Elemente de Teoria Haosului

Teoria Haosului

• studiază sistemele complexe aflate în permanentă mi care;ș

• se bazează pe concepte matematice ale recursivită ii.ț

Noţiuni

Determinism i predictibilitateșDeterminism i impredictibilitateșDescrierea comportamentului haoticGeometrie fractală

Determinismul

Este o presupunere filizofică conform căreia orice acțiune este determinată de un lanț neîntrerupt de acțiuni precedente.

Predictibilitatea

Se referă la gradul de corectitudine, calitativă sau cantitativă, a unei previziuni sau a stării unui sistem.

Pentru a exprima predicitibilitatea sau impredictibilitatea, rata divergenței traiectoriilor în sistemele fazoriale poate fi măsurată.

Comportamentul haotic

Comportamentul haotic a fost observat în laborator într-o varietate de sisteme incluzând: circuite electrice, lasere, reacții chimice oscilante, dinamica lichidelor, dispozitivele mecanice și magneto-mecanice.

Comportamentul haotic din natură cuprinde: dinamica sateliților în Sistemul Solar, evoluția în timp a câmpului magnetic al corpurilor ancestrale, creșterea populației în ecologie.

Pentru ca un sistem să fie haotic, majoritatea oamenilor de știin ăț sunt de acord ca acesta trebuie să îndeplinească trei reguli:

• Să fie sensibil la condițiile inițiale;

• Să se îmbine topologic;

• Orbitele periodice să fie dense.

Spa iul fazelorț

Poincaré a definit ceea ce numim “spaţiul fazelor”, un spaţiu a cărui dimensiune corespunde ansamblului de variabile ce caracterizează sistemul la un moment dat (poziţii, viteze, etc.).

Starea sistemului la un moment dat, caracterizată printr-o serie de parametrii independenţi este reprezentat printr-un punct în acest spaţiu.

Dacă un sistem tinde către o stare de echilibru (ex. oscilatorul amortizat), vom vedea că, indiferent care ar fi starea iniţială a sistemului, acesta va evolua astfel încât traiectoriile în spaţiul fazelor vor fi curbe ce converg către punctul de echilibru. Un astfel de punct se numeşte atractor.

Geometric, un atractor poate fi un punct, o curbă, o varietate sau chiar un set complicat ca un fractal, structură cunoscută ca un atractor straniu. 

Atractorii sunt de 2 feluri:

• Clasici

• Stranii

Atractor Straniu

Geometrie Fractală

Fractalul, ca obiect geometric, are în general următoarele caracteristici:

• Are o structură fină la scări arbitrar de mici.• Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian

tradiţional.• Este autosimilar (măcar aproximativ sau stochastic).• Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică

(deşi această cerinţă nu este îndeplinită de curbele Hilbert).• Are o definiţie simplă şi recursivă.

Tipuri de Fractali:1. Lua i un triunghi echilateral plin.ț2. Uni i mijlocul laturilor triungiului. Astfel ve i împăr i triunghiul ț ț ț

mare în 4 triunghiuri mici. Elimina i mijlocul (zona va rămâne țalbă)

3. Continua i la infinit acelasi procedeu pentruț restul de 3 triunghiuri mici rămase i pentru noile triunghiuri șgenerate.

Acest proces duce la sita lui Sierpinski

Fractali iterativi

Aceștia sunt probabil cei mai spectaculoși și arătoși fractali.

Setul Mandelbrot, cel mai celebru fractal

O porțiune mărită. Se observă apariția denoi și noi vârtejuri la infinit.

Un fractal care modelează suprafaţa unui munte.

O magnificare a mulţimii phoenix