f , i \

C{J

Prefa{5 r , . . . . .

{ lap. I SISTEI{E DE PROIECTIE

i. l Sistemr-r l central de proiecf ie1.2 Sisternul paralel de proiccl ic1.3 Tran-sformir i geometrice .

I .3.1 Transformarea prin cmologie .1.3.2 Aplica{i i ale transfornri ir i i pr in onrolo-

gie pi af in i tatcl. '1 General i t i l i asupra sistemelor spcciale de

nr^ io^i i6

1.5 Problcme propuse

Cap. l l PUNCTUL2.1 Sistemul de proiecl ic dublu ortogonal Monge

2.1 .1 Plane de proiec{ ic. L in ia de pdmil t .Diedre. Sistemul de proiecf ie Monge

2.1 .2 Plane bisectoare2.1 .3 Epur5

3.L3 Purrctc pe drcapti i detcrminate in anu-mite condi f i i date

Pozi{ i i le caracterist ice ale dreptci3.2.1 Dreapta or izon{al i3.2.2 Dreapta frontal i i3,2.3 Drcapta fronto-orizontal: l3.2.4 Dreapta vert icala3.2.5 Dreapta de capdt3.2.6 Dreapta conf inui i i i t r planelc bisectoare3.2.7 Dreapta de profi lPozi{ ia rclat ivi dintre doul clrepte .

3

l9l9202l2l

2"1

2525

2727

272728

4lazAq

43434:l434rl44444445

4748

4849505l5l

hz

52

(c,

53

D+

565656o(]56

6060606405

3.2

3.3

,1.3

3.3.1 Drepte paralele3.3.2 Drepte concurentc

2B

29

303l32

32.1{+

34

34

36

{I

\

r i

9.1 .4, ) l<

2.1 . r i

2.1.7numencePunctele situate in serniolanele bisec- Cap. lV. PLANUI,

Epura punctuluidi"ia-.riii.l."' -a"r.iiot iu..' aui. i'u.Depbrtarea. CotaEpura punctului dat prin coordonatc

l) .3.3 Apl icat i i3.3.4 Abl icat i i a lc t tor t 'ntc i r rnglr i l r lu i drcpt :

1:erpct td ict t l r r rc pc dlcptc or izontalc sat tfronta I e

3.3.5 PcrperrdicLr lara | ,c u r l reapta oarccar(r3.3.0 Pcr' fcrrt l iculara 6t-,murra a

'dcrua dreptc

datc in pozi! i i caracterisi ice3.3.7 Adevdraia lutrgime a rtnui segment3.3.8 Proiect ia paraleld qi central i a dreptei3.3.9 Apl ica{ i i

3..4 Problcnre propuse

4.1 I leprezentarea platrului4.1 ' .1 Urmele f lanului . Punct gi drcaptd con-

{inute ir .r plan4.1.3 Dreptclc imDortat t tc alc platrului4.1,3 Pozi t i i lc caiactcr i " t icc alc plantt lu i i l t

raport cu planele de proiecl ie4.2 Drepte gi p lane paralelc

4.2. i Dre'apta faralelr i cu planul4.2.2 Plan paralel crr o drcrptd4.2.3 Plan paralel cu un plan . \ . . . .4.2.4 Pian paralc l cu t loul drcptc arbi l rare

loare . , .2.1.8 Al fabetul descr ipt iv uf 'prn. tu lu i . . .

2 2. Al trei lea plan de proiec{ie2.2.1 Al t re i lea plan de proiect ie. Planul

lateral. Triedre2.2.2 Simetria in raport cu axele tr iedrului2.2.3 Simetr ia in rai lor t cu planelc de pro-

iec! ie2.2.4 Simetria in rapori cu plauele bisec-

toare .2.2.5 Exemplc! .2.6 Apl ical i i

1.3 Probleme propuse.

- .p. l l l . DREAPTA IN SISTEMUL DIIPROTECTTE I1ONGE

-' 1 Dreapta3.1.1 Reprezentare. Proiccl i i . Urme3.1.2 Impir t i rea dreptei in regiuni . Puncte

caracteristice pe o dreaptd

lntcrsec{ i i de plane-1.3.1 Plane date pr in urme4.3.2 Plane date prin alte elemente gconte'

tr lce4.3.3 Ut i l izarea planului b iscctor doica plan

auxi l iarIntersec{i i dintre drepte gi plal ie4.4.1 Mctoda planelor proiectante4,4.2 Metorla ploiec! iei paralele4.4.3 Metoda proiecf ici centrale

3737 ,{.1t2n

7,61zGll7, I6I I8I I9I I9I I

9I I

?I It t lt t lztlz t II I II I I

nzI

,61

IOI868686

"o',;;,0 * roplnJ'1nr1*.,,iy]_"{;j13ff , n,1nue1d nc roJr r qrnur,", r*r.,rilltllJ3inn# r.

".oaluelralord aueld ur.rd ' runr i ras i i .R

: : : ; : r : ri'1"1"1:,jrliiii":l'i1;t ". . . : [nrpaErapocg.a.S

. . .rnqnr",.,ll]|ffi 6.9.9rnrpaer la l .o l ; i - -" .

-n8o.r a.rpa11od rrur:r ;o1a5 ea.ru;uaZo.rdjf g.5.g

-*"n,,'"o,rr;,; ',.,,; ".;r;"r:JrtAlT ; ; ;

raursr.rd ea.reluaza.rdai i . i . ie leuo8eluad eptwet i i . i . "*c.ref,oJeo aprrue;rd raun ea:eluaiardjx= i . i . i' .rola.rpar 1od earel ua-zajdi[ 3.g

arfraro.rd op l lauuld ulp lnun nt Jolu;edyuln:p.p.. trJrut IaJtse 1n1nue1d e-tialog e t e.s

99_ e1;ue1d urp lnun ,a ,u1n", i loai"JBEUniB qs l ! r t r ! laJl .sp rnlnubld"er ia lou AI.e.9: : : : : 'JllHilf,,? 1il,1,j,?'ii'i"J ii is: t1 ' t l l : .1t_p; l ! )ut ldJtse r ;1dojp er le log g1.g.9' '? lep ( ,S'g)V nxr l e ldu; . rp o ezcl - ' " -

: . . . t : l l l .RS l !JUJ 1aj1se 1o1do:p'urf e lo1i 6.g.Sro lu lLupd Jp Dlul l nr uf , r le judFulo?p

es l l ruJ 1a11se rr ldo;p, e '1 i 'a1o6 g.g.9

"o'o,.,,;, ; ;,, ; i,,,;,' .u r,,;-:lt"','j:j:-3, ' ln:p. FS r l rut . 1,11su .1,r1dj . rp-r , t19l"q L.g.gcp clcueld urp ,nu,, ,.,., "JlJlJ:J j:t ' ln:p.F: lt-){J ta11se r;1,to.rp izi[ 'e1oU 9.c.s. : : . . i"{'.,pu5rJnl,#.,i;,'jJ5i?,{ s ; s

-ll u: lrJu! rorlsB r'';ijyl,$ ?l'jlg b t s

: "111) '" : ! l ! r talrse rnJnirunci e11ajo-g I s.g: . . .

rn ln lcund a luor; Jp ei le jop ; ; ;: . . . :"1"t. '" . '1 | l l ,rrLr of ei leio[ ; ;d

rarfelo: EpoloW g.g

: : : : . . .": : : ."'".13:X;y"qord ae1]-qilp pn:p B punuor nrnlnupu"Oin6 g1.1.90uBId l r ,nFl1 raun e aurr ;aui n l i r rq, \apf i i . ig' ueld un e1 l rund un:..'_:_ _ rvd9r "o "'f l,"i,il i ' l ', ',$ "''

tln JteJcJBo rre;d rnun EJJBru. lo lsuBJ I nt , r .a' . -^ , r ]d un n:1rrod ar i roro.rd ap jeruoi " ' ' ,-rJo nEs lec11raa rreld a

ir."l:j:! "F,n*';1#"';i","r"Ti1#i3,'3 3 l 3ptoearp o z1 lrund un e1 ap efueisifr i i A.oruorr'";

"r;";,,',""" ""rr,5,t,""tt::tj: ; ; ;_ _^.- lgder op pldeoip ne^:Fle)l l rol uJ otrdrlp reun ea.leru;o1iue;1 g. l .g. .^_. ' .^ . ' ,

. B1eluor j nes 91e]-uozt. to uJ J ldJJp lJun BJJeuJlolsuul t r ' . r .c' . .^_. '- p1dy.rp o n.r luod,ar | : , tro.rd-ap 1di.::; r i:.' i: i' 1, Til#'.,l"' p",".",jf

: j,Tj I r s::li .:: l:1:":r,: iJi,r,loT""ifi*H'.i! z t s-JJrol0 Jp IEJtJIJA trald ap DJJBqultqJq r . r .c' ' or l rarord rp.ro;aun1d u:eq,ur i1 j* 'epi l j# r .s

' a le ln8a:-rruas olorpr l lod 6.1.grolnA rnl r l r r lptrU . i t l iu i tnC t . t .S

B8

L8

L898

98

98

98

98vtt

t8

n888s8( 'd

7,8

68I8I8

6L6L6L6L6L

BL

8L

LL

LL

9L

ql

9L

TLIL89L9LS99999999

99

I I I

60180rz0I601

', ' rlflrpatnq 1.tsUqsrlo4 ' tr Inf ' t le3

. . (jji.iliyll g:lqo,q nuff6 s.2

. . IdNIHDNN

IS VlNvJSrc ac swglaoud .trA .dB:)

(af uelsrp) asndord aurajtju-r6 5.2. 01. ' .1 otualgord l . /

esndo:d ruratqord A.gnlpJl ldV I ' l .g

Jnrrr) I C)

' Intuat .rA-'dP:)^\L6

L696

9696YO

?6

tot6t ,o

g6

z6

I6

I60606

686868

: asndo:d aualq-o:4 9.g1u3ued rp lo l t l l l 1n:nf u1 BarJJpqBX zt .c,c. ( lqder ap r{ JreJ " ' - --. i l j : j ) .

-"!1."?gro.rd :o1aue1d eJ:j lequg 1 1.e.qalrBl0 l lndlJ taun B aurrJeu eie.rprrapv ni .6.6. ruerd enoD ar lurp In lq?tn

"6 g 9

:n ld.ul 1s p1<iecip o "r1u,p iniqar, i j ; ; ;

^-.. '_,__' _alualncuoJ alda:p gnop i .r1ujsurJ0nJ.rnlnrqFun e our.r^rur ala:Errabv /.c.calcJerBo oldrJp Fnop a.r lurp eluetsla ; .6. . . . l.tnlu.rf Yrl.d :'n.ag eili l.ecre[ ;; s

:aj'1rpjr.ur.rct ue1rr 1nun'"r"Jiflj,ld'.s.sprn;rJ o nrluad rr-ra1e;rr;rrrs,X:tj c.c.c. . . '^^ - au.r , :n rrr . rd 1ep ueyd uh-i ;-u! . a l tsnl ls auald r . rn l r l roun eolaleqe>r z.c.c

!rl]:zo0 op) crq8unldo:p rnlnrq8rrnr-rjplnddd ' tn lnuBld e alerr l ia,r lJuln rrJJl-BqBr,urr ,Bzl l l ln . r r

fcorold op le luoir . roInUBI(t Jd alBJaJBo ueld rrrun ej . ra leqaN r.c.c' ( lualBqel ea.rerrprg) rr.raleqe.l-epol lW S S

' : : ' I I " , ,- ," ,0 "; , , i l l iu: :u,cturrqord

ts:?9TI, l?. rS arfelo.r cLlurp e1u.r lenlqr3 /1.g.9JlalBred ^Brrr^ap ps cueld fnop u;r t ; fb$ gi i iauBJd lln;rJ raun e cri.rr.rgru plBJqlapv q r.r,.c

_ . ' arr : lauoa8 ctr i jLrr i la - ' " -

a l lP urrd l tu lJop rnlnueJd er ie lo! y1.g.g

(a,,rr 1dr:r.sJp raJlcuJoaF clcpoyary)Y A dVWdOJSNVUT

,3Q;" "';il'[[,;Y','i{,'$

?'To o ?l'Jt'dm\ ",^^-r -r \ . ; . - /

: : : . : : :l,r."Tr.,r:-"i]i"i.jli[r;;g s'a:l{t.T.-il"l- : run*o. ;r.,"ri'oi:l:

r r iecr, ldy 2 '9.7I Pl taoJa.I o 'c '*cueld gnop , :d :e ln.rrpr i ;df : j

" ; ; ; d i ;unl0Jrprr-l n.rp.)rrl Inlrl er lrn.rt,uoi i.6.i

irf..9_..1 -ureIrrr pu.rd.rott alOeug t.q.i

.' ut,lHii3,5lii' iJi',fi 'hi',1',''o,*1, g* : : fBloPJJp o dd uJetnf , t Duod r . r r l

" r , l " r , ) i '^ . i . iBldprrp r, od uLbprri l ju.rt l .rot j ' uldrn.,. , i . i . I

: : : tt1:ilp_o ad .reJn:1p.u;orad ue1f, i s.i. j,';1;ii.';r;J,;;5ilfjj"*.u,rd 6 s t'uplo t r i l Jd urulnlplrJd.rar i e ldea:q l .g. ,a;elnrrpuad;od auald r$-oldaiq 9.p

prraoJad q.g.t

9a. lQ I '9 ' t

-4*Ji

lff'"'

l l l

1 l Il t II t2ll2l l4l l ll l4

l r5

l r5i l6i l8l l9I21122t22

t24

t .l.{

Metoda trarrsformdri i planului de sec-

t iune in Plau ProicctantMetoda Proicc{ ie i Paral( ' lcMetoda ProiccI ic i ccntralcIi;i;;; iiiungitiurilor omologice (con-

!fj;il'li" 3."'f.ftffil pr on.',p."i,it.' i,iool iedre

tnt.r. Ic"t ' ia=Jintrc cr drcapta;i trn-po.l icdru '---g.q-. i - t ' ' r . i " t . . . t ia dirr t rc o dreaptd.Ei ( ) . pr lsma

s. i . i in i . t ' . . i ia dint ' "o dreapt i ; i o piramtoa

8.4.3 l lc toda. planclor proicctantcDcsfbquratc dc Pol ledrc8.5.1 Desl igurata PrlsmelS.S.Z Oesfdsurata Piramidei '8.5.3 APl icaf i i .

Intersec!i i de Policdrei ' .d. i- tn' t"t . . . ! ia dintre doud prismc : . .18.6. i i " i . t i . . i i , d int t t o pr ismd 5i o.p, i tam ida

8.6.3 Intcrsecl ia dintrc dotta ptramtcc

t t 6.4 Aol ical i i .8.6.i l i it.tpi*iur.u .dcscript ivl . Polid ltcl,I:' " -

t i . rnaid a epurclor pr iv i r rd intcrsccl t l cc

Poliedrei.7 Ploblcmc propusc

ta\ \

- r r i . rx. \upnarrTE coNlcE sl c l l - lNDRICl l

l , i \sgf"r",,tare. Planc tangcnic' Normalc 1ilankcnte comuneg. i ' i - r i "pt . r . r t tare, contur aparcnt ' ' , ' Ib.t.z plin" tangente duse intr-un punct .pe" ' -

iupi i iutd iau pr intr 'un punct cxter iorg.r .e i ' l ' rne

- tangentd paralelc 'cu o direct ic

L l .4 $i:i.'6gentecart fac iu'ptanut'oiizun-tal un unglr i dat ' , i

9.1.5 Tangcntc $i p lan" ta l lgenle comul lc la" ' "

Aori iupraie! 'e conice ; i ci l indrice '9.1.6 Plane t lngente paralele la doua supra-

Iete conice Si ci l indrtct '9.1 .7 Normala comund la doud st lpralc lc col l t -

ce s i c i l indr ice9.1.8 Con 'supl imentar unui con dat

: I Sectiuni plane in suprafelele conice 9i ci l i t t '

9.4.2 Desf i iqurata c i l indrului vmtical 9 i a" '- ;i i";i;l i i i rrontal'L .+.r i ic . fa;urata cotr t t l t r i c i rcular drcpt 1i a

cottului c i rcular obl ic 163

9.5 Irrtersccl ia suprale{elor couicc tr i ci l i r ldr ice 165

9.5.1 lntcrseci ia dintrc c lo i c i l indr i ' ' ' : 165

s.; . i i ; i ; ; ; ; ; i io ai ' i [ ' " r loua conuri ' . , , - , - . . 167e.;.5 i;;;;;;;;ii" oi"ii' u'iiu".ei,"" ..il'lt9:: 1689.5.4 I r r tcrsccf ia dintrc o supralala ct)nlL 'a sdtr

ci l indr ic i l i o ' tuplui ' i te pol icdralS.-" ' 169

s.s. f i iamirr l in i in i tc in in icrsccl ia supralc lc-lor conice 9r c i l indr ice 171

9.6 Problemc Propuse 173

8.3.4

8.3.58.3.68.3.7

8.3.8

124125l1) c,

126

8.4

t27128128128t29129129130131| ?,t1 e.)

134.r . 135 r

.135

144145

147

E.6

2

B

BBt{

)lt515t6

t6l797

Cap. X. SUPRAFETELE DE ROTAl ' lE

l0. l Suplafe{ele de rotaf ie gcnerale

l0. l . l Ccneral i tht i ' Rclrezenlarc10.1.2 Dcterminarca ul l l l i mcr ld lan10.1.3 Punct de suPrafa{ i , ' - , . 'io. i .+ Plan tangerit iutr-un punct pe su-

nrr fa i5

t74t74174174175

t76prafatd10.1.5 Plan tar-rgcnt

ter ior .10. I .6 Plan tangcnt

ci l indr ici l

pr intr-un Puttct cx-

paralel ctr o direcl ic

dat i10.1.7 iTri tung.nt paralel cu urr ' pl ,an dat

prin urmd sau-prin dou5 drepte con-

cutcnte10.1.8 i . . i i i i " i p lane in srrprafe{ele de ro-

tat iel ( t .1.9 In i t r : tc1ia dirr t rc o sr lpral .a la

io i i t ie 'Ei o suPraia!d conica

t77

178

179

180147147

147

'd ;

sau

t4710.2

148

149

149

150l5l

18le8ie8!0l l

02tr2r08t09

SIcra10.2.1

10.2.2

10.2.310.2.4r0.2.510.2.0

dat Prin urme10.2.7 FTrn"i ing.nt paralel cu o direcJic

datd10.2.8 Uiun tang"r- ' t pcrpendicular pe o

dreaPtd dati i10.2.9 pjrt i i rng"nt dus printr-o dreaptd

Det in i { ie. . Reprczentare Dcttrmt-

, larea unul paralel . ' ^ .i l i i^ . t p" sJprafata. Plantr l tangcrr t

intr-utr- Punit Pe suPrafa{a ' .Sect iune pr intr-un plan proicctant

Scci iuno pr intr-un pJan oarccarc 'i^ i i i ." . f i , dintrc o'drcaptd 9i o slera

Planul iangent paralcl cu un plal l

datd.ptut-t tans.l t t la s[erb carc facc un-

nit lrr l Uri . cu p latrelc dc proiccl ie

Sfera circunrscrisb unui tctracdru

Siei i tnsc.ise intr-un -tetraedruFl"ti iing."t comur la doud sferc'

dus pr in ' i r -un Punct extcr ior sau

nara16l cu o direct ic data

iniersectia dintre doud -sferelntersecl ia dintre t rc i s lerci j iun t ide.nt comun la trei sicrc datc

b.tfeEuiEt"u aprox ima.t ivd a sferei

noi i . i t l i . Consirucl i i de s lere

180181

tBl

182183183ldD

187

187drice9.2.1 Teorema 1ui Dandelin9.2.2 Teorema iocarului6. i . i Con.t . rc{ ia sec! iuni lor c. l ipt ice9.2.4 Construc{ia secl iuni lor hlpcr.nol lcc9.2.5 Construc{ ia sect iuni lor paraDol lceg.i .o fuf. toOu iransiormdri i plhnului de scc-

! iune ln Plan Proiectant9.2.7 beterminarea secfiuni lor Pfane prln

conf igural ia. Desargues . ' : ' , . . , . .9.2.6 Sec! i Inea' p larrd. in c i l indru pr in melooa

cl iametri loi conj rrgat i9.2.9 Sec! iunea art t iparalc ld i l t contr l c l rcular

obl ic ' . ' , :i r i tcrscCl ia dintre o drcaptd 5i o suprataia

i ' - - conic i sau ci l indr ic i

' -r .3.1 in{ersecf ia dir l tre o dreaptb qi un con

b.5.i i ; i ; r ; ; i ia dintre o dreaptd Ei un ci-

l indru .O*. lasuio] ie supra[elelor conice qi ci l indricc- ' . { .1 Tcorcma lu i OI iv icr

l t | i '

t52153_t o,J

lDo

158

t88

188

190190191

159

160

160160

t6l161l6l

t0.2.10

10.2.1I10.2.1210.2.13

10.2.1410.2.1510.2.16r0.2.1710.2.18

10.3 Probleme Propuse

192ts3193t94194196197199

aI

rr**

10.4 Torul

886!t',288AGL(t

886aqG

ueISEI8AIt8

t9aI9609a096gictrit89a896894LgZg9G

99C

p9G

86eqaffiG89Azgaz9z196t9zI9GT9G

. . .^eJrrput l rc glBploJl lD prBJs I .g.gl. . - . ' . e;eproJr la ' r ie j {

.a leJaua8 qnln$ afale. ldnq r .c.cr' . le l lpd la l rJ nr qnrnt a la ierdni ; a. ; ;

rElnrq;unrr l laJrJ nr qn.rnS eleje:cJni ; . ; ; ;. qnrn$ 5tal ir . ,o, i{: : : :

. . ru l r rp1rnd11 a1ly 6.p.gi.at]! :r l{?a r.r.rr. ,

PrlJaJs eaJlJA' e) luoJ Bor l lE

;";, ; ;^;,;;*;,;, , ' ' prorrc

..' Rcrrpur,,'j"u'#:E,rLq s'a'sl: rs. p.rorla.ul .n,lulp ;lf:,?",t#J n'z.tl- !ocJlg.arnqu!snrplrr l r r pr .eg iz ior i1g t .Z. t , I

: : r : Y'1?',i;i3;3"i'[i,fi:l':3 Tt8icleprorr ;a alalajeltJng

lJJ. lJa I ounlsJaAul ul:d eleru;o1sue.r1 g. l .gl: : : .^:'rjrlD.'l'T1nw ;f,H3i i i:ii: : : : : : . rarrJo e1zunsppjfo i.i.si

i::j:-,,'r' *ruiffi+fiili,, ",,:n?rtd1.'{ u1 o1 lnq;:1s1p ap ln.rp,iuibj at Z.EI

lr9'l,l 1-:.ru1r! :'p jr:sl,rl 'alioo ,, r.r,un. 1( pldea.rp : .n,j,ip

o{df#il"j 0r.z.zr

j': l,';,'"i,l "18,r:i:i,1i,"f*l$::i S g gl: : : : : : . I'rlo?'j'o,;iillill:i zzzi,Llgl-:

I pl**a eareuru:.raloq .eriloq-JaqlrJ tunr iJas ap tJndr' ' "' " '=:"'" '"H''lii;1t5]ropoqnr e'z"zIe pseo:n8rr ea.ieurii.rolaq,i io"". lp.u: tg un-.r iuy:d.pj11o11ninunl jJ" f

s.G.6r

:rid1. :d.lr.u1d yn_.r1u1 1.,ntun1 uJ;"j ?.6.a1ap.I$ 1c.t1u. ".p .oyl.,t .rr1r,l. 1,,nlirT{ t.6.61-e;dns ad lruncl rnun ee

,i""ll.,Hil,i$ 6.G,6r1r lng . 'oreluaza:dcy.

j r ip l le.rauag I .a.GI

. . : . frytl o. nc elf eloJ 1,ryprb-1oql"tr"ii a.ar: : . : . . " t" . ' r?l ' ' . i i iHi ig 2i2l' a1u1Fr.r :olalalerrrns rro',llli1?ro,,r.l.lr.J,.r,

' aJYlDrU alagvuans .trx .dPf,

rez9' t r

\tz

C'8t Oga

646, ' t l8'81 d66

lt66

LAGi2,f ,oo

666

062v(,6t l l6

6IZ6tG

6ra6tz

8r?,

L?7,

lr6

9ta

'rr3 a'rahcvudnt is orriflot',o,i 0,,

. - l lp l ter . r .D i i ; i'FJr lpur l r r ea) l Ig

rq pJoloqe;ed

1ep ueld un nc 1a1e.ledlua8uel upld 6. t .61' ' JOrJalxolualuPl ueld g.t.zI

o n" lolrrrd'r"*", ,iJtO. ntr,rl$ L'' '61

vub

z' t rvb6

L' 'va6

L66

I 'CI' ( , zzz

LIA9IA! t6

I IZI l0

I16

]lletor. o.P

' l;nrrl8un

yn. ls .pld:orp ii ailusf' ,ri.,nr.iiirli r r.r.zr; - ' . . .^ ._^

. . . ' , runrfros op raq.rni " . " '

!:._llirnt lrund un_.r1ug riu'oairej'aJpJorso ue;d un-:1urrd :junllraiaru.rn 'irr:d

.....^sr!rpu!rrJ !lererdns " ,r3j1fl"";fJtrlqord s aI

-1q p.1o1oqu:ed un arlulp Llfcjsriful y1.p..61' . . . r l l? l9 j ap pfugerdr is 'o rs ' r r loqja, i ' , ' " ,

i: :Ti:i:'i#,:l':il;il,xti,"iut Ii r zt,_- _ol lelo: op pJoloqrad;q

:B-arp _o- allulp e1f ras.ra1Lrl:: :i -t{':,p,i,;dllj'r'r',1',.",#iul

zr i ar t' '"il'1";iiorlurrrqord

I rl:o1af a1e.rdns' eitrri:51rii,. 6.1 I' . 9 ' . " 1 rr f err ldy I . t : t i \rs c luelsrp ap ruralqord l . l l

nrori r t rnYoo$ll!*'?X . o *,: . : : : . : . : : : .^"1{9.rd curalqo.r4 e.s;er f ras;.1ur u, nrro1,r"rr.i"':iij?;li e.c,^r. . : . : : : : . ' . b. :r i4g9*f i 's '6i

I l l !utJac I .9.01

]uJdupl prue14 .gielz.rdns od 1;un6 g.r .0 l. l i ro lJ op rS yc,rru op auerd

ulr( t lo i ur l r rn l iccg ic:elujzo.rdeg Z.b.0I

y.l.vcvudns vl9'Z

9nz

,vztragn6

ov7,

ou660G

80G906904906,06c06

806( ' tJ6

l0z

I06

006

00a

661

661

ll: ll 1*'.* r,T,,l3i;,f,:llni e n 6riLriili{i{r:"'il'r":3i:};ii""",$ s v at

-'"*i : -,','i*itllj_,i'l;'l;,ff i,r ii: : : : : : : : : ''r";iJii[i?fi'ili+.o'"i j .r"o un-.,,u,'runl

qi;Ju' 'dn't v o ol

: : : :l'l :"';iJrJ'1'"iJ';hj1lili ?;Eti: : : : : : : : : : j,,,'ilJ|iffJ??,"n1"$,.,1r'lnrrrc uor un 1s gzuld o;"'.,ifl,[:op proloqradnl un ar l lnp erfrairaiul bl .6.ZI

. : : : : :'1"1?i,3i,r"+.Tiry;?,r,. . . . : . . . T,r:,{:"y, uyil,""ii oi ; oij"i'"?l]:iig,.il :'J,',fi[ t'',5,",::i+ 3:i 3 I: : .1ru:rjr? ueJtt un-.r1ur.rd aunrfrog ii 0i' ( lUPlJJrOJd)

1P1t? . t? .u1t,J. u,n-:1u1id. ount-f-ros 9.r.0r

f?gr:.rl o-:1u.1:d .-".0 trr*r, Xl* 9.r.ol

1" ll-1' r.d ;i?,?iL'J"j;o,3ilf0" :,t".TLt'., 0 |

gsrolur g1e1-Erons pr le i rprsuof, 1n:o1 .arfrur lo6!

I . ' .01

F

263263263263

267267267

273274

274274

275276

977277277277

278

279280

cap.

t6. lr 6.2

l lBIBIp

82B3B3tl3B4trl8

l{0

143

its

144

245

t{6

246I

fl47

217

21E

e{9:'n

2512:al2512512522522532Fn?iaz2.8

2-a4

255

2ffi2572:82582582i3zi8260260261261

13.7

cap.t4. It4.2

13.6.2 Apl ical i i : . . . . . . . . ' .13.6.3 Siara el icoidala con icaRampe elicoidale13.7.' l Aplicaii i

xrv. SUPRAF'ETE CONOIZI

Can. XVII . SUPRAFETE CANAL, SERPENTI.. NUL, COLOANA BAROCA, $URUBULSt. GILLES

17.1 Serpentinul .17.2 Coloana baroColbana barocd

292292293293

293294

295295295295296to7

297w7297298298298299

290299300300300300301302302302303303303303304304306

308308308308308

Conoidul drept14.2.1 Reprezentare. Directoarea curbd este

plahd sau strimbd. Punct Pe suPra-Ia la

14.2.2 Sebt iuni p lanc in conoidul drept pr inolane oaralele cu directoarea dreapta

14.2.3 Sectiuirca pland in conoidul dreptprir i tr-un plarr paralel cu planulcercului director

14.2.4 Sec{iuni plane in conoidul drept, pri t tPlane de caPdt care intersecteazadirectoalea ilreaPtd

14.2.5 Secf iuni plane in tonoidul drept prinDIane vert lcale

14.2.6 intersecl ia dintrc o drt 'aptd 9i rrrrconoid

14.2.7 Intersecfia dintre un conoid dreptsi o suorafatd ci l indricd

14.2.8 i : lanui tarigcnt conoidultr i dreptintr-un Punct Pe suPrafa{d' : . '

t4.9.9 Planul fangent conoidului paralcl ctro direct ie datd

14.2.10 Conoidul Pl i ickerI4.2. l l Intersect ia dinire o dreaptd Ei un

conoid Pliicl<er14.2.12 Conoidul Viviani14.2.13 Sec!iuni plane tn conoidul \ / iv iani

Aplicatie14,2.14 Conoidul de bolt i .14.2.15 Desfiqurarea aproximativd a ul lui

conoid14.3 Couoidul obl ic

14.3.1 Reprezetrtare' Purl-ct pe suprafa{i i .14.3.2 Secl iunea cu un plalt oarecarc ' .14.3.3 Conoidul t - rb l ic c i rcutnscr is unt: i

sfere14.3.4 Secfiunea plani i ?n conoidul obl ic

circirtnscis'unei sferc. Aplicaf ie .14.3.5 Conoidul Ki jper14.3.6 Secfiuni plarie i t conoidul Ki iper.

Aplicaf ie14.3.7 Literseblia dintre un conoid oblic

gi un con obl ic .14.4 $eduri conoizi

Cap. XV. SUPRAFETE clLINDRolzl

l5. l Def ini f i i . Reprezentare15.2 Apl icat ie15.3 Secl iuni p lane in c i l indroiz i15.4 Desidsuraiea aoroximativl a unui ci l indroid15.5 Inters'ecf ia dintre un ci l indroid ; i un ci l indru

Generalit i l i

XVI. SUPRAFETELE ARRIERE.VOUS-SURE $I BIAIS-PASSF

Suprafa{a arridre-voussure 'Suprafata bia is-pass6.

17.3 $urubul St . Gi l les17.4 interseciia dintre o supralatti canal qi o stt-

nralat2i c i l indr ic l17.5 intersect ia dintre doui suprafelc cat ta l

Cap. XVII I . PROIECTIA COTATA

l8. l Punctul . DreaPta. Planul18.1.1 General i t i t r i . Punctul18.1.2 Dreapta. Distanfa dintre doui puncte18.I .3 Planul : . .18.1.4 Apl icaf i i .

267

269

269

270

27rq79

q7t)

97'

18.2Probleme de incidcntd18.2.1 Intersectia dir l tre doui plane :18.2.2 Intersec!ia dintre o dreaptd I, i un plan18.2.3 Sectiune pland intr-un pol iedru .18.2.4 Sectiune bland ln con18.2.5 Scci iunc-pland in sferd18.2.6 lntersec{ia dintre o dreapti ,si o sfer: i18.2.7 Intersecfia dirrtre o dreapti i 9i r tr t

hioerboloid18.2.8 Apl icat i i .Problenr i de d istarr lc ; i unghiur i :18.3.1 Dreapta perpcndicularb pc t tn plat t18.3.2 Ungl i iu l

'd intrc dorrd drcplc : . .

18.3.3 Pciperrr i iculara comund a douii drepteI8.3.4 Apl icat i i .Umbrele' in prbiect ia cotatd .ig.a.t Umtria la soare a unui paralelogram18.4.2 Umbra la soarc a unui pol iedru18.4.3 Umbra la luminarc a ul tu i pol icdru

r8.3

I tr.4

280 w.2

281281

284 19.3284286286286286

I t r .5 Strprafc le le topogral ice18.5.1 Gctrcral i t i l i18.5.2 Apl icat i i .

lB.0 Constluci i i de Platforme '18.6.1 APl ica! i i 1. . .5

I8.7 I)rO[lcmc propuse-=q. : \

cfu ' . XrX. $COPERtSUtt tre.J\dl i tat i

19.1 . l Def in i t i i19.1.2 Planul.acoperi;ului 9i elevaf i i le '19. 1.3 Clasif icarea acoperiguri lor

Determinarea muchiilor de intersecfie aleacoocr isur i lor cu fe le Planel9. i . l Metoda planelor de nivel . Versanl i de

pante egale19.2.2 besfdsurarea acoperiguri lor

Diferi te rezolvdri dc acoperiquri . ' , '19.3. I Acoperisuri cu versanti de pante egale19.3.2 Acoi leri$uri dcnivelaie cu versanl i de

pante egaleI9.3.3 hcoperiqirri cu versanf i de pante dife-

r i tc19.3.4 Rezolvdri de acoperi lur i di ler i te pen-

tru acelagi plan .19.3.5 AcoperiSir i- care ' ,bat"

intr-unul saumai 'muitc corpur i de c lddire

19.3.6 Acoperiguri terase sau cu scurgerrinterioare

309

309310310310

313

314

314

316

319

I

289289290

?,gt

zgt

I98

t888e8

88e

e8s

aee

ap.alaueld adI8t

t88

098

099

6r8

6?tLntLv7'Llt

0gs

0tr

6At

6Ztb6u

86t

8ag

/zp.Lzt

-,;.; "; ".,r0',itri*1.,":';;";{i:f; ot'e'oaEJoJsl uas

:d. ".,"Jnlq?uy9.1p. l:.:qY ;jl,H!l

6'e'06uurc[ t tn rp glrurF:Pru'P1l6at nespldrlur ' rarJ;siuras e errdo:d Elqun 8'9'04r ' . ' . ' . ' . . - . In ln lo l p l .quln L '9 '06' ' dr1 r$elare ap nrpulpr un oo alel

-rrozr jo-otubrt c1o:eolelau'rF nJ I n lnlp-urr lr orB atei.rr id rS tr-rdo.td olclqun 9'9 06erbuor l5as ; r1ord ap cr lJpul l lJ l luosi iputjr i e pibl:nd t i at.rdo:d ?rqun 9 9'06:

" errrpul l l r turas eSlu ad cluaruala

;otsaje alalqun tt a.>t.tputl tr lsueoloc

lnini ad'cr tpur l lc rn ln le l rdeo e:qurn i 9 '04: ' '

' uoJ eP lqJunll oP

Brxro] ul tnlnlaltdeo e et.rdo:d erqiuf l 8'9'06f al lr

-odo)sap o)l lpul l !r luas la6!u ?rqun Z'9'0^?aelr.radoju af, l jpnl l lc lruas taitu e.tqrun I '9'06

'oxaAUO) nes o^Bcuof, oloj

-e:dns urfuor alEJ F:nlral lqJE ap.Jololucualo ^-^

ol irq*n i5 arfelo: ap rolafale'rdns alarqrln 9'06

Ltt ' plord ap IapErrB slarqul l l l . t .96gl11 o1i1uo:1 rolcpef,re alolqun 8l '9'02Abi ' srr lpul l rJ laueolor

1nsn1 ad clerpar lod laf ,eqe elqun Zl '9 'OZ'cbc : tcPefel lB IBluolJ uelo

un ed ateprosnuts teStu:ol aloJqlr ln I I '9 '04c#c $r:adore'uir 'ad l t lezar Inun olalqun 0l '9 '06;;;

" $t.radore ed . lo;aururnl olalqun 6 9'04

2;E ' srradoce ad-lnlnsoo 9pr_1*Q 8'9'04i ; ; leurquor nes l l1oro 3P

'1pder cp tode:ed nr roprers clsrqur;] / '9 '0er*c PlsuoFl lo0 ounl l

- rcs nr rdl t1s ad rnpi ia l rdeJ 3la ' rqun 9'9 '04AcF auetd c l l te:dns aP cl lu ldJPtu

:oloSrrr a1a r i inlnuol leq olerqul l 9'9'06occ alPluozl lo l jn l l jo lo

rp rrrrs o od lgderep rolderp erqlrr1l , '9 '06c.) f1 l r lo) o l lJc l lp nJ J lBluozlJo l ln l lJ

-ord ap at:as b ad ralecl lral erqun 8'9 04g€g ltulzunJojo

3tt lJI lp nf , c lBJl l lJA rrnl l lo:d cPaiies'ci ad rr le.yrozrro'oluorJ E.lqutn A'9'0A

ge€ l tulzunJ-ord r l l lo1lp l l ) J le i t lozl lo l ln l lJ-o:d ap cr. lai o ad lolt?Jl lJrA eloJqu.n I '9 '06

gts , qrnl

-rol lqlu ep rol l l lBioP. l3:o1a1uauro1o alarqurn 9 04

9tl8 JIJpul l lJ rnqluBl un ao etrez-o$e att:alsturas clodno loul l BJquIl 8 t '04

98t Fr?'r'- lq l l? Rt l lu in l Jp c l lJol lp o nJ JJooEJri; ' ro:e1s e piulrnd t6 al;do.rd arqun L'1'0( '

gsu ( 's 's) v 9l ' l l rorJDUll l Bl l l tu l l l op lo lazPJ el lJJl lp:r.ri i lr t Rtuiintl ' rs airdo:d urqLufl 9'f 0a

t[€ ourn urrd ]eP uEldI tn-J l l t l lBnl ls elEp ?zel Jp JJJJ l l lun;r1e tt l roto:d .rp clctteld ad alr lqutf l f i '07'

?le 1da;p nES' r l lqoJetnf ,J lJ uoJ l t lu l l o le at f rcto ' td op a1-cireld'ed a1u1;nd tt r trdo.td alorqLun V'y'07'

1u1!11'1 i*r.n'.rrl rnr"rp,'jrri"iJlxHirl t' t 06cra1e1n.r1ed tcLustrd n !6) o lBI-nFa.r e.ra1e1nr1ed teptulu. l td Blqrun Z'n'02

' _ ' 'a lBcl l-JoA alauo8exaq austld laun sJqtun . l '7 '06

' ' CSt oP P1tral1P) 9;e;1-rqrB arl f ,oJlp o nr 1:oder uJ lolarqun lnasurl

' '0696.96 u:nF13urp cr:laruoa8 1n-1nd:oc e arfrolo.rd epurp ctr laruoaF 1n1nd.ror z atfcotold ap

lejuozr:o 1nue1d cd g1e1.rnd Erqun 0t '8 '04arlcatord ao

I98I98

aff

,CC

zse

6ZE

arlJarord apalaueld ed 111o:d ap Inln)rar elolqufl 6'8 04"'

' ' allr;Iord ap olaueld od 1uo.t1

?p. n.tt. l:nlu. nf

.rnlnf,r3r ala4run 8 g'06

ueld un ad (pplruurrd r6 ausr.rd)

:*:r:n "l .nr:Y':u: l"Y" :li*o,H,t L't a7'n.rper yod

od

1 : ' ol lcelo:d aP olaueldod ratdo:n ale t i tnlnlcund olarquqraldo:p a1e rS tnlnlcuns rnlntrruno o.larqLull

(aJPuJutnI Bl) l ]ul turl lop elel lor tnd gsln5^ o el Jola;qIxn lnosEJJ

' Purtunl ap rolazer et ioo: t6 g 1 '66' ; elaP:e1d aP alJulld

q1e1:nd ."lqy'1 .16. a.1rdo:d a;lliln

6'l'04

- l1 l El nPs ejsos ul Plquo 'Pulunl;p' eieg 'clor5 ' lolc.rquln l t l rsr?lI I l '04

gZS t lRir lBrauaD

-exor1 a1eofl ctust:d taun a1a 'a1e1.rnd-o1ne rS c1e1:nd ' t r :do:d c larqul- l C'S 06

,rio' "r-rr,,, rnnr,.'rr"o !:ti:r;ts:a1e1n:-1ed- lnun .r lB r l l ra lo ld aPalaireld od r lp lJnd .)JBos BI s la lqun

al lcaloJo aP alau?lo oo IPl-uozr:o eedo rq8rrnlda.rp lnun Plqul l

' at l rato:d ap r lou

:n ri :d. "1nr:,:o. nlrl' .! r:" ""rr'JJ.YJlaueld od nes etfreto:d eP alaueldod ialdarp e1u tS rnlnlcund a1a:quq

' (e:eos El) "9V

el lolarqun' atfcaro:d aP lBluozl lo

1nue1d ad rr lqo nrpulJ l r lnun E'81-e1.rnd r6 o1:do.rd ' r leulunl e l Plqu.-1 I 6 '06

' acsv orBJareonrpaEJlal un op al lrolold ap alauElocd a1e1:nd orBulurnl EI alorqun ! 'Z 0Z

' " eunluoJ BZBqnf, lBrr lro^ padrdrlale:ed -un

ed g1-ezc'Se

-utet n8a.r c.reiei n.r1ed apt ruert d

rJUn r 'g ia1.rnd

1S b; . rdo.rd a:qu1' e1eu1"ro,^t cleuoEexoq austrdlrrn P gielrnd rS er.rdold e:qul61

' vAlrdlufslo v'ff"\, --awo?D NL uo-l l l tEwll lnlonrs\xXrfou3. \J

' l r lsJr lc lv z 'g '61t fe l t lerrLtca 1 9 61

' rJr lqns iq l l l ) l rBId t lnt t ra0or! 9 61' ; rst t t lo l t l JulJ lqt ' ld h '61

96S

('()L

loL

IZI6t t

lnun alarqufl 9'8 04arrlqo oleuoF

t ' t '07,

€ '8 '06

z' t '02

I '8 '04lnasBrl 8'04

F: Z'06

(J6U6

-

20.6.11 Umbrcle niqei sfcr ice20.6.12 Umbra ni;ei sfer- icer dc prrrf i l secl io-

nate20.6.13 Umbrele unor t l i ;e semici l i r tdr icc

miirginite de diferi ic suprale{c dcrotaf ie

20.6.14 Umbrele t t iSclor s ier icc combinatc cudi fer i te detal i i de arhi tectur i

20.6.15 Umbrelc propr i i . prrr tatc 5i autrrpt t r -tatc ale combinaf i i lor de supr i r f t ' lcde rotal ic studiatc i r t accst capi tc l

Cap. XXI. PERSPECTIVA LIBERA PE TA-BLOU VERTICAL

21.1 Pcrspcct ivele l ibere ale prrnctul i r i , dreptei5i a le planului2l . l . l Elementele s istemLrlui Dcrspcct iv de

proiec! ie2l . l .2 Perspect iva l ibcrb a punctului21.1.3 Al fabetul perspect iv al punctt t l t r i21.1.4 Perspectiva l iberi a dreptei21.1.5 Pozi\ ia relat irrd dintre

'doui drepte

in. perspectivd. Perspcctiva drcptc-Ior paralele

21.1.6 Per ipect iva dreptelor concurcnte gia dreotelor necorlcurente

21.1.7 Perspectivele dreptelor orizontalepr incipalc (dc capi t )

2 l . I .B Ferspdct ivelc dreir tc ior or izot t ta lcindreptate spre pozit ia observato-rulul

21. I .9 Perspectivele dreptelor orizontalecare-fac unghiul i le 45'cu tabloulintr-un sens sau altul

2 l . l . l0 Perspect ivelc dreptclor or izot t ta le cudirccl ic arbi t rard

2l .1. l l Perspect ivele dreptelor or izotr ta lcegal incl irrate pe drepte orizontale crldirec{ie arbitrari gi pe baza xx. atabloulu i

2 l .1.12 Perspecl iveic dreptclor or izontalc pa-ralele cu tabloul

2l . l . l3 Perspect ivele dreptelor i rontale21.1.14 Perspect ivele dreptelor de pozi{ ie

oafecare2l . l . l5 Elementele perspect ive caractcr ist icc

ale olanulu i21.1.16 Conci i t ia ca o dreaptd sd f ie cont inut i

de un'plan in perspectivi21 .1 .17 Determinarea elementclor pcrspec-

t ive caracterist ice ale unul plandefinit prin perspectivelc a douadrepte concurente sau paralcle .

21.1.18 Perspect iva unei or izontale a pla-nulul . . ,

21.1.19 Perspect iva unei f rontale a planului21.1.20 Planul vert ical i l r perspect ivb2l . l .21 Planul de plof i l in pcrspect iv i

21 .1 .22 Planul dc capit i rr pcrspeci ivd?l .1.23 Planul de nivel in perspect iva2I .1 .24 Planul frontal in perspectivi

2 l . l .27 Perspcrt iva dreptei de intcrseci icd int ie dor.r i plat ie concurenlc 3/ I

2 l . l .2E Perspecl iva dreptei de intersccl i<:dintrc un plan radial q i un plalr dt :capi i t 372

:1.1.29 Pcrspect iva dreptei de in iersect iccl intre uu plan vert ical ; i ur-r p lan dccaoii t 372

!1. L3l l Perspccl iva plarre lor parr lc lc 3722l . l .31 Condi{ ia de paralel ism dintrc t r

dreaptd gi un plan in perspectivi , 3722l . l .32 Intersec{ ia dintrc o dreapt i i ; i un

plan oarecare in perspectir '5 i7221.1.33 lntersec{ ia dintre o drcapt: i ; i t ln

plan vert ical irr perspectiv?i21.1.34 Intersec{ ia dintre o dreaptd gi t t r t

p lan palalel cu baza xx a tabloului:1.1.35 Irr tersccl ia di i t t le o drcapl i 9 i t tn

plan in pcrspccl ivh, fo losint l ca platrau.r i l iar un plan de capi t

Div iz iuni perspect ive21 .2.1 Div iz iunea perspect ivei unui seg-

ment de drcapt: i din planul orizotttalin pdr{ i egale

2l .2,2 Div iz iunea pcrspect ivei utur i scg-rnent de dreaptd din spa{iu in pIr{ icgale

2l .2.3 Diviziunea perspectivei unui seg-ment vert ical sau lrontal in pdr{ iegalc

2l .2.4 Div iz iunea perspect ivei unui scg-ment de dreaptl din planul orizotrtalin pirf i propor{ionale in raport cuanum-ite lungimi date

21 .2.5 Diviziunea perspectivei unui seg-ment de dreapt i d in spa{ iu in part iproport ionale in raport cu anumitelungimi date

: l t .2.b Div iz iunea ar ie i perspcct ivei unt t idreptunghi vert ical sau or izontalirr tr-un anumit numdr de pirt i egale

21 .2.7 Diviziunea ariei perspectivei unuidrcptunghi oarecare intr-un anumitIrumir de f igi i egale

Drcpte concurente in puncte de fugd inaccesi-' bi le oc tabloir2l .g. l Metoda ir iunghiuri lor asel.nenea21 .3.2 Metoda ortocentrului

il52

353

353

'J i]J

357

't (o

360360 ,t .),JO I

362

363

363

373

J/ua

)t)

374

374

371

J/O

J/ i l

376

377377378378

364

364

305

.JtID

366

oo/2t.3

JOI

368

378378

368

36:l369369 21.43093703706/ l )

o/ I

2l.3.321.3.421.3.5

2 I .3.6

Metoda celor trei secante concure'nteMetoda transversalelor gladateMetoda reJelelor perspective regu-latoare

radial in perspectivhparalel cu baza xx a tablou-

Metoda l ini i lor proport ionaleMisurarea perspectivelor segmentclor dc

dreaptd situate in planul orizontalsau irr spal iu gi constructia gi mlsrt-

' r i i toarca unghiuri lor dintre drepte inperspectivi

21 .4.1 Mdsurarea perspectivelor segmente-lor de dreaptd principale (de capdt)

21 .4.2 .Nldsurarea segmentelor de dreaptdfrontale orizontale

378

3792l. l .25 Planul2l .1.26 Planul

lu i

-

J/ I

- t t

zl

90t90t

esndord aualqord g"16 968

'tt8

-,.1* r, .,.r*;r'";";"; .r,ro "J'?ttl3i

-rro ilqJnu Iaun B^tlJadsJad BI appulcald ',a1ep I '61 'r runrsuarulp opcr leustrd tunlol Inun el l l tadsra6 L'g ' lZ

' enl lcods:ad ug e11e :er'PI?ar Pun :atrEp runlsuourp ap rBl-ntq8unlda:p ueld lnun errrpadsra4 g'g'16

' Plep ajuJareo BlBluozlJoalqrnu op qnr lnun el lpads:e4 g'g'16

' PlBp Pl8luoztro Prnl'BI ap Iscl lrol tn1n1e:1pd e,rg1cedsra.1 n'g' lZ' '^elPp arBrarBo PlBluozlJo PJnl'elap 1e:1gd uuJd lnun errr lcadsre6 g'g'16

' PlEp PIPluozIro-PlEl-uor] atqrnul ap qnr Inun BA!trraosrad 7,'9'lz

€68

868

86e

668

988

988

'88

?88

88ezgt

?0t

t0?7,0v

zCIv

IO?

I0h

00?

668

860

/68

/6€

/68

968

968

' aylerFolo; o pdnp t.npplrlaun Inlnrolrolul z pll lcedsrad (erf-n1t1sar) erfrnrlsuocap '6 elfuctldy G'L'lG

arierFolo; opdnp r:rppp laun e Bll lcadsrad (e1f-n1t1so.r) slrrnrlsuoca5 '1 elfecgldy l 'L'16

' gll lcadsradutfnlt lseY' l losoprPo aP

-a1tp n. l luad anl lcadsradrrndrl a1lr

11icn4suo31e1nc $rrod

L'16 ?69

s6t

-oJe Inun e p,rrpadsrad urfcnrlsuo3' : ' 891'IA ernF11 u3 elef-rqcs arelnrqEunlda:p arusrrd op rn1-nlqussue toarpadsrad etfcnrlsuo3

eraql J rorrtlcads:ad olapolaurpulz l l l ln 291'16 ern811 u1p ln lnuo.rodlourlradoc leallcedsrad erfcnrlsuo3

a.raql 1 la,rglcadsr_adolapolau puJzrI ln 19I '16 PrnE!Iug yeuoEol.ro plulrraza;dar FJBrs apInlnl lplop lalr lcedsred erfcnrlsuo3

' aJoqrl ralrlcadsrad a1opo1-oul pulzrl l trn l$ Ugl '16 urn311 ug alepololucualo Pl ap puruJod RJef,s op

l"t:"1'1'l I'ltt:':'l'l .eticnr1suo3' ' araqlIlallpads.rad olapolau puJz!llln!S 0gl ' Ia ernErl ug alup olaluauolae1 ap pururod 'prers ap rnlnrlelep.loladuer ra,rrlcadsrad prlf,n.rlsuoS

' 1t;ord ap tA a1e1-uozuo otreld urp olBtuJoJ agaldcl l n:rl leJs lJrrn t ,r ,rr lcodslad prl f ,nl lsuoJ

' eleluor; tS a1e1^uozlro ouuld utp oleruroJ a1a1dar1 ncrJBJs loun ral lpadsrad ugfcn:1suo3rr ap gfel o0g lS o0g ap e1t;nlqFun ncaleurlrul luls alerolpJ a1ofa3 pa pu1y13I I I I I I alrunlsuaurp nJ cJleuslro

1,1 to.n I n:rn. I orrpradsrod ."1 }t"r1;X:?nes gFuarlul gfuelsrp ap lcund'unputsolol 'areogcld nr led nr o1e.r1gdosau loun roirllrads:ad zrfrnrlsuo3

snpar nes g8eorluJpfuel*p op lcund un pursolo1 'oplru-errd loun 1r,r11oads.rad erfcn-r1suo3

.ooJ ,J ,6 alelcundrS yu alectlrerr, rarqcntu eaylcadsrad: atruaualo alaJBolPruJn PuJJsounJ'qnJ !nun ralrrlcodsrad urfcn:1suo3' aledrcurrd eldarp r$ O gfuulslpap lnlcund puJzll l ln 'gp1'16 u:n811utp asqv lnlnrqFunlde.rp e^,r11ceds:a6

PJnSetu 3p JOIOIJUnO BaJBZ-r1r1n ur:d 'a1ep ,t '$ 'a runrsuarutpln.clleyslrg yn1ol lnln.*n11cadsra4alEJ0lEI:o1afa1 rr :a leqer Epolau.urrd c ler-r lJa^ i lqrnu laun p^rlJa0srao El appugcald '-olsp J" 'fl 'a tuntsuaulp apallerusrrd unloA lnun e,r11radsra6

gl?p PlBluozrro BlsJuorJ Brnl1er1pd ueld lnun e,rr1:radsra4 I 'g' lAP[ op lBrlPo uelo lnun P^rlraosred

' a lBrnlJal lq le rolrr lBlop1$ :o1a1uorue1a' :o;afa;e.rdns'rolerpa1S :o1a1uorue1a':o;afa;erdns-r1od 'oue1d :o11:n811 a1e a:e.r1od''aue1d io1q.rn311 i1e a:aq11 i1a,r11codsra4

'06"' l asnpar (ErnsRILrp ap) pFnl ap alrund

ap Is Fl-uelsrp ap) REnl ap alrund' lprl l ro^no1qe1 od a:aqrl ralr lcads:ad a1e tslari a1e rrferrldy

p,ulcads-:ad ug a:elncrpuod;ad co:d1car aueJd gl ' l ' la

' nl leds ulp aJPJeJBopldearp o ed nes lsluozlJo 1nuu1d u1peldeo:p o ad p:elnrrpuad.red 1-rundrin-.r1urp gsnp ref darp u,t11radsra6 9l't ' I6

' ueld un edorelnrt puad-rad

' ' uEld un oor:elnrtpuadrod raldo.rp e.,rrlrads:a6 rlr '16. ' ' ea,rpads:ad ug rrraleqer epolary glV'l?,

' IBIUOZIJO InUPIOr$ ueld lrn oJlrrp ynlqFun rS ueld

' IBluozrJo lnuslr rn lu8un tS uer

lnon e PluBo orBts lBtu eor ap elul ' I zl ' r ' lzZBg leluozlro 1nue1d no 1ep g gqFun

un aJBI arec raldo.rp ult l redsra6 II '? '16

87,',9'le

a6'9 ' t6

t7, '9 ' tz

0z's '17,

6t '9 ' IA

8l '9 ' ta

Lt '9 ' ta

9t '9 ' ta

91',9't?,

?t '9 ' tz

8t '9 ' ta

zt '9 '16

I I '9 ' la

0t '9 ' ta

6'g ' , tA

9'ra

9'tz

668

t68

96e

088

08e

a88

I8€

I88

t88

loarp It lFunrnun rolrrnlei alarlpads.rad od Fl-Ep

iu'u,0,.,0 ; ;,;"; surrd;' tli'lffih or'r'16' rnlnolqEl EzEg

nc r$ olalered alderp ep locrrsel unnr trBp g rqFun un )EJ aJ luluozfro1nue1d utp -rolaldarp o1o,t11cadsra6 6'yrc

' lnlnolqel e xx ezvgnr lBp tr l8un un rBJ aJ lBluozuo1nue1d utp :o1a1de:p olerglcads:o61nue1d urp .rolalderp a1orr11oads.re6 g'V'la

rdaro tttBun; ' . . ' . . . ' jOaip rrgBun

1rq-re "^ri jdeaip a[ :o1

n'n ' Iz

t 'b ' Ia

orurFunl ap luoru8as lnun eerucrldy L'V'l?,Ieluozrro 1nue1d u1 alenlrs lq8un 11ut-nue un JBI arBJ nes eJBlnJlpuaoJao:rordlrar .ro1a1da:p a1'arrr lradsra4 g'b' lZ

op' ,orqr*o' *.,rri,,i,r' ;t uiilti#uI alenl ls orPrl lqrB Ploearp ap rol

08e ' alrJRJS rajl Jola) Barez!l l ln urjo r:otyo.tln: :ol.lll:t9tjnq BarErnsEW 9't'ta

' alepsJ;IJEJS lal l Jola) Barez!lr ln urrd nrfedsrJgrs tal l Jola) Barezrl l ln urrd nlfedsuJ olenlls erErllqrP Floearp ap lol-iluaurFb's rota,ritredsrad earerirspry

(r l t ' ' : ' FrnsPuoProlal-JUno salszrlr ln nJ lBl_uozrro InuEJqu! alenls arProlPo FlqPoJp ap lolal-uauFas role,rllcadsrad Botelnsew

96S

8'9 ' tZ

22.1 Generalit i i t i

arh itecturi

t ive22.2.5 Construclia perspectivei frontale a

unui interior

22.1. I General i t i f i asupra aleger i i .punctulrr it lc vederc gi asttpra condil i i lor in carese realizeazii o buni PersPectivd

22,1.2 Alegerea punctului de vedere in con-strui I ia . ferspect ivei unui p lan, .arunui volum sau a unui ansamblu oc

Cao. XXII . PERSPECTIVA DEPENDENTA PE. TABT.OU VERTICAL

22.5.3 Construc[ia prin metoda punctului de408 vedere pi a unrti pttnct de ft lgi a per-,n o spcctivci volumului dc arhitecturd al'ruo clrei plan 9i elevafie sint date in

figura 22.3122.5.4 Perspectiva unui gard de ziddric cu

408 doui porti sau a unei intri ir i .22.5.5 Perspectiva colfului unui interior '22.5.6 Perspectiva unei construcli i de formd

rotundd409 22.5,7 Perspectivele unui ansambltt arhitec-

tural22.6 l letoda Pf (a punctului principal 9i a urtui

punct de fugd)22.6,1 Prezentarea metodei PF . ..

410 22.6.2 Constructia perspeetivei unui volumprismatic prin metoda punctului

/ r^ pr incipal ; i a unui punct t le fugd .rrr t r 22.7 Mctoda'PD (^a pr inctului p i incipal g i i unui

, | | Punct de distanfi){ | I 22.7.1 'Prezentarea metodei PD ,

^t t 22.7.2Construcl ia perspect ivei inter iorului? r r din eoura 22.42 .

22.8 Metoda cooidonatelor rectangulare22.8.1 Metoda coordonatelor rectangulare

4ll 22.8.2 Construclia prin metoda cooidonate-4ll lor rectangulare a perspectivei edii i-

ciului reprezentat in ligura 22.44 .412 22.8.3 Corstrucf ia .prin metoda ,coordonate-

lor rectangulare a perspectivei ansam-blului de volume arhitecturale re-{r'} prezentate in figura 22.45 ,

- 22.8.4 Constructia prin mett.rda coordonate-4l :J lor rectangdlare a pcrspect ivei de

volume arhitecturale reprezentate in413 I igura22.46 . . . . . . .

22.9 Metoda FM (a punctului de fugd al unei413 directi i dominante gi a punctului de

mhsuri perrtru aceasti dirccfie).413 22.9.1 Prezentdrea metodei FM .

22.9.2 Construc{ia perspectivei unui volumde arhitecturd prin metoda FM .

22.9.13 Constructia perspectivei volumelorunui teatru rcprezentate in figu-ra 22.49

22.9.4 Corrstruclia perspectivei ansamblLiluide volume arhitecturale repreze'ntatein figura 22.50 .

22.9.5 Construclia perspectivei ansarnbluluide volume arhitecturale reDrezcntateiu i igura 22.51

22.9. t i Construc{ ia perspect ivci ansanrbluluiarhi tectural d in f igura 22.52

22.10 Metoda proiectiei de proii l la 45'a punctu-lui de vedere

29.10.1 Prezentarea metodei frroiect ici dcprof i l la 45'a punctuiui dc 'vedere

22.10.2 Constructia perspectivei unui vo-lum prismatic . .

22. I I Metoda centrului (centrelor) auxiliar neutrude proiecfie

22.ll. l Prezentarea metodei centrului auxi-liar neutru de proiecfie

419

42(l420

421

421

422422

IIIIIII

II, !, lI

iI

I

22.1,3 Determinarea pcrspeci ivei unui punctsituat in spa{iu cunoscind perspectivaproiectiei orizontale a punctului gildevdrata mir ime a cotei fa{d de pla'nul orizontal. Scara in5lf imilor

22.1.4 Clasi l icarea perspectivelor clupd di-recl ia principal i i a Privir i i-{---

22.2 Me toda FF (a celor doud puncte de ft tgl) ._t-

22.2.1 Prezentarca metodei F./tr.

22.2.2 Consttuclia prirr metoda celor dottiipuncte de fugi a perspectivei t tnrt ivolum Prismatic

22.2.3 Observa{ie22.2.4 Un mod de ampli f icare a unei perspec-

423

423423

424424424

42i\

427

427Aqa

428

42722.2.6 Construcfia perspectivci dc col l a unui

interior cu o masd rotundi

22.2.7 Construcfia perspectivei unui ansam-blu de volunte

-'i-_

22.3 Metoda DD (a celor dcu6 puncte de distanti i)?-

22.3.1 Prezentarea metodei DD ' .

22.3.2 Constnrcl ia perspcctivei unui vo.l trnrpr ismat i i p i in-metoda celor dotrapuncte de distanl i

22,4 Metoda O P (a punctului de vedere 9i a punc-tului Pr inciPal)

22.4.1 Prezentarea metodei C}P22.4.2 Construc! ia pcrspcct ivei untr i volum

prismat ic pr in r i retoda ptrnctrr l t r i devedcrc ; i a' ptrnctului principal .

22.4.3 Persoeit iva- central l i rontal i a untt iansainblu de volumc Pr ismat ice

22.4.4 Perspcct iva central i f rontal i a ut t t t iintef ior cu arcade ci l indrice frontale

22.4.5 Perspectiva central i laterald a unuipod'de Proi i l

22.4.6 Persnectiva de colt a unui interiorprin'metr:da O P combinatd qi cu unilunct de fugi arbitrar

22.5 Mctoda QF (a punctului de vederc 9i a unuipunci de fugd)

22.5.1 Prezentarea rnetodei Qf .92.5,2 Construcl ia perspectivei unui voltrm

prismat ic pr in metoda prrnctului dcvedere 9i a unui Punct de fugi .

22.11.2 Constructia perspectivei unui vo-lum prismatic prin metoda centru-

418 lui auxil iar neutru de proiectie .

4t5

415415

415

416

417

417

418

4184lB

429

429

425

431

431

431

432

432

432

433

13

997

COtT

vgv

s9f

t9?

?,gv

zgv

z9vI9t

, r " , ,* , , ,o,0n, ' "" ' . i t^ ' i i ; t i3,"T L ' t ' tG

fu lu ied'ap elu11 nr lo lered no1qe1 unod a1e.rn1ca11ql? atunlol ap nlgul€:-uu inun E Fluopuarsap e^llcodsrad 9'l'rG

' ' . luJuEd 3P elut l nr lal-uied no1qu1 un ad p:npeltqru ap, unl

-orr rnun'e gluopuacsap u,r11cedsre4 ! ' , l 'vG' lulrugd aP stull nJ laluruo

nolqel un cd r :n l ra l tqr t "p ,*ol . . - . . --o.n 1nun. B. p.tu..p.ur:.: :^11?tl;itg v't'16

op nolqel un ad 9:n1ca1lql3 aP,tuni-or tririn B Pluopuocsop E^llrodsrod t'l'Va

lgder ep nolqPl un od Hlnlrcpqlu Jpuin1o,,, inun e elucpuaJse .r^jtul;roXg z' t'ta

ap nolqel un od tnlnpund e P.1uaP-ri"csair 'nes pluopuoparsB errrpadsla6 l ' 1'y6

' l laql l rA glucPuodaP epolop

NO"IAVI gd \JAII)EdSUUd 'AIXX

cueld rr! c: lBnl ls nJlatutsr p u3 ale8o :o1

-r:n'crr.r lole,rt l lads:ad etfrnl lsuo3 l l 'z 'E( '' ]Pp lPrlPd un-rluJ s!J]suJ

rntnJrrJ enr l tods:od dP FIEJ 91BP5uir f ;gu1 o EI lenlrs nl l ruelp lsyt""? _ _ ^_

oJr lpul l lJ l luos IopeJlB BAl lJaosjad'

" " ' :

' a1a1e'red lo,r lu aP

ap tbjrrozr:o JlaJ Inun urrt lrads

" ' ' ( r t io ut 'ntduoxo aP) oteFa !1

:D tel r tozt :o J laJ Inun uA!]Jadslad 0l '6 'CA

" "( t , io u1 'n lduexo ap) oleFa 1| :pd

JD JPtunl l l l tUnus l ln-J lu! luJl l lJAr.rarru-rus tnun ta, l t l lads:ad ea:ezl i r tq

FlEp gleluorJ Frnl

:nt. . l

]nllq,l.u:-j iu.l slrrsul. [I1rrr3

- r rozt :o t t tueld u! a lBnl ls cJl l luaf ,uoJ

:o1 r :nuj ; :o lo, l r lcadsrad sr lJnl lsuol'

" a luFo r l lqd eP JPunu un- l l l l l

J IJJ lnurr t , :nt l lodsrod. BJJezlA!( l' ]edEJ op ,uP[o

un-r lu! lenl ls In lnJloJ EAI lcadslod' +PP (So'gV) lu luozl lo rulor l

-u lp op IsJl l la^ In lnJJsJ eAI lJaosJsd

1ep qo vTuozl lo nllauelp

op IpluozlJo ln lnJJaJ BAl lJodsJad

FlEp olPJolBO

Fluluozrro Prnls l op In lsr lEd trJ

slJ)sul lPluozl lo In ln)Joc uAI lJaosJad

HleP glBluor l grnlPl rp ln lBr lEo ul

s!r)sut .[sluoz!.ro. ":'n.tr:t .n l"t.J]::lf

1ep 1ei1pd

oJrJpul l lJ l tuos lopEJJP Bl \

ed o:opal ap rnlnlrund tt

9qF

t9v

t9t

ceb

?,91

z9v

l9t

l9h

l9v

0gt

6tt

6tt

6Vl,

LvvLlV

oJUJSJUOrlrads:44

alBluorJt t '6 '86

6t ( Lb

esndo.rd eutalqord

t ' tz

'de'J

t '86

L'A'86

9'6 '86

9'6 ' t6

p6t,6

t 'z t7'

6( jbo

I '6 ' t6upolaw z ' t6

t l 6L6

g'6 ' t6

r t ' f f iupolaw l ' ta

t{ '46

09i'69r'

69f

69169f

' orapal op ludrculrcl 1nuu1d u1,1n:1-uec nr Rlenl ls aJaJS loun BAll tadsJad 66'6't?'

lnl i i luozrio e1ur1 ad 1un1tslnrluas pul^B oloJs roun e^llcad.srod 86'6'qq91Vp 7ze: op olJls taun u,rr lrods'tad L( '6' t4iol i ,r :asqo a:ds eFu11s BI op Jp!qrsrpos oJpJ BtBluorl g$n o nJluod l l l lzod:o1; '1rra11ir iu gir lrcds.rad ul lnlpnls tJ6'Z E('

' alef,olso IecllJaAuelr l un-r1u1 qlsnl ls r ler l l lJA tsn IJUnurrprt l rsap IB E^r l radsrad ul In lp l ls 96 4 ' t 'A

ueluuuleaF Inun ln lnJedeJrtraprqrsap 1e g.,r,1ireds.red uI Lnlpnls ftZ'Z eGl'ed' iriun' e-ieoiezundso.Ior aldarl 9lnr rS arnqruls nJpull l r nr af, l lpul l lJcl?plorl [o I IEJS lJun BAI]rodslod ea 4 ff i

' leluozrrooluo{ [nl]- ,)ruPIp pUJAB ls olspJ^ .)p lB0lJul lo1nue1d u1 Inrlual nr +enl ls slrp-ul l l rirruai uoJluq Inun u,a.t1radsra6 64'6 tA' oJIJIUaJUOJ allJpulllJluras auap

:nr: .royn ote

. oI er1uor

. o l:^1"1,';.t::ig |G' z' F:6

ea,rlcads.Iad pulJsounc 91ep PzB.r op

lpdur ap. nrpulrr. lnun .r^.1l:a:; ;T 06'6' tz

gfunlsrp op l rund un pt l lsolol . 'JrrEap dr1 tSulace od elnut lst ts lqder rpacr.rpul i lcr iues rf loq raun e.l t lcads:e4 6l '6' ta

-", "o"r* ou,*ior,r.irr.it'iiifJlun ad rhlnria.) B

'grrqlI u,rr1oads.ra6 Bl 'a ea

' ' fe.r lPd ueld od o11Sa1 1;qrnurrr r r f loq ra.nr l r ' :ds.rad urfrn:1suo3 Ll '6 ' ta. . ' : ' . : 6t e6 e:nF11 u1p e,rr lcads-.rad u1 l l loq ap ratfcas;a1ut lnlpnJS 9l '6' ta

8l '€6 u:ndrJ1i lD r . , r r l rcds: . rd l l ! JJ lJpl l t l lJ-rLics r i ;oq ep lJ l lJJ\1.) lu l l l l lp l l lS 9l 'ZtZ

' t?Al lJadslJd ul Jr l lPuJl lJ

- ru-rs r f loq unop ol l t l I et fcosrelul Vl 'Z ' tZ

u11-r1uJ slrJsul lnlnJJor er,r11ledsra4

lBl t lozl l ( ) l r rueld u1 alPnl ls

lo l r l l l ) rJJ . ro1c,rr 11Jdslod et f ;nr1suo3

;r;'r:;.rJ n ",irnruu"."t:l?t'5[i-rrair iepunl olapotrau ut.td luluczl:o

l"y, lo .,,. lenr s. l n r ncrar ;il$i,:.r,#

o ,s ,n"rnrusr vnrrcrorotln'Yt1*t* u"

" ' ,

esndo:doualqold

" ' ; a l t lcads:cdrotc iBrtoplooJ IJpoIJUI BsleluJZJjd l ' r l '46'

e.nt l radsrad rololsuoplooJ upolrW

' ' o leJarBo IBJII IaA'nolqul un od ra.nt l rads:ad u at fcn:1-<_u6r

. op . rqrsorlaunrs. ,"1,,eollt.;g T, tt'aa

nolqBl un ad te.r ' t leads.tod u et icnrls-ut ir .- ,p I l l rsal launrg lnl Epolal{ l 'El '66

. : . . . : . . : : .rq:s:rHJilr't epotrrw

89t

89h

tct

6nv8VV

Lvv

Llv

L9V

L9t

rc i

99F

99V

99'

9St

f9f

98?cct

)b t ,

ltv

tEl,tst

ad o:opal ap In ln l rut- ld I IJaleqBJ

upolJtu ut . td u: t t l la l t t lJe ap run I- , , r r rnun ta,r t l radslcd et l ln;1sUo3

C'e I7

tt?

- ( )A Inun IaAII et l rnr lsuo3 6'ZI 'aa' : no1qe1 od arapsl aP ln ln l-cu nd I 1 ;a1uqu: l.aP:l:nj ":*t1:1ii1cd cropc,r op rnlnlcund I l ls luqBJvt 'z ' tz BpolcI,{

2,t. I .8 Perspcctiva unui vci lutn pc un tal,r louincl irrat oarecare, raportul de ampli-I icarc l i in<l doi

24.1 .9 Apl ical i iProbleme propuse

XX\T. REFLEXII PE SUPRAFI] I . [LEOGLINDAMetoda normalelor prelungite 47425.1.1 Ref lexia (ogl indirea) punctului , a

vert icalei , a or izontalei sau a drepteioarecare pe ogl inda orizontal i 474

25.1 .2 Rellexia unei vert icale intr-un bazin

Crp. XXVI. CONSTRUCTIA Ui\ lBRILOR lNPERSPECTIVA CENTRALA

2fl . l Corrst lucl ia umirclor irr pcrspcctiv: i la soare 48526.1.1 Pozi{ i i le soarelui i r r corrstruct ia t t rn-

blelor in perspectivi . Umbra punc-tului ; i a vcrt icalei pe planul or izon-tal 48ir

26.1 .2 , ' \nomali i le ce pot survcni in stuci iultumbrelor in perspectivir gi interprr. ' -tarea sau rezolvarca lor 486

26. 1.3 Umbra or izontalc i pe nlanul or izon-la l . ' . : 487

26.1 .1 Umbra drcptei oarecare pe planulorizontal 487

26.1.5 Umbra punctLr lu i ; i a vert icalei pe unplan vcrt ical 488

26.1.6 Umbra pc un plan vert ical a uneiorizontale prralcle cu acest plarr . 418

26.1 .7 Umbra pe un plan vert ical a unciorizontale oarecare 4i8

2i i . l .8 Umbra unei dreote oarccarc De unplan vort ic:r l 489

26.1.9 Umbra pc un plan oarccare a pl lnc-tului , a vert icalei ; i a or izontaleiparalele cu acest plan 489

26. I .10 Umbra or izontalei oarccarc pc unDlan oarecarc 489

26. l . l l iJmbra dreptei oarccarc pe un planoarecare 490

20.1 .12 Umbra unui cadrLr patmlater vert icalpe o placa plana ol ieea oarccarc s i pcplalul or izontal 491

26.1.13 iJmbra unui volurn dc arhi tcctur i peplanrr l or izontal 491

2{ i . I .14 Umbra unui zrnsambltr dc corpur igeometrice pe planul orizontal 492

26.1.15 Determinarea bipunctului perspcct ivSs in functie de alegerea faladelorunui volum de arhitectrrr i in lurnini isau in umbri proprie 492

:0.1.16 Umbra unui volum de arhi tectur ioe planul orizonlal razcler dc lrrr l iniavihd direct ia frontala 4.,2

26.1.17 Determinarea bipunciului pcrspec-t iv Ss astfel i rrci t unshiul dintre razade lurnina; i umbra vert icalei s i f iccuprins intre 45o qi 35"16' 493

26.1.18 Punctele de fugzi reduse pentru ra-zele de lumini i . Reducerea Dllnc-tului S. Reducerea punctului s. 490

26.1.19 Umbra la soare a unui gard f rontal 49726.1.20 Umbra la soare a unuigard vcrt ical

485

24.2

Cup.

25. I

2r .2

26.1.6

25.1.7

47 "1

467468473

476*/ t )

cu apa25.1.3 Ref lexia

h itectura25.1 .4 Apl ica{ i i25. i .5 Rcf lexia punctrr lu i g i a vcrt icalei i , r

ogl inda vert icald perpendic'ulari petablou .

Reilexia unui interior 1n ogl indavert icald oarccare

in 'apd'a ' rnr i unl i , . . i " or- 475

Reflexia punctului q i a vert icalc i inogl inda virt icald paralelS cu tablorr lRef lexia unei lSmpi vert icale inogl inda vcrt icala perpendiculari petablou

25.1 .8 Re f lexia unei ldmni vert icale inogl inda vcrt icr lb pdral t la ctr tablotr l

25.1 .9 Rel lexia punct i r lu i g i a vort icalei inogl inda vert ical i oarecarc

25.1 .10 Ref lexia unei vert icale in douiogl inzi vcrt icale oarecare pt 'rpcndi-cutare

25.1.1 I Ref le.r ia pr-rnctului ; i a vert icalei inogl inda dr ' clpit ( incl inati i gi per-pendicrr lara pc ta l - i lou)

2lr . l .12 Rof lexia rrrrui volr tm rrr isnrr t ic i l togl inda de capi t ( incl inata s i per-pendiculari pe tablou)

25.1.13 Rei lexia unei l impi vcrt icale inogl inda de capdt ( incl inati i ; i pcr-pendiculari pe tablou)

25.1 .14 Ref lexia urrbi l impi ' vert icalc inogl i r rda i r rc l i r rath f :L ld dc rrr t prr t ' t t 'f rontal a l incaper i i

2 l ; .1,15 Ogl indirea ln -ogl inda

vert icala aelementelor dirr f igura 25.31 .

25.1.16 Ogl indirea in ogl incla vert ical i abiroului din f igura 25.:\2

25.1 .17 Oglindirca verf icalei ,4c in ogl indaplani oarecarc QaQ.r,

Metoda simetriculr-r i punctului de vedere25.2.1 Ref lexia vert icalei in ogl inda vcrt i -

calS oarecare orin rnetoda simetricu-lu i punctului 'de vedere in raportcu ogl inda

25.2.2 Reflexia punctului Ei a vert icaleipr in metoda simetr icului punctuluide vedere in ogl inda vert icald oare-care

Iletodaogl inda25.3.1

: r .3 simetr icului p lanului in raport cu

iaa

479

479

479

48f

4u0

481

481

481

482

482483

483

BeB

Bn

i l

E

D2

62

497

497

497

4t8

61

165

F6

483

484

4844 8,1

oarecare26.l .2l Construcl ia umbrelor la soarc pentnr

un ansamblu de cl id i r i26.1 .22 Umbra unui volum prismatic de

arhitecturi asezat ortogonal pe unplan oarecare de l inie de iLrgd datdS situat in spa{iul real .

26.1 .23 Umbra unui volum prismatic dearhitecturi asezat ortogonal pe unplan oarecare de l inie de fugi datS;S si tuat in spa{ iu l v i r tual

-

i .1 Problemc propuse

15

coc

a99

699I99

8r98r9

Ll9919

:r;";; iru,'lrrror., Jt'"J;rllit a e'8daslIqO aslJlotuouoxe

ll.rgluazarder u.ldnse ;f9111uraua9 I'€'86gr11qo (p1o1ured) pcr.rleu:ouoxe eareluozardad t'86

gCIUACS IS Af, IUCNI ' I I ]IUNO1SVI gd VAII f ,gdSUlId ' I IAXX 'OE:)

esndord _auelqord ?'96EAllcoos

a.rqurn utfcnrlsuo3 g'96

9I

acrrlauroaF aluouelg l'16

uJ PlBlcullerfcn;1suo3 8'6'9600I'96 urnFuad plelrlJelfonrlsuo3 L'7,'9266'96 ernF

rola$1u

arfcaro:d ap

i l9

bl9

i l9

i l9

609

609

/nq

t09

099

899

899

LV9

9'9

I t9

86!"

9t9

t[9

e89

6gJIt9

reJr l la l tnuetd. od JI l loulouoxB ln llnuntd eliutror ts ec:eleqer u1:d pleu

:oqoljo. Rrr Ilaruouox e :."J,Xir?;:ir*BrJlourouoxu ug .rolacl:peric InolqEJ' pluuoEolro ElJlJtr louoxB uJ alEp-rou1e alcfalu:dt ts tS prtrput l lJ EaJl lS

tt, "i-,-"1":".'i :",:,'ji[#:r'l"y:u:*: .ur. :'l'r1'u

":mp"'*:trJ"y:u:*: u1 o1 ilzorl. tf" lY.lgi$-oFo1.to Bl l latuouoxE u1 aut8eurt cxecp rolaualsts B EAllrala ulfrnrlsuo3

gyeuoFol.to elJloulouoxu uIaurFeurl axe ap Jolalrlalsls BllJnlls-uo) u! ert;e:F ri arlll?ruoletx llielsg

gJIll3lrrozl F_lBu-o3o1.ro sJlllotxotloxB Eolrluoza:do5 9'6'Ba

prlr laulp PIEuod-olro s)IJlaluol loxE'Ealel i lazoJdau 9'6'86

PoIJlouozluB 9_[Bu-oFolro EJIJlauouoxB uateluozoJoa5 t'Z'86

o1euo8o1;o ac1:1 .-aluouoxe r-rpluozardir ap a1:ndr1 -e?EZ'

: . : lrE:S. '?ro.rnpa.r op. lfuo1c11eo1 6 6 96

" ; . ?

-ououoxs rnlnlqFunrrl o11f91o1:do:6 l 'G.'82

. . :':.':F:t: .u'l,t.Y":":n ":':t"';lX:I-auouoxe 11:pluozorda: ' ardnse l fglt lu;auo9

I€g V]IUISWONOXV (VAdYI-\sZf l ldau) vnt t f , !asdga' l l lAXX

vt 'z '86

t l '7 ' '86

6l 'z '84

t t '6 '86

0t'6'8,6

6',6 86

B',A'86

L66b

-:od u1 :olorqurnuod 15 .ro1

919 lol lolxa-rB Eullunl El lolaJqurn

nt9-I tr ulp lnlolralu! nl l-lllB Eulultll el rolarqlull

Gt9

t09

et le

609

609

. ! l ulp I tuolralul nrluad g1e1c1i11:e

:ul..nt. :1 . :ot:rlYn. ulfcn:]sttoJF 9 6 96

-rJ ulp ln lo l ra lu l nr luod FlElr l l l l le

:ul*] t t . :1. lolor.qYn. etfcn;1suo3 S'7, 'c7,

nr lol0Jlnulr ul l l rrdsrad n.r lued glBlr lJ-r lr8 uururnl ul rolorqurn EIl f ,nr lsuoS V'&'96

aslo^lp aJuq nesoueld rrpld 'ournlo n:1ued 91etr11-r lre Bulunl eI tolarqlun elfcn;1suo3 E'6'9( '

aJerarBo olBullcul Jol-o1da.rp a1e tt :o1a1e1uozlJo'JolalBJtl-ra^ JIE ulElr l j l lJE Pulunl ul olJJq,un 7, ' l ' ,C4

' alaleJso r loaJpap lnr!JSel Inun ale r* rnlnlcundale glelr l ]r l rB Bulunl BI olorqurn l '6 '96' ' JolJolxa uJ nBs Jol lalut uI FIBlJl l l lJB 8u-rtuul el glr lcads:ad uI roloJqun elfcn:1suo3 6'96

I89IS9

: : . . : ;,.0,^',0 *,i,"lJ?ll,y s'z'L?'rni ln eJrezl lr ln nr EJlJaJs e^t lraoslad n'z'L6' JIJTJS l lES JrJpul l l r ln l l lo lqui Bare.rnrspap .op a^!lBrulxorr1r",:Bi,t;lg t z lts

op aulntol roun u elurn6p1sap Rrl lp-ul l rr eir lccds.rrd rS 1et11.r;r^ nolqPled " e,rr lradsrod ol lu! arle;eduro3 A 6 LZ

F.Inl)o1l l l . tB op urnloA lnune gierntglsap gJIrpuIIrr BAllradsrod l '6 'LG

' alernlrolr qru aun lo^ tS 1; 1u1og 6'26

ri : tr1;peue .) le oluos EJ .alr lqun n' l '9?'' 'J l r atErps! lod 'a l lPlol

op 'cct :prrr l rc 'JJ luoJ aloJeldns al lJ-c1p n:luad glEJluJ.) nrrt ircdsrod u1rolrr( l tur l tot f rnr lsuor r lu l l lBr l lqV 9C' l '94

99.96 z:n811ulp e,rtllads:od nrluad . Pteluor}oricortp o EI rolarqun sl lrnrlsuo] 9€' l '9u

9q'9i u:nF1i u1P ul l lcodsradu! oreos sI rolorqrun ulfcn;isuo3 tt ' l '96' !?urunl op IalBrBd rnln_lnrlcsEJ alB

11fco:rp ol lraj lp nr podu.t I" lJ alBtu-ezar loltlRcs JoloJqun EllrnJlsuo-) 8t 1 96

lBurpul lnlat lu:ed nJ !Jl l?JSBAIIJOd:^lod rt l lolorqun utlct lr lsuo3 6t ' l '96' orlJpult lJ auEolo) laun lnsnJ a0a.ru.1nl qEunldolp. u.':'.,

:?Ji,'jfli? | t' I'ea

a.rrp1l qFunldojp. o:',:u. t:*L;;l#t 0€' I'eaod . e;rl 1uurs1 :tI. o :l i.rogo: t Xffiffilrll

66' I' ea

- l t lorp (a61u) rraprqcsap !oun. srq-tun 8A'l '94" : ilued grnFuls o-r1ug 31.radoreno 1$ 6or nc tt fcnrlsuoc roun.Brqufl L6' l '94

: : : : s1.'o.o9c9 "j:.1 r."y" erqrun ea'r'sd

l r r feds u1 lEr l l rs S' : t l laddre'r inid o:elnrr lFunrr] rurBrnI leun erquf- l 96 1 94

lso-ll r r leds u1 lBt l l ts S' iSlrot lore r tn . r t li re lnrq8unr.r l ourernl loun Brqurn 16' l '94

a'82

I '84

'dr: ' ,

t '17,asndo:d auolqold€09

t090ss/7eqzc

sa9

,69

ta9

$9169

049

06s

plerniplsap uJIJpul l lJ en1 lcadsrodug oarpadsrad lolalsltoploor upolaw

alBiuozt J0 oldo.tP -1 aun

e glu.rnfglstp gt l ' Ipul lrr B^11)idsrod' aJSJAIPO Alqajp laul l

e g1e:n*91sap ur l lpul l l r e. t l1.r . rds:a6' l ' ' '

' : - r l rJc- l3oo.r ' r ls ' l?Al lJJds-Jrd

aJlJOJS lcAt lJJds.t . l t l . t ; , r1ucut.- t11oJlrpur l lJ !aAt l )OdSlJo AIalucujJ lg

9' t '16

g' ,1 '17,.3

, ' l '16E' I 'LA7, ' I ' ,L6t ' t '16

roc

I09

009

6ri'66?

6t96t98t9

66t

28.3.3 Legitura dintre axonometria obl ici tgi lpura de geometrie descriPtivhMonge

28.3.4 Determinarea unitd{i i imagine pe odirectie oarecare

28.3.5 Rabaierea planelor in axonometriaobl ici

28.3.6 Probleme de pozi l ie in perspectivacaval ieri frontal i

28.3.7 Probleme metrice ln perspectivacaval ierd frontald

28.3.8 Probleme de perpendicular i tate . inaxonometria obl ica 9i in pcrspectlvacaval ieri frontald

28.3.9 Sec{ iuni p lane in supraie{ele c i l in-dr ice s i conice in axonometr la oDl lca

28.3.10 Tabloir l reprezentir i lor de bol{ i cuaplicati i in arhitecturi in axonome-t i ia paralel i obl icd

28.4 Reprczentarea axonometricd centralil-- Zb.q.t General i tS{i asupra reprezentdri i

axonometrice centrale28.4.2 Qeprezentarea axonometrici centrald

frontald28.4.3 Reprezentarea axonometricb centrald

veft icald28.4.4 Qeprez.entarea axonometrich centralh

generala28.4.5 Translal ia tr iedrului tr idreptunghic

in axonometria centralS28.4.6 Rest i tu l ia unui paralel ip iped drept-

unghic in axonometria centlalA gene-ralS

28.4.7 Trecerea de la perspectiva pe un ta-blou inclinat la reprezentarea axono-metricd ortogonali 9i reciproc ' ' - '

28.4.8 Sistemele axonometrice de protecltecu axc curbe

Clasi l icarea general i a axonometri i leUnele apl icaTii de rcprezentdri axonometriceortogondle ui i l izate ' in pregdt i rea v i i tor i lorstudenti arhitect i28.6.1

'Apl icat i i in care se dau f ie rcprezen-t i r i lc dublu sau tr ip lu ortogonale aleobiectelor f ie axon6meir i i lor lor

28.6,2 Apl icat i i in care se dau descr ier i a leo6iectelor 9i se cer at i t epurele Mongecit si imasini lc lor axonometrice orto-gon'r1e izomctricc sau att izometriceimpreund cu anumite secfiuni fie inrepiezentirile ortogonale fie 1n axo-nometrie

:18.6.3 Aplica{i i i r l care sc cere sd se constru-iascd in cit mai multe variante posi-bi le (din cauza absenlei proiecf i i loroe olanele laterale) perspectivele axo-iroriretr ice ortogona[e izbmetrice. alearisambluri lor de corpuri geometricereprezentate dublu brtogonal prinprbiect i i te orizontale 9i vert icale dini igur i le 28.184

Cao. XXIX. CONSTRUCTIA UMBRELOR IN. PERSPECTIVA AXONOMETRICA

JOO

bbd

569

b/ui -^a/J

ot l

lJ /d

585

585

586

SUtt

588

590

590

590

592DgZ

593

633

633633634

l l

15

trb

[8

n0

EIrp

n2

53

29. l29.2

General i t i { i

617

ol,

617617618619

619

619619619620

621

622

623

It

!

I

I

I

E

Construcf ia umbrelor la o sursd punctual i .delumini in perspectiva axonometrlca obl lcasau ortogonald (corpuri geometrice) : .29.2.1 Umbra punctului gi a dreptei29.2.2 lJmbrele pldcilor llane opace29.2.3 Umbrele Poliedrelor

29.3 Construcl ia umbrelor la soare in perspectivaaxonometricd obl icd sau ortogonald (corpurigeometrice)29.3.t Umbra punctului 9i a dreptei vert i-

ca le29.3.2 Umbra dreptei oarecare29.3.3 Umbrele piAci lor plane opace29.3.4 Umbra cercului29.3.5 Umbrele propr i i 9 i purtate ale pol ie-

drelor gi suPrafetelor29.3.6 Umbrele propri i 9i^ aulopurtate ale

pol iedrelor qi suprafetelor . . ' . .29.3.7 iJmbrele ansambluri lor de corpuri geo-

metrice29.4 Constructia umbrelor la soare in perspectiva

axonometricd obl icd sau ortogonald pentruvolume si detal i i de arhitecturi29.4.1 Limbrele unei case cu acoperig in

Patru Pante29.4.2 Umbrele volumelor de arhitecturd in

perspectiva cavalierh orizontali29.4.3 iJm6ra unei arcade ci l indrice29.4.4 Umbra unui capi te l paralel ip ipedic

pe un st i lp de sectiune dreptunghiu-lara . .

29.4.5 Umbra unui capitel prismatic pe fu-sul unei coloane ci l indrice

29.4.6 Umbra nisei29.4.7 Umbrele ih axonometrie ale scdri lor29.4.8 Umbrele consolelor pe o fatadd fron-

LAIA . .

29.4.9 Umbrele cornigelor pe diferi te planevert icale ale fatadelor

625

625

625627

627

628628628

629

630632593 2g.5 Probleme propuse

CAP. XXX. PERSPECTIVA SUPRAFETELOR. TOPOGRAF'ICE

30. I Ccneralit i f i asupra perspectiv-elor centrale.;!axonometrice al'e diferi ielor forme de relief

593 30.1.1 Perspectiva unei coline30.1.2 Perspectiva unui-plan -topograf ic .30.1.3 Perslectiva cavalierd frontald dime'

trici pentru drumul 9i formele derelief i l in f igura 30.4

30.1.4 Construclia perspectivei rtnui ansam-blu (cl5diri

-9i forme de relief) uti l i-zind' metoda carelajelor perspective

635

636636639

607 30.2 Probleme propuse

l'{ - Probleme propuse 607 LUCRARI CONSULTATE

t7

,7

Copi lo lu l I

srsTEME DE PROIECIIE

r.1. srsrEMUL CENTRAL DE PROIECTIE/^

Se considerd in spa{iul tridimensional un plartoarecare H, numit a-lgg-dgJgHgzentare sarl deproiecttie, qi un punc{-f) nesifg4t in planul H,iruriiit' centrq de proiectie. Fie i$lansamblul saumult imea punciCloi spaf iului, cu excepliaacel6ra silu-ate in pfanul parilel cu planul Hdus pr in punctul Q. A-f i ind un punct oarecarcal so'atiuliri S.dreapta QA intersecteazl planul Hlnti-uh punct a] numit proiecfia

-central[

pe planul H din centrul O a punctului A dinipat iut S ( f ig. l . l ) . -Dreapta oAse numeqtedieapt[ prbiectantfl. In general, -considerind oiis'uia barec-are F-atpafiului S, ii va corespundein" planul H o figurd f care va fi formatd dinproieclii le centrale ale tuturor punctelorfigurii F.Se numeqte proiecf ie ceUtral[ operatia prin care=e obf ine figura f din figura F, centrul de_,pro-

i - r r t - . ( , , . i , . , i .

t , -

i,l ieclie fiind f), iar planul de reprezentare H. iAnsamblul acestor doud elemente - centrul deproieclie O Ei planul de reprezentare H -formea2? un sistem central de proiecfie. Se poate' spune de asenenea cI operalia sau idgea a princare'se face sI-i corespundd oricdrui punct Adin spafiul S un punct a in planul H este oaplicafie a rnullimii S pe planul H qi se scriesimbol ic a: S-+H. Sub aceast i form5, acestsistem central de proieclie rcalizeazd o cores-pondenli univocfl intre spa]iul tridimensional S; i spaf iu l dublu dimensional care este planul H.Inti-adevir, L

- r reprezintl proieciii le cen-

trale pentru orice punct situat pe dreaptaproiectantd OR. Variind pozilia centrului ,Q

Ei a planului H, se poate obline, proiectindcentral figura F pe planul H, o infinitate defiguri f, dar diferite de figura F in multe pri-vinle. De exemplu, proiectind un triunghiechilateral F, se poate obline un triunghioarecare f, proiectind un cerc, se poate obfineun cerc, o el ipsi , o parabold, gi chiar o hiper-bold etc.

Agadar, multe din propriet i l i le f igur i i F nu, trec la proiec{ia ei. De asemenea, multe dintreI mdrimile legate de figurd se vor schimba prin

proiecJie. De exemplu, proiectind un segmentde dreaptd de lungime l, se poate obfine un

, , segment a cdrui lungime poate fi oricit de mare' sau de mic5, proiectind un triunghi de arie

dati, se poate ob{ine un alt triunghi de ariemai mare sau mai micd decit a triunghiuluidat. Pe de altd parte, ilgurile au anqmite pro-prietdli care se conservd qi ele la proiecfii.

r-;

19

6' t 'arc

g

-Fas erfcarotd nrluad r$ g.,trasuoc es arqut sw. ::=: * : (ouru) : (g1,11y) pcrpusru wv

0z

'ue1d no1qe1rnun olelJund rS S Isuorsuaurprrl lnlnrfedsalalcund eJlul FJolrunrq giuapuodsaroc o 1o;-1se alialrqels arer 'arf:raro:d ap nrpads'1ed rn1-nualsrs Ie Jr+oroal lnluarilepunl arnlrlsuor arI-celord ap IBJluer Inuelsrs '.rtrleelord rnlnrfedsu glue.r3alur a1;ed o luIS r$ allnu$rqo acrrl-euoaF elrrnFr; t$ ec 1o-r r$u1ece gceof lrur;ur e1ap ole+ueualo 'pArlJarord ulrleuioaF u1 '1rur;ure1 ueld un nr lelelduroc lnrieds -J arycatotdnlinds :trrurjul BI gldearp o nr iulaldruoc1nue1d - arycatotd un1d lllulJul e1 lcund unnr plulalduoc uldearp pa4carctd pgdaary a1{aw-nu es 'rgrdo.rdut aluauala olsaJe pulJnpoJiul

' l rutJrrr EI1nue1d r$ l tur lut e1 eldea:p '+IulJul e1 lnlcundluJs aJBJ 'tou aluaurala nc elelelduroc elsauu rpr lrna 1n lnlf eds rolaluauala earu r i lnru' leJlsv'}{ut$l-€T'-op "JolJiuaituola e'pnrltarotd ur:1-auroaF-ug'?a:tsotof lsof €- flpmroJsrruJl relseJe Bppzpodur.n;sTm6id-i 'Bat-XIX lE Inlnlores Balelgun[ Bnop B uI erqe pluapuadapul pul ldnsrpo-Jlul euJoJsueJl as aJBJ 'aaycalotd nt4awoa7BaJeaJJ el ' ta1: lauoaF Jolaluat ' rrBpunJ erdnseJolrJplecrac ea;erniugsep n3- ptrBpo 'pal-XIX IErnlnloJas elB apErap alerurJd uI snpuoJ RB ilJnl-ralrqJB e1e rS tacrsur8 alrfplrsacap 'en;1rago.rdllunq E-el arec ed 'acularuoaF :ollrnFlJ olBalelcads t{p1at:dord alaun 'a:elaJral op lcarqo BJ'1e1ozy E lalacuod '(eget-OSZ1) nunqg I$ (0ggl-96/l) saFDLtJ rfeuorluau IJ lod '(/9gl-gg/l)ppJuod ep pJejp ul 'arec er1u1p '1:laruoa8Jolnu urfuale spJ]B B :o1r:nFrl alB aArlcar-o:d :oytfplatrdo:d Inlnrpnls Buelqord'co:d1carr$ alua:ncuoc alde.rp pnop uI plzJluar erfcarordurrd gurtolsuerl as alelured alda.rp pnoq 'rnlnl-nrrrseJ alp o+uelcarord alaiderp e-r1ug asulrdnc:o 1 j-rn 1 ilAun rb 1 r j nsnu rs .r,i iilruoOa;. pipoOiri ap

rerunu apriidop

WB WN.-:

Vg VN

rug ruuaJEolBAInrprEld:

* :* :

(quuu) : (SNWV) alcund n:1ud

lrodu:

'nr iedsulp gV luauFas un al.redurg ry lcund un arBJu; nldruJs lnlJodur ririurure lJ lod eleuoFol.lonus arrlqo a1e1e:ed rarfcaro.rd !lluelrBAUr orlul6l

uriearord n.rluad ri ur{uaur n, nu.r'Jrnn iJtl3[:i3rfplarrdo:d ellnur Flsrxa 1e:auaF ul 'UV Fluetr-calo-td eldearp ad 1en1rs lound acr:o nrluedaleuoFoi:o nes ecllqo a1a1e:ed aprfcarord rclers plurza:dal D : J Inlsund '11 a;eluaza:darap leuorsuoulrp nlqnp lnrfeds rS 5 leuorsuaur-lprrl Inlnrfeds elalcund ar1ul gro,rgun p{uap-uodsaror o Io+ yzee lear arfcero.ld ep laleredInuelsls zpr lsaJB u; r$ 'alicago.rd ep laluredtuelsls un Bz?arrrJoJ - t{ areluazatdar ap 1nue1dr* ar{raro.rd ap y erica.lrp - a}uauola gnopr* ar{raro.rd ap y erica.lrp - aluauola FnopallJaroJu aP v ErlJaJlp - alualuala Pnop

+saJB Inlquesuv 'H areluaza;dar ap 1nue1dI 'V pullJ JolaluplJarord erlcarlp 'g ernFrl

JolsaJB Inlquesuv 'H aJEJBI 'JBI 'V purrJ Jolalueparord ericarlp 'g ernFrlutp 1 e:nFr1 auriqo as aJBJ ur-rd erferado gleuoF-ogo nus prllqo ulalurud arfregord alSaurnu ag'g ttrn8l; :o1a1cund JoJnlnl a1e eleuoFolro nBSacrlqo a1a1e;ed elrrfcaro:d ulp glurxJoJ rJ EA oJBJ1 ernFrl o g 1nuu1d ug apundsatoc II S lnrieds urpJ aJBcaJBo r:nFr1 raun 'lerauaF u1 .g lnrfeds ulpy rnlnlcund e g 1nue1d ad pluubFol.ro plelurqdugfca;o.rd alsa e '11 a:elueza;dar ap 1nue1d adg:elncrpuad:ad alsa y elica-rrp RcBO '(6't 'Fll)S lnrfeds ulp V rnlnpund E I{ 1nuu1d adprllqo ulelured egiralordre aiSaunu ag .e lcundun-rtrul H 1nuuld pzeolrosralur V lnleundur:d psnp y erira;rp nc glaleted uidea:p ,Srnlnrleds IB areJarBo lcund un pullJ V

.g lnrleds

ulp V aJpraJeo, arfcarrp o nJ alaleJed a1eo1luls aluelJeroJd alazuJ 'zvr +sece uI '+rulJurBI lBnlIS pund un i; erfcarord ap lniluar erg

i lI)l lodd 30 ltlyuvd 'lnwslsts 'e'[

JoleJ IB f,tuoruJeuu lngodur nus 1ry;oduJlq oisaalBJtruoJ tarfJaro.td IB JrlsrJalceJeJ luelJuAurqB un 'uauaruase aO.J'FArlJaJord oluiar:dord oalsa aJeourloc U E ap irnFr; laun rolalirihd ea1e1-eudo.rd 'aJBurJn un6 'eldearp o ad BouaurasBap gspF JoA es l r l rnFlg a1e q,u ,ur,u a1e:1uaralttfoaro:d 'elduetp o ad csaseF as g rr.rn31;ole g 'N ' I I 'V alalcund grep 'nlduraxa q.rdg'1fuu;.lCArii JSOunt as rurrJpru r$ rrirolo:d alsoJv

U:f;

at laSINI

diniuluipr inIr-unbl ic iu l Srl araec!iaui Arre Fpra Ib l icei i F.orto-f d in

: ̂ -, la l

e.'itorie ; iistememul;pon-i r id i -r l deta giorialeoiec-ietdf iec{ ia

e sauIu inI d inma- ,trS

nentului pe planul H. De asenenea' biraportul;';;i;;;;;fe coliniare se mentine ca invariantri"-in" ii"i"irii" paraleld. Proiectia paralelditun.iotita ,loui drepte paralele tot in doud;;;; i ; paralele, iar 'dreptele concurente din;;;ii; {ini ttui.tttormate^ tot in doui drepte. 'oniut.nt". Sistemul paralel de proiectie con-;tiff;--ildamentul tboretic al . sistemului' deproiecfie dublu ortogonal Monge'

I .3. TRANSFORMARI GEOMETRICE'I ' I ' '

I .3.I. TRANSFORMAREA PRIN OMOLOGIE

lo Omoloqia pland. Omologia planb este oitun.ioit?t" punctuald definite de un.centru;;;;t;ii;-d, d" o ax[ de omologie A qi de un

"ir*iii.?t tr, prin care unui punc^t oarecare M

.f ofunriri det'erminat de o qi A ii corespundeun' punct M1, astfel incit :

- ounctele Q, M, M1 sint col in iarc:- irpbtt"t anarmonic (OMmM1) : ^)"

ut-ide m.rt"-lni"i.."iiu dintre' dreptele A ;i o M

['"1u t ,?portur anarmonic al omologiei este

i:-i, '"iunci punctele M ;i Mr sint conjugatearmonic in rapoit cu Q Ei m, iqr.omologia esterr*oni.e. nu^.a ). : l, punctele .M 9i M1:oincid. iar omologia respectivi este o trans-:;;;;; iJentl"e. P"unctell axei A a omologiei,;;i";;";i; cluble ale omologiei, ca dealtlel=i ' . . t i t i" i o al onrologiei ' Dreapta care une;tea;;;';;"t; * ;i N ile planului inlersecteazdrreaota care une$Ie transformatele M1 qi N1 aler,.;i; pu".t" piin omologia,f), intr-ulPunctl . ruut pb axa A a onrologGi ( f ig ' 1 '3) ' omolo-..,

-pf lna transforntd o dreaptb tot, intr-o

-..rpie. b omologie pland este^complet deter-: '" i ta Au"d se dlu: 'centrul o al omologiei '."u

-i-;i o pereche de puncte corespunzltoare

I ' ig. 1.4

M.M, col iniare cu O. Transforniarea pr in omo-i" i ' i . 'p"r t" i i ext insd asupra f igur i lor plane.; i

ip?t i r i " . Doua f igur i F qi F1 sint .omologice; i i l . i c ind exist f o ornologie care transformduna t l intre f igur i in cealal tS.- - ' r ̂F f"oi.*.le iui Desargues in ptSn' l'. C?n44tp,rrccroira si suficienta ca douu trrunguurt ABC'A'-B'C' sa f ie'ornologice este ca perechile de drepte

tdC, ntCtli (CA, CrAl), (AB, ArBr) sci,,se. irfier-

iect'ezeii' i, 'ei puncte i, g, t coliniare (f ig' I '4)'l l. Conditia iecesard si suf icientd' ca doualriun-phiuri AbC, A1B1C1 sd fie omologice est.e ca"dreptele AA1, BBr, CC1 sd fie concurenle' I' lgura

r"tiiil-a'd i ri't ti utigtt i ui i I e ABc, Ar B rcr i mp reu -ta

-., at"ptele caie unesc virfurile cor-espunz6-

toare si .,i ,*u ;i centrul de ornologie fornteaza

" .""ril"i"ii"-ab l0 drepte ;i l0 puncte, astfel

i";it ii;car6 dreaptd treie piin ciie trei puncte, i prin f iecare punct trec cite trei drepte

i i iei i .+1. Aceasth f igurd-se nume;te conligura'

| i" 'r" i- 'Desargues. Tn f igura l '5 s-a aplicat

o

Fig. 1.3

_--/

Fig. 1.6

2I

qB I Ftc

'aJBO+EzundseJoJ elcundap aqJaJad o rS alBlrurl? ap V BXB uelsBounrPJPp FlEururJalep also purJB 0JBruJoJSuBJl o'PlsuotolJo alsa Bal?ilurjB nBs purJp BrFoloruo'y exe ed prelnrrpuadrod alsa ryy alelrurJBap erfcorp prBC '(/' l 'Fg) tV l$ V anolgzund-saJor alalcund e1iaun ao eldea.lp ap plrur1apetrsa elullu!;e ap u;frerrq '(1rullur u1 1en1rs)nJrdo.ldrul lcund un else rarFoloruo IB O lnJluec:et 'erJdold plduarp o elsa rarFoJouro e V "xBaJBc uJ prtFolouro aJpruJoJSuBJl o alsa ButluulFolotug 'U InJluar nf, lroder u1 arJtrarr-IS o elsa Bllalouo 'I - : Y nJluad 'IlsJoAUl

) 1 ru1uad JBr 'elcoJrp olsoatrso Brloloruo

srJalouo '0 < nJlued 'Y : --Vi-rv(J

'0

Y

eluelsuoc alsa 15_ Inrlua) EI rV IS y .rolalound:olafuelsrp 1n1:odeg ' (g ' t .Fg) (pttug pluelsrpe1) nJrdo.ld lrund un alsa ralFolouro le 15 Injl-uer rBI 'LllulJul e1 e1enils) a;rdo"ldurl plduatpo alsa rarFoloruo B V p,xu aJBJ uI grrSoloruoeJerrrJoJsueJl o alsa elloloruo .pulJe ulF-oloruo rS uglaloulo urqasoap a:e1ncr1:ed aprFol-oruo aJlurg 'pJnFU Blspere ad rt pfuaprna uJESnd rJ oleod s_anFJesag erfernFrJuof .3OgV rnl-n:a1e1nt1ed arFolouro uud aruu.rb;sue:1-r$eaacd

o si .logiacare

" iar

ryriueste

DTES.

ia detf ,mld.dacarcde

30 Teoremele lui Desargues in spaliu: l. ' Dacci

irtiiit, cdre unesc oirfirite otnoloage.ale douri

t r i i , r intur i ABC;1 Ari l rcr s i luatc in.doud plane'iiiriflip

ii'i,iiit ciniuiente in acetaei punct {L

;ii;."ft; tJ ;i i.s, b) atunci laturile corespondente';i;

,;i;;-aiia- triuitshiuri sint concurente in trei

otmcte colineare d, 9, ^( situate pe dreapta tle'intersecfie h' a Planelor P ;l P1'

11. Dacd laturile omoloage ale lriuttghiuril 'tr ABC

;i ArB;et t; tuate ln doid plane oaiecare ,.P ;{ Pt

:e intersecteaza pe dreap'ta de interseclie L a'itoill"oi,--"ii-iici'

drepte'le. care unesc uirf urile'rurriiorauntu ale triunghiuriLor sinl cottcurente

:n arcLagi Punct Q'

-lo Omografie. Perspectivitate' DacI punctul o.e consiclerd ca un centru de proiec{ie' intre

-""Gi"-""tor doud figuri ABC qi A1B1C1 s-a

.trUliii-oiit aceastd o"pera{ie o corespottdentIaiunivoci valabi ld nu numai pentru , aceste

: iJur i c i pentru or ice puhct sau-dreapta con-

,;it;l; in 6.r. aora pian'e P !i Pt' qgfg:ponden{aj intre planele P 9i Pt astfel stabi l i ta. se mat

-"i"-tt[ '. i 'p.itp".iinitute iar dreapia. t.le inter-.* ' i ; ;A i in i i " ' "" t" doud plane se mai nu^me;te

, i ; ; d;perspect iv i tate ( i ig ' l 'B ' b j i l '9) sau

.:cul geometric al punctelor unite' O corespon-

-.nta' tui largi deci t perspect iv i tatea. o con-:,ii;;. i-"tpof;u.n1a omograti{ tqu . colineaJia'

.-t;;;ti;rt buncteie unui plan P1 sint.proiectate

-.ntr-un nou centru de proiec{ ie ()1 tar prolec-

. :ntele se secf ioneaza cu un al t plan ,P2' lntre

. ln"t" f" plani i lu i in i ! ia l P ; i punctele planu--

- i P' se'stabi leste o corespondenld biuntvoca

.. t ie l" inci t unui 'punct A €P i i -corespunde un

- ri.i Ar e p, qi uir-i drepte D e P ii corespunde

o dreapti De € Pr ; i reciproc' Altfel- sp-1ts.,coresDondenta sau irantlointarea ornograficd,;ilr[";;;t'ptr* este clefinitd 1o: DacI unui; ; ; ; i d in rr t imut plan i i corespunde un singurounct in al 'doi lea plan; i reciproc:2":daca trel5" i j . i . ' .J i "* t"- .br . tp 'nd l i t re i puncte col i -; ; ; ; ; ' . i"3;

'- , t ; . t bi iaportul a patru puncte

;; l i ;r '* . t t . .grt cu biraportul transforttratelorioi. poue plane omograii te cu uu al trei iea;i ;": ;T";oeiuti .* i i l tre ele' In cazul drcpte-i;;,'ttr;i'f";;?t;; omografici a, lor, este ech.i-valentd cu doui proiec!i i centrale (daca nu au

un punct unit).

1 3.2. APLICATII ALE TRANSFORII{ARl l PRIN Ol lo-

i-ciciE'$r"n"niri i ini} ' l ; 'S;dd centrul de om^ologie o'

i*l"i.-,i'it"i"gi. A tl perechea de puncte omoloage a' a"

ba se determiie transformita d' prin aceastii "*ijifntogIi"pt io I r., u l p,':! **.ll.ii, of 0,,i,!?,i1, l#' ; ;,

Lurde Q, b, b ' s int col ti i i ' lr i" i l iur' i , i ' situat p" i i ' ae omologie. t '

" 'urrtlrt?,tu* a '= I t cste purr i tu l uni t a l drcptcr d re;

i t l i i ia" f l . t u; . ia ver i l icare petr t r t t -c( .d t rcbuie ca

.;i i . .e i i i '-cJineare iar ac qi l ' . ' fg intersecteazd in

r,,'i.t,i i l' - ;+,:lt"q: "i: JJ,,.,f,l'i"o :},,l,ruli li' l,'1, I

iezolvat aceeagl_ Proole. l ls i tuat pe axa'de omologic J

KaAde2' Se consideri triunglriul abc concurent cu al

on-rologie. Daci a' .tt" o"iofngul lui a in raport cu centrul

i . ""t"[gt.

(){! r sa se construiascd omologul a'b'c '

I r ig.1.10

l

i

I r ig. 1.9

-

( ) t

,,',il,'. jn.,l?,i.,n,"ir,r=.1"'*il=ili:it""ii:d:di5i#;:,.Tli" l, t4'o 1 s''p i LL, f , iq' ;X'liii J,,li',ilo ;i,',"# :?'r i:;arareoap Bruaurase oq .(91

r l ir j y "1nJ,uifn "i

,*" o.r

?6erfcarrp BI osnp elalelered ad aler i l rs 1u1s,e rS,q alalrund'olulrurJu ap pJp ad alunlrs , ; :1 , , r f -_ i , , [= f.,! = ! alo.lrund u3 uzuelces;.1ur n,

"urgr_ioloro n;rrn1"1'(lt ' t 'Fg) ,ep also alelrulJe op erfcariq :!nlnuu,

-ola1u.rud InJluaJ elsa e !nlnJJ!^ tnuJJp gt pu;p6 ruerio;-e;u.rud rnlsaoe lE u!J? InlpuJoJsueJl FJsetulsuor es

"S'V a1ellullu ap exu J6 arqe ;nrue.rioJe;u.rud p.repJsuof, aS o,

alcla.rp ap sanFresa6 arie:nBrguoo o olsa /.1 ,,r;?li:r'rj;-BupruasE ,Rlnurlqo e:ndg .y alelrurje ap exe acl alpnllsoJuaurlo)-/{ = {,,[ = [,,! : r alelrund uJ pzpelJosle]uras our;e-FoJoruo alunlB.I .alelrurJe ap erfca:rp eJ r lSq ur.ld asnp a1a1a1e:ed ad elenlrs rJ roA ,r rS ,q elalcung'olplrurJa ap elfrarrp alsa ,Eu eldeat6 .tqu

;nJngq8-un!Jl_l? ulle lnleurJoJsueJl eulruJelap os pS .," ." nu;g"alcund ap uaqcarad ;$ y o1ullugu np "*"

pr.p;ruoJ eS .og.(gt't .8lJ) a8eoleue 1u1s elrlcnrlsuor ralnrrlrpd lnzecnrluad 'V ad olenlrs ,I = ,l ,,t = I ,,1 _ I elalcunO ugBl3asrolur :ol es a8eogoruo alrrnlp-I (at.t Ell) 6 1nr1un,31.r-tjf :ld_tJ "o

alBnlrs r; :o,r aBeolouro atotrund'V ,t5 lnzEl lS lodu a:aplsuot es uS .1up 1n;n;q!un;.r1 ;e

9l t 'F lc

8t ' t 8rc

: j .: l l tt!!9dltd alsa ,uu oleltulJe ap urfra"rrp BleuoFolroF-ulJn BarsuroJsuarl ul .qu : ,u'u i!1u1ii ^liulrsounr'elBl!ulIE op uxs ezuafrasrilug J.rur aiqri zadil lnunlu luuoiol.ro u;;u inluiu.rogsueil grselnriruoJ-ni pg .q

;t?J,',:L&11,;F'",.1t1#ili#l;l';f t*dTf*iif {$

at ' t 'Etc

rFlE

|reaziiluri I e

daldtate,af ind

nrlard

E€CeFnelehter-:= S'

l'J

1-i"!"-...-

l .4,GENERALITATI ASUPFA SISTEMELORSPECIALE DE PROIECTIE

Descoperirea unui lnsemnai numdr de sisteme de proiec{iea condus la simpli f icdri esen{iale in rezolvarea anumitorcategori i de probleme. Dealtfel -un rol de seamd ininviorarea muncii st i int i f ice in multe domenii ca meca-nic5, cl i imie, f izici , tehnici minieri , construcf i i , arhitec-turi etc., continui s5-l ioace necesitatea de rezoivare aproblemelor prin metode geometrice gralice. in aceastddirec{ie este cunoscut faptul ci in ult imul t imp au inceputsd prezinte un interes deosebit in rezolvarea problemelorpri ir metode geometrice grafice reprezentdri le I iguri lorspafiale in sistemele axiale sau centrale de proiec{ieprecum gi in sistemele Monge derivate, simplificate saugeneralizate. Evident, valoarea metodei geometrice de-pinde de faptul ci t de comod se rezolvi diferi tele problemecu aiutorul ei. Se noate remarca de asemenea cd fiecaredin listemele existente de proiec{ie este comod pentrurezolvarea unui anumit grup de probleme qi cd acestesisteme de proiec{ie nu numai cd au dat rezultate directeln domenii le mai sus aminti te, dar au consti tuit inacelagi timp qi metode noi de rezolvare a multor problemegeometrice. Binein{eles existd o legdturd strinsi intref iecare sistem de proiec{ie nou imaginat gi epura sacorespunzdtoare pe care principiul teoretic se apl iceefectiv in rezolvarea problemelor oractice. Au fost ima-ginate insd 9i sisteme-de proiec{iei ca de exemplu, unelesisteme de proiec{ie multi-axiale in care materializareaprincipiilor teoretice in epura corespunzdtoare igi aqteaptiinci rezolvarea. Numeroase discipl ine, in special tehnice,folosesc in mod curent diferite sisteme geometrice deproiec{ie. ln ult imi instan{d se poate aprei ia ci majori-tatea crea{i i lor umane rezultd succesiv din insu;irea,transformarea, utilizarea sociali, tehnico-economicS, amediului inconjurdtor. Acest mediu nou creat de om gisocietate este o cucerire. o ordonare. o combinare noudde spal iu, materie gi t imp prirr intermediul unei proiec-t ir i deci prin ut i l izarea unui anumit sistem de proiec{ie.Proiectarea este deci concretizarea tehnicd, gt i in{ i f icdeterminatd a unei crea{i i , ea insdqi qt i int i f ic fundamen-tatd. In baza acestor acumuldri cari t i tat ive, anal i t ice,de special izare, proiectarea lncepe totugi cal i tat iv printr-ointui{ ie, viziune de ansamblu spa{iald, materiald,r inetici , a obiectului cerut, in cadrul condif i i lor locale,inomentane. date. Este vorba deci de o sintezi creatoare,ie forme spal iale, de necesitdt i func{ionale gi condiJi i de:eal izare pe care numai geometria o poate conforma insra{iu qi totodatb concretiza in studi i le pe reprezentdri le:ehnice plane ca imagini ale apl icir i i sistemelor de proiec-1e adecvate. Mai departe, prin determinir i gi aproxima{i i

: j icesive, in baza legi lor speci i ice dar gi de armonizare,.e ajunge la proiectul tehnic respectiv, necesar in vede-:;a real izdri i , deci la construc{i i plane, care urmeresc nu:t, : :r ic formal, ci lnteles, insigi rela{i i1e din spa{iu.-:"; :dar nu se poate concepe o proiectare ln nici utr dome-":: f i r i cunoa;terea cel pu{in a principi i lor generale ale, . :einelor de proiect ie care se tt i l izeazd ln ramura res--.: : i r-a precum gi in cele inrudite cu aceasta. Aga cum,-. aminti t mai sus progresul continuu a1 gt i in{ei gi: :--- ici i a dus la aparit ia muit iplelor sisteme de proiecf ie: i : . se ut i l izeazh astdzi in cele mai diferi te qi nea;teptater:r: :- t : i i . Spre deosebire de trecut, cind dubla proiecf ie

-r: .- : :rald consti tuia sistemul de proiec{ie ut i l izat in

majori tatea cazuri lor, proiectarea din zi lele noaStre arede rezolvat o primd problemd ce i se pune inainte detoate: care este sistemul de proiect ie cel mai adecvatpentru ut i l izare in cazul considerat (aspect, mdsurltori ,detal i i etc.). Practica a ardtat cd nu poate f i l imitatd laun mod de reprezcntare unic. O privire retrospectivdaratd ci tehnica gi arta au fost in toate t impuri le profundtr ibutare sistemelor de proiecl ie care au evoluat odatd cuinmul{ irea gi adincirea cunogtin{elor omenegti asuprarratur i i ; i societbt i i . Agadar, cunoagterea temeinica acaracterist ici lor sistemelor de proiec{ie, a suportuluigeometric pe care aceste sisteme de proiecl ie se spri j inidonst i tu ie 'o cer infd s ine qua non'pentr t t act iv i t i teagt i in{ i f ic i a proiect i r i i bunur i lor mafer ia le. Dupd anu'mite cri teri i !e pot incerca diferi te grupir i sistematice asistemelor de proiec{ie. In cele ce urmeazd este-prezcn-tatd o asemenea clasif icare a sistemelor de proiecf ie avitrdmai mult un rol informativ asupra creal i i lor in acestdomeniu.

1'. Sisternul de .proiec{ie Monge gi sistemele de proiec{ieMonge derivate: Sistemul de proiecl ie Monge apl icatstudiului descript iv al geometri i lor neeucl idiene; Siste-mul de proiect ie Monge modif icat (Mart in, Pernot);Epurele df ine 9i epurele af ine cir spa{iu de transport;Sistemele de proiec{ ie Morrge simpl i f icate.

2o Sistemele de proiecfie care generalizeazi sistemulMonge: Sistemul- de proiec{ie imaginat de Gh. A.Nicl i i lor; Sistemul de pioiec{ie cu diedrul nul; Sistemulbicentral de proiec{i6 cu

'doud plane fundamentaleparalele; Sistemul biceniral de proiec{ie cu doud planef undamentale oarecare.

3o Sistemele de proiecfle ale geometriei cotate: Geometriacotat i propriu-zisd; Sistemul de proiect ie vectorialimaginat de Feodorov; Sistemul ciclografic de proiec{ie;Sistemul de proiec{ie imaginat de A. Capelloni; Sistemulafin de proiecj ie.

4' Sistemele axonometrice de proiecfie: Sistemele axono'metrice de proiect ie cu axe recti l ini i ; Sistemele axo-nometrice cu axe curbe; Sistemul de proiec{ie prinproiecf i i supl imentare.

5o Sistemele axiale de proiect ie: Sistemul axial-hel icoid alde proiec{ie; Sistemul axial - paraboloid l-r iperbol icde proiec{ ie; Sistemul plan-axial de proiecf ie; Siste-mul 'biaxial de proiec{ie; Sistemul tr iaxial de proiec{ie.

6o Sistemele centrale de proiecfie: Sistemul perspectivde proiec{ ie pe tablou plan vert ical sau incl inat ; Sistemulperspectiv panoramic sau oloramic de proiec{ie; Sistemulde proiecf ie al perspectivei Newtoniene; Sistemul deproiec{ie al paraurmelor; Sistemul stereografic de proiec-{ ie ; Sistemul bicentral de proiec{ie cu centre f ixe sattmobi le.

1.5. PROBLEME PROPUSE ."-

1o Sd se arate ce devine raportul anarmonic r : (ABCD),daci se permutd in toate moduri le posibi le ( in numdrde 24) oidinea celor patru puncte. Numdrul r f i ind dat,sd se exprime cele gase valori dist incte pe care le poatelua ast le l

.-- ,1

;J

25

'8XE l l t BlolBJE0 nBS BXEad alelnJlpuad.lad aldorp roun e8eolouro erseaseF os esaluapuodsa:or elrund enop luls rW rS 1ry greq .r.X BxBod 1en1rs g Inrlrral r$ *y er8oloruo op exp Fp oS

"01'bdur rnynlq8unt.rl ln8olou.lo

^eJsBrnrlsrror as Fs .sx:1, p orSolouro ap 1od un nr 1.Iodat urtu rnlnlcrrnd lnEolou,ro olsa Iru eeeg .bdru

lnlqFrrnr:1 nrr?lu)Jnrrror *y orFolouro ap exe rbdru

InlqFunr; l Fp oS "6'rsnsr.rJ

rny apunclssror r$1 arf;osralur ap joI prlruird pl punlSq raldo:p u lq ptrle-r8oruo aleur:olsuell FJseJsRB os l?s .llr?l

-Inlar IB rr lerFouo InlpuroJsuprl lnun lrrJs Iy r$ y preg'O t I pl lul l IntrJund 16 q eldea:p ,g

1n:luar pp aS oB'(a:Baullof, luls un a:pf,areo aleund ra.t1 arer o.r lurp)

alrund n.:1ed e aya8eoloruo t-npulJsoun) .atrBp C auBld

tJnErJ raun etr;e:Fouro Ig e.rn811 prsplnJlsuoJ as FS o/

'qnop al lBlola) ap r luolurp FlBzr^rp also 1a1du.rorJaJBlnJlBd lnun p BlpuoEBtp cleJJtJ E.) J ls l r ) as pS og',q ad ,ut nes lnFolouro Frselnl lsrtoJ Js Fs 6 pldualpad u , lsp pu!!J . ,9 ls o alaldarp ad .rr lrrdso.r oS8olou]oalrun(l ap rqJarad larl ( ,r .r)

IS (,q ,0 .(,u .u) agg og

. ^ 'p8aal a[ or FrtrBr8oruo er]e1ar EJseelrqels as ps

rs JJtJ?ldoulo tunrztArp clep_ a1a1da:p ad nr;rsap alcundalsaJe pr olerp os f5 .3W

15 rry alolrund uI alup a1a1da.rp

Fzaalf,asralur 4 urrd psnp Frerlrqre Bluaros g : j xr i jcuni lun r( uq r* tg alda.rp enop ueld un-Jlrrg BJoprsuor aS o'

. 'aJeautlor lugs a8eolouro azBJ enop al l?l

- ro l ) r a lp.ct l r rsrr lur op c1.r1lrnd rrunl ts . ( ,OO eir teaipjpunruoJ pdp,oloruo ezeJ o ne 1$ ctuoru:eue 1:ode: r lelare ne' ,6,1n1rund l r lp r l lBlal3r . re i ,g ln l rund r i rp asn! alaurr :d' rJsaJp nl lpd al lJ ap JloJtJSBJ Fnop pJEp pr als lB as RS .g

0s::CV rr f lpuoc alsarB uJ pr alprB as FS.Z/t __ry:qyapun I - : (ACSV) EiluollrrP eaunrzrarp g;aprsuor ag .6

turlEte

ED.lu i -dDh.i

mta

im

rs{e

I P.'Enle

" t_

27

2.r .1. PLANE DE PROIECTIE. LINIA DEPAMINT. DIEDRE. SISTEMUL DE PROIEC-TIE MONGE. Se considerd ln mod arbitrar celedoud plane perpendiculare H ;i V carese numescplane de pioi6cfie gi pentru a le -deosebi sepresupune-cd H este plariul orizontal de proiecf ie,iar V^este planul veitical de proieclie (fig. 2.1).Dreapta d-e interseclie OX dintre aceste doudplan6 de proiecfie este numitX in -geometriadescriptivd linie'de pflmint. Aceste doud plane:erpendiculare sint nelimitate qi pot ocupao pbzilie oarecare in spa{iu, in care planul H5a nu'f ie neapdrat orlzontal sau V vert ical 'rile doua plan6 de proiectie H pi V divid spaf iul::l patru regiuni numite diedre. De asemenea,

Copitolul l l

PUNCTUT I

2.] slsrEMut DE PROIECTIE DUBTUORTOGONAT MONGE

cele doui plane de proiecl ie H ; i . V s.e dividi." ipto. i t i pbtru semipllne, prin l inia deoaniint o*, cire pot f i notatc ; i numite astfel:'n" - ntunul ori jontal anteri6ri Hp - planulor' izonial posteriori V. - planul vert ical supe-;i;;; t; - planul veiticai inferior' *Diedrul I

".t"'iottort fe semiplanele Hu ;i V.-'- Diedrul II

. t i" l"t"*t de semiplanele V. si Hp' DiedrulI i i este format de s'emiplanele Hn;i Vi ' Die'a;f IV lite format de'semiplanele v, !i H. 'Acest sistem dubl u ortogonal de -p]gfte" -49*pfg-iectie asoCi-af cu"proieCfia paialeln ortogqna.lq-ioi'*itii! iiite*uT'o.- p'ioi"iti; tvton3". X'ifei 'bentrii mai'liiulte claiitate,' Sd -prcsupune ca;i; ;"1 oi izontal H estc paralel cu planul ori-ionlufui l i ie planul veri ical V este paralel cutl irectia f irului 'cu plumb' Diedrul I este regiu-n., ,lin spafiu unde trebuie si se situeze unoUi.*rloi di:asupra planului orizontal Ei astfelincit. privind pfanui vert ical de proiecl ie'. sd.'uO-a'ifi ttinga'sa litera x a liniei de -pimint^Eii; ,lt;;pi; t? lit.tu o a liniei de pdmint' Inviitor, lit.tu o se considerd ca origine a.abscise'i;;; t"ntut pozitiv de la o-spre--1, adici de ladreaota spre stin[a. Diedrele l qi Ill sint numitediedie opuse. La fet diedrele l l qi lV'

2.1.2. PLANE BISECTOARE. Se numegte.pri-mul olan bisector planul bisector al diedrelor Ii i r ir f i is.2.2\. Se nume;te al doi lea planirisector'pianul

'bisector al diedrelor Il Ei lV'Uneori de considerd semiplanele bisectoare l,l l , I l l ; i lV.

2.1.3. EPURA. Dacd unul din planele d9 p19ie9'tie H sau V se rotegte cu 90o in jurul liniei de

:t

Fig. 2.1

9'6 'FtC

.4/'i't; /

i/o1:;l-uppdap 'uslrsqu :lriJs aJBc 'a1es a1e en;1d;rmapel"uopJooJ Iarl alar ap PlEulruJalap else erndaad (,e 'e) rnlnlcundtq u\12o4 'V rnlnlcundalp a1euo8o1:o rrfcaro.rd pnop aloJ (,u 'u)Vu1rd nes (,e 'e) ur:d eauaruese ep elou JoA aS'(,u 'u) lnlcundlq g-rnda u1 apundsa:or rg ntfedsulp V rnlnlcund pc lroasapB eunds ag 'lernda

Ie nlqnp rnlnueld alalcund r$ tnlnt feds alalcundarlul pro^lun;q piuepuodseroo o IeJlsB a1$a1rqu1sag 'arfcarord ap aueld gnop alar ad .Lrleadser'a1es a1e ,u 1i u aleuoFolro rricaro:d Fnop elaJulrd glulzerder es nrieds ulp V a:era:eo lcundun 'aFuoyl arfcaro:d ap leuoFolro nlqnp Inu-alsrs uJ 'repe$y 'VIOC 'VAUVIUydAO 'VSIC'ssv':r^rldrucseo a'IarvNoouoof, '9'r'6

'aculeruoaF atruauela JolelrJaJlpeareluaza:dar r.leqFurls nu B ap lndocs uI 'FulJalrpoJ tS pldn.ra-r1ul alull utrd p:nda ed ezeaserles oulpJo ap llull olsaJe 'leolqo ag '1aderep elull nES aulpJo ep etull alSaunu as oJpJ'xo ad prelncrpuad.led lSeaoce ad uuneaplolulg.rnde u1 :epeie eienlrs truJs ,e r$ u lrfcaro:d

_ pnop ale3 ',e uud leurnu elou JoA as ri ,u 13," InleJ ep'alrrfcarord a.r1ui arfcurlsrp aceJ es nu

leraua8 uI '(9'6 '3rg) ;n1n1cund urnda Blrunu'pue1d u:nB1; nlqnp lnuuld u; 1aj1se auriqo ag' *uu eldua.rp ad ,e u1 au:e1*e en es rS xB InJlue)nc nrfeds uI JJaJ ap cJu un alJJsep,g lnlcund'atlcato.ld ap H IEluozuo 1nue1d alsad punde:dnsas ps +IeuI lajlse 'lBlFJe Insuas ug arlcaro:dap A luJrlJa.,r 1nue1d al?qEr as PrBC '1ultugdop BIUII ad a:elncrpuad:ad 1a11se 1u1s xu,u IS xuB

aldarp enop ala3 'xo lupupd ap erurl ad nrfedsulp V tnlnlcund e gluuoFol.ro erlcaro:d purrlpJ xB InlJund e:aprsuor aleod aS ',BVu 1nue1drS xo luyuRd ep Brurl arlurp ariJas:a1ur aplnlcund *s alC 'xo lugrupd op Brurl alsa a;ec 'n r$

BE

g arfr_aro:d ap aueld enop Joial e arfoas.ta1urap eldea:p ad ;elncrpuad.lad alsa ;Vu 1nue1d'aJerurn ulJd 'A 1nue1d ad ,uy e:elncrpuad:adeut{uoe aJaJeoep '1 1nue1d ad :elncrpuad:adalsa, Ia 'Bauauase aq 'ue1d lsate ad gJelnJrp-u_ed:ad yu eldeerp aurfuoc ecoJeoap ,g

1nue1dad relncrpuad.lad atrsa ,?V? InueId :,,ruJJd

1u1ul1erdns u" :a1$e1rr as -p

n;1uad 'luaJJe unpUJAB aJeolezundsa:oc FJnu pJalrl uud a1err1:a,talrrlcarord ezve+ou as er{uanuof, urJd .A IS H all-calord ep aueld Bnop elac ad ,l,rlcadsa.t '1cundInlsore a1e a1euo8o1:o eprfcarord ,u l$ e ar3 16'1 lnrparp uI lenlrs '(g'a '39) nrfeds urp aref,areolcund un V atd ' tn ' InICNnd Vdndg. ' t ' t 'Z

'A IBJTIJaA Inuelo alsaog 1nue1d +nlFqBJ B-s gr 'sJalur nes H 1nue1dalsad n .frllrBld inlpqer. B-s Br 1a;1se aundseS 'oJal"quJ'IaJrqo ap ai$aunu as erfcalord apaueyd pnop alar undz:dns as eJBc ur:d u;fu1oX'suas oJIJo uJ pielriurleu e.lnda praprsuoe as l*$'Z '8ti xo trultupd ep Bturl JEop Ezeasvrl es rc'(g'a 'Fg) rnluor ap llull u1.rd ernda pzBoJperul esnu 'Jacrqo eq 'prnde op BaJrrunuap plruod aree'uesap rnFurs un ad aleuasap IaJisB rede arfcalordap aleueld urp oJeJarJ ed eleuasap ap:nFrg'nlqnp uuld un aurfqo es rS arfca,ro:d ap ueldllelplal alsad aunde:dns es IJunlB ,xo lugrugd

9'6 '8tC

ya'Ew

,h" oH

--"

dH'c,!

e'a 'Frc WrU

z'6 'a l t

n,/ot2ee1,'lnaold-,uat

.1JL

: i

-d

inteLts

1cs€e,cuI .

t?.'al

auaId

lX'

deSC

rteEd

ts-te-unrinr le,S€[ " r :

ta.dinl ' l .r inaie

trterta-

rea gi cota. Abscisa punctului . .este , mdsuraseqmentului Oa* cu sensul pozl t lv ' a les pr lnconvcnl ie intotdeauna dc Ia dreapta sprsstinga (invers ca in geometria analiticd)(tig." Z.O). Depirtarea punctului este mdsura

segmentului Ai' : aa*, care mdsoari decidiStania punctului A iatd r le planul vert ical Vt le proiec{ ie. Sensul pozi t iv al depdrt l r i lor sealeee pr in conven{ ie-pe epur i , de la l in ia deoaf i int in ios. Depdrthr i locorespund ordonate-ior din geometria -analitic5' tot in sens invers'Punctele" au departar i pozi t ive in diedrele I

; i IV. Cota puirctului este segmentul Aa:: i 'a, : a '?x, care mlsoara distanfa punctu-lui A fata de planul or izontal H de proiec{ ie 'Sensul pozitiv al cotelor se alege prin conv-enfiep.

"pu*, de la l in ia de pdmint in sus, la fe l ca

in g'eometr ia anal i t icd. Punctele au cote pozi-t ivEin diedrele I Ei I l . Dupi sensul coordonate-lor descr ipt ive se ci tegte pe e-purd pozi{ ia punc-tului in siaf iu in raport cu planele de proiec{ ie '

2. I .6. EPURA PUNCTULUI DAT PRIN COOR-DONATE NUMERICE. S[ se construiasci epureleounctelor A(2, 4,3) ; 8(6, -2, 4); C(8, -4, -3)ii n fq. 2,' -.51; in ce regiune a spafiului se

ldsesc? Seconsiderd l in iade pdmint ox' pe care!. tixeare originea abscise-lor !n- punctul Osi uni tatea d; mlsurd ( f ig. 2.7) 'Punctul'A(2,

4,3) are toate coordonatele pozitive' Acestecobidonate sint abscisa x - 2, depirtarea (or-tlonata) v : 4 si cota z : 3. Sensul pozitiv alabsciseioi 'este r ie la or iginea O a absciselor spre

st inga, iar sensuri le pozi t ive ale - depdrt l r i lor

;i cotelor sint pe epurd, respectiv de la linia depdmint in jos ,si in sus. Pentru a construi epura

functului A se mdsoarl pe l in ia de pdmint. oxdoui uni td{ i de lungime (valoarea. absclselx :2), de la or igine spre st inga 9i-se ob{ine a* 'Pe perpendiculara dusd la l in ia de pd.mint, i t tpunitui a* se mdsoard de la linia de pdmint injos patru unit l t i de lungime (valoarea depart l -i i i i : 4) qi se ob{ine proiec{ ia or izontald a.Mdsurind'pe aceeaEi ' perp'endicujard sgu. l in ie deorcl ine valoarea cotei z : 3 unitat i de lungimede la l in ia de plmint in sus, se ob{ine proiec{ iavert icald a' . Astfel , punctul A (a* , a, a ') dinspa{iu este reprezenfat in epurd de bipunctul( i , a ' ) , adicd i le proiecl i i le sale ortogonale a ; ia ' ' pe'cele doud piane rectangulare de proiecf ie,or i iontal ; i vert ical . in acelagi mod s9 determinaepurele pirnctelor B, C ;i D, {inind seama dev'alor i le 's i de sensuri le coordonatelor lor. S-aardtat cd spaf iul geometr ic este alcdtui t dincele oatru diehre clare se formeazi intre celedoul 'olane rectangulare de proiecl ie, or izontalsi ver i ical ( f ig. 2.8). Sensui i le depdrt i r i lor ; ii le cotelor 'ounctelbr s i tuate in aceste patrudiedre sint urmitoarele:

f lrnul vestito/ superim/vs )t2lonui orlzonlo/ ooster/or /h

|qdildil --

{'{e.t

i Y'k)Yril i

8) i d

b,(6)

"3)

0epo'rto1,t' *

P/anu/ orizonlql anterior (Ho/Plonul vertico/ infe/'io? ( t/,')

In cazul nostru, repart i{ ia punctelor A, B, Cgi D pe diedre este urmdtoarea:

f f i l . l " llo iearur I r I t t I r r r I IY I

l#l.*l+_l+l_-_l.;l

Fig. 2.8

Fig. 2.7

J

29

0t

t t l

i i idA #gd ,EO

giiop alaf, 'pltllzod Blor JBI 'F^llBEeu pulllBaJBlJgdap 'e1oc nc FIPsa BaJeljrgdap '91n1osqeaJeolBA uI 'aJB Pcsp Jolseslq uBId Ballop IB-ep IaJuI lBnlrs alsa (,q '$g lnlcund '3^IlESau pu!!JalaqurB ' lu l lu9d ap_BIUII op FlPl aluelslPlqraluIS ,J rs J alalJund prep PclpP 'BloJ nJ PIBSeBeJslipdop erB EcBp Joiraslq uBld Bal!3rl IB-opIar uI lBnlrs olsa ( ,c 'o)3 1n1cun6 'Gl 'e :erzi t t 'a 'Fl l ) a,r t l tzod luls oloqule pcep r i lu i tupdap plur l op plpl oluelstplq)a luls ,E r$ u al t t f-ca1o-rd pJBp IJap 'e1ol nc pleFe ua:eltpdep areFrBp rolrasrq ueld lnurrrd uI lenlIS alsa (,u 'u)ylnlJund 'oJpelp nllud ;o1ac elu al"olf,eslq alauuldu1 n;lredser el?nlls 'O l$ C ,g 'y rola;rundernda prsugn4suo? es pS 'gUVOIO1ISIS g'IAN'v'rdrwgs NI :rlvnus s'lar3Nnd 'L'l'6

0t '6 'Er i

o 'a Ftc

'Eelrop IB InJpelp uI al?nl IS luls ela 'an111zodolalor r$ a.'rtleFau all:glrpdep ne n lS g elal-)und 'Ballarl Ie Inrpalp uJ lBnlls alsa Ia 'a^ll

-eFau eloc r$ 11c ea.relrgdap 1g1e are C Inlrund'nJparp lnurtrdul olenl ts IaJlsE pUII I 'a, t t l tzodalalor 15 al l :glrpdop nB O IS V alalrund 'a^r l

-aadsar :o1a1cund claloJ rS a1ug1:pdap gJBosgutas Jolaslcsge alB aJBXtJ ap alalcund uJ olBJIplJaulpro ap ol trur l rd ' (01'z '3H) : l lS o alalcundnrluad aarln&au l$ C l$ g alalcund hrlued aaqnodalaslJsqe gzvax\ os xo ,x lugugd ap Elull ad' ( ' ' t - 'g-)a $ Q, 'z 'g-)o ' (g- 'a- ' ' ) f ,'(t '8- 'a) g '(9 '8 '0) V : af,lJeurnu elaluu-opJoof, u1.rd alup alrund elaJ?olpuJn prnda ugezarn8l; as ps 'nlduaxa llu un ?3 'elnu BloJr$ 1gc ea-relrgdap 1g1u puI^B 'lulupd ep etutled 1en1rs alsa O Inlrund 'g,l,t1rzod olsa g : qus ua:e1;pdop JBI '(0 == ,q) FInu Btror aJE leuaJaJeoap 'atlcatord ap JoIJatruB leluozlJo 1nue1duI lenlrs alsa rS (O : -q) FInu ESlcsqB areg lnirund ' (O'a '3g) pir t l tzod elso t : ,8 ESBlor rBI '(o - e) PInu BorelJpdap are alareoap'arfcarord ap royredns lB_rlFaA 1nue1d uI. le.nlIsalsa V lnlrund ;alrund olsor? plulza.ld ;ig1;r-u1nr1lrud ae i(6 '0 'fb lS (0 ,'g '0)g '(' '0 'z)V;o1a1rund elarnda tuncu Rcsuln4suoJ es ES

8t '6 ' t tc

z t 'z 8tg

A-lrain

lulrcaec-del i ;eelneaintele

ln

arerea)ua

(rrt)

a

? a'(z- I)

I

punctului studiul pe epurl al tuturor pozi f i i lorcaracter ist ice ( in numlr de l7) pe care le poateocupa un punct in raport cu planele de proiecl ieEi cu planele bisectoare. S[ se citeasc[ din epuraal[turatfl (fig. 2,15) pozifii le punctelor in spafiufafi de planele de proiecfie 9i fatfl de planelebisectoare.lo Punctul A(a, a ') este si tuat pe l in ia depamint (ambele proiecf i i coincid pe l in ia depdmint, cota gi deplr tarea f i ind nule).20 Punctul B(b, b') este situat in planul orizon-tal anterior (proiec{ia verticald b' se gdseqte pel inia de pamint, deci cota este nul5, iar depir-tarea este pozit iv i ) .30 Punctul C(c, c') este situat in cliedrul intti,sub primul plan bisector (depirtarea c este maimare decit cota c ' , ambele f i ind pozit ive).40 Punctul D(d, d ') este si tuat in diedrul int i i ,in pr imul plan bisector (departarea d este pozi-tivi gi este egala cu cota d', care de asemeneaeste pozit ivd).50 Punctul E(e, e ') esie si tuat in diedrul int i i ,deasupra pr imului plan bisector (depdrtarea eeste mai micd decit cota e' , ambele f i i indpozit ive).60 Punctul F(f , t ' ) este si tuat in planul vert icalsuperior (proiec{ ia or izontal l f este pe l in ia deplmint, deci depi i r tarea este nul i , iar cota estepozit iv i ) .70 Punctul G(g, g ') este si tuat in diedrul doi ,deasupra planului bisector doi (cota g' estepozitivi gi este mai mare in valoare absolutldecit departarea g, care este negativi).80 Punctul I ( i , i ' ) este si tuat in diedrul doi ,in planul bisector doi (ambele proiecf i i coinciddeasupra l in iei r le plmint) .

l lx ft(81 , , ,4(4" Yt(il. . o

i l ir ! :t toc'(,) 5 bo (2)

iot b.s)"b'(.5)

Fig. 2, l4

proiec{ i i b qi b ' coincid in epuri deasupra l in ieide pimint. Punctul D(d, d ') este si tuai in celde-al patrulea plan bisector dacd are, in valoareabsolutS, depdrtarea egalS cu cota, depdrtareaf i ind pozit iv i , iar cota negat iv5. Cele doudproiecf i i d ; i d ' coincid in epurd sub l in ia depdmint. Se poate considera problema gi subaceasti formd: se dau punctele: A(3, 2, Z),B(5, y, -3) qi C(8, -y, -2), situate toate inplanele bisectoare. S[ se determine valoriledep[rtlrilor y Ei ale cotei z qi sI se construiasc[epura acestor puncte. Punctul A este cotr{inutde pr imul plan bisector daci are cota z:2.El poate f i conl inut ; i de bisectorul patru,pentru cotaz :-2, Punctul B poate f i conf inutde bisectorul patru pentru depirtarea y : 3si de bisectorul trei pentru depiirtarea y _---3.Punctul C este confinut de planul bisector trei:entru deplrtarea -y : -2(y - 2) Ei de bise^c-rorul patru pentru depdrtarea -y : 2, Inligura 2.14 s-a construit epura corespunzltoare: r i melor posibi l i tS{ i .

r"1.8. ALFABETUL DESCRIPTIV AL PUNC-TLlLUl. Se infelege pr in al fabetul descr ipt iv al

o '9' qkl i

^t I

?' ' i ? l ' . . ,?Ji 9tI i i t . i ' i i i' leo i i I I i . , i i , , ,

?6' i i i +si ?Ji i I en!._-1, Lr, Ld, '(, ,& Li, i,, it, il, i/, i*,in, p, g, n^ s, t

i | | | | , | | r '

i I i o" 1 6t ' i i i lq i fs 'i i Lr L, , i I i -" i " , ii i wu - tu i i i l l t , it l

i r" '' ir, i bg' &gLt tp'

Fig' 2 ' l5 i ' t -

12-'-.-"_=_--

31

'g Inlcund nrluad iq t$ ^q- uI l$ 'y ^1n1cundn;trued '7e $ ne uJ ltlcadsar 'zo ',{o- alaxeprnde ui JSaull+ul ttfcato-td a+soce ut.td asnplulurpd ap BIuII el elelelered'Ul 'a 'Ft l ) g t iy . rolalcund a1E ,q ' ,e elBJI1JaA IS q ' " eluluozlJoalrtfcatord lllul IEUI csalnrlsuoJ ag 'a;fre1o;d ap

-rolaueyd Iu nrpelp lnrulrd u! elunlls '(l '9 'g)g' (b 'Z ' t )V rolalcund alu , ,q 1$_,,u alelel" l ,e l l l i-ragord RJsuln4suol as gg 'co:dtra: tt g:nda u1(, ,8 ' ,E 'e) ln icundr:1 apundsa:or r i nr ieds utp yrnlnlJund ' , ,? 16 ,B 'B oles a1e aleuoFol:o-t t f rat-o;d ra:1 alar ut.td leluaza:da: elsa ntfeds utpV Inlrund 'n1dr.r i ueld tnlsare alalcund tS tnlnt i-uds alalcund er1u1 gf,o^lunlq pfuepuodsaroc o1o11su a16a11qels aS 'n1d;4 uuld un alsa aticatordap IEreleI tnlnuuld earelueza.rdar tS autiuora:er ernda o ';epeiy 'atfeato.td ap Ie+uozlJo1nue1d nc pplculor gs ec luyugd ap IaIUII 1n:n[ u1rodu:a1$a1or as aJBJ 'nlqnp uuld un auriqo as tS'allcaro:d ap IBJIIJaA 1nue1d no aptcutoc guld'cr:laruouoFrJl +oaJIp suos ul 'zo 1n1nxe lntnIuI lBralel 1nue1d a15a1or as 'Iactqo ap '.laJlsv'FplcuroJ ps erfe:ado pll_uInue o-r1uud asnpeolJ FS lnlnJpalJl alB auBlo IaJl aial Bc JBSaJaualse u;nda e1 pBunfe es BS eJ nJ]uad 'aseSrnlnrparr l I rap 'g:V*Z Inlnrpalr l aut i . redeunrleFau FSrJsqe no rop InJpaIp utp pund un'nldruaxaaq 'n.r1ed snld '1n1n:palp IE IaJ a+saoulpJo ep Jol InJFunu ret 'antluFau alastJsqu nEaJparJl n:1ed alaurrlln 'alrlIzod alastcsqu pug.te'e.rpatp n:1ed alao nJ BpunJUoJ as arpat:1 n:1edalarulrd '(gt'a '3g) erpeJrl 1do u; Iploi uI pI^Ipas aJpelp nrled elar '- s1;v BSIJSqB BUnEap

-lolul eJB OJBJ - aricarord ap IBJaIEI tnlnueldeoJrrnpoJlul ulJd 'Al sJolII ulro IaJIqo apezealou as IBJaIBI Inueld '(,,punces u" a16a1tr as)luef,JB nlqnp puJAE aJBolPZundsaJoJ Bcllu BJatrIIut:d grrpe ',.,? urJd Iaclqo op pzeolou as ueld

z8

lsacu ad y rnlnlcund uricaro:6 'p;o.rd ep 1nuu1dnes aricarord ap 1u.ra1u1 lnuuqd llunu '- lulur-pd ap urur l ed rS reap - pnop a11e1a1ec ed:elncrpuadrad 'at icaro.rd ap ueld Balre.I l IB unFJnpoJluI es ps a1$atnu$tqo as Allour +sace utq'lelcarord InlnlJalqo EiuJoJ a1$errt:d aJ BaoJ uJa1rfg1r.re1ncr1:ed a1eo1 .nr lsaFns ap 1$ lalduoe apluarJrJns Euneaplolur BpaJ nu IBcrlJaA IS IBI-uozlJo elaueld ad rolalcarqo u uleuoFolJo nlqnpea;eluazardeX'AUOAIUI " IVUgIV'I ' InNVTd'aricsroud ao NV'rd va'il:rur -w 't '6'G

lf lSi loud 3cl Nyld vt ' i l3uI 1Y'z'e

'(unrleFau alsa oJBc ',s Bloc +Icep pl-nlosqz aJBolBA uI pJnu reru alsa rS p,ir,tlrzod alsaearelrgdap) n;1ed .tolcasrq rnlnueld z;dnszap'nr1ed InJpaIp uI lenlrs alsa ( ,s 's)5 1n1cun4 o21

'(1u1upd ap Brur l qns prrurorrrf ratord elaquu) n.r1ed rolcaslq 1nue1d uI'n:1ed InJpeIp uj +enlrs alsa (,r ':)y 1n1cun6 og1

'(e,trluFeu alsa aJeJ ',b uloc ilJap RlnJ-osqu aJBolEA uJ gJrril re{rr a+sa ri e,trlrzod alseb ua-ru1:gdap) n.tiud rolrasrq 1nue1d qns 'n:1edInrpelp uI +Bnlrs alsa ( ,b 'b)O Inlrund ogl

'(e.trluFau alsa ,d elor:er 'e1nu alse EaJBlJtsdap rcep ' iu lurpd op Brur lad alsa d pleluoztro erfcarord) rorreJur IBcllrel1nue1d uI lunlrs elsa (,d 'd)d Inlrund otl

IBur-o-rd. IEJl

-esB apalso ru

'(,u eloc +lrop elnlosqe eruolel uI pJruralsa u earel:pdap rer 'enrleFau lugs rrfcaralaqure) rolmsrq uuld ea11a:1 IB-ap Iar qnsInrpalp ul trenlrs alse (,u 'u)11 1n1cun4 og1

'(grrrluFau alse BauouroJeJ ',uJ Bloc nJ gleFa alsa r5 g,trleFau

ea.re1:pdap) raJl Jolrasrq 1nue1d ug 'ra:1Inrpalp uI lBnlIS else (,ur'ur)1,11 lnlcund o6l'(,1 elor llrop Flnlosqe oJBolpA ul oJeu rBu alsa1 ea;e1;edap rBI 'oArluFau lugs rricaro:d elaq-iue) rolcastq uuld BolraJ+ IE-ap rnleJ erdnseap' ia:1 1n:patp uJ trBnlrs alsa ( , ; '1)1 1ntroun6 o11

'(e,rtleFau alse { BaJBI-;pdap .ret 'p1nu alsa BtroJ IJap 'truirupd ap ururlad alsa ,{ ulecr}Jol urfrarord) :or:e1sod lutruoz-r'ro 1nue1d uJ lpnlrs alsa (,1 '4)) 1n1cun6 o61

'(p,rrleFeu elso aJBc '[ ea:e1-rpdap llcep plnlosqe eJBolpA uI pJrrr rurr elser$ g.r,il izod alsa ,I eloc) rop ro]resrq 1nue1d qns'rop lnrparp LrI ]Bnlrs alsa ( , [ ' [ )1 1n1oun6 o6

9t 'a '8tc

inniLA

ea:t.SC

ele[€'lreinelu,ivAluistef ie

di .in

r ic,: ! ie,rpoirnulcare

deit ie lspa-ulApro-:u1uia ' ' )

oiec-| 4) ,nelor: l i i lelor Armint:purderLtrurl B.

Fig. 2.17

Fig. 2.18

:-- .c i i i le punctelor de abscisi nuld (a' al)h.. bl) pe planul lateral de proiectie sint

: - -a i proiec{ i i le a" qi b" cdutate. Pentru a,: : :nute, se rabate planul lateral anter ior

r : =:ror Was peste planul vert ical superior,,L--- :d axul oy in pozi l ia oyl ca prelungire a

r, .- ie plmint in t imp ce axul oz rdmine f ixi - .18). Astfel a, se roteEte in 3r1, Ei

; , r . =.a r idicatd in ar, la oz int i lneEte paralelaiirii r.: 1a ox in a". Analog pentru b". Si sesnmsfiruiascd proiecfiile laterale a" $i b" alenrrurirTelor A(2, -3, 5) Ei B(5, -4, 2), situatern ledrul al doilea al planelor de proiecfie.r , , , . , r - i iu iesc proiec{ i i le or izontale qi vert icaler,r , : - : : telor A qi B Ei se determind punctele,1n,, . r- ; i (b ' bi) ( f ig. 2.19). Ambele puncte, iu, , . ' -c ierminate au depir tdr i le ay ; i by' , rr i i r [ , . . " i i f i ind deasupra l in iei de plmint) , iarlil. ' r = a, ii bj sint pozitive. Aceste puncte seiiriril 'rL :--:aZ! pe planul lateral superior posterior,Nrlrrinir' :- ---';ior diedrului dOi. Astfel se aduce anr ' r , : : o1r gi se r idic i in au, paralela Ia oz,riiririi 'r,. -...:"este in a" paralela a'aL dusi la ox.I i ' t r r , - . . laterald b" se determin: i analog.

Si se construiascfl proiecfiile laterale &" gi ['rale punctelor A(2, -3, -5) gi B(4, -4, -3),situate in diedrul al treilea al planelor de proiec-fie. Punctele A qi B au proieclii le laterale a"Ei b" si tuate pe planul lateral poster ior infe-rior, corespunzdlor diedrului trei (fig. 2.20).Se construiesc proiec{iile orizontale gi verticaleale acestor puncte gi se determinS_prin paralelela ox punctele (ay; al) $i (b' bl), situate giele in diedrul al treilea. Pentru a se obtineproiecl i i le laterale ale acestor puncte, se aducea in ar, ;i se coboard din ar, paralela la oz,care intilneste in a" paralela a'a', la ox.Analog pentru proiecl ia laterald b".

Si se construiascl in sfirqit proiecfiile laterale a"gi b" ale punctelor A(2, 5, -3) Ei B(4, 2, -4),situate in diedrul al patrulea al planelor deproiecfie. Se determind proiec{iile orizontale givert icale ale punctelor A qi B gi pr in paraleleduse pr in aceste proiecl i i la l in ia de pimintse obf in punctele (ur, a|) Ei (b' b:)

z

\

ls.o '

1'$'--*''-+'.: i ;f

' . , i i. \ | 'h'i

Fig. 2.20

II

rrl. W Inlrund nJ-arulaurs alalcund q r$ 3 r$a;iregord ap aueld pnop aiar ip pinl f 1n1c"un'Onc acrrlerurs e1e1.rund

-g lS V alJ .eJpolreslqeleuuld nJ nus arfralord ap auigd p:nop alar u;p

"jn]1!J nc godur u1(z ,fr, ,x)qi rn;nlrund jolac;.r1

-aurgs e;grfragord auguralep as pS .gUVOIS:ISIS!I]ANV'Id nc luodvu NI VturgwtS .7.6,6,r

vt

'1do- 1nrpa1r1 uI :lunlrs a1$espF os 16 zo luxu nJ?rodur uI W rnlnlrund ln l r r leurs aJSJ'(g_ ,g

-b-)J, lnlrund 11Sr;;s ul .g Inrpaul uI lEnltsslsa is Ao nJ JJodBJ ui w rnlnlrund InJrJlaujrs

: i :9 € 'c- ' t - )g lntrund' ' r t i r rJ l i " rpe,.r1 LrgJtrsJsp.d as ls xo n,t ; lode; i r l W rnln+Jund lnt l :1-auls aJSa (g ,g , f )V

lnlcund-, i r i l rv .Err lautsFraprsuor as aJBr nc 1;ode; uJ InxE ap piBJasndo a1a;papl r l3 rsgsgF-as zo rS

^o

, io ixdlaJl oloJ nr. l roder_uJ rnl aJrJlJuirs elalcunj' (ZA'Z '81;-) i r : lauoaF rnlni leOd ie 1jr1 jnrpar:1u! lBnlJS alsa (9- ,g- ,?)W

1n1ruri6 .io iS fri

'xo ln1n.lpa1Jl elaxu nr lrodej ut W-;n;n1'rundelmrrpruls tru1s.3 13 - g ,y pnllln !nrpl OI"

;nlnrqFunrrl aJufee;o.rd prsulnrlsrior as. pS .(S_'g- '?)W lnlcund preplsuor oS .lnTnUOAIdIST XV nf, IdOdvU NI VtuJ,swts .6:6.6

urfcerord aurfqo as IeJ e.I .ro n, urn6t?5jf?i:l-vted ,,e ug e16eu1g1uJ aJec tzo e1 elalered I^eurp, FJpoqoa as ri.t^" uJ de al$alor es ,aluapac-a:d elrmzeo u1 rS er 1bg el"nried rnlnrparp:glEzundsaror, 'JorraJur :orrafue 1e"ra1ri1 ' lnueibao EzerlJarord .rs al .rund alsarv .( ta.a.FU)

6a'a 'EtJ

a1$aspF as (s,f ,a_)t,;iy,liJi*"li3p'i"H:lj;T.^1_""1i: ptiB as (g ,t- ,a) B Inlrund .p^n

::ltl-.u,I^rF plgc acorBoap .n:1ed

Inrparrl u!:].:t-tjq 1t (g- 'h 'z):{ Intrund 'ar}mro:d apouelc lorl aJaJ nJ 1ro_der ug .,r,11cadsa-l 6 lnlcunilnr arlrlerrrrs aletrrund O IS g ,V elC .(ga.a .Fll)

111_.y+ lnulrd . uI trBnlrs ,(s ? ,a)-i tntn]-Juno oJ.rrlcaroJd Jsarnrtrsuoc ag .eriralo.rd -epIurelul 1$ 1ur;pa,r ,1u1uozJ.lo eljuu;A'nr lroduryl !nl. etr4etuls alelcund ef,spln4suor es Bs

1q 't 'g)4 lnlrund p.raplsuoc ig .atlcatOUa ah

!r"r!rNv'rd n3 IuOdVu NI VIUIAWTS .r 6.6

16'a 'Flc

?(s-)o

n'tildII

I

II

aI

ELE5) *'in

hralunc-edrueculanerc;ieEga-l inseSte

IELE,iime-NArerneleecuec!iell in

;anort cu cele doua plane bisectoare. PuncteleA' +i E au coordonatele A(t Y, - z) , !iE(x, -y, z) gi s-a ardiat c[ se gdsesc-respectivin triediele patru 9i doi dacd punctul-M(x,^Y z)teste situat in triddrul intii lfig. 2.24). Punc-iele C si D au. coordonatele C(x, z, Y) 9iDtx. -2. -v). Cu al te cuvinte, in simetr ia;ai i de

'pr i -niul plan bisector, deplr tdi i le se-chimbd fn cote ;i reciproc. trSimetri.a faJ2i de al

- loi lea plan bisector este' eci jval .enta cu o. imetl ie fa{5 de pr imul plan bisector, urmatd.1e o simetr ie in rapolt-cu l in ia de plmint.

- : .5. EXEMPLE. 1" Si se determine proiec{i i le punc-iu lu i M (m, m') s imetr ic cu punctul N (- l : . "5) fa{ i ,deprimul p)an bidector. Se consinriesc- proiec.{ i i le .purrcttr-

:N f - 'g. 5) . El este s i tuat in r l icdrul a l doi lea ( f ig ' 2 '25;

- lo) . 'Deoarece in s imetr ia Ia la de pr imul plan biscctor

-.-. i r t l r i le se transformd in cirte 5i reciproc, punctul M,: avea coordonatele M (5, 3) qi se va af la situat in

.drul palru. . Pe epurd se obl i r r proicc{ i i lc aeestrr i pur 'ct '' . -dm.-n s lm -n '

- Sd se determine acum proiec{ i i le punctului M (rn ' nr ' )r lnretr ic cu punctul N (2, 5) fafh de planul bisector: i r ru. Punclul N (2, - 5) este s i l r rat in diedrul patr t t

.1. 2.27 ; 2.28). Simetr i iu l sdu t l l - in raport .cu-planul, ' tctor patru ie ob{ine considerind o simetrie Mr falt l

: : -r isectorul int i i , urmati de o simetrie a acestui punct-- :s iormat, fa{5 de l in ia de plmint . Se ob{ ine ast le l

Ml ( *5, 2) 9i apoi i l l (5' --2) ' Cu alte ctrvinte,.pentru

a se obi i r re punctul M se schimbd rolul 9 i semnele celordoul cdordohate (depdrtarea 9i cota) ale punctului N.

2.2.6. APLICATtt. lo Si se construiasc[ proiecf iaa"b"c' ' , peplahul lateral de prolecf ie, a unul tr iunghiABC, cunirscind proiectiile sale orl2ontal6 9i verticali.

Se corrsiderd punctul A (a, a') si tuat pe l inia de pdmint,B (b. b') conl inut in planul bisector doi Ei punctulC tc, 'c ' i s i tua' t in plar. iu l lateral a l pr imului t r iedru'

Proiec{ia lateral i a"b"c" a tr iunghiului este ardtat ii t r cpura dirr f igura 2.29.

2' Si se construlasci epura punctului M, cunoscind cota Ia nunctului si distantele p i i D ale acestui punct faf i deaxi ox Ei planul later 'al di proiec{ie' Ult ima condit ie^dinentrn! s{abi legte abscisa m* -- I a punctulrr i M (f ig' 2'30)'

Paralela g ' la l in ia de pimint , dusi la distanla I ' int i l -

negte in m" gi mi 'cercul cle razi p descris pe planul

lateral cu centrul in O. Problema comportd doui solu{i i 'M (m, m') gi M, (m' m'r), care se obl in construind

punctele ale ciror proiec{i i laterale sint m" ; i mi ' ; isat isfac ul t ima condi l ie.

3' SI se construiasci epura punctului M situat in diedrul

trei, cunoscind proiecfia sa verllcali m' qi raportul I:

:= I 1.apo.tut dintre cota gi deplrtarea punctului)ls.2

uti l izeazl planul lateral !de proiec{ie ; i sc construiegte

^ at / f l

Yi l tv

I?

i^nqtY'. t r r

iI

I, t_

" 0

tI

?

in'hJ)I&rot

f ig. 2.25

Au

a

- nt-^t / -? l

- . .=t l t l ' t

- - r+)-n/ l )

. _ . r , )1

lN 6,{)i

i

Tl i r I9O

Fig. 2.28 Fig. 2.30

ap Rlpj ]rund rntrsar' ar' g 16 o alaluelsrpzs il'liJjl-;I eloJ puJcsoun) N rnlnlJund e:ndo ersprn:lsuoJ as RS .g

- resl q a 1au e1 d u1 n,'norn-, TfJ"i.,. t;l. J: l'"',1;^prilp'r1il}- r lor rer ,ar f raro:d ap lBralel 1nue1d jd in, i t i , t j ,n un nlealer f ,BV rnlnrq8unr:1 alrrfraro.rd grsern:lsirol as pS o,

?p ?unld ror] alar urp or'rorJ uI lnuJiuoc rrr^ ,"tl1l3'3jjaleJ f,gV rn;nrqFun1.ll alrr|.raro.rd ^ersernjlsuor as qS ̂ c'plf,uror a;rund enop Jolar oJe .re:1uor au,rnu ap a1r rlraio-i[' ,d

-.b r* d - ,b ruane o:ej n-rluad (,b .n; 6 rS'i,b , 'Oy

]epund pnop z'nrfeds u; erlrzod jurur.ral-ap jd pS "a'(l * 'g '3) g lnlcund ap FiBj y rnynlrund Inrrrlaruls _* U

. r - 'ru 116:1ys u1 ri

-y l : .9?._ '^ut a1:ndap reru.aurfqo aS .xo Bl , ru uud gsnpu1liylug^P rie.o laldilp uriras:a1ur urp pllnzrr t] i l eler:ttil ll:".I9r-q '!roc alIBlar glsParB pilJrra^ ,,eo''e1dei,'spa0 JSrsBd as alBralBI rrlraro:d rolBr olB nrfuds'irrp eldlcuniI

aalBol ' ( lg '6 .Ft0 it

7 I IJUJ IoJlsB ' , ,4 er l raro:d

(,I

I8"A 'Ftc

- lJsqB E. g eaurFrro ap E|BI y ln ln l r r rnd:+uJruBd ap erul [ 0p FiB] y rnlnlrund

ap I?Jr l ro^ 1nue1d ap qlel y rnlnlcund

ep lBluozrro 1nue1d ap gieg

aururalap as pS .( t_ ,g _

v rnlnl)und InJrJlaurs _ w: lo le lJund JlnlraloJd

'A) V ln l rund errptsuoJ aS ol

: Jolaslnrrrtrauls _ DInJlr la iu ls * d

: ar lJalojd

lnr l r laul ls - N: ar lJalold

rsndoud 3wil80ud's'e

Tf l INC

:a! de

!1 de

mint;rbsci -

runcte=p"incid.I carerne de

I carer cele-b isec-

cl ta Ir la de

Copitolul l l l

DREAPTA iN Stsrrmut DE PRolEcIlE MONGE

3.I. DREAPTA

1.1.1. REPREZENTARE. PROIECTII. URME'

Reprezentarea descriptiva a dreptei poate.fi u.9or,ttltute dacd se considera reprezentdrile des-

-, iot iu* pentru doud puncte arbitrare A(a, a'). . 'B(b, b ' ) a le ei l f ig. 3.1) ' Dacd se. unesc:',intIi, linie proiecfiii-e orizontale a ;i b ale:unctelor, s" 6b1in"'ab = d, proiecfia orizon-ture a areptei. Li fel, a'b',= d' este proiecfiatert icalI a dreptei. Inomod"analog"se, poale,init*i Ei

"pioibcfia laterdll d" a,dreptei' In:.".tui, dre'apta D ain spa{iu este determinatil . i" Jri , i . . t i i ' le sale d gi i ' , cu excep{. ia cazului-:: .d aceste'doud proiec{i i sint ambqlg pgrPel;:-culare pe l inia de pdmint. Proieci i i le d ; i 9..-,- i i 'aldse pe epure arbitrar. Oricdrei perechi:= proi lct i i ' td, ' d') i i corespunde . in mod

:ni toc 6 dreaptd in spa{ iu; i reciproc' cu:.:r..tut.u .ond'i1i.i ca

- unui punct dat in::-iectia orizontald pe d sb-i coresp^undd utt:-rt ' t in proiec!ia v'ert icalS p9..d" In, epura

- : f igura-3.2 nu este respectatd aceasta con-r : . t s ' i de aceea proiect i i le d; i d 'nu pot repre--=-. , i .o t l reaptS' tn spi f iu. Punctele de inter-

sect ie ale unei drepte cu planele de proiec{ ie."- nrt.* urmele' dreptei. Pot fi deosebite,i*.i"

"iizontal[, veriicalI qi lateralI ale

;;;pGi Aceste urme sint de fap-t . punctele

drebtei care au respectiv cota, depdriarea sau

abscisa nule. De obicei se noteazd aceste urmep;i" 'L ip;" tele (h, h ') , (v, v ' ) ; i (w, w') '

lo S[ se construiascfl urmele verticale 9i orizon-tale ale dreptelor definite de punctele:

a) M(9, 2, 2) ; N(5, 4, l ) ; i j

b) M(4, l , 2) ; N(9, 3, -4) ' '

c) M(9, -6, -3); N(4, -2, 3);

d) M(9, 3,5); N(4, l ' -2) '

Pentru a determina urma orizontald (h, h') a

un. i &.0t . t f ie ' 3.3; 3.4; 3 '5: 3 '6) ' se prelun-

i i . t . l i6 i ." t - ia 'vert icald m'n' pin[ c ind int i l -

f i . I i . i in iu de pbmint. Se noteazl acest punct '

de'resuld, "u

i t ' . Perpendiculara sau l in ia de

"tai tE-a"te pr in h ' la l in ia de pamint da h

la intersec{ i i cu proiec{ ia or izontala. mn a

,ri"pi"i. "p,it"tut

(h, h')este urma orizontali

rt',

t,Fig. 3.2Fig. 3.1

Fig. 3.3.

37

9'8 '3tc6 8 'Ekl

B'8 8lc

/ '8 ' t tc

Iold0Jp JoleurJn u\rzod aFale cS .aliralord

lP_ ftauuld I" "ellerl 1u lnrp-alp ul1 1un1ls' ,leMyrn allu; suudnr lnluaruFas eJe erur (,p ,p)Aelderp gaun ufrqrs g$ ulnda pJsuJnrlsuof, i, pS o?

.nun r i rop.- , taJl a la-Jpatp olecl:! l l : y],Innrc '(01'g :6'_t 1rr1) .rbr:ictns ir.rrl:,r,rInuelo ed rupnl o raldalp e ( ,n. , r ; e ietr1.r , : . r:yr: j:l ':o1:a1sod p+uazr.ro prueyd ad'relcia.rpE (,q 'q) giBJuozrJo BuJn EZEOXTI a5 .al i raro. ldap- rolauuld I"

"ellop yu lntparf u1" 1en1ls' ,ra

:11T1" 1|"9 sul.rdnr ;nlu,aruFas ar? eruf, (,p ,p)OeldaJp raun uigqrs r$ e.lnde

"JsernJlsuor di gS

"g

.:jl:g:r'jl..lp- aleqrris yldearc .C:i"l', L: "qiJolJacns lBJt lJoA, 1nue1d ad le ldarp e ( , t , iy

:l^":]lii eiu;n ,1S rorretruu leluozr"ro lnuelo oc,iI:]!^tjl Y (rq 't1) pppazyro Burrn a8eiu eg .ari

:?i]g1d ap ;o1auu1d t3 nJperp_lnrul.rtt ul lenfs ,ia

:liyl" allu1 sulrdnr ;nlueruFas are a.rur (,p',p)AeldaJp raun uirqrs r$ elnda pJsernrlsuoJ jl ps

"a

-r1ra,l eifraro:d nr u,1r"rrr1uTY, 'ltft;F : ;f;psnp eurpJo ap pnrr- I .A nJ talrqo ap ,1oundlsacB Rzealou os rS lupupd ep Brurl a1iau131ugpLIJr^ FuJd _ talde:p- B urrr plr4uoir.io rirfrartircial$oFunya-rd as alda.rp roun b'(,n in) e1u",1ra.r,BrrJn BururJolap B nJlued .N.W raldarp e

to FH

--_

Epteneledec-pteiicaliriorrtru,

tcptenelerde! ' ) armaanulstr5-

]eptehele 'rdeeptei

Fig. 3.10

:,ousd pozitiei din primul diedru' AEadar' se

.; l i i ' ;";; irontuta (n, n') pe planul.orizontal:oster ior s i urma veri icald (v, v ' ) a-dreptel pe

: lanul vert ical infer ior t f ig. 3 '1t ; . J. '12) ' IJreap-

:a strhbate diedrele patru, t re i ; i dot '.; U t;;iliiuiusce'"pura 9i schifa unei drepte.

Drd. d') care are segmentul cuprins.intre urmete

;:-:ii,l"i i" ai"utui al patrulea al planelor de

rroi"cti". Pozitia utmefot dreptei se. prezinti

: rus bozi t ie i lor d in diedrul doi ' Urma ort-

-;iilri" tri, tt'j-..-it.ge . pe. planul orizonralanter ior, ' iar uima vert icald (v, v ' ) a dreptei se

alese ue planul vert icdl infer ior ( f ig. 3 ' l3 ; 3 ' 14) 'prdaota's irdbate diedrele trei , patru 9i unu'

6o Sd se construiascfl urmele pe cele trei plane

de proiectie (orizontal, vertical 9i lateral) aledreptelor definite de Punctele:

a) M(6, l , 4) ; N(3, 3, 1) ;

b) M(7, 3, 1) ; N(4, l , 3) ;

c) M(9, 1,5); N( l1,2,7) '

Asupra construcfiei urmelor orizontale (h, h')

s i vert icale (v, v ' ) ale acestor drepte'nu sein. i . ie. p*ntr l tonstruc{ ia urtnclor la lerale w"

,i.-u""ttot drepte, se determind p-unctele (w, -w')in

"ui" l&.te'drepte intilnesc plgn{ lateral de

oroiect ie ( f is .3. i5; 3 '16; 3.17). Se constru-i .*-rb" i i r6 iect i i le w" pe planul . lateral deproiccl ie ale acestor puncte (w, w') ' Se con-itruiesc, de asemenei, 9i proiec!iile lateralert;t;i. areptelor. Ca veriiicare, urmele w"

trebuie- sI f ie 'conl inute de proiect i i le lateraleale dreptelor respective. Asifei, se considerl." . rof t i f d in f igdra 3'17' Proiec{ ia or izontaian* rit.pt.i intiineqte oy (oz) iu w, iar proiecti.a

"LitiJt'";m;a drebtei iniilneqte oz (ov) in w"

Punctul (w, w') ar6 at i t cota ci t ; i departarean.gut iu. . 'e ioiecl ia sa in w" pe planul lateral

Fig. 3.1i

Fi61. 3.13

Fig. 3. l4Fig.3.12

39

I

IIIIr

81.8 .8 lc

t -z-|*--r+n_

I ,/'I p---_{!

iII ! /I ue,Y/{'"

| -::xrT,,Hg;3:"uu1d,1a1de;p rr' ,p rs p arrr

| :liif'iry'*T"'*''*""'"Tl1 l?jqnillil'"iI :rcr "i'.1,!;1 :i:iffl,ilijlJ#ffi;TnI i,jffi.ii".,1",{ir $;i'1i}:*rjkijii#I *ii#,'f,"ffi di.j#;?$frlidffiI *sf,gffi1ftlffi F,",,".#r:;Tj{"$I f:jl:T!-a1s srnda p1,-baju'uip';-i;r;p,ragsv

| *iil:rl-1nuffighq$t##d;

*rt11ffi r-r'#rr*flfi',*',,,fi'dfi{i,l' "[ii:i, i :t'i. ff "l', [?#il', J Tilt*;-{ 1i i"j'':',"J jl:*" il::' lt';Hfgf fl t;ino a1de.p rals$?

:t _"_,$,,iui'"Ji'rrjnlrunaluls ar?r !s gldua.rp^,jr.pr:n'rinq{rp",erpeJpor elure as ps rs ( o jl]_n_ln 1," ,"jy'lilicund epaluu I uJelap ; aloa"ri'e1arul,i prir; nJ;".u#i". u,

",., "" li33 ff ' ?,:L'",? o:""I'"'.n' a1 o u nd e r n r r r s uor*,# r g' " :i&y:$l- J"'"1','&, iJ' " i' LlTi"Jj

zt 's '31.1

gt 'c 3rg

ilri**:"'l' t'H:J"*l.i'.ki'i,'$:fj!ff',i #r::'j:il:,i.ut"iriiii1,'^,,r,*,i,ru,*:h,r*'n-llxiI"-: l'113't'3i$liH"V:;i;ollg ;i6"'t,,m.,"Jifi,""1ff;"i, ,"ru,,ilf,:F

g t 'g 8t.t

EIUNIAPTAregiuniedrelorele deBctoareei .pinaterate cere sintpte cuJi i le d 'inia de{v, v ' )fel im-cuprins!a seg-rrmelortute de- punctgle treldiedrulu apar-siderat.rte die-nunctulF;r

-prr muliectii aj

^ ' ,ln ln l a, s lme-roiecliadine ser primu-lepdrta-

obf ineeaptd ; iprorec-

rtilnesc.

J

t

Punctul (p, p ') aparl ine planului bisector aldiedrului 'doi , deoarece are depdrtarea negat ivdqi cota pozit ivd, ambele f i ind egale in valoareabsolutd.2" S[ se construiasc[ urmele dreptei determinatede punctele A(a, a') qi B(b, b'). SA se arate cediedre strlbat aceastl dreapt[ Ei si se giseascd'ounctele de intersectie' ale acestei drepte cuolanele bisectoare. Uimele dreptei sint (h, h')j i (v. v ' ) ( f ie. 3.19). Dreapta int i lne; te inpunctul (a, oc7) planul bisector al diedrului alireilea. Pentru determinarea acestui punct seconsiderd intersec{ia a dintre proiectia orizon-ta15 d si s imetr ica d{ a proieCtiei vert icale d'iath de'ox. Se coboar i d in a o l in ie de ordine; ise'obt ine a' pe d' . De asemenea, dreapta int i l -: ieqte' in punctul (p, B') planul bisector al,liddrului il patrulea. Acejt punct se -ob,tin-eluind interseciia celor doud proiec{ii d 9i d'a le dreptei .f Se consider[ punctele P(p, p') $i Q(q, q')tunde o dreaptd D intersecteazd respectiv primql.pi al patrulia plan bisector. S[ se construiasc['epura dreptei . Unind proiec{ i i le or izontale (p: : r q) s i p io iect i i le vert icale (p 'cu q ' ) , se ob! i r r: roiect i i ' ie d 9i d ' ale dreptei ( f ig. 3.20) ' Cunos-

cind proiecf i i le dreptei , urmele ei se determindcu u;ur intd.

3. I .3, PUNCTE PE DREAPTA DETERMI-NATE IN ANUMITE CONDITII DATE.

10 Si se determine pe dreapta D(d, d') un punctde cot[ c sau de dep[rtare I date. Paralela dusila distanta c fatd de l in ia de pdmint int i lne; teproiec{ ia 'vert icald d ' a dreptei in a ' , de undecoborind o linie de ordine se obline a pe proiec-tia orizontalb d a dreptei D (fig' 3.21). PunctulA{a. a ') are astfel cofa c datd. Analog, paraleladusd 1a'distan{a I fa! I de l in ia de pdmint int i l -neste oroiectia orizontald d in b, de unde ridi-c ir iA ci l in ie 'de ordine se obt ine b' pe proiecf iaverticald d' a rlreptei D. Punciul B(b, b') aredepartarea I dati.

20 S[ se considere pe dreapta D(d, d') proiec'tii le ounctelor pentru care sunla dintre depirtareqi coie este egal[ cu o lungime cunoscut[ l'baralela d, ciusi prin s ia proieclia orizontald da dreptei - D, aitfel incii sv

- l, intilne;te

proiect ia vei t icald d 'a dreptei D in m'

i t ig. a.zz1. Rezulta m pe proiec{ ia or izontald d'Fu"nctul M1m, m') este o solg{ ie a problemei 'Al t i solut ie N(n, n ') a problemei se obf ine

Fig. 3.21

Fig. 3.19

Fig. 3.20 Fig. 3.22

4l

Inupld- nr FIEluorJ.. o arBJ l-a;gr* ad j lnrqFugTIBJaiBf" prurn ri glv.qu'zltaqEurn rBrunuTIBJalBf" -prurn rS gpluO2iros gru:n rerunueaa.e aleod pleluorJ pldearp g .foz nc g1e1e:edo else alBluorJ ralderp B ,,p plprolel el{raror6

z?

-e:ed eldeaJp aisa Iellu ep eldea:p nps pleluoz-tro Eldea:q 'yTVINOZIU6 VIdVaUC

.t .A.e

'e1darp. elsef,s uJp erurelJ l;1d1.rcsap ezelpnlsas gs J$ Erseeullep_es gg .1r;ord ap

-eldeajp (F

la:eolcasgq alaueld uI glnurfuoc eldear! (j11gdec ep uldea.rp (a tp1ecr1.ra,r eldea.lp (p :'p1e,i-uozrro-oluorJ Bldearp (c lgJuiuot; eldea;p (q

'1eund un BI ecnpaJa.- EleluozrJo es elfcero"ld rcunlu g$ ,glecrlrairo-Jlxl pruJoJsuErl as eldeerp pug) ,xoT,p rnJnzBJEIldeJxa nJ ' lBJlrqJp eseolE r; aluod leida:pp /p .BIErrlrel e;fca1o.l4 'areppdap r$eaacene raldeJp elapund e1eo1 ara:ebap ,1ugu:pd apBrurl nJ eleye:ed elsa aldarp relseJe E p g1a1uoz-r:o el fcalord ' (96.9 -Fr;) ar icaro.rd ap ieulra,rlnuelo nJ. pleIBJBd pldBarp etrse luorJ ap nBS Flp]-uo.rJ EloEarc .v'IvINouJ

VIdVaUO .A.7,.9.

' ra1da.rpe p pletruozr:o erfraro-rd r$ lugrupd af erurlartrul suudnr py!lJ ,arurreul pleJpnape u1 erndaad lr i r r 11 aieod arfcarotd ap lBr l i rp^ 1nue1d nrplpluoztro o eJeJ 1-a:er ed r lnrqFup

.Blpralp1EuJn ts p[eJr]JaA BuJn reurnu BoAB aleodEleluozrJo gldea-rp g .rfox nc g1a1e.red eauaruaseap ols_a eleluozrJo relda.rp B FIBJaIBJ erlcaro.l4'trcund un eI ecnpeJ as plBJrlJaA es eilcai-oJd rf,unle. rS '1gder ap pldue:p o-:1u1 eru.lo; '-susJl es eldearp pugc ,xo1p lnlnzpJ eridecxa nc're.t1rqre Bseelp 11 eieod ralda:p p p BleluozrroBrlcaroJd 'plor rSuaece ne raldarp alelcundo1Botr aoeJBoap 'lururud ap elurl nc p1a1e:edeJsa eloaJp relseJe, u ,p FIBf,rlran erfcaror4"(t6 'S 'FII) al fcarord op Isluozrro 1nuu1d nr BIal

igpluozrto eldea:p (e :aurnue rS ,5cr1iua:yly+uozlJo ts+osaJp (B :aurnuB Is .OCTISIJaIJSJBJ

ll l lzod ?llnu IBru ednm eleod pldeerp ollllzod gllnu reu _ ednm eleod pldeerp o'arfcarotd ap aueld loJl alal nr 1.lode; rJI

t3rdSdq3tY 3ftrstd3rfvuv3 3li l I lzod

9a'8 '8td

.,".,--"*,".. *"**

1a1fce1ud nrlres:a1us ;iliirDer*ord;-trlf,S(,ru 'ru)q1 lnlcund r$ lcap ,g/g nc lefa arejrfd5prs- Flor oJlurp- IniJodpl nB (,p ,g) eldearp

"! ap ayalcund aleol ,

,aleuorijodb.rd alueu-Fas a1e1u;ed eldarp 6 ad gururalap eluarnouoc3loalp ep lncrJsE] Un eJeJBoOC .,r{ Bl 3 purun'g uldeerp eulfqo eS .p uI ru lnl'cund ernpg es.8

!s ; Inlnl:ooBr lnrolrurnu l]c llPilun larl nr

IBFa Iu iu ey ag-'(96'g 'FU) ,B xu InlualuFas (e1oc

1;c) ele8e rirgd rcurc ug ai.ledurg es r$ ,p ad,". Freplsuor- eS .g/9 ell ps us eangpdap 1$ ulore4qlp 1ry;oder llrul leJlsp ,(,ur ,ur)W rirlnlcunde1;;fra;o.rd (,p 'p)O uldue.lp-ed auruudlap ir pS og

('olredep rerrr Bepol eA esunJ 'rop JolJasrq 1nue1d nc a1a1e:ed rolaldarplnzvt ut eltqtsod alsa' nu zuralqo:6) .Iu

"u :: xg,g aceJPoep I

-

,u xu + xuu I$ I : ,ru *ru +-J- "urur :+uapr^E .tp e1a1e"red a1$au111u1 lugrugdap Brur l _ap FipJ ,p lal f ralord n tu,q eci :1aulsaJeJ uJ 'ru lnlcund urp aurpro ap i;rurJ pulcnp

t6'0 '8tJ

1.lode; rJI

arizonlal de proiectie poate fi citit pe epurii ittadevdratd mlr ime, f i i i rd cuprins intre l in ia depimint gi proiecl ia vert ical i i d ' a dreptei .

3.2.3, DREAPTA FRONTO-ORIZONTALA.Dreapta fronto-or izontal i este dreapta paralclacu l in ia de pdnt int , deci r l reapta p-aralel i inacclasi t imp

-at i t cu planul or izontal c i t 9 i cu

planui l vert ical de proiec! ie ( f ig ' 3.26). Proiec-i ia or izontale d Ei proiect ia vert ical i r d ' aledrentei f ronto-or izontale sint ambele paralele cul inia de pdmint ox. Froiecl ia laterald d" adreptei fronto-orizontale este reduszi 1a un punc.t

;i ionlr-rntlatl cu urma laterall w" a drep.tei,d"oar".e fronto-orizontala este perpendiculara peplanul lateral de proiecl ie.

3.2.4. DREAPTA VERTICALA. Dreapta vert icalaeste o dreapti frontalS, perpendiculara pe planulorizontal de proiec{ie (f ig. 3'27). Proi_ec!ia ori-zontald d a dreptei este uti punct eonfundat cuurma orizontald h a dreptei' Proiecf ia verticala d'a vertlcalei este o perpendiculard pe liniade pimint. Proiec{ ia lateralS d" a vert icaleieste o paraleli la zoY.

3.2.5. DREAPTA DE CAPAT. Dreapta de capdteste o dreaptl orizontal|, perpendiculara peplanul vertiial de proiectie (fig. 3.28)' Proiec'iia verticalS d' a dleptei este un punct confun-r lat cu urma vert icala v ' a dreptei . Proiect iaorizontald d a dreptei de capdt este o perpelldiculard pe linia de pdmint. Proiec{ia lateraldd" a dreirtei de capit este o paralelzi la xoy1.

3.2.6, DRNAPTA CONTINUTA IN PLANELEBISECTOARE. Se poate def ini o astfel dedrr:apt i cu ajutorul a doud puncte luate arbi trarpe clreapt5. S-a ardtat c i un punct A-si tuat in

fr imul pian bisector are proiec{ i i le sale^a $i 1:simetr ice in raport cu l in ia de plmint. Intruci tun al t punct B(b, b ') con{inut in pr imul planbisectof se bucuri de aceeaqi proprietate, rezultdcd o dreapti confinutl in primul plan bisectorare proiec{iiie sale d ;i d' simetrice in raport culinia cle pdmint Ei concurente in acelaqi punctpe l in ia de pdmint ( f ig. 3.29). Proiec{ ia late-ralA d" a acestei drepte este bisectoarea unghiu-lui y1oz. Printr-un rationament ar-ralog se deducecI o dreapti conlinut[ in al doilea plan bisectorare proiecfiile sale d qi d' confundate, decid = d', cleoarece doui puncte oarecare A(a, a')

; i B(b, b ') s i tuate in planul bisector doi-patruau proiec{ i i le confundate ( f ig. 3 '30). Proiecf ialaterald d" a acestei drepte este bisectoareaunglr iulLt i zox.

3.2.7. DREAPTA DE pROFlL. Dreapta deprof i l este dreapta paralel l cu planul lateral de

froiec{ ie. Proiec{ i i le d ; i d ' ale acestei dreptel i ind perpencl iculare pe l in ia de pdmint, rezultdci o dreapt i de prof i l este def inl t i numai dacise cunosi proiei l i i le dublu ortogonale-pentrudoud puncie oarecai'e ale ei (care pot Ii chiarurrnel6 dreptei) . Intruci t studiul descr ipt iv alacestei drefte de profil prezinta anumite parti-cular i t i t i , 'este u{ i l s i t ie ext ins, aprofundind

rJ lsteate, t ie

:ar,ns-)ro-tct .de

iaiaI t l ld

la ld'np' r 'l i rela

r0n-mulor i -in ialau

a

Pl iartr-oise

teor\'ea:ala.anul

Fig. 3.?9I;ig. 3.26

Fig. 3.27 Fig. 3.28

1tt)

??

Iu alJurld snop u! slueJnJuor AtlJedseJ ell ?saunu l6?leru ep Jol alrllcelord pJ else nliuAi u1eluernruor all ps aldarp pnop

"r pluelrlJns ;$ p.lus

-erau srlrpuoc .aINAUnCNOC AIdAUO .6.t.8

i?! lqllcrJord 'a1a1ured nr{eds u1 iuli V 16 o3loarp Bnop Frpc .alalvdvd eldeuo .t.8.t

;rord;1ar ;S alelurud eg ps a;ira;o.rd gp eueld;ar1 ed aurnu 1$e;atp ep Jol aiuiralord er elsellluos u1 a;e1e.rcd arl us elda.lp puop

"f, plueltJJns

!s pJesef,eu "!l!puoJ

,Baerp aqr .nrieds uI elel-e:ed e1g qs 1r1o:d ap alalda.rpb ql91 ,a1j1er '"d' la l lSelace ep aluf caro.rd ea^E +od

-eieuo8

lo] lo nlqnp er icaro.rd ul arEr I lJorqap alaidarpplnnar plspere e1 ep arfdmxa celi .(fe.g .Fg)rordlre; !$ a1a;u.rud.e!! Rs aruny_1pp1u ap rolalrgfJe;ord Br alse nlfeds ug a1alu;bifdil ps aiOarfRnop eler pr pluelrlJns luriub5

-uI lf?Jrtb-tJaiu

si1l-prJ-o-t 'areul-rn urrd 'iep lnue1d ad y r$ qalalured :o1a1de:p alrricaro.rc- reuieol 1u!s a-rec'9. IS p alelErBd al l rasJaiut ap olda:p enop udnpelJraror0 gp lnuEtd ap elel3asrelur luJS alal-BrBo auuJd pxop el-sarv .a1a1e;ed

1u;s ar{oaro:dap InuBId ad slaideJp ezealcarord a:er eueldpnop aler : rolprurn Inlatr uj i rpalop:o$n 11 aleodl0eJ. lseJv, 'a1a1ered BauJuase cp Juls aJBJaJBouBJd ul ad (e;eca;eo alelered nes) aleuoFol:o

el lcaro:d v^p ,eb u1J. urrd psnp EIalEJBd.ler , f l r ad^

uI elsauMu1 ne e_l ur u1.ld psnp BJaIBJBd ,uau-eruese aCI '(tg't 'FtJ) ,q r$ ,u ur:d'a'snp ,e;er1-rqJB Beuauase ap ,a1a1a1e;ed

t' r$ r ug ,rrlradsa.r?:91ll1r1J q Is

" ayrrfrarord- uud asnp arerlrqre

elelered. Rnop- a1a3 .1eund lllg_are B ,ru plpf,

-lpan uriraro;d auruuelap es pS .p1dua.rp p;sfjre9d "p W lrund rnun u ru pluiuoziro uricibrd 13(,Q," ,qe)

1;lord ep ulduarp p.loprsribr 'aS ;A

,. ^ .nl jltluozrro er{cerord el ep puJrald ,a1eplUoJd ap raidaJp E ,L pleJrlJa]\ errJn ouru_,r_",1rp as ps Baleilyrqrsod^gp ,(,u ,u)N

lcund j1e

'3lgI8 'e

ttdtuoYnoc surNtct y^trvllu vlltzod 'E'e

IaruaJoal BalnlJr^ UI .,\,8

t8'8 'FIC

Irylg rSelacu ,Foleue pou uI .elr jpnPs

,q,u dJ" qu- - :

_:+

tut& hn wu

ap lalda.rp .e q eleluozl .ro erurn pulur:+t'_e .i'L ru uj:d 'r;i"il;".;";l;",fi;'F; ,ifrad llioqoo'arec ;,c pp ,..u,f "i ;"'u;j;-;1nyur"j

i.Ii

llnII

i

.(ae.e .Ft3)

,u,H rS ,g,w ,qur allr lralord rS^s -

:srlpqJ (,11^ly)U_ arerarpo 1n15und g.,_"p1du,i" '"4 "iiao ,ur FlElnFJ -Jelotr t ap eleuPJd ad rnlnluaur8as a1e atate_reci

alrr l rerold u1 rS pzea.r lsed as nr ieds u; luaiuFe,un ailBdujJ lcund un aJBc ur nldurrs 1n1.lodey.,n ,t^s,,!- yI,,,a1ep laldarp Ie 11jo:d .i, '1nur1f

uJ '.r!g1l9ro ap JerelBI rnlnueld earileqerulp^, lode rrolul es leralel 1nue1d' ad alnul lqoIaJlsp / /A lS, ,q elrrrrn . ( tg.g.Fl f )

ter t i . ra.rrs ! : ly : r t ro

.ar lcarord rp aueld ' fndp. l1arit*.:.L,tlj

-pu1c gugd ,alep

nJord ap ialdarpE ar l ra loJd . ap leraleJ 1nue1d ad

' . . .q. ,eerirero.rd elsa8unla.rd aj .irirrulsuor qi(Jjrn

lrnl?l,ellnu rBru.uI B^lozar aieod a5 .(,q lq)g ts(,e llly gtalrund ap

"leururalep afa iiric iijbjoap eldarp reun elaurn prsugnilsuor es F6" .or'1r ;o:d ap eldea.rp

BI aJEulJaJeJ aualqord alelidnurrd' ruirareo

Yd)t/ ,/

, , / / o

Fig. 3.34

Pielorlan

l'e'f;ai_

,de

Fa-il:e

le$ali

Ir ig. 3.35

i trui

l i m' situate pe a{eeagi linie de ordine perpen-dicular i pe ox. intr-adevir , dacl proiecf i i leorizontale d gi 3 se intersecteazd in m (fig. 3.35),dacd proiec{ i i le vert icale d' qi } ' se intersec-ieazdin m' ; i dacd punctele m ; i m' s int s i tuatene aceea; i l in ie de ordine, ele determina unounct M din spaf iu care aparl ine e'u, ident ambe-ior drepte D ; i A, deoarece are proiec{ i i lesi tuate respect iv pe proiec{ i i1e omonime aledreptelor. [Fac excepf ie de 1a aceast i condi] iede concurenld dreptele de profil pentru careirebuie intr-adevdr o a treia proiect ie sau al teni j loace de determinare a cohdi{ iei de concu-.enfa.iDreptele neparalele gi neconcurente sint:reptdle ale ciror proiect i i nu sat isfac nici:ondi{ ia cle paralel ism qi nic i condi{ ia de:oncuren!I. Acestea sint drepte oarecareiig. 3.36). Se consideri acum-dreptele D(d, d')

5i A (8, D') concurente intr-un punct situat inafard din cadrul'epurei. S[ se verifice dacd celedouI drepte sint intr-adevflr concurente. Fie:cud drepte arbi trare (ab, a 'b ') gi (ce, c 'e ') ,rare se spr i j ind pe dreptele D Ei A date: ig. 3.37). Pentru ca drepteie D qi A sd f ie

:oncurente este necesar ;i suficient ca clreptele':bitrare (ab, a'b') Ei (ce, c'e') sd se intersecteze.e!_sd f ie paralele. Pentru ca dreptele (ab, a 'b ')s: {ce, c'e') sd se intersecteze trebuie ca proiec-: : i le m qi m'sI f ie s i tuate pe aceeaEi l in ie de,:dine. ln acest caz, aceste doud drepte concu-:.nte determini un olan in care sint continute

-. dreptele D qi A, care au f iecare cu acesi plan

4: ' r {

Fig. 3.37

:ite. 2.puncte comune. Fiind coplanare, drepteleD gi A sint concurente sau pafalele.3.3.3. APLICATI|. l ' Se considerd punctul M (m, m,) 9idreapta D(d, d ' ) ; s i se ducd pr in punctul m o dreapte:A (8, 8') paralel i cu dreapta D;Al (81, S;) concurenU. cu dreapta D;A, (8g, 8s) neparaleli qi neconcurenti cu dreapta D.-- Pr in proiec{ i i le m gi m' a le punctului M se ducparalelele I g i 8 ' , respect iv cu pioiec{ i i le d 9i d ' a ledreptei D. Dreptele D ; i A astfel determinatb, avindproiecfi i le cLr

-acelagi irume paralele, sint paralele

(f ie.3.38).

Se -alege

un punct arbi i rar A (a, a ' ) pe dreaptaD (d, d ' ) . Unind a cu m ; i a ' cu m' se ob{ ine o dreaft iAr (81, 8i), concurerrt i in punctul A cu dreapta D,deoarece dond drepte sint concurente daci proiec{i i lepunctelor rezultate din intersec{i i le proiec{i i ior lor deacelagi numese glsesc situate pe aceeagi l inie de ordine.- Se aleg la int implare proiec{i i le 8o l i Se. Nici unadintre cele doud condi{ i i de mai sus (de paralel ism gi deconcuren!5) nefi ind veri f icate, dreapta As este ncparalel iq i ncconcurenta cu dreapta D.2o Prin punctul A (a, a') sd se duc[ o orizontal i D (d, d')care sd intersecteze dreapta oarecare, A (8, 8'). Paralela d'la l inia ox dusd prin a' reprezint i proieci ia vert icald aorizontalei D (f ig. 3.39). Ea int i lnegte in b' proiec! ia

4Fig.3.39Fig. 3.36 Fig. 3.38

45

r1uL1yao alenrrs .,* ,i F.,!lt;E f#f fi:3'':,i#i::j_j3iy-! .. ps nes '(tr7 9 !l l) alelered ar1'es irnqel1 aurnulya^r.g 9q;o1 a111|eegord grrpe ,a1ua.rn-rrio.r irei aialeredlus_l t1 fs ( ,e,q 'eq) r$ ( , r ,u_,ru) a1a1da.rp er arnqaj l ' ,a1aJ::]-"d. !!!: elep 1r;o:d ap aldo:p gnop alir pceg :a1jlur'udlu!s_'elJreM ll lord epcuugd roun pu;u;fredu ,1,e,r',5r) rS(,q,D ,qe) 1g3ord ep aldelp gnop gcup gisuouncj.l'as p5 .1

-:jg,np yldrnrp pt ,lv lnptrnd u1:d ssnp ;,lf?oftJ",!i-: l: l

?ytlyjrlap arer .1rund.ea1rop 1e alia .in1n-urelAojai

:r*1._t.g 3r1r e01n:1ed 1e .(,r .r) c lnti lrnct r(et.e .8it igy_:]yp !0ldarp,JB rs 14 rnlnlrund lnrolnfu rir i[,r,q,e,u.r'f,qstu) i l lJolord ap lnuerFolalered olSarnrlsrrol ag

n"lq9q 19d as.ar'r..ra alap:n ur:d 16 ,rr.r;Ti:Ii[it l;,:?-^"._ll l_11?d urrd eleunuralap-1e11de jlse (,p :p) o Ftnr: l : t_ulgt l 'O, ' , ,q, ,Y nr ulalered ' , ,P t lnp as, ,ur ur:4_!qL-8_ ; !J) or lcorord,)p Iprr lBl lnueid ad i lep raldarpi rTInlnlrund olu , , j , ,E rS , , ru olrr f raro:<J oscrnr isdoJ aS *

:lTiy qnop uI uporord oleod ag .pt"p (,q,8 .qu) 1;;o.rdtp- Elduerp. nr ,gJalurud.elsr 1$ (,ru ,ui ry-inlrund"upAlrarl arEJ ,(,p ,p) O ;e1da.lp elglirbgord auJur.lSljp as gS

"9

f ?rap rsuor rsoJ B .rororpor o', "r.ii*Jlfn": rt lt:ii:|1,i':E

snI,r auriqo as ,aurpjo op Brrl lI pu]Jrpil ,rS lrr p11nza1 Xo nrg larirarord erf;as:a1rrr B-l .,p nc p1a1e.red rq urrd ,g r$ p nrPlellYd rrg. ulrcl g arnl) as r$ "ror.rolsod iuluozr.ro 1nue1dtl t;q "q) Fleluozlro prull a8alu as y uldea:p n.r1ua4111 t_-. l l l ) ro!rr ]Ur lBrr l ra^ 1nue1d ,rd ( ,a , r ) e1err1

- rJA Bluln rS JorJoluu le luozlJo 1nrru1r l ' , ad ( .u ,u)

Ll!_l-lortro purn €! as q eldearp nl1uo6 ;o1a1u.red'oixnii

l- I:ln_t p^ j:l,i l_ll t l_.1". 1d l?q I B Rs r nqa:1 ;d.,r- .iyi1 ered pur r 1'V !s g olr ldorp , rody .JulJn al lug sur. ldnc-16p pr.rpcrppqle FS arnqarl y uldee:p rer ,aurrn a.r1ug srri.,<inJ n:1ditlljlt_l!--E!]-1Es alnqorl g eldea.lp p:r u.n,:o.sqo oS' .llt l,i ti ,t.?ryJpatp RltqpJls.gs y uldeorp rut .t1t ;$ 1f,i-bla.rparppl"q9r l l ps.g eldea;p t l rut . lo l lsp, ' , ( ,V-. t r , l V ' lS ' f ,p ,p l qaloyu.rcd aldup pnop r eyrijaiir.rd u5i.e1r'r4iuor

li fs "s

:l r:l:q !",q.,91gp s rs v. aralruncr t, u ift:Siiii t;i",t/"$._1^1:Tl l* ( ,q 'O B .rrrr lrqru lrund 11e nn iS I eYluoz- l ro

ld lenl ls ( ,n ,u) .VrBi l lq ie l . runi l r i l r oFal i oS .alrp

(,1 'J) J { l?luo.r3 o ad ;$ (,F ,3) g pluluozlro o od arirtrrEs es uirrur ,( /p ,p)

C aldorp leun aprfrelo.rd-au;u.ra1ei"as l?S ;?

:tllcargu .,p ad ,I aurfqo es.",or!':i J,?,i:t;'liJiJl1"i{p. r lr l l l , l r_rsrr lul EI J Fp xo uJ e urid esnp

'el j ie:e,t :Ai l lbuy1/d,u, 'dB) lu!s t r lBluozrro alrr | . roro:d '11r l i 1a11se , i l a ld_aut lqo as , ! urp aurpro op erur i -pu; ioqq' . (b l .C 1SU),d uj ,p EzealJasrr lul aJBr . ,? ur:d'xo ui e1e1ii 'ad 111i, i !ir3 ::Ig-^T -q-

eldualn ad bugfrids as ss a.r'ui .plutuorlo !s.pleluozlJo o. l)und lsotu u;:d eJnp es ug .ge :og.ra1xo(,u '?) V lnlrund !$ (,p ,p) q eldeajp pji!;siror a5

"g.O ta. lBluozrlo p p Elpluozr.ro urfraro.rdrul+qo rs ,g

! i e elni ;arold puluh ;g ad 'q or i i lqo as/q urp aurpro op orur l o pulroqo3. iJ ldJ:p u , ! p lbrr i ro, l

rf '8 '3!: l

6t' t '8! i I

0f,8 '8 lC

It ' t 8tc

Fig. 3.44

Fio 3.46 Fig 3.17

rat

ECede

ri :

l ' Si se recunoasci i daci i doul dreple de profi l (ab, a' tr ' )gi (ce, c'e') , si tuate in acelagi plan de profi l , sint paralele.Pr in punctul arbi t rar M (m, m') d in spa{ iu se ducei .aralela (mn, m'n ' ) la dreapta de prof i l (ab, a 'b ' )1i ig. 3.46). Dacd dreapta (ce, c'e') este paralel i cut lreapta de profi l (ab, a'b') ea va i i paralel i Ei cu dreaptade prol i l (mn, m'n ' ) , Deci se vcr i f ica daci dreptele denrof i l (ce, c 'e i ) g i (mn, m'n ' ) , s i tuate fn plane de proi i tci i fer i te, sint paralele. Pentru aceasta se constmiescdreptele (cn, c 'n ' ) g i 1em, e 'm') g i se ver i f ic i i daca pro-iec! i i le lor se int i lnesc i r r doud puncte s gi s ' , s i tuate pedceea$i l inie de ordine. ln cazul epurei din f igura 3.46,rele doui drepte de profi l considerate sint paralele.:i Sd se cerceteze daci dreapta de profil (hv, h'n'),d_ati prin urme, intersecteazi dreapta oarecare D (d, d'),i l : cele doud drepte sd se intersecteze este necesar si. ' ; i ic ient ca ele si i apar{inh aceluiagi plan. Aceasta deint implS atr-rnci cind dreptc. le hh, ; i v 'vi (care unesc. espectiv urmele lor de acelaqi nume) se int i lnesc lrr"cela; i punct pe l in ia de pdmint. In epura aldturat l. i ig. 3.47) cele 'doud drepte hu sint concuiente.l0' S{ se recunoasci daci dreapta de profil (ab, a'b')intilnegte dreapta oarecafe D (d, d') dati. Proiec{iile de-..ela; i nume ale acestor doud' drepte se intersecteazl' . purrctele s gi s ' , s i tuate pe aceeagi l in ie de ordine, dar- . :nctul S (s, s ' ) , care npar{ ine dreptei D (d, d ' ) , nul f r r { ine, in general , g i dreptei de prof i l (ab, a 'b ' ) ,:(ntru a veri f ica daci cele doui dreote sint sau nu. ,ncurerrte, se aleg doui puncte oarecare M (m, m'), : N (n, n'), si tuate peldreapta D (d, d'), gi se duc dreptele

tl uiB).iu-d"[ce

Fig. 3,48

(ma, nr 'a ' ) ; i (nb, n 'b ' ) ( i ig. 3.43). Daci i dreptele (ma,m'a') Ei (nb,n'b') sirrt concurente intr-un punc | ( i , i ' )sau dacd ele sint paralele, atu-nci gi dreptele D (d, d')gi (ab, a'b') sint Concurente. In caz cbntrar, acestedoud drepte nu se int i lnesc.

3.3.4. APLTCAT|T ALE TEOREMET UNCHTU-LUI DREPT: PERPENDICULARE PE DREPTEORIZONTALE SAU FRONTALE. Din punctulA(a, a') dat si se duci o perpendiculari: -lo pe o orizontali G(g, g') dat[;2o pe o frontali F(f, f') datI.

Aceste doui constructii sint douii consecinleale teoremei unghiului drepi, care a fost demon-stratd in invi{dmintul mediu. Pentru ca ununghi drept sd se proiecteze ortogonal in adeudratd

lc,ABra-ta-to-

r ' )intra-itU

4iEr-ui

Fig. 3 {5

47

8V

z9 t 'FIC

I ( i c 'FrJ

6t 8 'FIC

:ill:l:jg ap r'ral'r rnu'rd ,o .o ,.i!'rnrf"::1Jpr- lJaroJd Jd , ,S .BJBJnJlpuad.red o urp pu3rnp

::^1q9 ": e-tec '(,9 'g)y ;r1o.rd ep ildbe.rp oelse Bunruoc BrBtnJrpuadraj .(,p ,p)d' eJEJer?o

pldue.lp o r$ lugiupo ep elull eJlutp euntuoJga.relncgpuadrad ellliea;o.rd prsirn.4iuor as p5 o1.ASIISIUSISVUVf,

IliIZOd NI EIVC AJdAd(

yrg. :lll aS ..'q ulduerp ed u.relnclpuad:adj.t,,Bt11{l""or. '(,s 'g)V Rldea.rp b iruiid lsaru1r9_R?Lp_es vS

.te roJralxe (;" ,n)V ;nlrundIs (,p .p)61 pldBerp

-pJepr-suor eS .AliVqH+A

YJdV:IUO O lrd vuv'rn)roNadus;

.^r - - - '(og'e 'F11) a1e'npr ,"r",j:Y;';.}}-Jeo B g .ple+uozlro erfcarord puru.rralbp u nt

} ]un oJBc ' , ru aulfqo as i , lT,g ai ,u u,p pu;cnq'a;elnrlpuad:ad .1u1s aldeip pnop iolai'nin ",1

F1q ?Jerl t ra^ a111ice1o.rd plpp.,( , i ,3; j_p1u1uo.r; oad prBlnrrpuad:ad alsa (,g' ,g)V ;ib;;p O o6

'(Ol 'g .FU) elelnRr rarelnrrpuad.radB /p pleJl l :a.r el f raro. ld Rp ,B n) t iun aruc. lY. l_"^. . i -Seul lqo

as 'F.f p arnp as p utb , taJlsv'e:elncrpuad:ad lugs alda:p pnop roler '"1b H iS| ll,nl_uorpo alrricarord gcep (,F',F)D Fleluozrroo ad Erelnrrpuadrad elsa (,-p irlq pJOBJri, O

"tu 1 p n u n n t p 7 a n d r r,', 7 f!:': f ':; ;:

o, :i i : r',:; i ti Ia1nuo8oTto a1tr/carotd 'pmp ,1datp ,7rr'rr17u, uo

::j:ol::r]11 also eiuaroo] raisace ecbrdrcag'uDId pro nc p1ayond aU ps 1n1ny1Eun a7rnrclulp Dun nc luatcrtns apa ,unjd ui ad aturtptu

iYnoa v yNnwof, vuv'rnctoNgiual .g.e.e

i :yi^ :r.:rpu rrx rerap !ii. 9H"i[;.,,[, v* i'illerelncrpuedred rBurrol elsa "a.rrjc _ lbV Inll:lryqunyl, e erurf lpug prerl V .goV rnt;'r;Funirif l :],y :yiw rnr+uarolro u;. csau1j1u1'r, igg'i{i 'CD lurlllpul pnop elsarv .(,8,e :Fu,t eletuoztrol?1 y{_yr: lnrlpuad.rad acnp'as-g lnlrund' utp tSl(1fj-", ' I- :J"YfeluorJ ad rCC e;elnJrpuadrad 9 1n1-JUno uud eJnp os BlsBaJB nJlued .g lS g :o1illJjjl -e;uolgzundsoror et ru 11 lpuJ rsai n.rlsuorp::.r:,1."i ,'Jqy lnrq8unr-r1 1a1fse lnuiiqo e-g[119^t_{!J) (,p 'p)O eldearp nr (,1 , l)g rs (,A ,g)dPlalrund ug .trlladsar alusrncu<j5 '(,1,; ;iq ni\iuo:; rS (,F,u ,Fu) uletruoztro (,n :riiV

inicuh,i

os's 'Flg

Fig.3.5{ I i ig.3.55

AE.

I

t6,e:ie

- te

- :e

Fig.3.53

20 Se considerX fronto-orizoritala t)(d, d') sidreapta carecare Jr) , 3 '1. S[ s. i dctermineproiecf i i le perpent l icularei 'comune celor douldrepte da.te. Deoarece fi 'orrto-orizontala D(d, d')este perpendiculara pe planul later l l de proiec-{ ie, perpencl iculara conlune r l intre drt t l te le Dsi A e-ste o dreerpta paralel i i cu planul l r teral c leproiecf ie, adic i r o dreapt i de prol i l i f ig. 3.53).Ea se ob{ine t 'ucind cl in proiect ia late}ala d"a dreptei D perpendiculaia b"a"pe proiecf ialaterald 8" a dreptei A. Proiec{ i i l -e oi izontal l

-.i verticali ale perpenficularei comune sint

:espect iv ab ; i a 'b ' . ; ' I \ , . , ,30 Si se construiasei;proiecfifle perpendiculareic.o{run-g. G(g, g') di,ntre dreptele D(d, d') gif(b-, 8') paralele c,u, acelagi plan de proiecfie.Fie drepiel€, : .D(dr 'a) i i A(8, 3 ' ) ( f ig. 3.54).Planul or izontal 'de proiecl ie este un plan:,aralel cu cele doud diepte, iar perpendiculara:cmunI este perpendicul'ari p" ui,"ri plan, deci

-ste o vert icala. Proiecf ia sa or izontal l g este

si tuat l in punctul de int i ln ire al proiect i i lor: izontale d gi 8. Proiec{ ia sa vert i ia ld g' este

&'b' , care mdsoari totodatd cea mai scurt i r, ,stanld dintre cele doud drepte or izontale date.=' Si se construiasci proiecfiile peipen{iculareiiomune dintre doud drepte frontale. Perpen--.:ulara comund dintre cele doul drepte fion-: .-e F(f , f ' ) 'g i F1 (fr , f i l este dreapta de capdtab, a 'b ') Care se proiecteazl pe planul vert ical: . proiecf ie in punctul a 'b. ' de intersecf ie al: : - , rec{ i i lor vert icale i ' g i f { ( f ig. 3.55)." Sd. se determine distanla I dintre doui drepteD d. d') gi A(8, 8') paralele cu linia de pimint.* . . :an{a I dintre celefdoud'frprr to-or izontale se-, : arI pe perpendiculara lor comuni, care este

clreapta de prol i l (ab, a 'b ') ( f ig.3.56). Aceast ldistan{i se obtine in adevdratl rndrime luindsegmentul care une;te proiec{iile laterale d"$i 8" ale celor doud drepte date.

3.3.7. ADEVARATA LUNGIME A UNUI SEG-MENT. Se consideri segmentul de dreapti alecdrui extremititi sint punctele A(a, a') giB(b, b'). Sd se determine idevdrata luirgime t'aacestui segment qi unghiurile cr pi p pe careacest segment le face cu cele doui plane deproiecfie. Se gtie cd un segment de dreaptd esteipotenuza unui triunghi dreptunghic care areca latur i a1e ur-rglr iu lui drept (catetele) proiec{ iasegmentului gi diferenta dintre proiectanteleextremitat i lor sal t , . Ast fe l , proiecf ia or izontalaa segmentului se va considera cu diferen{acotelor extrerni t i r f i lor sale, iar proiec{ ia vert i -cala a segmentului se coisideri cu diferen{adeplr tar i lor extremit l t i lor sa1e. Aceste tr iun-ghiur i c lreptunghice abbl sau a'b 'a1 se ob! ini .mediat, ele put ind f i ata;ate uneia sau al teiadjntre cele doud proiecfii ale segmentului dat(fig. 3.57). Evideirt: ab, : a1b' : l. Totodatdrezultd valorile unghiuriior d gi B pe care seg-mentul AB le face cu planul orizontal ;i cuplanul vert ical de proiec! ie. Ca apl icaf ie, seconsideri triunghiui ale cirui virfuri sintpunctele A(a, a')', B(b, b') gi C(c, c'); s[ se

Fig.3.56

49

PJtse V urfcarlp

[ry JnlnluauFos ellralord alsa ououri

I

I

'8tC09'r

09

31"^l:li,|y oletuozlro oteurrn nur rs l$ ,I IS I:.1 r_111._gsr elalalered ,u ,,u !$ g ,. rirrd"ainf::.,t-tt::Y._ijly-aq

'trp rnlnluaurF_as a1e'p 1$ [ralJlRl lue_rlxa'er lca:rp Blseare pdnp :1u1uozr.ro

llgld ad algJcaro.rd a;1 pi luarcrins ir.jtt,i;jiJBleluorJ nc-- elalered- puig ' jielueicaror6 ol

;Pl".p- (,S 'g)y arura.ruo agfrargp o pdnp lalup!tl- 't){ el?luorJ ;aun qfra.rlp gi'np , a!1iiod'ai;a;aue;d,ad,{,u,ut-,uu)' luai irFl. inun' l l" er! lqoe1a;e.lud a;r;fra;ord auluralep es pS .IIIdAUO

VyrvUrNgs rS yrnryUva vrl5aidfii' s e e

ii]:.*1-l"rlrnl'r arB .u r;un1 r,.r".,u^ip3"i,lil?,t!,f::l.q:]p,1rn1qFunu1 lo1sac.e a1'e C, ld El:: l :11'1Y1lod I ' (8s'8'Fr3) a.r r lcadsei .roir:np3,rl?l i lor slaluoreJrp 1t ;n1n;q8unr.r1 .ro1rrn1e1 a1ealBluozllo a1rrl : . 'aro:d lugs a1bler' :o.rpc'e1e'uru lSdrl 'utq;D ar-rqFunlda:p a1r:niqFunlr l q1'nluorlro:jl33jgj9 ad csarrulsuoc"es'.lqairriili-inrsec?rollJnlsl ele ;ur;Fun1 alalerpnipu ' jugiu.ratrep

og'e 'Elg

P1i":9.,H11-: eylurJelep ?s Rs 'as'oreluene reurI:."- : t !_f t qy:r_ us a,qoia: a' !s e laru'a rh;:A I j;"r /9'8 'FlcPJIsB V BJlJaJlp a8ale err as .-eulrri JoA aJpJlf*il9^"j9 u3 'leraueF yI 'lep ;p41 rnlnluaur8asrJE arfcaro:d ap aueld' .?irdp

'';i"oi ' ,',i -9u9ru

l^^.:ty".::t1qo_ elalered alrilra'.iro uiqo .gtos'e'sg)'biucrlia,r ra rl;i;b;i;i";':'l;r:ilUl t I IJelOD 3s I i rnrnrr lar i lSrc r ' , r - . , , , , - i . . .1 ---_,l1p :.: f !_n 1 n 1uburFbs' a r I t'pl r r ".il

*.i "ur, j

P:,r^.*'-'.^:ll:*t-';ifi;"il';i;ii,?#':;,;,i;;!.i?:L.!rlqllyqi' a'^ r(,s .s )v eiJ,iiq;;,Iir5;JFi?:9- F"llsuor as .(,9 .s)V greri;qre ariearrpI plsrxa alBluoJJ rarfcarrp 1nro1"'Li; qjra .A'(Oq'e 'EU) g e-lfmrgp pctnpleluozrro Jnueld ad elalerei llnluaudas .a1a1e.red rolsaJB

no/g?pdapolaateJ!0

r l iaMN

aoriec-trecr in l60).r$iale

neletfel:eleiec-

fii le centrale ale unui segment (mn, m'n'),pe planele de proiecfie, centrul de proiecfiefiind (o, <o'). Toate proiectantele trec in acestcaz prin centrul de proieclie (r, ,o'). Se con-siderl numai proieitantele segmentului MN$i se determinl urmele lor orizontale ;i verticale(f ig. 3.61). Se ob{in proiecf i i le centrale msnsli mrind pe cele doui plane de proiecfie alesegmentului dat.

3.3.9. APLICATII. 1" Si se giseasci proiecfiile orizonitalei G (g, g') care determini intre trontalele D (d, d'r9i A (8, 8') un segment de lunglme cunoscutd l.Se con-sideri proiecf ia a pe I gi se descrie arcul de cerc de razi Icare int i lne$te proiec{ia d in b 9i c (f ig. 3.62). Rezultdor izontala (ab, a 'b ' ) , paralel i cu or izontala cdutat i G.Pr in a 'se duce paralela a 'm' la d ' , iar pr in m'se duceparalela m'U, la ' l in ia de plnr int . Rezul t r : nr g i b, ast fe l

incit mb, este paralel cu ab. O_rizontala (mb, gi m'bi)este dreapta cdutatd C (9, g'). In mod analog se gisegtesoluf ia corespunzbtoare proiect iei c. Dacd lungimea Ieste mai micd decit distanla dintre proiec{i i le orizontaled gi 8 ale celor doui lrontale datc, problenra nu are tr icio soluf ie.

!' Se consideri orlzontalele D (d, d') Ei ,\ (8, 8') lidreapta oarecare E (e, e'). Si se determine segmentul ABcrre se sprljlnl pe dreptele D qi A gi al cirui mijloc Meste sltuat pe dreapta E. Se construiesc in epuri orizott-

Fig. 3.62

Fig. 3.63

talele D 9i A 9i dreapta oarecare E datd (f ig. 3.63).Proiecf ia vert icald e' int i lnegte in o. ' gi B' proiect i i levert icale d' gi 8' ale celor doui orizontale D pi A. Dinmij locul m' al segmentului a'B' se coboard o l inie deordine gi se ob{ine proiect ia m pe proiect ia orizontald e.Purrctr i l M (rn, nr ') astfel determirrat aparl ine drepteiE (e, e'). Se construiegte segmentul cu mij iocul ln'm,care se spri j ini in a ; i b pe cele doui proiec{i i or izontaleale orizontalelor D t i A. Ridicind l ini i le de ordine din agi b se obtin a' ; i b' . Cu aceasta segmentul AB (ab, a'b')cste determinat.

3.4. PROELEME PFOPUSE

1". SI se derncinstreze cd proiecf i i le unui punct din spa{iupe planul orizontal 9i pe planul r19rt icl l de proiecf ie seagazzi pe o aceeaqi perpendiculari la l inia de pdmint,cind se rabate planul vert ical pe planul orizontal. Sdse demonstreze reciproca acestei teoreme.2' Si se construiasc:i o orizontali care sd irnpartd seg-mentul cuprins intre urmele unei drepte lntr-un raportdat.3" Pe o dreapt i D (d, d ' ) dai i pr in proiec{ i i le ei sd seconstruiascd punctul M (m, m') pentru care diferen{adintre cotl gi depirtare sd f ie o lungime dati l .

4o Se consideri pr-rnctele A (a, a') gi B (b, b'). Sd seducri prin aceste punc[e doui drepte paralele D (d, d'); i A (8, 8'), qt i ind ci dreapta care unegte urmele lororizontale are o direct ie cunoscuti S,

51

7'r , '9r tuy !15

rt 'Elc

zg

:.y."j-::-u.o, nBS arJ 3j^:l:qarl ,d !s d orurn otserv

:l:Llutq aie ,d p1ecl1-rai e.ru]n 1i6 qlv+uoztro, EuJnaur lqo as . |n nJ ,n 16 rq nr-q i r l lun _

o l BJ r lro^ r$ a 1 e1 uoz rro n,.,rY'itufl J::il$t:L tf:

' ( ,9 ,g)V eldeerp 1$ (,u ,e)y,1n1rund *l(,8 'g)v l$ (,p ,p)q eluerneuor alaldarp _

(,s 'g)V l$ (,p 'p)g a1a1e.rud alaldarp -

liil^.q,Y:ld !!:{n ote ,d l$ d etorurn Urrn,nrjnTJl

:r 'i::{ {. }: :q'!#ffi|,#;J,'" ;rt $i'$.ii,, Tiiij:ril,t"! J"'i,l " 1 ", i";, ": ir Hr,, ;il11" -J jel"nlls, er; ps 1a1da.rp ager,,rn ur aisa uuld ;nunXiitj:,g" 3s pldea;p o ric pluesr;1n, 1$'pr"rrrru:.! l!gj,ot'repzSy

.rnlnuelcl aiaui.in'ad"a1entrisLlliT:-Ui lliraio,rd op Jlaueld elcasre+ur BAuPId,un-4uJ

lryyJluoqLp p;q'areoS.,no plO'narI

:',i,Ti' ;it o i i li" iBl5js=f *3, 1";' tl H::;o rS 1rund. un ' , j jerur1"r 'nu-l l l l inf , . i1 ,nld

-uaxa Jp .!J rB uinr .gurruralep l_orpr io1e1u"iu-a1a alrricaro;d urrd- ay; ,aurin' ulro irl-,i,1iouc-sap^llulJap rr aleod. lnueld .d',9 rd' ' ,*d"uird

1ip,.1t* "lou,ron as z,{xo-gnftrlar.rj a1.exe rsy.:1.1.:lylp arfras.ra;u1 ap ajaj;uh4

'f r r rblji

: l l ret?rd. ap aieue;d rS ueld' arlutp- a, ' ib"rrn1u,?l_::4 lS ,d 'd elaldarp ueJd 'rnun iin .,orn:Tnu_1*_ns 'NV'rd NI. srnNifirioc yravauots rJNnd .tntnNvrd

nr'sl[]iri'"'.r.r.7

IntnNv'ld vSUVrNtztudlu .r.7

")1fiNV'td

Al tntoldpf,

reaptd concurentd cu dreapta A) gi se pro- i:edeazd analog (fig. .a).

- +" ' i -

In epura din figura 4.5 au fost deter'minateurmele..P gi P. ale planului definit de punctulAra,-a') Ei de dreaita D(d, d ') , ale cirei urmeI sint cuprinpe in cadrul epurei. S-a dus prin

punctul A(a, q ') o.or izontal i (gu, g 'v ' ) Ei ofrontald (hf, !r_'i '), ambgle concur-enticu dreap-ta.D(d, d ') . Urmele P ; i P' ale planului t rbcprin.urmele h gi v' ale acestor cirepte qi siniparalelc respect iv cu proiecf ia or izontald gva or izontalei qi cu proiecl ia vert ical i r h, f ' -afrontalei

4.1.2. DREPTELENULUI. Dreptele

IMPORTAIqTE ALE PLA.sint

I

- o orizontal[ G(g, g') a planului gi unpunct A(a, a ') ,- o frontali F (f, f ') a planului gi unpunct B(b, b') qi s[ se traseze liniile de cia maimare pant[ ale acestor plane.

.se,considerd orizontala Gr(gr, gi), clusd prirrpunciul A, paraleld cu dreapta G (f ig. 4.6).Urmele v ' ; i v i uni te dau urma vert icald' p 'a planului, iar urma P trece prin P* ;i esteparalela cu proiecf i i le or izontalei g ; i gr. \ Ol lnie de cea mai mare pantd (1, l ' ) a pianuluifafd de planul or izontal ie proi i i l ie 'este dreaptaconl inutd in plan ; i perpendicular i pe toateorizontalele $lanului ,^ d6ci $i 'pe u.ma p.Proieclia_sa orizontal:i I este perpendiculara peu1m.a P. Proieclia sa verticald I' rezultd impu-nind condilia ca aceastd dreaptd sd fie conti-nutl in planul P. Analog, in figura 4.T s-atrasal llpia de cea mai mare panld 1lr, l i) aplanului- fald de planul vert i ia l ae proieci ie,adicd dreapta conlinutd in plan qi bare esteperpendicular i pe toate frontalele planulr i i .

Dl^ A Ar rg. t ,a

Fig. 4.5

1?

izontaielemare p?nti raooi'

SA-zp$aj-sarr,crse determine urmele P qi P' ale unui plan,

Fig. 4.3

Fig. 4.6

llp'

7g

I I 'T 'EIC

ro trulr.uPd ep ralutl eJdnsBap pJnda ad arEdB

'3tg8' '

FleluozrJo Bs EuJn 'elrldFeu atelrpdap o ater luo:g 1nue1d p)BO '(JI ' t !S 0[ ' f

.Frg) a:e1rgdp rSBaaJB ne rnlnueld alalcund aluol araJeoapro nJ g,1a1e:ed alsa eJec ,J Vle+noaJo Bs;urn -u;rd'-r'eop gluizardar as ii ,Q!n'd. ,ii .nrtnyord ap IErtlre^ 1nuu1d nr 1a1e:ed 1nue1d alsafluorJ InuBId .l"luorl

Inupld .xo lugrued ap

!u! l qns p:nda ad arede , ;1 Flert lJal BS ErutnBArledeu eloJ o eJB lellu ep 1nueld preql l I ' t ls 0l ' t 'd lJ) eloc tseaare ne rnlnueldlalcund aleotr aJareoap ,xo nJ glalered alsafeJ ',H FIpcllJal ps BruJn uqrd :eop glurza:dart Ia Rrnd0 u1 '-olfcalord ep leluozrro 1nue1dP IalErBo lnupl_d alsa le^ru ep InuBld .la^!u

P Inueld 'aueld elseJp nc lalered nes .11 nesInrolrastq ad :elncrpuad:ad uuld I (xo urrd

DaJl ar-Bc nes)_xo lupupd ap elurl nc lelpJfd ueld * :1pdec ap ueld - I 1ecr1ra,r ueld -lgord ap ueld - : Ieluori nes +uorJ ap ueld -fuluozlro.nes- lal tu op ueld - : lu js ecr lsrJfleerec ill lzod alserB u1 rnlnueld aJt-nunuac

freolcasrq alaueld ed nes arfcarord ep a;aue1dI JelnJrpued:ad nes lalered alse 1nue1d prep!1de; e1 Fralar as yllizod alsaJy .af$afOUap e'reNv'rd nc ruodvu NI rn,rnNv.rdnv eclrsruarSvuvc alrr lrzod'8'r ' t

'(O'f 'FU) ,g ad p.relnctpuadrad alsa 16 ,,r ugrdaleJl ,d FIBJItrJaA euJJn 'zeJ Balrop IB nJlued

'(g' l 'Fl l ) ,A elecl l ral Burrnurrd acarl aJeJ ',6 t$ x4 gllnza5 'g BleluozrJourfcarord ad g:elnctpued:ed alsa r$ IeluozrJo1nue1d ap ptrel elued a:eru IBru eal ap rerurl eq BruJn ulrd aca:1 tnlnueld e d p1p+uozrJo BluJn

.e;fre;ord ep l?r!Ue^ nus l?luozlJo:1nuu1d ap plBI (,9 'g)V gluud eruur ruru

"ef, ep

9-d I:-d eJ?y]n-I pulwJapp uDld

DAj ap nru17 :VIJreJoeJ,

0t ' r '8tc

ss s!u!l u;.rd 1;u;aurruJelep as Ps '/

i ALE.E DEfaptul

ular peItoare.anacte-zonlal;prof i l ;lan pa-e trecelorul Inul der lel cuielsel ' , careunctele4.1l) .

gat iv i ,b l in iafrontalproiec-I Urmalu oXra5i de-frontalnald Fint ox.

Planul de profil. Planul de profil este planulparalel cu planul lateral de proiecfie. Toatepunctele planului au aceeaEi abscisi. In epuri,el se reprezinti prin urmele sale P qi P', caresint in prelungire gi perpendiculare in P* pel in ia de pdmint ( f ig.4. l0 qi 4. l l ) . Planul ver-tical. Planul vertical este planul perpendicularpe planul orizontal de proieclie. Urma saverticald P' este tn epuri perpendiculard pe ox(f ig. 4.12 qi 4.13). Unghiul a mlsoard pe epurdunghiul plan al diedrului, format de pianulvert ical PP' cu planul vert ical de proiec{ie.Planul de capdt. Planul de capit este planulperpendicular pe planul vert ical de proiecl ie.In epur5, urma sa orizontali Q este perpendicu-lari pe ox (f ig. a.12 9i 4.13). Unghiul B m5-soard pe epurd unghiul plan al diedrului, formatde planul de capdt QQ' cu planul orizontal deproieclie. Planul paralel cu linia de pimint ox

(sau care trece prin ox). Acest plan este per-pendicular pe planul lateral de proiecf ie. Planulparalel cu l in ia de pdmint ox are urmele sale Pqi P' paralele cu ox ( f ig. . la qi 4.15). Dacdacest plan trece pr in l in ia de pdmint, urmelesale orizontald R qi verticald R' se confundd pel inia de pimint ox. Pe planul lateral de proiec-f ie se ci tesc direct valor i le unghiur i lor diedrecuprinse intre aceste plane gi planele de proiec-{ ie, urmdrind pozi{ i i le urmelor laterale P" giR". Planul perpendicular pe primul planbisector. Acest plan are urmele sale P qi P'simetr ice in raport cu l in ia de pdmint ox(f ig. a. l6). Se vor just i f ica mai t i rz iu acesteproprietdfi. Planul perpendicular pe al doileaplan bisector. Acest plan are urmele sale Q qi Q'confundate, deci Q - Q' ( f ig, 4.16). Planeleparalele cu planele bisectoare. Un plan paralelcu pri mul plan bisector are urmele sale con-fundate dupi o paraleld la l in ia de pdmint ox,deci P - P' ( f ig. 4.17). Un plan paralel cu aldoi lea plan bisector are urmele sale Q i i Q'paralele cu linia de pdmint ox ;i simetrice inraport cu ea (f ig. 4.18).

P. P'

Fig. 1.12

Fig. 4.15

Fig.4.13

' - , - o

Fig. 4 . 16 Fig. 4. I 7

4'

0

Fig. 4.14

,iil/filxI

F-io 4 l8

55

I6' t '8l i l

99

'(:9 'n) V ., Inlrund urrcl asnp "rolaldarp rol-aruJn alp ournrr rSelare ap elnf5ero.rci .utraclsajqlr l i rn ql l_qo as rnI lueJd a1e ,d tS .r Jr"ur_rn

1g-ls,d aurl pnop arrf, pu*urrlop,'l i i jt lJ'rtl:'? lun '+uJrupd ap errrr l od .re-r1rq:L 's. :10 , '*d

In+":I:tld-. 'Fieurrurolrpou IaJlsB o1.sa a:er 'larualq

-oJct p ar lnlos o ernlr lsuo) ,g i ;1darp a1, i , , r id.1-elouJn.urrd .irtlraclsa-r rrr] ,a f ; a Surrn rn:p;.ale rJap 'y eldearp.euriuor 'alec j ueld err_r6(oal

_ltpv ra1tlo:p eJarurn ,n 16 q-egg i(,p .p)q

ft:q_,:jq:?lp yt (,s 's)v 'e131eied- a5np es

l*::lv lllcund ur,r4 .Rlep (,p p)s eldeerp noI-1-"j9_1_ ?t." rs (,e 'e)y lnlruird irlrd ara"r1 amuuld lnun el" ,d lS 6 elaurrn runJe euluJalepas ps 'yJdveu0 o nc'rstvuvd NVld .6,6.f

.4.1mre1d uJ rur l lqta psprlp alsa elduarpt::r:"..I

_.lj l_:to: rq olelt u tJU r o' a1 r ru pe Bruarq

:?r,q 'BlBln€r

.( ,p ,p)O uldea:p alsa'( , .g ,g)y

: l :::r.L.:i !,n ,")v lnnund urjd sinp e.'plerea

^16I:?^:l{ld 11lngero aJE aunu r$elaraep !1au:n:..-^"ttIti: _".tgr?F as ,n 1s q aru.rn ra:er a1e)r:p.-'g_l:yBId uI plnuyJuor rrerarBo e;dearp o99,.{]Y :i9 :q 1nue1d us elnuriuo: qldda:p o nri ] : l : j " l : lJ , pr arnqrr l ,4 1nue1d n; g l i leredelJ ps O BldBarp BJ .euJn u1.rd'1ep a ir'uiO un:l_jtilrj"l,"_f" !s. (,u ,e)V inlcrin'o i,,rd

"r"r13rlt '(,p 'p)q ;a1da;p algliralo.ld euluralep esRS "rnNv'rd nc y'ra-rv['va-vrav:iua .r.6.n

P:l l ] r ' I l lqo as ln lnu_Bld .a le ,d IS d alerrr f )

i:ei,t^jli'2 -1s (,n;H ,nq) apralniuo-r 5ioar'$i!19! 1", ep lBurural€p gl_s"_d Inye_td .(,s ls)i,:19:rr_l ,11_.- l !9!nrnd,( ln lq ' , rnrr t j ""+oi j r 'pn?:1.^"'-_'Y:y3',u g,a'Gp:v. '3g) (,p ,p)o p];,Ttlll-l?-F.!]!_ujud '(,n,r{ :nr{) elileaJp ainp asll"^'YIVJnl?uld yr{d .uu;d ;$u;arp ur alunlrsru^!:9 .f fL l:,-(,p 'p)q -e1da.rp pnop nr yapired:ft !,.-!,: :P)V lnlrund u;.rd acarl -erue

rnyriuelO,13:9.is_d :f"-rn eururalep es ps .:IuViUgUvErrd:ruo YnOO nc ]A'rvuva lrvia r a Ii , 'aJele.led eunu r6elace ep Jol aJaur:n ur:dlijl.i _ yj..F]_".gzp; da:- as nr ieds us _-a 1a1 e.red a jautY,li_':i:yrl__*rrd.'9.. n' p1a1e.red j pleluozr:ofrurl9ror+ apun ed , *4 pllnzeg .,6 nj 'pialered[*jfrr]r"l:yrn arnp os ,A ulrj:o eJfjuor,rola]sere B. FIBrlra^ nr,rn ..,n elg-.(iarf .Fll)P.--t"::r|_ p, p1a1e.red r(,p ,p)o* ilEllor,roPtlP n .(,u lp)V 1n1cund. u1r4 -.'arurn'uirO

iepP]:+,:.tj-11 tatuJud elsa JS (,'n-,n)V ynlrufio u,rhPl.1t^".,.".1ry;nuuJd elu ,d ;$ 4 elerujn eulurelepPS,PS 'NV:rd Nn n3 lAryUvd NVld .S.6.?

3]3lVsVd ]r '.tvld t$ tldt$c -2.7

S't"I trecelut qI duceLlaeesteile P;urma; pla,epuraI

pPrEP'alei este, o ] t\ a')reap-ducenptadoudrivi).nindf l]le-

a').

4,3. . INTER$ECTII DEPLANE i ] i ,: - ' / , , . . : i . '

4.3.. I" .PLANE'DATE PRIN URME. PCNITU db-te.qhrinarea dreptei de intersec{ie dintre doudplane este necesar sd se {ina seama de faptul citrei plane neparalele doud -cite doud'. se inter-sectelzf i intotdeauna: : int i -un' punct. ' ' rPr inurmare, in problemele de intersecfie dintre doudplane seivof iutroduce plane auxiliare, care tngeneral se'aleg plane de nivel sau frontalepentru Simplificarea opera{iilor grafice. Dacdplanele sint date pr in urme, ' planele auxi l iaresint cl,riar planul orizontal ;i .cel vertical deprolecl le.

Astfel,' i[ se determine.;oroi€cfiile dreptei deintersecfie dintre dou[ plane oarecare P gi Qdate prin urme. La intersecfia urmelor orizon-tale P gi Q se gdsegte urma orizontald h adreptei .D(d, d')' de intersecf ie dintre cele doudplane. In punctul comun urmelor Verticale P'$i Q' se obtine urma verticalS v' a dreptei deintersecf ie D(d, d ') ' , ( f ig . 4.23) . Pr in l in l i le ' deordine rezulti h,' Ei v pe linia,,,de pimint:Unind proiecfiile de acelagi nume h gi v, seob{ine proiec}ia orizontala d a dreptei deinterseclie D. Analog, h' ;i v' deterrirind proiec-! ia vert ical l d 'a dreptei de intersec{ ie D dinireplanele P gi Q, Oricare ar f i pozi{ i i le urmelorplanelor care. se intersecteazd, problema serezolvi intotdeauna asa cum am ardtat inacest caz general. In epurele'din figurile 4.24li 4.25 s.a intersectat planul -oarecare PP' cuun plan de nivel H' gi cu un plan frontal R.S-au obl inut ca drepte de intersec{ ie or izon-tala d, d' Ei respectiv frontala f, f '. in epuradin figura 4.26 s.a intersectat un plan verticalPP' cu un plan de nivel Q'. In epura din

Fig. ,4.2T

Fig. a.29i

figura 4.27-s-g glsit qrizonlala S, g{,de'inter-secf ie dintre doua plane care au urmele or i-zontale P,si Q paralele., ln epura din f igura 4.28s-a interseetat un ptran vertical PP' cu un plande capat Q Q'. Dr^eapta de intersectie este(d = P, 4 ' : Q?., ,1n epuraldin f igur i le 4.29;i 4.30 s-a rezolvAt in dgui feluri intersecliadintre doud plane ale cdror 0ime de nume

57

I: ig. 4.24 Fig. 4.25

I i ig.4.26

Ir ig. 4.23

88'? 'FH

ae lalg:

Ic'? 'EIc

-e1d snop alaa r$ 6 1nue1d .r"p,Tlr'jrr1rXl :ap ,;,o1a1da:p elfcas;a1u1 utp pllnzar lcund lsacy Fdlp d 1nuu1d Fzgalrasralur U lnupld'U !S D, '4 aueld tarl u arfcasJolut ap (,ur ,ru)W 'Ub:erareoJetltxnu 1nue1d arg'1ela1e1 1nue1dal1l_l1-ttlT lPulruralap s-s t8'? ern8r; uip e:ndJ r F::illll:.€s BlsBerB nrluad 'a1da.rp-ialsaie 1[:i't!:jllj ' uI'lUoJd op olsa.ElPltnzar arfcas:e1ur lruno.Jnduls un auluralep os ps 1ua;c;gns alsEap BldeeJO 'Jolcasrq

,ue1d ue;rop 1e u1 ad ^(:?..1)g-,r_f "tuozrJo_oluorJ alsa aueld pnop,1rrrielaquB 'arulnclpuadt3{ gueld Fnop letrasrelur arlulp *11;1131yi ap eliej.rq ;xo lugrgh ip

l_t-t 99,t "rnFsl usp:lnq3 qI,'a1ep aueld pnbf :i:lt:t:tlttu_l.i1a1ir.red9urfi enop l'tcasraprelar. eJlutp ollrasraluJ ap (,p ,p)g ralda:p 1L rte-s 19.7 ejn8lt ritp e:nda ui ."ru" arrprrt pnnnelar erfurp 'rlrasratrrJ-1p_ !4.,llq ;a1da:p 1L L"--: tq.l "ilry llq ernda ui: i1 ".";til;l';1*j"1.{ l:.Ylg..:"ltgp tE-un a'ur1q61s"(1uo.i1 rip etac d:lilp eriSasiilur op rjo""rp suiru:a1ap,:f.^yi.P1llll11l nl9 In u; ,s 1a1r1u ?,!"r -9.-= i9, y punardrirs 'arej ,1,'" l;y, in!,-nuelo vrltzod pulqu!qrs 'alep aueld gnop elal -rund ug alua-rnruor^ lurs V i6 q'l:nlaj.,i

::11!P,3.llT:i_111i ip.-!p-:p]g^_1a1da:p^auilredu Fnop alsacy_ !oe-r .419'ep,5u,o,

ei "ioa.,Fl lY" _(, ' ' tu)W Inlrund qlJnzar elBluozrro pnop Pnop ro-ler alprerluoc j i i rnu' jp j lrr lciro.rOiJcuj

:?l:."-T:.l.lj":{"_111 u_l.o'Ftpluoz;'io o aisc bleir l3J.t:.:_:9 !-ny'rd u!.Rrpnrls (,s.s)v "1oerJ[-i{?lif.l_t_ ulp rarBrerl .11:l1j:]1p_.,9 1a,r1u a! 4 1nue1d uJ plenlrs (,'p 'p)q iloeio:p rupreprsuorrPIlrxnB uPld un';arlda,l lrpYc ug alua:ncuoir zB) Ballop

1y ngluSi:f1E1n'gc ai lmrri lb! "p#j:^:1--?.q_T-rolPo ale-'O r$ 4 aueld pnop tlg:?q-Fit-*r1epV 1T'a'a1e1rund'.(,u ,,itVrni

lelrasratur ns-s Z€,'f ernFrl u1p e:n{a u1 .b l's -rund ug *r:tjl1l *-r::i

,{,'S .SiV'iS t^p1dj<i

,d-11"p ro1aue1d.3t1c1111ui,l!.n jn)O,elejuo-z1io alaleluoigro pdnp ,ulcadsa.r"juelo Fnop atsaa'l'oluorJ eco'11 alda:p gnop roliica 1e agc'asraiul pzealcasrilur ,g 1a,r1u ap arejareb f"{a'-;;Pp (,ru '.')W lnlcund . u'd .( l^ lrl tt^lil^:l ..1-0...*

]a.rf:._ alep oueld qnop etar arlurp arf msrdearp Fdnp o lnueJd isl,n,q ",rr$ eldearp -rafur ap-rnio"rp 1e lrund un .prruror r'Jluo,

reap-" i dennto-ate Pectatsint

r i l iaralelefstorcare

intre; ianu-I p lan

lr n')b celep s-aupbelel" de|5i i , inlnctulf ; i R.lor deI pla-

Fig. 4.34

4.3.2. PLANE DATE PRIN ALTE ELEI}IENTECEOMETRICE. S[ se determine proiecfiife drep-tel de intersecfie dintre doud plane date liecareprin cite doui drepte paralele. Cele doui planeauxiliare H' Ei Hi intersecteazd fiecare dinplanele date dupd cite o orizontald (f ig. 4,35).Punctele M(m, m') qi Mr(mr, mi) rezultatedin intersecfia acestor orizontale determinlproiecfiile dreptei G(9, g') de intersecfie dintreplanele date. In epura din f igura 4.36 s-a gdsitdreapta de intersectie dintre doui plane definitefiecare prin linia de cea mai mare pantd L 9i L'fald de planul orizontal de proiectie.

Planul auxi l iar de nivel H' a determinat inf iecare din plriele date cite o orizontald(fig. 4.36). Aceste orizontale, ii ind paralele cuurmele planelor date, pr in cele doud l in i i decea mai mare pantd, vor face unghiuri dreptecu proiec{ i i le or izontale respect ive ale l in i i lorde cea mai mare pantd qi vor trece prin punc-tele (a, a ') qi (b, b ') , unde l in i i le de cea maimare pantl intersecteazi, planul auxiliar denivel.

-Din intersectia acestor doui orizontale

rezulti punctul M(m, m'), care aparfine drep'tei G(g, g') de interseclie dintre cele doud planedate. Analog, pr in var iat ia planului de nivel H' ,in Hi, se obfine un al doilea punct M1(m1, mi)al dreptei G(g, g')-de intersectie dintre celedoul blane date. ln sfirEit, si se determineintersettia dintre doud pllci plane date prinproiecfiile lor gi si se studieze vizibilitateaacestei Intersecfii in raport cu planele de proiec'

fie. Se consideri placa triunghiulari ABC__9iirlaca patrulaterd

-planI MNPQ (fig. 4.37)'

Planul-auxi l iar de hivel H' determinl in celedoud plane ale pldcilor orizontalele care seint i lnesc in punctul (p, p ') . Analog, planul denivel tli conduce la determinarea punctu-lui (n, q'). Proiecfiile dreptei de intersectiedintr'e planele celor doud- pldci sint astfel

59

-:\:y

:lsiti 'Blsare IIrleJ uI .e1dea;p ur.ld snp leder: l lnueld nes lerr|;en 1nue1d pcrpe ,raldarp alel1u_pJralord alaueld urp Inun 6 rerJrxne ueid,:B:€d.glE as leraue8 uI .(0t.? .Fu) q uiduarp uridiTq , q rerll.qrB uu;d rrn _tS d l"p lnuu;d erlulpV allrasreluriep elduerp od 1en11s"e1sa g 1nuu1d riirq l€lderp 1u ilfcesralu! ep y inleunri Buneap-loluJ pJ prlrJrJB eJvJ

-nraaloal ap eureas uurf::, I,s ie.la*cau alsa ueld un rS pldea:p o arlurper+Joslaltrr. ap !nJnlJund ea:euru;raiap n_r1ua6'_aINVIS!II0Ud U0.IENV'Id VOOIaW .t.f,.?

88' t ' 'Elc

3\ lv ' ld tS l ldtdc 3ulNto

' ' - -

i l lSSSdgrNt 't ' f,

' ..(,J,s

,.rs) 1ag1se- alsa aueld gnop

alar oJlulp arfcaslalul ap eldeai6 . ,n,r l I , iad ,J-.yJ gJlplr as arer 'r ug rsaulllu! as ,rrl rSS olr f l relOjd .( ,e). ,aL|

!S ( lp ,rp)r( alua:nruorelaloarp ep 1ulJep 1ep ueld ealrop IE pulraptsly_?" '-(,n,tJ ,nzt) eldea.rp gdnp 1ef u'e1d e'a1rop 1e3lI ] . . :b-11!e1d'eauauaser aC

-.( ;g, .g ')V ei 'dparpTSFSUI pdnp 1ep ueJd lnur" id alB] ,O lnueldy -

eldearp u1:d snp ,p lgdel rp ynueldFraplsuor as ,a1e1ngc raliia.rp IB (,r ,.i;y'arirSs

:t11 Ir,"q^lly ?d _u.1lo p 1 e -ap - rnl ao "ea:e uiru r" 1a p:l"T:.q .:q:"1:_8"9! aler €rlurp arfcas;a1ur apj:1.1tjp-l_"_^lt_1n9, ul lls,a. (,.s's)g elf ces;airri air1t:1. i:!i 11 !-'.^ '.r.) !$. (d,n ,6ny alalderir:.Tli]r^._.s_lj_rolrastg ue1d. eo11op 1e arel alep:,":r:-,plgf elac lcap '(,r .u) J6 1,r i . ' - ; .(;d ' ,d)' \ ,n 'n) .a1a1rund ul JolJasrq ueld eapople rsaul ;1:_YI ]1-q.rp ats99y (oe._t'ElJ)' (,u',ujp' lnpunauI alrrarnruoJ ,(lg ,rg)rV ri ff ,rp;i[ alaldarp

,ap l rurJap alSa ueld Ealrop lB, rBr ( ,ru,ru)Wlnlcund ug aluarnruor ;(,d

- t)V :rS--,t,p ?)A3.L..rd"jf.. :I ll 1ll'p e1'n'ib'1 o i'i'i, r, J'.iiipii i,iuulo uallop !g-ap lar ?aueuasu ep .ru;1lxnu'ueidur pulzlllln laluernruor alda.rp pnof"algr urjC:j:l^tjJ iliYjlip 'auu1d pnop a.4urp asirasralur epraloeJp a;uicalord runf," aulurolap ai qs .erha'e

l11l Fr"Lu arnpuor rn1 ea.iezrlrln ;gsug iro jlfnrrr

lq _n_rylil*ne alda.rp pnop ieop infoi1ur ne-s:.i,J"t:"^T^:J

glsuor rerlrxne ueld 'ec roicasrq

uBlo -Balrop IB-op rnlal rrrRzrlr ln lnfeluely

-"-Y.111 llg.p__"t.r arlx!p arlcas;a1ur ap eldeo.rpy^1:..,!,lnlnp? lrund Beltop 1e aisa'_ (,1 ,t)if l l tyn,d -. alfcasratrur rorpr e ,(,e ,L"' , . i)rs (,d,n ,do) e1e1da.rp ednp :ol j lsiq uerd:,nljo.q,f:,"lBl :lBp aleueld rrop ,(,3 ,e; i6'1,.r, ,,r;' ( ,0 '0) '( ,o':) alalrund ug rolcas'rq uelh r ialroII:.."_t-","1J_tyl

ro rs rV 'q ,y jldai$ nrieo Ji"j^:-TId

pnop elar erlurp arlcas;aluJ'ap ri ldarp 1ilrund un elsa W lnlcund .]urpr^E .( 'gg I .EUl

(,_t iy)tg IrunO rselace u1 J1'eoJ al"riarnouo,^! ig,_,s] 'V 'go, 'rp)ro rs (,s .s)V ,( ,p,p)o?lalderp ep ,lr1radse.r orerarJ airur$p'auei,i pliri3-l-..r..19 -rolceslq uuld ua[op 1u_-ap 1ar jur;rxnuuulo uf, pulzlllln ,(,ru ,u)W

lrund- rSeleJi u;ily.iliri_r^_"1derp pnop. al;r u;rd ererajl 51;u;5aj:::t9, ry.9p lrlurp ariras.ra;ur ap 1e1iia.rp: dj;ji

-le!o.rd euruJelep es pS .UVI-IIX'V NVTd Vf,roo uorcasr€ rn-rnNvrd,vadV2iriihT, d,i

?9--l:ry" atrsa plfces.relur, trlprrrrqlrn .t"fifil8re:a1e1n:1ed eceld aleq-prfs gi i i i i i {run,r i eca14"(, n, zl, nri) eaun r f iod juridr'as ird,'uip t1,il,,;;j

cg't, 'Fl.I

. \IJ

: . \d\

t1d , t

i i1, .1

-;{.\o'* (9

" fe(1ta-r l in ire o- drcnqt i .ST t ln,plCi l necesit iintotdcauna lrc i opera! i i dest i ipt ive, l i a- iTume :

i ducerea planului proiectant pr in dreapt5;+ ffectuarea intersecfiei dintre pl3nul dat qip lanul proiectant;+ efectuarea intersectiei dintre dreapta ini-{ ia la; i dreapta de intersec{ ie rezul ta ia.

S[ se determine astlel proiecf iile punctu-lui M (m, m') de intersecfie dintre o dreaptioarecare D (d, d') gi un plan P dat prin urme.Se duce pr in dreapia D (d, d ') planul auxi l iarele cap[t QQ', care intersecteazi planul P dupldreapta (hv, h 'v ' ) ( f ig.4,41), La intersecl iaacestei drepte cu dreapta D (d, d') rezultlpunctul M (m, m') in care dreapta D intilnegteplanul P, Analog, se poate considera ca planauxi l iar un plan vert ical , dus pr in dreaptaD (d, d'). Este util si fie considerate citevaap l icaf i i

F Si se determine proiecfiile punctuluiM (m, in') de intersecfie dintre o dreapti verti-call (sau de caplt] qi'un plan P dat prin urme.Planul vertical qg{, dlis.prinverticala D (d, d')paralel cu urma'or izoptald: 'a planului P, inter-iecteazd planul P dupl oi izontala (8, 8 ')riig. 4.42). Aceasti orizontal_d intilnegte verti-cala dati in puncttrl m (fi : d, m') ciutat.

r.ie +f,fi

Analog, planul de capat QQ', dus pr in dreaptade caplt D (d, d ') paralel cu urma vert icald-:F'{ planului P, intersecteazd planul P dupifrontala ( 8, 8') (fig. 4.43). Aceastd frontaldint i lneste dreapta de capat dat l in punctulM (m, m' = d ' ) c iutai .20 Si se determine proieclii le punctului I (i, i l)de intersecfie dintre o dreaptd D (d, d'), paralel[cu linia de plmint,, ;i un plan P, definit prinlinia de cea mai mare panti A (8, 8') fafl deplanul orizontal de proiecfie. Planul de nivirl H'dus pr in dreapta D (d, d ') este intersectat dedreapta A (8, 8 ') in punctul A (a, a ') , pe undetrece orizontala G (g, g') de intersecfie dintrecele doud plane: planul H' gi planul P, def ini tpr in l in ia sa de cea mai mare pantd fafd deplanul or izontal de proiec{ ie ( f ik. 4.44). 'Pro-ieclia g este perpendiculard in a pe I Ei intil-negte proieclia orizontald d in i, care se ridiciin i 'pe d ' . ' ! . "

: :_:* : 1. . , ! ,

30 Si se determine prqiecjiile punctuluiM (r, !I') de intersecfie dintre o dreaptEoafqcare D (d, d') gi -un plan ce trece prinlinia de plmint pi punctul A.(a, a'). Planulde capdt QQ', dus prin dreapta D. (d, d'),intersecteazd planul dat dupd dreapta (r,

"')(fig. 4.45). Aceastd dreaptd intilneEte dreap-

tFig. {4s

i

!

,d5

61

z9

!:-,0_O alaurrn leulurralop ne-s g ,6p.p ernFlg1l_q-. urnda u1 .g.rnda ad' 1epa.r' nii.' rerfcas-ra1u ; ; ; f p.1 ; I !qtzt,r I n tpll.S .jrrri,y

"rrio- alEq ̂prls

?g"y-:".t-9_arur .ur, (,n,* rtr) i'aun ll.roO dlOhrpplspacu ulp au;far eg .rcpld gnop .rb1ec lieuelit:jlyjt :.fn:r,"ryl, ai .sb1?taip n1i'frn'rri pu,*njly_rl a1fcagr9ru1.

"[.sa1?r'r1p "rli*l"rj'pi,rli ' ' '''-" ,a\

.-.l.|l_t! _njtt (,d.'d) !S (r, ,o;'aleiSrind-iilcJada, . ,

nlil li ririi,Y*'F$:;,"$ iv,rd;*lr.l;j i'&d':""'?,.iii{rtTen t- il,t'i'$ "iJi#x!,.1:.T_'T,Tl r$ (,I,d,ud)-iproi:i'aj;;r"n;,"; e1a;de.rp.ap l;u!1ep ue1o. rin'i$ f)p ,'pt o'..,r,ljlllE

'!r.'_or1;r;1) a.Nw I's bsv,;i;i6il,r; ::::g^I11"*p o-iriusp isfcasreiul ap (,ur ,u) wl:1.t*g !r.'p;1.;sir.qNfi,lfffiildJiil;LliJ ::::: noy*t ."._':i,'il"5ipl,l,,ii,';i (:Lq,il;la.llJ9l,i a1g 'a;fra;o-ro--ab ajjuLlo ;jlff;l ;n;nlrund als;fealojd iu1ur.r5lnp as FS o9lu! lllsesrelu! Itltt".:,,r:i:I[qlrti cza;pri1s as .,p--:9,_,. u,I pqpi, ,r'"rr" ,,

"JltioIi;;'3p,[ttii::,gif,"ili,li::l,f':ll*":] iri**lin"J,',",$fi,#t',y ;i;,'.,$:1];I .(e1ec11ra,r erfcarord ugr -r

Ll cllorcl Fu!T:1lep_a.s :(,t .,q) [ lqdei jp niArJi'[

ifiJ:$liif{;r":lilt",i*;t;t 'm"r,l,,"x# tq[[i,"{ii,t.{J.,9:,,il,i"Jxt";lj;",1ru;i,{',"#ii:',1,":,1i""x'i1lT;i',;,'#H,j:'i['ii ill[T5'?,l"ili1^:ii":jBlJ',f'3kigrii*",il,,::,*i1 1'jrv' 1i'vl lrr g iecrl:ir, 'r"i"i,i:il illifi,tJlJi;:;",",r#f ;it{ft",",f fi[:Pl.Barp uJrd arnD a1;rjy-rrigniqrun;!-1-lnure1o ;drilil'pld:nr? o,errulp (,u, ;,u) 1iy agfras.raluge1$au1l1ur ('p 'p) o u;c;i1l !+" ;r (,;.':)

ry illffijild a1;sira;o.rd iuluralap as es ofllnrnlrund

aJ;rfea;o.rd erirur.ralap '"J -ps .s ' '""'nii',r.-

j)_a^tlcasrelur op eldeerp Fururralru* j:",:: r 1 ry?,,, r t, g!! #!Hii rl:,}j : rffi i:l1;'itl;L tJ,XJ,l ti ffi: ;iii I I l##r'oeJp Bllrasrarur u1o_ ,(Zr r 'Fri) 0" tlld!.g ;i'iul,ira ^rip e;u!1 u_1iu

"'rari-"r 1nue1o u! rgr$zualcasralul aiaie:e-d-.tr9-njp qnop'a1ir ri:r:l t(,g tg)^l^Bdbc ap gldearp o i 1nue1o uJ pururi('q 'q) g rs ('s 'u) yr -roldlcirnd 1,iio1niu,nj -i5jap aric ,!,.r!rn,pund eloc pr snp .,H re^ruElBUrurrelep '(. i ' .) a;fras-ri1ir; ap eianaip gonp ap '.rerlrxne J.nurld yzeazriqn is .aueltr gnop0;e1e:ed olda:! udon,^1:lo?. ln, a lnur,d .u:j:t aiar ailir;p 9il=:j.ltlii ,p i,i..e)

,e1oeo:p aurlqo'JeSr ' lur { ,p 'p) q eldear i r ufu s i rp, f6-11noee

" 'nr1u54' . i * , ,u) ry ln l rund uJ ( ,p ,p) o e}

I

IIItIi

|le;-sec-palelehinatd1,. b'),Ftpaza(]rep-lel i i le

guluihreltelaptahn seh"up-DinI d in

F, E,ldouE

'gi sdEin$ci lehtrul 'n ' )planeiht inbter-htrehstdA8CIter-id inls i

-

ilr/n|'

Fig. 4.50

63

RR' ale planelor pl i ici lor precum ;i dreapta lorde intersectie (hv, h'v'). Alt exemplu eitei datin f igura 4.49, c.8o Prin punctul A (a, a') dat, s[ se ducfl o{reqnt{ G (Cr Cl) care sI intilneasc[ drepteleP (q, d') Si A ( D, 8') nesituate in ace'lagi plan.Se determinl punctul M (m, m') de intbrsectiedintre dreapta A (8, 8') ; i planul format ded-reapta rdmasd D (d, d') gi de punctul A (a, a')(fig. 4.50). Dreapta O (9, g') care unegte acestpunct M cu punctul A este solu{ia problemei.Pentru aceasta, se duce prin punctul A (a, a')paralela Dr(dr, di) la dreapta D (d, d') gi seuti l izeazi p. lanul proiectant Q' dus prin dreap.

-ta A (8. E'), care intersecteazd planul celordoul drepte paralele dupa dreapta (bc, b'c' == 8'

- Q'). Rezultd m la intersecfia dintre bc: $i..0, care se ridicd tn m' pe 8'. Unind a cu m qi

a' cu m' se obfin proiecfi i le dreptei G (g, g')cdutate. Ca verif icare, proiecfi i le s gi s' alepunctului S trebuie sa se glseascd pe aceeagil inie de ordine.9o S[ se determine pgoiecfiile dreptei G (g, g'),care intilneqte dreptele necoplanare D (d, d') giA (8, 8') gi este paraleli cu o a treia dreapt6E (e, e'). Prin dreapta D (d, d') se duce un planP paralel cu a treia .dreapti E (e, e') pi sedetermini punctul N (n, n'), ln care acest planeste intersectat de dreapta A(8,8 ' ) . Pr inpunctul N (n, n') se duce o paralel i G (9, g')la a treia dreapti E (e, e'), care constituiesolu{ia problemei (f ig. 4.51). Pentru aceasta,prin punctul M (m, m') de pe dreapta D seduce paralela E1(e1, ej) la dreapta E (e, e') .siplanul acestor doul drepte concurente esteintersectat de planul de capit Q' dus prindreapta A (8, 8'), dupd dreapta de proiecfieorizontall q, care intilneqte I in n. Rezulti n'gi proiecfiile dreptei cdutate G (9, g'). Caverif icare, proiecfi i le I qi l ' ale punctului I de

tJ .,'-:Fig. 4,49. c

' : j

b)

lotetseclio oldeilopn' plqnc triuaihiulorc

7 P^':n athrntboiia't", planuluiverlibotdi

:i :"$11ld.e sc11qg slalered eyiralo"rd pungeJ n ellnza.r ,rn1nue1d e d gleluozro'uuuh Jtj::::]::rold as d rntnuptd alplcund aieol arfenlrs

t9

'ty__nllcedsar ,l$

rO ala1de.rp ulrd X 16 ,6 a1ue1-roro:d alaueld cnp )s l.l 6 rirlnueld-a 1)awin ezeaz-ll[ln es nu BlsBorE nr]uad .y ri q'a1ua;f,cuocalda:p pnop roler 1e 4

=1.nLie1a 9-rulfrnrr.1u,

ilV .:,t::d::r l: -'q. ai.,1c5:p 'onu" -;i,u ,ui niI( lP ' tu)_W atalound purur-1a1ap aS (ad I .Fl i iV rs q alrrJrnruoJ a1a1da-rp op l iulur:aiapd 1nue1d nrrelale:ed alda'nu-'ry ig r i l dplOJrpulp Bun lr lu gr aundnsa:d ag. .a1ip'r iCe.ri

lil:d i!'1 "rsueutllu! Bs e,nJ tla 'a) ! aioajrlSun ." a1;;ira1o.rd Suruua;ap es BS .irera.lso

lj! .,'S ) 'v. ls (lp 'rp) Io e1e;da.rp j5 a;uarnruor11S g/ V_ !s (,p 'P) O alelderp Rraplsuof, aS o0I

. '(,F ,E) g eldua.rp al$ eueld gnop ,orrSrEllcrsJelul .E eldea:p no 1a1e:ed ueld'un aJnoas v Blderrp ulrd .g eldea.rp nr laterbd uerbun arnp as g eldealp ulrd :1ag11r. iS epacoid:1":9-:9.""1pLo ap alurr lsteacri '5d b1en1,, a11qs alnqarl C !s D alaldatp ar1u1p gi'ua.rncuo5

plseaJB IJJ ocaJpoaq .arf-oelord

"b tetuuzrto

lly.tl^. _ed q Jalda:.p e ,glecJpur erf5ard.rd pOhpF:ttqo plelerpd elfcelo:d p1ulza,rdal q4 eldia.rg:11?,1.^FQ a 1n1nue1d. .alaluluorJ n'c' ajaJe.ret:JtlTrl,"lrlqo,elelerud aluelcaroid er Fale asIs (,P 'p) q eldearp ad ap'(,ur ,ur) W rerlrqrell1lg un praplsubc ag' .jle1e.rud "rarioaro.rdppolau puJzlll1n .aur1n u;.rd - ;up j '

lnriuloT:1111*i !p--:ql o ulduarp .orer'

us, i(," ,n) vltllyld a1;1fca;ord eu[urel?p es' 9i' reJtsyS jJ.,l^t:p^jxg_yt elatpred ru ui"rd pupnp'f 'a&

aurfqo as,player'ed,, ericaloicj ul'p puiuJn.UA^-PI_t?lt*n eur;n rg.'a1eod a:er) pldearp^]P^,ry ]:{tJqre pund lnun B rru pralereil

,tJl,1 j"{:j^, d,l$' u s i u 1 uo_7 1;o uru : n u r:d^ iu nea pfl.ll- 9:n l :p plelered erfcapr6 .orfoaro.rdp. Iqluozlro 1ilue1d ad q laldoiii e-tp rjiard:eJllilqld -ed J$ 1n1nue1d- e 6 piuluoi,r?r'"i*rn

' ].",ji::t.la1_o1'd'ls en a 1n-uelir h, .s- ,nfonrp-a11cas1alqj ap V lnirund .pl5lerudiricarorit

:::3_",q'(.sS, l '3;1) d :rnlnurilo alaJelioij nr]lnl^t^l-l,-E '8) q ulfcerrp prepisuo'c'ei pli8a:1.,.:lyl,. alllferado giepofol pu1"1g11'Orurc_11.._.yl ,tS p+dea.ip o arlurp ar1'rairalrir apeua.lqord , ?iuljnsn nr u,rlozar'iod 1ig11eapzu1sa+--e+|eep1d, 1$ _^er

_ -p 1+1e.red qi.g, irya'ralvuvd fiItlcitroud voorsw",.vv.vr rs r v u vu r. Ir4r, lrJtudd vuo.Lcw .3

V.Vl r t ' ' r ' /

31J ,ii^s, :t't9,:u .o'l3l,,l?Hi$"f,'#,U$ ': ;V_ ,\nradser. rS Iq

..ro1etrdaip ele n,jrjrrnlirt .| ( ,u 'u) N Is (.u ,.)tV i lal jund "1$jun:nrr"f .L) ? e1lyaiq .rg 'ad u'u! p.reoqbr

", "rn,t- 1J-_ig alsaulJlug tetl Jer ,,e l$ ,J nep e

l_ IgluuV 'Ip aO ,* ul pJlitr os orur ,urtp a1$au131rrg i;-u.re1 iq r$ i frril;q is,n inglry

as'a '8lc

I9'f '31g

lncgi. f l t ,

g'),decuS-

stdalpef iade0t-l ia

care dreapta D intilnegte planul P. Frontalacirei urmd orizontald,este oc dd proiec{iile

aa

:i a';le punctului cdutat.

+.+-6. METODA PROTnCTTET CENTRALE.-lceasti metodd se aseaminl cu metoda proiec-iiei paralele, care derivl de fapt dintr-o proiec-tie centrald al clrei centru de proiec{ie (., . ')c:te la oo (infinit). Dacd se considerd un centrude proiectie (., . ') situat pentru ugurinfd peurma verticald P' a planului (fig. 4.55), atuncipunctul A de intersecfie a dreptei D cu planulste proiectat central in at pe urma orizontal5a planului ;i pe proiecfia centrali dr a dreptei Dpe planul orizontal de proiecfie. Proiecfia cen-tnald d1 a dreptei Dtrece prin urma orizontald ha dreptei gi prin proiectia centrald a unui punctflarecare al dreptei D, care poate fi sau urmaryerticali v' sau punctul de la infinit aldreptei D. Revenind din proiecfia centrald, seronelte 81 cu {d gi rezultd a pe d, proiec}ia ori-rcrntalS a punctului de interseclie cdutat. Si se*termine proiecfiile punctului A (a, a') in care*rapta D (d, d') intilnegte planul P dat prinrnre, utilizind metoda proiecfiei centrale. Seoilege ca centru de proiectie punctul (., .'),

situat in planul vertical pe urma verticald P'a planului (fig. 4.56). Punctele planului decigi punctul A (a, a') vor fi astfel proiectatecentral pe urma orizontali P a planului. Pentruaceasta.se duce. paralela (<ok, co'k') la dreaptaD (d, d') Ei se obfine a la intersec{ia urmei Pcudreapta kh. Unind o( cu o se obf in proiec{iile agi a ' ale punctului A.

4.5. DREPTE gt PLANE pERpENDtCtJtARE

4.5.1. DREAPTA PERPENDTCULARA pE UNPLAN. TEOREMA DE PERPENDICULARITA-TE: o dreaptl un plan are

pe planul P (fig.nit de verticalele

65

Fig. 4.56

ItTIItt . (,-1 '1) 1 ;n1n;;r^ etp^(,R lR) o r lqf,nu raun[i li::! g{ prrlrsou nf, c ; q8rinlo'arpl4'nrpurl I nunffl!lr3lor0 ?rsErnrlsuor as pf .SlHgNnldguo

lur nuo:rur rnNn vilcn-tisrrrbJ-;t;i[ l i ,^T l ]T) lqi raldarp alrr irero:d ur:d gleuru\

E1!:J3p:"i',1*'i/ o, J;"' "iJ5330'"io ;!fi."'#fr9ln!.n, nc aulfqo es a:er ,(,L,!t

I 'pi lcuriO

F !,_p lg) q uldearp ap letrasrelul eisi ,j4 uelclP?Y._!09,t

'El) (,p 'p) o ptep bloeajp-io ti1f1lJ11di.d.,64 1nue1d (,ur ,ru) qi lnPrind ur.rciPnp os (,1 lJ) J rr leluorJ 1n:o1n[e n1 .ra rotJPlxe (,tu 'ur) W lrund, un-J+.urp psnp ",(,p ,p) Opeq ptduarR o ad (,s ,s ) y e.rdlnriiiuad.radf"i 3uj!3"_lo-rd prsusn4iuor is gs jyrdVaUoI ga vuv'rntroNsd\:rd yrdvsua,8.9.r

I ,il&,I

| . * ' ' | t

r f i l

99

ir,, l, . q jt *,,r " *o.,?i{,i',.'#, 3$ :? li i ?,T',tj:$ao ArlJJdsJJ cJBJnJIpuad.led eJes a;'aurin pug,re',d4 1nue16 'g

ry riolBrpd4 plejuozl.io nrurn acnpas a;ec ulrd , '4 pl lnzag :1u1npi rnlnueld i/d plpJrlJa,t BurJn alsa ,p ad ,n uJ psnp'BJBJnJrp

;Tq1iq '/^ Flernre^-erii:n aje Ri_i 1!ru1 1.11r,j,: ::)' y rILlTd ur:d. esnp _a rie jo ,,iinro1,r,r, u( ,9 'g) V vpluozlro-(69.t .Fg) leingc rnlnueld

:_fj.",lTrl"rdred gldeJil o 5o 'rlnirs'(,1 ,njvr:l]Ylj-:19 'Ftyp (,p 'p) q plduajp o ad'rulnrJp-uecJed e;sa 13 (,y ,n) y lnlrund ulrd ararl arurgnlnuzJd alp ,d tS a lt:y1 au.;uraiep as pS :VI-dvauo o ad uv"InJIqN:IdUaa rrivra .7,.g.,

-npr (,p ,p). O la.leyncrpuad.rad,al,,lrnlorO ,r1"/q'Jas rnlnueld elaruJn ad .,r, l1cadsjj".e'urn lS euIp alerelnrrpued;ad pulrnp ,[rJ]sy (SE.l :.SU)

i ir i i : ld ale ounu r$n1a:e ap 1i<i iaurn'nj, i l leripdd nBS) elaurrn ad arelnorpuad.red ar; qs' i i1daii ,elrr icalo:d ec _;epe*e JBsaJeu aisa

'uetO'un ed

qr:]x"lpyaqrad ar; gs eldea.rp n3 ."ruri uJ"rd lupd^-!:y"ld ad p;e;nrrpuad;ad ilsJ;S (,u ,e) y 1n1-f,uno-urrd areJl arpr (,p,p) q ;blOarp'ai;1i-rap.ld oururelep es pS .,,;fr,p fS .a-1-.p urane

li _ i?!: q:., _.1sa 1 n luJru eijo 1 1ei' e J n15'1u 1' -nu. p 1-eJr+JaA BrlJeroJd n:1uad ,e1e:lsuourai 1a11se alsaBrrraroal .D lnueld ug plnugluo-c gldeJ:ii c alsa

"j:: .:p_ Fl"_!ug:rro e rire ro:d ed r3' pre t h"rpu'ed-reo rJ BA Ba ,D 1nue1d ad p:elnclpuadiad'a1sad ylvluoztro Brrrrn un3 .ue1d

lsare uJ p+null-uoo gldee.rp errro ed plelnojpujdrad aisj'un1ciun ad grelncrpuad.rad pldee.rp' o p, pra i,1S Jg'd.ylvluozlJo errrJn elsJ oJBJ ,aue1d rolsere eelirasralur ap eldea:p ad 1S reynelpu"OiSO .1r,D IBcrlra^ 1nue1d :epeSy .g iuli'oz1to lnurilded rs lgr 4 1nue1d ed 1;pi wlnjrfuadlaO ilse i$

:orneihtrrte-hrceicu-FSt

l inFulFtuFr-

perpendiculara AC pe planul$ P. PrinSAC seconstruieqte planul Q perpendicular pe dreap-ta AB, conlinutd in planul f.

In cazul problemei date, se duce planul P prinurma h p-erpendicular pe dt ( f ig. 4.61). Rezul-ti P,, , iare unit cu v' di urma verticali P'.Din i ' se duce proiecf ia di perpendiculara peurma verticali P' gi astfel dreapta Dr (du di)este deierminatS. Prin dreapta Dr (dr, dil seduce planul QQ'perpendicular pe dreaptaD (d, d'). Dreapta G (g, g{ de intersecf ie dintreplanele P gi Q este a treia muchie a tr iedruluiciutat.

4.5.5. PLAN PERPENDICULAR PE DOUAPLANE. Si se determine urmele R gi R' aleplanului care trece prin punctul A (a, a') $ieste perpendicular pe planele P +i Q date prinurme. Planul R este atunci perpendicular pedreapta D (d, d') de interseclie a planelor P;i Q (fig. 4.62). Fie punctul A (a, a') pe fron-tala ( f , f ' ) a vi i torului plan R, a cdrui urmaorizontald. R trece prin urma orizontal5 K afrontalei qi este perpendiculard pe proiecliaorizontala a dreptei D. Rezultd R* , de unde seduce urma verticald R' perpendiculard peproieclia verticald d' a dreptei D. Se poateproceda Ei al t fel , gi anune: din punctul A (a, a '):e duc perpendicularele D (d, d') Ei A (8, 8')respect iv p9 planele P ; i Q (f ig. a. f f i ) . Planuldeterminat de dreptele D ;i A este planul R

Fis. , a.of !- l

clutat, perpendicular pe cele doud plane date Pii Q. Urmele planului R se obfin unind respec-tiv urmele de acelagi nume ale dreptelor D gi A.

4.5.6. PERPENDICULARA COMUNA A DOUADREPTE. S[ se construiascl proiecfiile perpen-dicularei comune -G (g, g') dintre drepteleD (d, d ') qi A (8, 3 ') . Se poate determina:- direclia perpendicularei comune;- perpendiculara comund ea tnsd;i (pozitia 'perpendicularei comune).Pentru a determina direc{ia perpendiculareicomune se duce planul PP' perpendicular pedreapta D qi planul QQ' perpendicular pedreapta A (fig. 4.64). Dreapta de intersecfie(u,

"') dintre aceste doud plane dd direcfia

perpendicularei comune dintre cele doud drepte.Pentru a determin a pozil,ia perpendiculareicomune se duce prin dreapta D (d, d') un planRR' paralel cu dreapta (u, r ' ) . Pentru aceasta,

{'Fq 4.63

Tlril,'

o,

,"rsuJ dfudrP qnop ellJ UlJdp orlresrelur op ;alda.rp jllrf

plr as elur s u! p Rleluoztro erfrarord alSaulglur rue

:: ' j j"^ :il l?t"rd '.(,e,u,Iee) uldeirp eonp iep-ue1o

l ,p 'p) O uldea.rp ur:d s-ni v ^ : ' r-r

'.-t','"'1ji;li!'ij#iii;$if,i5'".'?J'Hii!h:1?3rp

'J+Eu eldJ JBJrlral r$ luluozrro gz-ealcar6id aiecll"r,:r^..:".?l{. J dg--.{.9 u11i. pnop are r rxin,.u, 1d

- n,

' : ii,i?" "s .d; - ;" ;;i"i," i',r ill Hrffi , Xi :, i3:,1S"::, r r r : . ._" rJ ' \ t _ _/ r t l r r tvsrrs uJ u+udJuJuuJ"8) 'V ls (,9 'g) y a1e1da:pap lruuop elso ueld eolroprBI '(,uI 'tu) p lnlrund u3 alua:nruor (rp .rp) IO

!,Y,'y]S,,:l.lgp. _utrd ltultgp alsa ueld rnrurrd(,p 'p) c a;a1do:p utrd ._llyJtgp .1." uuid' 1n',i,r6orl) le^!u.ep ouuld nui .rolairdid'ereurrn or, ' , ,rr 'o1,.,,ljf il":?-.j-',l g 1.y1 ..1 9 g3riu iu e 1 n,i,, n

"r'[1 n' n ]ill11L..:y ildp "1 I' u ; jo

", finli "r r "i ip' jiiJr j pi,;risrelur op ;alda.rp all;fmrord euiu.relap ni pl .i

r'Jner l'luozr:o lnluaur;ag .p n, u,i"rrrSltii;i.,l?YPI psnp s_ ur.rd elayered .eaueuase aq .g nc erlcas

lul BI s eurfqo es p er erole-red r, ugro iuJr'n[.1r1"g,nluaurFas B (,p ,p) ( drfja:rp pdnp (leluozrio f n"u,li,i notr,p ,pl c rjriia.iift;"; (i,ftfiillH"Jr1ruEi99'r '8tJ

99 t 'FIC

89

;"t!l:" -Pt:].::.:d-e;foa1o.rd 1de1 ap alsa rs1

lnluaur;es .Bs rS-s uI d eu:n elSauJrrurs,ni ot, i J ;' F; t ft? l# '#1"',ff ii,i llyf :d. [:,T ? r ;;-uozlro Frurn rruRr_B Jnueld pupuralap rq iS y- e1a1de.rg

_o eldlarp et (lp 'rp) rq e1e1e.rad lcund lsace urrd ernp

il.. lS, !S '8) y eldearp ed- 1en11r. 1,ul ',f-q'r"r1,qle1:11-d un Frraplsuor aS rgs..l .drl) ol?p oluornruorauSIBJAJPo elalde.In ( o .ol

"r.",;";,riffi '":,!,%Flilfrp"&o,".,i"0,;"l,t,o",EH['1 plup aur;Eunl ep gfdeorp gf juaru';es ln lr.enrpa n. pg'(,s 'g) v ts (,p ,p) 6 a.rirejuo

"1.1onrp'!i"fi.u,ii n5 "5

;'#li,'"",ii',"-i'lli;l'tlv:'{i?i!fi irlri;E''illi'J,?l'l#i'jiJ#i ry;- ,ri#Fiiil t',li' Hjr i#f :'i.?t ri Hilalse rauelqord u al in r<: Let ?_ j ( i ::l' #, ;' i il " 1 ?; . [H' :.$ti_o !E,,rq # *ii,, i;; ; fl'lup gnln;qFunl.rr alfinrrI,r bp l"rrp'u"p 1'rF" njrn";s g 1nl-rund u;.rd arari ardj ,r'uuld uri ;ui,u.iait;r-ii.t,prg5..,lrund 11u un ;6 (,r ,rJ

?_fs (,q ,O S ,(,e ,u) V i lelrundap lultap lnJqauri;.r1 !ip!suo'r'es' j .iiivjlia{ ls:i

^-- _^ _ (,p 'p).q eldea_rp ad 1en1rs ,pnnpn\-ug'"

3il,i"u?i.1;:Lt : "').t

1 n ,cund pr i p e tu I'pro ap

*,'ir,'1yl 1, g"'d'5 -r: tH.,"J t jlB,?)",o .i lt :,i3In lnlrund el l l fcalo.rd .ate51; l . lan n3 lp1"1np,

lynyor u:ulncrpuad.red alsJ' 1.o ,.i ,ili"5rip!l .._{ inlcuno u-!rd_ , Fsnp, (,d',a)ri nlblnrn6'!t. '.) qr lnlcund ry (,S ,i yy eloeirp nr'a1$ei-[J]uI as a:er eldee.l9 j(,r,t i . ;cq)'arfrJsra]ul ep11de3;r rdnp V nrgnllp'irr:A ,;il 1njiffi1nuu1o:l j"lp.l,"fa ueld lsere Br g,r-reiqo'ag..i," ,'";Il..J:p,'?) g,e1a1da.rp ep lBruroJ inse'id 'blSa,i

-lill& (41",*J Y, :ldiy?^p':t yi"\,{',.,) w rn}

n",; ;"n,0 6' ;i o";,'; f ge 1,, "", !i"o "/,1" J,{i' "J,:$

ffi

incit punctul A este situat in mij locul segmentuluidreptei A cuprins intre urme.

5" Se consideri punctele A (a, a') gi B (b, b') qi dreaptaD (d, d'). Si se determine un punct C (c, c') pe dreapta Ddati care sd se giseasci la egald distanfd de punctele Agi B. Toate punctele egal depdrtate de punctele A qi Bsint si tuate in planul mediator al punctelor A qi B(f ig. 4.69). Se va construi planul P mediator al puncte-lor A Ei B. Pentru aceasta se duce orizontala (g, g') prinM (m, m') mij locul segmentului AB luind gJab. Prinurma verticald k' a acestei orizontale trece urma ver-t icald P' a planului, f i ind perpendiculard pe a'b' . RezultdP* gi urma orizofltal5 P perpendiculard pe ab. Cu aju-torul planului proiectant QQ' dus prin dreapta D (d,d') se determini proiecf i i le punctului C (c, c ') undedreapta D intersecteazd planul mediator P. PunctulC(c,-c') astfel determinat idspunde problemei date.

6" Prin punctul M (m, m') ale cirul proiecfil sint con-fundate, si se duci o dreapti G (g, g') care si intilneascddreapta D (d, d') situati in planul vertical de proiecfiegl dreapta A (8, 8') situat[ in planul orizontal de proiecfie.Paralela Al (81, Sj l dusd prin punctul M (m, m') ladreapta A (8, 8') determind planul PP', care este inter-sectai de dreapta D (d, di) ln punctul S (s, s ') ( f ig. 4.70).ln s' pe d', Punctul S (s, s '

secfie dintre cele doud planeln s' pe d'. Punctul S (s, s ') apart ine d

. Analog, planul de capdt Q'ine dreptei de inier-

dus prin dreapta q (81, 8i) taie al doi lea plan dat dupd

insdqi dreapta A, l i taie primul plan dat dupb dreapta

(bbl, b'bi). Proiec{ia orizontal i bb, lnt i lneqte proiec! ia

orizontalit 8, in r care se ridicd in r' pe Ai. astiet dreaptade intersecl ie dintre cele doud plane date este (sr ' s 'r ' ) .

4o Se consideri planul P dat prin urme 9i o dreaptiD (d, d'). S[ se determine planul Q care trece prindreap-ta D qi care se intersecteaid cu planul P dupi o dreaptiA (S, S') al cirei segment cuprins intre urme este impirfitde dreapta D in doui pdrf i egale. Fie A (a, a') punctulin care dreapta D (d, d ' ) intersecteazd planul P ( i ig ' 4.68).Paralela or in a ' la l in ia de pdmlnt dd s 'pe urma vert i -cald P'. 5e atege v' si tuat

' tot pe urma P' astfel lncits 'v ' : P* s' . Pinctul (v, v ') astfbl determinat este urma

verticald a dreptei A (8, 8') cdutate. Se observd cd intr iunghiui P* vth' dreapta a's' este l inie mij locie, astfel

Fig. 4.69

Fig. 4.67

Fig. 4.70

- i l r

69

I

II

I ll^!_d,:_|'Qrc) alaleluozrro gdnp. aJlcadsar aueld pnopI alsare Bzeollaslalu! ,3 ln1n1cund eior e1 snp .,g p,rrir

I li"i r"'ii i: ".i'!o,l'?,".":5) i6"'i. ;? "11 J: ral ;" i,: j q::iI IIIg{g ap pldearp ?nop E-ap Bar ap li' (,li'i'tnjrrina ni,I llul]ap 1nue1d rS ueld lsac'a arlurp- ailcaij5lur 'af raloarir; elgllraro:d Btner as Is (,q,! ,qil ' is t,b,l ,ui;'e1j1o'ejp oiI l l1ry.p e€uaruase ap elp arec ueld ',1,q,e';qe)'ir1o:i

ai,I :ld:3ip^..8_1s I lnlcund ip ilulJo'p lnu,iio Lirlrii ie ua;irI 9, t l aS ' (?l , t Erg) nrfeds i rJ rprpqre (-r , r) [ '1;rund r i rr

liG:r]':,,i'"uii9:;}y?,i:i,rf |g?13,";td'";,"0,31;I ln_uytg e,z|.tv e p.rp| ,1;3ojd 5! iru_1rt 'jseioru u! alenlsI l,:,?

,ar) tt (,9,p ,qu) ;r1ord ep-a1agi:p'erjup "ri""6ra1iii

| "R t,tu 'u) 14 lnlnPund a1r;fie;<i.rd arirrur'a15p os pS .01I

.(In,rs ,r,ru) 16 q :o1a1darp a1uI

aunu tselaf,s 3p alaurn irrlcadsal putun cseseS es aurn

I InlPr. olP 'd +BlnBr 1nue1d pulur.ralap (r ir ,ru ,r,rul) r i

I (lf

.I]..9_.i:i.It"9?-a1a1da.rq .J +uorj ep' 1nua1d n: rsI ; { 19{ lu ap lnuEId. nr 6.1n1nue1d a1i l f . rasre1i . r r u lp alp} lnzarI 1:l^'{l PleluorJ ts (,9 'a) eleluoiiio urrci irlcio as orerI ! l lr0rlp 'O rnlnueld rolarrrn e1e a,rjpadsii 'elrrfca.rrp

I np plr l arnp as ( ,u,ru) ry ln lcund ug th,ru ' , rnru,

I erelncrpuadred '(€/ t .Fll) rV 16 y alalered alderp pnop

J "l: i : l ieurroJ. O .lnueJd ad (jn,ru ,rnur; e:elncrpuetlI :,. i i^9]ip as '(,,p 'p) O slup eldaa.r-p ad ap (,ur ,ru)q1

I aref,orBo Jr1:und urq .b gn;nuu;d' alaurjn'ezti l ln e

J PIPJ '(:S "S)-'V tS (,9 'S) y a1e1u.rud aldarp pnop ur.rdI lyt,-q ;nue1d ed .ru;nrlpuad.red elsa r$ (,p ,p) q ulduarp

I aulluor a:er rn;nueld a;e ,4 ;6 6 olaru.rir ,,ili"r'"i,ri, as ps

"b

I :ll:.':^. "l:i (,q,y ,qe) eldea.rq .(,s.,s) y rrr:d .,il:t;ilI l .n-rtlr1n. 1n1nue1d yn.rolnte nJlnuilqb't lq ,ct a InlrundI : r

( ,s 'g) .y eldeorp ap l ru l l luJ 'a iso",44" i i t r i isar1.i

' , \A_1.! , d iJ) ( rp 'p) q eldea.rp ad. repr.rr pucd.raJ ,44 1nue1d' 1, !_ 'p l q c ldea:p.ad ap ( ,u ,e) y ' ln i iLrnd , , r i ' , r , ,p ,s'c_-uldtrrp nr uu;d 1$e1ar'.u irg,also iru'.ajer (,S .i) f ql.jnrriiplle o od grrrfr.rds es oreJ l$ (,p .p) O pl;i, ildiarp o srtplle o od gug[;rds es orer l$ .(,p

,pl O plbi, p-1'Oriaip o siteruynrrpuad;ad aldarp raun airrijjro-io p-rrilnlsrJoris pS og

OL

8/ t 8lc

tL ' , 'Etd

' ( ,p .p) O pleln?J elduarp eururrr l rD

1,,y,^Il.Iru IIlr_yl,l nr.eunardurl a:er (,u .u;'p ininlrilnbalnlraroJq glJnzor eldo.rp gnop .rolsaje er|.r5sjalur urq. !

r- l_^: i ] t .s-. trO, rc' !r) e lalda:p' pdn p .ro 1;asi q url . i u.r,oplB pzealJasrrtur auBrd enop r lrr. ,r .uq 1,J ie.y is q,,r, . , ,r . ,1,(,d .d) .1,r ,n) 'a1a1;irnd ug',rr1'rodsj.r a' iOrlp njraO drrr aD1::. : .Ll t_._t:,rrer rolrrsrq ue;d ualrop 1e iso1o1 alebd esrpt l rxnB ueld pJ.1,y l rund r$e1ara'uj J lu j :nruoo'a1da:p!l_"1^?11, ulrd arecer;.a1ep r iuald pn6p u urfras:a1ur5^1::ii:.J:,T.9.111 i| s ls_f.'B'y'el.rirnci n:1ed'a1ar neW Inlruno pulun .( lZ. t .Fr1) rauaJqo.rd er ln los alsa'auaJdpnop,olsare a1lulp alfcas-rarul ap cp.p) q eldea:q .a1ep

]ll:.r.d..:,p-.?t:lg_rrp ur p oref,rrJ nr ua; d -uria1 jo 9u i uroiap! ,q ' ,ul w Inlrund (rt .s ,ee) a :(w,gz,,a'st i i tea ,oi:9q) -s, jq :0.r 's8) v.:0I'6r ,ss'1111-:pifiadilu"a11ifi1dy'(, o, r,'il)_!s,(,.9, n,qn) I ;Jo.rd ep-e| agdi.rp grseeu 1 ;1u!' ps e.rer(,p .p)

o pfduorp o "rnp

os ps (,is .ur) 1i ynpriiia utrd ol,

'ou-!plo. ap orurJ rSeao_cu ad alenlrs:j{-Y:.?l.iqpll_V_. uJdu"rp. a1{au111ir1"e eldaa:p are) urN-rninlrund al?,.uls u apriraro.rd ,o. ieoip;a,r u3 ig alelnprrr ldup alu,E r t F olrr l raroj . . l rsarrr lo 'g i 'W l$-S".1"1run4

Fig.reta).,)I

nr l

ertt

(ce, c'e'). Aceste orizontale se intilnesc ln punctul (p, tr-)care aparf ine dreptei (pi, t-r ' i ' ) de intersec{ie dinire planeledeterr ir inhte de bunctul I cu cele doud drepte de profi l(ab, a'b') gi (ce,-c'e') ln punctul chutat M (m' m').

11o Si se determine proiect i l le punctului M (m' m') deintersec.fie dintre o areaptf de proiil (ab, a'b') qi un plan Pdetinit drin dreptele D (d, d') si A (8, 8'), concurente inounctul ' l ( i . i ' ) , fdrd a ut i l iza'planri l lateral de proiec{ie'Flanul P inters'ecteazd planul de profi l al dreptei (ab' a'b')dupd dreapta de proi i l (ce, c'6') ( t ig. a.75). Pentru adefermina broiect i i le punctului M (m' m') comun acestordoud drepte de'prof i l , se considerd ca plan auxi l iarplanul dei init de functul I qi de dreapta (ab, a'b- ') dati ,

i lan care este de'asemenea'definit d6 dreptele ( ia, i 'a ')

s i ( ib, i 'b ' ) s i se cautd proiect i i le dreptei de intersect iei intre u. .st 'p lan s i p la i ru l P'dat. Un plan auxi l iar denivel H' dus' la iota punctului C intersecteazd.acestedoui plane respectiv hupd orizontalele (aB, a'9') l i(ce. c'e') care of izontale sb int i lnesc in punctul (p' t t ' ) 'ic apari ine dreptei (pi, p' i ' ) de intersecfie dintre celedoui piane. Dieapta' (pi ' p' l ' ) int i lneqte dreapta deprofi l

' (ab, a'b') ln punctul M (m' m') cdutat.

12" Si se detetmine proiecfiile dreptei D (4 d') caretrece orin punctul M (m, m') si intilne$te dreptele oarecarede prol i l ( iU, a'n') Ei 1cg,c' ! ' ; date, fdrd a ut i l iza planullat iral dd pioieci ie. Pinctul M (m, m') 9i dreapta deprofi l (ab, L'b') determina planul P ale cirui urme seiui.r . ine cu usurint i considerind dreptele (ma, m'a')si (mb. m'b') ( f i 's. 4.76). Prin proiect ie ci l indricd obl icdie bot sdsi prdi. i t i i te punctului I ( i ' l ' ) de intersectie adreptei" de 'proi i l ' (cg, c'g') cu planul P. Proiec{i i ledreotei D (d, d') ciutate sint determinate de prolecl l t leM (m, m') 'q i I (1, i ' ) .

4.5.8. EPURA AFINA A PLANULUI. IO CATAC-terul afin al epurei planului. Fie planul PP'si dreapta A de interiectie a acestui plan cu aldoilea

'plan bisector (fig. 4.77)' Dreapta A este

determinatd de P* 5i -de punctul K = I(' in

care o dreaptd arbitrard (hv, h'v') ? planuluiintersecteazi al doilea plan bisector. Se observdcI planul dat poate f i 'perfect determinat. pr indreipta A, care se alege ca axd de afinitate, qide perechea de punct6 cores-pondente a .qi a',in care linia dd ordine aa' este direclia deafinitate. Astfel, un punct oarecare m' m' alolanului Doate fi diterminat de proiecfiile'ra, r'a', uirde r = r' este arbitrar pe A. Faptulci punctul M aparline fntr-adevdr. p.lanuluinoate fi verificat im6diat prin orizontala mv1,m'vi. In felul acesta, toate construclii le pe

Fig. 4.76

Fig. 4.75

71

lpdBr ap nDs) lBuua^rreld un,.rDrliqru lnlhueJdl,to^t yI {ate d.s fiep alurlgrldurrd'ri-i.iJ,prno,1..:ltl"_'8 eyllfcnrlsiro?_

..,ir, .ru' 1u1,ip" 5i1rn.

llyj.:p Jnlcund us pteliiul "ioul.,ii'ni

"piun1

l:1:11.I-lt Be Is.,I,s ,1i eiia'aue1O prioplor", nlr_esrelur ap eldear6 .:":l jl, n"^,",fi iJi'rut1da;p erfrasJalur Br-t.( u ,p)v rn^r,nrr',i ' jr l l l:y-nd Ja11se eullqci;(,e'u)v 1n15uho' rgd';;;i';"',td.i#ill;1 un-:iur.rd aueld priop n;."'prn.1"-Jrr,#ftS

^n^1j11ryUulJB €p pxBrtnrpr e ..rerlrqre ue1d,

i'# ;:.,j'o,lJ .o,;l,t"1p- ll,J,t_l1,s;erund urrd '(ts.t .Fg.) (,e',e ij7 I;il;ht';[-^ll^o-

uldeerp o!I ,ue1d un rs pio'earp ;;;i"!;t"-:j?lyl nrluad .(oe.t .FU)' ,,i,n = lo ldo""j:lt-l1l: 1nueld pul3nq ,lidriri'xa np'{.siin ,s

:l?i* j.{:l,"od pruaJqord rseaecy :, u, ui'iu,:".jf^-:u-"ld pnop 'j1ac 'nr1u1p"

J,jjJrniu,f19t9lp

pc Bllnzar ,,u = u jnjiunduI;i;; juor purrJ alplrurJe eir alexy'.rir ,,, lnlrlno

uJ rol InpUU UI ez_BelJosralur as elda;p e1s".,qry_ ,qry 16 ,;t-::l_.;ijril.6- ;;'np "1"pauBld Fnop aler nr rreapis:e.1u1 nrin E'6 1""11-re^ rerJlxne lnuerc .Gtv :aryl 1-,]nd uo

"r,,1s^a191 1u ge gR .:or'b1ei-- npo Jln'p l;;r;"p;3;: l i i tq 'q ! rV) r$ ( ,u,u iv l

" ' l i .u i i l un ,spldperp o arlufp e;ieaue_;uJ ;i'a.uirig ;ff .r",bBllresralut .rn;nuu;d u pui;i rirnoilJ liin"irov .a

l.?uu'p ,ur r$ ,u = 1.:.,riifj'iit'-i ,?f',.j:j$!|lc3s1aiul. urfi ,ru .rr Jnlcund p1\nza,t eJBro0 ./u/y ,By grirrrqrn uldg.rp-1nj,ini"1o u;arnp os BlsBa)B n:iuJ6 .1";o"i[ J"ip'pft",1r.nerfcaro:d pcsease8 br ls ,fsz

7'.s11j'1,.ut:e; 1n1-cund rs y exe ̂ao qulg"e Ji-rln jjrruilj lutJap

ii::lg.yl p e1 darp' lairn'e p F di;;; ;6' I r ir"",o,oar'nurluor uI erc Tr,{ dn j'rrA"i;;Hil;fij;

uBl0 rnun e Euue urnde pc igi.rr"-r_i-.jlrgrupoep rslurr eaieilp1n "p

^.1,iiJ$.i li;rt.prnu.

olc08' t

at'v '8ts

ez t '8tg

cit-de

Ptaltide]ial ')[ulFnF.

Fig. 4.81

problemi a inteisecfiei dintre o dreapti qiproDlema a lnlersecllel olnlre o dreapta sl unplan poate fi rezolvatd intr-un mod gi maiqi

care sd conlind dreapta D dati (fig. 4.82). Axade afinitate a acestui plan vertical este Q, iardreapta de intersectie (8, 8') dintre cele doudplane poate fi determinatd cu ajutorul punctu-lui b, b'. Dreptele D gi A se intersecteaz| inpunctul fi, h', care este astfel intersectiadreptei D cu planul. De asemenea, aceastd

Fig. 4.84

Revenind din proiecf ia paraleld fdcutd segbtine f,, fi '. In epura din figura 4.84 s-afolosit aceeagi construcfie pentru-determinareaadevlratei mir imi l6 a distanfei dintre punctulS (s, s ' ) g i p lanul (A;a, a ' ) .

4.6. PROBLEME PROPUSE " :. ' . i . ..{. ,

lo Se considerd urmele P gi P' ale unui plan. Se ia peurma orizontald un punct A qi pe urma vert ical i unpunct B. Si se giseascd proiect i i le centrului de greutateal t r iunghiului APx B.

2" Si se determine proiecl i i le punciului de intersec{ iedintre o dreapt i D (d, d ' ) g i un plan def in i t pr in douddrepte concurente, gt i ind ci urmele acestor drepte nusint cuprinse in cadiul epurei.3" Un. plan este definit prin punctele A (a, a'), B (b, b').gi. C (c, c ') . Sd se detelmine proiec{i i le puhctului deintersectie dintre acest plan qi

-o dreapti D 1d, d'; care

Fig. 4.83

elegant folosind o proiec{ie pe planul bisec-:or I I - IV paralel i cu planul dat ( f ig. 4.83).Fie, de exemplu, f , f ' d irecl ia frontalelor pla-:ului, care se obfine ?ntotdeauna pe epura afind,iucind asa.J-aa'in a. Punctul unit u = u' = ll0atr dreptei D impreund cu proieclia paralelS kna unui punct arbitrar al dreptei definesc proiec-::a paralsld d6 a dreptei pe planul bisectoril-iV. In acest cuz,' punitul' de intersectie:intre dreapta gi plan este proiectat in mq.

?3

rololdarp

JBlnJt

ln ?l{ d,- rr p JsE! nrlsuoJ * uro.,l$" ijoot'.,8f 'j,'"tlrlI lllil '^q-'.qlg, un !s (,e 's) v' rs '(,p"'p)

a-.,1.,n.,lrur.pop ueld un rs { ",s)"V' i6 i , ipi6".r l#r"a1e1da:p ui:d lsuilap'i u'e1ir un '^,11rpl6uirH"";_ 'arfcaro.rd ap aJeuerd rtsarD o arpf rrr. .r * *: , .1"--3-r,yl e1 (,q,e^,qu) 113o:dsldza;p'o aiec ad'fr is ;;irr;*a,li i:.YJ;ia ll,u$llJl

*tX:?'3"T;::","":i:t,^.^j$.1_"ls;e1nr11redn3..1nl,1,.,g. : Il Rr- ?.yrn e:iu1' asur.rdh j' . p i rlnli,io-is ;i ;r;,.1#Jord rrrer a1e q pldej.rp o pjsdrn.rlbuoj*.l,"ust"i,

fii, il.i i! i#l;rTtl 1 g ; ;' A' a.; nlft ';'iliridrlap ueld rnun al' ,4 r$'4'51aui.rn-."tufij;;-5r"# ji;

tP aJtt icarord pc purrr$ .( ,otoldarp ur:d ai niiian' :l ;,8J v-i:^(' p"

:Pl.gr ololdarp ur:d airui;ap auej,i 'prioj,:ri,irHr ep ralda.rp aJrrfra'roid' aurruialap .! ;jl;

Er ug aJlrrauls lurs alas n1dr.r.,n';roiiisrq *io"i.,,l,roRlnrprradrad alsa 4 r ield un ucuo ;. . , . ; ; ; . l : i '^*.^^

LrrvervJu dqlurd+dp as PS ozg

_t^"jg^ll?l gs'lugurpd op -prurr niINJ

;lltl9 T_Xyf pr alern-."s ps .es:*:i"qii";H#:l';U'^lf ,igli*,'l;t1'1,,-"X"*:1i

"1":11l ly rSsalderpap llulJap ueJd rnun"alarurn d",ffi1".p.".;. ;i";;i

i.t1^u_J_nrf edsugsur:dn'nrn,qru,ltJlf""orl:{i"t',f 1n BarPotrraslq elJ:, :l,i:3. :l:eare

-tri crir pn11i", .t'",'1 tu:;;" ?,1"j' J,jji' l]"lf .,3Yjg'lnf ""',

js^' :g, t: l" lg'i t "i.ui " or nr uluarnruoc (,p ,p)-q ,joinlp pliir#j:|"J|

"r;T "jl:r,_lyrj,$y. I s-.?g :ja1 dar p : er ;g y r_ 1"n f i3iff

'.tE Jili?'iJ',?T,i,',,f1'11'" gt i]:i:i :i'# J,f i,1 sy" i'*liil.:{. 9..r ry,!+';i;'iY',ii i Ii .o*;i,:*tff ''rii,s,''ir-,f, "*iiq"{[:iivri jJah'$ttrun aprfraroJd ersernj;su;, ;; i t i :

VL

szealcaro.rd es rqaun,rtl'Jo#t3ir;:,"f$[r, t'J?f?i1nue1d nr p1a1e.red alsa

'el lcalord ap leluo-zlroi q8u ir r n u n ̂ in ili^ i FJ'i, rv,K Y#t ? j "l.j,f,i,i ;f ,K j.:;:

- ; rnlnueld e urctuozlro,eurrn ad prelnirpuadred elsat"L1ifi ,'ij:i,x#,?ft m'"jg,llun{,{:l*ill ji?ilHt*11iriil{,i{i,rr'!''?'J:"il""},x1?piii3;';t#i;,ifi I$e.re1n;r puad.rad alsa elduJirj o. 9r-o?rii.L""*3; l'. RS "8 I(q eqdea.lp urp) rn1n1u,

'Q ls a alaueld ortut sulrdnrrsa,;e 1 3 cu ! r,i i(,' .i-' i;,rHi;;. .tt] Tg,i,:, 53,yoi;idalqarp raur alrrfraro:d

":lTj.l.p ; 6-il,.n "\io alepo !s d alaueld rs (,e ,u) y inirund.p-,i[-,*o3,."g .21

{;i:rori':,i'"ilu13""'(5:,;f},Y,;''Ji,'#.iji'"J:'Tr3ti

dr*rl,1l,{1"y,'i!:j:ir:ifi {'ilii;ii,,, jfu rf,fjli/q BlpJrlre^ es elfcarord luruiralei l 'n; ' ' ; ; " ,H"j H,'.,i ru'ru:a""; ijil f f . ilBi:rp;i,,",,fi,"j{ii.u,.li #ii:;' f i e H,,l,,,;{i i{ft tli,+mttjiI, l:., d : j:y -r, y t:., ",i1, :i":jtd

t" ffi "ff ';f ,;igl, j;"#;i1",:,,3lli.'Boui"it,,";,1,11:l*r"S",t,:* j["J;$3f:ho,'ix,.ffit0"'i3,.x'#3i,:i::{":{::"_",q,,,1,fiTfltiTlfi ?"."fi H"?J",'.TJJ;".iii,i'Ji"gr'*i,**s;#*i

.aur:n urrd ea

fi:'ii,'1,! q: :rulihtr, dF ;#,fu;E::i:";1;';il;! $ "sl J,"' I $ fi i?, J l, ; :fi f i :m* j';ll,:;, :iidljl:i, $il," ?i$,?i 6' i 9fi1 ;:ii, ri-.,(;i0..?,,y, J i,';T'_ 5{$'rn;nueld I" (,"^.::)_y Pund. rnun

"iriraroro rsig,5ri''.',li.l^"'?'?, j,lli,',1it***1;l,,Uii'{lill;l

{, r, ill y ̂ r :,$: iil' L";' t ii, i 1 J, i.',i:,! y""'i" "J, Jl,1f T;lur;ap ueld rnun a1e',j ,s [ "i5ruln i"ug;;;l#:, FS .9lr.r-"_, d ",p I r a r do: p o, n.u l,j 1,,.:,,:1 ll]ii,,,i,?o t

'r,J,,"", i0."]elalered ,(,p ,p) fu ljldalp_e111fcer*o eriftirlllfi j, u, .n

-deo.rp ur:d ."rr'lll}T$,.i?,Ellrll nr lalered alse !s v ul1-u.r11ui:ar'anr'";id;;;"1;",',1::,,,",Y"ili::ir.$:1fl i::r.:iiJ;#'J''t ;l fu] ;iT fg ;l;iJ,Ur*;i;,,f,T""i B :}

f ls,g nl"rl lrn,r ol r rloarord[r.5)r.iJu,*i',3'HJ;'1#\Yii,ilU;,'r*?,?'ll,?::J"J; leluozrro erlmro.rd -,(,p .p) q pldea;p*pjJplu;r'3i

.82"82fr1:a.r rrfraro.rd rore;

"lu.y^ll g_ 9lo*n"fnf;tS,l;j;ruoJ rrrBlnrlpued.rad opilrJ,oju p-r.rinrJiu"r,r[ ps,.za: .alale,red ardorp g.n9p Fdnp uelO 1sa;"e coH'':'lJ; T,ii:B til ; Ly, ;i, liii ffi tlTJ:i*H'&TiJ;: ;'* "'r;d,f ,';,rl fuli:] Jil i,If{ri!,'"1::, l:. :,,u .g,,., H., in .? ?iii:i! :g #itit:ltlii'#'?ilJu,oi?T:;:1,,'; j:;g*iss"i :;l*Er"ru ry4iiri*4 :"il, i::','"',1 l;y; l,# ilitl#Fdt Ti f t!j'd*]* ilil','x *l *iriil iit'l;rls I' (i 1 JJ, il,i ii" # 0""i, I i3, ; :l r% J,ilHi, :f g r- ]iifilij.,!$'lj"':f !I ;t,,i 16'ili?,1'ffi',,{il i}jp u.', n ru'ot#"'n,,y# J"J'jt l^e-l al I I lralord R jt; n4'pn Inu,ili n''"ic'iip','q"a,l'.:f,t :9r UflT,Tr,rtt i: orlraroJd EJ JB! ,,j,v gleluozrro nrlr"roqrnO FTlrt:l}

definesc unul din plane coincid cu proiec{i i le de numecontrar ale dreptelor care definesc cel i lal t plan.

I

t

42" Sd se gi iseascd unghiul diedru a cuprind intre planulde prol i l Q Si p lanul P perpendicular pe pr imul planbisector.

43 Se considerd urmele P gi P' ale unui plan gi o dreaptdoarecare D (d, d') continutd in acest plan. Sd se determineproiec{ia acestei drepte pe planul lateral de proiec{ie gisi se giseasci distanta de la origine la aceastd dreapti .

44' Printr-un punct M (m, m') sd se ccnstruiasci unplan P paralel cu al doi lea plan bisector gi apoi sd seconstruiascd proiec{i i le dreptei de intersecJie dintre acestplan $i un plan Q care trece prin l inia de pdmint gi facecu planul vert ical de proiec{ie un unghi diedru de 30'.

38" Si se determine o dreaptd de profi l paralelSal doi lea olan bisector. care sd se sori i inedreptele D (d, d ' ) Ei A (8, '8 ' ) date.39" Sd se ducd prin punctul M (m, rn') o dreaptd dc

mhzprofi l astfel incit -'mv340o Si se ducd prin putrctul M (m, m') o dreapti deprofi l , astfel lncit raportul dinire depdrtarea urmei saleorizontale gi cota urmei sale vert icale si f ie dat.41" Sd se determine unghiul a cuprins intre o dreaptioarecare D (d, d') gi un plan de profi l Q dat prin urme.

cupe

une:a Ie

=44 O

. : re i

- lan:1 C:I A

, ie ld

. : : t ia: are

Dsi.e le

. 'rnlnlrund e ple)rlrol urfraro.rd -I rnlnlcund earelrpdep _

:Bqrrjrr{Js es" 'rnlnlcund e eleluoztro erfcarord _

: aru'rre^Ur urrrFr i,rr*jll"l"o"?ff1:i ;,t_:?rt-1,rytq".,uJ pr p^resqo aS .(Iu ,ru = u)JoA al lJeroJd ap euuld op nou inualsls ur,t:tlll_yiq e1e aleuoFotro ntqnp' a1 nlciro_rj

9L

aleueld urp Inun ad relnclpuedrad augurgr repplf_tl plspere nr 1:odei rij greJncllreb erlrzobo pdnco erel ,4 ueld un ad grnF1l-elseare azel-c,a1o:d as€s JBsoJeu Basepe ei_se ,7i fi g elauelda!_r,tln8lJ

.raun ayu_ aleuoFolrii 'n1t1hp e1ri1

-f,e roJd pul ne, aur a Jqo;d ;o1a1 lrag r p ear-eilbza:' iii

ilI3ltoudlo uoltNv]d iluy€wtHfs voorsw .r.9

'rrJelBqBJ Bpoleu _

ierfcarord ep rolaueld ,,r-';ll;ili ii3l3H :

f:9l3?tg ?rBcalJ ap alnrar .1 1 yilpuTJ'.;ffij"HiJoJrrlceroJd B eJEruJoJSuBJl ap nes ar-ecr;rporu:p^^if9l?r,'arrldrnsap raularuoe8 ale apolau",1*lV _'li$ors leJlleap ee^e- re-r$ hu _ a1f-rzod ap rS eJrJlauJ erualqord oluBseJalur reruJolal BoJeAJozaJ pllqJsodrur aduo:de alsa a;etep FJpj - p,uldr.rcsap errl'aruoaF u1 d;az4lnolepolew .eru-lrpru

Flerplapp uJ leltsp atcarojdJoA as arer ad ,el f raro:d ep atar ieidi i lp rnur i nr:lll:jil ?lt_ -p.: aue1d I1nF!J. alsacb esripi

"r3 es.yl]u np else'aue1d r:nF1; ad arrrlauoaF nfj irrjs-uor olenlraJa arJ BS Inzer elsr pulf .aiJelalar

1".]iogr, ur aleun glear erf rzod u! lb"aurFpru pl-BJpAapB uI alBJaprsuor luJs lrnFr; nes rnirl alrui-nue plep rBrunu llJep ejenlJala-rt rod'nu aJpf,Illrnrlsuor ,a1ep eluaruala ad acirlj"rubaF rrfcnrls-:.?:^^31:1ll!ln, au 3s rBsacau ?asepB elsa arr:1-aruoed :ollrndroc e pueld eereluaz-erdai n.r1ua6

to lulrupd ep eru11 enou gdnp g li.iiiuf,i n.:yil"j "i

es erpr 11 1ec11rar ueid j1e uh un1(-u +ultugo op orurJ Bnou Bdnp g 1nue1d ncrasjaluJ BA es erpr 11 lecrlral ueid j1e uh un1pld-"..,11 lBluozlro piuilri pu;:1spJ lii.q :rllj1lll?l_d,.p aueld ap AH Inruelsrs' ug (,2 ,e)'i,,Inlrund e pleuoFolro nlqnp eeriliiazardai

xsuoc as 'If,Nnd Nn nulNed ell,3aloud.IV)IIUIIA NV'Id iIO VAUVSWIHCS_;i' i. 9'

a1 nur f uoe e1 rrn;y; pf u r:nsn ;1";*T,""r:r#tJ:y9-yi.u aO .€ualqord ap :punu a.reru rin_.riu3

l l l- lp: pcr;11durs-6rfcerdrd^ap ro1.ur1J,,rpq1q?:.:I91t_ry' plue lre^ur aulurpr Iricaio:d' urp

-j^ljl?t?rO ap ueJd ep areqrurqcs a_r'ecar; d1

I:tl,tl.yl.ll1t1ol npol.u relsore lnfeluri,ryry9 "I

eruelQo.rd- ra.rfrartr Barpllozar'ei, inO,u'r1.1-9]_d ap aueld ep Upqutqcs ap inrpurnriaplsuoJ os lerauaF u1 .arfcarord- ap aueld

Iaqqe p nes ernun ealequrqrs ,lrpjntardru3lnp 'e:esacau rJ eA BlspeJB nJluJd .etsace nj

l:j11-y"_t_d ur nes rrrrr8l; tluBtd irlciro:d ap1t3.-no-l y, salB alj ps lrpi'rir8rsip ,r'LA':"uuthndrJ reun B lurJpru - ralerplapb 'i;aral$eounr

"::li1 elsa ouelqo.rd laun rrrpllozar' Insrnr'nlouaxa ap . laJlsv .A nes g erfraroid ap

uo'ilrlfltoud v(elrldpcsep rau;euoe6 alepolayy)rdvwuoJsNvur lo toortw

A Inlol ldDJ

u, inrer i

5.I.2. SEHIII,IBAREA DE PLAN ORIZONTALDE PROIECTIE PENTRU UN PUNCT. inschim.barea de plan orizontal de proiecfie rdminlnvanante:

* depdrtarea punctului ;- proieclia verticald a punctului.

Se schimbi:- cota punctului ;- proiectia orizontald, a punctului.

Astfel, fie A (a, a') reprezentarea dublu orto-gonali a unui punct (fig. 5.3). Pe linia deordine coboritd din proibc{ia verticald a' = a,i.,perpendiculari pe noua linie de pdmlnt o1X1e S€mdsoard depdrtarea punctului dat Ei rezultdnoua proieclie orizontald a1 a punctului A.

5.I .3. SCHIMBAREA DE PLAN VERTICALsAu oRrzoNTAL DE PROTECTTE PENTRU ODREAPTA. Fie dreapta D (d, d') determinatdde punctele A (a, a') gi B (b, b'). Se considerdnoua linie de pamint o1x1 gi se efectueazd schim-barea de plan vertical de proiecfie pentrufiecare din punctele A ;i n. Rezirtta- ai binoua proiecf ie verticald a segmentului dat(fig. 5.a). Analog, fafd de noua linie de pdmintorx2 poate fi efectuatd o schimbare de planorizontal de proieclie pentru fiecare din punc-

planralel_dupa

orderi

f ierte.cd,

unaim-i i le

r.id s z) *t

\ /Fie in epurd noua liniet{5mint o1x1 (fig. 5.2).Se duce din proiectia ofizontald a = ar o liniede ordine perpendiculard pe noua linie deplmint o1x1 gi se ia cota punctului pe aceastdlinie de ordine. Rezultl ai, noua proiecfieverticald a punctului dat. Intotdeauira loculpe epuri al proiecliei vertical ai depinde deielul in care a fost rotit planul V, ca si se con-funde cu planul orizontal, Astfel, noua proiec-tie verticald ai trebuie sI ocupe in raport culiterele o1x1 aceeaEi dispozifie relativ-i pe careo ocupd'Vdcllea proi€tlie a' in raport. cu lite-rele o, x. Un observator situat in a' cite5te oxde la stinga la dreapta. Acest observator plasatapoi in ai va trebui sd citeascd o1x, tot de lastinga la dreapta. Problema aceasta imbracddoud aspecte: sau se |ixeazd ai 9i rczultdsensul orxl sau se fixeazd sensul orxl gi rczultd,pozifia ai. Dacd se efectueazd aceeagi construc-iie ca a punctului A pentru toate punctele uneifiguri, se va obfine noua proiecfie verticall at:gurii in noul sistem de plane de proiecfie.Dacd intr-o epuri nu este trasati linia depntomint, se poate lua arbitrar o linie de pdmintperpendiculard pe liniile de rapel ale epurei.

ln

DEterdrlui:!ieatectaX1.A

'f ide

77

BL

*-0,9 atg

.*;( )',1t" '

,

9c.l-U9n- ul (lp 'tp] rq BleluorJ BrrrroJsuerltp ] axao pulnt) exEp- lujur'pd "ap^ eruil ap

r; erfralord ap lBluozrro rnlrii ield'eerequirqcs

lry lS 'a1fca1o:d.!p. geld ap e.rlqrurqcd uhopo_'(s;g 'alii 'tlp .'oy iq BI4""rJ-a'i,p ?l oeq_BldBeJp FruroJsuerl lxto i-ulrugd ep erurlpfe_g arfcalo.rd ap-1ecr1ia.r, uelh 5p iareq,urilrg:qur ap) Rlprlpe^ uu!^ap Rs (,p ,p) q p;duarp

prnp" es pS .(,q ,q) g ;$ (,u ,u) Vep pllullep pldea.lp o (,p ,p)

O alj;YgYJ-.9-o - YJdVaU(I nvs Y'IvIIJUSAi aldlruo IiINn vauvwuoJsNvdt ;g.t'g

, : l fcaro:d ap_lerr l ra^ 1nue1dg Ie+darp lnrqFun elurza:dar r* leluozr:o

1d lnou^ad aulJpt l plBJRAopB ug pziel ;alo.rd

^0 jn]llug '(Z'S 'Fg) erfcaro.rd ep aueld ap

p plerllra^ erfcaro.rd nc glalered ai6o luguipd aplu! l_B19lr ,puJn1'arfcaro:d ap leluoziro 1nue1b:.F _l_nld"r,p lntqFun elurze:da; lS lecrpa,rBld Inou ad aurlrpr{ plerp^epe uJ pzedloJjord

i : " lnrq8uS '(g'g '3l l) arfmro:d ap eueldap ualsrs lnou- uI BleluorJ pldeerp uJ Fleu-Jojsuer.l q reldarp e glerrira,,r arfebro.rd enou,'|p eulfqo as ,p eleluozuo erfcarojd n5 p1a1e:ed'x,o JUIrrrFo ep arurl Bnou puln-I .a;ira1o.ld apaue;dgnop alaf,- nr.nllradsar arel ei (,b ,p) Aeldea;p erec ad fl J$ r a1;.rn;qFun auir:fiu plur-BAepB u! eulurelap ag RS .(pluluozpro) p1uluo.rgPu!^ep ps. (,q '0 g lS (,e ,u) y alalcund u;.ldRlup. (,p ,p) q uldearp llrut iegsu ,e;iea;drdep (1u1uozpo)' 1urg1re,r uelo dp-'";uquiiq"s oF3€I es Fs 'y'rvrNouJ nvs y'rvJNozruoNI erdiruo raNn veuvwuoJsNvur '7.r'9

'(g'g '3g) lep rnlntuaur8as u vrcrn^roarirarord unou ,6q8e elSasgF as r$ g ^r'S 'y aiel

:l:tt ]l"T^-lJ lreluozlro gtrdearp u1 pldiu.rogsue.r1 .q raldi:i' i eli{uoiiji ;ii;;jb-";;",i'p aul+qo as et fcato:d plsBeJB uud rprrn ,o.-h_:91q"

ed eyfaalord ppni"e uila .ru,ip nu,

8 9 .lFrg

g q. ' FrJ

plarlDcul in iedd'

Dn (dr, di). Artalog o schimbare de plan ori-zontal urmatd de o schimbare de planverticaltransformd o dreaptd oarecare D (d, d') indreaptd de capdt Da (ds, di) (fie. 5.9).

5.1.6. TRANSFORMAREA UNEI DREPTE INFRONTO-ORIZONTALA. Ambele proiect i i a ledreptei trebuie sd devind paralele cu linia depimint ( f ig. 5.10). Schimbarea de plan vert ical-de proiec{ie fa}d de linia de pdmint o1x1 trans-formd dreapta D (d, d') in frontala Dr(dr, di),care la rindul ei este transformatd in fronto-orizontala Ds'(du, di) prin schimbarea planu-lui orizontal de proiectie fa{d de linia depdmint o2x,.

5.1.7. DrS-TANTA DE LA UN PUNCT LA ODREAPTA. Si se determine printr-o schimbarede plan vertical de proiecfie distanfa dintrepunctul M (m, m') gi dreapta AB (ab, a'b')(fig. 5.11). Se face o schimbare de plan verticalde proieclie luind o1x1 paraleli cu ab qi se trans-formi dreapta AB intr-o frontalS- Conform teo-remei unghiului drept, se duce apoi perpen:diculara mi pi pe noua proieclie verticalF' aibigi se obfin proieclii le (mp, m'p') ale segmen-tului MP, care mdsoari distanJa de la punctul Mla dreapta AB. Printr-o schimbare de planorizontal de proiecfie rezultd mrps, adevlratamirime a segmentului MP, deci distanfa realade la punct la dreapt l

5.1.8. DTSTANTA DTNTRE DOUA DREPTEPARALELE. S[ se determine ifi adevlratd m6-rime distanfa p cuprinsfl intre dreptele paraleleD (d, d') gi A (8, 8'), util izind metoda schim-birii planelor de proiecfie (fig. 5:12). Se aduc

dr,ns-

tem9seplan

cu

INAr.

[d dedatdOaume!ati,'di),cala

cele doud drepte paralele sd devini perpendicu-lare pe acela;i plan de proiecJie. Pentru aceastase aleg segmentele AB gi CE respectiv pe celedoud drepte D gi A'qi se efectueazd o schimbarede plan vertical de proiectie, urmatd de oschimbare de plan orizontal de proiecfie, trans-formind dreptele in frontale, iar apoi inverticale. Adevdrata mlrime a distanfei p semdsoard intre proiectiile orizontale ale celordoud vert icale: p : un n: br{ .

5.I.9. SCHIMBAREA DE PLAN VERTICALSAU ORIZONTAL DE PROIECTIE PENTRUUN PLAN. Fie planul PP*P' reprezentat prin

OBi I t'c-' 'Fr,r

I| 't"'

II

rurn BnoN .(,1 :_ J, lr l) Inlcund pl ernpuor1l '!) Inlcund nrlue<i arleiroio npjlnluir,ro uulol:?j-:!rjti,trs'(er's'3tJ),a. elb3ifan-iur.rn rsI'orlllrlo ap

"lul e:1uip bri#sriiur "t

.lJ.;p.dt ^d Inlcund 'uerd__u_n nrlued arfcaro.ld ap:l::3119 ueld,ap ei.requrlqcs u1 .ariraro:d ap:1.1o1 y-o_ I n ue 1 d nr ap un1 uor er.gr' nc ;rl-inr,

lrnnelo Inlnou e sndo sun:eoaf , pq* qr, ;r" ilt"['r;rt#i#, l";fi ,:;LL:.^:!] i,ulur_d ap'erurJ enou ed rxro iisuasf.ulUls_es PrBC 'Id l$ a =- 14 r; -ror lou ninurrnr!

"dd lsol nE rnrrnlnuuld e rd Fi"jilTlt "-",1r"r"'ulitrtt;H'J"t

uj Fp l l nr l lun aJel , r*d lnlrund alSasef i es

:T,f:119..: _d_ Yletuozrro e-.ur'rri rS'*6-;j;ui;BrlcosJalur u-I .Q_I ,r! _:.!) lnlcund pJ arnpuorau (,! ,!) lnlcund n.rluad"ericjlord atri lerrlrely:ll r_q ".reqrrr ILIrS gn11qb1_d'

"

-p'p1"r,1r"n

:yji "^i:y_Bururalep es_r$ rxro 1u1rir-.pd ap erurJEnou adalB as ,(ll.g .FlJ) _Fr_ndj BI puJrerJ

ep rorrrurr erices;a1ur "r #;""p';;: l;iffigas lcund rnlsars v y gluiuozrro iilc5ri,rd .(lBl

:y:".1i. y-"_iq 1n_ ea-requirqcs us eajeppOai nesjIfr.tl:^ yul9

"p EoJBqrurqcs. lrl eloj lzeirlspd

l?-.rY." 4. rnlnueld 1e lJund'uri a13a pJIpE"-:4 ls I '6 aueld 1a.r1-:b1ac 1e aricjs.ralur apunruoJ lnlcund elsa I! =_,! = 1"1n1cun6 _.4

1nue1d 16 rxro lugurpd ep?!_"]l :I9, orluJp erfcasrelul alge r*d

IaJlsE tol'd Inueld nc luluqd ap lagu1i eilce.rilrir'ni.n .4t1n1 Edna - : nf err;ruruei i1e:rjolgruin'ne arec

.t,ll-_:E alcund Bnop aler purun eulfqo as leplllly_"I-q ! Ia f tecltral prxrn'enou [e plresqolS__' lect l rar .ue1d nou,un rA alg . (et :g .St i )19 arlcarord ap aueld ap inurjfsrs'13 aruJn

\g u,,'3lg

, i f i

P1 a planului se obf ine unind i1urma vert icald Pi = P' . Daci

. ! :1 I I

! . f & i - ' i l t a

orizontal iP*r, iarschimbd sensul o1x1schimbd ca mai sus qit f ig. 5.17).

pe l in ia de pdmint, sepozitia urmei orizontale P1

i;;l

ctlSC

Observare: Si se facfl o schimbare de planvertical de proiecfie pentru un plan, ale c[ruiurme P qi P' nu intilnesc in cadrul epurei nouaIinie de pdmint o1x1, gtiind ci nici cele douilinii de plmint nu se intilnesc in cadrul epurei.Fie bl i l noui i l in ie de pdmint ( l ie. 5.18).Pentru a determina noua urml verticald Pi aplanului se iau arbi trar pe noua l in ie de pdmintproiecl i i le or izontale a ; i b a doud puncte si tuateDe viitoarea urmd verticald Pi. Utilizindorizontalele D (d, d') $i A (8, 8') se oblin pro-iectiile verticale a' Ei b' ale celor doud punctein vechiul sistem de plane de proieclie. Avind:stfel cotele celor doud puncte, pot fi aEezatere liniile de ordine ridicate din a qi b faf ?i de o1x1li se obtin ai qi bi,care determind noua urmd", 'ert icald Pi c lutatd.

; . I . IO. TRANSFORMAREA UNUI PLANOARECARE IN PLAN VERTICAL SAU DECAPAT. Prin metoda schimbdrii planelor deproieclie se poate aduce planul oarecare P datrrin urme sd deyind veriical (de capat) qiistfel se determind'in adevbidtd m4rime unghiu-rile oc;i p pe caf6'le face planul P fespectiy cuiele doud plane de proieclie. ,Pentru aceasta se

"iectueazd o schimbare de plan orizontal de:roiec{ie, luind linia de pdmint o1x1 perpen-, l iculard pe urma vert icald P' ( f ig. 5.19).Rezultd punctele P*, la intersectia dintre o1x1 gi

-rma P' qi i ' la intersecl ia l in i i lor de plmint.

Linia de ordine fafd de ox coboriti din i'determini i pe P. Segmentul ii ' se aqazd pelinia de ordine fafd de orxl coboritd din i' girezultd it, al doilea punct care impreund cu Px1determind urma orizontali Pt a planului ver-tical P1 Pi. Totodatl se ob{ine in adevlratdmdrime unghiul diedru oc pe care planul P ilface cu planul vertical de proiecfie. Analogluind noua linie de pdmint olx1 perpendiculardpe urma orizontall. a planului P se obJineplanul de capdt PtPi cu ajutorul unei schimbdride plan vertical de proieclie (fig. 5.20.1Rezultdde asemenea unghiul diedru p pe care planul Pil face cu planul orizontal de proiecfie.

5.1. i l . DTSTANTA DE LA UN PUNCT LA UNPLAN. Si se determine, printr-o schimbare deplan vertical de proiecfie, distanfa dintre punc-tul A (a, a') qi planul P dat prin urme (fig. 5.21).Se transformd planul P in plan de capdt, luindlinia de pimint orxr perpendiculard pe nouaurmd orizontali P a planului. Noua proiecfieverticald a punctului A este ai, iar perpen-,diculara ai si pe noua urml verticald Pi aplanului de capdt mdsoarl distanla de la punc,tul A la planul dat .

Fio

lanalalSC

Fig. r.5.26 .:

Fig

81

9!P Inun oP FlBI la lered nes:e1nr i(,u 'u; y lnlrund 16 1u3u.rpd ap eiurj

puad.red f url-ap ps(,? 'B) v In l

l l l l l tu,n9,a1y1ire1ord pulJsounr ,1rJo.rd ep gldea:p oad ap (,q ,q) g rnlnlcund ;rlrrlcaro.rd'-eulu.r.ra1af as ps "B

_ll i"_19 gp uayd gur,rap es 'au:n_urrd 1ap ,6 ereca:eo 1nue1dBrnpu as es erltaro.rd op aueld ap a_riqu.rrqrs o-rlulrd o/- , ( ty, , - ) ry ;n l rund rS 1u;rugd ep prut I ap

l*tl l-:p_!Ie,td un !s (,q,u 'qu) tUord ap eldaoJp a:1urf ailra's-ralur 0p (,1 ' l) I rnlnlcund aFrfoaro:d aururialap jr FS .S"i'-!!9ld.9p ptdearp put^ap ps (,p .p) o eldea:pBJnpe as ps .orlrarord ap ueld ap erequiiqc6'o-r1ur.r6

"g

l*r1-1y- ll "l:p (,q,e.'qe) raldarp ,q1r"d, ]iJ;ir%:? #l$un-rluJ lep ,(,ur ,ur)

1i lnlrund urep ezalaj iar as pS o,

, .al loalo:d ep alaueyd

z8

IJ Iq Brelnrrpuedrad .(Iq ,Iq) rg Jnlrund uIBturoJSuBJl as v BldEa.rp 3d op (,q !)-g arecareolrund un .(I" ap 16

,*d ep pltutJap pultJ Id FI-BJrlraA BS Burrn).trFdut ap u_BId un_rlui j-lnutirip[rro]SuBr] as r$ arfeerord ap lprriref' uBidop erequrqrs o arBJ eS .V Bldeaip'nc yelerddg.li::1" E-uly.r"l?p,'v rs q araldarc '(,9 's) vu]oeerp eI fl_g ',e ) rV eJeJerud lcund lsacsrllrd

1rnp as, rS (," ,e) y lnlcund ,nlduiaxa ap'O pldBarp ad rBrllqJB pund un aFale as BlseacBnrluad '(t6'9 'dlJ) el"p elderp.Rnop eler ad asnpeunuroJ lem1nt;puedrad a1;lira;2rd euluuelepal .RS 'e1ua.tncuorau 13 a1a;e;udau (,S ,g)

VJS_(,p ,p) q a;a1da.rp el/.stiVCgUVO iiagUqYnoQ v yNnwoc vuvlncroNirdusd .rr. I.9

nr FIalBrBd ax6o pugnl ,_elfrelord

"O ,"rjg;j3YYI9 "p

a"rB"qylqrs o alredap rBrI] orBJ as lnlnrqS-unrJl B oJoq.B arrrueur ElBJFAape rspF B nJlua.I' lpdec ap rnlnueld _B glur l l ral uru:n ad eler i-r?Jop lBlol ' tn lnrqFunr:1 e lq l r l " FIBrr l ra^alloeloJd enou aullqo as lS rur ad e;alnorpuad:adrx'o pt as BlsBaJB nJluad .lpdBc ep purlopps Fleluozrr! Flseace oJnpB erec ,arfcelord a!IeJIlraA ueld ap Borqqurrr{rs arBJ es 16 !n1n1qF-un1rl Inlnuelde (,,rnp 'ur) ulelriozrro aisarn.rls:1?? nr IaJtsV .arfraro;d ep ueld ep a.requirqjspnou o pulz!ll ln ,1ep rnJnrqFunrrl p arrJIJErrIB+ErpAapB rode^eururalep aleod js r$ +pde'c

^ep

:^n19,u I --, lu1, I rlFu nr:1 rniseoe lnue 1 d'eui iogruerl.l:o_q as orlcaro:d ep _Jerllra^ rie;d ep a-req;y-it::,?rlYlra '(zz's 'Bg) (,e ,r) c'r6 (,q ,0 d.!tn, __u) V luIS FnJrI^ rnrpr alp lniqFurir:'i'nlduaxa ap ,pueJd.p.rnFl; o arg .gNV.Id iUnOfgI:INn V SW|UVW r VrVdyAirov- -dil.9

i:""03"X;:",'.?i,:,;:ot:;'K1,:0.;'yjl-il,rtl3i["',l:":g.^r **^ _ - l i lca1o:d

ap a1aue.1d urp lnun ad e:alnrrpuad-ro0 nes u1a1er.ad pur^op ps (, .q,e .qe) plo:d ap-el i fea:pBJnpB as ps orfcelo.rd ap oueld ep aiuquiiqcs oi:1ur.r4 o6

?.p_. _El : y_r_y,n' p (, p, p) ot' o, ; ;ol$ o'

* " j i i, o' ").,or,i, L'rtJ' 3 $

upluozrro) JpJrlrr^ uald ap areqturr lJs o azanlcbla as ps "I

Isndoud lwl]goud 'z'9n'.

.a lep y l$ q aldarp pnop rolar

"u"lgo,r lerelnrlpuad.r,ad a1e (,u,u ,uui) aliri;r.elold urlqo;iSfo eldea.rp alsauillug pu3r qujd!4.4!iI Ia nr latered) l?tq lnluaurFas.y eloeaipecl araunlB ps putrPc I l}rlq ,rrrq) plBluorJalsa BO 'arfraro.rd ap eueid 'e'p

rualsis lnuu u1V jS O rolalda.lp B Flrnuror erelncrpuad:aJ

euldunl BlBrBAapB ug alsa 16 ad Iq urp psnp

ta.g '8rc

f1

lul)roe

IF.ifer-i

FcaF')F'n

l,nBS1

I

rca

4. a, a') de pe aceastd dreaptd si unghiul c( pe care.r.-. :ota i l face cu planul orizontal de proiec{ie.I Si se deternrine in adcvi i 'ata m:ir ime unghiul diedru a: , : : ins intre doui p lane F gi Q a c i ror dreaptd de inter-

: i : estc dreapta dc pioi i l (hv, l r 'v ' ) .

. Fi ind date doui drepte concuretrte, sI se efectueze. : i imbare de plane de proiec{ie astfel incit noi le lor

- . .+e1i i vert i .a le sI { ic p i r r le le (- : ru ccnlurrdate).Si se determir-re in adevlrat ir mdrirne unghiul a::ns inire o dreaptJ D (d, d') 9i un plan paralel ci-t

. : de pdmint , t lat prin urncle sale P gi F'.

- Un plan paralel cu l inia de pdniint arr: urmele sale PF' corrfurrdate. Un punct ,A (a, a') are cele doud proiec-. . le sale confundate ; i s i tuaie pe urmele planului . Sd

' ietermine in ader,dratb mil irne distanta 8 de la, - - : i la plan.

l . Se consideri planul F dat prin urme. 5i se efectuezer :-:r imbare de plan vert ical de proiec{ie, astfel incit in:, .-1 sistem urrnele planului sd f ie confundate.-:" Jr in nretoda schimbir i i planelor de proiec{ie si se

: : , :a planul oarecare P, dat pr in urme, sd devinlr{ :endicular pe l in ia de plmint .I Sd se efectueze o scl i imbare de plan de proiec{ie,

, , : , ; i inctt un plan P, dat prin urme, si devind perpen-. - .ar pc unul d in rroi le plane biscctoare.

; 'Si dd proiect ia or izontal i a unui unghi drept 9i- , :=:{ ia vert ical i a uneia din latur i . Si se determiner- . . : , t ia vert ical l a celei lal te laturi , cu ajutorul unei' , . ,nbir i de plan de ploieci ie.- Sa se determine prciec{ i i le punctului de intersecl ic

. . : : .e dreapta de prof i l (ab, a 'b ' ) g i un plan t ie l in i t der : : ie le D (d, d ' ) g i A (8, 8 ' ) concurente pe l in ia de..n.1; l t .

Si se determine proiec{i i le punctului de intersecfie, i r ' . :e dreapta de prof i l (ab,a 'b ' ) g i un plan del in i t. - - . dreptele D (d, d')

"si A (8, 8') ale cdror ploiecl i i

L,r . : -r tale coincid.I Sd se determine proiec{i i le punctului de intersecfie

:Lrr : - ,e dreapta de prof i l (ab, a 'b ' ) q i un plan def in i t de, :x: :e le D (d, d ' ) ; i A (8, 8 ' ) a le c l ror proiec{ i i de f lumer : : :a i coincid.11' J: in metoda schimbdri i planelor de proiec{ie, si se."- : . p lanul oarecare P, dat pr in urme, sd devini para-- . - I i rL ia de plmint .

- S. se determine, cu ajutorul unei sqhimb5ri de pianl ' ' : - .- . iect ie, proiec{i i le perpendicularei comune dintrelr L- diepte de profi l (ab, a'b') gi (ce, c'e') .

" : : !n metoda schimbdri i plarrelor de proiec{ie sd se,ur := r lanul oarecare p, dat prin urme, sd devirrd planulm,:" . - :a1 de proiecl ie al noului s istem de plane de

l l i l i r : , - : le.

!- consideri segmentul ale cdrui extremii i{ i sint. .- .e A (a; a') Ei E (b, b'). SA se efectueze o schimbarer . : vert ical de proiec{ie, astfel incit noua proiec{ie

:. . i a acestui segment si f ie egald cu dublul coiei

: - ' . metoda schimbi i r i i p lanelor de proiec{ ie, sd se-,. ' - l i vechiul sistera de plane perpendiculare de

25" Se corrsiderd urmele F qi P' ale unui pian. Rotimacest plan, in julul urmei si le orizontale, de un unghidiedru a, in sens direct. Pl intr-o schimbare de pianvert icalfc proiec{ie, si sc determine noua urnti vert l talda nlarr f lu i .

5.3. METODA ROTATIEI

S-a ardtat ci in metoda schimbirii planelor deproiectrie una dintre proiectiile figurii rimineinvariant:i cind se schimbd unul din olanele deproieclie. Dar se pot modifica ambeli proiecliiale unei figuri, astfel incit sI se aducd uneleelemente ale figurii sd devind paralele cu unuldin planele de proiectie. Spre deosebire deprima, evident, aceasta este o metodd noui carese numeqte metoda rota{ iei . In cele mai multecazuti se vor folosi axe de rota{ie perpendicularesalr paralele cu planele de proieclie gi se valine seama de urmdtoarele principii :- Cind un punct se rote$te in jurul unei axeel descrie un cerc al cdrui centru este pe axagi a clrui raze este egale cu distanfa punctuluila axd.- Cind o figurl nedeformabild se"rotegte injurul unei axe, deplasdrile unghiulare ale tuturorpunctelor acestei figuri sint egale $i lungimeadrumului parcurs de fiecare din aceste puncteeste proporfionald cu distanfa sa la axa.- Proieclia unei figuri pe un plan perpendicu-lar pe axa de rotafie se rote$te in iurul picioruluiaxei fara sa-gi schimbe forma. Acesto pr incipi ipermit de a deduce imediat cum trebuie sd-seefectueze rotatia punctului, a dreptei sau aplanului in jurul unei axe verticale sau degap5_t. S-e 1q gum,i "lotafie- de nivel rota{ia injurul unei axe vertlCale, debarece cotele puncte-16r fotite rdmin invariante. Rotafia in jurulunei axe de capit se va numi iotuii" de fiont,deoarece depdrtdrile punctelor rotite rdmininvariante. Dacd axa di: rotalie ocupl o pozitieoarecare in spaf iu, ea poS.e fi adusa prinschimbdri de'plane de proiecl ie sd devinivert icald sau de capit .

5.3.I . ROT'ATIA DE NIVEL A PUNCTULUI.Si se roteasc[ punctul A (a, a'), in jurul uneiaxe v,erticale (o, co'), de un unghi cunoscut cr(fig. 5.24). Axa de rotalie (., . ') fi ind verti-cald, rotaJia punctului A in spaf iu se efectueazeintr-un plan perpendicular pe axd, deci intr-unplan de nivel [ I ' , s i tuat la cota punctului A.

-uti,;1. . ,

l t i l :

fllr ll -'

t)

I

,,ii .

I lurtLilli

= pr i t r t r -un al l . s istem,Je pl ; r re perpendic ' r lare

83

t,-lt:i::d- FzeoJresrarur nu n's_ i$"*"t"1t'&.:S r1_{;_,p: i Fi;t;;;;'";i;";;; ##:i,:]}l:_

p.T,, ip Inrrar runr gdnp ,nirn icru nns

.^_l l l lgt gnop. p1:oduror .euralqord Jriaior

l:X::l:"9.^P9T ,!Y.r"ua8 u1' j1,p n"'nir,;:"_ 1.19 -prnp xo lujrusd ap. erul1 iii uinlrrnoT,,n-1,"^..Y"1u.1, :I :up, n r pidsar'', Jn' nl I r, 1r"n"liily".lg_ il1g" n, .:n_

','s ,n";rnr;;,;j;",jii;-ralord urp el'rrprr

"-ltpj?, ep eltiyil ad.o reJBl

:T1li9 " p Fletuozrro ericarojd'uil uir$-ru ulpzeelJasJalul oJBJ cJoJ un ai.rcsap nr',i.o urnj

ll ,;9.,:Jg""jl,^^:9. .3nur. n.. .pi isrul raJ+sey lntrcund al6alor aS '.(,p ,pi g "gf,i1uor,roo_d 1nue1d ug gugurrapp y'gn1h1iun?iiio" ,1l-lp_,_! te^ru ap tnueJ_a _aurin'ulrd 1up 4 inuulouJ ezenlls es ps l!ru! yagsu .(,or ,i")

iri",y"nlaxu lnrnf u! (," 'u) V- lnlruni prrJ"loi n, pg',{13,?,319) aum u;.rd lep 4 ;nueyd ;$ Jnlrunot:"^.1] y ar,t .rrlvra un-Errut'gziinris'as vsTIINI I:IJISV InlnIcNnJ N-I$J6[..;.d ;

v8.Iuu rnlnluauFas ea:eolerpaur edarfelo: op roxe 1e. r'lnrorcrO pFrnin

", L. rBSoJaua-lse_ PIlqlsoa .9_ll q.r ,eureiqord gC .O reldarp

1i|j|9:^3r.:r :(I", 'tu) eJrii5aro.rdlp Teop s1e1-uezeJoal r;_e1eod ,a1ep laueJqord alrrlrpuoc ul'y1n1ntrcund B Rlrlor eilyio4.iB uflcjloiii "u,fqdas elep roiderp e p R1pluozrro erJ.cerorO aO' iSte

, nJ eulpJo op alulJ 1$eeace ed .,p BJpJtlJeAerlraro.rd Ie uI ei6iu1g1u; pljierl'O ̂n1rnn"y'x-o 1u;rupd ap BIUII eJ- plelered o arrrsop EA1: j.1,"_11jt-1_ us ulfcelo;d .

,y 1n1n1cund u 1e,uu:Pnj1"l9l uI 'PlPp (,p 'p) s ulduarp ed azanlsses Ps ryf,u! IeJlsu ,(,y

.,n) y lnlcuhd urseeloJ::.3.9-Je_a.g '3u) (,p''p) [ i;1d'uaip ;s 1," ,nf yJ:l"yld_l{ 'yrdviruq o ed szsriirs gsys v3 "raJJSV rnlnrcNnd-vrfvrbt .e.s.g'y yn1n1_cund u ,r lnrq8un ap ,g1r1o: eflyzod g1ugz:ljfj^ Ji. --,te)

e J 1 lf caror4' .1ii' ' ?uroj preJr+ralBllreJord ulp pllroqor ourpro jp eluii rb' urelsrulJlur rs xo lugrugd ap Erurl ef plalei'eO o edpzeoseldap es e Bleluozr.ro elfcaioj.I'.lnrsounc,0 rnlnrqdun :olezundse:oo ru,u cra-c jp 1nc.re::.,:.,::.n^t_,nr arrrsop ag .iuir.rpru plirg,rapelj :!l:31:j9_ ap rBrltral 1nue1d ao qidatrjeroio?: i.l:lllyn_'V lnrnlrund eaiel.rpdap eJ lunlrs'J luorJ ep ye1d. un-rluJ Fzeonlrala ai niirjos riry _lllnlrund elfelor 'z'ej lsar'e irf 'fqirg:-SI;i), lnJsounJ ;qFun un ep ,(,to ,or)

ipdilc" ep explaun lnrnf u! (," ,e) y- lnj5und prjualo.r as pg.IN'INISNNd

V INOUJ AO VIJVIOU .6.8'9'yj:l"l*r.g_1 '1 qn;UFun ap .Flrlor vtlrzod plurz::j_11^(iY'ru_) e111|calord .Ju o+rtor"eleluozr.roJallralord B aurpro ep eruil 1u ug elibulglugIs xo Julrupd 9p elul1 d1 '!1eie:ed

o'-",rrr.pf.jry:lt1_1 u1fra1or6 .liasounc ,c rnlniq8uhJolpzundseJoJ ,ruu c:ac ap lncre air5s"p as:: :rya nO .aurrprrr plerpnJpe u;'arfcjrordap lutruozrro 1nue1d ad gzeaicaro.rd aj,o frilq8un

ga'9 '8tg

L INCITA (a, a')g. 5.27).rul axeiitueze in{ H' dus'rrul P onctul ArD.Cusecteazdr orizon-t proiec-oiecl i i lercfia cuprin a'axei deJi i , una,aza 6arptei D,iec!ia d

: 3.5. ROTATIA DE NIVEL A DREPTEI. Si seroteasc[ dreapta D (d, d'), in jurul unei axeverticale (., .') de un unghi cunoscut q.. ig.5.28). Se vor rot i doui puncte alei:eptei D. Pentru aceasta se duce perpendicu-ira oa pe d gi cu raza coa se descrie arcul der:rc ao1 corespunzltor unghiului a cunoscut.langenta in a1 la acest arc de cerc este proiectia::izontall, rotitd d1 a dreptei D. Proiec{ia a',i : terminatd pr in iniersec{ ia dintre d' gi l in ia:: ordine din a, descrie o paraleld la ox Ei:tilnegte in ai linia de ordine ridicatd ,in ar.

lentru a f ixa proiec{ ia vert ical i ' rot i ta di a::eptei D, se mai roteEte punctul B (b, b').:e remarcd faptul cd un observator care priveEte:-n <o spre a vede in stinga sa proiecfia b.lnalna nr i r r inr l cf l ra q - qnocl nhcorrreinr r l in , . ,. ( l JPIt 41t dLEoL vuot l vqlvr u l l l a

vadd tot in stinga sa proiectia:rtite bl. Dacd axa de rotalie intilnegte dreapta:atd, este suficient sd se roteascd un singur: :nci al dreptei , deoarece exista un al t punct

Fig. 5.28

care rdmine propriul siu rotit (fig. 5.29)(punctul de interseclie dintre dreaptd ;i axd).

5.3.6. ROTATIA DREPTEI ASTFEL INCIT SADEVINA PARALELA CU UNUL DIN PLANELEDE . PROIECTIE. Fie D (d, d') dreapta Ei(., ,o') axa de rotalie care se alege verticald saude cap5t. S[ se roteascl dreapta D (d, d') astfelincit s[ devinfl paraleli cu unul din planele deproiecfie. O rotalie de nivel a dreptei D otransformd intr-o dreaptd frontald, dacd se varoti proiecfia orizonlalS d a dreptei D astfelincit sd devind paraleld cu linia de pdmint ox(fig. 5.30). O rotafie de front a dreptei D otransformd intr-o dreapti orizontald, dacd seva roti proiecfia verticalS d' a dreptei D astfelincit sd devind paraleld cu linia de pimint ox(f ig. 5.31).

Fig. 5.30

Fig. 5.31Fig. 5.29

B5

q9'c '3rr

jn+rund 'g BldBeJp uud s]t i l , ,Dt-r luel_-,alo.rcli l_13- l . l ptrJZl l r ln ' ,dd 1nur1d rs { .p ,prO rr la,r :p: j ] , , l ip 0r i rrsrr iui op ; rnlni : i rnd r l? ( , t . t )alrr icaro. ic i I i l l r l ralu ELir l rrJJ];p aS.d 1n, iv1'Our azonlls os ps llJu! traJjs? i(,p ,p;

6 eldeajpplsur+or os FS

.(g€.9 .Bl1) ' rnlnuel i l r l_r i l r . rn,d. ls d at l t i t r ider ip ( ,p ' t r j C r l . i . i l i tg i l

ryr,ud rvff NVld Nn-lrTN! AZlnils :rsvs.LItNtr 'ruJJSV [A.[.drUfl vrlvrou .ur r !,

czapasralui E:: e3 6 ralctarp " i,iJ"BoltJt;,l;:i

: , l . l j t9d Iai lse lzerzr iard 16 (Iq ; tq) ig uJ lqEirnl : : l : l t nr r is ' r i ( j ' r rs ( ,q 'q) g 1nlr t t i td . iB|V ula+sJlo; Js rV I ,nJlurr t [ , r - l tg. Iup

In lntu. lu] la.9a],BolB!poru ad (,r , r) ar1e1o: op ' BlBrr l ra-\exe e! JS l?s JESaJau

-J lqJ . ( ,8 ,E)

V l i r Jt iElol

f t ia11fz. us ( ts. ' t * ; ty l r r i :urrd u)" ] rJr . r t ldJl .ep. Jrr . '? IS ,p ed . lu e? xo ul ,1, urrd e;a1u.re.1' . ( ,e 'e) y 1n;rund ur.r , l pru 'a i ] ps ] l rur la j i :e! , ! :q l G eldea:p al ia;o-r as :q,g ' ,g"r y 'Bldear[ ' ;dt , ,v ' ,ut .V.rer l rqrE, l rund un al . { . (gt :g ,Fr.yt p lep!l! __(/,I Pxll BldPsrp nf, ezelrssrelui os ps l!ru!,"jlu:^,'!:p .e_)-0 etrduarp Bf,sgalor es RS .YIVC

l: l s-lv YXIJ YrdvaUq o azarlasfsrhirvs .r.I3N{ lAdrsv ra.[.dauo vrlv*ott.ot g-;

lalclorp eJN!MlVdYS IIsNI

IJArU op er leio"r ,zel lsale ul .XO

30 VtNt"r n3 Yls-rvdvd vhitAsO'rEJrSV [3rdau0 vlivrog .e e.q

l!g:i ".p pldea:p ep erlrzod ,, 'o 'l'r?,;5),:3

9rnpe f* , ,rr) olerr.+ron sxa

'ralin inrnf

'u1

!a^lu ap a1ie1o1 o 'rodr7 '(ee.g Sll) (Ip ,tp) tri

:l i l1?lr,:^-Fldg'rp. ?p eJlvntt' ul"'(,p :p) il-BloB3Jp a)npB (,$ , , , r) lpdel . ,p r . txB in:nT'u]

]uorJ op er lelo: eurr:d o .ro1e. i iy . ( fp ' ,ap) a, i

:]:, i1l:^ "l l-turq- ep- ar|1zod' ui '{ i" ErsluorJplrlea:p eJnpu (ln ,rro)

lgder ap -;xri

launi lrnl- rJI_ iuorJ ap ariep_r o .1oclg (6t g :3tJ)1It . ]g)_'q r,Jpluo.rl plctua:p np- oiJirSo ii!1:t_'pl_O "

uldBdrP Jrnpp (,c, ' . (D) a;err1.ranIJXB-_lnJn!. uJ IJ^tLr Jp arf e;o. l l iLu r . r { . l ' O

.p]-dBr.rp ( ,p 'p) ( r tc .St iSAIOUd

3C a.I3NV-IdNrG 'rnNn ad vuvtnsroNsdusa vrutnacYs IIINI racls? raraaUo vli.?ioil" z e stt I 'FI:{

'ap alef,rlJaA rcrirato:d a1u rr|-rzocl enop r$ tp alzi-uoztra. 1a1ica1o.rd 9le Ill lzod gnop glsrxa ara:-l-?98 _ll+ni_"' lji.ng oinrrpB giep euiaiqb:d ,1e:

^1t1Y,ul,(yp -"p) :o eleluozrro-o1uo:i 'p1dej:p. f ut l tzod ur- tq e1du.:_:p oJnpa ( 'c l , i r ) '+pOnl,

: .q^l l - : lnrnf r11 (Jp,,rp) tq i1e1i io.r ; ra{OJip elLIorJ r l ) er. |e1o.r ' rody (pg g .Ftt) -( f t r ' , tp) ' rG

:_l:1-1"rJ gldee:p ap eilrzod ur (,p ;p) ij e;dn.r!arnptr (/ro 'o) a{Bti}JaA raxu 1n"ini u1-(,p ,p) qtr

r-- r

68 9 3l.l

aducetal i

frontei de

f ia degene-deoa-zon-

le d6.

SA8, g')astfel8, g')

a')d ' )

a').ped

lnaxa

)ar eate$telaEii l iaeze

SARINiP 'scain

f i i leintre

ultul

Fig. 5.37

Fig. 5.36 ,

I ( i , i ' ) este comun dreptei D Ei planului Fsi rdmine propriul siu rotit dacd se alege axavert ical l de rotaJie ( . , . ' ) sd treacl pr in el .Este necesar sd se determine un al doilea punct,comun intre dreapta D Ei planul P. P-entruaceasta se rotegte urma orizontald h a d_r.eptei Dpind cind se aqazi in-ii1 pe urma orizontd"l5 aplanului P. Segmentul hlor determind proiec{iaorizontald rotita dr a .dreptei D. Proiecfiar,'erticald rotitd di a dreptei D este determin-atade hi i ' . Ca veri f icare, urma vert icald,"vi adreptei rotite D1 (dr, di) trebuie sd se glieascdi€ urma vert icald P' a planului dat. Dupdndrirnea razei de rotalie oh, problema admiteJouX soluf i i , una sau nici una.

; .3.11. ROTATTA DE NrVEL A PLANULUI.Si se roteascfl planul P dat prin urm.e, i.r_1"iu_t!d"unei axe verticale (c.i, or'), de un unghi cunoscut a,f ig. 5.37). Se considerd perpendiculara oa:e urma orizontald a olanului P si cu raza <na:e descrie arcul rle'cerc ?ar iorespunzdtor:nghiului o( cunoscut. Tangenta in a1 la acestaic de cerc reprezintd pozitia rotiti P1 a urmei:r izontale P. Punctul I ( i , i ' ) unde axa (. , . ' )::tersecteazi planul dat rdmine in rota{ie pro-:iiul sdu rotit. Se rote;fe de asemenea ori-:,:ntala D 1d, d') corespunzdtoare punctuluiI ri, i '), p cind ocupd pozitia D/ (d1, di).

-:ma verticald vi a orizontalei rotite Dli--,preuni cu P1* determind urma verticald::iiti Pi a planului dat. Rezolvarea problemei.. simplifica dacd axa de rotatie (or, co') se

Ir ig. 5.38

alege chiar in planul vertical de proiectie(f ig. 5.38).

5.3.12. ROTATIA PLANULUI ASTFEL INCITSA AJUNGA PERPENDICULAR PE UNULDIN PLAI{ELE DE PROIECTIE. Sd se roteascdrnai intii planul P dat prin urme, astfel incitsi devinl plan de cap[t sau plan vertical. Seefectueazi pentru aceasta o rotafie de nivel aplanului P in jurul axei vert icale (o, co') ,astfel incit pozilia rotitl P1 a urmei orizontalea planului P sd f ie perpendiculard pe l in ia depdmint ( f ig. 5.39). Rezulta P1,. Punctul t r( i , i ' )unde axa (., . ') intersecteazd planul dat rimi-ne in rotalie propriul sdu rotit. OrizontalaD (d, d') corespunzdtoare punctului I devinedupd rota{ie dreapta de capdt Dl (dr, di).Punctele Pr" Ei di : vi determind urmaverticald rotitd Pi a planului dat, cale astfeleste transformat in plan de capdt. In modanalog, rota{ia d'e front a planului P in jurulaxei de capdt (<o, <o') aduce planul P in pozifiaPlPrxPi, de plan Praiectant fatd de planul

tI,,i

87

NNVI

}PSdap BnoPnop r

,Jsd Pulld Prs€NIO'I I.IAJI!II

zr '9

c Inueld aJnpPIAATIJ ap Purud 'relord ap alemld

Ju! Ie$se 'euJnRS 'ArISArOUd :ro

lNNVld VITVc'rarvuvd YNrA(Nr1

rou

-uoc (,p 'p) q eldea:p Braprsuor a{lulurpd op Erur l nr glalered rd,el tr lrzod-adnro rii

'p) q eldea:p prap,rsuor aS .(lf.g .FIJ)

g ld plttor prprrlra^ Burn orarl L"f :?'#"i$I^ pleJllra^ eu.rn l$ (Ip,rp) rO Flllor es erf rzod

! auriqo as d lnueJd nr elepo (,p ,p) q eldearppul loU '( ,1 ' ! ) 1 lnlrund u1 (,c.r ,ar j arfz loiap BXB nr ^BluoJnf,uor rS 4 1nue1d ug glnurf

'Et,l

t

T

xfrJ//.0

olc

\\A,

o2t I

F_

'/

\;d

BJOJlI JEI

I 'e!pPsJasln lIn'l

roo asSAJJNS

) lnunrd 1upA'IANoYs8t '8 'S

nunlPp

TANYS't '9

eodI ISA:

!ptrlrd

elecAAIS

utpu!J

IO!AACI '8

d BlEluozrro eur:n lgcuj lagisu 4 rii lnueld e laniuap ar ielo: o pzBanlce;e es rS (,ro,co)-elecl l lanol leloJ cp EXB o 'n1dur_axa e.tds ,aFa1e as ,el f-cero.ld.ep lBJalBJ lnueJd ad .lelncrpued:ad rcali' lugurgd ep e.lull nc_ 1a1e:ed puinep ps 6 lnrielilEf, nrlurd '(Ol'g 'Fg) erlcaro.rd ap lelianrc

r l l r

It '9 'Frc

lcanint,oiec-taf ieederld Pmintcon-tdet indr{inel i viPia

ntT'L.A.nlPlcutaf i io.nt:nna

mai int i i p lanul de capat (PrPi) , iar apoiplanul de nivel Pi ( f ig. t .+21.In mod analbg,pr in doud rotat i i succesive, pr ima de front, iara doua de nivel, se poate aduce planul oarecare Psi devind mai intii planul vertical (Pr, Pj),iar apoi planul de front P, ( f ig. 5.a3).

5.3.14. ROTATTA PLANULUT DEF|NIT pRtNALTE ELEIVTENTE GEOMETRICE. S[ se ro-teasci, de exemplu, planut P dat prin drepteleconcurente D (d, d') Ei A (8, 8'), in jurul uneiaxe verticale cunoscute (<o, <o'), astfel incit s[devinl plan de caplt. Se va rezolva problematard utilizarea urmelor planului P (fig. 5. a).Este suficient sd se roteascd doud drepte aleplanului dat sau o dreaptd ; i un punct. Planulde nivel H' determind in olanul dat orizon-tala G (g, g'), care se rotegt^e pind cind devinedreapta de capat Gr (€r, gi). Cu ajutorul planu-lui vert ical auxi l iar Q dus pr in axa (p,.roi) sedetermini proiecl i i le punctului I ( i , i ' ) deintersecfie a axei de rota{ie cu planul celordoud drepte concurente (" ' ta ie (o' in i ' ) .Intruci i punctul | ( i , i ' ) rdmine propriul sdurot i t , el determind, impreuna cu dreapta decapit G1 (€r, gi) , pozi l ia rot i td in planul decapdt a planului dat P. Urmele Pr, Pi alenoului plan pot f i deterrninate cu u;ur inf i .Urma vert icald Pi este datd de dreapta ceunegte i 'cu gi . Rezultd P1* ; i apoi P, perpen-dicular i pe l in ia de pimint.

5.3.15. ADEVARATA MARIME A IJNEI FI-GURI PLANE. Se consideri punctele A (A, a.'),B (b, b') qi C (c, 9'). Sd se determine adevdiatamirime a triufighiului ABC, utilizind metoda

rotafiei (fig. 5.a5). Se duce axa verticald derotaf ie ( . , <u') pr in punctul A (a, a ') gi seroteEte orizontala (g, g') a planului triunghiuluiast lel inci t s i devind dreaptd de capdt (gr, gi) .Punctele . B Ei C se rotesc in B, (b1, bi) Ei9t (St, 9i) , proiec{ i i le lor vert icale bi Ei c if i ind col iniare cu a' . Planul t r iunghiului adevenit astfel plan de capdt. O a doua rotat ie,dc data aceasta de front, in jurul axei de capdt(r,:1, arj), dusd tot prin punctul A, aduce plairulde capat al t r iunghiului in plan.. . . r le nivel ,proiecf ia vcrt icala a t r iunghiulLr iz[ i ind a 'c ib l .Adevirata rnari nre a tr iungh-iul yAat este abrcn.

5.3. I6. ROTATIA A DOU A PI(rVE S A DEVIN APARALELE. ln acest caz se fonsideri planeleneparalele P l i Q date pr in 'urme ( i ig. b.46).5e va rot i mai int i i p lanul Q in jurul axei

B9

mm1lil Miulilll'@'r'ri

is, :r lcund Bl lelnpr lnx' tsl rp I eluulslp al ieounc.a "13f_

* . j lp o,Fqrs Fs rnlnueld e ?leluozlro Brurn BJ i ( V rnl- ino rrJrd,prerr l es pr 1nue1d r1o: ruolnd ps l j ruJ IaJisB.) ' ( ' ) 0t le lo j ap. JeJr lJaA xe ui l aurulalap as ES .Jt lJn

-:, ,1 lpp ,6 1nue1d r$ (,e .u) y lnlcrrnct proprsuor ag

"96,

'plpp arfra:rp o FqlB ps ralda:p e eleluozrro..;raro-rd ter ,y

lnlJtrnd ur:d erearl gs ,q e;duJ.rp purlo:Jul- , lJJ lsc

, , ( , ,+ , ,q) .

lpJl}JJA xB Lln JulrulJ. lJp ;s uSp 'p) e BldBrrp lS ( ,8 ,e) y pr l r r rnd prrprsrror cS 016

- i s- e 1 n :n I us. 6 n 1,r nn, flp,ji,t#1,1,#J i:r t.l?"?J "fi ""1;- r I l lJ . tnJuoJ, ( , to . ro) leJI lJaA xB Lln oulu. la lcp as u5

.p 'p) O aidcc.rp r l ( ,u ,u) y 1r; ;und p.rJprsr io. , cg "96.Id elBJrlJaA Bluln Bs pnou aurut

-J.}Jp as eg ' .1 "1nquor" lo

J les lJulrn ; t r . rnI ur , ]nJsuunJiEun un i l r . rurrn rrr ;d jup ' .ua1d un

'a1$i1or og .36

,:grn ur azonlrs.as Rs rrruJ ,",,rn ,o-tl:]l#il'J?irfili-Lro ralurn ynrnf u1 (,e ,u)

V lnlrund prieaidL as pS "16'aur:n ur:d 1ep ,4 uald un nr eJcle:ed

::11:.p ! ! : l rJut lar lsB..v rnlnxe 1n:n[ ut ( ,p ,p) q aldea:prrS?alor as pS (,S ,g) y leluozr-ro xp un piapisui, ag .96'RlBp ( ,p ,p) q gldea:p o nr ;a1e;ud Fur^op ES-t-._lt^ t-a1l1u 'y 1n1nxu lnrnt rn iau;:n ui.rd 1ep :4'J,,ueid:rspalot as RS

.(,9 .g) y leluozr:o xe uLi e:apisuor ag _51

. 1Bp ( ,9 ,n) V ln l rund ru:r l greal l u,^

:. ,^1,.t1^ l- t ] ] t t 'V I I t lnxE 1n.rnf ur ' ;u.ur ur:d 1ep , j lnuei 'd?f,sualot os RS .(,9 ,g) y yuluozr-ro xe un e;aprsLior ag -g1.aru:n ur.rd iep.4 i reyci un_r l r l t rzanJts

l : . . ! - . , l l ruJ l3 l ls ts 'v rn lnxe 1n:nl r i l ( ,? .p) y '1n1rui id,"Jsealoi es RS

.(,9 ,d,) V lEluozrro xe urr 'u. lopisuo, ag ^11

,- . . _,R1lp q aldeo:p ad Jzrnlrs rs BS V rnlnxe Jn:n[ uri_rtpul lor, lrrr l ,1q rnJnlrund ulor 1;;1su t irrur.r;1rp as eg1g- 11uno rnun s !u plEluozuo Drircro:d ' ts i ,S .Vl

Vi?Juozr- to xe ul l , ( ,p,p) C uldeajp b.raprsurr ' aE o1

.ar l raro-rd op le luuzrJo ;nuul i i r r . ri ._l^t_:, ] !1ln.p Es trrJlr l loi1se',qr rn jnxu'1n:Lit u1',6 l i rLruldlt :"-t l?j_1:,pg aru:n ur:d 1ep .4 rnlnueld' u'9yi1rc,zr:ou nJ IJlpjBd (,9 ,g)

V le.+Ltoztro xe un p-iapl,-uo., ag _g1.9+Bp

O al t lea"rp;d reln.r ipuad.rat l r i, ,9. . ' . , ] I lBluo;r :o cr lc lo.r op xe un puuapr iuoJ,elurr ; : j . rBUIAap Es lJrul laJisp (,p ,pt

O elCea_rp ejs'ea1o: * RS "r l

:^.n_11" Ft trI3uJ.laJis' ,xB rnlsar' 1n.rnf rrg ,*rttf"ft;;Brsealor as pS (,9 ,S) V lu?uozuo lnxe'e.raprium eg .gi

::^+-r'.1, Ii{r." v.rnlnxB 1n.rnr ur ,"-l;'lli'i,"T',i T,'ii,ti8prseolor as pS .(,9 ,g) y leluozrro lnxe'p:ai,r iuoi "g .61

::ll^.1!:lrui r3Jisa.V 1n1nxe lnrnf 4 (,p ,p) ff'Jft"#.i;EJseolor as RS .(,€ ,g) y lelrrozr:o inxb g.ropi iuir aS ol l

- , ._- , -_V tnlnxe lnrni uJ ' )c luJsounJ rqFun un ne 1epg^:^ l i un r les.( ,p 'p) c uldua:p o . ( ,u i?) y l rund'uirpJseolor 0s pS (,9 ,g) y leluozrio lnxe e.ralr iuor

"g .g1

o r! rururFd ap urrJr ",,"1'J':"#3"j":J,X,i3,;',135:jl; i r r lJJturd . rJ l lc lot L.polJru ur:d .ouru_i lo1cp j , eq 6

lllojd ap. otrda:p snop ".,,u,o rJi,ntr"ilrJi"jlf.i0t",]Jl l l lJrror, t ' rar le lc.r Bpolc iu ur"rd . , :uru_r ia lap j , , e5 g

06

:1, ,'{:?1p .Bt .(,ru , ru) ry lnlcund "rr;(':i.".;qil,.l'J?J$altr lJ0loJd 'rarlulo.r Epolaru ur:d ,aunu.Ialai es qg "2'1r ;o.rd ep ueld r6elare

l j ?]gr l l r , a lda.rp gnop e:1urp ar)55s.ralur ap inynlrLnOal i l iJatord ' rar le lo.r Bpolau ur:d ,auru; ja1ap'es eg .9

. , 'J l r lerad eur, lap ES JJBl l l ra^ lo1 alrr i larorc[ 11tur

l r1tse ( ,S 'S) V t6 ( ,p ,p) ( a1a;do:p prsej loL Js gS o9

. a1a1e:ed pulAap es JIe)t i laA Jol e lJrxJn l lJUtlJ] lsp 'Juun ur:d olep ,D

l i d . r1rue1d.u;saarb, : .

Ua .U

FS l,ruJ raJlse .arrr.rn ur.rd 1ep ,. ;,i',l9il "tid:f"rryf:BRur^ap ps rirul laJls' (,p ,p) a nlonrrpluqor'.xr,Xl .,Etfit;;

- ' , lnJsolrnJ rq8un un op ,(,c,r ,ar) lederep xe rni ln 1n;n[ u1 ,(,e ,e)

V lni lrnd urseSlo: ai pS "t

',,,,,,,,,,,,,,111lllll[r&r ,iilflillltlrq|il0rmruil]]rflm|IMlimr

mmiltwthMul,milillwlnfilt

WftlllillgilI

ll$illlr

ftiiitlt

rulm,'dlllllli

lllll

]I

rsndoud rwtlsoud 'f'9

-pAUr (rB+BrB B-s runr ;tJ'Wf jjl,"[iilji"",,Jil :olaue1d trrFqurr{rs rapo}au uiieoildeptreraJaJd arJ-FS IIln 31se ipJaueF uJ .JoJ BoJBA-191:1,1]lu"d gyielor pnop Eeuauas? ap rar orl-JaroJo ap auBld ap r . lpqui l lJS pnop BlrsaJau aJpJelaualqord 'ar lcarord ap ueld ap aiequr lqrs onJ pluale^Jr lJJ alsJ erfelo: o er eul l le aleodJS ' tJr lEloJ Bpolau uud r$ olBAIOZJJ eiuau;aserp rJ lod el lJ3roJd ap upJd ep rJBqurrqJs reunInJolnf? nr alB^Iozar +soJ nB arBJ'a1erira1qor6'3rl.3FrOUd aCI NV-rd. lro vauvswtHf,srS ar.l,vrou iturNro vfruarvnlllca -.Lt-t.s

. ,Sg JnlnuEld B plr lor vt l tzod:]llt.ld9l Is ,dd .tnu.etd n: 1a1e.ruct alsa !6a6]i!9!d

'60 Bli ! ' rod pdnco ri rSesul ea nr laie;e?pzeaseldap es_t6 eiu:n .?:O e4nod gdnco r$1d l j glale1ed aur^ap ar gugd ,,n lnl ln:nf u1flnl^lq_elsalor es rD Eurn ,tal lsv:,6j

lnrieldnJ IalBJeo eur lep puJJ puld ,V ralBluozrJo

iljnl uI IOrD 1nue.1d el$elor ab j(,n ,,r) uIgletrlra^ Brurn arB ls ][r[ 1nue1d ri; plenlrsals€ '{BleluoztJo o Bauauiase ap .(, i ,g) V'1exr;;ti{:-"jo ',tb rS 4 :olaueid e ir{r5s'raiul bp ,tnl:Yot_ryo nr RIalErBd (,S ,S)

V pldparp o arfejoiap BX?

-Enop E ec a8ale aS .pJpluozrJo o olsa

?l!l !t9narp o pdnp EzBolrasralur as ,a1a1e:'edaleluozlJo olaruJn pUJAB .rOrD IS ,dd alaueld_t! nl

"O^ ln1n1cund ealun urra $-i lerr lrolIar.urn 9-10 ptttor efirzod pl lnzaU 4 eur:n nrP.l9l:r?.J 10 Fur^3p BS o.Brxrn 11eu; 1a;}se ,(er|-rarord ap lprrlral 1nue1d ulp) (,o ,'or) iierr1.re,,r

-"0-.S, i se roteasci i drcptc lc. D (d, d ' ) q i A (8, A') i r r j r r r r r lun.ur ax, or izontal C (C, S') , ast fe l inci t proiect i j l i loronzontale s i dcvini naralc lc.27o Sii se roteascd planele p qijurul unui ax or izor i ta l A (0, 5,) ,orizontale sd devinii paraiele. '

Q, date pri f l urme, inastfel incit urmele lor

2So.Sc.consider i r l icptc le D kl , d ' ) q i A (8, D,) concrrrcrr tcpe l rnr ; r dc pinr i r r t ; i s i t r ratc i r i p lanrr l or izontal . SI scroteasci .dreapta z\ in jurul dre-ptei D, astfel incit s. ioevrr la .dreaptd de profi l . Si se construiasci urmelepranulul

,care t rcce pr in drcapta D gi pr in dreapla Aconslderatd in aceast i noud pozi{ ie.29' Se consideri fronlala F (t , f ,) gi punctul A (a, a,): l1 l l i?. . acestci r l r cpte.^Si i , sc iotc is i i ptanrr l A in ' jur i r i2ccster l ro l l ta le, ast fo l inci t sd sc s i tue.ze in pr imul 'p lanb isec t or..?0" Sc _con.sir ler . ; i prulc l r r l A (a, a,) d in planul or izorr la loe proiccl ie. Sd se elcctueze o semirotal ie a acestrr i1r lpc^t- in j r r ru l r rnrr i ax de rolal ic oarecare A (9, g,) .Jr Ja se rotcasci i purrc l r r l M (m, m,) , dc un urrolr i I

: ,1t1.: : : ! t i ,_in jrrrrr l , trnci drepte ()arecare D (d, d,) c6rr-

sroerata ca ax de rotal ic. I ; ig.5, , l i :

32o-Se considerd punetele { (a, a,-), B (b, b') 9i C (c, c,).

;l r.n ;it -ilii,r?,11i,,,;, . o',',.,., as t rel inc i i pioiec I ii I c I 6r

5.5. METODA PABATERil (RtDtCAREARABATERil)

cA["E A pt_ANU[,UI. REGUT_A ,rr i l r jNGFf

tu-LUI DREPTUNGT{tC (DE pOZtTtE) ( f is . 5.47).fl "",

rabati pc planul orizorrirl rlc p.,roieclieplanul oarecare p, dat pr in urmelc sale'p$i P' . Se poate proceda ir i c loui i felur l :lo Se alege ca axi i de rabater.c urr i )a or izol t tal i la planului P. Trebuie si se urai rabat i i u l l punctoarecare din p. lan. Pentru u$uri l t t : i :se coni ic ler i ipunctul (v: v ' ) s i tuat pe l r fn la vt i r t ic ; r l i i p, i rp lanulut . Acest punct dcscr ic, i t r rab;r tcr t : rp lanulul . P, un arc de cerc s i t r rat f r r t r - i r r r p larrpe,rpendicu- lar pe axa de rabatere aleasa. I)cci ,11?31.t : . , y; a punctului (v, v,) se af la peperpendlc l l lara vto dus:r d in proir . t . { i : r , r i t tnr_lul i u, a punctului pe axa de rabaterc p. purrc-t t t l vn rezul t l d in intersect ia pcrpt , r r t i icularcivcd ctt arcul de cerc de raz\ pxu, t l r i . cu centrulin P*, deoarece in rabaterc <l i : . ; l : l r {rr p*V,rdnrine constanta ( f ig. S.a8). Rabatcrea pj aurmei vert icale a planului p se o'bJine unint jP* cu v6.20 Planul perpendicular dus pe axa de rabaterepr. in punctul (v, v ' ) determini in spaf iu untr iunghi dreptunghic, ale cirui cat, : te si i r t vv,$i v<o, unghiul drept f i ind in v ( f ig. 5.48).lpotenuza in spaf iu a acestui t r iungir i este , rv,gi const i tu ie raza de rabatere a punct ' -u lu i (v, v,) .Acest t r iunghi dreptunglr ic roi i t i r r jurr i l catc-tql <, t .v s9 a$terne in adevaratu rrr i l r i r rrc poplanul or izontal , ducincl in v o oaralc l i i

' iaaxa P de rabatere gi lu inci pe aceait i i paralel icota punctului . Rezult i vvi =- v 'v, ia i uninclvl cu c0 se obt ine ipotenuza tr iunghiului sau

lletoda rabaterii este un caz particular alretodei rota{ iei-gi are drept scop transformarcarnul. ptan asi lel inci t sd clevini cont inut sauparalel cu unul din planele de proiecf id. M.todu:abater i i const i astfel intr_o rbtat ie 'a planuluiin j.urul unei axe orizontale sau irontdle, care.oate f i chiar una dintre.urmele planuiui . brpt.1jab,1te^re,, pe un. plan de nivel, oiiceligura n.: tuata intr-un plan oarccare p se proiei teazi' : rzontat r lupi o f igur l F, egal i cu f isura F.:e spune cd F1 este rabaterea f igur i i F. Dacir se:cate construi exact in rabatere f igura F1, se:o,ate obfine reprezentarea dublu "ortogonall- guros.exact i a f igur i i F pr in operaf ia inversd-.carcnl, nunri td r idicarea rabater i i . pentru:eterminarea rabaterii unei figuri este suficienl, ' se qtie sd se construiasc5 rabaterea unui__ yt_o,argcare al figurii. De fapt se subinfelege:- n rabaterea unui punct sau a unei drepte. :aterea planului deTini t de punct gi de axa

:: . rabatere (saLr de drcapt l qi d6 axa de- r jatere).

_j I ITABATEREA UNUI PLAN OARECAREPl..l_L4ryuL oRtzoNTAL DE nnoincllE.f t -TILIZAREA RABATERII URMEi ViNTI-

al

' -q*

- Proiecf ia or izontala a putt t l r r l t r t l i .prot t ' t ( t ; t

.u iXbatrta se gisasc i t t iot t lc ' rr t t t t ; r s i t r iat tr pc

aceeasi oerpendiculard dusl la axa t le rabaterc'

--Oi i t int i punctului rdbatut la axa de raba-

tere este ihtoideauna ipotenuza tr iunghiLr lui depozit ie.I- i junctele si tuate pe axa de rabatere sintpropri i le lor rdbdtuteL habater i le dreptelor paralelc cu ; r \a derabaiere sint s i ele 'paralele ct l axa de rabatere'

- intre f igura r ib i tut i Ei proiecl ia. or izonialrra f igui i i pE planul p9 care s-a. facut rahatercaa f isui i i pE planul pe care s-a fz icut rabaterea;" i ;Tt ; ietal ie de ?rf in i tate ' Axa t lc al i r r i tatc

raza de rabatere' Cu centrul in co se descrieuiiut 4., cerc de razd ov1 car€. intersecteazdin * n.ip.ndiculara v<o. 56 uneEte P* cu v6 $ir" 6Utin. P6, rabaterea urmei vert icale aplanului dat. Triunghiul vvltD se mrmeqte'triunghiuL de pozilie (sau de rabatere) al punc'tu lu i (v, v ' ) .

Regula triunghiului de pozif ie (rabatere): Pentruirn-rt"i.u un-ui punct se duce'intotdeauna dinnioiectia orizontild v a punctului operpendicu'i'ara ii o paraleld pe axa de rabatere' Per-oenAifuturd se intersicteazd cu axa de rabaterefn ., centrul de rabatere. Pe paralelS se.mdsoardintoiA"uunu cota punctului ' fafd de planul pe.ui".u fhce rabateiea. Se obfine v1, deci rezultdiriunshilt de pozitie (rabatere) vcovr-, a cdruiipoteiuze covl iste'razi de rabatere. Se descriearcul de cerc cu centrul o 9l raza c0v1; car€ vzlin["tt..iu perpendiculara v,,r in doui puncte v6,J;;-ili6 siu de alta a axei. Aceste. puncte.int duiu doud rabateri ale punctului consi',f.iut.

-.q...tuqi triunghi de lozif ie poate f i

.onti.uit penitu orice- punct A al orizontalei D," p"lr";irl tu, .. construieqte triunghiul der,"iiti" pentru un punct oar6care confinut in'planul PP'.Observare. Din cele de mai sus rezulti

IT.liff't; efectua o rabatere este neaprratnecesar sd se cunoascd elementul care se rabate';;a; irbut"t. qi planul pe care se efectueazdrabaterea.- Rabaterea unui punct se face intotdeauna." ;j;t;*i construciiei triunghiului de pozifie(rabatere).

92

este axa cle rabatere, iar punctelc corcspott t l t ' t r tccare determind transformarea a[ inir s i t t t prolec-

i iu or i iontulS Ei rabaterea purtct t t lu i .cot ts i t l t ' rat 'Aceastd propr ietate estc loartc ut t l l t l l i s l l l l -p l i f icarea operal i i lor graf ice p( ' cnrrra '

- Toate punctele planLr lu i s i t t tate i t t pr i t t rLt l

d iedru uoi uu. , rabater i le lor pe pl i i t tu l or i -

zontal s i tuate in unglr iu l iot ' t t t r r t , r l t ' t l r l l laor izontal l P a planul t r i q i r lc r r i l l l r t t ' r 'ea P1 a

urmei vert icale a Planului . :- Unghiul d in co al t r iunglr iu l t r i dceste intotdeauna unghiul plat l tare.unghiul d iedru cupr ins in l re plantt trab-ate qi planul or izontal dc proiecf ie '

5.5.2. RABATEREA UNEI FIGURISITUATE INTR-UN PLAN DAT PRINFie olanul PP'Ei t r iunghiul (abc,conf i i rut in acest plan ( f ig. .5 '49) ' Cuunui punct oarecare (v, v ' ) de Pe urmal5 P' ; p lanului se rabate accast i i t t rnt ; t

pozi{ icrrreisoaracare se

PLANI:URME.a'b 'c ' )

a jutorulvert ica-in Pir pe

Fig. 5 49

l tt /

H$tIT,"1

planu.l,o,rizontal de proiecfie, luirrd urma ori-zontald P ca axd de rabatere. Se rabat totortatigi orizontalele planului care trec prin punctele(?, a') li^ (9, .g') pe care se obfin-rabaterile a6Ei. c6.ducind din a gi c l ini i le de ordine perpen-diculare pe..ax-a..de rabatere p. Rabater'ea bo apunctului lb,..b') se poate determina tot aqasa.u prin afinitate. Triunghiul a6bsc6 reprezintdadevirirta mirime a triinghiulul -corisiderat.

q._5.9,_4tplcARFA RABATERTT PENTRU 0FIGURA PLANA. Se consider{ acelaqi exemptu$r se presupune cd in planul pp, dat 'pr in urmetrebuie si tuat un tr iunghi echi lateral 'de latur5datd; se cer proiecf i i le dublu ortogonale albacestuiitriunghi. Pentru aceasta se ralate urmavert icald a planului pe planul or izontal deproleclte qi se construiegte in rabatere triun.ghiul echi lateral asbncn. Urmdrind operaf ia derabaterp in sens invers,.se dedui imediatproiecf i i le abc qi a 'b 'c ' ale tr iunghiului cdutat.pnn ab gi c6 se duc rabaterile orizontaleloracestor puncte care se intorc din rabatere.Pentru punctul (b, b ') se ut i l izeazl tot t rans-formarei af inr i . '

1.-5.T.- D-ETERMINAREA UNUI PLAN PRINRIDICAREA RABATERII. $ se determineurme.le P.gi P' ale unui-plan cunoscind proiecfiilepunctului M.(., m') din plan gi rabatirea mn aacestui punct pe planul orlzorital de proiecfie.Astfel , , f ie m $i q ' .proiecf i i le punctului M,gr m0 raDaterea acestui punct pe planul orizontalde proiecf ie ( f ig. . .b.S0). Unind . f .u . qiducind o perpendiculari ln m pe msm, seobf ine.,proiecf ia or izontald 8 a or iz"ontaleilJLt i-l care trece prin punctul M. proiecfiavert lcala b' ' q i urma vert ical i (v, v,) ale acesteidrepte rezultd imediat ducind pr in m, o

i1

paralel l la l i r ia de pirnint . l ) r r r inr l cota purrc-tului M in r t pe 5, se ob{in m'. Ca i i t f icdeterminat t l i " rr ighiul <le pozitr i , a l prrrrctulLr i M,treDule sa segiseasci i c,r , ccnr lr l r le ralratcrt .Pentru aceasb se qt ie ci i tonl t rcbrr ie si i f icegal cu <omorca raira ,Ja ralrrti 'ru'. I)ct'i, <,r scglsegte pe mdiatoarea r idi t . r t r i pt ' r rr i j l tx.rr l aal. segmentulu meml ;i pe cl.eapta muni. para-lela dusA Ia $ pr in co este urnra or izorrtal i r pa planului (ord a servi t .cr axi i r le rabarcret :Rezultd F* ce{ 'e unit cu v ' (h urrn:r rrert ical i r p 'a planului c. jutat.

5.5.5.;RABAiEREA pE Ult PLAN DE NtvEL.DISTANTA f,F] LA UN PUIST LA O DREAPTA.In ge4eral , i i problemele ,n cart ' se alege rrr l t r ; ror izontald a unui plan ra axa , lc r l l r l icr , : ,operal i i le grdice care se fec asupr.rr elernentelordin problemr depagesc cle cele ' r r ra i rnul tc or icadrul ep*lrelpe de b parte, iar pe de al ta partese intrpdue oleraf i i le graf ice mai pu{ in l tecesare,oaca se ia a plan de rabatere urr .n lan r lcnivel (sau dr f iont) . Efectrr i rrr l iabat i , rc l I )cy1 l . la-n.de lvel , .se rerr lucc si rrr{ i tor- r 'o i l r prrrrr ' -tu. lui faf l_ de planul pe care se' fabe rabarerea,tr iunghiul dr-pozit ie ' ' ra rezulta mai mic si inans.amblu _torte operaf i i le graf ice vor f i 'nrairestrinse. Ca axd de iabate*re in acest caz sealege or izontala de intersecl ie. d!ntre planulcare se_ rabate qi planul r je ' l r ivel pe care seIace rabaterea. Tr iunghiul de rrozi t ie se con-struieqte. eraci Ia fel -(cu excep{ih 'cotei) , iartoate celelate proprieta{ i ale rabater i i r imirrlnvariante. S[ se determine distanta de la unPfncl la o dreaptl prin rabatere. pe un plan denivel . Fi .e / [ (rn, m') punctul tJair ; i A'(g, ) , )o.dreapte orrecare dat l ( f ig. S.5l) . Se rabateplanul determinat de punitul M ; i t l rcapta Ape un plan de nivel H' ,

-dus la cota punctuiui M.

Dtuqplu- A ( t , 8 ' ) intersecteazd planul c le ni-vel H' in punctul A (a, a ') , care impreunl cupunctul M (rn, m') determind ol izontala deintersecti.e D (d, d') dintre cele tloul plane,orizontald care se ia ca axd de rlbatere. punc-tele A qi r l t r l rnin propri i le lor r ib i tute, f i indpe axa de rabatere. Se rabate de asemeneapunctul oarecare B (b, b') cle pe tlreapta A.Construind in b tr iunghiul r le pozi{ ie bb1<o alpunctului B, se ohf ine rabatercr bu, pe planulde nivel H' , , I punctului B, 1i cu aceastarezultd.Se, rabatefea dreptei A pe acelaEi plande nivel . Se duce ?n rabaiere, r l i i r pLrnctul m =-: tng, perpendiculara pe 8s si se obf ine ne,

93

D (d, d ' ) $ i A (8, 5 ' ; . Se poatc procecla i i rfe lur i :1o Fie M (m, m') punctLr l rk 'coircrrrcn{ i i a i ct : lordoul drepte ( f ig. 5.53). Se corrstruieqte urrnaor izontal i P a planul t r i iornir t r l t ' cc lo <lorr j it l repte cottcurett tc qi sc al t 'gc crr ; rx;r r lc t : r l r ; r{r ' r ' t ' .Sc fornteazi i in l t t t r i t tuglr i t r l r l t ' l r t rz. i l i t i ; r l l r r r r i , ' 'tu lu i M, r luciud in rr t g lar ' . i r l t ' l r r :1 i pt ' r -pt ' r r t l i t ' l r l r l r rla axa de rabatcre. Pc l r i t t ' ; r l l ; r r ' i ; r t , , l ; r l t t ' r r i . ,a punctului M faf i i c le plrr t tLr I l ) ( ' c i r r ( ' . , , ' [ , r t ' r 'rabaterea ( fa ld de planul o l izorr t ; r l ) ; i rezrr l t i i ;n, .Perpendiculara din m int i l r tcste axa de r;rbutcl t :in co, centrul de rabaterc. Ctr raza toffrr sodescrie arcul r le cerc carc i rr i i lnestc perl)cu-diculara mo in m6, rabatcr e:r l rurrctLr lu i &1.Urmele 11 = hn Si k : k1y r t l t : r l r lptr : lor D ; i A,f i ind pe axa P de rabaterc ' , r i i r r r i r r propl i i lclor r ibdtute. Unind f l ls cLl rcestc y.rurrcte seobf in rabater i le dx qi 3, 1r . ' p lat tu l 'or izor i ta lde proiecl ie, ale drepteior concurt 'nte r late.Intre rabater i le de gi 3u sc nrrsoarir i t i ar lcvi i r r t l imdrime unghiul a format r le ccle t lorr i r t l rc l ; t t ,Dqi A.20 Planul de nivel H' t i t ' tcrrrr i r ta in plantt lcelor doul drepte cot tct t r r , ' t r tc or izontala ( . , . ' ) ,obf inut l cu ajutorul puuctc ' lof A 1a, a ') ; iB (b, b ') , in care celc t lot i i i r l t ' t , l r tc r :olrcurt ' l r t t :intersecteazi planul dc nir , 'c l ( i ig. l - r .54). 5e i rraceasti orizontald (e, r') ca irxri rlc rlbatcrt' ;ise rabate punctul M (m, rn ' ) l ) ( ' p lnrrrr l r lcnivel H' . Pentru aceasta st : constrLr i t : , , tc in rn,ca mai sus, t r iunghiLr I t lc 1,rrz i { i t r l l , i t t ic t t t -lu i M, avind gr i j i ca .s i i se i r t ct . , i r t t tut t , nr 'c 'faJi de planul de nivel FI ' . ( l t t r i r l i r ( l ( ' i - i t l ) i r -tere om1 se obl ine rabir i r . ' r r . r l r t , , , ( ' i l r , . t r i r i t i ic l l os = a qi bu = b da I 'a ir l t t l r l t : d, , s i ) , 1:e

ciot t i i

i

fr

Fig. 5.51 Fig. 5.52

care se intoarce din rabatere tn n qi apoi inn'. Segmentul mene este ln adevdratd mirimedistanfa de la punct la dreapt i . Proiec{ i i le(mri, m'n') reprezintd perpendiculara dusldin punctul M pe dreapta A.

5.5.6., DTSTANTA DTNTRE DOUA DREPTEPARALELE. Sd se giseasci in adevtrratfl rnflrimedistartfa d cuprinsd intre dou[ dropte paraleleA (8,, 8') 9l At (8r, 8i) date prin proiecfille lor.Se rabate planul celor doui drepte paralele peun plan de nivel H' ( f ig. 5.52). Se alege caaxi c le rabatere or izontala ( . , . ' ) , care rezult id in intersecf ia planului de nivel H' cu planr-r lcelor doua drepte paralele. Punctele A .qi Brespect iv de pe dreptele A gi At rdmin propri i lelor rdbitute, fiind pe axa de rabatere (pe caredealtfel o qi determind). Se rabate de asemeneapunctul oarecare M (m, m') de pe dreapta A.Construind in m triunghiul de pozijie mmrolal punctului M, se obf ine rabaterea mn, aacestgi punct, pe planul de nivel H' qi cuaceasta 8s, rabaterea dreptei A. Paralela dnsiprin b : bo la 8n determirid' Itn, rabatereadreptei A1 pe acelagi plan de nivel [ I ' . Distan-fa d crrpr insi intre cele doud drepte paralele Aqi A1 'se misoarl in adevirat i mlr ime, intrerabaterile 80 qi 8ro ale dreptelor paraleleconsiderate.

S.S.z. a6EvARATA MARIIVIE A UNOHIUI-I-JICUPRINS TNTRE DOUA DREPTE CONCU.RENTE. Si se detennine in adevlirati mirinreunghiul cr cuprins intre douf, drepte concurente

94

Fig. 5.51

Fig. b.bS

: lanul c le nivel H' ale dreptelor concurentedate, gi cu aceasta unghiul ci.

5.5.8. UNCHTUL DTNTRE O DREAPTA gI UNPLAN. S[ se giseasci in adevtrratfl mhrimeunghiul d- pe care il face dreapta A (8, D,) cuplanul P dat prin urme (fig. b.55;. pentru aceas-r,a, dintr.un.

^pu^ngt oarecare M (m, m,) de pe

dreapta A(8, 8 ') se duce o perpendiculai irm.a,. m'a') pe planul dat. prin r'abaterea punc-t .ului M (rn, m') pe un plan de nivel H,, sedeterminl , in adcvi i rat i mir ime, unshiul cu-pr ins intre perpendiculara dusl qi dr iapta A.Unghiul complementar

": + - B este, inadevi j rat i mir ime, unghiul c lutat.

5.5.9. UNCHIUL DINTRE DOUA PLANE. Si SCdetermine in adevtrrati mdrime unghiul diedru acuprins intre doud plane P qi e date prin urme.)q poate Ei in acest caz sA se procedeze in douiieluri :io Din punct l l M (m, m') oarecare r t in spat iu: . dy.. normalele pe cele doul plane (f ig. 5.56).Se determinl in

-adeviratd mirime uishiul ?

cuprins lntre cele doul normale, prin ralatereapunctului M (m, m') pe un plan oarecare denivel H' . Unghiul ceutat a dintre cele doulplane date P Si Q se obt ine in adeviratd mdrimeluind suplementul unghiului p gisi t mai inainte.2o Prin punctul .oarecare M (m, m') s i tuat ped.reapta A (8, 8 ') de intersecf ie a

'p lanelor 'p

sj .Q *. du-ce un_plan RR' perpendicular peI (8, 8 ' ) ( f ig. 5.57). Pentru 'ac6asta

se ia 'otrontala a planului R gi se duce m'hf 1 8, .Rezul td hi ; i apoi h1 la intersecf ia l in ie i deordine din hi cu paralela dusd din m la l in ia

de- pimint. Pr in urma or izontal?i h1 trcce urnr iror izontalS a planului R, urmi i peipendicLr lar i ipe proiecf ia or izontalS 8. (Trasarea urnrr, ivert icale R'nu este necesara.) Se r lcternr inaproiecf i i le or izontale ma si mb ale r l rcptelor r leintersecf ie-dintre planul R cu f iecare r l i i r planele? l j ,q. Unghiul-a cuprins intre aceste'c lreptede intersecf ie este unghiul cautat ; i se obl inein adevirat i mir i me pr in rabaterea punc-tului . M (m, m') pe planui or izorr la l < le l r ro ibcl ie,lu ind ca axI de rabatere urma or izor i ta l r i aplanului R.Observare: In cazul ul t imei var iante se poatedetermina cu ugur infd planul b isec. tor a l t l ie-drului p lanelor P qi Q date. Ast l l . l , Lrrr pLrnctoarecare de pe bisectoarea unglr iulLr i a ( i r l tJci l reiproiecl i i . se giscsc i rner l i i r t ) . r r r r1,1-t .1111;1 ( .udreapta A de intersect ie dintre ccl t t i r iLr l o lane.determinir p lanul b isector c i r r r t r r t

Fig. 5.56

Fig.5.57

95

5.5. I0. ADEVARATA MARIME A UNEIFIGURT PLANE. Si se determine, de exemplu,adevirata mirime a unui triunghi ABC dat prinoroiecti i le sale abc si a'b'c' (f ig.5.58). Seiabate planul tr iunghiului pe un - plan dcnivel H' , c lus pr in punctul B (b ' b:) . Latura ACintersecteazl p lanul de nivel H' ln punctulM (m, m'). Se-alege ca axi de rabatere orizon-tala (e = bm, e' = b'm'), obfinutd din inter-sect ia planului de nivel H' "cu planul t r iun-shil lui ' ABC. Proiec{i i le b = bn 9i m = ntniamin oropri i le lor r5bItute, f i ind situate pea*n "

de iabatere. Se rabate punctul A (a, a')oe nlanul cle nivel H'. Construind ln a tr iunglt iulhe'pozi{ ie al punctului A, .se obfine .raza rJerabitere <,rar, iare conduce la.ae,-rabaterea pcolanul de nivel a punctului A. Rezul td ast fe li lrcntelc r ir l l i r t t t te briao si a1ym6. D€oarece pttncttt lC s6 pascste pe latura AC, trebuie ca rabatereasa c,,"sl 'se glseascd pe rabaterea dreptei AC(care este a,,mo1 qi pe l inia de ordine dusl din cDe axa de rabatere' Aceasti observaJie scutegteie a rabate qi punctul C cu ajutorul unuitr iunghi de po2it ie. Se obfine astfel pe planulde nivel H'-adevdrata miri me anbqce a tr iun-ghiului dat ABC.

5.5.11. RABATEREA PLANELqR PROIEC-rArurE OERTICALE $l DE CAPAT). se poatesdsi adevlrata mlrime a unui tr iunghi ABC'I i tuat intr-un plan proiectant faf i de planulorizontal, prin rabaterea planulL-ri proiectant pecele doud blane de proiectie' Astfel, f ie punc-tele A (a, 'a'), B (b; b') $i C (c, c'). virfuri letr iunghiului a chrui proiecfie orizontald abc este

l r ig. 5 51l

total deformat i i ; i asez-at i t l )c t l l l l la or izot t ta l i t [ )a planului vert ical PP' ( f ig. 5.1-r9). l labatereapl inului proiectant (vert ical) PP'pe planulvert ical de proiect ie se rct l t tcer t le lapt la orotaf ie de nivel in jurul axci vert icale pe.care t lconst i tu ie urnta vcrt ical i i P ' . Proi t 'c{ i i le r- i r i -zontale a, b, c se rotest i t t t r - t tn setts sat l i t tcelSlal t , p ind c ind sc al tern pe l in ia de pi i tn int .

Proiecf i i le lor vert ic:r le t lescr i t t in rotaf ia.denivel paralele la l in ia t lc p i i r r t i r t t . RczLt l t i rl tsbecs, 'adevirata rnr i r imc a t r i t t r tghi t - r lu i dat .

Rabaterea aceluiasi p lan vert ical PP' pt l p lanulor izontal de proiec{ ie sc iacc i r r jurul axt i derabatere pe care o cot lst i t t t ic urr t la or iz-c lnt l r l i aplanului P. Ducind o perpet ldicrr lar i i in P* PeP. se obt ine P[, rabaterea urmei vert icale P' .

;-'

Fig. 5.58

96

Razele r le rabaterc ale punctelor A, B 5i C sintt 'galc cu t 'otclc prrrrctc ' lor respcci ive. Luirrr lrceste cote pc l i r r i i le r le ordi4e i id icatc in a, t r; i .c fa{ i dc axa de rabatere (urma t ; , se ob{ i i rrabaterjlc an, b0 ;i cn, pe pianul o{i'zontal rle:prorecI ie, alc pLrrrctclor respect ive, 5i cu acea.steradcvi l rata rnari me f lxbncp 3 tr iunghiului dat.i l l lgd airalogpoate.fi ir 'Uirrun pian Ai caparpe ccle r loud plane de proiecf ie ( f i -g. b.60). '

q q,l? ,RABATEREA rN JURUL LrNrEr DrPAMINT; Sd se determine proiecliile ii.iugonu"lui ABCDEF situat inti-un irlan p ):aretrece.prin linia de pimint, cunosiind proiecJiilepunctului { (., !f ') (centrul hexagonuluit Eig"l"]"._fg.,orizontal i a .virfului A @,' ar)( I rg. b.bl) . Se considerd l in ia de pimint c iaxa de rabatere gi.se rabate punctul M (m, m,)r,] ,mu,. ge. ptanul orizontal de prorecf ie, cur lutorul t r iunghiului de pozif ie f i l<Dl l l1. in a seuuce paratela gi perpendiculara fat i c ie axa deraDatere. Paralela dus: i pr in o1 fafd cle com, r lda1 pe paralcla dusi i pr i r i a la i in i ; d;-pamint.Rezult l f ls rabaterea vir fului A pe olanulor izontal dc proiecf ie. Se construiegte, in ' raba-tere, hexagonul ajbnq1d11exf6 inscris in celcul derazA mnaS qi .se ridicl apoi din rabatere, tinlnd:egml de diagonale gi de paralel ismul ' t l intrelatur i le opuse. Spre exempiu, rabaterea be se

r i t l ic* , i r r l ] (b, b ' ) . l ) t ' I ts l i l r l l t t ; r , ' , ,1c l t r l ; rfo loslrea tr : r r rs[orrnl i r i i aI i l rc i r racesl fe l .

; r r -o l r l r 'nr t ' r l t '

5.6. PROBTEME PROPUSE

lo j i i se efectuezc ralr2{g1s, pe pl ; lnul ur iZorr t ; r l t re pr. re. .f ic a unui p larr P determir i r t 'dt , I t r r , . lu l M 1m, m .1 ; ide_o dreaptd de prof i l def i r r i t , i p i in l , r j re tc lc A 1a, ; r ' . ;$i B (b, b/).2o Sd se determine proiec{ i i le in l l f i rn i lor urrui t r iunghi

' f f i€eare definit prin proiecf i i le prrrrctclor A (a, a- ') ,tO, b ' ) r i C (c, c ' ) .f f Se consideri punctele A (a, a') gi B (b, lr ' ) exterioareghnului P dat pr in urme. Si se deternr i r rc proicct i i letr iunghiului echi iateral ABC, ; t i ind oi v i r f u l C oste s i iLr ; r tln planul P.4o Sd se t letermine ung| iu l d iedrrr a c i rpr iqs i r ; t rs r lL;rr : : iphrre P t i .Q ale c i ror i r rmc se int i l r r rsc '1n ; i r . t - l i rs i l r r r r r t Ide pe I in ia de pbmint.5" Se considerd i l reapta D (d, d ' ) : , i ptrrrct t ' l t : A (a, a ' )g i B (b, b ' ) , Si se detcrmine i r r at l t ivr i r ; r i : r r r r ; i r i rnc rrrr l l r i r r id lc(k l l or ctrpr i r rs i r t t lc p l i r tx: lc r l t , l r . r ' r r r i r r ; r t i ' r lc t l r . t . ; r1r{rrgi f iecare r i i r r prrrrct t ' lc r r ; r rc.6o l l :anLr l F esic dcf in i t de l i r r ia r lc pr i rn i r i t \ i ( l r ' l )unful{ (a ' a ' ) s i tLrat i r r d iedrrr l t lo i . Srr sr i t l r r t , r r r r ' i r r t , l r io i t r ' l i ; rdreptei de i l r tersec{ ic dirr t rc : rcc. , l I ' l ; r r r l i r r r r j r l ; r r r ( ldef in i t pr in urma sa or izontal i i g i p l i r r r r r rg l t i r r l , i i t . , l i r r rzp.c care-. ! Iace cu platrrr l or izonlrr l r l t ' yrroi , r ' l i l7" Sr i se dctcrmirrc urnrclc P 1i I ' i i r l t : r r r r r r i l r l l r r ,cunoscind proiec{ ia ol izontal i i a a urrrr i p iu icI A r l i r r p lan,rabaterea an a acestui punct pe planrr l o i izol t i r i t lc 1rr :o icc-{ ie. ,s i unghiul d iedru z cupr ins intre i r larr ! r i p l r i r r r r i r_r j -zontal de proiect ie.8" Sd se gbseasci 'urma vert ical : ' i P ' i r r r r r r r i p l i rn , r r i r r :sr . int lurma sa or izontal i P gi rabater i lc a, i i b, , 1 ' : l r l r r ru lor izontal de proiec{ ie a doui puncte A qi 13 r l t l i lerrrr l r i i ,s i luate in acela; i p lan de prof i l .9" 'Sd sc const iu i isch proiec{ i i le rrnrr i l , r i l r r t Al}CDctnosci t td proiecf i i leextrerni t : i { i lor A(a, a ) i O1c, c ' )a,e ut te ia din diagorr i r lc Ai St i i r r r l t ' ; r r l r r r l r l i : r " . '11.1.111. 'v i r l t r r i cstc corr l inrr t dc o drcir l ' l : i D1t l , r l 1 , l , r r ; r , r l i r rp lar t t r l vcr t ic; i l r le proiccl i t ' .l0o Se consir ierd Lr imrr or izont i r l i i I ) r r l r r r r i i n l : r r r . Si i sr 'detc lmine urma vcrt icala P' : r I r l ; r r r r r lLr i . r . l l , l i r rcr laCeasta Si i se ConfUtt t lo (u ral , ; i l { f r ' ; r , ; r l ' , , | r . l ,L i i l i l lor izontal de proiec{ ie.l l " Sr ' i sc t l t tc i i pr i r t r l rcapttr l ) 1r l , r l ) l l r l r r r r , ; r , , l l , ' ii r ic i t dreapta D's i i f i rc i i

- t r r rg l r i r r r i t r . , ; r1. , ( r r i . l r ' ( l , , i i : r

t t : r t lc l ) q i P' a lc I ' l ; rnrr l r r i .l2 'Si se cotrstrui iscl r Jrroiecl i i lc r r r r r i i r i r i r r ;1 l r i l r ' l r ilateral ABC de Iatrrrui dat i i , s i l r r : i l i r i l r - r r r r r r l r l i r r t . t . l tpoud plane [r isectoarc, ; t i ind c; i v i r f r r l A (1, a ' ] sr g i r : ;ost \ lpe l in ia de pimint , iar latrrra AIJ i : : ; I r ' I ) r ' r l ) ( l r ( l i l u l r i { i rpe i i r ia de ndmint.i3 ' SA se cor istrrr iascl i I ro iecl i i lc r r r i r r i t r r r r r lg l r i tc l r i l ; r t r ' -ra l cte latrrrd cunoscrr t i i I s i t r r i r l i r r t l r r r g; l r r r r r l r r t 1rr i r rurmele sale P si P'.l4 'Si se gdseascd adevi i ra la mirr i l r i , - , : r r i r r r r i t r i r rn l r l r iABC si l r rat intr ' - t tn plan proicctanl f ; r ! r i , lc I ' l iunr l v{ ' r t i \ ' i r lde proiec{ ie, pr in rabatcrea plarr t r l r r i { ) r ' ( , i r l ' { : rnt l r r ; r r -1, .doud piane de proiec{ ie.I i ig. 5.61

'-r t

iq;l

...;i

ri

iI1

r4j;s*'*

fiM

#,Ft;.,f-t$#:{d*

T:ii* ''x''t

###IE:

Copitolui Vi

CERCUT

6.'I. CERCUL

Pentru constructia reprezenterii dublu orto-gorrale a unui cerc oarecafe este necesar sd sereaminteascl urmitoarea teoremi, asupra pro-iecfiei ortogonale a unui cerc, de care se vafirle seama in toate constructiile pe epuri.

tEORnmA: Proieclia ortogonald o unri ,rrcpe un plan Q inclinat fald de planul P al cerculuieste o elipsd care are ca axd mare proieclia dia-melrului cercului paralel cu dreapta D de inler-seClie a planelor P gi Q,: iar ca axd nilcd, proiecliadiitmetrului cercului dirijat dupd linia tle ceamai mare ppntd a planului P in raport cuplanul Q. In general, pentru cercul 'situatintr-un plan oarecare, se construiesc proibcfiiledublu ortogonale ale-sale, de obicei, printr-oriflicare de rabatere. In cele ce urmeazi se vortrata clteva exemple de constructii ale proiec-f i l lor unui cerc,fn diferi te condit i i date.

6.r l .1. ApLICATII. l ' Si se construlasci axele el lpselordrrptr care se prolecteaztr un cerc sltuat intr-un plan P datprln urme, ut l l lz ind rabaterea planulul cercului, peplanul orlzontal de prolect le. Fie (<,r, or ') ccntrul ccrculuigi oro rabaterea sB pe planul orizontal de proiecl ie(f ig. 6. l) . Axele proiecf iei slnt ab 9i ce. Ele se r-rbf inr id ic ind din rabatere diametrul or lzontal Rubo al celculrr igi ; diametrul coeo perpendicular pe el, deci diametruldir i jat dupd I in ia de cea mai mare pantd a planului fa lSde f lanul 'or izontal de proiec! ie. Ir i extreni i tdl i le c gi 'eale axei mici a el ipsei tangenta este orizontal i . Axelcproiec{ ie i vert icale s int 1 'e ' $ i a '0 ' . Ele se ob{ in r id ic lnddin rabatere diametrul frontal yoeo al cercului qi dia-metrul cr69n perpendicular pe el, deci diametrul dir i jatdupd l in ia de cea mai mare pantd a planului |a ld dc

9B

Fig. 6. I

p lanul vert ical dc ploiet : t ie. I r r r r l r r : r r r i t t i { i lc z. ' ; , i i : i ' r r i t :a,rei t t t ic i a el ipsci i t t pt 'o i r t i i : r vt ' t l i r : ,1: t 1; t r i t l ( ' r l l ; r { 's l ( 'f ronta I i .2" Fl ind date planul , r :crr l t 'u l 1 l razi t t ! , r r r i cerc, s. i seconstruiasci t poiecl i i lc : tccsl t t i c t ' rc 1; i s;r sc t lc l t t t t t i t lelangentele la cerc in putrctc l t ' t "etrr i t t 'c : tb i l t . Sr ' , , , t t r ' i , l t t ; ip lanul cercului ca f i i r td dt ' f i r r i t dc r 'et t t t t t l 1r , , , r ' , ' ) 1 i r ' luor izontala C (g, g ' ) ( f ig. t i .2) . So rrr l r : t t t ' i t ' t t t iLr l i t i < ' r ,

pe planrr l de nivel H' : r l ot ' i : rot t t l r l t ' i C ( t ' : i t ( ' \ r ' i r l ( 'gt 'c i laxi de Iabatere) ; i se cr-r t ts l t t t ic ; te t t ' tc t t l t l t ' l : tz ; t t i i t t r i c t tcentrul c ' ro. Pett t r t t ; t t 'ot tst t r t i l r t r r iucl i i le ( t i ( l t l i l i : ,c i l r to l - ( '

d in rabaterc ptrnctc le rentarcal , i le, at l ic ; r p i r t t . t t lc ( ' ( rct l l t l i

in care tangenta este or izol i ta l i i , l lc , r r la l r s l r t t t le proi i l 'Tangenta este or izontal i i i t t ptr l tctr l i : t l , : t ' r ' r l i i i l l i1. \ i l l i i :at l

,ti;

',itii

minimi. Jn rabatere, aceste puncte sint co gi eo 9i elese r id ic l d in rabatere in c pi e ast fe l : purrctul c cu

-or izon-

tala r ibl tut i c0r0, iar e este sinret i ic cu c fafd de or.Tangenta,este i rontal i in puncteJe de depir tare maxi tn lsau minimi. Rabater i le ai 'cstor prrncte i int o, , $ i go $ic le se r id ic i d in rabatcrc in (a, ct ' ) t i (p, p ' ) . ' Iarrgerr ta( vt , .v ' t ' ) : i r r t r - r rn yrrutct oarecare ( t , ' t ' ) a i ccrcLr l r l i seol ; t ine r id ic i r rd dirr rabatere langenta du.si in rabaterca t , ,a punctului .

3' Sd se construiasci axele ellpselor duptr care se proiec-teazd un cerc situat intr-un plan dat pi ln urme,' f trr i aul i l lza .rabaterea planulul ceicului. Se consideri planulcercului ,definit de centrul ( .o, <u') si de orizbntatac (C, g') ( f ie. 6.3). Axa mare a pioibct iei orizontaleeste.pfoiecl ia orizontaid ab a diametrulr l i or izontal gise ob{ ine lu lnd ab: 2R pe paralela dusi pr in <u la j .Axa micd a proiec{iei orizontale este proiect ia orizon-tal i cd a diametrului cercului d i r i jat dupd l ih ia de ceamai mare pant i a planului cerculr i i fatd 'de planul or i -zontal de proiecf ie. Se efectueazd o schimbaie de planvert ical rJe proiecf ie, luind orxrJ_g prin o gi uui :

''- v'L'' . Se agazi .idl ': 2R pe <,,ui gi revenind clinschiml-rrrea de plan i : jcut i reztr l t i c f i d, cxtrcmit l l i lcaxcr mlcl ln c l t rc tangenta la cerc este or izontald. Axanrare a proiecf id i vert icalc esie proiecf ia vert ical i m,n,a diamctrului f rontal a l cercului 9 i se obi ine lu ind nr,n, --

?.R .pu fronta. la (of , o ' f ' ) . Axa i r ic i a proiecl ie ivert icrr le este proiecl ia vcrt ical i s ' t 'a diametruiui cercu-i r r i d i r i jat dup; i I in ia de cca mai mare pantd a Dlanuluicercului lald de planul vert ical de proieci ie. Se efbctueazdo schimbare de plan c.rr izorrtal de proiec{ie, luind orx, I f ,

. Fig. 6.4

pr i t t ar ' , g i r ' rn = ' kr ' . Sc i rsr l , i r s, t . : l t t J , l . , . , " r . ; ireverr i r rd din scl inrbarca de plarr ur l i i t ; i t r ; t l i i icrr ta re; , ru i l r rs ' $ i t ' , textremitS{ i le axei mici in prr i ior . . i in ver. l ical : .1 incare tangenta la cerc cste I l . r , r r l ; r l ; i .4",Si se constnr_?srd proiecf i i le unui ccrc al t : , i i rrr i planeste. paralel cu l inia de pimint ; i trece prinlr u drelpt l iD (q, q'l dati. Se cunoagte prtiiecf ia u.izont:tli ,,, l:qntrrr lu. l qi . se gt le cI cercui est i tangerrt t l rcptei D (r1, d,).Fie P qi P'urmelc p. larrLr lLr i palal t i crr l i r i ia t lc p i i r r r i r r tdt ls pr in dreapta D (d, d ' ) , ; i d, , t . r r l r : r1cr{ , i1 r( . ( ,5, to i { l l ( - l ) t r lpe planul or izont.al de proiec{ ie (1i11. r ; .4) . ( .entrrr l (or , c, , )se.rabate in aro, iar ccrcul de razi l r , , , , tu i r r r r l tnt r l rc i r t r i d,este rabaterea cercului cILrtat . ( l r t i r ct , i r l i Lr iLr i , rerctr l r r i. ] t " - o] . , g i se determini dLtc i r rd pr i r i ou pur,r le l l l r o,v,pina la intersec{ ia cu par.alela l l ux t l r l : , , pr i r , , , , h: ; r . l t

- --1--

rnar i a. le proiec{ i i lor s int aB $i e '0 ' , iar axele rnic i s in(ye gi y 'e ' g i se obf in proiect inci d ia inetrul f ronto-or izorr ta la l cerculrr i g i d iarnetrul d i r i jat dupi l in ia dc cea nraimare p.antd a planului P. PLrnctul (1, 1 ' ) poatc f i r id icatoln rauatcrc, spre exemplu, cu aiutorrr l f rorr to_or izorr-ta le i . (g1, g 'y ' ) , iar prrni tu l (e, e ' ) -se constrrr icgtc pr i r rs tmet r ie.5" SA se construlasctr- prolectllle cerculul tangent la douidreple concurenlc ql de asemenqa tanpent Dlanutul orizon-tal de prolec^f le. Fie. D (d, .d') gi .A (S, A') iele doLri drepteconcurerr te l3 punctul M.(m, m') ( f ig. 6.S). Se alege urnraor izontald P a planului celor dou-d drcpte ca"axi dcrabatere 9i se rabate M ln mo pe planui .or izontal deproiecfie. Se lnscrie ln triunghiul hkmocercul cu centrul o0gi se r idici din rabatere acest cerc. Centrul cerculuigste. (<1, . ' ) . . .A{eJe proiecf iei .orizontale sint ab gi ru.Pro'ecl ia. vert ical i se.determini cu ugurinld, { inind contcd axa ei mare este e 'g ' : 2R.

6o Si se construiasci protecfllle cerculul demzl. R dati,tangent,. la doui, drepte. concurente. l : ie D (d, d,) gia (o, o , . cete ooua crepte concurente in punctrr lM (m, m') ( f ig. 6.6). Se rabate punctul M in rnn pt i p lanuiorizontal de proiecl ie gi se obtine <oo la intersec{ia para-lelelor duse la distanfa R fatd de dn gi 80. Se descriecercul cu centrul ln oro l i se r idici din r ibatere acestcerc. Centrul cercului se r idicd din rabatere in (c,.r, <o,)cu. ajutorul frontalei (<,rf , or ' f ' ) . Axele proiecl iei orizon'-ta le.s int ab gi .ce, punctele de tangenl i cu dieptele s int( f . t ' ) 9 i (q, u ' ) , i i r punctele t q ' i z 's int pro 'pr i i le lorrAbetut-e. Proiecl ia vert icald a cercrr lu i s l . rb l inc.uu$urInla.

7" Si_se_construlasctr prolecf ia orizontald a cercului derazA _l( dati,.tangent la doud drepte concurente D gi Aale ctrror proiecfli de nume contrar coincid. Drepteie D9i A s int concurente in punctul M (m, m,) s i defermindplanul cu urmele i r r prelungire pp' ( f ig. 6.2). Se efec_

100

r rg. b.b

tueazi rabaterea punctului M in mo pe planul orizonlalde proiecf ie gi se determind centrul oo r ibdtut al cercului,consider ind paralelele la distanfa R fat i de rabater i le dngi 80. Proiecl ia orizontald a cercului se obfine reveninddjn rabatere. Axele proiecf iei orizontale sint ab: 2R$r ce.

8o Si se construlascd prolecfllle cerculul care ,treceprintr-un punct A (a, a') El este tangent in punctulB (b, b') la o dreaptl confinutd de al dollea plan bisector.Fie A (a, a ' ) punctul 9 i D{d, d ' ) dreapta con{ inut i lnal doi lea plan bisector (f ig. 6.8). Se efectueazi o raba-t6re a dreptei D pe planul de nivel H' dus Ia cota punc-tului A. Cu tr iunghiul de pozif ie bkb, al punctului Bse obfine rabaterea do a dreptei. Se construiegte ln rabaterecercul cu centrul ln oo care trece prin punctul a = a0 lieste tangent dreptei do. Punctul <oo se ridici din rabaterein to cu ajutorul dreptei apu. Axa mare a el ipsei ln proiec-

Fig. 6.8

f ia or izontald este c 'e ' p i reprczint i i pr ,eci ia , r r - izorr ta l r ia diametrtr lui orizontal cne,, al ccrcur i . Ar:r r l t i , ' i r rre l ipsei in 'proiecf ia or izont:r l i i cstc rnn i rcprczint ; i pro-iec{ ia or izontald a diametrului nrnr, arceicr . r l r r i d i i i iatdupi . l in ia de. cea.mai mare par i t l a lanului lafd deplanul or izontal de proiecf ie. S-a lut mrn, paralelcu kb, $i de asemenea egal cu diametrulcnen ?l^cerculrr i .Analog se determini axele proiecl ic i vet icalc.

6.2. PROBLEME PROPUSE

l " .S5.se construiascd prolecf i i le unui cer al c i i ru i p laneste de capi t d indu-se gi :aza cercului .2 ' . Un cer i este conl inut de un plan panlel crr l in ia depdmint. Si se determine punciele cercrlui ' : :rre sints i tuate la o distanfd I datd fa{ i dc l in i r r le plmint .3' Se dd un punct al unui cerc gi o dreaptiperpendiculardpe planul sdu gi t recind pr in tentrul sdu. Sj sec;rnstruias-cd proiec{ i i le accstui cerc.4o Si se construiascd proiec{i i le cercultr i r lc razi 'r dati Rtangent la doud drepte concurente dcfinite astfel: odreapt i D (d, d ' ) este conf inut i de al doi lca pl ; i r b iscctor,iar cealal t l dreapt i A (8,8 ' ) estc s i t r ra i i i r r pr i rnrr lp lan bisector. Proiecl i i le vert i ra lc alc cclor rLrrr i i c l rcptcslnt confurrdate (d ' = 8 ' ) .5" Sd se construiasc5 proiecI i i l t , r .crcul l i c ; r rc t rcccpr intr-un punct A (a, a ' ) g i estr : larrgcrr l l ; r , , r l reapt i iD (d, d ' ) intr-un punct B (b, b ' ) de pei l lnapl : r . Apl ical ienumeric i : A (65, 17,2g), iar dreapia D es[ . dcf in i t i depunctele B (25, 12,9) qi C (39, 20, 2S).G" Un cerc este conl inirt de un plan de pr,of i l Q. Sd sedetermine punctele cercului caresint s i tLrate la o distan{ icunoscuti I fa{ i de un plan P dat prirr urme.7' Se dd planul P gi punctul A (a, 'a ' ) s i t r rat in ace:, tplan. Sd se construiasci proiec{i i le cerrLrlrr i care trcr:cprin punctul A gi este taugent ambelor urnre alc acestuinlan.iJ" Un cerc este confinut de planul vert ical de proiecf ic.Sd se determine punctele aceitui cerc care sint i i tuate lao distanfd cunoscuti I fald de un ;r lan P dat prin urme.

Copitolul Vl l

PROBLEME DE DTSTANIA gl UNGH|URI

7.I . PROBLEA4E

In acest capi to l de apl icaf i i vor f ic i tdva problerne cla.sice de distanfd qiut i l iz ind metodele de transformareI i i lor .

PRbBLEMA l. Se consideri orizontala D (d, d')Ei punctul M (ln, m') de pe linia de pimint.Sd.se determine proiecfiile punctelor A (a, a')gi B (b, b') situate pe dreapta D, asttel ,incitt r iunghiul AMB s[ f ie echi lateral . Se poaterezolva aceast l problemd in doui felur i i1o Prin punctul M (m,,rn') se duce planul PP'perpendicular pe dreapta or izontald D (d, d ')qi se gisesc proiecf i i le punctului I ( i , i ) in careorizontala D intilneqte planul P (fig. 7.1).Prlntr-o rotafie in jurul aiei verticale (-co, or'),se obf ine adevdrata lungime m' i i a segmen-

tul t r i (nt i , l t t ' i ' ) , { . r t ( , ( i , t l i i1 t , r ( , t r r . r i t r r r t r ; rt r iutrghiulrr i ecl t i latcHl c; i i r l ; r i . , ' j t r r . r ) t r : l l u i r ' : ) lcpe planul vert ical r l r : l ) i -o i { . r ( - ' t ic i l r r r r rg l r i r r leclr i IateraI m'A,, l ln i r r r r le r ' ; r ratrr rn i r r ' i r r r r . , r ! r rc: i r r i lt l rcapta Aul ln perpcnr icrr la l r i 1r ' ru ' i i ; i r i rcptcla 30" din m', de opar l i . . s i r lc i r l ta, faI l i r lcnr ' ' i i . Avinr l latura Al lo rr l r i t r i r ( l r i r r l r r i lc l r i l r r -teral in adcvirat i i l t i l i r l r ' , r . : r o l r l i r rc po clproiec{ ia or izontalS ;b a latui i i AB, t l rc i rpta Df i ind or izontala. Rir ic i r r r i ! i r r i i t ic r r l r l inc, rc-zul td pe d 'proiecf i i l r vcrI i t :a l r n 's i b ' .20 Se rabate planul r i r r r rc l r i r r l r i i Ie plarr i r l , lcnivel H' care con{ i rc or izoniala I } (c l , r - l ' ) ,or izonlald care se ia ci axa r lc ralralcre ( i ig. 7.2).Punctul M (m, nr ' ) scrabatc in rn11. Sc corrstru-iegte tr iungir iul echi ldcrzi l l l r11ab, perrtr t i care secunoagte lungi nrea i r i i l f i rn i i r r rsr , r . I?cvcrr iucldin rabatere, sc ob i t r proir .c l i i lc punctclorA (a, a ') gi B (b, b ') . :PROBLEMA 2. SI se dctr ! -nr i rre prniecf i i lepunctului M (nr, nr ' ) , crrrroscind distanfele sale

rezolvateungh i i l r i ,a proiec-

diH'

Fig. 7.1

Ele'"mtfrr--"

tnt

l. p 9i 8 respectiv fafil de planele de proiccfie gifafl de planul [t dat prin urme. Cu ajutorulunei schinrbari de platr vcrt ical de proiecf ie seconstruiegte planul Q paralel cu planul P qis i tuat la distanJa I faf l de planul P ( f ig.7.3).Planul de nivel H'dus la cota I g i p lanul deiront F dus la depiirtarea p se intersecteazddupd fronto-or izontala G (g,,g ') care inter-secteazd planul Q in punctul .M (m, m').

PROBLEMA 3. S[ se determine, in adevirat[mlrime, {istanfa I de la punctut A (a, a') laplanul P dat prin dneptele concurente D (d, d')gi D1 (d1, di), firi a utiliza urmele planului P.

Fie A (a, a ' ) punctul dat ; i D (d, d ' ) , . t ) , (d, , d i )cele doui drepte corrcurente i r r l rurrc l r r l S (s, s ' )( f ig. 7.q. Direcf i i le urrnelor, p lanrr lu i P sc:obl in determinind or izontala (eb, e 'b ') qi f ron-tala (ec, e 'c ' ) , care rezult i i d in . intcr"ec{ iaplanului P respect iv cu planul dc nivcl l l ' p icu planul de front F. Din punctul A (a, a ')se duce perpendiculara A (8, .8 ' ) pe planul P,luind 8l-eb qi 8 'J-e'c ' . Cu ajutorul planuluiproiectant Q dus prin dreapta A se giisescproiecl i i le punctului I ( i , i ' ) , p ic iorul perpen-dicularei A. Pr intr-o rotaf ie de nivel a punc-tului I ( i , i ) ' in jurul axei vert icale r le rotaf ie(co, or ' ) duse pr in punctul A, se ob{ine aclevi i ratanr l r ime t : a ' i i a distan{ei c2iutatc.

F'ROBI,EMA 4. Sir sc dctcrrnirrc l r ro iccl i i l r 'dreptei G (g, g') care interlrclt:rrzir drcplt:lt:D (d, d ') gi A (8, 3 ') datc ai sr: gi isc; tc la odistanf i cunoscut i I faf l dc un plan I) dat pr i rrurme. Fie D (d, d ') Ei A (8, 3 ') cclc t lo,ul r l rcpteoarecare date gi PP'plalrrr l r lat pr i r r unnL)( f ig. 7.5). Se construieEtc planul R paralc l cuplanul P la distanfa cunosctrtr i I fa{ i i r le plarrLr l P.Pentru aceasta, se considerii o troruralri oarccilrcS (s, s ' ) la planul P qi f ie | ( i , i ' ) putrctul i t rcare normala int i lnegte planul F. Se pot obt ineastfel revenind dintr-o rotat ie de nivel a nor-malei proiecf i i le a ; i a ' a le purrctulrr i A s i t r ratla distanfa lpe normala ia{a dt : L ( l )ct t l rLts i rnpl i f icarea epurei s-a consir lcrat t l i -s iarr la Idoar intr-un sens.) Or izontala nunctrr i t r i

t

Fig. 7.3

Fig. 7.4 Fie. 7.5

103

f;^(:,,u,|), paraleld cu planul p are urma ver.ttcala (K, K') ne unde'trcce ur,* u"ri i .rra n,l f l l , lylr i R dds paratel,"u prnnufe. troiecl i i le0reptet cautate G &I-Ci ryl !" ni ri', f)j1*'Jli.t[pt, J ii'!l' frnrersecteaz.il

.resp_ectiii planul- n. p.ntr, "Uti_: : l : : ,pul . te lor M si N s.au i . i i l lzr i " ' i loncl"prorcctantc e = d $i e i = g, . ' " " -"" r '

f.T3J*iT'1,"1' .f,i * determine proiecfiirea;!- ;ffii; i",!#"ip roo,,ngf 'li Tir,'[E:[.'if.,f,., in^^5el+i_ pd:' ]L 'b t?, o,) qiItil,qil, o;ii #ll!, jL,?!" o ""ffi t,il ::;r te proiec{ ie 0uind,,',4'J*1, " U;J;';tj'"'1 iS,

p,lflt'1t" ",il'",;,,?* (8r, 8 i ) , , .s i tuata, . l ig5' in

"" i , r p ian v.r t i .ut

i" lg,i,$:,,J:f;ii!, ^,,f '#" "fl:.,Ti;3:t._.,r 1. Dr. (dr,, di).,E fec t u in a u p oi" o

".ch i rn ba reoe pran orizontal de.proiecfie' irri i j" i ini,,r"pamint osx! perpendtculard pe gi), se trans-lonni f rontala Ar (gr, g i i i *n, ' i r "er t icat ,Ae (8!, Di), iar ,.:1rlir' our..r.u nriO,, Oi)

,1?l t"l.: dreapti oarecare Da (dr, di). Ducind

:|]jd; ; :i.i;:ffi0#lin, ?ilf,"[ j,x,::l::.li:ilr,Ar_ l! dreapta oarecare Dn (perpen_drcutara dusi f i ind o orizontali l . nerie,]in,i ,f in:flli:,biiil: d.e. prane de proiecfie fdcute, seoDltn proiecf i i le nm : g qi n ' ,m, : g, aleperpendicularei comune ai i r t ." . . l . 'oora ?."pt.

i D l i A date. i l ii :l:,:,:,,;oj;i.,,':,' l.';:i i. ;;rl;;i;lll: ",1', ;i ";r:11,1t'": ti*it';;X1.,:lJ.f;u,,fl'T;j;io I ;ifTi1sr,T it:n j \ rx,i: li ffi i['r'ry1-tll ij:ftil 4i'\t;il m;i ;,;l;,, ;i,l f,ii;rjlir;,;jj,fijt d]dti ir), lii'u,f ;t"li ;,?i , lri l:l,rli;il,l

fl:,',r*,'rt'3 ; {l ;#l*; :ii,t t:l*iii:ii,?;i I ili ili, i,.,il, i,,l i : I I I li,1,: l,i j, F,;iliiil!,gj i,xl;i ; : ilii$,,i];i,r,it,t"t ilil(<o..co') . (cupr insc c l r i i r r i i r i ; i , ; ; , , , i ' , , , r i )c.r , r , ,

i.liti-'; li",f,'',f,li'l;fii:;il :*ll;l;:,,1,;;dreptele oarecare D

ffi#liT# i:;r i',:*:irq :1 i:i:ir:, :isir li* i,p, ;i*: :!i:fi tii T.}'lx,,ti,, i,*:itTf;:i"tft ,* "&t t!:' Ti rlln fi ilfft'j

i

I

j

I,iI

I

I

II_ik

Fis. 7.0

Fig. 7.8 .

(nnr, n ' in ' ) reprezi l l tA proiecf i i le perpendicula-rer cornltne dusl intre cele doui a-refte D qi Adate.

PROBLEMA O. Sn se . determine proiecfiiledreptei ,iD Jd.r d') care

-trece prinlr-irn punctt (u, 1'l gi face unghiul a cu planul orizontal$r unghiut f .u.planul vertical de proiecfie.5e conslderd.problem.a rezolvatd (fig: 7.g).' Oro.tatie . de nivel in .ju.rul punctul'ui A (a', a,)aduce dreapta- (ab, a'b,y in'pozi{ia de frontali(ab1,.a 'bj) ,qi di in adevdra_t i 'ml i ime unghiul acuprins lntre drcaptd qi planul orizontaii Ana.log,_o rotaf ie dc front in jurul dreptei rle capatl5a ,qr,'.". punctul A. (a, a') aduce dreapta(ab,,-a'b') i,n poz,i.l ia _tJe orizontald (abn, aib,;qi da in adevdrat l mir ime. ungh. iut 'p tupr iniintre dreaptd qi planul orizonial. Se obierveci proiecfiile abs : a'bl, deoarece reprezintdfl1.:,r,:1q. o or.izontall, respectiv-pe o fiontatri)rungt mea aceluia$i segment AB. pentru arezotva problema datd se procedeazd astfel:yrtn a se duce o dreaptd abo, caie sd faci cu

clreapta aa' unghiul IA

- p i , t , r r rp l1111q11{111

i l_S,! iu lu1 dat p. d intre ' dreapta czrut ; r ta $i l , larrulvertrcat de proiecf ie ( f ig. 7.9). pr i r i a, se r luceo dreaptd a'bi , care si faci i cu dreapta aa, l tn-glr iu l (+ -oc), corrrplcrrrcrr t r r l r r r rg l r i r r l r r i r lat zdintre. dreapta cziutatzi ; i p larrrr l or iz<y.t Ial dcproiccf ie. Se consir lerd pe i rccst t , rJrr .ptc accl t ,asilungimi. arbi trare ab, .-- o,6,. pn, l f . f r -- ' , f

^r ipr in a . la l in ia de pimint int i lnesle i iu in , j , ,ordine cobori tz i din 'bi in b,. Se fonstruieste:: tT, l de razi .abl .cu centrul i i r a l i sc r luc pr in 'bn;r b. i . paralelc la l i r r ia r le pi i r r r int . hst fc l ,paralela brm dusa pr in bs Ia ox' int i l r rr ,stc ccrculln.punctele b gi c, d in care, r id ic i r rd ' l in ia r legr91n., se.obf in f ' l i . ' pe paralc la r l r rs i i pr i r r b itot la ox. Punctele B (b, b ' ) .sau C 1c, c ' ) aparf i r rdreptei . D (d, d ' ) , iare ,

' t rccc pr ' i r r 'purrctul

A (a, a ') Ei sat is iace problema dat. i .Discuf ie: I . Daci n i gt

+, paralela brmnu int i lneqte cercul Ei problenia este imposibi ld.I I . Dacd a * g a+,problerrra adrni te patrusoluf i i

-g. i se obf in clreptele (ab, a,b,) , (ac, a,c,)

(af, a'f') qi (ae, a'e,'), dcoar"." r,rrJi"la b.,lrrtate cercul in doul puncte b s i c, ' iar par i r lc ladu.si .pr in f2, s inretr icrr l l r r i h, f ; r ' { ; r ,1, , 'a, l i r i r .cercul in al te doui i puncte | . r i t , . t .c l t , pir l r rrdrepte s lnt doLr. i c i te doul i in 'p l ;111r, vcrt icalcsau de capit .

I I I ' Daci a* F * ' f , p.ubl . r r ra at l rn i tc tkrua

soluf i i g i aceste doud drepte sint s i tuate intr-unptan de prof i l ( f ig. T.I0): In acest caz, paralelabsm (sau cea dusl prin fs) este tangente la cercqt punctele b gi c (respect iv f Si e) le confundi.

Fie. 7.9 Fie. 7.10

105

Fig. 7.1 I

Problema propusi poate fi rezol"ti qi astfel :5e cons. iderd punctul (v, v,) arbi tr din planulvert ical .de.proiecf ie gi se duce oiecf ia v 'h1sub.unghiul a faf l ; de ox , ( f ig. i i l ) . Se con-.11xiel te de asemeRea segmentul , , f i r : v 'hr,care face cu segmentul i ,h, unr iuI g. pei-pend_iculara cobori td din h, pe rr , di a, iararcuf de cerc de raz| v 'a-dd h pe l in ia r lepimint. Linia de ordine cobori t ; r i in h ' int i l -neqte. in h arcul de cerc de razivhl . UrmeleQ, t t ' ) l i (v, - v ' ) def inesc drer ' ta

- D (d, d ')c iutat i , care face. astfel unghiu a cu ptanuior iz.ontal Ei unghiul p cu [ lan. vcrt ical r leproiecf ie.

P.ROBLEMA 7. Si se determine ,;mete p gi p'ale- unui plan care trece printr-unm/nct A (a, a')gi face unghiul a cu planut orizonal gi unghiul Bcu planul vert ical de proiect ie Prin punctulA (a, a ') se duce dreapta n'(d d') , care faceunglr iul {+-n). . , planul r izontal ; i un-

t2 lSIr iu l i i

- pJ cu planut ver{cal c le proiec{ ie(fig. 7.,12). Pianul cdutat pP' trece prinpunctul A qi este perpendicrlar pe dreapti D.Problema se redude istfcl ra cea precedenti.Discuf ie: Vor fi afitea piane p cit'e drepte Dpot f i construite ln condjt i i le ploblemei-date.Ca dreapta D sI existe tr'ebuie ca:

+-"* l -P<-Lsau d+g)-n2 2 ' - ' -g ----- ' r ' ' 2

I . Daci a* p( | , probiema este imposibi l l'2

IL Dacd a * g, +.,

problema admite patru

solufii, .deoarece existi patru drepte D, clecipatru plane P.

106

I I I. Dacii a --l 0

7. l : )

i r ro b l c t r ia ; i t l t t t i i t ' r lot tz in

2soluf i i ; i cele dr-rua drcpte D sinI r l repte r1eprof i l . Cele doud plane P c{r c( i resplrnd sintparalele cu l in ia de pi i rn i r r t . I t t epur;r a l i i t r t rat i ise consider i i ut ta t l i t t t r i r r :c l t ' p i t t t - t t solrr l i i dcla cazul IL Sc r l t tctr t l i r t u .scgnt l t t l t t l abr,

f ic ind unghiul P fcorrrnlcr , , t ' t t tar crr

; -p) . ,

dreapta aa' , iar r l in a ' sc <lucr 'scgtt t t : t t tu la 'br : abs, fz ic ind unglr iLr I a" cu t l reaptr t aa' .Rezultd b1, apoi b qi b ' . Dreapta D cstt : r lcter-minaiS de proiccf i i lc (atr . a 'b ' ) . Pr in punctLr lA(a, a ' ) se duce o or izot t ta la a v j i tc , rLt lu i p lan Pperpendicular pc t i reapta D ; i . \c { i rs( ' l tc urntavert icald (k, k ' ) : r acrstci t ; r ' iz,onl a l t r 1rc utt t lct rece urma vert ical i i P ' . Rezul t i i P, , f i urnraorizontal i a planultr i c i lut ;r t P. Sc porrtc r t 'zolv; , tqi al t fel aceast: i prol) lcrrra. l ) r ' i r r l . r toccdculut i l izat in a doua partc a probl t ' r r r r . ' i l r r t 'ccr lct t t t : ,se constr t t ieqto r l r t ' i rp l r r D (d, r l ' ; , t ' r r r r ' l : tc t ' c t tp lancle dc proiccf ic Ltr tg l i i t r i l t ' t 'ot t tyr l t ' t t tc t t t r t t t :

(+-o.) u ' { ; - : r l

, f iq. 7 l i l . sc cr-r t t . i t lcrd

I r ig 7 l3

in punct arbi t rar M (m, m') pe dreapta D qi: i r ajutorul f rontalei 1mk, rn ' ,k ' ; perpendicular ic aceast l i dreapt ir se duce planul pp' perpen-icular pe dreair ta D (d, d ') . Acesta este unul

, in planelc c iutate.

PROBLEMA 8. Si se inscrie intre urmele p gi p,ale.unui plan, un segment (ab, a'b') de lungiine IJatI,.care sd-facd cu planul orizontal de proiecfieunghiul a dat. Se-alege un punct 'arbi t iar\ l (m, nr ' ) in planul P gi cu ajutorul f rontaleimk,. m'k ') se determini o dreaptd (hv, h,v ')-:nfinut5 in planul P Ei care fac6 unghiul a cu- ianul or izontal de proiecl ie ( f ig. 1 . t+1. Se=iectueazl o rabatere a acest6i dr'eo-te imoreuni,-r planul P pe planul or izontal db proidcf ie Ei. : construieqte in rabatere paralela ab6 la hv6-e lungime I dat i . Revenind din rabatere. se: : i ine s€gmentul (ab a 'b ' ) c iutat .

PROBLEMA 9. Se consideri planul dat prinurme gidreapta D (d, d') confinuti in acest plan.5"a se determine urmele R i i R' ale planului:;re trece prin dreapta D gi face cu planul p;:lghiul diedru cunoscut a. Urma orizontali a: e nului Q dus in punctul A (a, a,) de pe- 'apta . D perpenr l icular pe dreapta D, pr in

,- :a or izontal i k a frontalei F ( f , f ' ) (conf inutd: r lanul Q) int i lneste in m urma or izontal l a- a: :ului .P ( f ig. 7.15). Dreapta am este proiecf ia

-: ._:cntala a dreptei de intersecf ie dintre pla--=.:

.P.Ei- Q. Se-rabate planul Q .ute coni ine: --.ctul A pe pla.nul orizontal de proiecf i6 gir'i :5ltne Eem, rabaterea dreptei de intersecfie

Fig. 7. l5

dintre planele P qi e. Se r luce dre,aptz f l6n1care lace CU i t6f f t unglr iul r l icr l rLr crnr i is, : rr l . y, .Urnra or izontald R a plalrulr r i c i i r r tat cstc obI i_nut l pr in unirea puni te lor h Ei n. I lczul ta R*,care uni t cu v 'c letcrnr inr i r rnna vcrt icai l icdutat i R' . Problema mai r .ornlrort i r l r r t . ; r osolu{ ie, care se ob{ inc ducirr t l s i r i r i r r rg l r i r r l acea dc-a dotta drcapta c(}r r t . r r r t , r r l ; r crr i r , , l r r i r rpunctul ao.

PROBLEMA 10. Se considcr i i c l rcapta (hv, h,v,)si tuatd intr-un plan de prot i l . Si i ' r ;c r luci i pr i r iaceasti dreaptl un plan ale clrui unne sAformeze .in spafiu, intre ele, un unghi a dat.19 go1; id9rd problema rezolvata 1i ig. Z.t6; .f ie nnj p lanul cc t rcce pr in t i r .cal ' t , , i i " prnt i lFu, l t 'y ' ) g i cupr inde ihtre rrrne rrrrglr i i r l a.se rabate planul P pe planul dc prof i l e,lar apol se rabatc planul e pe pianrr l or izontal

Fig. 7. l ( i

107

fi$$54#$tTh'*#$trhilijffiru;iinp i i li-r,iri; :ii*qt;lffd.o:';u:';l:'= lt'::#ftj: lli;:r#i*.1'i* l':i*,i,''i :,:;;i,:',;:;,",:il;j.+H,,,h;,d,fu;,iil,l,:',,":rii{* 3}5g.f},H.:#ru ; :::'', i :,. : I i t

1r **n' *ffi finiiii ;n,giili,$i H]z2

'R.BLEME pRopusE (disronfe)

i[,,jil#lii:{ffi,Trl,sril;ii:,i*nl-U.::il$:fi1,,?l*',"',?';'il1'ffTiilii:Ti,i,T,fi';,,n',.unru , ;il$,;[,fli:{,lriil 3,i:,1', i_, _.1,,,,.i,|,"?;;

fifiuffi i*+i*E ff**ffiilfi'' i;i; ;ffi * fr]i#ft I'f-:'S:'iti{#: .r+ft i'trifi'f illj#i*+} i i,, iilxr r,,i:, rl,1i, irf*i;iqli,,i.:itir I ri f ' :rq unui p,an ix;l i:[ii; fril,;:t

ili;; i''i;':llli''{ '; ; l: ;;';iiiil]'lli '1 ll ; ;ll:;lll

i[i'fii'i*dji sT:'hft:ikiftilir,r{tu ruru;ru*ii li ,*ii:ii i i,';,ii ii,ri,iliiir.,rnr:''r,rrr"n*il;ffi;,ii{iriir,rm:[ fffi51,_;iit1i,i:i, rtlii,,l ;;: l,; '**dreapta D, este paraleld cLi dreaptaa i i iura.iut[j$"::'::i#;:u:6?i:,liffT;; :,;..;; lniru],iqti6f14rf;;ii,,,qrfi,:;?it ili.-t_j?l .,) !.atd, cunosclno orstanlete I $i p resv^eiticari D iil ii'lil;.dreapta ;;;;.;,['x r;, tsi'1,",,Ii ;i;1t?6*-,*i"Ut:A I;,;i:,i,. 1,, i,, , r,, c Sa selll,ffln li:ru,:.fr:ijd ffii**t:iliilii,f *'fri*=allili,ir:'r r1r,;'1,, ? (, i' i;,;;;,r, ; .:;r*#trl*:'?,i,i,**-.#f,.,L:;i* ffi[i*,*n*:ffi ilili'ii j,,i{,iil*'i:lll:;il.r-,t,i'ffi *i#;-1.-,## n:-i,"f, il;ft ,u ilffi f rti:*Iii hli ii ;$ *"i''li :,, l;, ;;:"!} ' j : i l t ,. i l ,,u,|," ':oaibd accea$i rrneii- ' l . a.ia'.::-: ,,tt lon3'l i ,. l , i iL,ir;:,,rr,, ' i 1r ir; ' i , , , 'r i . i , r,r; ,.,, i ,,,.r,r,, i

ilt'fi"fl6+ifi'f;1,1rli,tifi[**{*-i- hl-f i;j";"ji;,;;il*i,,i liii:',riri:; ! ri:r,,, :r:: 1 ,r,:rr,i,],1tr"ti,[i$:::T:]::"'l:Tj::n;:'5i;ili: fiffr:irl:iff firii:iliii'ji,,,,l,,,'

,', r,,,,ia* 'ii,,'1 ',r,.m.r. un.i-ai;;i;i;f .illa segmenturui cuprins intre ;:lgtiT;il;+*-i*t*l;ii

1X1,j]iill ,il,1:ili,',lJ

Il' Se considerd dreaota-D.(d,,d,).ale cirei urme (rrlurr.] .?;rfl#"1*h*lT"i;,]1}',,j,1lX i'd,fltli':.1tiflf,.';,?TT "",,* lnl,,? JJfi1iiilij.,'f l\iiift l,ll,ilii,l{, ;,,^;

108

12" Se consider i r rnrra,si un purrct o r;, ;,, l,,ill";;ll-,i,,,: ,i,l',,' ,llli,.l,.l..,l,';;lj*:fj"';i:fi1'::;liii,, ;i. i;:l :l l;t, i :;, ijjlili: itt i,.,.,'. o;',fi.J:TJi,'Ji j,j'i;l;ll t,I";,;1,1, ;l ;, i';;''','i',,,", j,, r n,.in

l4o Sd se detcrmino i r r ar icr , ; i r ; r t ; i r r r ; i r i r r rc r l is larr lc lc g,

:*' ;iH:T:,:1ff:jl" i'trc

'rrrtctt r A (o' u)r ri "r'ID- Sa se construiasci proiccl i i lc r r r r r r i l r i r rnglr i isnscel

iiJi"#"Hrj;i1"1':"rlir'iec1iiie rt io' t';i iicste

^si r rra r int,.-,,n 1, i,,,,;i/l: ; ii,, li,li,i"li"," u',,"i' nt,ti; I ll

iJ' ;i ;lli;:',?i1";f ,'; | ;ll',''ll",r ;r rc rn' n ; i s ;r I t' r t t i j I.a' c'

rutiilf lf iiii lt' t in I ii, l,ll*,,t,,,1lii & S,il,:1,;t i::*:ii:,g ;!i:!lt iJi,:,'i;;l; ?, li,, j, a ii, J 1.^,,.),|,.', j ;Tdreapta D, concurerrf i r c

ilt'g;,t:i"i',ffi# iii1i !!,',i.1i'r' 1;;;; I :cxr " rt'ili.'tr

"ti{ i i ti* ::fl i iiil i i. fi" ;,ri ;"''l J:i' il: i ; H

t9" Se considerd nurrctrr l ,A (a, a,) ; i r i rc;rpta D (d, d,)

i,r,:ii:$ti li:;ilil r',;l i ; ill,ll";l; ir ;,,;1;;i:,;iicurent i crr dreapta D rrs i

l, uoti;n;;';'';i;;'i' 'i;,:llli',{ .; ; l: ;;';iiiill'lli ,1 ll ; ;ll:;lll:

28" Si i sc dele ' rmine rma vcrt ical i p, a unuiplan naralelct t l i r r ia r lc pi i rn i r r t cur)scin( l r r r r r ra or izontal i i r a r , iarrrr lu i; i r l is tar l l ; r t r rpr i r rsa ' r t rc l i r r ia t le n,{nr int s i n iarr .29" s i sc dctcrrninc rrrma ver l icai Ft p ' a ' urrui p larrcunoscirr.d urnla sa ornontal i i prgi distanta b cLrpi i trslintre plan gi un purrc dat A (a, 'a,)30" Si se determine rrr , re le p gi P, a ie planul i i i dus pr indreapta f rontald F ( f ' : ) la distan{ i iunoscutd g ia{ ir le un prrrrct A (a, a ' ) tqt .3 i" . Sa sc dclc,rminc prorcl i i lc urrei drepte G (g, g,) caresa.trcara pr l l t f -u l l prrnc A (a, a ' ) , cunoscind distanlelesale cele,mai scurte la dord drepte'D qi A date, dreapt i Dfi ind

-vert icald, iar A drelpta he capnt.

32" S5..se. deterrnine proecti i le unei drepte O (g, g'),parateta la o dirccl ie ctnoscu.t i E (e, e.), cunosclnddistanlele sale cele mai sturtc la doud Cr 'e. ; te D gi Adate,

-dreapta D.f i ind vert i ta l i i , iar A dreapt 'b de capdt.

33" Si .sr : de termine proiecf i ie v:r t icale d, q i 'E ' a le drepte-lor D gi A, cunoscind proiecir i le or izontble d s i g 'a leacestor drepte qi proiec{i i le 19, g') ale perpendiculareicomune, dusd intre cele dold-dripte.34o Se cunosc: dreapta D (d d'), proiect ia orizontald Ia dreptei. A, lungimea I a .reipendir:ularei lor comune gipttnctul A (a, a'), unde perlrendiculara comuni int i lnestedreapta D. Sd se dctermir te proiect ia vert iceld g, 'adrcptei A qi proiecl i i lc perpindicularci comune,

7.3. PROBLEME PROPU{iE (wshiuri}

lo.Si se drrc i in planrr l or izoni .a l de, l ro iec{ ie pr in urmaorizonlal i a urrei drepte dgarecare t l (d, d,) b dreaptb4 (8, 8 ' ) carc s i facd cu dreapta D rn 'unshi cr , dat . '2" Fi int l . t lata dreapta oarecare D (d, d,), sd s"e ccnstruiascit r rmclc P gi P'alc plarrrr lu icare t iece nr ln accastd dreantd; i . face trnghiul d iedrrr cr dat cu planu! vert ical e, duspr in dreaota D.3o Sd se'construiascd proiecl i i le unl i t r iunshi echi-lateral .ABC si tuat in pr imul pkin b 'sector, Jt i ina cavir fLr l A (a: a ' ) este pe l in ia d 'e pdmint, iar l i tura Abl,?ce^-un unghi de.3o" .cu plarul orizontal de proiec{ie.{" Sa se determinc in adevdrati merime uhghiul acuprins intre orizontala .G-(g, g') gi planul dis prini l t . .A. pdmint gi punctLr l . { " (o,-a,) . 'r" 5a sc construiasci locul geometric al punctelor egaldepdrta.te de planele concurdnte p gi e i i de punctEleA (a, a') t i B-(b, b').' , ' .Sd. se ducd pr in dreapta D (d, d ' ) a le r i re i proiec{ i i. 'orncid un plan P avind urme,e confundate. Sd ie deter-' - r i r re r l reapta D (d, d ' ) , ast fc l jnci t unshiul a. De carc. l. ' rntaazir pr_oiecl i i le drcptc i cu urmele planului , s i a ibd- valoare dat i .- Sd se determine proiec{ia vert icald a, a unui punct A:r tuat i r r t r -Un plan, cunoscind proiect ia a. : r rmaorizon-' ,1d, P a. p larrul i r i ; i r r r rghirr l d icdru cr , ' , r : rpr ins lnt :c plan' . p lanrr l vert ical t le r l ro iecl ic.: ' Se considerir. r l reapta A iS, S') care intsisecteazi in: : .ctrr l .A (a, a ' ) p lar iu l P dat pr i r i r r r rnc. Sd se determine:- : iecl i i le unei d iepte D (d, d ' ) , conl inut i in planul p,

"- . : int , i lncgte dreapta A in prrnctul A sutr i rn unghi- - - , lscut cr_. 5 i :S delermine proiecl i i le or izontalei G (g, g ' )- . . : - rn l r tnel te sub unghiur i egale dreptele D {d, d ' ) 9 i- l , d ' ) date.

10" Si sc demuns{rcz,c c: ' i , d;rr . i i t . r i l r l r r r r : i r r l r r r , l r s i l ) 'i t lc t t t t t t i p lan [ i r<: f icc l i rc r . r r I i r r i ; r r l , '1r : r r r r i r r l r r r r r i r r r , l r ide^, i5"0 i l iut tc i turghirr l t r r r r r t , lo l i r r .J, , r '1 i r r csl t ' i l r ' ( io .I l " SI sc deternt i r re proiccl i i lo r l rc l r lc i l ) (d, t l ' ) , i . ; r r t ,l - rect , l r in purrctul A (a, a ' ) , i r r l i l r r< '1t t 'o r l r t ' ; r1r1:r - \ (8, 8 ' )datd; i face unghiLrr i le egale 1^rr cele t loLi i i l r lanc t lcprolec! le.12" Sr iseducd pr in r l reapta D (d, t l ' t ' , , r 1,1, , r , , ; i . t i t . l i r r , i ti r rma P a planului sa faci i ctr drc;r1rt ; r D trrrgl r iu l t l l r t z.13" SI se determitre proicc! i i lc or iz.orr t : r l t , i G (g, g ' ) ,c.upr insd in planul or izontal c le proiec{ ic, iarc int i l r r t 'y icdreapta dat i D (d, d ' ) , sub rrrr urrglr i o.14o Se considerd planul P care t rece pr in l i r r ia c lc pi in intgi punctul B (b, b ' ) . Sd se determinc proiec{ i i lc <lrcptc iP (q, d ' ) carc t rece pr in punctul d i r t A (a, a ' j , rstc para-le l i cu planul P ; i - face-unghiLr l c crr i l i r " . i iu i in ic i r lepimint .l5 'Sd se determine urmele P pi P' : i le unrr i p larr c l r rc:t rece pr in punctul A (a, a ' ) , estc perpendicLr lar peplanul Q dat pr in urme gi face unghir i l r f ie i l ru a ctr r r r ra l t p lan R, dat de asemcnel pr i r r r r l l r rc.I6o Se considerd punctul A (a, a ' ) q i v l r t ic i i la D (d, d ' ) .Si se duci pr in f r rnctul A <, dr t ' r r l i l , r J 14. A' ; t ' ; r r t , s i ifacd cu planul vert ical dc proigc{ ie un Lingi l i c l r t a ; iast fc l inci t cea m:r i scrrr t : i d ist : r r r { i i t l i r r t l t ' t l rc l i l t ' l t ' l ) ; i . \sd aibi o l r " rngime l .17" Sd se giseascd in adevirat i n. i r intc r inghiul d iedlrr cct tpr ins ' intre doud plane P gi Q, t latc pr i r r I in i lc lor t lecea mai mare pant i f a{a de planul or- izorr ta l de proicc{ ie .18" S: i se dctermine prr , ie i l i i le t i r t 'pt t ' i D 1d, 'd ' ) , r retrece pr in punctul A (a, a ' ) g i facc err 'P. l ; r r r r r l or izurr t . r l dcproiecf ie gi cu l in ia de pimint r r r rg l r i r r r i lc datc a. ; ; i p.19" Se considerd dreapta D (d, d ' ) conct l ront : i t ' r r l i r r i r r r lepdmit t t : Sd se determine urrnclc P; i l r ' l r l t , t r r r r r i p l ; r r r ,ast fc l inci t dreapta D (d, d ' ) s j i f i t ' l i iscr . to;r l r ' : r r l rg l r i r r -lu i cr cupr ins in .spal i r r

' i r r t re ' r rnrc lc l ) .s i I " l r le 1r l ; r r i r r l r r i

caula t .20o Se consider i p lanul ( ,are( ' : r rc PI)xP' ; l i r t l r f i r l l rnno.Si se dLrcd in planul P pr in prrnctrr l P* o drcapt i D (d, d ' )care s i facd cu l in ia dc pdmirr t un Lrrrglr i dat a. .2 l 'Sd se determine urmele P gi P' a le planLr lu i b isectoral d iedrului def in i t de drerrpta D (d; d ' ) ; i pLrrr , . : te leA (a, a ' ) 9 i B (b, b ' ) .22." Se consideri punctul M (m, m') gi dreapta de prol i l(ab, a' ! ' ) . Si st i determinb proieci i i te unci orcpreI (d, d ' ) .care t rece pr in punctr i l M (m, nr ' ) g i int i l rLel tedreapta de prol i l sub un unghi o. dar.23o Se considerd dreapta d1a, a ' ; ; i p lanele P ; i Qdate pr in urme. Sd se d-etermit ic pe r l rcapi" D rrrr prrnct Aechidistant faJd dc cclc r lorr : r p l ; rnt . t l ; r i t '24 ' SI se determitre proiccl i i ie rrr r r i r l r r '1r l r D (d, d ' )ca:e t rece pr in punctul A (a, a ' ) , face trnglr i r r l t lat a cuplanul or izontal de proiec{ ie gi este s i tuata la o distan{ i icunoscut i I fa ld de l in ia de pirr int .25" Se dau ur i re le vert icalc i t ' f i Q' ; r r lotr : i 1r l : r r rc y iunghiul d iedrtr a cupr ins int le plarrc. S:r st , t l r t t , r ' r r r r r r rt t tmele lor or izorr ta lc 'P l i Q, st i i r r t j cr i ; rct ' r , lc r r r r r r t .s i t r toaral e le.26" Sd se determine prr-r iecl i i le r l rcptei D (d, d ' ) c i r retrece pr in punctul A (a, a ' ) c( ,n l i inr t i r r p la i ru l b isectorI I ' . - IV, int i lnegte i l reapIa . \ (3, , \ ' ) y i i ; r tc unglr iuf iegale cu cele doui i p larrc r le l ) r ( ) i ( 'c1iL ' .27" Pr in punctele A (a, a ' ) s i B (b, b ' ) : i r sr drrca c lor i lp lane perpendiculare P 9i Q ast f r l i r r i l c l reapta l ( ) r de

i09

lntersecfie sl niba direc{ia d".rtd D (d, d') gi si tnt l lneascil inla de pdnnint,28o Si se'artte ci planul birector P al primului diedrugi un plan vert, icai Q lnct inat cu 46"' fafd de planulvert ical fac i l tre eleun ungh'de 60o.29o Sc conslderd dreapta fioltald F (f, f'). Si se ducdprin urma el orizontald o dioaptd D (d, d') care sd facduttghit t l dat aci l frordala pi a$fel lncit .segmentul inter-ceptat de cele doud plane de proiecf ie pe dreapta D sdaibdolungineldl t 'n.30" Se considerd'planul P oaralel cu l inia de pimint giodreaptd de prdfi l (hv, h' i ' ) din acest plan. Si sc duchprit t at 'easti t l roayti de prcf i l un plan Q carc s; i f i rci cuplanul P urrglr iu i d iedru dat u.31" Se considcrd dreptele concurente D (d, d') giDl (dt , dt) . S/r b: detcrrnine proiecl i i le putrctc lor 'echi-distante fald de dreptele D si Dr, .si tuate pe o dreaptiA(8, 8') care nu trece prin punctrr l de intersccl ie alprirnelor rloud grepte.

32o Si se deterrdne urmele F gi P' ale unui plan caretrece prin dreapta D (d, d') 9i face unghiul diednl a cuplanul orizuntal (vert ical) de proieel ie.33" Sd se dete"ririne ln adevdrati mdrlme unghiul cr pecare-l face r',u eel de-al doiten plan bisbctor o dreapti Dale cdrei praiectii d gi d' cinl egal lnclinate faNd de liniade phmint.34"'Sd se d,rterrnine urrnle P gi P' ale planului caretrece prin 1tunctul A 6, &'1, este perpendicular peplanul Q dat ilrin urnre gi face unghiul diedru cr cuplanul veitichl de proiecfle.

35" Si s i detcrnr i r rc rrrrrc lc P -s i l ) ' a lc plart t t iLt i c:t rcce pr i r r < l reapta D (d, d ' ) ; i i r r r t 'c t t un pl i r t t < l t : prcrunghiul d icdru a.

36'Sd se detcrminc t t r rncic P; i P' a lc r tnrr i p lan c i 'face cu planul or izorr ta l r lc proicc{ ic t r r t t r l tg l r i c le 4{cutroscind Droicct i ; r vrrr l icrr l i i l ' ; t t t t t t : i f ror t ta le Fproier{ ia vcrt ical i i a ' i r t t t t t t i l r t r t tct A i t r ' ; i r t t i t l t l l l i i r t ieste dubl i " r Ia l i i t lc t lcpi i l t i r r t ' ; r i to l r t i r lc i t l r t l r : .

37" Si se c letcrrni t te t t rnrc l t 'P:r i l ' ' ; r lc t t t t t t i Jr l ; t t t c;face unghirr l a ct t l i r t i r i ( l r [ ) r i r l l int ; i Lrrr l lh i r r l t l iedrt tcu plantr l or izot t { ; r l t l t ' 1rr r , i r ' , 1 i t ' .

38" SI se detcir t t i r ic t t r t t ' t l r ' l ) . i l ) ' ; r l . t t t t t t i 1; l r tn t ' :fat :e ct t p l ; t t t t t l or izot t l ; r l r l , 1r , , i ic i i , ' l l t t t . l l t i t l l r l ior l l t 'g isegi isc,r tc l : t r i r l is t l r t t f ; r I f ; r i ; r ,1, ' t t t t l t t t t r , l A t i r , a ' ) t l

39" tJrmclc or izot t l ; t l t ' ; r r l ( ) i l ; r l l l i t i l ( ' l ' r i ( l i ; r , i r r t t '< lt t t t t tuglr i dc 40 . l ) r r ' ; rp1;r 1) ( (1, ( l ' ) i lc i r t tetst ' t { ic : r l r t 'c :dorr i p larrc f i t r 'c i t t s; r ; t { i r t t t t t l l l r i t t t i r l t ' ( i , t r r ' ( ' l l l l r l l lo le (

zontale alc f iu ' i i l r r i : r r l i t t r ' t ' l t ' t lot l . r i l r l : t t t t : . Si i : ;c i t ratcungl t iu l d iedrtr cc ctrpt i ls i t t t ro t 'c l t ' t lot t i p lar lc cstc drc

40" Si se determine in. acle v l i rat i r nrhl i tne Lrn.ghirr l d iedr 'cupr ins intre doui i p lanc P ; i Q, cere t rec pr i r l l in iapainint q i respect iv 'pr in ptr i rcteie A (a, a ' ) ; i B (b ' I

41" Sd se determine t t r lna vert icalS l ' ' z t L l l ru i p l

cunoscind urma or izot t t l t lS P a planului 9 i r rnghir 'd iedru a cupr ins in. t re ar:est p ian gi p lauul or izontalproiect ie.42o Si se determine uflghiLrl a cuprins in spa{iu lrurmele P gi P'ale Lrntr i f lan, ct tnoscind ulrglr iur i lc p 'pe care aceste urme le fac rcspect iv ct t l in ia rJe p: i rn

Copitolul Vl t l

POLIEDRE

8.'I. GENERATITATI

3-1.1. .DEFINrTrr . RELATi lLE LUr EULER.-n pottedru este un.corp_geometric mdrginitde fefe plane. Aceste fefe. plJne pot ii poiigianecu un aflumit numir de laturi. Laturi ie adestor:ol igoane alcituiesc muchii le poliearutui-qi:ez.ulti din intersecf ia a doui fefi aldturate aie:oi iedrului . Mai multe muchi i a le unui pol iedru:,nt f i concurente intr-un punct numid virf al: l l iedrului, care este totodati punct comunf TJry gcl puf in trei fef e ale' potiedrului.r-oiledrete pot li convexe sau Concave. polie_irele couvexe sint acele poliedre care nu pot fi:ct ionate^.de planele propri i lor lor fete. pol ie_::ere pot ll de asemenea regulate sau neregulate.j:liedre-le regulate sau poliedrele platoniene au:=:ete tormate din pol igoane regulate cu un:::..a;i numlr de laiuril iar toa-te unshir.il":.:ire.gi poliedre sint egale tntre ele. poiiearele'rgutate se inscriu intr-o sfer6 gi sint circum-

scrise unei sfere dc ace.la;i centru. in spafiLrltr idimensional exist i cini i i-n;; iai"cinci po-l iedre.regulate, gi anume,-t" iru.J*i- frrr iru r*r.trtunghiuri echilaterale cgale), hexaedrul saLrill"l_l!r': .tete na!.ra1e eEale), o.tu"o.ur 1o1,tIet .e tr iunghiur i echi laterale egale), dodecaedrul{l? f:tS pentagoane.gsale) 9i

"i.osauJ.ui-qzo,r"

fl: ].Tr:e_hilri, echilaJeratc ecatc)- nce*i t,,1,tesIe. [Jn rezul tat izvor i t r l i r r t . t , l t . r lou:r lcort , t r rcale lu i Euler:

l. Dacd se diaide un poligorr (.()ttu?.y irr lr,turunumil yjt ltqr dc poligoatrc,' tt l tutt, i srurtt i t l irr/t,,ltttn:lrlt,l felelt r [r(tl i gttttr tc I t,r' si I t t u I t r t, t t I i, i r. I t r t t I r traepa;e$tc cu o tttt i lalc nturtttrrrl l tt l ttr. i l ,,t, , l ,,t if *v: l+1.

Il ., !ry

orice. poliedr-u 9t)naex, strnttt t! irt lrt, ntu)t(t-rul lelelor gi cel al uirf uri lttr c.sle r,gttl cu ttttrnurtrlmuchiilo-r mdrit cu doi, deci n ll y-_ ni -1 ,.In felul

- acesta, nu pot exista rrai rnutt a.cinci_ pol iedre convexe care si aiba acelasinumdr Kr de latur i pentrLr fefe s i ; ; ; i ; ; ;

8.1

0enumireooo/t?dru/ui negu/ot

Po/iqonu/redu/otfdtd

ilumriru/ deNololiefere

r .F Vmuch/t

| Telraednu2 Cub (hexoodru)3 Octoednu :i.,4 Dodecaednu r5 /cosaednu

tniunghipo'lnottniunghipentagontnrunght

46I

/2ZU

4Bt)

20.t2

6t2to

,1U

.70

T:4nC:6r,i0:B 6o: /26I -206

Itig

l l l

/btno edi,u/ / rurcltrottubocto srJru/At/

A t//

A/V

AVAVlA y//a [[t)A/XA.{AXlA XIIA XIt

h,iok on taq ans/ ( i c o.s lc'decoedri/10c I oe dru / trurtc/t r c' t(po/iednu/ l{e/virt)Jcosoednul frunchiot]ubu/ lrunchiet0c'decaedru/r?omltcuboctodnu/ e',?ombicosdadecoednu/d'u b o c ta e dr u,/ tru n clt rb tlcosdadecae&u/ lrunCubu/ tesit

A.!/odecoeo?u rcslt

mt@To/&@,mFig. 8.2

i iurndr Ko d. mt chi i pentru tonte unghiur i lepol iedre. Caracter ist ic i le pol iedt 'elor regulatesint prezentate in tabloui din f igura 8.1.

8.1.2. POLIEDRELE SEM[-RHGULATE. Pol ie 'tlrele seni-rcgulule sau potietlrele lui Arhimedesint poliedre convexe, avind ca fe{e poligoaneregulate di fer i te (acelaEi t ip de pol ig 'rane f i indbgite) qi unghiur i le pol iedr ice egale f i ra a f itegulate. Pol iedrele semi-regulate au toate mu-chiile egale. Ele pot fi inscrise intr-o sferl darnu poL f i c i rcumscrise unei sfere de acelaqicent iu Du pd Arhi mede exist l 13 pol iedrescnr i - regulate. Inragini le pc' l iedrelor semi-tegulat i pot f i obf inute cu uqurinf l pornind dela- i nragini le deja construi te ale pol iedrelorregulate respective asupra clrora sc executioperaf iuni le geontetr ice necesar{ l (anu' ;ni te divi-z iuni a le rnLrChi i lor , def in i rea v i r lu lu i pol iedru-lu i , etc.) l )upi i nurnirrul total t lc fe ie ccle l3pol icdr i ' : ; t ' t t t i - rcgtt l r t te pot f i orr lonatc rst [c l :

d, 14, 26,:12,:18, 62 gi 92 dc fe le. Pr, t t t ru prcci-

zarea ; i s i t t tet izarea idei lor s int p.rezett tatc i r tabIou i d in f i gur l r B.2 caracter ist ic i lc ' pol iet l rcr lor

se mi-regulate.

1.12

8.2. REPREZENTAREA POLIEDREI.OR

In general , pcntrr t r t 'prczt ' t l1; t r t ' ; t t r t t t t i corpgeometr ic pe <-r ept t ra t t ' t :bt t i t l l ) r fst l i l . t ls l l c t l l los-

duta def in i f ia geornetr ic i t n acestt t i corp. In

aceste cont l i f i i t ;c col tst t . r t i t 's l l ) l ' ( ) i ( ' ( ' t i i lc I t r t Lt t ' t - r t '

v i r fur i lor dupi carc sc Ll l lc : rc acc' : ; te putrcte

cloud ci te doui , drrpr l t lc I i r l i f ia geort tetr ica apol ieclrului , ob{ in indtr- r t ' ; rst f t ' l l r ro ict ' { i i lc t t r tu-

ior muchi i lor . 'Pr i r t proicctarcir Lt t rL l i l lo l ic t l rupe un plat t , unele di l r t rc t t t t rc l t i i for l l tc i tz l t t t l l'pol igol i

care i t tc l t i t l ( ' l ) r ( ) i ( ' ( - ' l i i lc t t i t r t r i r r ' t ' lor-

ia l tJ nrtrc l r i i . Acest pol igort cst t ' I l t r r r r i l conlur

aparent al pol iedrrr lLr l . Sc, t l t rosebcst: cot t t t r rLtr i leabarente oizontal , vert ical s i t t t latcral pct t t rut

uh ool ieclru t lat . Accste cot t t r t r t t r i l rpart ' t t t t : pot

avea di fc l ' i te for t t l , - ' , c l t r t ' s int [ t r l lc{ i l t lL ' pozi l i i r

re lat iv l d intr t r pol ict l r r r s i l r l l r t r t r l t lc t r ro ict ' l ie '

Pentru obf inerei l t t t t i l t '1 l t t ;zet t t l t i t : l r t ' r l s ; r facir

imagine este t t t i l s i r se sf t t t l iezt 1rc t '1.r t t r i i 1r l ' i t ll in i i ' cont inue lnt tc l t i i l t ' r ' ; rzLr l t ' r t l t ' pol ict l r t r l t t i ,

sr l t rc t lc t tsclr i t ' t ' t l t ' t ' i ' l t ' i t t 'opt ' t i l t ' t ; r t t ' s t ' 1t ' l l -

scaz- l i cr t l i l r i i i r r t l ' t ' t ' t t l r t r ' St ' I i t r ' t " r is l l t l l t i ' t l l l

s tudiu de viz ib i l i t l t t : l r ( ' ( ' l ) t l l . ' r l r l t t t tc l i i l t r t '

v iz ib i le saLt i t t r r iz i l r i l t ' l l i r 1r ' ' r l i r r i l ' t l ( ( ) l l \ t ' \ ' i l r

r l rept cort tur aplr t ' i - ' t t1 1, ' l r l l r t t ' ' l t ' t l ' pr t ' i ' : ' ' l

tVuntcirtt/ c/e

4f ' ; + 4n Btfo +,96 /+

/2 fi + 208 32

BFu t-OQ /4206 " 126 3266 + Bn 't412ft6 t2s6 .ttlB4 * 65 26126 +30F4r295 626E +8G+/24 26/2 f/0 t20Gt30F4 626n +32fJ 38

12F, +eg6 92

30

240024602/t

604B

'1202460

60

369A36a048

/20/z

/8060

t50

nr

c,0D,Ic,0nr

UtU

D,Ic,0D,IcD

Oenumireo po/redru/trsenireEu/ot(qrhimedion)

ll

fl

:1tflGlF

I

-l,teeerre--9o.rt1'e-49.

- Corrt-urul Sparent este in::rate cazurlle vl-zl.Q!!'. deci se tiaseazd-cullinie:lina. Dacd dou[ muchii necoplanare au pro-:..llli. doncurente intr-un punCt din interiorul..;i;"I"i'apaient, doar una dintre ele va fi- ' , i luita. m.uttt i i te care pleacd toate .dintr-un. i.i ptoi."tat in interioiul conturului aparent- . . . i . lu toate v iz ib i le sau toate inviz ib i le '

- . s i i rs i t , pentru studiul v iz ib i l i ta{ i i se compar.a- t i l . ' .uriepdrt ir i le diferi telor puncte' Astfel,

- i oroiectia 6rizontald este vizibi l punctul care

8.3Fio

are cota mai mare, iar in proiecf ia verticali estevizibil punctul care are depirtarea mai mare.Cea mai simpld qi mai rapidd reprezentare caresi facd imagine a unui poliedru sau ansambluride pol iedrJ poate f i obf inutd pr in ut i l izareametbdelor de transformare a proieclii lor, decipr in schi mbarea planelor de proiecl ie, pr iniotatie sau prin rabatere. Acest fapt este ilustratin epurele din f igura 8.3; 8.4; 8.5; 8.6 ; i 8.7.

Fig. 8.5

113

NTT

plBJJlJeA ErlJrroJd .ezsq !elsJf,u InJnusld 3lB

,d. !s d.eleuJn !s e.tBs lezeq "

f,qB "tsluozlJo

"llraloJd '1 us uarulilpu! pulssounJ eldeJp erul

-nlqFunlrl eurslJd laun ayiriiefoJd RJsBtnJlsuoJes PS 'Iewstud vauvlNazsudau .8.6.8' tpy eldue-lp n.r our)l gzvJ ap InlnJre urlcasralury^lp Pllpzar iI 16 C:o1a1cund B IH : lu Blor rer'oqs.l$ op\l gzyr ep rrer ep :o1;ioJe 1e ar{casralur

- ap .p Jnlrund purreprsuoJ aurfqo as (,p ,p)

OI InInJJJA e rpp ptroJ BJ grr:asq6 eg 'oer ' n:]

-ual op,lnJJaJ uJ srJJSur 0e0p0J0q0e fnuoFeluadarJceroJd ep Iel.uozrJo 1nue1d ad e.laleqer ugll:a'trulsuor os rS oqoes efu; aFale aS .(6.8 .FU)allraloro ep luluozlro ;nuu1d ad gluza$u eliaeJuJ nr BVS plurelul uful pu!f,sounJ .aluJnie.raleuoFuluad appuerJd laun illifealord eosuln4s-uor es RS 'ylvNOOVrNed votwvuld '6.6.8'cordrra; rS- ,ur alecrlre,r rarfralord pundsa:oceJec '6tu rs rur oleluozl:o rrfcalord pnop pl1zaJBlsere Inl-al yl .rq rS qu ad ap l$ rr lrlrjdsary_!Lq_o

": I'c I.s l?o ulp eulpro ep glpul puJroqo3

^?_gq nlnJ ad eII 'gVS BlsJ ad a1; plenirs rJ

e1e3o ,tu,s alse plBJrlJer\ arfrarord reJpJ E WSBloparp BJ BAJosqo aS .ur BleluozrJo es erfmroidaurrxralap as FS .1n1nrpar1od eiegerdns adlBnlrs lJund rnun B.BIBJTIJaA erfcaro:d ,ru el l'.gleluozlro elfcalord ug plrqrzin jlsa 'eq :er.'BIeJrlJeA erfcalotd uJ pJrqrzrl eise ,u,s BrLIrnW'a1ua;edu, JolJrnJnluoJ Inrouelur u! io lrrqcnruoJlr lJoroJd rs uncard , lnJnrpal lod e1e elua;ede

UnJnluoJ enop.aleJ urfqo as rrurl ur:d elcund?]r9?u pulun '(e'g .Fli) .ro1 aJnfrarord urrd elep'f, !s g. 'V 'S arprlrqre opund n:1qd p-reprsuoa1s 'ylvgvudns ia rcNnd '.suvceuvoaorwvurd raNn vsuvlNirzeud:ru .t'6'8

a1-a1_oirdec er Bopa^. BA as unr ;3*":3|,:J-aIlod^elp aJtJleuouoxB olrJPluazorda; nc FlJeJlpg:n1gFa1 o r5 91r1rqa1s 1j-ejeod Blsare 1,i1"1 u1

/ 8 .Ftc

iect i i lerrente.t icald,rntald.si tuat

erminetreaptapoate

r SBC.: obf inacestai, careciproc.

e con-gonaleE Careoiectieruiegteoiec{ ieb cen-lrfuluidr de

gi sbs,I td dina Kd1.

SA senghiu-oiecfia'$ i P'r t ical i

Fig. E. l0 t ] ro

i a bazei rezulla imediat considerind-ele planului duse pr in a, b; i c ( f ig. 8.10).; ii ind dreaptd, muchiile ei vor fi perpen-

I--t pe planul P. Cele doui proiecfii ale:,r nuchii vor fi perpendicularele duse din:=-e A, B gi C respectiv pe urmele planului.

a-x l+: *^^ I -^ , , . .^ J:-+-^ ^^^^+.,

:::-e A, b 9l U fespectlV pe urmele planulul .i-- a a;eza indlfimea I pe una dintre acesteT se. considerd planul vertical Q'care se

u egale, cunoscind lungimea I a acestorri, centrul (<o, or') al bazei 9i dreapta

""*:--"-eazd, cu planul P dupd dreapta a cireis: pe planul orizontal este has. Se ridicd-::iculara in an pe has gi se obline a1n,.c rltoarce din rabatere in punctul (a1, ai)

ii:rLr,r;ine bazei superioare a prismei. Cu;r- iele doui contururi aparente ale prismei

':r *olet determinate.

+ REPREZENTAREA UNEI PIRAMIDEC6'ONALE. S[ se construiascl proiecfiilepiiramide hexagonale cu toate muchiile

as gi bs dau a Ei b pe I iar cs se ridicd din raba-tere in c pe dreapta y.. (estul punctelor rezultdpr in simetr ie. Vir ful S (s, s ' ) al piramidei seob{ine aqezind indl{imea sico : ssbe pe per-pendiculara (of, <o' f ' ) r id icatd in (or, o ')

-peplanul bazei piramidei.

8.2.5. REPREZENTAREA CELOR CINCI PO-LIEDRE REGULATE. TETRAEDRUL. lo S[ seconstruiasci proiecfiile unui tetraedru regulatcunoscind muchia sa gi urmele planului in careeste cuprinsi una din fefe. Fie F ;i P' urmeleplanului ;i A, B Ei C virfurile bazei tetraedruluiregulat de mucl i ie l dat i ( f ig. 8.12). Proiec{ i i leabc ;i a'b'c' ale bazei tetraedrului se deducimediat ridicind rabaterea asb6ca. Piciorul ie alinil!imii tetraedrului se intoarce de asemeneaugor din rabatere in i gi i '. Pentru a aEezavir ful S pe perpendiculara dusa din ( i , i ' ) peplanul P, se considera planul vertical Q dusprin aceasti perpendiculard. Acest plan Q seintersecteazd cu planul P dupd dreapta a clreirabatere pe planul orizontal este hil. Se agaziin51! imea sssq pe perpendiculara in i l pe hi1 ;1

i , care poartl una din muchiile acestei

in rabatere agbgca adicd doui laturi

-. :jutorul punctelor M Si K se determindhr'=: d-0 a dreptei A pe planul de nivel H'rn'--- rentrul ( . , . ' ) ( f ig. B.1l) . Se con-

n,m:. piramidei, care permit revenind dinr'-: :: se obf ind intreaga proiec{ie orizon-L ; : l :eald a hexagonului ABCDEF astfel :

115

. . in l l l1 l -uot as ' (g[ 'B :Frt) D ralB]uozrro_Ft. , l , r :y_ap-,1nue1d ad ( ,q qt g ' rh l ruho

alpqeJ as r$ a:o1i;qer

:il: .'I?'"' *'J".'r"i"r3l"E'"0"',J'

3'?3L""1, *u,!Sj:ll^!iy"!d ad ujul' nr"lnniii'j rltu, ;p i" | il;li " i ; i;J$i'Ufijd:r'"Tlf

.tl!"rd^ ",tjd_arer1' b:ec' ;f-a ;bi o'rt"i";,,.^rs j, l_,! ) g 1l- i, n -L"t v' 5rrij"'" o-'u"rf;:3es or 'lnsn) nvs rnuqivxgn rg:f .s

;:r?:.1:9. :p_ arglBrnspisap Br rol I1,,,"",'3:::"1 j"jl,J13 ;iJ;iiii;Y'''Jl;;ffi i;Jr l t iPl l l lq lsod ejdnse' ' '

: - ;1""- v 'u ' rJLrJdP

n;BJra.r , , srprrne^1 ,^ .- .1:-Yntn:d lelnFar rn1rla] B aleuo8ol.lo ni,lo la ledtrurrd ru r .1."-r.;";!"ff;uloll3"o

ttrpluaze:dar e1en ,n +t .A ^,r ,hQ,_

glsJSUJ as g . , g l .gr Is q ,0 vl.g e;r.rn;r; ;ip'";i.;;j. .;t"[

' ( ,1 ' t) S yJ atlelori,lr,yolu,.": :j:" 1s p11ni5g .'ui1o',ralnJrn

JuojJ Bl?'.,',;' : fl ;' ""',?jj,i,i t ::ijd,: f - .u y.T I e:,:-".-:lr" ,u,rJ erlraroJd .CgV raief lnuej[' , { . ' { ) uJ FlBJlpu ( .u.y .uyl p,rprnlrnrrarrp_lj_ (,u,)t 1u41 'eieinJrpujo: ad gZeS'e jS - - r

t ' - ' " " ' l l 6Jblr 'J lpud0

I prrrrr t ror ' InJnJpoBJlol B o{os :

l-,'11iiJ:3i F.yl'flnp ab (si:d"rs;) i' rrfi o' jt'.,13i"nt;:','""*i,liii,,ui"^'i,l."l'j,,".1,i;:t:t:i.yl _ * qi- 5r*i,,iil;i 33!:i3i"y.: s stu-luoz;;6 ur6aloii is ;;;;;;;"l13l g y- ".i.,p:': qynsounc tdvi

"ili"*;4el lnun aprfraroid'grseln4ibl"rJ

iJ";aralBq'r urp arr'olur t

tt}?r(, lrr tf ,?, ll}'lt

./ 'r

4, ' , grs. j t tg

/nrPeprldJ

\4_V\ , / t \ / \ , /\ / t \ / \ / r

V

st g Ftg

il.J

t

tt,*,}

:

arehieie plrf€ C1

trca I

Fig. 8.16

r' i l i i l I : iere fafa abncsds a cubului care, se ridicdILL:LT rabatere cu ajutorul punctului s in (abcd,,rrur'h c'd'). Pentru" a g5si un punct Ar (at' .1i)irLrrr ,.;ei AlBlCtDl, se c6nsiderd frontala (af, a'i ')rrl :e duce pefpendiculara (p, p') pe

- planul

u,te' ABCD. Se roteqte aceastd perpendiculararu ::nctul N (n, n') in (an1, a'ni) -9i se a;azdilmr-:roiectia verticald a acestei drepte seg-lnrm:ul a'a,2 egal cu muchia cubului. Revenindlu,n :oia!ie reiultd ai apoi a1. P-rin paralelism*t -=:ermind restul muchi i lor cubului 'P 5e se construiascfl proiecfiile unui cublilMrriirscind lungimea I a muchiei qi gtiind cdme din diagonale este verticall Ei pleac[ dinpurmrtul A (a, a') situat in planul orizontal de111mrr'rliliecfie. Fiea's' : I lungimea muchiei cubuluiLLiriiilln'rr se considerd a;ezat ctl patru dlnnnuriui' .i paralele cu planul vertical de proie,c{ie

'flflrq s. iz;. Se determind diagonala ?'n' arilr:mr-,ri construind mai intii triunghiul drept-Lrumm-. i isoscel a 's 'm' s i apoi t r iunghiul drept-ll l luru:,"; a'm'n'unde m'n' : a's' : l. Se aqazdrirrumrn:A diagonalS vertical 9i rezultd punctul11ffi E. g'). Conturul aparent al. proiec{iei

',tm:.":5le se ob{ine construind dreptunghiul

Fig.8.18

a'c 'g 'e 'egal cu dublul ar iei t r iunghiului drept;ungfiic a'in'n'. Conturul aparent. al proiectieioriZontale este hexagonul regulat bcdhefcucentrul in a.30 Pe epura din figura 8.lB este fdcutd trecereade la r6prezentarea dublu ortogonald banald acubului

-la reprezentarea sa axonometricl' izo-

metricd prin doui schimbdri succesive de planvertical

^ Ei orizontal de proieclie, qlegin{

unghiurile de 45o;i 35o pentru respectivele liniide pdmint otxl gi orxr.4o in epura din iigura 8.19 sint recapitulatein dublh proiectie brtogonald principalele di-mensiuni

-necesare construcfiilor proieclii lorcubului in funclie de lungimea a a muchieisale. Figura 8.20 prezintd di fer i tele posibi l i td l ide desfdsurare ale unui cub.

117

a6'8 '8rc BII,

f:_-fggJgvW 1u1n8a.r. nrpeulro gnun e1u asndolrnJrt^ pnop luls (,u frl tt ls'(,p'i,u)- q1 'r1"1"una'(, u, u .uru) plduaip .p i,iid;ilr", fripfi ,io, "s .6g rn rnlc-und ",", ""' flt;: :l,r"Sjgr t:";',_ap Fi ;i

lnlnueid e,qtj elor j:if::Frffi ifi'ilifrjyr:B9;"l.l urp Braun eaiileq?I F,fir;;j; ar'r.0qbul

lErolpltqre tntAl?yiru+ ,g"i*'iu n| 1nuu1oa0 eralpqpr ul -a1$amrlbrioj' ,i,

.quinlng,qrnrrnrqdunrrl luJs rnlnipa,elco

"lnlnir"JJ.rronq^:l:p -:i'. ;s ynlhipeilui-;r,tjli;, ric"' p1et":lsa_ Intntertrpd ernier' .(ra:b': i i [) '" l lr 'oro:l-.1.?lj9^ lnue1d n1.qg-ap lnlq;un prrJ pr'HiBlBUodprp rJrug lalls€.'bdiui ii lnrlgd {"Basar}as p uI Inrluar nr .agicago.rg

"pJ;J;ilrflnungonr o08 ap ;qFun in ,:l:l_g,n"i,Aiip'!""p elt"l-elar urp pun rp! ,arirelord-ep

ln1iioriro"rlnu"lcut lunrls (,e 'u) o i:Jjl^ ,pinJffii-bieJoau;purp ?un erp er?r rurnjai-

"rfi"ilil;,,ir,iy;11rr;-o.ld ucsuln;lsuor as ps ol .,InuoiIVJ3O ./.6.g

1 oa g 'Flg

-1-l

rT-n rt--lrlt E l+tr -r+FLJ LJ

lnrPe pxaH

n -rr.trE -ff -4ot 'g 'Elg

W,q- l--

t. i i ; xr r il ; xr

iA '' j--;-

I - t t ti

- ' - l

' t ' : - F. i= l

',:;ijt,j.

r l

\n/ r ry,dru/

#*#/\n

Yffi8.25

J1'r

ryLf f1al ld cJLtr cBard (-u aucvdr dLd rurrSr l rc rrrr r l

--Wnentului MN. Construcfia acestui pdtratMe ii executati cu u;urinti in rabaterea

a (ark, co'k') planul mediator PP' al**egment (fi$. 8.22). Acest plan P sec-i octaedrul dupd un pdtrat a cdruild este egald cu adevirata lungime mn1

iui P pe planul orizontal de proiecfie,;ind cd (., , ') se rabate in <oe gi cd asbn

: frontald) este paralel i cu urma rdbd-Pi. Intorcind

'din rabatere punctele

hn co $i dn se obtin cele patru virfuri cdutater impreund cu punctele M'Ei N determind

mryiet proieclii le octaedrului. Punctele b6 gim intorc din rabatere cu ajutorul dreptei oc<o,e se determind cu dreapta Bb. Punctul cs se

rc din rabatere direct sau prin simetriede punctul a. Proiecfiile verticale ale

. puncte se obJin utilizind orizontaleielve.

r4\i'' r

ia,

' t

{.?

4Fig

#4

3o in epurele din figurile 8.23 gi 8.24 sintrecapitulate in dubld proiectie ortogonald prin-cipalele dimensiuni necesare construcfiilor pro-iecfiilor octaedrului regulat in functie celungimea a a.muchiei sale. Figura 8.25 prezintddiferitele posibilitd{i de desfdgurare ale unuioctaedru regulat.

8.2.8. DODECAEDRUL. 1" Dodecaedrul regulateste poliedrul,csnvex mlrginit de 12 fefe penla-goane regulate egale (fig, 8.26). Pentru ob{ine-iea unei astfel de reprezentdri dublu ortogonalea dodecaedrului este necesard recapitularea unorproprietd{i ale pentagoanelor gi decagoaneloriegulate.

' Astfel- pe figura 8.27 rezultd din

asemdnarea triunfhiurilor [ABD - IBFA --AAGO cd s6:(d-sr) :d:sr sau

Fig. 8.24 Fig. 8.2S

119

OGI

:*9 [ q-t ?rnl"l puI^B lu]uozlro Inueld ad 1an1rs?-!-9:!]_yn8a: lnuo8elueri ebele' as raJlsv'ol ' lrd eJ elelnlrderer oloc ep erfcuny lelir8n':In-lnrpaerapop y pluuo8olro ntqnp 'piridrrc-sep BaJpluazarda: uJ url:elur ejec'aleiuaruelaaleztleue +uJS 66.9 ernFr; ulp erniie u1 o6

::1y_:-{ 1 ri"rla Buosop " p, F;

I;i:Tt:r?, ";: i?,?:gil:}T{:],tf -! l"q pclpe '!fep .r RzeI o n_r1'uad(96'8 'dlJ) clgu^rH rS esnpap g lod sns reru ap blrrf-:]3.U,

11q1y9:e+uad elurioFeip atsa'p,rnlnribd,:1ti*_:_i3:11_lninsrgc BzBr elsa d iors' FrniBrep rnlnuodpcep nBs ts p:n1e1 ap rnlnuo;le1u'adsrrcsrunJJrJ lnlncJal BzeJ alse J il ielei olsare uJ

66'8 '8tC

86'8 '8tc

'Gl l * i lzA- ' lL *:o td7:r+ors

(r_ti/) f : o:0 : ad b - dJZ + 6J ia l -ap - zd b

Gl- i lz l- l r * :n,

lap-ar9:u.r1o[s: fs7-

(l -_sl) f : ot. tg : uJ - orsr + ols

-a: ernFr; rieaere .j "i.:,',1i,"t":;';:#,;ir#rT,qg lnluauFes eprlrp g lnlcund p, "unO,

ag)z-'(I - !/) p :"n. apun ap 0 : ap - esp + ?s

tz'g 'EIt

€ii

Fig. 3.30 Fig. 8.31

fi ind rabaterea lui l0 se deduce 10 deci cota

10-10 : r . Figur i le 8.30 gi 8.31 reprezint irespectiv o vedere perspectivd- a

-dodecaedruluiregulat gi una din posi6ilitdlile de desfdqurare.

8.2.9. ICOSAEDRUL. 1o lcosaedrul regulat estepoliedrul convex mlrginit de 20 fefe triunghiuriechi laterale egale ( f ig. 8.32 Ei B'33). Din f iecarevirf pleacd Jinci triunghiuri echilaterale egaie

"rt" ul.Atui esc o p ira mi-dd pentagonal d -regul

atd,Pentru reprezentarea dublu ortogonald a ico-saedrului regulat se observd cd in cazul uneidiagonale verticale cele doud pentagoane:oincide cu 2 dacd se roteqte pentagonrll

3-4-12-11-10 in jurul laturei (muchiei) 3 '4 'iu alte cuvinte punciele 10, 16 ;i 4 se-gdsesc.ituate pe o perpendiculard la muchia 2-3' La:el punitele 10,- 20, 2 se gisesc si tuate pe o:eroendicular l ia muchia 3-4. Procedind invers:oale fi oblinut punctul 10 din intersecfialreotelor a-1'6 si Z-ZO. in rest celelalte puncte;ie'proiectiei oiizontale a dodecaedrului regulat,.rrilte cu uqurin{d. Astfel 9 rezultd din inter-i :ct ia dreptelor 19-2 si l6-3. Pentru deternt ina'. . r ' 'otoi"Jt i i to i vert ibale de t ipul 10' sau 9',e t ine seama f ie de valor i le r , s10, 2p deter---rina[e grafic fie se deduce efectiv, cu triunghiulre oozilie prin ridicarea rabaterii, cota respec-. , t i u 'punctului rdbdtut. Cu al te cuvinte 4

&Fig. E.33

:l opusa f i ind

doudplane

zontalryonulbazei

I incitpoate Pig. 8.32

12l

98',8 '3tc

.eJBJeJBo auBId UrJd nus aluBlcaroJd

".y:.. ld, TUd a:pa11od ug' aua1d,"n,iJ; ';;;,;-uor rol eg .ue1d un rS pldeirp'o

"j'1uip arf5ds

r con-plane

INTE.ntr-unIaterital deime a8.37).: p lanata gidupdaPvSrdinehi i lorI SeC-Ppe

i.Jiuniittuatlrcfie,ls i P't or i -Ernutiecf iaHrata, pr inontal

[ iuni itr-unl l i ai t \ pef.3e).

Pie.'8.4O) \

de planul lateral de proi- ic"1ie, secf iunea aparepe flanul lateral de proiec{ie total deformatii i i r ternutS pe urma P" a planului dupdsegm'entul o"A"T". Revenind in proiecfia ori-zoitald qi verticald se obline secliunea (apy,o.'9' T) cdutatd. Determinarea acestei secfiunipoat6'fi efectuatd ri fdrd utilizarea planuluiiateral de proieclie, observind cI toate punctelesectiunii au acelaqi raport intre cotd Eidepdrtare.5o S[ se construiasc[ secfiunea pland intr-oprismi patrulateri oblic[, clubaza ABCD situatlin planul orizontal de proieclie, printr-un plan P

pig.;'b.eo :

\*_Froiec{ia orizontalva a secfiunii este apy8, iaredevdrata mirime aogoToSo a secfiunii se poate,'c1ine printr-o rabatere a planului proiectant:r unul din planele de proiecl ie.4o Si se construiascd secfiunea plan[ intr-opiramidi triunghiulari oblicd SABC, cu bazain planul orizontal de proiecfie, printr-un plan Fcare trece prin linia de p[mint gi punctult i {m, m'). Fie s"a"b"c" proiecf ia laterald a: i ramidei Ei P" urma laterald a planuiuitcant, care se determini unind o cu m"i:g. 8.a0). Planul secant fiind proiectant fafd o,r

123

J r ' :' zt'81 'drJ, . '

Y:a/

IU elolcund pc pruBas aulf as 1$ ,(,i,b ,Xfj

'v rarqJnru e vleluouJo et|Je

'pr!lqo pralu;n4ed eurslrd o-rlug pueld eeunliresprssln4suor as RS .eNntjf,gs EO 'InNV.Idnf, uolaial rarlcasuarNr vcbrsw--s e.e

. 'alnlgqgr :o1 alrrrdo.ld lugs u rS

bzl'|u?lregoJd uuld u! aungfras ep 1n1nuuld ;Jrpurjo;-suuJl ?poleu pulzrlrln ,eurrn ugrd lup eruJeruo4 uuld un-4u;rd ,alicagord ap luluoziro 1nuu1du!uplruu.lld o-rlu! Ruuld uaungires pcie!ru1suocES PS 'INVICAIOUd NV'Id NI :INNITCAS gOrnlnNv'rd rruywuoJsNVur V(IOraw .'.r.8

'(,9 ,!',d,o 'g idP) Ialise truJslyunlfras alrrfcalor4 .g_t.

lnluaru8as auif-ar os 11Olalal !s d rojeuBId e u6q er lcasJalur_urp ,3o1euy'6n 1n1uau;des Jeop aurie.l as eueld Bnop roJaJn

-ty er{cesralur ulCI .qu nc playered 'eisa'r$

/H elsoulllul_g BJqJnut aJBJ uJ ,(,1 ,l) lnlcund

uud eca:1 (lE ,tF) Bleluozlro plstidry i11F ,tg;ele+uoztro gV 1aial 1nue1d uJ rur ,(,F ,8) e;e1-uozrro 4 1nue1d uI Fp aJBJ l ,H Iarr lu ap ru.r l rq.reInueIo elsasoloJ ol ,eue1d pnop olar aJlurparlrasralul ap raldeJp 1e u l rund Balrop IBun aulfqo B nrtruad..gV laleJ rnlnueld t6 a tnt-.nuelo untuoJ lJund un alsa aJBJ ,tq eurfqo es'4 eru:n nc eriras:a1ur u1 pugd qu purFlnlar4'gV lel-al u elellozrro Burn urp eunrf.lod 6Flulzaroar qE yqluozr.ro uriralo:6 .(Sl.S .FU)plep pJr lqo g:e1e1nt1ed eruslrd OCSV alg .aun; i-f,es ap 1nuu1d nr raursl:d rolaiatr .ro;lgiiasralu;epoletu pulzlllln ,arurn uJ;d lup eJeJareo 4 uu;dun-4u;rd 'erioarord ep luluozlJo lnueyd qeieqnt

, .,*__nl

gt B ,FIC

tu alolJuno ec pruBas aull as IS ,(,y,d ,Xd)ralEluozrro lnrolnfe n. ,(,d,fr)

lnlcund,ai lcerordep

^lB^1 :rczrJo 1nue1d ad ,0d ul a+BqBJ as ,nunrfeesap^lB^luozrJo Inupld ad .ud uI a+BqBJ as ,rrunrfeesr. :,t:p,tr.9,u,t{F.T e}Brp^apu aujfqo E nrtuad'O, 'L) IS ( ,d ,d) alalcund gunuralJp as Foleuy'V rarqJnru e Urcluoztlo erlcarotd l5 .rru a.lrurn'V JalqJnul e pleluoztro.erlcarotd lS lq a.llurppr+rasralul_ pulnl , ( ,n ,o) pl lnzag .( ,n,q , , rq)pr lJasralur. pu1nl , ( ,n_,n) pl lnzaU .( ,n,q,nq)Blo?aJp ponp d InuBId alBl V Btqrnru uud snpBloEarp ponp d,1nue1d alel V Brqrnur ulrd snpIFoBJ_ep 1nue1d IeJlsV ' (al .S 'Fl l ) eunlfces opS 'Fll) eunr{ces op1nue1d ezeapas.rajrir ieruirjd- e diqcnru' arerarJarBr uI aletrrund pulrrrralap as .JlunJfras eetulJpru ?luJB^epB uosuasp8 as ps gS ,eungioes apInueId nr. gausJ.rd rolllqrnur rollgftasrelul

"poleulpu!z!ll ln'euun ulrd lpp erurarpo 4 ueld un_iluJrd'af lraloJd ep luluozlro lnuu;d uI ezeg nt ,ucryqopruln!qdun!4 prus;.ld o-rluI pueld eeunlfrisPf,suln4suor es pS..ANnIl,leS gO 'InNV,Id nCuolrrHcnw raricesu:rlNr vqoraw .a.8'8

' ,g ,) , ,d, , tS g I f , rc iugs r runr icas e1e rr f caro.rd pnopollEIalaf, .//d.BrrJJn ed .p1nu:a1Se rS pleur.rogapIelol , ,1, ,9 , ,d, , ! eaun. l f cas eurf qo-es' iSr lceror iap IBralel 1nue1{ ap plBJ luelcerord pulrg rieldlsaJv ' ( l? 'g 'drJ) lueJas rnlnueld v t td Eurrnrs rausrrcl 9 plBreleI urf carord elSern;1suoces aJeJ ad arlcaro.rd ap lBJalBI 1nue1d Bauouaspap lBzrlrln lJ aleod .lupugd ep elull nc ;alurud

Fig. 8.45

b-unrtodasec-

datdfintFtAB.

rzr P,lanu-.erunec{ie

!unuttzo{t-ntalapr in

eH'lmaI o9.fe{eiiuni i

rjtUI$i semidlEinanPrans-fant'

Fie. B.44 i

-'\,,,"

Printr-o schimbare de plan vertical de proiec{iese transformd planul P-in planul de capdt PlPi'luind o1x1 perpendiculari in P*r Pe urma P(fis. 8.44). Noul contur aparent vertical alpi iamidei este sic iaibi , observind cd S. 'S' :: SiS*r. SecJiunea vlulgi in piramidd ctr

planul de capdt PlPi este t9tal -deformatd.gi

isternutd 0e urma verticald Pi. Rezultd cele-t i t te oroi 'ect i i a le sect iuni i apv qi o '9 'y ' 'Ca vei i i icare, cotele punctelor t rebuie sa f ieegale in cele doud sistehe de plane de proieclie'-----,.**8.3.5. METODA PROIEC,NEI PARALE:LE. TA"-se construiascfl secliunea planl intr-o prismf,pentagonalfl oblic[,

'cu baza in planul orizontalde prdiecfie, printr-un plan P oarecare dat prinu.m", rititizinA metoda proiecf iei.

- paralele'

Fie ABCDE prisma pentagonald obl ic i data,f is. 8.45). Se alege ba direcf ie a proiec{ iei:aialele direct ia frontalelor planului P. Proiec-: ia paralela dupb aceastd di iec{ ie a muchiei Ale olanul orizontal de proiectie este ams ;i seubl ine proiect ind un punct oarecare M (m' m')

' l le 'pe aceastd muchie. Evident ' punctui A esterrobriul sau proiectat. Punctul (o, o') in care=uihia A int f lneste planul P (ca dealt fel toate:unctele sect iuni i ) este proiectat pe urma',r izontal i t

P a'planului in ao, la intersect ia dintream, 9i P. Farcurgind calea invers5, se ob{ine

(a, q.'\ si celelalte puncte ale sectiunii, consi-derind

'frontalele planului P ale cdror urmeorizontale sint asbsesco $i do. Pentru piramidd,se construieste pioiectia paralela in condi!ii lede mai sus ale vtr fului pi iamidei. Se considerisi un alt exemplu. Astiel, fie octaedrul regulativind o diagonali MN vertical[ 9i muchia ABdat[. Sn sJ construiasci secfiunea flcut[ inacest octaedru printr-un plan P care trece -princentrul sflu gi

-printr-o dreaptl 9 (g' g') a"te'Se construies'c mai intii proiec{iile octaedruluir leterminind ln prealabi l -cota conl ( f ig. . 8 '46) 'Urmele P si P' ale planului secant se obfin du-cind orin ientrul (<o, .') al octaedrului paralelaG1 la'dreapta G. P'entru construcfia sec{iunii seutilizeazd^ metod a proi ec{ i ei p ara I el e du pi d i rec-tia frontalelor pianului P. Fie masbscsd0n6proiecJia paraleld, dupd aceas-td. direc{ ie, . abctaedrului pe planul

-or izonlal de proiect ie '

Punctele se"fiunii proiectate-paralel pe.urma Pa olanului

's int eogovoaoSo0o. Revenind dinproiect ia paraleld pe frontalele planului P sebnt i t bunitele sec{ luni i pe muchi i le corespun-z|ioare ale octaedrului.

8.3.6. METODA PROIECTIEI CENTRALE. S[se construiascl secfiunea plan[ tlrtr-o prigry[triunghiular[ oblici, cu baza ABC situatlinplanu-l orizontal de proiecfie, printr-un plan Pbut".ut. dat prin urme, utilizind metoda proiec-

fiei centrale. Se alege centrul de proieclie

125

9718r'8 '8tc

'd pruJn ed oe u- j-rn1nue1d"4;?"{?,1,""Jy.d3i:T':iiJiiil:ytuls (d lnueJd 1s 14uoz1roi ,";i;;;;b aJac adarBf lrxn' :orau'rd, ap irc'o19z,rh;;;;5 alaurn'snJd u1 ."

thlcuno us.r";; : ; ; :1",;r. i 1nue1o

:i":j"iiJJli#"?xiiji:ru':i:*,;'.ffi il# j?lsBeJB ulrd asnp ,

flt:p:i' li, I u r"ir;::I' "ff "f??:tgo't3t,S#i:il3?l??X,."

":tlT:Pl- ns Gr e :B1s)' 1,o ;oi

:.t y ip' ;':.' i d':-1:Pi.l.{":r:l ;5i"ffi : ti, l;';ap;u.rur;d 1n;r1n ur.rri ili:t_"j fx=1sl ;i"Brtlxne

tr.::jg o purzrltil .aurrn ,ilro"i"t Trnr"rnod uuld un-rluJrd i?gys Rrtrio irilniqaunplpp;ruu.r;d o-.r1u1 yu_$' nr,in!i]". -frlninrl.uo,t.,x1,J",3? l_H,X1 # *l tHl i il I ? ?' lappuer ld

In lnIJrA B

1tl'r ei o, r ;';'i' , ur, :.;J,. ii,, f I;,1,:i *'i ilii i:i, :i]:,A "t'r .l;, f,n ?#'j:t', +\;'1,,,;rolrlt{rnu te luiiu'r oi ." ,;,X^5:fl_I !'

*":rg ; ; ril; r"',ii :l;0,# lljillj"o yH:,"tj3i", i :'i:"3 iiil,l?|,'J

o, I d 1a u' s !'ir'' i;il'';"i;"' :i ;r j, ui i,ii# " : :,;i :, il.,1,"j $', fi g" j ;,"*.1 ;iJ,?

,dt '

lp.. l lnlsnulIluJ (,o,,o) lnFund ur:d rarusrrdalrrrJrnru et esnri-r ;,,. i- ' ;:^::_lr, ' !"y. .a . rr"r#r,,''' !*1;,* :-J,,";r",T{.";Ul'":ffj$lJ ro^ trunrfcas elarcund . tiV.: g-:Elil"tt'nttnunloB ,d FJecrl:ar eurjn' no tn"fr,ln",",jiir,i,b ,u,

gye 'Flg

lnc l tttraleal delanult i i lorh, bo) sec-ecl iar idei .

DLO.ii semid[nPnptiridei.h ' ) ,este

rcl ier i lorastdnh.epel lus,liaresintdP.rP.

, :Tn -- ?6 cu o rezultd (a, a ' j la intersec{ ia currrnr, i t - ' : SA. Analog pentru celelal te doudlt t l ru,--- , Tr iunghiur i le abc gi agy alcdtuiesc ornri,ilr,rr' .-iajie Desargues de drepte gi puncte in,rii i irlr'ri:i: .u urma p. pentru prismi se poate alegeIir ,:.aDti auxiliard o paralela oarecare_ i o ' ' ) la muchi i le pr ismei.

'rll : PROBLEME DE SECTIUNI PLANE SPE-ffi '41[-E lN POLIEDRE. lo Seconsideripiramidapmm,,r:ulateri oarecare SABCD situati cu baza infimrumrul orizontal de proiecfie. Sd se determineummrcle P gi P' ale planului care secfioneazl;iln*i-i:e piramidd dupl un paralelogram. PlanullF ---- ie sd f ie paralel cu planul Q format delll: '*': =-: de intersectie a fetelor opuse aleu -r , - je i patrulatere luate doui c i te douiI r : J9). Dreapta de interseclie a fefelor$#*S' .i SCD este (sh, s'h'), iar dreapta de;:Tt. :n. I ie a felelor SAD gi SBC este (sk, s 'k ' ) .,ttlti i.r*:r= ioui drepte concurente in virful S (s, s')iuru i : :nidei determini planul QQ', unde Qittilflfrur:: h cu k, iar Q'trece prin urma (v, v') anfl"r;r:.,r.alei virfului S. Se alege un plan PP'iifinir,]:ir: :: cu planul QQ' gi se sec!ioneaza piramidarir i r : i t p lan. Pr in planul de capit RR' dusiirrllllr: ii :i,ichia SA se obfine punctul (a, a'), inrruur* :uchia SA intersecteazi planul P (h1v1:r" -:rte SA in a). Aplicind mai departe metoda

interseclii lor fefeior cu pianui de secliune seobline 8 unind n cu o( qi B unind cu in cu ,r.In sfirgit, unind u cu p se obf ine y. Proiec{iilesecl iuni i s lnt paralelogramele apy8 gi n 'g 'y '8 ' .2" Se considerfl piramida patrulater[ SABCD cubaza un trapez situat[ in planul orizontal deproiecfie. Si se determine urmele P Ei P' aleplanului care secfioneazi aceasti piramidfl dupiun paralelogram. Ca ;i in problema precedenti,planul P trebuie sd fie paralel cu planul 0format din dreptele de intersec{ie ale feteloropuse ale piramidei luate doui cite doub(fig. 8.50). Fefele SAB ;i SCD se intersecteazddupd dreapta (sk, s 'k ' ) , ale cirei proiec{ i i potsi nu fie figurate, deoarece este necesari numaiurma orizontali (k, k') a acestei drepte, pe undese duce urma Q paralelS cu or izontala G (g, g ') .Aceastd orizontala G reprezinta interseclia fefe-lor SAD ;i SBC. Se consideri un plan P paralelcu planul Q gi se obline punctul (n, o'), in caremuchia SA intersecteazi planul P. Pentruaceasta se utilizeazi planul vertical RR' dusprin muchia SA. Proiec{ia v'h' intilnegte in cr'pe s 'a ' . Unind m cu o(, rezult i p, iar paralelelela P prin a;i B dau respectiv I $i y, astfel incit81 trebuie sd treaci prin n. Cele doud proiec{iiale . secliunii sint paralelogramele agyS gio '9 'Y'8 ' .

Fig, 8.49 Fig. 8.50

t27

87,TIIil

ilIII

I

I

g.,tlgftl-:,ejp o erlutp egfrasrelu; ap ro;elrundi!r:L",rd aulurelep T ps .yorwvuri b rsrdvauo d sliiNra ?,i5r"JfJf,ifl 3ul3:tr-ryr.l1 ,"1 (,s '.s) v u1a1e-r

I i 9"., (:p^ jt).S, :i gl_.1 q . d' ;p ; i r q, J 1,* o;un

y.]:.S..:t1arncuoo a1a1da:C .(tg.g .Frg) raursrrdalJ lqcnu BI ( ,9 'g) V uJalered -ernd

As arr2anp as aJBJ-qurle ernda pursotol€ur]Jgolo rseaere .let,,no^,

(,s 's) s a19 'a;iraJo.rd bp lelubz;.r"'il;;leil;;;l:]F!.! ylPU urp elnda u1' 'pru'sr:d Ii (lp',* : nr

"lBnlls 'g-tqv rrllqo prifnlnrlno prusJ.rdqdee:p a-liurp erjcesralur eD ererrrrnrt or".,3",If - o Is (,p 'p) q pldeerp o iliu,,i ' i. j.r"r,,, an ,^,^r:19^*jp_:r1,"_ry,nlicn"eluf tp;;.i;;"'; Virr'"i-" . o !s (,p 'ot o.^u.rg:::f_A ;'rj;'p.il#;;Jdr .fr?i:;yJ^t-,11? (,u 'u) N l: (,q''.u) r{ n1n1r,f iJ'ii -lYld a1;;icalo.rd_ayiuuelair Sr.pd-.vwsrua o lS

9'19'".,p rseulltul .ta jg I:1 il,iiuoJ'r'o;i-ar,l; YJdvauo o aurNrq 'vlfiisuaJfri- r;:d

*#:ifli'?*':'ff?t":i:.l#,:.,,'ffi51t .ps p^ " .;;1""#t"i,".,*.Jil#:o,f,1tt ?:,,Jq pulun autiqo as d slBluoz.tto ' , i l t rn rh,D1 h rq purun aurfqo as d Fl'luozro swn r*"i ,lt,;t.,"0"J,.y i,:j''i ll J:?,,fl?,,*rtl,Jrl,"*j-reursrrcr atrrqrnu nc 1a1e:ed ueld un pui,,:a1ap ild';;; i-;; l plni, ; ; j i ; l ;, .1np,rn'oas s 3,c ;ir:'*,,"r?i:,i:,ir'"i1il3"JTy,i;gT; 3*i*i

r*:i* 5jgt:$-fl {1'i1# # {:'"j,ii.l:iH":;:Llyytd urp lnun-rlul piel-o nc efonl,iejirusuo3lylg^,ni1-1d_. ul prerliqre ariizod o'pdnrolirp.ll^".q pryp sele leru lxo ni'ia1e:ed ,lgdecap 'leorFan) ratda:p a1e. e1ue1c'arbrd eliueldl"^r..y:? yl Flre aq a:e111xne niiulli 6 :1nlf.,1ool:,irJ

o,.,:8, :li i il'^'_rrglu r e p a l l l cui o

.p 1 e po 1o 1,t,31u"9+r,'{_i:*q"'"_p_iq}[a;i,:';;l':]fJ""#l;l

;hi&13+*##m:+#t "t * . iyr1 lieq**.*s+*:*yij"se-s.:,,__Et:++tj|l9_sAp*r e I 1 r x n e ue'id

*l*3i#1ft.qf W.i:iH*F#H,ft ffiF"?",;**nuolnod Nn ts

YrdYluo o lulNro vllcrsusiNi .l.e

ag'g '8lc

:_ . l l l ' _._-!

8.5.1. DESFA$URITA pRrsMEr. s[ se desfd-Foare o prism[ triunghiulard ABCATBTC, situat[cubaza in planul orizontal de proieCfie. printr-osctrimbare de plan vertical de proieclie se aduceprisma in pozif ie frontalS, afa cum ini t ia l seconsiderl datzi in f igura 8.55. Muchi i le pr ismeif i ind frontale, se proiecteaz| pe planul vert icalde proiec{ie in adevlrata mliinie. Se constru-ie; te secf iunea normald (o!y, a 'g 'y ' ) in pr ismaprin_ planul de capat PP', perpendicular pemuchi i le pr ismei. Adevlrata mir ime a sec{ iuni inormale este ocgpsye ;i se obfine printr-o raba-tere a secf iuni i pe planul or izontal de proiecf ie.Segmentele aopo, Foyo $i yoao dau totodatd inadevdratd marime 15{imi le fefelor laterale alepr ismei. Sd se desfaqoare pr isma pe planuli rontal dus pr in muchia CC1. Transfofmata pr indesflqurare a sectiunii normale in prismd con-form unei teoreme cunoscute este seqmentul dedreaptd TrPrdryr, unde yrgr: yoFo, grcrr :

:..90"p 9i o(ryr : o(oTo. Pe perpendiculareleildlcate in yr, dr gi 9r pe acest segment sea;aza de o parte gi de cealal td por{ iuni le dinmuchii cuprinse intre sec{iune ;i- baz.e. Astfel,

sa se rtrpd sau sd se suprapunS. Vor fiin special desfiquratele prisrnelorpiramidelor.

Fis.i8 5t---1.

-lit t - /

studiategi ale

a

IA

l r ismei,urind htd drep-eceaueapta Dne sintdreapta$.52 s-ar af ind.

DAPTAriecf ii le(d, d')

lo

F

ri, r, piramidd triunghiular[ oblicl SABC, situatl:.",u lbaza in planul orizontal de proiecfie. Sell :.= un punct oarecare E (", ef), pe dreaptam , i l d ' ) ; i se duce dreapta A (8, 8 ') pr in acestrrr .- , - t gi pr in vir ful S (s, s ' ) al piramideit ; 3.53). Planul P determinat de aceste douirLr:r i€ cor-lcurente D gi A sec{ioneazi piramidarr - : r t r iunghiul (s I 2, s ' l ' 2 ' ' ) , ale ci iu i latur i$ n .i S 2 intersecteaz| d,reapta D in punctele14 . .n, m') ; i N 1n, n ') .

i 1 J. METODA PLANELOR PROIECTANTE.$"! se determine proiecfiile punctelor de intersec-'r* dintre o dreapti gi o plramidi patrulaterlr,mlicd, cu baza situat[ intr-un plan oarecare.f - D (d, d ') dreapta 9i SABCts ( f ig. 8.5a).- ---ul de capdt P' dus pr in dreapta D sec{io-r tr : : : i r pirarnida dupd patrulaterul ("9y 8,. i : '1 '3 ') ale cirui latur i intersecteazd dreaotal i d, d ') in punctele M (*, m') $i N (n, n ') .

s -q DESFA$T.iRATE Df; POLTEDFE

4. :esfdgura un poliedru inseamnd a aduce toate,r : :c le pol iedrului sI f ie cont inute intr-un acelagi: ' : r , f i r i ca aceste fefe sau porl iuni io fefe

129

"1

i^

.. 89'8,-nlJ

la lFlulza:dar arer aJl :nrq8unrr l elrspF 1a;;sur ldunl nr rsernr lsuor og .(19.9 .Frg) el [e1o.rI luexe ap 'epolaul uJp pun pufz1111n ,rnlnrpqel alu rrq3nr[ eseS ;o1at apurrFunl arrlrJgrrrryAapB uJ IJIUJ rBru eururJalap JoA es BlsBeJEIad 'f,gvs eJef,eJeo nJpauJlel lnun u1u;nsap tllnJe pJsurnJlsrxrxl, os RS

.rJnrqFunrri ap'r i

i'. zs #ar'It*'Yd'

rrlJnJlsuoJ ap.aunlsaJJns o-Jlurp aunduoc as rep-lure:rd e1e.rn6g;sap pc glrasqo' ag .alfcarord.'eiIu+uozlro lnuuyd uI arrrrretu p1e:ga.apu uJ plepalsa rapruprrd e rqu BIBC .O 16

',s alarluac nc

a_slJcsap ?J r$ ,u,s ezrr ap crac ap :b1a'c:e elf-resJolur eJ y eulfqo as ,11$r11s u1 j,s

1n;1uac nc'rJ,s ezeJ ap , l :a l op InJJB nJ erfces;a1ur e1J pp oJeJ ,tq e.zvt jp crec ap lncJB elJJSap asg uJ InJluor nc ,1ody .,u uI lnJlueJ nJ srJcsapqe ezeJ ap JJaJ ap InJrB g ug a1sau111ug e.rec ,|q,-syzeJ ep JJaJ 0p InJJB arJJSap es ,s uI lnJluecnJ 'BeJBJnsFJSap adaJuJ as aJsJ nJ VS larqJnurI9_ luorJ qp InuBId ad.ep.rruerld prriolglsap ag_!11,_r_,,r?.) nrlcadsa; IS (Iq,s itqs) eleji,oig apetlrzod uJ JS IS gS elrrqJnur csalor ag ;erur:purFlerg^epB uI glu_p alse ,BlpluorJ pulll ,VSB r qrnw' rep rur errd ro J r rqrnru .rorn1h1 -e1

iru r8un'i:ylrPt PlPrq^apB ul oulrurolep os Fs rpseJau alsaEprrrprrd-ernSe;sep B nr luod .(gS.g .FIJ)

CSVSlaplurErrd e plelubrg erqenilr (,ri,j ,es)"yS olc:1Y9lI ep llqrnur utp uu_n ;6 eriearo.rd e[llryltro 1nue1d ug psulrdnc es i;zu{ pugnu'?_qvq Pr I tqo p.rulnr qFun;.r1 gpFuur;d o' ajeoipl

"sep as ps 'IeGrwvuld vlvunsvgsgo .a.g.e

u;ern$p;sep., elseace -5f"ti:l?x "nil'i;H

-AIaJ nJluod '[aJ E.I ,!e,n:ryi.p nt ^r,e)n:yr$

08I

III+"1io

:etraedrului. Se ob{ine S'CnBsAsCe, desflgurata;,-:prafelei laterale a tetraedrului pe planul de::onf F, la care se atlaugd fala niAoCo. Tn*:urele din f igur i le 8.58 gi 8.59 am electuat::nstrucfiile plntru desfdgurata unui trunchi:-' piramidd patrulaterl rezultat din seclionarea:-ramidei SABCE cu un plan oarecare dat prin

-:mele P gi P' .

a.5.3. APLICATII. 10 Se considerfi o prismlnatrulater[ oblici ABCDAIB'C1D1, situatd cuhua in planul orizontal de proiecfie. S[ se

'determine pe supralafa acestei prisme, traseuliel mai scurt care, tlind de doui ori fiecaremruchie intermediar[ a suprafefei laterale, une$terirful A albazei inferioare cu virful Alalbazeimperioare. Se efectueazd o schimbare de plan

vertical de proiecfie, prinprisma oarecare in prismlprin proiecfia orizontali(fig. 8.60). Se determindaogoyolo a unei sectiuni

care se transformdfrontald,, luind o1x1

a muchiei AAradevirata mdrime

normale in pr ismanm desli-l. Pentruadevdratirle tetrae-exemplu,lungimi lentd felele

i1] 1oI tqrnu alr l f rar lp ut .V !S q g1a1e:ed

i$"il"J, T,,"Jjj"1ll,!j l":;::l't'_nyl j:*:::1" ds u+seare nJlu,ad .cordrcat 16 eusr.rdiltllc ]1sau111ui aru^s;:d laun B.e!qonir a:erer;?J uI e le lJund alrsg8 alnqaJt . ( r ,q ip .Frr) arrun:-J-u.r

dld+Juno alrspd arnqeJJ .(gg.g .Frg) alupr lqo areInrqFunr.r l eursr:d pnop"6ilW i"S CgV1 'a;ira.;o.rd ap tetuozqo 'inu'e1o"'irj

;lji"r"!t^.1::: ezeq rorPr ele ,ir11qo e,urirro,j'Jiil^"jt::{tt"r prsu;n.rlsuor as ps

YNOO IIUINIC VIiCASUAINI ' I '96

_unu as ,a l le latac ad e

r ' ^ r ;r r ro ,A r^. . . . j .^_- ^ lzeaJpBJUJ eJ aJBJ BaJeJB

i l:,t- I'.,_: I I tri 51auu 1ri "rl,lt p t";d" ;fi i;;:{y: ::I:Tl: pzeauoricad 3re"* are',pr"nn1lff rrrue.'Jul'i n1"u,iio Luffi1ffi"sn1n:Jl3ll,T:jid,l:ryI1 i{,d'raruspd ;iliq,;*'rj*eiare.reo "1l'd

"r;"pt ,#T;;";";ii#;# ";ilpf aple_red ,llrpil'u ur.rd' rnp Ji'l:n,r,*nn-

ff :l;r;* j'? i:,1' : ill":,:;i yli: iil;;!5r" r

rn lnuo;r 1od rol rrnr' I r r i pl r I rq rzr ̂ i,l[t"t'Jt:nnzar arfcasralur, ap. :o1a1cund #ffitT

lefey ri rrqrnru arlurp'arirasur ap Jolalrund e i,trlra;a n"rnu,'ri 'e1ap _

ri a1r1n er'rrrxn* :o1eue1d ;51lH,',1rj:J#"L:arunue r$ adela nr led elroduoJ erpa

;1* jt^: I l:::j:ly I ?' 1 e:auab u r^ riJ *'iiun r,r

e8r

'ag,gUd pnap o:rlulp erfrasralur u1 .aprure_ud-q.nop JoIJJ elrJnJln a1$aun arer etdea;p ul:dIS r lJJnu urJd Jnp.es eJBrJrxne aJaueld ,aprur-Brr0 Bnop-er lurp ur iJasralur uj , [aJ]sV .rrqrnrublsoJe ur:d a_ru1lgxnu auu;d pcnp-es es :esacauelsa nrpar,lod +lBIplac nJ n.lparlod rnrln .lo;-rrqJnrrr BrlJasJalur nJlued'alellnzal erfcastalurap.elalound run e r$ nrparlod uh nc (Sirrqrnru)pldearp.o rro allnu IBur ap BlJesrelur e rig glsuorupallod Fnop orllrrp elicasralur ,piujse ul .axal-uoJ luJS erparlod Enop elal mep xeAUoJ elsounIUoJ prios lsoJB ri unuror prlos a1$aunu asBzpaJJasJelur os aJBJ a:parlod Bnop JoleJ BunruoJBatrred 'a.:1So1 ap uo8ryod llelpler r-er ia-ter1urop uoFllod Inun €llurnu .ariralii lul ap aqru;r1snBS eueld aueoFrlod pnop e efuelirxe' urjOpJVZIJapEre^J alsa erepun4pd uaF ep eliras;a1u1'aradn.r uaF ap alsa pr aunds ei eiirosralurop qurlrtrs nes ueld uoFrlod ;n8urs iin_;1uir<ieleztJelleJvc alsa erfcas;a1ur uceq .eJfres.leluJap uoFr;od lrunu ,qtiJrls nes ueld-uoFijod rnirrisJJlsBU nBp_rrut l ulJd ol lun arfces:a1ur ap apundalsarv'rordrca: r i nrparlod 1[BIrnlar

'e1i1a; csau

-lJ luJ nrperlod rnun alrrqcnu e.rec u1'aiaicundBUrrxJatrep E EurrrBasur a:parlod Enop BlJesJalur V

sUCHt]od tc trlf,Jsu3rNt '9'8

'lillEl rrrtTlur ()ulur,b,u,ru,? .rurruburuu) rn1-n€sBJl al l ! iraloJd uriqo es ,raprrue-rrd alrrqcnurad glerniggsap ad ap alcund 'alsabe

iiufiroO:1un.+'tN IS rW'b ,N_ylinzar,tai el pulpj jord_a1]Bdaq IBW. 'g,S ad e-relncrpriadiiO -ju

urppyJ_.np 'p1e:nsplsap ad ry aririqo aS .(a9.'B .FIr)Ie,S ueurrFu4l np raptrue.rr'd 51e'-i1e.ra1u1:lt t lr_ly Br .put^rrsqo . leplurBrtd e p1e.ra1eiplBJeJdns

^r lnJJSUoJ rJo pnop ap gteo$ggsap ag

^Tj^plpaurrelu! pJprolul alqrnur-arrirail r.ro fnop ap

elseulrlu! !s V Inlrund ulp preald e;ur eruluJu.rolutq lelug aluiragord aururjjlap'os pg .a1iri1o;cep l?luozlJo ;nue1d u, ezeq n) plunlls ,'JBVSRlel,nFe.r prelngq8unlrl upruiurd |rapiiuor "5 "6

= :g71 * r ls, - 0 r sQ .Jl?,'9rl$, ; i',rJoo:i'A;'e Lggvgzt tu) luJs rrrurur nesbii-iniiJ5ri jiliic'ar-ord, 'a^rlJadsa: :o111qcnu alalern$pgsap oj___oiyl."Js:yll"J rrer .+plnpJ rntnasprl e -a:drn6lgsapy]il_y1r-roJsuBrl auriqo as ry r$ y a1a15unilp lernspJsep .ed pulun .( tO.a .At1) - tOO

Blqr-.lur nr puldacu; 'rausud e e1erj1e1 ,i1i;gerdris4llncasuor lra qnap ap ereo$ejsap as'16 i71e1uorJ

r 'n[ffitfr

I;t]siII

**ilfr$ail

t

*.j"'l-olll,tr_i,ru e1n 1!1ca:p' p!'"p]"rr-';jBrB0 'rrqrnu ur:d rnp-agEai6xire {fie10

paralele1ar ln

rplans-Leu diree::la dusir ipi) . Seplaneleambele

i anume) numescde pol i -

;1 le $l a

de inier-

rezultate

rnului de

PRISME.re doubI situatercfie. Fiene obl icele in carel cealal taalege unrce cite o,lor celor

r , . -pr isnre. Planele auxi l iare Pr, P, ; i P, ce-- i i ut i l izate vor f i paralele -cu pianui e

* =i determinat. Planele l imit i s int-P1 ; i pr.: ,. 1l P1 dus prin muchia A seclioneai|'prii-r , l lNQ. dupa dreptele paralele cu muchi i le' , : - . :ei pr isme, care au urmele or izontale in 1

2. Aceste drepte intilnesc nuchia A inr --:tele de intersecJie (ar, ai) gi (az, ai).:'::;iunea aLazt aia; din muchia A este cuprin-; . : inter iorul pr ismei MNQ. In mod analog se

1.,=:;nind punciele (nr, n{)li i;r, illl i" &i"-- : : ia N intersecteaza pr isma ABC. ln sf i rgi t ,r-- : , ia M intersecteazd de asemenea pr isma4 tsC in punctele (rn5, nri) gi (m6, mi). Mu-

.e M qi B sint in acest caz concurente.i r - : : i i le C ; i Q nu iau parte la intersec{ ie,

- i i r i afara planelor l inr i t i P, gi pr.

ii l lservare. Planul P, dus prin muchia N mai' - . ' . ' .oneazA pr isna Ml\Q dupd o dreapt i careir=: jrrlra orizontall la intersec!ie dintre urma p,

, ; tura mq. S-a notat acest punct cu o l in iu{d." .;r€fi€o puncte trebuie luate intotdeauna in: : - . ,derarc mai ales cind se urmireste unirea- --- te lor rezul tate din intersecf ie.-r';..u punctelor. Pentru unirea puncteror se1, ' . , : t i l iza di fer i te metode, care prei int l f iecare,,r : z caz la caz, avantajele ; i dezavantajele lor.

l letoda mobi lului . Se presupune cI un nrobi lr r:',irge poligonul stririrb de intersec{ie din,r r ., u Ei _cd el este proiectat intotrtreauna pe": .e. celor doul pol iedre, pr in proiectante. ' , c le cu nruclr i i le pr ismelor sair care t rct '

' - - . r ' i r fur i le piramidelor. In acest caz, cele' - : proiect i i a le mobi lului t rebuie sa f ie-: te_ pe urma aceluiagi plan auxi l iar. De

r l r r ,p lu, se presupune cd mobi lu l este s i tuat;-r.nctul as. El se proiecteazd respectiv pe

: -= in a gi in 2, ambele proiect i i f i ind pe urma:i r -:-ilui. Pr. Dacd mobilul parcurge latura arn,:,i .pa{iu, proiecf ii le sale parcurg pe baze"rt,,, ; ectiv segmentele a-3 gi 2-n. Deci se:: r , i . . pune problema invers ; i se spune aga:: i l : : proiect i i le mobi lului pe baze sint a-Bri : :spect iv 2-n atunci mobi lul in spat iu,ir ,trr:lrge latura azns a poligonului de inter-tttr{:-e. Mai departe ralionamentul se desfd-riir,,r--. analog, avind gri ji ca sd schi mbe sensurilelrq : licurgere a bazelor cind se intilnesc planele

l- : i . Pornirea raJionamentului se f ice clelrnri- --de, din doud puncte care se corespuncl,li i i::8.:du-se acelasi sens de parcurgere pe celel i , r - ,baze. Pe epirr i ( f ig. 8. fu) , i r ] ionrhentut

A8C a 4 6 4 d 3HNq t m n 2 m /

lntersecfo tl tt MA nj m5 dt

Vr z ibilitale

AAC

,^lNQ

Proiectie oriz

<

- r 0

A8C

,i

I tltQt-=--lProiecfle

vert

Fis. 8.64

pentru unirea punctelor poate f i urmdri t pr inobservarea inicilor siige{i care indica sensul deparcllrgere. Astfel , pe baza abc se urmirescpunctele: a, 4, b , 4, a, 3, 5, 3, a iar pe bazamnq se urrndresc punctele c^are le corespund:l , - , f f i , n,2n n, f f i , - , 1. In general se obiq-nuiegte sd se includi in tabloul urmitor(f ig. 8.64), at i t studiul pentru unirea punctelorpr in metoda mobi lului c i t .s i studiul de viz ibi l i -tate a latur i lor pol igonului de intersec{ ie.IntersecJia este o rupere. Pol igonul str imb deintersecf ie este cont inuu. In proiec{ ia vert icaldsint v iz ibi le latur i le ar-m[; ni-ai-ni gim'r-ai, iar in proieclia orizontali mu-nr-az.

II. Metoda diagramelor desliqunatelor conven-fionale ale celor dou[ poliedre permite de ase-urenea o rapidi unire a punctelor gi un studiuinteresant al v iz ibi i i t i r { i i pol igorrului de inter-secf ie ( f ig. 8.65 qi 8.66). Pe aceste diagramese constnrie;ie de fapt - schematic - intersec-f ia cclor doui poi iedre, punindu-se in evidenfdpunctele in care muchi i le unui pol iedru int i lnescceldlal t pol iedru gi reciproc sau punctele incare se intilnesc muchiile celor doua ooliedre(de exemplu, M Ei B). Pentru unirea punctelor

Itertho/Fig. 8.60

m

n

q

cbdc c' b' o' c '

Fig. 8.65

133

'?]de€rp BlsBaf,B_ ui ;d ca;1 elBzr lr ln arBIIrxneEaueld a1eo1 .(Op.g .Frg) (,rt ;rt)' ulvluozrrotrruJ.n eJE rauslrd ellrqJnur e1 rapriue.trd '1e

Ll '.) S 1n1rgl ur:d psnp elaJe:ri4'.i1ira1orO jpFluozlro.lnuuld u! elun1ls elezeq pugnu e.rpar;ollrlaqtuu 'JgVS prllqo R-luyn;qFun;11 pprruu.ld: ,!s lNW Rrllqo preln;qFun;r1 prus;.ld o arlurpf,llrssJaluJ srsprnrlsuor es ps .votwvuld

onS Vwsrda o aurNto vlbasuJi'ivl .6.e.8

'g lplacJeJ el lcalord urarfcasralur ep rnynuo8rlod'e' FIIqlz l^ pjn1e1 jnep uel lnurs.elrqrzr l :o1a{a; er}cas:e1ul reunuBf, erueas aulf as ri (lrqrzrlirr-r r$ pqrilrr-ir ncpue;Ferp.ad prlpul as aiec) ajp'erloci'pnop rolarrolalrJ l l lFl l l tqtz!^ lntpl ls l l lu l r31u arpJ asarlrasrelur ap rnlnuoFl lod rolr ;n1el I l lp l l l lq lz l^Illpnls nrluad 'f,V !S Vg elel unop pure.derpeo elEqpJls naseJl lsaJB aceJBoap .qur nJ su'Fpl ld ap run 1od as nN 'arparlod'pnop Jolac EFl,eg o ellJ reunu plBqpJls es,,elpod prue:Ferp:9, Elnt"l ap IaJlsB^ o rrac .NW Is 3y :o1afa;BrlJasJelul utp e;a1Seu Br ,euetrr ec ,etfcasralugap rnlnuoFrlod e pJnleI o pc Brueas'eulf 'a i

wnop arer arlul - a-repunrlpd - ",l;:$:iiii eleluaza 'da: elsa Bg.B ernFlg uip urnOdrtl 'a.rpallod Fnop rolal elfcas.ralur 'ilrp

a1e1-irza.r rolalrund 1e piuaua;rudu ap iripliunruorrylqul lrunuap 1J^a1eod nolqBl lsacy -aicundl:lylelar n:1uad .Fo_1euy .eunruoc

Vb fS WO:.i1i{ "q

erareoep ,Is nJ.pun ernqejf *ur rcaq"lrparlod Enop roJal e1e afaS rSealacu ad alequenzllnurs eoseasp8 es Es lrnleI -relsore alilpl-;'naJtrxa BJ JBSeJau olsa ,aJperlod pnop JoJaJ B,q:pJ o allr ad aF;aut arfcas:a1ui ap rninuoFllodtjJnl, ararBoac .wo

ls. v3 ,gy :o1afa; alr|--1u ': lnlcund IBI

,yC IS NW ,1,96 rolefag euii

"lg^n *_* lnlcund .nldruaxa -aq -irpagioit

gnop

/9 8 'Elc

,tu 3u 9s1 94 941 9g

tD -iu 9s Sg

zn Ja tg qA tt,

9ut- Eu tu

e u-zr, ZD Zp Zp

9ut-1, rD ,p

'1u!At A ! l

^At 7 Al1 ) t^ AI A

Dl/ ///./ HD gr

y-]?? 9tu ala;.(nr1ed nes) ra:1 e erfirasialur urpy3lsyu e1 alfcasralur ap rnlnuoFijod 1ri (1rg,r1trruno arerarJ Fi BruEos plllull .(29.9 .FrJ) gur.lolu:1e qns esnd r; eleod elsee5e epolJry .111

b ai l ,r n l t5r-_

nasierae cei i :I apz: 'r apar-Ia iu i :

b fa i .f ren:-nultz::l ieCrr

rc!g-.

le ia i r iablouIrezu I -€. t :ata Idcu=

rA $rsecfia- t i 0mbelemntal[s, s'urnedi l t r" i

aFia

8.70

,,,inrtm' -:rele orizontale ale acestor plane sintffi,,rtim"''=:gente in proiecf ia k. Pentru unireariluum::=ior se poate utiliza metoda diagramelorttLilttl lT,r,l::ratelor convenfionale ale celor doudllrrrrrririir*.:i (fig. 8.70 ;i 8.71). Interseciia este o

LIE:.

' I i I { : INTERSECTIA DINTRE DOUA PIRA-ffi$mE. Si se construiascd intersecfia dintre douiffum,nrmide triunghiulare oblice, ale clror bazeltilm( situate ambele in planul orizontal depmnrnrec{ie. Fie SABC gi VMNL cele doud piramidel inru::- iu lare obl ice daie ( f ig. 8.72). Dreapta

Fig. Fig. 8.73 Fig. 8.74

piramide are urma orizontald (k, k'). Planeleauxi l iare care pot f i ut i l izate trec pr in aceastddreaptS, iar ufmele lor orizontale sint conver-gente in punctul k. Diagramele pentru unireapunctelor gi studiul v iz ibi l i tdt i i latur i lor pol i -g.olulq.i de intersec{ie sint urmitoar^ele (fig. 8.73Ei 8.74): Intersec{ie este o rupere. In efu}a dinfjeura 8.75 se reprezintd o int6rsecfie -_ pdtrun-dere - intre cele doud piramide.

8.6.4. APLICATII. lo In epura din figura 8.76s-a construit intersecfia dintre o prism[patrula-terfl verticald MNPR; situatd cu baza in planuloriz_ontal de proiecfie, gi o prismi triunghiulariABC, ale cirei muchii sint fronto-orizontale Eia cdrei bazi este confinuti de un plan de profii.

r,',-*\.- J\

( rig. a.zs Iu**".rSV (sv, s'v') care uneEte virfurile celor doul

135

ol i l'8

I

I

-IIrlB/

IIItl -F;: "i:ii;:w ,

(tsnlii oe B 'Fr;) elareolpurn

I I : - :: t _ F il l"', 0, "'t R'' t'", l" i,i 0,, :'i' ::ji'.i f;[*u?

*,, u t]?11-1,1#,, I I " Ii LTr-' 1'"' "i 6'" ('7' z' I

b.:rr l r;, +q;*:xilti ff:Ti i"#i iilP I Br I lre^ n es) 1 e d er,,l-.j_ql,l*l

" " Jrun-1 ii or, 1,1 nPJ cs EIsBJJB nJlLt ;

[f- ryg, j 1 s, u 1 s 1 u s"' ;i$q rliJi'',t#t ",',ji,i'#*lil,1;'# " 1 j ll,:l;f ' :,X ];:',,#:'J;lr"'"'# ry iFsrelur grnrlsuor B_s 61,.g urnFgi u,i, n.,ntijl1 .6

IaJJsp Brruarlror rj_n_,*r"ilrn.r.,,,,(tr,fl,ounfl'Jnln-l lqoru

.Epolaur errlde' ; ; , o3ro la'1adn;:.^:]_1"-, elfcas:a1u1

.^-\u e .{U)' u"-rno}Eurnalse t r l lJrsJJJUl 1n1pn1i nt" lu. l tJ ' ,uurnr lo,"Cl r , lriil,i'.;t"i :Jil 1{,I I i,: r:r^r i::r:{'.' n,u.',\,,' "q]uorJ ap eueld o:urpxne ouJ1,l o, ,uri , i l , ] " ' "u- r -_-

. , . r . . f lE-S

'l,JaA ;A

elDl.//!?./z.tA

p/J2e9,relul

z-35-68-9t-3+-67-9t-24-57-8

vertkql

Fig. 8.80

0rizonts/

8.81

: :atrundere a tetraedrului VMNR prin tetra-r: .ul SABC. Arubele pol igoane (de ir i t rare ! i de, i l re) s int plane.

i" Si se construiascd. intersecfia dintre unkttraedru oarecare SABC gi un octaedru EMNPRF:n-!'e are unul din planele diagonale orizontal.:. determini.punctele in care fiecare muchie a- , . r i pol iedru, int i lnegte cel i la l t pol iediu' 9i ,- ' . . ' - -^^ / l : - o oor- , - i l r - r r . ' r- :proc ( f ig.-8.82). Planul vert ical cu urrna \

zontald fm secfiffidzh telr'affirul diipd"iril '" ' l;': z bn ta I i fm,i r"it iffieaze i eli:tffi i"i a [pe-"fffl: : ih iu l ( l 2 3, l ' 2 ' 3 ' ) . Dreapta l ' B ' - int i l -" r . :Ehiul ( l2 3, l ' 2 ' 3 ' ) . Dreapta l ' B ' ' in- - : r r rur \ r

- u, | 4 o

--r te f 'p ' in * ' , iar l ' 2 '; , iar l '2 ' int i lne; te tot f 'p ' in p ' .

ntersec-tBC 9i.Iiecareqelzi.laltse potrt icale)p1anu1

rcneazat23,muchierr , Pi) .i sint:ia este

- anul vertical cu urma orizontald, sc seg:', -neazd, octaedrul dupd patrulaterul (4 S 6 T,{ 5 ' .6 ' 7 ' ) . Dreapta 4 ' S' ' int i lneEte s,c, in 7, ,, :5 ' 7 ' int i lnestb tot s 'c ' in D' . p ianul vert ica ' l

:"i urma orizontald sb secfioneazd octaedruir-pa patrulaterul (8 I I0 11, 8 ' g ' l0 ' l l ' ) .

Dreapta B' 10' int i lnegte s 'b ' in e ' , iar g ' l l ,int i lnegte tot s 'b ' in e' . Planul vert ical cuurma or izontala rn secf ioneazi tetraedrul dupi

Fig. 8,83

137

-\

'31.1

t.gn

iIil

itil.f

BEI

. i ._rg_^_r

^i : ii ,n Is Il :::"Y','i"i'i13'ii:1t1#iip ̂ l i{ lp

rnlnuo;rlod -e1e f1eci1:an'Ji1rn1or6rr; apqrzrl elrrnl'-I .oracjnr ri aiia n,ijJ*iluj

,o tL | . r . !d/11 : ,3 ,16 - , rb lJ ,E : .D

:1uls el f ras:alul uID elprrnTrT . , . . . , , - , .^-

t - I i r: ii:i";fi i F;i5 :1,?3 ff iJ i 'il i3 ii$,'1,i,1;"Jarqrnr.u oJpJarl aJBJ ur alelcudd iuuriri:a1ap ne-g.lgp-g sul .,b1pru.rn'1nbiqn1 ;;iliill;od eslrrl rasrelu r ln r pnls

"t:_"_d' . i"l*jijo "jluoan;p:l"llld ltp Inun a.re a.ru[ ,jfar,rwE

Ji,ri"rlrots^Og-V_ prlqo prelnrq8uhrrl ;ft,:d- "qulp

rrl-rosrelu! lrnrlsuor e_s ,g.g i.rn81; uip "_iJ'u1 .7

' ,?-'b IIJ ,U,| : Trt I -; ' J nc Ud : ri

'1-'! 11 ,1,I : .n. I -:-- 6 nc ud : .L'Y- ,Y l l , " , . : IT , ,F - , ,8 rr ,q: ldt9- ,b I lJ ,e,J : ,d .OI- a nl f l _ . lr l tV , t r ,drJ : ,71 ,91- , rg nf ,g : ' rd

,g*,+ l l ," ,{ : } . , l l_ , ' , . , ( nt

" i

: ln,8- ,L nJ ,a,d : p . .6 - D nr D, --

, ;

-rago.rd uJ r'r ,,d,l.ol.^Ttl' ?p4uozlto efl

::l:::lli;r "p !,;Ji. 1i'i';#ili'il ff ,11,;,.1:.1 lorg _uJ a l rq lz r ^

.l lln i ur . er"o ni b-ai.5 e,1cas-ralul '(es'g 'Frr) r?lpyjri 1no1qn1- ,!iJr"r1r1nas.-1aJfc_as:a1ur lnrpnls nrluod .1 u; uu ei$au-l{11_sl;gl rpt '0 u1_.rd elsduyliui-g;sl Bl-: : . lg_ ! 8 r, Lt,s t ,sJ_18_l z { e i 'e i1 "1nrj+n1ru1::i_.F9"p lnrpaerlal,p.ze-auollcii -,'11'

1"n,u "pIY:lq_," uI ,u,I tS ,i 1{ ,-r,i 'alSariigt ui-', 'st ,zt')i'1ig"^* Yj;l,l^ls ,l'yl ,t:' "1sJuj;ii1 ,y1

LJ- tr,L'

,,

Lf trtLp- ( (r ILp-t t / tT/ t7/

td€l- tt 7/ i

nrt/- t? L? t?L?

J- z ? 73t?_ ,J t"t

$ l j,d_ I J J Jtd

U t.tv

t€)z- s) tl

t/ slla ' txtx Ip

7/, a ,

l lA

7

2N/4l) ,1, , 7l t Al ) ^l ̂ ! l ^ ^ l^ / t 11 , l t r Al AuaJ yJs dA/J AlUf ua! udJ dNJ lIHJ VA 2g SV

, 7 y e 1 o'ba-iq :(, ii' i ni", t, T,,ii' r",tii:H#fu,Tl

f ia 12'lreaptaPlanulpa pa-Dreap-I i+til-fiei seInter-

oiecf iarsectieproiec-

fiersec-IBC 9iplanelesec{iei8.85).

nuchiedru Eie s int :r_g't_gl

-D'.-'-6'-D' -6 ' , .

r i le inmb de- ui ,':.

l

:^".t1.^dyl-,II , dyp,l,,rn^poligon,. .riin care sei : l iTq r'.! ' ,sri t ' . '2', ' . QieqpTa 1,2, inti lnegterLtrr_rs rz i l I z ureapTa Imuchia f 'c ' in a. ' , iar l ' ,2, i int i lrnucnla I c tn a. ' , iar 1"2,, int i lneste muchiae'c ' in p ' . PIanul vert ical cu urma or izontal i bdorizontald bdseclioneazi octaedrul II du'ul I I dupd un pol igon din

Ei 1"3' . Dreapta l '3 ' int i l -care se ref ine I 'S ' s i I ' ,8,care se rel lne l 'B 'q i l ' ,8, . Dreapta l ,B, int i l_ne;te muchia t 'b ' in y ' , iar 1, ,8, ' int i lnesie totiar 1"3' int i lneEte totf,b" in S;.--prunrr ^

u.lti"rr' ; ;r;;';i;h;iimp sec{ioneazd octaedrul I dupa un pol igondln care se ref ine f '4, t i e,4,. Dreani a { ,4,din._ care se ref ine f '4, qi e,qi e '4 ' . Dreapta f '4 'urrr Ldrc 5c rel t l te l z l 5 l e 4. ureaDta l '4 'int i lne; te muchia m's ' in e, . iar e,4, int i l_negte m'r ' in g ' Planul de nivel H, sec! ioneazioctaedrul l! {upd un pdtrat din care se refinel-5 Ei l -6. Dieapta i -S int i lneste muchia bcin pr,, iar l-6 intilnegte muchia cd in v. planulde nivel Hi. 'sect ioneazd octaedrul I dupd ungltr{, dhf care se refine 8-9 ;i Z-tD. Dreap-fi-8-9-intilnegte-inuchia mn in O,*iaF z-iointilnegte muchia mq in o,. pentru studiulintersec{iei se utilizeaz| tabloul urmltor

,/ (tjq, .Q AZ). intersecf ia este o rupere. Laturile

- ^

y i '^ ib i le in proicc{ ie vert icald aie pol igonuluil \ str imb .de intersecf ie s int g,_yr,_}, :_ 0,_

. r -y'-s' , iar in proiec lie orizonlald v-p-g-pl.

f'*'utui i o" siseconstruiasci.inrerr..fr" gl;;;:t*[* 5d se construiascidecfi{ dintre dour l[1],-,t151ffi",*":1 T[fld*""r1t j"o?l"?,i[ns:iiffdre FABC.DE $i 9MN.PaR,-.pI" au ambele iriungttiui;4 qAnc, u'.a.ui'nure este confinutlirtm trn plan diagonll^"1t.::,ll:t..se d9!*e;.,1,r{1"a. a" uripiun P dat prin urme. paralela a (0, B,)llitrr;;ls in care fiecare muchie a uaul^po1!e[1f tu ru[tiii" prismei dusi prin viriul S (s, s,)#_ i-.i. lirx'ft'j.pfil?q.T:i$,rffitf'.:;lifi il,:;iisxfii#ff::,r.J,TJlirftffi,;l;i+,{'[v- :el cu urlna orizontard,?c\secfioneazi qiig. s.se).-ui*"1" n; ii:"i; ,l t, ,) are pra-

Frqf iar*lv

cNn tnq sqf 5PN sNn .BC acof0A fA8 tBc vo UA/A/rnlt vlv v lv t l ( t l r t l , ,1,vlv vlv t ,

vl t vl i t ' lv I tv t ' l t . l (

a u 4-c

tt plJ-y. r T r *o

d 6 o 6-pe € € e-tr

v (f ? f-rtu rt tt t-{

t , , , -60 a

0 -dd 6 6*x

Fig. 8.87

139

07I

-r lqo as plsere InleJ uI ' ,H lalru ap Inupld edrr'tqoe u1 3gy lnrqFunl:1 aleqer as 'BleurJoJop;p Intrsap elsa ev,luozlJo atfralotd ptrspaf,B

-f,)JBoaC 'alBJUoJJ rauslrd lazeq u )qv. ulurytoz

-t :o utfcato:d ep ero.tau Jlsa elJund a11ey:o1ec:r.rBUrruJalsp nJluad' lErpour pl lnza.r 9lEJr lJaA

06'B 'Fr i 68'8 'EtC

esnp ozBq r?nop golar alauuld ad a;er lrxne . lo1au

eursr:d JSaulIluI g IS V alrrqcnu eJBr uI alel-rund ' ( t0 'A 'Fg) luorJ ap aueld 1u1s arpt l rxnealeu?ld 'O lpdul ap lnuu1d ap plnu;iuof, elsoVzuq lerpl. u CgV pldearp Rleluorl pru;n;qFunr.llpusgrd o 13 arfuarord ap l?luozlro lnuu;d ugplunlrs ezvg n":NWCJA gluuoFuluad plerllrc^pusgrd o eJlutp 0liobuatrug ?f,sernJlsuof, es pS ol,

'aJeclnr o elsa erloas:a1u1'06'g IS 69'g a1r-rnFrJ ul alep 1u1s rarfras:a1urInlpnis nr luad alaue:Ferq 'ppolau arr. lo urr ldealeod as :o1e1cund BeJtun nJluad .8g r$ ry trugsgl l rxr l aleueld '@zeq pnop rolac alaueld or lurparlras.la1ur ap eldearp alsa a:eo) 4 uurn edalunlrs '0c IS Our ,0u ,0u alalound uJ es-npullJas-.ralur ele 'l I3 { elalcund ur aluaF;a.tuoJ +u1srola:parlod alrrqJnu uud t i pldza:p elseare uud

/plLo z./r0

.- ; T *'*S* ."rr g.J .r,;...ar6 v\ -"':..{.s--s ,{,--bh

- - ) lo,)

:i,-l$T1ti, p_roiectiile. verticaie ale drepteloroupa care planele auxiliare secfioneazd prirmufrontald. _ Di agra ma pln_try rtu,iiri -i

ni.rsec! i eieste urmitoarea (fig.- g.g2).

Bo.S[_se construiascd intersecfia dintre o prismipatrulateri verticatd 9i. o pirhmidn putiuiut.rXlambele poliedre avind' bazll" situut!-in-ptanul."jirg:jll,t proiecfie.. naza prismei eite cuprinsern Inrenorut bazei piramidei. Fie SABCDpiramida ; i^MNpft prisma (f ig. S.9:j . pinctelet1,o )1.(p, p ) , (y, f ' ) ; i (8, 8 ' ) in care muclr i i lepiramidei intiln6sc' fb1'ele prisin.i r.ruiia i,n._diat. Pentru determinarei punctetor'in

"rr.mtrchi i le_prismei int i lnesc i"1et" pi ia_iA"i r"utilizeazh.planele verticale sl, s2, 'rdii'r+ arr"prin aceste muchii si prin virf i i -p' i ia'midei.L.r",tJu,1.tf9l punct6te.' de_ -i nteriecti. irr, rr,l,(v, v ) , (zt , zc ' ) Si (p, .p ' ) . Unirea puncteloi ; is,tudiul

-vizibi l i fat i i . ihfersec{iei . !- 'p; i facedirect. Intersecfia' este o pbtrundere. '

i:\

141

uJn ale 6{ !$ I{ piuaF;a,tuoc ap alalcund

D IS d 'a15ue1il

RzuolJesrelut . apturu;td,p' :o1ac-a1B'I i$ S al l rnlr l^ a1taun a-recIea.rq ' (gg1'g 'Ft l ) O IS d rolauBld B al lJas

lul ep uldea:p (,n,q 'nq) atC 'atuJn ulJo alupi6'6

'a1auu1d -ap-rrilradsar elnuliuoc luls ez"1

elq '{s nc alelered }ulsid - r4 a1e1uoz1:oeiiiu,rn rBI i,{ u1 eluaFra.tuoe 1u1s aueld

I - t - a

ace a1e alectl ia,t alaluJn 'eJEIIIXnB alaueldr+ caJl ea utrd t$ e1e1uoz1.to o e+se Pldeerp

grsndcy '(zO'g tFtl)'e1{calord ep IecItrral 1nue1d[l

"D-ul a1$eu1g1ul larustrd alllqrnul BI laplq

iilo'ie i,s ''s) g-ini:!^ ulrd pdnp e1a1e-re6 'a;f

-ralord ep lutrlpe^ lnuu;d ep 91nu1|u_or else Pzuqprlc u 'itigv gtnluoz;io pialuln4ud qruslrd o 1shrfre;o.rd ep luluozlro 1nuu1d ul Elunlls elsa

5ln'uwet is ciivs aruln;q8un1r1 aplure.rlde4ulp ulirosralu; EJsuln4suor es RS ol I

'Ip-g -e-l.-

rl-r eleiuozuo etfcato:d u1 :e1 l9-I" . ,Sluarufjt'alIqIzrA iu;.' p1nr11ra.t u!fca1o-rd-u1rdnr o alsa alfeas.ra+uI '(66'B lS 86'B 'dli)

grurn luls rarlcas:a1ur Inlpnls n;1ued alau

66'8 'BIJ

lez!J./a/f

86'8 'FtC

,s , l

gzBq lerpr ? 'NWOJ:I5 pluuoFeluad ppluur;do erlulp u;irasrelug Pr$ln4suor es FS o0l

o olsa erfcasralul rnui;'ilf iSTlriiity[,Hi-euJn 1u1s rarfcasJelul Inlpnls nrlued alaure;F-BIC[ ',,1!a rt q eleleund u1 aluaF:a,tuoc_ 1u1sa1e:aie1- r$ aleluozrro Jol alauJn rel 'p1dea:pelsBeJB utrd ea.t1 o+tsoloJ U JoA aJEJ eJBIIIxnBrlaupld ' ( tO'gL'3t l ) , ,mip1e;a1e1 eII I rn reI q PIEI-uozlro ErIrJn oJB eprilitrd$gnop Jolar a1e ; 16

S alIrnJrIA e1$eun e:ec uldeerq _'e;foelord ep

1uludz;rb r* luraleJ alauuld ap rllradsar alnulfuor

iuls azuq roraf, elu ONWI lS Cgvsf,ep;tuur;d?nop e4ulp u;fresrelul ?f,suln4suof, es PS o6

teluoz!r096'8 '3rC

lPlu0zlr0

Fig. 8.100roiecf ie,, a c[rei! ?roiec-al plra-r (k; k')Aceastiec toatel acestolnele lorDiagra-

Etoareiefuper€

Jmentel*t. a-p-

be douirle c6ra:Pgi Qde inte:-Dreap:,ror do;,li Qi ," | iurmel;n

; ; , -=-or auxi l iare pe P gi Q. Totodai i urmele: i - :_or auxi l iare Ri pe planele p Ei e s int::t ,--:ente in punctele 8r, 8s, 8, Ei Da situater ' ,1, : :eapta hv. Planele l imitd sint R1 f i Rs.l r l . r -- l Rr nu este ut i l . Diagramele^ pentrum:L: :1 intersecf iei s int urmltoarele ( f ig. '8.101r, ' ;. 8.102). Intersec{ia este o pdt}undererr:I[::i iaie.

l2o Sd se construiasci intersectia dintre douiprisme_ triunghiulare oblice Emf,t gi ABC alecdror baze sint situate respectiv pe planele pgi Q date prin urme. Proiectia oriiontali adreptei de intersecfie dintre cele doud olane p$i,Q este_hv (f ig. 8.103). Se considerd punctularbitrar.! (s, sl) prin care se duce cite o pars-le. ln la direcf i i le muchi i lor celor doud pr isme.Planul RR' astfel determinat este parllel cumuchiile ambelor prisme gi se intersecteazi cuplanele f ; i 0 dupa dreptele ale cdror proiec{ i iorizontale sint h1v1 ,si hrv2. planele auxiliare il,care vor f i ut i l izate sint paralele cu planul R,iar urmele 1or pe planele p ; i e sinl paralelecu direclii le hrvr, h2, vs ;i concurente inpr-rnctele 31, 82, ,)u gi 8n situate pe dreapta hv.ulagramete pentru studiul intersect iei s intur,matoarele ( f ig. 8.10a 9i B. l0b). lntersecl iaeste o pi t rundere dublu tangen{ ia la.

Itenlica/

Fig. 8.102

tr'2,'J'

143

I

vvl

90i 'B '8tc t0t '8 8tJ

lellllaA lepoz!,ro

l

j

u

tIIflfiIIil

E{III

3unr:1 -pdnp

eprure.rrd uzeauorfras alEJ ,tWWnur ulrd snp lpJrl lol rnlnueld Jn:o1nfe n3 . lgVSJdtu,rs ap lrurJap leuotsuaurptr l lnrfeds ,sns reurplsuoJ IBuorsueu'trpul lol lnrfeds u1,BzBalcasralur

9114116 1nuu1d a:er pdnp eldee:p 1"g1rn .1r" a:er ,r1111y0qlnu ad alPnlrs rS e:arurloc 1u1s alcund ra:1 alSate er 1613r1,q14 1nue.1d nJ unruoJ lcund un, arecel3 ne y35 rS 3ggIYS 3[auBld BJ rJrB ap Fl lnzou

.1cund un-.r1u! gzealmsralur es_' lEuorsuourrprl l nrfeds I6plnlaru ulf :ede numr aloueld 'runrsuaullp nrled nc nlfeds un-;1ug ,pr arlS

'NrNrwrd lnxoldrurs op .nldrrraxa op .trEururalap rJaJ ' lBuorsuaurpr:1 nrleds 1[e un-l luJ alun]rs luJS

t lnpund urluor e:er NdrNrd lS Wdrwrd alauBld .C6VS,u,?, i ,autaalrIs ap lBurruJe iap

,IBuotsuaurprJJ nrf eds rs\e1

Jsu_aturplr l lnrfeds ug asur.rdnr lugs 5 lnlrund urparpJ alrrqrnru ,rrfrpuor otrsarB uI .(SOt.g .t l l )

druocur oJlsuou rrurBeur ezeq rdoqes rS runrsuorurp:zd nr nrfeds rnun lnxaldruls rdOgVS alC ' I I ,VW pl l ln

alqJnu elseare reruJol pursolog e:parlod Bnop alaJrrp erfras:a1u! Jnrlsuor eleod ag .o1 r$ u1 luJs ptrrurolaueld oJp alpluozrlo alatuln .arfrastalur uI FIIIn

nu orqrnu ulseaJs ,u1e:auoF Bpoloru pdn6 .uprru

uJ lenllsalsa ,I4 lnlcund n;1uad .Ior:a1xa ,INIWNWd 'Bauauose o(I .CSVS

lnxaldurrs ap lBururalap-un^dsaror oleurFr:o a1r:n8r; pJpp .aluuorsuaurrpe;1a1

IrnFlJ Jaun alaluaprJul -. leroua8 u1 .elurzardar elelduocur

rurEBun relsare ur | :edB aJEr rolaueld olp 16:o1e1da:palaluoprrul ' leuorsuaulrpr lod rnlnrteds a1e aruelqo:d e:rraunu. rep_'elaldurotul a.rndo ad .1e:auaF uI .olel lozor rJlod orlrzod_op elauralqo:d .1de;

lnlsace pi l :oiec .p1a1d-uloJul sur;elul o olso o8uolg a.rnda laUn e (p1ecl1:eir)gluluozrro uylrelo:d 'prrr : lodrurq'elaldruot rur8erul 1u1sa8uolg e1a:ndg'olpuotsuaurprlod :oJaluoruole a1e lur8eurrEJ rBurnu :ep 'elayduoc alp:aprsuol r i 1od alaldruor-ur alruldBlur_'urqnla^la3 'C'N ap plei lo^zap ,aleJduroc-ur nBs olalduror :olrurFerur rr:oa1 udnq .AUO:II ' IOd

3(I rljc:tsxsrNt qNt^rud uo'taund:r v v-rvNo"rsN:rwranod v At.rdru 3s:rc vSdvJ:ruduarNr'9'9'B

+:id gzealras:alur nu r611ry erqrnu.r areJ ut (SOt.g Fl luuBId.o ls grusltd o orlutp erftes:a1ur orc . Isuolsualu' lrrJl nrlBds tSBIaJe un-Jlu3 asur.Idnr luIS nu aJeolyz

s0 t '8 'Bu

Rro,e-

r f iu t r id i -r piramid,leazd pira-ie nu esierlanelor I i -cfla dintrenuchie ne-u cu patruincompleiebe pornescimensionalea, planu.uat in ace.' simplexu,punctul P,l , ce poatt

/t11N1N. S"tlanele car.ie intersec-rnele SAB.ml PrMrPlfllpe muchi ;ul PrMrPllconsidera:si inplexu-

rin. muchiitr iunghii ,

I t l rury, e' l 'g ') , se pot determina imediat punctele (u, u');ililltrtr r r 5i (w, w'), irt r:are muchia Mitl, inters6ctcaiimeriL"lr: iv planele ielelol Sl\8, SBC Ei SCA, Prirr aceastdlrullmsr:ie, epura Monge considerath devine completd gii im rr: ine o intersec{ie de t ip pdtrundere lntre cele doudtttrr lr [p::e. Astfel, unind u cu r rezult{ a1g' iar unind uutm : : : ob{ine arpn. P^unctele yr gi y9 se ob{in unind vven-"iv cu p, gi Qr. In cazul unei intersec{ii de tip ru-ttturml:, rafionamentul este acelagi, ;i punctele v : ps,w = .1 devin puncte ale intersectiei ( f ig. 8.107). Inurlrrr.-zie se vede cum poate f i redusb intersecl ia dintrenur ' : loud pol iedre la determinarea punctelor (u, u'),lltlttq r I si (w, w'), in care o muchie a unui poliedru -rrllrmi';::.abil aleasi - intersecteazd planele fetelor ce-l l lLLul: : pol iedru. In aceste cazuri, unirea punctelor re-,lrtirtirf:i:e din intersec{ie se face fdri dificultate gi firb pro-ilMn*: speclale.

r&7" PROBLEME PROPUSE

! ' :onsiderd urmele P 9i P' ale unui plarr de capitt t t tr r .r :e este agezat un cub de muchie I dati . Sd se deter-nt tu.r* : ro iec{ i i le cubului .,:lll' i; .e construiascd octaedrul regulat ciruia i se cunoscutr r. : : : i dreapta pe care este situati una din diagonale.l i l i l ' ! : se construiasci i proiecf i i le unui cub, cunoscindi l( , ,q' ,1ala AB gi gt i ind cd planul vert ical dus prin aceastzi, t l t t *s-.ald este un platr de simetrie al cubului.* l i t considerd proiec{i i le orizontale ale celor patruLru:: , : [ ale unui tetraedru ABCD gi trei plane conl initdlru,, :*: i iv cele trei virfuri A, B Si C. Sd se determinei l i l rrr ;1 .-- ' , vert icald a tetraedrului, si i ind cd rnuchia CDr$ifrrr :r ipendiculard pe muchia AB.iliill * se construiasci proiec{iile unui tetraedru SABC,.:r ur:: iunghic in virful S, cunoscind proiec! i i le punc-r* L - A, B gi C. Sd se sec{ioneze acest tetraedru prirti l r i r - . 'ned'ator al punctelor A qi C. Sir se detcrminc]l i l f i ! : . : :r !a mdrirne a sec]i i lni i .l1i !r .onsiderd dreapta (ab, a'b') gi punctul C (c, c ') ,riLriliirrl:. :--icit triunghiul ABC si fie echilateral. Si se con-ttr-.LL.. lra octaedrul regulat care are fe{ele laterale egaleurL . i :3i tr iunghi gi sd se sec{ioneze octaedrul printr-unl i l l r l r i r : .rpendicular pe al doi lea bisector, dus prin cen-.rn:-[ - [ ieedrului.I' i; .r construiasci proiec{iile unei prisme hexagonaler&nrfr i:i de inil{ime l, cunoscind plarrul (perpendicularrttrLi r .:,:ilea plan bisector), centrul gi unul din virfurilerlrilurirr SA se giseasci punctele de intersec{ie dintre

lli:r,;. Prismd gi fronto-orizontala dusd prin centrul

{lll' -l: --rnosc un virf gi dreapta care poarti una dinlrll,,.tuq:r--:iele unui cub. Sd se construiascd proiectiileLriluLLir;ri-; ;i sd se sec{ioneze acest cub prilti-un flanl lurun,s-: icular pe primul plan bisector, dus prin centrulrunlLiLr! u..-i. Sd se giseasci adevdrata mirime a sec{iunii.llllll' 5* ::nsideri un plan P perpendicular pe planul ver-:;llfi.iirL :: proiec{ie si care face unghiul de 45' cu planulilmill!&r:::1. Un cerc situat ln acest plan este tangent ceiorl i f l r i l rr i r - : :re ale planului qi centrul sdu are cota l ,

Fig.8.106

Fig.8.107

!45

?rpi lpdap tsBaorp rS glor lseaarB ne (,^ '^) A lS (,s ,s) S

l lpnlr lA rorBr alB rs ariJarold ap Ieluozlro lnuBId ul alBnlrsmls oN-W Is CSV azeq rotg) alp orr lqo arBlntqSunulryluPlld Bnop arlurp erlJasralut uJsErnl lsuoJ os RS ogl

( 'raplurBrfdnqa azuld alaqruB e:aprsuor e5) 'lnlnrpaplro In.tluoril$sa JJJA toral IB aJEJaJEo e:e1e1n:1ud upruurrd o 16firrluozrJo oteuo8elp olaueld ulp Inun oJB aJBJ lBInFalmrrrpoelco un aJlurp pllcosJalur etserntlsuor as gS .61

'!nlnralBlnrlBd roJaleuo8?lpm arfcas;a1ur ap ynlrund ulld aJotl grleluozrro erfcar-o. ld rarer B Bleluozlro-o1uo.r1 ad aleza$e lugs apruurrdmnop rolal a1u ; rS S olunJrIA 'orlJotold ap leluozlrol lxuslo uI lPn]rs Jo]elnJlpd un Runruo) ezeg eJ nE arEJ;lDrruBrrd Fnop aJlurp erlJasJatruJ Bf,sBlnJlsuoJ as ps . l l

'a:parlod Enop rolar .u1e:nSg;sep 16 a.rparlod pnop lolorunr[or lnlnpryos alrrfcaro.rd 9JSE!nJlsuo) os.BS 'rnlnq-nJ B Blarl l la,r eleuo8erp lrrap olpu Jpru lJo pnop apalsa auJrl [euJ taler B 'atre1n8a: aprure:1d raun uzvq olsornlnqnJ e eleluozrro et lJarord 'al fraro:d dp lpluozrlo Inu-EId ul lenlrs Ir j^ un rS gyucrl:a^ aleuoFslp ulp ?un arearEc .l elnf,sounJ orqJnru ap qnJ un pJoplsuoJ aS o0l

.yg nr qleFaalsa s lnF!^ y lp.ql l toqo; utrur i lgul nps lncol f ru,r u i y5ao rEInrrpuooJa0 uBJd un-t lu l ld 3gy5 eleJnnar pptru-Brd uI auuld lrrrnt lJas al i l i rarord aurulelap as pS (t

d Euln rS c:or c:1urp lJpluoJ apInlrund Olsa v InFIA er purr13 .Jraf,

lsoru u! sl lrsuJ cBVIEraleltqra rnlnlqFunr:1 alrrfrerord etsBrnJlsuoJ as FS (A'Jrol rnlsaJp eye rr ioaro:d Enop aJaJ ecseaseB os FS (l

ud piramicrrt in plar.:rl celor do:la. czirei pr:.ntersec{ie ,l

un octaednle orizontadli virf es;e- pinze a,*

ra pirami i :MNQ sir- l

Eror virfu:-i depi l tare ro lu l lX

E CONTCE $r CTLTNDR|CE

MEPREZENTARE. PLANE TANGENTE.Th0RMALE 9t TANGENTE COMUNE

i MEPREZENTARE. CONTUR APARENT.-- . : td conicd de ordinul doi are ca vir f

'lliltttirl!:r:: oarecare din spatiu, iar ca directoarer i . Deoarece or ice con de ordinul doi

I -ou5 direc{ i i de sec{ iuni c i rculare, se:,ege pentru aceasti suprafatd intot-

i i -n cerc ca directoare. Proiec{ i i le vir fului,lttl l* -.lrbei directoare sint suficiente oentnrruflll l l l::area descriptivl a unui con de ordinulriilit,rir =a. Se numesc contururi aparente ale

Ln :egiuni le din planele de proiec! ie l imi-dt rirepte gi curbe, in interiorul cdrora se

:.za toate punctele suprafefei. Se deo-;nntururile aparente orizonlal, vertical

ll ihm*::i. la fel ca ;i in cazul poliedrelor.

" :emente r imin valabi le qi pentru repre-: : suprafelelor c i l indr ice, considerind::nului aruncat la inf ini t . Dacd se con-:roiecfia orizontall, m a unui pul-lct

:e suprafa{a unui con sau ci l indru, vor-:de doud proiect i i vert icale m' gi mi,:e doud generatoare distincte gi reciproc.

J PLANE TANGENTE DUSE INTR-UNPE SUPRAFATA SAU PRINTR.UN

EXTERIOR. Prin punctul A (a, a') dat,ffi dilci un plan tangent la un con definit

r,iu-ful siu S (s, s') Ei prin directoarea sa,,uurc cuprins in planul orizontal de proiec{ie.

ftim. h') urma orizontald a dreptei SAI l t . Urmele or izontalc P gi P1 ale celor:.ane tangente conului, care pot fi duse

prin punctul A, s int tangentele htla directoare din ounctul h. Pentruurmei vert icale

-P' se ut i l izeazh

(aV, a"k').

;i ht1, duseconstrucliaor izontala

9. ' I ,3. PLANE TANGENTE PARALELE CU ODIR€CTIE DATA. Sl se construiascl planeletangente la un con, a clrui directoare este uncerc situat in planul orizontal de proiecfie,paralele cu o direcfie A (8, 8') dat[. Se con-siderd paralela Ar (8r, 8 '1) dusi pr in vir fulS (s, s ' ) al conului la direcl ia A (8, 8 ')( f ig. 9.2). Urmele or izontale P1 qi Pe ale celordoul plane tangente se ob{in construind ht,

Fre(el

747

.d

i , q 'g)^ a, lJ rS rnlnJpul l r_) JolaJBolBlauaF.l .BI ( IF ' rE) ID BIalBrBd (,e ,e ') y lnlcuncljtsarnJtrsuo3 aS :xo nc r lnrqFun FteJ ps,l IaJlsE 'uo) rnlsor' .r" ;i;l;;rj ;l;l;1; j J l lutp eun ( ,4,u , )LB) alJ .ar icaroid a1l- ro 1nue1d.nr " inrqi iun ib1 a. ,eoleraucbiJB rs lJund IsJJB ur InJJIA JJp t_rut .1dalp

: i r lnuoc^e1$arnJlsuoJ as rS 1,u ,u; y:er i rqre: un eFale aS ' (g 6 FII) ar l r j ro:d

'ap,ro Inupld uJ^trpl:li ls JJ3J un alsa aleol: rn.rrr e 15 ,( ,F ,F)

3 er ioa"lp nc a1a1n:er l; -zolereuaF rnJpJ alB InJplrr l rJ g.raplsuor ag

B}I.}aua l$ lara aluaFuul oueJcl unop

:iiiii :,i ii5i.iJiffi '1[,'J1;',i' (,"J,';i'j:t j t i i?rl l nr ;e1e.red ;d inuElj bLrriuLaiap as rs( ,? 'E) V rer l rqre l t r rnd un aFele a5 ( t 6

.FI j )

lTI" j ly] l l : _:o1a;no1e:auoF erf ra. i lp { , .a - ,Ft '9

: lJ 'nrpur l rJ nr lLrJd. , r t t t ,n purun eu1iq6

B,\ as Id t?ierrga^ Eiurf l . ry ' raidarp B (,r l ' , r l )

r?lBl l rozrJo ELUJn Lrrp aJBolJarrp eJ asnp q, l iS

t ; . r ; .FI ,Jr nrpelp gqfiun un a;iee;o.rd ap luluozl.ri

nl RteJ us eJsJ ,n.lpurJgr un ug luaFuulun utnou sJSElnJlsuoJ es ?S

.arinlos o-?s BUn 'pnop ,raJtr ,n:1ed a1 rupe aleod,DJd 'aJBolJaJtp Rnop Jolal osnp 11 1od a:e.r

t --,r aloluaFilel luJS eluaFuel auelc[ rolsare: 'EJLro_zrJo JI0uJn . lJnLroJ

J?l lop . lo lsaf ,u- ' lLraduBi JnuBld alsJ l l? lnBJ lua8ur l InrrBId-r r lnrqFun aJBJ ,p,s apun ,( ,e,s ius; a1s:ar lsal ls alE alBluoJJ alareolEJauaF a.r lulprr lJoroJd ap IBluozrJo 1nueld nr r lnrr l8un

-:o1e:aua8 rnJFJ ale r$ ( ,s ,s) S JjJx tsela;e

, :Jp JB.[nJJrJ Tnrro] pJaprsuoJ aq .rnJnuoJ

.{ /s 's) S BJi lJrrasn _ol) J l . .J . ( t 6

.ErJ) Jr i-1 ap leluozr. io lnue1d Lr1 ler i i r r . ' . l , ior u 'r i a1r: , ;rJ BJJEo:lJaJlp pr aundnsa.rd ag 'l?p r nrperpun alfralo.ld ep luluozlro 1nue1d irr qrr;r us'uoJ un u1 ;uaFuu; uu;d un ptsulnllsuol. IVO

ITTONN NN ]VINOZIUO'INNV'Id]VJ AUVS AIN3CNVI ANV"Id ' } I 6

6 6 ''31:1

n;

rD

,o

:.-\, l '6 d i r l \

Kl

III

II

tNI

I

FAC)AT. Si : . i q acestei . drepte. Cele doua plane

con,ie un

I: i9.9.7

cuprinse_^respectiv i-n cele doui'plane de proiec-f ie. Fie S (s, s ' ) v ir lu l conului ( f ie. 9.6i . 'p lanultangent la c i l indru {qs pl in punctul A (a, a,)are urmele P si p ' . planul tairgent la con.clui!.!f . lynctll 'A, (a, u'j gi" ,ii'"i.

'b Ei a'.r angenta cautata cste. dreapta de inter.secj ie

(og, !.'9'.) d!$g.9. geJe cloua plane p ;i aj Sa*"'corisf der*'-uyftTliiidt'ij'obt'f q"- a: cefii i'. curb.a -dirrec_toare este un cerc situat in planul orizontalde proiec{ ie. Un al t c i l inclru are generatoareleparalele cu o direcl ie A t D, D,) . ia"r d i rectoareasa este Lln cerc I cu centrul in (co, <,1,), situattot in planul or izontal de proiecf ie. 'Sd 's; deter-mine raza R a acestui ceri f , astfel incit sa sepoat i-duce un plan tangent comun la cele douisuprate{e ci l indr ice date. planul tangent comunt19.bu1e sa_ fie paralel cl generatoarEle ambilorcr l lndr i ( l ig 9.7). Se alege un punct arbi t rar/y l (m, m ) $l se construieste planul pp, paralelcu generatoarele arnbi lor c i l indr i . Fie T urmao1.izontald a planului tangent ci l indrului cudlrectoarea c. Ca problema si f ie posibi latrebuie ca directoarea f s i f ie tangenta drmei T.Rezulti R : cob.

9. ! 6= PLANE TANGENTE PARALELE LAPp11A SUnRAFETE coNrcE Sr uflr,,rnnlce.l" 5a se ducd la doul suprafefe cilindrice doulplane tangente paralele. Se presupune ca direc_toarele celor doi c i l indr i s i r i t s i tuate in planulor izontal de proiec{ ie { i ig. g.g). Trebuie sa seconstrurasca ci te un plan tangent f iecirui c i l in-dru, paralel cu genefatoarelelelui la l t c i l indru.Fie RR' plqlgf paralel cu direc{ i i1" g.n..u-toarelor atrrbi lor c i i indr i . Se obt in planeletangente paralele pp, l i ee,.

: --= P si Q duse la con pr in aceastd Oriaoier r : " ie ld cu G, fac unghiul a cu planulr.l de proiecf ie. plfnele tung",it"

--i,-- cdutate _sint. planele tangen-te prpi,QtQi. 11 qQ;, 'paralele

rFrp*.1tu ' -*= P qi Q. Se obsen'd czr planului pp': .a con i i corespund doui plane paralele:= la c i l indru. Problema admitb patruDaci h este pe ccrcul d.e raza ak, existd

-: -r t i i . Daca h este inter ior acestui cerc,

I de p''r

r dre; :ratoar;

ce-ituir l rc;;ent ccoqta le*e co:

' Probra sau

lhu ratOarrhrui i

n: l c iri a lelor iz

lel car ieste

:a nu admite nic i o solut ie.5 TANGENTE $I PLANE TANGENTE CO.tr LA DOUA SUPRAFETE CONTCE gr

DRICE. Printr-un punct 'A (u, ui\ $ ;;I qlgeltd comuni la o suprafafi conicitangenta comund la o suprafati conici

cilindricd, avind curbele -lor

directoare

or\

Fig. 9.6

r49'

]|-o8uBl uPJd lsec^e nJ_(,p = ,l,s ,p = ls)p:^1lr_n?rugleraua8 pp E nr plaieied inlnubclJ€rlp eJ d! ylryAuel 'aleluozrro lugs arec]-ulllr j,le (,F ,F) elereo+BrauaF nc 1'a1e.led-"-l_ LTFuul. 1nue1d rJlul rpru alsartiifiuo,,l:11_pt eldea"Ip olso olep afale.rdns pnop

Fu-n_rlor p:elncrpuadrad giseacy .areoi

1 p.nop rolsare punruor erelncipuedradf.::. IS J"yluor ep. alerBoleJeua8 puiru_ra1ap.II.l 6 -;lJ) afa;e.rdns enop rolar .rilcadiar

uel- alaleJed aueld Bnop JSatnJlsuoJ aqfw tp IPrllJe^ ;nuu;d u! lsnlts .(,o ,())) ep rJef, un uerpolreJlp nf, piuozfi6

!llc !S uoJ InlseJ? eunruoJ galuru.rou ainieuluJalap

9s pS 'arfcaro.rd ap JeluoziioTl le]rlts '(,1 'l) nrlual ap 1n3_rac aisa

-l! llifc e r$ (,s ,s) 5. 1n;rg.t nr lnrior)-es 'actu(INr.IIC Is ACTNOf, eIeJ

Ynoq Y'I VNnwoo vrvwuorv 'z'ioN oa'r ele:luec nJ JolaJeolJoJrp esnp r3 1od::d- ̂ruor

or ro 1a1 ueFrie 1 I nrprunu .p'" p,i r.i. pI9s_ Inrprrrng 'piur;nin nc punuralap a'sel supJd Fnop JoJeJ elB alecrlJe,,r alarurn"-" :+ i ""y €i lup ruldJ alB alBJr lJeA A[euJn

: l__.ul) IS ( ,q,s- ,qs) , t r lcadser Jurs i ;nudc

' rloc BI a1e1er?d afrieFuril aueta !n"op ;i;;;"

!111:111 ,"p atarBolBrauag .b4 16 6 1bJ1se1i. t-"j:"g "_t "a;u-e 1 eu'e J d 9 n"o p ."o 1ii ;t ; ; ;; i

09r

n f{"{:i:.d. :J-r._"1 eldee.rq -uor llelnler IB!:l-l.l.lilr* uI InirJ^-nr pFunfe qs lsciig legise'rsnsuJ Io nr lelprpd_yg" lnrurrd pltodsue.rl ag.(91 .0{) e}se Irnuor pnop joyaj all:hp;n-e}saun:jl"^.1?1q"jq_ : vv.+uozrno,' n'ur11 :(o1o' .au)erlJaroJd ap IEluozrJo^1nue1d ug elenlrs' iuJs eJeol-?erlp rorPr olB rrnuoJ pnop roler apjnli1,r 1,1 ,1jls- (,.

,s) S etC .an1u1,ud '.a;ubFuui'rfiiA .ftoi;erruor afalerdns pnop pl lrSrjls,rg prnp jr gs .g.rnlnrpurlr f ,

luaFuel pippoloi:l:.?-.is {g_rnufrd nJ lileirio'.tin &uJ ,,6,alnuBId IoqB alSaln:1suor ag .1h1n:pu111r alEe:eoleraua8 elsaf,B nr 1a1e:ed ,rirlirudc

luaFuil,66 1nue1d etrsa1n.r1suor as 1$,lninjp1rtlr'n1"rno1::l1"rl_ n.t, (, q,._, qs) e 1a 1 e:'eO' lcuriO'iiire ur:O:-t l l_15,'(6'6

'FIJ) t: l l ,rrr 1njr3n 1,s ,r) s-diJ'a;e lu.rud alueFuul auu ;d.pnop icjriru 1 j !r pi;prd;;o u; ;s prtuof, giulurdris b ̂ "i pJip il-,gs .a

\-{

I

;>.{

k

\)

I

It se deun prma orizoua cl le orinalele sact dir:r celetm, t'9tasoluf i ;

ne Pstuo gi

lconsldirecin plnei l inde

tangr9.1t) .isedigendutata.It lai l indru|rectoale conrgent.

i l i le:.:nrind frontala (sa, s'a') ;i se duce tan-qmria t ' paraleld cu s 'a ' 1a directoarea ci l indru-ill,ut Rezultd (b, b') Ei generatoarea de contact.L ; . 8 ' ) a planului tangent 1a ci l indru, paralelru. :lanul tangent la con. Sd se construiascdinlrJ:" :t perpendiculara comund dintre genera-lm-r--ele de contact D Qi A. Direc{ia sa estep,e-endiculard pe unul din planele tangente,i i lnr : i ld5, pe planul (sat, s 'a ' t ' ) . Se duc din (s, s ' )pm;endicularele sn ;i s'n' respectiv pe ori-;mnlala p $i pe frontala s'a' ale acestui plannmr-.,{ent. Intersectind planul (snt, s'n't') culurterta A (8, 8') (cu ajutorul planului dem r-- i H'care di 1, 2), se obf ine punctul (k, k ' ) .Wn--alela 1a SN dusd prin acest punct esteiihr" k'r') Ei reprezinti proieclii le normalei co-,nmu::e cdutate. Ca verifibare, r ;i r' trebuie sit i j * . i tuate pe aceea; i l in ie de ordine.

$ , 8. CON SUPLIMENTAR UNUI CON DAT.F Se consideri conul cu virful S (s, s') gi amirui directoare este un cerc cu centrul (., ,')dhuat in planul orizontal de proiecfie. Si seumr"rstruiascl prin puncte urma orizontal[ airmnului siu suplimentar. Se presupune cd,,rrriul S (s, s') al conului dat este situat pepl i : " lu i vert ical de proiecl ie ( f ig. 9.12). Fieur* s'a') una dintre generatoarele conului in'ur.:ul cdreia se construieEte planul PP' tangentri,fi Jon. Generatoarea corespunzdtoare a conuluirzuriimentar este perpendiculard pe acest planlmnr.gent la con ;i se proiecteazd orizontal pelur-a de cea mai mare pantd sl a acestui plan.

In rabatere, pe planul orizonl"al de proiectie,aceastd generatoare a conului suplimentar estessm perpendiculard pe s6l . Punctul (m, m') esteun punct al urmei orizontale a conului supli-nentar. Locul geometric al punctelor (m, m')este o conicd. Proiec{ia orizontall a tangenteiin m la aceasti conicd este mt perpendiculardpe sa.2o Cunoscind una din proiecfiile unui punct ceapar{ine conului suplimentar unui con dat, sdse determine cealalti proiecfie a punctului qi sIse construiascl urmele P qi P' ale planuluitangent, in acest punct. Fie S (s, s') virful unuicon a cdrui directoare este un cerc cu centrul( . , . ' ) , s i tuat in planul or izonial de proiect ie(fig. 9.13). Fie de asemenea m proiec{ia orizon-tal i a unui punct ce apar{ ine conului supl imen-tar conului dat. Generatoarea conului supl i -

,1-*

;" r\

Fig.9.12

Fig. 9.1I

151

z9T

.pJoqJedftl o else aunrlJaseqJn) 'truelsuoJ

- rJW _ JW naq .e:a1s

)rre El lcund rsplare u1p esn-p aiue5ue| errCW : rW :jW --- f,W :paua{uasp oC

' luPlsuor: r3 : Qf l : uv.ln1"r3? "s

'aunrfras _ap raqrnr iirlnuulil

ls .{ ug nrlc-adse; aluaFuetr ,ro tS o irrtur":pl3{:,'F:.y}9 llererJ u1 ,uoc us nr.rcsuj ag

*: g^;F,rl^ l?,uI 9 ]',"tn ii ud p.n p r aI nt;; ;;:""1:i iF,:ll rS aunrfoas ep pqrnr ed'ap a:eca:eolJUnd U/ aIJ 'uo) t l t t : r r rnnrrr l r r r r r r , - , {^

'F11). aunlicas op raqrnc rnlnueld g u1e1 rS uoc uJ BsTJJSuJ o InJluaf, in ?-rariqvu ur 6srrJsul ( , lnJlual nJ BlalssuoJ oS .uoJ u! acl;oqered nunliees ;nz{;

W alC .uo) u! ar1;oqrad;q ggunJfras ;nzu3

ernqarJ 'tnlnuor e yzuld prnFrils o 'otSeu

9i { i '8! i l

llt.lj 1r,,orJa rrunricas ,nrn, n4u(3J 9,iJji]ap rsBaarv .psdrla o elsa J Bqrnr . :ape$y

zar ,X : rcr : row -+ Tri 'iSJo*H

ct rseJaoe urp osnp .1unru"fl1"Jff'1ffi1. CW .- CW :rBCl

. y:rOJ:rgg:rVV

_, lBeilauase ̂eg .1cund

1se:u ur:d psnpnu,of, eaJeole.iaua8 rf,f, li J eqrnr ad areri;eo

,11 un W elC '(1ue1suor) x : tgg : rVVvr ":11 \+uE+)uurJ,, ) : 'BB : rvv

, :y:r. l"_.a9,'aunriras ap laqrnr rnlnueld L:tt ?p ]s a1;ed o ap) rJ rS g u1-nrlcJdiar aiua8i1,^*.5 ll:p yor uJ nrlcsul

"s (4.0 :aij)

- l ld u d+sd ,r EqJnJ 3J OZaJISUOIIIAp as

;Tly,i,:l"r-:-"_t^,1 _un nr rntnuor ee:euorfcas urrd!-]f'ullq.o Bqrnr J orc .nJpurlrr g$ uor ui ar;1orIa::l^!:"itli: FzeJ'apprnluot a\na.r atnoTntaua7y::op a,qnp ?ps 4ru!/s!p a1nat.il-ririibtauats pnoppdnp 'arDur7nwr atooTnlauaE pnop' paiip Tnuoc?1_y::l?r!tu! lntnuor 1ntt1a uud irp^ rui1$i iplnuap nc 1a1o.md 1nun1d uitc pdnp ,p1oqntnT

::t 3J.!t1d,!t7 'psdr.1a aga uoc in'4'ug in77 unnJ plonlrata naunllc-ag :Bruoroa] ejseare 1a11se1s,-e1nu:og aleod reur ag .uoc b1^jua7unT unTaun nc ya1n,nd alsa nns^tti1nuoe alv'azu1d alaqwn'jltlyroc y pzutd ptn7up o ain lljij aunrlcasu!^, Jllotd wnc pdnp ,ploqwnd ;bs' ploqiianl'psdtp a6a uoc unrlu!'uo1d un ,r^p1rr7ru1uy:ur:t:,t9 ; ultopuec 111_eiiro;oa1 azeafuU*p:as FS .Nr.ra(Nvo rn,r vweuos.(:"ilff]

tf,tucNtlt3 ts l3tNof,lullJvudns N! tNy.ld trlnifcls .z.o

p_rrrurrrlap 1od as lueFuel ,,n1a ,n1rr3l'ji:*:tllg :.t:yig..l1s .ad p.relnupuad.rad 51." uu,

"pun_!,1,- 'uru) BleluozrJo ap r$ rnlnude e (,1,s .1s,)1jl.?1y,ri1.?_ "p leuluralap' 31se 1,rii',ur) ry]: l :rTg._"j .rplrrau rldns rnlnuor iuaFdll Inuptd1."^l l:I"]?und e. ,ur qlBrrlrar erlrarori aLiii

::l??, n,. ecl .ur, s (ea:eo1.e.rau.l8.; e:einrrpuad:aj::.-".1^:,t^]rinfy"l 1nue1d 1,u.l,s ,uis; 'aig .xo: lu3luEd ap srurr nr elaJe.red ,E, i 16 ur j lFs apun'(,8-s ,Es) olsa'uu1cl inlsace u ulelu_oztJoo .uoJ EJlt toFuul ueld un ad grelnrrpuad:od rus pft1uozr;oerirero.rd a;e pund iseib ur:,t p.n['-j;i":;;

./t

ebuie s:l e l ipsaere tan-de al tat

servd cin punc:rconului

; i puncr

:demon-ci l indru

punctu-genera-

g. 9.16tenele drFqiFlBn'd c,,i

4LEgd: r

rrba di

msideriangenrel . 9.17r

/ \ \/ r l \

- -__ / . { \ \_

\*#+\I \J

I t ,^

/ t 't.------3;

(,

p'*.16lrl

Fie sa : sar : b 'ai : s 'b ' tg e, unde a esteungft iul geuerator a1 conului . Se cluc paralelelea'c ' qi ad la l in ia de plmint. Fie de alemenea:ad =:. a 'c ' . - c 'E' cotg p, unde p este unghiuldiedru dintre planele P qi H' . Pr in impdlt i rerezul i i i :

A1

L)ar: s'b' : c'8', deci : If : -lg-g-ad cotg B

Prin urmare, locul geornetric al

sa _ s'b' tg a

ad c '8 ' cotg g

este o elipsd care are unul ciin

: constant.

punctului afocare in s,

iar ca directoare dreaota 8.

NSTRUCTTA SECTTUNILOR ELIPTI-se construiascfl o sectiune elipticl

bn circular drept, a cirui directoaret[ in planul orizontal de proiecfie, gi

cirui directoareeste situatd in planul

' " M punctr:l curent de rre aceastii curbii.. ; rat totodata pe generatoarea SCM. Din

sal i t l { i le AA1 . : BBr : PQ :- MN ..= MC..==. MF : constant, se re{ine MN : MF. Curba:t: sec{iune este o oaraboli.-_\$ J.tltEoREMA FocARULUI. si se demon-'ffiorema f ocarul ui : . P roiecl ia secl i un i i p lane:,i!t.:!-un con pe un plan peipendicular pe axa;.ttului are ca focar proieclia airfului conului'w acest plan. Se considerd conul circular drent:'- i ' irful S (s, s'), care este sec{ionat.de planulne capdt PP'( f ig. 9.18). Fie A (a, a ') un punctr-rent al secliunii, care se obfine intersectind:: planul P generatoarea oarecare (sq, s'q') a::,.,nului. Dreapta de intersecfie dintre planul p;r olanul de nivel H' dus pr in vir ful-conului*r :e A.(8, 8 ') , Se rote;te punctul A in pozif ia{r ralai) s i tuatd ln planul de front al v ir fului 'S.

sd se determine tangenta intr-un punct curent(k, k') al curbei de secfiune. Fie S (s, s') virfulconului ( f ig. 9.19). Se alege ca plan de sec{ iuneplanul de capdt PP', care intilnegte o singurdpinzd a conului. Sec{iunea este o elipsd, a cdreiproiecjie verticali este segmentul or'p' aEternutpe urma verticall P'. Axele proiec{iei orizon-tale sint ap; i yD. Centrul sec{ iuni i este punctul(m, m') mi j locul segmentului (o-p, a 'p ') . Axa i3rezult i d in intersect ia dreptei de capdt ce seproiecteazi vertical in m' cu paralelul conuluide raz| sc obt inut pr in planul de nivel H' dus

Fig. 9. la Fig. 9.19

153

' ' - -_-_ _*t '

v9l

mrloldru rse alrrfrerrp nep 8s rS Is eunrfcasi lp aleJBolBJauoD 'rnlnuoJ IE (,s ,s) S InjJllmlrd snp ,64 1nue1d nc lalered , ,OO

lgdeoap lnueyd nJ InuoJ uzeauorfres as acrloldrulse-uoprfca.rrp BaJBulrrlJalap nriued .gV Inlnl-uauFas lncolfmr 1(,ru 'u) lnpund alsa rrunrfcasInrlua3 'aunrfcas ap 1nue1(l nJ rnlnuor ole TuoJJep JoleJeole.lauaF erfcasJatrur urp ellnzer nunrf-:aS ele (,q ,q) r$ (,e ,u) alrrnjrl1 .(aa'O .Fg)

lnlnuoJ e1e azuld alaque gzeauol|cas a:ec ledecap 1nue1d ,dd IS lnlnuor 1n1r1,t (,s ,s) S al.{"a1fra;o.rd ap leluozqo lnuu;d u! pl"nlls elsea'r?olrallp laJpr u lderp lulnr.l!f, uor lllhqut ptlloq-rad;q aunlif,es o prsulnrlsuor es p{.1 }91n16q1-u3dtH uo'rrNnrlses vrlsnu*dd{$g/

'Lfrog aisa pleluozrro . , i r .Bro ugaunrfcas ep roqJnJ E e1qtz;'l BJnr.ueU .(,e,s ,as)tareoleraua8 1nFun1 uI uor e1 I luaFuel 1nue1dri 6 luecas 1nue1d aJlurp arfrasrelur ap eldea.lpalsa eunlfcas op raqJnJ ye ( ,e 'a) 1ua:nc lcundun-JluJ (,.,r1.'rr{) eluaFuel 'rl,fragr esdlla alsaf lunrl3as e glaluozlJo urfcaro:6 'rn1nue1d e ,dgl-BrrlJeA eru.tn ad p1nure16e r$ pleur.lo;ap lelolalsa rrunrfcas p glelrlJa,t erfcaror6 'rnlnuo) eleJsJrlJeA l$ leluozr:o 1ua:ede JntruoJ ep elaJeol.e-rauaF aunrfcas ep 1nue1d nJ BzBalJesJalur aS'( tA'O 'FtJ) rnlnueld aiaurn ,d IS d alg .aun; iraiap leqJnJ Iu luaJnf, lcund un-4u1 uluaFuul J$pdec ap ue;d un-4uJrd uor lsere ut uaunrfcasauruJalep es gg .aJira;o.ld ap leluozrro;nuu1d ug

lunlls f,Jer un elsa eruolraJlp lnrpr B g$ (,s p51lnlrund u! InJrI^ nr cllqo uor un praplsuor €\SLl

elsa FIpJtlJan erfcalo:d ug aunrfcas np i"qrn" "pllqlzll ernurBU 'eunrlcas ap 1nue1d nf, rnlnuor

alB luoJJ ep alareolp.leueF puglcasralur urfqoas r$ ( , ! 'd) IS ( , , ' r ) lugs rnlnuot lp lpsrtrJalluoJBdB InJnluo3 od elBnlrs llunllJes alelJUnd' lnuoJ nJ ( ,n,r 'nr) rele+uozrJo el fcasralulu1p ul iqo es rrunricas B rJrru raxe ele ( ,n 'n)r$ (,rl 'rl) ayrieirua"rlxg 'axe lalsaJe 1e (,co 'co)1nm1[rru elsa rrunrf tas Inr lua3 ' ln lnuoc alu ( ,p,s'ps) IS (,c,s 'rs) alateole:auaF nJ (,"Iq 'orq)ralda:p elf ras:a1u1 ulp g11zer oxe ralseoeele ( ,S 'g) t t ( ,1 ' / . ) alr fulrruer lxg 'arfraro:d apleluoz1ro 1nue1d ap Fiej 6 lnlnuzld e elued a'teurreu BaJ ep Brur l gdnp glefr :rp alsa rrunl icas earuu BXV '(OZ'O 'Fg) Inlnuor B glerr l ra. \ BXB

_ ap (,o 'o) lnpund uI lrulllul alse eJpJ aunrfrasap rnlnueld alarrirn ,d lS d arg .a1ite;o.rd apleluozrJo 1nuu1d u! plun1ts else aJuolf,eJlp lnJpJu '1derp JelncJtJ uof, un-4u! 'eJeJeJuo ttrzlf\un nJ pclldrla eeunriras

"rsurnJlsuof, as Ff"6J

u! uor er lua'uel , ,"r;];tlJ'T" J;ils.flep 1nue1d erl-ulp (,{, q ,{q) erfrastelur alsalaqrnJ 1e pund lserB ul 1 eluoBuel 'aunrfcas epeq:nr ad ap luarnr pund un (,4 ,>l) arg .141 uud

IZ '6 '8tC

Fig.9.22Ii ig. 9.23

rnlnecapatrei des"21).3nera.r t icali estert lca-i iuni irtf -unl estet P; itoarei: t iune

IPER-hiper-*oareecf ie.ql denului: SCC.

or dentrullmen-: t i i lorul dt

nr in

le d.tot ice

: :utate. Asimptdtele mp ; i mv ale curbei cle *-, lJ ' s') virful conului ; i PP' planul de

-:c{iune sint paralelel'e '1a aceste ,li;;.ti; :::li ' i:

(fig' 9'24)' cu ajutorul frontalei (sk'

. : imptotice duse prin centrul (m, m') ; i ' ; ;- s'k') -se construieEte planul Q' paralel cu

..'.rnii. Alte puncte ale sec{iunii tin proi..ii, t?::1-,f'^:are trece prin virful conului Ei sec-

::i{"_;r"-'-'ar-":fi-i,g,-r ;J -5 -- ** -,' - :* "E;:',qf;,1,,'"#',$1!1,,*,.iT1,t""11?[ !'*dl"l'::f SX se construiasc[ proiecfiaorizontald

" t{t]gl )1. .".tiunii. pllnJ. langent" T1 ;i Tr'la con

secfiuni hiperbolice, .obfinute intr-un :o" 9!]l_: i; lu;ili acestor generatiare se- ihieriecteazda cdrui directoare este un cerc situat t"

lli::t ;; pir;;ip arpt uJitnptot"te secjiunii, al.cdr.or'rrizontat de.proiecg.ie. fi:I $r^P' urmele p]_T,l; pil.f

';;;,;?;;ti' .rt. i.nirul iec{iunii.

: i de sec{ iune (f ig. 9.23). Planul Q paralel r----- '

- ; planul P dus pr in vir ful S (s, s ' ) al conului /, r . i innacz\

^.nrr i . l r rn i oot lo.r i . r r . " le sa s i sb. , / 1, ..;cfioneazd conul dupd generatoarele sa ;i sb,

:are reprezintd direcf i i le asimptot ice ale sec-. . :ni i . Asimptota corespunzdtoare direct iei sa

=' te intersecf ia dintre pianul secant P Ei planul:.:rgent aa la con in lungul acestei generatoare.?aralelele duse din o( $i I la direct i i le asimp-:, , : ice sint asimptotele sect iuni i ; i e le se inter-..cteazd in centrui co al sec{iunii. Douir puncte. e curbei de secfiune sint I gi 2. Alte puncte ale,tct iuni i se obf in ut i l iz ind plane auxi l iare, care--ec. de exempiu, pr in dreapta (sk, s 'k ' ) . Astfel ,: ,anele auxi l iare duse pr in aceast i dreaptd ; i::in generatoarele m, n gi r dau punctele p.,- v.. .. Segmentul p,ep, este paralel cu ks. La fel.;riru v6v gi pnp. Virfurile secliunii se obfin.:tersectind bisectoarea unghiului aorp cu conul.:'' Si se construiasc[ o secfiune hiperbolic[,ntr-un con oblic, a cirui curb[ directoare esteun cerc situat in planul orizontal de proiecfie. F-io 9.24

155

99I

uI uoc el lueFuBl uEId rnun B ?lBluozuo BrrrjnI alC .uor lsaf,E ul RllloqeJud ounliras o ur-suln4suof, as pg .e;fra;ord ap luluozlJo 1nue1d u1lunlls f,Jec un else eJuopaJlp lnJpt B ,(,s ,s)

S ji* p1ru1{ ul Inlr!^.P*?l"lgo lnuor p.raprsuoi ag

"6 i_.

-%*{ (ur uor n' lun'u,rltl'ntffiS;fmf;--:alsa_aunrfras ap loqrnr F ( , t ) , t ' j ln icund'uj . iP,JuedueJ' 'gISg1u1s11un1|casaIPa}Jundnl Iv.rH lalru cp 1nue1d nJ tnlnuoJ ea;euolfras uui llnuflqg us gzEr ap 1n1a1ered nr (,8 ifl) I,F,iec :ap ralda.rp ericas.r_a1ur ylp FlJnza'l irunrlras a1e',r !s r . elai f ,und'rd !S d luJS rnlnuor e1e l lgo.rd.apaIaJBo1e:aua3ada1en1rsa1a1cundrci ,1. , i ,n1

alsa lrunlfras InJTJA .rn1nue1d e ,4 f1e5r1ra,tEruJn eo FlnlrrlSB elsa FlBJrlJeA arftaro"rd

lerpr e ploqe:ed 9 ?ls eaunrfcag .(ga.O ;Fu)

lnlnuoJ e- (,q,s ,qs)_ 1uor1 ap

-eareolerauii8

nr lalered ,{d lgdec ap yirueld eirnrfcasep uBlo EJ_ adalB e5 .auntfras ep taqJnf, lEluornf, lcund un-4u; e1uafluz1 prsu5spF as ps !S'ariragord ep luluozrro 1nuu1d ug!1un1ri elsa er"ol-leJlp lrrpr u ,1da;p- J"lnJJrf, uor uq;:llu! EJlloq-u.rud aunlicas o prsi:lnrlsuoJ es

rrunrfras gnlound alsa nrfeds ug raloqe:ed TJll4 rnrnlro,r a1e 1ua:ede ,"r"":Tij*rT;1r"$rjlrrt#;'(,e,s'us) ta"reolerauaF alrrlraroril hr a1a1e-rad :"l"u"a pl11ln.rr1u1 urfqo es rnlnuor 1e 1ue;edeetaxE nr aloqe;ed tuIS Jlunr{cas atrrlcllolg I;;;;;;J;,i:}Bn}ts etatrund .,y }s ,a ur ,r,c,, BXu'1uaFue1 ueld lsare ::.J31"j"1..a.-:"iil?". tp ;fii;;i

-,p.. r, ,r,s aunrrcas ep arar'orerauaD

lT".t:"::'K,,o.,'jrl13ifd,:,-:lr--,:.:^$::1l::i ".dl;';:'!i,1".,n0

a .A.s apun) nr ur'tuoz,lo

arfces:e1u1 ep eldearp nc glalered nBS vs Bareol 'vUvd Uo'ItNntlces vricnUhl'ldcT

;:1ii,'i.."f,ii:l,T'#:Ti1"""t:?,:1y::y:J:"i: *-*-r *-*'"*"*--:Jiln'rm;;i,*'

i: 'iga'o .Fg) 1,f,s :ui; - '.r,oi"u,iu.s"l;ffii ;ij#'Ji"?,Ij15,Ffl,"", ;iij..lliT/_lj"j#U"ii;

_Jala as . InuoJ Ezpe]JasJo+ul ,J,o pyB p]sBaJB, , - .^ ls , ,L(, (, ver uJ IeJrlJeA- pzealcarord as aJEJ r$ 6 lnrreld ugFlanlrs eldearp aJBJ uJ alepund nEs'. . r , , exBelseare^ad gtelnclpuad:ad alsa aunrlras ap eqince1 eluaFuetr aJpi uJ alalcund 1Lrls 'a1urr1ia,r ' rar1-JatoJct ale ,y tS ,3 aIIJnJJIA . ,u,or/nt rnlnrq8unBeJpolJesrq eisa lrunlices E alpJ!+Ja,l iarfoaro:d eFSJaAsupJl exv^B gS,t ur BXB csaulJllrg a:er as rSJs alaJpotreJauaF.ullqo aS 'lnlnuor JB S lnjrI,\urJo rs pxe urJd /rrn BrrrJn op Jpr l txne 1nue1dalnp as arfoas;a1ur elsBoJB rnrlsu6c p nJluad'lnuoJ FzBalJasJalul gxB plsBaaE uJ IeluozrJ0EzBalJatoJd as e-JpJ rs 4 1nue1d uI plBnlrs eldea.rpaJBJ ur alalcund nes .urouJ rnlnrqBun ea:eolroslqalsa aJeJ 'psra,,lsuer1 uxe ad p:elnrrpuod:ad aliJaunllJes u1 eluaFuel arer uI alalcund luJs alp-:l;uo1u.o rar lcaro.rd.a1e g 16 I a1rrn1.r11 .( ,d ,d) ' ls\ , ! 'o) lu ls. r runr lJas aJB alcund FnoC .a3r lo l-oulrse alrr lcaJlp nr _a1a1ered 1u3s (,u,o ,urolrs ( ,u,o.tuor) alolr lurse JolsaJB aprfraro:6

. i intre planele T qi planul perpendicular pegcticratoart:a SA, tlus prin virful S (s, s'). Scpoate deternr ina acest plan. I r ie a planullertical dus prin generatoarea SA, care se rabatepe planul orizontal de proiecfie. S se rabatein fu. Perpendiculara ridicati in ss pe asgintilnegte in m urma Q. Urma orizontald aplanului perpendicular pe generatoarea SA esteperpendiculara mh ridicatd in m pe sm. Dreaptade intersecf ie (sh, s 'h ') dintre -acest plan' s iplanul T d5'direc{ ia tangentei cautate. Ri Ooite 'aolan tangent T1 dus prin aceasti dreapti dageneratoarea de contact (sb, s'b'), pe care seaf ld si tuat v ir ful (" ,

" ' ) al parabolei .-El rezultdducind paralela ko la hs. Al te puncte ale sec-i iuni i pot f i obf inute ducind plane auxi l iareprin generatoarea SA. Astfei rezulti e. Punctulsec{ iuni i s i tuat pe conturul aparent vert ical alconului este (y, y ' ) .30 SA se construiascd o secfiune parabolicdintr-un con oblic, a c6rui directoare este uncerc situat in planul orizontal de proiecfie.Fie s ' proiecf ia vert icala a vir fuluf conuluir f ig. 9.27). Se alege un plan Qe' tangent conu-

Iui . Se construiegte frontala acestui plan a caruiproiec{ ic vcrt ical i i este k 's ' . RczLrl t i k pe e siproicc{ ia or izorr ta l r s pt 'paral t . la la ox dusr ipr in k. Fie PP' planul de sec{ iune paralel cuplanul QQ'. El secl ioncazA conuI dupi oparabolS, deoarece cste paralel cu gcncratoareade contact (sa, s 'a ') a planului tangent ee' .Virful proiec{iei orizontale este punctul in caretangenta la curbd este perpendiculara pe proiec-{.ia orizontald a generatoarei SA cu care planulde- sec{ iune este paralel . Axa proiec{ iei or izon-tale este paralelS cu proiecf ia or izontald ageneratoarei SA. Se duce prin s dreapta so,con! inut i in planul Q ; i perpendicular l pe sa.Din o se duc tangentele oa gi ob ;i se intersec-teazi- generatoarea sb cu planul P. (Se obfinevir lul 0 al proiecf iei or izontale, unde

's-a

considerat h0 paraleld cu os). Virful proieclieiverticaie este punctul in care tangenta la cuibiieste perpendiculal i pe proiecl ia vert icald ageneratoarei SA cu care planui de secfiune esteparalel . . Se duce pr in s ' perpendiculara s 'r ' peurma P',"con{inuid in plandl e, Qi din Lrrma rse rluc tangentele ta ;i rc. Planul tangent

Canullnt .relea') .rn i ilra-Et ie

xn"

, /.\

IIi l .

757

"t' 1

f : ' D g6'6

89IutJd lBp d eJBJeJeo uBld un-JluJJd uol lsef," ut::.-yllir1. eulrurelep as !g .e;iea1'o:d ap fi1uorf6tnyl3 u! lenlls crer un alse eruolrarlf ;ir.rpc e 16!,^. 't) S ;nlcund uI Inlrl^ nr uof, uri praprsuocAS OI 'S:INOUVSSO VIiVUNCIJNO] NIUd AN-v'rd uolrNnrlsas vsuvNrwusJgii-.z.a.o

Lr,p^:llr_1 n4ued FoJeuy .,;9n ':,,n ug'"!";ur'j]

*; '^ ,'dFl

:jl:il:19 ap aueld'ap' ",',51s,, pi,oi, .r;"';j' , : r - - - -1" " t ' orrvy v ldJ uJ

l l_un]!r?. 'toJelcund elaior ,a.iecr;ua.t i3 .ju,p.roJp ! !u l l uUd BUnzet erp:r l r ra,r rzr i r : ' rn ' .1 rD,."l l]Tll, ulrd Fllnzer e1ecr1.ra,r. erirJro.rd '.rer'drg fr e/'rcd alsa l1un1fgp_:i gluluozlio ntira,orj

-l_ar!Jn-tllr..rr eurrn ed p1nura16e ri ,aricaro.ld

:?-. l l" lg _"p ualsrs lnou uI .elerurolap 1e1o1aredB uor uJ eaunrfrag . lels,t a1sa" inlnuoc

I? IBJTIJaA 1ua;ede JnluoJ '1nou . lur tys' alsa

rnlnuoJ rnlnJrl^ q Flerjtr.reA alfcalo:d enoN .,dFIBcTUaA uur:n ad ap (,ru ,ur)

W lnltuncl ^i*zua"z

-f f ln as 1S.t la_ui dTrxro u,."r-ulrurre nr luad

:!: _Bq,-6 'FtO }ara lpder ap 1nuu1d uJ ,dd 1nun1fpruJoJsueJ] aJBJ ,arfraro:d ap lerrtJa-,r- uejd

9P : ]gqrrqrs o acBJ aq .erfraro.rd ap' Ieluozrrol l i t lq ut ]Bnl ls.rrer un alsa es ea:do1ia:rp .rer_'-!:. 't lg lnlcund alsa rnlnuor InJTIA .1'uu1ia;otriuplc u! aunrloas ep 1n1nue;d !;rpur.roEsuu.rlBpoletu puIZ!llln .alecaleo

d uu;d un_l1ug.rd :eJ1qouof, un-4ul pue;d ueungiras augrulelap as p5'INVIf,sloUd NV'Id NI :rNntltgS qg-flfr\-nNv'rd UuvwuoJSNVUr voor3fuJt6j

.,d r$ n lugs alcund al$'rnlnuoJ,ale 1ua:ede Jnluoc ap alareolerauaFd InuBlo .nJ puJlJaslalur ul lqo as lualedel l ] .1luot €d r lBnlrs i lunrfras alr l rund .alerr l rr l

Pl ! t9!"r l ln l rJ^ ' ,1 .p] lnzrU . ,s, , nr e ierr l . ran

: l l l . t_"-r j r11 u1a1e:er l alsa r i ( , j ,e) uud oro:1: jBr

qld?erp o udnp 6 lnuu;d'nr uzealrarretruras ( ,) ,s 'Js) raruolu.tauoF 1nFun1 uJ rnlnuo)

| ,)'l tde

uni ir i ier.dru

LA-,SE

, S ' )

rnulmeaprin

proiecf:e. Si se determine sectiunea in acestcilindrri printr-un plan oarecare P dat prin urme.

mnnre este un cerc situat in planul orizontal de diametri perpendiculari in cerc. Astfel, planul R

Fig' 9'29 Se utilileazh de- asemenea "oniigu.uiiu

1uiDesargues, alegind ca dreaptir auxfliara para-

mne. Pentru construc!ia sec{iuni i se va uti l iz" l : ] : lg' .F, ') ^dusl, 1a generatoarele ci l indiului

,w:r,.:guralia lui Desarg'ue-s (fig. g.ig). O ai"upia 1,1]g 9.30). Aceastd paralel.i are.urma orizontalau.'-=ire'clusa prin i ir tui S(s, s') al conjlul ! ! l ^- lJ t i

int i lne;te in,.(o, o') planul P. Ser,i: irrrTrz orizbntalir (ft, tt;t' El- inturcucteaza :91:i99t', planele auxiliare care .trec Pri!r r. .ul de sec{iune P in'punciul '(o, o'). Planelc. 1;e3st1 a.relPl.u Ei prin -generatoarele A, C, Bur .: iare dus! prin aceist i areapi;r iu uirnete !t , ?;,P"|?itcf l i le curbei de secliune sint (aiB8,rir: orizontale:convergente in urma h. D; i_1,!^-?,) ' .^_Ramuri le vizibi le in cele r loui ilmr-lrr1€2, dreptele de it tersecf ie dintre ptanut R proiec{i i sint indicate pe epurS'r, - i :este plane. auxil iare trec ioate prin'punctulff iecTluNEA pLANA IN cILtNDRU pRIN'r : '1. Astfel, urma orizontald

- a . planului \^gff iR ntRmEf RILOR CONJUGATT.'Se;;:r,r"t I -iar..du.s_ prll.generatoarea SA gi dreapta sideri un cilindru oblic, a cirui-direitoare estelr,tL'l,iard (sf, s'hl) este. haag, iar &od

"ll" un cerc situat in planui orizontal de proieciie,lr: ,dt i? orizontald a.dreptei d_e interseclie cu centrul (<o, <o,) '(f ig. g.Bt). Fi* pp,; i ;"; f i ;i r [r: : ie acest plan.; i .planul P..Proiec{iu puf secfiune. Si se'aite?mine'el ipia d"' i l f i ; ;' : tr- re;te in a proiec{ia sa_. -Rezult i a'pe s'a'. prin_ doi diametri conjugafi

" j} gi p,,v ai 's[ i .+rrr i :-og se determinl.ceielalte puncte ale sec- fvident, centrul (. , ct) i t 'seci luni i 'se gise;te

"t-" i . ducind^planele^ auxil iare ,prin. genera- 1a intersec{ia dintie planul r le'sec!iunel, i ,",uru,rt ie F, D, q,.F qi c. In punctele.(., . ' l^! i d, d' a, suprafelei c-i i indrice. planele R'; i aur" --'), tangentele la. curba de sectiune sint duse prin d4a guprafglei ciiinaiice vor recdioni'r,ut-,: ,rtale gi paralele cu urma P. Pentru supraiafa ci l indricd aipa.i ie a"ud generatoare,r l lurt=:minarea -punctului.de. intersecfie (o, o') pe care se vor situa extremitd{i le diametri lor

'r : t i l izat planul de nivel H'. . . qqn:fgati, dacd urmele R gi o'vo.- i i p"rpen_

:llt 5t consideri un cilindru oblic, a cirui direc- diculare, adicl dacd ele'voi constitui ̂doi

159

1

09I

"ariJaroJd ep [BluozrJo InuBId ad es ea:eolJaJrpm lezaSe '1derp JelnJJrc uoc un r$ ( ,q,u'qu)Jr;o:d ap pldearp o arlurp arfaes.lalur ap rolal-:und elrrfcalo;d runce euruJolap as ps 'lollsv-relncrlrud zeJ un rS eraprsuoc aleod eg 'alelnpJericasralul ap (,d 'd) lS (,o 'r) elelcund ug q@dea.rp JSaulIluI areolerauaF olsaJv '(,6,s '6s) r$il1.1,s '1s) alaJeoleJaua8 gdnp Inuoc pzpauorlcaserpr d 1nua1d rsourJap V lS O a1a1da.rq '(,I '>l)e1sa RIB+LrozrJo Frurn rarpJ B 'V : SW uldua:p'ilJnp as lS g eldee.rp ad (,ru 'ru) W Jurlrqreprund un eFale ag '(ge'O 'Fg) q ralda-rp B plu]{rozrJo uur;n ( ,q 'q) r$ rnlnuoJ InJJJA (,s 's) SntC 'aJiragord ap luluozlro 1nuu1d u! lunllsila'L un elsa eJBolf,allp lnJP3 u f,llqo uo3 un

t,P,tr l ' ,Q,u : a(,uour)

: :epeiy

",p, lU' ,QrU : ,e, tU. , lu i J PJIpB t ;+: #

J1?O

' ,e,U.,u,J : a( ,urou) : leJlsy'JJaJ un elsa ntfeds ulp otu .rolalcund 1e

,;lrlauroaF Incol pJ aIBJB as FS 'oru alsa (,ur 'ru) Wrrlnlcund paralequU 'J luorJ ap 1nuu1d ad;rJJ lsaJe alBqBJ aS '(,uJ 'ur) W lnpund 1a r$arrfuoc aJBJ ',e,f, nJleuBrp ap lncJac gdnp lnuocq,zeauorfces lcund lsace ur:d snp ,H lalru ap[]ueld 'aunlfces FlsBeJB ed 1en1rs leund rnun{ qletl}Jol erftaro.rd ,ur elC ',p,q alsa runrfcasep laJlse laun B FIBJTIJOA erfraror6 'e1a1ered-:1ue tunrfcas allunu 'a:e1nr.l1t runrfcas uol uIry:rrurJalop 'l lulJap 1a;1se '4 lnueyd nr a1a1e:edlrder ap elaueld 'ar icalord op IEluoztJo 1nuu1dT) rnlnLroJ B luoJJ op (,u,s 'us) es:uo1u:auaFfi'r leruJoJ lnrqFun olsa D 1nr qFun 'rnlnuoJ

plc6t6

$ (,p 'p) O plduerp o equlp agfcas.relul ap rolel 'f

/,-und a1;;iregord au;urelep as pS 'NOO-!I|0.JL /'vrdvauo o lrurNrq vrlf,ssderv:p

E (,q,s 'qs) trLroJJ ap BaJr?oltsJauaF nr zc lnrqFunE (,q,s 'gs/ lLroJJ ap BsJr?oltsJauad nJ 7c Inri lDun

Y3lU0Nlllf, RVS a)EJ arer.',66 lpdec ap 1nuu1d Fraplsuor aS

Y3|NO3 ytVlVUanS O lS ^!qg,p,:illiJnrrar luIS 'Bereolrarrp nr erllalouo

yrdvaud o IdrNia vrlf,rsuilNi .e.o 5l.il'i,;,"'#" Xp","1".1X"',it ';;:,l,iilrllnlll';.I"

il#i;'lxfi i,","?"11.,",,i"",?if""3ir,,,rj;i?lt'efulrn$n nr rnpap os sunlfcas "p.fjl:y h'""1 ir$fii""*:r*4.ffi"$ffi;ril l,At;

$TfJ"F'i",if",'# i#,,i/';,";1il;":"Jolil'J'J :il *f-ilinlvuvdriNv vanniisEi: o:'ajo'1feFn[uoc rJloruBrp ]op rolal o{B

alu)tlJal altricero-rd ri uncatd 'rr r$ rl alaloundFqluralap as Foluuy 'q IS 3 urp alareole;auaFad d ti ro up 3rn" 'rqc eleluozl.lo atf calordep eldea.rp pdnp d 1aue1d nr lzualrasralu! os

{}\s:o ;'""t.I

mat detulLr i cule capat' terminani ant i -stfel det icald a

PlanulIioneazacon!ine

est cercrnctuluinmetr icrc.

,PTA

REAPTAle punc-ld, d') 9iun cerc

:!ie. Fitr orizon-In punc:se duct

tala esttrl P carefs l , s ' l '

: dreaptartersecli'ent icular.le punc-ile profi.gezat c:.noiec! ie

Irig. e.3li l**\\ L*--"-lL9.3.2JNTERSECT|A DTNTRE O DREAPTA

til*:rr-un procerleu cunoscut se afll urma ori- -Tfl3fi clLlNDRU. Sd se determine.proiecfiilenr;rr:ala (h; h') a dreptei de profil (ab, a'b') punctelor.de intersecfie.dintre o dreaptl D (d, d')rl. g.g+). Se considerd 4e asemenea ,r*i gi, un cilindru, a clrui directoare este un cerc*rur'::ntald'(k, k') a dreptei D (d, d'), dush prin sitult, il planul orizontal de proiecfie.., Se

"r:;i conului ;i prin'punctd

'A (a, a'). Pla- considerd,. de asemenea un punct arbitrar::rL P, deternihai de ̂ dreptele concurente D nA (T'.t'l PS dreapta D, prin care se ducen ab, u;U;j, ...iioneazh ionul dupi genera- paralell"f (I,. 8').la generatoarele cilindruluii ir ,r. : . ie lst, l i t '1 gi 1sZ, s'2'). Se obfin pinctele l f iSt VS!) Planul P format din dreptele Du .::teisecfie (o,'") 6i (p,'p'). :;r.o ;,.,:J;T:rr,ir;1,#r3',X"?i,,,u.",liJrlT'il:

tersecl ie (o, o ') qi (8, p ') cdutate. DacI urmaorizontall P nu intilnegte directoarea cilindru-Iui , dreapta D nu intersecteaza acest ci l indru.

9.4. DESFA9URATELE SUPRAFETELORcoNtcE gt ctLtNDRlcE ; \ \

9.4.1. TEOREMA LUI OLMER. Sd se demon-streze teerema lui Olivier: Transformata prindesfdgurare a secliunii oblinute cu un planinlr-un con (cilindru) prezintd inflexiuni tnpunctele in care planul tangent la can (cilindru)este perpendicular pe planul secant. Fie o su-prafafd conicd oarecare, cu virful in punctulS, in care se inscrie o pirarnidd SQ1M1A1B1N1,ale clrei laturi Q1M1, M1Ar, ArBr, BrN, sintinf in i t mici ( f ig. 9.36). Se poate asimi la planultangent conului cu planul felei SA'B, ;i fieP- planul de secl iune perpendicular pe falaSArBr. Secf iunea obf iriuti in piramidir iuacest plan este linia frinta QMABN. Deoarece

161

^ :Fl lnzaJ,u,{ ,9 InrqFunrJ}

/g/{ = A ord 'Rprosl lurs o a}se aunrlcas/s / - r "_ " ! . f vur l r+Joip reqJnJ 3 aJBJnsBJSap urJd BIBTUJoISuBJlE.\epe-rlu; Br azerlsuouap es FS .p1 : qf epuri

J alsa Flernsp;sap u1 eluaFuel aunrxallui apnq.un-Jlul 'Al loru, lSelare nJluad . t l l : IWun '0rll a1s9 (rrl ,r)) lnlrund u1 auniires ap

,I"_nt 1a1uaFue1 ele. lnSplseq . ,g,p: ,d,q -_

: 0SO : 0€lg ,, i ' ,8'- oov ,, i ,e' l 'o,rC i j" l trv' (or 'o.Blr)

!.\l lO Inl roua.Ipal rrlJoJuor ,og 15 ofl ul aunrxalJ

t ap alcund F1Ap aJB 3.1s3 ;o1o6o710S0" Bptoiuls

^alsa aunrfcas. ap raqJnJ uleru.lojsuerl ' .rer

bnIgOVNOX3 plduarp ef lnluaur8ad also rn1I I rJ raJBol)elrp u are;nSelsap ur:d plrurJol

0t'6 'F!.{

bY

6t '6 '3tc

0 ulsr{ :A

:rue^B I : f , nr luad nes

0 uls U.t t l : f: IJOP

'0ulsU:su:,u,{: JBC

= ,{,g nes 14 : luBlsuoc : #

z9l

l-r-u:]+ ,FInr11ra.r urfcerord ug erur.rpur Flsrp^opBT ullqo as 'alBrrlro^ pullJ rnJnrpurlrr alarBollY_liu"p

'le uJ pslrrsul pleuoFoico FIEcrire^:ur:Ird nr Inrpurlrr BIrrursB aleod a5 .(og.o ' .Fu)

IBJTIJaA lnlntpurJrJ le leluoztJo luarede 1nrn1:Y3: nt, Ppunjuor os rrunl i ras e vpluozrro: j l : . " i : : l j " l ' /d PIBJltrrn Burn ad 1nu:b16e , ,1,rlnlualdJS alsa rrunrfras E Blprr l . re, ,r ei lcaioj6'Fplosnuls o alse eunrff,es ep raipni n ,ruihspls"!y^!j9_EY-yr:I:yuit pr a1u.re es ps r$ aunriciJ eiraqJnJ p \,n

,r/) aJBJeJBo lrund un_4uj ;a1uaF-uu1 ulern$"Isap Rrsuln4suor as pS .aiiialoro

:l Jyluozlro lnue;d g$ aunricas ap fnuzio ailu1sulronf, nrputllJ ep InrqJunrl aruo$p5sap as pg'ar l rarord ap le luozrro 1nue1d ug' i i ;n j ls crarLrn olsa aJeolJeJrp pqJnJ rnJpJ e ,1da:p relnc"rrJ nJpurlrJ un pzeouorfras ,dd lgdec Jp ueldUO OI ' 'IVINOUJ IN'INUONIII,C V IS ,IV)iI-u:rA rntnuoNrlrf, vrvunsvjsga z I o

'aunualtut ap Tcund u?t jJrllpyutz,ud nu rtuntins o aiotisnisap uud olnw)o!'sy,,,,,,,,,,,,,,,u1 'Tuncas 1nun7d ad qtfuiupuadt)d a$;lnlnuoc ayatooTotauad utp oun pJoC[ :erienrasqg'(Sg'O 'Fl l ) g = V uI aunrxolJur op l rund urrp_+tll,zard arB) BqJtJ aJlpJ opurl ONgV{,W gluuo8-t loo BJU.IJ 'F i t rur l uf . (19.6 .Ft t )

V ralda.rp e:1]:

.p ls,alrBd o rp 0N 1i o6r Lr l lpqBr rs N ls wnl?ll"ng 'gVS laieJ 1nue1d ad epnire:rd fju!:nS-RJSep 'eznvr ptrsearp ulg . ,d > d i . 'n {nylqzar 'a:elnrrpLrad.rad 1u3s gVS IS 4 Jlaur ld

Bt'6 FIC

ci l indru-IAQBMC,ste sinu-te de in-ui Ol iv ier

--r DBo :la curba

fpj, unde'un puncleste I 81,

ftr-adevbrurbei der '8 ' . Din

, 'k 'n ' .

Fig. 9.42

.liP 5t consideri un cilindru, a cirui curbd,Minreiitoare este un cerc situat in planul orizontalW proiecfie gi ale cirui generatoare sint fron-illhufr" Sn se desfiqoale acest cilindru. Se con-+'Ltr : i .p lanl l de- capit pp' perpendicular pe@m*:atoarele c i l indiului ( f ia. '9.41). Acestuulfrtu- di in cilindru o sec{iune noimali, a:ii-^-: miri me adevlratii cogo7o 80 se ob!inepun'r::-o_rabatere pe planul orizontal de pro-Itlr' i-- =. Transformata Irin desfigurare a acesteittltNlrl-:ni normale este seglneniul de dreaptlryrrl*h-*d-oao (fig. 9.42). Intrucit adevdratele lun-'tW

il, ale generatoarelor cilindrului sint cu-ittlttlntltrlris:'-re, fiind frontale, se ob{ine transformatapmmr :esfagurare a directoarei cilindrului care

cular drept cu virful in punctul S (s, s') duplo elipsl. S[ se desfigoare conul gi s[ se construiasci transformata prin desfigurare a sec-tjunii eliptice. Se consiclerl generatoarele A,B,C,D,E,F,M gi N, care se intersecteazd cuplanul P ( f ig. 9.43). SecJiunea el ipt icd ob{inutd?re proiecf i i le (apyDegpr,v, e 'g 'T '3 'e 'g 'p 'v ' ) .Adev-dratele lungimi' ale segmentblor cilprinJepe generatoare intre virful conului gi planulde secliune rezultA prin rotirea gener'atoarelorin pozilia frontald (sa, s'a'). Pentru desflsurarese asimi leaza conul cu piramida octogonal iinscrisd in el gi se procedeazd ca in cazul poli-edrelor. Se considerd desflgurarea conului peplanul tangent la con in lungul generatoareiSA (f ig. 9.44). Transformata pr in desfd;urare aseci iuni i el ipt ice este psveDscr,oeoyopogo. In punc-tele as ;i ps, tangentele sint perpendiculare pegeneratoarele respective. Punctele de inflexiuneale transformatei prin desfigurare ps $i pro sintsituate pe generatoarele SR gi SRr. Acestegeneratoare se oblin ducind planele tangenteQ $i Qr la con pr in dreapta (sk, s 'k ' ) , perpen-

iliililttltlg :re inflexiuni in punctele B si D. Astfell f r i i , ' t* , , .e 'T' , Aas: a 'a '$i DDo : Bbo : d,8,. :: I ! ' . De asemenea: lD:JB: i8o: j8, , . Des-:frlflfuu,nrLr"ra tangentei in punctul {u, u/)'

'curentrrrr i ' __:rei de secf iune este TM.lflilF l::tru desfdqurarea unui cilindru oarecare:w :rr:l:tueazd o schimbare de plan vertical (sautumn'; :r :al) de proiecf ie gi se- reduce problemarlll l ltti ::= tratata in acest exemolu.

:_ DESFA$URATA CONULUT CTRCULARPT $t A coNULUr CTRCULAR OBLTC.

Fio Q 4l

Fig. 9.43

lllP Hanul'de capit PP' secfioneare conut cir-

i63

r'9I

gt '6 'Frc

milmlrudl ,ffillrir,itl]liillllllflxrlr 1iffi1

,,jfrlli,rillllllllllllllffillU

r.mrTJuri,,ii]llrwltWlill|l

'w;ilr)wurulI|m ._---mmmil

m['

9t'6 '8l i l

i1 :ulflllilillllllllll

[[]. illi]llI|lllllllllllilllri

'[llT rWl]lllllili,

;;,,Jlllflllllllllill1illlll!.]

illffii l;rilrlLrllilllllllills,

mi ;'lilililillilllu

m :lr:illxjfililllllllf

L iiiiliillllillllllll

I1[; ;]t,iililulLlilll

rt tr iii ii]lli lilllll L'."itii]Ilr,,,,,iiiifi11llllllll I

: trjimiillilllllllllillllllfii

i l i i l i l,,,Ii| l|ll lLllll

(:'\\ i i\ r \ \ l r ,N4:,/

'1e u1 psr:rsu1 eprurerrd nJ InuoJ plrJlrrxrsv 'SrnlnJrJ^ IE ]uor] ap Inuelo uJ al-npurloJ 'aJBolEJ-auaF ;olsare aie rurr8unl alo1e.rplape uriqo ag'( ,rr ,g ,a,d,d , \ , ) ' ,d, i ,o ' r rg edt '1l 'dr ln) 1u1s aunl i-ras op rasdrla alrr i rero-r6 ' (gt 'O 'Fl l ) N I$ O'A' ,{'g '"I 'O'U '1,11'y alereolerauaF aunrfcas ap 1nue1dnJ pzeatrJasralur aS '4 lpduc ep uuld un-l1uJ.rduoJ u! alunlJele llunriras u arutn$u;sep ulrduletuJolsu"Jl ursuespF as ps ;6 uor lsare areo$-gtrsap es u5 'alirarord ap luluozuo 1nuu1d u1lenlls f,JeJ un elso eJpolJeJtp rnJpJ u (,s 's) Slnlcund u! lnIJ!^ nr rllqo lnuoJ RJeplsuof, eS 06

'ul = NI Jpun '^Ialsa (,rr,1 ',r1) ralueFuel. ulerntugsag'(tam1g rnynluuoal u-roluoc) trrrecas ynuuld ad ateyncrp

t't ti '8t,I

! f rg

.r'!tlll lffilffi

-?]LrozrJo 1nue1d ad (,r) 'd) rnlnlrund r araluqr.r--:1ut.td autiqo as lorlul aruriEnr BlBJplapV 'au.tlJ-?uI eJ BAJasuoJ es (,1,21,u 'lzlur) rnlnrqFuntrlaare.lniplsep ul BJ BAJasqo aS 'aluaFuul ralsereiturnSp;sap a1$arn;1suor .as aunrloas ap raqrnJ'e luaJnJ lcund un-Jlu1 (,d,1 'rl1) uluaFuelrulraprsuoJ '(gl'O 'Fg) aunriras ap rasdrlai a:e;nielsap urrd BlBurJoJs^LrBJ] t$ pllnzaJ?tepoloJ 'WS raruolu:auaF lnFuni uI rnlnuor:uaFuel 1nue1d ad rnlnuor ule.rnSelsep aurfqo os

il I,1il1.-llliilll'rillllr

firnllr .,,,,ii iflillil llllll

I lrtl;*. rillllllll

tangenilotodati,;urare ersiderindrrent alsflquratafiqurarear ca ma-r pr intr-cor izontal

li: oroicc{ie. Se poaie lua t pe desfdqurata lari:;rsecJia acelor de cerc de raze p.nt Ei mt cu

:srirele respectiv in pr Ei M.

s5. TNTERSECIIA SUPRAFETELOR CONTCE9r CTHNDRtCE

- :ersecf ia suprafe{elor conice gi c i l indr ice ser"r:eazd pe aceleaEi elemente cu care s-au studiat;:ersecfia poliedrelor, cu singura deosebire ar.xuir i i pol igoanelor de baza ale pol iedrelort.rir curbele directoare ale suprafefelor res-:ertirre. in plus apar in acest studiu problemet<ate de determinarea numdrului ;i a naturii- r :ur i lor inf ini te care se pot i r r i in intersecl ia',;:rafefelor conice ;i cilindrice. Se vor expune-:rar c i l .eva t ipur i de intersecf i i mai deose-

I ' :e. dind pentru f iecare exemplu in parte1:-rra, modul de unire a punctelor, precum ; i' i . ;d iu l v iz ib i l i tat i i intersecj ie i .

J.i I . ] INTERSECTIA DINTRE DOI CILINDRI." Si se construiascd. intersecfia intre doi

:iitindri oblici ale cXror curbe directoare sint.funrd cercuri situate in planul orizontal demoiecfie. Cu ajutorul punciului S (s, s') serctermind planul P paralel cu generatoareler:bi lor c i l indr i ( f ig. 9.a7). Planele auxi l iareF care vor f i ut i l izate sint paralele cu planulD Planele l imit i s int P1 $i Pz. Diagramele

o 9 c e - 707 b tt 2

0tizon{o/ !n-i

F'ig. 9.48 \4a

' l/ertfto/

Fig. 9.49

pentru sludiul intersectiei sint urntitoarele(f ig. 9.48 ; i 9.49). Intersec{ ia este o rupere.Ramuri le viz ibi le in proiecl ia or izontal l a1ecurbei strimbe de interseclie sint Tr-er-pr---vr-Fr-p1, iar in proiec{ ia ̂vert icala p'-0i--pi-Pi qi c ' -0 '-p '-a| I i r punctele si tuatepe generatoarele de contur aparent, proiec{iilecurbei de ilterseclie sint tangente acestor ge-rteratoare. In proiectia vertical5, in a' curbade interseitie prezintl un punct de intoarcere,deoarece cele doua generatoare de contur aparentvertical A 9i N sint concurente. Tangenta inacest punct la c#ba de intersec{ie este dreaptlde capit. Pentqu studiul interseciiei se poate

grl ica ; i metoda rnobi lului ( f ig. 9.50).,"'2o'Sd se construiiscl intersec{ia dintre un ci-1 lindru circular'riertical qi un cilindru circular

frontal, axele celor doul suprafele nefiind

E

t

n

11

l ' J , , o,g, c,e ' _ /0 1 'b ' 4 'Z '

165

7m',&i

&r*t' ,*

rilll

'i$" lllll'qlr r r

i l

I il{iriritliltil]n]llllt||illlllillILlffi rJ]lrTlllllllllllilfi lnDllF T t rdlll

rl iiiiltlliliililillllilllll j

J0[, r ]trllllill|[Ill'

ffilrnilil .,lilllllllllllfiimllrl

q{m,iliqillll0nffir

ry illlllllilllp$

r@lllllflfilltllflUmr';,

rJrJ nJpulllr. un ls lmlile^ JBInf,JJs nJp_ru.I,".un eJlulp stiJJsJelut

"Js?rnJlsuoJ es F$.

"i

alBnlJs olelrund uI 'aJadnJ o alsa BrlJasroJul! 6 'FlJ) eur lqo es inlnlrqou Epoleu pultr ldVrJSounJ elepoleu ulp Eun nJ nes lcaJrprJoJd elBod 3s arlJJSJelUl ap JolsJcund eatrun:uad ' tJ r$ rg lugs pl tul l a lauEld .(ag.O .FU)I IUOJJ OUBId IUIS IEZJUIN NB.S EIBJ EJEII

BprJuroJ es l l ruJ laJlse , le luor j tnlnJpurlrJ r3Jpol

-JaJrp JB lBdpr ap InuEld eiSolor ag jaier l lxnealauslo ep eleurulralep luls arpJ , lBluorJ rnlnrp-ur lrJ rolorBolBJouaF alB JIpJr lJaA alrr fcaior i taJBserau luJ: ' lBluorJ_ inrpurl l r nr ( iua;nc"IEII Ixnp LrEId un elsr 6J apun) U l5 6"rg r*alPJr lJeA aleJeoJpJaueF elras;a1ur B nJluad . lBrp-orur Rl lnzal 'nrplrr l r r +lptp. lar rseulJlul IBluorJrnlnJpurl lJ elB IBJr l le^ rs IB]uozrJo luoJBd;lJrluor.ep alarEolu:ouaF e.rer ug ]e r$ ,e

,r), ,),' Id ' rd ' In ' ,n aiapun6 ' t ruoJl op a. ler l rxneauuld Ezr1ln ro^ oS .(tg

O FU) aluernruof,

rB a IauE Id'eluluozlJo-oluoJl e le$ole.lauaF nr

?leluozrJo erfraro-r4 ' ,H Iolru ap 1nue1d nc

rrru FrpJ ?urlqo es rarlrasralur "l:lji3.|',l5: :un 'alaund alBlalar,nr iuad Foleuy . ,g

lS ,ZraJeolJat.rp rnlnueld er lelor ulp aJJeoluJrJrB ap, IS I t uJ p) lplJ as ,nlduaxo ap ,r /

:lund 'hol pzBl ap inJJaJ alsa ra:eo1'tarrp

Z,l,/o J(7

(r'/./r

a''/.tr

CtSta'l ,td

t t ' ) )3

u- /1ce/pJ./ /,/t?./ z./^

p/J2ecJeJu/

u"D./pL/.t//r

,ffi

rtneratoarele de contur aparent vertical,rr ! ia vert ical | a curbei de i rr tersect ie.:lgentl acestor generatoare

i ; l . INTERSECTTA DTNTRE DOUA Ctirr lURl." 'SI se construiasci intersectia dintre doud*sfiuri ale cfiror virfuri sint situate in planul

urizontal de proiecfie gi ale clror directoares,int doui cercuri confinute respectiv de planele'r"erticale PEi Q. Fie S (s, s') Ei T (t, t ') virfuriie: : ,or doud conuri ( f ig. 9.54). Planele auxi l iare:;re vor fi util izate trec prin dreapta ST.' -- inele

acestor plane 'auxi l iare pe planeleF: i Q sint convergenle in punctele K; i Kr Ei: :ncurente pe dreapta de intersecl ie dintre:.anele P si Q. Pentru trasarea acestor urme

pro-este

Fig. 9.55

se rabat planele P ; i Q pe planul or izontal deproiec! ie. Tabloul studiului intersec{ iei dat demetoda mobi lului este urmdtorul ( f ig. 9.55).Intersecf ia estc o pi trundere a conului S pr in

ul T.2o pd se construiascd intersecfia dintre douiissfiuri circulare drepte egale, cu axele con-

kr

\4

curente, agezate respectiv pe planele orizontalgi lateral de proiecfie. Fie S (s, s') Ei T (t, t ')v ir fur i le celor doua conuri ; i (hw, h'w') dreaptacare uneEte aceste vir fur i ( l ig. 9.56). UrmeleorizontalS gi laterali ale acestei drepte sinth ; i w". Toate urmele or izontale ; i lateraleale planelor auxi l iare duse pr in aceastd dreaptasint convergente in aceste puncte. Proieclii le&' , 9 ' , 8 ' ; i g ' rezuitd imediat. Intersecj iase conpune conform teoremei Monge din celedoua el ipse ale cdror plane sint de capdt ; i seproiecteazd vert ical dupl segmentele a '9 'g i8'<p'. Cele doud puncte comune acestor douieiipse care se proiecteazd vertical in t' seobl in cu planul l imi t i PP". Punctele 1,2,3 ; i 4situate pe coirturul aparent orizontal se oblincu planul QQ".

th tersectio

vizi6i/itote

167

,yt:.f"Il? B FrEtlua;u'l nrdurs "rffi":i;$._:J.:"..ylliasralut .]rarrp ace; 1od as' rariris-=lu^!

. IJ! l_! l !qtzt^ lnrpnls ;$ Jolalcund e".uup'1"?,s 'Bs) alBluoJJ lareole.lauaF -!rc r$ l, ur iS

1 !ni"?l,tr:y.".?.1:_ ls ,o uI . ,3 raieolerbues";i.

F ,^ HJ Rluaduel also alfcas:aiur ap req.rirc

BS.6 .31:l

89rB pJ?JIUaA. erfoaror4 .rnJnuoc B eJBolJeJJp::l,it:._'.I.-l: ' uq r$ 141 raiebtre;auaF.rrt r$ rt uIp.t-1.dy-11

?lsa arfcas.ralut 9p loqrnr e Rle+uoz:Ijo _:t-tllgrd'a:eo1pz-undiarbc' ala.reoid_rdue8a: ?JPlllozlro utl".:l?jq uJp a1e1c'und puJctp^lj :-"lp.p et ptpl!l?^ eifcoroij_ .erfaasrelur:l,.ltlr-lr e p9tuazlro eilcaror:b gri,ur:eiap::.llTIl{Pqltc lnxp

-1{ ylg!n"rpuedred ejse rxrs:p:l]- "tl"."ro-rd ep. 1ec11;err ueld ap .i,iq*1q",l:lluljg

'(og'o 'Eu) trep rnlnuoi lnir;n i,', ,ljsojd-^.lnlnuoJ Iu p,luozlro ;nlriul1o iuaAuujt:11931ro J"lmr!f, n1lylui un ic'ariciror,i "p l"i-uozgo 1nuu1d ed rolrerlp ;nc.rir ni lrizesu ig_rhuoc un erlulp u;iresralu! fosurn.4suor oi

:-,i1:. :]lresratur (eg.o EU) ,*"ru*iTffilll1q_qo,u -Bpolaru "g l"F rerlSasialul^ ynln1pn1,lX: . {q:{ ' 'd rs d tyJS'^r i lu i l r n15ub; i ' .12e.6^o. l{l_ ̂njn t t l*ne a Jaue 1d aleoi cjrl irr"' T,,r,i"fi i:1"1.1qi|9 raldarp z p1eci1.ra.r. prurn i,rt ,{)j:^.lT_lltr.' InJrr^ !:-jl q

"ls .a4ra;o)o e'f

lY:ltj:^ gS leluozg.ro alauuld u;'i;lreisar "1"n1Jsil;a"uxf'.iltf ."i,1i,mHljdm

-J€lu! PJsBln4suo, Irs Nof, Nn auJf

I

:I

,

F-:f,

5-

:

:<J

<

orizontale ale fronto-orizontalelor care se oblinpr in sect ionarea ci l indrului cu planele de niv 'el .tJnirea punctelor se face f i ra 'c l i f icul tate. In-punctelor se face fard difi

ie este o patrundere.

ERSECTTA DTNTRE O SUPRAFATAmreft+NDRTCA $r o SUPRAFATA

POLIEDRdintre un

se construiascl intersecf iar de capfrt gi o prismi

triunghiularl"-o5iici ABC situaii iu biza in

3i?i tl ;T:i,:?i " i?, 3;#:1',1, :rt:n,lffif l :,-,--;{,-l

- ' ,1')K\w')c)x--' ci l indrurui sint -pranere

de'caprt are crror* ,{ ff iH1'H-- urme verticalc au'direcf ia proiecii i lor rertl"rie."L-r- \V. / //,/l-V, ale muchiilor prismei (fi!. 9.61). Diagrama

W \, irilltr;;1i1,'1i,.'#f:':,1'"""ni".,J'fi,*'?tii;-**"-*- or izontalS a _intersec{ iei se corr ipunc r l in t ie i

' r'ig. r.sc \ ffi;Ue eliPsI. I

\ ) t Z" Sd'} se construiasci intersectia dintre un con

;_p T,j5:gi:ffiju3i{r..tl :i;\SlfiHr?fdi'l,f,j"*? lJ''#; iilT,*"l,lJ^J},*;lffi''J:$t'"W;Xt*1,':.ll*ll*: i:"]iil'*f;::iTil"#,:Jj:_ilr!"i:iiliil"lifirmnilmctie. S,i foidsesc olane auxiliare rte ;;"j '

(kr k').urna verticald. a.p-aralelei la muchiiieffi?,"??#";,ffiJ,it?e,11g,1'ffi,X""ilff1; i,,1.,,6i;;ff d,il'il;ii.#r"ifdl'g ou) pranerer : - .ndrul dupa fronto-or iz.olr tale 1f ig. S.OO1.' r ' i tc : : le de inferspct ie s i t r rc l l . na . rorroi . t^ , .^1, ,rni:mc:tle de intersectie situate pe geieiatoareieffi,L r{ ;i N rezultd'imediat. irenlru cletermi-ilmrie*r sun.1.lor p' $i gi de pe generatoarea B'roru :entru punctele curente de pe generatoareleLF.R ; i S se roteqte planul ad prot i t al uneialluL,"r :_rectoarele cilindrului astfel incit sd deviniiurmury:ai. I-n felul acesta pot fi trasate proieclii le

'nJput l ls ulJd rapruPrrd]rapunrlgd o alsa erllasJalul '(p r.{ c,q,nE 'FU) oloreolpurrn 1u1s rerirasralut Inrpnls-rad alau-erFelq 'fU 16 t5 1u1s Fllrull aleuBldzu:n ad elueJncuoJ ti t t$ r1 alalcund u1

OLT

-un| : (gg'Vt 'L) C :(gt W"OZI g :e,Ag,gt) V: ZZ : roparrp rnlnzlaj nzur : (bg ,w ,gl) Slnlnuor 1nttry :pilraunu afinnldy .CgV pluluoz-gro p.lu1n;qFunlrl ptuslrd o g$ ldirp .1qnrr;a-*uof, un eJlulp ulfcesralul prsplnJlsuof, es p-Sdg- \

'uoc urrd rausrfo=p*-"arapun:.19d o alse erfcasralul .15a-r1p alrun rJlod.rar lcasreiu-t elolJund - iueJnr I l ln Jpr lrxnpuBId un alsa td- InuBId ?a t$ rd luls Fl lul lslauuld 'y5 eldea;p urrd a1eo1 f,aJl ererlrxne

'8:anuoc iuJs ' ( ,9 'g)y eldearp urrd asnpi l rxne Joleueld ale 6 1nue1d ad rS aleluozi j i rnf?rlrxIrts Jolauelo alB d InUPIO AO 1S e|plUOZ

Nril!-, e[orurfl '(gS'O 'Fll) 4 1nue1d (,1 ,l) ut !$utt:aro.rd ap leluozrJo 1nue1d (,{ ,I) ug al$au

:u1 ' rapluerrd 1e (,s ,s) S lngrg.L ur:d esnp

;nrpurlrJ alaJeoleraua8 el ( ,9 ,g) y e1a1ere6u;rd 1up '4 lnuu1d ap plnulfuor elsa uzBq

Er u.CBVS Erllqo prulngqFunlrl pp;uru.rgdu$ 'alfrago.ld ap leluozlro 1nue1d u! Elunls

aJBolf,eJrp InJuf, u ,u;qo ru;nu!f, nJpullun eJlulp elfrasralul ar$ln4suoJ es pS ot

'aredn: o elsa elfres:a1u1 .lraJrp plntpJrleod :olapund Eerrun .:IS eateole;aua8ap_eJar rS rnlnuor ale aleluoJJ alerpoleJeu

i ad - alpnlts alairund alBu[rrJalop etnqeJl

:sr:d aprqcnu ad alunlrs alapund ap pjele'a1eFa ar1 FS atnqertr arirarord ap aueld ap

atsls Bnop alal uJ al fcas:a1ur ap :o1e1oundtoJ 'aJpJrJtJaA B:) 'p lpt l lJaA es erfcarordB Jet ' rar fcasralur e BlpluoztJo erf caro:d:qo as '1pder ep gurAap es eusr.ld 1glu1

r:!e FlBnlre;a ,arfcogo.ld ap 1ec11ra.t ueld apBqrulrlrs. o-rtrurrd .(ru.6 .FU)

lep rnlnuor InJr,. (,s 's) S al.{ ./g:,1 pwsttd nlqcnw nati6

69'6 'Ftc

u

g

e+'3. i - - ,

T-/

' : t i t r "

(

, .T-\ tL '

' , , oL' , . : , ,dI r . r " Y' . \: . '

\ r ' , t .\ r ' \ .'

, : t . ' -1 '

, . ) , :I

fIi{j

t1

t

I

,*\

r , \ "

\ 4-{- "\-"L{- |

II

f

r'| -, ,,--i i , ra=I d l - - t

^-. ' - .u-r- f f i

f e:r :ll

coi€.r*;i ste:er ie" ivri <i'.p€ !*'cie :e

l€llir :

€3 5a6bc

0rizonta/

It t vtv

|rizonla/

c' l ' 5'a' 6' b' c'

66f -

qqnq

6)

lln c;i*

! esn

' 5 i ocaJ-e

urTrxe"l ru- : ..1 i t - -

-

0neL..r :le i : '. i i .a: :fge::{,nePpe:::x" E!dlere l

Fig. 9.66 a, b, c, rt

i fr i , : r. RAMURI INFINITE IN INTERSECTIArs-pRAFETELOR CONTCE gr CtLTNDRTCE.lffi se deternrine num[rul $i natura ramurilorrdlnite in intersecfia dintie doui conuri alelrohn,r curbe directoare C Ei I sint situate inlpmrul orizontal de proiecfie. Fie S (s, s') ;illll i t') virfurile celor doui conuri lfig- g.67).

d'\

Fig. 9.67

Ca intersecf ia celor doud conuri sd aibd ranlur iinfinite trebuie gi este suficient sa existe inaceste doul conuri generatoare paralele. Sepoate veriiica acest lucru transportind unul

€,3' 5t a,6 ' 6t 6 '

17t

89'6 'BtC69 6 :Eki

rlcas ps erer retlrxne ueld iin aisrie gsl BauauasB aCJ 'lnuoJ azauorfcas Bs aJBJ

purlrJ BaJEolJaJrp pclpe .lnuoc aliaulglugnrpurltJ B lrurJur BI ap aJuole:auaF g _

?iluqut Pcnua{o plty lpeJ lcund un Eqt Q5>

g\4oqoaod grnuoag .quogo, ,1-rd prllg @

trqoqDlDd ilnuD! pno{

(4u6rcVoe/aq4nel !,noP alla PmPTopunlaoc claund nalog

ppelloq?rpd lihuDtlpt4o 4t2d / tf ,tD l,4o r' oa o0

elpPunJuoe'32und ?noo 21tl/lINlPta 3lDeJ zJ?und ono0 €

ar/logJailq tuneo! onooejau4.qp 14

tlaeJ e?tund onoo @e 2UOg t td/t/ trD uD J D q aJl

. .. 3]2u9e/P.!t'alooJ JJrund nr']pJ

g! /cs\ unuo? onoP

ra/p /e!J rr watu! 9/F tJtu|a.lo/unaD4 otnlau ls /n.,put4l

,t ti o &JarnttqutF s.pJeJeJUt4

JaleJrund fir,ounu

Iil, iirliixIlI

I

7,LT

t , /)r/

,9 '

rS d luls Fllqll rolauBld alB alEluozrroJil 'P .uJ eluedJer\uoc iuJs alpluoztJo JolJn JBI ',VS peJBolBJeuaF utJd a_lBol JaJl (rnl

urlrJ elaJBolBJaue8 nf, elalBJBd ,rnlnuoJ lB

inJrI^ urJd asnp arBt lrxne oleupid .rnlnJprirJ aloJ€olBJaueF nJ FIaIBJBd (,u,s ,us) y3rJ dldr_BulsJauar nJ FIaIBJB0 (/3/s .ps)

vs)lBJauoF o aurluoJ uoJ lsacy

larfcoroid

lPluozrJo lnueld uI +oi glBntrls ,J Fslqsul

rr pl lp o olsa aJBolJaJIp InJRc e rnlnulnJr}^ (/s 's) S eld '(Og'O 'Fll) arfraro-rd ap,ziro lriueld ,l glnnilt ',e gslqriig {qrnc bareolcerrp Jnrpr p _l$ (,p ,p) g erfcarrp ncred luls aJeolpJouaF rnJgc el? lnrpuryrc a1g

arerraue,p aloueld "" ;:iL:33:[ ;:'lllllt:

ueJuolleJlp pu!f, Inzslu! nJpullrt un g6 uor une4ulp ugfcasralug ul ellullul ellJnuBJ runf,ueuluJelap es gS .alrulJut

IJnuer r$ r.n,r 1odas arl3esJelur o-JluJ ,Rslr{)u! pqrnr o pFu1l ed'Bououese eo 'allJalrp unl8u ep elturJlil rJnur-BJ uullnuls eamde 1od arfraslalur l$baace u1

arasrnr, Errasralu! 1od as' !1?ru "i'jf,,$,,iil"-o0 BJonsB Bt lnJSrp noJqBl un-JluI eJluaJuoJ

aleod a5 'a1uaFue1 .ro1aue1d JolaruJn a1e arfcas-Jalur ap tl rS rr alalound urrd asnp acrloldurrsel t iseJlp enop alar.pl a1a1e:ed lurs e 16 g alelnpcaleloldlursv 'W lS N ,rW ,rN alelcund uJ areol-JaJrp aleqrnJ BI alo]uaFuel lurs ereolerouaFJolsace InFun[ uI tJnuoJ.Fnop ele] e1 aiuoFuel:o1eue1d alagrg .WI I$ rryg ires ur' rs lusalareoluraua8 ad 11u1;_u1 BI ap elalrund ug aialriSF-r{etr }uJl eruolezundsa.loc alaloldursv .arrlol-durse llfcarrp pnop Elepolol puliuaza.riier aruoi-eraua8 alsaf,p 'uq ,lurs 16 u; ,rus lugs rJnuo3pnop elal uI alalutud elaJuoleJaua8.la:ndaInzer uJ 'laJlsv 'trnuoJ Fnop alar u1 a1a1e:edrolaJeoleraua8 1nr^eunu 16 ogrrfca.rrp nep ij r$ 3alaqrn) arlurp arfcasralur ap alelrund .C EqJncnJ azelcasJalur os ps nu nes eleod t.1 eqrn3'JolaJpolcoJip lB lptruozrro 1nue1d a15au1;1ugJolrJnuoc Jol lJnJJI, \ eldualp aJEJ uI ( , { , {)

In}-Jund nJlrodeJ uI J nc Follalouo ,I; pq;nc o rgBA lslJoosuEJl I InlnuoJ B aJeolf,eJrp BnoN .Fp-lrulor ps lrnuor Fnop Jolac elrrnJrJA llrul le]lse'rsnsul Ia nJ laleJed (I nlduexa ap) r lnuoJ ulp

qradrq rnlnrpu_rlrJ a1e eloldturse alaueldlnun nr lalered rutpxne ueld un alsixa !s

arnqaJl aripnlrs plsBace u1 .(acrloqered nesIoqJadlq) alrurJut tJnruBJ lipsug ea ppesod

auo]foes areoleroua; ralsar' I"F";l"ir!"#i3lua8uul _1nue1d Jel,rnlnJpullrc eareblerauaFg1a1e:dd' ereblerairai 'o 'u65' ao pplxg -

'nJpurlrJ un 13 uoc un eJtrurp orfcosralurrul allullut IJnueJ earede iod arec ul rJnzet

luls 'ellullut rJnuIeJ 3Js nu lnlnJpulllx

int dou.l te intr- :ru.

alel i c -l lE lc l lL . .

: l roneal :

l indru l :I i ndru l :perbol ic='ebuie r"unul d lperbol i :r t rebui .rc{ ione::I t ra le al=

Pdr drr :

D3f€ €Si:

orizont:' i r ful cr-ia curb.ontal i .teratoa: lr le c i l i : 'v i r ful 5ci l indr:- .rr urne.:

Urme.rP,r i a

,5 ' pr in.secf iorrarea ci l indrului cu planul T s inttangente curbei r le intcrsecl i t . in punctul r le lair t f i r r i t pc SA. Accsic gcrrcratoarc sirr t doui iasinptote. Punctele la cl istanf a f in i t i i a leintersec{ iei .se obf in pe calel obi ;nui ta, ca qirnor iul dt nnirc I lor.

9.6. PROBIEME PROPUSE

l . O cl ipsr i s i t r r r t : r i r r p lanLr l or izontr ld l rect()arei t cr)ml l r t i I r lot l i j corr t t r i a lcproiecf i i le or izontale pe el ipsi . Si i sctrrsecl ia acestor dorra conur i .

de proiec{ie r.stet'iir'or virfuri arrcorLstruiasci in-

Ir i i1. 9.20

- dintre planele ut i le este R. Se observl, .:r aceasti intersec{ie doar arcul ap^i al,r: :i T furnizeazi puncte utile. Cum pe:: l zrc nu exista o generatoare a conului

, : : ,e la cu generatoarele c i l indrului , inter-, ' ' r nu posedi ramuri inf ini te. Fiecare plarr

iar da un punct la inf ini t pe generatoarear. [ Dimpotr iv i , in s i tua{ ia din f igura 9.70,- - . le P ; i Q ale planelor l in i ta def inesc-- - . rap pe curba f , care con{ine o generatoare

rr" :aralelS cu generatoarele ci l indrului . Pla-, T tangent la con in lungul acestei genera-,- . SA este un plan ut i l . Intersec{ ia posedd

" --r i in i in i te. Generatoarele ds ; i d, ol i { inute

2" Se considerd conul cu virful S (s, s ') a cirui direc-toare este cercul C si t r rat in plairLr l or izoir tu l dc proiec{ i t :gi se duce fronto-orizontala D prin S. Fie T Lin purictpe dreapta D pe care i l alegem ca virf pentru r in altcon rvind aceeali direcioare C. Si i se deteimine punctulT ast fc l inci t i r r tersec{ ia dintre cele doud conur i s i i f ico parabol i .3o Se consideri doui i cercuri C ; i 1. tangente interior inpunctul t ; i .s i tuate in planLr l or izontal t le proiec! ie.Raza cercului | este jumatate din raza cercuiui C. 'Sase cotrstruiasci i intcrsec{ia dintre i ' i l indrul ver.t ical ;rcdrui directoare este | 9i conul echi latcral a chrui cl irec-loare qste C.4" Se consideri l tetraedrul. regulat SABC si iuat cu fa{a,{BC pe planul orizontal de proiec{ie. Sd se corustruiasciintersec{ia celor doui conLrri care aLr ca virfuri ouncteleA 9i B, iar ra directo;rr t 'cc lcur i le inscr ise in te le le opuse.5" Se consider i doui dreptc D ; i J s i tuate in planrr lor izontal de proiec{ ie care s int gerreratoarele de coniacrdintre ac^est plan ; i doi c i l indr i de rota{ ie de raze r ; rR date. Si i se constluiascir intersec{ia celor t loi ci l jndi iq i t r r rgentr lc i r r prrrrctrr l drrblrr .

L73

'a l l lo l t r lJJerdns re{;r 'ar) : (rx tr11

luorJ ap ruerpuau rop rao arfuurrxorde

rurrd u3 pulurralap aV 16

rV alalrund nc gunardulg+rec '(fC 'ad 6g tS (lq 'rg Ig elalcund ariulo: pdnp

:undsaroc IJ (,q'q) g rnynlcund 'Foleuy '1es 'Ep) 6y 15qlu'ru) Iy alalound uJ J luorJ ap 1nuu1d uzeolJasraluro:er ' ( ,H la^lu ap 1nue1d ug 1un1rs) u<o pzer ap 1o1e:ed-n al lelor uI ol lrsJp (,r 'a) taq.lnc 1e (,u 'e) V orecareo:rund un '1ay1sy '(1edrcul:d uelplrau.r un) rafaie:dnsr arfelor ap exe urrd snp ,J luorJ ap 1nue1d rt1 1enl, ls: iorJ ap uBlplrau un oulturolap os Rs lualr lJns alsa 'aJB;a:: iJs arlBlor ap afale:dns loun alp auBJplraur olaqrnr+IBol lJrnr lu l ' ( t Ot 'Fg) ( , r ' r ) a ler l l ra^ raxu lnrnf-:r ( ,r ' r) raqrnc erlelo.r urJd aral$Bu u! aJBr efe;e.tdnslseaoe n;1uad FJaplsuoJ oS 'pteJllJol olse pxe teJpf, uellelor ap efaluldns raun lnu?lplJeru auluralep es qS ol

'RI?luoJI nBS BIBrl lJaA alsa al lelo: api l laJerdns BxE aJEJ uj al lJaJtp rr iBnlrs Bnop BJaptsuoJ:. ] . \ AS 'NYIqIdSW INNN VSUVNIWUSI: IA'Z' I 'OI

'aJrJluoJuoc rJnJJaJ ap ualsts un-Jlurp ltnlFJIellsa leluozrJo luaJBde InJnluoJ tJunlB 'e1el-lue^ oluaFupl ap oJBJoJEo Jpunu un rsunul l l IUpB al leloJ ap ElEJBJdns BJ?O'lu?'rozlJo:ueJBdB Jnluof, FlulzeJd nu arlBloJ ap BiEJ-tsrdns r)ru rJunlB 'alecrlran aluaFuel alrupB:1u InuBrplJaiu glt?c 'aJEotrsJauaF laqJnc nBS-nlnuErprJaur alB ls lox8 alB alBuoFolJo ntqnpitrrrutruazardar urrd gllulJap rJ etrEod oriulor apiiBJeJdns o 'RlplroFo-lro nlqnp eaJeluazaJdal ulrrlelor ap efe;e.rdns El _ Blerrrrou plepotroi;rsJ rnlnuErprJar[ Ie ]cund un-JluJ ulBruJoNiJund tSBIacE uJ BxB alBol ptrJasJalul JoA aJEJ

'llerBd lnun alalrund ug arlBlor op alaJErdns

'FUn ssnp alalBurou nJluad rs IrqBlBA alsai-iJnl lsaJv 'lJund rsEIacB uJ BxB pzBelf,asJalulelBrpd rsernlarB InFunJ uI erlBlor ap eloJBrdnsiaun alua8uetr aleuBld alBol 'EaueuasB ao

nLl

'lJund uljd - aJaJl oJBJ uerprJau InuBId adrBlncrpuadrad BunBaplolul olsa arlplbr a! afag-pJdns raun IB lJund un-Jlul luaFuel ueld un'(.1 raqtnc 1nro1 u;),J eJEolBJeueF aqJnt lalsaJulnJolnlB nJ s lBJprdns rurJap aleod as, la laJ-erons illelBJBd llol azalJ€sJelur ps llcul laJlse'arlBloJ op efele:dns ad BlESeJl O eJBJaJpoFqJnc o eJaprsuoJ as FJBC

.3[BUOFO]JO aqJnJap aualsrs pn-op rsalnlgrle ariBlor ap elajprdnsloun l l la leJed r$ nuetplraw . l3truorJ uuiplrauueld un-JluJ lBnlrs uBrprJaru IaJB

-atlBloJ apralaJprdns le l"dltulJd uulplJaru lunu eA aS'alBFa oqJnJ luJs lruerprJaru tlol

,eauaruasBeC 'ralaJBJdns BXE nf, lJodBJ uJ FcrJlorurs alsoarlBlor ap afa;erdns laun Ip uBrptreur gqJnJeJrJo R) luopt^a alsg .laialeJdns

l3 u8lplJeululruJnu BqJnJ o alsa uBrprJaur r,rBld un-JlulJdpfugerdns uI plnJpJ eaunriras JBI iuEtptJaul uuldun ornlrlsuoJ raieJBJdns BxB ulJd aJaJl aJBJaJpJaJPo ueld un 'olrJaJrp ezeJ ap rJnJJaJ luJserislor ep alaJ?Jdns teun rrlaleJsd 'lerauaF ul'leieJpJdns le lel?Jud lrunu olsa cJaJ lseJt'1; BXp ad JBInJlpuadJad olsa us{d rnJFc lBrS U BxB ad V lnlniJund Brl)erord alsa nJluoJrnJPJ IB JJac un AlJJSap J reqJnJ lB V aJBJ-aJeo lJund un 'atlBloJ ap aJBJ$ru BlsBa)e ul'ralatrBJdns BxB nldurs Ipru nes agiulo.r ap pxu oarnlrlsuoJ o pldBaJp nlspasv '() eldeJp raunInJnf uI alselor es aJBJ J pqJnf, o ap FlBJauaFpfege:dns o alfulor ep ul?lurdns a1$aunu ag' i ruvrNazaudau' t iv I t ' IVuaNsD't ' t '0r

l lvutNlcI| IYIOU rCI t 'HI i lVUdRS'r '0r

ilIvrou rc SltlrJvudnsx ln lo l !do3

e uneiparalel

;t lucru;e uneiparalelpunci.

ui esterotal ie.rpraf a{ient i r i lel ianuluinul nusupra-

aparentadmiteI vert i -al esteentrice.

Se vor;upraief ei

l rotafie,r aceasta[c, c') i :ci t toateal ie sini

de fron:rotaJie an puncfota{ie unH') , caie

, 1at, ailnrespunc

til, careh pr imi= ( .g, . : )

,llll' !r se determine meridlanul unei suprafe{e de rotafie'rllr ri.iti axi de rotafie este.frontali. Fie A (8, 8') axal 'urrrr:- i ,a qi (c, c ') curba generatoare a suprafe{ei de ro-; lmrr r i ig. 10.2). Un punct oarecare A (a, a') al curbeilM : descrie in rota{ie un paralel al suprafelei si tuattt tr n : :ul de capdt P', dus perpendicular pe axa de ro-Lirr irr* -\ (b-, 8') . Proiecf i i le razei acestui paralel i i indi l i l f l*r, r 01), se ob!ine adevirata mir ime a paraleluluil ln l r f : - , rabatere a sa pe planul de f ront F al axei de ro-." - . rs ider ind ca axi i derabateredreapta (o1B, oia '1,lL i t t ' . , : , . :ontala planului acestui paralel . Se obf ine ast fe l ,tn r - - raterea punctului A (a, a ' ) , adeviraia mir imenrr, : : :azei paralelr t l t t i g i totodatd se ob{ ine punctul

u" , ,r". ai) ; i Ag (a2, ud in .ur. acest paralcl int i lne;teit lLi i l l : :e front F dus prin axa de rota{ie. Aceste douirr ut i ln; .1 .{, gi 46 apar{in respectiv celor doui curbelntruu"ri i -e (egale gi sirpetr ice fa{d de.-, 8' in proiec{iawi lur" . r r . !1. s i tuate in planul de l ront dus rrr in axa de'urn". ; :1, s i tuate in g! .anul de . l ront dus pr in axa der i - : J suprafelei . \ r \y - 1

b

Fig. 10.3

10.1.3. PUNCT PE SUPRAFATA. Fi ind dat i una dinproiecfiile unui punct siluat pe o suprafa{i de rotafiecu axd verticali, si se determine cealaltd proiecfie apunctului. Putem consit lera ; i aici mai multe situafi id i fer i te.l" Fie {<o, c, i) axa vert icald de rota{ie gi (c, c ') curbageneratoare a suprafefei de rota{ie ( i ig. 10.3). Se considerdcunoscutd proiec{ia vert icald a' a unui punct de pe su-prafa{: '1. PIanul de nivel H' dus la cota acestui -punct

este int i lni t de curba (c, c ') in punctul (m, m'). Se ob-f ine astfel t lza am a paralelului pe care este situat punc-tul c iutat .L in ia de ordinecoborf t i d in a 'd i proiei t i i leorizontale a, i i au care definesc cele doui .ot i1i i . i i r . ise cunoagte proiec{ia orizontalS b a unui punct de pesupralafa, seconsideri paralelul de razh cob hupi care seproiecteazi to l i paral-el i i s i tuaf i in planele 'de nivelHi, H;, H, Si Hi, determinate cu ajutorul punctelor a

9i p. Se ob{in proiec{i i le vert icale f ' t l , l , 9i bi, caredefinesc patru solut i i in acest caz.2" F. ie,A (8, 8 ' ) axa frontal i de rota{ ie gi a ' proiec{ iavert icald a unui punct A ( l iS. I0.4). Paralelul chre t receprrn.acest punct este s i tuat intr-un plan de capdt, acirui urmd vert icalS P' se obtine ducind din a' o per-pendiculard pe 8'. Punctul (or. oi), centrul cle rota! ieal paralelului, rezultd din intersec{ia axei A cu planul P,iar raza oibi a paralelului rezult i cl in rabaterea peplanul de front F a punctului B (b, b') in care curbagenelatoare (c, c ') int i lnegte planul P. Axa de raba-tere folosit i este frontala (or8, oib'). Perpendicularaln a' pe P' int i lnegte rabaterea paralelului in m' 5i n' ,proiec{i i care se intorc din rabatere in a, ,si au pe l iniade ordine coborit i din a'. Proiec{i i le orizontale ciutatesint a, gi a, care impreuni cu a' dau doud solu{i i .3" Se considerd o suprafat i de rotat ie definit i de ocurbi generatoare (c,

-c') gi o axi de rotaf ie oarecare

A (8, 8'). Si se determine proiecfiile unui punct oarecareFig. 10.2

t75

9Ll

9'01 :3lg

d elsare Inzer uJ ' r ra( ' lup ln lound ulrd orar l .orecnuBlplJarrr lnuelr l u1 Rlnutluor alsa BlBturou 'al lelol

frp afaieidns lalun lnzec u1 '1u:epgsuor lnlrund xJ BsnprEiele:tins el

'Eler[rou ad -.rulnrgpuad:ad alsa pfulwdns

wrseacu ad ap lcund un-rlu1 gNele:dns e1 lua8uel lnuuId 06

"L 9lBcrlJo^ BIUIn Pp ,A nJ

W-Jn oJBJ 'x1 pl lnzer :As nJ laleled 1 atnp as q ulJd1,a,s'As) plBluozlJo ap !S t l plBluozlro Plurn PlseaJB apflpurruralop olsa luoFuul lnueld 'q u1 e1en1ca1a u1|u1oraulp arruoluJ as alua8ual loisace u rq pluluozlro purn-rxoJJ ap 1n1nue1pr:au B, ,W elBJrlrrn elfoalo:d ei |s u1

nrua8uel.'(jfls 'rqrs; BleluorJ alsa zBr lsors ul ugue8uelt.ill 'w) luorl ap InuErprJaur nr ?plJuroc ss lJcu! laJlsBqre!p!Jatrr rnlsace uriuloJ gJaprsuoJ as'1ery1;o,r uuldun-rlu! glBnl ls alsa g lnlrund u1.ld aca:1 or Inuulplrau ulnua8uel aJareoa6 'sc, ezBr 6d glzluozlro uriraro.ld u1n"zlnetpued:ad (, ,r ,s ' i rs) ElPluozl jo elsa 5 lnlcund utrd&lall aJ 1n101e:ed 11 eluaSue; '1rund lsace ulrd carl a:er'n1a1e:ed r$ lnuerpr:aur e1 alaluaFuel ap leuluralap olsarl i .s 's) S lnlcund u1 gieprdns e1 lua8uel 1nuu16 '(9'91 '3t1)rup gfelerdns ad ap lnpund (,s 's) S rS 1uorl ap Inlrplp-r. laur (,q1 'ry) 'ar lulo: op plErr lro^ BxB (,to ' .) alg

" l

.n1e1ue'uu1 Dporaru : aporau o""o'';!iil;"i"lo:3T,,i,?:-';1td untpltau un ap p1rultap a7s7 allt4ot ap olotrudns ptw1176 'plntntdns pFDarD ad ap Tcund un-4ul 'ailopr apvlntotdns o q TuaEuq lnuqd aurwtalap as pS 'VIVJ-Yudns ad I9Nnd Nn-UrNI rN:tcNvr Nv'Id 'r' l '0r

. ' ,L,- , ad ,q u1 eJrPr l as alBJ*q ad q Fp I pl 0q rnp u1aluru4 '( , I ,ro 'J,r.r) elrr icarord

gttnzaU 'J,0tooq a1n1pqgj ralda.rp lnrolntu na aralpqBr u! i)r lrpu as aruc '1a1e:ed rnlsare ua:oluqer ad 0q lrund un;3.r1e cg'((ro'roor) pnlrJ arolpqEr cp Jrrrr lFrrnr.r; .1 0ro ugi lsqsj as rn1n1a1u;ed 1e (,<o 'or) lnl lual JEr'xlJ ouJrup.t V':1rund 'arolBqBr BlseaJB ul ' ( , t '8) g ulelrozrro araleq

EIc9'01

.er ap,Fxe Bc pulnl ' ,H le l ru ap lnuuld od rnlnlaleredlnuuyd aleqer eg 'y urrd snp lpder op 1nue1d rS ln1n1o1-e:ed 1nue1d arlurp arices.relur ap eldea:p also (,$,t 'Sr)ur 1n1de1 BJreluor oS ' !nlnlal"rad 1n:1uar , ' ( ,or 'o)) uJ v.exe ep lelcasralur alsa ueld lsarv '( ,S 'g) g exe ad:elnrrpuad.rad y lnpund ur;d gsnp '( , ! ' I ) J Blel iro.tJnr 1$ (, i 'F) g elaluozrro nJ Bullr tralap aleod. as laleredlnlserc InuBId'(g '0t 'F l t ) V rnlnl lund ynlalerud adluzo$e '( ,q rq) q lrund un Flner as 1( ' ( ,r ' r) oreolur-ouaF eqrnr ad 1en1rs '( ,u 'u) V oreJaJeo lrund un p:ap-rsuoJ as BaaJE aC 'a1es alrrfraro.rd a:1urp Eun pulJsourlJlound un aultuJalap os es'1e:auaE ui 'a1uod as nu alfenlrsklseaJu u1 'ogie1o.r ep giupdns llsBare ad 1un1gs ''(,q 'q) g

f '0t 'Etd

e, puncl ' ;i se rabal .l . Sc alcgr: se r id i . ,

: . Rezul t itbPee)*

E SUPRA.s,rprala:.-

atd, ttiiildian prir."rngentelor

M') merr"raiat i da:ulS{s,si paraleluul ce trer-:endicula: i) tangenlrrti intr-1.:-

meridia:.t ( i r l , M'r

, tangenii

i de froniloarce di:letermina:(sv, s 'v ' rcale t tr : l :

pe aceasi;supraiai j ,

Praiete crr idianulr-;casta pe:-

rrrrf tr , ,L -. rara r idicat: l ln sj pc sih, intersectcazi axa cletnrr i , i iu : in punctul (a = <o, a'), astfel incit (so, s'a')rf l )r i l i l r , .-"- '" proiec{i i le normalei la suprafal i in putrctull l l i i l i rr- s Planul dus prin punctul S ( i , s ')

'perpendicular' t t t / ' . l r5: segment (s<o, s'a') este planul tangent la su-rrurir i l l - : de rotat ie.illli iliI s€ determine acum planul tangent la o suprafafiLrillu Tldalie inir-un punct de pe aceasti suprafafl, utili-rumc metoda tangentelor in cazul in care suprafa{a estedltumliirnr,-,i de rotafia unei curbe generatoare (c, c'). Fie

ara vert icalS de rota{ ie qi S (s, s ' ) urr punct al, i r " ' , : - - r i s i tuat pe paralelul p lanului de uivel H'( f ig.

?enlrrr a ie iLbl ine pla-nul tangcnt la suprr ia l" : i: ' - - lu l S (s, s ' ) , se determind mai int i i p lanul tan-

r111trru|r . : suprafaJi in punctul M (m, m'), cu ajutorulM n :rud tangente (am, a'm') $i (mB, m'B'), duses.ryr:, i . : i i ' Ia paralelul de razd. om gi Ia curba generatoareui : .\cest plan tangent este intilnit de axa verticaldturur -; i .r ie in punctul (.

- a, a'). pr in acest punct trec

rir ir , l : lanele tangente suprafe{ei de roia,t ie in punctelerlr i : :r , i : : pe paralelul de razd o;m. Aceste plane tangente.-- - . : : l urmare tangente conrr iu i de roiai ie crr v i r f r r li lu r. circumscris suprafe{ei de rota}ie in lLrngul pa-'r ir t : ,-- i de razd om. Urma orizontal i T a planului tan-t lgru:t . . punctul S (s, s ') la suprafa{a de roia{ie trece prinl-: : ! ' r izontala h a drepiei (generatoare) (o:s, a's ') ,':.r r :erpendiculard pe proiec{ia orizontale cos. Urmariv-.:=.a T' a planului tangent trece prin urma vert icald

r ' , - :eptei (ros, a's ') , iai direct ia bi se determind cutir ,rm;".a (sk, s'k ') , deoarece pLrnctul T* cade in afaral l i i* L --:- Jf eDUfei.

,-r' ".* .iir;if, si se determine planul tangent la o su-ililrflnmi& de rotafie, intr-un punct de pe aceasti supra-irtllrtr- utilizind metoda normalelor. in cazul in carerulrur-r:aqa este definiti de rotafia unei curbe generatoareri lr i : Fie (o, <o') axa vert ical i de rota{ie qi S (s, s ')

Fig. 10.8

9-l pq!c! al suprafelei si tuat pe paralelul de razd <om(fig.-_10.8). N.ormala la suprafa{a de rota{ie dusi in punc-tul M- (m, m') este perpeirdiculari pe pianul tangent lasupralata, determinat in acest punct de tangentele(moc, m'a') ; i (mP, rn'B'), duse res-pectiv la paral6lul derazd.am _gi la curba generatoare (c, c ' ) . O-dreaptE deiront a planului tangent este (ag, a)B'1, 'cleci perpendicu-lara dusd din m' pe o( 'B' reprezinld proiecf ia vert icalda normalei Ia _ supraf at i i duid in pr inctul ' M (rn, m,) .Aceasti normalh intersecteazi axa vert ical l de rotat iein punctul A (-a, a ). Dreapta (sa, s'a') reprezint i n6r-mata ta srrprala!a in punctul S (s, s,) deoarece toatenornralele la o suprafald de rota{ie in l i rngul unui para-lel sint corrcurente in acelagi purrct de pe axi. pianultangent Ia. suprafa{d este determinat de frontala (f , f ,),si orizonta. la^(9, g'), lerpendiculara pe trormala (sa, 's 'a,)i rL puirctul S (s, s ' ) .

I0.1.5. PLAN TANGENT PRINTR.UN PUNCT EXTE.RIOq. 55 se construiascd la o suprafa![ de rotafie, prin-tr-un punct exterior dat, un plan tangedt al cirui'puntt decontact sf, fie situat pe un paralel sau pe un meridian dat.lo.Fie (co, or ') axa ert icald de rotal ie, (M, M,) Lrn me-ridian de front al suprale{ei de rotaJie gi A (a, at) punctule; i ter ior dat. De asemenea, f ie H, proie - i ia verf ical i aparalelului dat ( f ig. 10.9). Meridiahul de f ront al su-prafetei intersecteaid paralelul H, in punctul B (b, b,),iar, tangenta dusi ln b' la proiec{ia veiticali a nieridii-pluj {1'- int i lnegte axa derotaf ie ln punctul S (s, s,).De fapt S (s, s') este virful coirului Circumscris supra-fe{ei de rota{ie in lungul paralelului H'. Planul tanlentla.acest con dus prirr punctul exterior suprafefei A (a, a,)este totodata plauul tangeut la suprafaJa de rotaJie,Considerind ca nou plan orizontal planul de nivel H1dus prirr a; se determini urma conului de razd coh peacest ,plan gi cu aceasta generatoarele (sm, s'm')

-gi

(sn, s'n') , care dau Ia intersec{ia cu H' punctele deFig. 10.7

177

8Ll

illiiifl, l i l ,,11

r l

! ( , ru,r 'u le) o la lueFuaI ' tn ln la l?rud Iu ,H la l ru op:re1d (,e 's) V uI a16au111u1 g ur:d (,p .p) q urloa.rrp

r Esnp (,9 'g) V E1alered '( ,p ,p) q el irarrp nc e1a1e:edjrJ lsoJe u1 alua8uel a laueld BJsBrnJlsuoJ as FS' ,W" ,r uI uluaFuel pugcnp aurlqo os r$ (,s ,s) g else uoc- lsJJB InJJJn Ia sr lJsunJJtJ lnuoc ur.rd 1ep rnJnJalered-lrrn1 u1 arlelo: ep elulurdn_s pulnroluJ .rarlrxnE

!nlnuo)r: ' ) lauj tszBazrlt ln as alrund atrs3JB aul lqo E nl luad .or --! l rp nr 1a1e:ed ' la sl lJsr.unrlrJ InrpurpJ r i pie;e;dns;-:urp lcel lroJ ap raqJnc urlrede eueyd .rolsare a1e efuoF., i l ap alalJund FlBp elfra.trp o nc ayale:ud arfelo.r apr - i :e:dns o e1 alua8uel aueld ap alBlrurlur o Btrstxa 1a;ouoF'"

( l l 0 l '3r1) ar lu lo,r ap EIBr lpa^ exe ( , ro ' r . : ) a lg . l'(,W 'W) 1ud;euJrd uelplreur un-r1ug.rd

nrurlop alsa egiu;o.r ep efelerdns aJBt u! InzeJ u! ,lup.${,rprJatu un ed nss Jalund un ed alunlrs putlJ lreluoJ ap#ilrund 'plup (,p 'p) O pldeorp o nc aJalered 'e; ie1or ap{:: ;eldns o uJ aluaFuu; alaueld auluJalep as pS .yIVC

I[] , IUIO O n3 ' IAlYdYd JNACNVI NV'Id '9 I 0l

"w luoJJ 3p InuBlprJalu ul

r r iur l o u1|nd Iar oJnp uluod es es re urp eJ arnqaJlr ,rsod at1 FS srualqo.rd e3'1cund rnlsice rolezunclsa:oc' , 'c :cd e1 ( , r ' r ) r r1 glua8uel Eleluozlro rS ( , r ,u , rce)

ralp.rLi l iuoJ BJ pul t lS elul :nSn n; ur iqo cs luo8uelr -.re1d eleur-rn ' lalnpJ (,r .a) uf uaFuel ap lnpund

- ?lnrpJ erlelor ulp Rullor as ps t$ ,W luorJ op Jnlrn. iaiu u1 rrru eluoFuel pJl lp os ps Ie urp uJ luorr lJns

' r rV Inlrund urrd asnp nlpurlrr lsocE EJ aiuaBuei

::z1d 1u1s alBlner alua8uel alaueld vJoJuooq .(Iu

t IV uj altalor as (,e ,") V Inlrund

. luorJ op'purlap BS-.uBlptrau eJ rJap ,trRdeJ ap a1a;uo1e:orraF nJ pur^ap{ -pLrr l lJ }sJJts EJ IaAlu ap ar}e1o: o-:1ur:d ernpe a5 .pr:r jaLu Jsa)p alpolJaJlp Ec pUIAE r i ar iu lor ap taial: , : : :s sr.rJslunJtyr 1do.rp Ir luozrro lnipul lJc sJoprsuoJ oS

(Ot Ot 3l t ) lep. r l ln l rBrprroul . u r?lpluozl . ro nr f . raro;d p r(rorr , )1xr In iJuu0 (ru .u,) y , ra ia ju ld] ls

lu luolJ rp Intrsrp-r . r i lu ( ,w 'w) '0r lBlor ap BlerrJ ls] \ exu ( , ro,(D) olc.a

_.Llo ezel ap tnlnJJaf, uJeJe uJ arJ 3s? ?J ernqaJl Elrqrsod orJ Bs prualqo;d ec n:1ua6 'ro:ndaInrpEJ urp sar ale .elsaJe ptzer u1 'piur.tnSn nJ urnJuqrrnrr;Olap^as 1uoFuel,rnJnue1d a1aLu.r-1 :ar]a;o.r ap ef e1erd-ns rs l t r , )ducl Inueld cr l rnp , ( ,d.d)

1S ( , ;o,n) r : iuaFuei

6 0t FIC

i i r lS Si l i . "i I rner id:- ir i l i r rc l rL: i . ,

e; id ianu. Ie in A, ra.

r . t p la.- : :u l A, e. '

la merlr l : icuta Ie planl-I :e orea: -1 Parai . "1e posl . ' ,f , tang€ -

DTRECTTIr suprafa:rr, puncte|tn meridi arte dei ini:"

r0. t l ) : -rs 'Jprai ; - l' le de ta:act d i i l l - :u direc- :la metc: . ii r l r-r; i i -

u: aces!-t inz '"acest c:' / dusa -l ' l Pla: . -a 'm') .

I r ig. 10. I 2

L,l ]&l l i l i l i r t ,ni) cluse la acest paralel dau punctele de tan-i iurrr . - :ate, care apar{ in totodatd gi c i l indrului c i r -

tmr - , :uprafe!ei .," ' ' , . :sideri acum ci l indrul circumscris supraietein , - . . in lungul meridianului Ei se construiesc plairelehir ut , ,r- : .a acest ci l indru paralele cu direc{ia D (d, d')f l . l ) . Se alege un punct arbitrar S (s, s ') , si tr-rat pe{ ' . :a l ie ( . , .o ' ) g i se duce pr in acest punct planul

i l r ' . =. cu direc{ia D (gi cu generatoarele ci l indrului).r ir 1{. :e asemenea un punct arbitrar (a, a') pe paralelal l l l l r :rr si se dLrce perpendiculara (crp, a'p') pe N.

, ,Lr ' . , ' .a dintre planele P qi N este (sF, s 'P') . Pentru aj l i :angenta la meridianul N paraleld cu aceasti i

u r , ' : ' . : se eleciLreazi o rotat ie a acestui rner id ianur r i - - se suprapuue pesie rneridianul de front (M, M').u rLu,r- . : ia M' paraleld cLr s'pi dd punctul 1m' mi)

l l l f f i l 1, ;carce din rota{ie in punctul de contact (m' m')

- PLAN TANGENT PARALEL CU UN PLAN DAT||]IMIIIfrI.IIII| - P IIE SAU PRIN DOU A DREPTE CONCURENTE.l[T rlr ::,nstruiasci planele tangente la o suprafafi denmrfiftLr,rc. :aralele cu un plan P dat prin urme in cazul in,rmur iuu'raia{a de rotafie este definiti printr-un meridian{u lnrffr : r . t{ , M'). Fie (<o, <o') axa vert icalS de rotaf iei l i i r r . :r . Planul tangent intr-un punct de pe o supra-inu i 1 : . :at ie este perpendicular pe planul meridianuluirmnp .--' prin acel punct. Se duce prin axa de rotafiertr i r , " . : i ical Q perpendiculal pe P, care dA in suprafa-, ' i ,* ' - : iul N. Planul P este intersectat de axa (o:, or ')r , ,-- . S (s, s ') , care se ob{ine cu ajutortr l fr t-rrr. taleiillllti, r r . Intersecf ia dirrtre planele P 9i Q este (sa, s'a')..$p - ' . meridianul N astfel incit s: i coincidl: i ctr rneri-. , , t i l t trr ; l : : tal M. Dreapta (sa, s'a') clevine (sar, s 'ai).l l l l l , i , rL , ' : ,unctnl de contaci a l p larrulLr i tarrgent la

' Fis. 10.13

supralzrt ir paralel cLr planul P este situat pe tangentaparalel.{ cu aceasti intersec{ie, se duce paratela la s'ai

; i se obfine 1ar, ai) care se intoarce din roial ie in (a, a').Prin punctul de contact (a, cr ') astfel determinat se duceplanul R paralel cu planul P. Se observi ci urma h, seintoarce din. rotai ie in h qi aparf ine urmei R. Dar planul

Fig. 10, l4

I7g

08I

:? -1tY_ 11 oliulor.ep piulu.rdns o erlulp arirosra;u; ,rpnt .l-r.JlSjnt trcund lnun a1;3ira1o.rd aurrir.roiep as ps .t

^' !:!3.et unop olsrre .1e.retJ,rs' e.raprsuor "i

.vrix"<i

?,.q_vs. yorNoc Vivrvuans'o rS irfVj6uYlYJvudns o sU.LNtq Vlicisuerili:oiYtir

r a1n olrurrtr uriu.,r ru lu 'cult t i ' l ' rs

' rprer,- ̂ , - - -^ - . ,_ . , ! ) DJOUT?rplJOruorrpld .q( 'B

il i liul,"L"_.1-:?. :$ un o 1 1: n f e 1 .r1uf oiiiir,r -""ulh,rr",iL:13. i9 l.eunu Itunllras o1e apund elnrrriqo 'ri'

1od:::.V_-'c,ll e us J urii:n a1s'su11iu1 ,i., iiui'J[ iirr"3'-.:::t_j:ly:|^^u !?laluozlro uur-rn (,rl I't; a1g ilJiqlsrrsa Jr-JJnl lsaru ernp) , ] ,s eyrcHLrel als'arrrLjsrro"j j i

ii, i: ,:I.Y:l^ j:l1yilp,i.,r ea:eriruriel'ap nrlurd, ,? l ] tp rErIryne rnlnueld 1n.ro1nfe ni r r r iq<i , as tut l r j- lnuBtprJoru ad olenlrs nunr iJJs e1al t r rn.1 . r r r ,n i i . l j *_' : : -Tcrylrs4 du d+uir+rs l lunr lJos 0[alJIrnd .r runr icas

:-,1..1,:j": innund au1|qo as aiielo.rir i i 'puila.rf ' ' rc ut , ,W alel rq,s eldea.rq , ,W

IBJr l r r^ ' l ,n inde. ' . loJ Jd, tunde:drrs os r t ry ledrrur.rd lnuBlprrrut l t . )

9r '0t '3!c

-1puad-rad alsa I rnl suun .trJCI .y 1n1.rurrd ur:cl ,rra:1 atrnlnuerprrau 1nue1d od .re1n.trpuad-rad s'n1d u1 j lsa lueFLell : .y, l l t i . ' ( r1 ' ] l ,arBolBrJUab eqrrr Bt 1,q,e ;qe) uiucFuej?] l !_ l l ,o, ( ,8 'B) V ;rr l . rurrd^ U1 1rr ;Frru; 1rrJe16 . ; r rn, i

1:iLY _"i l?]1J-n".19,1 nt.Ira8uel 1nue1d rt i lrr jx 1nue1dol l r r l a l ] lasra: lLrr e lsa ( ,u- , ru) yq ln l rund u1 aLrnr i jos ep:1.r ." : . . : l y j r . I ! .uI arreld rrrrrr r i r , :s Lrr i . rntJa 1,u :u,1 p rs1. . .y._ ' l )_W r l l l rund .Do) nzpr rp 1n;aleLed udnp ar iu lo-r . ipulpJuJdns J?t , ( .d , i ) , eJuluozuo ndnp 6 lnrrepd'ezdauor| ;ast l { ,_ l .n, tu, ip I Iur?ld '1a11sy .rruni f r is : a1e olJrrnd' iuJsl . l i l : ]g l rs r l ts luozrro, ro.}s.)rB runirror alal r i r r r6 :or ic ;o.r . rpuluJUJr l i lS l l r l lJ l r iJc( l rs 4 1rr t ru ld. L i l J ls l l tu;4Jo r?utrulJ l-Jp J luJ l , rA!rr , ) l ) J l lJ . l \nu orrul t l uzcozr l r ' ln JS ( t l 0 i'F1J) . t r r r r r i . r , 's op l r r r rn;d 6 r i or iu lo.r ;p uiu 1, , . i , ,o1

' r i i

'p^1n{ l larc, u.r. .rung jr,:s rp uqrnr u; uluaFuul Ersulor}s-troJ JS Vs lS '(,r ' .r) t.ruoleLautF. qq_rnr o-.r1ur.rd pllutJrpj.: l: l l l l"^ 31u nr c;iuyo.r ap qiulc;dnsb_.r1u, alunlraij ouigbnunttrrs lu luJrnJ l tund un rutulalJp Js fS :J l iVI'olr sc I'reisJvddns Nt aNVTd rr.rntl..lis :s.r.or

nl 1o1u.ruc[ lnlreld l lurrd 1:^r-rr,r- r re l rn lnueld olalr i l l . ( ,n

' r )

.4 1nue1d

rrrJd pulJnp urlclr.r os lua;ur J l ln l { )J l i lp i . ) . l8ol l r r JS

( lIa,r;o) Jrr lrurr6 Tro np rn,s r i l i u1a1e;ed 1ry u1 eltraoirrr;1 .rer'( Iu,s 'rus) aur.,rep (,q,u ,qe) uir. leo:q 'W Inrrpl prraru u.)JplJt l ro.) l r r r ro uul t l N I i i l i l l tp l . tJr i l cJ iJ l r ' . r JS.olrr iqo 1_urt l l t rod 1t?ir l ! iJ l rBl l roJ op ( , ,0 , r )

l r r i tLrnd lp or i ;aslalrr rl . lr.. lJdu.rp ulseaJB_ ur 9la1aied (6' lnuelcl i i ] si i:clnr)' f il ' ] ] l :t l l l t l . l u1uFra8uel ipt ,(,q,9 ,qu) olia 6 r$ j elariuirilun,?f l ) r . i . )ut r :1 ulrodrrul . tur . ' ( ,q,e - ,qr i t

t td" 6 ' lS j a larruar lu lp J l i . )J\ lJ lur J i i u ldL: ;_r11 ' ( .8,F) ntetrrr)zrJo Jr l Iar lLtrp or i . ros.rr lu! r i i u ldL: ;_rg ' ( ,8,F) n;eIr , iz , jb j , l u. ,u:ulnrlpuad.red oJnp as 16 -,g la, l ,ru ep lnuel i l BZBazllr ln asElspaf,E nr luad .d ptuuld od reln.rrpucd. l rd alse' ig qyBulrd arrr l , r . rD-r , O pLreld, a l6ar i i :1suor ag .( l f .Oi .AU)d I l l r i i ld ( .s 's) S 1rr '1.rrrrrd Ltr EZualJJs_l , r l r r r c. | r ; cr fe l-oJ Jp r : lpJI l tJ. \ uxB l , ,D'( , r ) zpJ JSa.re l j l J t { ( s

,v} f

lS ( ,p 'p) q J luJurrroJ' i l \ l , r , rp nuol) . )p rs l i r r r j jp ,1 ' )1r l , t .1

! t 0r 'Ftc

I"^",r-,"-.**rl*-fl

i l+....t

iffiriE t(r, ('') vertica.ld qi un_con a cdrui directoare este orur're oarecare I' din planul orizontal de proiecfie. Fie, . s ' ) v i r fu l cunLr lu i ; i (c, c,) . r rU, f .n. i r torr . o-- : iSJSi de. rotat ie ( f i 'g. 10.17). p i i rur i -a ix- i t iar . le. . H' scc{ ioneazd suprafala de-rotal ic . iupJ' j iaraleluli ,Lu: :azd. qa, iar conul dirpi , o.curbd .y ale cirei puncteruu: :ori tact cu .paralelui trebuie ddterrnir iaie. pentrurir ' , , : : ta se considerd un col l cu .acelagi virf

- S (s, s,),

' r = admite cra directoare paralelul. Acest con i tr ter_,Mtl. : .aze primul corr dat dupd generatoarei .ui. i , . , t i i -i : : . : planul H' in punctele c5ut"ate a. ini .r . . . t i . aint. .r ,r-, a y ; . i paralel.- ,Astfel, urma .. tui Ae_ui?Ji i" , .o,,' , , , : lanul orizontal de proiec{ic este cercui ci"centrLrt. -rnra orizontal i i (qr, qit a dreptei (sq, s,q,). Raza

u r iui cerc este qra' Curba I intersecteazi aceit cerc inl i- : tul (b1, bi). Generatoarea comuli i celor. doud couurir - : (sb1, s 'n iy. Ea int i lnegte H, in purrctul B (b, b,) , co-- . :curbei.y.; i .paralelului. Acesta este un pulct curcutr . :r tersec{iei dirrtre suprafa{a de rota! ie-; i . ,uiuf cfat.

- Se-se determine acum proiecfiile unui punct curent alffi.j 9S intersecfie_dintr-e o suprafafa a"'ioiaiie-.u u*atttu roralte verl icald gi un ci l indru cu generatoareie paraleleii-dlo4ll .+ (8, s,) ei a cd.rui di;;cd;;ste I curbdy.e.,T:,I^^9i" planut,orizontat de proiecfie. Fie1;, ,;j. : \ 'er i lcata dc rotal ic; i (c, c ' ) curba gcneratoare a. : : .afc{c i

_de rotai ie f i ie l t0 ' rBl . p l rnrr"a" ' ' , , , i " . r H,-_. : loneaza supralafa de rota{ ie dupa paralelul de r .azam.. iar ci l indrir. l . duba o curba y. pJ"r.; ; ; ; : l pinctele. : I r r rerse(.1re dintre y; i Inralc l se consir lern i i l i r idrul: : . : l ' i l cLt generatoarele.paralele cLt dire,c{ia A (8, D,),. :no ca dtrectoare paralelul de razd qa. Urma ori iontafd

a acesiui ci l indru este cer.cLrl cn centr.ul i t t (qr, qlr1, razalui f i ind tot qa. Curba I taie acest cerc in pur.rciele'8, {b., ,bi), care este Lrrma orizontal i a geircratoarei comurlecelor _ doi ci l i rrdri . Aceastd generatoare irrtersecte; izdi l l l ' l :1, ! : . l l i l 'c t H' i r r pLrncrul l i . tu_, n, t , iomrn . , , i r r" i -ySt p.aralc lu l ,ut .de raza qa. Puneiul B cstc utr I ,urrct curcniat l t rcfscclrct ccioi doua srrprr ie{c date.

10.2" SFERA

i0_? r. DEF|N|TTE. REPREZENTARE. DE_TERMINAREA UNUI PARALEL. Stera estelocu1 geometr ic a1 punctelor din spa{iu egald5pir tate de un punct f ix care c\ ' tc ccnt iuls ieret. .Lungi mea constantd care rn. isoari dis-tanta de la centru Ia or icare punct al .supfafeleise l lurncQ.te faza--sferei . Sfera este o suprafal i lde gradul al doi lea ; i poate f i c lef ini t i ; i casupralala ce ia na;tere din rotat ia unui cercIn Juf u l unuia dintre diametr i i sai . De aseirenease poate considera

^sfera ca fiind suprafata

invers[ a.unui p lan. Se;t ie c l suprafata inversda unul pl.an este o sfefa care trece prin polulf9 invqpiqne ; i . a clrui centrur se ghse;te pcperpendrcutara dusa di i r polul dc inversiuhep€ plan , Orice plan ci . .e trccc pr in cenirulslerel lntersocleazd sfera dupa Ltn cerc careeste numit cerc mare al sferei ii cure are acela;icentru ; i aceea; i razd ca sfcrb. In dubla pro_

Fig. 10.17

:'-: : ".:riLLILla l - : l t i l

i : : * - . *r ',lnl

: . . r l !1r

t : " 1-r1l1 i - ' " ,

F : . l;ltir

:: - rllrrrf , : - 1 l r

l_r : ' r iL l i

; ! i l i '

! - : - l l " i l f

i - - - i f :5: ,,r$li,

t : - - : lL lLr

- !- t . l . l ' l

: - - I r"rilllr

i9- r - l lg--" i i l tL l

14 il&CIL ]iitu

I cruruutd*-u

181

6r '0t ' t rc

e8r0a'0I SliI

lifltl-ll {,", 'y) W orJ 'taJtsv .rarfetro: Bpo}orrri5 !y]1]tt+n 'gra3s FlsBorB Bl luaFuel 'ue1dy-.:.r.iJj. raun, efe;erdns ed leir j.rund irn_r1u;m-JlsuoJ aleod ag .,I oleJrlJal rari lJn ericaro:d*l?1rn n ru1uad ,(,L,w ,nru) eieiuoztso' erieaz: . l ln os 'ra:nda JnJpBJ uJ 1-en1rs

'a1so nrr

_1.:-r1?:A '1,ur 'ur) 14r Jnlcund rii 1 lua8uel- lueJd BUrurJJlap es Foluuy . lu,q'nJ-

",1a1e.rerll+-ip_tjtr:.]_ eur.rn r$ "tr gtninU :1yru,r',irun';

-. : : j :^r l_,-9{elncrpuadrad .( l-, tur) ' iW'

1n1run,l; j ! nsnlt r.r lBluorJ e 1,r; , iq) eleluoir:b eur:nr.ru-, rraJl ,J. t?lel lrozrro rn1 eirr.rq' .( jru,nr

:y:1,"r_u, od relnrrpuad:od Jlse lJiri ,'ur) t'W_-lt_y19, ur r?-raJs eJ luaFuel 1nue1j .rleulrr.\i ' :JJroJd lSur,r lace prrndsa:or otBJ'- , r ru iS | 'u urni-eluoz1Jo elrrlrarord urfqo as .,tu urp aurpJo opr,ulJ puJJoqo3 'nl uJ InJlueJ nc ii:rsap ,sro*.-n, np InJJat also- ElBluozl;o Inl uritorol4_Lle'01 , 'FU) lulrupd ap erui l u1 'p1ajeruO

cr

-uI Lllrd

. pulrnp elEf,rlral erfcaroid u1' auriqo;! oJEf,. ,,q,?

JeAru ap InJelBJBd pr"piruo, ag, .u 'ur) 1,9 lnlrund yl prats u1 luJAuei 1nuu1dFJselnJlsuof, as us r$ ,,ru p1"-r;irel Bs'urirlrjj.lpji::"*r ,fiup'erals oTo iinlis

-1a1 lrunu

;rnu' d ,a1uoy1ra,r rriraro:d rr"joil,#r;f;liglel l lozlro ericarord uI p.]Bp r 'gzyr bp rnlnloJ

: : r3 ' luorJ op lnJaJe.red i r :1u30 ezbabajorda^,- doleuV 'Qo : eca vzeJ ap 'l$ ro nr},in, "p.rt j . , i , aJsr. rnlnlalercd e pJbtrr iozlto ui ir",or4

.1q 'q) g Is (,e ,?) V elalrurid'ug ra.ra;s' in 1"r,1--a.t ;uo;ede 1n:nprri ;r al iauJ;1u3' i ; luJeci lsary

:,tu,l.:-tu Rluluozlro e;ica;o.ld "uru.rialqi "s

pgJ^+yi_v_udnq 3d rlNnd Nn-uJi{I l|\racruvrr. lNv'Id'Ylv.{vuans a; -JtNri; '-a.a.or

' / I { IoAru ap 1nueld nr pJaJS pu3uolfras .es e:1:3.jlu1tlrg.r erfcaro:d eurfqo as (Ot.0t .SIJ)rnlnlolered B I BloJ ,pulnv

.arfcaro:d'"air iieuei"d!I_lP tnun nc a1a1e.red 1u1s aueld iorpt 51e rara;s:li:tj:: luls' JajrJS n1a1e.red FJ ?Elpre B_S .r Bs:-r."j.^"il..J us {ua.ru1.rpdep) ulor i;3 pugrsounr-_rjels laun 1e (1uorJ ep nus) ;uluril;jo pa;uredun_euruJrlap as ps .laJa;s

1e J.reru jrac un n:ralBda uBJp1JJIU rJnJIJJ l_uls laJeJS 1n;1uoo ul.rclcrr l crer.elBJr lra^ auuld ur jd p-rag's r i ; "11ui,1i:l:_:_rnl ,'(l l lori ap 11o1e:ed, rS Furlsrp -a, ra.ra;s

Jnzec ug) lalru op rleleretl r.lnc.lJr":saurnu aslo.tlu ap o.ueJd ur:d p.lJ1s ug olrunrfoos- .arlploJap_ g|eierdns errro e1 e3 .rir.reji eiet nr gleFallnu lcJ nes pJrur rsru alsa -pfuelsrp

EisBaJBprep rpunrr lpar ols?-c.rar lsacy .ue1ii e1 IoraJSrjt,i::_^:l

ep efue;srp p.}elpr' e11e1eac loarp,.: i"; in-:J:.--r-ryr eznuatrodr m eje'"rnr'crqb-rrnloeJp I i [ ]unU] rnun plalBt a]sJ EzeJ rnJeJB

, rs auxJlJes ep 1nue1d ed raJaJS rnlni luar111_oatorct alsr nrluar rnrgr lB orar- un

"isn tero3,

JnJlLraJ.ulrd erar l nu aJBJ ueld un , . , , uranug aunricas BllB arrro (fpdfruilci- InuBlppdtIaJaJS Jp ]uorr aD eJprrr lnJnJJaJ i plerrlre.r**f4_9f:L ;err1.ra.r iualede 1n.,nlilo" er1s^^11n:olenro) raJaJs IB IBluozrJo

'eJeru rnlnc-l::

:..1i:L1"zs.ro erfcarord alsa raraJs lB letuozlj:",-1".j:o:- lnrnluoc pc aunds eiliod reru oS:1ry-lr__rp nBS eJerrlral alareole.laua8' nc rSIar-eJS BzBr nc ale8a azet nt'e1!eiq,

"p 1rpur1i,luls arer ,rrJels elB aluelci joJd aiolc.y'e.rd.risug arf raro:d ep ayaireld' u,io '"lun1"r,""gi n1,un:ii:::- 19nl "p 1u,;6 alua:eor_ 1rn'rnlloJ elsarv'laJeJS Jp aJpru JJoJ un nt aleFa tJnJJaJ truJs oJBf,

^l:il1jgl rj--teluozrro e;ueiedu';rnr4uLj pnopaloJ LrJd elurza:dar as EJaJS ,eJiuoFo.lro ailrJ

I

i

A\L'L'AT i"

il n*"-

ria!:-i.n-l

J: I

:n

Lff i ,

: t 1

: : -

t2. u."

4-_-

ET,

]ci.n! : : -

: - l

1 l

[ - -

f : ig. 10.21

llilnm; :e suprafata sferei (fig. 10.21). Se roteEteili lri.i]:iul M astfel incit si ocupe una din po-irii l ir , -e Mt (m1, mi) pe meridianul principal

'dM -ron al sferei. Planul tangent la sferd inlil l: - 'r)uflct Mr este planul de capdt TtTi, unde:l,il* '

'Ti este perpendiculari fe co-'mi. Re-,rrnEl-:id din rota{ie, se obtrin urmele T Ei T'

'ur,r r lanului tangent cdutat. Peniru pozi\iarrtnr'*ritl verticale T' se utilizeazd o dreapti oa-"niru;:t (hmv, h'm'v').

] ] i i : ] . SECTIUNE PRINTR-UN PLAN PRO.mifTANT. Si se detennine proiecliile curbeiuiM ntersecfie dintre o sferd gi un plan de capdt,mnnrg'enta intr-un punct curent M (m, m') ql*ruurlei de secfiune Ei axele secfiunii. Fie (<o, co')"*: ' - : l sferei ; i PP' planul de caplt dat 1i ig.li l -!i. Cercul de secfiune se proiecteazi peilrr,';- ' \-ert'cal total deformat dupd segmentuliu 'h , asternut pe urma vert icald P' . Proiect iartrtt;-iiald a acestui cerc este o elipsd, carelrrsrfi: :angentd in r Ei s conturului aparent ori-;;tlmmn:i, al sferei. Proiecfia verticali a centruluilnn":- :ui este c ' :e ' qi se ob{ine ducind per-t lnrrr t l : . . 'u lara din <o' pe a'b ' . Axa micd a el ipsei*nir : : roiecJia ab a diarnetrului cercului dir i jat

dupi i l in ia de cea mai mare pautd a planuluiP iafe cle planul or izontal de proiei f ie. Ease obt ine coborind l in i i de ordine din a' ; ib ' . Axa nare a el ipsei este proiec! ia or izontalSce a diametrului or izontal (de capi i t ) al cercului ,care se oroiecteazl vert ical in c '=e' . Deoarece1ab, a'b)) este un diametru cle front al cercului ,rezulta ct i ce.-a'b ' . Tangenia intr-un punctcurent M (m, m') al curbei t le secl iune estedreapta de intersec{ie dir-rtre planul secant 9ip1anul tangent la sferd in acest punct, plantangent care se determini cu o orizontalziG (9, g ') ; i cu o frontal l F ( f , t ' ) , perpendi.-culare peraza (<om, co'm') in punctul M (m' m') .Planul de nivel H' al centrului sferei determinziin planul secant P dreapta de capdt (rs, s '=r ' ) ,iar- in planul tangent lasferd, or izontala (u, t ' ) ,obt inut i ducind e pr in q, paralel i cu g. Proiect iaor izontal i a tangentei 1a curba de sec{ iunein punctul curent M este tm, iar proiecJia savert icala coincide cu P' . ln nrocl absolut ana-log se construiesc proiec{ i i le curbei de in-tersec{ie clintre o sferl qi un plan vertical sattparalel cu l in iafde pirnint .

10.2.4. SECTTUNE PRINTR-UN PLAN OARE-CARE. Si se determine. proieclii le curbei deintersecfie dintre o sler[ gi un plan oarecaregi s[ se gdseasc[ tangenta intr-un punct curentM (m, m') al curbei de secfiune. Se considerdsfera de centru ( ,0, r ' ) gi planul P dat pr inurme (f ig. 10.23). Planul de nivel H' dus pr incentrul sferei determind in planui P orizon'tala D (d, d'), iar in sferd un cerc mare,care se proiecteazi orizontal dupd conturulaparent

^orizontal al sferei. Se dblin proiec-

F' ig. 10.22

t ( l ( )

ffi

:imildr

ed ]Bn+ls 'lqlu lnluaurFes Fdnp pieurroJappeloi a.lzde lgdec ap ueyd lsace nr BtrEnlraJa$,,,,,,,,JaJS uJ eeunricag .l^ no xr6 purun aurfqo

'* ld plrlor Burn .Iara ipdec ap 1nue1dWrl^ap Ps llrul IeJlsB ,dd 1nue1d alielor esqS rnlnuuld p d BurJn ad qor e:elnerpuad.lad arnpaS '(96'01 'F11) rnlnuuld alerurn ,d IS d elC

'BJaJs o-Jlur eJBcoJEo ueld un nrtriBnlcoJa rrunrfcas roprfcarord alaxe piur.rninltr,J rnJlsuoc 1od as rarlelor Epolau pr.iJzrlrln'irSrgtrs uI '(,n 'n) lS (,1 ,l) luls apuncl alsarv'elEluoJJ iuls ounrlcss ep pqJnJ plsBaJB plelalueFuel 'l lunricas ale Fiururu nBS r?rulxuurerel.rpdap gp alelrund ul '(,b 'b) r$ (,d. ,d)

trlgs alcund alsecv 'a1e1lozr:o lugs aunrfrasmp pqJnr plseeJ? u1 elaluaFuel 'rrunricas eie.Ettrlupu nps Brurxeru ploJ ap elelcund u1 '(,o 'o)trnlcund alsa rrunrfces InJ+uo3 ',e rS -,,t lurs[.pJIlJeA 1ua;ede InJnluoo ed alenlrs aunlfaasep roqJnJ alelcund '6n41 : ,u,tu l$ ,n/l +ulselBJrlJaA rarfcaro;d elaxy '4n61 lnluaulFas alsa;tunlfcas B Fleluozlro erfcaro:6 .aaae alsa (,F ,F)lialeluozrJo e eluluoztJo arfcaro:d ?nou JBI'lco alse raJaJS lnlnJlual B FleluozrJo atiraro.rd

_BloN ' , I jd prelnr lpuad.rad luglgd ap erur l

?;o al; 'Foleuy 'fr rS rc lugs leluozrro +uar-ede lnJnluoJ ad aiunlrs eunricas ap laqJnr;[a]Jund ']bjd = ;s r* bd +uls alB]uozrrop1fe51ord elaxv' Ibld lnluaruFas o]:^o l lur l- l i ras e Rletr l ra^ e1foa1or4' Iqtu elsa Ia lBl-{IoJJ B plBJr}JaA aricarord Bnou Jer 'rto o}saloJaJs rnlnJluac B BIBrllJaA oricaro:d enop .Fad prelncrpued.tad lugrugd ap arurl Enou txroal l . ' ( f6 '01 'Fr;) 1eu1:aA zBr Bal iop IB. uI rBr' leder ap ?.eJ lnnrrrd rr l Rur^ap Es .)unrf tas ap

rz'0t '8rc

?BI

1nue1d lJrul IeJlsE '-a1ica1o-rd ap leluozr:o uuldap aJeqrrrrrlcs o rode li erfrarord ap JBcrlJeAUBIO Ap sJBqUrqJS O ArsAJJns aru; as rrunrf-)es Jolexp erfcnrlsuor nJluad .lJungfras aluBrulullu nss prulx?ru arupudep ep 1$ pulu-nu nus ptulxpru ploJ ep elelrund ;$ lgunyiaasJol!llJaloJd elexu eururJalep es pS .(,u ,u)

Vlnleund ur elueJnJuof, ,(,3 ,F) O RlpluozlJo otS (,t 'I) C ululuorJ o ep ltutlep uejd un-.riurrdpJals o-Jlu! ueunlfras lallsu pJeplsuoJ eS'BZpauJn uno pdnp lJexa_ so;nF1r reru Frualq-oJd. FlspaJ€ pA[oz3r aleod ag .a1e1npc (,4,ur'{u) gapraFuel alufcarord pururJalap (,ui ,irr)

ln lol tnd nr euna:durl ( ,p ,p) rS ( ,o ,o) a1a1e1-uoJU! arlurp alicasralur ep (,{ ,{)

In}JUnd-(,8 'q) nc p1a1e:ud- ' ( ,e 'e) lnpund ur:d psnp'( , , 'o) BIBluozrJo pdnp lueFuel 1nue1d elSauyg-ur aJBc ' ,11- 1nue1d JBrl lxne ueld ec pzearl-rln os aueld gnop J_olsace erlcasralur enlca;ap nJluad 'ry

-1n1cund ug (,ru,co ,wo>) ezet adgrylplpuad.rad alaqure ' ( , I t ) e1e1uor1 nr r$(,d 'd) plpluozrJo. nr e,lSaullap as eJpJ luaFuetruEld

-'W lnlcund ur:d sn[ FleJs p[ iueFuef1nueld r$ 6 luecas 1nue1d a:1u1p-a1{ras:b1ur epBldBaJp elsa -pqJnJ

plsBeJB ed ep (,ru ,ru) W

+uarnJ ̂ lound un-Jlur aunrlcas Jp ?qJnJe1 elua8uel 'ounrfcas ep raqJnr alB e1cfunda1le auriqo 1od as C IS ,H :o1aue1d alrr frzodplrrrre1 'leJeJS InJtrueJ ul.rd 1o1 snp ,J

luoJJep 1nue1d ap FlBurrurelep ,( ,g ,g

) V BlBl-uoJJ nJ IBlllJaA 1ua:ede rnlnJnluoJ eli-JJSJJlrrr p. l

: ( ,3 'e) lS ( , ,1 ' ,1) alalrund urfqo asdolBuv ' ,d IS ,rc ul pJlprJ as oJEJ , f l r$ r alrr f

86'01 '31:I

Fig. 10.25

tlllmmmnrn "'erticald Pi. Axele proiecfiei orizontalennnrlrtr ah 5i ce : aibi. Proiecfia orizontalS alf,ilrnir-,-ri secfiunii este m. Punctele secliunii,inml,:*nl:- pe conturul aparent orizontal sint ril i l l l K "r mod asemdnator se determini axelepmmnnre:.,ei verticale ale curbei de secliune.

i- I INTERSECTIA DINTRE O DREAPTA$ffii -l SFERA. Se vor considera mai multe,rrrrii ir*.a-.. diferite, atit ca metodd cit qi ca pozitierit ":Jr{::L.i in raport cu sfera sau cu planele delnr +:- :e.tttttt' $il s€ determine proiecliile punctelor derrlrltmhrrucfie dintre o sfer[ gi o dreaptl D (d, d'),mnr,rueli cu linia de pflmint sau de profil (ab,rmrh Flanul de nivel H' dus pr in dreapta Dillliliiui; . . .26) seclioneazl sfera dupi paralelulLr,llilr]]llnl1 :€ proiecteazd vertical dupd segmen'

tul m'n' , iar or izontal dupd un cerc de razao'nl' : o'n'. concentric cu conturul aparentorizontal al sferei. Proiec{ia orizontald d adreotei D intersecteazd acest cerc in o( $i B,cari se ridicl respectiv in a' Ei p'. Punctele(o, *') $i (p, p') sint punctele de intersecfiecdutate. Planul de profil al dreptei de profil(ab, a'b') seclioneazi sfera dupd cercul derazd o'm' : o'fl ', care se proiecteazi in adevi"rat l mlr ime pe planul lateral de proiect ie(fig. 10.27). Aiest-cerc intersecteazd in a" 9ip" proieclia pe planul lateral a dreptei deprofil date. R-ezulta astfel punctele (ct, a') ;i(p, p ') de intersecl ie ciutate.20 S[ se determine proiec{iile punctelor de inter-seclie dintre o dreaptil D (d, d') gi o sfer[ util i 'zind o rotafie a dreptei in pozilia de irontald.Se considerd 'axa vertical5 (2, z') dusd princentrul sferei (fig. 10.28). Printr-o rotatie denivel a punctelor A Ei B de pe dreapta D in

Fig. I0.26 Fig. 10.28

165

r . \ ru ap lnuBld -o]$aulJlul o sldEarp arBf,,o- 'o) ln lnlJrrnd InJoln[e nr eleurrr ]Je]ap

6a 0l 'Fl: l

98I

;.iod, ,11ia.irrl ap 1n,!nlo'"0 a it;lr"ta;rni :ner ar i tasra],ul ap ( ,d ,d) r i ( , r , rc) alalcund.;D as O BldEaJp nJ a:eolerauaF Jolsaf,B:asrelul B-I .sA rS r,r alareolerauaF gdnp lnuorraroricas a:el ,4

1nue1d aJnp es q eldea:p urrdr lnuor Ie ( ,^ , l )

lnJ.r I l u l :d ,1aJ1sy .snsr l lu lJop lnuoc rs pldearp ar lulp erfcas;a1ur:- as 'eJags nc q eldeeJp BlJasJelur B ep Jol

, laq 'r iar r$e1aoe pdirp 'e.ra1s'pieaudrirad?10Pa_lp urJd snp IBdBJ ap lnuBId. ,u,u

:jJlrrFas prlnp lBurJoJap Iplol leJrlJeA pzBali i jrJd as aJuJ lnJJaJ pdnp e.lals BzealJasJalut

tsarv '( lg'0t 'Fg) ,u,Q I$ ,ur,u:ol ir irald:ci: ;sreprr ap plup pyl lJ , l gJerr l ;al erfcarr ' reJeJs 1e ledrrurrd tnJnuBrprJeru 1nue1d u;:rs' '(,i ;n;'lnfruird l4^ ;j'j;l ,.:;;15;rd:.lJ lOoJp laJaJs InJolenJa oJB aJpJ InuoclrsLroJ as .JpJI!xn"

InlnuoJ ?polau pulzll l lnL>LruJ ds -rc! l txl |s lolnuoJ Bpo]alu pulzl l l lns o !S (,p 'p) q plduarp o erlulp agfrosr ap rolaltund a111ica;o.rd euluJalep es pS og

'( ,d ' f l ) l$ ( ,r ' r ) u1

;lrund '(Og'Ol 'FrJ) glrnrlsuor rJ e.n nu a:ec;r la o olsa FJecrlJal erfraro:d . le l . ln lnueJd ets:uozrJo eurn ed 1nu"lo1ie ,uur

lnluarriFts a:1sa

0s'0t 'FI i

:eqBJ ulp cigtrril as aJBJ ,alelner arfra"^ra1ur ap;irund alB 0d l_s or e1l:alequr urfqo ag .uru hgsrrlauprp 1n:nf u; a1sa1o: as aunlfres ap lntJa3uj aleqer os pldearp ad ap (,q ,q) g :er1rq.req uj aleqer 0s Floeerp ed ep (,q ,q) g :er1rq.te

rr:rd. rrn JBI 'lnlRqeJ nqs lnr.rdord aulrupJ? .EI

V - IN}JI INd . IAJAJS ININJIUA3 IB / I { IAAIU

.Jnueld ?d 'd lBrr l ral 1nue1d nc puiraidur itJJp B rS rnInJJaJ saJa]pqBJ BZBanlJaJa es:rralap ?l B nr lued 'e:a1s a1$au1g1u1 eldea. lpr u1 ' ( ,d 'd) tS ( ," , r ) a le lngr elapund 1u1sr lsaJe . rS O plduaJp eJlurp arfcas;a1ur ap

g1r_truozt1o arioaro.rd InJpJ B J.roJ un pdnp eralspzeauollcas d lurrlral lnuuld .q ulduarp uJjdsnp 'd l"J!Ue^ ;nuu1d Jslllxns uuld er pulzlll lnprels o ;$ (,p ,p) q plduarp o arluJ-p aiiias-Jalu! ap rolaleund a1;;fra;o.rd auluJalap es pS o?

nep r$ aral'q'r "'oLdr"rdJ,':.0#3),iftrTigelnipqrr atfcas.ta1ur ep alalcund urfqo ag .op alsoO raloorp paralBqBr. trJcuJ lajlss ,nq ur aleqeras FldBarp ad ep (,q. ,q).8 aJpceJso lnleundJBI ' ln lpqpJ nes lnrrdord aulruer u lni lund'laroJs lB leluozrro truarBdB Jn-Jnluor nr aJelBqeJFdnp ap.putor d InuBId ur:d eraJs uI aunr{Jaser lnurfqo InJraJ .(,e ,u) y lnfcund ur:d r$reJaJs InJluoc ur:d araJl .aJp) ,( ,Q ,g) y elupoz-lJo OJalBqeJ ep ?xB BJ puJnl ,raJeJS rnlnJluaJlB ,H lalru ap 1nue1d ad lncrac r i eldeo:poleqBr os Elseace nr+uad .(Oa'Ot .Fl l ) ( ,d ,d)

t i(,b 'n) eletrnpr alapund u; 6l eldeatp- ap'f rulgiuialsa eJpl 'eJBuJ JJoJ un pdnp erals gzeauorf-cas ueld lsecv .leJels

InJluar l$ q-ulduarp eplprr!uralap. '4. 1nuu1d J"! l lxnu uu;d ur pulzl l l ln'BJals o !S (,p .p)

O plduarp o a:1ugp agfras-Jelu! ap ro;a;rund ey;1ire;ord eururelep es pS og

'PJaJS PzBJlJasJJlulq.eldearp erer ur ' ( ,d ,d) rS ( , r ; r ) j la leundurlqo as FlnJpJ l l le lor- urp putualay . Id r$ l?oluIS alBJrlra.rr 11|ca1o.rd roJBr olp alolaund i"rgrseul l lu l os 'J. ueld r6elare ul pul lJ ,eunrfcaiap JJaf, isace r$ rq eleluorg .raJaJS

le 1eor1ra,rluaJBoB InJnluoJ nJ JtJluacuoc ,url? : urgp,zeJ ep JJoc un pdnp 1err l . raA JBJ ,uru

Inl-uaruFas Fdnp Jplrrozuo pzealcaro:d os atBJIr lBrEd un FraJS ul J!gl rq e1e1uo.r1 ul :d snpJ luorJ ap InuBId .()p ,rp) tq q1e1uo.r1 ap erf lzodul raldaJp ErlploJ aulfqo as exp ralsace 1n:nI

Fig.

De. f.apt, acesta .. :..d,j.:-I, o rabaterc a ltla_li' li L xilf ril 3"i,,.1,1,i, $:..x? j,' il,"';;' p r o'n u r

iffiti {ii ift,fi :u!ffi o&*t' l?,:,v,,xlptanete tangente la osferdparul.t" iu ii pran poat prin urme. Fie;rui, I l. ",* t [ :i, p i4 "i:i5.:i,:'"'J i:, *r ;sec{eazd r i . iu" in '"" l .ol ' .Aceasta dreaptd inter-

iff.if iT,-'J' if ;Xl+ii ir;$ J o?,I'.'f.' $liiifrJerifT^#*g"uY PARALEL cu o

ru#rt*nr*H*Nl*ffiI

Uiiln -'; "ffr t i"ilil,?:, !i cu aj utoru I el rep ter or

H I '"'i !i'il"(il';ry?r"rl.:t'lf in puirctere,H+:il iiiill'J.,,"H]j.li if .61X.F,,i oel'rwtr trece prin centrul (g, .,iuiffi;i.,or,."un,;r auxi l iar dus orrn glSrplg D secfioneaza5: d.ypa un cerc m-are,(lig. .10.82). piobtemaillntuft : e I i rezol va td asezin.t'il'.1 )i:\i,; ! ii,'diq: a cu raza sferci .i lll-o

pe dreaptd o lungime

ru: ih i}+ie:d "d {fi 't#i t:ji T,::T,ll'r"':rta D ca nou ,rii'_1,!!i1.i.iii or,l,Ht,T!l'rir :.5iin ci qi gi Ia intersecfia cercuiui rrrare alrw:r..cu noua proieclj,e .v9jtig91e a] I ,tiupr.,.

lff:l::,:#f,:l:,!1, a,) $i (p, B;jtnL*li.,pt,,F^T*ti:: In schimbarea de plan vertical tlcl'? i:| i ltxlr";;,il tTff r;1.'i.**i,:l_i:i; Fig. 10.33

r . { . , ' . o-

Fig. 10.32Fig. 10.34

187

SBIls- sursunrrlr !nlnrpurl!f,

"poleu pulzllnn

:l^n{::^'".:l t.ril'-o. ur (,'p ;pi q'ujoil;Jpxnp oguafluel egeueld "uirr"iJpi, H";;

-_ _'olelnpr atruaFuul eueld pnop elar nep:PJl.p nJ leredas a1un1 alrund enon'arsa.ru-Eor l , uJ lcJBoes alun[ €lJund pnop olsaJy

ii l3',*[;:] L iu,(j#,,%*,,i1'if ltT 1 { i: l'liTJiL'&' 1J'"'-'; [:':"] iLffi iii,".jj-JT]r"r nr qe nriiurfrp 5p'-J'nro,

^"J.11y, es praJ_s 16 uoc a.rlurp trcelubc apJ_'lerltra^ ueld nou nc a thuilo.tJJ"t #qBJ eD PYp- p1 nD nrr ,6, . ,^-^--{lrj^:l exe Er qu pu.;nf :ra.rais ,ninJ1un,

S" r:^11. *" p^

-t.n 18 I_d_,o d j iue1"a'o, o,lJ 1,rrB T-^arel'qer o yzuanl,:rila as' ,j i;",;;J;^t:11?r"

u1 asurrdnc iuls- alua;riei .j;;;;ng;:l:tii' fjli:9d ap ,{ rs 1a1n1.1"Lnf nnp

HfySii*i :I" "i,Xi,!,io'?] lillll,:jg :.1rjjq,n,nu,if'"oe ro es arpr e

:!i'iii.Lf";l) g""lg:lig# L,"if..l lrryrd :ilHi,'riy"*;i*i'f.|'t*J"H"Lff';**:is:;r.rdnr furii t" i"ru.i,a$.!on[:ilffijl fi::::..,j' d.,li;;'..j,^, tlTnt";i"ru.ni'JF:rarord es BJ.JS a8u_11e gnrnir iri.iunriiJ o'urNlud bna rruaorruvi*'lr"vro .6.6.0t: 1:.."."" y:i.ijit-pllp .s.'B 1 d i?a-rp' ;,r;; ;.n p i,

ffi' '3yjt,ili",militu:3'J::il;:j rj"piilj ii'i,f 'j'.,1',1',?,0"'","t"'1,*-jjr*:1g,...i,q,;d)yt.,qYjlu ra;aJi srrJiiunirn'inrior pr+ir""' d+sdJc uJ 9rals*,PI- aIraFu.etr 5pu614 .(,d ,dj

l:ilTj,rlti* ;1liq;,ttt3tg,ti l:lf::U,"'u",?1 v' ;'t;;*;i':'n1u1 ri';n''':j1I:.Li,,Lh,tr" l;Ty ,"pol",.' 'u,",,ifr i*,fi* 'd*iiii?1i,j"'i,?' ;h5.ill ?,LE-['ol nJluef, ap PJeIsr asnp arua'u'r .,",,",on-],,1r.Y.]P]S^itg!;o o ed ru;nrrpu"oi3o !*J'J, ,11,,, :*;t.-Fd'""r;asnp aluanuil bsiuuyd J"ifi,"iJil,,?;""i : il ilq;'li:",ff:lii:ifii ;:iflrt,tad uv'rncrqN:rduEd lruio*ruv"r trtio .8.a.0r

gC't i t '31.* . f d ,d) r { / , , , { r r r \ " , , ,^ ^^---

11 {h: sj:fi , i{'1,4:il : Hlt i'', il:ljsJ J8,ilj,}-uel_luls (vs 'v) 1nue1d' n5 a1"1einh nrpu,1, , n1olurdu' l :o1aue1d- ntn'.qn", irb. i ; i ; l i i .rarr3s

i? "#:"t# .1"'iu' 0 fu o'# " 1;', J.lt-",'; : tfi:{-u nJrrr Jn.,purp j ,"ilnnr,, ni.oll"",,-,"'.ll_

i;:*; il il{.r I $Ur r,,* }i:r,f"i cnes - (,or,e ,cou) ersa_,lnJnu'rprr"il ,i",ir1o

acluBId rn:lsaJB BrrrJn .

Siii f;r*'F;ft,! {1 ir"- i:'il}i? ff: P3,;!;;,::1, *tfirr ,i,*##i: ikl tflg .#{ #i'fi i ;{- ll-, 11: lll ;l #zuu,ri#;"i r1"?";!*' ;f,| f ""ili:' rp n j i" 1 i","d' nlpu' 1,,p it n i' a;ai's ;i;; "# " :;i,'

p, il j:,,3' l?l r',,,L"T?;

G6L

Fig. 10.37

ffie pr Till ( . r , c! l ,

ierei. :rr . : l - - i l r l

et. s. . rr i . , - j

Fnie l l thi - - -

imn r: - . :der i c i l indrul .c ircumscris sferei para_ir i l r r- - ieapta dat l . planele tangente ia acestr : : _ - .duse pr in dreapta D

"s int p lanele

, ' l l r ' r ' : - . : ta s lerd cautate 1f ig. I0.37). Curba r lerul l i : : d intre acest c i l indiu ; i s fer i este unlulur i - - t ie al sferei ; i -este si tuat in planul p,ril l lt l i i r ::i it centrul .sferei, perpendicular petluimrd: :: D datd. Orizontala'(r,li, co,a,), unie,,,rntu*d. si frontala (orb, c,l,b,), ui-,a. .rir,Ia;,ml- . _:.lte in centrul sferei, definesc planuT R,iui l l l i i : i -e intersectat de dreapta D ir i punctui; .- : l l_4..ft punct C ,* u'U1in" cu'ri;urin{i, , ,

- : : lnd planul de cal l i t dus pr in dreapta D." _: :e le duse din punctul C la cercul del :rur l i : : d intre sferd gi- c i l indrul c ircumscris ei

'ttltlrrtuii : _:ctele M ;i N de pe sfera ciutafe. haba_11u't' : _ mr, gi ne ale acestor puncte se ob{inur lr , ' r i . - : rd o rabatere a punctufui C si a curbeit l t t t l t , . :aact. pe_planul de nivel H, ai centrutuiiuttiirrr.f in jurul orizontalei (coa, co,a,) luati catiii i ir,,,, -r rabatere. Astfel , punctul C'se rabatertll .:,a. iar rabaterea ceriului cle contact semlrul - -da cu conturul aparent -

orironlur al.l11*'- Tangentele t1 9i t^n duse clin- co clauilr..r r_:rile m0 gl ne Car€ se rirlici clin rabaterel1, T t ' m') gi N (n, n').;T.:.^d:lermine planele tangente duse prin

I r ig. 10.38

nivel qi de front corespunzdtor centrului sferei(fig. 10.38). planul ",lrr,"i-?.

;;;;; dintresfera _gi conul circumscris ei oin iiiiui s 1r, ,,1este determinat de polara "b

t pr;; i ; iui s faf nde conturul apareni orizontat;i ;i;;;i gi esteplanul vert icaj np,. Anaiog, -.; '^si"; 'aa

urmaI: i l i : l ld Q', a. planului cle capdt in-care segase$te cercul de contact dintre sferd si conulcircumscris ei, din vir iut T i i ,- t-, ; . 'AJeje oouacercuri se intersecteazd, in cloud puncte M ;i N,in c,are^ planele tangente r" ;i;;i';;;;"p.tn

""r"cloui virfuri ale con-urilor, cleci prin i[rptu O.Planele P_ gi e au ca dre.aptd de intersec{ieclreapta (ab, c'e'), care intilieqt" .ieiu io.maiin. purrctele c iutate-M ; i N. nentru I obl ine1lt: i : : : l i , dintre,sferi 'qi clreapta

-1ab, c,e,),se electueazi o rabatere a planului veri ical ppe-planul de nivel al centni lui , i*. i , luina .,axi de rabatere orizontala ptr"riri'i! nivet

:afe se,proiecteazA orizontal dupd ab. punctulrJ (9, g') ramine propriul siu r ibitut, iar (h, h.)se rabate in he. Curba a" .oniu.i'siiuata inplanul P se rabate dupi cercui i ! aiurl tru uucu centrul e. Se obiin rabaterite mo-;i ne,care se ridici din rabatere in puncteie rfi ;i iicautate.

40 Si s^e. construiascl, in sfirqit, printr-o dreapti4.(P,^8') dati, un ptan tdng*;i l;

"o'sferi,utilizind o schimbare de.plan ve"rii.uf A-. froiecfii:: :..-.|lli:.-fi: rq, co')'centrul ii*i.i .j'ir,, ri,l$t (v, v ' ) urmele dreptei a (9, 3,) 1 i ig. io.rs l .

IES: { :ilt],€u i t , , ; i it f ; : , . i ll ;_- . . - .r1t . - : : t t

ie : - ,etri - art!3-: ; l: -'t; - , -'1

- a l

3i: : l l l

H ,i.rll l a " . - t '

_, " t i l

' , - ; r i l

lHl:,D11 g'). Ju-o sferi a.i.niiu-1., t,y,Lumr rund metoda biconurilor circumscrise iterei.'rlur :.rcumscriu sferei doul aonrri "rr*

au"1"--" .Je.S 1s, s ' ) .s i T ( t . t , t reipecf iv pinctetelr : -3 (psapta D (d, d,) int i lnbgte pl inele r le

189

'l

P ul ,UU rolerpeui ue1{ eallerl ;u a1$eu1g1fi"i11{91 r?rsearv .(,p ,p) q ulerlira.t' gdnpqpsralul as a1a rS alurllJe^ luls O ri 4 i:eo1

alaueld .(,r .c) 3 lnlcund ut tnir ln nj!_!_19t1lUcnu alaruol[rur urrd asnir',X r$r , . r - ' - - - r - -"- l ja* ur.u srrr f , d

n aJ€olsrparu aueld rorl rolor ur{ias.r51urF,il!"_

"., nrpau4al rnlsare asr.risrunaiic ra:l5s

ry?, '( t t gt 'Fg1) rnlnrpaerlal 1n;rgn i,s' ,s) S:rrjra;ord. ep leludz;jo pnublb'u, pXu;oinr

-f,gv ul?l ,cgvs

-nrpe"rlel Jnun isprs

06I

gldearp FlsBarV ,(Of.Ot .F1g) alfcalo.rd ep auelrJI z\ ,1 aipnop atar na {d-+/ rS {r_+, erulueueld

-ruo*r elrrnrqFun eceg.9{", ,(,g , i) V. uldea.rp

:lL?- * raraJs Iu_ (,, ,r) 1n.r1uac

"ri1:h ,e1sea"e

Pllla^,"ltoegord aq euuli {nop eier nr etup9.j: i_.^ttj"Jqiun grug ps'erui ,lireairul uelo ufi!t:p Efft o ut ?rsuln4suor es ps .eticaroudgg_.!E!.r\nd nc srvo ruriisonTi irovraUVC YUsJs v'I lNircNvr -NtlJ':or.a.or

!f:r* _y]rd asn p., era;s. a 1 alua;uel ."; fJ tffjr

aler rseurJep N fS ry pfuiFuul ap'etatclnd nbF:.ll.r9_rJ.y eldealq .(,ry ,r) ry_ 1$ i,u ,u) pl?:y^_r-"^! ,'()ur 'ru;'iv rs ()u ,iuf r[ ,Xp1",in,i".liT3.'t:jl .illI3?',

,srncqj .e11eioi' u11i pu!u

'_1,r.rg 'lH rnlnuuld eurn ad alenlls cdase'F isFl-y?lunl ap

-ro]elrund- e-te iur' rs'iu alejfra,raJ!!lreJord .aureg l* aueg ileluoi.ro olourn::.rnrj'_1 alBrrlral alauelil lul. rV BlBrrlJaA:.tj.l--E{nJr E[ asnp eluaFuel eueld' pndp ote3;Ltly-o_11- 1ua;ede Inrnlu-or -pdnp'er5g, b1e1' 1X]V-,P[ue-!Fa,t ad :u1ncrpuadrad a1sl rarajs lnrluacl l l l .np _/f{ .ta^Ju ap. lnueJj .gn;,i fr l izod:::::.n.]y r,$ 'q aleldaip ir'iurp id punurorBrElnJrpuad;ad uc tuarJrJns alsa eise6ce nJluad:t?l ,:gllv qeilrrS,r eur^ap BtrsEarB pusc pusd' [ i8 ' 'S) 'y eldea:p nr punardur3 drijror as::.?j1:r!-:ld, ep eueld ap u_alsts uiou'ug' rarajslirt_Y:_" _u1.rd psnp (lp .rp)_tg

t^rdnr ap -arle1,ir

:l :::..f1?prsuor oS .s : rxto purnt .arljardrdap lurrlr;^ ueld ap areqrrlrrlrs o fzeenliaga ag

garegs e1;gire;ord 5u;ruralof es pg oy'eJBJaJBo

lnJpaeJlel l$ urnce:d

ryg{-aq9ruu1d urp Inun-rtuJ 9jen11s FlpJ oill_?i lnJpaBrlel eraplsuor 8A as .nuogvurInNn ysrucswncurf, VUscS-.ii'a.0r

6

'arfnlos o lr lu allups nlr Bruelq

;>d +?o nrluad .rrfnlos nrlud alrur

ol'ot 'Fl.t

__=_F, 1

:i sferei ciutate. \aza r a sferei este-; := lungirne a distanfei de la (co. . , ) l ir . r ' i r fur i . de exemplu <o,ai .

$ilru ;r determine proiecfiile sferei circumscrisetu rrtraedru oarecare SABC. Se consideri

- .-u r-irfu-l in punctul A (a, a,; ;i se- : :*r_planele mediatoare p, e Si R ale

-: .AS,^AB_9i AC care pleaci din acest. 10.42). Centrul ( . , o j ' ) a l s lerei c i r_

: i= tetraedrului SABC este Dunctul de.r* r ?l planelor P, e $i R. p 'e epurd s_a:: ca P* = Q*. Pldnul de iront Fn:.:a .planele P .gi e dupd frontaleleqru{Li l r rLrEr ld pral lete r s l q dupa l rontalele

p' r , r ' r s i (km, k 'm') , care se' intersecteaz: jiitl 'rrru..rrr:::l^M (Tt, ry'). Deci intersecfia plane_:

_- . . . , , r \ r r r , t t . l . ucl . I lut t l l 5gcl la Dlane-r : Q este (P"m = D, p*m, = g,) . Cur"- - :arrului r le capi i t TT' dus pr in c l ieapta

A (o ' , B') sc obf ine punctul r lc interseci ie t l intreaceasta dreapta; i p lanul mediator RR,.ureapta hv int i lne;te 8 in to, care se r idicdln <o' pe 8' , Raza sferei este <,r ,ai .

L0r2-.!?. sFERA INSCRTSA rNTR_UN TE.TRAEDRU. Si se determine sfera insmisl intetraedrul SABC, fafa ABC fiind cuprins[ inqlTTl orizontal de proiecfie. Centrul io, o,) alsterei inscrise in acest tetraedru este pun;tulde ,intersecf ie al planelor bisectoare dl" ai"-orelor, care au ca muchii segmentele AB, BCEi CA (f ig. lO.aA). pr in trei

"schimbdri s imul-

tane de plan vert ical de proiec{ ie se pot rrans_lorma_ planele _fefelor SAB, SBC ; i SCA sdoevlna, plane de cap5t. pentru aceasta se iag:*Llu|, oux-elbc ;i-osxs.Lca. Se coboarii din snnl l le de ordine pe aceste t re i I in i i de pbmintgr se ra pe l iecare cota vir fului S (s, s,) . Rezultdsi , s i $i s6, care def inesc cele trei ' p lane decapdt ale fe le lor Iaterale ale t r iedrului . p lanelcbisectoare ale celor trei diedre sint planele clecapit PP', QQ' gi RR'. Pentru a easi punctulde intersec{ ie al acestor trei plane s'e ut i t i_ze.azd.planul a_uxiliar de nivel rui = n; = f.td.f,lne]e n ;i R au punctul A (i, a,) -.omun.l?e asemenea, ele mai au comun punctulS (. , m') , care rezulta.din int_ersegf ia 'drepte-Ior de .gapht (d, d ') gi (0, 8,) . Dreapta delntersecl ie (e = am, e ' - a 'n l ' ) a planelor p

iI{IililIN

flIf

rlt

II

iII

III

rfr-ie elfifr

lg0uillr

[ .-fl

-mnmu!!ill;]lltllr,

uP

Fig. 10.41

Fig. 10.49 Fig. 10,43

191

i L liirl,Ji H'"o,, ; [?gP h "3,1'J ilg,'V,,Ii.€llalouo rp rol 1n.rtruar (,rl irt) ;S ailrsittt-.111'.t:tt qi '") '(,T ''') 'ilg 'rt,ip

lj I y aJirerrp o ric ;alu.rud' ,etep "rij,

p,iopmuror_ lua8uu; ;nueJd iunre aurrirrnl.p "i

pgi l ' , { ) !S y alalrund alSaun ardr eldia.rp ap

G6T

:l^d-r^.ll (,p 'p) q atc .(Il.,rl) r$ (,4 ,r1) lugs:j:{:.:if,l9lar ar: lre,tu! !6 liarfp di1'alouro ap?JaJlyt? '{9?'0t 'Fyg) arags pnop'io1dj 51"r1uac(|to .tor) l$ (,o ,o) a1g .e1up arals gn6p ut unuorl.::1"-"1- !!rd un prnp ei rs (,uiei!-.1npunoy_t{ Jrlvq arlcsuro o ns "ra.rvuva nvsIqrLnllx roNnd run-Uri,r:rU j sho-',sueJsYnoo v'r Nnwoc rNsbNtJ NVii .era.or

alse roroJs u a ezer Blspare ",

.oug?Tt:1i3rlqJnu Jnrqr B rn lnrpar p lB, o o- roJr.slq* inurJl di:^1J.: ls:u111u; arfrar6ro J[ 5ue1o ai, ' ua]srslsare ur .. ulp Blerrprr e1ec11:ai . , j6 lgdec:9-^liY.1l,{.:yj \T FS Bvs rafes 'inu'e'id

",npn:18_) -4lcelord ap lBrrlra.,r ueld -ali a.requrqrs oq:":l_l-t9-J9 os rorals B. U tazej e is rnlirrluac e

, :.1[.u:!-lj.l 1al lca 1o.r d Bareu r u rala p hr1uj4 . arf: : : ! : :o -ep_leluozrro 1nue1d ug alenirs :olrrqcnuralE qB rs pr ,rq alEluozrro airr iearoid .,r i i j jOsorluIS €ratrBqBr .ap €laxv . (W.Ot :Arj1 rn;n jpaeJlellnrorralur erds

-(,s ,s) ln1n3ili alii riaieqi-r 1ar1

-rI?: _.p_ lr,urol 0es0erorr r n 1n r qFun rr1' r,rrw nrrnJ1J:-rj?: Irulua? atsa nrpaerlai 'uj

asr.rcsurl?1^t-J-:-ry]nrluer B. eo g 1e1uoz!:o e r f ca roi4 @plaj!::!ry_! npoTaw) fruuuag upolaur ]uiry111n:i:..lyy _.p f,gys Inrpaerlai u;'psyrcdu;

"ra1s:,ty,r:l.f lleod ag .r vzvr nc g1ritj plor o e1:!*^tl elsa rareJs Inr+ua3 .n.rpaej1a1 ug'asrnsugI1r1JS e ,1jro : ; ezw- gllizau' j0- ,,i) u!,DO rolrasrq ueld eallarl 1e'gzeipaiialur'y ri

!_"{n}9p lugs 11f n1os pnop a}tBJeJe3 :1,u ,L; r 's-:l,EJy-i3"Ei

ap alalrund af is-s'BloeirpetBuJurelep qugs aueld alsa-cy .J1ep' a.rag,:19t"" unruor luaFuel 1nub1d blse'(,ir ,p; q*rlp ur.rd sn p aJar. . , . / - , r-_r _r . r . , ,s ulp Bleun luaFuelid .(,{ ,{) I$ (,u ,u)"y alijcu"o ,isrl" I JJ w'ot 'Flg

9f '0r ' t lc

*r : '

f

l f l idi-rr . ius prin dreapta D (d, d') este unul:;nrtuu:t,e tangente comune ciutate. Problema

* total patru soluf i i .

, .U IITERSECTIA DINTRE DOUA SFERE.m rdutermine intersecfia dintre doufl sfere

5i sd se giseasc[ axele proiecfiilorl ie i . Fie (O, CI ' ) ; i (o, co') centrele celori=:e date ( f ig. 10.af. Se efectueazi oi:e de plan vertical de proieclie (o1x1 :

Lllllt- e-.tfel ca clreapta centrelor sferelor sii, ' . .ontala (orO, tu{ O') . S-au redus cotelcLii,,r. rr;ltrll lui primei siere. Conturul aparentLn --rou al primei sfere coincide cu conturulr in. :ent or izontal , iar noul contur aparent; i ; l celei la l te sferc este cercul cu cen-!- Curba de intcrsec{ ie dintre cele doui*r t ; , r i tuat i l in planul de capzit P' : aibi .

=-rele prolec{ ic i or izontalc a interscc-' ' i i ' - ; ab gi cd : aibi . Punctele si tuate pe

-:r le aparente or izontale ale celor douir, . : . i e, f qi h, S. Ramura viz ibi l i r a inter-r - : r proiecl ia or izontald este gbh. Analog,-: - .chimbare de plan or izontal de proiec{ ie

ltttl..:l ini axEle proiec{iei verticale a inter-l* a cdrei ramurl v iz ibi la este <p0e.

Fig. 10.47

10.2.1!- t . INTDRSECTIA DINTRE TREt SFF.t tE. Sd. selef9r{nj.ne. intersectia dintre_trei sfere. Fie A (a, a,),B (b, b') gi C (c, c ') centrele celor trci slere S' Ss $i S; dai;(f ig. 10.a8). Sierele S, 9i Sn se intersecteazi d-upd rrrr ccrcC, Sferele Sz gi Sr-se in-tersecteazi dupd un cerc Cr,Cercrrr i le C, gi Cn se intcrsecteazzi irr punctele M (nr, mt)sau N (n, n') cdutatc, in care se intersecteazd de aseme-nea.9r cercuri leCo crr C, sau C, cu Cr. Se observi ci planulP al ccntrelor sfcrelor este.un plan de sinretr ie. DreaptaI (E, 8') caLe unegte punctele-M ; i N qomune celor freis lere cstc perpendicLr lar i pe acest plan p\Direcf ia acesteir l repte poate f i deternr i l rota cu o br izontal6 s i o i ronialaa planului ABC..- P, Dtci pentru precizaiea pozi t ie inccstei dreptc cste srr i i . . icrr t urr s i r rgt i r punct 1kj k, ; 'a lc i (de cxcnplrr , prrrrctul i r r carc aceast i t r l reapta int i l -nestr . p lanul P). Pentrrr aceasta se rabate planul ABC :- ppe plarrul de uivel H' , l r r ind c;r izontala iap, a,p,) ca axidc rabaiere. Punctelc B si C sc rabat in bn ! i co,*Cercuri lecLr ccntrelc a, bn l i co sirrt cercuri rrari aie sferelor.( .e le t re i a.re radicale 12,34; i 56 ale acesior cercur i seint i lnesc inint i lnesc in rabaierea kn a putrctului ciutat, care seintoarce dirr ral-raiere in (k, k ') . ( Irc epuri s-a int implats-a int implat

r r--,:I t r 'rnur

DT:r ' i - .

d::r :;

/

F ig. 10.48

i93

d

01901

v6r

I

o

0g 0l Fl:{rolal auturoJ. (,u ,u)

N Ii (,ru ,u) 19 e1o1ou*U Tiipq,jt j l

u'Yi3'1,'llol' 9,;*, l, [,Jl"orp . pur]rasra]ul', L r T,s I$e l d earc' ( 1 nl* q pr ",. ii,?rl'J,oj":i, t1'J'1,it"'3

lrE J) ;6t 0l .11:I

o"l_1il9ll9?r urlqo as uBlpuJur !rnJroJ alsrrv .uprlrrr_:jnrral a:1ug asuy:dnr aleFa alale.rdns 'ap .rurrri.r 'o'rimtpe alu8a oJIJals IJnsnI ur prpTr^rn alca r1r-r ,oll,p_t- _n]u8" ecrrajs r:nsri3 ug uiezr,rrp ilsb ra:ag,::"t_.1_1. ]lyry-d uI - JaraJS B p,r riuurixij.rde eorein6 gsr l a lezrpln rg e 'aJrqrsod

rolapolai l prurpnl l l rnrut.-i_cp

^rlrnlur oluluazerd luls 0g.bl e:nFr; uJ .qi5js o

.".Isap E n;luad a,rrleurxorde apolaur ali jalip irsixrr{-sdlr ts n:}uad a t leul txoJde apolaut alr . latrb brsir :rvrnsplsepeu pfulurdns o ,ar1S os'u.r 'n l cai ip : j jsa 'e ja1!

ls v y^rrvwtxoudv vsuvunsf cs3( '/rt.di

i "--':,:n l^q.::d-.1j g p orars,,,,,";5i "J;i J3: Ji,ls3"yi' : pnop a11.r pundsa. loJ aJplut loJ al lJ lorr lo aD aJtuaJ_:1, :onj l

aruratJ Bl . (ar f rn: lsuor. lBnlJaJo lp lu u.ret:rda ad) aJaJs ral i alal al lurp eroun luoFuet uerr l; . , \1; ": l drdjs rdrl dlar arlulp eroun lueFuetr ueld

"i t ' ' ( t "O pldea.rp f lspare urrd pulcnp auriqo es:?l ueld lsacy .€6 ,u.r* ,tt_l eldea.rp u,rd ,*i1 ..1,j,.,tt^t_:"y::-l,l.3ue1 ueJd un ,:epe6y .1406 nes) a15:uo ap alarluoJ uI-lnJrJA nJ a;aJs rolsare si:rsrunr:r.,rr aluaFual

1ul: *S r$ 15 :o1a:ags aunuoJ alua8uul

d (""O nus) d6 at lolouo op alarluor tr1 [nJrIA\ v - . -" / (_, vr+e+vrrv vy dldr ludJ uJ InJI IA;:rrs rolseJe srrJsrunJJrJ lnlnuoJ aluaFrrel 1u1s 65 r$

rr: iraJs aunuor e1ua3ue1 alaueJd .aJoJS rarl Jolor:-:a: 1nue1d u1 asurrdnc pur,g. '6rn,u,io" 'r* -rip::rs araJs roJsar? ayu os:e,rur rS

"1cai1p n,1j1o,i.,olp

-ri (qt'O! 'FrJ) elep 8S I$ aS ,rg ,"ir1r'rarl rolaJ

:11._!l '8o) -1s

(% .uo") ',(to" ,r"j ",.r"-;; ";:I,

i

:t^ ,l]9l luaFuel 'uuld un eulurelop es pS .AIVf,

JS r.rur v,r Nnwoc JN:ICNVi'NV]d" ci.:br

{E

s:e:rPi

lor.:ii:-

rPlrii{*

&a

Fig. 10.51 D

; . sierei. Lungimile acestor arce se recti f ic it t [Lu,nr:-]e 102030405060. Pe orizontalele dLrse prin

!r . r , ie se rcct i f ic i arcele de cerc EF, 8C.. . in\[ , , etc. Aceste construcfi i pot f i urmir i te pe

r . i iguri le 10.51 a gi 0, unde este precizatd ; i\ pe desfdgurata aproximativd a fusului V

u r,-:ctului A (a, a') de pe supraiata sferei. 1nliiiLn :lgura 10.52 este prezentatd desidgurarea apro:_lgura ru.oz esre prezentala oeslagurarea apro-

l ::nei sfere considerlnd zonele sferice. numero-ilLlnr rr _l ia g, ob{inute prin sec{ionarea slerei cu planeNultL. , . acest caz se desfigoari porl iuni le din supra-l t f i f i tv 's :uprinse irrtre cercuri le paralel i or izontal i .

LlMs;i,rurare aceste zone slerice pot Ii aproximater . - tanJd cu nigte t r r rncl t iur i de con. Ai te nretode

i ! r i

Fig. 10.53

pentr i l desi i i$urarea apro.ximativd a sferei se l :azeazh pecorts iderarea suprafe{elor pol iedrale regulale sau semi 'g icvasi-regulate cu numar mare de fele i r rscr ise stru c i rcum-scrise sferei. Pe aceastd cale s€

'ajunge la structuri le

spaJiale ret iculate sau la structuri le geodezice at i t deuti l izate astizi in constructi i gi arhitecturi ( f ig. 10.53).

Fig. 10.52 Fig. 10.53 a

195

96I99',0r '8tc

aursoJ; ep ;S gue.ri'dsuurl fra1s i. fr;F;;, :U";

lncre 6.o urp purrrJsop X' nll ,h, .,;:"lt:

uI *a1ep

ara1s rJJl Jolal rolo.tluo.r 1e 8.aaor,o1e'r , r o1u1no:F op InJluot uJ lu l l lozrJo uze,)J

;ii?ji,1;11"|o:,?jil'"Ii:l:'?. !'q 0r ;rtr) p1qnp szurri,l ", * i;;;r i ;,i;;if ,.l'1; xifi ; l,i;';"",1'":3ii:i J;rzrsu rs t?S I 'Jrrjs rp'ir lrnJ1iuo3 .if iVlit jV':8t.a.0 t

: lil l: i,",ii:- : I :!1,,r,i,r i,,,li1,il gn" g',, uuj{i, :j j;l ".i,'Jl, TJii-rxordB :o1o1uLrr(u1sap ruioLrriqo ;i ir j,r, lpfjrrri aiscrv

q sg ot 8l.t,P

- Balei lpouoc nrtuad) aFl lz as I?rr lulr lJr 1rlh.unrr l1

{s-g 0l '8rg) rrrrir a:o;s ra.r1 rola) alrr}ual ap }pruroJ', ] , lutyl l ,y:gnlnJqFunrrl u q earuri lgul Rzr?otnrttsr":_qr_: \ ezer op eraJs 'gjeuoFo;.ro'5ij; j ,;;-; iq,rp

;ljxjJ,l?,"j:ii. :il{:_l"jl 19tn, io;.re;xo jlu"a,iil ;s:- s llil: .tosralu I e; ua;uul

1 lrajs eur,ir.rjl-p ir-!!-i1"po :ojj:t_u!_q.u"Eg"l ls pnop atr;J gnoir a1eei1u1 qiraduul:_t ezer op ,o;u8a a.la;s ;ai1 eze$e Jbn'as R:;j, i;i;;rw"r"luozlJo ueld un ed qtui

E! )rrrsorR tn 13 r,r,,a,-r^1.n-t-*- qz - U ?zPJ ap 'PIIWI

.Gr ap

: :?qEl

r- 5un 1t1

L :: _l - ,1${

I : : -gn:: , iaturi dreapti de capit (ornor). Se obl ine

' i ' ' f f i - 52.. ln felul acesta proiecti i le verticale ale. :e:elor mici sint determinate. Se poate ajunge

:ezultat gi printr-o construc{ie gral icd. Mai:a.-.:ru ob{inerea centrelor o:i 9i <oi ciutate se

"lre: l tele a'b' : c 'e' : r : 30 pe vert icala- - . i idianului principal al sferei mari. Se unegte

lDslr ;"1-: , ' , - cu b 'g i cu e ' , se duc paralele 1a acestertltnirf i ::;n a' qi respectiv c' apoi se considerh fie

r ; - . , t segmentelor o, ib ' , o:1e' f ie dreptele oi t '

qW

rrur :rei conuri de rotafie de inilfime 100, cu bazele,gale. de razd 30, situate in planul orizontal

:tre ele doui cite doud. S{ se ateze in spafiulrm ::re cele'trei conuri gi tangenti lor, o sfer6 deum ji[t. deterininindu-se iniltimea centrului sferei

,uu r rrul orizontal. Si se deseneze apoi sferele de'mr:rnd qi minimd care indeplinesc condifiile din

!: : ;ege tr iunghiul echi lateral SrSnS, cu una dinr- : - r id de capi t ( f ig.10.56). Paralela pr in b 'r - . - : id de capi t ( f ig.10.56). Paralela pr in b '

rrr i l 'n:, : iea S1a' conduce la centrul coto' al primci:1,- ! :e. Pentrrr celelal te doui sfere sc considerd| . . :a in 51 pc geuer-atoarea Sja', precurn ,si

Fig. 10.57

bisectoarca Lurghiului xa'St, Se ob{in proiec{i i le vert i-

cale c'r* gi ar* ale centrelor sierelor maxit ld ; i minirnl i .In epula dirr i igura 10.57 csle prczcntat i i q i o proiecf ielateral i l a ausamblului de siere astfel deter-nt inate.

I0.3. PROBLEME PROPUSE

lo Sd se deternti tre utt paralel orizontal (sau de front) alunei sfele cunoscind:

a) cota (dephrtarea) sa I;b) raza sa R.

2" Sd se deternrine planul tangent la o sieri i datd dttsprintr-o dreaptd de profi l , determinath de pLrncteleA (a, a') ; i B (b, b').3o Se considerd punctele A (a, a') ; i B (b, b') gi odreaptd D (d, d'). Sd se detcrmine pe aceasti dreaptdproiecl i i le punctului M (m, nr ') astfel incit :

a) MAs + MBz =: BAB9b) zMA: 3MB.

4o Sd se ducd la o sfere un plan tangent de panti i datr i ,paralel la o dreaptd datd (Numirul solu{i i lor).5" Si se determine punctele ur.rei sec{iuni plane intr-osierd pentru care cele douti proiec{i i ale tangentei sintparalele.

ri:or;llureri " -

ximl

tteric,;r s!e**

: i" tl;

0 : . r - '

Fig. 10.56

r97

$ ij v rnlJund ur.rd ara:l iir!'gi;n'u'rl,"r, jiT#;l-Ji,1:',1" :{jj;tjnl.Tor.,"uryya1ep 6d ps :t,6 ;"t ilrrrrf o,@rlrqre pund un r$ erf ca!_oid .p" lJiu"ral j;lr1oi lLrnlrs V rS q alaleied i loa:p enop e.reprsuoc Jg o7g

#JH,i'":lT.T?T.*:o:t:.-,,-11;iL'J*[t#"f l;yT?_1ltnrol olrriroro.rd.alltza.rdo: "r' 'ng

i1 ii r'.pr,1".q.8 .qE) rrurlllJar aluaru8os'pnop praplBuo.j' j6 "Cg..r .o ro,#:frtl:Td j#f.3i:'"p "1u'l.'p'qris ad ap rolalcund inror fauiruai" ,i ;3inl'nii$",

! ;(,I_:? 9-pieluozr.io 1$'eoare ad_alenys g r$ y,a1ep.11 5,i" p., l,l,y, "t

s S .: f t. :: u31q- e." n f i 1 J.ii' 1wir eJB . aluarede alJrniniuoj pr6",nifuo-r,.r'iil.ae'erioaro:d ap leluozuo IlIuJd. ul i1p1,rnr1*i ,,pt :u3ire ls.g PJP+UoJI nJ- j.qp, Fpr'oc o Erars ",r?'rtJi'?X ".11t"?"1,3,T1i": :q;,{."f.,pqr_ro. o FraJg pls'ars_ul prirrnjlruoilJ J.{,1 'J) J pleluort o rS orlcarord nb irrui,r,jo inurra irialsa (,.') .o; n:luai raiqrle p:ajr,o,prn$isi,;;;d-.id

.usrrJsuJ Brals o-4ufrd.1$ (,s ,s) s nps Inlr!^:rur;ap arfelo.r ap uoj un ,i.!p,,il ci pl.irirp

" jli";o

',alur 0p ;o1a1cund a 1 r r f ceriiid'"'u,;j5iJi - 5r' RS

t;;t

,nl^"r:rl1' 9.trJ Is (,p ,p) q plorr; Stjr'#?T?,:lrp o pl l 'nps alsa ar'r 1nua1d euruirol"p JJ;"S-:;;

,, -i i!,:ilil1,",?';:, jlTlT, Ji;1,ifl ti .1, *r5i

teJ pluaFuel .flBp d Ezer ap,rril?,,ili"8 #rl":jgur) ry pund un ap pf es ,,rq(jf",1l,X,Tt^"#jl, ;,TJj?r q Fldea.rp o ujnp'ai p's (,e',e)'y,t; ir;;;-;t i ;

.9a

' ip 'p paurrursB oo ,r .ue1d un eI 1 i o lnp ( ,q ,q) gt iu) V olrund enop -e1 aies ,1r1u.n1.,i i 'pi,,3.Jun..,t 'u) W lrund rnun jlrri5arri.rd ";, i;;;;

5.",iI ^*, r , , " . ,v r , ,q, , c i l r+Jdruru suI IuJolap as ps .0,

r,ii;l.ryl: jly^i:,:,:.:f .:r,i,'15:';il',1L'J?rff pTi- 1u_lruor ra l'urou jy 1 1 i J3loili !ud, j;r;; Ffi P.#:rs :alB I nrled r nu n ar'e' irn i e 1 n 11"'a n f ,i, ", y" u1 ;.-ai,'"1s a1e elua.rede alrrhrnlubj ,J,ur;i;p "ir- ' i i l ]gg

r' o,rorrlini:,:"ii1ti:, :!'rsrunrr Ir 1 n uor a1$4u11 1ui; ii: u) is i." ;; i : I ;[f : ; ii5','1,T,-"j$ i,ljg:t; i;;

,r :ir g.f{i#*i,!i?1{i3 eT J,t % ii, [".,-,i 3;ii:;1:.d lruilap alieior a[ ;.ld;,;,;';;, ;t,oJh*o ,\,c! ];e,,,;i,Hf; ,liiloJ,'.l$y;ji,':?,"J,i63,xx13T:;i*;j v rnr}rnrr ,,,,, ^^^,.n1991p_Fnoq

roloc e1ua3ue1

B6I

reruoztJo 1nue1d nc b at i toto;d op

,,,*,1'3o,rj,t?"T :l3i ;lH3ffii [g: ii{ lljffii.i"Li ?3'-rT:i:ii'* w +l*r "lulrlx,?lJt'l,til,.,? jj,{,3:f, i,?ifi txilfk":[j#,,,,ilJ# j;(,S 'e) q r{ (,e ,e) v aLlf]rnd rrlrd aro:1 nrr, ,s ,,pr?l!8ap oueld rolaqup pjua8riel p.re1s o p"r"l'";;;;";"s FS.0a

f '{''j{ryiilrf '5ll,"i'J"r,5'13iY',.iji:i'f 'f,f .:yJl{,,T;q alderp rarrn z ,p u1'e.,rfian i,iluirriniiirr.iqlp o, 99 "61

n ry 5 ili#i,l;lii' "lIrr'lrY- jlr:r: rs'iij3lYt$" "rrii q,r '41 J;ffi ;i,,1::i",{ily,#tEi liii i:llli

;i :3. j: J't ri fl [ i # Jij;l;l# :d #tT,#'#fi ",",i,,i: lli"T l,: i jilTi J "_ r#i,i' J ?:l,:ilii; h tdl"r'

u, r arplii"iil?l?'iilt# o " o I I rnrn I uor P JsB I nrrsuor es as

:l'f",,',*t jt'TiHIl:i'',t'Ji$',[:i"ryi,tlTf llil,ljin 3 "-lffi ii, i j, *iTri h t-l# ilr":i#fi [ {t ?u ". o J,1JJ."#i3 31 i3, 3i?' ff Tl ?:lg, Hi Ji":,:3 Ui 5f1a1u;1 pluaFuel elso 1$ ,rll:...1:::^n ulro rr.rr'lllTi3rip,a1e eluarede alrrnrnliro:

l'?'$ l;3l;;;lliiri;: ii T$i iltfi di"'i'i:3 "jj#j p ri r, d ;arb ;fi ;UF5J"; til?i,]3il?,! l',/,,1 o',lff 1?ji

i11:::".:,-'it?"'ill',lTo'".i.1't:yU!"'?#, j'L'#i"$;,'i*pus.re leln;ar nrpaejlel d"-Rr;id;;i;j';,j'j;fi,# Rs .ararf cas;a1ur.f t"drT ji,',io"r',],{:3,.lloor,i,HH3i,:J-tt:if.plep u ezvr ap prars o f!'i:!'?i 1[,tJ',ui o''u,?tX.j;;,1rseoore ed alenils 1,ri ,d it ti 1,_ r,i; i"r1r]3urnf,l,r4

"91_ .d

I$ u ,ru alpp^_aJournu ra: l nJ eleuorf.rodo:d

iijliii!:'3$,J:,'$';il^"!fi U,Alry;lUl,'.'Tj',ilEzBg pulrsoun" cgv's njpae.ilal in drrJinil.uotJ"o, pg .6

* if ,tly u,''',11# fi 3,,T#ii i, "' X,' ; il lifr .;,,g,*: ii;S,, ;t 3:';3 l"', ru'fi:g"l,s-.qt v dr d J., fr ' " 1 i"y_".! g ur* 1i';.pd ". p ", i", i #i.;ii, 3lT, tHl {; H i] f,Jli?d'.j

iiii [e,i "1",";1. i:i::ri i' ir?]s,:jl#H fi;pnop_Bl ales .ro1eiu"a1sro^r1.1:bgej lljur i5li* ilL ,rt wlrund un (,p ,p) o ^eidea:p^o ,,i '.ri,,i i iJi.p,,i us o,rBI arBJ u'.,, ot'{ :il3i[#:ljt,i? li,,Hls,Ji #*i :;;:J,:9 ,,?H 1,'.p,:,",ilttt.{:;un un ̂eces ur r,'ilH;lg\ yB rnun ln.rnf ug 6 ririld un pjsrip.r'is !ir.-66

ul a. \ \ '€: :a l doi lee r

apir i Dunct B rb, hldaia. .

r ' ) pe a: ir l rne c i l :runctul A

erd de;ala

rpid D ld"rctM(m.r

uenta l ;

a, caie: :dat .

r c dist ; - ; i l i rla Ce:c:Tl

Lr ' , - : i i p lanul P dat pr in urme. Sd se determine

' l e..le . -:,,riu0llI i f , i ' *h i i , ,tz aab. a 't tillri a i '1:- : tnul

- , . ;era punctul A (a, a ' ) s i tuat in inter iorul

t ; -

" runct A (a, a') si se ducd o dreaptb-a t reaci la distan{e date fa!a de prrnctele\ (n, n ' ) s i tuate pc aceeal i or izontala

-.-- . t ru iascd conturur i le aparerr te ale s ierei. : : ra drepte date in doud-prrncte date.

:erh trei segmente recti l ini i (ab, a'b'),ef , e ' f ' ) , Si i se deternr ine proiec{ i i le punctc-, :e: te t re i scgmorte se v id s imultan sub-urr

ir."i c singuri pinzd. Ca imagine plasticdf : - - iuprafetre se aminte;te, de exemplu,

r , r - :e:-b o sfere gi o dreaptd D (d, d ' ) . Sa se

n , . :_sint tatrgente celor doud plane cle proiecf ienr 1,ceprof i lPdat.

lliu rur til]

. : t :u iascd sfc la carc t rccc pr i r r prrnctc lc A, B'=-gentd la o dreapta D (d, d ' ) 'data.

uutmr', . - tmisferd

se agazd trei sfere egale tangente:angente emisferei i t r puncte dc cota data.

'nt"r: : l ie aceste sfere qi sd se construiasci o sfer; jr , : : tangenti acestor sferc.

- :EUL

DEFTNIT|E. TORUL CONSTDERAT CA

i in:; cercului, astfel incit suprafata va

l iu. 10.53 a

tor. Torul poate f i def ini t qi ca suprafal i inversda uriei suprafete cilindrice sall a unei supraieteconice. Astfel , dacd se transformi prin inver-siune generatoarele unui cilindru circular ver-t ical (polul de inr,ersiune f i ind pe axa suprafeteici l indr ice), se obt ine Lln tor care are un punctdublu in polul de inversiune. Fiecare genera-toare a ci l indrului se transforml intr-un cercmeridian al torului . La fel , t ransformind,pr ininl'ersiune conul circular drerrt se obtine untor cu dou2i pinze, care core\ l ruud celor cloudpinze ale conl l lu i .

lu.-r .2. REPREZENTARE. SECT|UNT rN ' , rORPRIN PLANE DE NIVEL SI DE FRONT. S[ seconstruiasci secfiunile prin plane de nivel 9i defront in torul cu axd vertical[. S-a arzitat cz'rtorul este suprafala de rota{ ie generat i pr inrota{ ia unui cerc in jurul unei axe si tuate inplanul sdu. Fie (<o, co') axul vert ical de rota"{ ie, s i tuat in planul de i ront F, ; i f ie cercul dctazta coia' un neridian pr ir ic ipal al supra-fefei , cont inut in acelal i plan de front F(fig. 10.58 b). Conturul aparelrt orizontal altorului este alcatui t din cercuri le concentr icede raze coa (colierul) qi ob (ecuatorul). Cerculde razd <ozco este cercul ni j lociu al suprafe{ei .El este egal ca razd. paralelului inferior (c'e'); i paralelului superior lc iei) . Conturr-r i aparentvert ical al suprafefei este formai din proiecl i i levert icale ale acestor paraiel i ( infer ior ; i supe-r ior) ; i d in cele doul cercuri , meridian pr incipalde centru coi ;i co{ (rnirginite de tangenteleexter ioare conrune). Secf iuni le in torul cu axi i

illlliirf tillf

Jd

t- - -

:,r iltin: ,illillll

$, " b ifllliL

t E€.::n,nrilMl

t l . : 'ryq11,i,,,.€ i : : - l : : l l l l .l !:: : -: lmiif:-

" :,:: l^ilillll

ll r.

m,4FATA INVERSA. Torul este suprafatalflnr"rr.rul patru generatd de ul1 cerc iare se

O. i: fliii,: D i" lil'iill

millll t

ie salvare. Dacd axa intersecteazimrtu -:rul generat in^aceste condilii prezinta,u r * la inter ioard. In acest caz, cele doua

r :,e suprafefei interioare gi exterioare:- : cele doud puncte duble ale suprafefei ,

, : punctele de interseciie dintre axii si, : punctele de intersec{ie dintre axi pii - : rafa{a lor prezinta un singur punct

: ::ca axa este tangentii la cercui genera-

1 f) {-}

a