Metoda moiré-urilor

7. METODA MOIRÉ-URILOR

7.1. Principiul metodei

Franjele moiré se obţin prin suprapunerea a două reţele de linii uniform distribuite, uşor deosebite prin pas sau/şi orientare, care interferă geometric şi conduc la apariţia unor benzi întunecate. Exemple de reţele regulate: linii paralele echidistante, reţele dreptunghiulare de puncte, cercuri

Fig. 7.1.1 Modele de franjea. rotaţie; b. translaţie;

c rotaţie şi translaţie

concentrice şi linii radiale. Aceste reţele pot fi suprapuse prin reflectare, prin umbrire, prin plăci cu dublă expunere sau direct prin contact. În tensometrie plană, de cele mai multe ori, se utilizează reţele formate din linii paralele opace, trasate pe suporturi plane transparente (10…200 linii/mm), unde grosimea liniilor este egală cu aceea a intervalelor dintre linii. Una dintre reţele, denumită reţeaua martor, nu este deformată (fiind trasată pe un ecran, de unde se proiectează pe corpul analizat, sau pe obiectivul aparatului fotografic, respectiv amplasată într-o zonă nedeformată a corpului studiat), iar cealaltă, reţeaua activă este solidarizată de piesă şi se deformează împreună cu aceasta. Modificările intervenite în poziţiile relative ale celor două reţele produc obturarea parţială a acestor goluri, care determină modificări corespunzătoare ale distribuţiei luminii (care traversează aceste reţele suprapuse), conducînd la apariţia franjelor moiré. Modelele moiré sunt folosite pentru măsurarea unor variabile ca: deplasări, rotaţii curbări şi deformaţii. În figura 7.1.1 se prezintă modele de franje aferente rotaţiei, translaţiei şi roto-translaţie. Se observă că la creşterea numărului de franje odată cu creşterea densităţii reţelei.

În consecinţă, franjele moiré reprezintă locuri de egală deplasare ale punctelor pe direcţie perpendiculară la liniile reţelei martor, asemenea curbelor de nivel din topografie. Această proprietate a franjelor este utilizată în analiza cîmpului de deformaţii, respectiv de tensiuni din corpuri solide deformabile.

7.2 Abordarea analitică a franjelor moiré

Modelele de franje moiré arătate în figura 7.1.1,a şi b sunt reprezentate geometric în figura 7.2.1.

a bFig.7.2.1 Reprezentarea geometrică a modelor de franje aferente: a. translaţiei; b. rotaţiei

1

Metoda moiré-urilor

Ansamblul format dintr-o linie opacă şi o fantă, reprezintă linia reţelei (fig.7.2.1). Inversul pasului p al reţelei, reprezintă frecvenţa reţelei în linii/mm. Direcţia perpendiculară pe liniile reţelei şi situată în planul ei, se numeşte direcţie principală, pe cînd direcţia paralelă cu direcţia reţelei, poartă denumirea de direcţie secundară. Pasul franjelor moiré, produse prin suprapunerea celor două reţele, reprezintă interfranja, notată prin f. În cazul general al deformării plane (fig.7.2.2), analiza câmpului de franje pe baza schemei de calcul (fig.7.2.3) pune în evidenţă: - familia curbelor reţelei martor, exprimată prin relaţia

- familia curbelor aferente reţelei active, exprimată prin unde: sunt parametrii de indexare (de familie), care definesc distanţarea curbelor

individuale; ei pot fi pozitivi sau negativi şi variază în salturi unitare; - coordonatele unui punct din planul modelului, care este şi planul suprapunerii celor

două reţele.

Fig.7.2.2 Reţea de franje moiré în caz general al deformării plane

Fig.7.2.3 Schema de calcul pentru cazul general

Prin suprapunerea celor două reţele din cazul general, între curbele reţelelor există un unghi variabil , iar franjele moiré rezultate formează o familie indexată de curbe unde m este

indicele franjelor şi care trebuie să satisfacă o ecuaţie de indici de tipul Cele două diagonale curbilinii (fig.7.2.2 şi 7.2.3) ale fiecărui patrulater corespund franjelor moiré:

sustractive (totalitatea punctelor de tipul A, B, C, D,..) de ecuaţie

; (7.2.1)

aditive (totalitatea punctelor de tipul E, F, G, H,..) de ecuaţie

(7.2.2)

Franjele vizibile sunt materializate de interfranja “f” maximă, adică acelea, care sunt dispuse pe diagonalele mici ale patrulaterelor, reprezentate în figura 7.2.2, prin franjele sustractive: A, B, C, D,…. În funcţie de deformarea reţelei active, franjele sustractive se pot transforma în franje aditive şi invers, iar zona de trecere se numeşte zonă ( linie ) de frontieră şi conţine doar dreptunghiuri.În lucrarea [7.2], pentru cazul general (fig.7.2.3), se demonstrează, că expresiile interfranjelor sunt:

la franjele sustractive : (7.2.3)

la franjele aditive : (7.2.4)

2

Metoda moiré-urilor

iar condiţia de vizibilitate presupune, ca respectiva interfranjă să fie mai mare. Astfel, spre exemplu, dacă între interfranje există relaţia , atunci franjele aditive vor fi vizibile, în caz contrar: cele sustractive. În relaţiile de mai sus intervin derivatele parţiale în funcţie de variabila x, respectiv y (simbolizarea derivatelor parţiale prin indici inferior, de exemplu, Aj,x derivata lui A în raport cu x).Pe baza unui raţionament similar, se deduc şi expresiile pentru pasul liniilor care formează:

reţeaua martor:

(7.2.5)

reţeaua activă: (7.2.6)

cu ajutorul cărora, expresia interfranjei devine:

(7.2.7)

Semnul (+) corespunde franjelor aditive. Pentru punctele situate pe linia de frontieră, interfranja va fi:

(7.2.8)

Observaţii:1. Creşterea preciziei măsurătorilor se poate realiza prin utilizarea unor reţele cît mai dense

(deci cu o frecvenţă cît mai mare), însă acest lucru va conduce la reducerea calităţii imaginii fotometrice a cîmpului de franje. Cele două condiţii (de utilizare a unor reţele cît mai fine, respectiv de obţinere a unor franje cît mai fine) sunt contradictorii;

2. Se demonstrează faptul că, utilizarea unor reţele cu pas diferenţiat ( întroduse de M.Diruy în 1968), conduce la creşterea sensibiltăţii reţelei. De exemplu, dacă se consideră solicitarea monoaxială, unde deformaţia liniară specifică este , iar pasul reţelelor este , atunci se demonstrează că, relaţia de calcul a interfranjei în cazul:

unui pas constant la cele două reţele va fi:

, (7.2.9,a)

iar la reţele cu pas diferenţiat va rezulta:

. (7.2.9,b)

La reţeaua cu pas diferenţiat, reţeaua martor are pasul iar reţeaua activă are

pasul . Pentru o deformaţie specifică de şi o modificare a pasului reţelei cu , pe baza relaţiilor (7.2.9), se va obţine o sensibilitate de 10 ori mai mare decît în cazul utilizării pasurilor egale .

3

Metoda moiré-urilor

7.3 Analiza stării plane de deformaţie

Se consideră o stare omogenă plană de deformaţie, caracterizată prin cîmpul de franje egal înclinat, redat în figura 7.3.1. Se demonstrează următoarele relaţii fundamentale [7.6] :

a bFig.7.3.1 Schema de calcul pentru starea omogenă plană de deformaţie

(7.3.1)

unde sunt mărimile, care rezultă din fotogramele stării respective de deformaţie.Relaţiile (7.3.1) dau legăturile dintre deformaţiile specifice ale piesei şi caracteristicile geometrice ale câmpului de franje.În figura 7.3.2, după aceeaşi lucrare, este ilustrată metoda de derivare grafică pentru o placă plană, aflată într-o stare plană de solicitare. Aici, reţeaua martor este paralelă cu axa Ox, iar franjele

Fig.7.3.2 Ilustrarea metodei de derivare grafică

moiré vor fi curbe de nivel ale funcţiei . Altfel spus, o franjă de ordinul n, corespunzînd unei deplasări , fiecare punct al franjei va reprezenta un punct al piesei analizate după deformaţie, deplasat (evident după direcţia principală a reţelei) cu cantitatea u. Prin secţionarea suprafeţei fictive (definită mai înainte) cu un plan, perpendicular pe planul reţelei martor şi paralel cu axa Ox, se vor obţine prin rabatere curbele de variaţie ale deplasării u, aferente valorii , care aici este . Trecerea de la o franjă la alta corespunde unei deplasări egale cu pasul p al reţelei, care s-a reprezentat pe abscisă şi ordonată la o scară arbitrară. Determinarea grafică a tangentei la curba

, conduce la obţinerea valorilor

4

Metoda moiré-urilor

şi în consecinţă a curbei ,

corespunzător unui Prin repetarea operaţiei, utilizând o reţea martor paralelă cu axa Ox, franjele moiré obţinute vor reprezenta curbele de nivel ale deplasării şi cu

ajutorul tangentelor se poate construi curba

, aferentă unui În aceste calcule s-au avut în vedere relaţiile (2.7.9,a) deformaţii specifice – deplasări (fig.7.3.3), respectiv relaţiile (2.7.10,b) tensiuni – deformaţii specifice.

Fig. 7.3.3 Elementul de placă în stare iniţială şi deformată

Tabelul 7.3.1Întindere după

direcţia OxÎntindere după

direcţia OyÎntindere după

direcţiile Ox şi OyStare plană**) de

solicitare (caz general)

εx ≠ 0εy = 0γxy = 0

εx = 0εy ≠ 0γxy = 0

εx ≠ 0εy ≠ 0γxy = 0

εx ≠ 0εy ≠ 0γxy ≠ 0

Poziţiile reţelelor martor:1. orizontală

2. verticală

Poziţia franjelor

1.nici o franjă

2.franje*) verticale cu pasul

1.franje orizontale cu pasul

2. nici o franjă

1.franje orizontale (liniile continue) cu pasul

2.franje verticale (liniile întrerupte) cu pasul

1.franje v(x,y) – liniile continue – cu pasul

2.franjele u(x,y) – liniile întrerupte – cu pasul

*) pasul reţelei imprimate şi al reţelei martor; ** ) pe model este imprimată o reţea în cruce, cu pasul p, având direcţiile principale Ox şi Oy.În tabelul 7.3.1, după lucrarea [ 7.7], sunt prezentate rezultatele privind cazurile simple de solicitare.

5

Metoda moiré-urilor

În lucrările [7.6, 7.7] sunt prezentate în detaliu o serie de tehnici eficiente de analiză ale problemelor plane de tensiuni, respectiv de deformaţie. Metoda moiré-urilor este deosebit de eficientă la analiza plăcilor prevăzute cu găuri [7.2].

7.4. Aspecte privind analiza stărilor spaţiale

În aceste cazuri se vor folosi modele transparente, în care, la nivele bine determinate, se includ mai multe reţele, orientate paralel cu planurile normale pe direcţia de vizare (observare). Această tehnică de lucru implică însă secţionarea modelului (care de obicei este confecţionat dintr-un material fotoelastic), după planurile care trebuie investigate. Pe aceste suprafeţe bine finisate ale seţiunilor se vor imprima (sau se vor lipi) reţele, după care părţile componente ale piesei se lipesc la loc. Franjele moiré se vor înregistra după încărcarea mecanică a piesei (modelului), scufundat într-un lichid cu acelaşi indice de refracţie ca şi materialul modelului.În tabelul 7.4.1 sunt comparate posibilităţile oferite de Fotoelasticitatea şi Metoda moiré-urilor.

Tabelul 7.4.1Nr.crt

Metoda Moiré-urilor Metoda Fotoelasticimetriei

1. Măsurarea se efectuează într-un plan stabilit cu precizie

Rezultatul măsurătorii reprezintă valoarea integrată pe grosimea plăcii decupate din model

2. Sensibilitate se poate controla în limite relativ largi prin schimbarea reţelelor

Posibilităţile de control ale sensibilităţii, prin schimbarea materialului fotoelastic, nu sunt mari

3. Tehnica de lucru este complicată; aplicarea metodei se recomandă la măsurători de precizie

Metoda este recomandată acolo, unde nu se cer precizii ridicate ale măsurătorilor

Bibliografie

[7.1]. Apostolescu, N., Traza, D., Bazele cercetării experimentale a maşinilor termice. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1979.

[7.2]. Atanasiu, C., Studiul eforturilor şi deformaţiilor în plăcile plane perforate supuse acţiunii unor forţe concentrate şi uniform distribuite. Teză de doctorat, I.P.Bucureşti, 1975.

[7.3] Dally , J.W., Rilez, W.F., Experimental stress analysis. Third edition. McGraw-Hill, Inc, New York

[7.4]. Doebelin, O.,E. Measurement systems – Aplication and design. McGraw – Hill Publishing Company. New York, 1990.

[7.5]. Финк, К., Рорбах. Х., Измерение напряженийи деформаций (Fink, K., Rohrbach, C.,Handbuch Spannungs- und Dehnungsmessung) Машиностоительной Литературы Москва, 1961.

[7.6]. Mocanu, R.D. ş.a. Analiza experimentală a tensiunilor.Vol.I şi II. Editura Tehnică, 1977.[7.7]. Mocanu, R.D., Fenomenul moiré şi aplicaţiile lui în tensometrie. Editura Tehnică, Bucureşti,

1973.[7.8]. Petrican, M., Curtu, I. Sperchez, Fl., Mitişor, Al., Paraschiv, N., Aplicaţii ale tensometriei în

industria lemnului. Editura Tehnică. Bucureşti, 1980.[7.9]. Rohrbach, Ch., Handbuch für Experimentelle Spanungsanalyse.VDI-Verlag GmbH

Düsseldorf, 1989.

6