Geometrie Descriptiva _Punct

download Geometrie Descriptiva _Punct

of 26

Transcript of Geometrie Descriptiva _Punct

Geometrie Descriptiv

Desen Tehnic

i

Prof.univ. dr. ing. Codrua BOLO [email protected]

Scurt istoricnc din cele mai vechi timpuri oamenii au simit nevoia de a transmite celor din jur elemente ce i-au impresionat. Aceasta fapt a dus la dezvoltarea diferitelor moduri de transmitere a ideilor: oral, scris sau grafic prin desene. Iniial desenele reprezentau viziuni proprii asupra elementelor ce erau reprezentate, iar interpretarea lor real ridic i azi probleme. Aceste desene sunt cunoscute sub denumirea de "desene primitive". Evoluia societii a impus realizarea unui limbaj comun de comunicare nu numai oral, ci i grafic. Limbajul grafic n special cel tehnic a fost cel mai repede adaptat la o nelegere internaional (fr frontiere), datorit dezvoltrii industriale i din acest motiv el este i n zilele noastre n continu perfecionare. Cel care este considerat creatorul disciplinei de geometrie descriptiv este matematicianul francez Gaspard Monge (1746-1818). Se mai pot aminti: Marcus Pollir Vitruvius (sec.I .e.n) care a lsat posteritii reprezentri arhitecturale deosebite Leonardo da Vinci i Albrecth Drer (1471-1528) care a fost unul dintre primii care au scris un tratat de geometrie descriptiv La noi n ar primii care au introdus n nvmntul tehnic superior aceast disciplin de studiu au fost Gh. Asachi n 1812 la Iai i Gh. Lazr n 1818 la Bucureti. Dintre personalitile romne care au contribuit la dezvoltarea geometriei descriptive pot fi amintii: Alexandru Orescu (1817-1894) arhitect, Traian Lalescu (1882-1829), Dan Barbilian (1895-1961), Alexandru Pantazi(1896-1948), Alexandru Myller ( m1965), Nestor Ureche, Gh. Nichifor, Nicolae Teodorescu, Mihai Botez , J.Moncea etc. Geometria descriptiv se ocup cu reprezentarea plan a spaiului tridimensional i ea i are originea n geometrie. Ea este utilizat direct la reprezentrile grafice din diverse domenii cum ar fi: desenul tehnic, topografic, de arhitectur, de construcii, cartografic i chiar artistic.

Scurt istoric

Oral Limbaj Scris

TextArtistic Grafic Tehnic

Scurt istoricGaspard MONGE Comte de Pluse (1746-1818) Mathmaticien, crateur de la Gomtrie descriptive, matre de Poncelet, Ministre sous la Rvolution, il fut l'un des fondateurs des grandes coles.

Gaspard Monge

Beaune

Scurt istoric

"Melencolia" incisione 1534

ALBRECHT DRER Nascimento: 21/05/1471, Nremberg, Alemanha Falecimento: 06/04/1529, Nremberg, Alemanha Pintor, mestre de gravuras e artes plsticas.

Scurt istoricLeonardo da Vinci (1452 - 1519)

'Leonardo da Vinci' - "Romantica"

Angrenajul melcat

Scurt istoricFiul lui Lazr (Leon) Asachievici, preot i al Elenei. Studii liceale la Lemberg, n Polonia, acum n Ucraina ( 1796-1804), apoi studiaz astronomia la Viena (1805-1808), i arheologia i epigrafia la Roma (1808-1812), unde citete literatur italian i scrie sonete. Public primul su sonet n limba italian n Giornale di Campodoglio n 1811. Primul poem n limba romn, Ctr Italia a fost scris n acelai an. n 1812 revine n Moldova i se consacr activitii de propire a culturii romne. Pune bazele Academiei Mihilene(1835), strmoaa Universitii din Iai. Fondeaz revista Albina romneasc i o tiprete la tipolitografia Albina. Aici i apar primele volume originale, Culegere de poezii i Fabule alese. Adversar declarat al Revoluiei de la 1848 n Moldova, cade n uitare i n perioada aceasta i tiprete nuvelele istorice, nti n francez, Nouvelles historiques de la Moldo Roumanie, n 1859 apoi n traducere romneasc, n 1867. n 1869 la vrsta de 81 de ani pleac n cltorie la Lemberg, n Galiia i cumpr manuscrisul iganiadei lui Ion Budai Deleanu.

GHEORGHE ASACHI

Scurt istoricnvmntul n limba romn debuteaz cu planul de reorganizare iniiat de Gh.Lazr n 1818.Prin ntiinarea din august 1818 se anuna c se inaugurau cursurile Academiei cu tiin chiar n limba maiciisale, o coal nalt de tiine filosoficeti i matematiceti GHEORGHE ASACHI

Intemeietorul invatamantului modern romanesc

BibliografieCluj-Napoca Teodor Alb Crian Nour Magdalena Orban Kiraly AndreiSanda Bodea

Timioara Iulia Voia Lia Dolga MircaVoda

Bucureti Vasilescu Sorin Aldea Ionel Simion Mihail Botez Moncea, J., Ruse, Gh., Matei, A.

BraovDoru Velicu Lucian Barsan Ioan Liteki

IaiLiviu Prun Cristina Racocea

Vasile Iancau Elena Zetea Targu Mures

Codrua Bolo Bogdan Bucur Cosmin Petra Petrua Blaga Liviu Moldovan Alexandru Pozdirc Vasile Gatina

Chiinu: Ceap M., Popovici, GH. Budapest Edcs, O., Katona, Z.,.

Sisteme de proiecieConsidernd : spaiu tridimensional {S3} n care se identific o figur F3, F3{S3}, spaiu bidimensional {S2} se poate gsi o operaie de transformare geometric H astfel nct figurii F3 s i corespund n spaiul {S2} o figur f2 numit "imaginea lui F3" sau proiecia lui F3.

HF3 S3 f2 S2

Corespondena dintre figur i imagine poate fi: univoc - dac f2 este imaginea lui F3, dar imaginii f2 nu-i corespunde numai figura F3 ci o mulime de figuri F3; biunivoc - dac f2 este imaginea lui F3 iar lui f2 i corespunde numai figura F3. Codrua BOLO

Sistemul de proiecie central (conic)S Elementele ce compun acest sistem sunt: [P] - planul de proiecie; S - centrul de proiecie, numit i centrul de vedere, situat la o distan finit de planul de proiecie [P]; A,B,C - elemente de proiectat (figur, corp, pies, etc.); SA,SB,SC - proiectante (dreapta ce trece prin centrul de proiecie i elementul de proiectat); a,b,c - proiecii (imaginea figurii, corpului, piesei, etc.).

A

C B

a[P]

c b

Se numete proiecie central a unui punct A pe un plan [P] din centrul de proiecie S, punctul a n care proiectanta (SA) intersecteaz planul de proiecie [P]. Codrua BOLO

Sistemul de proiecie central (conic)Din analiza sistemului de proiecie central se remarc: corespondena dintre figur i proiecia ei este univoc: unui punct din spaiu i corespunde o singur proiecie, invers nu (punctele A, B,C); punctele situate n planul de proiecie [P] au proieciile confundate ( G g) ; punctele situate n plane paralele cu planul [P] ce conin centrul S de proiecie, au proieciile la infinit; proiecia central d a unei drepte (D) ce intersecteaz planul de proiecie [P] n punctul U u (urma dreptei pe plan), dar nu trece prin S este dat de dreapta definit de punctul f, de intersecie a unei proiectante (D1), paralel cu dreapta (D) i de urma dreptei; imaginea figurii proiectate este deformat, aceasta fiind funcie de poziia figurii fa de planul de proiecie; Acest sistem de proiecie este frecvent utilizat n desenul de arhitectur.

Sistemul de proiecie paralel (cilindric)(D2)

(D1)(D3)

(D)

A

BB A C C

ba[P]

900

=900

b c

c

a

Sistemul de proiecie paralel este constituit din: [P] - planul de proiecie; (D) - direcia de proiecie, ce nu poate fi paralel cu planul de proiecie; (D1, D2, ..., Dn) proiectante paralele cu direcia de proiectare; A,B,C - elemente de proiectat; a,b,c - proieciile elementelor de proiectat.

Direcia (D) de proiecie face cu planul de proiecie un unghi ; dac 90 proiecia paralel este oblic numit i clinografic, iar dac =90 proiecia paralel se numete proiecie ortogonal Codrua BOLO

Sistemul de proiecie paralel (cilindric)Proprietile proieciei ortogonale sunt: proiecia (imaginea) unei figuri poate fi mai mic sau cel mult egal cu figura de proiectat, funcie de poziia figurii n raport cu planul de proiecie i anume: cu deformare nul cnd figura este coninut ntr-un plan paralel cu planul de proiecie (fig.1.5a); cu deformare total cnd figura aparine unui plan perpendicular pe planul de proiecie (fig.1.5c) sau cu deformare parial (fig.1.5b); proiecia unei drepte este o dreapt (fig.1.5d) sau un punct (dreapta este i proiectant, fig.1.5e); proieciile a dou drepte paralele sunt tot paralele (fig.1.5f); proieciile a dou drepte concurente sunt tot concurente deoarece au un punct comun, punctul de intersecie(fig.1.5g).

Sistemul de proiecie cotatA

(D)M

dH(0)=h=u

b(-125)

a(125)

[H]

m(100)

B

Proiecia cotat este o proiecie ortogonal, creia i se ataeaz n parantez valoarea cotei, realizndu-se astfel o coresponden biunivoc ntre figur i proiecie (imagine). Ea este utilizat n realizarea desenelor topografice

Sistemul de proiecie stereograficAcest sistem de proiecie (fig.1.7) este format din: [P] - planul de proiecie; tangent la o sfer; (O,R) - sfer cu centrul n O de raz R; S - punctul de tangen al sferei cu planul de proiecie; - pol de proiecie; M1,...,Mi - elemente de proiectat; Fig.1.7 m1,...,mi - proiecii stereografice. Sistemul de proiecie cotat i cel stereografic se utilizeaz la ntocmirea diferitelor hri.

Dubla proiecie ortogonal[Vs] [Hp]

II.[Hp]

[Vs]

I.0 X 0

X

III.[Vi][H] [V]

[Ha]

IV.[Vi] [Ha]

Se stabilesc urmtoarele convenii: linia de pmnt are cota i deprtarea zero; deprtarea msurat n faa planului vertical este pozitiv, iar cea din spatele acestuia este negativ; cota msurat deasupra planului orizontal este pozitiv iar cea de sub acesta este negativ. Codrua BOLO

Dubla proiecie ortogonal[Vs]m M

[Vs] [Hp]m m

0mx

0 Xm

mx

0

Xm

X

mx

[Ha]

m

m Linia din epur m mx m' se numete linie de ordine.

[Vi]

[Vi] [Ha]

Distana de la punctul M la planul orizontal se numete cot, iar cea de la punct la planul vertical deprtare. Din figur se remarc uor c ducnd perpendiculara din m i m' pe linia de pmnt (OX) se obine punctul mx, rezultnd egalitile: m mx = M m' = deprtare Codrua BOLO m' mx = M m = cota

Tripla proiecie ortogonalZ [Lp] II1 [Hp] I1 X III1 [Vi] IV1 [Ha] III2 IV2 Y Y [Vi] [Ha] 0 [Vs] II2 [Vs] [Hp] [La] Z

[La]

I2 X

0

Codrua BOLO

EPURA PUNCTULUIZPunctele fa de planele de proiecie pot avea urmtoarele poziii:V=v b1 v b1

puncte coninute n planele de proiecie (punctele H, V, W, H1, V 1, W1, etc.) - una din proiecii se confund cu punctul, iar doua se afl pe ax; puncte aparinnd axei de proiecie pentru care doua proiecii se confund cu punctul iar a treia se afl n origine;

X

v A=a=a b1

O=a

Y

puncte coninute n plane bisectoare (punctele B1, B2, B3, B4), ele avnd cota egal cu deprtarea sau cu abscisa; puncte oarecare, respectiv puncte aflate n diferite diedre avnd cota diferit de Codrua BOLO deprtare si de abscis

Vizibilitatea punctelorSe consider planele [H], [V] i [L] opace i observatorul plasat deasupra planului Ha privind spre planul vertical; rezult c observatorul va vedea doar punctele plasate n a1= triedrul I1 n care se afl, celelalte fiind acoperite de planele de proiecie. Dac avem n epur mai multe puncte plasate X pe aceeai linie de ordine este vizibil n planul orizontal de proiecie punctul care are cota mai mare, iar n planul vertical punctul care are deprtarea mai mare Astfel n figura proiecia b1 este vizibil deoarece cota punctului B1 este mai mare dect a punctului B2 b1bx1 > b2'bx2 ; iar n planul vertical proiecia punctului a2 este vizibil deoarece ax2a2 > ax1a1.

Zb1 a2 ax1,2 a1 a2

b2bx1,2O

b1= b2

Y

Codrua BOLO

Tripla proiecie ortogonalZ Z [Vs] [Vs] [Hp]m Mmx mz

m

m

mz

m

[La]

[La]0my1 mx

0

my1

Xmmy

X [Ha]mmy

Y1

[Vi] Y

Y

[Vi] [Ha]

Y

Din figur, rezult c n tripla proiecie ortogonal proieciile unui punct M reprezentat n epur trebuie s fie pe aceeai linie de ordine mzm'mxm

Codrua BOLO

Tripla proiecie ortogonal

APLICAIIZm

Zmmz

m

mz

m -mym

m

-my

Xmx my1

X Y1my1 mx

Y1

Y

Y

X>0; Y0 => TRIEDRUL ?

X TRIEDRUL ?

APLICAIIZZm -my mx my1

X

Y1-mz

X

mx

my1

Y1my -mz m

m

m

m m

Y

Y

X>0; Y0; Y>0; Z>0 => TRIEDRUL ?

APLICAIIZmz m m -my m

Z

X

my1

mx

X Y1my1 mx

Y1

my

m m -mz m

Y

Y

X0; Z TRIEDRUL ?

X>0; Y