7/23/2019 grsthsreaertet

http://slidepdf.com/reader/full/grsthsreaertet 1/3

Vectori și valori proprii 

De la Wikipedia, enciclopedia liberă 

În fotografia alăturată (O transformare liniară asupra lui , arătată prin efectul ei asupra uneiimagini (stânga - imaginea originală (Mona Lisa), dreapta - imaginea transformată). Vectorul

marcat cu săgeata roșie este un vector propriu al transformării, deoarece direcția lui este păstratăde transformare. Deoarece lungimea lui nu se modifică, valoarea proprie asociată este 1. Oricevector având aceeași direcție este de asemenea nemodificat. Ceilalți vectori, de exemplu celmarcat cu albastru, sunt modificați de transformare, deci nu sunt vectori proprii.

În matematică, un vector propriu al unei transformări liniare  pe un spațiu vectorial este unvector nenul a cărui direcție rămîne neschimbată de către acea transformare. Factorul prin caremărimea vectorului este scalată se numește valoare proprie a acelui vector.

Mulțimea vectorilor proprii ce au asociată aceeași valoare proprie constituie un subspațiuvectorial al spațiului transformării, numit spațiu propriu al transformării, asociat valorii proprii

respective.

Deseori, o transformare este descrisă complet cu ajutorul vectorilor și valorilor sale proprii. 

Aceste concepte au un rol major în mai multe ramuri ale matematicii pure și a celei aplicate. Eleapar în special în algebra liniară, în analiza funcțională și în diverse situații neliniare. 

Vectorii proprii ai unei matrice sau ai unui operator diferențial au adesea semnificație fizicăimportantă în matematica aplicată și în fizică. În mecanica clasică, vectorii proprii ai ecuațiilorde traiectorie corespund în mod obișnuit modurilor naturale de vibrație a unui corp, iar valorile proprii frecvențelor de vibrație respective. În mecanica cuantică, operatorii corespund

variabilelor observabile; vectorii proprii mai sunt numiți și stări proprii, iar valorile proprii aleoperatorului reprezintă acele valori ale respectivei variabile care au probabilitate nenulă deapar iție. 

Cuprins

  1 Definiție 

7/23/2019 grsthsreaertet

http://slidepdf.com/reader/full/grsthsreaertet 2/3

  2 Exemplu   3 Bibliografie   4 Legături externe 

Definiție 

Fie A o matrice cu coeficienți complecși, de dimensiune n x n, matricea unei transformăriliniare. Un vector x nenul de dimensiune n x 1 (un vector = coloană) se numește vector propriu  pentru transformarea liniară dacă există un scalar λ  astfel încât:

Scalarul λ  se numește valoare proprie a transformării liniare A corespondentă vectorului propriux.

ExempluPentru o matrice diagonală (adică o matrice pătratică care are toate elementele din afaradiagonalei principale nule - cele de pe diagonala principală pot sau nu să fie nule), valorile proprii sunt numerele de pe diagonala principală, iar vectorii proprii sunt chiar vectoriicomponenți ai bazei canonice (și corespund fiecărei coloane în parte). Să considerăm matriceaurmătoare: 

Transformarea descrisă de matricea de mai sus denaturează (întinde) fiecare vector din spațiul bidimensional astfel: dimensiunea pe direcția x a unui vector crește de 3 orii, iar dimensiunea pedirecția y se înjumătățește. 

  Valorile proprii ale matricii sunt 3 și 0.5.   Vectorii proprii ce corespund valorii proprii 3 sunt orice vectori multipli ai vectorului

[1, 0] ([1, 0] e vectorul din baza canonică). Toți acești vectori proprii (o infinitate)constituie subspațiul propriu corespunzător valor ii proprii 3.

  Vectorii proprii ce corespund valorii proprii 0.5 sunt orice vectori multipli ai vectorului[0, 1] ([0, 1] e vectorul din baza canonică). Toți acești vectorii proprii (o infinitate)constituie subspațiul propriu corespunzător valorii proprii 0.5. 

  Pe de altă parte, orice alt vector din spațiul bidimensional, să zicem [2, 8], își va schimba

direcția originală, nu doar dimensiunea. Iată cum: unghiul format de vectorul [2, 8] cuaxa de referință Ox are tangenta 4 (8 : 2 = 4). Însă, după ce i se aplică matricea detransformare, va fi transformat în [6, 4], tangenta unghiului fiind acum de 2/3!

7/23/2019 grsthsreaertet

http://slidepdf.com/reader/full/grsthsreaertet 3/3

Așadar [2, 8] nu este un vector propriu al transformării A, direcția lui nu rămâne neschimbată.