3

Mat

emat

ică.

Cla

sa a

V-a

Leon PIŢU Gabriela ZANOSCHI

aritmetică algebră geometrie clasa a V-a ediţia a V-a, revizuită

mate 2000 – standard

EDITURA PARALE

LA 45

8

Mat

emat

ică.

Cla

sa a

V-a

Capitolul I. NUMERE NATURALE

Competenţe specifice: Identificarea caracteristicilor numerelor naturale şi a formei de scriere a unui număr natural în contexte variate

1. Scrierea şi citirea numerelor naturale în sistemul de numeraţie zecimal

● Scrierea numărului natural n:

Vom citi (de la stânga la dreapta):

n = 4 sute 3 zeci şi 7 de milioane, 8 sute 9 zeci şi 5 de mii şi 1 sută 2 zeci şi 6 (unităţi).

● Pentru scrierea unui număr natural n folosim cifrele („arabe”): 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

● În funcţie de felul în care scriem un număr natural, folosim un sistem zecimal şi un sistem poziţional.

Trecerea de la un ordin de mărime la ordinul superior se face după 10 unităţi de ordin inferior: baza (de numeraţie) zece.

Numărul m se descompune în baza 10 astfel:

Exemple: 1. ab = 10 a + b, a, b cifre, a 0; 2. abc = 100 a + 10 b + c;

3. abcd = 1 000 a + 100 b + 10 c + d.

PE-PP

PP

CLASA

milioanelor

unităţi

unităţilor

n = 4 3 7 8 9 5 1 2 6

zeci

sute

ORDIN

miilor

descompunerea lui m în baza 10

m = 2 3 1 0 7 =

= 2 10 000 + 3 1 000 + 1 100 + 0 10 + 7

EDITURA PARALE

LA 45

20

Mat

emat

ică.

Cla

sa a

V-a

Capitolul II. OPERAŢII CU NUMERE NATURALE (I)

Competenţe specifice: Utilizarea operaţiilor aritmetice şi a proprietăţilor acestora în calcule cu numere naturale Selectarea şi utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operaţiilor cu numere naturale Deducerea unor proprietăţi ale operaţiilor cu numere naturale pentru a estima sau pentru a verifica validitatea unor calcule

1. Adunarea numerelor naturale; proprietăţi

Adunarea numerelor naturale este operaţia care asociază unei perechi de numere naturale a şi b suma lor, notată a + b; a şi b se numesc termenii adunării. Exemplu: 4 + 8 = 12

Proprietăţi: 1. Comutativitatea: a + b = b + a

Suma a două numere naturale nu se modifică dacă se schimbă ordinea termenilor. 2. Asociativitatea: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c

Putem asocia oricum doi din cei trei termeni ai unei adunări, fără a modifica suma lor. 3. Elementul neutru: a + 0 = 0 + a = a

Observaţie: Dacă se adaugă sau se elimină termeni egali cu zero, suma nume-relor nu se modifică.

Probleme rezolvate

1R Un ceas digital afişează 23:45. Peste cât timp va afişa din nou patru numere consecutive?

Rezolvare: 01:23 va fi următorul afişaj cu proprietatea cerută. Peste 1 oră şi 38 de minute.

2R Determinaţi suma primelor n numere naturale nenule.

Rezolvare: Cunoscută şi sub numele de suma lui Gauss, egalitatea: 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1) : 2

este foarte utilă în probleme. Demonstraţia cea mai simplă a formulei presupune scrierea sumei şi în ordine descrescătoare a termenilor: S = 1 + 2 + … + n; S = n + (n 1) + … + 1 şi însumarea celor două egalităţi: 2S =

de ori

( 1) ( 1) ... ( 1)n

n n n ; 2S = n (n + 1), de unde S =

= n(n + 1) : 2.

3R Determinaţi toate numerele naturale de două cifre cu suma cifrelor cel mult 3.

Rezolvare: Fie ab numărul căutat, a, b cifre, a 0. Condiţia impusă este a + b 3. Numerele care verifică sunt 10, 11, 12, 20, 21, 30.

PE-PP

PE

PP

EDITURA PARALE

LA 45

146

Mat

emat

ică.

Cla

sa a

V-a

Capitolul X. ELEMENTE DE GEOMETRIE

Competenţe specifice: Identificarea unor elemente de geometrie Caracterizarea prin descriere şi desen a unei configuraţii geometrice date Interpretarea unei configuraţii geometrice în sensul recunoaşterii elementelor ei şi a relaţionării cu unităţile de măsură studiate

1. Punctul şi dreapta

Punctul şi dreapta sunt noţiuni primare de geometrie. Ele nu se definesc, dar pot fi descrise.

Punctul se reprezintă prin atingerea vârfului unui creion bine ascuţit de foaia de scris. Convenim să notăm punctele cu litere mari ale alfabetului latin (A, B, C, M etc.) şi să le reprezentăm ca în figura 1.

Dreapta este formată din puncte şi, intuitiv, se reprezintă printr-un fir de aţă foarte subţire întins la nesfârşit în ambele sensuri. Se notează cu litere mici ale alfabetului latin (a, b, c, d etc.) şi este reprezentată ca în figura 2.

Dreptele sunt mulţimi de puncte. Pentru a indica faptul că un punct se află pe o dreaptă, folosim simbolul „” (aparţine), iar pentru a indica faptul că un punct nu se află pe o dreaptă folosim simbolul „” (nu aparţine).

Exemplu: Poziţiile punctelor A, B, C, D faţă de dreapta d din figura 3 se descriu astfel:

A d, B d, C d, D d.

Probleme rezolvate 1

R Copiaţi figura pe caiete şi completaţi cu sau , astfel încât următoarele propoziţii să fie adevărate:

a) C … a; b) F … a; c) E … BA; d) B … AC; e) B … b. Rezolvare: a) C a; b) F a; c) E BA; d) B AC; e) B b.

PE-PP

PE

PP

A

C Fig. 1

a

d

Fig. 2

Fig. 3

D

B

A

d

C

E

B A C

F

a

b

EDITURA PARALE

LA 45

254

Mat

emat

ică.

Cla

sa a

V-a

Cuprins

TESTE INIŢIALE .............................................................................................................. 5

Capitolul I. NUMERE NATURALE 1. Scrierea şi citirea numerelor naturale în sistemul de numeraţie zecimal ....................... 8 2. Şirul numerelor naturale. Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor ......... 11 3. Compararea şi ordonarea numerelor naturale .............................................................. 13 4. Aproximarea numerelor naturale. Rotunjiri. Probleme de estimare ............................ 15 5. Recapitulare şi sistematizare prin teste ....................................................................... 16 6. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ....................................................... 18

Capitolul II. OPERAŢII CU NUMERE NATURALE (I) 1. Adunarea numerelor naturale; proprietăţi ................................................................... 20 2. Scăderea numerelor naturale ....................................................................................... 22 3. Înmulţirea numerelor naturale; proprietăţi .................................................................. 24 4. Factor comun ............................................................................................................... 26 5. Ridicarea la putere cu exponent număr natural a unui număr natural ......................... 28 6. Compararea puterilor ................................................................................................... 30 7. Operaţii cu puteri ale numerelor naturale (extindere) ................................................. 31 8. Ultima cifră a unui număr natural. Ultima cifră a unei puteri a unui număr natural ... 34 9. Recapitulare şi sistematizare prin teste ....................................................................... 36 10. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ..................................................... 38

Capitolul III. OPERAŢII CU NUMERE NATURALE (II) 1. Împărţirea cu rest zero a numerelor naturale, când împărţitorul are mai mult de o cifră .......................................................................................................................... 40 2. Împărţirea cu rest a numerelor naturale ....................................................................... 42 3. Ordinea efectuării operaţiilor ...................................................................................... 45 4. Media aritmetică a două numere naturale cu rezultat număr natural ........................... 47 5. Noţiunea de divizor; noţiunea de multiplu .................................................................. 48 6. Divizibilitatea cu 2, 5, 10 ............................................................................................ 50 7. Recapitulare şi sistematizare prin teste ....................................................................... 52 8. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ....................................................... 54

Capitolul IV. ECUAŢII ŞI INECUAŢII ÎN 1. Ecuaţii în ................................................................................................................ 55 2. Inecuaţii în ............................................................................................................. 57 3. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor şi al inecuaţiilor ................................ 58 4. Recapitulare şi sistematizare prin teste ....................................................................... 61 5. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ....................................................... 62

Capitolul V. MULŢIMI 1. Mulţimi: descriere, notaţii, element, relaţia de apartenenţă ........................................ 63 2. Mulţimi finite, mulţimi infinite, , * ........................................................................ 66 3. Relaţii între două mulţimi. Submulţime ...................................................................... 68 4. Operaţii cu mulţimi: reuniune, intersecţie, diferenţă ................................................... 71 5. Recapitulare şi sistematizare prin teste ....................................................................... 75 6. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ....................................................... 77 EDITURA P

ARALELA

45

255

Mat

emat

ică.

Cla

sa a

V-a

Capitolul VI. FRACŢII ORDINARE 1. Fracţii ordinare. Noţiuni introductive .......................................................................... 79 2. Fracţii subunitare, echiunitare şi supraunitare ............................................................. 81 3. Fracţii echivalente. Amplificarea şi simplificarea fracţiilor ........................................ 84 4. Aflarea unei fracţii dintr-un număr natural. Procente.................................................. 87 5. Reprezentarea pe axa numerelor a unei fracţii ordinare .............................................. 89 6. Adunarea şi scăderea unor fracţii ordinare care au acelaşi numitor ............................ 91 7. Înmulţirea fracţiilor ordinare (extindere)..................................................................... 93 8. Împărţirea fracţiilor ordinare (extindere)..................................................................... 95 9. Compararea şi ordonarea fracţiilor ordinare (extindere) ............................................. 97 10. Recapitulare şi sistematizare prin teste.................................................................... 101 11. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ................................................... 104

Capitolul VII. NUMERE RAŢIONALE POZITIVE. FRACŢII ZECIMALE (I) 1. Scrierea fracţiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10, sub formă de fracţii zecimale. Transformarea unei fracţii zecimale, cu un număr finit de zecimale nenule, într-o fracţie ordinară .................................................................................................... 106 2. Aproximări ale fracţiilor zecimale la ordinul zecimilor/sutimilor ............................. 110 3. Compararea şi ordonarea fracţiilor zecimale. Reprezentarea pe axa numerelor a fracţiilor zecimale ....................................................................................................... 112 4. Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale care au un număr finit de zecimale ........... 114 5. Înmulţirea fracţiilor zecimale care au un număr finit de zecimale nenule................. 115 6. Ridicarea la putere cu exponent natural a unei fracţii zecimale cu număr finit de zecimale .................................................................................................................... 117 7. Recapitulare şi sistematizare prin teste ..................................................................... 119 8. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ..................................................... 121

Capitolul VIII. NUMERE RAŢIONALE POZITIVE. FRACŢII ZECIMALE (II) 1. Împărţirea a două numere naturale cu rezultat fracţie zecimală. Transformarea unei fracţii ordinare într-o fracţie zecimală. Periodicitate .................... 122 2. Împărţirea unei fracţii zecimale finite la un număr natural nenul. Împărţirea unui număr natural la o fracţie zecimală finită. Împărţirea a două fracţii zecimale finite ..... 124 3. Transformarea unei fracţii zecimale într-o fracţie ordinară ....................................... 126 4. Ordinea efectuării operaţiilor .................................................................................... 127 5. Media aritmetică a două fracţii zecimale finite ......................................................... 129 6. Probleme de matematică aplicată în viaţa cotidiană .................................................. 130 7. Recapitulare şi sistematizare prin teste ..................................................................... 132 8. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ..................................................... 134

Capitolul IX. ECUAŢII ŞI INECUAŢII ÎN 1. Ecuaţii ....................................................................................................................... 135 2. Inecuaţii ..................................................................................................................... 138 3. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor ......................................................... 140 4. Recapitulare şi sistematizare prin teste ..................................................................... 142 5. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ..................................................... 144

Capitolul X. ELEMENTE DE GEOMETRIE 1. Punctul şi dreapta ...................................................................................................... 146 2. Segmente. Semidrepte. Lungimea unui segment ...................................................... 148 3. Unghiul şi triunghiul ................................................................................................. 151 EDITURA P

ARALELA

45

256

Mat

emat

ică.

Cla

sa a

V-a

4. Patrulaterul. Cercul .................................................................................................... 154 5. Simetria. Translaţia ................................................................................................... 157 6. Cubul şi paralelipipedul dreptunghic ........................................................................ 163 7. Recapitulare şi sistematizare prin teste ..................................................................... 166 8. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ..................................................... 169

Capitolul XI. UNITĂŢI DE MĂSURĂ 1. Unităţi de măsură pentru lungime; transformări ....................................................... 171 2. Unităţi de măsură pentru arie; transformări............................................................... 173 3. Unităţi de măsură pentru volum şi capacitate; transformări ...................................... 176 4. Unităţi de măsură pentru masă şi timp; transformări ................................................ 178 5. Unităţi monetare; transformări .................................................................................. 181 6. Recapitulare şi sistematizare prin teste ..................................................................... 182 7. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ..................................................... 184

Capitolul XII. DETERMINAREA PERIMETRELOR, A ARIILOR ŞI A VOLUMELOR

1. Perimetre ................................................................................................................... 186 2. Arii ............................................................................................................................ 188 3. Volume ...................................................................................................................... 191 4. Recapitulare şi sistematizare prin teste ..................................................................... 193 5. Probleme pentru pregătirea concursurilor şcolare ..................................................... 196

MODELE DE TEZE SEMESTRIALE Modele de teză – semestrul I ......................................................................................... 198 Modele de teză – semestrul al II-lea .............................................................................. 201

TESTE FINALE ............................................................................................................. 206

INDICAŢII ŞI RĂSPUNSURI .............................................................................................. 210

EDITURA PARALE

LA 45