Notam cu F= (Ii)io familie nevida de intervale disjuncte si asociemfiecarui interval Ii, un numar unicqi Ii Q. Fie Q := {qi: i }.

Stabilim, astfel, o bijectie ntreF si Q Q care argumenteaza afirmatia.7o. Daca : [0, ) R este o functie concava cu(0) = 0, atunci este

subaditiva(adica

(x + y) (x) + (y), , x, y [0, )).Indicatie :

Din concavitatea lui rezulta ca functia

t (t) (0)t 0 =

(t)

t

este descrescatoare. De aici rezulta

(x)

x (x + y)

x + y ,

(y)

y (x + y)

x + y , x, y (0, )

iar de aici deducem

(x) + (y) xx + y

(x + y) + y

x + y(x + y) (x) + (y) (x + y)

asadar este subaditiva.

8o. Sa se demonstreze urmatoarele proprietati ale modulului pentru oricez, w C:

(a)||z| |w| | |z w| (continuitatea modulului);(b)max{|Re z|, |Im z| } |z| |Re z| + |Im z|;

7/21/2019 ikoyukl

13/138


(c)|z+ w|2 = |z|2 + |w|2 + 2Re (zw).9o. Aratati ca, pentruz1, . . . , zn, w1, . . . , wn C, au loc inegalitatile:(a) Inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakowski: n

k=1

|zkwk|2 n

k=1

|zk|2 n

k=1

|wk|2

;

(b) Inegalitatea lui Minkowski:

n

k=1 |zk+ wk|2 n

k=1 |zk|2 +n

k=1 |wk|2.Solutie : (a) Pentru oricet R, avem

0 n

k=1

(|zk| t|wk|)2 =t2n

k=1

|wk|2 2tn

k=1

|zkwk| +n

k=1

|zk|2

si, prin urmare, discriminantul trinomului (n t) este

= 4 nk=1

|zkwk|2

4 nk=1

|zk|2 n

k=1

|wk|2

0,

de unde inegalitatea din enunt.(b) Utilizand inegalitatea precedenta, obtinem

nk=1

|zk+ wk|2 =n

k=1

|zk+ wk||zk+ wk|

n

k=1

|zk+ wk|(|zk| + |wk|) =n

k=1

|zk+ wk||zk| +n

k=1

|zk+ wk||wk|

n

k=1|zk|2

n

k=1|zk+ wk|2 +

n

k=1|wk|2

n

k=1|zk+ wk|2 =

=

nk=1

|zk+ wk|2 n

k=1

|zk|2 + n

k=1

|wk|2

,

de unde rezulta, evident, inegalitatea respectiva.

10o. Se considera o functief : C C. Sa se arate ca:

7/21/2019 ikoyukl

14/138


(a)f este R-liniara daca si numai daca exista a, b C astfel ncat

f(z) =az+ bz, z C ;

(b)f este C-liniara daca si numai daca exista a C astfel ncat

f(z) =az, z C ;

(c)dacafeste R-liniara, atuncifeste C-liniara daca si numai daca verificaidentitatea

f(i z) = i f(z), z C.Indicatie : (a)Dacaa, bC, se verifica simplu ca aplicatiaf(z):=az +bz,z C,

esteR-liniara.Reciproc, daca f : C C este R-liniara, atunci, pentru orice z = x+ i y C,

avemf(z) =f(x + i y) = f(x) + f(i y) = xf(1) + yf(i ) =

= z+ z

2 f(1) +

z z2i

f(i) =f(1)

2 +

f(i )

2i

z+

f(1)2

f(i )2i

z= az + bz.

(b) Daca a C, atunci f(z) =az , z C, esteC-liniara.Reciproc, daca f : C Ceste C-liniara, atunci, pentru orice z C, avem

f(z) = f(1z) = zf(1) =az.

(c)Evident, orice functieC-liniara satisface conditia din enunt.Reciproc, daca f : C

Ceste R-liniara si satisfacef(i z) = i f(z),z

C, atunci,

pentru orice= + i C si z C, avem

f(z) = f(z+ i z) =f(z) + f(i z) =

=f(z) + i f(z) = f(z) + i f(z) =f(z) ;

deci f esteC-omogena si, cum este aditiva, este C-liniara.

7/21/2019 ikoyukl

15/138

Capitolul 1

Spatii topologice

1.1 Structuri topologice. Vecinatati

Vom nota cu Xo multime nevida arbitrara.

Definitia 1.1. Spunem ca pe multimea X s-a definit o structura topologicasau o topologie daca s-a fixat o multime de parti ale luiXcu urmatoareleproprietati:

(T1), X ;

(T2) dacaD1, D2 , atunciD1 D2 ;(T3) daca(Di)i este o familie de elemente din, atunci

i

Di .

Perechea (X, ) se numeste spatiu topologic iar elementele lui vor finumitemultimi deschisesau, mai simplu, deschise.

DacaX1X, atunciX1:={D X1 : D } este o topologie1 numitatopologia urmasautopologia indusa de peX1, iar spatiul topologic(X1, X1)se va numisubspatiu topological luiX.

Rezulta imediat, din definitia precedenta, ca, ntr-un spatiu topologic, ointersectie finita de multimi deschise este deschisa.

Definitia 1.2. O submultime F a unui spatiu topologic (X, ) se numestemultime nchisa sau, mai simplu, nchisa daca F . Notam clasamultimilor nchise din spatiul topologic(X, ).

1verificarea faptului ca X1 este o topologie pe X1 este imediata

15

7/21/2019 ikoyukl

16/138

16 Cap.1 Spatii topologice

De aici si din proprietatile topologieideducem ca:

(F1)X, ;(F2) o reuniune finita de multimi nchise este nchisa;(F3) intersectia unei familii oarecare de multimi nchise este nchisa.

Exemplul1.1. Daca notamd := P(X)sig := {, X}, obtinem doua struc-turi topologice pe multimea X numite topologia discreta, respectiv, topologiagrosiera. Aceste topologii sunt minimala, respectiv maximala n raport cu or-dinea data de incluziune. Altfel spus, pentru orice topologie pe multimeaX,avemg d.Exemplul 1.2. Consideram o multime nevidaX si

0 := {U X : U finita}{}.Familia0 defineste o topologie peX, numitatopologia cofinita, care, n cazulcandXeste finita, coincide cu topologia discreta.

Demonstratie. Axioma (T1) din definitia 1.1 este evident verificata, tinandseama ca X= este finita.

Apoi, daca D1, D2 0 cu D1 D2 =, avem D1 D2 0 iar dacaD1D2= nseamna caD1siD2sunt finite si deci (D1D2) = D1D2este finita ca reuniune a doua multimi finite.

Fie, acum, (Di)i0. In cazul n care toate elementele acestei familiisunt vide, axioma (T3) este banal verificata. Sa presupunem ca exista i0

astfel ncat Di0= . Atunci Di0 este finita si deci multimea

i

Di

=i

Di Di0

este finita.

Exemplul 1.3. Fie z0 C. Daca > 0, numimdisc deschis de centruz0 siraza , multimea

D (z0, ) := {w C : |z0 w| < }.

De asemenea, daca 0, definim discul nchis de centru z0 si raza ,multimea

D [z0, ] := {w C : |z0 w| }.ConsiderandX= C, atunci o structura topologica peC se defineste astfel

C:= {G C : () z G () > 0 cuD (z, ) G}{}.

7/21/2019 ikoyukl

17/138

1.1 Structuri topologice. Vecinatati 17

FamiliaC se va numitopologia naturala sauuzuala sauobisnuita a pla-

nului complexC. In acest spatiu topologic discurile deschise sunt multimideschise iar cele nchise sunt multimi nchise.

Demonstratie. Sa aratam caC verifica axiomele (T1), (T2), (T3).Avem evident,C C.Fie D1, D2 C. Daca D1D2 =, atunci (T2) este verificata. Pre-

supunem ca exista z D1D2. Atunci exista 1 > 0, 2 > 0 astfel ncatD (z, 1) D1 si D (z, 2) D2. Luand acum = min{1, 2} > 0, rezultaD (z, ) D1 D2, adica D1 D2 C.

Consideram familia de multimi (Di)i C.DacaiDi = , axioma (T3) este trivial verificata.Presupunem, asadar, reuniunea familiei nevida si consideram un element

arbitrar zi

Di. Atunci exista i0 asa ncat z Di0 . Apoi existai0 >0 astfel ncat D (z, i0)Di0 iar, cumDi0

i

Di, rezulta ca (T3) este

verificata si n acest caz.

In continuare, sa consideram discul deschis D (z, r) si sa luam un elementw al sau. Atunci, daca >0, < r |w z|, atunci D(w, )D (z, r) (veziFig.1).

z

rw

D(z, r)

Fig.1

Intr-adevar, daca D (w, ), avem

| z| | w| + |w z| < + |w z| < r |w z| + |w z| =r,

adica D (z, r).

7/21/2019 ikoyukl

18/138


Pentru a justifica si ultima afirmatie, consideram z C si 0 si saaratam ca D [z, ] C.

Pentru aceasta, luam w D [z, ]. Atunci|z w| > .Fie >0,

7/21/2019 ikoyukl

19/138


unde prinC am notat topologia naturala a luiC iar prin submultimile

G ale luiC cu proprietatile:c1) pentru oricez G \{}, exista >0 astfel nc atD (z, ) G ;c2) exista >0 astfel nc atC \ D [0, ] G.AtunciC reprezinta o topologie numita topologia naturala peC.Se observa ca multimile din contin peiar(C, C)este un subspatiu

topologic al lui(C,C).Multimile de forma D (z, ), C\D [0, ] sunt vecinatati pentru z C,

respectiv pentru n spatiul topologic(C,C).Altfel spus, la sistemele fundamentale de vecinatati ale punctelor z C

formate din discuri deschise centrate n z, se adauga un sistem fundamental

de vecinatati ale punctului de la infinit format din

{C \ B[0, ] : >0} = {}{w C : |w| > }.

Demonstratie. Verificarea axiomelor unei structuri topologice se face fara di-ficultate.

De asemenea, tinand cont de proprietatile c1), c2) din enunt, rezulta sicelelalte afirmatii.

Nota: Pe tot cuprinsul acestei lucrari, multimile R, C, C, Rn, n 2,

vor fi presupuse spatii topologice cu topologiile naturale, daca nu seprecizeaza altfel.

Observatia 1.1. In spatiul topologic(R, R) au loc urmatoarele proprietati:10 orice interval deschis este o multime deschisa iar orice interval nchis

si multimile finite sunt nchise;20 exista multimi care nu sunt nici deschise nici nchise;30 o intersectie oarecare de deschise nu este, n general, deschisa.

Demonstratie. 10 Fie x(a, b) cu a, bR si d= min{x a, b x}. Atunci(x d/2, x+d/2) (a, b). Rezultatul este adevarat si pentru a = saub=

.

De asemenea, [a, b] = (, a) (b, ) este deschisa ca reuniune de des-chise. In plus, daca aR, atunci {a}= (, a) (a, )R si deci{a}este nchisa. Apoi, deoarece multimile finite sunt reuniuni finite de multimiformate dintr-un singur punct, utilizand (F2), deducem si ultima afirmatie.

20 De exemplu, intervalul [a, b) cu a, b R,a < b, nu este multime deschisapentru ca nu exista >0 astfel ncat (a r, a + r) [a, b).

7/21/2019 ikoyukl

20/138


La fel [a, b) nu este nici nchisa deoarece [a, b) = (, a) [b, ) si nuavem >0 asa ncat (b , b + ) (, a) [b, ).

30 Daca luam, de exemplu, Dk = ( 1k , 1k ), k N, atuncikN

Dk ={0}iar multimile formate dintr-un singur punct nu sunt deschise.

Definitia 1.3. Fie(X, )un spatiu topologic six X. Spunem ca o multimeV Xeste ovecinatatea punctuluix, daca exista o multime deschisaD X,astfel nc atx D V. Notam(x) familia tuturor vecinatatilor luix.

Din aceasta definitie rezulta imediat:

Observatia 1.2. In spatiul topologic(R, R)o multimeVR este vecinatate

a punctuluix R, daca si numai daca exista >0 asa nc at(x, x+) V.De asemenea, n (C,C), multimea V C este vecinatate a lui z C

atunci si numai atunci cand exista > 0 astfel nc atD (z, ) V.Teorema 1.1. (Teorema de caracterizare a deschiselor) O multime D estedeschisa n (X, ) daca si numai dacaD este vecinatate a oricarui punct alsau.

Simbolic,D D(x), x D.

Demonstratie. Fie D si x D. Evidentx D D, deci D(x).Reciproc, presupunem ca, pentru orice x D, avem D (x). Existaatunci Dx cux Dx D. De aici rezulta

D=xD

{x} xD

Dx= D

si deci D se poate scrie ca o reuniune de mult imi deschise. Ca urmare D .

Propozitia 1.1. In spatiul topologic al dreptei reale (R, R), o multime estedeschisa daca si numai daca este vida sau este reuniune cel mult numarabilade intervale deschise cu extremitati rationale.

Demonstratie. FieD R,D= . Atunci, pentru fiecarex D, existax> 0astfel ca (x x, x+x)D. Alegand numerele rationale x (x x, x),x (x, x + x), avemx (x, x) D si

D=xD

{x} xD

(x, x) D.

7/21/2019 ikoyukl

21/138


Asadar

D= xD

(x, x).

Tinand seama ca multimea perechilor de numere rationale (x, x),x D,este inclusa n multimea numarabilaQQ, deducem ca reuniunea de mai suseste cel mult numarabila.

Suficienta conditiei din enunt este imediata daca tinem cont ca intervaleledeschise sunt multimi deschise iar o reuniune de deschise este deschis a.

Propozitia 1.2. In spatiul topologic(C,C) o multime este deschisa daca sinumai daca este vida sau este reuniune cel mult numarabila de discuri deschi-se.

Demonstratie. FieD C,D= . Atunci, din teorema 1.1, rezulta ca, pentruorice z D, avemD (z) si deci exista z >0 astfel ncat D (z, z) D.

Notam Q [ i ] : = {w= p + i q: p, q Q}.Daca z = a + i b, a, b R, fie w(z) :=p + i qunde

p (a z2

2, a +

z

2

2) Q, q (b z

2

2, b +

z

2

2) Q.

Atunci w(z) Q [ i ] si avem

z

Dw(z),z2 D (z, z).(1.1)Intr-adevar, avem

|z w(z)| =

(p a)2 + (q b)2 0},B2(z) = {D (z, ) : > 0, Q}

si

B3(z) =

D

z,

1

n

: n N

reprezinta baze de vecinatati ale numarului complex z, ultimile doua fiindnumarabile.

Exemplul 1.7. In spatiul topologic (Rn, nR), n N, (a se vedea exemplul1.4)urmatoarele familii de multimi reprezinta baze de vecinatati ale unui punctarbitrarx, ultimile doua fiind numarabile:

B1(x) = {B(x, ) : >0},B2(x) = {B(x, ) : > 0, Q}

si

B3(x) =

B

x,

1

n

: n N

.

7/21/2019 ikoyukl

27/138

1.2Sisteme fundamentale de vecinatati. Baze de topologii 27

Definitia 1.5. Spunem despre un spatiu topologic ca satisfaceprima axioma a

numarabilitatiidaca orice punct al sau poseda un sistem fundamental numarabilde vecinatati.

Din exemplele de mai sus, deducem ca spatiile topologice (C, C) si(Rn, nR), n N, (n particular (R, R)) satisfac prima axioma a numara-bilitatii. Vom descrie, n capitolul 3, o clasa mai generala de astfel de spatii,anume spatiile metrice.

Dupa cum s-a vazut n cele de mai sus, este suficient sa cunoastem cate obaza de vecinatati pentru fiecare punct x X pentru a putea reconstituifamilia vecinatatilor acelui punct si, n final, topologia. Dupa cum se va putea

constata si n cele ce urmeaza, anumite proprietati (de ex. limita, continui-tatea) este suficient a fi verificate doar pe elementele unei baze de vecin atatin loc de clasa tuturor vecinatatilor.

Aceasta reprezentativitate a unei multimi dintr-un spatiu s-a putut con-stata si n alte mprejurari (de exemplu a avea o baza a unui spatiu vectorialeste suficient pentru a obtine ntreg spatiul). In acest sens vom introduce, ncontinuare, o familie de parti ale unui spatiu topologic cu ajutorul careia sepoate obtine ntreaga topologie a spatiului.

Definitia 1.6. Fie (X, ) un spatiu topologic. O submultimeB a lui senumeste baza a topologiei (sau o baza de deschise sau o baza a spatiului

(X, )) daca orice multimeDse scrie ca o reuniune de elemente ale luiB.Spunem ca spatiul topologic(X, )satisface a doua axioma a numarabilitatii,

daca admite o baza numarabila a topologiei sale.

Exemplul 1.8. In spatiul topologic (R, R), familia intervalelor deschise cuextremitati rationale constituie o baza numarabila a topologieiR (vezi pro-pozitia 1.1). Ca urmare (R, R) este un spatiu care satisface a douaaxioma a numarabilitatii.

De asemenea spatiul (C, C) satisface a doua axioma a numarabi-litatii, o baza numarabila a topologiei sale putand fi considerata familia

B := {D (w, ) : w Q [ i ], Q, > 0}

(a se vedea propozitia1.2).

Propozitia 1.3. O clasaB de parti ale luiX este o baza pentru o topologie peX daca si numai daca satisface urmatoarele conditii:

7/21/2019 ikoyukl

28/138


(a)BB B = X;(b) pentru oriceU, V B, multimeaU V se poate scrie ca reuniune deelemente dinB.Demonstratie. Suficienta este evidenta.

Pentru necesitate, sa presupunem caB P(X) satisface (a) si (b).Notam cu familia submultimilor luiXscrise ca reuniuni de elemente ale

luiB si sa aratam ca este o topologie pe X.Intr-adevar, X, (utilizand conventia

i

Bi = ).Fie D, G , D =

iUi, D =

jJ

Vj , Ui, Vj B. Atunci, folosind (1),

D G= (i,j)(J)

(Ui Vj),

deci, cu (b), D G = .Tinand cont si de faptul ca o reuniune oarecare de elemente din este n

, deducem ca este o topologie pe X iarB este o baza a sa.

Exemplul 1.9. Familiile de intervale de numere reale

B+ := {(a, ) : a R}, B := {(, a) : a R}

reprezinta bazele unor topologii+, respectiv, peR, numite topologia su-perioara, respectivinferioara peR.

Teorema care urmeaza evidentiaza legatura dintre notiunile de baza a to-pologiei si de baza de vecinatati.

Teorema1.4. (Caracterizarea bazei unei topologii prin sisteme fundamentalede vecinatati)O familieBeste o baza a topologiei daca si numai daca, pentruoricex X,

Bx= {B B: x B}este o baza de vecinatati pentrux.

Demonstratie. Sa presupunem caBeste o baza a topologiei.Fie x X arbitrar, fixat.Daca V(x), exista D cu xDV. Dar, pentruD, exista

(Bi)i B astfel ncat D =i

Bi. Asadar exista i0 cu x Bi0 V.Apoi, Bi0 fiind deschisa, rezulta, utilizand teorema 1.1, Bi0 (x).

7/21/2019 ikoyukl

29/138

1.3Pozitionarea punctelor unui spatiu topologic fat a de o multime 29

Prin urmareBx ={B : B B, x B} este un sistem fundamental devecinatati ale lui x.

Reciproc, presupunem caBx este o baza de vecinatati pentru x si con-sideram o multime deschisa D. Va trebui sa dovedim ca D se poate scrie careuniune de multimi apartinand luiB.

Fie xD . Atunci D(x) si deci exista Bx Bx cu xBx D . Deaici rezulta

D=xD

{x} xD

Bx D,

adica D =xD

Bx, deciBeste o baza.

1.3 Pozitionarea punctelor unui spatiu topologic fata

de o multime

Definitia 1.7. Fie (X, ) un spatiu topologic si AX. Spunem ca xXestepunct interiorpentruA daca:

(In) V(x), cuV A.Multimea punctelor interioare luiAse numesteinteriorullui A si se noteaza

A sauIntA.

Exemplul 1.10. In topologia naturala peR, avem:

Q= ,

R \Q= ,

[a, b)= (a, b),

[a, b]= (a, b),

undea, b R, a < b.

Demonstratie. Sa presupunem ca, prin absurd, exista x Q.

Atunci exista V(x) cu V Q. De aici rezulta ca exista > 0 astfelncat (x, x+) V Q. Acest lucru este absurd deoarece, n orice intervalde numere reale, exista si numere irationale.

Utilizand aceleasi argumente se arata si ca

R \Q= .In continuare fiex (a, b) si >0,

7/21/2019 ikoyukl

30/138


Daca x a sau x b se constata usor ca nu exista > 0 asa ncat(x, x+ ) [a, b) si deci nu exista V (x) cu V [a, b). Asadar[a, b)= (a, b).

Analog se arata si cealalta egalitate din enunt.

Exemplul 1.11. In spatiul topologic(C,C), avem

D [z, ]= D (z, ),

D (z, ) fiind discul deschis iarD [z, ] este discul nchis de centruz si raz a(vezi exemplul1.3).

Demonstratie. Fie w D (z, ) si > 0, < |z w|. Sa demonstram caD (w, ) D (z, ). Avem, pentru D (w, ),

| z| | w| + |z w| < + |w z| < |z w| + |z w| =.Asadar, deoarece D (w, ) (w), deducem caweste punct interior pentru

D [z, ]. Ca urmare D (z, )

D [z, ].Presupunem, acum ca exista un punct w /D (z, ) care sa fie interior lui

D [z, ]. Deci|w z| . Atunci, pentru orice >0, sa luam

:=w+

2|w z|(w

z).

Atunci| w| =|

2|w z|| |w z| =

2 <

si deci D (w, ). Apoi

| z| =|

1 +

2|w z|

(w z) |=| 1 + 2|w z|| |w z| |w z| +

2 > ,

si, prin urmare, / D [z, ].Deoarece orice vecinatate V a lui w contine un disc deschis D (w, ),

rezulta, din cele de mai sus, caVnu este continuta n D [z, ] ceea ce arata ca

w nu este punct interior pentru D [z, ].

Exemplul 1.12. In spatiul topologic(C,C), interiorul multimii

Q [ i ] = {w= p + i q: p, q Q}este multimea vida.

7/21/2019 ikoyukl

31/138


Demonstratie. Afirmatia rezulta din faptul ca n orice disc deschis se gasesc

elemente din Q [ i ] .Astfel, daca z = a + i b C, a, b R, si >0, atunci

w= s + i t D (z, ),

unde s (a/2, a+ /2)(R\Q) iar t (b/2, b+ /2)(R\Q).Intr-adevar, avem

|z w| =

(a s)2 + (b t)2 0 astfelncat (x , x+)V. Dar, n intervalul (x , x+) exista cel putin unnumar rational. Prin urmare V Q = , adicax Q.

7/21/2019 ikoyukl

34/138


Exemplul 1.14. In(C, C), avem

Q [ i ] = Q [ i ] = C \Q [ i ] = (C \Q [ i ] ) = C,

undeQ [ i ] = {w= p + i q: p, q Q}.

Demonstratie. Vom verifica, de exemplu, egalitateaQ [ i ] = C, celelalte demon-strandu-se asemanator.

Astfel, daca z = a + i b C, a, b R, si >0, atunci

w= s + i t D (z, ),

unde s

(a

/2, a+/2)Q iar t

(b

/2, b+/2)

Q (vezi exemplul

1.12).

Intr-un mod similar (nlocuind D (z, ) cu B(x, )) se poate demonstra siurmatorul exemplu analog pentru cazul general Rn,n 1 (a se vedea exemplul1.4).

Exemplul 1.15. In spatiul topologic(Rn, nR), n 1, avem

Qn = (Qn) = (Rn Qn) = (Rn Qn) = Rn.

Unele proprietati importante legate de aderenta si derivata sunt continute

n urmatoarele doua propozitii:

Propozitia 1.5. Fie A, B doua submultimi ale spatiului topologic (X, ).Avem:

1o. A A ;2o. A B A B ;

3o. A=

A,

A=A ;

4o. A este nchis a. In plusA este nchis a

A= A ;

5o. A=

F AD

F,

adicaA este cea mai mica nchis a (n sensul incluziunii) care contine peA.

7/21/2019 ikoyukl

35/138


Demonstratie. 1o. Daca x Aiar V (x), atunci x V A, deci x A.2o. Fie x A. Atunci, pentru orice V(x), V A= deci, evident,

V B= , adica x B.3o. Fie x A. Avem

x / A V (x), V A= V (x), x V A x A,

si deci A A.

Reciproc, fiex

A. Atunci V (x) cux V A V (x) cuV A= x / A x A,

asadar

A A.Analog se arata

A=A.

4o. Deoarece

A= A, rezulta (vezi propozitia 1.4, 7o) ca A este nchisa.Presupunem, acum, A nchisa, deci A . In consecinta

A= A, apoi,

A=

A= A ceea ce implica A = A.Reciproca rezulta din 3o.5o. NotamF:={F : F A, F nchisa}. Daca F F, atunci F A,

adica F A, deci, F fiind nchisa, F A si, n consecinta,

F AD

F A.

Incluziunea cealalta rezulta din faptul ca A F.

Propozitia 1.6. Daca A este o submultime a unui spatiu topologic (X, ),atunci:

10. A A ;

2o. A= A A ;

3o. A A A .

7/21/2019 ikoyukl

36/138


Demonstratie. 1o. Incluziunea rezulta, evident, din definitia 1.8.

2o. DinA A si A A, rezulta A A A.Reciproc, fie x A si V(x). AvemV A=. Daca V A ={x},

atuncix A; n caz contrar V(A\{x}) = si decix A. Asadarx AA,de unde rezulta egalitatea.

3o.PresupunemA , adicaA este nchisa, deciA = A. Din 1o rezulta,atunci, A A.

Invers, folosind 2o, avemA = A. Prin urmare A este nchisa.

Definitia 1.9. Fie o multimeA (X, ). MultimeaA :=AAse numestefrontiera multimiiA.

A se numestemultime frontiera dacaA= A.Multimea A se numeste rara daca A este o multime frontiera, deci daca

A= .

Remarca: Tinand seama de definitia de mai sus si de egalitatea A=

A,

deducem caA este o multime frontiera atunci si numai atunci cand

A= . Seobserva atunci ca, de exemplu, multimileQ si R \ Q (si, de asemenea, N, Z)sunt multimi frontiera n (R, R) iar multimea Q [ i ] este multime frontiera n(C, C) (a se vedea exemplele 1.10, respectiv 1.12).

Exemplul 1.16. In spatiul topologic(C,C), dacaz C si > 0, avemD (z, ) = D [z, ], D (z, ) =D [z, ] = D [z, ] \ D (z, ) = C(z, r)

UndeD(z, ), D [z, ] sunt discul deschis, respectiv discul nchis de centruz si raz a (vezi exemplul1.3) iarC(z, ) := {w C : |w z| =}.

Demonstratie. Avem, evident, D (z, ) D [z, ] iar D[z, ] este nchisa (e-xemplul 1.3).

Utilizand propozitia 1.5, rezulta

D (z, )

D [z, ] = D [z, ].

Pentru incluziunea contrara, luam w D [z, ].Daca|w z| < , atunci w D (z, ) D (z, ).Presupunem ca|w z| = si fie V (w). Atunci exista > 0 astfel

ncat D (w, ) V. Putem presupune < 12

.

7/21/2019 ikoyukl

37/138

1.4 Spatii separabile 37

Atunci, punand :=w

2

(w

z), avem

| w| = | 2

(w z)| = 2

< D (w, ).Apoi,

| z| = |w z| |1 2

| < D(z, ).Asadar D (w, ) D (z, ) ceea ce dovedeste ca V D (z, )=, ca

urmarew D (z, ).

1.4 Spatii separabile

Definitia 1.10. Spunem ca o submultimeA a spatiului topologic(X, ) estedensa dacaA= X.

Daca exista o multime numarabila densa nXse spune ca spatiul(X, )esteseparabilsaude tip numarabil.

Observatia1.3. Daca(M, )este o multime ordonata, spunem ca multimeaA M estedensa n sensul ordinii, daca, pentru orice x, y M, cu x y,existaa A cux a y.

In spatiul topologic (R, R) o multime A este densa daca si numai dacaeste densa n sensul ordinii naturale peR. Aceasta poate justifica si intuitiv

denumireadensa din definitia de mai sus.Demonstratie. Presupunem ca A este densa si fie x, y R cu x < y si, deasemenea, u R cu x < u < y. Daca V := (x, y), atunci V (u) siuA = R. Deci V A=, ceea ce nseamna ca A are un element n (x, y),deci este densa n sensul ordinii.

Reciproc, presupunem ca A este densa n sensul ordinii n R. Daca x Rsi V (x), exista >0 asa ncat (x , x + ) V. Atunci existaa Acux < a < x + , ca urmare V A = , adica x A. Asadar A = R.

Observatia 1.4. Spatiile topologice (R,R), (C,C), (Rn,nR), n 2, suntseparabile.Demonstratie. Faptul ca (R, R) este separabil rezulta din exemplul 1.13 de-oarece Q este numarabila si densa n R.

La fel, n C sau Rn, avem multimi numarabile si dense Q [ i ], respectivQn

(vezi exemplele 1.14, respectiv 1.15).

7/21/2019 ikoyukl

38/138


Legatura dintre spatiile cu baza numarabila (vezi definitia 1.6) si cele se-

parabile este redata n:

Teorema 1.5. Daca spatiul topologic (X, ) satisface a doua axioma a nu-marabilitatii, atunci acesta este separabil.

Demonstratie. Vom construi o multime numarabilaA X si vom arata, apoi,ca este densa.

FieB :={B1, B2, . . .} o baza numarabila de deschise a lui si construimmultimea A luand cate un element xn din fiecare multime Bn, n = 1, 2, . . ..Asadar A = {xn: xn Bn, n= 1, 2, . . .} si este clar caAeste numarabila.

Pentru a arata ca A= X, sa luam xXarbitrar si V(x). Intrucat

B este o baza, subfamiliaBx definita prinBx := {Bi : Bi B si x Bi}

este un sistem fundamental de vecinatati ale lui x, conform teoremei 1.4.

Deci exista Bi0 B cu x Bi0 V. Deoarece A contine cate un punctdin fiecare Bn, rezulta ca Bi0 A = , prin urmare V A = , adica x A.

Asadar A = X.

Reciproca teoremei precedente nu este, n general, adevarata dupa cumrezulta din contraexemplul care urmeaza:

Observatia 1.5. Daca (X, ) este un spatiu topologic separabil nu rezultaca satisface a doua axioma a numarabilitatii. Astfel, dacaX este o multimenenumarabila iar0 este topologia cofinita peX (vezi exemplul1.2),

0 = {D X : D= sauD este finita},

atunci(X, 0) este un spatiu separabil dar0 nu admite o baza numarabila.

Demonstratie. Consideram o multime numarabila M X si vom arata caM =X.

Fie x X. Daca x / M, existaV (x) cuM V = , deci M V.PentruV, existaD 0astfel ncatx D V. Asadar V D, finita,

fapt ce ar implicaM finita, contrar alegerii lui M.

Ca urmare x M, deci M=X. (X, 0) este, asadar, separabil.In continuare vom demonstra ca nu exista, pentru0, o baza numarabila.Presupunem prin absurd contrariul si fieB ={B1, B2, . . .} o baza numa-

rabila a lui0.

7/21/2019 ikoyukl

39/138

1.5Spatii Hausdorff 39

Fie x Xarbitrar siH:=

D 0x D

D.

EvidentH= deoarece x H.Vom arata ca H= {x}.Astfel, daca x0 H, x0= x, ar rezulta ca D0:= {x0} este deschisa cu

proprietatile x D0 si x0 / D0. Deci D0 H, ceea ce ar contrazice faptul cax0 H.

Rezulta, acum, ca

Bi Bx BiBi = {x}.(1.3)

Sa mai aratam ca X\ {x}este numarabila.Intr-adevar, X\ {x} = {x} 0. Deci, utilizand (1.3), avem

X\ {x} =X\

Bi Bx Bi

Bi

=X\

kN

Bik

=

kN

Bik .

Intrucat Bik 0, Bik este finita, pentru orice k, deci X\ {x} este celmult numarabila.

AsadarX= (X\ {

x}

) {

x}

este cel mult numarabila ceea ce este absurd.

1.5 Spatii Hausdorff

Definitia 1.11. Un spatiu topologic(X, )se numestespatiu (T1)sauseparatn sens Frechet daca, pentru oricex1, x2 X cu x1= x2, existaD1, D2 cux1 D1 D2 six2 D2 D1.Exemplul 1.17. O multime nevida X dotata cu topologia cofinita0 (veziexemplul1.2) formeaza un spatiu topologic (T1).

Demonstratie. Intr-adevar, daca x1, x2 X, x1 = x2, si D1 = X\ {x2},D2= X\{x1}, atunci, evident,D1, D2 0 six1 D1D2,x2 D2D1.

Teorema1.6. (Caracterizarea spatiilor (T1)) Intr-un spatiu topologic(X, )urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

7/21/2019 ikoyukl

40/138


(i) (X, ) este spatiu (T1);

(ii) pentru oricex X, multimea{x} este nchis a.Demonstratie. (i)(ii): Presupunem ca (X, ) este un spatiu (T1) si fiex X. Vom arata ca{x} = {x}.

Astfel, daca exista x0 {x} cu x0= x, atunci exista D, D0 astfelncat x D D0 si x0 D D0. D0 este nchisa si{x} D0, deci{x} D0.

Asadar x0 D0, fapt ce contrazice relatiax0 D D0.(ii)(i): Fie x, x0 X cux =x0.Notam D0:= {x} si D:= {x0} si observam ca D0, D (multimile

{x},{x0} fiind nchise).Este evident ca xD D0 si x0D0 D, deci (X, ) este un spatiu(T1).

Definitia 1.12. Spunem ca (X, ) este un spatiu Hausdorff sau separat sauspatiu (T2), daca, pentru orice doua puncte x1, x2 X, distincte, existamultimile deschise, disjuncteD1, D2 astfel cax1 D1 six2 D2.

Din definitiile spatiilor (T1) si (T2) rezulta imediat:

Observatia 1.6. Orice spatiu(T2) este un spatiu(T1).

Exemplul 1.18. Spatiile topologice (Rn,nR), n 1, si (C, C) sunt spatiiHausdorff.

In particular(R, R) este un spatiu Hausdorff.In aceste spatii multimile finite sunt nchise.

Demonstratie. Fie x, y Rn, x =y, si

r= d(x, y) =

ni=1

(xi yi)2 >0,

unde x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn).

Atunci (vezi exemplul 1.4) bilele deschise B(x,r

2), B(y,

r

2) apartin topolo-

gieinR, sunt disjuncte si avem

x B(x,r2

), y B(y,r2

).

7/21/2019 ikoyukl

41/138

1.5Spatii Hausdorff 41

Analog, daca z1, z2 C, z1= z2, avem r:=|z1z2| > 0 si deci (veziexemplul 1.3)

z1 D (z1,r2

) C, z2 D (z2,r2

) C

iar D (z1,r

2) D (z2,r

2) = .

Ultima afirmatie rezulta din faptul ca aceste spatii sunt (T1), deci, conformteoremei 1.6, multimile formate dintr-un singur punct sunt nchise. Apoi,multimile finite sunt reuniuni finite de astfel de multimi.

Teorema 1.7. (Caracterizarea spatiilor Hausdorff) Intr-un spatiu topologic(X, ) urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(a) (X, ) este un spatiu Hausdorff;(b) pentru oricex X, avemV (x)V nchis a

V = {x}.

Demonstratie. (a) (b) : Fie x X siA:=

V (x)V nchisa

V.

Este clar ca x A. Presupunem ca, prin absurd, exista x0 A, x0= x.Din ipoteza, exista D0, D , D0 D= , cux0 D0 si x D.

Din faptul ca D0 si D sunt disjuncte, deducem ca x D D0 si deciD0 este o vecinatate nchisa a lui x. Totodata x0 / D0 fapt ce contrazicepresupunerea ca x0 A.

Asadar A = {x}.(b) (a) : Fie x1, x2 X, x1=x2. Din ipoteza, avem

V (x1)V nchisa

V = {x1}.

Deci, exista V (x1), V nchisa, astfel ncatx2 / V.Notam D2:= V si fie D1 cu x1 D1 V. Asadar D1, D2 ,

D1 D2 = si x1 D1, x2 D2 ceea ce nseamna ca (X, ) este un spatiuHausdorff.

7/21/2019 ikoyukl

42/138


1.6 Spatii topologice produs

Definitia 1.13. Consideram doua structuri topologice1, 2 pe o multimeX. Vom spune ca2 estemai fina saumai taredecat1 (sau ca1 estemaiputin fina saumai slaba decat2), notam1 2, daca12, adica1este mai mica decat2 n sensul incluziunii.

Remarca: Din exemplul 1.1 deducem ca cea mai fina topologie pe X estetopologia discreta d =P(X) iar cea mai putin fina este topologia grosierag = {X, }, acestea fiind comparabile cu orice alta topologie.

Definitia 1.14. Daca(X, )este un spatiu topologic, spunem despre o familiede deschise

S ca este subbaza a topologiei, familia intersectiilor finite de

multimi dinS formeaza o baza a lui, adica daca orice element din sepoate scrie ca reuniune de intersectii finite de multimi dinS.

Observatia 1.7. DacaSeste o subbaza a topologiei, atuncieste cea maiputin fina topologie care contineS.

Demonstratie. Presupunem ca P(X) este o alta topologie care contineS.Atunci, daca D , atunci exista Gij S, j Ji, Ji finite, i , astfel ncat

D=

ijJiGij

.

Din faptul ca este o topologie care contineS, rezulta ca contine inter-sectiile finite si, de asemenea, reuniunile cu elemente ale sale.

Asadar si deci .

Exemplul 1.19. Familia intervalelor de forma (, q), (q, ) cu q Qconstituie o subbaza numarabila de deschise n(R,R).

Demonstratie. Dacap, q Q,p < q, atunci (p, q) = (, q)(p, ). Deoareceorice deschisa din (R, R) se scrie ca reuniune numarabila de intervale de forma

(p, q), p, q Q, p < q (vezi propozitia 1.1), deducem afirmatia.

Teorema urmatoare subliniaza faptul ca, n anumite condit ii, pornind de lao clasaSde parti, se poate construi n mod unic cea mai putin fina topologiecare contine peS si pentru careS sa fie subbaza.

7/21/2019 ikoyukl

43/138

1.6Spatii topologice produs 43

Teorema 1.8. Fie X o multime nevida siS o familie de parti ale sale cuproprietatile:

X S si A, B S a.. A B = .Atunci exista o topologie peXcare are peSdrept subbaza. In plus, daca

(r)r este clasa tuturor topologiilor peX care continS, atunci

=r

r.

Demonstratie. Notam cuBclasa tuturor partilor lui Xcare se scriu ca inter-sectii finite de elemente dinS, adica

B:= B X : K finita si Gk Sa.. B = kKGk,

iar cufamilia reuniunilor cu elemente dinB.Utilizand propozitia 1.3 (sau printr-o verificare directa simpla), deducem

caeste o topologie pe X si este evident, din definit ie, caSeste o subbazaa sa.

Sa demonstram, acum, ca :=r

r este o topologie pe X.

Este evident ca, X , deoarece, r, pentru orice r .Fie D1, D2 . Atunci D1, D2 r si deci D1 D2 r, pentru orice

r .Rezulta ca D

1 D

2.

In acelasi mod, daca (Di)i , atunci (Di)i r decii

Di rpentru orice r ceea ce conduce la

iDi .

Ca urmare,este o topologie pe Xcare, din definitie, contineS.Utilizand observatia 1.7, deducem .Apoi, tinand cont ca apartine familiei (r)r, rezulta si, n final,

=.

In continuare vom stabili ca imaginea reciproca a unei topologii printr-ofunctie este, de asemenea, o topologie.

Teorema 1.9. Fie X o multime nevida si (Y, ) un spatiu topologic. Dacaf :X Y, atunci familia de parti ale luiX definita prin

:=f1() = {f1(G) : G },reprezinta o topologie peX.

7/21/2019 ikoyukl

44/138


Demonstratie. Vom verifica axiomele (T1), (T2), (T3) din definitia structurilor

topologice.Astfel, X=f1(Y), Y , deci X .La fel implica =f1() .Fie, n continuare, D1, D2 . Exista, atunci, G1, G2 astfel ncat

Di = f1(Gi), i = 1, 2. Rezulta G1 G2 si deci

D1 D2= f1(G1) f1(G2) =f1(G1 G2),adica D1 D2 .

In fine, fie (Di)i . Exista (Gi)i astfel ncat Di = f1(Gi),pentru orice i . Atunci

iGi iar, de aici, deducem

i

Di =i

f1(Gi) =f1

i

Gi

,

decii

Di ceea ce ncheie demonstratia.

Teorema 1.10. Fie X o multime nevida si (Yi, i)i o familie de spatiitopologice. Pentru fiecarei se considera functiaf :X Yi.

FamiliaS de parti ale luiX data prin

S:= i

f1i (i) = {D X : i , G i a.. D= f1(G)}

formeaza subbaza unei topologii peX.

Demonstratie. Pentru a demonstra afirmatia din enunt va fi suficient sa aratamcaS satisface conditiile teoremei 1.8.

Astfel, din faptul ca Yii pentru i , deducem ca X=f1i (Yi) S.Apoi, =f1i () iar, cum i, rezulta S.

Aplicand, acum, teorema 1.8, rezulta afirmatia.

Remarca: Topologia definita n teorema precedenta se numeste topologiainitialarelativa la familia(fi)i.

Vom defini, n continuare, topologia produs si spatiile topologice produs.Pentru aceasta, fie (Xi, i)i o familie de spatii topologice si

X:=i

Xi = {x= (xi)i : xi Xi, i }.

7/21/2019 ikoyukl

45/138


Definim, de asemenea, pentru fiecare i , aplicatiile pri : X Xi, prin

pri(x) =xi, x = (xi)i X,

numiteproiectii de indicei.

Definitia 1.15. Cu notatiile de mai sus, topologia initiala pe X relativa laaplicatiile(pri)ise numestetopologia produspeX=

i

Xiiar(X, )spatiul

topologic produsal spatiilor(Xi, i)i.

Vom detalia constructia topologiei produs pentru o mai buna ntelegere aformei deschiselor spatiului topologic produs n raport cu deschiselespatiilor factor.

AstfelS va fi constituita din multimile de formapr1i (G), G i, i .

Asadar, pentru un i , pr1i (Gi)X =i

Xi si, daca xiGi, atunciorice x Xcu pri(x) =xi, are proprietatea ca x pr1i (Gi). Prin urmare

pr1i (Gi) =r1

Xr Gi r2

Xr

unde multimile de indici1, 2, {i} formeaza o partitie a lui (adica suntdisjuncte doua cate doua iar reuniunea lor este

).

Baza topologiei produs este formata din intersectii finite de elemente dinS si este data de

B=

iBi : Bi = Xi, i \I, cuIfinita siBi i, pentrui I

,(1.4)

adica B B daca si numai daca, pentru un numar finit de indici, factoriilui B sunt multimi deschise n topologiile corespunzatoare, restul factorilorcoincizand cu spatiile totale.

Binenteles, o deschisa n topologia produs este o reuniune arbitrara deelemente dinB.

Propozitia urmatoare precizeaza faptul ca topologian

R (si, n particular,C)2 reprezinta topologia produs avand ca factoriR.Vom stabili, n detaliu, legaturile dintre deschisele acestor spatii si deschis-

ele spatiilor factor R. Aceste precizari vor fi foarte utile pentru capitoleleurmatoare.

2vezi exemplele 1.3 si 1.4

7/21/2019 ikoyukl

46/138


Vom numi interval deschisn-dimensional, n 1, o submultime Ia lui Rnde forma

I:=n

k=1

Ik,

unde Ik, 1 k n, sunt intervale deschise n R.Propozitia 1.7. Consideram spatiul topologic (Rn, nR) si D Rn. Atuncisunt echivalente afirmatiile:

(i) D nR;(ii) x= (x1, . . . , xn) D, D1, . . . , Dn R, astfel ncat

xk Dk, k= 1, . . . , n sin

k=1Dk D ;

(iii) pentru oricexD exista un interval deschisn-dimensionalI nRncux I D ;

(iv) D se scrie ca reuniune de intervale deschisen-dimensionale.

Demonstratie. (i) (ii): Fiex = (x1, . . . , xn) D. Atunci exista >0 astfelncat B(x, ) D.

Fie, pentru fiecare k {1, . . . , n}, Dk :=

xk n

, xk+

n

R.

Daca y = (y1, . . . , yn) n

k=1

Dk, atunci

|xk yk| < n

nk=1

(xk yk)2 < n 2n

=2,

adica y B(x, ) D.(ii) (iii): Evident, luand I:=

nk=1

Dk.

(iii)(iv): Daca xD, atunci exista un interval deschis n-dimensionalIx astfel ncat x Ix D.

AtunciD=

xD

{x} xD

Ix D.

(iv) (i): Presupunem ca D = i

Ii cu Ii =n

k=1

Iik iar Iik R interval

deschis, pentru orice i , k = 1, . . . , n.Fie x = (x1, . . . , xk) D. Atunci

i a.. x = (x1, . . . , xn) Ii xk Iik, k

7/21/2019 ikoyukl

47/138


k >0 a.. (xk k, xk+ k) Iik, k= 1, . . . , n .Fie := min{1, . . . , n} si y B(x, ).Atunci

nk=1

(xk yk)2 < 2 |xk yk| < < k, k {1, . . . , n}

yk Iik, 1 k n y Ii D.Deci B(x, ) D.

Corolarul 1.1. (C, C) este spatiul topologic produs al spatiilor3 (R, R).Deducem ca, pentru orice deschisaG Ccuz = x+i y G, exista deschiseleD1, D1 R asa nc at(x, y) D1 D2 G.

De asemenea, dacaG1, G2 R, atunciG1 G2 C.

In finalul acestei sectiuni vom demonstra ca un produs de spatii Hausdorffeste, de asemenea, un spatiu Hausdorff.

Teorema1.11. Fie(Xi, i)i o familie de spatii topologice si(X, ) spatiultopologic produs.

Atunci(X, )este spatiu Hausdorff daca si numai daca, pentru oricei

,

(Xi, i) este spatiu Hausdorff.

Demonstratie. Presupunem (X, ) spatiu Hausdorff.Fie i si xi, yi Xi diferite, fixate.Definim elementele a := (aj)j, b := (bj)j, unde aj = bj Xj , pentru

orice j \ {i}, iar ai = xi, bi = yi.Evidenta=b iar (X, ) fiind spatiu Hausdorff, exista B1, B2 din baza de

deschise din definitia topologiei produs cua B1, b B2 si B1 B2= .Dar

B1 =

jGj , B2=

jDj

si, deoarece, pentru j= i, Gj si Dj sunt vecinatati pentru aj = bj , avemGj Dj= , deci Gi Di = . In plus Gi, Di i.

Ca urmare (Xi, i) este spatiu Hausdorff.Reciproc, consideram x, y X, x =y, fixate, x := (xi)i, y := (yi)i.

3identificand, si aici, Ccu R2

7/21/2019 ikoyukl

48/138


Dinx =y, rezulta ca existaj astfel caxj=yj . Spatiul (Xj ,j) fiindseparat, exista

Uj (xj), Vj (yj) cuUj Vj = .

Notam acum

U:=i1

Xi Uji2

Xi, V:=i1

Xi Vji2

Xi,

unde= 1 2 {j}, multimile fiind doua cate doua disjuncte.Atunci U (x), V (y) iarUV = ceea ce arata ca (X, ) este un

spatiu Hausdorff.

Exemple. Exercitii

1o. Fie Xo multime nevida. Atunci familia

:= {D X : D cel mult numarabila}{}

este o topologie pe Xcare, n cazul n care Xeste cel mult numarabila, coin-cide cu topologia discreta pe X.

Indicatie: Demonstratia este analoaga celei de la topologia cofinita (exemplul1.2).

2o. Fie M C, M= .Daca >0, definimdiscul deschis de centruM si raz a ca fiind multimea

D (M, ) := {w C : inf zM

|z w| < }.De asemenea, daca 0, multimea D [M, ] := {w C : inf

zM|z w| }

se numeste disc nchis de centruM si raz a.

Atunci, n spatiul topologic (C, C), multimea D(M, ) este deschisa iarD [M, ] este nchisa.

Indicatie: Se urmareste demonstratia de la exemplul 1.3.

3o. Pe multimea R a numerelor reale consideram clasa formata din siacele multimi D R cu proprietatea xD xD (multimile simetricede numere reale).

Sa se arate ca:

() este o topologie pe R;

7/21/2019 ikoyukl

49/138


() n (R, R), o multime este deschisa daca si numai daca este nchisa;

() este diferita de topologia discreta si de cea grosiera pe R.Indicatie: (), () sunt verificari standard.

() Deoarece, de exemplu, (1, 1) iar (1, 1) / g, rezulta = g iar faptulca, de exemplu, (0, 1) d dar (0, 1) / implica= d.

4o. Pentru oricez0= a + i b C si orice r >0, notam

P(z0, r) := {z = x + i y C : |x a| < r,|y b| < r}

patratul deschis de centru z0 si latura2r.

Atunci familiile de multimi

{P(z0, r) : r >0} si, respectiv P(z0, 1n

) : n= 1, 2, . . .

,

reprezinta sisteme fundamentale de vecinatati ale punctului z0.

Indicatie: Se observa ca P

z0, r

2

D (z0, r) P(z0, r).

Utilizam apoi exemplul 1.6.

5o. Fie (X, ) un spatiu topologic si AXo multime arbitrara. Atunci,pentru orice multime D , avem:

(i) (A \ D) A \ D;

(ii) A \ D A \ D;(iii) A \ D A \ D;(iv) D A D A;(v) D A= D A;(vi) A D (A D).DacaD nu este deschisa relatiile (i) (vi) nu sunt ntotdeauna adevarate.Indicatie: (i) Fiex (A \ D). Atunci

V

(x)

V

[(A

\D)

\ {x

}]

=

.

de aici rezulta ca, pentru oriceV (x), avem

V (A \ {x})= x A

siV (A \ D) = V D= .

7/21/2019 ikoyukl

50/138


Daca, prin absurd, x D, atunci D(x) ceea ce ar contrazice relatia obtinutamai sus (V D= pentru orice V (x)).Asadarx / D, ca urmare x A \ D.

(iii) Avem

x A \ D, V (x) G (x) , G D= .Atunci

V G (x) =V G A G D V A D= x A \ D.(iv) Fiex D A si V (x). Atunci

V D(x) V D A = x D A.

(v) IncluziuneaD A D A rezulta din (iv) iar cea contrara din A A.Celelalte se demonstreaza analog.

6o.Consideram un spatiu topologic (X, ) si o familie (Ai)i de parti alelui X.

Sa se arate ca:

(i)i

Aii

Ai iar, dacaeste finita, avem egalitate;

(ii)i

Aii

Ai;

(iii)

i

Ai i

Ai iar, dacaeste finita, avem egalitate ;

(iv)i

Ai

i

Ai.

Indicatie: (i) Aji

Ai Aji

Ai, j .

De aici deducemj

Aji

Ai.

Dacaeste finita, avem

i

, Ai

Ai

iAi iAi.Multimea

i

Ai fiind reuniune finita de nchise este nchisa, deci

i

Aii

Ai=i

Ai,

7/21/2019 ikoyukl

51/138


adica egalitatea anuntata.

Celelalte subpuncte se rezolva analog.

7o. Aratati ca, ntr-un spatiu topologic (X, ), urmatoarele afirmatii suntechivalente4:

() pentru orice nchisa F X si x / F, exista DF, Dx disjuncteastfel ncat F DF, x Dx;

() pentru orice x X siV (x), existaW (x) astfel ncatW V ;() orice punct x X poseda o baza de vecinatati formata din multimi

nchise.

Indicatie: () () Fie x X si V (x). Exista D , cux D V.Luam, atunci, F:= D si aplicam ipoteza.

() () Evident.() () Fie F X nchisa si x X\ F.Atunci x F deci F (x) apoi, din ipoteza, exista V = V(x)

astfel ca V F.Asadar, notand DF:= V si Dx cu x Dx V, obtinem ().8o. Intr-un spatiu topologic separabil orice familie de multimi nevide, des-

chise, disjuncte doua cate doua este cel mult numarabila.

Solutie: Fie (X,) un spatiu topologic separabil siG o familie de multimica n enunt. Spatiul fiind separabil, exista A X, numarabila,A= X.DacaG G, atunci A G = . FieaG A G.

Putem defini o aplicatie : G X, (G) = aG.DeoareceG1, G2 G cuG1=G2 implicaG1 G2= , rezultaaG1=aG2 , deci

este injectiva, prin urmarecardG cardA= 0.

De aici rezulta caG este cel mult numarabila.9o. Intr-un spatiu topologic (X, ) care este (T1) (n particular (T2)),

urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

() x Xeste punct de acumulare al unei multimi A X;

() orice multime deschisa ce contine pe x contine o infinitate de punctedin A.

Consecinta: Intr-un spatiu (T1) (n particular n (R, R) si (C, C))multimile finite nu au puncte de acumulare.

4spatiile care ndeplinesc una dintre aceste conditii se numesc spatii(T3), vezi [CSC93]

7/21/2019 ikoyukl

52/138


Indicatie: ()() Fie xA

si presupunem, prin absurd, ca exista D cu x D si astfel ncat D A ={x1, . . . , xn} (excludem posibilitatea D A =deoareceD(x)).

Spatiul fiind (T1), rezulta ca multimile finite sunt nchise, ca urmare multimea

W:=

D \ {x1, . . . , xn}{x}este deschisa,x W, asadarW (x) si este evident

ca W (A \ {x}) = ceea ce constituie contradictia.10o. Sa se arate ca un spatiu topologic (X, ) este separat daca si numai

daca multimea := {(x, x) : x X}

este nchisa n spat iul topologic produs (X2, 2X).

Solutie: Vom arata echivalenta:

(X,) este separat este deschisa n spatiul produs.

Astfel (X,) separat

x, y X, x =y, D1, D2 , a.. x D1, y D2, D1 D2 =

(x, y) , D :=D1 D2 , cu (x, y) D deschisa.

7/21/2019 ikoyukl

53/138

Capitolul 2

Convergenta. Limita.

Continuitate

2.1 Siruri convergente

Definitia 2.1. Fie (X, ) un spatiu topologic iar (xn)n un sir de elementeale luiX. Spunem ca sirul (xn)n esteconvergent daca exista xX cu pro-prietatea ca:

V (x), nV N astfel nc at xn V, n nV.

In acest caz, elementulx se numestelimitasirului(xn)n si spunem c a sirul(xn)n converge lax.

Notamxn x sau, nc a, limn

xn= x.

Exemplul 2.1. In spatiul topologic (X, g), orice sir este convergent catreorice element dinX.

In schimb, n spatiul topologic (X, d) singurele siruri convergente suntcele stationare1.

Demonstratie. Cele doua afirmatii rezulta imediat tinand cont ca, n topologiagrosiera, avem (x) = {X} iar n cea discreta avem {x} (x), pentrux X.

Exemplul 2.2. In spatiul topologic(X, ), unde

:= {D X : D este cel mult numarabila}{}1(xn)n este stationar daca exista n0 Nastfel ncat xn= xn0 pentru orice n n0

53

7/21/2019 ikoyukl

54/138

54 Cap.2 Convergenta. Limita. Continuitate

(vezi exercitiul 1o. cap.1) iar X este infinita, sirurile convergente sunt cele

stationare.

Demonstratie. Fie (xn)n X si x = limn

xn X.Multimea A := {xn: xn=x}fiind cel mult numarabila, rezulta A .Apoi, deoarecex A, deducem A (x) si deci exista nAN astfel

ca xn A pentru orice n nA. Ca urmare sirul este stat ionar.

Vom arata, n continuare, ca, pentru a demonstra convergenta unui sir,este suficient sa consideram o baza de vecinatati n loc de familia tuturorvecinatatilor punctului respectiv.

Propozitia 2.1. Un sir (xn)n n spatiul topologic (X, ) converge la xXdaca si numai daca

B Bx, nB N a.. xn B, n nB,(2.1)

undeBx este o baza de vecinatati ale luix.Demonstratie. Necesitatea conditiei 2.1 este evidenta daca tinem seama caBx (x).

Pentru a demonstra suficienta, fieV (x). Atunci existaB Bx,B Vsi deci

nB N a.. xn B V, n nB .De aici rezulta xn x.

Exemplul 2.3. In spatiul topologic (R, R) un sir (xn)n este convergent lax R daca si numai daca

> 0, n N a..|xn x| < , n n.

Demonstratie. Daca tinem seama de propozitia 2.1 si ca

Bx :=

{(x

, x + ) : >0

}este o baza de vecinatati ale lui x, rezulta imediat afirmatia din enunt.

Un exemplu analog se poate formula n planul complex cu topologia natu-rala.

7/21/2019 ikoyukl

55/138

2.1 Siruri convergente 55

Exemplul2.4. In spatiul topologic(C, C), urmatoarele afirmatii sunt echiva-

lente:() zn z ;() >0, n N a..|zn z| < , n n;() sirul de numere reale si pozitive(an)n, an := |zn z|, converge la zero ;() xn x siyn y, undezn= xn+ i yn, n= 1, 2, . . ., iarz= x + i y.

Demonstratie. Echivalenta ()() se deduce, tinand seama de propozitia2.1, din faptul ca

B(z) := {D (z, ) : > 0}

reprezinta o baza de vecinatati pentru z (vezi exemplul 1.6).De asemenea, echivalenta () () rezulta imediat din exemplul prece-

dent.

() () Fie >0 si n N astfel ncat

|zn z| =

(xn x)2 + (yn y)2 < , n n.

De aici rezulta, evident, ca|xn x| < si|yn y| < , pentru orice n nsi deci xn x, yn y.

() () Fie >0. Din exemplul 2.3, rezulta ca existan N asa ncat

n n |xn x| < 2 si|yn y| 0, n N a..|zn| > , n n;() sirul de numere reale si pozitive(an)n, an := |zn|, tinde la infinit;()dacazn= xn + i yn,n = 1, 2, . . ., iar sirurile de numere reale au limita,

atuncixn sauyn .

7/21/2019 ikoyukl

56/138


Demonstratie. Demonstratia se face ntr-un mod similar celui folosit la exem-

plul precedent, tinand seama ca familia de multimi

{C \ B[0, ] : > 0} = {}{w C : |w| > , >0}

formeaza un sistem fundamental de vecinatati ale lui (vezi exemplul 1.5).Pentru implicatia () () se tine cont ca

|xn| |zn|, |yn| |zn| n N

iar pentru a stabili () () folosim faptul ca (vezi exemplul 2.4), dacaxn x, yn y cux, y R, atunci zn= xn+ i yn x + i y C.

Intr-un mod cu totul analog celui folosit n exemplul 2.4 se poate arataca, n spat iul topologic (Rn,nR), convergenta unui sir este echivalenta cuconvergenta pe componente.

In continuare vom stabili legatura dintre punctele aderente, respectiv deacumulare, ale unei multimi si limitele unor siruri continute n acea multime.

Teorema2.1. (Caracterizarea punctelor aderente ale unei multimi prin con-vergenta sirurilor) Fie(X, ) un spatiu topologic siA X.

Daca(xn)neste un sir convergent cu elemente dinA, atunci limita acestuia

este punct aderent pentruA, adica

x= limn

xn A.

Reciproc, daca(X, )este un spatiu topologic care satisface a doua axiomaa numarabilitatii2 six A, atunci exista(xn)n nA cuxn x.

Demonstratie. Fie V (x). Deoarece xn x, exista nV N astfel ncatxn V, pentrun nV. Asta nseamna ca V A = si deci x A.

Reciproc, sa presupunem ca (X, ) admite o baza numarabila B, iarx A. Constructia sirului (xn)n A.Familia Bx := {B B: x B}

formeaza un sistem fundamental numarabil de vecinatati ale luix, sa le notamB1, B2, . . . , Bn, . . ..

2vezi definitia 1.6

7/21/2019 ikoyukl

57/138

2.1 Siruri convergente 57

Definim, apoi, pentrun = 1, 2, . . .,

Un :=n

i=1

Bi.

Obtinem, n acest fel, un sir descrescator de vecinatati ale luix,U:= (Un)n.Deoarecex A si Un (x), rezultaUn A = , pentrun = 1, 2, . . ..Pentru fiecaren N, fie xn Un A. Convergenta sirului (xn)nFieV (x). ExistanV N astfel ncat x BnV V (BnV fiind nBx).Deci, pentrun nV, avem

Un UnV BnV xn Un A A V V,

de unde rezulta ca xn x.

Un rezultat analog celui prezentat n teorema precedenta si demonstra-bil ntr-un mod similar, este valabil pentru punctele de acumulare si esteevidentiat n:

Teorema2.2. (Caracterizarea punctelor de acumulare ale unei mult imi princonvergenta sirurilor) Fie(X, ) un spatiu topologic siA

X.

Daca (xn)n este un sir nestationar cu elemente din A, convergent la unpunctx, atuncix este punct de acumulare al luiA.

Reciproc, daca(X, )este un spatiu topologic care satisface a doua axiomaa numarabilitatii si x A, atunci exista un sir nestationar (xn)n n A careconverge lax.

Observatia 2.1. Afirmatiile reciproce din teoremele 2.1 si 2.2 nu sunt ade-varate fara impunerea conditiei suplimentare ca spatiul sa satisfaca a douaaxioma a numarabilitatii dupa cum rezulta din contraexemplul care urmeaza.

Aceste afirmatii sunt adevarate, nsa, fara acea restrictie daca se considera,

n locul sirurilor(ordinare) siruri generalizate sau filtre

3

.

Exemplul 2.6. In spatiul topologic (R, ) (vezi exemplul 2.2), dacaA= (0, 1), atunci1 A dar nu exista nici un sir nA convergent la1.

3prezentarea si utilizarea acestora depaseste cadrul acestui manual, pot fi gasite n[CSC93, cap.2]

7/21/2019 ikoyukl

58/138


Demonstratie. Pentru a arata ca 1 A, sa luam V (1). Exista, atunci,G cu 1 G V, deci G este cel mult numarabila.

Daca am avea AG =, am obtine A G si deci A ar fi cel multnumarabila, absurd.

Asadar G A = , deci V A = si, prin urmare, 1 A.A doua afirmatie din enunt rezulta din faptul ca, n topologia , sirurile

convergente sunt cele stationare.

Am vazut ca, n anumite spatii topologice (vezi exemplul 2.1), exista siruriconvergente care au mai multe limite. Acest fapt poate fi surprinzator intrandn contradictie cu aspectul intuitiv al fenomenului de convergenta a unui sir

studiat anterior la Analiza Matematica. Teorema care urmeaza precizeazaconditiile n care sirurile convergente au limita unica, fapt care va permiteidentificarea cu usurinta a spatiilor n care unicitatea limitei are loc.

Teorema2.3. (Caracterizarea spatiilor topologice Hausdorff cu ajutorul limi-telor de siruri) Daca spatiul topologic este separat, atunci orice sir convergental sau are limita unica.

Reciproc, daca un spatiu topologic satisface a doua axioma a numarabilitatiisi are proprietatea ca orice sir convergent al sau are o singura limita, atunciacesta este separat.

Demonstratie. Consideram un spatiu topologic separat (X, ) si (xn)n un sir

convergent al sau si presupunem ca, prin absurd, existax, y X,x =y, astfelncat xn x, xn y.Din ipoteza, exista D1, D2 cu proprietatile

D1 D2= , x D1, y D2.Atunci D1 (x) si D2 (y). Deci exista n1, n2 N astfel ncat

n n1 xn D1 si n n2 xn D2.rezulta

n max{n1, n2} xn D1 D2ceea ce contrazice relatiaD1

D2=

.

Reciproc, presupunem ca spatiul (X, ) are baza numarabila si ca areproprietatea de unicitate a limitei oricarui sir convergent.

Presupunem ca, prin absurd, spatiul nu este separat, deci exista x, y X,x =y, astfel ca

D1, D2 , x D1, y D2 D1 D2= .(2.2)

7/21/2019 ikoyukl

59/138

2.2Limite de functii 59

Atunci, utilizand teorema 1.4, deducem ca punctele x si y poseda baze

numarabile de vecinatati. Fie

B(x) := {U1, . . . , U n, . . .}, respectiv,B(y) := {W1, . . . , W n, . . .},astfel de baze.

Notam, pentru n = 1, 2, . . . ,

Bn :=n

i=1

Ui, respectiv,Cn :=n

i=1

Wi.

Atunci Bn (x), Cn (y), oricare ar fi n N.In plus sirurile (Bn)n si (Cn)n sunt descrescatoare si au proprietatea ca,

pentru orice n,Bn Ui, Cn Wi, i = 1, . . . , n .(2.3)

Din relatia (2.2) deducem caBn Cn= pentru orice n.Fie, pentru n = 1, 2, . . ., xn Bn Cn. Obtinem, astfel, un sir (xn)n si

vom arata ca xn x si xn y.Fie V (x). Atunci exista Ui0 B(x) cu Ui0 V. Din relatia (2.3),

rezulta ca, pentru un nV i0, avemBnV Ui0 V.

Din faptul ca sirul (Bn)n este descrescator, deducem ca

xn Bn BnV, n nV xn V, n nV,ceea ce nseamna xn x.

Analog se arata caxn y ceea ce contrazice faptul ca orice sir convergentare o limita unica.

2.2 Limite de functii

In acest paragraf, vom considera doua spatii topologice (X, ) si (Y, G), A osubmultime nevida a lui X si f :A

Y o functie.

Definitia 2.2. Dacax0 Xeste un punct de acumulare al luiA, vom spunecaf are limita l Y n punctulx0, daca

V (l) U (x0) astfel nc at f(U A \ {x0}) V.In acest caz vom nota lim

xx0f(x) =l sauf(x)

xx0 l.

7/21/2019 ikoyukl

60/138


Urmatoarea proprozitie evidentiaza faptul ca, pentru a dovedi existenta

limitei unei functii ntr-un punct, este suficient sa facem verificarea doar pentruelementele unor sisteme fundamentale de vecinatati.

Propozitia 2.2. DacaB(x0) siB(l) sunt baze de vecinatati ale luix0 A,respectiv l Y, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) limxx0

f(x) =l ;

(ii) B B(l) C B(x0) astfel nc at f(C A \ {x0}) B .Demonstratie. (i) (ii): Daca lim

xx0f(x) = l iar B B(l) (l), atunci

existaU (x0) astfel ncat f(U A \ {x0}) B. Exista, atunci, C B(x0)

cu C U si decif(C A \ {x0}) f(U A \ {x0}) B.

(ii)(i): Fie V(l). Atunci exista B B(l) astfel ncat BV. Dinipoteza, exista C B(x0) (x0) astfel ca f(C A \ {x0}) B.

Luand, acum U := C (x0), obtinem f(U A\ {x0}) V, adicaafirmatia.

Corolarul 2.1. Daca A R, f : A R, x0 A si l R, atunci suntechivalente afirmatiile:

() limxx0

f(x) =l ;

() > 0, >0 a.. x A \ {x0} cu|x x0| < |f(x) l| < ;() n N, k N a.. x A\{x0} cu|xx0| < 1

k |f(x)l| < 1

n.

Demonstratie. Echivalentele rezulta imediat daca tinem seama de propozitiaprecedenta si de faptul ca, n (R, R), multimile

B1(x) = {(x , x + ) : >0} si B2(x) = {(x 1k

, x +1

k) : k N}

sunt baze de vecinatati ale unui elementx (vezi exemplul 1.7).

Corolarul 2.2. Daca A C, f : A C, z0 A si l C, atunci suntechivalente afirmatiile:

() limzz0

f(z) =l ;

7/21/2019 ikoyukl

61/138


() >0, >0 a.. z A \ {z0} cu|z z0| < |f(z) l| < ;()n N, k N a..z A\{z0}cu|zz0| < 1

k |f(z)l| < 1

n.

Demonstratie. Justificarea este analoaga celei din corolarul precedent, bazelede vecinatati ale unui punct z fiind acum (vezi exemplul 1.6)

B1(z) = {D (z, ) : > 0} si B2(x) = {D (z, 1k

) : k N}.

Teorema 2.4. (Caracterizarea cu siruri a limitei unei functii) Fiex0A sil

Y. Consideram urmatoarele afirmatii:

() limxx0

f(x) =l ;

() (xn)n A \ {x0}, xn x0 f(xn) l .Atunci() ().Daca, n plus, spatiul topologic(X, )satisface prima axioma a numarabi-

litatii(n particular spatiul are o baza numarabila), atunci are loc si implicatia() ().Demonstratie. ()(): Presupunem lim

xx0f(x) =l si fie (xn)nA \ {x0}

cuxn x0 (existenta acestui sir este asigurata de teorema 2.2).Daca V

(l), atunci exista U

(x0) asa ncat f(U

A

\ {x0

})

V.Atunci, exista nU N astfel ncat

n nU xn U.Rezulta, apoi, ca f(xn) V pentru orice n nU si deci f(xn) l.()(): Presupunem, acum, ca familiaB(x0) formeaza un sistem fun-

damental numarabil de vecinatati ale lui x0. NotamB1, . . . , Bn . . . elementeleacestei familii.

Notam, de asemenea, pentru fiecare n N,

Wn :=n

i=1 Bisi obtinem astfel un sir descrescator de vecinatati ale lui x0.

Presupunem ca, prin absurd, nu avem limxx0

f(x) =l.

Atunci exista V0 (l) asa ncat f(U A\ {x0})/ V0 pentru oriceU (x0) si, n particular, f(Wn A \ {x0}) / V0 pentru orice n.

7/21/2019 ikoyukl

62/138


De aici rezulta ca existaxn Wn A \{x0}astfel ncatf(xn) / V0 pentrun= 1, 2, . . ., ceea ce nseamna ca sirul (f(xn))n nu converge la l .

Vom arata, acum, ca xn x0.Fie U (x0). Exista, atunci, nU N astfel ca BnU V (BnU fiind n

B(x0)).Deci, pentru orice n nU, avem Wn WnU BnU. De aici rezulta ca

xn BnU V, n = 1, 2, . . .ceea ce dovedeste ca xn x0.

Am contrazis astfel ipoteza !

Pentru functiile de variabila complexa, avem si urmatoarele caracterizariale limitei, acestea rezultand imediat din teorema precedenta si exemplul 2.4.

Corolarul 2.3. Pentru functia f : ACC, urmatoarele afirmatii suntechivalente:

(i) limzz0

f(z) =l, (z0 A, l C) ;(ii) pentru orice sir(zn)n A \ {z0} cuzn z0, avemf(zn) l ;(iii) lim

zz0Re f(z) = Re l, lim

zz0Im f(z) = Im l ;

(iv) limzz0

f(z) =l, unde bara simbolizeaza conjugarea.

Se poate observa fara dificultate ca, n cazul complex, se mentin toaterezultatele privind limita unei sume, a unui produs sau a unui cat, cand nu-mitorul este diferit de zero, ca functii reale de o variabila reala.

2.2.1 Limita unei functii complexe n punctul de la infinit

Fie AC astfel ncat sa fie punct de acumulare al lui A considerata ca osubmultime a lui (C, C) si f :A C.

Tinand seama de structura topologica pe C (vezi exemplul 1.5) si urmarinddefinitia 2.2, putem scrie, n cazul elementuluidin spatiul (C, C), definitialimitei unei functii, astfel:

Definitia 2.3. Spunem ca f are limita n daca exista l C asa nc at,pentru orice >0 sa existe > 0 astfel ca

f

(C \ D [0, ]) A

D (l, ).

Notam, n acest caz, limz

f(z) =l.

7/21/2019 ikoyukl

63/138


Se verifica simplu ca, daca f are limita n punctul, atunci limita esteunica.

Este evident ca functiafare limita l ndaca si numai daca:

>0, > 0 a.. z A,|z| > |f(z) l| < .

Se pot scrie, evident, si pentru acest caz, si celelalte caracterizari analoagecelor cuprinse n corolariile 2.2 si 2.3.

2.2.2 Limita n C a unei functii complexe

Fie A

C, z0

A si f :A

C.

Definitia 2.4. Vom spune cafare limita n punctulz0, daca pentru orice >0, exista > 0 astfel nc at

f

D (z0, ) (A \ {z0})

C \ D [0, ].

Notam, n acest caz, limzz0

f(z) = .

Se deduce imediat ca limzz0

f(z) = daca si numai daca

>0, > 0 a.. z A \ {z0},|z z0| < |f(z)| > .Si pentru acest caz, se pot scrie imediat si celelalte caracterizari analoage

celor cuprinse n corolariile 2.2 si 2.3.

Reunind cele de mai sus, tinand seama de structura topologica a spatiului(C, C), rezulta fara dificultate:

Observatia 2.2. FieA C, A sif :A C. Atuncif are limta npunctul de la infinit daca si numai daca:

> 0,

> 0 a.. f(C \ D [0, ]) A C \ D [0, ].

Notam limz

f(z) = .Altfel spus, avem

limz

f(z) = [ > 0, > 0 a.. z, |z| > |f(z)| > ].

7/21/2019 ikoyukl

64/138


2.3 Continuitate

In aceasta sectiune (X, ) si (Y, G) vor fi doua spatii topologice, f :X Y ofunctie iar x0 X.Definitia 2.5. Spunem ca functiaf estecontinua n punctulx0, daca, pentruoriceV (f(x0)), existaU (x0) astfel nc atf(U) V.

f estecontinua (peX), daca este continua n orice punct dinX.Functia f se va numibicontinua, daca este bijectiva, continua si inversa

saf1 este, de asemenea, continua.

Exemplul 2.7. Aplicatia indentica Id : (X, ) (X, ), Id(x) = x, estecontinua.

De asemenea, dacaf : (X, )(Y, G) este aplicatia constantaf(x)c,c Y, atuncif este continua.

In propozitia care urmeaza se demonstreaza faptul ca, prin compunereafunctiilor, proprietatea de continuitate se pastreaza.

Propozitia 2.3. Fie (X, ) , (Y, G), (Z, H) trei spatii topologice si functiilecontinuef :X Y, g: Y Z.

Atuncig f :X Zeste o functie continua.

Demonstratie. Fie x X si W

g(f(x))

. Atunci, din continuitatea lui

g, rezulta ca exista V (f(x)) asa ncat g(V) W.Apoi, din continuitatea lui f, deducem ca exista U (x) astfel caf(U) V.

Ca urmare avem g(f(U))g (V)W, ceea ce dovedeste faptul ca g feste continua n punctul arbitrar x, deci e continua pe X.

Se poate observa cu usurinta ca, n cazul functiilor cu valori n spatiile(C, C), (Rn, nR), au loc proprietatile privind continuitatea unei sume, a unuiprodus sau a unui cat, cand numitorul este diferit de zero.

Teorema urmatoare ofera o caracterizare a continuitatii prin aceea ca

functiile continue ntorc deschisele (respectiv nchisele) spatiului codome-niu n deschisele (resp. nchisele) spatiului domeniu.

Teorema 2.5. (Caracterizarea cu multimi a continuitatii functiilor)

Fief : (X, ) (Y, G) o functie. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(a) f este continua peX;

7/21/2019 ikoyukl

65/138

2.3 Continuitate 65

(b) pentru oriceA X, avemf(A) f(A) ;(c) oricare ar fiF Y nchis a, f1(F) este nchis a nX;(d) f1(G) .Adica oricare ar fiD Y deschisa, f1(D) este deschisa nX.

Demonstratie. (a)(b) Presupunem cafeste continua.Consideram A X si y f(A). Atunci exista x A cu f(x) =y.Fie V (y) =(f(x)). Din continuitatea luif n x, rezulta ca exista

U (x) astfel ncat f(U) V.Avem

x

A

U

A

=

=f(U

A)

ikoyukl

Documents

Transcript of ikoyukl