5/11/2018 Functii Injective Surjective Bijective - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/functii-injective-surjective-bijective-55a23690d64a6 1

FUNCŢII INJECTIVE

Fie A şi B două mulţimi şi :  f A B→ o funcţie.

Definiţie:

Funcţia f se numeşte funcţie injectivă (injecţie), dacă

( ) ( )1 2 1 2 1 2, , x x Ax x f x f x∀∈≠⇒≠

Definiţie echivalentă:

  Funcţia f se numeşte funcţie injectivă (injecţie), dacă

( ) ( )1 2 1 2 1 2, , x x A f x f x x x∀∈ = ⇒=

Metode de studiu pentru injectivitate:

Fie :  f A B→ , ,  A B R⊂ o funcţie numerică.

Funcţia f este injectivă daca are loc una din afirmaţiile:

- ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , x x A x x f x f x∀ ∈ ≠ ⇒ ≠

- ( ) ( )1 2 1 2 1 2, , x x A f x f x x x∀ ∈ = ⇒ =

- f strict monotonă ⇒ f injectivă

- , y B∀ ∈ ecuaţia ( )  f x y= are cel mult o soluţie  x A∈

- metoda grafică (nu constituie o demonstraţie) : funcţia f este injectivă dacă orice paralelă la Ox va intersecta graficul funcţiei în cel mult un punct.

Compunerea şi injectivitatea

Propoziţie:

1) Fie : , : g A B f B C  → → două funcţii injective. Atunci funcţia :  f g A C  →o este

injectivă

2) Fie : , : g A B f B C  → → două funcţii. Dacă funcţia :  f g A C  →o este injectivă

atunci funcţia g este injectivă

5/11/2018 Functii Injective Surjective Bijective - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/functii-injective-surjective-bijective-55a23690d64a6 2

FUNCŢII SURJECTIVE

Fie A şi B două mulţimi şi :  f A B→ o funcţie.

Definiţie:Funcţia f se numeşte funcţie surjectivă (surjecţie), dacă

,  y B x A∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât ( )  f x y=

Metode de studiu pentru surjectivitate:

Fie :  f A B→ , ,  A B R⊂ o funcţie numerică.

Funcţia f este surjectivă daca are loc una din afirmaţiile:

- ,  y B x A∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât ( )  f x y=

- , y B∀ ∈ ecuaţia ( )  f x y= are cel puţin o soluţie  x A∈

- f surjectivă ( ) Im  f A f B⇔ = =

- metoda grafică (nu constituie o demonstraţie) : funcţia f este surjectivă dacă orice paralelă la Ox, dusă printr-un punct al codomeniului, va intersecta graficul funcţiei în cel

 puţin un punct.

Compunerea şi surjectivitatea

Propoziţie:1) Fie : , : g A B f B C  → → două funcţii surjective.

Atunci funcţia :  f g A C  →o este surjectivă.

2) Fie : , : g A B f B C  → → două funcţii.

Dacă funcţia :  f g A C  →o este surjectivă atunci funcţia f este surjectivă.

5/11/2018 Functii Injective Surjective Bijective - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/functii-injective-surjective-bijective-55a23690d64a6 3

FUNCŢII BIJECTIVE

Fie A şi B două mulţimi şi :  f A B→ o funcţie.

Definiţie:

Funcţia f se numeşte funcţie bijectivă (bijecţie), dacă este atât injectivă cât şisurjectivă

Metode de studiu pentru bijectivitate:

Fie :  f A B→ , ,  A B R⊂ o funcţie numerică.

Funcţia f este bijectivă daca are loc una din afirmaţiile:

- f injectivă şi surjectivă

- , y B∀ ∈ ecuaţia ( )  f x y= are o unică soluţie  x A∈

- metoda grafică (nu constituie o demonstraţie) : funcţia f este bijectivă dacă orice paralelă la Ox, dusă printr-un punct al codomeniului, va intersecta graficul funcţiei într-un

singur punct.

Compunerea şi bijectivitatea

Propoziţie:

1) Fie : , : g A B f B C  → → două funcţii bijective.

Atunci funcţia :  f g A C  →o este bijectivă.

2) Fie : , : g A B f B C  → → două funcţii.

Dacă funcţia :  f g A C  →o este bijectivă atunci funcţia f este surjectivă şi g este

injectivă.

5/11/2018 Functii Injective Surjective Bijective - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/functii-injective-surjective-bijective-55a23690d64a6 4

FUNCŢII INVERSABILE

Definiţie :

Fie :  f A B→ o funcţie. Funcţia f se numeşte inversabilă dacă există o funcţie

:  g B A→ cu proprietăţile: 1 B f g  =o şi 1 A g f   =o

Observaţii:

1) dacă există funcţia g, atunci se notează cu1 f  − şi se numeşte inversa funcţiei f 

1 1 B f f  − =o şi1 1 A f f  −

=o

2) inversa unei funcţii, dacă există, este unică.

Teoremă

Funcţia :  f A B→ este inversabilă dacă şi numai dacă este bijectivă.