Notiunea de functieNotiunea de functie

•DefinitieDefinitie Fiind date doua multimi nevide, Fiind date doua multimi nevide, A A

si Bsi B, si o lege de corespondenta (de , si o lege de corespondenta (de asociere) f, care face ca fiecarui asociere) f, care face ca fiecarui element x din A sa-i corespunda un element x din A sa-i corespunda un unic element y din B, spunem ca am unic element y din B, spunem ca am definit o functie pe A cu valori in B si definit o functie pe A cu valori in B si scriem scriem f : A B.f : A B.

•Multimea A se numeste domeniul de Multimea A se numeste domeniul de definitie al functiei sau domeniul definitie al functiei sau domeniul functiei, multimea B se numeste functiei, multimea B se numeste multimea in care functia ia valori sau multimea in care functia ia valori sau codomeniul functiei.codomeniul functiei.

•Elementele multimii A se numesc Elementele multimii A se numesc argumente ale functiei, iar argumente ale functiei, iar corespondentele lor din multimea B se corespondentele lor din multimea B se numesc valori sau imagini. Daca ynumesc valori sau imagini. Daca y B B este acel unic element asociat lui x este acel unic element asociat lui x A A prin legea f, scriem y=f(x) si citim “f de prin legea f, scriem y=f(x) si citim “f de x este y”.x este y”.

•Multimea valorilor (imaginilor) functiei Multimea valorilor (imaginilor) functiei se noteaza cu f(A) sau Imf si este: se noteaza cu f(A) sau Imf si este: f(A)={y=f(x), unde x parcurge A}f(A)={y=f(x), unde x parcurge A}

•Comentariu.Atragem atentia ca o Comentariu.Atragem atentia ca o functie este un triplet (A,B,f).orice functie este un triplet (A,B,f).orice modificare a componentelor conduce la modificare a componentelor conduce la o alta functie sau la un alt tip de relatie.o alta functie sau la un alt tip de relatie.

•Daca A si B sunt cunoscute , vom spune Daca A si B sunt cunoscute , vom spune pe scurt “functia f” , “functia g”…pe scurt “functia f” , “functia g”…

• Definitia permite si utilizarea multimilor Definitia permite si utilizarea multimilor infinite, precum o dovedesc urmatoarele infinite, precum o dovedesc urmatoarele exemple:exemple:

1)Multimea multiplilor naturali ai lui 3, 1)Multimea multiplilor naturali ai lui 3, M3={0;3;6;9;…;3n;…}, este multimea M3={0;3;6;9;…;3n;…}, este multimea valorilor functiei f:N N cu f(n)=3n valorilor functiei f:N N cu f(n)=3n (variabila independenta s-a notat cu n)(variabila independenta s-a notat cu n)

2)Operatia de ridicare la cub a numerelor 2)Operatia de ridicare la cub a numerelor reale genereaza functia h:R R cu h(x)=xreale genereaza functia h:R R cu h(x)=x

3)Cuburile perfecte sunt valorile functiei c:Q 3)Cuburile perfecte sunt valorile functiei c:Q Q cu c(x)=x Q cu c(x)=x

Observatie: O aceeasi lege de Observatie: O aceeasi lege de corespondenta poate genera mai multe corespondenta poate genera mai multe functii.functii.

3

3

Moduri de a defini o Moduri de a defini o functiefunctie

•Legile de corespondenta ale Legile de corespondenta ale functiilor (functiile) pot fi definite functiilor (functiile) pot fi definite prin:prin:

a)tabele de valori;a)tabele de valori;

b)diagrame;b)diagrame;

c)proprietati (adeseori, formule).c)proprietati (adeseori, formule).

Graficul unei functiiGraficul unei functii

•DefinitieDefinitie

Fie o functie f : A B. Prin graficul Fie o functie f : A B. Prin graficul functiei f vom intelege submultimea functiei f vom intelege submultimea produsului A x B data astfel Gprodusului A x B data astfel Gff={(x,y)|x ={(x,y)|x A si y=f(x)}. A si y=f(x)}.

Deci, (a,b) Deci, (a,b) G Gff f(a)=b si G f(a)=b si Gff A x B. A x B.

Graficul unei functii GGraficul unei functii Gff are tot atatea are tot atatea elemente cate are si domeniul A.elemente cate are si domeniul A.

• Numim functie numerica o functie f:A B, Numim functie numerica o functie f:A B, unde A unde A R si B R si B R. Pentru o functie numerica R. Pentru o functie numerica avem Gfavem Gf R x R, deci putem reprezenta R x R, deci putem reprezenta geometric Gf intr-un plan in care s-a stabilit un geometric Gf intr-un plan in care s-a stabilit un sistem (ortogonal) de axe coordonate.sistem (ortogonal) de axe coordonate.

•Exemplu: Alcatuiti tabelul de valori Exemplu: Alcatuiti tabelul de valori al functiei f:{0;1;4;9} R cu f(x)= al functiei f:{0;1;4;9} R cu f(x)= x. x.

Scrieti graficul functiei si Scrieti graficul functiei si reprezentati-l geometric intr-un reprezentati-l geometric intr-un sistem de axe.sistem de axe.

O

-1-1 1

1

2

2

3

3

4 5 6 7 8 9

y

x

A

B

C

Raspunsuri: Gf={(0;0),(1;1),(4;2),(9;3)} , iar reprezentarea sa geometrica este multimea punctelor O, A, B si C din figura.

• Observatii: Functiile ce provin dintr-o Observatii: Functiile ce provin dintr-o dependenta dierct proportionala au dependenta dierct proportionala au reprezentarea geometrica a graficului reprezentarea geometrica a graficului formata din puncte coliniare, dreapta formata din puncte coliniare, dreapta corespunzatoare trecand prin origine. corespunzatoare trecand prin origine. Reprezentarea geometrica a graficului unei Reprezentarea geometrica a graficului unei functii ce provine dintr-o dependenta functii ce provine dintr-o dependenta invers proportionala este formata din invers proportionala este formata din puncte asezate pe o linie curba.puncte asezate pe o linie curba.

• In cele ce urmeaza in loc de “reprezentarea In cele ce urmeaza in loc de “reprezentarea geometrica a graficului functiei” va geometrica a graficului functiei” va insemna “realizarea reprezentarii insemna “realizarea reprezentarii geometrice a graficului”, iar figura geometrice a graficului”, iar figura geometrica obtinuta va fi notata cu Ggeometrica obtinuta va fi notata cu Gf.f.

P(a,b) P(a,b) G Gf f f(a)=bf(a)=b