Geometrie Descriptiva-Tanasescu (2)

7/14/2019 Geometrie Descriptiva-Tanasescu (2)

http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-descriptiva-tanasescu-2 1/159

L_,ily.un-rlu,,o""jilT'i3;'l""jJ:jj:1 ele3e.rdn.,l.nlaiu-1ggu1Ln1o"1JrJ";lp ' Ir lnlosn.rled eiaua;ug eliurpli-; ; ; ;q'(,9 'g ) erc;tuoz'rso

I nl rrrrr' ,-".-^-. ._a_0.+BJlls (,.r .t )atrio

# #fi it#:li,{i:iJ"= 't

:+ri,i:t#{,i,,-',1,l#!i3i',?,'ll;,frp:ffit*::,{}#flrffi;l;il:'f"&#dil{iii:#'i|:it.?i:l lrt g""o",.J;ffiil,il jil:q?i*ry#;tii*l!i,,l'i.tiiliL:rt,T?iir:i :$i.-"-',,'?-""'- i;ii;"i:ni##rilll r'?iJ,xj:{i:"j,

ff5#,;ty;yJvgvuans

ajj

rhnr1i-vlijvt'Jfr'T?iiftrT? %T:-:'-1":-Flsear'Piii,',i,ili"[,ri;; p1:ncr11

frf;t,iji5p*i'**k"Ji#L'*[frl,t1i,",'i'L'ti:'sriil"'"ffi

i,i{di't ua;l:'3lffi?;'irut'j. " r t / (J lrruelo ul lqoas ,plnrggei ieior

.-u]y:n"Ua1uaFue1.aueldalsjrn irf

p' ini lnl,: j{.,. lgy:1,Ju ledrjurrd,nlnunipiirl

ii? {:r;i;t*rir;":fi,F*#_ap eldea:peur,rap'i1u1o,."tnil-rrJil 9_eleluozitovzbazI tprtp:r n ,-,,-,r -lllll 'n t

elsBoJBrlued

i $;?i,tdi{ ,: ''r"d}"H'$,7:i. ?t) ii;;:# ui"',1"5,i'5i,1.1]f',tjiij:.,"tj*J?d_r1u1irn iti 1r1"rn4'ppfii;;::.^:j:l ln er iua;uelublii-;n'un';"ill;TI'1T_T*$.

qry.Urr,rrua'rva,d;l la'rvuvarrrEcrvvi-ivi"jr; 6l

;rr,ur?*+::jfr't4;fi":f#.--riJl ru:,i;tlr;;i;;h$L",llrl

egot 'Ftg

\ \ ' . \

qsgot 'Ft.I



Fig. l0, r jO

, + . P-LAN TANGENT DUs PRINTR-OUffiE{PTADATA.Pentruu;urinfi, se ra con-l l t i i i in:i reapta n pozilia de orizontall. SI se.iurLl},nm,;:-iascdstfel urmele unui plan tangentlu ,L :or, cu axd verticali, clusprintr-o oriZon-"iru G rg , g' ) datd. Se rotelte orizontala

9(g, g') . i r r pozit ia de dreaptl de capit

Gr (gr,gi ) ( f ie . 10.61). lanele 'de capat tbn-gente suprafe{eiduse prin aceasti dreapti decapdt au urrneleverticaleconvergenten urmavi, f i ind dir i jate dupd ,tangentele ' , t i , t 'z

sau t [ la meridianul pr incipal de front altorului. Se considerl unul dintre acesteplane,;i anumece l careare urma verticali t ' . Punctulde tangenld or, qi ) dintre acestplan de capdtqi tor se intoarcedi n rota{ie in (a , a'\. Plaiultatrgentcirutat este determinat de acestpunct(a , o' ) qi de orizontala (g, g').

10_.4.6.ECTTUNE R|NTR-UNPLAN DE CA -PAT (PROIECTANT). S[ se construiasc[ osecfiune lanl in torul cu axi verticali, printr-unplan de capdt tangent cerculuimeridian prin-cipal.Sevor uti l iza ca planeauxi l iareplanedenivel care se intersecteaz/au planul P dupirdreptele de sapdt Gr ( f ig. 10.62) (i ==0,'1,2, 3, 4). Aceste drepte de caplt inti lnescparalel i i ob{ inufi in ior , cu ac'ela; i lan denivel, in puncteleserc{ iuni i lutate. Punclul(t , t ') de tangenlei .steun punct ctublu real.Punctelesecfiuni i plane si iuate pe conturulaparentor izontal sint l , 4 ,2 5i 3. Punctelesituate espectiv eparalelul uper ior ; i nfer ior

Fig. 10.61 Fig. 10,62

201



aaE99'0t 'FIC

'90t '8tc

8901 'Ftrl

FIB^Jozar; aleodBujalqord alrnqFnopurp

Flty_r"J n:ied lnperFap pqlnr b efsjauhllri's: t .rJj l?

(,zt zi rs ,u ,t i) ,(,01or) (,d',0):l"Jiy,n!.3p Hta^tyapa.rera.rdbre1,l'ta un'(,1.J)._pleluorJr rsg truo:Jp nuejd i yeaiJ:yl i i lTrpuauradalnuliqb(, 'd,d)r$1,1

i;

Ttq Er,"apad1e;(,tr

r: s alJueia r alnu- ; |qo/,9r .qt )

!scsi gi i" t ,v i

,v i , ( ,8r 8r)

:11i9apad

ugs ecrlia.triaieorin.rrilubcti?lt]lil a-tapund..gHla^lugp nuuld ceinurfqo^!t8'Q) i (,L'D 'Lg ,9) (,g,g)-luF

leluozlro1ua;eu.l r l-LTo_Jda1en1s'urild'r un1"o,a1"1;?"lg_,.qt

1i l'o Ereluozuo,v i) re ' ,e ej

' \ ,2, z) '(,1 l) ug ,rrlcadsajsauirtr i ijec urors3:,-?1:.r^3p 111a1e.reddnp 1nki1

gzeauorleos

;H IaAru paJerarBo;nue1d, laJlsvrrunrlcai 'a1e

11g-r1outs r.l,r1cadsa:1Iia1e:n'cis Jlilrluor,ro

?jl"ll:jLyorotalrund r1a1e-red

sdnirnro; .rer'!CelalBllrozr.roF_dnp1nue1dzeauoilrasirelriil:::f

-{eg'Ot FU) la^ru ap o.rerllineeuejd:1.jlt^11-nas zpr lsareui rg .aur.rri'u;rO

lupioJslaJuo.u;d.un_t1u;rdp1uJ;paluxu ep lnJolu;,guuldaungfres prseJrirlsiioei gg .aUVC

-euvoNv'rdNn.urNrudrunrlcdSL.v.ar

:g.,:*.jg-'sufsH a^ru p nuelrt,,'3l"li,t' t lunr lresa1e lrundol lv .p l iSl

iSal" , l I lu ls



nn"desectiuner i planproiectant decapat) .rea-rfi s2lg a fostgisitd secfuneacu planul

nar mult l precizieuti l iz ind o schimbarcpla.-lertical de proiectiecaresI transforrnc

tt ' , g ' gi r ' , care eprezintd roiecfi i le ert icaleale punctelor n care dreaptaD (d, d') inter-secteaztiorul. In acestcaz, toate puncteledeintersecfiesint reale.

10.4.9.TEOREMAVILLARCEAU.CONSTRUC-

TI A SECTIUNII.Sd se demonstrezeeorema uiVif arceau: Orice plan bitangent unui tor sec-lioneazd suprafala dupd un sistem de doudcercttri, ale cdror razestnt egalecu raza cerculuimiilociu al torului. Fi e cercurilede razd.r cucentrele n coiqi <ol, are alcdtuiescmeridianulpr incipalal torului s i tuat n planul de front F(f ig. 10.67). ie P' urma ver l ical5 a planuluide capit bitangent suprafetei n punctele a'gi b'de pe mer id ianulpr incipal. Planul deIt ivel H' sec!ioneazduprafafa upd paralelulde razAcoc, ar planul de caplt, dupa dreaptade capdt ce se proiecteazi veriical in m'.Punctul M (m, mi; esteun punct al secJiuni iplane.

Trebuie sd se demonstreze d loculgeometric al punctelor M astfel determinateesteun cerc.Se rabateplanul PP ' carecon{inesec{iunea e planul de front F, luind urma P'ca axd de rabatere.Punctul M (m , m') se abateastfel in mo pe perpendicularan m' pe P'.Avem ril'mn : pm. Se observi de asemeneadf) 'mn : C)'c', ca adevarati ungime a s egmen-tului (Om, 0'm') . Se prelungeqte'oi i piniinti ltreqteP' in e' ;i se duce perpendiculara

ur ,ngurd bucld determinatl prin punctelen ne ntersecfia rmei verticalePi a planu-ue apat cu noul contur aparentvertical alulluu-./or fi astfel clutate in mod specialni e-risti) punctele secfunii situate pemmu:,e.eridian principal, pe cercul colier,umr:ulecuator^sau e cercurile imita infe-

r.a;superior. n epuradi n figura 10.65esteLr altd sectiunen to r cu un plan oarecare.

r curbi de secfiune onfineun punct:ral.

,$ TNTERSECTTAINTREO DREAPTA

proiect ia ert icalS '2'3'4'5'6'7' a- : s i tuatedeasupra lanulu iH'. in rest,e estesimetricS.Proiectia verticald d'

'd&nmn::inti lneqte aceastl sec{iune n m',

UininrOR.Sd sedetermineproiecfile punctelorliimsecfie dintre o dreaptl oarecareD (d, d')l[ r !t r cu axd verticall. Se construie$tesec-umn n tor efectuatd u planul vert ical a

nr::: dreapta D (d , d' ) (fig. 10.66). Sec-mrr;uprafataprin citeva planede nivel, se

:e PP ' dat prin urme in torul cu axaia din epura 10.64.Secfiunea st ecurba

' / t , \ t| { ati l n '\ f \

Fig. i0 .67ig. 10.66

203



naa

BaJJBllrn)lJnf,ral gnop gdnp ,I InJol gzeau{:ras ,d InuBIdun3 '(alua8uelrq1u1s 1a}atrurlnselsale lnzer u1)aluaFuelaia;erdnsgnoplol- eunlsJalut uud ?ruJojsueJlas aluaFuel

ue:dns Enopa3aJBoep,I rnlnJoi lueFuelrq

e /d InuBId"I

Jol ll B un-JluJaunrsJoAut/u1.."- lu lJ ' -"11t"" . .

iC_erurolsueJls I Ielllul InJO+ Br ,,6 ueld-rlur aunrsJa.a,urr:d ErrJJoJSuBJlsg plerirur,IS laJlsv 'rnlnJotre plBJr+JaAxe r$ g.laisrr p arfeas:alul9p alalcund ur p Inun lrunrs\ut. IB lod ur eFJle.'agnBarJBIIrA nl BruaJ1 IS eunrsJe^ur rJCl aJBruJOJSUPJlUTSOIOJaJoal BlsealB BJlsuourapaleod aS, .rJniJaJ

., pdnp lnJol pzDapasralul ol mun pyua8unqlq

$ aclto :wtgHNVWvweuoar 'ot '?'ol

rnlnJJaJ E BSJaAutBaJBuJoJsue.ll nc r$

JelllA rJn3JoJno p $ uprprJarrrn '1a1e;ed

o : , I , { : ,C,e :JFAeps-J}UIP3 FlJnzaJ

t , I re : , f , /e tUnJ I$ , I ,e : ,?,e l l lnc

t r l re* ,er) t : , I , { JBI

' r t ,E * ,E,d : /J/a . IB(J

. , { ,e : ,e/e :Ar lou r$e1ate t luad , [aJ p' I

I : rJnJJoJ, t led ap ualsrs un aJaJl tn ln lo l?JpJons o- lEnlJSlJund aJtJouud ,elsore

1n1a1

,*l'o

,4,U

89'01 '3t i l

,t l ' |o,a

/ru/o ,0,o

'3orql * Burlru

/f,,a +utsaxe

alsecy

jcrac

atrse_Becap -a1u8a:elnarpuad;ad xe enoplua8uBlrq rgduc p 1nuu1d 3 rnlnrol erlcasu! u!p Flel lnzeJ unlfcas p BqJnJ :epe$y

'rUr? ,8,? : ,JrO /q/e : uaAB a1redqtle ap ed_'JJar Selacu 1pund

un-Jlulp esnpae8a aiuaFuel BJ r$ 'a1;ed o ep ad ,arJlaursmip FJ FAJasqo S ',J,I - ?c,rrro

- ,J,o :FJIpe.rnJnJol

1en1co1[rurnlnJ]al InJ]aruerp r pleEa,,ri$ uunrlcas B FIBJrlraa.erfcaro.rdpc azarls*rr.nuap s, BSalnqaJl lajisv

.pldurrsrEtu lnu:EinJBlllA-lnl teueroel e arletlsuouap glleffi spalBodas erndaBlsBoJB I JolrJaJaUasdria

rolaqurB, unuoJ 1u1s-rafolerdns IE ]uoJj ap

nmtlrcur.rdnuetprJarud alenirs ,q ,q) r$ ,u ,u)wiuaFuelop elelcund .(,a .ra)

I$ (, a .a)'1u;s

.ErJaJurln1a1eted d elenlrs lrunrfcas laleundE! '(,J 'rJ) !S (, r ,r ) alalcundourfuoc orradns[il laluJed

]tu ,rur168r u au ug lrpadsa: ledre

-uiud rnlnroienca $ rnlnJarloJaluaFuel alOrlafirop Fdnp lp]uoztJo gzualcarord es rJn)JaJalserv '(gg_Ot Fr1) nln-ro11enrcolfrur nlncrarBzeJ J ale8a lugsezEJ-oJcJale JJnJJeJ no p;rtp eundruor es pueld eaunrfras inBef,JBIIrA

!nI lauarool ur-roJuoJ .lefe;u.ldns1ua8uul1q

d lpd"r ep uu;d un-4u;rd ,p;ucg1ra,r?xp n,

lnJol u! puuld ucunrfresunru pJsulnrlsuoc spS'BlBJlsuouepIeJl:BelsanBarrplllA lnl puraroal'rnlnJol 1e nrcolfrru nlncJal uzeJ nJ JJaJunarJJsap u lnleund

,aJEruJnutJd .iuelsuoJ:: Ig,tl : jot,. l?aq 'a1e8a rnlpl Fnop arlulsulronr

.lpFe lr{dun un pu}Ae ,a1eFaluIS

suu,( t- lS Ir ,r ,( t aptnrqFunrrJ ,{ ,J,gp :: ,9uu,O F : oul,o,sF FcB.tJasqos t ou tno,s alsauneS .J BZBJ Ir,u : ,s,O ne r es r$

,d ed ,() ul p /s,O erelncrpuadred reoqorog.,t l 'outrUF : ,{ /J/0{> :IJa(J

'g1e3o 1a1ur rAalaznualodr euru,ur,O!S,J,r l ,1; atrq8unldarp 1r:nrq8unrr ;

.clo .el<o',u,(J : ,l,tT nPS

iE:

iE.repeiy

- ,Jrc' ,DIo pr In1du1p ,$ orJr.tiltit;

:1.o,15 c 1a1e.ledls a /ru,l aoalsoagro.a urco

,Ctp:

, t t"O:Fl [nzal ] t ,?,e r$ ,{,O,3

JolrJnrr l ;unlJl aJeuFluaser6 . ,e ,J ad ,q,15



liHi

I

Conu/a/bth fonu/s&+, lo, to u@+,241'a;r(134,11Q0,' fr colien0I (8.4rn44 lmeridrbnJ0tE;N Cotd o/ret:10

'F ig.

o sferd Storul dupd

9, 1 I 7' ,fizEtE ftat/Eutn?ftaltctA/ e0illc

0

:rn cerc, rezultdci intr-adevdrtd unui tor T intersecteazd

;istemde doul cercuri.

{.i1. APLICATII. lo Intersecfia intreuneliptic Fi un tor. Pentru determinarea

:i de ntersecfieintreceledoudsuprafefe

10.tig

psate-i utilizatii metodaproiec{ieicentrale(fig. 10.69). stfel,pot fi consiaeiiie elenouacercuriparaleliorizbntaliale torului obfinuiecu numdruldorit (e. pla.nq e nivel. 'Apoi

aceste ercuriorizontale int proiectate onicpe planql orizontal de proie'cfie in - virfulconului.Fiecareazdproidctatailnd o fronto-

--r',:-='1;;7;z/7' 5/ /4,,' ,/6,'r1b.,b,'

PnufcrArl" I

yrcorrtb i\k--

.-l..=-'-'r< l '

/ \ t lr\i I--J/ N

jr.-n#K '



902

e!aun1n. rnf 3 er fe lo. r l rd, (u loq. rodrq,psd11a)udord Fcrrro.J ap alerauaF alrop B lnper8aprdns uj s eJfelo.rpeteclrpunciit iNicS'A' f .S.Oi

ilIYrou 30 tll3tuovn3 '9'01

i inoa $'rnlniarloj ' i i,H ta^t"upinueroiinlrs-elsanlnrpur lr re ( ,9 ,g) y lpdecop BxB

eundnsa:doS .lpdsJ ep ?e&ol"JeueFpu!A?!llr un !$plur!ila^ uxenf,Jol un a4u;p alfeas! ep JeqrnJ 1;;iralordErsulnJlsuores pS og

F rurrdurrs s JotJoJurInlalBJEaao AIlJaou_ lenlrsa1fras.ra1u1p raqrnr alalcund .d tS{tu 'ru arlJeroJdrieaaceuI luls Jolunoa adnlrs alao JB r .I u r$ u gleiuozr:o ericarordluIS rarloJ ad elenlrs olatrcund arlcasralur

IJqJn)a1e apund ap Jpurnuun purrrlJalepErorpr lnrolnfe_nr gH !$ gH ,t l { . ,H

la l luerer lrxne laueldezt1ln ron oS '( tZ Ot

.F l t )(

i

Ih.i i -,uN(r-r;

I i \ ," ' j

i l l i ; ,

,s

c i;!,

Wr.:- -\\

\,'\

ii',il,''\..t

/l ff);

I

a --1'- -7

OZ'OIEI d

-l-I JJaJap InJJBalsa arfres:a1urop raqJnJ?leluozuo 1ire1or6(,gI ,gI)

!$ (,at .al)

D 6) '(,9 g) '(,2 ,z) ,(,9 g)luls aricasralul

op raqrnr a1e elcund allv .( ,9 ,g)lS (,a ,A)

luIS nlnJpur lrc (,F , i)lecr lran uarede nluoJ

ap BareoluJauaF.adlenlrsalolrund .( ,0I ,01)

'( ,b 'b) IS .( ,9 l t t),( ,S

lg)- tuls or iagi ir- iS

rolradnslnlaJe.led d a.llca,dserlenlrs alalJund'Lvl: 'tr11 $ (,_t l) luls. rnlnrol lnrolunca edalsnlISeJelcund'laJlsv..qcoS usr Icocouo azBJop rrJelBJpds nrpul lrs oJlurp erfrasralurap

elalcund larfras:a1ur 1ealcund allB BJFaleag'arlJesrrlut ap raqrnc Ie IBoJnlqnp lcund unalsa.rund 1sa-ry (91'gt .Fg) rnlnrol rnlnJerloc(/ l ' l) Inlrund ug 1uaFue1fr75zu t ap r$ 6 n.l1-uac ap [nJJaJAtrse JBo]JaJrpnJpJE IEJr]JaAInJpur lrJEJoprsuoJs.plBJ!Fe^ ux" nJ Jolun !s IUJllreA ?lnrrlr n.rpulllcun a.4ugp lfces-ralu! ep reqrnJallgfra;o;dprsuln4suoi as pS o6'1ua.tedelqnp loundun FlBluozrro rfcerord gPlurzeJ0 r lJasJJlur p BqJnS ale.raplsuorala;-Eronspnop alal arlurp arfoasralur p alalrundBlJnd JoA aJEc rnlnuoJ alaJeoleJauaFnp esInlnuoJB aJpolcaJlp sdrlanJ alelJeloJd .tnc:arJolsaJe 1earfcas:alul p alalcundurq .a.l,rpad

-sal alBJluoc ralfealord ;olgzundsa.loc JlueJun iuaprle BaAB BA lelcarord JJoJ aJpJJrC'lnlnuoJ e arpolcaJtp sd,lle nu nes)plcasJalulJoA aJpJIBluozlJO nue1duJ rJn)JeJ lJssepaselelJeroJd zeJelsacB 3 .1U1rugdap erur l adaulreru plBJpAopug plnulfqo r lsr plEluozrJo

t / '0 t 'F Ic



ndulde.rotafieu o piruzE,arepoate i obfinut

.-* iil ',%'?r"l',:r#';id ;i r' ' i'"e"ii.

rid.ul de rotafie cu doui pinze, care poate fi

i'iT,*i"iil.r ii?i.!'',Tl"Jirf urur 'xeiarede otatie,.are.poatei obtinutprin rotatiae rn Jurulaxei sale( f ig.10.90).

Exist i in general bt cuadrice:e rotaf ie,

Fig. 10.75

i"n

Fig. 10.7?

i^'ll/iperbo/oidu/ de

Fig. 10.76

Fig, 10.77

lltp er bo oi du derota llbcu opthzi

Fig. 10.74

207



_qdl. trdlurudp s-luilg '(69'0t 'dlJ, l lurJu! EJ 1B1lB0

{, s 's) s lnlcund pulraplsuoJ E}uopacarduuralqo;dD allJnJlsuoJ seaareBzll l ln BA as .FJEJ|IJeApx E+Eor ep pgologered n;$ (,9 .g ) y glduelp o arlulpEJolu! ap lolelrund e1J;ica;ord snru euluralap asFS 6

ug.ld snp pfulu.ldnsplsuer?e1 eluaiuu; aloueld,pespS (,W..W)1ed;ruJ.rdulpireru n ep u;3Jpr sxB nJ ,allDloJep plosdllJun DJaprsuoJS .g

'clacun gdnp nlnproloqu:edxead

puad:ad uld-uned qzeSlcaioid'eierieio:

ap ptoloqun-JlulBUBJdunrlJos JtJoEJ Jnldu;grsealurure

80G

-cunda;1serrfqo5* ls''rlfi:iliJ;?",91*'f"ilf;:lBzrauorlJas rp J rd

lurreld y nc eunardurgFutrulaleplnlnuoc IB S lnJrJ^ ur:d psnp y eldearp el (T g Ig ) IV

ulalsrEd (, 9 ,g ) y eldea:p r$ uor lsacea:1urpericas:e1urEzaanlJaJaS.ar nrloruerp op lnclal udnp uor lsaceBzseuorlcasIeluozlJo 1nue1d

.re1nrr1:ed uI . l lnJraJ

luls la^lu ap aueJd urtd rnlnuor alrrrnrfreJ .-reputy

'S nps InJrI^ u; 'prosd11aJ lue8uel 1nue1dug 1unls- 5 lcund *

JnrJar als€ alBr .pua1d pq:nc Enop B ounuor ur ns lpru 'pueJdpq.nr prulrd o pdnp elsac-e1n1aguI os-npulloosralul lnprosdrlo rS lnuoJ

.gsdrleglseaceaJsolJeJlp r.orpaJer ,(,s ,s)

S InJJJA J JnuoJujoplsuoras 'pldEarprS psdt laa:1urpalfcasralur p alal t r rnd rsqFe nrluad .,q,e uJ.JeJrlJoA zualroro:d s at esdlla udnpInprosotlo zuauollJas ldsalp BisBarB r:d sn p lpdec eplnusld '(18'01 3tJ) ftep eldea:p ( ,S .S t

V arg .egiulo. rep plosdlle un 1$ plduelp o arlulp e;fcesrolul ap rolel-rund ell l lJelord oulturelepas pS ' l :A'IdWgXg :Z.g.0l

. - 'a l le lolap lnproloqe.red1 r$ el le lo. rap

lnplosdl lau1 pldea:po-. r1ur:dsn paluaFuelaueld ap 16PldBorp nr rorlrasralurIBnrpnlsap olduraxa ^alJr oJlsEplere ro l ag 'alu.raua8rlelor ap alafa;erdns d alerpnlsalar ur IsBalocB u;s a!|e1orap aleruppnr e[ arBolrrsJaralatualqord a1e1Eu:o;afalerdnsInrppr u1 ,a1.rudapreularBJ BA as ala-Jerdnsolsare Inrpnlg

,gzugdo n:r arfelo.lap lnproloqrad!q J!uLlal le salrrfuarJde l. td eceof13 orl!qosoop n 'arfelo.r p .arrlpenJalsaee :1urq .oluarnJuoJ

nBs ololBled oldalp enop uI ulerauaSap lsa aJBJnB sJJaJun alsa aJ pJruoco ap a1e:aua8 rfelo: ep aJlrpunJluJs arer 16 aluruug ruur alurpnls lso1 nB arir ,5; iu1o.raP lnuor rS lnJpu!llJ

.u.ra;sgFnepe !eu os BolsaJBB.I

08'0t 'Fht

6/'01 'FIc

uu-Jlu} 6uulq durulJds oJIJ0 EJ JnloEJ Blspalulutp

Mn also aJllBoCalelnec ,u ,u)p rt (,ru ,ur)141

uI nJpurlrr lsaJpBzBalcasrelur,9 .g ) y eldua:qIr BlssaJBplenlls alse aJBr od letrpaa rnlnrp

BarpolJeJrp lBpolol also aJEJ ,q u nllauelp rp?onp IBlxozuoBzealrarold sulelu:dnsezuauorirasla lp UtJd snD lBdpJ eD lnuprd arpr pdnn n e ptpaar puy.rdsnp lpdecap 1nue1d Jer gdnp A,e'glerarlrarord ap e_sd11g(Zg'Ot .Flt)

Iurlur u1 1e1.rpd

680t '8tc

lB 0t '8hl



Fig. 10.83

u ::e S (s , s' ) punctul in care dreaptaD inter-rrru .rul de front F al axei (.o, ' ) (f ig. 10.83).

. , . : : :a conul cu virful S (s , s') circumscris upra-, ', --: l curbei de contact dintre co n qi suprafa{d

lL ,r -. de capdt QQ'. Planul tangent 1a acestcorrrr i lrr! i i- : :apta D (d , d') esteplanul tangent a sr_rpra-uuL:1..o:\cest on auxil iar se ntersecteazbu cil indrul

. -: . 'drui directoareeste cercul de diametru ab ,r -- conice al e cdror plane de capht Q' gi R. '

lr irr- irte armonic n raport cu planelede con.tact '

*- : - -eie or Q'9i R't lec respect ivpr in oi gi pr i r r

.: t intersec{ ieale generatoarelor e con. turl" i ": : i ical. Se uti l izeazi ca directoarea conuluil r - : : : e l ipseley '8 ' sau e'0 ' , care se proiecteazl...

i . .^:^^ - - , ,1 l- l :--,rr--- ^L r i tA l

l i - r : : e l lpsetey d' sau e'u, care se prolecteaza

:- - : :pi cercul de diamdtru ab. Fie e'0' aceastd..nur':" ooluhi conului 9i cil indrului, situat i in

r: ialdt R' . Pentm a construi plan.ul angent a:--. : dreaptaD (d , d'), seconsideripunctul (pr,i. r. ')r - :ast I dreapt i int i lnegteplanul RR' qi se ducei . r t . u ' t ' ) la el iosa e'e '- AceasiS ansenf i im-llr l. i rt , p. 't ') la elipsa e'0'. Aceastd angentd m-

uuumrlr- dreapta D determind planul tangent carett t lg!*:---: l dupd generatoareast , s't ') , iar suprafa{alllllLlri::L,l-"(n . n' ) comun acestei generatoaresi ola-, :-" N (n , n' ) comun acesteigeneratoare i pla-

rt : :pdt PP'. Problernaadmite in general dorri

$h :rrrsideri acum un paraboloid de rotatie, cu axaffiiu,uuri-efinit de un meridian principal (M, M'). Si se

! planete tangente la aceastl supraiafe duse prinq rd , d:). Fie S (s , s' ) punctul de intersecf iealD td , d' ) cu planul de front F al meridiarrului- {M , m' ) ( i is. 10.84). Se considerdconul cu- {M ' M' ) ( i ig. 10.8a). Se considerdconul cu

- :unctul S circumscr is uprafelei .Fie (a, a ') $i: -rctele de tangen{i al e gencratoarelor rontale:. : i cu mer idianul pr inc ipal . Planul curbei de

Fis. 10.84

planul de capit Q (def in i t de a' gi p ') , Acestplan sec-{ioneazdsupraiafa dupd o elipsi care se proiecteazd

orizontal dupi un cerc, de diametru ap, cleoarece-aardtat ma i su scd orice secf iuneplani intr-un paraboloidde rota{ie se proiecteazd e un plan perpendicularpeax d dupi un cerc. Se construiegteplanul tangerrt aacest oncircumscris uprale{ei usprin dreaptaD (d , d').Pentru aceasta,dirr purrctul (y , y'), in care dreapta Dintersecteazi lanul Q, se duc tangentele 1t , 1't ') sa u(ytr, r 't i) la elipsd. Punctele (t , t' ) sa u (tr, tj ) repre-zint l punctele de contact cu suprafa{a ale planelortarrgct t lc r rsepr i4 dreapta D (d , d') .

10.5.3.TEOREME REFERITOARE LA INTERSECTIACUADRICELOft.Este uti l si f ie re{inute urmitoareleteoreme privind intersec{iasupralelelor dc gradul aldoi lea:

l) Teorema Monge: Curba de interseclie dintre doud

cuadrice bitangente este formatd din douti curbe plane(cor.ttce), au allfel exprimat - doud, suprafele de gradulal doilcu circurnscrise celeiagicuadricese'interiecteazd upddottd curbe plane (vezi iig. 9.56).

2) Curba de intersec{iedintre doul cuadrice tangenteesteo conicdce are toate puncteleduble, aceasticonicif i ind chiar curba de tangen{i dintre cele doudsuprafefe.3) DouI cuadricecare admit doui plane tangentecomurtese intersecteazi up b doud curbe plane.

4) Daci curba de intersecf ie doui suprafetede gradulal doilease desiacen doui ramuri, dintre care una esteplan5, atunci gi cea de-a doua ramuri este plani.

10.6.PROBLEMEPOPIJSE

l' Sd seduci la o su prafate e rota{ieun plan angentp,aralela o dreaptii at dgi al cirui punctde contact bfie un oaralel at.

ru',n.: i cu meridianul principal. Planul curbei delurrr lntre supraf {d 9i conul circumscris ei este

209



' lu lurRd ap lrrut I Inrni uI al lB lolirnJJsJUr p Inun op lulauaF Inlol lS unJJaJ pnopr urJ0 ocaJl.areJ Inlpurllf , aJlulp sriJosJalulFJSBrcoJ.asBS arlrarord ap lerrpal r$ leluozl.ro lauulr ilraoseralnulfuor r$ lulurgd ap IaIulJ cund rseJace

' , . ! !-1n]9,6nlnloJElu oleluozrro.Fnopu lnrnt u; ue 1

-lnulsalsalor s,H la^-!up;nue1dJ vnlls3 r:acun"gi3 Inr:acpldearp unlfcas c areerec1ecr1:J,r

l l i lp-y-!lt_tlol iscruarluJp lfras.rolur_ErsarnrlsuoJsFSlu1ruao p lallrJJnJnlul arlelorur:d .rotrn uzea:auiF'arlJalol0 p leluoztlo1nue1dg +?nlrs O crJ.rup ol

np s nuerprau ur^rdRyurjaparsaelprBar ";tYlltJ';galsaBu l e:ecarlurp^.lecrllal-xut arfelorap'efa;erdnspnop eJ unruocluaFuel ueJdun ersern:1suo'c

"s ^nS"g

!.:L:llygrp'rnd nr'f,B ;r"Jp;i?t'r'r-"l ,31,r;'ilurdrrBl uEId url orlulo: ap elele.rdns BJ Fcnp ,r pS

"A

'1pdecap lLra8uelrq el d un-r1uy:d ol uJ alenl) lJunrl)asx!p uu n alsa aJaolcarrpnJBru 16 nln.ro1)0 lpnlls (, s ,s )

S JnJTJAJBarec uor t_rnS 1acr1:alnJ ro l un a;1urp erlcasrolurprsernrlsuooei p5 .g

t J IS C aluFelrncrar .qnop "rapysuord ./

ro, Jasau eEBuoz,o",1K1:Y:t*jili;], 3.1"T,3';;



;p 'olul Xl

uTrrrzATAA SUPRAFAIAUX|L|ARA

ri irLr{rlr':Ditol se vor trata citeva apiica{ii inr t r , t : ; r 'a f i ut i l izat l ca suprafa{I auxi l iard

i r : ie&problemeloredistanteEiunghiur i" : : :secfiasuprafetelore rotai iecu axeleli l ":::seclla supraleielor de rotalle cu axele

ll i lrLLLilr:-:esuprafele conice, cil indrice etc.).

EPCBLEMEDE DISTANTEI UNGHIUFI

\PLICATII. l. Se consideri puncteleur& 9i B (b , b' ) Ei o dreapt[ D (d , d').w futermine pe aceast[ dreaptd proiecfiilerLl'ru.r i M (m, m'), astfel incit triunghiul

s"1.ie dreptunghic, cu unghiul drept in

punctul M. Se determinl adevdratamirime asegmentuluiAB Ei se descrie feracu diametrulAB : 2R gi cu centrul in mijlocul acestuisegment ( f ig. l l .1) . Dreapta D (d, d') int i l -

negte aceastdsferd in punctele M (m , m') giMr (mr, mi), care satisfacproblemadatd,deoa-receaceste uncte mpreundcu puncteleA gi Bdetermindcite un cerc mare n sfer5.Pentru aintersectadreapta D cu sfera se utilizeazl caplan auxi l iar planul vert ical P, dus pr inrlreaptaD, qi se efectueazd rabaterea acestuiplan ; i a dreptei D pe planul de nivel H' alcentrului sferei.Se obtin in rabateremn gi m1ocare se intorc di n rabatere, espectiv n punc-tele M (m, m') ; i M1(m1,m') cdutate.2. Seconsiderd unctulA (a , a' ) situat n primuldiedru.l) Si seconstruiasc[ rmeleP gi P'ale planuluicare treceprin punctul A Ei face unghiul de 600cu planul orizontal, Etiind de asemenea, lurma verticali a planului faceun unghi de 4bocu linia de pimint.2) Sd se determine unghiul diedru a cuprinsintre planul P gi un plan Q definit de linia depdmint Ei punctul A.Date numerice:A (50,30, 45). Se construiegteconul cu virful in punctul A (a , a' ) 9i al e cdiuigeneratoare ac 60 0 cu planul orizontal deproiecj ie f ig. 11.2).Planr i l PP' trebuiesa f ietangentacestui on. Fie (ah, a'h') frontalacareface45" cu planul orizontal.Urma orizontalaPeste tangenta ht dusd din h la directoareaconului. Rezultd P gi P' paralel i cu h'a ' .Pentru punctul al doilea se observi cd pla-nele P gi Q se intersecteazl dupd dreaptaig" 11.1

271



t I I '"'t il

; ' ;na:dru1 :ec '( ,r , ' ,r ) 1t ( ,r ) r l) alc lrurrduoJ nB r1a1e.tedIop r l iary .uru: ,s,ruEBIp ap feluozrjo'ynialnJed onp riocIrd JBr 's.l nrlaruurpap IBluo.rln1aye:edD uo J EeJrop 1e pzeauoricas BJoJSBlsEaJV

3l v Lr I Inrluar nr pJBrlrqJp BJaJS ztuln: es rJnuoJ Fnop alssJE ulJasJAlui B nJluad:iqJ O e1a1da.lpluJS rJnuoJ Bnop JolseJB

moc, alareolerauaD (l.t t

.3U) ar irarord;Lrelo gnop olar nJ d IS ,o alunlqFun nr1

JeJoJe.o+pJauaFo:gca1e (,u ,e)V J:Jn

nJ aldaJp aJBlnJJrJ alrJnuoJ EJJplsuoJ-rrinrslq .aJfea;o.ldap auuld pnop afer nrt q rS rc aJ;rnlqFunpf,"J ps erer

-,(,p ,p) qo gJnpesus (,e .u )

v Inltundu1r4 7

?,TZ

.'p11q1sodrurlso erualqo:d d ( ro nrlued

'a1icalo. idp Ipluozrro nue1dp pipJ nlnueldJiluecaJuru er uBaJop Brurl alsa aJBc aJinlos

prnFuts o olrurpB eu:alqord 'd : b nJtruacl' l l in lol pnop allulpB eualqotd 'd > , nrl

-uad 'd )- p_npsd 8lr -( e Flr irop '5J ;r,u,co--: rUI,o) rcFlf, ,U,ro ,g,@JB C .Itl lr(,)<' ,g,(,)

ne.s ue< qu alsa rai lalqorde oJelr lrqlsod pBli lpuol.*ejelngr ( |q,e,6qe) nBS (!q,e = ,p'tqB = p);ala:ldoJp dnp uo r lsaJBuzBauolfcasd InuBld 'uoJ rn]$JB 3lB alBluorJolorBol-e:aueF.er lulp un ( ,q,e 1qu) e ig .(g. t f .FU)

atiealo:da! Ieluozlro 1nuu1d c rc lnrqFun e;e:eo1_erauaFnreJol e (,e ,e) y lnpund uI InJTIAnJ ]daJp JEInJ"irJInuoJ RraprsuoJ S .aJincslq

_.alitelord ap luluozrJo1nuu1d

nJ lep rc.;qFun un eJstrRs affJ 16uuld 1$e1atuu1 glnuliuor (,p ,p) q plduo.lpo ,eurrnu;rd 1up6 lnue1d I lpnlls

,ylnlcundupd pcnpas pS .t

'?c JperplnrqFunpllnzaU aricaro;daplel l tozrro nuuld d (,9 ,g) y reldarp araleqerglurzardar0e1dapun .oqu nc gleFa qe piriel-srpo BI S aclq uJ aleqpras g IaJlsV.rq8uni; irnlsare IB fl InJJJA rp inrqFun-alsa lulnprrc lnrqFun aJeJBoapf, rarurn 1n:nI u1 ari:rar-ord^ep leluozrro 1nue1d d nrfedsulp *UgW

lnrqFunrr leleqpr aS .U1nue1d S y eid?aJp

erlurp alfcasralurep lnlcund {I olJ tS O tSaeLrBIo nopalor ar lurper lresJelui p ( ,9 ,g)

VBldBaJp d relnrrpuad-radeld Inun B U plul-uozlJo uJnBJJplsuoJS (,u*4= ,g

,u*d= g)

8'r '8tc



Pr imul con are axa verticald (aQ, a'd)'), iarproiec{iaverticald a'fl ' a generatoarei e fronta acestui on faceunghiul crcu linia de pdmint.

Raza sferei nscrise n acestcon cu centrul inpunctul (O, C)') este ,f) 'r ' . Al doilea colr areaxa de capit (aci,a'to'), ia r proieclia otizon'tald an a generatoarei rizontalea acestuico u

faceunghiul p cu linia de pdmint. Se inscriein acest con o sferl de tazh at egald cu razad)'r' a pr i rrei sfere. (Pentru aceastase iannr : Otr ' E i se duce paralela nlco la na.)

Rezultdcentrul (r , .') al sferei nscrise.Cen-trul de omotetie al celor doui sfere este lainiinit. Centrul de omotetie invers al celordoui sfere stepunctul (i , i ') , mijlocul distan{eidintre centrele ior (Q., O'. ' ) . Pentru aconstrui un plan tangent comun celor doudsfere se d uce-dreapta (ai, a' i ') (de profil) qiprin aceastidreaptdun plan tangentsa uuneiadi n sferesau conului cu axa verticald.Sealegepentruacest onca clirectoareec!iunea b{inutd

i t r conpr in planuldenivel H' duspr in punciul( i , i ' ) . Razaacesteidirectoare ste i 's ' : as.

Cele oud angenteip, 'p ') Ei iv, 'v ' ) mpreunicu punctul A (a , a' ) definescpianele cautate'Analog, pentru tangenteleduse din k, sime-tricul puhctului i fala Ae Q. Ca problema safie posibii5 trebuie ca proiec'fi le i Ei k sd fi eexterioaredirectoareide tazA as, adicd:

illxrrl definescdrepteleD. Ca nroblemasdil , ' r . . : i ia rebuie ca cercul de'razd am si

nr .-aaralelul

de diametru s, adicdeste;a Hk ( am . Dar ak : R sin B; :rm :[t,cm:, unde R este raza sferei auxiliare.

rnrn --{cos , deuncle -l- p< 3 . Peirtru

=-i ,

problema dmitepatru solufi ,2'

t-

9 :+,

problenrarlmite ou:i

PentruE B +,problema nu ad-

: i o solul ie.

ff l se duc[ prin punctul A (a, a') un planri facl cu planul orizontalunghiul diedrua

r pflanul ertical unghiul diedru p. Pentru,i :.a acesteioroblerneeste util ca sI scr - . rn?i multe solu{ i i

1o .Se construiegte a in problemapre-

-ireaptaD (d, d') care rece r in punctul

a'r 5i care face cu planelede proiec{ ie

, : , te omplenrentare{+

-.) aif+- p)

-".5) . Planul dus pr in punctul A (a, a '): l icular pe dreaptaD (d, d') astfelcon-

esteplanul cdutatP, care aceunghiurilet ;i p respectivcu cele doud piane de

:: t . Acestplan estedefinit c leor izontala:i de frontaia (f , f ') , atttbeleperpelt-

in A pe dreaptaD.,. - f. Se considerl de asemeneadoud

ai : ok >i 's '

Fig. 11.5

r , i r ful n punctulA (a, a') ( f ig. 11.6). Fig. 11.6

2ls



vtE

alIIUpenu BrrralqoJd+n

altupe puelqord,L : r) * n.(rorndopzut)

alrupa eruaJqord+ad + ,o

*ra

'arfnloso

nrluad

'1rf 1os

nJlu3d

l r inJos

nJluad

+,0

NE S

p uls>\ d soc

: ElJnzal,,e o) : cc o aJOJEooe

'P UI S,Brq, : ,? o : Bq g

'f l soo'Jro : {{r)

'uro 1ro

, alJB r'JaJsalJJsrilnJJrc1o d luru ,. , ;J; ; r; ; l

il',,1'"':Y,.T,"j:.j'l:_"1'b1uor";"ii"i

: IJap ,pJSBaul

it :l1qn4r q;il;,,!X]eT,n"ji'3j1.;;;[qo_rd1e rfnlosnrii:,',",1J::?:,iHij i' ilX"'';"'o'Xi3,Hli{,li"t":*::;0,1,;;";":ii;i:iil,tl::"-:i ,osndo

1nr1i,u'usi,,i"p"iJ,

*' ,

=t:ji17'.f , it:Y:d,.iooelsaly'ti,d'

;,,_1.: l ' ( ,n 'n) ' ( , t , 'd)- . ( ' , r , r1f ,uY"ii i ,Hjuu uJ)^:luls pJaJSnc lJBluoJnp'.1rrnd'iirm'a lua8trpr rr r r r r i l , . r^1t_ullunruelicfo"rli"l

,i,r#:l",;::T,:arnl 1:oder 3aJardr.r r rp a,^,^ --^^-"J0

nJ-aclJlatutsunuor

arBJ re r 'ErarsBr1l18r].:1nuelcl 1$arnrlsuoc

: l --q tt '8t i i ( , r ' r ) lnlcund rg n.r iuar er'rlrqrp ezerepFraJS

o fr"'p1ruo,;g ,:"ir,r11r1ig

.ar lnJoso

IcIuairurpe u BrrralqoJda >d + r, nJluad'(1u;uredepsrurI t alale.rediueldnop)rf losnop lruppEruorqordse?ze*p=nJiJolrn'p

ad tru;s t ls I a1a1cund, _ d+, nr luad

nrled lrupe uralqorrl+Ud +, ; i l :"

(r

!. \u

JBP

rr rrlu!payicosralurp."1r1runk-i",. Jrri;!j e1alua8uulotairnid",f.

-,'",I,if :l"tl:lr - I 'DJ nraTrrDrn"^ "J.1el -B- lJBluoJap ale l

;ti*,",,yi{rilii ,4'gl;;,:l;l

ep l'luozuto 1n1e1ele'ri,pdnpnrJi.

,r/s".u

_.:^l:"r d +/ rs " a ) r,1""0..,

i':"]::lT:f,il jlll_l"tr1"1ns ,r1) r.^' s uIatungjln'n'e,r";;;;;;p-,Atr#,*ri:,,,13,.:j"1?:,Rnoplac areJs'rriurnir,,lT::::l uela^s'ace'r';;i;.,;f "".?J;,Jfr lBlnpr aleuela .rJ riii.i ".,1rliJ;i",,3

tu3,;'pij[;"j[,"uufll

(d+ ,) nes ,"

it_ *),:ours)-.

{n_

*) ",_, ,0u ls ld sor

, l(') :rJ,(J

z. - --<a

: IJEP

,0ul s( ',J,?J i : , t ,ar i : , r , ,

'T * : 'u i -

: BSUI

IO

: JP C

z' t '31.c



r ii

rtrrh"tlERsEcTA SUPRFETELORM ROTATIE

{PLICATII. l. S[ se determine ntetdr-ntredoul conuri de rotatie avin

',frri S (s , s' ) qi gti ind ci unghiuril

are ale conurilorsint respectiva $i

Fumriul axelor conurilor este 0. Fard: din general i tatea roblemei, e aleg

s. s' ) pe linia de pamint ox , careesto. : i l ica una din axe ( f ig . l l .B) . Fie Dil,rr

' lusdprin S sub unghiul 0 fafa de

r l intersecta el e doud conuri se utiltu .-erade razd, rbitrard cu centrul n 5

: :neazd eledouaconuri dupl cercurilm* ;e au comunepunctelem = n. Cotelmm:ncte po t fi obf nute printr-o ral:atet

din cercuri pe planul orizontal d

fr i it rplan al axelor conurilor. Dacd a -* : ( rc, cele doui conuri au doudgentfiflrts,lmune (cazul epurei noasire). Dac

: - 9 > r, ce le doua conur i au Patriiilltllij:jrfecomune. Dacd

"* I * 0 :' t

,uriru.onuri au trei generatoare omun(mn: rangente n lungul unei generatoart

re construiasc[ intersectia dintre dou

:': curente al e curbei de intersectiel--',l.iza etodasferelorauxiliare. Astfe

c[rculare drepte, agezate espectiv 1^*.^m'izontalgi pe un plan de profil. nxef,l j lY' r" -"

mfrorsint concurente. Fie S (s , s' ) i:'"il '.' irfurilecelor doua conuri (f g. I t 91.?l

:*-iniui.ecli d' 9' T' si e' ii care lnc

- :generatourbl"e'contur apareutve'olt

=, i l ta i mediat. Pentru determinartnr ' )

7o Sd se duca pr in punciLr lA (a , a,) r rn plan R carc sa]9! , r ,S,i un plan P rrnghiuldiedru e 5i i .u ur i plarr e,ungnlut c l ledrug.

8" Prin_tr-urryn,ctA..(.a,.a')ds edutd o dreaptd angentita doua suprafe{e i l indr icc de rota{ ie care au ca axe(t reptetcoai-ccare pi A, iar ca raze de rotaf ie, I qi p.9" Si se duci prin punctul { (a , a, ) o dreapti E (e , e, )cunoscind istdnlelccele mai dcurte

l i Jt l ia de'doua

drepte D si .\ .

19" 14 .q determine dreapta E (e , e, ) paraleld cu odirecf ie S (s , s') datd, cuhoscind'aisiariteie-sale celema t scurte qi I , fa{d de doud drepteD ;i A.I lo Si

,se. deiermine .planul_ are trcce prin punctul+. (1 ' a ) Si esteparalel cu dreapta D (d , d'), cunoscincldrstanla a I fa ib de aceastd reaptd.12 ' Sd se duci la un con,lrnplan, angcrrt ar esii facdcurunplau P un unglr i d ieoru a dat .l3o Si se ducd Ia urr c i l i r rdru rrn plarr tarLgent .; trc afacdcu un plan P un t rnghidiedru'a clat .

!! " Sd se ducd la o sferi un plan tangent paralel cu odirec{ ie (8, 8 ') ; i caresa faci crr un"plan'p un urrgl t id ledru cr dat .15 ' S- 5 e ducd un plan tangent a o sfer. icaresI facd c-u

?l ,ntat1 ' unghiul cliedruct gi cu ur r plan e ungli iul

oleoru iJ.16'.Prin punctul A (a , a') sd se ducii un platr tarrgerrtao ster: icaresi facdcu un plan p un ungli i diedru"adat.l7".Prin punc-tu1 (a , a') sd se ducii un plan tangent ao slerd c.are i facii cu planul orizontal de proieil ie ununghi diedru c dat .lB o Prirr punctulA (a , a') dat, sEse duciiur rplan tar.rgentta o steracares5 facl un unghi oc at cu l ini i de piniint.l.9o Jn colroblic areca bazl un cercsituat nir-uri plan pdat,pr-i i tunne. Si se ducd plarrul angent a co n caresi lfac i crr planul P unghiul i l iedrLr

".20 ' Un cil indrir oblic ar e ca bazi ul t cercsitr lat intr-unplalr

,P dat Ppiy l rmc. Sa se duca plalrul tarrgent a

cl l lndru care sd faci cLr planrr l p unglr iu l diedru a.2l ' ,S i-se ducb Ia o s lprafa{ i c i l indr ic} idoud plane arr-gente Acind intre cl0 un unghi diedru a dat,

-cunoscind

gellcratoarea econtact:r uituia dintre acesteplane.22 ' Pr in prrr rc ir r l (a, a' ; sd sc c lu, i DlarrLr l caresa

tar 'a r , r r rglr i r i l .iet l r r ra cu . l r l ; rnrr lor i ,zoi t la l c proicc l iegi sI taie o sferddati i dupi un cerccl e .aza urr6scutd'r.23' .Sa se.d.rrcipr in lrunctul A (a, a') un plan carc saracaungl l lu ldredrucl ( u plarrulorizontal , t i i r rd d urmasa vert ical i face unghiul I cu l in ia dc pdmint .24" Sd se determineun plan P care ac eunghiul dieclrucu.plantr l r izontal , unoscir rdroiec! i i le el t icale 'yi k,a.d<.ruair r t re rorr tal t ' lc ai cqi 'qt i i r rd 'cd epir tareauirc iadintre aceste rontale este ciu6lul deudrt ir i i celeilalte.25oSi se ducd pr in plnctul .A 1a,a; ; un plarr p pcr-pendtcular e un plarr Q dat gi f lc ind rr r rurrs lr id iediu acu planul or izontal de proiecf ie.

26'Sd sc ducd pr iq prrnclulA '1a, a') r r r rplan pLrcr l ,crr -

drcularpc un . plan de capdt Q dat ;i fdc ind Lrri r r rglr id iedrucrcu planrr lor . izontal e proiect ie.

27 ' Si se determine planul p care trece prin punctul

'r lg { (* , 1'1,. cunoscinddistan{a sa I fa}i ie un purrctrrta A (a , a. ') . ; . i unghiul s5u diedru a cu llanul orizontal

oe proleclle.

" r

r

ese

I 'Besa

Jafe

esa

no, lat1d')

Fig. I1.8

277



ru!-ce au comunepunctelem = n. cotel!!r uncte po t fi obiinute printr-o rabatet

i din iercuri pe planul orizontal d

r (plan al axeiorconur i lor .Daca a -* 1 < n, cele doui conuri au doudgent

nrrreomune (cazul epurei noastre). Dac

SECTIA IJPRAFETELORm[ RoTATTE

APLICATII. 1. Si se determine nteldintre dou[ conuri de rotafie avinvirf S (s , s' ) Ei gtiind c[ unghiuril

ere ale conurilor sint respectiva-

si f

7o Sd se duca pr i l r punctrr lA (a, a,) ri n plan R carc salaca, u. ql p lat P unghiul diedru c ;i cu un plan e,ungntut ciledru5.80 Printr.un nynct A..(a,.a') is e ducdo dreaptd angentdia douA suprafc{cc i l indr icc de rotaf ie car6 au ca ax edrepteleoarecareD qi A, iar ca raze de rota{ ie, | ;i p,9" Si sc duc5,prin. punctul A (a , a' ) o dreaptd E (e , e, )cunoscind istanfelccelc mai scurte

gip

fa{d de'douadrepte D pi A.1.Q'Sd se determine dreapta E (e, e, ) paraleli cu odirec{ie S (s , s') datd, cuhoscind'disiantele salc celema i scurte I qi I, fa{d de doud drepteD gi A.ll " Sn.se determine planul care trece prin punctulA (a , a') qi esteparalel cu dreaptaD (d , d') . cunoscinddistantasa I faf i de aceastd realrtd.12 oSi se ducd a u n co n uu plan tangcntcaresd facdcuun plan P un ungir i d iedru a dat .13 " Si se ducd la un cil indru un plan tangent care sdfacd cu un plan P urr unghi diedru'z c lat .l4o Si se duci la o slera un plan tangent paralel cu odirect ie A (8 , 8') ;i caresa faci crr urr*planp utr urrglr i0tedfu cr dat.

l5 ' Sd se duci rrn plan tangent a o slerdcare sii facd crlun pJau P unghiul diedru a gi cu un plan e ungl i iu l

oleoru 5.16".Pr in punctulA 1a, a') sd se drrc i iun plan iarrgurt ao sleracaresa laca cL r ,rn larl P un unghi diedru a dat.l7'.Pr. in punctul A (a , a') sd se ducii un plarr angent ao slerAc.are i fac i .cu planul or izorr ia lde proicqic rrrrungnl dledru s dat .lB o Prin-punctql

| (a , a' ) dat, sd seducdur rplan tangentIa o sieri caresI facdun urrghia da t cu l inid de piniint.l9o Un co noblic ar e cabazdun cercsituat r.r ir-un lan pdat.prin urrne.S: i se ducii plarrul angetrt a con care sirlacii cr r planul P unghiul i l iedru o.

"

20 " Un cil indrrroblic ar e cabazh un cercsitr.rat ntr-unplarr. P dat pr i r r urmc. Sa sc duc, i p larrul arrgent aci l indru care sX faci cu planr. r lp unglr iu l di6dru a.21 " Sb se duci la o suprafa{i ci l indrici doui plarre an-gente dcind intre ele un unghi diedru a dat, 'cunoscind

geucratoarea e contact a unuia dintre acesteplane.22' . .Pr in.purrctul (a , a '1 sa sc duca I lanul p caresafacir u lglr iu l-dicdru a cu planul or izor j ta l de proiec{ ieqi s: i taie o sferddati dupi un cerc de razi curroscuti 'r .23o_Sise .d.ucaprin prrnclul A (a . a' ) un plan carc si itacaungi l lu ldiedrua cu plarrulot izontal ,gt i i r rdci urmasa vert icald ace unghiul B cu l in ia de pdmint .24o Si sedetermi lre rr plan P care ac cungl l iu l diedrrr ,cu,planLr lr izolr ta i , unoscind-proiecI i i leei i icale ' ;i k ,a douii dintre frontalele al esi'st i ind ci depdrtarea heiadintre aceste rontale este du6lul dcpdrt ir i i celeilalte.25'Si se drrcdpr in punc{ul A 1a,a;; un plarr p pcr-.pcndicula. re un plan Q dat Ei lc ind ut r urrghidiediu r r ,cu planul orizontal de proieclie.

26" Si sc ducd pr in punctulA (a, a') urr plan p pcrpcrr-dicular pe un. plalr de capdt Q da t qi f ic i l rd ur i r r i rghidiedru a cu planul ol izonlal de proiecf ie.27 o Sd se determine planul P care trece prin punctul

'afg [ ( -, T') , . cunoscind'distanlasa t fafd i le r rn puirctrrta A (a, a. ' ) 9 i unghiul sIu dicdr-ua cu planul or izuntal

oe prolecl le.

iu l axelor conurilor este 0. Fird

l$ 0 > 7r, cele doud conuri au Patr. : ,arecomune. DacS a*9*0:t

*:ua conuri au trei generatoarecomun(ur:t tangente n lungul unei generatoar(

rc construiascl ntersectiadintre dou

ior curenteale curbei de intersecfie-:i, i l iza metodasferelorauxiliare. Astfe

circulare drepte, afezate respectiv ^+;^mizontal Si pe un plan de profil. 4*.:"*j,l u l ru l l lc r tr Pe ur r Pr4rr s! r ' " ""

" :" - ," ',frffinrin t i:oncurente. Fie S (s, s') ;:t't , r 'irfurile celor doud conuri (fig. I I 91.91

-ede ntersectie ' , 9 ' , y '$i e ' in care. ' ' -:i generatoarele e contur aparent ve"', ':ezulte imediat. Pentru determinart ' r r

i I : r^ :- l^-^^^l :^

:sa11B:

:are

.l o

.l a rd' )

F' ig.11.8

21,7



7r7,

rw lluad 'alelnpJ aloJpoleJouoFiuls lJnrloso Z'I 'FIC

F rolal aunuoJ a[oJpo]EJauaD(gl. l I ' ;mrielcic r lnrqFunce; 5;eoluleuaF'rnr; r lued

\r S JrI^ r6elaoe c ldarp rslnJrrr Inuor Blnlos

eJeJ uoJ lnlsef,e eleJuoluJeueFaugur.raltruadkS '( ,15'CI) uI In4ueJ nc 4 uuld ur-Ji, ,^ .F'RlBpRzer p

"rr""i,n"1"rl"n""!ioi-''in1o'

s) S Inpund yg l eJ aJ? rtlqo uo J unrluad

aS 'eurrn uJrd 1up6 1nuu1d r r 1n1qF

.SINT

I lnlnuol e aJapunJlpd alsa erfcas:a1IC T IS ,3,tO AJIUT EZEEEA AJB]IIXNE JOIAJ

l5 'pfur;nSn c elrsgF ; 1odaloldiurse a.'g1oq;adlq p JJBun also JoJrJnuoJol a nE Sd ad rerloas:a1ur p1eel11'e.1,rlraio

luls rrnuorFnop olerolaxv (at.t t .3)l FnopJoloc llJnJJIA,1 1)

I rS ,s ,s)

"uof,llullnlar InJorJelul I pullJ uoJ !n

ff i l l l ln lJ ro.A. t ajerilxnB JolaJaJsIB nrlrja :a lB as .r :ur ' ( ,ro 'a:) lnlrund ul JtruJ-tD uls rrnuocpnr ip rot"c 'aiaxv tzt.t i ' fotc

'elueJnJuoJ luls axB . JoJRJ elp rJnraJlulp elioas"lalul

"f,sern4suof,as pS

.'uoJ ul:d rnln:purlrcBaJapunJlJP p

elfcas-la1u1,F ea:uo1e:ouaFd urfqogi . ,da la lcund o,Sr$ g,g alrr fcatrpnc'aed luls aloldurse rerBf, lB ploqradrqo a.,pr,iniF"birq;; ro1n"" iuulo

"d..tii;;i^j:l

fu;mr1;i'r.riraro:6',v ' tt ,s ',d,5la1if,etnl'B

NJ

at' l I '8li-I tcnc,ue1d

gnop

I '0)

d'd)roJRceJaJSnuoJrr lulI I IsI

}NFJelel

?dnprleurlSau

rdsa:

I IS

ruaAl JJ IJ

ueldlFun

NJ

acBJ re r 'EraJS.Bl lua8uel 1nue1d 1$arn:1suoreS 'U' l l 'E lJ) ( ,r ,or) ln lcund LrI Inr luac ncFJBJtrrqJezeJep JaJS BreprsuoJS .ogmln1og

..a! fn1oso

rcrualrrxpenu BruelqoJ6-">d - l_ c nJluad

'( lugurpd p Brur lno e1a1e:eduelcl nop)1r{n1osRnopolrupp BrualqoJd sE ezeJap eaJBolJaJIp

ad 1u1s IS I alalcund ,L : d + ,e nr}uad

'1r f 1os

n.r1edolnupe erualqo.rd+ad

+ ?onr luad(' I z\

' ,t< (d r- ,c ) nBS ,>- td -;,|

, r u,s) (n_*)" , ,

' rculs)d sor

rp :,Jr(J

: IJAP

, rouls z

' / , t j 7 : ,1u,0

zI

6

T,E lsof , Z' I (D

r: tc l

: BSUJ

: ,S,

: ltt

: JBC



-e^rabate e planul orizontalde proiecfiel ' Qtcu centrele n oe Ei e6, S€descr iu

:oud rabateri al e directolrelor couurilor.:e acestordirectoare in t R gi co1r1.unc_

nnl. i ns comuneacestordirecioar6 e intorc-abqte,r,ej dq , generatoarete1sm, ;m j

7oSd seducaprin punctulA (a,a, ) un plan R carc dfacdcu q1 pian- Lnghiu ld i ;af ; ; , . , i i ' iu-un'prauO,unghiu l iedruB.

f^' l i{r:ylpr;n5r . . (a, ,a')E.seuc d drcaptdangenti

ta oouasuprate{ei l indr icc e rotaf iecar6au ca axeoreptefe arecare gi A, iar ca razede rota{ie, qi p,9" SI seducdprin punctulA (a ,a,) o dreaptdE (e .e,)cunoscrndrstanteleel ema i

scurte gi p fatAde douadrepteD 9i A.

19"94 rq determine reaptaE (e ,e, ) paraleldcu odirecfie,S t, . . ' ) datd, cuiroscina'isiaritei" ' iatecelema l scurre gi I , fat i de douddrepteD gi A.1^11^Sl

, . . . , deter-mine.planul .ur" tr.." ' prin punctul

+. 3' I ) qt esteparalelcu dreaptaD (d, ci'),cunoscindolsranlaa lala deaceastdreaptd.12 oSdse_ducda un conun.plantangcnt are il ac d uun planP un unglr i iedru dat .

' -- ' "- - ' ' "

l3oSi se ducE a un ci l indru. n plan ar igent arcsafacd u un planP un unglr i iedru- l ( at .1*" 94 r. . {gce Jao sferaun plan tansentparalel u o9ilq.-11.

,(8? ') qi care h ac i cu un'ptorfe'unu,rgtr idtedru c[ dat.

I5 ' Si se^duciun plan tangent a o sferi care si lacii cu

l l i t l i ,r"

F unghiui iedru-a i cu un ptin-O-ungtriut

oreoru;J.l ( l 'Pr in punctul A 1a,a') s_ dc-drrcarn plarr arrgcrr tao srera are sa aca crt r , r r r laq p utr ut rglr id iedrua dat .

171.1! i , lpunctul

{ (a, a' ) sdse duci i un plarr angent ao s leracaresa facd cu planul or izontal le proiedl ieurrunghi diedru cr dat.

l^U",". jf"Or".tulA (3 , a' ) dat, .sd educdur rplan angenr

la o steracaresd ac i un unghi crda t cu l in id de pdm"int.l9 o (J n co noblic are ca baz| un cercsituat nir-un plan pdat.prin urrre. SI se dr.rcii lanul tangent ;;oli caresi rfacd cr r planul P unghiul i l iedru o.29 ' Ul cil inclm oblic ar e cabazduu cerc sitr.rat ntr-un

f]-ql,Pda t prin urme. Si i se duci planul t ingent la

crlrndru care sd lacd cu planul p irnghiul di-edru .21 "

,S5. e^ yc.aJa o suprafa{, j i l indricd doud plane ran_gente aclnd tntre elc un u[ghi diedru a dat,

-cunoscind

generatoareae contact a irnuia dintre acesteplane.22 ,Pr in.punctul A (a , a,) sd se duci i p lanul p caresa

raca ungrilut drcdru d cu..plarrulorizontal de proiec! ieqi si taie o sferddatd dupi un cercde razd currSscuti 'r .23".Sdse.d.ucd r in punctul A (a , a, ) un plarr carc saracaungtr lut ledruc(cu planul or . izontal , t i ind ci urmasa vert icalS ac eunghiul 'g cu l in ia dc pi in int .24 ' Sd se determineun plan p care ac eunghiul diedru ccu.pranut ruzontal ,unoscind.proiec! i i leer l icale , ; i k,a.douddintre frontalele al egi^gt i ind'cn epdii i iea uneiadintre aceste rontale este r ju6lul a"parifr i i ceieilalte"

?l l i l : lducd pr in plnciul . { (a,4, ) un plarr p per-

.penorcula. re- n plan e dat qi f lc ind urr urrghidiediu acu planul or tzol t ta lde proiect ie.

! !" .SEe duci prirr plnctul,A (a,.a, ) rrrrplan p

lrcrperr-qlc'l lar pe un, plan de capdt e da t qi fd'cind uri uirghidtedrucE u planul or . izontal e proiec{ ie.

27' Sd se determineplanul p care t rece pr in punctul

T 1m,T') , . cunoscinddistanla sa I fa ld de un punctA (a , a. ') ,9 i unghiul s5 u diedru a cu planul oii iontatoe prorecl le.

mn. 'n') cdutate,

PFOBLEMEFOPUSE

/ -:- pLrrctul A (a , a' ) s: i ser -- .ghiul diedru q cu plarrulrn. : de pimint .r r - ' dreaptaD (d, d') s I se ducd ulr plarr p care sar . . ungtr ia cu o dreapi: i A (0 , D, ) di ta.tr - -. orizorrtalaG (g, g') sd se duci un plan p eare*-. ln unghi a cu al td or izontaldD (d, d, ) dat i .r- : orizonialaG (g , g' ) sd se ducd un plari p caresa! ' -: unghi a. cu o ironlale F (f , f, ) daid.Sr -. e determine planul p pentru care cunoagtemttLr , - :a ld. IC,C') 5i uughiul a pe care- l o, l . o.* i i 'nt , , , r

J f,;;c.11.r"

(d ,d') dat5.Cazril inddireclia (d ;d')

] {: : : punctul A (a , a' ) sd se duc:i o clreaptdD caret ' l l- : ur rulghi a cu un plan e gi a cdreicea'maiscurt in 'dr- - :aata de o dreapta A (8 , 8') sI f ie l .

ducl planul P care siorizontal gi unghiul B

217



r rrsco prd.Blp-.ur rnzp3o uldBerp",," Tl!l,H?r1{

ne1 ps e;er . ( ,8,n)g Bls l l rozuoo ernp as ps ,(;p,p)C

;j?rrrpo rldea:p ad . enys (, e ,u ) V inlrund rii:4 .6tr

+.:eoldeo:pnr r rrr;u'ur qrelu-u;1;3-r";l y-";33;rL.elpnl ls ( ,p.p) O Fld€arp o l?)np cs ps ,1u1urudopr:--tr l r laleled 4 lnrreldur p (, 8 ,E )

V ynllrnd llrd ol i'^BlBp,S ,( )

V pleluoztro-otruorJnc.r rq8ununr:e. l ps orsr rS uBld rsp_laf,eJ qlpnlrs (, p ,p ) ( pldea,rpr ernp as es ,4

1nue1d rp (, u ,e ) y lnpund ulrd o0 ?

.'^PlEp.( ,8' i ) C Bleluozuo nr a 11; !un n prs1ps

;-?r ls. le ld tsPlr re lr RlBnl!s ,p ,p)O pldea:po prnp

;s gs '4 lellt rro^ 1nue1d rp (,e',u) y lnjrund ulrd o6 g'Rlep (, S .g )

V pldua.rp ll u o nr r rqFununr:eJ Bs arpr ts .ueld lsB-lacpJ Fl?nlls (, p ,p )

C pldearpr ernp os ps ,4

1nue1d 1p (, u ,e ) y thprrnd ulld"gg

i 't ) o.ulplrozrro o op giel I Bln)sourl)9fue1s1p

"

; lt j t l

l t 9rlr l l .: onrpa.lplnrrlEun eluozuo 1nue1d J greg-ris-? J (i p 'p) O Rldparp 6 1nue1d J aululalap as FS o1 g'q eldea:p nc a lnlqFun BIBJFs d plsluozrro Es Eur:n:,rul laJise el d un prnp as

^e s,p .p )

[ eldeJ:pulrd og g

;"s:4 1nue1du;r 1nze3)1nr qle;a ,J ptr lt+":3tt

aloaJpEnop0[0c. Jlur alaldoc;eyur rfrpd uolur8unli jr l l lIo] lsBv. ls o aldorp gnopo1sau111u]:r: t r$ 4 ueld urr nrEIJIBJBOlsa

arer (,r

,a )

e eldeo:p slnulolap as RS og g'^BlBp,S lS) V eydee.rpp glpl I p luplsrpo pl

Flpnl lsal l es aJpJ s d uBld un nJ ! lnrq'un ^BJel sarp,.r

( ,p 'p) O Flderrp o prnp rs gs ( ,u .u) y lnlrund urrd org'plpp (,a, ' r )g pldea;pFl le o op pfegI gluels lpo pI Ecear]

fsr jB, r Is ( ,S 'S) V FldBarp n;:o rr1lr rn i l preJes rrEJ

(, p 'p) q Bl(tpJrp ( ,u ,s) y lnlcund ur:d B.rnp s gS .ge

: ,,lll.r. er.'n ls1r,,.r,, oynl;rtJSrJoJt'" , 113ias 9S (, 9 'g) [ lS (. p ,p )q o1a1dc"rplaprsuorcS 6[ ,

tr-n r

), l1;urr rn re l s11ep ,lororp'lottrg"iii{ll. )JeJ pldpJlp o pJnp as es ( ,u .e) y lnlcurrd iu4 .1 g

' lsp (,ru ,ru)ry 1n1;undp plBJU rnlnueldE I eluu]

-stp pulrsounr OIS d clcueld n; nrlcadsa:alep pJ * n

rrpctp alrJnrrlFun Jp J J? Ju lnuBld.auturjolap s ps o0 g. lep Ipluozl loue;d un nr, , nJpalp

ll lulun sreJ FS "^plpp (.9 ,S )

f criralp o nr 1a1e.ridat J BS aler BJaJs e1 lue8uel ueld un grnp rs FS o6 U'al l rarordap lBluoztro1nue1d t io nrpa!pnq s nrq8un Spldealp,plssarts p Flpl l. ps pluplslp pujrsounJt, p

.p ) qplEp Fldparpo nr laye.ted uald un aululalap ad FS

"g6



clul Xl l

RIGTATE

@EiFIEFAtITATIsupnafrJPRAFETELORIGLATE

DEFINI|II: Se numegte suprafafi ri -u .uprafaJdgeneratd. e o dreapti D care

nlini:a pe trei.curbe oarecare r, In gi f,c;:--:, numite directoare (sau po'ate si r

-;;i suprafe{e, ap t care rdspunde ot la

rr:rE curbe In gi lu. Pentru definireaiu,,r,r::aie{eiglatesepoate nlocui una dintre

|rrm:n.de exemplu, curba fr, printr-o

lur:. S la care sd fie tangentd suprafaJa^n acestcaz, suprafafaS esteo supra-srnnhuresau un nucleu. Daci printr-unI :-r oarecarese duc paralele la toate

:*rele se obline un con director al su-Dacd una dintre directoare este o

ffia'i

dacd aceastddreaptd este aruncatim.:" atunci generatoarele uprafetei ri -;r-:_paralele u un plan fix, numit plan

r. Conul"directorpoate degeneranti-un

Lrlr:tctor.n sfirgit, prin particularizareary,orlalte doui directoare 1. 1 i fu ser::umite suprafefe riglate, care poarti

* , ienumir i , ca: hiperboloidul eneral i; :e . parabolo idulhiperbol ic,l l ico idu i ,- . . c i l indroidul,suprafefele rr idre ous-::: is-pass6 tc., al caror studiu se va

intreprinde nrai departe n acestcurs. Supra-fe{ele riglate po t ii impirfite in doui maricategorii suprafele iglati dafasurabile;i supra-

Iele-..riglalenedesfdSurabile.uprafefele' iglatedesflgurabile int suprafe{eleiglate carese-potdesfiqurape un plah, fdrd ca parli di n pinzator sa- e suprapund au sI se rupd. Asemeneasupratefe ar e au fost studiate pind acum sintconul gi cilindrul. S-a ardtat atunci cd supra-fetele desfd;urabile se caracterizeazd. rin in-varianla planului tangent a suprafati n lungulaceleiagigeneratoare, dicd planul tangent lasuprafald nu se schimbd dacd nunctul detangenfddescrie eneratoareauprafelei.Supra-fefele riglate nedesfiEurabilesau cum se mainumesc suprafefele strimbe se caracterizeazdtocmai prin varialia planului tangent,odatd

cu modificareapoziliei punctului de tangenfdpe generatoare.La fiecare noud pozifie apunctului pe generatoare orespunde n nouplan tangent a suprafafd. ar iaf ia planuluitangent poate fi studiatd cu aiutorul formuleilui Chasles.Planul tangent intr-un punct lainfinit al unei generatoare e nume.ste lanasimptotic. Planul central al unei gen'eratoareeste planul tangent intr-un puncf al aceleigeneratoare, erpendicularpe planul asimptoticcorespunzdtoraceleia;i generatoare.punctulsdu de tangen!5 se nume;te punct central Eiar e proprietatea ci

pianele angente n punctesimetr ice

n raport cu el fac unshiur i egale uplanulcentral.Linia destr ic! iuni a uneisupra_fe{e este ocul punclelorcehtraleale genera-toareloraceleisuprafele.

279



0zz

_luliJ S a-rpoleJaua8rrJo nrluad ,eta:eoap

::.j.ti:J::pafc1 .rdns1u1s .rr br o1elatre.rng

:'e I 'dlJ)p1;qulnSplsapls a fu;e.rdnsjeundi

:l:ly:_]n.nuaFa1eol n:-1uadglueza_rd lsa

'1[-.:.9y1lseece.^lrlodrurp"'"A-.;q*;11,j :^r.o: -a1 e:e1 Fur ar?o+ErorreFluls' er'uo1m.iaE lsaie gc 3uncisas ,a1e1ozr,r'r,ilrrnriJd

Fa o llcap JoJ aJ e nu e;ernfardurl elsBaJBrC 'lBJtruaJ

lnlound u1 e1$a.rdo'escund'rsace-- r : ' .+: : *"* Lrr r ld luuruJ us cl lBloJ ezeanlr lr ra.duel nueld,ea:eo1e;euaF 8.rno:er i- :r9rap lnlrund pulr rrunle .er ,sundsaleodt .puruJelapeu lsJ lJ Jpun IEJlual ln lcundrs rerqr

^ ' lo ldurrsu 1nue1d nr lupuhguory-eo1e-raueFFa:1irglnFunju; ,sJf*"'r1r"EuPlInueld '0 =- x n;1uad eirp rl x rJ rr ?

.6:lO '_- - n l?Dl 1(,1^:ru ;

: 0 zHJ J:-dJBU_I ,0 : { nJlued 06

alsa loldrurse nuelcl + :0 ,oo: x

--aE lErluar nlcundug

luaFuel alse IeJluaJPio '0 - e '0 : x nr luad_ luaFuej ueyd

:\T :q.Yljl; iley8s:aia;e;-dnsaune a:eo1lJii-g-rlulya iail'arer"ueld

"rpo.rupniy

::11"9-:" -1ul.tot p^nlrund puJJ ireoli::. IT:Tj_.",r',

ne plbFa r1e1o.ri qrn"npqraJEI InLreld

zullsaceu1 .0 < { aundns

. Z Z-aSBJBII ._L\^- ; --t ' y. T / V >

;--aJlLI I aJBIOJUI

elseJJ0.oo

+ > x > oo_ pul : ) .pqurJls

:::t .getsa pIBIFII ulelrirdng .ll*ir

ar'ol urs rnolurnudiJilj:ii':?, .ilirT.,'J;;.{ip t| "..l"'j:.:l- r:u:!q

.z-erisae u1rso f y n"r1ui6.r .arlncsrcii: r

ii

$1T :1nruuos"" ";n.i:1.""'.''i?,lji$r:ao ueld un r$ o eoJEolBJerra8 rrrrri.r,^n r$ 9 DaJBolBreuaFu3ldar:6

e or lnqtr jsrp p lnJ laue. led lrd:srp ralsaJp1np:rarsa:dxi rj r d.re $ 1e:1uac

I l l : : l j j t tcund rnlsrreeluplstpnr gleuorf: l : :3j. i .

elsa, Brluar1nue1dr .1rundun_.r1u;'iylliYt ueld_un p BiirroJ-rnlnrqFgnprrr+au

-ouo;rrl eluaFuel r erul:dxa-lnui.rol,ilreecy

.0f l1{:x

:!..?r:!:?!-BIrnpuorusns_,",uo'Tli3,tgl luUo'F l l lu l l .B ' I

.Dlareole;auaF1ear inqrr ls lpap lnJlaruBred Belplt luaca1*arunu'es pun

I a t ' t tc

t { :=-

Y

36 1

, 8 ,V V , ,WW

VW 3 dl VW ,.W,W

*rrtE?

,u,,

:-1yig.l:g_qfSo IerluacnlcundpurrleeurFr.ro

'W rnlnlrunde x : w0 Bsrrsqelsa'i,gy n1n1f: j . i?::_gJlrn' Ipr]uar 1nue1dc ry-l ir l iuhciYl :+-P].:ls,!reI lua8uel lnueJd a-ceg'1_arereo 0 Inrqdun llurl l Ef,are ,,WW,Wnr'qrun's : (,9 'o) F I$ ,Vv : s lelou B-s apun

,,WW,W }

Jd_.lpnrq;un,:1Jia',V1T1;H;lrTrJ'FHi?^Yi-::?

elaye;ed.rS,9 eaie6leraua8,,W l$ ,ti-e!41]1nd

ug nrpe.dsar zealrasrrluruii ld' lsacy'D rd rBlnr lpuad.radeJd un-_r lul iO leleran"s

YI :1":3t^-lllfri3sap Bqrnf, r JW eluaFuel:L.ji 11n-olEroue;

lsearB ap lBulrrrralepa]so

lt^" :_f i1"_ug1 aFuelInuBId

.glerluar'1 ipuhd

ap plBJx Fluelsrp o BJ lBnlrs,g rareoieiauaF

IB aJ?roJBolcund un W alC_'luraprsuoiareol

:yj:y1iap Intnualss i- aun1fut'r1sp nruryalsa

rl:jl:3i"la1cundn3olBr \ellre e_5 5 rareol

::jt^u:dp.

to4uar1nunrd \n4uac1ilrunit 7u$areld rs g rlpadsal glrrut lal lrf izod eraujFYl-i i :J.Y? 1nue1d$y 1n1cun4

punuior:o1BJBJnJrpuad:ed,yy lSgurra.,rl lul lula:eoleraua'? :O_

'{l 'AI '8tJ) ra}a;e;dnse a:eoie.rauaF

o c atc 'se'rsvl{f,rnl v.InwuoJ 6,t,61



L1//nOru/ de

6..--*Fr<r li l| -+- ' -ffi*.---+- l,-/

f

-UZ

UJ.

't T";-' l

s"pr^ri_ttli'.tgnge1t'. tinvq"tonf

Fio 19 ln

Tier:ierminat. ocul geometrical tangen-r o curbd str imbd este de asemenearLr-r:' esfiqurabilA. stfel, dacdarcul OO'Lffi: a infinit mi c principal, unghiul e alt i&.a tnr lnl l m1cpi lnclpal, unghlul s al

Wvr::ior n O gi O' este de primul ordin,iu; na i scurti distantd I dintre aceste

tlntgrr l::st edeordinul al treilea.Prin urmare,= Lfii.. ;eciprocaestede asemenea deviratl:

rr:rcratoareleunei suprafete desfii;ura-:i ierite de con sau cilindru _- sint l i rer l le oe con sau cl l lndru _- slnt

sr : : la o curbl st r imbS, numit l curbl de

.Ftr l lmruk : oc . In acestcaz. 0: 0. oricareli n chiar pentru x : oo . Planul tangent

ru:iasi in lungul lntregii generatoareEi,rat cu planulcentral, h iar ; i la in f in i t ,

-ri e infinit vecine sint paralele,piciorul:,:icularei lor comune nu are o pozi{ ie

: -,--:usiul.Astfel pentru n con,planulrvrr':nic in lungul unei generatoarestehr- : ian asimptot.n virf , planul angent

ar fi e, rela{ia k - lim -9 - aratd cI k

*, este nedeterminat.De asemenea, n-: dintre cele doua generatoarenfinite-ite nfinit mic in raport cu ce a maidistanfda lor 8. Astfel, cele doul ge -

determinatl gi punctul central este: nedeterminat.

:ceastd imprejurare nu are loc decit

I r ig. l2. t h

daci in doul pur-rctele unei generatoare lanul

tangent la o suprafafd rigLatd este a'celagi,atunci acest plan va fi tangent suprafelei nlungul intregii generatoare, ar e este astfel ogeneratoare ingulard. n concluzie, pe scurt,pentru supraiefele edesflgurabilefig. 12.l b) ,k + 0 gi k + oo , adici tg 0 are valori finiiediferite clezero. Se poate eline de asemeneaasuprafelele nedesfigurabile sau strimbe sintgenerate e o dreaptl caresesprij ini pe:

-- trei directoaredreptesau curbe;* doui directoare;i o suprafa{i simbure;._ doui directoareqi este paraleld cu genera-toareleunui con director;

- doud directoare i esteparalel l cu un plandirector.

Analog suprafefeledesfiEurabilesint generatede o dreapti , supusi a doudcondif i i arbitrare,carese spr i j ina pe:

__ doud directoare trimbe;

- doul suprafe{e ate;

- o directoare curbl qi este tangentd uneisuprafefe.Suprafeleledesllqurabilesint astfelinfdgurdtoarele lanelor tangentecomunecelordoui curbe directoare sau suprafele,deoareceplanul tangent la o curbi treceprin

tangentala acea curbd. Cu. alte cuvinte, suprafafadesflgurabild este inldgurdtoarea unui planmobil care depinde de un singur parametru

: generatoarezolate, se spunecI acesteagene-ratoarele ingulare

-alesuprafe!ei

:,e.Daci aceastdmprejurare st eprezentd: toategeneratoareleuprafelei, uprafafa;r: cilindru;i unghiul e esteatunci rigurosL,.adar, ormula lu i Chaslesmai araii cd

227



zzz

z 'u 'BtJ

rfinf,rluloJ ep proloqJadrq ielece pr elrasqor6-61u;nF;1urp ernda pulzrleuv 'eledgruJ.ld

Juoc olelrosqo n ' laJlsv G'Zl l* V'ZtffiI 'FU) e.luolureua8ep erualsls nBS Mrruutr

rolec ,rrpadsa.turfrede alda"rppnop ala3rJ nlqnp uiu;urdns o a+sa gzuld o nc

ap Inproloq.radrqcaunds s p{egerdns

ereueF1od arer aldarp pnop elsrxorp ',rtt1oui rsaJB lc '(,(o co ) axe ySer

lnrnf u1atielor ur:d ( ,b lq 'bq) nus(,1,1elereoleroua8 p rS lullep 13aleod pzuld

csaunu as al f raro:d ep lBJl lJa^r ld nr a1ele:edelaJBo+BJaueC(,b,u'bu)

l , l ,q '10 ra:eo1u;euaF1e r$ ( ,o 'ro) raxerarordurrd lrur;ap laldruocalsa ezugd nc

t '6 t 'EI t

t 'AI 'Fl , i I

,n l

ar lelor op lnproloqradlq'pleuoFolro r fcaro.rdplqnp uI 'rafalerdns le arrlarursap ueld unatrsa nlnJarloS1nue16

ac ,qe ,qq ,nldruaxaap'.r0r1oc nlncJaf,eluaFuel iugs ufege;dnsezBaJ-auaF .rer alde;pal e alrsoJJns leluozrroalrrf-oalord urzuld nc- arielor op rnlnproloqtadrrl

IB IEluozrJo ue.tedenrnluoJ -FlEpololornlrls

-uoJJa!loJInJJaO'rnlnproloqJadrqFleluozrJoBuJn elsa ta:uole.lauaF q u:ptruoztJo luJnapsrJJSapInlalBJBd'aunuoJtelncrpuad:adelsaree 1coeaurrFLrnl zeJ gJ aJe 16 arfelo.r ap EXurs ereole.teuaF tlurp aunuoc re:ulncrpuadrad

le I lnrorrrd ap st:csapInJJaJelsa lafe;erdnsIe Jellof, nJJaf, Bs Elurulru uzeJap InlalBJBd'rai-a1e:dns1e1a1e:edn arrcsap (lareoleraua8Jla ldarp 1e lcund ererard '(A'at 'Fg) ( , r , . )er{e1or p FIBr} lraA Xpo V pldratp Er Bnl BAas 1e:auaF J 'Jla BJruEJarrrricn't1suoourn1

-JOl-rrlJEJ aJruqal rriecrlde ales alasBoJarilnuul.rdpfuelrodrurglrqasoap aJ Br$as.la.l,suu:1aualus raxe 1n:n[ ur ariulo.l ur:d ploq.radrq app1u:auaF rlelor ap efuierdnsnr prlluapr olsogie;erdnspisearv .q uldea-rp c ueld r$elace 1RlEnlrsauy aldarp re11u n.lnI gel$alorasaJBc'q uldea:p o op plereuaF'zal lop 1e lnpurFap plepu nlqnp efe;zrdnselsa pzugdo nr elf-elor ap

1np;oloqred;HyiVgVUdnSgd

mNnd'auvrNazeudiruIylr rvuaNaD'rz 'Gl

YZN!dO nflllvlou ra lnalo]ogutdlHz'zt



, - -: :o tat ievede ntotdcaunan stingasr: : .zontale le generatoarelore pr ' imul

i . in dreaptasa urmele or izontaleale:; i ie lor esistemul l doi lea sau nvers).., con{inen totai

TffitiiiJi,l:l?;rr e. ci te doul din f iecare istdm. roiec_::. . 'a leale acestor eneratoarer incinale

:- : - : - :ndate oua ci te doua gi a lc i tu iescfll i lui-r

-aparentvertical al conuiui asimptotl$ l i i l lmlr l reteiOe de o narte c i o" i -^{^ i^ t -:r1ei. pc de o parte, si as impto ic le

: . mer idianpr incipal (adicaale con_

-::'T:.1..Y'lti,':l-.iluprafe{ei)..pe e

: i - :r .^ Conul asimptotal 'supiatelei esie-_ \ ' l r lu l tn centrul suprafelei ad icdal

um"LL-: r ;i al e cirui geneiatoare . obtinjn,r: : in acest ir f toateparalelelea geneia_r iperboloidului f ig. 12.6).pinz"eleco-t . Tpt,ot. i l t tangente_a infini t pinzelor

t ' - .o idu lu i . oateplaneleangente'conului

; : : sec!ioneazi iperboloidul una dorr ;: sec{ ioneazi iperboloidul upa doud::are de sis temdi fer i t , echic l is iantele: larea de tangen{r i conului asimptot.

*:::,",lla: :in]ptanete simptote le supra-reter. a.oncegerreratoarclc pe l i iperboioid

::l:.!y],t". o generatoarc araielirire conull.ltnplol ^; i

oricirei generatoaree 'peconulaslmptot i corespund.douieleratoarearalele

de. is.temiferit'pe iperboioia.-.n..utoarelorprincipaleale hiperbotoid"l" i

; ' ; ;respuncrgeneratoareleroniale ale conului u.irnirtot.Secfun i e^ lane n h perboloiJul'L ioialie cuo pinzi sint de aceea;inaturdcu secliunileplane-in onulsIu asimptol. -onuiaiiector t:::j:,l.JE -e-s]e,9nul d.. r"

-or,Jin!"printr.o

Kl:_":tl_puluf:l?.uaxaa conul'uisimptot.

Y,lt t i . ,propr ietd! i le eneratoarelorhiperboloi_( lulutoerotal lecu o pinzdse ef n urmatoarele:

-- doud ,generatoareleacelagisistem nu sintconcurente;

-, doud generatoare lesistem cliferit sint in_totdeaunaconcurente;- tl. l generatoare e acelarsi istemnu pot fi

paralelecu acelagi ran.Hiperboloidul de rotaf e cu o pinzir este osuprafal i ,nedesfdgurabi ie

; i i . l r iu le", le roatepropr iet i f i le studiate in' caclrui- r ; ; ; f" t" l ; ;r ig late.,$st^fel, lanul tangenthipei i lo ioir tutuioe roralte tntr-un ptnct dc pe suprafalaestedeJerminat e cele doua generatoare e sistemd.iierit ce trec

-prinpunctl pfunrl-tnrri.nt sec_

tronelz,a upralafa ;i se roteqtecu l-g0o in dpuncrul de tangen{a parcurge generatoarea.

\?,?_2..ETIRMTNAREANUr PUNcr PESUPRAFATA.unoscindroieclia iilontutau yngipunct epesuprafa,tanrii rip".Uotoia":,*1:"^,".u , pinrn:s[ .si determiie-ioiecliaverucatam' a acestuipunct. Se considerahiperboloidul e rotaf ie a.i i" i t

pi ir i"o"u ,u11,,,-.^'J,. l'lTJ1;1ua hgeneraou[1.r,i, ,,t,)!9, ,1

f ,mul istem)au kt , k, t , ) (dinat aoiteisrsrem,angente.olierului n punctul t , t ,)1tig.. 2.2). ie m proieclia-

-trJ*uia"upun._

tului. S-a ardtatci tangentet""b';;

le auseprin m _lacerculcolier- eprezinte roiecfiileorizontaleale generatoarelbr,Ain 6eie aouaslsreme, are trec prin punctul M. Astfelp:,njrr. .b corespundin prbieciir ' . i i i .nre r i.a D Ire aibi. ar nentru.ecorespundec,e,,f ie ciei . Si tuindpunctutM . i ; l l i ; ; pe ci te

ooua.generatoarein sistemediferite alehiperboloiduluie obfin a.i. lo;d"proiecli il^.ll.ll^.-T,' ;i

"1i..l general, entru'mdjt,se a ne m' pea'b, , f ie mi peaibi .

Fig. 12.5

Fig. 12.6

223



,zz

r'?JrlJeA BX8 (,a) '(r)) al c .auJn urJd l" p,d

ep u"!d un-4ulJd 'uzuydo ne erfulo.l ap

edlqun-4u1 gr11d11eunricas pf,suln4sa6 PS

.IINnIiSASUO1AXVV VSVOU

I VAUVNIWUSISOIVdVC Af l NV"Id{ l INIud VCrIdrIg VANnt l f ,AS'9'Z'61

' )ur ,; nr pla1e:ed lsa)1 apun '! ;11 tuls t6t lnpund q1 gNuie:dns 1 luaFuul

6 6l 'F l I )+lraJip alsls ep aledrcur:d :uo1r i gnopalac ,1,4' l{ ) ' ( ,} ,q ' lq) l i ar felo. i

-?ld aleur{-l '(}e}r 'rorr) ri (}q}u"qtu)

:rund ur:d JaJl aJeJ raia;e.rdns lB lrJaJ,-als lsap aJEotrBJauaFnop alal ' rnlnprolclsrs ap aJEOlBJauadnopalal ' rnlnprol

;e,Jrq ezuld e uruol:adns ealred ad 1en1ru r 'rur) g1

lnlrund uJoprsuoJ s qJEC Wur.tdasnp rnlnueld u (a1u1uo-rg)lBluoz

;aqn 1n;o1nfenr Bleururalap IJ aleod

"e1d ,1 plBJrlJaABiriJn'Jola:eo1e;euaF

a tS u aluluozrJo laruJnpurun aurfqo as:? l In lnuBlo B J BlBluozrJo?uJn ' lJund

rJJl aJBJ (,a,c er) 16 (,q,u 'qu) ir ralrp-: - ap areole:auaFPnop alac ap +BUrrr: alsalcund lseJpuJ giele:drise1 ueFuel_d ' lnlnptoloqradrr l azugd B RrBorra;ur: ad lenlrs ( ,ur ' ru)W lnlrund graprs

-:d grn8urs al$eril i iugueras 1nue1df,aJeo Z'6I '8IJ

rnun uiulurdns ad ap (,ru ,ru)W lrund un"rlug

luodupl 1nuu1d ururelap as RS.VIVJVUd1S

Ad If,NNd NN.UINI J,NADNVI NV-Id '''6'ZI

f 16r a3]oru,u,,,-ij#i'xlili"t!'jifi:JiJolseJE oITJnJJJA[B,a rS,r a1ecr l .ra,tpl i-rarord, alarur:d no ale8nfuocaloqradrq pdnpele;urdns pzeauorftas 1n:ar1or rril nu arec;'J lnlal ap luor; ap alouuld aloldursur$ealatepUJABloqradrq 1l egdnp efu;e-rdns zeauoricas( lnror lorarel a:ec) J Inl Inlal ap luor j ep aleu

-Bid'rnlnproloq:adrq

a1e 1uo:;ep) aledrcur:dJolaJBolBJauaF1ealBrrlrol a111ice1ordiuISaloq-JadrrJ-ralsaJu1a1o1dru1syrafa3e:dnsIB urtlJeAluoJ8de nJnluoJ_a1iarn1ei luJBJ /. n Lle,Q,eguurpr:eru rlbqradril ichip' eielu fins' gziaiio'ti-ras orlelor ap Elerllra,\ exe ur.rdsn p J luoJJap. lnueld . ,H

IaAlLr p 1nue1d r rnlnproloq-Jadrq_elaJeolEJauaFtlurp eraun urlcas.laluralse (,b 'b ) g Inlrund

.bs, azvt ap (r1a1e:ed)rJnJJaJluIS ,H lalru ap aiaueld urrd gfeg-EJdns lsEaJB g alrunricas qcoezeJap InJJaJJlsa lalJJerdns pleluozIJouwJn Je r ,yotezetep .lnrrar ylvlrozrro elfcalo:d uI alsa laial-eJdns nlar lo3 0.at .8 t t ) rnlnproloqradrq1eJl lJaJrp Lualsrsp aledicul.rd ;uo1e:auaFnopr ler ( ,1 ,1 l{ ) ' ( , l ,r l ' lq) ISar iulo: ap f lBJt}JaAexp (/(')_'(D) rC .luoJJap auu;d ulrd l$ ;enluep auuld uttd .'ezugdo nr e;fe1oJ p lnploloq-r,"olq gaJrunlfras ururelepes pS..JNOUJaOrs 'r3^tNIc ANV'rd rUdNnrlcgss'a'at

ur

aS '(8'61 'Fi1) rnlnploloq:adrq le lr raJrp:s ap aledrcur.ld a;eo1e:auaB nop eloJ

! ' l I ) ' ( ,1,q lq) lS ar ielo: op EIPrr lraA Xe'r l ald 'pzu1do nt a1iu10r p p;o10q;ed1q

8'61 '8t i l



l ; ig. 12.9

irummnr:nuncte{oar (u ,u') ;i (y , y, ) sint deter_ll]lnlllilLrf"rll:recis. .Determinarea precisd a punctelor

mrlnll l;r i l- asimptot hiperboloidului, sectiunea'rr@ :- el ipsd a cdrei proiecfievert ical l esterMl#r

-gmentul(o9, o'g') reprezinti un a di n

lffiu*r=lipsei Pentru a determinaa doua axa1|@ =-; ' ) a el ipsei,se duceplanul de nivelf f i : . :

' i r i i locuiM (m, m,) ! l sesmentutui

r l l iml*'x "). Dreaptade capdt a cirei proiecliel i lu i l" ' .- : . : este m' int i lnegte paralelul hiper_l lnmr ,- - .u ide raza 6n in extremitd{ i ley ; iu r{uir*-\ei ciutate. Se observd d dintre acesre

Fig.12.10

cu virful (v, v'), generatde linia de cea ma imare pantd (vq, v 'q ') a planului p. Acestcon se intersecteazd rr hiperboloidul dupddoi paraleli pe care sint situate punctelecdu-tate. Prin urmare, in loc si se intersectezedreapta (vq, v 'q ') cu hiperboloidul, e inter-secteaza eneratoareaah , a'h,) a hiperboloi-dului cu conul. Pentru aceastase ilege unpupc.t. arecare (a , a')_pe generatoarea

hiper-

boloidului gi se_duce ieapta (av, a,v,) pr invirful conului. Urma orizontald h1 a icesteidrepte impreunl cu urma h a g-eneratoareidetermini planul R, care secfonleazd onuldupa generatoarea pr, i vv. Acestedoud ge _neratoare al e conului inti lnesc generatoaiea(ah,a'h') a- hiperboloidului n luncteJe a1ii Ft, care fiind rotiie in planul -d e

front aihiperboleimer idiane e obfin (n, o,) qi (p, p,)extremitdfle axei c lu tate. 'puncte le y, 'y , ) '; i( . , r ' ) extremitdl i leaxei de capat a ei ibseisedetermina n mod obi;nuit cu planul de nivelH', asacum am vdzui mai sus.

12.2.6.CELE DOUA TtpuRr DE SECTTUNTHIPERBOLICE.DETERMINAREAEXACTA AAXELOR SECTIUNIL0R. S-a aritat ca Seobfine o secl iunehiperbol icdpentru 0 I p.

r :i (F , p' ) depindede exactitat.i"u

ca."'m' :; , .eazd.h perbola merid and In general,

immro*(:uncte se determini pe altl ca*le,aqaruftiutltlfl* r'a ardta mai departe. punctele elipsbi.wfinx-: e col ier sint (g.,l- t ' )Si (u,v,) . Dacdsellllillrillrdrk'ff:u p unghiul generatoarelorconului,flrmr:rr:rtu pl,anul otizontal gi cu 0 unghiulplttrlLurur-Li secant cu planul orizontal, rezilte:

: t : tru 0 ( p, o secl igne l ipt ic l ;:r r tru 0 : p, o sec{ iune arabol ic l :l .n t ru 0; p, o sec{ iune iperbol ica.

,1,&*n arita acum cun-l se determind.exactimnresectiunii eliptice, intr-un hiperboloid de

'ffi$,o^cu-o pinz6, efectuati printi-un plan de

iuryffin dat prin urme.

lffiltnufr,lonae reduce tle fapt la determinarea,pmmc. a e.xtre_mitd{ i lora, a,) gi (9, p,) alef f i lu :_. ntale ( f ig. 12.10).Se considerb onul

225



AI AT 31: I

.rund lsaceur.td snp ,I{ ialru ep inupldr: l :a,ter iroro:d 1,a, rnlnluauFes nm1fruarec 'g1un-1iJesB (,ul .ur)

14I1n;1uorurrdalE ' loldu;rse rnlnuor ie (, r ,n)

lnJJIA: srif'a nuelonr aie:ed lnrlela,u!,tJplt: 'luepara-td

lnzeJur BJ BurruJalaps elatro+: iV '(61'61 FU)guurprrau 1oq:adrr1urLIJSqfBalJasJalurnu Ie ' lnJar loJ ez?alsasJelLrr: iJas ap

1nue1dEJeC 'JatloJ

In3JoJuzeelf,es

Fi r eJuf, d lRd"J ap ueld un-.1;u1rd ,ezu1dmr agiulo.l ep ploloqrad;q un-.r1ugpr;loqrad

aungiras runl? euruJalepas pS .puerprJ

eloq:adrq-q1lnrlsuoJ

lsa aJBr nJ Baielrlr{ r ap_apurdap (, d 'd ) 16 (,rc r) .royaloundn"i iJaJcl€JBUrUrJelap'BeuauasBc .guBrprJ

eloq:adrquuneapioluiqurqrs u; e1$au1;1u1'nrarlor a1Sau1;iu; u lueJas 1nue1d cu p?-\JesqoS ' lueJos nlnuelde ,d BJBJTIJaAr nJ BpunJuoJas raluaFuel e eJaJrlJaA

;e!o_rdrnlnJorloraluaBuel5rJ li f-r,J lorBol;-raFap ]Bururalop alsa luaFuel ueld lsecy;:id lsaoeu; proyoq.ledlq I I lueFuel 1nue1d::raros nrieid

"r'1u1paj *uriras:a1'uialsa

:ptoloqradrqazulde pteor:adnsalredad:1s (,r, ' .r) nlJund 1eunrfras p BqJnJ I

97,7.

I I AT 'FIC

nJ eutuJalapas rrunrfaas le ( ,t ' t) rS (,r , r ,)olLIaJnJlalJllnd 'Irt t$rr l '^ 'rl eleluozt:oetfcat-ord ug luis rrunrfrasale alcund a1ly 'ul 16 narr loidurtse yr icarrp EI ( ,ur 'ur)W ur:d asnpa1a1a1e:edlugs runr icas laloidursy. ' ( , fr,rc ' fr )rnlnluaru8as

Ie(,ru

'ur)W 1nro1[rru lsa rrunrf-ras Inrluo3 '6 1nue1d 1Seu1;1ugIe,x,E uuetp-rJau BloqJadrq ;ec uI ' ( ,d 'd) l$ ( ,o 'rc) a1a1-rund 1u1s runrfcas lrJnJJJArrunlfcesolu eJrl-o1du:rse lrrlcarrpelurzardarun ri rn a1a1da.lg'loldrurse uof, rntrso)B1e (, 1 'l ) 1n;r;n uudsnp d 1nue1d c layu:ed g 1nue1d p uir 16JA aloJeoleJauaFdn p leuoriras alsa aJBJ lo l-orursB nlnuoJIe ezvqap rnlnJJal szBJ (Dar c'( t t 'Zt 'F1tr)

1r :e1rp e+srs paludrcurrd :eo1e:-eueB nop aqer ,t t ,1 Ltl) ( ,1^,qt q) 16 rfelo:ap glBJrlJaA xe (,co r) al C .aungfcasap reqJnf,

lv P(x.

lueJnJ lrund un-r1ugelueFuq ;S pcsuJ-nJlsuotres RS 'Jell0f, lnJJeJ szselJesJalurnuarm d lpder ap uuld un-4uytd 'gzu1do nr aiiul-oJep ploloq.lad;qn-4u! pc;1oqrad1qunlfrasoleJlseprssrn4suoras pS 'ocrloqradrq unrieesep r .rndr l BnopBlsrxa1od 1a11se$ rnlnproloq--roorrl e JarloJ InJJeJnu n?s JzalGsJeluresaieod aunl ires ap ynuuldarfenlrs BlsBaJE I

=5ue1 rot ,pzer ap 1n1a1ereddnp lnproloq::r l rBI ' ( ,F ,F)

C lpder ap uldea:p pdnp:ue1d gzeauoricas Je J ,g

lalruep lnuelil



l i l l l l l r i i rrr. - - ; , iperbolo idul dupi parale lu l de taz\ ., i i{041[, : -] rc se gescscVirfurile (o , o' ) gi (p, B' )if iulutri lr: ,.:nii. Punctele de tangenfa al e sec{iunii, iruurr : :ul sint {i,, i, ') ; i (8 , 8'). Puncte cu-mnrmr

-secfiunii sint e, ), . ,o Ei c (in proiec{ie

mm,r; r", ,a) , ob! inute pr in planele de nivell i l t# hll care secfioneazd hiperboloidul duplllluullrii'!i ie raze egale cu oi1. Alie puncte aleiluis,tirf.- , sir-it pr,, , pr gi vr. Iiste utii si se ob-, \ rurr,rrrur, se po t considera asimptotele ca fi ind'i l i l i l i l l i ' , , f l. de intersec{ie clintre planul de sec-ll l i lrrrrr' '. cele doud plane tangente conuiuir{rs,iri, :. ii-r lungul generatoarelor cafe neil l l l l l i i l i irL.: .:t-i i i le as imptotice. In acest caz rezultafi l l f l i lri i: ;i urmele orizontale ale asimototelorru u - :e l t ru l sec{ iuni i d in intersecfa asimpto-ltt i lri lr : -trt aceast i cale se determini asimototele*urr

-- - : a iunci c ind se constnr ie$tesecl iunea,,rnril i l. : loloid prinir-un plan oarecare. S[ serflhtMr:;rineexact axele secf unii hiperbolice,,,illllllllllfiifir . hiperboloid de rota{ie cu o pinzfl, efec-tlftlluru.irintr-un plan de capdt P, cafe, deexemplu,

irlllllllilllllriersecteazflcercul colier. Fie (<o,oi') axaflf lririr": . -r de roiafie gi (ha, h'a') una din ge-nt luu ' - eie hiperbolo idulu i ( f ig . 12.13). Pro-rrr tuur '. r t ica l : r a col ieru lu i este b 'c ' . Conform

Fig. 12.13

enun{ului,ea nu este nti ln i t5 de urma ver-t icalS P'. Problema consta in determinareaprecisd.apunctelor a, a' ) $i (p, p') , in carehiperbola meridiand intersecteazd lanul se -cant. Pentru aceastase considera'conulcuvir ful (v, v ') generat e l in ia de cea mai marepanta (vq, v 'q ') a planului secant. Acestcon se intersecteazl cu

hiperboloidul dupidoi parale- l i arecon{ in punclele e interseci iecautate. Se efectueazi ntersec{ia dintre ge -neratoareaah,a'h') a hiperboloiduluii acestcon,. ducind dreapta (av, a'v ') pr in vir fulconului. Rezultd functble a1 s, i B1, care se

lote;c in (o," ' ) Ei (p, P') in planul de front

F al hiperboleimer idiahe.

1'2.2.7.SECTTUNEA AR,ABOLICA. d se de-termine o secfune parabolicX ntr-un hiper-bol<ridde rotafie cu o pinzd,,printr-un plan decapdt care intersecteazi cercul colier. S[ sedeterminegi tangenta ntr,un punct curent alcurbeide secfiune. n acestcaz se va lua 0-p.

Fie FP' planul secantde capit a cdrui urmivert icalSP' esteparalel i cu proiec{ ia ert ical iIt ' t ' l<i a unei generatoare rincipale (d e front)a hiperboloidului f ig. 12.14).Vir ful sec{ iuni ieste punctul ( r, r ' ) , in care hiperbola rner i-diana c'b'c i int i lneqte planul de sectiune.Alte purrcte le sec{ iun i i in t y ; i e , iar (^, o' )gi (P, p') s int punctele e angen{a le sec{ iuni icu col ierul. Puncie curenteale sec{ iuni is int

Fig. 12.14

227



9r'6r 8rc

eurrurelops ps .awunNIud IVC NV.Id

NC 'IS'IVUVd IN:IONVI NV'Id '6'Z'61

r - iuop sJBllrxnB uBlduud alnur iqo IJ +od

zzer ap BuJn elsaulJlul nu u FlBluozrro

[ ]lBd]JUIrdarBo]Eraue8nop aler (,1]q ,trq)

. l .q ' lq) r i atfelo. l p plerr lral exe (,o' ,c l) oICurn ugrd lpp d uuyd un nr Ja;u.l-ud

pzu1dnf, alielor ap plotoqred;qun e1 ,;ua8uu;

1nu

8ZC

9r'61trc

rseulllul as_ loldrulse Enop alserv .ruIi rr

utrd acr loldur lse lr r fealp'e1 asnpia1a1a1e.ledlugs tunrfcas-a1a1o1dur lsv.dutln I l- r$ iu uIJsaulJluJloldurrse rnlnuoJ BrrrJnBI u r$ I u1elaluaFuu;' lgunl icas le acr loidutrse prfca.lrpe1u1za:da:_uar$ro a1a1da.rqjoldrurse'inlnuor

1n1r1,r ,r .rd np d lnue1d J 1a1e.redS

1nue1dap u(') lS .l(,)e13.1ss1e;auaFdnp leuorfcasalsoaleo 'rnlnproloq;adrq1e 1o1druse rnlnuoJ IBgzeqap nlnrretezerso al.{ (91.61FIJ)

} lraJlprllrlsls ap a1edlou1.rd.teolerauaFf nop alar( ,1,{ '11) ( ,1,q ' lq) lSatfulor op BIpJr}JaAxe(,o 'ro)

_eJj:lauln ugrd l"p d arureruo uuld

un-r1ug.rd gzu1d o nr aliulor ep ploloq;adiqun-Jlu! uueld uaunlfrasaulurrelepes pS .AUVC-auvoNV'rd n-urNrudNnrlcgs8.z.Gr

g1uzadnu1e1cn: uo, rruXtottJ?",ii-?"1?jH

nl ul luaFuel 1nue1d $ luecas 1nue1d r+urpprlcesJaluralsa aunrfcasap reqJnJ IB luaJnJlcund un-J.1ug luaFueJ .,H

le^ru ap 1nuelduud olnurlqo 'rr rS rl eleluozrto erfcarotd ur

iarlo)nr 1liinlfces 1bqiuaauela'[ alai'crinov) ) JlunrlJes lB aluernJatrJund (!l .an)

l lJal pruJnap Bleluozrroed ri 4 eur;n ad

ld.sarelenlrs '( j,r 'rn; rS (rrl,tr t; ,(,n ,n)

r 'rl) luis 11un1fcis 1e alcund aliy jirunriru -1e (,ur 'ur) W InJlueJ ulrd snp ,I{ Ialruu (ru -ur/w InJlueJ_uJJonp /H laAru

lnuBIdnJ rnlnproloqladlq a:euorfras r.tdllqo b( D eze.rap 1n1e1eredd alenlrs lugs'J raxe a1 e l rS r apfplmraJlxE .rnlnuoJ B

-rn rnJBJ e .plnue1d slsBoJe nJ BullxJoJop

BIE-BaJBolBJeuaEy rnlnuoJ 1n;rgl urrd qsnp.s 'r8s) eyale:ed loJlsv .4

1nue1d 6 ,c o cr )i a l lu !p Br lresrr lurpu! !JS ln l lund

,d!nl

3 lo B (.,p,sps)gluedeJBu rBruBJJop Brur l[u u (/p/s -ps/g]uBoaJBU 8trrpeJop BIUIIte:auaF nuoJnr_ nlnproloqJactrq (,8,1 :Fj)rareoereolerauaF pullJosJalurqllnzei ldeg

es JIUnJlJos ol_ex? aJBurrrrJalopJluedtnlnueld u plued ereur reru pac ap Erurlier l l rs rJrunl icaS

IS (,u,ru)W Inr luar uI

'g1ued JBu ratu BaJep erur l ad plenl l iisueilaug;eur;eurr *n id iii""tp;"dr;'d

riBluozrJo alsa (, f r, :o f , rc)elear BXB EJ BAJos



ltur{mr*n-rferit (fig. 12.16). Fi e de asemenealmMlilrLLl-e razd <okurma orizontald.a conului

Se vor considera unctelede intersecliedintredreapta ;i aceastdconicd. Pentru rezolvareaacestei probleme este necesari incadrarea nconditi i le acestei teoreme. Fie (co. o' ) axavert icald de rotafie gi (ba, b'a') una dintregeneratoarefig. 12.17). ie M (*, m') punctul

!9.cale

dreapta D intilnegte planul'd'e nivelH' al colierului acestui hiperboloid. Se con-siderdorizontalamcolperpendiculara edreaptaD tn punctulM ; i i ie-1<ol,r i) o axi vert ic 'alede rota{ie arbitrar concurentd u aceasffiori-zontald. Rotind dreapta D (d , d') in jurulacestei axe verticale de rota{ie (orr,ol) seob,{ ine n al t hiperboloidde iota{ iei care serntersecteazau pr imul hiperboloiddupd co-nica care intilnegle dreaptriD in punct^ele eintersec{ie dutate. Deoaieceacesti doi hioer-boloizi au acela;i plan colier, ei

'sintsimeirici

in raport cu acestplan gi intersec{ia or se pro-lecteazape acest plan dupd un cerc. Astfel,cele doud coliere se inti lnbsc in n gi q. Celedoui urme orizontale al e hioerboloizilor se

iruutrlifitltltir: : al suprafelei. Se duce prin virfuliurtl{u ., conului asimptot planul ee' paralel,r i i l i lr i:ul P. Planul 0 secfioneazi conul,@uir',rnil:t:: dupd doud generatoareparalele cuffilllllrnrmru. ale cdror ploiec{ii orizbntale sinturfliftilulrlri\-. Se obfin astfel cite doud generatoareifrrllllllltill=rboioidului paralele cu aceste doud,tltiiiillmrrru:ie ab, arbr ;i c€, c1€1 proiec{ii1e'rfimlftlit|l,ilr,r:, e ale acestor generatoare

-tangente

,mumllin -:, concurente respectiv doul cite douiiiiitillrillr,, .r . Aceste puncte reprezintd totodatli lrurilt ltt lr i*de contact dintre suprafa{dgi planelerillltltMlllqrr',{:r:.:gi T1 paralele cu planul p.

llllllllirii*TNTERSECTIADTNTREO DREAPTAffil l -h HIPERBOLOID.S[ se determinepro-tulmmjipunctelorde intersecfiedintre o dreaptilMl',taq ;i un hiperboloid de rotafie cu oimilill$illr,lirntru rezolvarea acestei probleme se

lll l l i l l inrnrr:.:ra de teoremacare se referl la inter-,rut1l' - :rtre doui cuadrice hiperboloizi)care

ifi i l l l l-r :.r plan de simetrie ;i axele dg rotafieli lMfi 'Tnr.,--ulare e planul de simetrie. n acesterttnmtfltr i intersec{ia intre cele doud cuadrice,ir$li lrLlir: .e esteo conicdce se proiecteazd uo arlu :- e planul de simetr ie leorema ouche).

Fig. 12.17 Fig. 12.18

229



0ez

; ; , :C:{nBS r=nuti IJJS os solsuli3 rn l ?li l iuJoJ ,zec

lsaje

' f f :ou'

-?. lr rqls lxr a.ralBqBJ lsearBad.0 iElng:):Jun lJJlsB ulJnzJU .qtqe u! ecunrf.rs-ei JS i , t r r l ulnrrpuadtad,q,q , ,g lpder-- ..- . r' - j i - rnuelduuo audlo'inopa1a'r"gieaubiicassr:uerlnueidnt luaFuui eld sareoJBII-aJBJrnlnJperpea_r?ururJalopJlu3d .luo, ezeJ;:eyn-rrpu;d:ad 1'^o i ltund urrd arerl are:ed e1 qul elua8rie+ p I$ a:eo1u;auedp

rrp,olsa a:eo1e;eua8alsaJBIB (,uJ u)W:-nd u1^IieJurdns1 uaFuelnue' ia (,1t j

n1e:auaFIe eJuf,oJeolrund un (,* ,r'ii)Wr ' lnJer lol pzeelJasJalurBaJBolBJauaF.le: l' ( ,e 'e) V alse lur luer inlJund

.gzu1do.r l lBlorop rnlnproloq:adrqIB IBr lr r r r nue1d

oa lFrg

J geluorJ) ierr l .r r l Inuelc{.G;Zt 'Fl l)

(, I 'J)qledltur :da:eolu. laueF-:1ul:d16 ,ro ro)arfelor ep FIBlr l"r rA s BXBul:d lrur lap'gzuylo nr or ieior ap. Inpioloq:adrqg:aprsuorag"vzN!{o nf,ativrou afl "rnor0'roguadrr{NI Af n$tursr(I 0' tnul: rwvuvd61'6'6r

.dI6S purr ;pfua8uel p alolcund

'p1o,Joq. iad lq.e1aluaFuel ]uJS lS d elclearpurJd Jel] (grJ ln)

t i ( l r i .Z^) aJEoJBJeuaFplqra:adpnopelsJJB p alBUrrulJlapueld gnoprlsaJv '(,r 'r ) U IS(, s ,s)g alaleundug (-alrraypouralsrsap pullJ) !?nopallr pnop rsaulgtruJsoJBJ mlnproloq.ladrq lu aJnoleJauoF;1ed etasalerJ 1od ;alyor e1 olcund alsaJpur p nrlcad-sar esnp alua8uei n"r1ed 1a3 .proloq:adiq r$BloBerp

9ilulp 1, nrr )

1S ,r't ri ) aricas;a1ui pJoJalcund JrrlJetoldaunIIJatrap s ps JeseJaualsg'(gl '61'FU) rnl i lproloqradrqlaleole:aua8ulp eun (,e,q ,eq) r i ar ielor rp pletr lr r l BXE(, t .:) alg 'pzu1d nr arfulo.r p p;oloq.rad;qnBl '(,p 'p) O pldua.rpo-.r1u1"rdasirp ;e1uidue1aleu"lo cururelop as Rs

.YJVGVIdVAU0

O-UINIUd SNO IN3CNV' NVIJ ' I I '6 'ZI

' ( ,n 'n) tS (,r t , r l )

lu,Iu alBlnpr proloq:adrq 1$ gldee:p c.rlurpaJlJosJJ?ulp alrJJund .rr rS rl ug p eleluoz-rJo BrlcJJoJcll iJul l luJ ,JJOJsacv

l r$ 4,b,ualJund nJleri alsaJe n: d a)aJ] aJEJ6o n:tuaJ; l ) l i l l . tJJaltcrrr"r lsur.r :S. l l t { ul JSaurr lul

6I 'UI 'FIC

ul



iaza col ierului qi f ie a unglt iul genera-, r cu hxa vert icald.Astfel:

ab, : h'bi : h ' ln ' cosa

, t h 'm'am

sin a

, at . , .?at l - -.f

, " re t ine seama cd h 'm' : of f i r se dedl lcer : :ea paran- let ru lu ide dist r ibu{ ie:

k:rcotgo(

--rc luzie, pentru hiperboloidulde rota{ iepinzd parametruide distr ibu{ ie k este

..: pentru toate generatoareie. 1 esteegal

- latatea axei imaginare Lr iperbolei e-.:e pr incipale.

)l - . l . TNTERSECTTAIN'I 'REUN F{IPER-MILI]ID

DE ROTATIECU O F'IhJZA

IUN

lillllilll-[\DRUTRCULARBLIC.Ca planeauxi-

l iarepot I i ui i l izateplanedenivel s imetr ice aunu in raport cu planul de nivei al col ierului.Aceste lanesec{ ioneazdntbele uprafe{e updcercuri paraleli orizontali care la rindul lo rse taic respectirr n punctele curbei de inter-sec.tieintreceledoudsuprafefe at e f g. 12.20)Ambele proiec{ii ale acesteicurbe cle inter-

secl ieprezintd unctedubleaparente.n punc-tele situate pe conturul aparentor izontal (pecolier), proiectia orizontalta intersec{ieiestetangentd ol ierului.

12.2.14.TNTERSECTTAINTRE UN HIPER-BOLOID DE ROTATIE CU O PINZA $l UNCO NCIRCULAROBLIC.Se alege irful conuluis i tuat pe axa vert icald de rotafie a hiperbo-loidului ( f ig" 12.21).Pot f i ut i l izate de ase-menea laneauxi l iarede nivel ca in problemaprecedentdcare sec{ioneaz6. mbele suprafe}edupd cercuri paralei orizontali. Se poate con-tinua rezolvarea oroblemei considerind in-tersec{ ia i cu cea de-adoua pinza a conului.

I2.3.HIPERBOLOIDULENERAL

12.3.1.GENERALITATI. Hiperboloidulgene-

ral sau scaleneste suprafa{astrintba generatar1e dreaptd arese spr i j ind ot t inrpul pe treirlirectoare drepte n.putil"1* ., ac'elaqiplan(sau necoplanare).Dacd ceie trei directoaresint drepteparalele u un acela;i plan,supra-fafa devine paraboloid iperbol ic.Dacd douzidin cele trei directoaresint coplanare,supra-fala se reduce a un sistem de doud plane.

Dacdcele rei directoare in t concurententr-unpunct, suprafa{aeste nedeterminatS. iper-boloidutr -eneral ste o suprafa{dde gradul aldoi lea,analoagd iperboloidului e rotafie cuo pinzA.Ea este o suprafa{d ublu r iglat i qipr6zintdun con asimpiot el ipt ic. Col ierul su-

ir rafefei steo el ipsd, ' iarplaiul col ieruluiesteplan de simetr ie

alsuprafe{ei. onul director

bl suprafe{ei stede asemenealipt ic. Sepoateintotdeauna transforma hiperboloidul general

intr-un hiperboloid de rotalie cu o pinzd qi

reciproc, transforminclelipsele omotetice inprr i l" l i q i v iceversa.Centrul hiperboloiduiuigeneral sie denticcu centrulparalel ipipedului

ale cirui muchii s int paralelecu direcfi i le atrei generatoare e acelaqi istem.Planul tan-gent intr-un punct hiperboloiduluigeneralesteig . 12.21

t? 1



lsaspBsprBruozrrosBrurn,a jrll''rTrt$":imlnueydE..elprr lraAsurn^.ura1blsalrop1"_ap_b ls

tv.'Iq e1a;eolerauaF1eo1 }$ju1!1ug ,r

Tejg.oapr,o nr rr r purun_eurfqo'as

id'1i6;,r.

' i . I . | ] ,?1:." ualsrs jnur d ui i ' uareoierduaDr".. ,d , t .d)Br lrop JB Inualsrsap eareoleraua"F

T_l!o,es?o,nr ur puJUn .p1o1oq.radrq

rnlseJprJejdn: pd lenl ls .( ,ru

ru)W lnltund arg

tZ'Zl ' tsn pund u;:d Jar l oJsJ l lr r l lp rualsrs6 cI et j , , + i l ] ru uiru JdJ+ OJBJ -l IJaJIp IUAISISi lo

alleolprauaFpnop alar ap leuluriaiap olsa

TITY1 1nue1d -r ElprpB-S usuiulu.rdns'adap

'i-ru tu) 1ry rund un-Jlur pllloQradlqu! luaFuulryf ,

eulturalep". ..pS

(,F-,A)O' S(,d ,S

) V-- p 'p ) O aJuolpreuefilerl alar ug.rdrrilSapnp

z8,z

o]11:lr lnurrd urp arBol-BrauaF11e1e1aci$au-l l lu1 BA 'ualsrs lnurlrdulp (,p' ,p) plerl l-JaApereole:euaFrsoull+u;areoierJuaFisajri.j.:-"1

:^r-1:roap.eaIrop

lB lnu]alsrs p .orBo]Br-auad JUne gleluoztJo rfraro.rd

uifqoes ,1t.:^Bul_unlcund lsareur-ld c-a:1irir BrrBol:: l : :3: ,pj"prsuor S,

.!nlntrunde pleluozno

:. i1t. t t?io..y-a!C.,9 lf g arnpas ,,F 5d ap',6

yljE :g YJd nlslurlrylerer ,s j l rs arnp aspuud 'dolauv. ,Fl l lF arnp 91 ,( ad ap ,11l_d_ u1g alSaulgllt .r_erEI tF aSirp sp utrd

^1lt^1fl^".1--"lsrlp ]rR)

ro ea.reolu:auagetppaJBolBJaua;Jau d nt ayalered u-rafsrsBel:fp. Jl_?l

C_t$.tV."o ela.rebjereua8sain.rlsuor

e9. ' !8q-6t l1g) ,p^'p) nldruaxa p ,?lBrn-JaA JSe .ieo1_elaua8lseJe rp pun pr aunOrii-oJo aS .;rund

InlseJE _,u uluJrlJarr liralo.ld

lulurJelepesus ,ptoloqlad;q

!nlsef,puielu.rdniad

"ltty,ng l3un

n w R'utu9ztrou;ira;o.rdpulrsou

-n3 _'(,d 'd ) 9 lS (, 9 ,S)V ,(,i i ,p) O ersolur:1i:9 1"1 u;.rd ;u1iipiujauea'plbioq-rao1q

irnureprsuof,s VlvJvudnsaa icrrrna 6.g.zr

^.^"iil::: :eEuuoJ.r$ ldea.rprptp arfrasralur

ep alalJUndugnl_rildea.rpl.rd hp'olse JeJY.1i.ii !l

p,lBJBrdnspuluolfras urlqoas tBrru::f f j : l : ! j .g]!

un rssldearp a:1urp-erirasrrlurJBr ' (a loqJJdlq nes asdl la) aJruoJ 1u1s lerauaF

l 3_t:_l1:1g,rus a.lurereo ueo ur.r'Olr in rag\26'61 Er1) r ind ur. ldca:1a:er 1l:a;r f ' uelsrsop a;eo1e;auaF nop alaf, ep 11u1gbpnubiO

6z'a '8Ic

ploqradlq Breplsuof,S .y VgVUan'S'ga aO,flntind n-urNI NADNvrrnNV.rds.f:.7,1

ru pluiuozl:o urlcalord plenlrs_a1sa luaFuel

Y1:111

a-IuePluozuo aJrrfraror{"a

.tBrrlra^

=:edenluoropBrruor-e1iuaFuefpnop'51""1

Js FlBp ,ru BIpJTIJJAr lraro.ld n.l1ue6) 'V'ODVO a:eo1u;auaFlda:p asei , t ior ad

- l :u,o"nlnpadJdl laye-redn:1u$alsa raJagerd

.fn

(, t '1 ) ln:lua3 leluozrro1ua:eda:niuor-rpB nu elele;dng ., t rrE1EJrlJo,rarlcalord .lnFi o ap,undsaJoJplBp ur pleluozrJo erirero:dn:1uad. ' ;epeSy .,L,d glerrl: jn eiiraio_rd,u eurlqo S .(,,1/.)

l i (,d .!) olalrund 1

tz'6r 'Etc



v;

I' ' ,,I

, \9,

Fig. 12.24

Fig. 12.25

1?3;t {llpAf IE.Seconsiderdunctete(1s0,p,z,f );,pJ^lef,!,2719i ( e2,0,0).easemenea,I te41(240,96,0) vert icald, , s imetr ica cesteivertrcateafadeplanul vert icalal drepteiAB siA perpendicularain V peacelasiplan vert ic j lal dreptei AB. Se ceresa seconitriiascd hiper-b.olgjzli

iglaf definil i de dreptele AB, A,'Ar)$i (AB, A, Ar) . Deoarece ei ' doi i iperboloi i inglat i mai au in afarddegeneratoareieomuneAB gi A incd doud gen6ratoare omune, seceresd se determineacestea, recumgi genera_toarele [iperboloizilor riglaii di n plan"ulori-zontal. Peniru rezolvare-fie pp , planul ver_tical al dreptei AB gi segmentul B divizatrntr-un anumit numir (opt) de pdrf ( f ig.1?.?5) Generatoareteeioi 'doi nipeiUotbiZir iglafi. s_e onstruiesc ornind de la'proiecfiaorizontald. Astlel cele doud generatoare ri npunctul A sint Tal, l 'a ' lJ qi fa2, /a,2,. Lafel se proced"qlu. entru toate celeialtepuncteoe olvtzlune. pnma

generatoare omund esteor izontalagr, Ci)dusi pr in punctulM (m, m')al. drepteiAB, ar a doua generatoareolnunaS:tg verticala (qz, q'z) dusd prin punctulN

{n, l ' ) al dreptei A. Generatoirele i in pla-nut orizontal sint (q , ,i) 9i respectivGi"6).Se recomanddo transpunerentr-b axonJmetrieconvenabilb acestei-epure.

I2.4.PARABOIOIDULIPERBOLIC

]2,!.1.GENERALITATI.arabotoiduthiper_bolic e.s.te.suprafafaiglatd de gradul al r loi lea

generatd e_ dreapth arese spr i j ind pe douadrrectoare repte; i r imine tot t inrpul paraleldc_ u un plan director. Cele doui diiectoare$.pt" .nT_pot fi paralele cu planul director.parabolotdxlhiperbol icare foarte multe apl i_caJ i i tehnice. mai ales in construcf i i; i ' inarhitecturd, a construcfiadifer i telor t ipur ide pinze sub{ ir i , a$acum se va ardta n celece urmeaz|. Paraboloidulhiperbol ic este oiuplglgtd str imbd dublu r iglai i . Exista doudfamili i sa u sisteme d- egeieratoare caie potgenera

^aceea;isuprafa{d paraboloid hip-er_

bolic. Prima familie de generatoareo con_s.tituiegeneratoarele aralele cu primul plan

director. A doua faniilie de generatoareestealcdtuiti din generatoarele a"re in t paralelecu un -al doilea plan director. Cel de-ai doileaplan director l paraboloidului iperbol ic oate

233



vtz

LZ'G\ 'Btd

: uj s l loqradrq proloqpJEd n ol6aur]ap:J lseJBul 'f,8 Is ov rrnlBl qnop allelalaralered4 ueld un JolroJrp eld eo rEI 'O3gV asndo rrnlel pnop alda:p erEoJrarprl J 'leJlsv 'OCSV qulrls ralelnrtred nu nrtn[enc r t uuneaplo]ulruUap11 leodc11oq

q Inptoloqsrud'auvlNazaudau'6'v '61're{a1e.rdnslaJuo}eJaueF1eo1a1a1e:ed

2J aJeJ el 'JolJaJIp ueld un-:1ur:cl zeJl? u l e l rnJolu l a lse Bo '+rur]u l Bi 9]BJUnJB; aldaJp aJeolJaJrp eJl alal aJlurp EUn PJBp;aurase C 'uu1d rtelece un nr a1a1e:ed

i lLrJS.;epa;uueldoc1u1snu o.reraldarptJaJrp reJl ad purhlds es ae eldeaJp o ep

::uaF efelerdnspurrSeJ lpraprsuoc ; aleod:c:adrq InproloqBrBd-repuSyue1d rtelarunr a1a1e.led1eo11u1salda.rp areolJaJIp

- JIoJ aJeJ ul InzEJ uJ proloqJaorqun BJ

-ed alsa aunrfrasap 1nue1d JsC 'aJEolJaJIp

elaueld Saunr{cas p 1nue1dr}urpotfras:a1urep a1e1da:p r ayalu;ed1u1saueld lunrfcasraun al e arrloldrulsu egnira.llp-rer 'eJIuoJ ogdnp cr loq:adrq nproloqe:ed zeauotlcas:er-a:eoueld un ' iep 1nue1d c e1a1e:edlJeJIpulalsrs ap eJeoleJauaFno p Jolal BaJeuIIxJal

-ap urrd lnuriqo 11aleoci1ep ueld un nf, Ial"J-ed cr loq:adlq rnlnproloqeredueFuel Inueld@61il !nlnproloquJedxead elnctpued;ad lsa

lua8uel nuelderer uJ giele:dns d ap lnpundalsa lnlnplogoqured nJJtA 'aleolJalp aueldBnopJolaf,e atlras:a1ur p eldee:p nc u1o1e;edeldua.rp alse eryoq-radrqnlnproloqe.rud xv

.a;edleul;d

areoleroua8 Saunuas ctloq.1edtr{nlnploloqgJ-e d 1n1r1n t:d ra: 1 o.reJ JEolBJaua Fnop a1a3'aunrict:1sap IoruII e eleuoFol.to tfrato:d tSdrur l r$e1aoeI elsaaree r1yoq:adrqnlnptoloq-eJBcl u IBlUozIJo UaJBoE nJnluoJ PullxJel-a p alEJluOJ JoleuBld alP el3]uozl-Io Jolsll lJn

ea:uo1g;nieluI' Jolezundsa:orolduitse 1nue1dad :elnrtpuad.red lsa 1a:uo1e:aua8B IPrluar1nue1d a:eo1e;auaF JaJaU n.iluad 'eJvoTez

-Lrnds^aJof,oleJBotrBJeuaB1e alsJluof,a;euu1d

1u1s crioldurrse lauuldad a:ulnclpuad:ad leu-e1d ur 'arrloldurrse uu;daltunu luis JolJ3JIp

1nue1d J alalered olaueld 'aluaJnJUoJ Un-Beploi lr ilu ls l i roJIp ualsls0p nes l l lu lBJulpo:uolerauaB noq 'a1a1e:ud ueld ug slBnl lspurr l 'a luarnJuoJuJSnu eII lulsJ Seaaru tpa:eolerauaFnoq ' lrund lsareu; 'pfele:dns e1

luaFuul 1nue1d UIuJelapeJef, ltJaJIp ualslsep oreolereuaF nop ca:1giele:dnsad ep irundaJBJerJ t.rd :epe$v 'eJulnf,lpuedraduI S eJeoi

-ea.irp uuld pnop elal arur n:1uadcrloqladlqlnproloqe.redalsa ralullqre rploqradlq lnp!ol-oq"J"d 'ufu;e:dns lell lul rsaulJapa.rec lda;1r3JEolf,3JIp Pnop Jolef, alB I l l f ,oJlp Pnop alal nJ

1a1e:ed 1nue1d pulnJlsuoJ luuluJalap Josn l l

geat 8tc

opq,tadtp

: ;urJap ; aleod cryoq.ladrqnproloqe;ud cErEB-s 1e:eua8 nlnproloqradrqnrpnls u1:,q:adrq+uISBXE r a1e1e.leduJSnu er aueld: :ryoq.radrqInproloqerud g p1nrp1 unr icas.1 'er loqradrqnlnproloqe;edxe pxBef,ne

aloqerud u1s ueld epunr icas .lnlnproloqj exe urrd aca:1aunrfrasap Inueid pregillodrq o olsa ea 'a;lloldurse rrica-rrp nop

runtfras ap BqJnr preg 'Rloqeredo alsa,s EJBaJ rr loldrursu r ica:rpernFurs aler.Jes p BqJnc zBJ lsof,BuI 'BXEnJ elalI alderp pdnp areopa:rp albueld pzpalf,as-:r a ]r loqJadrq nlnploloqe:ed xp nr laler

!opaq



iD : i BC fac partr :din sistenul de|||l i lr -; i 'e se spi: i j ini pe AB 9i CD qil l l l l l l l'l - i t i n l : lnrr i F Acpcf o rronr.ra 'i ,- ,or l .Li planul F. Acestegeneratoarc

- . AB qi CD n pdrf propor{ ionaler ,, : -c rpfoprietatese conservdn pro-

. : i . se ob!ine un mij loc foarte' - construigencratoarr . le"ste su-

- :. i ' , ' idA eledouirdirectoare repte-.1 numirrde pr lr f i ; i s i se uneasca. : r puncte leccresJ)unztr toar.c.r r

r :uia 12.27este reprezentat ara-- .:-bol iccareare directoarele iepte

: : j . ca plan directorplanul vert ical

-+i doi leaplan directora1supra-

-::rJ i r ,er t icatr , paralelcu dreptele

._:rulplan director) este paralel1t s ;i CD. Pe acet:asi pira s- a.ec{ iunea n paraboloidulhiper-

r , :- ,ra,si curba dc sec{ iune, vindl l l - .cf ie.asimpioticnreala,estepara-

- -+ '8 '7 '8 ' . l i i epura l in f igura 2.28' -: ,n t un paraboioidi ipcrbol iccare

. , t i rectoror izonta l .i un plan di-- . :ai QQ' , cl irectcarelc iepte f i lnr l

ur : i {ce,c 'e ') . Paraboloidulhiper-

.gura 12.29 are,de asemenea, n

; l l , - : peicum gi pianul vert ical de I ' i ( . i? ,?o

-. .jL ! ! l r rr iqd r1 1

lJdlduLrluluLtl i l lpc l-

r .anulvert ical QQ' paraleicu axa-- :holoidrr lui lr iperLrol ic rn ' r 'stc

l l t l r {u i i r , . igonale lorat l r la ieru lu i st r inL. s i' i l i lr '- .culara l: r comunii. S-a ariitat cz ilu " ,- i,. lanLrlde sec{iunc intersccteaz:l

, - :-oare upu dreptevert icale,deci

I ' is . I .28

Fig 12.BrJ

plan director r izontal, ar ca directoarelrc l t tedoui idrepte,oarccare Sr, Di) $i ( ) r , Dj) .^ lnepura.din f igura i2.30 e-ste eprezentaiLl l tparaboloir . li iperbol ic care are ia plane di-rcctoare ele doui plane de proiec{ ie au ufiplan de nivel H'Ei un plan de front F. Celedouzi ci irectoare repte sinr ; (a:h, a'b ')

"s i(ce,c 'e ') . Se lasa pe sean.rait i torLr lui a nl l-

.r i reascziplanele directoarea1e paraboloiduluihitr rerbol iceprezentatn epuradih f igura12.31.Doi paraboloiz i hiperbol ic i ecir i later i s intrcprt,zcrr tal i n r lubia 9i in tr ipla proicci icortogonala n

-epurele cl in f igura [Z.SZgi

f igu la 1?.33. in u l t ima epur i s-a construitg i

sccf iuneapr in p lanul de nivei H' , carccste o hipcrbol i , precumgi adeviratele un-girni r ie directoarelor reptepr intr-o aDarerepe planul or izontal de proieb{ ie.Tn epurele

235



-?rrlJeAnJpurlrJ un oJlurp ariJasJalur p

"rnr 3lB olprr lJeA alrr irorord ulp alrBdr ir lsuor ne-s gg'61 I i Vt 'ZI elr rn8r l urp

9t 'at '8tc

?e'6tFrc

Se t 'Ftc

zE'zI Et tI t '6 t 'Flc

oc l

ru;za.rda; -sgg'AI ern8lSurp e:nda u1 '(zecnu0 ug) ,H le^ru ap uuld un nJ eadnlfcasI[1f,ald leluozlJones.lBJuoJJo1ca:lpueld:tloq.redrqproloqe:ed un iS (, r ,.i) yxu

9€'ZI '8rC



ln-d'

Fig. 12.37

i.nt"9r99c{i.aintre un paraboloid hiperbolic

l :{Elde.patn{aterulstrimb

nsCn'9i uncrtrndru,etiptig.! epura in igura 2.Jis-auconstruit sec{ iuni lepr in planul de nivel H,

!t lnn planele eprofi l p, ; i pn, in paraboloidulnrperoonc el ini t de patrulaterul t r imbA8CD.Sec!iunea .r inplanui de nivel estehiperbol l ,tar pr in planul de profi l este parabol i . Inepureledi n figurile 12.38gi 12.3^9 ste repre_

1:" t {un.alt-paraboloid iperbol ic. n epuiele

drn lrgur i te 12.40; i 12.41s_adat o al ia re_prezentare araboloiduluihiperbolic, qi anumeprin secfiuni leparabol icepe planul vert icaloe ,

^proiecfe ob f nute prin plane tle front.

trJlgf l in_primul caz, secliunile n paraboloi-

lyl ^hi,p:r.b"licri n plane-de capdt' de tipul

P ' . s int.hiperbole. n al doi lea caz, sectiuni lepr i ,n,p lanele de nive l_Hi

EiHi , in t hiper-

l9l.l" conjugate af i de diiecli i le reale lge_lerafolrglg . p.rincipale), date de intersecJ-iaparaboloidului iperbol ic u planuldenivel Hi .

rilti{

til

Fig. 12.38

Fig. i2.39

237



r' f AI Fli l

w d 3l, l

4' tJ' llt:t

8tr

ap alciLLiaxaeuauesv afale"rdnsusaueldalrr-aJl i l - lJ rrr loq:adrq zroloqu:udolsare urfcas- ielur Lrrp ?]El lnzJJ urJojqns ar j ,aFal p l rur-nus o gdnp aleurqrroJ quJJi)- JaJBlnJlEdpr?urJoJns a1 1eia1u:dns auaruasup eJaur tsluJPLUnUrn BZBrJoses FJBpsalB rBlx jBZr lr+11F.te1 lsa r lyoqradgr l{nproloqsrpcir ;r iqnsazugdro11.inS1;adorer ian:1:^uol J 'uauaruesu aC'GyZt 'Ft : ) aONW IS IAIStgrV ,g lgv nBS(gt 'at- l i 6b'AI alunFrg)3JBV qujr ls raipl:n- i ]€r l rnap lrurJap1e1uozr,roolJoJtp eld nrr11oq:adyqloioqeted n alsaaJeJ JEpJoJcJpqiuge:dns -:1ur.rd aJrqoep BZuepJorEJs alrJ-alrp alr ied ap alrrnznlel d1a;1syB_rn]ralrqreIII ri r irn.t1suorLrI JSJrrlilLrI s llloq.rodrqtnlnproloqe:ecl lB aJiur lol nie r ldu asuoJaur-r l i r lu lu ale3 'g0lNHAI It jVSt. ldv ' t 'V'Z,I

It AI 'Fl i I

0i ' 6l FI i l

.? rp aldLuar. r BJUJiuJSu scolJunt \'_ : rorJsJ nJql l lqJa ap nBS nJqr l i l {Ja---rrJisrioJ rirpuoc a:IIulluu rs : glcadsa.r

r , l rBJJp'a i led ql le Jp ad lel .JJJI )J. \

; r .rd 3lrJejrp_rp rnlnJolp.\JJsqor :r , i r :di i .- - 1-o:ul ad rr lsuld ]raJa 1niu1da16uau, -J '^ ^. ^- r .^ -r ' -; * , .1o ep ad 'ar i ;unj also :r iqns :o1azu1dn,.:_:oJ 1 ror loq;;dlQolizroyoqe:eda;air

. :eSV 'sns reu ap olor rr1Fjul ed aleip: ne rr i tasJeJut p nus aueld runr lca's



Ed auruJBJ r$ elua.lnruoJau axltr alda:ped pulfr:ds as arBJ pldua.rpo ep pleiauaF

rs elsa crloq:edlqInproloqered carl$ag'Fr1)refa;e:dnsIp rolcarlpueld Ieluozrro

ruod Bl lnzal rS,H laAru op 1nue1dJdns Fzeeuol|cas s lg e1a:eolutauaE

aurfqo B nJluad 'ro+JaJIp ul d un nc

al J lS !C alaJeoleJaueF urfr.rdsas aJBJnruoceu axrJ a1a1da.rp,9 'g V r*erC'!nlnlrund u ur pluluozlJo lfca;o.rd

es us 'r;loqradgq ploloqurud lnuns ed ap lrund lnun

",ru pl"clilel

I purosounc' lal lsv 'nr ieds urp areJl"axr1 ldarp pnop luIS aldarp ereolcerrpalal aJEJuI lnzvJ u1 '1e1uozl.roolJaJtp:r crloq;adlq Inproloqeted uzeauJn ar

0i z

alauralqo-rd!'urnre urpnlsBAaS VIVJVUd1S

ad rSNnd auvcguvo rldlruoef,volceu-ronc crlosuedrHIncro'rogvuvdv'v'61

-Iq rorrzloroq-e:edarerros'"o "r;,?jli::itp ular lxa alduaxe a1le urfuor 99'61 !S ?9'6IaltrnFt; ul p alarndg 'a1:ed u1 1er1pdeJBJarJad tirn.llsuoc rcrloqredrq zroloqured op leeeJiulp eriras:e1urBlBpolol pJaprsuoJ s tg'AIu:n8t; urp ernda ug 'lal u- I 'ue1d r6ernlacee1e'cy1oq:adrqnlnployoqe:edlnrpaurralur lrd'e.ruadoce p Ilpll l lqlsod a1e1r-ralrplBp luIS69'61 rgn?r; a1e atnda asu$elac ul '19'6l IS09'7,1 6V'GI,ellrn8lJur p alarnda uI a+Br+snlr

luJS rcIIoqJeoIqJolrzroloqBJBd aJalJosB peluesaratrurr fect lde l lv 'g t '6 I t i w 'Zt 'gV'61'g?'AI ellrnFtJulp elarndeuI olep lugs t:tfqnsrolazuldelfrn:1suoc g crloq:adrqoyrzroloqe;ed

_uI pul lr rJalop,g rS ,p alBJr lJeAd 1e arlca-sralurp lnlcund urrd sn pap Inueld pr elrasqo aS .(,F ,F)

O

Lt 'zt 'FtJ

.Y

?{';1'rii



99'ALEtc

t9 '6t '8 tJ

nw:zt .4c

p 69'G|Btgt zs'zt Fla

zt '3lg

ggat 'Ftc

qw'at 'Bu



adicd dreptele m ;i em sint omoloage n celedoud triunghiuri. Deci { a : d men ;i repre-z int l unghiuldreptelor Ei 8. Cu al te cuvinte,e este ituat pe arculdecerccapabilde unghiula descris pe segmentulmn . Prin urmare, overticald ntersecteazduprafafa n doui puncte,in t imp ce o or izontaldde caplt intersbcteaziaceea;i uprafafi intr -un singur punct.

12.4.5. DETERMINAREA UNEI GENERA.TOAREDE SISTEMDIFERIT. Seconsideriunparaboloid hiperbolic, al cirui plan directoreste planul orizontal. Si se determineo gene-ratoare de-al doilea sistem al suorafetei.Fi eD (d, d') ; i A (8, 8') dreptele ixe neconcu-rente date (f ig. 12.58).Uimele or izontalealeacestor reptesint (h, h') ; i (hr , hi) . pr imuls-istery e generatoare l suprafeJei st e alcl-tui t din,generatoareler izoniale, arese ob{ inpr in secfionareauprafefei u plane de nivel.Al doilea sistem cl e generatoare online ge-

nera.toarele-paralele u planul definit de pa-ralelele_l adreptele ixe D si A. Toate genera-toarelede-aldoileasistem ntilnescgeneratoareaC (9, g:) .de capit din pr imul sistern.A;adar,proiecl i i le vert icale ale generatoarelor 'de-aldoi leasistem rec toate pr in g' . Fie g'k, pro-ieclia verticala a unei astfel de generatoare.Urma ei or izontaldeste k ; i este situata peproiec{ia orizontald hh, a orizontalei (hhr,h'hi) , careesteo generafoaree pr imul sis iem.Fie (ab,a'b') o alt i generatoaie e pr imul

;istgm, pe .care generatoarea e proieclie ver-t ical i g 'k ' trebuies-o nti lneasca.Relulte c'p€€'k ' , apoic peab. Generatoareae-aldoi leasistemeste (ck,

c 'k ') .

r' , . oate fi ob f nuta considerindgene-r 1,.u1

-i91,i) care se obtine prin selfio-

, " : :re{ei cu planul de niv6 l Hi . pro-: : , - i i estenai dif ic i l i ; i seva rezolva

-:r3r€Ce n acestcaz proiecfia or i-- : punctului trebuie uati pe o ge-

-: -1at5. Astfel, cunoscind proiecfiai m a unui punctde pe suprafafauriui

irr hiperbolic,sd . e deterrnine roiecfiar n-n' a punctului. Fie D (d , d' ) 9i::ie doui drepte fixe neconcurente

: \2.57). Se considerd generatoarea" ,ab,a'b') astfel incit m si se si-

- . ob Ei hhr. Problema ste ezolvatd,r ,=termina proiec{ iaor izontal i ce a

- =. orizontalecare trece prin punctulur r Servdcd punctele e Ei e1, cdrora le

:oui generaioarepe care avem pro-: 'r ii mi se obtin intersectind 8 cuI -rrc capabil de unghiul a descr is e- mn. Intr-adevar, din tr iunghiul- . :ruit asemenea u tr iunghiul ham

- roloage iind ha gi bh1) ezulta:

ch__

eh,

caeb' Fig. 12.58

243



li

'1i

:r ,

u! (,9 'g) y eareole.laueFl$aul4ur u ru

I1:11_llleljeary (o rnueld'-us-^einr1riqleluozljo o ea rS also a:eo1'ereuia rBji

:.jny-lrgut p

,trrBolBreuaF ylelloztro

!^n-r_"ldied elsaBa .{ nc rq purun

::.-1:ytt.,"lep lailse luaFuel rirlhubld

iii' i'1?:","3Jfi"l'*)$ t:ji:BJ)

I t Inl"und ui i6 .uialsrsnjnop in_no

eur; o ( ,9 .g)V rerqr aU 16

i . r i .u ' ,qu iffi,;""1rJi,*t"rllt"E

EII{c IJB ('q'e'qu)

A'".rlT.r"!iilF*i'til?,i'1,r;1';j"i?.lil l ueldec iluirzrio

1nr',i10'l, iirS 'uelsls petlop

lp_eparpol"jauado'edpuluor ap lnlrund ,plup (,s ,s)5 alica.l

t ,ap_arugluroueDrnlnproloqerede iqq

IlroBrrrrn ,e ,r)3 uga16au1!1rig6 eu-rij

InJSaJE e'eluozlJo o aJSJa.rer) qu njt e lsa lS 4 urrd aral l luaFuel rn lnueld

I ry lR] rrozrJoBruJn . ]JpluoJap rnrcLind ur

!)_upluozuo

BarBolBraueF lSaug1u3arej

wz- rqrB lnlJund urr-d ,g+np(,q,e_.qe) pluozrtoa:eolerauaFo ad .1en1r-s

lu'e8uu1'liruulO

'nc'lrBJUocap lnicund puy,lrr.ninn

"s'.(og:ai.FU)

-a.lBP.?JIJ1a1d3;p,(,_slg)V- ts*(,qp)

o ii;rs rolrerrpe;der pryonrc inudiit saleag'leluozlJo Inualsrs

-ulpeJ?oluJauafi aO pu1;j

lreluor lp Inlrund ,Rlep (,s ,s)g agiea.lJp

::. l" l:.fd^'r1 oqradr p oioqi.rud'i u ' 1u"$uu;u?tc un eutuJelap s BS.yIVg giiCgUto

o nf, lalvuvd rNaoNVr rrvrt-.1.V.6r'a;uolerauaFraun 1nFun1ug ezetJel luaFuelIl,l"Jj-_iqT :1s feje.rdns'elsj

" I oqr"d 1 p:"1?9"j,"q rarpoag(, l,ur .Iur) raieol'e.ru5dB (r^ ' r^)

.F lBJI lJe^ eruJn uud nes gV Iale l:y:1]]o e (,n ,,r)plerllre^ eru;nur-rd"a5"r1,;il:l!+j:l-^Burn rB I ,qu nc plaleredalsa S' !urJoaJeJ.lL y1rluoztJonl BuJn .(,rt,,u flurj

lL

(:g:l

lq,")a1a;eole.raue8-ap

1'eiruuSleplsary Inlrund uI pfe;erdnsBI lueFuel InuBId:]. t . t , { I ,re! ' ,?,u ad else.4

"puni(,rt , i l

'4tu) elsa ,ur ru ) y lnlcunduljd psnpualsrsEalropIB-ap ereolBreueD(,q,u qu)g{eryohio

:,"_f:1."j::.:1,_ innr' (,-',ii,)

ry inlluna5rg' leJlsv ltund lsareur.rd aJ]-oJBJa1l:a1rpeurai

-srs ap .areolerauaF .noppdnp efefe.rdiis re l

:ll:_qjgglqloloqered1'nu?ri1n1J-rirn'd a1J

1-":ld^:.lijlu;pa8uelrngerd(oslar Fll) alpp

axlJ eJoerp pnop alar (,9 ,g)V li (,-p p)

Otl1^ r :_.rgl1nr lpueld er.br1i5r<i id ' p" retuozIro lnuBId_ a;el_e aS. .r;1oq.rad;qpiolriqi:uO

i::L-:j"-I_"_rlnsd ap(;* liri

ry'liuirir'un_.r1u;

tueduulnuu1duruJelapsps .ylv,{vudns

ad rf,NndNn-urNIJNACNVTuvrJ,s.v.6t

og'arElg

a,J1,i-"li#H;,il,ij;,:lH";:, ilH .y:r:l: _nlllop1e-apajeolejiiradir!1y.^_(,1,'l)alsalraluorep lnlrunO 35ri!qg ed I gl lnzru . ,1 u! ,q ,e atsaurrrurAatsa pleJrur l ps erfrarord ni ,1,J ' j ;

39_l l_td

a.ra;1lLra8uel nlnueld n"r" ir , !

tr Ballop IB-ap a:eoleraua8 o"builuoe

ffi:l:,"X'"';fi

);tlil'#Jgi:i#tSh:,,"",,133',',.""",!,?'13';':i"fr,'*!

I

I



ru$_ TANGENTDUS PRTNTR_UNLITER|OR. Sd se determine

rlliii"

la un paraboloidhip"rb;iid';;;;..ptjn"t exteriorS (s ,st), punctul-de

tt ind pe o generatoare in 'sistemui'or'il

} " . ,ni . .D(d, d )_9i A (0, b. , )c lreptele

' rfig. 12.G2). lanul diiecior ;i ;_{ite planul orizontal de proiec}ie.a:ea din sistemul orizontal tut; d.t.

t Aceastd eneratoareeterminam_t lm - punctu lS planul tangent a supra_

ff**

I ]:i_qen.secfoneaza up afa{a dupa

rnz,ontald_ABqi dupd o g.n"irtorl"

:u l al doi lea. Se consider i o dreaptaSA a planului angent, .r;r l ; ; ; ;' .11" (k, k'). planuI orizontal e

H* ;*.tr:leazd paraboloiduldupd urma

ff. l rnr t, tangent dupi urma kc, paralelaGeneratoareae-ai cloilea iJtJr-

"""1-11?ny1 tangent receprin punctul

"y.,t.,,r,ll ld:l ll.il:'i,,il5lt

?Suryaceeagiproblemi, punctul de contactfiind,pe o .generatoar"in'sirternut-it Aoilea.

i: 1:ti,ii"ilTi,: I)'iefl"lt"l'r'.T:Jr.tfixe date (fie. 12.ffi).se'ia-if"td;ti

dreaptaD (d,. ') cageneratoare

de-al J;il;; iirt"*.

l1:l.l,r^D,

(d',, i) aria-rr^airp'iio prinpunctulS areurma orizontal| k, f,t: D-reaptaA (8,D') ntersecteazi. lanuf;; ; i

'd"e'drep-

l:l-" D,ei D, in punctril ?;, i;';rtLl incitg?l:L?to,ur.a e primul sisiem'con{inutade

iifiiTitX1fit'"i'"t'*'f,' ,T' Puncture

._nI . care este punctulr :- :rctul M 1m,m,) este

F"r!?.? (9, ')$ibta;uidllr " ir i l iz ind planul vert ical

de contact

. ntersecfiatangent Q.Q dus pr in

D.

rut de contabt {utat.St ;;';;i;J

Fig. 12.62

Fig. 12.63

245



'9 ' ,Ar '3r. {

, . .1:: l : . ,"r9? l alelrund proloqe:ed

d lnupld ul l I lB elBluozlJo nEp-aJpreuBJd aJpr l lxne aueld et p.zuazryln

_rozrJoalsa. JolJeJrp 1nue1dara;e6a6

..1e1oqe:ed elsa gueld eaun

:: . t -uj,a1fen11s)rpol3arrp ueld pnop

' *rr lp ariras:a1urp eldej. ipn"'r",?ru[mtt:4 aunlfrasap 1nue1do aundnse_rd

F_u .^d;1)

. _a1epxrg. lda.rp nopolartr t$ (,p p)a aU'is olcJ.rrpu[ro-'n,:..ll,u:jge;aJB s_.eun;fresp aqjnr enundun-4ug-e1u58uu1is pr.ninjlJuo"un u!r-d l?p d uuld un_jiu!.rd rloqrad

F"f:gun-rlu! pue;d uaun;iraserirur.ral

p_ -aNnr:l0asro rEsuni]V rNniF{NdNN.UINI VINADNVI 'dUVCAi

'l;j"ill lll.-u11l J,s s y eldea:pp B+rasrai-u l r jse rs 4 prueldur 1a1e;edlso3i1 rsO JlaJ

:g:jt._"f lngroJ nueJdd prurn r'i,;,q .aq)plaleredarnp as (,p ,p)

O raldarp i '(,'rl i)Burrn lrd .(,L,e Lu)e!1ral1p1 f$a rnjhueli iBruJn nJ plalered BaJBolBJeuaFgc-saln.llsuor

:^r. j :- i t l t-! :epe6yrotrrrrpueld a116p1e r

l: l : .r:1,Y:ld,uns4 1nue1drlurp ilras.ra;ur

flulza.rda.r/\p ,Lu)eldea.rq4 rnlnueld ur.rn! i-11^"J_-?1"_1

E' !n np oloqeredro1ilaru rpBrlJeJrp lurza;da:leurluJelapa11.e' in' lnueibe Qn gpquozrro rrrrl-l (,S'.S)V"lS i,p ,p)'q

llll^d."jl,"t^-r,rl_radsa;,i,b.f u)' rS 1',i,e ne1

olelalEJBd Jsar-nJlsuoJ aS .(ue1drnisare e

: l :11'l.r: :_ag,lenlts) 1nue1drp rerlrq.re1:":-..-1:_(,,nn).Valg 'rolrarp udldealroplB^xJ_aJBrBdeld un rS4 lnuelt ia:1r irp l ira,s

.latlj-J,f{f 9$"a:eolerauaF alsere

erfciirq

:-d-^l:Tl.1.n_cptele;ed ealrop ;e Jnruajsrs p

eJ€oleJauoEaulfuocealrauasp p !Sd epTuoz-rJo Brurn nc eJale.red le+uazlroa.reolejJuiFo

"i1y": _tnplotoqBrBd.&s.at .F1g)alep'exr jolel

-oerp(,9 .S) V IS (,p_,p) elC .eru.rnuJ.rd1up4 ueld un- n) 1a1u.rud;uquoz;ro.ro1r"r;puuld

:.l--:jP1r"dtqloloq"r"d n u1,1uadue1'lnuuio

eulurelepes ps .gwunNIud rvo NV.Id

NN N3 'IS'IVUVdINACNVI N''iJ ,6'V'ZI

Iln\']dNn-urNrud runricas*i;e



lffiilll*i:---iar€re c prin punctul de con tact dintre,ii l l i lrLfr '"" '.:a;i planul tangentei, paralelcu planui

mr .1- :esc sint puncte ale secfiunii. Direc-iltt ir" r.:nptotice coincid cu direc{iile genera-tLlrl i l irrl1: paralele cu planul de secliune. Aceste

,iuuririur.lTrintr-o constructie asemdnitoare ca,mtttr i

- - : .ema precedenti e determindpunctul

l i l l l l l l inm .'; de contact dintre paraboloid Eirrtt r"1i.iangentparalelcu planul de secfiuneP.t i luru. :. asimptoteie'secfuni i planesint inter-NHm= dintre planul F ; i planeleparalele ui l l lririri i i ' ' l*directoare duse prin fiecare dintre celel l l imirtrLi:neratoare ale paraboloidului care sintlutlililil"i',r:cu planul P. Aceste generatoaresintmnn n t Ei (mk, m'h'). Planul orizontal H'LtiiltlllrLLl":

'rgeneratoarea sr, s'r') este intersectat

ttnrr :: tul (1, ' ) de dreapta a^1, 'y ' ) a pla-lttutttrLri .:cant. Deci prima asimptotd este ori-

'r{rfrrn"t,!i lv, l'v') de intersecjie dintre planul

il l l l , -lanul secant. Planul dus prin genera-rtrtiirilir 'r:k, m'k') paralelcu al doilea plan di-

fif l i l l lTjre urma orizontalake paraleldcu urmasrlll - ::ele P gi ke se intersecteazd.n (.,u').i ! Lr-r asimptotdeste paralela ey.,e'pr ' ) alr iu: : imk, m'k ') . Aceste oui iasimptote le

,,ittrrrrrl'-- i plane se intersecteazd n punctul,,i l ! situatpe diametrul otizontal om ,co'm'),: i imr, '- -c€ pr in punctul M (m, m') . Un punctil n el secfiunii plane este dat de inter-

Fis. 12.66

proiecteazi vertical in g'. Planul de nivelH' dus pr in aceastd reapti ta ie planul se-cant dupa dreapta de capdt (gr, Si). Unadintre generatoarele in sistemul al doi leaparaleldcu planul secantare proiectiavert i-cald k'g' paraleldcu e' . Se poate determinaproieclia orizontald ck a acesteigeneratoare,considerind eneratoareaarecareab , a'b') dinprimul s,istemorizontal. Rezultd c' , c si kpe hht. Se duce prin aceasti generatoare ck ,c 'k ') un plan paralel u al doi leaplan director.Pentru aceasta e considerlparalela cm , c'm')la dreaptaD (d , d'), care ntilneqte n (m , rn')planul secantQ'. Intersec{ ia intre planul Q

Ei planul dreptelorMC gi KC este n proiec{iaorizontalAmpr., aralelacu kc. Celedoul asimp-tote ale secfiunii sint astfel cogr$i opr,.Unpunct al hiperbolei de sec{iuneeste evidentS (s , s'), in care dreapta D inti lnegte planulde secfiune.Problemase reduce n felul acesta1a determinarea unctelorde intersecfie intreo dreapti gi o hiperbolS, cdreia i se cunoscasimptotele; i un punct.

r2.4.r2. TNTERSECTTATNTREO DREAPTA

$l UN HIPERBOLOID DE ROTATIE. Sd sedetermine pe alti cale proiec!iile punctelorde intersecfiedintre o dreaptd D (d, d') qi un

hiperholoid de rotafie cu ax[ vertical[. Seconsiderdhiperboloidul definit de generatoa-re a (ab, a'b') gi de axa verticald de rotafie(<o, o') (fig. 12.67).Se construiescdoud ge-

il l{ i: rintre P gi urma hh1 a paraboloidului.j",irrrLlr,;:unct este situat in planul orizontal ;iitttllttr,:=i se observd pozitia-secfiunii plane iniiiriril: ;u asimptotele.Alte puncteale secliuniiu r r : :r obfin pr in plane auxi l iare de nive l .-iru.:.:a intr-un punct curent al curbei de

r*r --= estedati de intersecfia intre planulr l i l1lrir , >i planul tangent al suprafefei inrrrLrLrr ._ considerat.

l ; , .1. INTERSECTIA II{TRE O DREAPTA*ll$ L\ PARABOLOID HIPERBOLIC. Sn seillnrnm-n!neroiecfile punctelor de intersecfe{tiiiliiilrrrr"dreaptl E (e, e') gi un paraboloidilittirrrrmtr:rrlicu plan director orizontal. Fieff i r . d ' t E i A (8, 8') cele doul drepte f ixer lr ir rur- .;1snls date (f g. 12.66). Planul derriiiiiLin. Q' du s prin dreapta E sec{ioneaz6.a-'.;riirrrr. -u l dupa o h iperbold.Asimptoteleaces-Lttu ,trbole sint intersectiileplanului secant

tt l tr r t f .. : . t Q' cu planele paralele a planeleftrr-','. rt . duse prin cele doud generatoareIrttrilrunr= cu acestplan secant.Una dintre acestel1llllulLr",r-r:?arest egeneratoarea e capdt care se

247



I

89'Zt 'FrC

B?Z

ErlraloJd 6urlqo B rtrluad .(alrlurrue rolBrr]-JaA^eFlpluozrJoerlcaro.ld) r; lcund un_riuJa1ua8:aluocluIS oleluoztto to\ jlrricarord'gj

FuuJBesuJuelsrslnurrrdur p eleJBoleraueF1eo1JSoulJluJBalrop IB rnlnuelsrs a1a;uolureuaF

aJoJeoae 1cund un BI esnpal else gpjuozttoericaro:d raJBf,B- S g1utt1.ra,rlsa arec ,ueyd

lsoJe nJ plalered Jnlnualsrs u e.leole;auaFo

rrap plsrxg 'rolcaJrpueld uc U IBrr lrel 1nue1dare Inproloqeredgr 1n1deg p BruBas ilri 5sareoletauaF.Fnop JolsaJpBJJBUrrlJJalapJluad'olelnpr aricas:a1ur p alalound ul

-(,p ,p)d

BloP€Jp saulJluJ r lelsrsBallop Ip_apaJso+BJ-euaFenop alsoJv .aiagerdns.lolsari aunruoJua.lsls Eellop IB-ep.ereole.leuaF nop pJuIplsrxa rzur 'ualsrs rSelace p truJS reolereuaFenop alseJeaJeJ?oaC lnproJoq_radrq

nf, eunur-oJ e.leole.laua8-.nop eJB proloqe:ud lseJv'U IBJrlJeA. el d_r$e1are n nr a1a1e:ed1uo1

luJSarer ,( ,1,8 ; f l ) .

!6 ( ,?,J_,al)

(,p .p)O axlJeloeJp teJl alaJ ad purIrrdsas JJBJ gldea:p

o ep 1e:auaF e11oq:ad1ryJnproloqErBd .lap-rsuor.aS .(,p .p) q eldearp ur:d snp lecr1re.rInuBIo{ "g

ls areole;auaF }sef,B,1,F gF)1$

(,a,r 'er) alC .O ralda:pe p y;r-1uozuii'erir-aio-rbnl alaleJ?d]uJSalpluozrro rrtraro;d JoJEJal pualsrs rSelecep rnlnproloqradrqlBaJeolEJau

elege:dnsu1 aunrfoasur lnurlqo rclgzundor

^(1nt-rac)1n1ale.led lJasJalurE^ eJ?o1tuaE BlsBa)V or loqredrq nlnproloqetedlu op aJeolerauaF JBJarJ :1uad ialru ep1d csasolol 'as r fcas;elur p alua:nr royaltJ pJJ.BUrrrrJalapnJlued .( ,r ,r ) BIBJTIJoAnl atfelor ap efe;erdns Beuauase p erdZ, l 'drl.l 1pluozrro rollarrp 1nue1dpug.re

' ,p ,J 'p f , ) ' ( ,_g,eqe) aldatp ala.ruojce.r ip 'ap:lrp.rlloqradrq lnproloqe;udal g .alivJ.ouyivgvuanso iS

rrrosuadru-aroios

vd Nn aurNtqvtisasuarNr8t.t.al

alBlnEJ (,rr ,n) rS (,rl 'd )nd ug (, p 'p ) q eldearp aiul a:rio1e:auaF

Dy lnlruer1oc lua8uulaler ]uJSrnlnprol:lorq urlJEdB 3J?J eleJBolBJeuaFealsace: lC ' { ln icund ur:d ra:1 rnlnproloqeJei i1e. : rs- o l ropIE-JpJolJJBole;cuaFlB elElL lozrJo-raro:d a1eo1 ' f r r er l ra lo. rd 4'u1'a1iaul11

vrvJu u+6vJ up 6r+Jdluru { ul a}sauJJ}Is ur u elvluozrJo e1|raro:d aJ p pJJrop

IBl]: ls. ul p a:eo1e;ouaFBnop v

.(,p ,p)c 16r 'ar.)alareole:aua8p (,u ru) 'iS

Cir-,*):1ld u1_^llcadsa;leices:51urlsa1,i,a ;frjrluraue8utrg snp ,S lpder' .p" j'nunfa'',:IvluoztJo llralo.rdJBBalrop1e nrualdis16+uwLtru 6r+JdruJu dJ s tsal top IB InIUa]SIS

erarpolerauoBr1u1pBun .leJls\l .(,a,r jei;d_ruulsrdudd.o. l lu lp BUn . leJlsV . ( ,a, r ,er)

1e:aua8p (,dfr,;

lnpund

ui rsi,1,A 11e;auaF p (,,0. ' ,0)lnlcund ug-1n]'c js:aiui

q eldea-rp r:d snp ,6 ledei bp 1nue1jsr sEelropIB-apelaJeolz;auaF jlurp Bnop

L9 ZI 'BIJ

lsuor es xr1 lrund rnlsare e 4 gp'rya4n



: punctelede lntersec{ ie iutate. In' i l l l l i imttttrr lntrbtin cele doui ramuri (mn, m'n')it ltt l ll l l f lu q' ) ale curbei de intersec{iedintre

- suprafete

I|]IIIIJ]]::IIINTERSECTIADINTRE UN PARA-IID HIPERBOLIC

IO SUPRAFATA

RICA. Fie (ab,a'b') ; i (cd,c 'd ') cele: : tctoare drepteale paraboloidului i-, ru plan director rontal ( f ig. 12.69).

i : : .menea suprafa{d i l indr icacu gene-- : : paralele a directia (mn, m'n ' ) Ei

;Mlll i l i l i lrx::-e doud curbe directoarecon{inute n,riln$lllurilrili:iicale. Pentru determinareapuncte-1li l i l tt i 'r ::te al e curbei de intersec{ie- intrer[clillllrl-, supraie{e e po t uli l iza plane auxi-i i l j tnmr ' , ,.- : le le cu generatoarelei i indrului duse

;rpnntir-are geneiatoare rontalS a paraboloi-l lr l l l l l l l l l t l ]rrrbolic. Astfel generatoareaad , a'd')

' l r r -r . ' lo idului hiperbol ic intersecteazdnlli l l l i :.anu1 vertical al curbei directoare a

,r l t l l lrn,- .- . i . Paralela pr in punctul (a, a' ) la,,l l i l l i i i i ttmrru'

,mn, m'n') a generatoarelor ilindru-il l iur . .ecteazlacelaqi lan vertical al curbei,i l l l i i i i i tmrrrn.: e a cilindrului in (Z , Z'). Dreaptali l1il l :' ) intersecteazd n (o , o' ) gi (k , k')iiillillur"rr!:ectoare a cilindrului astfel incit pe4mfilni- ,

' releci l indruluiduse r in aceste uncte

qi pe generatoarea onsideratd (ad,a'd') aparaboloidului iperbol icse vor gasi punctelecurente (p, p') gi (r, r' ) ale curbei de inter-secfie dintre cele doui suprafete.Mai departese procedeazd nalog pentru fiecare genera-toare rontalda paraboloidului iperbol ic.Cele

doud ramuri al e curbei de intersectiedintreceledouasuprafele int (pq, p'q ') gi ( r t , r ' t ' ) .

]2.5,PROBLEMEROPUSE

1oSd se construiasciun l r iperboloidde rotat ie cu axulvert ical , cunoscindgeneratoarele (d, d ') gi _\1E, 8')de s is temdifer i t g i proicc{ i i le punctulLr iM (m, m' ) careapar lrnesupraleiet .

2o Sd se construiascd n hiperboloid de rotalie cu axulvert ical, cunoscindproiecf i i le a trei generatoare.

3o Si se construiascd n hiperboloid de rotat ie cu axulvert ical, cunoscind doud eeneratoare e sistem diferit;i proiecl iavert icalaa axului .

4" Se cqnsiderd n plan de nivel H', o dreapt i D qi unpunct M, Si se construiascd xul Lrnui hiperboloid derotaf ie care t rece pr in punctul M gi admite dreaptaDca generatoare,ar planul H' ca plan al col ierului .5" Se consideri un hiperltoloidde rota{ie cu axul vert i-cal a cdrui generatoare ste dreaptaD. Sd se determinelocu_lgeometric al punctelor. upralefei prin care trecdoud generatoareperpendiculare.

6" Se considerd n hiperboloidde rota{iecu axul vert icalcare are ca generatoare reapta D. Si se construiasciplanul tangent la suprafa{dcare trece prin dreapta Aparaleldcu generatoarea .

7' Si se determineproiec{i i lecentrului hiperboloiduluigeneralcare are ca generatoarerei drepte date

8o Se consideri hiperboloidulgeneraldefinit de drepteleD, A gi G, O dreaptd oarecareE int i lnegte dreapta Gin punctul A (a , a'). Sd se determine al doilea punct

de intersect ieal dreptei E cu hiperboloidul.9o Sd se construiascisec{iunea iectuatd ntr-un hiper-boloid generalcu un plan perpendicular e primul planblsector.

10' Si se construiascdntersecliadintre un hiperboloidgeneralcu axul vert ical gi un cil indru al cdrui ax trecepr in centrul hiperboloidului .

l l ' Sd se construiascdntersectiadintre un hiperboloidgeneral u axul vert icalgi un con.

12'Se considerd hiperboloidul general delinit de treigeneratoare intre care una este vert icald, ia r celelaltedoui sint situate espectiv n cele doud plane bisectoare.Sd se construiascd reapta conjugati l iniei de pdmintin raport cu suprafa{a.

13" Se corrsiderd araboloidul hiperbolic cu planul di -rector paralel cu al doilea plan bisector,def init de o

generatoare ert icali gi de o generatoare arecare. d seconstruiascd ec{iunea n aceasti suprafald cu un planoarecaredat prin urme

l4o Un paraboloidhiperbol iccu planul director paralelcu al doilea plan hisbctoreste deiinit de o geneiatoare

'

, ,

Fig. 12.69

249



T ,-l?i ,"F!e1.ue1du iliji'd.?:-"''",1i;1:i?s ot lJolordap leluoz! ro1nue1dro1ta. l rpetd errlBp (,e, t .or) lS ( ,q,u ,qu)

1r1ord p atatde:p'ur :d; -?J rr loqrodlq ;nproloqe.redtsern. r isut i r 'asfS

"Z Z

: :t_J1111",rn'a),0",,1'i;i;i1,'?"i;li3iji;

, : t1:: .^r l:rrn, ur p pu n ad 1en1rs ,s ,s )S 1n;.r 'gnr

,^U?]g!rrrj ]saJe rIulp erfJasi5lur'pisi,, ir1ruo,_

reolBtaur;pnop ur:d qlurlapleluozr:d b1:a:-?Jdnr crloq:adrqlnproloqe!-e<iiaprsubr 5'"16

: r (aJacel erBnrrsrerr lra xe?nop ,r r lY"Jirs aJaJpldpr lp gSeaarap r le:auaF l l 'e to. r 'aJildrq top arlurperf;as.ralurJsernrisuors eg

"6 6'-ie:auo8 nB ar'r .al 'rrlra^ aloxpnr , , t r;3Y17:lJrq roparlurpeilces:elur Jstrnrlsuors gg .6i

.punuo^Je.teo1e;aua8.olnproloq:odlqn) eJBaJBJ

!::it"d,#,i1,'J"i,'J,J?,::.*J;iil,"t,lfi":::*lruinc atfelo. lap proJoqBJE(-

'JPrl+ra sououlasa p.lnxe

ap iosbaLn':iuipil":l,Ji"l?$',t,iiffiX tTi

*[T"#";iiti]r:i,iliii:,lii'.Tilli;6':i,;::fifr;ii"','J*","1",1a'*duu"if,'J,"L,JiJ'ootlHg#"l'ffi

i{::.jL : Uq? 1,:,.,.,,"0,," 5J'o'';X$,fi,H5-3iJ",H?,'j,f:':iifi:"'il"f"rits;"tyll?;""'ffijj#*;

5l#Uil:i?'-'r-:,Ji,*J':ly"i3,#g'Ji,fif1;J"T#ji



i r i - r tr tolul Xl l l

mrrEEAt SUPRAFEIEIEL|CO|DATE

i I IHELICEA ITINDRICA

I GENERALITATI. e nume;te eliceriullm,"r irbd trasatd e suprafa{a nu i cilindruiiuillrilrttlncit sd intersecteze eneratoarele ilin-lritttlrlu.iL-ub un unghi constant-.n particular, unr1riuri rrpendicular pe generatoaresectioneazlr rrr-::l dupd o curbdcare aceun unghi drepirltlLl :are generatoare.Aceastl curbd este o

r1ilr'r* :lumitd secfiunedreaptii. In general, ea,$iml*. :gura secliune landcarepoate i o elice.,JLrurur.111n6rul e care esie trasati eiiceaesterrLttLrtr.r-dru de rota{ie, elicea se numegtecir-umuuru;:6-e va numi con director al elicei conulltllilm:r-,rrept ale cirui generatoareint paralelerLmttui:{entele la elice. In cazul n care'o elice

intilnegte fiecare generatoare cilindrului inmai multe puncte,se va nurni pas al elicei dis-tan{a dintre douapuncteconsecutive. ortiunea

de curbd corespunietoare nui pas se numestespir[ a elicei. Elicea poate i pircursi in dolisensuri direct sau retrograd pe suprafafaci l indrului. Unghiul el icei-este unShiuj con:stant pe care-l face angenta a elicecu planulunei scc{ iunidreptc..

13..1.2. ESFA$URATAE!_ICEI. acasedesfd-goaripe un plan cilindrul pe careeste rasatdoel ice, generatoarelei l indiului vor f i apl icatedupi drcpteparalele, ar el iceava f i apl icatidupdo curbaceva faceun unghiconstant-cu e-neratoarele, dici dupa o dreaptd (fig. l3.l).Agadar, esfaquratane ielice ilindrice st eo inie

t .a:1""

Fig. 13.1

257



€'€r FId

:/ ,o

\ru]suoJ lod as ArldtJJsaq Jrjllzue EleJlsuoru-ap rI atreodpruaJoalFlseerv 'aficarod ap un1dWI)JD nc 'acryan7 nquaEuoqpap ntu 1uzunos

'ryEa uou mw unrq?un a(carctd ap Tnuqd ncm! apyun4ca1o.tdnc pdnp 'pq17unf)nDSDlaluroll"fr|DUnJSprolitc o alsa nlnJrylllJ Dxn ad tnlncrp*ednd unydun ad aula Taun p1alnnd nficarct4:.{D}errrJnlnlal uI p}unua as ,{ra11;ng-"llnluowEtr ; lJoel 'qJBJlrqJButrJ glJlBJed r iraro;dap

z9z

'1try eldea:p_ lsed J. 1nr:ecutp InJrp rEI ,IWBloeeJpalsadpJrldeBAes J eacrla r14I14IBeJBol-e-laua8FXIJ pUISFI JrWW=d

luaFuel 1nue1de0 InJpurln ernSe;sap Aos BJBC 1.

1nuu1d$J Borrla erlulp erfcastalurH I$ s 1nue1d d 141

rnl e qiBuoFol_rorfcarordrry

EeuourasBp alC': r 1nue1d r:d n:purlrc u1 eldea:p eeuiricbi

^Jr J

,'xr lnupld ul ? pq:nc o erJJSep JuJI JJuno n-t luJ lnuu dEZBJlJasJJlurJ BqJnJ Jry u1 ulueFuuJ J ad uzetrct ry lnpund pu13'(a'gt 'Fg) J arrle _oFlBSBrl lsa ajur ed rnln:p-urlrr alerBoletaua8 d :eynclpuad.redeld- uiru a1g (1n;nc:ar rllradsa:)alderp;un;fcaselserue (pluanyorra)plurn$plsepo alJf,sepalderp lunrf-f,as eun ;nue1dad es uuJn ,atlyzodeJ ezeqe^ef,IIesl uluafiuul Rtup pr elsr? es es lprupugl-!f, ertle o Breprsuor3s .vINacNVI .g.l.gl

-u'relsau-egrp.-1nue16,"r#;i:'gl'"fJJHf)nr aplruroJorr la EJg1ed1ru1.rdlBrurouleJlsy'a .u l luJmas elBlJ lJdojdBISBJJB,n lpur l lJ n

ad eleseJl Jolalrla lnzgr u1 .gieletdns e1 leru-JouelsJJolBlnJSoeld ;o:er 1epfele.rdns ad,aleszl] eloqrnJpurrJBJ elerrzepoaFurlap 1odtuu aS 'lnlnJpulllr aleclzapoa8luls elarrla Brg+pzeJ '(apund pnop eJlurp iunJp lrnrs reurIar nBp a:ec aq:nt) alaorzapoaF1u;s alaldarpurnJ rs InlnJpurlrJ a:e:nie;sap rr d alen:asuorlugselrrurEunl nJ 'a-1de:plrunllras JnlleJalsaBl€]uozrJo s erfraro.ld el ,eprosnurso aJSeOJ-rla B pl"rl1-lanerlcaroid .( l.g .FIJ)rolareoler-aua8 1eaunrzr l tpap alapund ur id ,pierr l ;an

ErlJ3roJd l xo pJ esnpolalelered d aurpJoap

nurl rnlnf,rar le eunlzl^lp ap alalJundurp pup- lplr 'p leuoFol:o-arfrarord lqnp uJ pryluazaid-eJ Josn rI alpod EJelnJJrJ atlla .elsaJB

InJaiu1 'e1e8aar:e pldea:p eeunrfcesad eF-rn'ubdra;eo1e:aua81n:oyc1dr_ urrl ul ,a1eFarrurFunla:eo1e:auaFd aFrnc:edaJBJ nlnJpurlrJ eJeol-B:auaF1u lrund un ap e1e:auaF Q.ln5 lsa ea: IaJlsB Sglrurgap ; aleod reu Rrelnf,rrr oJllE

ezerEr ar' ererareolezunds"ro,"10"r!ti;,1lir?f,as InJJB rS lartJa IB eJBJoJBolrund rni;n eleu

-opJo aJluJ luplsuoc 1n1:ode.r ls a teJrla IB snpaJInspo 'BeuarueseeC .g orurFunl ap JJaJ rnunBzBJelsa raJrla IB snpa; lnsed BJ lel.rasqo ep

Josn alsE 'reJrla IB snpeJ ;nsud q runu BA oS'0FtU : q aurfqo t ,T : q aundes RrEC'e Fl ULZ: H eJInzeJ'a1da.rpunricas zBJU nr.ler 'laJlla lnsed g nf, BZBalouas eJBC .e1dea.rp

ulira:lp 'rnlnrpurlrcexe ad rlnrrpuadrad ueldmnad racrye'erfcaro-rdl EJeJoJsErrreJoallsBaJVTUA'I ' I INC-V' I f ,NINOWWEUOAI' ' ' I ' I I'. i tnlnuare (pluenlona)lurn$qlsapalsaplrrrrJ

-ilpIeJlsB Pqrnl Br psulerls a5 'r14lqnlnr.le

pal nJ eleFa1rry erurFunlo,t 1nc;acBI rW uJua8uel d pugl:ndglnuriqo laJlse ls eJ Eq.rnJtW

lnluaruFaseo aurFunl r$eaaoe :e twqap InJJB IS I uI ecrlde as q 'oleu:n urJd

a'8t. ; rc



tltlrfir,:t::-:)1u,. roiecfii leacestei lice in situa{iattttttrar: _:nghiul al proiectantelor stemai marettllttrl i..-"-:ghiul 0 al tangentei a elice cu planulumLii;riui:;,

.de,proiecfie.^Deci ) 0. Curba pro_nnirurilr*..l inutd fig. 13.3) st eo cicloiddscurtitd.i\lliiilrriiirir1;= procedeazd entru cazul n care g ( 0.IIi i i lIiI.TRANSFORMATA

PRIN INVERSIUNErffiru,.#r.lEl"um cilindrul circular drept pe careestelllllffiillllliiil[riicea se transformaprin'iniersiune inirtl lti lnu:,arial, unde fiecirei gbneratoare cilin_fitllllt:ilLr _.corespunden cerc meridianal torului,riiii,ri r

"iicea intilneste generatoareleilindrului, uuilili),Lri--ngh i constaht,"rezul

ta-"a

-irun.lorrnrt,

i l i l l 'r -,'"rsiune eliceieste curbi trasatd e or ,luumlle.--citsd intilneascl cercurilem"riJiui," ,unirn(nur,rt,i,lirr;inghi constant0. Aceastdcurbd se nu_lullruiil:urba loxodromici a torului de unghi 0.

ilflffi, SUPRAFEIELE L|CO|DA|_E

genla ar fi aduse n acela;i plan, paraleieieag_eneratoarelelicoiduluiar foima un hiperboloidde rotaf iecu o,pinza.

ll ;811-:idll,desfig.urabit. l icoidul desfdgurabil

::1"^ :yll:]a{a ,riglata generatd de o dreaptlcare ramlne to t timpul tangentdelicei coiier

trasatS.peilindrul simbure iTntersecteazaene_ratoarele ilindrului sub un'unghi conitant. Cualte cuvinte, elicoidul desfdguiabil ; i; loculgeometric l tangentelor us6 unei elice cilin_9n99 I oate generatoareleuprafefei u aceeasi

ii.qlftg lulg 4".un plan perpendicutar e ax'acntndrutut.Uonuldirectoral suprafelei steun

::1, 9."1o!atig.n, epuradi n figuri I3.4este epre_

zentat un elicoid desfdgurabil entru care s_auconstru.it 2 generatoar'eucind tangentele aelrcea estricfiune rasatd ecilindrulde razd. arn punctete1, ') , (2,2,) , 8,8,) . . . (12,12,).entruconslrucflaacestor angenteeste trecesar i seconstruiascdmai intii

-desfdguratacercului de

razdaa - secfunea dreaptain ci l inclrul sim_Dure.Asilel, de exemplu,pe tangenta n B la

c:rc,se.mdsoariun.segment _86 galcu lungimeaarculul clecerc a-l-2-B gi rezulti 86, un puncfal desfdEuratei evolvendei)cerculul-

-nldttt"t,

acesr ucru a lost demonstrata studiul proprie_tal i lor el icei ci l indr ice.Asadar,proiecf i i le-or i_

rlutiiitut:tENERALITAIt.CI_RSIFICARE.upra_llimmmlrul coidateormeaz+.

" -l?;ili"' a" uprrte1"

,i lurl 'lT,.r:;oprietif ;i aplicafi tehnice ,"mar.u_rrrllrrilrhr o deosebitamportanfa.Se pot distinge

lli l l l l l lul;., upe^.principaten familia iuprafe{el6r''i lr|,ttt-, .. Elicoizi cu cilindru simbure:f l 'r,:-c. tslicoizi cu cilindru I

- t l- roidul cu plan director;- r _;oidulstr imb;- *r_-oiduldesfdsurabi l .

fr ard cilindru simburesau elicoidul strimb

{licoidul cu plan director.Elicoidul cu nlan,",-r gste_ uprafatariglatd generati a. o

:_. -. .ouyr ora ld r rBraLa gel terala oe c

ri . al carei punct de tangenli cu cilindrul- - : descr ie el ice rasata e acest i l indru,

rLmi:aminind ot timpul paialelacu un olan"."-- rperpendicular.e axa ci l indrului) . El i_r '- ' - . r este inia de str ic{ iune el icoidului"':ri geometric l puncteior entrale

.;,i:: g€fl€ratoarele licoidului nu sint tarr-p -r acest az , dacd,oate punctelede tan_

Ij ,coidul trimb.Elicoidulstrimb estesuDra--;.ata generatd e o clreapt; r*-.aHin*p, s: unui cilindru simbure';i intersecteazaLv ::ieratoarele

ilindrirluisub un ungnicon_-ly.l{

de angen{descrie;il.? ;;i;, _

Fig. 13.4.

253



v9z

:f #liiB*?1i^i:13,i:;'i,r,i;3ii,""::1;ryi:ifli nBS olrartp rield 'nc p*u

bc lerrrrouInploJlle uriqoas .1darp'a1sarqFunlsareBrBO'reJnlqFun;rl

Cn.r1$_n_1or;1aSe1'sarunueruas JA]uBlsuor.rqFunun qnseie preaicerrafurserrlaad gurfr:ds sa.ruc_{1de"rp.p'tt;;Ju;d olugirro:1:1ryr ruJrlsnplor[aswiu$ rn(rocr]:r'sunswlsnuoNrlr)ufJ"r?i6cnge.a.er

I ?l?i'a,rqyn,11,n'oti,:':fiLfj il' L"J,r"i?l-t1t]9 un ,lrqerntp;sap

procrl5 iir_au19ul1,oF:i-?.1 o BruroJsuerileodas'1ag1sy.1lqnrnsiy-saprnlnprocrlarolriglarrdo.rdi'eretrldiauarnBS :apurlxe er gtrejaprsuoc1y

"1nodd;";ify:l" . tl"ur rBW a1./n7d.ap

f1n1ildnsoadp11i1'y!!, atsa pplor?t-alntntdniaiyo :awnueIS iiq-e:nSglsap!nlnpJorlJr1i ; luelrodru_LJrfelal:do:dJrlurpeunniunua uJroal lseacy"df,ffi.Jjeolfzffldsa:or

aiueFunio1;un1t*1,*+p4-o{t"rlrerr.tardl oi ul ffi

t,1 uor,ro

InuBId nJ lUBlsuo

,"m;ii1;"iffi ,ffi#ffiiI;ifrfr'A:*_uselrurp alrudaruJ_Qe:n6ftsapip,oJria,1onjr:J:tt:, ?lrroleo roreolri;auoF

e'n1i1uozii, rira,-orct d e:eln.rrpuedledtap .loilzlndiator.',."-:.::d.j.t-T]Tr3"lllLyl'"p n1 lun:uq lrn1,ll$uel lnlnuulde J ilr-i_r?1-t-rgr;n

.1run'dlsal;ud orart

"rn"Iar.l3ll1auaFlnFriril o1 ug 1se1aJB alsa rareoleraua8 JB_€JBJaJEo1bu,ndun_r1ug

t::iryfJgglrq€JnsrJsop elseInprorrla rar-eoaq ttrFu-ef]frryq(De-alse

"t.,1"iui,p

exv.y.".y:1 lq BUrlBurlu_?]rnrlsuo)lse'.g;ndaiEArledJunesqnrlrzod1lo" "n "lr ir lnd-uJ

eJrlJe1 .roleluaFuBlre]F_luozp,o',oinirin'n1n

"r,r1:Y.?:?€IIJnroliug.s_1e1ern$pJsap,learrrlaurs

I::^Y_n, nopala] l^B-luozrro^"lnue1d'c lrqernSEJsapnlnprocrlarl:as:e1urlp thng"p Ftrnullqo In nrrore1e-rn$e1sepi1 ao'iluaruinlfirr; rn,-reolulap leundun-eliay Rr I;ldBJpr.}r1u,*n

::,-i:._lll l FA.(,zt

'z).::(,gbl1t,i-g)'iulsrlresrrlurp oqrnJ

i:.l::r" "i5ir"lO,l i qrn,

"pBIXEOTErrlra^nrp:iJ-tr s lle:hEPgr-.p1o",1.1:"T._nllurp rfoes.ralulp'irlirnr^tiJ a1"unoj:, :ll1l1*"r luISpii_d-"i. .nui,rp*''ptrurglape,j.f lylllrl ericaro:d3a:e-dexb o i?incrpuao-raouBJd n nr lncpJg lnrqFunr,1r-\r11,nesIlg.lglr.t;'"nd u1alugsuel'1Jrno1nreil3anr1un6

,iytry?, p rrurrurld1".r11i1ini"i'"-.1uuirn,r.ol".-oll]irrlordlnrrernr. qiu"#i]-ip ii.1"unOJS_lernsqJsaprIIJ asulrdn' p1 ee.ip

Jp J1n1un*-destrurs.ro1a1uaFue1)olareoiir"dF in lrnluq,

9et '8tg



irirr,-acidtrluinormal esteredtrs a uir olan.uurrrr-trimbestedeterminatdaci se cunbastetultlrr[-trimbestedeterminatdacase cunoaqte

rlllur1'is ;i unghiul generatoarelor uprafeleiLrntuln," r perpendicularpe ax. Deoarece ilin-

mehea steutil sd se e{ind ch: secliunilen eticoi-dul strtmb prin plane perpendicul'aree axd stntspiraleArhimede. n epura din figura 13.7 estereprezentat n al t elicoidstr imb, pentrucares- aconsiderat eade a doua pinzda conuluidirector.precumgi iniersecfiaacestuielicoid strimb cucilindrul vertical coaxial de razd ls . Elicea de

interseclie st e ormatd in puncte e elul (1, l'),(2, 2'), (3, 3') etc. Sectiunea n acest eticoia

s.trimb rin planul orizontalde proiecfie perpen-dlcular pe axa) estespirala Arhimede, ormatid in .punctele.m, m') ,

- (n,n') , (p ,p') , (q, q,) ,

(r, r'), (u, u') gi s. Se poate demonstraacestfapt. Spiralaeste n probfema at d locul geome-tric al punctuluin. Fie sm axa polard,S-polul,sn : p raza vectoare qi 0 : i( msn. Astfel,p -- se ne : R- Z ct ge, undea esteunghiulgeneratoarelor licoidului cu planul orizontal deproieclie.Dar cota punctului ee' este produsuldintre. pasul redus h gi unghiul de rota{ie 0,decie'e* : z : h0. Prin urrnare, cuatia piraleiestep:

R-h0ctga.1-3.?.!._TNTERS-ECT|ATNTREUN ELTCOTD$ro SUPRAF,ATA iUllDRrCA. Fie elicoidul di -finit de curbd strimbi (ef, e'f ') Ei unghiul a algeneratoareloru planul orizontal fig.13.B)care

,r,lrure este edus a axa sa, gi elicea olierr,:: de stricfiune st e onfundati u aceastd

-.r*-aceastd licecolier este ocul geometric]|lllllljul]ljmljr:::-or

entrale, rezultd cd punctul centrallllllrrllil:i::_eneratoare este situat la intersec{ia{*:-eratoarei axd. Pentruelicoidulstrimb,:r:-l de distribulie n lungul fiecirei gene-1 '-sieconstant ;i egal cu pasul redus al

.uprafe{ei cu semn schimbat. Aceste1f . se mentin qi pentru elicoidul nor-.r i :ius, dupa Mannheim, elicoidul normal' definit ca suprafafi normalie a unuii "rirectricea ormaliei fi ind elicea tra-: .:pralala cilindrului. Se reamintelteci- estesuprafalageneratdde normalele-ngul uneicurbe a o suprafa{d arecare.

- -ctrimb, iind o suprafatdcu con di -:

-rmiterezolvareadubiei probleme a

:-, planului tangent ntr-un pirnctal unei-.:-e gi determinarea unctului de tan-

.i l inui plan tangent dus printr-o genera-r,:,. cu ajutorulproprietjti! olului--, - roprietateeexprimd stfel printr-un, "".numit polul generatoarei,rec toatepro-

,"izontaleale liniilor de cea mai maren"i diferitelor plane tangente unui elicoid""- lungul aceleia;i generatoare.De ase-

Fig. 13.7 Fig. 13.8

255



nl .e 9 t z o

rc

ep alBlrJrqrsodllp o plBparelsa01.fl ErnF

ry.-:ln91,rISNWV

RArtBrurxorde-1l:n6pyryar1seuriqo ag ..roiralp rnlnuoJ o1j-reo1e:

'_elpeJuolpzundsa;orlalernSglsapr-1a1e:'ede,-lsapd uze6e s orer'nur8riny'"lr1rlgnnpu

_eltqorlnlnp oriJa. le er_BolereuaF11e a1ic

U'olerrpa^ :o1ay11fca1o.rdd aurrgruplbrpnmIalprnserrr1;1od leluorJ ullJ9qu iS'oriufrlBrauaD9qu Is gg0g bbuv gcog-.67061p1

992

'oeur pleluozuo lfmrordu1 ug sarle;aprsuocra1en11sereolcorlp aqrnJ ;uaFuel ii lnpiocrla 1J

11g91weua8ide$a1a3 3

tr{Fun15'(,ils)

JrI^ eprolrerlp Inuor nJ gqernSplsapaulnpiorlla reJaprs

-y?, 11t" 6'91 ernFrgu1 -.a1rqe:n$plsapairiegrir'd-ns JalseJB q.,rrleulxoldeare.lnSgisap sJJeJur

3l:99,.:,gcr1.rerdp asndurr lplriariu

"1,,unuJ4uad rsnJoJ 91rqe;nip;sapaupfe;etdnso alsa

qurJJlsInproJrJoBr +BigrpE_s .oIof,I.I:IInNn

v y^rrvwxoudvvsuvunsyJsg(Ig.6.tr

_a_lt!d laAruap uuld ateoal;nrluad ezeapaco:d

ll..l1^"1._ljeln,qr,{ '{) J$ ,. r r) arirasralurp"l:-"j11-:!ltynd

ug nln-rpurtlrteareueydocler-BotrBrruadd.err?olulos eJBr ,2,2) lnirund'ur]lllP-,o"ttn (],p,t';p1)p1e1uo:Jaleoieiaua8f+BlJasJaluraueurosup alsa lalru ap ueld lsacy'!,^9lqll-:!1 y)elalcundrid }1 ar nluo'i,ron1n,-eo1u:eue;dnp

Jeluozrronlpurlr) pzeauorfjaslf! ]-"nlu "p lnue1d eJtsV rH ;:...'lH ,lH erlalru ep arerlrxne ueldenyln 1oda's

ariJJsral-ul aq :o1a1eundeJeurrurelaprluod.J

IBluoJJl"i:td, -u1-elnulfuoralseaieolcerrp]qiin,nrgcn^.1:

!:,_y,uru) erfre.rrp 1 alaJrired'la.reoler

-aued nJ leluoztlo nJpurlrJ un nJ Ezealcasialures

0t,f l 'EIC

6'f l '3tc

)/



rfl--r:imativi a acestuielicoid pornind---=: supraleiei l icoidalen tr iLnshiu-

- ^ '11\/^ l l ^ r t ta ' \ , rr n . i . ,^ r tultt ,sr a' l [) , _ al lo, a' l ' l [ ) , ( l l0L0, \6%i))

urmr,-,"stfel desfd;urata licoidului a oi :: triunghiuri aldturate.Comparativr-- -:ti. lSC el e doua desfagurate st elI -::ervate mai bine ce^particularitifi

r*:.":e metodd n parte. n cazul elico-'ntt::-:,pot fi - incercateaceleasimetodeilrirfli;,irea desfa;urateiaproximative.

Mi1=AcoNtcA

utt*l ::uri deeliceconice, iecareip avind: : - - : r ie taf i lc pr incipalc le el iceic i l in-tnr -L defini astfel fiecare ip de elice

,ffilfirn:*,nonici este curba trasati pe su-fillllilr- - L-on ircular drept, astfel ncit arcul

;i ,- acestpunct este perpendiculara e,tr-: Acest virf este punctul cel mai

:"r,r.. e aceeagi eneratoarest edistanfa-:re celedouapuncte.Evident, ddca

-=-:recepr in

douipuncte

le conulu i

l-rastI elice conicd prezintdun virf.

-= r-irful conului. Aceasti eliceconiclr-r=r:cne? curbi nelimitati l Pentru a- i

b)Qliceaconicl estecurba de intersecjiedintre

11,eli1oidrept;i ,un oncirculardreptde aceeasi

axa. Cotelepuncteloracesteielice'conicesirit

3iTr"li" lJi.' gl,'ul'"; ::lxl'.",'Ifl,,13transformati prin desfi;urarea acestei 11". .o_nice.o spiralaArhimede fig. 13.13). e poateconsideraaceastd lice conicXdrept

'curbagene_

ratd de un punct mobil careporne;tedi n v"irfulS^onylu.r.r se rotegte n jurul conului. intersec_tlnd drversele eneratoaren puncte ale cirordrstanJea vir ful conuluis int 'propor{ ionaleuunghiurileformatede planeleac6stor eneratoarecu planul meridian, e exemplu,uat-ca r igine.

c) Eliceaconici estecurba de intersecfiedintreun co n circular drept gi un cilindru diept, careare drept curbhdirectoare spirala osir i tmichcu .polul in p.roiecfa ortogonala virfujui conu_tut p9_ n plan perpendicular e axa conului.Aceastaelice conici intersecteazigeneratoareleconului circular drept dupl un un{hi constant.

Fig. 13.12

r puncteledin ce in ce mai deplrtate- .:r t sa'sedesfa;oaree mai mui leor i

suprafa{a onului.

J

Fig. 13, I Fig. 13.13

257



892

:*tl{^g" BzBesBr]s rJpurlro op racadinop aloJ'rerluor suas J rieriilcu! lrri*no";s

_lzloJ1Jaop pzearauaF,l,q't6 ,i:;";;,:;I:1.yrlj_."!_JnrpurrJad eseriiii,"1 n1

i :i",;dl;iJ;J'5":5;J:

:::f:i

;ii,l!:2yt_lt op nrpurtrJda;eie;1-it".

'is;t:,'i-Fun

aJBelrlnJesuoJa.rrds nop r,r"iap.,",rd[:]fA' rnlnrpurJrJareolnieuS;;;;;r;;I illtl IeJlsV(elrlFrJ)

'n1n.'prito''nI ^rjr,-yjl.l1l*l ueJdnrsb b',1"!q'run

-,ap

'nl{ruaxa p ,fou,1ie

"l,"srjl""a

IT,j,t-[tH"ny4 liryelsg e1i;1aliillrhpa uiy,:l^tl lld"sa1aiuiiiiiappA;: piilr#orj;,'jjylYjy.,F-lnrld. ap ac:rii$' r" 1n1srn--rx€or qrugrl'szrorria

"1.1";J;;;.#-;;

ff :L"J'jpy3.gf-?9,,11{.9t-qu :d a1n1r'ala i

,(91' f i'd lJ) gxe ad :elnrrpuaOraO,j iA

:13J""1 ].:y.r,'_lyl' a:eo auab,o,, .,"1 ',1

,r1tnpamil lSeaaceBarer r1n,"noj quipjb-,

I l? 9ilgp ro1i jasJalurn1'e11nzar,irauJa #,i,l;fiu;,,iiii';j "rrl#'ff;' ::i:ll1J-:lglrjaJ1pg'5lnlqn;g rmrs ad';;*

T.:P_"rydhs'arfcnpdrd'"p

Fffi ; Jur"rio;i--]li"..Tlll,lt?rrdeasuoriurnunn5,riio:i_:p_ateptorrJaJa.faie.rdnsuvtnlgbrunr:r'nJncsnuns ivivu-Jnb":i."s:ili

snunsltJvudns9.e1

*,'aJrleop oleolpzundsatot allrndll ellnzeJ

:i:::^t_idarp plocrle n nr jilelor

ep'nlnJlflrslsarB uJlJesralurc1aJntoi leriei'ol-fpM!,qered.'gzuyd nr arfeloi

"p lnploioqr.om T" ,*,T 1{ :-r__"

p,a s:h 'n'"',I, i,y

.j:fl:"1r"'ij.'pxe'rs"$J;-ur;"fi'"'r"t,i1il: o rs 1da:p roJrlr n'ni1u,p',iJni

*" fq,r:1

.ldaL_J-npulrapsuolJ,1"'J1n

:d,: .lrrlg*in.pr,'uoi,?:l1iu1;j';# i:ieuI 'e3r'lao rundrr i,rv 6.V;l.ll-it ,: y gtrlrundap lturyepnrlauBrp r:r !pJl.lleursJnuBr pluria:il s,ur'is ,j?li:.^. _1":.ry-d-en1 rn uor sluaFln '. 16.

T_.X1i, arBJarJd e.rnsguro,r

js .gle+uoz

*j":o.:I .:t'.:!: lrlsara Baresprl r1i.j

F:*:ib!':'iu',3ffi,'ffii,i*;H";

'!g^_.uzutad gleluozlro eliearord_ ; epodsuerl

:: 3-_r:l_j"rrc1e1a.tru9p rraie:edl |undsa:oJ

:l,l:1t1jntp o].sarva1e8airid 51 i; ',e1err1ra,r

:111'f::1.:.ry-9r:0.rrr ap rlrniiqieJ,,,,mpulru llnrlsuorap ;o$n 1.9 .Fgy)gri.rags1eira.si.^:": lprupllutJep rrrels-iacr15'1nco1; greprs

-uoJas rSe:eor:adnsJaJSrruoburiru 16aio1oysjlrig^.:q- T1:{:BZBr i leFa'a1ran.i rnJEf,re

it_^!^"_11B nr]uuerpun pxe pr ere a:uj ,idajp

Itj:ill._ynrSp;ags arlurparfcasralul p Eqrnr

looJp_ilJatrs"eJrla

eraprsuor'"inod

nr',g",uo,rccrlatrrur1ap-s un)Ia j B- I gtltNIJ:Io

i t;i

Y3tUsJSl3tlt .r.0t

'eclrlaruoa8arsarFo.ld

: : t : l ] . laerfcaro16

_rla g_'gy ,97'_i"

:r.aeC 'o g ezer ed ep areolizriridsa.ror:l^.gl T'.1d {cep','pr,rf"naq;pri

:J,,j"j:"_1i?fv1y".q:.j9;l.reo1oa.,r1aze:',crlaru;11':^"t::ji^Td

r_.rnrq8unru*e, 5i-piu1,io*nrds nrluad

-n_1T.y-.rgg .louiuocap inlnliun'd "r;;i;;::::^lt luelsuoc lqFun un ecej gqrnr e1 lrundoruf,arJgulueFuel9r ealelar:db:o'epii,rnq",cttult. leFoJ 1e-ltds c a116ac .o.rrr, 'rr#F^, o,-,;:o_1fra1or4lirpoTpigrnu-iiu1j;;

"J I;nr os rereJs pluoirto 1ua;ude'1n.,n1uo3

^_j, ,. , ! _ ! ,_r_" uv er+) v5F--ros o aJruoJaJrle ralseJee ere.ln6'e-I ] -" " , t r. , dJrld lolseJe oJBJnSpJsaprrd pleru.roJsuBrl ec eurlqo as InuoJ p:eobpgsapas FJBg

l,t!"rlti::.:l_'_ry.1id:r arls' s .e",r1,rb;iorprer



N)l

?i36J

Fig. 13. i7 Fig. 13. l8

segmentul n'f in acelaqi numlr denr ca in proieclia orizontald (in cazul,-i. deundese vo r ridica punctelen pro-lr 'n icald ' , 2 ' 3 ' , 4 ' 5 ' , 6 ' etc.Cu oate,*i-il aparentvertical rezultat esteo anu-

miti .curbd_1,. otugi se obignuieStea din punc-tele de tipirl l' ;i e' sd sedircd angentelei eli-

cele trasate. Aceste tangente difeid intrucitvade laturile triunghiului generator,mai alesdacidiametrele i l indr i lorsint mar i. Sec{ iuni le r inplane

-d enivel perpendiculare" u* d

"onduila

arcede spirala'Arhimede. n'alt exemplua:e-mindtorestedat in epurele in f igur i le '13.17i13.18.

f ig . 13.19

Fig. 13.15

Fig. 13.16

259



8U't I '3tc092

I6 'TI '3IJ

ezVeUAJlUe s BJBQ .rcoI$ rJor ,rgo ,re(D ,l(l)

3::j_ ?P(, t 'r ) uJ

,llBIXBor rrrrlueJuor rleerpa,trrJpurlrc PAUAIUaSB

, 'ptbii,.r.fi;l ;i Jfii:TH,l,!tr"i,L.j,T]'ltr tq "t cral€p ync.lednpleluoztJoirnl"r,oro

:i ".1?'ntleds uI pqruJrls

.pqrnr o Braprsuores 'a'rvNgNaosnunsslagvuand8.9.8r' !zz, ' t t . 'Fr;)rrnqn:n$p rrnd

:l ltliY,nn'

,(rc'tt fr i nidltlnr'rrrhr n" dleilpdpnqnrnS yfqo. s lSfuodei' rurnueun-r1ug rg-Ilduees nsed zeJlsare J-:irlezede4BJ aJrJl

-auro-aFnFIJ ll u n_esnr1e-d!I1-,n--",e1e.r1pdallnu reruuarnurs

Buerlueioci as nn, ie.igolfi:_ll 91ep16c11i.euecSnur BUarluBleodagrolguprxesenlduaxe11eerepisuor _, 06.g1 r::Yll,u_lp

e:ndeu1 ._rouaiur1j cri pr rorralxe

1-:]111nieilI 1;1eeluazardailsa-p.,no" 1 .pp1-uoztlo ell.cero:dulp aJuolv,zundsa.roclelcundpulrlplr ,elurrnSnnr leorpa.i_e1e1uaza_rdaj1od:l_Ua

+se1vrJrqrzrlaJrunr{:odigjappzeailsposnu 1e:eua8I ererurp',acrierira'uip-isnduor:f?.!1,:ll1*.t er{caro-r6piuozyto rqbeirpuuld?.:lu1loy,plorlla un gzee.raua;'rpurirch

"i;i;:j11--l]4 ll /e/uallrnle-l ,e,o_gzbt'ip;or.ra1xalljptr!l!r adalese:1repalarurid6r sed'r6e1areparJlr olJnpuJr l n!1ls€p,q.lS BollBlolarJtrn;-]]A 'ete;aorrtenrrrsap

,a is ,j,11-i{ijir-',n+uri-l : ]::* od '!nlnrpu111oe areoleraiiaaad 91en1;l: ".1:?e/r BrnlBl (6t.et .Frg)rnynrpurlrr(,co ro,1xeulrdeoa-rt,d,r,q,e elii ir.'p,in bilpaT.."p_:trjgue8pu1,1gr

aiejaplsr_ior'rr

^loh1er1pd

f li{- l-t -qnrnSlafa;erdns

.,.rbipu9ru5.j our uI'IVUIydrg'rrd csnuns j.Ewuansag.ei ?*i

*1,]

rS

orgl 'Erc



Fig. 13.24a

- :r strimbe ntr-o nrigcare licoidald,: \-or descriepe cilindrii respectivi

i it ltr,..asi pas.SuprafaJa eneratdn acestL:::strirnbi consideratdst eo suprafaf

J,*.:ala, care depinde de forma curbeii, ' i l :: Alie exemple sint prezentate nu- iigurile 13.24a ,i 13.24b.

iqI ELICOIDALE

ff,{RA ELICOIDALAILINDRICA.CE." :,le sint aplica{ii in construc}ii9i inur r al e suprafe{elor licoidalecu plan

r.:ontal, perpendicular e axa eliceiPanta scdrii elicoidaleeste dati de

"i elicei directoare. ntradosulscirii.:te o suprafa{delicoidald cu planr:ontal perpendicularpe axa elicei)e asemenea, uchiile reptelorsint

:,- i l€ c1t plane perpendicularee axd,

.-:prafali elicoidald,cu acelasiplan-:ontal. Aceste uprafefe licoidale u

- :r orizontal sint intersectate e un

Fie.13.24

cilindru concentric u cilindrul pe careeste ra-satd eliceadirectoare upd elice cu acelaEi as.In epurele in figurile 13.25;13.26 i 13.27 intreprezentate ai mult e scdrielicoidale ilindricein dubld proiec{ieortogonaldgi in perspectivl.La epuradin figura 13.28 -a materializat il in-drul simbure considerind reptele Ei suprafa{aelicoidaldportanti a lor incastrate n acestci -lindru. La celelalte epure s-a fdcut abstracfie

de malerializareacilindrului simbure. Proble-mele egatede dimensionare i de rezisten{ivor fistudiate n cadrul cursului de con struc{ii.

267



qq

wb

'Tl6'

i"

tr

NOo



s,7t6

t4I5t2,tt0

oI

ru ' de exemplu, n 16 pir{i Ei se considera:rt:ie (fig. 13.29).Treptele i proiec{iileeli-

, Fig. 13.29

nrice. drfl cilindru simbure, incastrati in

ranguri laterale.Se divide proiec{iaori-

; _APLICATII. 1oSA se construiasclproiec-,fublu ortogonaleale unei scflri elicoidale

i r is . i3 .30

13.6.3.SCARAELICOIDALACONICA. n mod

absolut analog se pot reprezenta n dubl5 pro-

iec{ie ortogonald cdrileelicoidale onice,unde

elicele directoarede acelaqipas sint trasate pe

doud suprafeleconice de rota{ie, avind acelaqi

virf. In epureledi n figurile 13.31 i 13.32s-audat citeva asemeneaxemple,din care se poate

remarca incontestabilul efect plastic pe care-l

oferd privirea unei por{iuni dintr-o asemenea

scari (fig. 13.33). i in aceste xemple e poate

malefializa sau nu suprafa{a conicd simbure.

I3.7RAMPE LIEOIDALE

13.7.1.APLICATII. lo Si se construiasciproiec-

fiile unei rampe elicoidalecilindrice simple (dusEi intors) de accespentru autoturisme. Se consi-

derl sistemul constructivqi cotele ndicate n

:,l indricese construiesc a in problema

S* se reprezinteo scar[ elicoidalflcilindric[,1! trepte, susfinut[ de un vang pe mijlocul

. Se vor reprezentagi cele doui balus-:e {ine seama e proiec}ia rizontala i de

mrsL-,-,rain dreapta fig. 13.30). e consttuiescrmltllllirtr*,=e acelagi as trasatepe cilindrii verticalidlriu ::or directoare sint cercurile concentriceruiililiur:oiectia orizontald. Desenul poate fi exe-

.rmuxrrlira scara : l0 cu cotele ndicatepe epur5.i$n, :* :.opeu punctul 1, l ' ) , apoi .2,2') , 3,3')ru|filil

263



)j-

,F



c?co

bb



r r JI BnE SarlJlr{ urp a}aqJBur au n eJJPuorl

, BausuiesB p i?puprrrof,sJ s 'alBllnJlJlp o,-?j

llund nf , lJund JeJ as aJlJpuIIIs Jolorllaritsuo] 'lBluozrJo lolJaJrp lnuBld nJ elspl

rla1eJdns BauauosBap luls ladueJ ele IoJ

".vf'(gg'gl 'F11) 1a.,rtuno p alar BI rolluol

r llaJrp InsaJJe n.rluad BJuolJalul gJms o

;:isuoJ B-s pluapeJard rualqo.ld rp 1arnrnlouoxo lseJBuI '.loJJalur lp s uueqJs

gdnp 'eursgrnlolnuu1uedsaJf,u p olJJpulllJ alup!-ory1a durur auna111ira1o.ldrsuJn4suoJ spS 06

'ollrlq ul p elsqrBu Ieunerfrn:1suoc ri runra:d '09 : I eJEJS puBIrIoJaJ

aS'alpl{nrrJrp

o IJrup:g;

pund nopund ce1

os JolaJrla lrrfrn.llsuo3eunrirasul pFAas aJpJalrrnFue.r, p aped Fllp ap ad ;e1 alosuorad t6rd111sse$ap a1:ed o ap ad 'plnutfsns lu+uoztJorolrerp ueld nr pleprorrlaglegerdns 1de1epelsa sarre ap pdrue.rptrsearv (ru gt 'F1;)g;nda



l r : toiul XIV

l:lii-p'H'AFEtrEONOtZl

,II, 3ENERALITATT

irrrlLn-:tele conoizi sint suprafefele iglate ge-' : o dreapti caresesprijina peo directoare

rirrr D 1i pe o directoare urbd I', r.iminind-u l paraleli cu un plan nunrit plan tli-

' ., iprafefeleconoizi sint un caz particri-r . prafe{eloriglate,generate c.o dreapt:i

l) ti j ind pe lrei directoare rbitraredate,r i i i i ; rlintre directoare st earuncata a infi-I , directoarea reapti D esteperJrendicu-ur' -- planul directcr, suprafa{ase nume;terllrrrrrJrept. n cazul contrai, suprafa{aeste u*rrrilrn oblic. Pinzeleconoidului se intersecteazd

-.:ectoarea reapii D, care in acestca z; destricliune suprafelei.Aceastidreapta

ir , :lai scurtddistan{i dintre cloudgenera-rr i ticctl 'eale suprafefeiUneori directoarea

rr " I- poate fi inlocuitd cu o suprafafl S,r- : ralnin tangente oategeneratoareleono-

L i ir acestcaz, suprafafa poartddenu-r -e ftuclett sau stmbure.Astfel poate fi" -n conoid drept sau obl ic cir iumscr isri .:e clate. Daci directoareacurbi l. este

-- . atunci conoidul devine o suprafaJd,, i cu plan clirector,ar dacl directoarea

rir" I ' -se educe a o clreapti,atunci conoidulr :nda cu.paraboloidul iperbol ic. upra_

,onoizi sint suprafefede tip parabolic,'uu " - orice punct al suprafe{ei nadi n razeleltr'- _.:e

de curburi este infinita. In cele cerrtrr"*'"-: : sevo r studiaciteva ipuri de suprafe{elm : . precum;i problemele

dereprezintarb,

lri ' .:r1g€flte,ec{iuniplane, intersectia u o

dreapti etc. Datoriti i varietitii formelorpe careo prezintd acestesuprafefe, tilizarea or estelarg rispindita in construcfii i arhitecturd.

I4.2.CONOIDUL REPT

I4.2.1. EPREZENTARE.IRECTOAREAURBAE,STEPLANASAU STRIMBA. UNCT ESUpRAFATA. Se considerdcele doud planedc pr-oiec{ ie 1i V (f ig. l4. l) s i se dcfine;tesuprala{aconoitl cu urmitoarele caracteristici:10 Planul clirector este planul vertical deproiec{ ie.

2" Directoarea reaptdD este reapta e capdtAB.3" Directoareacurbd I este un cerc situat in

planul orizontal de proiec{ie,astfel incit dia-

Fig. 14.1

267



898

,md:.ap.Brrila^ nuBIdolrarrpuerdBr ;ltTJ

||m-.,'.

'I). eJBJeJeoqJnJBaJeolca:rp(1edeceprtrur"arp-) ,(,p ,p) q gldeorpBareolrarip

"pltu

-'*O ldagpprouor un 1e1uaza.rd".-, g. f 1 n nFl;

rmlm:nda. J .leiuozpo JolJeJrp nld 'n ""1"p,,imi:aolafa;erdnsednrF u! gzeeJpeJlgs llcia:p

lru$,LroJp alduaxa raJl alerxrlln ,1de; aq ..1e1

"imr:BlnJrrr1de:pynplouorpurlJprouol Inur11nmi-rpurlrJ Jrla iuIS lida.rproltzrouoee1eaq;ncW"Bolrarlp g''l IS7.71alrrnFl;ur p alarnda 1flmuozrJo olrarrp 1nue1dm (,), ,,r.)g a:e5

"mrm?oqIIIJJ}S qJnco EqJnJBeJpolJaJrp:e erecW;lp prouorefelerdnsleuoFolto lqnp eiuazarda.r

s' ' t '3rJ

t ' l t ' t lc

!.ru-g Inl"lu.tdnse pzuld rieaacead aiunlrs ,r15

I: IS.laJlse luIS rnlnprouorale e.reo1e.raue8noq', I !S 1 alapund uI J Rqrnc ea:eolca.lrp cezBelc€srelulsaJBc n rope:rp 1nue1d1laie.led]ryY]d

gy alda;p rareolrarrpIe S orerareo1'cundux-JlulJoaJnpas ,afa;e;dnsralseJe JareolereuaF

lullqoes ps pr nrluod .gy

lgdec ep ralda.rpv elvluozr3oerfrarordep lep alse NW nls inrleur

z'il 'Ftc



Fig. 14.5

Fig. 14.7

tr ig.14.6

liiiililr,*:ECTIUNIPLANE IN CONOIDULDREPTMM PLANE PARALELE CU DIRECTOAREAmE""tPTA. Se considerd onoiduldrept careare

lllillltttilurlmue profil ca plan director, iar ca direc-lllllllilrtrlllrfl'rryreaptafronto-orizontald D (d, d') $i cer-

L'i, y'), cuprins in planul orizontal de.-;.e fig. 14.7).Se alegca planede secliunet = paralele u directoarea reaptdD (d , d'),:- l inia de pdmint ox, ale cdror urme pe

li, iateralde proiec{iesint Pi', Pi' si Pi'.

'" r ;btine astfel rei tipuri de secJiunin su -

lo Secliunea u planul Pi ' care ntersecteazi oa-te generatoareleceleia;ipinzea conoiduluiesteformatddintr-o curbd nchisl de proieclieverti-cald 1'3 '2 '4 ' .

20 Sec{iunea u planul Pi ' paralelcu o genera-toare imita (deexemplu, "e") este ormatddi ncurbadeschisd,u o singurd amur5,de proiec{ievert icald6'8'5 'g '7 ' .

3" Secliunea u planul Pi' care ntersecteazdm-bele pinze ale conoidului este formatd dintr-ocurbd deschisd u doud ramuri infinite, care auca asimptote proiec{iile celor doul generatoareal e conoiduluiparalele u planul Pi'. Aceste e-neratoarese obfin secfionindconoidul prin pla-nu l Q6' lPi' du s prin directoarea reapt5.Pro-iec{ii le verticale ale celor doud ramuri infiniteale urbei esecfiuneint 0 'y 'a 'e ' l ' Qi12'P'13' .

14.2.3. SECTTUNEAPLANA lN CONOTDULDREPT PRINTR.UNPLAN PARALEL CU PLA.NUL CERCULUIDIRECTOR.Se considerh ono-idul drept care are directoarea urbi cercul l,

situat in planul orizontal H (fig. l4.B), gi sesectioneazd cest conoid drept prin planul ori-zontal zc, unde zr l H. Se obline curba de sec-

riur: onoiddrept careamintqsc ecliunile n:;rcular drept.



0t r i 3u

"yll!r"rop lnueldBrBp ?rnlJalrluB

raô EsueruasBPSTT{JUJqJnJ o _

:(Ot. l t .Fg) aldarp

il^t^!, :gly. alelruraJlxa'o-rliiiranrarl

Slti:1t ap_lnueid rep .pruroJrlh'p",1run,:nu ';e1n1q8unlcund nr pcrun'lqinc''o*

6'i l '8tc

0Lz

l:l-u:-l.Jarp 1nro1[lu_u;rderqc*r, _.*,i33gtjfnueldpcep r1ucsryynl,ojap .a1iFaelrnq nr'(,s's)g ug nlqnp'1cundjq'uqcuf q.,n" _

::1..:paqrnr',

,;5i##"fl,H1L:?,'YF,IJ):iplf

ereolrerrprlsarBlilplrua.riiolyp un sa.lo€rp_rar'olra:.rplnmlfrur'i$ugnn1,,gjnlJun.j

Tr,o^nl_1rlunrfras!_ily"td frbp 5leairir lcnqrs(,s s)S Jnlqnp uhdnr purjcuj[qrn"o_

illl^t"-fjdêp Eralplp-ue1dd rSJeluozr.ronueJa:i ."_l^"t_.

qrncgdnppzeelcaJo.rds'a:er, tun lresajlle9lquJn utlqo e_s_,G9f: ,d *dxX i niir",

:?ji -"!,lPtuoztro.rny1{" nr .s

"np-In qb,n nr"1?j:;r^!!r" ep ueJdun alsaeuiiilcaiep'1iue1aeirrer un elsa ,J. J.)

I gqrncejreolojrr!FJB(I I

I?d: $eloqered,rrer;il'#J;'%flJ:!i$il,;:l.J:l:ortro 1nue1d; plenlrs ,r ,i) ,i pq.,n"::ji:1i*lp nrluad (,p ip)

d, ejeluoi,rt-o1,,orgfJ.!!-ajn

ueolroJrpyt tui ,a1icap1dnir,-1".,.1nJ

Jll.:l:,j_otr.rrp ueld er a:e ajac'1darp'1np1ouo""illtYl ns'Ydvsuo suvoriauia'vvar:)g;yg{Nr uvorydvc-io

"sN-fijNi[;rdauonqroNof,utârivrJrrrinrji#v.G.r

r{.*,:yli{1,iii:?"i?:,eilf.1i",#i',ol:;.'1i1p i:-]" eisaV- n nlcrind e rriarue8lncoirun3 luetsuocpode;,

T_rlul'pr,iniws ,jtu"i-srpnJ puneaptrolulpleFa lie^dun!1ci,iap ras

-dr1a e BJrru BXBnttosBOrpB Ivw lcac

: (1ue1suoc)1 :

,YWS

wrv TV

Is

:ellnzarWrVS 6 M rolrrnrqFunrrl::j:lpT.r," urp .rpêpe-rlulf rnlh'crjcFutJBRsotlao olse3 pr azarlsuodrepi ig

.. aunil

I l r i i rg

a-ld-';Y:l



1lrur"l:ol5fig. la.11), iar planul de sec{iunet rf i :lan de capdt care face unghiul de 45"

q . orizontalde proiecfie i( x& P' :4bo),:= secfiune e compunedinir-o bucld tan-I i'irf la paraboi5 qi din doud ramuri

cerepornesc in punctuldublu. Punctul

Fig. l . i . l l

: -r-rctsituat pe prelungireadirectoarei

D (d,d') .i tiirectoarea urbd | (t, y') esteun arc

de tangenfiesteA (a, a', a"1, iar punctuldublrrS (s, s ' , s") .

3o Daci directoarea urbi | (y, y') este o lem-niscati Bernoulli, ar planul de secfiune ealegein _aceleaqi ondiji i ca mai sus,se obJin secliu-nile reprezentaten epurl (fig. 14.12),'are pen-tru planelede secliuneP' sau R' diferi in pro-

iec{ia orizontali numai pe jumitatea stinga alemniscatei ernoulli.Astfel,-sectiunean conoidprin planul P' conducea o curbdcu punct un-ghiular n punctulB (b , b', b"), iar sei{iunea uplanul R' conduce a o curbi cu doud bucle inpartea tingdgi cu un punctdublu n S (s ,s', s").In partea di n dreapta a lemniscateiBernoulli,secliunileprin planelede capit P' sau R' sintegale.

Observafieasupra secfiunilor plane in conoid.Esteutil sd seobserve i majoritatea ec{iunilorplane fdcute ntr-un conoidsint curbede gradulpatru, aceasti suprafafd iind ea ins5gide gra-dul patru. S-a ardtat ca'or ice plan paralelcu

cerculdirectorsecfioneazdonoiduldupd o elipsagi ci orice plan paralelcu planul director secfi-oneazAsuprafala dupi doud generatoareecti-l inii. Dacd planul de secfiune st edus printr-ogeneratoareectilinie (nefiind paralel cu planuldirector)seva ob{ineca secfiune curbddegradultrei, deoarece ecfiunea ompleti ar fi de gradulpatru. Daci planul de secJiune ste determinatde directoarea reaptdgi de un diametru al cer-cului, secliunea a fi o curbl de gradul patru,avind doul asimptote paralele.

14.2.5. ECTTUNILANE N CONOTDULREPTPRIN PLANEVERTICALE.Fie suprafa{a onoiddrept cu planul directororizontal,careare direc-

toareadreaptdverticala D(d,d'), iar ca direc-toarecurbdsemicercul (T ,T', ^y") cuprins in-tr-un plan de profil cu centrul in punctul (<o,a' a") (fig. 14.13).Secfiunealcuti in aceastisuprafafd rin planul vertical P se compune inarcul de curbd a cdrui proiec{ieverticala esteu'q's't'v'. Punctelecurbei de sectiune ezultddin intersecfiageneratoarelor rizontaleale co-noidului cu planul vertical de sec{iuneP.Aplicafie a bolti. In epuradin figura 14.14s- areabzatacoperirea eschiderii n ziddrie printr-oboltd conoidall, care are directoareadreaptdverticali D (d , d'), directoarea urbi semicer-cul I' ( f, y' ) situat intr-un plan frontal, ia r

planul directoresteplanul orizontalde proieclie.Secfiunean bolta conoidal5, u al doilea planfrontal be al zidului, conduce a curba b'n'e'ig. 14.12

271



lalr_gplzlatralp riBp lBJrlra^i|_r. 9p lar nr 1da:pprouoonun

eriiasijlur

:o:]_Tr"-jgrnq:nrplqnpnJaunrfcas'epqjnr; ,1 ad .ro1 l l Iq11l j : ixano euifr :ds'as ter,:_ JBolpJOUaFa:pr aJe .aldejir-aleproriojrun Jn.roln[er ie1 i Fti);ir;;jr;;

._odnu n eair:ado:re-ezrleo:leodas li j je- i ' l l loq

" tagfur l ;dy ,ru , . . . , ,J ,,g , ,8

tr;-ro 1nue1d ; surrdnr ()" ,),).1 lnrrac rS

' g ".!:1y?rlro-oluorJrBolrerrpBr E ,rolJar p

-lltlo.loep lnueJdare arel 1de:p nprouoc

:11_1svivJvudns:rd cNna n:urrur

zLz

plucrlJeA urfcaro:d oJB oJBJ ,alager*:f pnopolar aJlulpariresralur p BrnqrnJ lqnp nc eqrncFllnza5 'r1a r ,q ,e u! Ieluozuo pieiloaro.ldas

Y-qTllt !t rnlnprouor elv elvluozrro alorBolBr-auad JlurpetIJJSJJ}ulp JlalJund =

epluozuo:yrn n.,,n re r IErrJra_\nrpullJr 16gt.tt e:nFr;urp e;ndaug leluazerda:darp lnpiouoj ijaprsuoo$ .y_qucNr.ilclvgvuans o ts rdadoOIONOCNN AUINIO VIICSSUTINI 'L'6'VI

llij..:l.lutapalalrund rfqoas i relda.rpllrfcar

-oJctnJ p,zeelJesJalures aJBl eunrfcasap raqrntal l l fmro:d lrJ ls_B urule+rpag

':g1dea;puud

:: lp_eluBtraro;d .1aue1drp lnin_:iur .rdprouoc

BlBJEJonsJ oupJd lunrfcaseritnrlsuot BJaJnp

-ir -ir 1yg!ryjd ratserBorBAIozoUOIONOf,Nnrsyrdvau(Io iruINrOricssuirrNr9.6.11

'J FqrnJBJpolreJrped 16 qrncElsBarBdgurfr.rdsas eleprouor rriloq a1ealuiuozrlo a1a:eoft.,auag

sl ' i l '8 tc

IN1NOIONOJNADNVI'INNV'Id' 'i' V1

9t ' i l '8rc

w

' r ' i l' ; tc



I

lqI

dt,*fI

tll

Ot

Ia,iala z

/'l

/lI

\e4I'

Fig. 14.17

ff i :a :

3:Iie (fig. 14.17).Se alege o generatoare' ish, s'h') a conoidului, pe care se;azilia unui punct A (a, a'), astfel incit

;.planul TT' nu este tangent suprafefeiconoi-dului drept decit intr-un singur punct'A(a,a,);

- planul tangent conoidului in lungul genera-toarel_or are trec prin m, n, p ;i v este tangentsuprafefein fiecarepunct al generatoareloron-siderate,

care se numesc astf,elgeneratoaresin-gular.e,Acest apt estevalabil gi peniru suprafa{aconoidcu nucleusimetric:

- intrucit in generalplanul tangentconoiduluivariazl in lungul aceleiaqi eneratoare,onoitlulesteo suprafa{dnedesfd;urabil5.

14.2.9. PLANUL TANGENT CONOIDULUIPA.RATEL CU O DIRECTIF DATA. Pentru a re-zolva aceastd roblemd'trebuie i se determinemai intii geneiatoareauprafefeicare este para-leldcu proiecliadirecfieidatepe planr:ldirector.Prin punctul de intersecfiedintre generatoare idirectoarea

reaptd educeo paraleld a direcliaclatl, care impreund cu generatoarea efinesteplanul angent lutat. Pot fi asifelobfinutedouisoluf i i , una sar lnic i o soluf ie.

rrr o curbi trasatd pe suprafatdcare sdur-n punctul A. Se poateconsidera stfel

*rrt-:naercului 1 care trece prin punctelefurtru ca sd se construiascdangenta alu: a, a'), este nutil sd se traseze lipsa,

&:I

sh,rezult i a 'h ' :I

s 'h ' .33

u ::ngent conoidului in punctul A (a, a')urou contindgeneratoareash, s'h') gi tan-

tangentaht in h la cercul y conduceat deci la tangenta at clutata. Fie:c:asJd angentd orizontalddusl la elipsl:;l A (a , a'), care impreund cu gehe-

*r, s'h') definegte lanul tangentTT ': in punctulA(a, a'). Urma orizontall T

nu-itangent receprin h ;i esteparaleldll-'r-:rverticaldT' poate i determinata u

fifiillttreptelor concurente (f, f' ) $i (9, g').lhrmr:-a se re{ini c5:

273



vLz

06'tr IFr.{

;-rlnrlpuad.rado;dlre: aueyd a: 1 ad aludrtlLi- r l lJaroJd rJJBJ el B ,ppadodlt l

fJrunu l^rqJn.r' i ,ha rnlnrpurln eiele:dns ad InrJuaJpul^en. yzeJep BJaJS r$ atfulor ap nrpurlic unrr ir -Er lJasralulINVIAIA InOIONOCU.?, .V|

11.! lpOu".ap) eld-un-:1ur.rdrpurUJlsaJe IFlnrpJ unrfcaspusdrla lsepqrnreaiioljerrqog

_l::!1{9irBlnrrrrnJpurlrcnunalarBole;auaF

rpvun .'leluoztJo JolJaJrp 1nue1dad erelncrpued:ad(, p 'p ) O Elprtlrel 'aisa gldea.rp EeJBolceJrC06.(6_t.6

Is BI.1 .Fr1)ericaro-rdep Ieluozrro nuu1dolrarrpueld ec aFain

"S oI

-rJep Jeleodarec1da:pprouo"glnpJiJnl.t: il :rellrnld nplouo3'uglc0.Id'InoloNoc .

0I.6.Vr

'alplngJ (.u ,u) r$tu) ;lapund uI ,g

.g eldea.rp r gieairasrjlur

l .t l ,t ,= nqrnt else g = U IBJrlla,r, nuz1dr 'ieJerdnsBlsBarE J FlnJpj eaunlicag ,q,g,:Faspdnp

iecrl.ra,t1e1cai6:d1,i',,l,ieJcti1aiqrnJ BoJpoJJaJrp:JBr,p ,p)o BIEcrlJaA ls o

;i p BaJBolJe:rpluluozrro elsa JolJaJrp1nuu1d.ra>f9nld.lnprouoJ rluad [email protected] .Fg) pleprp (,s 8)v otc 'ua)f,o-IdotoNolNn tsldo o 3uINrOvr j tssuarNt ' r i .z. f r

'aG lS IO a1a1do.rp: JJBJ leJsosroJlztoloqeJed1eaunr icr :1s

-r:ilull 1ecrrlauoaFInJoi Bc llulJapr; eluodiiiTd Inprouol

,eauauraseeC .(O eldeerpurrd:r?rlrqJe eld un :olcarrp ueld nr rrioqrad-:roloqe:ed)elep aO IS O Jldarp priof ad

llllll-.rr; eSareJ .y alaldarp 1$q pldearp o jr1u1lllfltiinuoJ JolaJelnJrpuad:ad

-1e

cularuoa8 1nco1

m.-rl.Jnld InprouoJ er aunds aleod as 1511sylJ[[d JnprouoJ r aundsaleod as 1a;1syt=JJnse a:erauaF p Inpou ul p a1e11hza.ru!:rpailB rSalup 1; od reru1da-rp rouorpie;r ?lspaJe Jluad (,r{ ,q) ur:d ,nldruexaap-- ' laJeolJaJrplJippiuarlxr ur p eun_llur:il

.[

t[

II

4

I

l/l

llt//a

BI ' i l '3t r I



," '\.9"\

Fig. 14.21

tknno. Hipopeda mai poate i definitd calr,::ectoriasfericd a unui ounct care seEija pe un meridiancu vifezd uniformd,

:e meridianulse rotegte u aceeagiitezdI arei sferei. Hipopeda se mai numegteiu: Viuiani. Se considerd n tripld pro-

irtogonald sfera de centru (co, o' , ro")m:-,11ertical de ax5 <o1gi diametrul egalr sferei fig. 1a.21).Cu ajutorul planelor

F. Fl, F2, Fs, Fl gi F5se oblin punctele

:'azI paralelul de front de razh o'f inde proieclieverticald3' ale hipopedei.orizontald a hipopedei este cercul de

0'1"proiectiasa verticalS este lemniscataiar proieclia aterald a hipopedeieste7" -6" - ai'. In acesteconditii se

trfini o suprafafd conoid drept numitd\r iviani, care are planul orizontal deca plan director, hipopedaca direc-

ri qi generatoareaerticali D (d , d', d")

a cilindrului care trece prin centrul sferei cadirectoare dreapti.

14.2.13.SECTTUNT LANE lN CONOTDUL I-VIANI. APLICATIE.S[ seconstruiascdroiecfiileorizontald.gi verticall ale curbei de secfiune i-cutfl in conoidulViviani prin planul paralel cuox care ace 60'cu planul orizontalde proiecfie

Ei care trece prin M mijlocul razei verticale asferei situatl sub ecuator. Datenumerice: centrulsferei O (50, 50, 50), raza R:40. Se vor consi-dera circa 12 puncte pe cercul director al cilin-drului. Se reprezintdconoidul Viviani in tripliproiec{ieortogonali {inind seama d planul di -rector este orizontal, directoareadreaptd esteverticala centrului sferei ar directoarea urbiesteo hipopeda fig. A.22). Se Etiecd proiec-

! i i le pr incipale le hipopedei e cele rei planede proiec{ie in t respectivun cerc, o lemniscatdde tip GeronoEi o parabold.Pentru planul desec!iune se considerd cele doud posibilitd{iurmirind urmele laterale Pi' $i Pi'. Curbele

de secfiuneapar total deformate n proiec{ialaterald de unde se intorc punctele acestorcurbe n proiec{iileorizontaldgi apoi verticald.Aceste puncte po t fi citite direct pe epurd.

27 5



ryrHolzBauorfcesednurrd nlnuerprraruei_l1leu1cur:d_aca:1.rer|H la^ruep Inu"1altsv.9HlS rH lelru ep'e1auu1dn1-rrys$ ol rs plouoJ lsaJBaJlurp arftas.lalur apw+ !s pluuuJ +sdJts rlulp arlJasJalul ap

qul lqo.as es 3r nr lurd .Fl loq ap ldarp

lelaJBJdns BqJnJEeJEolJJJrp ul,Lap rsq_lqnpo glpdec usdila ,rr{rpuoc aliacun uI IS :'et 'a ug gFunfri'psj'1;cu3 1511selltl.mrrlr,r^nJpurlrrad prrldeas psdrlaliuosi ld .= ,,C,J FJIU_Pxenuas $ rsrd :d aJprrrFX B ep esdllalurasalSernrlsuorrli l lal etfrato:dul I$ rslra eurlqo aq . Tlral Bllrarold u1 1S SCr*Ieullqo aS .,,_tr

BI C.uI eluoFueled ,g p r$ yp a1ucr1:J,rurrd re l ug elrunrfcas Jlul surrdnc534

9LZ

olsarnJlsuoJ s aJBJ S gleluozr.ro rfoerordu1gI?1d rrac ep lncre pdirppleicaroji !,,nqrnjplqnp nJ BqJnJ olsa J qqJnJ seJBolcaJroog

r$r1n:1uacr errnur:d!91;ij"fTlrH"r;"r:FsrJJSap olruas rnun B BIEJIIJOr\Fx B Bc pJeprs

-uor.as arBJ le luozuo 1nue1d d g:elncrpuedjad(,p 'p) O BIBrrllan alsa pldea:p BaJEolJrJrC06

ueldecaricaro;dp 'luozrro nue1d,t.ilT;':?:rolprurnInlaluI efelerdns

pl::.:tg fr lnp aleod ag .FrnlcalrqreuI p9z

-r lr ln drEJ ldarp prouorpfe;erdns alsag+loqap Inprouo]

.V.L-IOgaO .InqIoNo) .?t.6.?I

'31:I

InJJBgJrJrlJaJ s :ezuawrnunc pdnp

ou vt



Z1

4

14.23

r' ' :i de razedo'.;idp. Secautapuncteler ,, {v", v) situatepe directoareaurbi I '

:- lu i , careare aceeasi ot l cu paralel i i

' * . , imai inainte. Se obfine pr, ' ,deci

-- abscisd 'u.' conduce a p,. acdse ar - pe urma -[.' . Orizontalele dpr. i dv

. iz i cei doi paralel ida ;i dp in punc-illfl; n, N ;i n, care apartin curbei de inter-

t :re conoid i tor. Cele doud curbe de:r - .' dintre tor gi cor-loid int curbelecu

:,:buri care se proiecteazdorizontal

' r - -=.enCMBgi bmCNA e fac partedin-: .e anLlYtb

9l

DmI,NA Ce lac pafte dl n

' a le Arhirrede.A doua ninza a cono-"l;ersecteaz.ldin nou torul dupi o

L : e simetr icd.

- ":desfd;urabile.Peniru anumite nece-r= :onstruclii prac ticeele pot fi cu uqu-l. . iaqurate n mod aproxirnativpr intr-o" .: de tr iunghiur i aldturatea$acum se

i : :roblema n epura din f igura 14.24.ru ::st conoidplanul directoresteplanulll,,de proiecfie, directoareadreaptd estei deci

o dreaptdde capit iar direcioarealrru::. un cerc cuprins n planul orizontal)ltlt'nr:tie. Conoidul este a;adar drept. Prin

,r : : :eacurbei directoare i determinarea

l lut ' DEsFA$uRAt{.EA ITROXUI{ATIVAJllllililr-l CONOID. uprafefcle onoidstnt su-

'Fig.14.24

lungimilor realeale latur i ior tr iunghiur i lorse

obj ine desfigurata proximativda acestei u-prafele conoid.

14.3.COI.{OIDUL OBIIC

14.3.1.XIEPREZEhJTARE.UNCTPE .SUPRA.FATA. Se considerd reaptaoarecareD (d , d' )ca directoaredreaptii, semicercul e profil cucentrul (. , . ') ca directoare urbd, ar ca plandirector se alegeplanul orizontal de proieclie(f g. 14.25). Peniru determinareageneratoa-relor conoidului e vor ut i l i za planede nivel.Astfel, planul oarecare e nivel H' este nter-secl.at cle directoarea D (d , d' ) in punctulC (c, c ') , iar de semicercn punctele e se pro-iccteaziratcral n ni ' Ei n6' . Sc ob{ in proiec-

Jii le orizontale cn1 Ei cnn ale generatoarelorconoidului. n mod analogpot f i determinategi alte generatoare.n epurh din f igura 14.26este reprezentatun connid oblic generaldefi-nit de directoarea reaptdD (d, d') , de direc-toarea curbd (y , ^1') qi avind planul directorde asemenear izontal.

14.3.2.SECTTUNEAU UNrF'tAN OARECARE.Planul oarecarePP*P' dat pr in urmele salesec{ioneazd onoidul oblic dupd o curbe ale

cirei proiectii po t fi gdsite irnediat util izindaceleagiplane de nivel care ne-au folosit ;ila determinarea eneratoareloronoidului (fig.14.25).Astfel, planul de nivel H' se intersec-

d- '=a'=bLct

277



9A'?t FIc

BLZ

Lz'nr' i l t

tP

i l IoAruop alaueld JlurpInlBAJalur Ir la^lu ap

.oueld u.zl1ln :orr.ag :pia1im;ue11u1s S (,p ,p)g uldearpaO pult. i l i !alEJ, eleluozrJo a1a1da;paurruJolep es:;r1 rrirpuorolsare\

.(tZ.Vl .Sj1)'.ro1

-ca;rpueld er ar icarord p lBJUozrJonue1der'pJIIqo oreolrarrpEr (, p tp)-q a:z3a;eb thea:d

Freplsuoras r$ naltnu piele:dnsBrycD gzet l:(, : .r) nrlual ap BroJS Faye g .aUaJS

laNnsrdcswnSurc r-rso lnqroNot .8.r.?r

r$ crlqo nrnprouo_rrar'o:l'rauarr1ulp':[:i1-ralur ap alaicund aleol Fllnzar IaJ nf .,i

ls,t uJ l?JBJI].ta,tt{caro.ld g pcrprras a.rer

,iiS

r alelJunouJ ArlcadseJnlnptouoJ 1eau r ri ru rBareoJBraueFc ezuapasrelur sg gieluozlioer f

;?rlojd.uI '(,^ ,^) a_lsa 1ucr1;aneiujn

rorer e'(,9 'g ) vlvluoztropdnp ,dd 1ep1nue1d ) pzEal

'Flc7',nl

zy



n -{ .t fel , de exemplu,planul de nivel Hi in conoidul oblic circumscris unei sfere. Datenumerice: Sfera de centru Q (50, 60, 45)R : 30 ; planul directoresteplanul vertical deproiecfie; directoarea blic[ HV unde H(170,100, 0), V (100, 0, 100), planul de sec{iuneP* (40, 0, 0), < xP* P:45", 3( xP" P' : 60".Se considerdplanele frontale Fr (i : I - 13)

care conduc a contururile aoarentesi deci lageneratoareleectil inii ale conoidutuibblic pre-cu m gi la proiectiile curbei strimbe de tan-genla dintre ac€stegeneratoareqi sferd (fig.14.28). Pentru determinareasec{iunii in co -noidul dat pr in planul PP,P' se uti l izeazifrontalele acestui plan date de aceleagi lanede front.

Conoidul drept circumscris unei sfere este unca z particular al conoidului oblic i n situafiain care directoareadreaptd D devine perpen-dicular l pe planul director. Este uti l s i f ie

p,::ncentrul sferei sec{ioneazi fera dupircuatorde razh<o4. irectoarea (d. d')

.qteazi acest plan de nivel in punctulq'). Tangentele use din q in proiecfie

m:ala a cercul ecuator dau punctele de:;a b gi b1, csre se ridicd in proiecfia

cs:a n b' Ei bi. Cele doud generatoare ler:::lui vor fi cele doud tangente qb , qb')- . qbi). In felul acesta e pot defermina

tudlhr eneratoare int necesare.Este util simllLeagAlane de nivel simetrice in raport cumul,, cuatorului sferei (de exemplu, Hi ;i

I-nirea punctelor de tangenti Ei studiulr rL- i tat i iu r idicd problemedeosebite.

4 SECTTUNEALANA lN CONOTDULf, CIRCUMSCRISNEI SFERE.APLICA.Sf, se construiasc[ proiecfiile secfiunii

cu un plan oarecarePP' dat prin urme

Fig. 14.28

279



6a'il '3rc

0Be

rlpJ lS xo u!.rd of,eJl aJpJ uEld un_JlutJd t$lr l upld un-4uJrd radn)l yn[;ouo:

'u i

"1ll:-rasRrseln4suof,as RS.AIIVOITdV .UAd

;r { noroNoSNI ANV-IdNnrlces s.slr

.. ,9,f , nr eJale. ledp,g 1a11se

.. : !'pt"te,,ed 11es rnqo.r l l r i r l ip ioiror

:erauaFaJBJ nJ ,dthueld r l

' t ,g ,g)jp o BLrrruJalapA os ,pg ,nJduaxaap

og I ' i t , t

'Ele+uoztJorfraro-rd l, plBp rnlnprouoJB aJeol-:1.i.J

__.j:".1Jnrluad ;zir

1sa'rbuI .(lul,-Fd ap BrurJ r lroder xl cr lr laurs 1[1s 4-r$d_

"J"*jl)rolraslq uuld in_uj.rd O .rblirerpueO

-Jad/dd rnlnueld raia;u. ldns1e rolrairp'ue1clpr lBnl B-s.09.4_e-rnFr3 lp e:nda uI .ts ' ,bplurr lre er lrerordp1a1e:udIJ p^ pf erbaibiAnr 'nlduraxa eq .Jj.reOu;'".ruo1'n!auaF Jec-a11 :1uadRlpl lrozr"ro

-esel iralord'nr g1a1e:ed

JJSa laJrpa,n r lroro.ldl l rpuo) alsJJeul .Jo1-)asrq ?ld Ealrop1e efa;erdns1e oire:rpiuelci

:,r_ t-l.J_!:.ryr ?-s 66'4 u:nF1; urp e:ndo u1:!9._.ltry"rp,

BrrBol3arrpaurluoc ar ) Jerrl;a.r! l -19]d

nr rS ( t eqrnJ Brreolra:rp ur iuoe'er ;

J.:_1-1"111"lly"tq nc eleFaunrqf,Lrnje; areruBIo un alse raiage.ldns1e rolrarrp InuBId og

lp1:? E Bluozrronue1d"o'?riJr,il '"iti#l ._gl\t .ry{

rp tBrr}ral 1nue1d j g}nur iuo:(,p 'p) (f Blerr lrJ.\ lse pldea.rp rr tsolrarrq06'6A'Vt 'Fl1)alda.rp rreolJalp y erctuazrro,.y ln_.,1

=,l ln lrund u; ler i l ran rn[iLieiAlLial

: i1 l . l : ,at lcorold p leluozrro1nuu1iuI lBnlrs\/. ').) J rrar un also qqrnJ EareollJ;lg o1

-rJapJaleod ;er rrqo rouo,"i;FIhT, 11:rodny nprouo3dg;gy '.InOIO't{bttg.t.Vt

TJJaJSluorJJlxa alsJ nes TaJJJSluaFuelalsa 'e;a1s Bzeelrasrolul-61 fldej;p

"uaieol"arrp

aJptr uJ aJrJnzuf,ezelodr plseate uI alelalJof,

I8 ' ' I '3 IJ



m,rrul orizontal de proiecfie.S- a aritat cittr l ' K.r ipereste un conoid oblic. Se alegeillLrm. Otunbisectorca plan director. Direc-

, ' - ieaptdestevert icala d, d') s i tuatd n,,'ertical de proiecfie iar directoarea

:i:e cercul concurentcu aceastd erti-

(sr, s'r'). Generatoareasn , s'n') intersecteazila r ind.ulei in M (m, m') generatoareal-2,l ' . -2 ' . )^ considerati conoidulu i .M (m, m')esteasifelun punct curental intersec( iei in-tre celedoudsuprafe{e atc. Rationamentul erepeta ma i departe pentru fiecaregeneratoarea conoiduluiobl ic.

r4.4. EDURICNOIZI

$EDURI COhlOlZI.Pentru acoperigurilen gedsint deosebitde convenabile,

dinpunctul de

vedere al execu{ iei,plSci le curbe'subl ir i acdror suprafafii mediandeste un conoid. Di-rectoareadreaptd se alege orizontalA, ar di -rectoareacurbd se consideri situatd, ntr-unplan vert ical (sauoblic) ,paralelcu directoareadreaptS. Directoarea cuibi este curba caremlrginegte lanul luminatorLr lui coper igur i lor

in ged. Se obisnuieste a directoarea uibd sefie un segmentde parabold' au cerc. Planuldirector al suprafe{eiconoid se alegeverticalEi perpendicularpe directoareadreaptd.Suprafefele onoizi pot fi folosite pentru con-strucfia acoper iqur i lorn qed, n ser ie, i indalSturaten lunguldirectoarei rcpte fig. a.38).De obicei se introduce n constiuctia-geduhiio curbd nternediard,situatd n planui para-

l:t cu p-lanul luminatoarelor (fig. 14.54 9ifig. 14.35),deoarecen felul aceslase reali-zeazdo dolie care permiteevacuarea n condi-ti i mai bune a apelor provenite di n preci-

*at intr -un plan de n ive l ( f ig . 14.J1).

. de sec{ iuneapar total deformate n'

lateral i l S-astudiatviz ibi l i tateaDen-; r- i- :nea e suprafa{5 upr insd nire pla-L: SeCtr lUne.

: - INTERSECTIAINTREUN CONOIDSl UN CONOBLIC. Fie conoidul oblic-e directoarea reaptd(ab, a'b') , di-

==curbd cd, c 'd ') Ei avind ca plan di-: anul vert ical de proiec{ ie f ig . 14.32) .

1,1 semenea onul oblic avind virful ini . i d irectoarea curbd y, y ' ) con{ inuth

r;ir ,1 de capdt cu urma verticall e' .lr; :areleconoiduluioblic sint a;adardrep-" ' - : le . Pentru determinareapuncte lor

' : i rectoarei i l indrului in punctul (( ,i r , - - - , p lanulu iduspr in S (s, s ' ) pe planul' : , , ,- cs te ast fe l (11K, i K ') ; i ea

inter-

' iirectoarea conului in punctele nrr ' - - rndneuti l in acest exemplu).Agadar; --. pr in vir ful conuluiparalelcu gene-

t | - 2, 1' - 2 ') a conoiduluisec{ i-

- :rul dupd generatoarelesn, s 'n ' ; Ei

a' e

Fig. i ;1.33

Fig. i4.34 f : ig. 14.35

281



0' ' t t '3ld

l'fi.ltrd;qB.'J,,-",iffiq#Ji,:{iliJ,l;'3","'#"9lii,!,;,i,;jil:t^''fr"'i.f",*,?":il.,1i?

; ,,'",",:,'g*'J i":'l'utffi' i',?io'.1,li'",;t'""',tfrfiLihHiH:i',"ffi

J*!:il,ol,":i;' ,n;;,",1;"Hu,';i;,i{#i,il',g:};}p"fii

qleuoFol.loarfcaro.ld;_1dl.r1 ; leluazardat u- s5f,J'#:i3

Y;B"":g:-1'p5s'ul"i,'is,,.oo,n

fi;:;,;;"J ffi?ile{,{ui'FiJtji.-- plue+suoJnJ J eqJnJ aJpolJaJrpolelBuopJopur j lnuruSaul loo

111fl,'rr".,'"{,*i#th,;:}r':lii:r iiyn,r,lg,if*ilJJ'"##i'ii;r?'l;'131ol,l,

""j;:^oi.' ;:,',;"'',put'p.np;,rui""""0,"It:lruri:Ti*,*i"J

eg' l t 'Frg

88'r t 'Erg

/8 ' t l 'FIC

98'l I '31g



Fig. 14.42

Fis .14.41

rLL-:coperii in plan dreptunghiular;i scoate' r . :ard o corni; i l i rni tata de curba de sec-I l . . . : dintre supraia{aconoid $i pianul dei i [ : : : QQ' .

: , , 'u::aiafaonoid are, ca directoaredreaptl ,, t , i : ,: ta de capdt D (d, d' , d") , ca directoarelr i i , : zrcul de parabold (T, T,, y,,) , iar car rur directorplanul vert ical de proiec{ ie. n)r i ' : ,ect iva din figura 14.41 s-a indicat or ir rr : inaf ie pos ib i la in construct iaqedur i lor ,::rit:. suprafeje geduri conoizi ;i paraboloizir : , t : lo l ic i avind un plan director comun.rm:erspectivele in epurele 14.42pi 14.48

Fi{ . 14.43

sint prezentate i alte util izir i al e suprafe{elorconoizi in construclia unor bolfi sau a unbrzidur i de spr i j in sau baraje.



iBz

e'9r 3!d

rB I

"dd

€JeceJpolBrrlJa.l InuBId alsa JolJoJ-Jp InuBldopun.e.g l

-prnFrJrp Brndaaur lqo

es IlorpulIIr talaJBrdnsE FlBuoFotrro lqnpBaJBluezeJoJJI eJeJ]3s F?BC'.q"nJ elalBJBdef , nBS ur u EJ :.l

_lnuelgad aleuoFolro lir fcal

-old eale ron r$uJ

ISJ

a:eopa:rpaleqjni aciIul l lJos oA as^,93 nes NW BJ ,lnynprorpurpceIB ereolBreuaF 1ly .rnlnploJpgllrc

B areoler

:euado alsa BV- lc^unie

rafa;e;dnsIB JolJarrp

uBId Bc 6 .1nue1dFalees FJBCIg ,rrpadser S

V elapund ug 4.1nue1d zeelcasr i lui 'a; S galaqrn3 u.1nue1d d nu nes elncrpuddrad'uefiun d aI J 1$u ueld un ad a, t l{ l i 'u3 ,,rr1cads5rgzeatrraro"rds oJeJ ,nliuds ug a.luca:eoaqJnJFlog (t '9t '3U) aJ

! l r . . Iar l- ' ia11syd ropi l tpuDls

,un

. nr e1a1e:ud1ndul1 lol pululu-F r

..J

lS 'J aqfirr pnop. ad purll"rds as

il :opld0atp o ep a1e:auaFAI lnperF ep

alBldtr alaleJBrdnsluIS lzJorpu;1;oyeialerdn!

ruYrNtztudsu' i l I tNH3o'r .gt

tztoucNnt)llJvUdns

AX lnloldES

I '9r '3rc

rlJonlqnp leluaza:darp- sg.gl ern8l; ur puI ' ,u r t ,ur-aurfqo seurpro p rrur j"ur . i i tl rr u l - /u rs / ru 'dul lqo as€ulpJo ap ltut l Uucl

'd nJ FIaJBTBdru .nldruaxaap ,aFC1eest:BluozlJoerfcaro:de1 ap e1$aurod s-rafa;:rs.ale ereolerauaF +rJoJrp SBJtr n:1uaj

';r) t( (; 1 ,t,t; olaqrnc luJs alarBoija-rrp



l t i r i l I - r : : ! ic i l indroid care are planul vert ical| ;r r :ciie ca . plan director, ia i ca directoare

Hl$.=-r-, ' r, i) ; i (yz, yL). n epuradin f i-

]y1,". _,J s-a reprezentatn tripla proiecfieY, ' -(

- , la,osuprafaf i i l indroid'care re catl||titutlllltl:tc_ror tot planul vertical de proiectie,l l l lmlri cirectoarecurbe semielipsade c"niruililra

LiiH' t l).9i semicercule irrof i l de cen_nilr i l l ! i l : ( .r! , cl g ). s-au ligurat un numdr tl erWll l ldr

_: r ieratoare, ," ,q,

ge exemplu: (ac, a,c, ) ,l i l , r f l i

! , . ( tnf l , m n') etc. pe acestexemDlt rse

1t]1l,:=dea prin ce se deosebegtesupiafafa

31-. i 9.qsuprafala i l indrici. Astfel, asuurlultil11-.i.ilindroidgeneratoareleu mai sintlllffi*:. intre ele,degi imin paralele

"uuc._lillM .r directoi;i'a"$i";. Jprrj;il i"""r"dhilr,,"-:be directoareh ;".i;;ii"pud.-t" inlrmmms-i r sprijini ;i generatoareiuupiafelei

|l0mllltlllLtuI]-_:e.

, [1 r --a din. f igura I5.b s-au reprezentatn:llyilLl -,oreclreortogonali o suprafafd cil in_r

-ieaieptanuT-u.iti.rrJ';;[til:;

; . :ecior , ar ca directoare"nj iel ipreled"

Fig. 15.6

I r ig. , , "4

Fig. 15.7

285



r f f i : ' I l ) I$ ( ,?,J ,a; ) aqrnl r l rJuolJrJ lp nJi r rT-ozlJo JolJaJrp ueld n; lnpro. rpur l rJarg

9BZ,

nr uzeauoriJass a.ier ldarp prouoJefege:dnsr1lu1rerr

.glutzatdat eS .RleluozlJooluoJl'aruol

111!po (r !;uluozrro rolrarlp c.racun

-( q:Fj

-oJo ep JolJaJtp 1nuu1d e :nr lde.lp ptouoJuljltl ,46 lpduc ep uuld un nr pinrli uau

lll*: ulp plsltnzar ersolf,arlp?qrnf, o (t : tl l-oJq ep JolJaJtp ,Jef,un (6 :p1uoz1toJolf,eJ-!p ;nuuld (l :ere erur p;orpu;qlc

uiulerdns

PluuodolJo liralo.rdg1d;.r11 alulzeldares ps aiale:dnsetrsaJ' EArJururxoran"1nlffi

l. :_111!9srolunrqFunr4olrrnlBl lBolBorlL 5unJ ea.leururralepS a:eo1ca:ipolaqinc

' i iJrarurr6 '1pder9p uBIdun_r lul16'ar irar

,nYLnlX?,111.,IT:lgI nl_ry9d:n;surrdnr4

o- , rS (r,,t"t,t; alrrnrrar luIS aqJnr rreol' i lm{r.r, qnopalal JB re1}relord p 1ecl1-iannuelciw rolcer lp lnueJd plorpul l l r lsace ir lua6fl1ill ernFl; ur p ernda u1 eiuelqo:dglurza:d

:nc ese-"lninqpynfiiq;;;fft;'J;ir;;"

o-r1ur.rdrrleurrxordepo u uJ a1e:nSelsep

:rtn nr IJ lod a1aacrperd ro,,reu lrruhuer?J JlBlrssJau lnlosqBap zeJ uJ .alrqBJ::rpeu alalu:dns lugs1i o-rf r1 a1a'iaiei'dhg

nucNtlt3 n tsircNtll)NnaulNto tlSlssurNt9.9r

ctoucNtlt3nNnvYATTYW|XOUdVSUYUnSYIS3C'7"91

, ;dsa:euorJn,rruornr"i3Hii"i1|","",?;rolalBluorJerlcas;a1u1 rp pllnzar aqJnctrr alelrund .( ," .

ld.: .o) . JuISaunrfces p-r r allricarord .gI ,a/,

Ii I,LrI alasd!leyuras

: lnlnploJpnlJlcalB.eJBolJaJrp qrnr pnop: (0t 'gt 'FIJ)aunricasp rninueid

"l jrurh a]J 'rolra.l;pueld er alfragord p lurlpa^aJ u aJuJ ptoJputltJ piulu.rdnso_Jlut eJuJ

uelo un nr uauntiras BJsBtnJlsuoJ s BS

rzr)ucNtl l)NJ NV]d tNnt l3ls . t .9r

. , ,e, ,1 . rerJeJ ,n lduaxaap

; _,-1.T.1tltl, :t _ Lry lolpu r aoreolBreuaD

:DurIrr Jaie;e:dns al.B aqJnc olaJuolJoJrpBUn BJ a8aJees aunticas glsuacy .e1eFa_

r aunrfcas p 1nue1d :1u5d lugs'aqrnr:re ale elare+el. r$ pleluozr:oalrricarbr6rleurelcnqpnop Snyqnpicundun plurzerd

3tlv3lldv 'z'9r

!s_ l/, 'l^) alaqrnr,er'olrarrp",.,r,

(t'*"r"t"]

-!p uBld er elfraro:d p Ipluozrro nue1d:e

-.j:-1qp,.purlrcpfeSe;dns leuoFol.ro tqnp

leluazaldej-sg.9Je;nFr; 1pe:nda J .elieit

-rp_ Bg eSe S19dec p .gldeerp alsi 19q-: zs tzqds)BaJBoJBJeueF5:eca;uo

BluluozrJooelse (rq rB .Iq re ) BaJBoleJauaFpleluoziroojuo:go alsa rnlnprorpurllc e (fq 9e

,uqoe ) ea:eo1er-eueD suasllelplac ug- oderSsuasun_rlu1 lepo r lBJr lJeAJpur lrJ d alese:1luJs aJlJapnopelar arnda^ lsalu uJ pJ aJrqasoapt'1.gy r'S9'ql al l inFlJ ulp a1a;nda r! 'a1e1uaza:d-a-r1u1salouexa ep [eJlsBFnoc . rJrJ]ueJUoJJeJr lJaAIJBInJJtJ Jpur lrJ Iop ad alESeJl atrrpuryrrerrle pnop areolrerrp,eqrnJ 1da:p pu;.te rSIeluozrJo olJaJrp eld nJ proJpur lrJ fatrerdnsrul;ap 1od as 'arer lrqre11-1od'aj ' r$ 3 a;uo1-JeJrp elaqJnJproJpurlrc eialerdns ea:e.rauaF

uI l lrnr lul . ,x u! pu;d eurpjo ep urur l rodepuJrlplr rS ,y ul.rd acarl arer ,(,F,j ,F;y''eareol-e:auaF,purnJlsuoJnlnlound r i ,y q1e",1:an

-pl lJelordurrLrrr lapleod as.eiele.rdns d ap

lcund rnun g )I FleuoFol:ourlcar-o;d lSuouncas EJ puJundnsar4 (6ar 6o ) r$ 1yc,

tr; aJluaJ

g'9t 'Frg

{\ !qJuJ alsa aunr}ces-opBqJnJxo nJ og } aJBJ.rrrn BoBC(E.St Fll)

,44 lpderefl lnue1.i



Fig. l5 l l



I i lU c: le r1. (td, ld) Jl i i )JSJJIUT Jl ) In l

" " ,o)(fc , t r j ola; ;urrrJ11rrzj ,l l r j y j

- l r ld( l IJJIcV ' tn lnproJpt rr l rJ ts aleolr lpJerJ n. r luad rode nlada. ras luJruBu

_:aJV

"{ ,J, {J

elBJaprsuoJ BaJEOIBJaUrenlrs ,b .b; rS (,d ,d)

1u1s lo lu:dns:J u lu lp ar lreslalur p (JoleqJnJ)aq. in trrer_alalrund (,b,q ,bq)

l$ ( ,d,u ide)rBJ_elJ1JUnd (,b,q ,bq)l$ ( ,d,u ,de)

jauJJ Bclnp InJi lutJrJ ezeauorJtosa:et: tnpJ InJnrre ld e qur EIBluozrJoBruJt l

6I '9I 'FIJ

: l qlp..]uozlJoriraro.rd 1u1a1u:edlseo;)I '>{ i )uJ el . r lu le t l tnp os (,r , r I ur :du, tu l ,J , I rS uru1l 1 cr JS lr i ]sv

.rnJ' elJrr?olBJerraFr a1a1e.redudld'rn1ir1i

J JlJJBoylJJuaFr.rd np. ls ar i tas la lurtund EJlJur lqo ;1rra.1( ,u,ru ,uur)el I. a1a1e.tedlaJeolBJJurFS ar lraro:dapI 1nue1d , Blenl ts ,L ,Ll pq;nJBaJEolj r i \B eJrrpulpt e ie ln :dnslS (AI.g l .F l l )

)'--- -P,;



iu t t r r " : lu l XVI

l FEIELERRIfiRE.VCUSSURTI tsIAIS-PASSif

tr l i l l i l , r l,_;RAFATA RRTERE_VOUSSURE

IIIr l,. LPRAFATAARRIERE-VOUSSURE.U-lridre-voussure

esteo suprafala tr imbd: r. r o dreaptl care se sprijina pe doui" ::ctoare ituate n douanlaneparalele

rr rnrr, dreapti perpendiculardpe planelemurlritlr .rectoare.Aceasti directoaredreaptl

- - r i ta uneor i axa suprafe{ei.O gene-i:ecare a suprafeleipoate fi ob{inutd

i - ::a puncteior de interseclie dintrer ". curbedirectoare;i i in plan arbitrar ,"r'- directoarea reaptd. Astfel, se aleger . . ' :prafefei r r idre-voussurefig. 16.1)

:e capat D (d, d') , iar ca directoare

Fig. l6. l

curbearcelede cerc (yr, yi ) i i (ys, yi), situatercspectiv

. in planeicdc front nu 9i fn- 'Lrn planarbi irar de caplt p ' dus pr in-ci;e:r i tr ds ca_pat 0 este intersectatde'cele r iou' I arce decerc,in puncte le 1, l ' ) ; i (1 , i ,1 . Se obf incaslrel ca generatoare suprafe{i:iarridre_vous_sure dreapta (ni, t ' t ' ; . Anaiog se pot r leter-nr ina al ie gencraioare, e cxernpiu12d,2,i ,1,(33, 3'3') etc. Suprafalasir imbd arridre-vous-sureacoperd eschirlereaoar pe por{iunea lin_tre gencratoarelcimi td l '7, s i S,5, . Intreplanul denive l F i ' ; i p lanulde c ipnt p, dcschi-derea.este.acoper i ta e o supraiaf i i r ig la t igcnera.ld, le carei generato:re'sc fr i j in l pedouadirectoare repte ver i icala in a, t l reapiade capat Q) gi-peo directoare urbd(arcul^clec€rc 1,srys). Cele doud directoare curbe al e

supt'afelei trimbe arridre-voussureot li defi-n i te pini la acelagi lan de nivel, astfel ncitintreagadeschidered f ie acoper it i i umai cusupraiafaarr idre-voussurefig. i6.2 ; i 16.3).

Fig. I6.2

289



062

r;:D-\-aJarJJBol,eleJBJdnsInrpnls.eJepJoJ

.:^l:[.,p]-oloqrod]qruo]nlB ir lin.rlsudr g

,: ?5-sBd-srBrqaiale:dns-1e.ie$.reolcunrirri:_lue8uel thueyj 'gssed-'srerqeiele.rd'ns-nc

ffircreIll loq e1 e f:gd gnopalal nc 1:odurugr:ssnorqe:)aJaJJpoluJ p arqJnru

"ptet u, i

.:,ulElygryro; $e lpdecap e1d'eaif c

=d eura.ep,jl = ,g ,!9) neredle_rJu.A-ip',il

_'a1e1:gdapugeu e5 ug ec urp .ir,rnd ,r1x:?Jep eldearp nJ ezealJas:a1uis areolnjr a lsacV cle (r! =,9 , !g) ,( ,g,Z,ZZ,)( , i ,1

:lldruaxe p er,raiefe.rdns-e1a;uo1e:JueF: alrund tolsaJe BaJrun u1.rd er ,rJnJJeO

?nop elar rS ipdBJ ap eueld etrsara r lurp -rLtwv ldr, rs +HuuJ ;J[). uBlo e]saJB OJJUIp

=1_y] "q g.talrund lfqo as q 19dec p:: ur:d lgducap au u1dpugcnq aq;nca.reo1

e. r ulpxrJ al arar od (aL ,at) IS (T I ,r1iil JolrJnJJeJruos laJlual luJs (ato 6co)

1S (l r 'jr) opun ,6,,\r - ynlnluaur8as1nro1-!ly ut:d Jel-tto2l:o nueld uJ psnp '(,p ;p )

Cilpduo ep

-

gldearp eoreol-ca:rp q9r

'i S

v.gI'F1i) gssed-srurqeie;e;dns 'pxi f e5 ebaleag'raieJBJdns xB rroelrnpllirlnuap alse plilea.rIpaJBolcaJrp'z_ec_saceg r$ .a_reoleaJrpJolrJnJJeJ-ru.asoleueld ad_p:elnclpuadrad 1'deajp edrs 'elolBJBd uBld Bnop_ J olBnlrs ,e1eFa

1:nc-rarrriles no p ed pu1fr.lds s oJEcgldearpo appJB.]auaPRqrilrls eizle:dns elsa gssbd-sryiq elril-eJdns JtspBSVa1eFernrrocruaspnop Fdle aloreolraJlpaqrnr pnopaloc pc aJrqesoep:nFu1snl 'aJnssnol-oJorJJu

-efe;erdnszc porir r6ulace

ui ple.rauaF1; eluod _orpJpqruJrl'spfeiut'dnso atrsa(qu1r1s lnfesed) gssud-s;u;quiuju.rdng

JSSYd-slvtsivJVUdnS'e'9r

9'9t '8rJ

g' gt '31.1



- ' -:ass6 ste mportant ti t pentru nei-: : : .srructorii i $i pentruaihitect i. n

'" -:a tuturor impuri lor eglsesc ume-,,,1 .ftple dedeschidericoper:iteu aceste

poduri. Plecind de la modul de generareaacestor uprafelestrimbe s-ar putea-generalizaacestenofiuni considerindsuprafefel6 tr imbegeneratede o dreaptd care se sprijind pe odirectoaredreaptdgi pe doud clirectoare urbeoarecare f ig. 16.6).

: - : . care- l i g isesc de asernenea pi icabi -, . in const rucf ia di fer i te lor t ipur i de



z6z

' lBusr ro la ioJerdnsusBIr uJ

,ri-rl s inlit: ltradJss laAILiap uBId +l B un

i Je s o r$ runca:d 6U azE"Iop JOISJaJS

-- ,nrJJS3ilo i l. IEJod art:putitr tart la e f

rJ c i r ' - )p iA ul snd e-s a. tot ' O ur luacl . ros

' : : is e11eo u]?l l lazaJda, r lsa 6'11 e:n.8t1

I ' l I 'BIC

'(,u 'e ) y alapund uI alarlual nr '(pnouap {Pul-nu u1) old:a1sa1 eelua:eclu llJnJnluoo tlcat

-o:d alaque IrJnlr f ,sJp S '( l 'L l 'dU) nrpul l l r

trt"rn'ad

plesi;r1'eerjpuilre racIIa.u p"rtdso

(;u,q,F,i ,a,$, i ,e ,Etrp-qfiEaprqu)at;$ ,o'o) pxe

r* ae n;laruzlp 3p lE3llral TBIncJIJnJpuIIirar c 'FrIJpuilIJ osila o eIJJsap Jluaf, aJPJ BgEls b'a'n fiz:aua8 e;lule.rdns lsa ;nulluedrag

--.-.clau1 'aunt}ras op ItnJ-IaJalsolu EJBos

-r)iruir;q Eqrnl alsa ,${ 13.{Iuap 1nuu1d

- iltJala utluacl;as u1 eauntiras 'p !6 q uI

. . .JnB elr luozt :o ar i ta lo:d uJ aJuJ_'1u,u'iJ aJ+aueIp op laAiu ap alaleJeo lJnlJeJ

-:ruotfras ui sO 1ig ui alortruerJ atralaJs' ,raiu?rD ap JolEnJa TnJJJJ Ednp lrunr]i' ,raiu?tp ap Jolunsa InrrJJ pdnp lrunrJ

;r Inil l l '1f, nJ UJaJS zBeuoIiJas IOAIUap

i--rrY '(,t 'r ) 1n1.lundnl:d snp ,Ftr IaAIt I:1d aig 'laAJu ep uetrclun nr ueurei|:ag

' ,p, '1 ,9 l? leJI lJaA I iJoIo ld EI ela l

- ,Lr IJnp, f r ln l tund uI Fl tnJlsuoc r; c luod, l

, : e luaBlruJ.oJl la

e1 ia luaBuulB,qi tsJ

i , . e l i ra lo:d ,p, I = ,R 'ElseoJe n3 _' ( ,3 'F)

- . i ur :d snp TH IaAIU ap InuPId uI ,?c-. I 'S eluaFr iel 'ad aur iqoas S85srar ap. 7:eoiugsep s elsEaJPnJluad 'ets nJl?lu:p 1n- ipur lrc d piusutl BarI la EI . , I 'J)-C u1 ',Q 'g eluaFuel IJIUJ ctil alSatn:1s.g '1u:1pangua.ledeIn.nnluof, 1 eluaFuel

'JolaJaJSie alPr;1ua;edeaiunlnluoJ z1 elua8ueialagJnJ

I -lr8:ptu alsa Ininull i isdJas iB IBf, I IJ;A? InJnluo]

'JoiaJsJS lB al?luoziJo eiusJ'- :t iJRJrllrJoJel elueFuel aiaq,{nJ +uIS aJBJ

jllL :' lfD ;zE.I ap a3IJlUs3UoJ IJIJJaJ qnOp

-. f-r :lLi r :"rrudu n.rn?Lro3resrlaoiB 'Jtra ,q 'q) g lnNl INlduss ' t ' l l

i l 'uo 'tS "tdlsrldn$V3etvq VNV0]03 'IRNNINAdU3S]VNV3qillvudns

lAX tniot tdp3



17,2.COLOANA B,AROCA

Coloanabarocb este de asemenca suprafa{5canal,oarecum semindtoareerpentinului, a-re este generatl de un cerc ce descrieo eliceci i indr ica, planul cercului i ind perpendicular

pe axa ci i indrului ( f ig. 17.3).Aceastd upra-fa fa -- dupd cu m o aratd Ei numele bstefrecvent utilizata in detaliile arhitecturii ba -roce.

r7.3. URUBUL[. GTLLES

$urubul St. Gilles. To t in clasa suprafelelorcanal care-sint suprafele strimbe nedesfd-gurabile, se mai poate aminti suprafafagene-ratd de un semicercal cdrui centru descrieoelice cilindricl ;i al cirui plan trece prin axacilindrului. Aceastd suprafatd este denumitdsurubul St. Gilles si esie de'stuide mult uti-l izatd in arhitecturd pentru acoperireaunorsclr i el icoidale i l indr ice (f ig. 17.4).

Fig. 17.2

Fig. 17.3

1/.4. INTERSECT|,ATNTRE SUPRAFATACANAL t o 5UPRAFATAtilNDRICA

Se considerdo suprafatd canal asemlnltoarecoloaneibarocecu-deosebiread estegeneratdde o el ipsd n locul cerculuidin exemplulde

Fig. 17.4

z it.)



r r : i Bnop olal aJlurp Br iJasJaturgn.rrs

:= 9_/J e:nFr; urp e;nda u1 .plepiorr ja: o JrJJSapeJe) tpptqte

,pJqui.rriu

jp

-::,11 ep FlppElspep pie.reuaF1s'aei rsm-=:dns.hop :dcoreql;r*i;; ;:;;i;;w _BppsB lsa IEUBrefeie.rdng.luaf3crunuaxa ui lJrap sralur rcap gl"ezadu){,"r : BXB c laniuep pidrJa '" t ;",iJi;=: ?ieJJue; elsa JBUeJefelerdn-s pr xrJ d

.rarnda- puJ,reuiJn6pur l l r e iu l :n$nnJ ElnJet- r l l r rsralur .op rolaiJund

. e p,rr1c;j j!:rJaC .g sedrnun olpzundsaroieudc

]VNYJ tl lJvsdl. lsYnoo SurNtc YtiftsdlLNt .9.1r

9 / I '8lc

i

-eidnspnopeJeJ Jlrllpar{restalurO rffia.JB lulnpJ alepund uriqo es 1a.,rru p ueldt$e1acerp Jolpzundsarocin"rn, nc asdrla e;gc-ar3 erjcas.lolur rq .Rzeqap rolCo.lrpInJJo,nr e;eFa rJnJJaJiuJs nrpurirJ uI aleJ Elseac-e ad olnurfqo elrunr iceg rasdr lae leprocr le91r1orer{rzoda:ecar; n.rluad IOAruap e;eue1dpuJzrirlnplurrn$n nr aurfqo es efe;e:dnsgnopaisaJeoJlurp er ices.lalul ,u,u,uru

er icerrpnc e1e1e;ed iaJeoleJauaF:e 16 aritaro.ldep

leluozrJo1nue1d J +BnlrsxrotezeJop InJJaJep]tulJap else f,r lqo Irupul i l l.G. t t .F l l )

,9,8'q B alse Ialru ep rasdriae eJerun" y .rn, ,nu,

9' l t 'F tc

) . ." \+\ \

I 8r ti ,

i \ \ \

++j(t , i /



tolul XVl l l

IrA COTATA

trTJNCTUt.DFEAPTA. IAI.IUI.

ll GENERALITATX.PUIi'ICTU!.. roieclia

"ste un sistem specialde proiecfie n'e po t rezolva cu ugurin{d problemele

-.pre ezolvare n sisternulbiortogonaltie Monge. Ea este utilizatl in special

rdmuneniulonstrucfilor ;i in topografie.:roiec{ i i lorcotateuLi l izeaza n singur

rc proieclie planul orizontal -, iarpilm-::t oarecaredin spa{iu este definit

i'mws: istem de reprezentareprin proiecfiatali a ;i prin cota sa dati numeric

: de luiigime fiind centimetrul, ffi€-m:.. fi e o lungime oarecaremn datd pe

Cota numericd a ounctului se inscrie:arantezd, ingd prbiec{ia orizontald a

- :r if ig .

B. l a) . Dacdpunctulestesituat

a@"e!t)

a(4) ^,8, L lu l

!(t)Jln0

deasupra planului orizontal, cota este pozi-tiv5, iar daci punctul este situat sub o[anulorizonlal, cota sa este negativl, de exemplu:a (2, 8), b (-3, 4) ( f ie. lB.lb) . Pentru ion-struc{ia rapidi a unei cote cunoscind aloareasa numerici sau reciproc pentru a evalua va -loareanumericda unei cofe definite geometricse construie;te pe epurd scara grafic6 a epureigi talonul. Scaragrafic[ se compunedin maimulte segmente galecu unitatea de lungime,plasatecap la cap pe aceeasidreapid ;i nu-merotate , l , 2, 3,.. . , de la stingaspredreap-ta. Talonul este un segmentegal cu unitateade lungime,plasat pe aceeagi reaptl ia siingapunctuiui0 ; i div izat in 10 pdr{ i egale,de 1adreapta spre stinga. El con{ine, agadar,sub-multipli i zecimali ai unitdfi i. Se numesccoterotunde acele cote care sint exorimate orin

nu,merentregi. Epura ob{ inuti fr in proiec} iacotata se numegteplan cotat. In general,pen-tru rezolvareadiferitelor probleme se obateaplica fie o metod[ aritmetic[ (algebricd), ieo rnetod[ grafici. Astfel, se pot evalua lungi-mile din epurd n numerecu-ajutorul scirii-Eisepo t combinacu cotelenumericeprin operaliiindicate de formule algebricecare- au iolufiaproblemei Di mpotr ivd, se poate lucra pr inintermediul scdi i i , numai cu cotele graf ce.

18.1.2.DREAPTA.DISTANTADII \TREDOUAPUNCTE.Agadar,un punct'A este eprezentatprin proiec{iasa cotati a (0 , G). O dreaptaABpo-ate i reprezentati prin proieclia sa'orizon-tald, pe care sint indicate-doud puncte, princ.oteleor.a (0, 6) ;i b (2 , 4) (fig. tS.2).Distinfadlntre cele doud puncte poate fi determinatd

n----o

Fig. lB.1 a

a(3,7)

foso , . "b(-2,3)

, i 't ,

I I ( ?PgFig. 18.1b

295



mi:Edal$aunu aS .( qV.gl

,gr;) elerdordett.: a1a1e:ed t_da:-pnop ir!"rd

-ilurzS:dar s;lyl :

pluedep ererg .(ri,.91 Frg)plued

IpruEaf, p IIUII rounE qietor diljJro:d?'f:.:8.1":1 _ep

BJursurJd a1e1o3'olll.: i epolanutrgiurza:d.,i ln*iJ-.,;;i;'J::Tll:! ,t-:rer eJrluaualair:d

ptnipl'il: rnlnuuIdarelueza:doUTnNV,Iag,' i .gf

-_:l:Lu9tt-.ro1oJrrfe_oro:drices:alur J

,,:i:{q os ar .iole}cundro1e1oco.lezrleue

Jlncsounial g 1od^ lua;nrr.uorloirierqj::,]::y u1 earepe.rF$ oluFa a131enrj1-iJIErpd Jrrlrcro:d e.alelurud yeida.lg

; i l_:j l i l [u.r ]Bpelsan1du.r'aiai1e iq .,"1

:.::rr-?yjB rtpe 'cie.S ,, .g ,Z' t blalor

962

r g.Bt BIc

c-Wtcrcs? , -e : z

qop

BS BSrcsqB lrd ieuru.ralop Ij EA 6 Elcc opr Jnlcund nlduaxe oC .qx r': p pug.ti gpunlor

Rlor ap lrund un aunu.ralap"d

pS'.Ot ;i lr g :

- p o)oJuoap 'g 'uJ tr-ga'l - 99't

: j1-- ,

i ' l l ',ti ' l"I(ce-stF;J)Ge9;fq '(n.o',)

":l^l":rnl1l-t:-rF spg p1e1ocerileruoi-A"uliiltr-BJaco lrJridrurslepe-iFo1e1dorpaJszrJrlll'ppunlor +or nBareralalcrinilo'erlcarojd'Sd

:::y: -n-^!yyn..ugtrdea:p upu;Fy'.cotdnat#

1::.y: t::!ury !a$arnpantu1

1alcuid pnop oracrolapr DluaratlpDl alnruoil.too1rricaioxfnlinT-srppur.ftpdtugurlqrias ajdatp iain'Ti1oarnTur

.qPclpB p : ! oIJ3s leod leru oS .gg ,ru .l :g'0dr

:u i :J - : l nes -_:dp,+lnzaJ,lnl

-E^ralll^l-llt: I RrBC '8 : p ?coJBoop 9,0 :

- o IJOpB' I . : 9 'q . t 'Z : I { IaJlsV aleluoz-rro rol :olr r fcerordefuelsrp r i ' . l "c j1ajoc'niuu

-aJIpar lurp 1n1rode.rr lpe ,+:d elued lep

lnJduraxaJiuJd alelruno nJ pJJIrp loJJoJEJolB.rcldol.p 1ealrund pnop nJlu-ar i ieruozr jo..l i l+:?i:j.9-:.r;u1pluelslp alda.rp au n1e ' p^ral-u! els€unu cg .r ,r1da.rp

ulued elirur iap'ur . ld

3l':.: jlj"l-l!"

rrnluozrroS ricjib;iincaieg

IJuloeeJp Jurad r

lnrqFunalsaaida:p raun::; l" l i t1y,l'rund.rn8ursn-:1ur.rdlruiyaiyloo oJBrrp.r ,r laldarq .g1or

1$eaacue ajlundP,::"t,:fi ^ . :l_1o1r." a1e1a.i nr1urd .a rn.r1s-11

l::-:_..1"r:d ,pjur.rn6nnr e1$ospFs u;uoz

:!j:.^ll":j,9ad 1e1d;:p ru:g .rarndee',r! r,]j,1:.o lll_ur.8 ap gr1;erFe:uosed alBrnsBu

'b'7, Eq !s g-,0: yu aelge:F lrlor q t i el j .r. l : jrt j :rp_uod.iadd puii-asu,1e1iiozr.ro1nu-elo rd fl\iqe IErrl_ro,tn1nua1di:aleqerulrd

9'8t '3rc

e ?'8t 'F Id

;:';c_aulfqo'n:1uau.r !irj #ug1n-ll'-lE' : : t -

" lg 'ut I Inle^ratrur1:cod s { i lualr i l; : ia UInJV gAZ,, l

- (gZ, I_ Z)X g, l : ' lu

q r '8t 'Fic

ii '81 ','Ji.l

, i*-- j--fT-b/, zqy__""_yb o

rT---- --x\22,

i t'"



r -e unui plarrpantagi intervalul inieiil " Fanta gi intervalul unui pian sint:-"-:ise. Un plan orizontal este definitiE -- " : lJE. u t l lJ l4 l l u l rru l r !@t loLE ur l l r l l L

fiurff* a, iar un plan vertical este definitrmrr,: sa orizontalS. Orizontalele unui@&!r:-:areint dreptele perpendiculareper* :antd. Sd se construiascf,scara det: :anta. 5a se constn'ulasca scara G€

a unui p laradet in i t pnln t re i puncte a( l ) ,ci , r i ig. B.5).Seconsider l edreapta cll e. carear ecota 1, decie(1).Dreaptaacll l e. care are cola I , oecl e(I/ . r j leapta ac

i lrnlt:*-orizontald I1 de cotd tr, iar para-

@ :: .d pr in punciul b la aceastd reaptail i ' r:rntala de cota 2. Scara de panta arur,m;3 fi orice dreaptd A perpendicularamsi: ir izontale Ei avind punctelede cote trinm*r:::iv e orizontalele {r gi FIu.Flanele

c :; scdr i le de panti paralele, nter-*rl:,e Ei gradlrile in acela;i sens.

e dPLlCATItr. o S[ se construiasci nver-r lungirni date.Fie x lungimeacXutail

rfig. 18.6). Aceastdexpresie nu este

, *ieoarece este de gradul inti i. Dacd

;" x : -!1 .uu h fi ind unitaiea de lu.n-I

o : h1,atunci h este mcclia propor-

1:r treungimea Ei ungimea lutat i x.t=: . in l l f imea unui t r iunghi c l reptungi i ic

&D. Se duceACIBA qi rezultdCD decix.

reila propor{ionald ntre segmentele et ietermind pe ipoienuzi. Deci se il,t

* I pe dreapta S, apoi AD : h uirC<:

2' SA se construiasc[ prin dreapta a (1) h (2)un plan de pant6 datb F. Se descrie cercul decentru a (1 ) gi a cirui i:azi est e tr : p (inversullu i p) (fig. 18.7). Prin b (2 ) se ciuce angentab (2 ) c (2 ) la acestcerc 9i se uiregtea (l ) cuc (2) prelungind grada!ia acesteidrepte. Pro-blema esteposibil l daci ab 77 a. xEi in general

exist i doudsoluti i , o soluJie aunici o solu{ ie.

3" SA se ducb intr-un plan F printr-un punctal acestuiplan o dreapti de pantX dat[ p. FieF scara de pantl a planulr-ri i a (5 ) un punctdin acestpian (iig. 18.8).Se dcscriecercul ct tcentrul a de razij.1 : p (inversul ui p). Se de-termind punctul de interseclieb dintre acestcerc si orizontala4 a pianului; ab este dreaptaclutatS. Protr lemaeste posibilS dacd ab)- acadicl riacdorizontala ntilnesie cercul.

"I8.2.FROELEMEE h{CIDEI.ITA

18.2.1.NTERSECTIAINTRE OUA [,A.]*E.Se presupune d cel e doul plane sini definitepi ir i scdi i le or de panti ( f ig. 18.9).Se oblir tdoud puncteale dreptei de iirtersectie ti i izinddoub piane crizontalede cote 2 gi 3, care sec-

{ioneazaplaneledate dupd drepteleorizontalece se int-ersecteazd a rindr-ll lor in punctelea (2 ) ;i b (3). Daci scdrile de pantd sint para'lele, dreapta de intersec{iea planelor este oorizontald m{? (fig. 18.10), care trece prinpunctul o de intersecfiea dreptelorce unescpuncte de aceeagi oi.i pe scirile de pantd.Evident, figurile formate de cele doud scdri

de pantd paraleledivizate in pdrfi egale sintomotetice.Dacd planelesint date prin pldcileplane ABC qi MNL se obfine intersec{ia EFdin figura lB.tOo utilizind ciie doul orizontale.

18.2.2.TNTERSECTTAINTRE O DREAPTA

$I UN PLAN. Fie ab dreaptagradatd Ei scara

Fig. lB.9ig. lB.7 Fig. 18.10

297



862

' I8t '8rc

t oUiO tl t Z I 0!0t

t z t tic-f-iG-il'T

;: 9lJ).4pluedop ?serprs p +rurJapnu-ud (g )O BraJSr eaunricasrserh;lsuoo

r|Yu:rJS NI VNV'rdANnrisss 96'Br

.i -o airundap eeqca:adBI ht:,H"|oTIJr. ? 'S pulg arFoloutoap irlJlue;

,rn1nc

l z;iEo-1oruotnFlg BJ nESppoleu; rseeace=trund uu d nus 51$arn.l1suo5s eaunrfces

:-:' rBW aunrfcesop reqJnJ1e lound un'd Inusld nr pS ra;zolu.rauaFrfras:a1ur-r r lnlJund 'o S nJ g1a1e:edg uud usnp

r:,?rrpFdnpa 1nue1d zuauorfcasS eaJeol

:- urrcl sn-pUoS TBIIIxnB1nue1dloJisv

; rnlnueld e elued ep tsJpJS i plale.ruil;s rnlnu_elde elued ep tsJpJS i g1a1e.rudLil[ S EldBaJpurrd ri lnlnuoc o1a:eo1e:auaF

NL-?ijrxne eueld acnp JoA os BlspaJenJtrued,ii",-trd p BS BJeJSap lrur]ep 1nue1d urrd

-:rrJB uJ auntioas ap BqJnJ EJSerntlsuoJ

' r , : {g 'BI 'Fg) pr ezer r t (6) or Inr}uorr - ozrJo 1nue1d ulp JJaJ un aJeol)aJip

8t 'B ; i ic

pq:nc 1da.rppug.r,e61)S inJrl^ nc InuoJ Frop-rsuoras .N03

NI yNvld ANnIICSS.r .?,.91

'aunricas p rnlnuoFilod1e,f , InJJIA_I acnpuof, :er ,(g)d, e uldea:ppdnpd InuBId nr Rzealresrrlut s p3:e 1aia1nuBId'aunricasep lnlnuoFrloda1 e ,q IS ,B -a1l.rn;t1,tplinza[ '(g) u (O) u eldua.rp dnp d lnueid ncEzealreslelur s

-paqea+oJrlueid

,1a;1sy ue1d

lsaJ_B J prrisrJduI a+ErllJoja runrleaserirar-o:d pcsernrlslror s pS '(al.gt .F1g)

6 gluedgp us erecs ur-ld ]tuuop ueld un ti (E )I (g ) a(g ) p (O) (O)q (6)u uursr:dBroprsuor S .nU61

-arrod Nn-drNIvNv'ld 3Nnrif,3s 8'6'8r

lnpund I q" eldea:p" ,"ol-r1"Xi(3r;:lr*

--reluraJeJ pr eldea:p olsa +Bp 1nue1d $ :er1-rxnp InuEIda-r1urp r{ras:e1u1a1da"rpe}saJpal ? g rS Z ppunlor r?lorap olalcundur:d esnp

',r { l *r { EJeJl iqJa r i ;e.r rp p elolB}uozuo

pllulJap a+so A 'r i?r lrxneueld un qe uldea;puud ernp aS (g 'g l 'FU)6 rnlnuelde giuedair

t ] 0 i BI '8 lc



ff it lnr::l iacercului de secfiune este elinsa tle,mrmub ;i .ed: Astfel, planul vertical iy dus;pmn'm.ntrul sferei perpendicular e planul dat,smr- :eazd sfera dupzi un cerc mare. care semwroil:=e un plan orizontal de cota b. Acest.lumnr,,are se rabate pesteconturul aoarent alMinsn*: lanul P dat este intersectad un a o

lii i i i i inre. pantd carese rabate dupi crp' (p'9, == ,{ Celedoud rabateri se inteisecteazan a'W t - care se intorc diir rabatere n a ;i b,lwnrr t: i tdf i le axei mici a el ipsei. Axa mare

-"-7--

mgltftll e : A'b'.

: - . ab (f ig.18.15). Pentru a intersetta

f lWJ'. INTERSECTIAINTREO DREAPTAfillf] SFERA. econsideri fera (a )gi dreapta

plan orizontal de cotd zero, iar inter.sec{iaacestor r ipcrboloiz iestc col i ica ce sc proiec-teaza upaun cercpe planul de simetr ie.Douapuncteale acestuicerc sint a ;i b, intersec{ii lecol ierelor .Al te doua puncte c gi d se obfinpr in plarrui ar izontal de coti l , care sec{ io-neazd iperbotroiz i iuni doi oaralel i .Punctelede intersecfiem gi n cdutatese obtin din in-tersecfiadrcptei D cu cercul care trecc nr incele pairu plncte a, b, c, d.

18.2.8. APLICATII. lo S[ se determine nter-secfia dirrtre doui plane definite prin scir i lelor de pantflF qi Q. Planeieorizontalede cote2 ;i 4 da u orizontalelece se intersecteazharindul lor in punctelem (2), p (4 ) puncte cedefinesc ntersbcJia dutat5' f ig."1S.l7) . Re-comandare: sd se incerce rezoivarea acesteiprobleme iq cazul in care punctele m ;i pnu sint accesibiien cadrul epurei.

2o SX se determinepunctul de intersecfiedintredleaptaa (1 ) b (3 ) gi un plan definit prin scarasa de pantfl P. Prin dreaptadatd se duce unpian auxi i iar Q, direc{ ia ac a or izontaleloracestui plan Q f i ind arbitrard (f ig. lB.tB).PlaneleP;i Q se ntersecteazd uphdieaptacd .S-au olositplanelede nivel I ; i -3. Inteisectiadreptelor d gi ab estepunctulm (2,4) cdutat.

dll l i l f iw;r:au sfera se va folosi ca plan auxiliar

ffi l i l lummu,'ertical du s prin dreaptb, care se ra-l[hmu

"loipe pianul brizonial

careare aceeasi

:l centrul sferei. I(abatereaclrepteieste"r i inutd unind punctul cr 4) car6rdmine

:- Dunciui 8 ' . astfel inc i t Bg ' : I -4- punctui p' , astfel incit FF' 6 - 4.rr::reacsrcului de sectiune n sfera inter-

uil*:-, rabatereadreptei in punctele m' 9il, :=:e se intorc din i-atraiere

inrn si n. Sja

r lL: ' : nrn' : I ,28 ;i nn' : 0,82, cieci unc-, , . intersecfie int rn (5,28) Ei n (S,lS).

] - INTERSECTIAINTREO DREAPTAtn i HIPERBOLOID.e considerihiperbo-:n - qenerat de dreapta G, care se rotegte: : - : l dreptei vert icale o ( f ig. i8.16). Fie

j i l : i : :reneaD o dreapt i gradata. Se vo r uti-

_: : : .const ruc{ i i1ece decurg din teorema, ' -:ch6. Se alegeo' arbitrar pe arizontala:- : i zero a planului care are dreapta Drl[:::ade pantd. Dreapta

Dgetrereazl

uni ' r lo id pr in rota!ie n jurul vert icaleio' .::i hiperboloizi au colierele in acela$i

Fig. 18. i5 Fig. 18.18

299

Fig. 18.16



r ' - :-rs,F{ . td ..(1}ue1odlq;a_urrJ i t r j i qe

. r i { l ) q, $ (a)e alapunci p u;nrap ;}5i)

00t

:Bl e?sa eld un ad.g;elntrpued:ad-ar isptrdea.rpo Br ptruorrrJns 6 u;esacouu1|iprie;;,.Ny"1q{iilft il <i V tlVTIl3tffi id ti{ .t tqi t/JdVgU AI

.I.t

.I t

iin[[-{.s[{f,tli Ir\xvrstc a wSl€otidc.8r

' J i lq lz l . \+utsJ[ ] l r lJ i l i l r r ]Bol . ) iBl r i tqrzt . \n l ]u, )d

'NiU/, . ]1, )luu r:id.r_rp eo:lfeciug .;nrr !

.c_lnlrund JE I ,C r_rialeqe_res o'luedap ,,r"rslP e Inl tund 'I c ior Jp iJ le luozl :o 1n:nI urS inu?idclB{ lBJ"1, ;r r r i r r l r . rs arurrq iueie:p, tapr il-uluJd 'clsru Jtsl i ; i ;nl j ; ;s ep 1nuoFr1o.1'.ul riri?Iztruazr.Jo_ElsssJ? lrrJtnp d

-aulfqclas 1.:g1-.y'g tn ln i ie ld . i lR3tcJnr c1; le:ud i r i3s ' , r1a1ci r rozr-xr

gt /S ui r ] l r lu ;d . ruur l . r ; ; Jn ln lhr ioFr lcr ii-; it t l ludu a.riJ uiirj Jisa g1.Jua:p uisuaru ul p

_tjjil ,::ltnti-ro,ii) lnireld i 3fogeieSarliirp

6,0 lirrrsrrpri pralda:p1e 1:und aliop1u 1af,npuoJ lr j lLrozno ,1uJ-[d;ue1d pncp a[. ]J

a- i : lurpai:) ras:a1urul i .mduareJ ) ut uzBslJas-Ja+{Jr s aiBtrrozrJo?ilop Gi}J .a1cla:prJtrsaJE1e g lniruni{ nl (g j 3 aliouri Js rcciy ,V S

"1,j,,nu i?+Bpr?_r8rnq.r"i1O\rS Eisl ed g raleluozirouoJiutjop- ":trua.ig pic:r Jp . orotBlirozr:o dn p3VS ls b alaue;d pzeauor l;asElsrrV .g

IBl-LIa^Joinuelci rrrtrxi.lc-Eld ct aE;1a s t.rJisv(e gi '!Jil) (' l 1n;-iu1d : (e)r (0):i (g)S Blel

EzBal.ias_iolrJI-r l tsinuelci rS JCic e|;i lnrieltl

iului sriudnr eplrueird ap pinpun_ri ilrza:di;." pg "ue1dgsa.iu ud . n;pae"llaiul i9rn1:ra3auunri;os earuniuilr16u;fearil.ldeurruj*tr3p

"s

pg

;:,,ndrgq.;sa;uu.d.perms,"rUrtl*,n*tffitt8 l 3 {0Jq (0) u (9 )g lm.rpau_iielraprsuor S or .

-1ar( l ' { ,4 'V) 1nue1d.ad "re ln; : i1 ;L i ;d" i : ' : t r.:,r :palSaruJ_lsuo;s r$ g ug ,g ri1a1r;etl

- :1rund ur:d arnp os aunul{ :rJ;:einrr lr

. : rar ira:1pea.rel jenj luad . fAA.Af.Ai j )_r r l i lorp snopeirr g lS V olj l .g"E"dgl l f f

r Yysinq4103uVtnSrGhjGdHsdt.8.81

'F c?:a sirriJBuil?iBJProp? J. I ' rqT p? I13q lau ur ,(1ornrap rnlni ielr l

: rn1i i1;und olalor eiue;agtp)A :"n.r?ols; oJaleqer p 1nr i1Funr"r1

(6)r rJ, . rr.Jlrniiap FlrrrrJap

6V+oJ p ,nldruaxa

, :: ] l {oZr.I01n:n[ ug ,1e1uozr-roueld Un od

. r t: ieru+sqer S (laSt

. i i t t )(y) r lnpuni l. .rnJiroJ ff i lS V e1a;cl, ;"rp_raprsuorg

: : , : t { i -X0c gM,[.ru[0 If]{HONfi '6 ' t 'BI

' r ' ;lnpund uj lBp lnueid pzuelrosralLu

.ielnrrDuadioct saur jop (U)e 16 (a). 'V f rr i alBopuJ3sansapolaloJ{r-lsua:-rr, ;nr8unl 'e u1ppulralc i 6-eC pi:ecd ;.g

*- 33 elrytzar l : I; t un r rt ,ry.I! _-=

: .ri3-rEoapue1dac i ra;clnlipriad;ad1n1u,r.,r ;uFaalsa e? pJ +u,\-rJsqop "roinalsg

: : lQ

r 'X.r p: l . elC .lninr iald rn1n1e,r :o1ur. : lJ E^.aic ia:p olsors 1n1urrr ,: iu i

V r j i; : : - : l1D'6u1a1e;ud31SOOlBjnps ri_l j i l iL1l)

._t . , ! B i l iu l l rozr :o urf cro: .1 . (O; gt ,3 i l ). l e_ prs tsJus u r"rd lrur3ap lnrield aC

':r;d;od o (l) e lnlaund riri i e-rnp'a s

19

'-iuJ1U0] suas '! it' 'r s ntpruEid a1 e rt ro;cla.r; i lr.rgpe_i8 l

: a,rsiJAUI JoliinI.I' , : tynueld e1e rt ra id; :p olo lu l ra lsr _

I rn lnuul r l e ciued ep BJBJS J plo l;1 ps rolda" iDp pi rT l r rozl , ioui i raro;d"__

o ;- i t , l i - i r.li it i

1 l l 3 i i ; ] r l

e. L f-4-+_!4

j" ,,,i j '| , "" ' i

!|,:',,r'rr

-- - j - , - t!.

| .' .L/ l/

:' t ,' / ' t ) "' i ,"r"t-..,+r.,,

i

q

--i+

/1

t



sLf t J_U

t00 | 2 S 4 5ft| ;g

-dj

Fig. 1e.22

, , r ianului (.4,E') perpendicuiard e

-...r: FX1 i Ftrg. u triunghiui dreptun-: r :e construiegte nversul lh al inter-

:g. Se ob{ine f : l . Direcf ia A este, : 'minat i pr in punctc le ( l) si h (2) .

' , . : ' r iara comundeste defini td de inter-

.-or doud plnne paralelec:u A si care--ci iv rrr in drentcic A si B. Pi imul" t"" '

.. ' determinat cle drepteie r\ gi a (2),

" -e vectorul ah este ecl-ripolent u hf..:3 plan este deterrninat de dreptele

: : , . l (1) undevectorulcl esteechipolent- - zontalele k qi dnde coti 1 ale acestor

-;ntelsecteaztan punctul n(l) al per-

.-, :rei comune q, gi cum ea estepara-, 1, estesuficientsd fie deiinitd cu incd

" ,,., n(2), unde vectorii mn 9i th sint

\PI-ICATII. 10 S[ se determine clis-:l : la punctul rn(5) traptranulF ciat prirei, de pantX. Proiec{ia perpendicularei

este paralelamc dusi prin m la F:.: . ;) . Planul vert ical V intersecteazi

, ia de cea mai mare pantl a(2) b(a)

2 c(2,4

- . { ' . , - -,- , , - ,

uat234Fig. 18.24

Fig. i3.25

carese abatepe p1anularizontal ecoti Z(bb'..:: 4-2 :2). Distan{a punctujrr i a plan estem' c' unde 2 -l - cc' : 3,7. Pentru- 111111'-c o- e

2" Si i se ducX prin pmnctul m(4) un plamperpen'dicular e dreaptaa (X) b (3). Scai-ade

panti a plan-Lrluiautzrt r,rsir rin rn estepara-leld cu ab (f ig. 18.24). nierr.alul du nrc esteirlr:eLsulntervaluluiab. Punctul C are coia B.Totodati s-a cleterminatperpendiculararn(4)c(2,4) dusl din m pe dreaptaab.

3o &i se deterrnineperpencliculara omuuX aclreptctrora13)b(a); c(3) dr4). Se gaseste na iinti i direcf a perpendiculareiomune fig.18.25).Astiel se dirce paralela d (4) t (B) la clreaptaa(3) b(a). Planul cd f este paralel cu amireledrepte. Crizantala de cotS

3a acestui plan

estecf iar dglcf esteo linie de cea rnai marepan'Lai Flanului r-rnrie g este ntervalul pla-nului . Perpendiculara usi i pr in d(4) la aicstplair are intervalul di dedus crl iriunghiLrldreptunghicghi a cirui inzlifime dh e,ste ni-tatea graf icd ar i este punciul de cot ir B a1perpcndi , :u iarc i . i recf ia pcrpenr i icu lareio-munr:este cli. In al doilea rind se gdse;tepo-zilia perpendicularei oinuneadicase va cons-tr'ui o paraleid a clicaresd ntersectezerepteleab, cd. Deci se duce prin fiecare din a-cestecirepte n plan paralelbu di . Se obl in planeleccX[ i abk unclebk este egal ;i paralel-cu di .Intersecfia acestor plane este perpendicularacornund care intersecteazhdreptele date inrn(2i,8)gi p(2,6) qi trece prin llS; irrtersecfiaoiizontaletror i

;iak de cotd 3.

4" S[ se deferinine unghiul r]intne drepteleconcurente (5) a(2),o(5) b(2).Se abateplanuldreptelorpe pianul orizcntal de cotd 2 in jurulorizontaleia(2) b(2) luatd ca axir de rabatere

mt

301



208

0t 'BI '8rc

66 8t ' '3 td

InNnV guvosv-r vugwn c,iel

YrvI03 vf.[.3]toHdJ3135€Wnf.8r

Inlrunciap lS b r$6 roleueJd qe ericas

1:ulylllnpalso olrasrq

1nuu14'.64

:fsy, (0S'818tJ) ,qusepruiB.rrdaFar;ug:n elsaln:1suoJs etretr-rnd.tqrun'nJluad:.-i:pnr?erfca.rrp c alaleredpi.,,rg ui,unl

]Ja]E] _tu1uoz1:onuz1d d dururcji inlhlqc-r B_plelrndSar:do.ri i rqunnrin,nriruo,:S^^11y n1qFunutrdnpu}ld un ap leuorf.__tltn (t)c (o)q 0)e 9)S 1n.rpeer1a1

ggq

_!n glOorqlrll?^reiurc leFa lse aznualodr1epr lnluaurFaser I, : It arxl l igyl nrpr'ei8p:j' tFjlng_rj!. nJn 8un:1 1n:iilrite.r inlnui thJB d) lnJplralur l tarn.r1suorg.g BlBluozri?.-irr!"_,y_T3gpzBesB:15 .qe

llu luapr^ERluedaipru siuBaJ pales lrrurla;truip reun

i"H-j-li*19{urrd

-purur-ra1a!.i ublii lracy

;ii:r-yl .!1seare,d :elnrrpuad:ad le1rl uh(g)q.lnlrundur:d acnpas lSaueldBnop olrr:,^!qlq_

g)u,aricas.ralui p'e1dea-ip

alia'spF glBq^BI_

f1l)_flueOep ro l a[rprs ur"rci irurlap9_ It d ;1aue1dlJ 'O l$ d eyauuldp prurollnlnJplp lu .rolf,eslqlnuu;daulurrelap sRSog

nlilJo'alse qFun nlsare-it? 61t;3;g-ruo3 9 releluozrro1n3n[ g a:aluqeib_rlurio

lEuturralap 1aleod(sh (a)u (9)r' (3)ua1ua.r:::g::. j?l.J gL 1 _fl !q;un .iia.e"1alr)'$r lqdunldarp rnlnrqFunrrl

lnrolnfe nr e$aspb

es lulrolul lsac^Vrn1nue1d

JB pu rnlnJelJalurl lsr:1rt_

ajsr Fe .1eua1ur a:g5 1e 4' lnurildeo f, s e:elnrrpuad:adal6arn:1suoia! :pluriO

:L:q-s rersur.rd1gu;gep uuld un rS g) q '16)e

ulderrp erlurp ;nrqFun eulilrelep ai'RS og'(a)r (S)oa1be.atrepolalda:p rnlnrqFunBaJBotrJasrgO olso (g)ornlnlcunde-arjtriqerer{,o (9)oalsoar i rzod p lnrqFunuf

. (ga.Si Ff l j

dzr lFrg 96'B 'FIJ

'$#_At

8a'8 'Flg

Ttor l t

" i,;id'j;r#4";1fi;b1i"luftb'rfiu; . alda:p.-.rolsare";hl i ;td

?S-tll (s)ql$ (r)q-(e)qulso' r$ac1d jpajeiaij'rsI lti.iuio'Siiuip,iYrrr.ru,ueJd gr$qe ad -re4uoi'uos'uj

Fs alelocBc IaJlsB zeape;F sg 1nue1j



3(8)

\ : -1rzi','.1".lq

"'i#v,

;e planul or izontal de proiecl ie, a: i a( l) b(0) c(3) d(2), sursa lumi- --- . * \ ' . ,

" \" , , - \u , ,u \- , / r rurJd ,uUit-

'- - : punctul S (B). Se construiesc ro -. ,-elorde lumind ce trec pr in vir fur i le

ms-.=iele a direcfia gradati D qi se audtur : orizontaieo(0) ;i y(0). PunctelenI ;iiun-'.cd mbrele v qi zc. Pentru umbra

* ,n observl ci separatricea ste poii-rornngca.elele abcgi bcnp sint in umbra.

Fig. 18.31

,]]] tJlBRA LA LUMINARE A UNI.JImU . Sd se construiascd mbra la lu-

,fry=,--**-Fig. 18.89

general n sludiul suprafe{elor opograficesereferd1a determinarea-uncteiorsi'tuite pe su -prafafd, a sccfiunilepiane n aceste upialele,la interseclia dintre

^ciondsuprafe{e bpogra-

f ice, la determinarea rofi lu lu ' iunei sufrateletopograficen lungul

uneicurbe, a cieteimi-

narca l ini i lor t le egaia panti ; i de cea mai

mare panta precumsi la construc{ ia latfor-meior or izontale,a druni ir i lor de aices curambleur i le; i debleur i ie .espective,tc.

i8 .5.2. APLICATtt . n epuradin l igura 18.32este reprezentatao secfiuneplani intr-o su _pralal.A topografica considerfnd intersec{iilecurbelor de nivel cu orizontalelecoresounzi-toare al e _p^lanuluievident de aceeagi'coti).In figura 18.33este eprezentatd seciiunecuun plqn vert ical numitd prof l transversal,dus pr in punctul de cotd maximi (v ir ful ma-me.lonului) n arhitecturdaceste pl icafi i auo.deosebit i inportanfi mai ales n siudiui pro-biemelor de insorire pentru amDiasarea

on-s.truc{ i i lor i a ora;eloi n zonecu profi l acci-dentat (mun!_i, i i , dealur i) . Se ob!in astfelzonele.de mbrd pe un terenondulat,var iat iaumbrei unei clidii i izolate,epura nsoririi uneiregiuni, epureale insor ir i i i t r iz i lor in pnnti

m -= proiecfie ( f ig. lB.3l) . Aceste pro-M!: : .ebuiesc ineinleles radate.De ex'em-"ffi i. divide in 8 - B :- 5 pdrf qi se pre-

:-i incd 3 plrfi rezultind y (0). Umbra=.te ba8.rb.

---:i gi se intersecteazd.u planul ori-

tuPRAFETEI"EOPOGRAFTCE

r In reprezentarechidistanla grafici e

: I 000,fiind in

,l GENERALITATI.Suprafefeleopogra-ruuLuprafefelee teren,nu au in generaltil geometricei sint reprezentatelalrnur:e de nivel, adicd prir secfiuni dbuteMr--'.1=-taerenuluicu plbneorizontaleechi-

de relal ia"

:u'

, u . f i ind echi-S

reald (adicd disianta reald dintre

illl]"i:ra desenului (de exemplu Iill l t it.000,etc). Curbele de irivel

:-,erite nu se intersecteazlcu excepfia- : care le apar ] in gi sint si tuate'pe.ert ical i . Problemele are se pun in

:-Enelor orizontale de secfiune) ar S"

303



fi n :tInroualxo

alds alsarJsaps 0olrpEjD

.ur. l

f : .1!_ ,l : 91so Rs nle,Ara+urg plor rp ?lEllrozrro Jlsr::ir ad prelnrlpuodradalso U pluud ap es eirzrg .pur

r i: : 1nuu1d. .n1duraxe;ds,p:oplsuoreg .rnlnuaialrL -, l ruslu. i l luudxd dJus 'gJdplsuoJ es.InJnuSla]

"n--?l.dnc rA a1 ca.r1u1'1li ioas:o1urcscosgFs ps r$

'l l{T:-?d^rSEeaJEp aleualduf , ,J p ,ptu ul:d eenpas es-: 'gFoluue raruuru --r1ur:d-urlqosnS1qri.rr:p- zJ .lneJqus5

€,roqe;1u1n:;udn r{ J t iu , :crr i r

?0r

'J0JrJnuinJpolrJnosBJlEaJBurxoJdBJluad IEJouaF r JsoAJas1Sarfe.l-eduor,op InuBId n3 rriFun rCBIacBBJ leq.rnJolo?rund +Eo}IiI alalua8uBl vl Tsare l .plupd

riuaare rol ol?lrund aieci uJ pqlB gs lJruilaJlscFJrJErFodolie3u-rdns ad a+BSBr+lllulllujs FIEFa trued p alllull ualsarB p orrqasoat!ards 'olrirodsal

lolru ap aleqJnJa.rluJpluudaJeu rBru EaJ ap arurl o elJJ JSOUTJaple^luop Joioqrnsaluo;uB} rs oltund eJSaf,BI alaJl-ual nJ asIJJSOp lrJnJJOJ f,aJBoap..090J0fl0V

is^ru ep JolsqJnJ B EIBUoFoIJoarJolJerBJtrglBssrl 31satg'gl Brnda ad +o I 'rarnda Brers nrqrBosPru s lbrd 16

W rd rB r la^lu ap JoleqrnJ

rololor eiuo.ralrp 'rrsa apun P* :,' [41'd

ur iu a; plez!ir ln II aluod rW rnlnpund lal-of,udJBulul. ' r ; :pr ;ut i l la1 l . :Ve1iqe:nie.1saprya+Bod rlnlr+sqns p eieletdns ElsBocEJoaun'l3Aru ap eJaqJnc rp EU nBI BiEruJou uJulrx-yt gzeaseldalles ar?c gldea_lpo ep gie-raua8o+sa ri IoAru ap aqrnl Bnop e;1u1 gsurrdncpqurlrls p1e131tle;u;dnso 1e:auaFgelsaarinl-rlsqnsap eielatdns pc ar1$oS .alBp alaleundulJd JJll_ oi_BJ rintrrlsqnsap JolaJeoluJaueFalrrlroro"rcllclegap puirtraldatp a+sare 08?

I$0/"? oArrJ p aq"rnJ nop alal Bi aieiuJouArlBrrr-1xo"rdugt6 a1a1.tundnp cs t /? EqtnJ alsrunr e6u (tg'€)t '3r3)aiep la^tu op oqrnJ gnopaJlirl a+BnlrsIsAru op Jolsq_rnJ aJuuruJalepnJilrad 'o+Bp aqrnr inFlrnl ui arr;e:Fodo1 afa;

-u.idns1n1r3c.rdurfqo as nJpurir] lsaeepug:n6-rJsafl '3 olsa oJeolf,eJip qJnJ rnJEJB IEJII-ra^ Inrpurlrl r$ porSu;Fodo1{e;e:dns aJlurparlcas:a1ul p EgJnJalsa 3 aJeta_ruoqJnJ alrnInFun-tr g errlu-r8odo1 la3e:dns raiin Inlr1ord'e1;ectrepau eie 16srqcug ulFa: ug atrin.rlsuoc

ir l Pnop urp olEru.roJluJs rJnznlul alsacv 'Jnuolrr i. alo at luJ rolrJnznlelaJrrf tasrelur ldurrsa1:eo;rn - : :qo 15'q Inlnlq8unear?olf , rsrqd alsod q, loln :: tnrq8un BarpolJasrq dnp qzratrcaro:ds ,u.ru'16ti :-:ozlJo ur:d asnp 'oJ?urlJuJ 6eeaaeep .rclarieiclI ;ilJasiatrur et lBJJeIraJ ep ;osn rzrrr atrsa BO

ue no pundsaJoJ lsr a_lrrnznlr lnc 4 rnlnrrnydxB nr punosaJoJ lsJ a^JrJnznlBle 4 rnlnunydl i r ii I ur aplfcas.ralursg 8e n: iuad 1a;-rteJireugL ;-?od.as 'aue1d no p JoJsJee fr r uriras:o1ur ur }'!

'DIS d JoJJUeld l9 B tS z aloJ op JololEluozrto

'L -. ; luI ep olalcund puln'I 'prqe tn 1 1n:or. ia1xaJd s, . ; : i eor?ppJ; S ruJ I alsJ nF s JnJuAJJlLrr :g loJiltrr_-lzrlc alsa aJEJ qe ad e.relnrrpuatf. iedis a gr!:) Es?rBrS qe yl:d aca;1 :er inui; ld e:aprsrrbr gffi---rl lE 4 1nue1d $ a1a a:lurp alufras:a1ili prseesii w i rs og t BI alpurlJugeueld uq ,qE ,utu e1a1da:pr fi:.p as es arnqorl .trn3lqec 00!:

I prBss3l ]ntFJ rJfir:I;sao Jnllau alsa aujrtsunJop ualBlrufl .JernlBu

SWUOJMd(t t'I3nur$No39'sr

i t; Bt 'Fl : l

9t B '8rc

6it0fi



r i :estulplangl a planululp este reaptamS.r.r.-rd unctul m cu punctul de inters'ectie:+ cecoti 4 alecelor oud lane.O constrircfiene:gurati)a permis a sl objinEt.

-i;i;;:" i dd -al e taluzurilor ntre ele au Jostbb{inutet'sectoarele unghiurilor c Ai d. Atunci 'inter_r :erenului.qia_taluzuluicorespunzdtorui cd' r _:renulul$t a tatuzului corespunzdtorui cd

hs-r---:atd. aluzul de rambleu'al platformeir '_! : ,unghiur i md8, nc1 Ei un patrul 'ater dyg.

' D€ ACCES.Rampa de acces 'e ntinde de'la.r,u--: ; :rulnatural. Drepteleee,, ff , perpendicu_u : : i : tu l natural . Dreptc leee" f f , , perpendicu.rc . . :n i teazi ISrgimea ampei. Scaracie pantrr iu-._l rampei esle paraleld crr acestedicpte.t t tuL.:-: este 2 cm. Urma sa pe teren este f ,e,,t- Lir. d punctele de intersecJi'e le orizonialel,oi{ 5 al e celor doud plane. Rdminesd se cons--.

- : l l rampei,adic i si se ducd pr in ee, si f f ,,1" :nt i 0,75 gi si se gdseascdr imeleor 'e,e.

me : ;i intersec{ i i leor ee, fq cu taluzul cdvg.u -t-- i Drin ff 'r rn nlan de nanth o 7E c-o r lac^.i" r -_i pr in t f '_un plan de pantd0,7b s_ adescr is:: .r:L:] trul I de .raza :0,75 sa u I,83 cm si s_ a=:r prin uncrulde oti li.i;r"rlr'il"li,i;3

Ir c,. , _ot i5. a planului ciutat gi int i lnegte

l i lMu= coiS 5 a planului terenului nir_un pur lc tmr * - : !ntersecf ie i int re cele doul plane. Li n i l tr'lt l r:s: obtinut prin intersec{ia orizontalelor clel l*::::a iare urie;te cesie oul pun"i.-Oa rr uh r*'-: ien.Aceastdrm d ntilnegt'" f il punct .rrirll :elor doud taluzuri estd pt.' S. '

"ftl,i.

urtr ' -i n taluzuri le f f 'co ale ranrnei O.o. i . . i ' iorn taluzur i le ft '9 ale rantpei . Oper ind de: . rmdnI toare, se obt ine celdlal t t i luz ee,e.

l9l : t ,5 :

t : t .Rampa e accesrebuie i p lece in

t9f gi s. a ibd o panti de t/4. _Orizontala aparf ne plat-formei. artea uperioaris.dh -ii?iril ;r-iii; A;61.,;,geoareceerenul , 6...9, 0 este iai ridicat decii cd .Partea.atigha f i in rambi;r,;;";;;;.;; i l I"8, z, l, 0

:: l,",trq.pJatformi.ampa e acces

apleca

iin't. iunulrpa lnleoarecarey, care a rebui d ie determinati(9i, a,atinge inia ef de cota-ai.-bum-tolt i" iurrrrrit"uc.Dreulut

.au aqqgalinclinare : l gi toate ambleurileau,-aceeaglanti 213, rezultd, d fefele aluzurilor el,rtll::.:

, cit_e,d.unqrepte_cam, bis'ectoareinghiului

,'#,i" {, ;,u?''fl?l.",j, ,xu,x111.,1i:3:;tabileascd.direct cdrile. e pinte rirt iu. 'f" ' a.Ui"r,

i;i::' :*i,'?i*ru' x,#,;,ifii"';Atela!cu ni.- pentru clebleu,panta lll, se ia BC ffii- pent ru ambleu,panta2lB,se a BD: lnS,

- pentru ampd,panta l4 , se ia BE : 4 A-8.LungimileBC , BD , BE sint modulele au intervalele

:: :: _lr.l ipj{:l:,.er. se ors a i . b;tG"i:' t;.;i,i;:g

esreo^onzontaldde cotd 4.

pentrua avea un puhct

lj,r"",tr,10lj.-:I.Tp.t,l, e a ci : 6BC. ;;c; o para-rerzr J la.cg. punctul j apart ine erenului, deoarece st el: ":ir_91111,! ri apirtinea.n....n.u'ieiJi?ebleului

[#;i,r^;l?"";,#"li.lifilii,rl.,"?1f1?.'til._.,:].'.i9^{ = leC dd f unctul ra coia-C. Su"onjin"pun.t.t"(8) g) (6) ii .(5)-; n Jineseunescaceste uncte doud cite

:iiift"::i:,?],;1i:,,,i11:.?ffi,i,,:ilii,l;,fj :niygl..Pul cind terenul st eplan, el admiteoiizontaleechidjstante.ntersec{ia oluiui prin planul debleuluisaual rambleuJui_estearurptip"iri iuJure

"siuirt i. iunti i.^i.:.,:rXort"a, oua. uncie,gi traseele e simplif ici lr reDure.saedeterminen singur unct , eexcmplu,

iifi i'bis:i#LTx?gfi;i'j,;:t[ffi,fi'..,#iliI ra cora u, se ducehl n gi pe urmi se-unesc si n. Linia

gmnh limiteazd debleLil.Rambieut.

S. " pio.t"a.rra ruIel penlru rambleu. Asifel se ia ar : S'BO

si rezullAs la,cota l.

-P eurmd se duce ,s pine tu-nG.ionr., uo .

re oelerm_lnasemdndtor p. Dreaptaop ar I imita ram-Dleulcaca n-ar_f i rampa. Rampade acces.pentru tra-sarea rmltelordrumului de acces epoate ua eu : B BEgi se duce uv paraletdcu ef . oiizoni; i; i . ' ; ; i i un nu rca cola, oecrv aparf ine erenului$i rampei. Este acelasilucru pentru punclul t, unde orizontalele f, hp, de cotd4, . se tntersecteazd.Deci tv x este intersect i i soluluipr in

. planul rampei. Segmentul , t i f . . t" '*v . EstesuJlclent a se uneascdx cu q gi y cu w, Taiuzul areca limitd linia frinti hoqxywpg.

3. Platlormi orizontald. Sd se construiascd platformapdtrat i ABCD pland gi orizontald agezate-fe'un teren

ff 'fl' t , xlil"olf;Jjil,?; i;,gTt'f,,.l;iil:rambleului u panta :1,6. Se prbcedeazd"u in "*"m_E'f,"?',',i'f.'#,'&(TSi,li;ll],, if i'fo,Xi,fd:b eu.

A

f- -t8 c E

rtig

m,,i orizontali. Sd se coastruiascdo platformd:t -. :rd^cu_!am-pa e,e, lces e un plari inciin;t; - 2, 3,. .10 ( f is . I8.36) oi iznnfaic lpntorrr r t ' i- : - 2. ,J. . .10 f ie. I8.36)oi i rontn ietu i ; ; ; i ; i

. ,nrr- qrepicote espectivumerele, Z; 8.. . t0.t tu : i dreptunghiul_'abcdst eproiecii i '

" ; i ; ; ; -m : .at formeitabi l i teacota . DeblbulrebuieilmL:r Ia 45'; panta rambleulLrirebuiesi l ie

305



6e BI '.alc

0t

il

:: l luelsuoJloclerun-Jlu,",runrr,lltir;

.1r:?ralsaJp poJpcrpldu:e ppueuoJal oS :arln4pu1

88'Bl 'Ftd

908

;:X',1rl'1"J,"d',1J;,10."J,3q,1."il!:i .3ji]:?l1t

Jreriliii:n,1 '.in"ip'.",,i13',i$ 33Jfi,1""5t33

,

I

9

Jsndoud wt180ud1.8r

JnuJrolnJ rnJnaJqueJoJrul l lu lap urur l n: luar ll:Jll l ly.1cap

ullqo94 .

., Fu1o aijjrj,orh os'ni'purrn d

^g-It^^ll "Jerurl ad rSg uq.rnc 1elria8uel O u f6 fru

3l?::__!gt;u"IBr. s us uarjr;ns ls o ep ,inlnuj:a1e'r$ll. l i l l t" l :

piued ep Erurtaieqer'as,F'ub:ixa Jnirundn: , j lqo^:nr luod 3y efuelsrp le lpur i r lt { piepo ezeal_1u1J,y

' !n lnznJel1e1epdnq . ruI uip purialrp lor

l_r_-jg', J ', v alalcund al ee( .1na1qurb$qldib

"ir"ezlr(tute.EIU-lJne s lnlnalqap cele': ip e-rur1 rarijas-.te_lu1

,au1|redu;cei'r:or p.inlound 6 iuaduefIrqrsuas11t._! I . t_l-. ly]gd6 q.rncJ .ene pgt Florep alaieieOt:Jll l^ ^1i1

n, f ua:o1i rnlnrlqrp af ;e.rdns'urfedu e.rrir

_q :^t -. l l !",1

pnop iJ I eleluoztro j6aulglugi1 plocepyJ.T?__rclunlor,lor r . ' .9 ,c .V alalouiid er'as e1or

;!::y.,f 'ff-,"+?11S.''l;l'"ig,"liill'hl',T,freoe rllnalqep.alu;e:dnsrg r ,psdrlaelseaoul alaye,reci

oqrnJ np es rS esdrla J oJBruJou'odia,,r,rpzbase:1g

.-._.._-J6!-gt_-F11)nlnuarel le Io^rurp aqrnrnp nn ,

ll l ly"Lq -ole-leluozrrop arras IS0l dlor'e1,g,VBV

::911._t_r_gslzpluedap nolqruer ! uile rr 171'qjibi"ei,

: . . ,1_q^"! .yEls aelrado :BlEpBloJap .fr1lct1f ipieluuzrrc

pluroJluld Brselnrlsuol s pS .fcrldna'pruio11e14g

-^"----_ - q/z IninalqlusrYl, l l l_t_iltrJqep .s/za+sa119-rlar

up d : rorndo1e1orr:d plair ur'd1ia rf zodsr6J'rra)luasun nc leunural u0l x * ri jp rqbunldjr!

i l . : t1t 9El9l-9p, nrallr?dsarr?ap es edlueinr EurroJ-lPloo '8lt plxBdap '+eurlJUlrrr] un od qtatuazi.rdaralsagggJ BrnFrJnp a:ndau1 .pleluozlJoprurollEld,



\\

il\\\,,#Yl21 26 ?7 6



u ;11:n$1:adocyol rJoJrpalolru BI nBS lal ruilf i; :? BI- ezeolJasJolur as e1t:n6r:edoce a-tec

ul: '-:zrrldruoJ reru ourroJ n) lrnuild uI RJaJaJ

ril-ui: tJ BalaJEesndruor r:nir:adoce ul:d- pilgFel,ri; i. 'oSlrdriloc 6 elduls-:adn;F l.reLripnop u1

'i l rl i :adof,B EsrJrsBIJ1od es laJlsv .atapa,rep'; i;nr':-.] ]runue ulp rzrrrnu a.le'rrgisepfiseaee

808

plEur lJUj- rqJnul 1r. pr ,1qo?tuuo3 .ajBur lJ-rrgaucld rar] +Irap Inur rBiuara-r1- locl

lnpiS

l l . l "oory lB Jrt^ un-: iurrd_rSrnlnSuadore

1uIJJAols;unlr as JJeJ ,1cundrieJece J eluaJnJ-uof, rJ iod rnlnir"radoce1e rqcnrue11nur elg'-ro1aue1dlaruJn c e1a1u:edJBABo rd gleluoz-lJo pruuoJ o oJSa. rfcas;e1ur p JoJ Brqcnu'alr lered luJSb rS 4 aieurrnBJeC .aleur lruJ

aueld ;olsaru ai p O ISd aru.rn nop alaea;1u1EATiBIoJtl tzod ap ai icun; 1u1s jer ,r rqlnu

ap IrnlJJ 0l lnru rBru ecinpepas:a lur 1od as--+lilasrer n-p.*s-,L_e_qg_-luuipul aueld elsae-V 'rluus_leA us ede JsarrInuas oJBc Ie7u,oz

-r .ro nireld rp F|BJeleur lou;aueid e11nrureru

lol El lrJrrociruolrr ne e1l:n*uadorz,leraua8u. l 'Jla ll l lu,ur lJ .rJrrirrlJ ,rcr;er8oa8rJolcBJ!Jillu-ai), lulcall aJ aluorualaa:uo1i1a.,lugBI np s(p1uedrc6) {ueisiza:ap In}alaqrs i1 ,nldriraxa

ap.'rJaJaJ s-s,oiBJ rnlnSrraCote axaldruor

ralicn;1suore:dnse Elsisur EA as nNJ .aleloJraulauioaF B nz s oleuo8-o1.rolqnp-a, ridi;o

-sap rarr leruo:F er iucr lduer .auu1dafaghc;o1rrn$l:ador-uarfros;a+urpJolrrqcnueejeurrx-Jalrp urrads g e1pn1s ,r es ,iol ide]

ls;Jp ul' rolaueJrnq1u S op:nqzeqFflnrolnlunt,nadpine s rold ,u1p elruanold rolade ea;aF:nts esua;elcaro;d r-ida-tnFrse SaJtslB c ainqa;1 $'cruralnd. nlyIA nes efr$:e ,upudgz ereblciigJs, runt '11-ladualur p erfrn:1suor lercadsu!elsoJal InsrJocloJyf,r lelsa rS cluqal urpJo eprrnlor ollraJlp prseauyldopul s arnqar] Ia alei- l ler glsaareu1 ri lr lpplJ ralrn B gluauodurojei- red o elso ln6r:adocy

.II j INIJAG ' t . I .6 l

' r r fe,, le1a-u;l$ ueld ur uel lnurs surrd, elJ ps Sr:edocenun Inipnls uc 1i1naisa

| : lsaJBnJluad .epeie; allniu reu uJ alJl i t r I o-Jlul ar ; ' 'c1a olBJnleIB Jru aulBoJ

:ii1-rg.tiure'oo ! trir ii,itrl;';r;;;;,, I 'ar lplalo ug azud:nsc11nur :raciz1od-i

lnleJu1 'piued 6eaare

e a1eur1Ju1iaut ?JBpBUnBoploluI l lq isod purr l ar ireslal-: r JolrrrlJnruBaJeurruJalopue1dug a:r:ed

I ep ar lnlos o Rlslxa,rer icn;1iuoc-

1nue1d, l :e leuoFrJodn1uoc_arr :ocr1ce_r4' .6r :dd

:u n erie,taleelsranrrd l BeeJ 1 sele reui*j:Dap

Io J un nB IJIlolsa rrrolrud .ATIIi

",rr.rSrn'rnsruadocvrnNv"la i:6r

E ralur ap BrqJnru o0glep e:eur re u rq8un

;t : alBUrlJUgolauelde1u6 lSd alorurnFrrln6uadooeie rinlrgi pnoi,"p

pllur8rp?u rIYillYUlNle 'r'6r

tunsturdo)vxl) , : , lnloldDS

r, B" \ es BzBauIJnaJ alel uJ .Un$r:odore

Jil l: : r? e- ElJoJoJ aJBcrJrsEIJ il lctJtp olJ?oJ- -J

li ; ilrodoJplnun elicn:?suoJ I iir.,rialur rec

*"!.jr{'olliyrisypa':;il6;;;;;; ;;,:? r,ariffnrunsruadof,vvsuvsrJrsvr'c'e't'or



- -lrc

in patru versanfi, n do i versanli cuin doi versanli cu tegituri, in patru

mn:i ;i doud pante, intr-un singur^versairtW:"ata),n formd de pavi l ion etc . In u i t i -

:-:p au cdpitat o mare raspindire acope-rii: suspendate, lcdtuiie dintr-un sisiem

rmr-::ri,dintr-un elementde rezemare inel,

ltTr au din elementele ropriu-zise le aco-rs@Lni,are formeazd placa curbd subtirehmtrnarmat. In general,acoperi;urilesus-

:: pot f i folosite la hale industr iaie,:;fi i sportive stadioane coperite, dli denatinoareacoperite, bazine de inot aco-. la co nstrucfii agrozootehniceclddir i le

:s:urilor pentru animale, depoziiede zar-. ;oproane), a cl idir i le social-culturale: ; pavi l ioane e expozi l ie, i l i de specta-

- : le acoper ite) , aclddir i lecu destinal ie,: , acoperiEuri entru rezervoare e mare:, aLUPtrrrJUrr PtrrrLr

i :ate etc. De asemeneae bucurd n ulti-:::rp de o largd rdspindire acoperigurile;urbe subfiri, formate din suprafe{ede

r i :- io clr . l r rhlX crrrhlr i ci ntr qimnl i nttrhtl -nii:;iecu dubld curburdgi cu simpl5 curbu-ulL- uprafetele e rota{ie cu axd verticallrnzontali ;i din suprafefeconoizi (a se

ult ima parte a capitolului Conoizigii.t idul hiperbolic).

DETERMINAREAUCHIILOREilNTERSECTTELE ACOPERI$URILORCUFETE LANE

L:, METODA LANELORENIVEL.VER-

r iEului. Paralelele r izontale use a conturulacoperi;ului prin acest punct de interseciieconduc a acoperirea ne i forme poligonalecuo iaturd mai- pu{ in decit pol igonul ni{ ial .Qa{ionamentulse repeti analog pentru nouaformdpoligonald,pind cind se reduceproblema1a acoperirea nu i triunghi, deci la determina-rea punctului de intersec{ie bisectoarelorn-

terioare ale triunghiului. Din toate construc-{ii le efectuatese vor reiine numai rnuchiileefective, inldturindu'se porliunile neefective.Se vor nota cu cifre romaneurmele orizontaleale planelor nclinate ale versanfilor, cu cifrearabe restele, oamele i dol i i le, cu l i tere marivirfurile acoperiEului,ar cu litere mici puncteintermediare pe muchiile de interseclie. Seconsiderdexemplul din f gura l9.l . Se tra-seazi bisectoarele nterioare qi se observdcdbisectoarele ldturate I si 2 dau la intersec{ialo r punctul (virful) A de cotdminimi. Paralelelela ionturul acoperigului use prin acestprlnct

A reduc orma'de coper it la ' tr iunghiul-AmC

silr*iproblemese va tine seama de faptulirrnuri:r.i anume ci orice formd poligonaldpiria:l oate fi acoperitd lrd sd se recurge am .e. dacd seulilizeazdnumai ,,pante gale".

DE PANTE EGALE. Pentru rezolvarea

ftr:st caz, constructiile sint uqurate decd muchi a de intersec {iea celor doua

de pantd egald se proiecteazd rizontal[ -nise-ctoareainterioard

a unghiului for-:e cele doud urme orizontale P gi Q aleior. Astfel, prima operafie care trebuie

este ducerea uturor bisectoarelor nte-* ale unghiurilor formate de urmele ori-i: al e versan{ilor. Se refine punctul de

]:tie de cotd minimd a doud bisectoare:te, deci punctul de intersecl ie areesteapropiatde conturulexterioral acope-

309

Fis . e . i I



0re

/ '6 t 8tg

nrluad InJaqJa.$ lnseduoc 1natrezaaMnesgs r$ lroder r$e1ace; rnlnuri ld'alrunisuarurpatrsolnc .alrJgru0lJ FS a1a:nda c RpuBruoc-ar0salduaxa olsocBII lpnls nrluod ll.6l_

0i '6l*6'6t-8'6t aJr:nFglS z'ot-s.et-9.6talrrnFl; ' t '61-g'61e11:nF1;'ro lerioi puJlal-Joc pel 0s unJ pd.nprn1nue1d1a euoFrlodrntruor $u1oru.rluad ;eor:'a1ur'rpiloS rJoeunecnporlurol aselduaxa +sereI .g.I!oa gI-NVd oTINVSUaAcrunsruaioct' .8.6r

runstuldof,v0 dy^]cztuUUtJtot.6

.' rnln+LrBsJeAB alBluozrJoalfrar

-o:d zlele:dns Slnrq8un a1ua'u-rbyenope11e1-alac puJcsounJ,rnlnluBSJaArJalBqe"rfegerd-ns lJarlp ornpapaleod es ariele; elseaceurq'lgluozrro

.1nuu1dnJ luesra.\ ap 1eu:og intj-nrqFun nsnursoJ r lnlnluusra^rrraleqBjeiuj-e:dnspt I tnur.ui u1q9_'a-sn nlueiie,t v'e reluozI-ro rarlraro:d efelerdng .uogoSogqau rJplu

BSBlprplapu lnuriqo -e-sS uqSgq irilnlues.la.r

e luluozuo 1nue1d d a.raleqeJ-1'er i lca1e_s6'6y e;n8rgurp etnda rr1 :e.r 'eolrJc,tu; 'ep

lalel-BJonsBo.rpJnspu rluad rcap ,roplupsJanal eIrulJpru $ aru:o;JololpJBAappaJeunuJalapnJ l-uao BJBSaIJUlsJ .rolunSl:adoceale:n$e;saq'uolrunsruad0f,vvadvunsyJsiro6-(,'r

Flinzarrso ,g 1n1,,npjiln3,";HfL'j.lilrrqdunloaJp

InzadBrll rS rqu

crq8unlda.rplngUfunt, :1! lndarurBl-applBzr^rp 1sa lep

Il jTlr:g:. l".u-.yluygBrrod.rnFrl,zerlsace 1'(6'61 qlJ)IaJll? S Flp^lozar; eleoduural{-o.Jd ednre r6 csaurnuIBru ai- r:'elnlqFunriirrluesrarl

;e!lop otrseErqJnlga1se.rjl i js 61'ri

lI 'g '? '7 ,y atllqtnw .ef,llqo1u1s g'rd g3

'JO oletueo3sluluozlroalsoao uureo3-.gSft'g air:n;;r^rr.IeJlsB llnzey .sru3ynzad-e:fi1 T



55 a'itrr,41 n\ua;t:ird,?a

' , i .9 .1I

: , ;etoarelor i a coainelor.Studiul:berhnu este ndicat. n cnurelcdin-.1-19.13-19.14-l 9.15- ' lg. l6 s-au

'-xer i ;ur i cu unghi ascu{i t-sauegi t ,

Fig. 19.13

v/: R

,'frfr, r l

I ' ig . 19. 5 lr ig. 19.lLi

iar in epurelccl in l igur i ie 19.17-19.18esterezolvatd n toate cazuri leposibi leproblemaacoperi ;ur i lorn forni r le T. Epurelcdin f i-

Fig. 19.17

t r io {e.rB

Fig. 19.10

Fie.r 9.12l\

I r ig .19.10



zt8

96'6r f lc

86'6t FIc

:qr1lrNgl'"a"or|!!!

zt80 3t709

te 'at 'Eta

la'orFtg ga'olFrd

w#aa 'Erct6ot 3rg

cacl 'F tg

/-t ,E-"j1;. !

ylp lnir:cdo;cnrlurd .ue:Bo1a1

::f,1 "?plurqluJ . eldun os f BI q.[dore99.61Erndaurp.lnirradory 1a,lrui6elojnn1 liSitid

-of,B p rriurlauad Aaljrp,r1bzj.rg.dt_re.ot;{[_0t__eu:n311 1p a1e-rndf,ufiialS BAo]Jrl:_}np

nB-s nopalaurl lnuI rBr ,rnl ir irrado5eele trp^lozor luajrpnep 69.61 te.bt_0s.ot- ,6G'I 86 ' * 16, r sz 6r_9C i_ru. t86'6rzz'61- tz '61-AZ.6r-61 6i

alpi:

sa'ol Frg

5a'61

or 'ot '3lg



+

Fig. 19.37

este ndicatd construci iaunei ver. ler i in di_i::|il*lf:..,rm .s.i 6nstruc!ian.i-p".rp..-l rveaxonometr icezometr ice.

1.?.3.2.COPERI$URIENIVELATEUVER-sANTr D.EpANr'E EGAI.E.- ;;i;;".;tvareaunui ast-fel.de-coperiqsten... iu, .a-secu_noasca enlrtelari leare,de obicei, e ndicipe elevafi i ..In acest azse *"i; i pioulema

.i1.j:1^:g-,rnru: , considerind_n acoperigdrh

oenlvelart r avindca plan de naSteieomunpranul.de agtere l acoperiquluiu cotaceamat mlca.ue aceea stenecesara versanii ii:"J:::yrjlor

superioarei fi e pretungifipind

raptanul ena$tereomun ecare e or ni l icaIrrntele rrzontale le.acestor ersan{i.Dupacfectuareaonstrucfiilor e refin nrrir'ui r".-tete,coamele;i doli i le reale. n epurele l inf igur i le 19.38-i9.39-19.40-lg.+i ' r_u,datciteva,exemplede acoperiguri enivelate uversanfdepanteegale.oniparindepuiele in

I lg . r- jV .J t j

'- - ' z'

Fig. 19.38 nig.fo.ai-

313

Fig. 11i.35

i:r2



/ t '6 t 'F !c r '3tJ

I , rc

P lnrydunu.l,9' J'

IW*I

..

?ep e-s 7' l-9r.6t-?t.6i_g?.61 lrrnSrJtpalornda I .NV'Id

ISVTS9V UfruaaaftU";rJrounsruadoovc ruyAlozau?'e.6r

'a1:edapr'rii e$el"ti (t*i'rjtt"'.'l,tt:lH:Hnt ra ericasJalurei g 1ng:;,t ode ,g Br.upo)uzeaurn .V

InJtIAuI ?, ( elsua:c)BareolrasrqezealJasJalur JpJ ,; elsea;r rcap ,u t gllnzataleluozrro olsace ifcas:aiur rC .alr rajrpbluedap rriues:a.L r lalru ap rnlnuqd aj e ji1uis.ra1

-ul op aleleluozrJor lued rnlnueldIB JorJalxaInrnluoJ.op piBJ ag It Ig 51a1rie1srpilnzarls o9 t ls o0$ elu?d ap alt.rnrqFunr.i++Brntrplenes u-tnFr; d-uzearuroj

95 y g.re.rllqie lor apiar\ruap^ue1d n nr lntrladore pzijuoricas eg'{6V'61 Fg) al I$ 6

,9 ,1 a1a1sa.13nlchuaxaap':olrlues:a.,1-olarrtJn:iug sui.rdnc nldrqFuneer-Bolf,asrq onp IuluozrJoEzealJaro;der uas nuatrrJaJrp JuBd op rolrfuus:a.t a1 e aricas.lalural) r ir rqrnu 'zvr lsef,B I .:XIIUACI{I

AINVdE(I TINVSUAAC tUnsruadosv'8. t .61

edu urierleodrec;fft'! 15fi3:: ir:;uJ, ,?3" rnlnluoualo e nlduraie inur l tn uJBareJnpoJlurlrasqoos i?.61 IS_0r.61 a1l-rnFr;

I t ' '61 ; i i l1, .

.ron'0 8rai t'r:l Y'ltgv,

- NYUOJA dAN 7 I VA'70 Z 3 b',qv vTVf N0zt80 .s/70d

\gt '61 '8lJ

g ' 6t 'Ftc

V1/ gt'aN"vuOelaeN

JA VA70Zf,U



etI--*mplee rezolvdri diferite ale aco-i, Looligonuluiabcdefa, onsiderind er -

uu ante egale,versan$i u pante negalemm.:ni e teras5.Alte exemole e acelasi

:. urmdritegrupatpe figurile 19.47-I +9-19.509i 19.51. entru ezolvd-.. aleacoperiEuri lorin f iguri le19.52

[ ,4 -au dat Eiveder i le erspective 9.53,:::espunzdtoare. n epurele din figu-

rW ir-19.57 au fost ntroduse n rezolvareai,* : i1or i suprafe{eleonice mpusede: a de forme cerc-dreptunghia pla-

: . :e uti l ; i studiul in eleva{ ieal aces-tilLlittrlt,t-l.remple.

DOL/EoR/ZOtlrALA

A8SEZOIYAR€

'RECOltArla4-

A/LA

Fir{ 19.50 rE. -

*\F ie i19.51 \- \. t " -- ,_

-



996r 'FrC

oTc

-: l

/9'61 FL I

t9 '61 FI iJ

69 6t '3 lJ I9 '6I 'FIC

89 6r 'Ft .C

/9 '6r '3 lc

'g '6tFIc

-:f

/,9,,

: ' z6'61-I6'61-06'61-68'61-BB'6i:1t:nFr; tp ele"rndaI alBlueza:du1s

- eauaurasellv 'qA< e IS \Z7e

ro runduof,lrlnw Ivw nvs 'InN\l ,,rvg"euvS unTiuildosv9'8'61

9: ' t r l B l- {

99'61 Sli l

i'I\F_

69 61 'i ' l . l



Fig. 19.70

Fis. 19.72

l ' ig. I9"76

Fig. 19.78

;--

/ \--

. / -

. -r7l

e 5/

+2SK.A* '\ \"

a-b

I ; ig. l9 6l J

Ir ig. l!).79 Fig. i9 e{)

a =2b

Fig. 19.84

317

I t r ig.19.74

Fig. 19.77



68'6t 'FIC

/Bi6 '3r j

06'ri FI:i

88 6t ',FlC



\ , i , /\t /

' . i r ' r

"tLl. , 'i,/"

Fig. 19.93

/2;4

!9. i i i i

-4,_i_COPERT$URI ERASE SAU CU

IiIWGERINTERIOARE.tudiul intreorinsnf;-- coperi;urile.u versanti e pantebgale

-=gale.o-atei aplicat gi in bazul t"era_

-are n fond pot f i considerate a f i indacoperi;uri intoarse dar cu pante maiIn epura,din igura tg.g4 este'prezentiti

trx:-i'are e terasdavind 12 scurgeriperime-nsA si doud scurgeri nterioare"B. Aceasta

;;re este.posibildatit in cazulunui plan.-rghic l iber la exter ior cit gi in iazul: lan inchis. Alte exemplesint date in

::e din f igur i le 19.9bsi^19.96.

19.4. ROBLEMEROPTJSE

i*,il^,iT;if:?."r",0,'?,U;,1l,'"oir:5'ig?iilj r; ,rYY., l l , j j i l . r. i ' t interioare-e.t01- lg. l02icu

3,,:',f i',".1'r?:"?,'J,l??,t'nfo;"l'ui1;ep g e3" SJ se rezolveacoper iqur i le ar e ,bat . . ate ir r epureledin f igur i le lg. l05 - l9. l Il .4o Sd se r.ezolveerasa in f igura 19.112 vind scurgerea

lffjill,iiJr, * i,fa'.rTe.?.1nteroadB.reiasest"ee

5" fi s9 rezolve erasadin f igura l9. l l3 avind scurserea

3:i:i?:'?li.*,.'illflili'i,I:l',:i:;::eic i?;il;

t r i , : tO (} 7

Fig. i9.98

319

Fig. 19.94

Fig. 19.95



028

0l t '6r '8 tcI '6 t ' t t j

'Ftg

\,1L-J

I,y

HU

Arr=

L7/\( l\__J

L{!

il{Jz0I '61

-J"1vT\t_J

r--Jl

\L

toror '8rc

r^til

(\

-LnJ

w

uti

T-'_lt_,/

tLl

aT;I

T\U

_r\t \t)

a\L:_r\L,LJ

-J\

- tt_,/

eoi '6t 'F lg

tn /

-1r--r It- l

ALJT

fl| :-\

Lr-LJ

T=----1IVT

J

666t '8ls

0g

oo '6 'Elu

JJ

tz

' Lu y,2- wrtt::

/0r '6I 'Fr rviJ 9or'6r 'Fru

M

%':/'{*,

-r"fW

9i g



Suprafefelede tlp hiperbolic au curbura lu iGauss egativ i f ig. 19.115).n acest az, cen-trele de curburi amintite ma i sus se afld oenormaldde o parte ; i de alta a suprafelei.Suprafefelede tip parabolic au curbura lu iGauss nul[ (f g. 19. l6). ln acest caz, trnadintre curbeesteo dreaptd;i se ob{ineo supra-

fa\d de transialie cilindrici. SuprafeJele-etranslal iede ip el ipt ic sint paraboloidul l ip-tic gi suprafaJa de translafie circularil inepura din figura 19.ll7 s-au reprezentat ara-bolele paraboloiduluiel ipt ic in planeie caretrec pr in axa. In epuradin f igura lg.1lB s-aureprezentatparabolele congruente n planele

AcopERtguRttActCURBEr.iBTtRl

OENERALITATI.S-a aminti i mai susLur'- :imul iimp se bucurd de o largd ris-

Lcoper isur i le pldci curbe subfir i , for-:- - i suprafef de transla{ iecu simpld

';it l l- t":-!urburdgi di n suprafelele e rota{ieutnm"r,'erticaldsau orizontald. Suorafatadel i l r tr r"- ;e obl ine pr in deplasarea aralelS

umr rsaqi a curbei generatoareZ, ==9, @)utrfua directoare Zz : qs $) sau invers

dctele e tip el ipt ic au curbura ui Gauss

- i ig . I9.114). n acest az,centrele e

t r lr 1i1) . Curbele r(x)$i ps(y)pot f i aleseLlrumL:"nsd in maioritateacazurilor ele sintiurmv:.siip, ca - parabole, arce de cerc,

::::oscut aptul cI produsuidintre curbu-pr-:-;ipale st edenumit curbura ui Gauss.

r i l lrff ivr:siip , ca : parabole, arce de cerc,l l i l l lmnirc-lg,iperbole etc. Ecuaf ia unei astfelmmrrrrr:;eteste de forma Z : % (x) : pn (y).

i ' * l : Iea pr incipald a acestor suprafeJer .: iaptul cd ele nu au curbur[ de tor-

in or ice punct al 1o, -D' l - g.o*oy

zz-/20)

farabo/eprrncpo/e

r ale tuturor secfiuni lornormale carelrr-: punctul consideratal suprafelei se,m -ormald de aceeagi arte a suprafe{ei.

romrumai anumite por{iuni din suprafataiuulirrri; au curbura lui Gauss pozitivd.

z' lplY),C

Fig. 19. l4

321

Fig. l9. l l3

Fig. l9. l l5

Fig. 19.116

Fig. 19.117

F;o 19. t , t



zz8,t6 i '6r '8tc

661 r ' -31g

,-,,,#,il,l",' ,inJ,""'iii, 'J,'#11i;,5,, :_qn-Td

ope'eiirasralur rp lu+lnzar'-,,i.t",tu"iiJq?::i:,38J;gljffi[#:?ffi ', lBHli?,,i;'."r"",(,.",:,Y"'l*:u rqe.r-edJpurirJ ra.r1 eiiccsratui u'ln

:. jiiT'"i"l,'l"tJ.'

;iq"J,,:;;?f;'J",';: I- :ns olrunue elica6:e1ur lp aiarrnz

n: L ;1Bs ,LlleFau ptttlrzodssnen ini'e.,I :i li?iiJdxsl:ti:JJHf"Tj i?l;

tar 'or3lg

ort '6T 8t . l

otr 6r 'FU

L. :i e:1sn1;1od g .l l fvori iv':;.g:;;

"rr1oq:adrql ] ap pie;e. ldns lol r rap ,enl luF-a u ssnu0 Inl BJnqJnr. uJ{B ,relnlq8unlda:prnluor ad prelnrrrr piele.rdnso' jeluazb.rda.re;s j6 l '6 ,J ern81g rp e:nda u1 .a;e1Fr .rn lqnprolr laJerdnslnrpeJ uJ nr irads-ar1n1o1rdeJ'Li;lnreJ p- s aiotre.rdnse.l.sf,3sInlpnis

.cribqradrrj

Inploloqered dr l nJduaxa'el ne r i foc l :ad iL jdl l ap er fe lsLru;1p alaia;e:dng.1b'cr iOuojreirralsa ra InInJIBJesul ,erfncaxaa16a,Lr:dcBaoJ uJ alrqesoapafelue,l,e plutzetd puurpaul

El€lergnsap laJlsBe

.FrBInrrlc arfulsue.rl pplBJErons luluaza;drrs_s061.61e;nFr; ulp

: j19.uI ' .re1nrr1Bun1da.rpnl i r in l i rocaprnl?l

ulr,o ca,tl or alerrlral alaueld ul p aioioqer-y13rlro purrrrrelepelsr proloqe:edlsary

.re1-nrqiunldeJp n- luoJ d l: lpe1c eun 1n$l:adordEI lBzrlrln crldrla proloqe_redn ldluazarda:also6lg'61 e.tnF1grp e:ndeu1 'cr1dr1aInlnpl-o1oqe:ed 1ear: lour isap elau'eJd' ir r 'e1j1drdd



Fig. 19.126

i igura 19..127, nde sectiuni lecare i jmiteazdsuprafe{elc e pioiecl.eazb,rizontaldup;i para-t_)o,te.n tpura din f igura lg. l?B s-a reprezen-La1 rn,qc,opc.r . isezultat r l in i i i tersec{ izrrr ruiparatrolotd l ip t ic cu un ci l indru, parabol iccr lreare drept parabolS irectoare ar:abolaie

:rin plane frontale sau de profil care, er-entual imita acoperi;ui. In epu-: :gur i le

J,9219i 19.12'6.- i , .pr. ionint. : .s ezultat in intersec{ia'c ioi ara_- lerboi ic icrre admit un plan taneentr co.mun?n punctul T (i t,) . To-t ot i .qgparaboloiz i iperbol ic iesteaco_-:r ' i l ionului reprezer i tatn epura din

I r ig. 19. 24

Fig. 19.12,?

Fig. -19.1!B Fig. 19.129

323



ft2,8

!€I '6I 'EIC

arr '6t'Frg

A.

- jrgr'6r BIC -e r In$rrodocvl(,1 1); unruor InJJJ^ J lvluoz

-rro unuoc luaFu?+ el d un pu;frrupeaiajeidnsoleqrxE ,c,lldlla ploloqe:zd un nf, cllbqradrqproloqeredlnun.erfcesrelururp pqpiat'$r-rdd_oce n +Bluozardal -s66J.61eJnFlJ lp urndauI .p+uoztJounuroJ luaFuel uuld un llupeale;erdnspnopolaC aleluorJauelci erralli'utjOafatrerdnselsaceleuolices ni-s ri 1, y

f"11gdrJ



-admit un plan tangent comun or i-

.r punctul i 1t, ' ; . in epura din f i -

:at in epura din figura 19.130 ste re-

-- intersecl iei intre un paraboloidhi-: s i un ci l indru parabol ic.Acestesu-

zone sferice, ar releaua este compusd n fie-carezonb, in 16 ,,pdtrate" urbilinii. In epuradin figura 19.133 -a reprezentatindublI pro-iec!ie ortogonaldconstruc{iaunei refele com-puse din ,,rombur i" urbi l in i i . Suprafalapor-tantd. a refelei este in acest caz o por{ir.rnedintr-un hiperboloid de rota{ ie cu o pinzd,

dar poate i qi o suprafafi de rotalie oarecare.In sfirgit , n perspectiva in f igura 19.135Eiin epuracorespunzdtoare9.134 steprezentatdo suprafal i de acoper ire ezultatddin combi-nareagi intersecfia nor suprafe{e cdror den-t i f icare este propusd,ca un exerci{ iu f inal,spre rezolvarecit i torului.

i l t t l l ln,r parabolic care are drept curbi direc-lmn*arabola de prof i l (1, ' ) . In epura d in

: .131s-a reprezentat n acoper igezul-rri-- ntersecfa unui paraboloidhiperboiic

'.8.132s-a reprezentat roiec{iaverticald

construc{ii de refel e pe o emisfer5.a emisferei este divizatd in oatru

Fig. 19.134 Fig. 19.135



I

i ip I l lenltspnopalsjraa:urldro'J;; i , , ;'V ariJeJrpFlrrunuts nc araroro,-i.

I Iolldee lsaJe LrI .-icleJeolJa:Iur ealeluaz*.

11:ly ruru ru3=asir*unl

",pgruii]"r;o

tJ .IOI:rJquJn Il l i l ) l;r"" tv'rrv

,;i.y:LliloJi;j"i,tl"'f"il;1 'Jl'::

ll rjir,:i.i,iFJ:3,13i"",["i'::i.,",_,.'_a-'al_lsaou f 1i, nuri1 nd ,"lln;or"

t:n";;

l _X?,'rl # T (t o"a-,Iltr' I11s1'1- n,1',1_nni psrnso ap leurru-nj 'ai,se.rriaj lr"-r '

BZB'SJOA'JT urunr op orarcx .qorrrrr

ge g

*J&s',,;*,j,.'F ":j11!Y":ltl#frii:i*;=';*?fl i"#""li':'f:'d': '{:!fif;:r #:H##i:,?s{,U'i':":il,},j,,!igJ;i !Ht#'.t#*f.,ru0':1n:5i",,3i5:iirpt#":r.;tffin*g*'.ffi-ap rolarqrun is ': _ rn, j,|rzod F;,l."T#,Sp':j:fiip1iio;ip

,fi:H.3il+iei+:*t#::;,i:jtrf;lj?J:jt'{:}",,?T,-l?i,,,'1."^ifJ,""",fffi*l#':i,ilij"ql?i,ly,xJi1U1T,,i[ii:ii,"-:li?"i,ft";TJix,,,':i1,e*Ii :ils.iiilli'1?"'1i,,rui,#uru;i:IUI IplBp p.leler i lns

ff":;',l;**';*",;]'frfftd:;;#i#d:-1['it,x..".,1,,,J?,yily;::d}Yiffi 'i'tliii,xli"L,i;i:tffji;J,',",rfy*i;rlqffigawll

;nH*+.ezvu dcls uo,rsdswnlnssvuJ i.r.06

1a1ua:nruoc^_a1da:pap InJtJsEJTlr.rol espou*unIalazelr :'eru1 Jlirjni,,

, :1,.'?flrJll]..,.1:IJurn[.'rldr;i;":;"E nr ,(r.ozFr)

1111{i"rnip i;;";;r , :1rundpslns 'ap +eununI lso lnc l . lor

lr,_uI aledrour.rdl1nzer.unoo't"J;j:.I;: ?ulrunlop toslns lr r r ,r l - rdrI .pu,run[;p

#. ,"":t"d*:: 1t. ::y!'nn.'o

"_,, .,1' " L 1,

:.t].?.-Yra*n 1re?uor_uJ.urA1nninl-li.

:j,.-p l"i:, I-1eo ;:rra1 i aedo'o1;;;.,;; _,

: t-vtvL.r

'zrdrudJJalul aoedo olt rnd;o: l. : l t .T pr a1$arnu$rqog .arudo'nnino.t rlurlo +ulsJBp :rlle.ledsuurl

"1,_Oro,

Y^|rdfu)ssoturEwc]c f

rJ,yrrrvutN:ct.oz

dclru8wnnfcnjsXX lntot !dn3



ati t studiul umbrelor a soarecitumbrelor a o sursd punctual l de

uffir:re,oliedrale,inia?E-Tfrbffi propriewr::atricea ste irul de muchii ! iu' . ._

*:=te uminate c fefele i tuaten um_u:.rra purtatdsau ihia ;;; ; ; *;_a -;ui corp, pacpe o suprafuta ui"irienu_-reomFtric,.e uprafafa onsideratd.:, rr razclbruminoase' igdi; ; ;rp; i; i

:,--,;;,'Tilo,[ilfet" i#:'i,,i;:ii:: :area iniei de umbrd'purtatd 1G'o

-. f . in ersectiide supiafef.-S;';o;

: r l . tgde.pierdere_de

peta punctele

cele re i planede proiec{ieeste g 0 :

:D, adici, aproximaiiv 0

,T1:l:^^l ltui, _a1^tit izir i i acestei irecli iruinrnoasecrLstdn fap{uJ a proieci i i leg,D' , B") ale acesteiirlciii I ;;-;"dele deproicclie ac iecare nghiulde +S.Ju-'iinia epamint (fig. 20.a).Di i punctul

de-ireaerealconsrructltlor raficepe epurade umbre,a_ceasti irecf ieuminoasds: ia 5;)]"p..au."

in.unele cazuri forma ;i ifintbnri,lnii5 otu-T:1oI,proiec.tatei in special"a;-.iaincimif"olref ltelor lane rontale. eva numi traseulumbrelora 4s"studiul rtr. t i '1n".#;;:rec{ia, araleldL, a razel-o, . iuminl inA.-ptlne$te ceste ondifii. In rezolvarea iferi;telor probleme e trasarea umbreloise vorutili.za n mod curent g.i ranaieriiu" iiecfeluminoase..A e plane)eat; i ; i " . l ; ; . Seooirne asilel totodati valoareaunghiului

l :

tv i: 35o16'. Insi

327

i

\l

l

r ioud inii de umbri pi,iirta J.l;;;;:

ff is:: id situafie,

ff...p.^gaceea;i uprafaf (punctulg.dinr. _,. ;e asemeneaevor numinunrtccle

5: ,1:,.p,.fa II punctele ie i;T";r;ii.: : l inie de umbrdpurtatd$i ; I ; ; j ; , i ;i : ;oprre punctul din f ig. 20.2).

: .agonal iAunghiul pe care- l ace a_

a cubulu icu f iecare intre



Be8,8'0a Elc

iln ;,alrund"o

.rnr!''oa'FtJ)a'l l$ rl a:aF

rc+,0' p""j5";il-'yJl,?i'jr;";:,3l,,liH''"1'^"-:1::::i,-1: ,tft

"P,q';? r'1L1^_lvNoovxirH*s,[jli*rilundrs Erudoudurir,in-?:iii

.x,d uJ a,rlcadse: 6 ug xo adFu;-rtr s,VA i$ Xg ,opiO..,p .1 n '.r[rn Bnopalac prndeu1 .ar icarord

ap leluozuo 1nue1dd"^:.lq.Yijy:u (,a a) lnnundaodruiluJeii-?aloJgap lertlral lnueJdad rerunu l,rlcadser, ,: ' .d. ' ,ro

alarquin,grun"re

, i ,r )16 (,q ,q)

'(,e 'e)_ lalrunci nldruoxaeC[' ,s i, 'nr:nsur D

asau:odaJBJ_purunl p JOJazB,"yn

.11ruor iap*a1aue1d.ad

91aur:n reprsuor S .(906

jFIJ)pleiuorJ erlrzod ui pleza$egredd *pin"1qFu.ri-1da:p eceJdo AOSV 16 gleuo8ol:o ailcaio;dBlqnp uI pllutJep purrunl ap pluntrrundeirn,(,s s) s etc 'StIcStoud ilo a,IiINV'Id ird IIII-d3uo lv rs n'rnJSNndlauswnr.6.06

(ruvru1wnt'l). _ YNtWn.tG flvnFNndysf'tus v] uo'Euw€innlsydr.2.02

pursororer{corord"

i:jii',Tj ,',nli:jYT:l:iqy,n

eJlnrlsuoJ11 od1e11seoJ.tsrqun

FSBIarerad [BluorJ nue1dp piBJ o1alrund 1l.re1-:gdap oJesaf,oulurs zEJ lsaf,BuJ .pJBJSplla Bi

aisa1nue1dugc rfenlrs 1saydeu ,rninueldeereztltln rp i gpeiego adala.lqrunlrarrp nrls-uoJ epBolelrJrqrsodparie. ledolsBrtBa1red

PliBapod'(q'OaFu) ,gtogg *F1c.re

- g_1 t



-I " 3. UMBRA PROPRIE SI PI.JRTATAA-\EI PIRAMIDEPATRULATbRENECUT-NT4SEZATAPE UN PA-RAI-EL{PIPC OENTICALlli- BAZA COwtUtrrtA.n umbrd ltioprt" se;;. : :C. e.|eleEAD 9i ECD (fig. 2018). ' i r ful- . . r ide i aruncl umbra u, pe

planui 'vert ical.

: :a patratulr ,r i e nivel ABbD esteomoter-. sa apyS pe pianul or izontal.Contur i_r le

,* ,11,purtata

poate i urmiir i t pe epurapr in_: : lea. p, T, y*, e ; i a, .

:_- ] UMBRELELA LUMINARE PURTATEJ[[PLANELE DE PROIECTIEDE.UNTNTNN-,il pu 0ARECARE ABCE. Fie (s , si ) ,ur.ar ' - , : ' , ia l5de lurnini ( f ig. 20.g).

Estenecesar

: construiasc:i sa ca mai sus proiecfi i leLL"': : le , din centrul S, a le i- ir lur i ior te?ra-r r- , : i pe planele de proiec{ ie.punctele cle' ' t : i€ a,lc. mbreipurtat i pe planelede uro_

. sint k si r .

;:l l - :t.- UMB-RA LA LUMiivARE, ElRopRrEi ] i PURTATA, uNuI CILINDRiJdlrc pnu,-\\ULoRizoNrALF eniiiEdrlE. iel , l l s ' ) sursa uminoasd r in iare i! - au." or i i i l r " .la.qqk,*s 'k ') la geneiatoarelei l inclrului. _ t . lU) . -Drepte lckc6; i sc se ntersecteazi

ii lentrul cercului ci eumbri care at e raza' . ' .,r fi ind omotetic cu cele cloui cercuril l tL . ; l (directoarelei l indrului) Ei uncle en_

J" r -

trig. 20

329

trelc cl e omotetie sint k sau s. Gcneratoareleseparatrice izibile sint respectiv n ceje rloudproiec{ i i mr ; i n ' f ' .

20.3. TRA$EI.JLJMBRELORA 45"(LA SOA,FE)

?9.3.i . LJMBRELE UNCTULUI$I ALE DREP.TE I PE PLANELE DE PROIECTIE bA U PE|LA_NEOARECARE. ie (ab, a,b,) sJmentul

!e_ reanjedrt . ; i

( } - r E') ,proiccfi le d' irecJicirazetorde lumina ( f ig . 20.1). paralelele'ia

lcca;tf .direcl ic dusepr in

extremitaflc seg_mentu lu lau urmeleo.r izonta le; i respectiv .Umbra segnientuluide tlreaprape rtLjnul ori_zontal.este ap. intrucit plbnul ' rei. t icai esteconslcterat.opac,ceasti umbrd se

fr inge inK pe ox gi va trece_ r in urma vert icaE p,.u rnlJra egrnentului e dr-eapta at pe nlanelede proiec{ ieeste inia fr iqt i aKp,.

Ca'ver i f i_

care, umbra I(a trece prin urma' crizontal| asegurentului,ar (p' trece pr in urma vert i-cala a segrnentului. entru deterninarea ln_



_ . ' j16I lu ls rrrqurnp a.r .; tuJr1p r lJ]unC_JldaJpJolsoJB lp aJBjr l lJr rSaieru0z

a ;-)uIJn csose8 JS " . : - r "r -

l,. Ji "iii i,,,"ii',o 0.,,',1,,ii jiJ,nil,nlBrBdpraprsuoJ,S .ianlru"gd NVTa

'(sLoa t,r;Xic;$o\-uJelsa'araFLIJrJp Inlrund

:: -:F"' l #"f r "'T,Hlo"ji,,?j$3:;li:i,.f.l?"os .aricgr_qud

:ro'a,lsnrvraaEdvlauvoagunc arun isfitiiln' a.e.oa

:::: l-ii'"#'fl"ffi:i:j l,T'f"1 !ll':;lj

i*iT'.,'1331,1,'9,n;*:ig."'f

"i'i:*': ii

:T:ijl:t -Fjq*n BisEeJVsi InuelcrElsrxri plY SlIp ,d,o U 1earirelo:dap.1er' I1ra., i-nueldoo lap rnJnluauFasrqlun t,g'pj 'arlcJr:e1urop lnltund euriqo-S9''; i|pi*.ri 'JJ'u,oQtr'oz'3u) Inlnluaul

:'f ,t-"_i"rnr;i;,n;'ln#lfJLTJl,.',i..#,Y:l',dirl orpraieo ueld un id ininluJiunos lorq

.lu_rvnrrsJf,s.v uvcauvos'iilTg {lI! arv arira ouJ

go'sr Ni i jrrYru d au oSli- srifsj,,v;,';t; a,:

, ' ,9 ,! tt



- - planul or izontal este ap7,p ar pe. , - l ica l* ' F'^( '? '

L,!lBRErE ryO_ryItrr:-URT,ATErI TLRTATE,ALEUNEI tUsmb-'hriarl

,LKtAtL, , ALE UNEI ptUSME GOAIL 'Elllr jO\ALE OBLICE. pentru r,'nlf-,r,i.",,,,,_ru unrbrcle ur-: ,anelede proiec{ ie seurmiregtu ; ;-

';;: p.fit* ;,'fl.t; I;"?;;;,llr inter ior .pot f i fo lo .r i tepropr i . i iorntaf l l a l lne-

- , iorndr i i a f ine.

L.\ lBRELE NUX OLIEDRU E [}I, ,4.-

, .?S^ $o'^ElIr_F..!S ;e;,i;.;d' pira_L r r \vrLulrL. JC COflSIr ! \BC ( f ig . 20.17).Vir fu l S r

: pe planul or izontal s i

_-- iDrrng. zu. l t ) . Vl r lu l S (s, s, ) arunca: pe. planul or izontal gi umbra o, peope

,; t ica l . Uinbrt lc rrr r ic lr i i lorS,4 ' i i

I ig.,, 0. 8

JJ ]



H:; .1:lT3rtllY"idd selfi'ilttlti;rF:,.q^-_a_lureullew w+g.Je-s ruri5-ese1uo:grri rJJaJ aJqrun erieclldeo ec p,,rioza.l

,.511"{9

tz'06VUncrJ rlrocrdrsworrl'rfl_df,oc:rriJarou?iiirfu-xuiu'lrLlNV'Idad YIVIdna VU-sWn'=O'rfba

'qe.ql Ilqqtls

luIS resdrla

: '_: l f lorrrrlauBrC y

iS .r'ug1ul. xo"ada1e-e;eFug-rgp alapun6 .qo,Inlp;ao nrr].:1 lnlnrrer Brqrull pluluoziro erjrar

-. . ' ' . ' ) [nrluar nr ieFa .r'ajun'nrnr,rl ln: - .1LII Frqun er auriqoes 116.[6' i f r1, ttu,rp ueld un-rluJ 1en1is rnpiJ:i j" lnzi;r-'1-Yl-olsa

_!_rqrn-e pBqrnf,

u1 elujFuel

' l gp g u1 eluaFuel ,laJlsy .solpzundl,.; lnlrund ut rnrnJ.e._-. r_-r- , ,^__-- : ,.

UaJi IUAS BoJalBqBJ eI, ,+rui lu ur i l l l l lJJoJi IUas BJJalpOSl el;?l nlduaxJ ep ,purnl lsuo.r

eur iqo'", , rd

I :rl1l 9! nund un-.r1uIsnp iluaFrielr: :6 '(nrlaruerpnuas)h-' , ,

iS alf l ind- -l1rl",tn1p.

re usdrlg .,g-g eeiei:gciao , , f+dlut 'Lv dr v tssoIIE . ,9_gee:e1:pdap

l-:]^t"q_ ldea:pe1 pug-rnspru9 nrqrui,:::: .11^^^i'l_i.1o

""s

'L-.s-s-b'g-z-11.e

_,.: .?.,1n-l:erBn.rnf r ariraroicip 1nr,1' rBJClJd rnJnJJJJrruJSBaJJlpqBJ Je' l , 'L-i :rr.rrJruras

S*rylo'arlraio.rd,'p nrli

f f iu, ,

,9, t , /n, r j t ,8 tt

^11 lnuetd uJ plenl ls ' ,al_lnr luernJ iolru ep

JJoJrruas n n:1uod alcund urrd rasdriab ar i:1i*:r_::

plseeru.+pllrlldxa _sa2.06nihr,g uifnjl^19 uI 'aFund ur:d srca:d a[ liranrgns gir-nr lsuoJ1tr lzod esdr13 or lt tro.rd'ap

ietr l_ran

iit" ys 1rii,Tdo"illiio5J" .;:;ry$:jltt"l:-11T IBrtlra^1nue1dd ininc:ac' rqrun'xo luJrupd p Brurlod alenlrs'Ot16u1 "1.i

;:^u,,llr1eFul-rg

". ljqqn "1rn'ory".16'r.Oa.Arfi

: : l^_jy]yirrrr ,ezerrieiace.ep'crj5'un "1.,:it:l:jl 1l_l:-t_1orr.tonrielded inJno.racrqur-l

^(:._'nl/lnJlual nJ la^ru ap lnc.ler BJaprsuoras 'aricaroudiro s'raNv'rdrdJ.NOuconvs'IsAtNAG n'rnSusclg-us*wn":e.e.oa

. . .{^^ ^^'1 eiads p a:ep.lardp apundenop

:111? o9, lBrttrla^.uuld csasoiol s Blsearu

:j l : .$. _!-qI '06'FU)rolarparlod'alrrns:s.turrd"t"l ."-.1]3nI

p roirze.r Jufj iro_rd1 1J1.1nr'nJ,d4 1nuu1d r. pz?atrJasralur.S .aUViaUVo

N-vrqNnsd (yalwvulars awsiuJ)"swnr-oA GntswvsNvnNn leuirrid 1.t.06

-:q.9"."1.'oo,P,i;J iii;f_t3l.il';':i:ieC 'h r": r ui odrrj_r;s IuluoztJo1nue1d d f,S

Gda,

il



b' f'(u")i/,:

20.21

trid

TRASEULMBRELoRN Rlponr etlc DtREcTteRslrnanAorrentrAE 5.)

:- fiecaredi n exempleleacestui- : icate pe proiecl i i levert icale

- ' elor de lumind r"rnshiur i ien

paragrafale direc-grade pe

careacesteae fac pe epur i in raport cu l in iaoe pamlnt rntr-unscns al l n altr r l .

20.4.1.U&{BRAUNEI PRISME HEXAGONA-LE VERTICALE. n proiec{ ia ert icald ala EDeste n umbrd propr ie f ig. '20.2q.Conturuldeumb^ri pur^tata

. pe ptranelede proiec{ie estee-e-d-f1-1.F -rz-b.

?p.4.2. JMtsRAPIRAMIDETPATRULATEREE_E_GUTATEgr A pRrsl!{Er ATRULATEREREGUL,A,TE). onstrucfia umbrelor este rea-l izatd,in epurelecl in l igur i le 20.25 i 2A.26.In pr ima epurd vir ful (s, s ') aruncd umbrareala o ' . pe planul vert ical de proiecfe qi um-bra,.vrrtualr. g p9 p-lanul orizontal de pro_iec{ ic. Punctelede fr ingeresint in 11 ;i ' r " .In a doua. pqr4u_mbra st earuncatanrimai pieplanul or izontal.Umbrelepropi: i ise citesccru

LrEur in{ae amhcieei)ufc .

Ii

I

i

itl

g

o'nb'



1

\t

'-'"\

/a'06 8r q

r od

,'xo ed 6l rt rr are8ulrl ap alalcuncl

:,,i ii:i,, ::,iff",iJr*,1,i:,1"1.iJlili;[,;'Jl'"-Y1:P10'''''n'fi,._5,

1,,1,".

i [.,ti " ,',t.i"',.t,"9,9,;y]tlut'-.-irrplr ur.rd r$ ariraro:rt ,p""iJi""",

ffi- 'j **" r:LT''J.:"-rae,i9rr",r,io"5.rNI_ugvo Nv'rdHn:u.r.nri'J;;r;i:..Y?yu_o f,uEf,nrui-iaii"a-ij r ! tq a\ r l r<rr lJ i l lNl I g_IV al lilr"Jd o iI'IaNv-Id a grgtilw"n':s.t,:i2

t1,q'ri;*,"#il:#rl,*j,il -r,t u1aarilLir,f lnir,iho,i;,1',,1r3'r . iJUBl( ld ,o !s , alaruJn p tn,n, iu ,

n'H,],3i,?"i"-"flJ,ij':t,i;,:J,'Si:;m

,o 'u(ots1,t\

lr^*",]:tip ldarp aru_areJ rlqo ri"rIl1uoJInr]J,\lrl^"'l^src rdruo

nvs irso'uvinrurrIqr_ lN.narn aiip-qioul'ai a-rjnrvraada.r.vrunafrslruaouiarguiwh'ti oa"l,l:,11t:^r.:{1t."_

ln rieFnfuoruriaruBJpir1';,;,n Is

! _,.

! "+- lwrui ld l* , r iudntuoJ nJlaIuBIpJEr zl tJ JUJS o ad lJJotun orn e.Rl , j , ,-^ ' ' ^ l I '( tz.nz .s, , \

^ . r^:_^ ' t ,o1ee:aFuIJJep alalJun(

l/1,96,.ij _til:{o;p j;;;ili^"i#l;" :$

;l;,,X!n1';*:3,:'-e^lt" !,i." ' o ,s" J1l,,,lI ,1j,,'LJ:P:'-q.y:, J*J",;:';Tff ;l]Tl';XX"j

q'i : : Ij "':Ld.-" ' :rvblru

^vlnJurJ lnrnuoxirrevudrvA"u!t.t.0,

96't-163tC,j

6rilJ-ga oa 'Fl.I i



;J. ,U{P3{_PROPR|E I PURTATA;.1: ^pl,B!gIrA.

AzEbRor'.iir,i,r?rvlm FRONTAU I f' g

-- - -" vL Lurvt r r r

| :,Fi r,\s",lli;..,'i,?,?:",llllllrrrr LrrrLrul s letet perpendicular-- . '1 ia A t8 , 3' ) ( f i r , . q^ rr \ r rTr ,' - - - ' !

: ' Dlanrr t . ' r ;^L+" i6^ . i ! , t , ) :umora.pur-rr,r-: planlll arizontal stcelipsa i* "a'iu"rr,"-,

: , , i i . ye oblinutdprin pioi 'u.Ttr ' 'o"rri"fa*h- r,,u,o#rre _sfeiei9',i1iir"i',i ' p inrt:.=l_ P-'.-Umbra ropiiupoui-';;';#;:t epurd. n punctirl M (.,- rn;t' ;- ;:;;,-

' -,1.ffint*

i l^.*:l:ui.!,-'uai.i*;i,, . rsec{ iedint re 'planul- -dJl . " t iu i " " ! i" :angenta sferl'inpunctull;;d.rri:

2-0,.4.7. MBRA

*:+eljirfrs"#fi*',',,".fiil e

:: 1,,in::iil*,,."xl,

n, *urtati

a sferei tit,is e-;;;;;"'il'i:?JJ?:,*:::i*i::--' H l: :?.JJflTf

ci;proicre' ,, "irna,u

i:;::i.:*L.J:":::i:,*.?;,i?li,i,,,i'::l.":r;:ii::#,,li,ii,.T":vJ'll ,Xllll"il1li :,r,.m'"":i!i"f#[1.J;,illriiJ.ilili;,1,i''i;r;iB;?1#,"."f,_l,J':, fl:

,;::iJiii,':Gtm:'f:'.liti*ffiiiH;iidf "i:*';i3,:1T':1,l;::,,""n1',,

pe,1,,i.jtri.'3;,Y,*iiq''p'i"" t' a' '; [l{ r't

n;ti,r**,rrtir#r':,'jdl:li:#:!'l'l?:,:i,.1'l;',al;;iiffl]*: ,""i."i?"m,q,$=1,rull* t;1,?ff il;,"ill ,*i:X,1TT,:,,1,*em

.6i

,...ri.'1!

*r: i:!..,:i;

j-;

nft. o.:o '?\rr5 .",,.

"..-*.."€/

335



r -n rzunJoJdp: alsad og t ap; INJOIJId UI P

3p ralderp"]IVINOZIUO

to rvdvr :ro

luataJrpur ' ls luozrJo l rJOJdaJBUrlsuI o qns aJaJ] AJPJ

BJEald aJBJ F+dEaJpo alsaBJqr[n 'BIPJT1JOAarlJeroJd

IunlrJoudgo aruasIard:ruq uflr{n'n'9'02

98t

r t '06 'Flg

rrcrdpor'qurqrs"-r,"11?',iio5,#'',tfX:urrd1nu1|qounriras p rnlnJrorrrn.1n ,j". ,-o:d .rolasdr la /a,J

,eJ lJrur ,a*orra,"rno1uzundsa:or /. alsa EJqun rasdrlaB oJeruBXB

-r[rosJEr,c,t

1n:1ual J ieiuoztJo nlnJJalIBqs rnlnJloruerp Jeoluzundsa:ort' ir alsa eJqruntasdrla B prirri EX V .fttOe .Sg) aluapaca:d.rolalduaxa RtrroJrp lfecr ldeo alse Eujalq-ord JruoNrrrSunswvr Nn rd yJVZASVa3[daJsrwasTodnSaNn uswn .8.r.0a

i r*nruord lunriras:H,;'f"r"?$ri,X; . , , t , , l t . lwJu rrui l t lJJs uoJdlEqcl plSJi l lJ. \

- r l u1 arrrpo:da. i BJqun r ' t u_Luorr t lue-

- 1l9leue lsaBrrralqord(9t.0a Fr1)e1e1-_r-oluorJv atc .IWIZNnJOUagi'rUggrl_3'rvcrruaunlrJoudosiussoilrlVrNOZrUO-orNoUduswn

-.zToa

YdnlStrfHuvo uolIHo s uo]lrNtwt]t tlluswn .9.0e

'p io :d ap uuld un_: iur :d n lnJ l lo :d"rr : BaJOlBqe;rnpo:deJslqun

-.arqurn

jr- : , ed aluluorJ :o1aue1d 1e- urlung; l trJaJrp urJsounJpJEJTIJJA

er lcarc:du. t- : lor lrerrp rg aleod Brqun ,(gt.0A .FU)T?Jrlrel n_rluad .IWIZN1JOUd

AiIUgJ

rl a'rvrNozruoun'rrsoudo aiu0 3d ra'rv.Jrrds 'rsuswn i.oe



caO

.vL

t\..?c)c. t

.!ft!

a

Oc\

!"



i9

J?

N

P



,. l

tiiii

:S; 20.39; 20.aQ.pe planul or izontal,- :eprerde capat sc fr ingc dupi cotc le.or pestecare trece.

_ L'MFRET_EALCOF{UI_UIr An_ENX_r !tApcil,ruTrrE supRAr:iTE #.

- . tp le i rir ; t i i r lp ls c i

pot I i

' i r rmir i i .

L;1; inr i- ;relt ,rl l4 ei- ; l l l "alel ir - rigi- r i l i :_ ) . .+U; i ( j . , ! . :r i j ' : -: j ,0 .J3; l :U. t ;

- t i6$l 2{J.4' i .n epurr , . i in igLrra 0.43. A si A, arunc; ' r ' n i i ;rc le c, cr ,) : ; i

, Dreptelede capil t ce l iec 1,r inaceste,,irrnc:iunbre 1a 48" care trtc nede-' ' ' r : t teor iceprofi l n pr-oiecfiei :r t ical. j .

f on o-orizontaleaiLllcii u nl;re carc' . . . i reproi luc i l moi. l nvers ,c,ci iuncen, r 'er t ical i i . n epuradin f igura 20.44,- ; nbra p' s-a folosit raza inversi i r lc..r replcaci l i t r ;1 i contlucce punctir liu ( .pura r l in i igura 2A.+T direci in

. a razelor le umir-r iestear l t i trar l , iar. de unbr i se obtine ditr aproape rr

plecinddin a' . Se obserrr i lc: i

a,v, l l- , , , 'e ' trccr tpr i t i n,"

l

l

,1

20.41 iiI

g ,r* - , , , ,a , , . , . '/

Fig. !0.42

Fig. 20.43

339



. Fig.20.51

iar umbreledrept^ei e capit pe trepte sint totdrepte de capdt. In epura din figura 20.52 s-areluat unul din acesteexemple pe o intrare

iii UMBRELE CAPITELULUI PE STILPI

$ECTIUNEPOLIGONALA.Doud asemenea

' =eobtin prin metoda irecti.

"- UMBRELESCARILOR U PARAPETT\PAT, DE PROFILSAU COMBINAT.

r.e sint i lustraten epurele in f iguri lesi 20.49. n cel de-il doilea exJmnlu

J,1.49)e olosescazele nverse e umin5:-eacd in l, 2 gi 3, pentru a sdseobtind:: iv umbrele ' , 9' $i y'. Umbrele r, '

:ir-l parapetului de caplt se po t ivi doud;r . diferite, dupd cun umbra (a , a') a::: .ui (a, a') cadepe o treapti sau pe o.- : : reaptd f ig .20.50 qi 20.51) .Ver t ica la !r LrLar

-:braaa .a 45o ndiferent de cota tlerrtei.

: .a de capi t lasd umbra a'd' 1a-45o,: . -"* r* -^g '

r : : :nt de profunzimea ontratreptei.Um-erticalei pe contratreptesint verticale,



9t '06 'FI iJ

; . , :- .) Epolaruol i3soioJ s A,O ,g ,V el

lr -_ alaunn_r luJd eFuglsnldruoxa p ,e1e:u _ dldul l t r_r ]udd Bdur ls nlouoxa op .BIBI

ri-i3pe^ o n?s PJBJSUUd auntfoes o 16 sns

lL , : ' Bauaiuase p pujzt l t ln , (1rgo:dep) cr lqo.*'-:r:dnr n:gesaja;quiri leiiiozr-ro'161urr1,i r :'?uoFolJoarfcaro:d lqnpuJ1ln;1suoc-s

:rnFr3urp e:ndauJ

.sns

reu aluer ldxo:-r is l r r rnlnlade:ed:o1a:qrun pJrJ]or i lin . E,\rJrodsrod lS o:a8a15iu1 rinq- uui" . J 1ep -s gg'Oae:nFi; u1 :pa_i ippour

zo"relcla"ri-JiprJr cl'1r1o:O

bp rn1n1a.l

,s '0( 'BIJ

zv8

-e.leda1 e?rquT o+lelolarl$ gt ,d l$ ,: o o1a:q

-uJn ' , f l !S ,A ',3 uJ+qo s rS osJaAut oIezeJepo:IJur li.tsoloias,ctu i 0u,,,,ueiaJqurn Jluad'{VS'OZ FU) 1r1o.rd p uuld un nc auniieoio nB SBIBJelel Japel o EJ-BsoJou

lse 1r1o.ldprninladu:ed.Inzu) u1 .e1:edap reruu$ e $"g ur"lde:o;l af, ledrc ap i51de.ipE.rqrilnpzearu:il rodu'e1dea:1 slud u ad 6 u:qur ir psel g lnpr in6', a eJdsog7 eI etrEruJoJapaua: 1 olcla_ipolsar-B olorqrrrnFiBrltrJa^ ricaro-rd I JB r ylvluoz-r-iouriraro-rd i; g_rt 6 u; eide:1ad Fu.1:3 s atarqil{n FSEIA ur-tdara:1ar lpdur ep ejdua-rg'p1du;. i1-e.r1uoJEnopB gd ,-"

,a e;qun'escig tn+-JUno rJisV 'JldJr l ad B;ui ls urp rnlnlade.redBrqruna?sa plrJrp rsw .lerparu1p11n2ai,g

. ,t

'd ' ;c FJqun ap €lalJund r$ alrq;:oap orxalq-o-irlpf,rpu nu eldua.lpurp tnlnladu:ede:qu11'. lorJr lue 1Ep e;l iurrpur

-al lqBIBAuls pul l-JaooJlJlr rad Jlr lJJl r rglade:ed rSerurs ,eur1

-JAOOJJ_ JBJlUr JUn oJaJqr.unlrnJlstrof,nB-Sgg'66z:nFr;urp e:ndou1 .pur lradoci$ precs c

r: t , , 'FU) i, ! iJrrpd p erur l nr 1a1e.luduldt l t : JJpar loci p nlqiuesuz nun rotqun BaJ*-r lep nJ plel lrurselso Brrrclqo:d lsuocyr lcof,v gd {n1flsm a'Igugn{tn8'9'06

'r l16 ,rl

, ,w ,, ,1aBllnzai ou.l utp purr, r, i lrrroxo0C 'es,ic^ur JoIezEJepolaru a16asr . . 'g 'g '1,N,W EJ alcund al leleioJ nJluad

l- cc 'nz Fr r!: 5

.*-i"-,i



,Fig. 20.56

"lrutiJ.'33':o$i\/fil 7! .playylateral

,,*. .ii. .,d;Hil?. ,.#iffj?l",3iHT:,,il11i,,1i:'',T,X-*i;rti,,ttf,1i#t't3

l"lllij:: Datoritdacestuiap t seva determi-

fii,tftir";"l'

lli, ,:-operi'n

p'oi'Jiu''..-

I^,_":,1,.._q, ;;i ,'i'"p"!?,lT,f

r?'a,"?lii" :iiL'.rl?"'-'",,0:: :I"

pio*'1id''il'#i}.,r.i,l,::oj" isi*"2olig

l::ll!riu;,o;l3holl

t:,i+i!:i',i,TT,:il;xgh;:,iF*: t':.' "X,',"*,U$l*t**il:,u;ncr.

m2c!

343



3rt

f",f L';""'].lJ,iSjj ^,"'j:1:n' purri'ur rd ur1j,''',lT,I;s,y,'.:'jl-'

g,-qry 1,r'"li p",1"

"r" '

;i:,,:i '-",9-.:,.1*d:, 'f" 'i; ;; ".i' ; ',#ill;

;'1T,

nl:',lj:^,,,:rt::jl'^d

.yi p11n,i',l'

1,og , 19.06e:nFr; ul p ' Leu6 BrndrJ lp :i1q? u1 'a1i.ralbrdap e1-opeJpipJolBl nuerd-,.;;:";r";;i';;ffi:J,",j.:':r",.,Hlq:s.i:,l".':

:,'i':lmliii:ffit,,#{,'li,+i ,U?trt"'a"?"iY':1":',1!

ISoloJ ura1qo'ldalsar

::'|..1_1acl :d i"1rn,r r,oi

"r ,

orar eS .p1uedp.lnFuluuu pJf ldUIS O

e inSi;adoce nsi lt--._l nJdurex'at .(,x,ls-;sl'

;,ii,iii,p czeo; f aro:d,rij5iroJdi, r"a"iiilj8ugls1e.ra1eiop razBr prfraro.rd'.oii5iroJ rJRurunl

69'03

to 'oa 'EIc

.,\lll,



{i[:*rg. UMBRELE NUrREZALTT E UNmffiPERIg.unoscindrotr"rim.u'iataOeiinWl::1,:i_:grniqa, ezulta.mbreler, Si p5r :: i in apoi ,, 'c1i,,,

",, i i i '?t i ci ,g' a',; i al iig. O.'6gl;ria.

ilrlrrflirsr:nsamblu de volume. in epuia din fi -1ffia 20.67a fost construita umbii unel-anace

S,i_1? UMBRAABACET 0LTEDRALEEm[LstJLoLoANErc,llrruoqrCE.

d;;,pu_

xr'r.-:.Dreaptaecapdtab, , = n;i"t l .uu*_trmn'a'p' inclinati i +sbiig. zo.6si. '?ionto-mnm:ntala

,(ae, a,e,) iasd'umbra or, 1,,- ' ; ; ,

lW;.r'"tJ"",1T,:,i".#;*#".",1:J:::::"tjdiionnq:ie_ausuluipleacd in e, , careestepunctdh;:.rdereespefat. In epura in ieurr'zO.OO

m:l!1' ff,1''" ti.T5.,;,";i "HTilf

(&li,,H

I,* inclinarea gali cu' p%n1u

uiop.ri-

ro ' -I]. UMBRELE ORI\JI$EIINUSOIDALEMft UN PLANFRONTAL r- FNrN"dii. A-ruttulfr-r::.roblemd

^este, aplica!ie_a 'conJrucfiairumi:ei ercului frontal fe un al t plan-irontallff i iq 0.04). Fig. 20.65

Fig. 20.63

Fig. 20.64,!:rI)

-c1r^e'qate i aedusi6ii".i-.uu prtn

meroda azelor r-nverse ;a cum s_augdsit irm-

345

Fig. 20.66

Fig. 20.67



t /"0aFIc

06 c

i.r903 nl:l

l! .

t1, r ' i i i , i ir l

-rsnalrreurrnJJodelrrirnrlsrio.r; l j i t i i. :oap auralqoJd pJip lJ nl r ; r r , iF i r r i r r le i rr ,Jnsnj ad rnln lct r rduJp clu] ; i i r l i , . r r i l l r i r ' i j-0' lnlnlalrr lel B plBl l l tJ p_jqurr . t; . i : l : r ioJ

-t11,1

rqrun 61.0GBrnFrJirir l;.rnda l; fn ) uJ JIJJIUJJ n) ?zcJ tScJJJD;; i r ; r i . irJ S iuJS

ao r$ ro otlual . l l l Joli-1riJ,r j. ): t . i jJS,,-:1 _l-"Jl:UfttA'c ri tz'-C; ;;11;1r,iur.r1, un a0 luluo.iJ rnlnJ-rJJejqrrrrl e1 erlzt

,- o EJ Jo+alrnJislror 3 1od e:qrun'olsorv, ' ; NOUCUCTA(IVJU\1 TAUgWn 'f l .g.0a

:r d rS rrrdo-id ralqun erfonl;suor nj EZB.I ]

: l. . BJndA .rA-

nl . - ,3- , . t ) -1 ; r1dr1ao"rqnri)JB pdnp uoJ op InrJrunJ] lzeauoLi r ;s2le,luoztJo-eleluoJj uud snp eulurLl

'cp

I '(0L'02 'Frtr)leleFue Liorri lrjs rp r,lcirn.rl

n i i - . rprr l . i r i : j r t { l l ;J t i r j l , , r f ,nr , , , , , .un4 r?JJrnJ-{_ilri j -i i i iriui_;r

-riroC f5 - ; j tsJ r4sorc e i;1rrul. le,t

:t :J ' i : :grr lJ lJ. \ l1 | ' l ;1o"rr l i ;n inu pul i jprsuor

P. ls, \ iozJJ j alroil E{uJiqojd . ,1 , :1elrior; p"^rrr- ror o-j j r_i i i r r ,J lafe l t r r l rJ1"r ; i r i_rp i r , l , r l ruas, l i l - i , j : : l l i r ] L in- i IL i i i r -i i ! r r is .LruJ puie j

" r i i Froru-, rJJ i f 'ul l e v;e1-r IC_i i rr rdo;J n rqr i n l r : l rn-rJs_

..:. '1.. i: : ' i : ,69-95 ir;nbil ui p e.rrcb Li l '{ { E+aosu' , L-. r. . i , . i . ) l i i rt )

i -r11; i61u;LiJt i t i lsB ap j1so, l ,[11]-]u?"l '; i . : iJo,! i i1ioJazE.r ?Do}riiri, :ziy1n n_11,r ' r{

, . t^^, ' , * ' ,d eJai . t { j iuni - r }Lrar{1: " . : rpBsl t l t ; r fJ,?e

' ,b) e- i { t iur t r . . r l rn- tu\ ,8 , ,v; 1 i i1 l r , i i i . i

;- - i , tpul l l r

].]1t"1 i l { }1.'n3':Ll il I t roosu rr,,.-.,11, l t1 ' Erqurn

Li. l j lrj. : ioJ J:,oi u r. .9.06e:rioorgLnp

u-lndr Lt l{ ) l i t : ' ) l i i B. r ( i l iu t r l } , ) i i l i i o lS , :pn1-r t t | .J, r , ; , , , , i

" 1,,. i , ' i i i, . : j l l ' i lal iras;.;1ir i)1s ijrts oporirt)

-J t l r l' r i1 I . t l l l l , i ' : ] ' , r , ,1. Jn1t i in,1 ", , r " t5 - ,r o ; , ) l ; l iq

l t t : ). . , /



...url{BF,tg{-F.RC,,qilEIUE pROFnt.

- : i : r .problcn;i este o aplicafe ;- ; ; ; "i rilnbreicercLliur e piofii p. plr,r.i.",f"

. , l i ig:U.73) . i i rc . , r r r rcrvinaccic:rs i

ir ca rn ePUr-ai in { igrrra20.72.

JI.1BRfrr Si.JpFAFETfiLCRrROTATiESIUMBRETFTEMENTELOR]EAI Td;:ECTURAeAREcNTti\suene*lr:CNCAi/I .5ALJ f; .,I'fFX$:

l l tBF.A ryt$Ex Lr?r!CircNr)!?iCE_- ' ,q ' . r ronlc-ot ' izontala ab, a,b,) 2- r lbra b'a' carc r ,:pr :od"". j i i ' , , ."

- -, or izorr tala ci l in, l l .u lui t t ;e".- t0lZ+i.2 ' c ' , ! . ' ,es tco por{ i i rnc i i , i i . l , , i . . r . , i ii I r r_ 'nt{) -Lf:orr t: iJr ., ii - r r . l r r ,r ,} . .4 i . " ,. i l , r l r l t 't lc r :rnb;- t.l^ r i ; : . , i i , , .. , i , iu j '

.p tL\( :u ini r .rcrr ;plc ie rrr :r l l r . , trur tat( . ,

. i supratcle; lo t f ur i i iur" i tr :; cnr r r t , l , . :

D1t 1



,....'l.l ].*..:T.*e*e*,

i ; ,gz '0a 8lg. j



r-. . .e?0.751i20.76. stfel, n epura in". _ 6, umbrele '2, qi yipi sint arceLlt.:: :1. aza lro, ia r umbrele B,m, gi a,b,

; ' : . 9"cerc cu raza, @m . Dreapta 'd e

ca _

?0.p.\ UMBRA r$Er EMrcrLrNDRrCEES_C0PERITE.ceastdroni.*a-polG'ii r"ror__v1!an d.ubld roiecfiertogoniitilis.20.80):1".1T?iln proiecfavertica-ia.mbreie,,

i,

,s rcr' pot Ir determinate n no d direct, curba

*-" *b^y^au opurtat d f nr l un -aic^ -" ' et p.ra.

uacaax-a cilindrului ar fi oilzontald,' an tavea construc!iaumbreidintraclosul entru o

bolta semici l indr ic i sectlonatl .

?-q.qp.9+{-BRARopRrE,AEcAprrELULUrIN FORMADE TRUNCHTECOU.-bonIiae.inArabateri ien plan frontal uf.

". i ."uri lo.t i*:,17.1:t j_..:flu D' ,n proiecfia erticalii epo toDIrne u usurintzi eneratoareleeparati ice/ f io qORl l

\ : . ' : . . .

flr I aruncdumbra giai Ia aS.,-'inOilJrent: . . ,ul_peste are

treie.In

'epri. i .--ainIrLrLr10.77;20.78gi 20.2gsint prezentate

r11; r : c€va mai complicate e ionstrucfie: r-:.cr ntilnite in hod curent n stuJiul. ' - elementelorde arhitecturi .ur" *n_-" ' - .rbie de ni;e, balcoane, car i , st i tni" : - . . , console,. rof le, sociur i , ;r t i i ; i ; :r : : , l lvarea umbrelorpe aceste xempiea

"r- = expl icati pe epureleanter ioar6-aieL .:r ragrat.De exemplu n cpura 20.79,

,r,-.e de cerc al e celor cloua niqe sint" , = deci cercurilede umbri sint iti tron_:u. aceea;i .aza. Abaca patrala lasa,. : : Iusul coloaneigi pe cele trei plar ie

. ,- ii n fund pe care se fring numaf u* -' , : :nto-or izontalelor . M iasd umbra t l

- esteo porf iunedin cerculde sectiuue- coloanei.P_unctul , estepunct deii = de spefa I[ . . i

i

Ia

Fig. 20.81

349

lr .

?\'\.i\ i- -\ \\ \\ \\i ..

II

--t--ibo

,::|A



0c8(j'?Or i Fl.l

r,B'0a itrI

-. uap.t;rd 1r priru'rl ,,,,, ,r..,,,.-,,0'lrr,'r.1:rzuJo-JJurJci:r1rrza.r ,r i l nr . ; ; ;o . rd

-rr Brqurni iorydu s (9g.06 Fr3)lul irorg. . , r ;1u1:nd Jqlun tlr rad .usr ir taap f,JB

):/ul r?lulrn{io}uB -rquril (r uOf Fg)

- alss ln In j l ]u iJrJ ux? i lJ JJiqaso

-. r : :dolsap aJtJI l t I r I iJruIosai r i r , r r r i rn' . .8 alsa nru;1qo:d Hlsc, r . ) t r VIVr\ , lOI j ,

-' lOUcfi 0 sfXSryNI"IiStX,VISgfik/JXV- rdnd Is grudoudvus!,qJn-d

g:ol.( ,4iq) rni i i i rund b ,rJB-rqur l

. ur ' tr1nr1suor_sG;g.Oa

Frg)

pjrrp. , eSrrr d aluaiuala lsalp ap pluirnd-:;uJd .1Jeiadsap o:ap;arcl p lound: :trund '( fA'Oa Fli) / , urp EsnpEsro1

r: -- o-:lrirrd plynzat ,), nrr$ui1 :airund

l] ! l+,au[ur,) iJpJ eiuod ar l.rpLnlrr ausolDJInsnJ 0 rnlnlal ldel e g1e1:nd rqurn .VJIUO-NrTtsrwss.vstN d srNawalaS0isacvglqugwn Se3ru(Nrrrf,aNvo'loi-"lnsng:I d CIUONITISNIN'I;ITIdVSVUqWN tr9 06



ffi*ril{i4lli:+T#t?uHHffi'_:u.: zorurRln-; urv't;;,ffil'Rii,{iti:ffil.',r" 1?:,,1'^-".1-lolo,tn r..'i-

"i'npr,:-:ia tripluortogonataiiis. 0.aoi''iIJ,l;

t.,,iryi"t pjiltl-9 razdnversi epleacd. .

Umbrele gi4, sint puncie _piira.r.: : .a I I .

cun gi umbrele-1,'i

z^ situatepe cercurile1,"',$ii'o!|1fii'1:lJ9-'fna 'ne.,i; paralere

;1,i"i*au1",rlTlif;::T,Ti?,J:'#S,,:.*,l1,i;i,i .?,.oi:.,ig' :#i#i#ji.:ar=iii,g1;,T"'l:;.tm:*ir"*,#,ffi",i*f,:"i';.:T'd;;i;:"i'::?:"ff11,.;oHt:* **:'i',n;_mbraurtatda curbei Mr-, n-t.*i* umbrafi1?::":?.1'tuf;t", p

". uiuT'"ol anei

p.;;;"; , i"'iliJ.i,l lL"i ii5ff,ni j:

#45g-4r:ffi$**::i 1rT,,?,:,i,: :?,:f:l i:n:e planul vert icbld

* i-,:[+ii?:rtq';#iixlj8sf;J#,ll,,1i$:.::"gfi;i1;;;i;i,'lli,lt:r^;,;'d,;';;'r';"l,li?::i"fS,1il.".r;uelr esc mbraau on r atd ,.;T,b;;;[rii;;;:

ii:isitl,::'r'*;ri'iit:,,,:#:*;;troprie.q i umbra pu^rtatdi"..tr,rlrlr; ca in

il: t'"T,l""-&T""#rd&iffi i.,.o

' { i , . . -v;;i 't 'v';

!

351

l : ' ig. 20.8B



c 'q 'D t6'06

(P

2D

r qng 'ra$ru1n:pur lrc i iuasAiJ Fu[u11i op rnlnJpur lrs

; ; : ieu Br aJEJBJqun qJurzardJr:rl raJaJS PlBlJooolnB BJqrun

l l Jl e ISaJV '/Lf , -7 : ,3,a ApUn '/3, f ,, i l , axBruas ap Bsdrle olsa /3/J PJqixn ap

'rgt sl BJqurnBlBpaJ lse 17 6'96 e:nFitr"l q '{) lnlcund ur:d asnppurunl ep lazer

r-:"aJrp lrJeJrpn:1uad errJoJS a$iu a1a:q

- :Lr lsuoJ e-sJ l i q 'D '96'0AzrnFr l urp

-rt e)lueJs asrN 1suswn il'9'0a

26 06 '31C

GS8

'{eO'OZ'Fr1)1r*araraJSIuasieie:dns $ ,q,t,gBaJBo]JaJrpJ plrrunl ap BJIJpUIIIc IBJBJd-ns aJ+ulpericas-ia1utdeg ap elsa ,6-,d-, 1RJqirnap BqJnS ,d: ur a:ap:ardap pund un tt

,q ur ocrJpurirJrirrasaJBqE at.tdo:dpJqurnap

aunrirodo e" rede er +sac€ I 'VU:IJSIW:ISgd

a)ruoNrxnrwssacvsvvugwn'01'9'06'9S peJaluqBr Baueuese ap plISoloJ+soj V' ,n uI puld ,g erlca:rp gdnp gleuroJapauprq-runqsBLB ulp lgdecap eldea:q 'a;ap;aidap

l3und OlSa/l ApUn ,l-,fi-,1-lr EJqun apeqJnJ dnpBJOJSZBauoIlJas,q,s PIBluozIJo-BIBI-uo:; ur :d snp purunl ap Inueld '( tO'Oa) .Oeop elsa lnrqBun rcre ri) aluapaca:d laydruaxauI lelpie e-s urnJ pdnp gururralapes altiarrara1sruas ar:do:d Brqurn 'VUgJSIWASAd:ruv'rnrHoNnrdauoaSvsv ugwn'6'9'0a

oaor '3t:

o!-{

ril'n

/

q

\w

/e/B ueJI . l+u ras:a1u/ rc/3 ]nf,JVglutza:da:

#l

sffi,, "l t

oo'ozFrg

*if



Ii e 20.95

.F ig.20.94

- ' pc elr i rr i r i r r i i r l i f icrr l tate.

; ' r t icala. n epuradin f igura 20.94s-a

-r .rdubl ir proiec!ie ortogonali iu nrbra

. :r ice, completatacu o cornisi s i un&.- ce poart l umbrd pe semici l indru.Tn,- .a or izontal i i , mbrele r Ei sa fac parte

,1,: izSi l ipsi. ln rest, constiuc{ i i le ot f i

/"'r 'ig. o.oc '1 7l '\"*"**-**-'4

I

pr in purrctelei caractcr ist iceste ' , p ' , y, , e ,g ' , a i . In epuradin f igura20.g7 -a eiuzrt 'acesielementde urnbrzi

ntr-un ansarnbiucle volu-me formate din ni5e, st i lp i , trepte, rbace giprofi le _irontale.L i

'epur i ' t l in ' f iguia 20.g'Bs-a conrbinat nisa semici l indr ic i i u rrn sfer tdintr-un.el ipsoicl le rota! ie. Cur l. ,r n, urnbraestea 'p '1 , 'e ' tp '1 ' .

20.6.14.UMBRELE II$ELOR SFERTCE OM_BINATE CU.DIFERITE DETALII DE ARHI-

lEqT.V\1. in epura tl i r i f igura 2r) .99,ni;asJer ic ir . .din.t inga_ stc sec{ ionatldc un pldnde profil prin ax. Arcul de cercc' las:iumbrav,iar arcul de cerc r' lasI umbra p,. Segmen-trsl.a '

j ' . este.egalcu o treime din k ' ; , .- Um-brele' ,g 'gi 's ' fac partedin e l ipsa e centruco,.

In tgql 9g{elalte mbresedeteimini prin punc-te. E.pryrfdi n figura 20.100con{ine'doui ni;e.sfer icq semisfeldntratd, o copert inl c lrept-

.t

' - ' l ' -1

r. UMBRANISEISFERICE E PIIOFILIONATE.Punctula' arunci umbra:ia'. pecurba y' de urnbrlco;rstruitr a n

: : le le precedente f ig .20.95) . Arcul de:_eprofi l y ' - a 's ' aruncl unbra o' -* x ' pe intradosr-r1isei sfer ice.Punctui e'

- - :cugicota cir b ' .

353



o0 l 06 FIil

86 03 .bI.:I

/6 06 '8trl

:f*fd;'1'. 1

'' e ''. . , , t ,T ;cdi " l l

'!ri':\ ir:',:it::i' ' ' ,

66',06.FtJ

I

) //) - ' ;



Fig.20.101

-.ar i angajata; i un balcon cu abaca;:.clei dreptunghiulardprezentindun in-.pre inter ior in partea centralS.Epura.lra 20.101con{ ineo ni;d sfer icd,un

r, pol igonal,o arcaddci i indr ic5, o colt-,. o copertindcare se sprijini pe aceasizir : dc capit nefiind angajata la fafadrl

:u o micd poriiune in partea stingii.r di n figura 20.102 onjine o nigl sfericil,

ntnLL. arcadi cilindricS, un balcon cu balus-.r reptunghiularS,atru console e capdt

r"iilr*eesprijind o copertinddreptunghiular2ii"r'atd. Epura se cornpleteaz/au 2 semi--:lirate qi cu un joc al planelor frontale

: l lconului. Epura din f igura 20.103con-- :m aceleaEi lemente u excepfiacelor::ige dreptunghiulare.Avind in vedere.e studiateanter ior urmdrirea raseelor

--or

pe aceste purese poate ac erefiind necesardnici notarea

: : : ' ,orcare ntervin in constructia

cu uEu-tutur0rl ini i lor

355



.':iiii,,i,:;{t

.'i1i.i

it:,:.



i ; U}IBREI,EPROPRII,PURTATE IRTATE ALE COMBINATIILORE

qFETEDE ROTATIESTUDIATE NCAPITOL.Ca o sintezda insusirii teh-

r ., i rasare a l ini i lor de umbrl pentr l l

t i;: .rri de suprafete int prezentate pu-

; - . rqur i le 0.104; 0.105; 0.106; 0.107JruiL 1a care se aclaugii igurile 20.109 i

L . : problei l lc propuse.

Geometrie Descriptiva-Tanasescu (2)

Documents

Transcript of Geometrie Descriptiva-Tanasescu (2)