Geometrie Descriptiva IEI1 2008-2009

Universitatea Dunrea de Jos

GEOMETRIE DESCRIPTIVElena MEREU, Mdlina Alice RUS, Silvia VEREIU

Departamentul pentru nvmnt la Distan i cu Frecven Redus Galai 2008

Departamentul pentru nvmnt la Distan i cu Frecven Redus Facultatea de Mecanic Specializarea: Inginerie economic industrial Anul de studii: I

Cuvnt nainte

CUVNT NAINTELucrarea se adreseaz studenilor din anul I, nvmnt cu frecven redus, specializarea: Inginerie Economic, n a crui plan de nvmnt este inclus aceast disciplin fundamental. n lucrare sunt prezentate conceptele de baz ale geometriei descriptive, structurate n nou capitole. Sunt prezentate, mai nti, extrase din standardele generale de reprezentare n construcia de maini, apoi cteva construcii geometrice necesare pentru formarea deprinderilor de utilizare a instrumentelor de desenat, iar urmtoarele capitole sunt dedicate principalelor noiuni cu care opereaz geometria descriptiv, n mod gradual, plecnd de la reprezentarea n epur, a punctului, trecnd apoi la drepte i la plane, pentru ca n final s se realizeze reprezentarea corpurilor, secionarea lor cu plane, intersectarea lor cu drepte, precum i intersectarea corpurilor ntre ele, n scopul obinerii modelelor compuse. Dintre metodele geometriei descriptive, este prezentat metoda rabaterii, util pentru reprezentrile din desenul tehnic. Noiunile teoretice sunt nsoite de ntrebri i de probleme propuse pentru rezolvare.

Autorii

Geometrie Descriptiv

3

Standarde generale privind reprezentrile n construcia de maini

CAPITOLUL 1 - STANDARDE GENERALE PRIVINDREPREZENTRILE N CONSTRUCIA DE MAINI 1.1. Linii utilizate n desenul tehnic - ISO 128-20:1996 1.1.1. Tipuri i clase de grosimen standardul ISO 128-20:1996 sunt prezentate liniile de baz utilizate n desenul tehnic i variaii ale acestora, aa cum este artat n tabelul 1.1 (extras din standard). Nr.(cod) 01 02 03 04 10 05 12 07 Aspect Tabelul 1.1 Denumire Linie continu (continuous line) Linie ntrerupt (dashed line) Linie punct (dashed dotted line) Linie dou puncte (dashed doubledotted line) Linie punctat (dotted line) Linia continu ondulat uniform (uniform wavy continuous line) Linia continu n spiral uniform (uniform spiral continuous line)

Pentru linia ntrerupt, linia punct i linia dou puncte, lungimea segmentelor, a distanelor dintre acestea, respectiv a distanelor dintre segmente i puncte sunt diferite, n funcie de codul liniei. n vechiul standard, STAS 103-84 se stabilesc tipurile, clasele de grosime, ct i regulile de execuie ale liniilor utilizate n desenul tehnic. Astfel, liniile se clasific n patru tipuri: linie continu; linie ntrerupt; linie punct; linie dou puncte. n funcie de grosime, liniile se mpart n dou clase de grosime: linie groas i linie subire. Fiecare linie, de un anumit tip i de o anumit clas de grosime, sau o combinaie a celor dou clase, se simbolizeaz printr-o liter majuscul, conform tabelului 1.2.

Denumirea liniei Linie continu groasGeometrie Descriptiv

Tip A

Tabelul 1.2 Cazuri de utilizare Aspectul liniei (exemple) contururi i muchii reale vizibile

5


Linie continu subire B -

C Linie continu subire: - ondulat - n zig-zag D

Linie ntrerupt: - groas - subire E F Linie-punct subire G Linie-punct groas J Linie-dou puncte subire K -

muchii fictive vizibile; linii de cot, ajuttoare i de indicaie; hauri; conturul seciunilor suprapuse; reprezentarea simplificat a liniilor de ax (scurte); linii de fund la filetele vizibile; linii teoretice de ndoire pe reprezentrile desfurate ale obiectelor. linii de ruptur pentru delimitarea vederilor i seciunilor n orice material, cu excepia lemnului i numai dac limita respectiv nu este o linie de ax; linii de ruptur n lemn. contururi i muchii reale acoperite. linii de ax; suprafaa de rostogolire pentru roi dinate; traseele planelor de simetrie; traiectorii. traseele planelor de secionare indicarea suprafeelor cu prescripii speciale (tratamente termice, de suprafa etc.) conturul pieselor nvecinate; pri situate n faa planului de secionare; liniile centrelor de greutate, cnd acestea nu coincid cu

Linie-punct mixt

H


6


-

liniile de ax; poziii intermediare i extreme de micare ale pieselor mobile.

1.1.2. Grosimea liniilorGrosimea de baz, notat cu b, este grosimea liniei continue groase (A) i se alege din urmtorul ir de valori standardizate: 2; 1.4; 1.0; 0.7; 0.5; 0.35; 0.25; 0.18, n funcie de mrimea, complexitatea i natura desenului. Raportul dintre grosimea de baz, b i grosimea liniei subiri, b1, trebuie s fie de minimum 2. Pe acelai format, pentru toate proieciile liniile subiri i cele groase trebuie trasate cu aceeai grosime. Modul de utilizare a diferitelor tipuri de linii n desenul tehnic industrial este exemplificat n figura 1.1.

Fig.1.1

1.1.3. Reguli de execuie a liniilor1. Liniile punct i liniile-dou puncte ncep, se termin i se intersecteaz dup segmente. 2. n cazul liniei ntrerupte, liniei-punct i liniei-dou puncte, lungimea segmentelor i intervalele dintre acestea trebuie s fie uniforme. Schimbarea direciei unor astfel de linii se face ntotdeauna pe segmente (fig.1.2).

Fig.1.2 Standardul SR EN ISO 128-21:2002 prezint modul de reprezentare a liniilor descrise n standardul ISO 129-20:1996, utilizate n sistemul CAD.


7


1.2. Scrierea standardizat - SR EN ISO 3098/02:2002Pentru scrierea cotelor, simbolurilor sau textelor pe desenele tehnice se utilizeaz literele latine, greceti sau chirilice, ct i cifrele arabe sau romane. Se utilizeaz dou moduri de scriere: a) scriere nclinat (cu caractere nclinate la 750 spre dreapta); b) scriere dreapt (cu caractere perpendiculare fa de linia de baz a rndului). Dimensiunea nominal a scrierii este nlimea h a literelor majuscule i a cifrelor, exprimat n mm i se alege din irul nlimilor standard: 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20 mm, ct i oricare alt nlime obinut prin amplificarea mrimilor anterioare cu 10n (n = 1,2k). n funcie de grosimea liniei utilizate, se stabilesc dou tipuri de scriere: - scriere tip A (scrierea ngust), cu grosimea liniei de scriere aproximativ egal cu (1/14)h. - scriere tip B (scriere normal), cu grosimea liniei de scriere aproximativ egal cu (1/10)h. Pe un desen sau pe toate desenele unei documentaii tehnice trebuie utilizat acelai tip de scriere. Grosimile liniei de trasare, calculate n funcie de dimensiunea nominal sunt prezentate n tabelul 1.3. Tabelul 1.3 Grosimea liniei de trasare (n mm) A(1/14) B(1/10) 0.18 0.25 0.25 0.35 0.35 0.5 0.5 0.7 0.7 1.0 1.0 1.4 1.4 2.0

Dimensiunea nominal a scrierii (n mm) 2.5 3.5 5 7 10 14 20

Elementele caracteristice celor dou tipuri de scriere, n funcie de dimensiunea h a scrierii sunt indicate n tabelul 1.4 i n figura 1.3. Elemente caracteristice nlimea literelor mari i a cifrelor (h) nlimea literelor mici (c1) Grosimea liniei de scriere (d) Distana ntre dou litere ale unui cuvnt, dou cifre ale unui numr sau ntre o liter i o cifr ale unui simbol (a)Geometrie Descriptiv

Tabelul 1.4 Tip A Tip B (14/14)h (10/10)h (10/14)h (7/10)h (1/14)h (1/10)h (2/14)h (2/10)h

8


Distana minim ntre dou cuvinte sau dou numere alturate (e) Distana minim ntre liniile de baz a dou rnduri succesive, la dou reele complete Distana ntre liniile de baz pentru indici, fa de linia de baz a rndului Distana ntre liniile de baz pentru exponeni, fa de linia de baz a rndului Distana minim ntre liniile de baz a dou rnduri (b1) (b2) (b3) Distana ntre litere i diacritice (f)

(6/14)h (20/14)h

(6/10)h (14/10)h

(3/14)h (8/14)h

(2/10)h (6/10)h

(25/14)h (21/14)h (17/14)h (5/14)h

(19/10)h (15/10)h (13/10)h (4/10)h

Fig 1.3 Observaii: 1. Dimensiunile indicilor i exponenilor nscrii pe desen sunt n general egale cu jumtate din dimensiunile literelor i cifrelor care sunt afectate de indice sau exponent, dar nu mai mici de 2,5 mm (fig. 1.4 i 1.5).

Fig.1.5 2. Dimensiunea scrierii toleranelor este 0,50,6 din dimensiunea nominal a cotelor;

Fig.1.4


9


Scriere nclinat tip A Fig.1.6

Scriere dreapt tip A

Scriere nclinat tip B Fig.1.7

Scriere dreapt tip B

1.3. Formatele desenelor tehnice - ISO 5457:1999Prin ISO 5457:1999 se stabilesc dimensiunile, modul de notare, regulile de prezentare i utilizare a formatelor. Formatul reprezint spaiul delimitat pe coala de desen printr-un chenar, necesar decuprii copiei desenului original. Acest contur, avnd dimensiunile (a1 x b1), se execut cu linie continu subire (fig.1.8).


10


1

1

2

10 a1 a3 a2

b1

20

2

b2 b1 b3

a2 a1 a3

Formatele A0.A3 Fig.1.8

Formatul A4

1 - este conturul pentru decuparea desenului original (marginea formatului, a3 x b3) i se traseaz cu linie continu subire. 2 - este spaiul util pentru desenare, cu dimensiunile a2 x b2 Formatele se aleg n urmtoarea ordine de preferin: a) Formatele seria A, sunt formate prefereniale (de baz) i sunt alese din seria principal A, conform ISO 216 (tabelul 1.5). Tabelul 1.5 a3 x b3 (mm) 880 x 1230 625 x 880 450 x 625 330 x 450 240 x 330

Simbol A0 A1 A2 A3 A4

a1 x b1 (mm) 841 x 1189 594 x 841 420 x 594 297 x 420 210 x 297

a2 x b2 (mm) 821 x 1159 574 x 811 400 x 564 277 x 390 180 x 277

b) Formatele alungite speciale, se obin prin alungirea dimensiunii a1 a formatelor din seria A, ISO, astfel nct lungimea (dimensiunea b1) formatului alungit s fie un multiplu ntreg al dimensiunii a1 a formatului de baz ales. Simbol A3 x 3 A3 x 4 A4 x 3 A4 x 4 A4 x 5 a1 x b1 (mm) 420 x 891 420 x 1189 297 x 630 297 x 841 297 x 1051

c) Formatele alungite excepionale, se pot obine prin alungirea dimensiunii a1 a formatelor din seria A, ISO, astfel nct lungimea (dimensiunea b1) formatului alungit s fie un multiplu ntreg al dimensiunii a1 a formatului de baz ales (tabelul 1.6).


11

b2

b3

20

10


Tabelul 1.6 Simbol A0 x 2 A0 x 3 A1 x 3 A1 x 4 A2 x 3 A2 x 4 A2 x 5 a1xb1 (mm) 1189 x 1682 1189 x 2523 841 x 1783 841 x 2378 594 x 1261 594 x 1682 594 x 2102 Simbol A3 x 5 A3 x 6 A3 x 7 A4 x 6 A4 x 7 A4 x 8 A4 x 9 a1xb1 (mm) 420 x 1486 420 x 1783 420 x 2080 297 x 1261 297 x 1471 297 x 1682 297 x 1892

Submultiplii formatului A0 sunt prezentai n figura 1.9.

841

A0

594 420 297 A4 A3 A3.2

A1 A2 A2.1 A3.1 A2.0 A3.0

0

210

420

594Fig.1.9

841

1189

1.3.1. Elementele grafice ale formatelorElementele grafice ale formatelor sunt prezentate n figura 1.10.1 2 4

3 6A

1

10

1 A

8 A

5 20

5B B

5

Fig. 1.10 1 Marcajul de decupare a copiei se amplaseaz n cele 4 coluri ale formatului. Are dimensiunile 10 mm x 5 mm; 2 Zona neutr; 3 Sistemul de coordonate, se traseaz cu linie continu subire n zona neutr la o distan de 5 mm de chenar; este utilizat pentruGeometrie Descriptiv

12


4 5 6 7

8

identificarea rapid a diferitelor zone ale desenului. Numrul de diviziuni trebuie s fie par. Lungimea unei diviziuni va fi cuprins ntre 27 i 75 mm. Literele i cifrele se scriu cu caractere drepte, conform ISO 3098/2:2002 n zona neutr, cu nlimea de scriere de 3,5 mm. Pentru formatul A4, acesta se reprezint numai pe laturile de sus i dreapta ale formatului. Chenarul formatului, se execut cu linie continu groas; Spaiul util de desenare; Limita de tiere a formatului; Reperele de centrare se execut la extremitile celor dou axe de simetrie ale planei i se reprezint cu linii continue cu grosimea minim de 0,5 mm care ncep de la marginea formatului i depesc cu aproximativ 5 mm chenarul. Aceste repere se execut n scopul poziionrii corecte a formatelor la multiplicare sau microfilmare. Indicatorul se execut conform SR ISO 7200:1994 i se deseneaz la toate formatele, la baza acestora, colul dreapta jos al cmpului desenului, att pentru plane tip X n lungime, ct i pentru plane tip Y n lime (fig.1.11).

Tip X -lungime Tip Y - latime

Fig.1.11

1.3.2. Utilizarea formatelorDesenul original se execut pe cel mai mic format care permite reprezentarea clar a obiectului respectiv. Formatele alungite speciale i excepionale se utilizeaz numai pentru obiectele ce nu pot fi reprezentate pe formatele de baz. Formatele pot fi utilizate fie pe lungime format tip X, fie pe lime format tip Y, avnd ca baz dimensiunea a sau b. Excepie face formatul A4, care este format tip Y i formatele alungite A4 x n, care sunt formate tip X. Baza formatului este latura inferioar a acestuia n poziia normal de citire a desenului, pe care este amplasat indicatorul.

1.4. Indicatorul SR ISO 7200:1994Indicatorul servete la identificarea desenelor de execuie i a modificrilor operate pe acestea, aplicndu-se pe fiecare desen i pe fiecare din planele ce l compun.Geometrie Descriptiv

13


Indicatorul se amplaseaz pe baza formatului i alipit de chenar n colul din dreapta jos al cmpului desenului, att pentru plane tip X ct i pentru plane tip Y. Indicatorul conine o zon de identificare i una sau mai multe zone de informaii suplimentare. Zona de identificare se amplaseaz n unghiul inferior dreapta al indicatorului i se execut cu linie continu, de aceeai grosime ca linia folosit la trasarea chenarului. Zona trebuie s cuprind urmtoarele informaii de baz (fig.1.12): a) numrul de nregistrare sau de identificare al desenului; b) denumirea desenului; c) numele proprietarului legal al desenului.

c b b a c a c

b a

max. 170

max. 170

max. 170

a) Fig.1.12

b)

c)

Zonele de informaii suplimentare se amplaseaz fie deasupra, fie n stnga zonei de identificare i conin: 1. informaiile indicative: simbolul care indic metoda de proiectare; scara principal a desenului; unitatea pentru exprimarea dimensiunilor liniare, dac este alta dect milimetrul. 2. informaiile tehnice: informaii privind starea suprafeei; metoda de indicare a toleranelor geometrice; valorile toleranelor generale care se aplic, dac nu sunt indicate tolerane individuale; orice alt standard din domeniul desenelor tehnice. 3. informaii de ordin administrativ: formatul planei de desen; data primei ediii a desenului; indicele aferent unei revizii (se nscrie n rubrica corespunztoare numrului desenului) data i descrierea succint a revizuirii aferente indicelui; alte informaii de ordin administrativ (semnturile persoanelor responsabile pentru desen i pentru actualizare). n figura 1.13 se exemplific un model de indicator, cu o dispunere posibil a informaiilor menionate mai sus.Geometrie Descriptiv

14


Fig.1.13 Desenele alctuite din mai multe plane, cu acelai numr de identificare, trebuie numerotate cu numere succesive pe fiecare plan, numrul total de plane fiind indicat pe prima plan (Plana n/p, unde n = numrul planei; p = numrul total de plane). Un exemplu de indicator redus, aplicabil unui desen de ansamblu este prezentat n figura 1.14.

Fig.1.14 Indicatorul care se va utiliza n cadrul orelor de geometrie descriptiv i de desen tehnic este prezentat n figura 1.15.20 3 6 50 5x20

Desenat Verificat

10

4 7

5 8

Material

Scara n/p

10

UNIVERSITATEA "DUNAREA DE JOS" DIN GALATI30

FACULTATEA DE MECANICA CATEDRA: G. M. T. Grupa30 170

1

30

Fig.1.15 1 denumirea planei; 2 numrul desenului; 3, 6 numele i prenumele persoanei care a executat (verificat) lucrarea;Geometrie Descriptiv

15

10

2


4, 7 semntura persoanei care a executat (verificat) lucrarea; 5, 8 data executrii (verificrii) lucrrii; n numrul de ordine al lucrrii; p numrul total de lucrri din cadrul documentaiei respective.

1.5. mpturirea desenelor tehnice - SR 74:1994Desenele se mpturesc prin pliere, aducndu-se la mrimea formatului A4. Desenele se mpturesc astfel nct zona de identificare a indicatorului s fie complet vizibil, n poziia normal de citire a desenului, iar fia de ndosariere, n cazul mpturirii copiilor destinate perforrii, s apar complet neacoperit pe toat lungimea sa. mpturirea modular

1.6. Scara unui desen SR EN ISO 5455:1997Scara unui desen tehnic reprezint raportul dintre dimensiunea liniar din desen i dimensiunea liniar real a segmentului respectiv. Scara se alege n funcie de complexitatea, dimensiunile obiectului de reprezentat i de destinaia desenului respectiv. Ea trebuie s fie suficient de mare pentru a permite interpretarea corect a datelor furnizate de desenul respectiv.Geometrie Descriptiv

16


Scara i dimensiunile obiectului de reprezentat influeneaz alegerea formatului de desenare. Scrile de reprezentare sunt standardizate i se aleg din tabelul urmtor: Scri de mrire 2:1 5:1 10:1 20:1 200:1 50:1 500:1 100:1 1000:1 etc. Scara natural 1:1 Scri de micorare 1:2 1:5 1:10 etc. 1:20 1:200 1:50 1:500 1:100 1:1000

Scara principal a desenului se nscrie n indicator, ntr-o rubric destinat nscrierii acesteia. Dac pe un desen exist proiecii executate la scri diferite (vedere, seciune, detaliu), scrile corespunztoare acestora se nscriu lng sau sub proieciile respective.


17

Construcii geometrice

CAPITOLUL 2 - CONSTRUCII GEOMETRICE1. mprirea unui segment n n pri egale Pentru a mpri un segment n n pri egale se procedeaz astfel (fig.2.1): a) Se consider un segment arbitrar de lungime u; b) Se construiete o semidreapt (d) concurent cu segmentul dat AB; c) Se aeaz segmentul u de n ori peste semidreapta d; d) Se unete ultimul punct marcat M cu cealalt extremitate a segmentului AB; e) Se construiesc paralele cu direcia MB prin fiecare din punctele balustrate; f) Se gsesc punctele 1, 2, n, care reprezint tocmai punctele care mpart segmentul AB n n pri egale.

A

1

2

3

4

5

6

7

B

(u)

(d) MFig.2.1 (n=7) 2. mprirea unui cerc n n pri egale Pentru a mpri un cerc n n pri egale se procedeaz astfel (fig.2.2): a) Se consider diametrul vertical AB; b) Se construiesc dou arce de cerc cu centrele n A i B, de raz AB care se intersecteaz n M i N; c) Se mparte segmentul AB n n pri egale (dup metoda prezentat mai sus); d) Se unesc punctele M i N cu cifrele pare sau impare i se prelungesc dreptele pn intersecteaz cercul dat; e) Se obin punctele pe cerc care reprezint tocmai diviziunile cutate.


18


A

0 1 2 3 4 5 6 7 8

M

N

B

9

Fig.2.2 (n=9) Cazuri particulare: n=2 Se construiete un diametru

N

M

n=4

Se construiesc dou diametre perpendiculare

A

D O B C

n=6

Se poart un segment de lungime egal cu raza cercului peste cerc i se gsesc vrfurile hexagonului regulat nscris n cerc.

A B F

C

E

D

3. Constructia unei drepte paralele cu o dreapt dat, situat la distana h (fig.2.3). Etape: a) Se construiesc arce de cerc cu raza h i cu centrele n puncte situate pe dreapta dat; b) Se construiete tangenta comun exterioar a acestor cercuri, care reprezint tocmai dreapta cutat.


19


h D dFig. 2.3 4. Racordarea a dou drepte concurente printr-un arc de cerc de raz dat R (fig.2.4). Etape: a) Se construiesc dou drepte paralele cu dreptele date, la distana R; b) La intersecia celor dou drepte se afl punctul O, centrul cercului de racordare; c) Se construiesc din O perpendiculare pe dreptele date i se obin punctele T1 i T2 de tangen ale arcului de racordare cu dreptele date.

R T1

D

O d T2Fig. 2.4 5. Racordarea unei drepte cu un cerc (raza r) printr-un arc de cerc de raz dat R (fig.2.5) a) b) c) d) Se construiete cercul cu centrul n O de raz R+r; Se construiete o paralel la dreapta dat la distana R; La intersecia lor se afl centrul cercului de racordare O1; Punctele de tangen ale arcului de racordare cu cele dou elemente geometrice care se racordeaz sunt T1 i T2. Acestea se afl astfel: T1 este piciorul perpendicularei din O1 pe dreapta dat, iar T2 este punctual n care dreapta OO1 intersectez cercul dat.


20


T1 O1 D d' OFig. 2.5 6. Racordarea a dou cercuri printr-un arc de cerc de raz dat R, cu tangen exterioar (fig.2.6) a) Se construiesc dou cercuri cu centrele n O1 i O2 de raze R+R1, respectiv R+R2; b) Se determin centrul cercului de racordare O la intersecia celor dou cercuri; c) Se determin punctele de tangen T1 i T2 la intersecia cercurilor date cu dreptele OO1, respectiv OO2.O T1 O1R+ R1

T2

R+r

T2 O 2

Fig. 2.6 Observaie: Problema admite soluii doar dac R

R+ R221

O1O2 (R1 + R2 ) 2

7. Racordarea a dou cercuri printr-un arc de cerc de raz dat R, cu tangen interioar (fig.2.7) a) Se construiesc dou cercuri cu centrele n O1 i O2 de raze R-R1, respectiv R-R2; b) Se determin centrul cercului de racordare O la intersecia celor dou cercuri; c) Se determin punctele de tangen T1 i T2 la intersecia cercurilor date cu prelungirile dreptelor OO1, respectiv OO2.



O

O1

R-R2

R-

R1

O 2 T2

T1

Fig. 2.7 Observaie: Problema admite soluii doar dac R O1O2 + (R1 + R2 ) 2

8. Racordarea a dou cercuri printr-un arc de cerc de raz dat R, tangent interior la un cerc i exterior la cellalt (fig.2.8) a) Se construiesc dou cercuri cu centrele n O1 i O2 de raze R-R1, respectiv R+R2; b) Se determin centrul cercului de racordare O la intersecia celor dou cercuri; c) Se determin punctele de tangen T1 i T2 la intersecia cercurilor date cu prelungirea dreptei OO1, respectiv cu dreapta OO2.OR+ R2

T2 O1 O 2

R R1

T1

Fig. 2.8 9. Construcia tangentelor comune exterioare la dou cercuri date (fig. 2.9) a) Se construiete cercul cu centrul n O, mijlocul segmentului O1O2, OO de raz 1 2 ; 2 b) Se gsesc punctele de intersecie ale cercului construit anterior cu cercul cu centrul n O1 de raz R1-R2 (R1>R2); se determin A i B; c) Se unesc punctele A i B cu O2 i dreptele rezultate reprezint direciile tangentelor comune exterioare;Geometrie Descriptiv

22


d) Segmentele O1A, respectiv O2B se prelungesc i la intersecia cu cercul cu centrul n O1 se afl punctele T1 i T2; e) Prin punctele T1 i T2 se construiesc paralelele la O1A, respectiv O2B i se obin tangentele comune exterioare (T1T3, respectiv T2T4).T2 T4 B O1 A O O 2

T3 T1

Fig. 2.9 10. Construcia tangentelor comune interioare la dou cercuri date (fig. 2.10) a) Se construiete cercul cu centrul n O, mijlocul segmentului O1O2, OO de raz 1 2 ; 2 b) Se gsesc punctele de intersecie ale cercului construit anterior cu cercul cu centrul n O2 de raz R1+R2; se determin A i B; c) Se unesc punctele A i B cu O1 i dreptele rezultate reprezint direciile tangentelor comune interioare; d) Segmentele O1A, respectiv O2B se prelungesc i la intersecia cu cercul cu centrul n O2 se afl punctele T1 i T2; e) Prin punctele T1 i T2 se construiesc paralelele la O1A, respectiv O2B i se obin tangentele comune exterioare (T1T3, respectiv T2T4).T4 O O1 T1 A

T2 O 2

T3

Fig. 2.10


23


Aplicaii:

S se realizeze modelele urmtoare folosind construciile geometrice. Se vor realiza toate construciile intermediare.Tema 1O852 R2

54R9

O266 gauri O8

O50

O 68

uri 3 ga

O1 4R1 3R1 6

28

O26

i O22 3 gaur

R9 0

45

45

15

8 80

Tema 255R75O18

10

R8

18

65O36R10

120R5 2

R8

R2 7

R1 5

26

O12 0

R1 7

0 ri O1 5 gau

46R5

75

O8 0

O6 0

0 O8

iO

R24

2g aur

12 R1

R25O30

45

45

O14


24

56

R70

R77

R10


Tema 34 riO1O4 2R5

R14

2 gau

6

u ga

O8 ri

R630

4 R3 R25

28

O66

2 O2

66

10

R9 8

32O3 6

R100

6

R3

R730

2

20 iO aur g

30

R3 3

O40

30

Tema 4R32

R2 4

762 ga ur iO 18

6 O2

2 R1

12

R2 1

46

4 R2

6 R1

R45O26

R1 8

1 R2

R1 0

73

3410

O124R1 0

8 R2

34

R4 5

R18

0 O6

2 R2

R2 0

2g

au

ri O2 0

76


25

50

110

R2 5

2 R1

3 R3

O4 0R1

2 O5

5


Tema 5O6 6

6 R1

O4

6

45

R5

R2 5

82

R6

2 gau ri O1

8 R1

5R60

R1 0

R55

R67

6 O1 ri au 3g

8 ga

ur

0 i O1

30

R6

O72

O60

O2 5

6

Tema 6

3 ga ur R8

i O12

6 O2R1 2

R5

O7

5

O95

130

O36

R1 20

3 R1

72R15R2 6

O16

15


26

R1 4

18

R 10

15

O36

O56

85

2 O5R5

R12

60

60

R30


Tema 74g aur iO 10

R75

R7

4 R2

420 O8

R21

18

R6

12 ri O gau 4

R383 R6O34

4530

R3

0

45

30

O110

Tema 8

R28

R16

O126g i aur 4 O10 O 16

R2 0

R45

O2 2

57

O9 0

R10

6

104

O2

R43

2

O58

O32

R20

O78

O26

R10

90

R4

2

8 O1 uri ga

O36

R28

0

R14

30

30


27

66R72R108

R2 4

R6

0 R1

33


Tema 936 O58O1 0 8 gauri

4 ga uri O 10

R1 5

R120 R2

R12

O1 6

O40

R32

20 4

R20

O2 2

6 gauri OO36

8

100

69

6 O2

40

40

2 R3

66

Tema 10902g

O5

28 ga

16 iO ur

au ri O 20

20

0 O6

85

R42R9 6

R42

O36

O14

72

84

6 O2

R7

4

O26

R12

80

30

60

R1 4

ri au 3g

6 O1

90


28

R10 R2

54 R1

O 408 O5

Punctul

CAPITOLUL 3 - PUNCTUL3.1. Tripla proiecie ortogonal a punctuluiSe consider un reper format din trei plane reciproc perpendiculare: planul orizontal [H], planul vertical [V] i planul lateral [W], reprezentat n figura 3.1.

Fig.3.1 Planul vertical i planul orizontal mpart spaiul tridimensional n patru diedre: D1 - delimitat de [Ha] i [Vs]; D2 - delimitat de [Vs] i [Hp]; D3 - delimitat de [Hp] i [Vi]; D4 - delimitat de [Vi] i [Ha]. Planul lateral [W] mparte cele patru diedre n opt triedre: Cele trei plane se intersecteaz dup trei drepte care formeaz axele sistemului de referin: Ox = [H ] I [V ] ; Oy = [H ] I [W ] ; Oz = [V ] I [W ] Cele trei axe ale sistemului de referin sunt concurente n punctul O, numit originea sistemului de referin. Sensurile pozitive ale axelor sunt marcate cu sgei.

Fie un punct A situat n triedrul 1 (T1) (fig.3.2). Pentru a determina proieciile punctului A pe cele trei plane de proiecie, se construiesc proiectante fa de [H], [V], [W]. Se obin punctele: a se numete proiecia orizontal a punctului A. Segmentul Aa reprezint distana de la punctul A la [H] i se numete cota punctului A.

Geometrie descriptiv

29

Punctul

a se numete proiecia vertical a punctului A. Segmentul Aa reprezint distana de la punctul A la [V] i se numete deprtarea punctului A. a se numete proiecia lateral a punctului A. Segmentul Aa reprezint distana de la punctul A la [W] i se numete abscisa punctului A. z

a' AH

az a" O a ay

ax x

y VW

Fig.3.2 Poziia punctului este deci descris prin cele trei coordonate descriptive ale sale: abscisa, deprtarea i cota. Convenia cu privire la semnele coordonatelor este redat n tabelul de mai jos. Tabelul 3.1 T1 + + + T2 + + T3 + T4 + + T5 + + T6 + T7 T8 + -

Abscisa Deprtare a Cota

n figura 3.3 sunt reprezentate n tripl proiecie ortogonal, punctele B i C aparinnd triedrelor 4, respectiv 5.


30

Punctul

z

z

c z c"

c' C

H

bx x b b' V B bz

O byx

H

cx O cy y VW

c

y b" W

a) Fig.3.3

b)

3.2. Epura punctuluiReprezentarea n epur presupune prezentarea pe planul vertical a proieciilor punctelor din spaiu. n acest scop se rabat planele orizontal i lateral peste planul vertical de proiecie. Rabaterea planului orizontal de proiecie se face prin rotirea acestuia n jurul axei Ox pn la suprapunerea pe planul vertical de proiecie, iar rabaterea planului lateral se face prin rotirea acestuia n jurul axei Oz (fig.3.4).

z

a' AH

a z a" O a ay

ax x

y VW

Fig.3.4 Se observ c: punctele a i a se gsesc pe aceeai perpendicular pe axa Ox, numit linie de ordine fa de Ox;Geometrie descriptiv

31

Punctul

punctele a i a se gsesc pe aceeai perpendicular pe axa Oz, numit linie de ordine fa de Oz; axa Oy va ocupa dou poziii n urma rabaterii planelor [H] i [W], n prelungirea axei Oz i, respectiv n prelungirea axei Ox, poziie n care va fi notat cu Oy1.

Epura punctului const n reprezentarea acestuia n planul desenului, prin proieciile sale, construite cu ajutorul coordonatelor (fig.3.5).z a' a z a"

ax x a

O

ay1

y1

ay y

Fig.3.5 Din convenia cu privire la semnele coordonatelor i din modul de obinere a reprezentrii n epur rezult: abscisele pozitive se msoar pe axa Ox n stnga originii sistemului de referin, iar cele negative n dreapta; deprtrile pozitive se msoar pe linii de ordine fa de axa Ox sub aceasta, iar deprtrile negative deasupra acesteia; cotele pozitive se msoar pe linii de ordine fa de axa Ox deasupra acesteia, iar cotele negative sub aceasta.

n figura 3.6 este prezentat modul de construire a epurei punctului A (20, 35, 30) situat n primul triedru.Etape: 1. Se traseaz axele sistemului de referin; abscisa fiind pozitiv, se msoar pe axa Ox din origine spre stnga un segment de 20 mm obinndu-se ax; 2. Se traseaz prin ax linia de ordine fa de axa Ox; deprtarea fiind pozitiv, pe linia de ordine, sub axa Ox, se msoar deprtarea 35mm - obinndu-se proiecia orizontal a; 3. Cota se msoar pe linia de ordine deasupra axei Ox (fiind pozitiv), obinndu-se proiecia vertical a; 4. Punctul ay se obine intersectnd axa Oy cu linia de ordine fa de aceasta, dus prin proiecia orizontal a;Geometrie descriptiv

32

Punctul

5. Punctul az se obine prin intersectarea axei Oz cu linia de ordine prin proiecia vertical a; cu centrul n O i cu raza Oay se traseaz un arc de cerc n sens trigonometric; 6. Prin punctul de intersecie dintre arcul de cerc i axa Oy1 - notat cu ay1 - se duce linia de ordine fa de Oy1; 7. Prin intersectarea acesteia cu linia de ordine fa de axa Oz dus prin a, se obine proiecia lateral a; arcul de cerc poate fi nlocuit cu o dreapt dus prin ay care face un unghi de 450 cu axa Oy.zz

a'

a z

a"

a'

a z

a"

ax x

O

ay1

y1 x

ax

O

ay1

y1

a

ay y

a

ay y

Fig. 3.6

n figura 3.7.a este prezentat epura punctului B (30, -20, 50) situat n triedrul 2, iar n figura 3.7.b epura punctului C (-40, 20, -45) din triedul 8.z

z b' b x bx by1 b" b zx O c z cx c' cy 1 c" y 1

by O y1

c y

c y

y

a) Fig.3.7

b)


33

Punctul

ntrebri referitoare la epura punctului 1. Care segment din epur msoar distana de la punct la planul vertical de proiecie? Care este denumirea acestei distane? Dar de la punct la planul orizontal? 2. Cum sunt situate proieciile unui punct fa de axa Ox atunci cnd el se afl n diedrele IV, II, VII i V? 3. Fiind date dou proiecii ale unui punct, s se explice cum se obine cea de-a treia proiecie. 4. Cum se determin coordonatele unui punct, cunoscnd epura acestuia? 5. Care este semnul coordonatelor punctelor situate n triedrele III, VIII, I i VI? Probleme propuse 1. S se reprezinte n epur urmtoarele puncte i s se precizeze cror triedre aparin: a) pe aceeai epur A (30, -20, 30); B (-20, 30, 25); C (-40, -15, 40); D (50, 25, -60). b) pe aceeai epur M (80, 30, 40); N (40, -20, -50); P (-50, -30, -20); Q (-70, 40, 60).

2. S se reprezinte n epur urmtoarele puncte i s se precizeze poziia particular pe care o ocup: a) pe aceeai epur H (40, -20, 0); V (-30, 0, 40); W (0, 50, -40). 3. S se determine a treia proiecie a punctelor A, B, C cunoscndu-se:


34

Punctul

z

za'

OO x y1

x

y1 b' b '' y

y

a

a)z O x c" c' y1

b)

y

c)


35

Dreapta

CAPITOLUL 4 - DREAPTA4.1. Reprezentarea drepteiDreapta este reprezentat prin proieciile sale care se obin unind proieciile de acelai nume a dou puncte aparinnd dreptei. n figura 4.1 este reprezentat proiecia axonometric principal a dreptei determinat de punctele A i B. Figura 4.2 conine reprezentarea n epur a dreptei AB. Un punct aparine unei drepte dac proieciile sale sunt situate pe proieciile de acelai nume ale dreptei.zza z

a' A b' B xa y a x

a'

az

a" b"b y1 a y1

a"b z

b'

bz

b" O aby a y

bx

ax

x b

Oby

y1

b

y

a

ay

y

Fig.4.1

Fig.4.2

4.2. Urmele drepteiUrma unei drepte pe un plan este punctul n care dreapta intersecteaz planul. Urma orizontal este punctul de intersecie a dreptei cu planul orizontal de proiecie. Urma orizontal H (h, h', h") a drepteiD (d, d', d") este un punct al acesteia care are cota nul, adic proiecia vertical h' trebuie s se gseasc la intersecia proieciei verticale a dreptei cu axa Ox, iar proiecia lateral h" trebuie s se gseasc la intersecia axei Oy cu proiecia lateral a dreptei (fig.4.3). n figura 4.4 este prezentat modul de obinere, n epur, a urmei orizontale a dreptei. Etape: 1. Se prelungete proiecia vertical a dreptei pn la intersecia acesteia cu axa Ox i se noteaz cu h' punctul de intersecie; 2. Prin h' se construiete linia de ordine care intersecteaz prelungirea proieciei orizontale a dreptei n h; 3. Se determin h i dac s-a lucrat corect, h trebuie s fie situat la intersecia proieciei laterale a dreptei cu axa Oy1.Geometrie Descriptiv 36

Dreapta

z

a'

a

z

z a'a" az

Ab' b

a" b"b y1 a y1

x

h'

Ba y b a a x

z b" by a y

b' h' x h b abx ax

bz

O h"

Oby ay

h"

y1

H=h

y

y

Fig.4.3

Fig.4.4

Urma vertical este punctul de intersecie a dreptei cu planul vertical de proiecie Urma vertical V (v, v', v") a dreptei D (d, d', d") este punctul de pe dreapt care are deprtarea nul, adic proiecia orizontal v se afl la intersecia proieciei orizontale a dreptei cu axa Ox, iar proiecia lateral v" trebuie s se gseasc la intersecia proieciei laterale a dreptei cu axa Oz. n figura 4.5 este reprezentat axonometric modul n care se obine urma vertical, iar n figura 4.6 este reprezentarea n epur. Etape: 1. Se prelungete proiecia orizontal a dreptei i se noteaz cu v intersecia acesteia cu axa Ox; 2. Linia de ordine fa de Ox dus prin v intersecteaz prelungirea proieciei verticale a dreptei n v'; 3. Proiecia lateral v" rezult din intersectarea axei Oz cu linia de ordine fa de aceasta, dus prin proiecia vertical v'.zV=v' b' a' B A vbx

v"bz az

b"

v' a"

b' a'

z v"bz az

b" a"b y1 a y1

x

ax

Oby

v xay

bx

ax

O bby ay

h"

b a

y1

ya

y

Fig.4.5

Fig.4.6

Urma lateral este punctul de intersecie al dreptei cu planul lateral de proiecie.Geometrie Descriptiv 37

Dreapta

Urma lateral W (w, w', w") a drepteiD (d, d', d") este punctul de pe dreapt care are abscisa nul, deci proiecia orizontal w se gsete la intersecia axei Oy cu proiecia orizontal a dreptei, iar proiecia vertical w' se gsete la intersecia axei Oz cu proiecia vertical a dreptei. n figura 4.7 este reprezentarea axonometric n care este artat modul n care se determin proieciile urmei laterale, iar n figura 4.8 este reprezentarea n epur. Etape: 1. Se prelungete proiecia orizontal a dreptei pn la intersecia cu axa Oy. n acest punct se afl w; 2. Se prelungete proiecia vertical a dreptei pn la intersecia cu axa Oz. n acest punct se afl w; 3. Se construiete proiecia lateral w"; pentru verificare w" trebuie s aparin proieciei laterale a dreptei.zb' a' B Abx bz az

b" b' w' a"bx by ay

zbz

b" a" w"b y1 a y1

a'ax

az

x

ax

O W=w" x b

w' Oby ay

b a

y1

w

y

a w y

Fig.4.7

Fig.4.8

4.3. Regiunile drepteiPentru a identifica diedrele i triedrele pe care le strbate o dreapt, dup ce s-au determinat urmele dreptei, se ia cte un punct pe fiecare poriune a dreptei, adic ntre urme i n afara zonei dintre urme i se studiaz semnele coordonatelor acestor puncte. n figura 4.9 este reprezentat axonometric dreapta D, iar n figura 4.10 este reprezentat n epur. A B C E + + x + + + y + + + z T4 T1 T5 T6 Triedrul


38

Dreapta

zE e"v" V=v'

e'

d" c"w'

c' CW=w"

b' d'h'

B

OH=h w"

b" ch" v

d e

x

a'

a D A

b

a"

y

Fig.4.9z

e" v" c"

e' c' v'

w' b' h'x

w" b" O h" v e c a"y 1

a' b

w h

T4

a

T1y

T5Fig.4.10

T6


39

Dreapta

Dreapta oarecare din figura 4.11.a care intersecteaz axa Ox, trece prin trei triedre: T1, T3, T5, iar dreptele oarecare care trec prin originea sistemului de referin strbat triedrele 1 i 8 (fig.4.11.b). z z d'

d' h=h'=v=v' x d ya) Fig.4.11 b)

h=h'=v=v'=w=w' O y1 x d y O y1

4.4. Poziiile particulare ale dreptelorDup poziia pe care o ocup n sistemul de referin, dreptele pot fi: simplu particulare (drepte paralele cu unul din planele sistemului de referin) sau dublu particulare (drepte perpendiculare pe planele sistemului de referin sau paralele cu dou plane ale sistemului de referin).

4.4.1. Drepte simplu particulareO dreapt paralel cu un plan este determinat de dou puncte situate la aceeai distan fa de acel plan. Segmentele situate pe o dreapt paralel cu unul din planele de proiecie se proiecteaz n adevarat mrime pe respectivul plan de proiecie. O dreapt paralel cu unul din planele sistemului de referin nu are urm pe acel plan de proiecie. Exist trei categorii de drepte simplu particulare: dreptele de nivel sau orizontalele, sunt paralele cu [H] i se noteaz cu G (g, g,g) Proprieti: Toate punctele unei drepte de nivel au aceeai cot i deci proiecia vertical a'b' a dreptei de nivel AB este paralel cu axa Ox; iar proiecia lateral a"b" este paralel cu axa Oy. (fig.4.12). Unghiul pe care dreapta l face cu [V] se proiecteaz n mrime real ntre proiecia orizontal ab i axa Ox. Complementul acestuia, adic unghiul pe care proiecia orizontal l face cu axa Oy este adevrata mrime a unghiului pe care dreapta AB l face cu [W]. Segmentul AB din spaiu se proiecteaz n mrime real pe [H].


40

Dreapta

z z b" v' w" x a x b y w v a b w y O y1 a' b'v"=w' a" b" w"

b' v' a' A

w'=v" a" B O

v

Fig.4.12 dreptele de front sau frontalele, sunt paralele cu [V] i se noteaz cu F (f, f, f). Proprieti: Toate punctele unei drepte de front au aceeai deprtare i deci proiecia orizontal ab a dreptei de front este paralel cu axa Ox, iar proiecia lateral a"b" este paralel cu axa Oz. (fig.4.13). Unghiul pe care dreapta l face cu [H] se proiecteaz n mrime real ntre proiecia vertical ab i axa Ox. Unghiul pe care proiecia vertical ab l face cu axa Oz este adevrata mrime a unghiului pe care dreapta AB l face cu [W]. Segmentul AB din spaiu se proiecteaz n mrime real pe [V].z w' b' B a' h' x O A h a b yh a b w

w" b" a" h"=wa'

w' b'

z

w" b" a" h"

x

h'

O

y1

y

Fig. 4.13 Dreptele de profil, sunt paralele cu [W]. Proprieti: Toate punctele unei drepte de profil au aceeai abscis i deci proiecia orizontal ab a dreptei de profil este paralel cu axa Oy, iar proiecia vertical ab este paralel cu axa Oz. (fig.4.14). Unghiul pe care dreapta l face cu [H] se proiecteaz n mrime real ntre proiecia lateral ab i axa Oy1.Geometrie Descriptiv 41

Dreapta

Unghiul pe care proiecia lateral ab l face cu axa Oz este adevrata mrime a unghiului pe care dreapta AB l face cu [V]. Segmentul AB din spaiu se proiecteaz n mrime real pe [W].zv" v' a' b' h'=v a b A O B b" h" h b' a" v' a' v" a" b" O v=h' a

z

x

y1h"

x

y

b h

y

Fig.4.14 n figura 4.15 sunt reprezentate n epur drepte simplu particulare crora li s-au determinat urmele. Se observ c dreapta de nivel nu are urm orizontal, cea de front nu are urm vertical, iar cea de profil nu are urm lateral.z g' x v g yd' z d"

w" v'

v"=w' wO

g" y 1x f

f'

f" y 1

h' O h" h w' w w" y

x h v'

h'=v O h" v" y

y 1

Fig.4.15

4.4.2. Drepte dublu particulareDreptele dublu particulare sunt perpendiculare pe unul din planele sistemului de referin. Ele sunt paralele cu celelalte dou plane de referin i paralele cu axa lor de intersecie. Segmentele situate pe aceste drepte se proiecteaz n adevarat mrime pe dou din planele sistemului de referin. Dreptele perpendiculare pe unul din planele sistemului de referin au urm numai pe planul pe care sunt perpendiculare. Exist trei categorii de drepte dublu particulare:Geometrie Descriptiv 42

Dreapta

a) Verticalele sunt dreptele perpendiculare pe [H]. Toate punctele unei verticale au aceeai abscis i aceeai deprtare deci, proieciile pe planul vertical i lateral ale acesteia sunt paralele cu axa Oz, iar proiecia ei orizontal se reduce la un punct, ce coincide cu urma orizontal a dreptei (fig.4.16).zz

a' a' A O b' h' B b" h" x h' O b' a"

a"

b" h" y1

x

a=b=h

y

a=b=h

y

Fig.4.16 b) Dreptele de capt sunt perpendiculare pe [V]. Toate punctele unei drepte de capt au aceeai abscis i aceeai cot deci, proieciile pe planul orizontal i lateral ale acesteia sunt paralele cu axa Oy, iar proiecia ei vertical se reduce la un punct ce coincide cu urma vertical a dreptei (fig.4.17).zz v" b" a'=b'=v' a'=b'=v' B O A v b a" v x b O y1 v" b" a"

x

a

y

a y

Fig.4.17 c) Fronto-orizontalele sunt perpendiculare pe [W]. Toate punctele unei drepte fronto-orizontale au aceeai deprtare i aceeai cot deci, proieciile pe planul orizontal i vertical ale acesteia sunt paralele cu axa Ox, iar proiecia ei pe planul lateral se reduce la un punct ce coincide cu urma lateral a dreptei (fig.4.18).z w' b' a' a' O B A b x w a b w a"=b"=w" O y1 b' w' a"=b"=w"

x

a

y

y

Fig.4.18Geometrie Descriptiv 43

Dreapta

n figurile 4.19, 4.20 i 4.21 sunt reprezentate drepte coninute n planele de proiecie. Astfel: - dreapta coninut n [H] are proiecia vertical suprapus peste axa Ox, iar proiecia ei lateral peste axa Oy (fig.4.19);z zb' a' A=a B=b

Oa" b"

x v' v

a' a

b'

O a"

b" w" y1

x

y

b

w y

Fig.4.19 dreapta coninut n [V] are proiecia orizontal suprapus peste axa Ox, iar proiecia ei lateral peste axa Oz (fig.4.20);z

B=b'

b" b' a"

w'

zb" a"

A=a' b a

Oh'

a'

y1

x y

a

b

O y

x

Fig.4.20 dreapta coninut n [W] are proiecia orizontal suprapus peste axa Oy, iar proiecia ei vertical peste axa Oz (fig.4.21).v" a' A=a" b' O a B=b" b' b" O a v" a' a"

z

x

y1h"

x

b h"

y

b h

y

Fig.4.21Geometrie Descriptiv 44

Dreapta

4.5. Poziiile relative a dou drepteDou drepte pot avea n spaiu urmtoarele poziii: paralele, concurente sau disjuncte (oarecare). 1. Dreptele paralele au proieciile de acelai nume paralele (fig.4.22); 2. Dreptele concurente au proieciile de acelai nume concurente, interseciile acestora sunt situate pe aceeai linie de ordine (fig.4.23); 3. DrepteleD i reprezentate n epur n figura 4.24 nu sunt concurente (proieciile de acelai nume se intersecteaz, dar punctele nu sunt pe aceeai linie de ordine).d' d'1 m' d'1 x d d1 O x d n d1 O x d d m 1 d' d' m' d'1 O

Fig.4.22

Fig.4.23

Fig.4.24

4.6. Proiecia unghiului dreptTeorema de proiecie a unghiului drept: Dac un unghi drept are o latur paralel cu unul din planele de proiecie, atunci pe acel plan unghiul drept se proiecteaz n adevrat mrime. Sau Un unghi drept se proiecteaz n adevrat mrime pe un plan paralel cu una din laturile sale. O aplicaie direct a acestei teoreme este dat de construcia perpendicularei dintr-un punct pe o dreapt aflat ntr-o poziie particular. n figura 4.25 este prezentat construcia perpendicularei dus prin punctul A pe dreapta de nivelG; unghiul drept se proiecteaz n adevrat mrime pe planul orizontal, deoarece una din laturile acestuia este paralel cu acest plan de proiecie. n figura 4.26 sunt prezentate etapele construirii perpendicularei dintr-un punct pe o dreapt de front; unghiul dintre dreapta de frontF i perpendiculara prin punctul S se proiecteaz n adevrat mrime pe planul vertical de proiecie. n figura 4.27 este prezentat construcia perpendicularei comune a dou drepte, dintre care una este dublu particular, unghiul drept proiectndu-se n mrime real n planul orizontal.Geometrie Descriptiv 45

Dreapta

Etape: 1. Se obine proiecia orizontal i a piciorului perpendicularei ducnd o perpendicular pe proiecia orizontal g a dreptei de nivel prin proiecia orizontal a punctului; 2. Proiecia vertical i' se afl la intersecia liniei de ordine dus prin proiecia orizontal i cu proiecia vertical g' a dreptei de nivel; 3. Proiecia vertical a perpendicularei se obine prin unirea proieciei verticale a' cu proiecia vertical i'.

m' g' i'

x g m i

O

Fig. 4.25

Etape: 1. Se construiete mai nti proiecia vertical i' a piciorului perpendicularei ducnd o perpendicular prin n pe proiecia vertical f' a dreptei de front; 2. Proiecia orizontal a acestuia rezult prin intersectarea proieciei orizontale f a frontalei cu linia de ordine dus prin proiecia vertical i'.

f' i'

n'

x n f iFig. 4.26

O


46

Dreapta

Etape: 1. Se observ c dreapta MN este o dreapt vertical, deci ea este perpendicular pe orice dreapt din planul orizontal. Dreapta cel mai uor de construit este dreapta orizontal G(g,g,g) care s fie perpendicular i pe dreapta AB. Deci din punctul m=n se construiete proiecia orizontal g perpendicular pe ab, gsindu-se astfel proiecia orizontal a punctului de intersecie I (i). 2. Proieciile vertical i respectiv lateral a punctului de intersecie se gsesc la interseciile liniilor de ordine duse prin proiecia orizontal a punctului i proieciile vertical i lateral a dreptei AB. 3. Prin i i i se duc dou drepte paralele cu axa OX care de fapt reprezint chiar proieciile vertical i lateral a dreptei orizontale G, perpendiculara comun att dreptei AB ct i MN.

m' b' g' a' x ax n' mx=nx bx ix b m=n i a g i' bz

z mz b" az nz O by my=ny iy ay y

m" i" n" my1=ny1 iy1 g" a" ay1 y1

Fig. 4.27

ntrebri referitoare la epura dreptei 1. Definii urma dreptei. 2. Care sunt etapele de construire a urmei orizontale a unei drepte? Dar a urmei verticale? Laterale? 3. Cum se stabilete n epur poziia relativ a dou drepte? 4. Cnd se proiecteaz un unghi drept pe planul de proiecie n mrime real? 5. Urma orizontal a unei drepte este: a) Punctul n care dreapta intersecteaz planul [H]; b) Dreapta n care dreapta intersecteaz planul [H]; c) Punctul n care dreapta intersecteaz planul [V]. 6. Dreptele simplu particulare sunt:Geometrie Descriptiv 47

Dreapta

a) Paralele cu toate planele de proiecie; b) Perpendiculare pe unul din planele de proiecie; c) Paralele cu unul din planele de proiecie. 7. Dreapta orizontal este: a) Paralel cu planul vertical de proiecie; b) Paralel cu planul orizontal de proiecie; c) Paralel cu planul lateral de proiecie. 8. Dreptele dublu particulare sunt: a) Paralele cu un plan de proiecie; b) Perpendiculare pe toate planele de proiecie; c) Perpendiculare pe un plan de proiecie i paralele cu celelalte dou plane de proiecie. 9. Dreapta de capt este: a) Perpendicular pe planul orizontal de proiecie; b) Perpendicular pe planul lateral de proiecie; c) Paralel cu planele orizontal i lateral i perpendicular pe planul vertical de proiecie. 10. Dou drepte sunt paralele n spaiu dac: a) Proieciile de acelai nume sunt concurente; b) Proieciile de acelai nume sunt paralele; c) Proieciile de acelai nume sunt perpendiculare. Probleme propuse: 1. S se reprezinte n epur dreapta AB, s se determine urmele acesteia i s se stabileasc diedrele i triedrele pe care le strbate. Se cunosc: A (15, 5, 30); B (35, 20, 10); A (-20, 8, 23); B (15, 20, 10); A (-55, 40, -8); B (40, -10, 38); A (-15, -15, 32); B (35, 20, 10); A (12, -32, 7); B (47, -6, -27); 2. S se gseasc proieciile punctelor M, N i P situate pe dreapta AB. Se cunosc: A (40, 30, 40); B (10, 0, 20), M (30, y, z); N (x, 40, z), P (x, y,-10). 3. S se construiasc prin M o dreapt D (d, d) paralel cu dreapta AB. Se cunosc: A (70, 40, 20), B (10, 68, 60), M (30, 10, 30). 4. Se consider punctele A(30,10,25), B(40,50,60), C(30,60,10) i D(80,10,50). a) S se construiasc prin punctul A o frontal care s intersecteze dreapta CD ; b) S se construiasc prin punctul B o dreapt vertical ;Geometrie Descriptiv 48

Dreapta

c) S se construiasc perpendiculara comun dreptelor i CD ; 5. Se consider punctele A(30,10,25), B(40,50,60), C(30,60,10) i D(80,10,50). a) S se construiasc prin punctul A o orizontal care s intersecteze dreapta CD ; b) S se construiasc prin punctul B o dreapt de capt ; c) S se construiasc perpendiculara comun dreptelor i CD ; 6. Se consider punctele A(30,10,25), B(40,50,60), C(30,60,10) i D(80,10,50). a) S se construiasc prin punctul A o dreapt de profil care s intersecteze dreapta CD ; b) S se construiasc prin punctul B o dreapt vertical ; c)S se construiasc perpendiculara comun dreptelor i CD ; 7. S se determine proieciile figurii plane ABCD cunoscnd: A (70, 20, 40); B (50, 60, 20), C (20, 40, 60); D (60, 10, z). 8. S se construiasc prin punctul M (10, 5, 30) drepte perpendiculare pe AB i CD. Se cunosc: A (30, 12, 10), B (0, 35, 10); C (35, 15, 15); D (35, 30, 35).


49

Planul

CAPITOLUL 5 - PLANUL5.1. Reprezentarea planuluiUn plan poate fi reprezentat n epur n urmtoarele moduri: 1. Prin proieciile a trei puncte din plan (fig.5.1.a); 2. Prin proieciile unei dreapte i ale un punct din plan (fig.5.1.b); 3. Prin proieciile a dou drepte concurente (fig.5.1.c); 4. Prin proieciile a dou drepte paralele (fig.5.1.d); 5. Prin urmele sale (fig.5.2.b). Urmele planului [P] sunt dreptele de intersecie ale acestuia cu planele de proiecie: Ph se numete urm orizontal. n acest caz se noteaz numai proiecia ei pe [H], proieciile vertical i lateral fiind suprapuse peste Ox i respectiv Oy; Urma orizontal mai poate fi definit ca fiind locul geometric al urmelor orizontale ale tuturor dreptelor din plan. Pv se numete urm vertical. n acest caz se noteaz numai proiecia ei pe [V], proieciile orizontal i lateral fiind suprapuse peste Ox i respectiv peste Oz; Urma vertical mai poate fi definit ca fiind locul geometric al urmelor verticale ale tuturor dreptelor din plan. Pw se numete urm lateral. n acest caz se noteaz numai proiecia ei pe [W], proieciile orizontal i vertical fiind suprapuse peste Oy i respectiv peste Oz. Urma lateral mai poate fi definit ca fiind locul geometric al urmelor laterale ale tuturor dreptelor din plan.b' c' a' x a b c O x a b c a' O x a b c b' c' a' O x a b c b' b' c' a' O c'

a

b Fig.5.1

c

d


50

Planul

zz Pz Pv Pv Pw O x Px Py Ph Py Pz Pw Py1 y1

P x

Ph

x

y

y

a Fig. 5.2

b

Poziiile urmelor sunt determinate de poziia planului n sistemul de referin - fig.5.3.

z

Pv Q v P x Qx Q h Ph O

Pw

Py

xFig. 5.3

y

5.2. Plane particulare 5.2.1. Plane perpendiculure pe unul din planele sistemului de referin. Plane simplu particularea) Plan proiectant fa de [H] (fig.5.4). Proprieti: Este perpendicular pe planul orizontal de proiecie, (paralel cu axa Oz);Geometrie Descriptiv

51

Planul

Urmele vertical i lateral sunt paralele cu axa Oz; Unghiul dintre axa Ox i urma orizontal este adevrata mrime a unghiului pe care planul proiectant l face cu planul vertical de proiecie; Unghiului este mrimea unghiului dintre planul proiectant i planul lateral de proiecie; Toate punctele coninute ntr-un plan proiectant fa de [H] au proieciile orizontale situate pe urma orizontal a acestuia.zb" a"

a"Pv

Pva' Pw

b'

z

Pw

a'

A O

x Py

O P xa b

Py1y1

Px

a

Ph

Ph

x

y

Py

y

Fig 5.4 b) Planul proiectant fa de [V] (fig.5.5). Proprieti: Este perpendicular pe planul vertical de proiecie (paralel cu axa Oy); se mai numete plan de capt; Urmele orizontal i lateral sunt paralele cu axa Oy; Unghiul dintre axa Ox i urma vertical este adevrata mrime a unghiului pe care planul proiectant l face cu planul orizontal de proiecie; Unghiul este msura unghiului dintre planul proiectant i planul lateral de proiecie; Figurile coninute ntr-un plan proiectant fa de [V] au proieciile verticale situate pe urma vertical a acestuia.z Pzb'

B

b'

P z

z

Pw b"

Pwa' x Px

Pv

a'

OA

O

a" y 1

Px x

Ph

y

a Ph b y

Fig. 5.5Geometrie Descriptiv

52

Planul

c) Planul proiectant fa de planul lateral de proiecie (fig.5.6). Proprieti: Este perpendicular pe [W] (paralel cu axa Ox); Urmele orizontal i vertical sunt paralele cu axa Ox; Unghiul pe care planul proiectant l face cu [H] este , adic unghiul dintre urma lui lateral i axa Oy1; Unghiul dintre urma lateral i axa Oz, este msura unghiului pe care planul proiectant l face cu planul vertical de proiecie; Figurile coninute ntr-un plan proiectant fa de [W] au proieciile laterale situate pe urma lateral a acestuia.zv" a' A O x a h" a b' O Pv a" a' P z a" P w b" y1 Py1 z

x

y

b Ph Py y

Fig. 5.6

5.2.2. Plane paralele cu unul din planele sistemului de referin. Plane dublu particulare1. Planul de nivel (fig. 5.7).

Proprieti: Este paralel cu [H]; Toate punctele planului au aceeai cot, de unde rezult c urma vertical a unui astfel de plan este paralel cu axa Ox, iar cea lateral, paralel cu axa Oy.zz Nz a" b" O A B Nv a' b' a"=b" Nw

b' a'

Nv

Nwx

O y1

b

x

a

y

a

b

y

Fig 5.7Geometrie Descriptiv

53

Planul

2.

Planul de front (fig.5.8).

Proprieti: Este paralel cu [V]; Toate punctele planului au aceeai deprtare, de unde rezult c urma orizontal a unui astfel de plan este paralel cu axa Ox, iar cea lateral, paralel cu axa Oz.zz Fw Fw a' b' A O b" B b x Fy O a" b' b" Fw y1 a' a"

x

Fh

a

y

Fh

a

b

Fh

y

Fig.5.8 3. Planul de profil - fig.5.9

Proprieti: Este paralel cu [W]; Toate punctele planului au aceeai abscis, de unde rezult c urma orizontal este paralel cu axa Oy, iar cea vertical, cu axa Oz.zz Pv b' Pv b' a" P x b B A O b" a' a" x Pv Ph b O y1 a" b"

x

a P h

y

a Ph

y

Fig. 5.9 Observaii: 1. Un plan paralel cu unul din planele sistemului de referin nu are urm pe acel plan de proiecie. 2. Figurile coninute ntr-un plan paralel cu unul din planele sistemului de referin se proiecteaz pe acesta n adevrat mrime.Geometrie Descriptiv

54

Planul

3. Proieciile figurilor pe celelalte plane de proiecie sunt situate pe urmele corespunztoare ale planului.

5.3. Dreapta i punctul coninute n planO dreapt aparine unui plan dac dou puncte ale sale sunt coninute n plan. Un punct este coninut ntr-un plan dac este situat pe o dreapt coninut n plan. n epur, o dreapt este coninut ntr-un plan dac urmele sale sunt pe urmele de acelai nume ale planului. Se pot defini urmele planului ca fiind locurile geometrice ale urmelor tuturor dreptelor coninute n plan. Dreapta HV (fig. 5.10) este coninut n planul [P] deoarece urmele acesteia sunt situate pe urmele de acelai nume ale planului. Punctul M (m, m') aparine planului [P] deoarece el este situat pe dreapta HV.w" z w' Pz Pw m' Px x h h' v m Ph Py y w Py1 y1 x b 1 a m c' c O

a' 1' m'

v' Pv b'

Fig. 5.10

Fig 5.11

n figura 5.11 dreapta MB aparine planului plcii triunghiulare ABC deoarece ea trece prin dou puncte ale acesteia (punctul 1 este situat pe dreapta BM). DreaptaD (d, d') din figura 5.12 aparine planului ABC deoarece ea trece prin punctul B al planului i este paralel cu latura AC.b' d' a' a' c' x O a x c c d d b a b d1 O c' d' d'1 b'


Fig.5.1355

Planul

n figura 5.13 punctul C (c, c) nu aparine planului determinat de dreptele paralele D i D1, deoarece el nu aparine dreptei AB coninut n plan. Pentru a determina urmele planului definit prin dou drepte concurente, se procedeaz astfel (fig. 5.14): Se construiesc urmele celor dou drepte; Se construiesc urmele planului prin unirea urmelor de acelai nume ale celor dou drepte.d' v'1 v' m' h' v1 O m d1 h1 d Ph Pv

d' 1 Px x h'1 v

h

Fig. 5.14

5.4. Drepte remarcabile ale unui planDreptele remarcabile ale unui plan sunt drepte coninute n plan i paralele cu unul din planele sistemului de referin, adic orizontalele, frontalele i dreptele de profil ale planului. O alt categorie de drepte remarcabile ale unui plan este reprezentat de liniile de cea mai mare pant. 1. Orizontalele planului (fig. 5.15) - sunt drepte paralele cu [H] i care aparin planului; urmele lor verticale i laterale sunt situate pe urmele de acelai nume ale planului; proiecia orizontal este paralel cu urma Ph a planului. DreaptaG este o orizontal a planului.zz Pz Pz P g" w Px x g Ph Py y Pv g' g P x Ph Py Pw g" Py1 y1

Pv

g' G

O

x

y


56

Planul

2. Frontalele planului (fig. 5.16) - sunt drepte paralele cu [V] i care aparin planului; urmele lor orizontale i laterale sunt situate pe urmele de acelai nume ale planului; sunt paralele cu urma vertical a planului; dreaptaF este o frontal a planului.zz Pz Pv Pv f' Pw O F P x f Ph Py f" x Px f Ph f' Py1 y Pz f" Pw

x

y

Py y

Fig. 5.16 3. Dreptele de profil ale planului (fig. 5.17) - sunt drepte paralele cu [W] i care aparin planului; urmele lor orizontale i verticale sunt situate pe urmele de acelai nume ale planului; au proieciile laterale paralele cu urma vertical a planului; dreaptaD este o frontal a planului.zz Pz Pw O d P x Ph D Py d" x Ph d Py y Px Pv Pz d' Pw d" Py1 y1

Pv d'

x

y

Fig. 5.17 4. Liniile de cea mai mare pant fa de [H], ([V], [W]) sunt drepte coninute n plan i perpendiculare pe urma lui orizontal, vertical, respectiv lateral i implicit pe toate orizontalele, frontalele, respectiv dreptele de profil ale planului. n figura 5.18 dreapta Lh este linie de cea mai mare pant fa de [H] (l.c.m.m.p./H) deoarece este perpendicular pe urma orizontal Ph a planului [P] i implicit pe toate orizontalele acestuia. Linia de cea mai mare pant a unui plan determin complet acel plan. Etapele de construire a planului [P] atunci cnd se cunoate linia de cea mai mare pant fa de [H] sunt urmtoarele:Geometrie Descriptiv

57

Planul

Se construiete urma orizontal a planului Ph avnd direcia perpendicular pe proiecia orizontal a liniei de cea mai mare pant fa de [H] i trecnd prin urma orizontal a lui Lh; Se construiete urma vertical a planului, Pv, unind punctul Px aflat la intersecia urmei orizontale cu axa Ox, cu proiecia vertical a urmei verticale a dreptei, v. Unghiul , obinut prin rabatere, reprezint mrimea real a unghiului pe care planul [P] l face cu planul [H].Pv v' l' h lh h v1

Px x

h'

v O

Ph

Fig. 5.18

5.5. Poziiile relative a dou planePlanele pot ocupa urmtoarele poziii relative: plane paralele i plane concurente. Planele paralele au urmele de acelai nume paralele (fig. 5.19), ca urmare a faptului c planele paralele se intersecteaz cu un al treilea plan dup drepte paralele.z

Qv Pv Pv Qx P xQ h Ph

Q v

O x

Px

Qx Ph Qh O

x

y

Fig 5.19 Pentru a construi un plan [Q] paralel cu un plan dat [P] care trece printr-un punct M exterior planului [P], se parcurg etapele (fig. 5.20):


58

Planul

Se construiete prin M o orizontal (frontal) a planului [Q]. Aceasta are proiecia orizontal (vertical) paralel cu urma Ph (Pv) a planului [P]; Se determin urma vertical (orizontal) a dreptei considerate; Prin urma vertical (orizontal) a dreptei trece urma vertical (orizontal) a noului plan [Q] care este paralel cu urma de acelai nume a planului [P] dat; Se gsete punctul Qx la intersecia acesteia cu axa Ox i prin acest punct se construiete cealalt urm, paralel cu urma de acelai nume a planului [P].

Pv

Q v v' m' g'

Px x

Qx v m Ph Fig. 5.20 Qh O g

Planele concurente se intersecteaz dup o dreapt oarecare. Planele concurente se pot ntlni sub un unghi oarecare sau pot fi perpendiculare. Dreapta de intersecie dintre dou plane este determinat de dou puncte ce aparin ambelor plane sau de un punct ce aparine ambelor plane i de o direcie cunoscut. Pentru a determina dreapta de intersecie a planelor [P] i [Q] date prin urme, se intersecteaz urmele de acelai nume ale celor dou plane i se obin punctele H (h, h') i V (v, v') care determin drapta ( , ') .Pv Q v v' ' Px x Q h h Ph h' v Qx O


59

Planul

n figura 5.22 este artat modul n care se rezolv intersecia dintre un plan proiectant fa de [V] dat prin urme i o plac triunghiular. Se parcurg etapele: Se culeg punctele n care urma Pv a planului proiectant ntlnete laturile AB, respectiv AC ale plcii triunghiulare ABC. Se obin mai nti proieciile punctelor pe planul vertical m i n i apoi, construind linii de ordine fa de Ox se gsesc proieciile pe planul orizontal (m i n) la intersecia acestora cu dreptele ab, respectiv ac.b'b' Pv m' a' x m a n c b n' c' Px O

f'

d' m'

n' c'

a' x d a m e b

e' O

n

f

Pv

c

Fig.5.22

Fig.5.23

Pentru cazul n care se intersecteaz dou plci triunghiulare ABC i DEF (fig. 5.23), placa DEF fiind coninut ntr-un plan vertical proiectant fa de [H], pentru determinarea dreptei de intersecie se parcurg etapele: Se construiesc mai nti proieciile orizontale m i n ale segmentului de intersecie; prin intersectarea laturilor ab i bc cu urma orizontal a planului DEF (def); Se ridic linii de ordine fa de Ox i la intersecia acestora cu proieciile verticale ale dreptelor ab i bc se afl proieciile punctelor M i N pe planul vertical, respectiv m i n. n cazul n care se intersecteaz dou plane proiectante, se determin dreapta de intersecie la intersecia urmelor de acelai nume. a) Pentru plane proiectante fa de [H] dreapta de intersecie este o vertical (fig.5.24.a); b) Pentru plane proiectante fa de [V] dreapta de intersecie este o dreapt de capt (fig.5.24.b);Qv d' Pv Pv d' x Qx Ph d Qh Qh d Ph Px O x Qx Px Qv

a Fig. 5.24Geometrie Descriptiv

b60

Planul

Planele perpendiculare sunt plane concurente sub un unghi diedru de 900. Dou plane sunt perpendiculare dac un plan conine normala la cellalt plan. Pentru a construi un plan perpendicular pe un plan dat care trece printr-un punct M, se parcurg etapele (fig.5.25): Se construiesc orizontala G i frontala F din planul plcii triunghiulare. Din punctul M se costruiesc proieciile perpendicularei pe planul ABC, avnd direciile perpendiculare pe proiecia orizontal a orizontalei (paralel cu urma orizontal a planului ABC), respectiv pe proiecia vertical a frontalei (paralel cu urma vertical a planului ABC); Se determin urmele acestei drepte; Problema admite o infinitate de soluii. Pentru a reprezenta una dintre ele, se alege un punct pe axa Ox, Px i se unete acesta cu proieciile h i respectiv v, obinndu-se urma orizontal a planului Ph, respectiv urma vertical, Pv.b' P v Pv f' g' a' x Ph a 1 1' m' v' Px v b m 2 g c f h h' O 2' c'

Fig. 5.25Q v Pv

Sv

Rv

Px x

Qx O x

Sx

Rx O

Qh

Ph

Rh

Sh

a) Fig.5.26Geometrie Descriptiv

b)

61

Planul

n figura 5.26 sunt reprezentate plane perpendiculare pe planele proiectante. Astfel, planul de capt [Q] este perpendicular pe planul oarecare [P], deoarece urma vertical Pv este perpendicular pe planul de capt (fig. 5.26.a), iar planul vertical [R] este perpendicular pe planul oarecare [S], deoarece urma orizontal a planului oarecare Sh este perpendicular pe urma orizontal a planului proiectant, Rh (fig. 5.26.b).

5.6. Poziiile unei drepte fa de un plan O dreapt poate avea urmtoarele poziii relative fa de un plan: dreapt paralel cu planul, n particular dreapta coninut n plan; dreapt concurent cu planul, n particular dreapta perpendicular pe plan.

5.6.1. Dreapta paralel cu un planO dreapt este paralel cu un plan [P] dac este paralel cu o dreapt coninut n plan. Printr-un punct pot fi construite o infinitate de drepte paralele cu un plan. Se obine o soluie unic dac se impune nc o condiie. Astfel, pentru a construi o dreapt paralel cu planul ABC, care trece printr-un punct M i care este paralel i cu planul vertical de proiecie, se parcurg etapele (fig. 5.27): Se construiete frontala F coninut n plan; Se reprezint dreapta paralel cu frontala F care trece prin proieciile m i m ale punctului M.b' d' m' a' x m a f b d 1 f'

1' c'

c

Fig. 5.27 n figura 5.28 sunt reprezentate n epur drepte paralele cu planele proiectante.


62

Planul

z

Pva'

b'

Pv b'

Pv a' a" b' O x a O P w y1

x

O P xa b

x

Px

a'

b"

a

b b

Ph

Ph

Ph y

Fig. 5.28

5.6.2. Dreapta concurent cu un planAflarea punctului n care o dreapt neap un plan se reduce la rezolvarea interseciei a dou plane, considernd c dreapta dat este coninut ntr-un plan simplu sau dublu-particular, dup caz. Pentru construirea punctului de intersecie dintre dreaptaD i planul oarecare [T] (fig.5.29) se ia un plan auxiliar [Q] care conine dreaptaD i se construiete dreapta de intersecie a acestuia cu planul dat [T]; printr-o dreapt se pot duce o infinitate de plane; pentru simplificare i pentru diminuarea volumului de lucru, planul auxiliar se alege proiectant; punctul de intersecie cutat este punctul de intersecie K dintre drepteleD i.

Fig. 5.29 Etapele de aflare a proieciilor punctului n care o dreapt neap un plan sunt urmtoarele (fig. 5.30.a): Se construiete un plan auxiliar care conine dreapta. Fie acesta planul [P], proiectant fa de [H]; Se intersecteaz urmele de acelai nume ale planelor [P] i [Q]. Se obine dreapta de intersecie (, ). Dreptele i D se intersecteaz n punctul I (i, i) care reprezint tocmai punctul n care dreapta D neap planul [Q]. sau (fig. 5.30.b):Geometrie Descriptiv

63

Planul

Se construiete un plan auxiliar care conine dreapta. Fie acesta planul [P], proiectant fa de [V]; Se intersecteaz urmele de acelai nume ale planelor [P] i [R]. Se obine dreapta de intersecie (, ). Dreptele i D se intersecteaz n punctul I (i, i) care reprezint tocmai punctul n care dreapta D neap planul [R].

Qv Pv v' i' ' x Px=v i h Qha) Fig. 5.30

Rv d' i' h' Q O x x Px=h' i d = Ph Rh h Ph

Pv d' ' v' v R x

d

b)

Considernd planele opace, se impune clarificarea viziblitii dreptei D n raport cu planul [P]. Astfel, se pot enuna urmtoarele reguli de vizibilitate: Dintre dou puncte care au proieciile confundate pe planul orizontal de proiecie, este vizibil pe [H] acel punct care are cota cea mai mare (fig. 5.31); Dintre dou puncte care au proieciile confundate pe planul vertical de proiecie, este vizibil pe [V] acel punct care are deprtarea cea mai mare (fig.5.31); Astfel, punctul A este vizibil pe [H] deoarece cota acestuia este mai mare dect cota punctului B. Pe planul vertical este vizbil punctul A, deoarece deprtarea acestuia este mai mare dect deprtarea punctului A.[V] a'=b' B a=b [H] B A

A

Fig 5.31


64

Planul

Pentru a determina punctul n care dreapta D(d, d) intersecteaz placa triunghiular ABC se procedeaz astfel (fig. 5.32): Se construiete un plan auxiliar de capt care conine dreapta P (Ph, Pv); Se intersecteaz planul P cu planul plcii triunghiulare ABC; se obine dreapta de intersecie MN (mn, mn); Punctul n care dreapta D neap planul ABC este punctul n care aceasta se intersecteaz cu MN, I (i, i); Se clarific vizibilitatea considernd punctul 1M i 23. b'Pv m'=1' a' x m a 1 n c Pv i b d 2=3 i' n ' 2' d' c' Px O 3'

Fig. 5.32

5.6.3. Dreapta perpendicular pe un planO dreapt perpendicular pe un plan este perpendicular pe dou drepte distincte din plan. Astfel, o dreaptD perpendicular pe plan, are n epur, proieciile perpendiculare pe urmele de acelai nume ale planului.

Rv

d'

m' x m d RhFig. 5.33Geometrie Descriptiv

Rx

O

65

Planul

Pentru construcia perpendicularei n punctul M pe planul planul plcii triunghiulare ABC, se parcurg etapele (fig 5.34): Se construiete orizontala C2 a planului triunghiului ABC; Se traseaz proiecia orizontal a perpendicularei d g ; Se construiete frontala A1 a planului triunghiului ABC; Se traseaz proiecia vertical d ' f ' .b' d'g' 2' f' 1'

c'

a'

m'

x d ag 2

O c m1 f

Fig. 5.34 n figura 5.35 sunt reprezentate drepte perpendiculare pe plane proiectante fa de planele de proiecie. Perpendiculara pe un plan proiectant este paralel cu planul de proiecie pe care este perpendicular planul proiectant. Astfel: a) Dreapta D este perpendicular pe planul vertical [P] i este paralel cu [H]; b) Dreapta D este perpendicular pe planul de capt [Q] i este paralel cu [V]; c) Dreapta D este perpendicular pe planul [R] [W] i este paralel cu planul lateral de proiecie. Observaie: Dreptele perpendiculare pe planele paralele cu planele sistemului de referin sunt drepte dublu particulare, respectiv: verticale, de capt i fronto orizontale.P v d' i' Qv d' i' m' Px x m d i O x d m Ph i Qh Rh d y Qx O x d' i' m' m i O i" d" m" Rw y1 z Rv

m'

a)Geometrie Descriptiv

b) Fig.5.3566

c)

Planul

Pentru construcia unei perpendiculare pe o dreapt oarecare D, dus printr-un punct M, se parcurg urmtoarele etape (fig. 5.36): Se construiete planul [P] care conine punctul M i este perpendicular pe dreapt; Se construiete urma vertical Pv a planului, paralel cu proiecia frontalei f' construit prin m i perpendicular pe proiecia vertical a dreptei, d; Urma orizontal Ph a planului este perpendiculara dus prin urma orizontal h a frontalei pe proiecia orizontal d a dreptei, iar urma lui vertical Pv este paralela la f' dus prin intersecia Px a axei OX cu urma orizontal Ph; Se construiete planul vertical proiectant [Q] care conine dreaptaD; Qhd; urma vertical Qv este perpendiculara pe axa OX dus prin punctul de inersecie Qx al acesteia cu urma orizontal Qh; Se construiete dreapta de intersecie dintre planele [P] i [Q]; Punctul I (i, i') de intersecie dintre dreptele iD este piciorul perpendicularei pe dreaptaD prin punctul M.Qv v' d' Pv m' f'

i' '

Px x

h'1

h' i Q =v x O

h1 d=Qh= Ph h m f

Fig. 5.36

5.6.4. Reprezentarea unei figuri plane n plane simplu particularePentru exemplificare (fig.5.37), se consider ptratul ABCD care aparine planului de capt [P] la care se cunosc urmtoarele date: coordonatele vrfului A, dimensiunea laturii AB, aceasta fiind situat pe o dreapt 1 perpendicular pe planul [V] (de capt) i coordonatele punctului Px.Geometrie Descriptiv

67

Planul

Se parcurg urmtoarele etape: 1. Se construiete planul [P] prin urmele sale:Ph,Pv,Pw tiind c urma Pv trece att prin Px ct i prin a. 2. Deoarece AB este o dreapt de capt proiecia ab este n mrime real. Proieciile a i b se gsesc pe urma Pv la intersecia acesteia cu linia de ordine dus prin a, respectiv b. Analog se gsesc proieciile a i b. 3. Unghiul drept format de AB i AD se va proiecta n mrime real n planul [H], deoarece are una din laturi paralel cu acest plan de proiecie. Deci dreapta AD este o dreapt frontal, paralel cu planul [V] care coincide n planul vertical chiar cu urma Pv. Astfel, pe urma Pv se msoar segmentul ad care se proiecteaz n mrime real. Prin d ducndu-se linii de ordine se gsesc i proieciile d, d. 4. Analog se procedeaz pentru determinarea proieciilor i vrfului C al ptratului, respectiv c, c, c.

Pz Pv a'=b' ala az=bz

z

Pw f"1 f"2

a"

b"

"1

c'=d' Px x f1

re m.

cz=dz ax=bx a m.reala ay=dy O

d"

c"

"2

cx=dx d

ay1=dy1

by1=cy1

y1

f2 Ph

c 2

b 1

by=cy y

Fig.5.37

5.6.5. Intersecia dreptelor cu planele proiectante.Vizibilitatea) Intersecia unei drepte cu un plan vertical (fig. 5.38). Proiecia orizontal a punctului de intersecie se afl la intersecia urmei orizontale a planului cu proiecia orizontal a dreptei.Geometrie Descriptiv

68

Planul

P v i' d'

Px x d i O

Ph

Fig. 5.38 b) Intersecia unei drepte cu un plan de capt (fig. 5.39). Proiecia vertical a punctului de intersecie se afl la intersecia urmei verticale a planului cu proiecia vertical a dreptei.Qv

d' i' Qx x d O

i

Qh

Fig. 5.39 c) Intersecia unei drepte cu un plan proiectant fa de [W] (fig. 5.40). Proiecia lateral a punctului de intersecie se afl la intersecia urmei laterale a planului cu proiecia pe planul lateral a dreptei.z

Rv i' d' x i Rh y d O i" d" Rw y1


69

Planul

ntrebri referitoare la reprezentarea n epur a planului 1. Ce sunt urmele planului? 2. Care sunt planele proiectante fa de planele de proiecie? Ce proprieti au? 3. Descriei etapele de construie a urmelor unui plan definit prin dou drepte concurente. 4. Cum se determin poieciile unui triunghi situat ntr-un plan definit prin urme? 5. Care este condiia ca un punct s aparin unui plan? 6. Ce poziii ocup n epur proieciile orizontalelor i frontalelor unui plan? 7. Ce sunt liniile de cea mai mare pant? Descriei modul n care se pot construi urmele unui plan cnd se cunosc proieciile liniei de cea mai mare pant fa de [H]. 8. Un plan este reprezentat prin: a) 2 puncte din plan; b) 3 puncte din plan; c) 1 punct din plan. 9. Ce se nelege prin urmele unui plan? a) Dreptele de intersecie ale acestuia cu planele de proiecie; b) Punctele de intersecie ale acestuia cu planele de proiecie; c) Planul de intersecie al acestuia cu planele de proiecie. 10. Planul simplu particular este: a) Paralel cu unul din planele de proiectie; b) Perpendicular pe unul din planele de proiectie; c) Paralele cu toate planele de proiectie. 11. Planul dublu particular este: a) Paralel cu unul din planele de proiecie; b) Perpendicular pe toate planele de proiecie; c) Oarecare fa de planele de proiecie. 12. Figura coninut ntr-un plan se proiecteaz n mrime real atunci cnd: a) Planul este oarecare fa de planele de proiecie; b) Planul este perpendicular pe unul din planele de proiecie; c) Planul este paralel cu unul din planele de proiecie; 13. Care este condiia ca o dreapt s aparin unui plan? a) 1 punct al acesteia este coninut n plan;Geometrie Descriptiv

70

Planul

b) 2 puncte ale acesteia sunt coninute n plan; c) Dreapta i planul nu au niciun punct comun. 14. Dreapta este perpendicular pe un plan dac: a) Este perpendicular pe dou drepte distincte din plan; b) Este paralel cu drepte distincte din plan; c) Este concurent cu o dreapt particular din plan. 15. Cnd sunt dou plane paralele ntre ele? a) Urmele de acelai nume sunt concurente; b) Urmele de acelai nume sunt paralele; c) Urmele de acelai nume sunt perpendiculare; Probleme propuse 1. S se determine urmele planului determinat de punctele A (35, 25, 10); B (15, 33, 30) C (50, 5, 25). 2. S se determine proiecia vertical a triunghiului ABC coninut n planul P. Se cunosc: [P]=[Px(90,0,0); M(80,9,0); N(80,0,8)]; A (60, 10, zA); B (50, 25, zB); C (25, 15, zC). 3. S se determine dreapta de intersecie a planelor P i Q, definite prin urme. Se cunosc: [P]=[Px(90,0,0); M (80,3,0); N (80,0,8)]; [Q]=[Qx(10,0,0); A (15,6,0); B (15,0,3)]. 4. S se determine punctul comun (de intersecie) a trei plane. Se cunosc: [P]=[Px(90,0,0); M (80,5,0); N (80,0,7)]; [Q]=[Qx(5,0,0); A (10,2,0); B (10,0,6)]; [R]=[Rx(25,0,0);C (30,12,0); N (30,0,8)]. Indicaie: se intersecteaz planele dou cte dou; punctul cutat este punctul de concuren a dreptelor de intersecie. Se vor intersecta P i Q, respectiv P i R. 5. S se determine punctul n care dreapta AB neap planul P. S se clarifice vizibilitatea. dreptei n raport cu planul P. Se cunosc: [P]=[Px(25,0,0); M(35,7,0); N(35,0,10)]; A (75, 18, 5) B (30, 48, 53). 6. S se gseasc punctul n care dreapta MN neap placa triunghiular ABC. S se clarifice vizibilitatea dreptei n raport cu planul ABC. Se cunosc:Geometrie Descriptiv

71

Planul

A (65, 30, 15), B (45, 10, 40), C (10, 45, 5) M (60, 13, 14), N (25, 50, 27). 7. Se consider planul de nivel [N ] de cot zN = 30 mm. S se construiasc proieciile rombului ABCD cunoscndu-se c diagonala AB [V ] , A(50,10,zA), B(xB, 50,zB), xC > xA, i diagonala CD = 30 mm. 8. Se consider planul de nivel [N ] de cot zN = 20 mm. S se construiasc proieciile triunghiului echilateral ABC cunoscnduse c latura AB [W ] , A(40,10,zA), B(10, yB,zB), yC < yA. 9. Se consider planul de nivel [N ] de cot zN = 50 mm. S se construiasc proieciile dreptunghiului ABCD cunoscndu-se c latura AB [V ] , A(30,20,zA), B(xB,70,zB), xC < xA, i latura AD = 20 mm. 10. S se determine dreapta de intersecie dintre plcile triunghiulare ABC i MNP. S se clarifice vizibilitatea. Se cunosc: A (102, 45, 24), B (75, 81, 58), C (34, 7, 3), M (105, 34, 8), N (68, 0, 63); P (18, 51, 21).


72

Poliedre

CAPITOLUL 6 - POLIEDRE

6.1 Reguli de reprezentare n epur a poliedrelorPrisma este poliedrul mrginit de un numr oarecare de fee avnd forme de paralelograme sau dreptunghiuri i de dou fee paralele i egale ntre ele, numite baze ale prismei. Numrul laturilor unei baze este acelai cu numrul feelor laterale. Prismele ale cror muchii laterale sunt perpendiculare pe baze se numesc prisme drepte, iar feele laterale ale prismelor drepte sunt dreptunghiuri. Prismele ale cror muchii laterale sunt nclinate fa de baze se numesc oblice, iar feele laterale ale prismelor oblice sunt paralelograme. Piramida este poliedrul la care una din fee este un poligon cu un numr oarecare de laturi i care se numete baz, iar celelalte fee sunt triunghiuri ce au un vrf comun numit vrf al piramidei. Poliedrele se reprezint n epur prin proieciile muchiilor. Proieciile muchiilor se obin prin unirea proieciilor vrfurilor n aceeai succesiune ca i n spaiu. Poligonul rezultat din intersecia suprafeei poliedrale cu planul de proiecie se numete contur aparent al poliedrului pe plan. Dup planele pe care se obin proieciile, se disting contururi aparente pe [H], [V] [i [W]. Reguli de vizibilitate: a) Feele poliedrului sunt opace; b) Conturul aparent este ntotdeauna vizibil; c) Punctele coninute n fee vizibile sunt vizibile; d) Dac n interiorul conturului aparent, dou muchii se intersecteaz aparent, atunci una din muchii este vizibil, iar cealalt este invizibil; e) Dac ntr-un punct din interiorul conturului aparent converg mai multe muchii, atunci toate muchiile sunt vizibile sau invizibile, dup cum este vizibil sau invizibil punctul de convergen. n figura 6.1 este reprezentat o prism triunghiular ABCDEF, cu baza coninut n [H]. Muchiile laterale au proieciile de acelai nume paralele. Pentru clarificarea vizibilitii, s-au aplicat regulile enunate anterior. n figura 6.2 este reprezentat epura unei piramide triunghiulare oarecare SABC, cu baza ABC situat ntr-un plan oarecare, S fiind vrful piramidei. Proieciile muchiilor se obin unind proieciile de acelai nume ale vrfului piramidei cu proieciile vrfurilor triunghilui de la baza acesteia. Se aplic regulile de vizibilitate.


73

Poliedre

e'

f'

d'

z

d ''

e ''

f ''

b' x b

c'

a' a

a '' b '' O

c '' y1

c d e

f

y

Fig. 6.1

a'

z b'

a '' b '' s ''

s' c'' O c b s a yFig. 6.2

c' x

y1

6.2. Seciuni plane n poliedreForma seciunii determinat de un plan ntr-o piramid depinde de poziia planului de seciune. Astfel: dac o piramid este secionat de un plan ce i intersecteaz toate muchiile laterale, seciunea este un poligon cu un numr de laturiGeometrie Descriptiv

74

Poliedre

egal cu al poligonului de baz (fig. 6.3a); dac planul secant intersecteaz baza piramidei, atunci una din laturile poligonului de seciune este coninut n baza acesteia (fig. 6.3b). dac planul de seciune conine vrful piramidei, poligonul de seciune rezultat este un triunghi (fig. 6.3c).

a) Fig. 6.3

b)

c)

Forma seciunii determinat de un plan ntr-o prism depinde de poziia planului de seciune. Astfel: dac prisma este secionat de un plan ce i intersecteaz toate muchiile laterale, seciunea este un poligon cu un numr de laturi egal cu al poligonului de baz (fig. 6.4a); dac planul de seciune este paralel cu muchiile laterale ale prismei, seciunea este un paralelogram (fig. 6.4b); dac planul de seciune este neparalel cu muchiile laterale ale prismei, dar i intersecteaz bazele, seciunea este un trapez (fig. 6.4c).

a) Fig. 6.4

b)

c)

Pentru a determina vrfurile poligonului de seciune, obinut prin secionarea unei prisme triunghiulare oblice cu baza coninut n [H], cu un plan oarecare [Q], se procedeaz astfel (fig. 6.5): Se construiesc planele auxiliare proiectante (n exemplul considerat plane de capt) P1, P2, P3, care conin muchiile prismei; Se intersecteaz aceste plane cu planul Q, obinndu-seGeometrie Descriptiv

75

Poliedre

dreptele H1V1, H2V2, H3V3; Se intersecteaz muchiile prismei cu dreptele determinate anterior i se gsesc punctele M, N, P care reprezint vrfurile poligonului de seciune; Se clarific vizibilitatea acestuia.

Pv2 e'

Pv3 f'

Pv1 d' v' 3 v'2 v'1 m' n' v2 b ' v3 b n h2 d p h3 Ph2Fig. 6.5

Qv

Qx x

p' v1 c' m c

a' O a

e

h

Ph3

1 Qh Ph1

Pentru a determina vrfurile poligonului de seciune obinut, prin secionarea unei piramide patrulatere oblice cu baza coninut n [H], cu un plan oarecare [Q] (fig. 6.6), se procedeaz astfel: Se construiesc planele auxiliare proiectante (n exemplul considerat plane de capt) P1, P2, P3, P4 care conin muchiile piramidei; Se intersecteaz aceste plane cu planul Q, obinndu-se dreptele H1V1, H2V2, H3V3, H4V4; Se intersecteaz muchiile piramidei cu dreptele determinate anterior i se gsesc punctele M, N, P, Q care reprezint vrfurile poligonului de seciune; Se clarific vizibilitatea acestuia.


76

Poliedre

s' P1v Q v v' 1 v' 2 m' P 4v

v'4 q' v' 3

n' a' x b' d' v4 v3

p' c' Qx O q

v1 d

a m s p c P4h h3

n b P2h h4 P 1h h2 P3h

h1 Qh

Fig. 6.6 n cazul n care planele de seciune sunt plane simplu particulare, se determin vrfurile poligonului de seciune astfel: a) Pentru prisma patrulater oblic cu baza coninut n [V] care se secioneaz cu planul [P] proiectant fa de [H], se parcurg etapele (fig. 6.7): Se intersecteaz muchiile acesteia cu urma orizontal a planului Ph; Se gsesc proieciile vrfurilor poligonului de seciune mnpq pe [H]; Se ridic linii de ordine din aceste puncte i pe proieciile verticale ale muchiilor prismei se gsesc proieciile verticale ale vrfurilor poligonului de seciune mnpq; Se clarific vizibilitatea.


77

Poliedre

v b' 1 a' 1 n' d' 1 m'

c' 1

b' p' q' a' c'

P x

d' x c b d a O

p

n

q m P h c b d 1 a

1

1

Fig. 6.7 b) Pentru piramida triunghiular oblic cu baza coninut n [H] care este secionat de planul [P] proiectant fa de [V], se parcug etapele (fig. 6.8): Se intersecteaz muchiile acesteia cu urma vertical a planului Pv; Se gsesc proieciile vrfurilor poligonului de seciune mnp pe [V]; Se coboar linii de ordine din aceste puncte i pe proieciile orizontale ale muchiilor piramidei se gsesc proieciile orizontale ale vrfurilor poligonului de seciune mnp; Se clarific vizibilitatea.


78

Poliedre

s'

Pv n' m' p' b' x a a' m c' Px O

s b n

p c Ph

Fig. 6.8 n cazul n care planele de seciune sunt plane dublu particulare, iar bazele poliedrelor sunt n planele de proiecie, poligonul de seciune este paralel cu baza poliedrului (fig. 6.9). n figura 6.9a este reprezentat, n epur, seciunea fcut ntr-o prism triunghiular oblic cu baza n [H] de un plan de nivel Nv. Proiecia seciunii n plan vertical este suprapus peste urma planului. n figura 6.9b este reprezentat n epur seciunea fcut ntr-o piramid triunghiular oblic cu baza n [V] de un plan de front Fh. Proiecia seciunii n plan orizontal este suprapus peste urma planului.


79

Poliedre

e' Nv 2'

f'

d' 3' 1' Nv

s'

1'

a'

2'b' x b 1 2 d e 3 f c c' a' O a

b'

3'

x Fh 3

c' c 1

a 2

b O Fh

s

a) Fig 6.9

b)

6.3. Interseciile poliedrelor cu drepteProblema determinrii punctelor n care o dreapt neap un poliedru se reduce la problema seciunii plane ntr-un poliedru. Planul de secionare auxiliar este un plan proiectant care conine dreapta (metoda seciunii transversale) sau un plan care conine dreapta i secioneaz longitudinal poliedrul (metoda seciunii longitudinale). Pentru clarificarea vizibilitii sunt necesare urmtoarele precizri: Dreapta este vizibil n afara conturului aparent al poliedrului; ntre punctele n care neap poliedrul, dreapta este invizibil; Se clarific vizibilitatea poriunilor din dreapt situate ntre punctele de intersecie i conturul aparent al poliedrului, analiznd vizibilitatea feelor pe care sunt situate punctele de intersecie. Metoda seciunii transversale Pentru a determina punctele n care o dreapt neap un poliedru (prism, piramid) se construiete un plan auxiliar care conine dreapta i care este perpendicular pe unul din planele de proiecie. Se gsesc punctele cutate la intersecia dreptei cu poligonul de seciune. n figura 6.10 este rezolvat intersecia dintre o prism i o dreapt, folosind metoda seciunii transversale. Etape: Se reprezint n epur proieciile dreptei D (d, d) i ale prismei ABCDEF; Se construiesc urmele planului Q, proiectant fa de [V], care conine dreapta D (Qvd, QhOx); Se determin proieciile seciunii transversale [123]; Se gsesc proieciile punctelor M i N n care dreapta D intersecteaz seciunea transversal. Acestea reprezint chiar punctele n care dreapta D neap prisma considerat;Geometrie Descriptiv

80

Poliedre

Se clarific vizibilitatea.

d' =Q v 2'

f' m' 3'

n'

1' Q x O

b' x b

c'

a' a 1

Qh

c n 3

2 d

m e

d

fFig.6.10 n figura 6.11 este rezolvat

Geometrie Descriptiva IEI1 2008-2009

Documents

Transcript of Geometrie Descriptiva IEI1 2008-2009