AxiomA supliment mAtemAtic-nr.40

22

PROBLEME PROPUSE PENTRU CICLUL GIMNAZIAL 2) CLASA a V-a 1. Care sunt numerele naturale mai mici decat 500 care mprite la 13 dau un ct egal cu

triplul restului . Nicolae Scuratovschi, Constana

2. Se considera sirul: 3;7;11;15;.

a) Completati sirul cu inca 3 termeni; b) Care este al 2005-lea termen din sir?

Calculati suma primilor 40 de termeni din sir. tefan Smarandoiu, Rm. Valcea

3. Completati tabelul: 12 3

astfel incat suma numerelor din oricare trei casute vecine sa fie aceeasi, iar suma tuturor numerelor sa fie 276. Justificati!

tefan Smarandoiu, Rm. Valcea

4. n urm cu 35 de ani, unchiul Marcel avea vrsta nepoatei de acum. Determinati vrsta, n prezent, a fiecruia, stiind c peste 10 luni, nepoata va mplini o vrst de 7 ori mai mic dect cea a unchiului.

Eugen Nita, Ploiesti 5. Calculati: a-b; 4b-6a si 7b+7a , unde: a este numarul numerelor de doua cifre care

au suma cifrelor mai mare decat produsul lor, iar, b este numarul numerelor de doua cifre care au produsul cifrelor mai mare decat suma lor.

Ion Marcel Neferu, Drgaani 6. Suma a trei numere naturale este 480 . Dac mprim al doilea numr la primul obinem

ctul 3 i restul 9 , iar dac mprim al treilea numr la al doilea , obinem ctul 2 i restul 3 . Aflai cele trei numere.

Nicolae Scuratovschi, Constana 7. Patru oameni se afl la intrarea unui tunel ntunecos, prin care nu pot trece simultan

dect 2 oameni. Ei au nevoie de 1,2,5 respectiv 10 minute pentru a traversa tunelul i dispun de o tor care arde doar 17 minute. Cum pot traversa cei patru oameni tunelul?

*** 8. ntr-o pauz numrul elevilor plecai n recreaie este dat de diferena dintre numrul

bieilor rmai n clas i cel al fetelor rmase n clas. tiind c n clas au rmas 18

biei, aflai numrul de elevi ai clasei. Dogaru Alexandru, Dragasani

9. a)Cate numere naturale cuprinse ntre 19 i 91 folosesc n scrierea lor cifra 5? b)In cate zerouri se termin numrul 21 22 23... 89 ?

Nicolae Ivachescu, Craiova 10.

Fie numrul a=2581114...........2006, format prin alturarea cifrelor numerelor din irul 2, 5, 8, 11, 14, ..., 2006. 1) Scriei urmtoarele 3 numere ce urmeaz n ir dup 14. 2) Calculai suma 2+5+8+11+...+119. 3) Cte cifre are numrul a ?

tefan Smrandoiu, Rm. Valcea 2)Se primesc soluii pn la 10 noiembrie 2011

AxiomA supliment mAtemAtic-nr.40

23

CLASA a VI-a 1. Numerele naturale abc scrise n baza 10, mprite la 40 dau restul egal cu 30.

a) Cte astfel de numere sunt? b) Aflai suma lor.

Dnoiu Adriana, Pueti Mglai, Jud. Vlcea 2. La un turneu de tenis particip 64 de juctori. n fiecare rund se desfoar 32 de

meciuri ntre juctori care au acelai punctaj. Ctigtorul unui meci primete cte un punct. Turneul se ncheie cnd exist un juctor al crui punctaj difer de punctajele celorlali juctori.

a) Cte runde se desfoar n cadrul turneului ? b) Cte meciuri se desfoar n cadrul turneului ? c) Ci participani au obinut, n final, 3 puncte ?

Mircea Fianu - Bucureti 3.

Fie mulimea

NbaA ba ,75 .

a) Determinai cele mai mici patru elemente din A care au proprietatea c sunt ptrate perfecte.

b) Demonstrai c printre oricare 5 elemente din mulimea A exist cel puin dou al cror produs este ptrat perfect.

Florin Smeureanu i Dumitru Dobre, Rm. Vlcea 4. Se tie c 012

2010 ....7 aaaan . Calculai ?01 aa tefan Smarandoiu, Rm. Valcea

5. Aflai numerele ab pentru care avem b aa b a b aa .

Nicolae Ivchescu, Craiova 6. Gsii numrul natural n pentru care avem:

1 1 1 1 1004,5...6 12 20 ( 1) 2001n n

.

Nicolae Ivchescu, Craiova 7. Fie numrul A=101001000100001

a) Dac A se termin cu cifra 1, iar cifra 1 apare scris de 2011 ori n A, de cte ori este scris cifra 0? b) De cte ori apare cifra 0 n scrierea numrului A dac acesta are 2011 cifre?

Marius Perianu, Slatina 8. Aratati c : a) 51 3 se divide cu 61.

b) 2 3 20063 3 3 ... 3 se divide cu 61. Gh.Achim, Mizil

9. Iepurele Ric are sritura de 72 cm, iar broscua Oac de 20 cm. Ei fac o ntrecere pe nisip. Dup cte srituri, de la plecare, broscua Oac nimerete peste urmele iepurelui?

Mariana Fleancu, Cmpulung 10. Ionel are acelasi numar de luni cat are bunicul sau de ani, si acelasi numar de zile cate

saptamani are tatal sau. Stiind ca toti trei au impreuna 140 de ani, ce varsta au ei. Ionela Ionescu , Vlenii de Munte

AxiomA supliment mAtemAtic-nr.40

24

CLASA a VII-a 1. a) Dac x i y sunt direct proporionale cu 2 i respectiv 5, aflai ct la sut din y

reprezint x.

b) Artai c: 601

10199971...

9751

7531

c) Dac x, y, z sunt numere naturale nenule astfel nct xz

zxzy

yzyx

xy

,

atunci artai c x = y = z. Cecilia Diaconescu- Piteti, Manuela Oncescu - Cmpulung

2. Determinai nN* din relaia: (22)998+16449=2n, i apoi calculai ultima cifr a numrului: x=2001n+2002n+2003n+2004n.

Dumitru Oprea, Dragodneti, Dambovia 3. Un triunghi ABC are latura AC de lungime 6cm. Fie punctul D pe latura (BC), astfel

nct DC = 3cm, BD= 9cm. Stiind c AD= 4cm, s se calculeze AB. Vasile erdean, Camelia Magdas, Cluj

4. Doua lumnri au aceeai lungime si ard uniform, dar prima se consum in 5 ore iar a doua in 6 ore. Dac ele sunt aprinse simultan, dup ct timp prima va avea lungimea egala cu dublul lungimii celei de a doua?

Iuliana Turcu i Adrian Turcu, Gieti 5. Calculai: .

200120000...

200130

200120

200110

Viorica Dina, Moreni

6. Dac *, , , , ,x y z a b c N i 2 132a bx y , 2 72b cy z calculai 2 7 3a b cx y z .

Iuliana Turcu i Adrian Turcu, Gieti 7. Un numr natural mprit la 15 d restul 11, iar mprit la 8 d restul 3, artai c n+7

se divide cu 6. Gheorghe Achim, Mizil

8. Comparai numerele: .2...2222bi39a 30323010 Gabriel Rducan, Bucureti

9. Demonstrai c daca nou numere raionale pozitive sunt respectiv direct proprionale cu numerele 1,1,2,6,12,15,25,30 i 44 atunci suma ptratelor primelor opt numere este egal cu ptratul celui de-al noulea numr.

Nicolae Ivchescu, Craiova 10. Fie *n N si S suma resturilor obinute prin mprirea numerelor 1,2,..., 1000 la 2.n

a) Calculai S n cazul n=10; b)Aflai n astfel nct S=1500.

Iuliana Turcu i Adrian Turcu, Gieti 11. Pe tabl este scris numarul 18. La fiecare minut numrul se nmuleste sau se mparte

fr rest fie la 2 fie la 3, iar rezultatul se scrie pe tabl n locul numrului iniial. S se arate c numrul scris pe tabl dup 60 minute nu poate fi 96.

Vasile erdean, Gherla, Cluj

AxiomA supliment mAtemAtic-nr.40

25

CLASA a VIII-a 1. Se consider numrul n,

.;2

32211 Naaaaaaan

Aflai forma numerelor naturale a, pentru care numrul n devine numr natural impar. Dnoiu Adriana,Pueti Mglai, Jud. Vlcea

2. S se calculeze:

a) 5372537252735372 22 b)

281

634

72:

3112

2117

Emanuel Matei, Piteti 3.

Gsii numerele naturale abc astfel ncat s avem abc c a b c . Nicolae Ivchescu, Craiova

4. Fie p =

1935193619351936...

623

212

; i bap ; ;1);( ba Calculai a+b.

Florin Smeureanu, Rm. Vlcea 5. n triunghiul dreptunghic ABC, AB = 45 cm i AC = 60 cm. tiind c AD este

perpendicular pe BC, D BC, M AD astfel nct AM = CN, unde N DC astfel nct ND = NC i BM perpendicular pe AN. S se afle:

a) Lungimea laturii BC; b) Aria patrulaterului AMNC i distana de la M la AC;

Luminita Corneci, Valenii de Munte 6. Calculai aria unui triunghi ABC ale crui nlimi au lungimile de 24 cm, 30 cm si 40 cm.

Iuliana Turcu i Adrian Turcu, Gieti 7. Artai c pentru oricare a,b,c *R avem :

1 1 1 1 1 1 64a b a c c b a b a c c b

Nicolae Ivchescu, Craiova 8. Fie ABCD trapez dreptunghic cu AB CD i AB CD , AC BD i m(BDC )= 600.

a). Demonstrai c CD = 3AB; b). Fie O intersecia diagonalelor trapezului.Dac P este simetricul lui D fa de O

i S este mijlocul segmentului [AC] ,atunci dreapta PS mparte triunghiul BOC n dou suprafee de arii egale.

Elena Tudor , Sinaia 9. Pe circumferina unui cerc se consider aezate 100 de numere naturale care au suma 506.

S se demonstreze c exist cel puin dou perechi de numere vecine asatfel ncat suma elementelor fiecrei perechi s fie cel puin egal cu 10.

Petre Nchil, Ploieti 10. Fie A un numar natural avand 2011 cifre dintre care 404 cifre de 2; 404 cifre de 6 si restul

de cifre egale cu 1. Aratati ca A este un numar iraional. Ioana Crciun i Gheorghe Crciun, Ploieti

AxiomA supliment mAtemAtic-nr.40

26