Traian Anghel

chid dev

FIZICA

pentru clasa a IX-asi bacalaureatt

MECANICA

I:kaPnrsncsBucuregti- 2019

Fr*ige

n*rrpilicaterlli

tI:nc niei/

Cuprins

Cuprins ,....,...3Inttoducere .. .. 1Capitolul l Mlrinifizice giunitnli dem6suri ....,,.;.,,;..,.11

1.1. M5rinifizrce: miswuerr€prezentare qiclasifrcare . . . ..... . ..11

l.l.l,Valoarenumericdgiunitatedemisurd ........11!,1.2. Reguli pentRr sqr-ierea valorilormirimilor fiziee

1.1.3. Regpli pentru efectuarea operafiilor cu mdrimi fiz:iee . . . - . ,13,

l.l.4.Clasifieareamdrimilorfuice. .-..,..141.2,Sistemulln@,malionaldeunitifidemisuri,,,.,r,.,,.,."16

1.2.1. Mlrimi fizice gi unitdti de misurd fundamentale . . . .16

1.2.2- MdrimifizieegiunitSlidemdsur6derivate .........171.2.3. UnttAF de mdsurl suplimentare . . . ..l9

1.2!4,Uni6triearenufacpartedinSl .... ......211"2.5. Regulipentru sori€rea simbolurilorunitdtilordemlsurisl . . . .,..22

1.3. Multipliqi submultiplii .... . .......231.3.1.RegulipentruscriereasimbolurilorprefixelorSL.. ......24

1.4. Medmi fizice scalare qi vectoriale . . . . . .24

1.4. l. Mdrimi fizice scalare . . . . .24

14.2.M:6rimifrzioeveetoriale..... ..,..-25Capitolut2Noliuni de calc,ulvectorial . , . '. -. .27

2.1. Breviarteoretic .. '......272.1. l. Defini{.ie gi clasifrcare . - . .. . . 2:7

2.l.2.Adunareavectofilor ...... '.29'2,13. lnmullircayectodlorcu.scalari ..:........... i..;, - ..,....,..,.?.02.1,4, Scddereaveotorilor ,...... ' '32

2.1.5-Descornpunereairnuivestor ......,..322.1.6. Produsul scalar a doi vectori . . . .33

2.1.7. Ax6 de coordonate ; . .. . 34

2-l.8. Proieclia urui vector pe,o axi , . - . -35

2.1.9. Sistern de coordonate . . . .36

2.2.Probleme ...,..392.2.l.Enunturi .......392.2.2.R6spuusui .. ....i.2.2.3. Rezolviri .. . Al

Capitolul 3 Migcareamecanicd.Vitezagiaccelera{ia .........453.1. Breviarteoretic. ..........45

3.1.1. Miqcare qirepaus ......453.1.2. Modelulpunctuluimaterial .....453.1.3. Sistemdereferin{i .....473.l.4.Traiectorie ... .........473.l.5.Legeami9cdrii. .........4g3.l.6.Deplasare.Vectordeplasare .....4g3.l.7.Yiteza ........493.1.8. Viteza relativd. Compunerea vitezelor . . . . .53

3.1.9.Accelera1ia .. . .. .... . . .54

3.1.10. lnterpretareageometricdadistantei .....5g3.l.l1. Clasificareamigc5rilormecanice . . . . .. . . .59

3.2.Probleme .........623.2.1. Enunfuri ......623.2.2.Rispunsuri... .........653.2.3.Rezolvdri..... .........66

Capitolul 4Miqcarearectilinieuniformd ...........734.1. Breviar teoretic . . . . . . . . . . .73

4.2.Probleme .........764.2.1. Enunturi . . .. .. . ... . ..764.2.2.Rispunsuri... .........g04.2.3.Rezolvdri .....gl

Capitolul5Migcarearectilinieuniformvariatl .... .........995.1. Breviarteoretic. ....g95.2.Probleme .........93

5.2.1. Enun{rni ...... . . .g3

5.2.2.Rdspunsuri... .........965.2.3.Rezolv[ri .....96

Capitolul 6Principiilemecanicii. Tipuride forle .. ..........1056.1. Breviarteoretic. .....;. ..........105

6. 1. 1. Principiul inerfiei

6.1.2. Principiulfundamental ..... ....10i.6.l.3.Principiulsuprapuneriiforfelor :...., ....1106.1.4. Principiulacliunilorreciproce ..........1126.1.5. LegealuiHooke. For{aelastici .........1166.1.6. Forledefrecare .......l2l

4

.47

.48

6.1.7. Miqcareapeplaninclinat .......1256.1.8. Unghiuldefrecare .....1306.l.9.TransformareaGalilei .........1316.l.l0. Forfe de ine4ie*

6.2.Probleme ........1366.2.l.Enunturi ......1366.2.2.Rdspunsuri... ........1466.2.3.Rezolvdri .....146

CapitolulTMiqcareacorpurilorincdmpgravitationaluniform ........167T.l. Breviarteoretic.. .........167

7.1.1. Miqcarea pe verticald . . .167

7.1.2. Aruncarea pe orizontali

T.l.3.Aruncareapeoblici* ..........178T.l.4.Temdfacultativd: Parabolade siguranlS .,.......183

7.2.Probleme ........1877.2.1.Enunfuri.... .........1877.2.2.Rdspunsuri... ........1937.2.3-Rezolvdri .... ........1g4

Capitolul 8Migcareacircularbuniformd* . .........2138.1. Breviarteoretic.. .........2138.l.l.Cinematicamiqciriicirculareuniforme ..,.......2138.1.2. Dinamica migcdrii circulare ruriforme . . ' .216

8.2.Probleme ........2218.2.1. Enunfuri ... ' ' '221

8.2.2.Rdspunsuri... ........2238.2.3. Rezolvdri .. . . .223

Capitolulglegeaatraclieiuniversale* ......227g.l.Breviarteoretic ....227

g.l.l.Cdmpulgravitalional ....... ...228g.l.2.Tem6facultativd:Energiapotenfialdgravita1ional6,.......234

9.1.3.TemEfacultativd: SatelitiartifrcialiaiPimdntului ....;.. .........235g.2.Probleme ........237

9.2.1. Enunturi ......23'l9.2.2.Rdspunsuri... ........2409.2.3.Rezolvdri..... .......24I

Capitolul l0 Lucrul mecanic. Puterea. Energia mecanicd . . . . .249

10.1. Breviarteoretic. .........249

.54

.58

.59

.62

.62

.65

.66

73

73

76

76

.80

.81

93

93

.105

.105

........105w110

tt2116

12t

l0.1.l.Lucrulmecanic .........24g10.1.2. Putereamecanici .....25g10.1.3. Randamentul mecanic . . .26010. L4. Energia cineticd. Teorema varia{iei energiei cinetice . . . .26310.l.5.Energiapoten{iald ....26710.1.6. Energiamecanici. Legea conservdrii energiei mecanice . . . . .. . . .270

l0.2.Probleme.... ,..27610.2.l.Enun!uri.... .........27610.2.2.R.dspunsuri... ......,..2g910.2.3.Rezolvdri... .........28g

Capitolul ll Impulsulmecanic. Ciocniri .....32311.1. Breviarteoretic. .. . . .. . ..323

ll.l.l.Impulsulmecanic alpunctuluimaterial .........32311.1.2. Teorema varia{iei impulsului mecanic . . .324ll.l.3.Legeaconservdriiimpulsului .........32711.1.4.Ciocniri .......32811.1.5. Temd facultativi: Coeficientul de restituire . . . . . .337

ll.2.Probleme .........34111.2.1.Enunturi..... .........34111.2.2.Rispunsuri. ....,....346l1.2.3.Rezolviri..... .......346

Capitolul 12 Probleme recapihrlative . . .357

.........357 r

l2.2.Rezolvdri..... ....374Capitolul 13 Teste de evaluare pentru bacalaureat . . . . . . .413

l3.l.Subiecte ..,.......41313.1.1. Test l-Subiecte ......413l3.1.2.Test2-Subiecte .....41613.1.3.Test3 *Subiecte ....41g13.1.4. Test 4 - Subiecte . . . . .42013.1.5.Test5-Subiecre ....422

l3.2.Baremedeevaluare ginotare .......42413.2.l.Testl-Barem ..!... .........42413.2.2.Test2 -Barem13.2.3. Test3 -Barem .......4Zgl3.2.4.Test4-Barem ....43013.2.5.Test5 -Barem .........432

AnexdProgramadebacalaureat-ModululA. Mecanica .... . . .435Bibliografie ....437

Capitolul 1 Mirimi fizice gi uniti{i de misurfl

O mdrime fizicd descrie cantitativ o proprietate a unui co{p, a unei stdri sau a

unui c0mp. Aceasta poate fi fiilizatd, ca atare sau in relalii care exprimd

dependenle frzice.

Mdrimile fizice pot fi m[surate direct sau pot fi determinate prin calcul utilizindalte mbrimi mSsurabile, legdtwa dintre acestea fiind stabilitd prin intermediul

legilor fizice.

in continuare sunt prezentate o serie de consideralii teoretice referitoare lamdrimi fizice gi unitdti de mdsur6.

1.1. MIrimi fizice: misurareo reprezentare gi clasificare

Una dintre cele mai importante activitdli in frzicd este mdsurarea mirimilorftzice. Activitatea presupune luttltzarea unei metode de mdsurare, prin

intermediul cdreia se asociaz[ unei mdrimi fizice un numir real denumit

valoare, in raport cu o mdrime fizicd de referinli de aceeaqi nattnd, denumit[

unitate de mdsurd.

Definitie A mdsura o mdrime fizicd inseamni a stabili de cite ori se cuprinde in

ea o altd mdrime de aceeagi naturd, bine definiti qi aleasl prin convenlie drept

unitate de mdsurd.

rJzual, o mbrime fizicd este reprezentatd printr-un simbol, de reguli o literd din

alfabetul latin sau grecesc, inclusd adesea in denumirea mdrimii, e.9., I pentru

intensitatea curentului electric, o pentru efortul unitar.

1.1.1. Vslosre namericd Si anitute de mdsurd

Dacd A este simbolul unei mirimi frzice, a este valoarea sa numericS (notatd

uneori qi cu simbold {A}), iar lAl este unitatea de mdsur6, se poate scrie:

=4, A=a lAl sau A=a.lAl

Ansamblul format din valoarea numericd qi unitatea de mdsuri ale mirimiifizice alcdtuiesc valoarea cantitativd (pe scurt, valoarea) a acesteia. Ultimele

11

doud relalii dintre cele trei anterioare aratd cd.valoareaunei m[rimi fizice esteegal[ cu produsul dintre valoarea numerici qi unitatea de mdsurd utilizatd. Seimpun condifiile: (l) I 9i lAl sdaibI aceeaqi narurd Si(2) a*0 .

Dacd mdrimea fizicd I se m[soard, utilizlnd doui unitdli de mdsur6 diferite,[l], Si fAlr,rcnt\td:

a, _ ,tflql, _LAl, _ Ra2 AllAl, lAl,

Relalia ob{inutd aratd' cd raportul valorilor numerice ale unei marimi fizice esteegal cu inversul raportului unitdlilor de mdsuri utilizate.Numdrul R se numegtefactor (sau raport) de transformare. De exemplu, in cazul masei, dacd

LAl, = kg (kilogram) , iar lAl, = g (gram), se obline R =110, = 10-, .

in principiu, pentru fiecare mdrime fizicd se poate alege o unitate de misuriarbitrard, dar in acest caz legile fizice s-ar exprima prin formule care ar con{inecoeficienli numerici parazili, dependent de unitilile folosite, a$a cum se observain cele ce urmeaz6. se consideri mdrime a c , care se exprimi in func{ie demdrimile A qi B subforma C=A.,8. Sepoatescrie C=clCl, A=a tll Si

B = b lBl, renrltAnd clCl= ab lAl.lBl , adicd

- lAl.lBlt=- lC

'aD- P'aD

unde s-a notat

^ _lAl.l.Blu- rcl

Num5rul real p se numeqte coeficient parazit, valoarea lui depinzdnd de

unitd{ile de m[surd folosite.

Daci unitilile de misurd ale tuturor mdrimilor frzice ar fi alese arbitrar,coeficientii parazili neunitari ar complica relafiile existente intre acestea. Esteevident ci lucrurile se simplificd radical in situalia in care coeficienlii parazilisunt egali cu unitatea. in cazul descris mai sus, p = 1 gi, prin unnare, c = a .b .

De asemenea, se observi ci in acest caz lcl=lAl.[B], egalitate numitd relalie

I2

ede conditrie. Astfel, unitatea de mdsuri a mdrimii C nu mai este arbitrar[, ea

fiind derivati din unitdflle de m[surd ale mdrimilor B qi C .

1.1.2. Reguli pentru scrierea valorilor mdrimilor Jizice

Dupd cum s-a vdzttt, valoarea cantitativd (sau, pe scurt, valoarea) unei mbrimifrzice, A, este egal6 cu produsul dintre valoarea sa mrmericd gi unitatea de

mdsur6, A=alA). Pentru scrierea valorii m[rimilor fizice sunt utilizate

urmdtoarele reguli:

o in expresia care exprimd valoarea mirimii frzice, sirnbolul unitStrii de

mdsurd este pozilionat dupd valoarea numeric[ qi separat de aceasta

printr-un spa{iu. Excepfia este reprezentati de scrierea simbolurilorpentru unghiul plan (grad, minut, secund[). Se line seama cd la sfbrqitul

r0ndului nu este permis[ separarea valorii numerice de unitatea de

mdsur5;

o valoarea se exprimd folosind o singurd unitate de mdsur6, e.g.,

l:5,345m, nu sub forma l=5m34cm5mm. Exceplie de la reguli

face exprimarea duratelor de timp gi a unghiurilor plane (deqi este

preferabil sd se utilizeze qi in acest caz regula enunlatd, e.g., 13,200 in

loc de I3oI2');o nu este permisd adiugarea unor caractere la sirnbolul unitdlii de mdsurd,

cu scopul de apreciza informalii suplimentare despre valoarea mirimiiftzice, e.g., se va scrie FL,n = 25 N qi nu F = 25 N-i, .

Dac[ se doreqte si se indice numai valoarea numerici a mdrimii, se folosesc

acoladele, iar pentru precizarea unitdtii de mdsur6, se utllizeazd pararftezele

pdtrate. Astfel, pentru 1 = 10 A , se scrie {1} = 10 qi [11 : A. Ca regulfl generalfl

de scriere se foloseqte'. "ceea ce este variabil se scrie cursiv, iar ceea ce este

invariabil sau constant se scrie cu litere drept". Astfel, simbolul mdrimii fizice

se scrie folosind stilul de scris cursiv (italic), iar valoarea numericl qi sirnbolul

unitdtrii de mdsur[ se scriu folosind stilul normal (d1ept), dup6 cum se poate

constata in exemplul oferit anterior, dar qi in urmdtorul exemplu: m =5k9.

1.1.3. Reguli pentru efectuarea operuliilor ca mdrimiii'zice

Cu mdrimile frzice se pot efectua o serie de opera{ii matematice (e.g., adunare,

scidere, inmullire). in acest scop este necesard respectarea urmdtoarelor reguli:

-.{

ea unei mdrimi fizice este

ea de mdsuri utilizatd. Se

iQ) a+0.

unititr de misurd diferite,

rle unei mirimi fizice este

re. Numdrul R se numeqte

u in cazul masei, dacl

R:1 10r :10 t .

alege o unitate de mdsuririn tbrmule care ar confine

*Dsite. a$a cum se observd

r :e exprimi in funclie de

ie C= c LCl, A=a lAf qi

'almrea lui depinzdnd de

frzice ar fi alese arbitrar,d<rente intre acestea. Este

in cae coeficienlii parazili

[ 5r- prin unnare, c = a.b .

Bl. egalitate numiti relalie

t3

adunarea gi sciderea sunt posibile numai intre mirimi avdnd aceeaqinaturd, e.g., masd cu masi, forf5 cu forfi;inmullirea qi impdr[irea sunt posibile atdt pentru mirimi de aceeaqinahxd,, cat gi pentru mirimi av6nd naturi diferite, dar qi tipuri diferite(i.e., scalare gi vectoriale), e.g., m .i , F .i , F f * , F lS , mlV ;

deoarece unele funcfii, aga cum sunt eele trigonometrice (e.g., sin, cos,tg, ctg) gi exponen{ial5 se pot defini numai pentru valori numerice, estenecesar ca argumentele lor si fie mdrimi adimensionale (e.g., cos(a.t),sin(a;. t) , p .V, );diferenliala unei mdrimi are aceeaqi naturd cu mirimea insdgi (e.g. d/SiV,dpqip);extragerea radicalului dintr-o mdrime este posibild numai atunci c6ndaceasta este egald cu produsul a doud mdrimi de aceeaqi naturd (e.g.,

v=J;rt, ) sau cdnd sub radical se afl[ produsul unor mirimi avdnd

carezultat o mirime egali cu pdtratul altei mdrimi (e.g., v = ^,!Zgn S.

I. 1.4. Clasificarea mdrimilor jizice

Mdrimile fizice se clasificd dup[ mai multe criterii, in continuare fiindprezentate cele mai importante dintre acestea.

Din punct de vedere al modului de introducere intr-un domeniu al fizicii sedeosebesc:

o m6rimi fizice firndamentale;o m[rimi fizice derivate.

Mdrimile fizice fundamentale, nxnite qi independente sau primitive se definescdirect, prin interpretarea datelor experimentale, indicdnd unitatea de mdsurd qiprocedeul de mdsurare, acestea neputdnd fi definite cu ajutorul altor mirimi.

Mdrimile fizice derivate se introduc cu ajutoruJ celor fundamentale direct, prinrelaJii analitice de definilie sau prin legi fizice. De asemenea, m[rimile derivatese pot introduce prin intermediul altor mrrimi derivate. De exemplu, viteza seintroduce prin rela{ia analitici i = di ldt (in care / este vectorul de pozilie,avind dimensiuni de lungime, iar t este timpul), iar accelera{ia prin relalia

T4

ltre mdrimi avand aceea$i

pentru mdrimi de aceeaqi

ferite, dar qi tipuri diferite

F,l-, Fls , mlv ;

lonometrice (e.g., sin, cos,

entru valori numerice, este

rnsionaie (e.g., cos(a;. r),

u mirimea insigi (e.g. d/

rosibilS numai atunci cAnd

mi de aceeaqi naturd (e.g.,

LldLsul unor mdrimi avAnd

lrimi te.g.. , =,{zgh).

iterii. in continuare fiind

r-un domeniu al fizicii se

:e su pimirlie se detlnesc

o;pd rmitatea de mdsurd qi

u ajutoml altor mdrimi.

r fimdamentale direct, priniflrtsnea- marimile derivate

ale" De eremplu- viteza se

i este vectorul de pozifie,

iar accelera;ia prin relaJia

analitici d=dildt (in care i este viteza). in schimb, for{a se introduce in

cadrul principiului al doilea al mecanicii, prin F =md .

Ca gi mdrimile frzice, unitSlile de misuri se impart in dou6 categorii: unitdli

fundamentale qi unitdli derivate. Unitdtile derivate depind de cele fundamentaleprin aceleaqi relalii existente intre mdrimi.

Observatie Nu existb vreo lege a naturii care s[ impund alegerea anumitormdrimi drept fundamentale qi a unitdlilor de mdsurd corespunzdtoare sau care sd

precizeze numdrul acestora. in principiu, s-ar putea alege o singurd mdrimefizici fundamentald, restul fiind derivate. in practicd, se aleg cel puJin trei astfel

de mdrimi. Astfel, deoarece natura se manifestd in spa{iu qi timp, se aleg

lungimea qi timpul ca mdrimi fundamentale, la care se adaugd o mdrimecaracteristicl internd a materiei, cum este masa sau sarcina electricd. De

exemplu, in sistemul CGS (Gauss) sunt utilizVte trei unitbti fundamentale:

centimetru (C), gram (G) li secundS (S). Tot hei unitdtri sunt folosite insistemul MKS: metru ( m ), kilogram ( kg ), secundi ( r ). in schimb, in Sistemul

Interna{ional de unit6{i, SI, se aleg $apte unitdti fundamentale.

Ansamblul tuturor unitdlilor de mdsur6, fundamentale qi derivate, reprezint[ un

sistem coerent de unitdli de mdsurd. intr-un astfel de sistem, coeficientul parazit

neunitar este eliminat din majoritatea relaliilor dintre mdrimile fizice.

Din punct de vedere al existenfei proprietflfii de aditivitate se deosebesc:

o mirimi extensive;

r mdrimi intensive.

Mdrimile ftzice care se adund (adici sunt aditive) la reunirea a doud sisteme

fizice se numesc mdrimi extensive. Ca se exemple pot fi amintite mdrimi fizicedes utilizate, aqa cum sunt masa, lungimea, volumul, cantitalea de substanJ5,

sarcina electrici etc.

Mdrimile frzice intensive caracterizeazd local (i.e., punctual) un sistem fizic. De

aceea, la reunirea a doud sisteme frzice identice, mirimile intensivecaracteristice sistemului oblinut sunt egale cu cele care caracterizeazd fiecare

dintre sistemele componente. Dintre mirimile intensive pot fi amintitepresiunea, temperatura qi densitatea.

15

1.2. Sistemul Internafional de uniti{i de mlsuriEste foarte important ca rezlrltatele misurdrii sd fie exprimate intr-un ..limbaj,,

astfel incdt sd aib[ o semnificalie unicd pentru toat[ lumea, de pe toatemeridianele. Acesta este Sistemul Internalional de unitdli, cunoscut pe scurt caSistemul lnterna{ional, abreviat SI.

Sistemul Internalional a fost adoptat la axr-a Conferin{d Generald de Mdsuri giGreutifi (Paris, 1960). unitdtile de mdsurd incluse in SI sunt divizate in treiclase sau categorii:

o unit[ti fundamentale;o unititi derivate;o unitdtisuplimentare.

Aceste unitSli formeazd impreund un sistem coerent de unitdli de mdsurr. Deasemenea, in SI mai sunt incluse qi prefiie necesare pentru formarea multiplilorgi submultiplilor.

1.2.1. Mdrimifizice qi unitdli de mdsard.fundamentule

in sI sunt incluse qapte unitd{i de mdsurd fundamentale: metru (m), kilogram(kg), secundd (s), mol(mol), kelvin (K), amper (A) 9i candela (cd). Acestea suntunitdlile de mdsur[ ale celor celor gapte mdrimi fizice fundamentale (a se vedeaqi tabelul 1.1), cirora li se asociazd, tn simbol de dimensiune (jtrecizat incontinuare intre paranteze): lungime (l), masd (m), timp (t), cantitate desubstan{5 (u), temperatura absolutd (T), intensitatea curentului electric (I) gi

intensitatea luminoasd (J).

Tabelul l.l M[rimi fizice gi unitdli de mlsur[ fundamentale in SI

Nr.crt. Mirime fizici (m.f.) Simbol

m.f.Unitate de

misuri (u.m.)Simbol

u.m.

lungime metru m

2 masa m kilogram kgJ timp t secund[ s

4 cantitate de substanti mol mol5 temperaturd absolut5 T kelvin K6 intensitatea curentului electric I amper A7 Intensitatea luminoasi J candela cd

l6

i$ de misuri

exprimate intr-un "limbaj "toatd lumea, de pe toate

mitdsi, cunoscut pe scurt ca

ri4d Generald de Mdsuri gi

in SI sunt divizate in trei

r de unitati de mdsurS. De

peilru formarea multiplilor

*mle: retm (m), kilogrami candela (cd). Acestea sunt

r fimdamentale (a se vedea

b dirensiune (precizat inmt- tiry (t), cantitate de

:r cr.nEnnrlui electric (I) gi

i fr.rndamentale in SI

Metrul este definit (incepdnd cu 1961) pebaza lungimii de undd \, invid a

radialiei portocalii a izotopului kripton 86 (Kr86) latranzi\ia intre nivelele 2prc

gi 5d, : 1m = 1.650.763,73.?'"K,.

Secunda este definitd (incep6nd al 1964) pe baza perioadei T". a radialiei

emise de atomul de cesiu (Crttt) latranzi\ia intre cele dou[ niveluri hiperfine

ale stirii fundamentale a acestuia ('Sv, ), ls=9.192.631.770.Tc".

Kilogramul reprezintd masa unui decimetru cub de ap[ purd la temperatura de

4 oC . Molul este cantitatea de substan{d a unui sistem care conline un numdr de

entit[{i elementare (atomi, molecule, ioni, electroni etc) egal cu numdrul

atomilor care se afld in l2gde atomi ai izotopului ttc. Kelvinul reprezirftd

lf 273,16 din temperatura stirii triple a apei.

Amperul este intensitatea unui curent electric constant care menfinut in doud

conductoare paralele, rectilinii, infinit de lungi, cu secliune neglijabild, aqezate

in vid la distanla de un metru unul de altul, ar face ca acestea sd interaclioneze

cu o forfd de 2 .10-7 N pe fiecare metru de lungime.

Candela este intensitatea luminoasd, intr-o direc{ie datd, a unei surse care emite

o radialie monocromatic[ cu frecven]a de 540 .l}tt Hz qi a cirei intensitate

energeticd in aceasti direclie este de V683 watt pe steradian.

1.2.2. Mdrimifizice gi unitdtri de mdsurd d.erivate

Mirimile fizice derivate se exprimd - folosindu-le pe cele fundamentale -printr-o relalie de defini1ie. Ecualia dimensionald sa.u formula dimensionald a

unei mirimi derivate se obline inlocuind mdrimile fundamentale in relalia de

definilie prin simbolul de dimensiune corespunzdtor. in aceastd ecualie,

simbolul mdrimii derivate se introduce intre paranteze unghiulare, e.9., <v> ,

<e>, <F >. in continuare sunt oferite c6teva de exemple se scriere a ecua{iei

dimensionale pentru mirimi fizice derivate des intAlnite.

JinAnd seama cd definilia vitezei (in miqcarea rectilinie uniformd) este

v : Lxl Lt, ecuafia dimensionald a vrtezeieste < v >= ll t = I . t-t (se line seama

cd deplasarea Lx este o lungime, iar durata deplasdrii A/ este un timp). De

asemenea, definilia acceleraliei (in migcarea rectilinie uniform acceleratd) este

f ritrte dedsri (u.m.)

Simbolu.m.

EINT m

lryan kg

xnrli S

nl mol

Ehin K

4rEr A

Ede'la cd

l7

a = Lvl\t (in care variafia vitezei Av este ea insigi o vitezd), iar ecuafia

dimensionald a accelera[iei este < a >= <v >lt = I .t-, .

DacE relalia de definilie conline un factor numelic, diferenliale sau derivate aleunor mdrimi, factorul numeric, precum gi simbolul diferenfialelor (e.g. d) qi/sausimbolul derivatelor (ca in exemplul avlar) se ignori cdnd se stabilegteecua[ia dimensionali. De exemplu, relalia de definitie a energiei cinetice esteE" = mv' 12 , iar ecuafia dimensional d, a acesteia este

1E")=m'<v>':m'lt'tt (s-a ignorat factorul numeric /2). Rela{ia de

definifie a lucrului mecanic este dr = F 'ff , iar ecta[iadimensionald a acesfuiaeste < L>-<F >'l=m.lt .t-2 (s-a ignorat simbolul diferenlialei, d), deoarece<F >=m.<a>=m.l.tt .

in general, in SI, ecua{ia dimensionali'a unei mirimi fizice derivate A seexprimd sub forma:

<A>-1" .mF .tr .V6 .Tu .Io . J.in care d, f , T, 5, 6 , t , qi al sunt numere ralionale, acestea reprezentdnd

dimensiunea mdrimii fizice A in raport cu mdrimile fizice fundamentale.

Dacd mdrimea frzicd derivatd este definitl in cadrul mecanicii, aceasta se scriefolosind primele trei mirimi fizice fundamentale, respectiv l, m qi t(exponenlii a, F gi y xrnt numere ?ntregi). Fie doui astfel de mirimi, notateA Si B, avdnd formulele dimensionale:

Egatitatea<A4>=<;:::';:-';';::=r,:,,i^,J"',","r"dou6mdrimiinraport cu aceeaqi m[rime fundamentald sunt egale, i.e. dr=dz, Fr= F, $i

Tt = Tz. Aceste egalitdqi exprimd principiul omogenitdlii dimensionale a

formulelor fizice. o formula corectd este ?ntotciFauna omogend dimensional. Seobservi cd doui mlrimi cu naturi diferite pot avea in SI aceleagi dimensiuni(e.g., lucrul mecanic Ai momentul fortei).

unititile de mdsurd derivate se scriu in func{ie de unit[file fundamentaleutiliz0nd aceleagi relafii stabilite intre mdrimile fizice derivate gi mlrimilefundamentale. o unitate derivatd se noteaz[ punAnd in parantezd, pdtratd,

l8

sa9i o vitezd), iar ecualia

liferenliale sau derivate ale

ferenlialelor (e.g. d) gi/sau

ignord cdnd se stabilegte

;ie a energiei cinetice este

a acesteia este

srrmeric /2 ). Rela{ia de

gia dimensionalS a acestuia

dif-erenlialei, d ), deoarece

rimi frzice derivate I se

^.J

nale. acestea reprezentdnd

i;6s fundamentale.

mecanicii. aceasta se scrie

:- respecfir- /, m qi tni5 asrfel de mdrimi, notate

e-'- -t 1

unrlg gglsl doud mdrimi in. i-e- a-.:a., fr= F, $i

ryefitayii dimensionale a

r ornogend dimensional. Se

in SI aceleagi dimensiuni

de unitdtrile fundamentale

rzice derivate qi mirimilerind in parantezd pdtratd,

simbolul mdrimii ftzice, iar ca indice simbolul SI, precizdnd astfel sistemul de

unititri de mdsuri utllizat, adicd Sistemul Internafional; e.g. cu [v]r, se noteazS

unitatea de misuri a vitezei. Ecualia unitdlii de mdsurd se obline inlocuind inecua{ia dimensional5 mdrimile fizice fundamentale cu unit[trile 1or. Iati cAteva

exemple:

o lindnd seama cd ecualia dimensionald pentru vitezd este < v >= I .t-' ,

ecualia unitilii pentru vitezd va fi [v]r, = m .s 1 i

o in cazttl acceleraliei, ecua{ia dimensional[ este < a>- I .t-2 , iar ecua{ia

unitilii de mdsur[ va fi [a]r, = m.s-2 ,

o ecuatria dimensionalS pentru forfd este < F >- I - m.t t , iar ecualia

unitdtii de mdsurd va fi [F]r, = m.kg .s-2 .

Analiza dimensionali permite determinarea unor formule sau legi frzice,plecAnd de la constat[ri experimentale gi utilizAnd principiul omogenitiliidimensionale a forrnulelor fizice. De exemplu, se gtie din experienfd c[ perioada

unui pendul gravitatrionil, T, depinde de lungimea sa, l, gi de acceleratia

gravitalional[, g. Se poate scrie Z=coost..l".gp, unde d. gi B sunt

constante numerice. Trec6nd la dimensiuni, se poate scrie

<T >=1" . (1. t-')o =ld+B . [2P. Indentificdnd exponenlii, se obline 0 = a + F qi

l=-2f, de unde a=-12 gi B=-112. Rezult[ ci perioada pendulului

gravitafional are expresia Z: const. Ji;

1.2.3. Unitdli de mdsurd suplimentare

in SI sunt fiilizate doud unitili de misurd suplimentare, anume radianul (pentru

unghiul plan) li steradianul (pentru unghiul solid).

Radianul (avdnd simbolul raQ este unghiul plan cu vArful in centrul unui cerc,

care delimiteazd pe circumferinla acestuia un arc a cdrui lungime este egald cu

raza cercufui. Steradianul (avdnd simbolul sr) este unghiul solid care, avAnd

virful in centrul unei sfere, delimiteazd pe suprafala acesteia o suprafa{d a cdrei

arie este egali cu cea a unui pdtrat cu latura egald cu razasferei.

Observatie Unitdtile SI suplimentare sunt considerate a fi unitSli derivate

adimensionale (cu valoarea unu, avdnd sirnbolul 1). in practicS, atunci cAnd se

exprimb valoarea unei m[rimi derivate care confine unghiul plan sau unghiul

t9

solid, pentru o mai bund in{elegere, in locul numirului I se utilizeazi,denumirile speciale (simbolurile) radian (rad) gi steradian (sr). De exemplu, cutoate ci valoarea vitezei unghiulare a=a,?lLt (aceasta fiind raportul dintre

unghiul plan qi timp) poate fi exprimatd in unitatea de misurd s-' , in practicd sepreferd unitatea radf s.

Se poate face o clasificare a unitdlilor de mdsurd derivate in patru categorii, infuncfie de modul de scriere a acestora, astfel:

unitSli derivate care se scriu in funcfie de unit6{i fundamentale, e.g. 3,S

m kg.s" m"

unit5li derivate care se scriu in funclie de uniti{i fundamentale, av6nd

denumiri speciale, e.g., N = kg

= (newton), pa = \- = kg

=S, \--- ..----l, m, - m.S,

t)

(pascal), .; = K8'm-

fioule);- s2

unitdli derivate care se scriu in funcfie de unitdli cu denumiri speciale gi

unitdlifundamentale, e.g., {, N.-, r, #, *, #, *,

o unitdli derivate care se scriu in funclie de unitili suplimentare li unit[ti

fundamentale, e.g. 14, 4, Y .ss"srobservatie unitltile de mdsurd care poarti numele unui om de qtiinji se scriucu literd mic6, iar simbolurile cu literd mare, e.g., newton (N), amper (A), pascal(P), kelvin (K), joule (J), volt (V), farad (F), coulomb (C), watt (W), ohm (O),weber (Wb), tesla (T), henry (H),hertz(Hz), becquerel (Bq).

Orice unitate derivatl poate fi exprimatd utilizdnd, modalitIli diferite, foloSindunitili fundamentale sau unitdti derivate care poarid, denumiri speciale. inpracticd, pentru a deosebi mirimile care au aceeaqi exprimare in func{ie deunitdlile fundamentale, se preferdutllizareaunitdtilor cu denumiri speciale sau acombinatiilor de unit[1i. De exemplu, unitatea de mdsurd a frecventei se

exprimd mai degrabd prin hertz (Hz) decOt prin unu pe secundd (/s=s-'). in

20