FFRACTALIRACTALIGGraficraficăă computerizat computerizată ă

(sem. I)(sem. I) AAplicaplicaţţiiii (sem. II) (sem. II)

Curs opCurs opţţional ional Anul IIIAnul III

InformaticInformaticăă(2009-2010)(2009-2010)

Lector dr. StLector dr. Stăănicnicăă Daniel Daniel

Obiective: Obiective:

Semestrul I (Fractali. Grafică computerizată): Acest curs îşi propune să pună în evidenţă multitudinea de structuri fractalice existente şi să dea o perspectivă grafică computerizată a acestora.

Semestrul II (Fractali. Aplicaţii): Acest curs îşi propune să pună în evidenţă multitudinea de aplicaţii ale structurilor fractalice în diverse ramuri ale ştiinţei. Se va realiza şi modelarea grafică computerizată a unor elemente din natură şi unele elemente de codare a imaginilor in computer.

Termenul fractal provine din latinescul fractus, care înseamnă "spart“, "fracturat". Acest termen a fost introdus de Benoît Mandelbrot, în 1975.

Un fractal este un obiect matematic care are o structură detaliată la orice scară. În structura unui fractal, fiecare parte este asemănătoare cu fractalul întreg (este autosimilar).

Ce sunt fractalii?

Fractalii, aceste deosebite obiecte matematice, de o mare complexitate, sunt generaţi printr-un procedeu matematic relativ simplu (metoda iteraţiei).

Dimensiunea geometrică a unui fractal se bazează pe dimensiunea Hausdorff, care este o extensie a dimensiunii euclidiene. Dacă în geometria euclidiana un obiect nu are decât o dimensiune întreagă, în geometria fractală dimensiunile sunt, în general, numere reale neîntregi pozitive.

Exemple de fractaliExemple de fractali

Curba lui KochCurba lui Koch

perimetrul = 3 perimetrul = 4 perimetrul = 5.33 perimetrul = 7.11

Şi, continuând, perimetrul = infinit, pentru această figură geometrică inclusă într-o mulţime cu aria finită.

Curba lui HilbertCurba lui Hilbert

Curba lui Hilbert este un exemplu de curbCurba lui Hilbert este un exemplu de curbă ă continucontinuă,ă, de lungime infinitde lungime infinită,ă, f fărăără autointersec autointersecţţiiii,, care “umple” un care “umple” un ppăătrat.trat.

Covorul lui SierpinskyCovorul lui Sierpinsky

Covorul lui Sierpinsky este un exeplu de obiect geometric despre care nu putem preciza dacă este o curbă sau o suprafaţă.

Un fractal tridimensionalUn fractal tridimensionalBuretele lui MengerBuretele lui Menger

Bazinele de atracBazinele de atracţţie ie pentru metoda lui pentru metoda lui NewtonNewton

de aproximare a solude aproximare a soluţţiilor ecuaiilor ecuaţţiei iei zz33+1=0+1=0

Un fractal clasicUn fractal clasic::MulMulţţimea Mandelbrotimea Mandelbrot

Dacă privim în profunzimea unui fractal, observăm structura sa complexă şi autosimilaritatea.

AplicaAplicaţţii: ii: Interpolare fractalInterpolare fractalăă ((codarea imaginii)codarea imaginii)

ŞŞtitiţţi ci cââte ecuate ecuaţţii liniare ii liniare (y=ax+b) sunt necesare (y=ax+b) sunt necesare pentru a descrie complet pentru a descrie complet aceastaceastă ă imagine fractalimagine fractală, ă, adică pentru adică pentru a o memora a o memora

şşi a o reconstrui?i a o reconstrui?

Doar 4!

Compresia fractală a Compresia fractală a imaginiiimaginii

Imaginea originală (184,320 bytes)

JPEG-maximă calitate (32,072 bytes)raţia de compresie: 5.75:1

Compresie fractală - (30,368 bytes)raţia de compresie 6.07:1

Exemple de fractali Exemple de fractali îîn naturn natură: ă: nori, munţi, sol lunar, plante nori, munţi, sol lunar, plante

etc.etc.

Un fractal natural: Un fractal natural: Brocoli RomanescoBrocoli Romanesco

Un fractal în corpul Un fractal în corpul umanuman

Alţi fractali în naturăAlţi fractali în natură

ConţinutulConţinutul cursului cursuluiSemestrul ISemestrul IPrograma :Programa : Noţiuni introductive despre fractali şi dimensiune fractală;Noţiuni introductive despre fractali şi dimensiune fractală; Un proces de dinamica a populaţiei şi reprezentarea sa fractală (modelul Robert May); Un proces de dinamica a populaţiei şi reprezentarea sa fractală (modelul Robert May); Metode algoritmice pentru determinarea dimensiunii fractale;Metode algoritmice pentru determinarea dimensiunii fractale; Grafica computerizată a unor bazine de atracţie ale unor metode iterative de aproximare a soluţiilor Grafica computerizată a unor bazine de atracţie ale unor metode iterative de aproximare a soluţiilor

ecuaţiilor neliniare şi reprezentarea lor fractală (metoda Lin, metoda Bairstrow, metoda ecuaţiilor neliniare şi reprezentarea lor fractală (metoda Lin, metoda Bairstrow, metoda Newton,.metoda secantei, metoda parabolei, metoda Ostrowski, metoda Cebâşev, metoda Halley Newton,.metoda secantei, metoda parabolei, metoda Ostrowski, metoda Cebâşev, metoda Halley etc.);etc.);

Construcţia şi algoritmi de reprezentare grafică pentru unele tipuri de fractali (curba lui Koch, curba Construcţia şi algoritmi de reprezentare grafică pentru unele tipuri de fractali (curba lui Koch, curba lui Peano, curba lui Sierpinsky, covorul lui Sierpinsky, curba lui Hilbert, plante Lindenmayer, curba lui Peano, curba lui Sierpinsky, covorul lui Sierpinsky, curba lui Hilbert, plante Lindenmayer, curba dragonului, curba C etc.);dragonului, curba C etc.);

Mulţimi fractale obţinute iterativ: exemple şi reprezentări grafice (mulţimi Julia, mulţimi Mandelbrot Mulţimi fractale obţinute iterativ: exemple şi reprezentări grafice (mulţimi Julia, mulţimi Mandelbrot etc.);etc.);

Fractali fără iteraţie: exemple şi reprezentări grafice. Fractali fără iteraţie: exemple şi reprezentări grafice.

Bibliografie:Bibliografie: Karl-Heinz Becker, Michael Dorfler – Dynamical systems and fractals, Cambridge University Press, Karl-Heinz Becker, Michael Dorfler – Dynamical systems and fractals, Cambridge University Press,

1991.1991. Benoit Mandelbrot – Obiectele fractale, Editura Nemira, 1998.Benoit Mandelbrot – Obiectele fractale, Editura Nemira, 1998. Dick Olivier – Fractali, Editura Teora, 1996. Dick Olivier – Fractali, Editura Teora, 1996. G. Cherbit (editor) – Dimensions non entieres et applications – MASSON – 1991.G. Cherbit (editor) – Dimensions non entieres et applications – MASSON – 1991. Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens, Dietmar Saupe – Chaos and Fractals – SPRINGER-VERLAG – Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens, Dietmar Saupe – Chaos and Fractals – SPRINGER-VERLAG –

2004.2004. Gilbert Helmberg – Getting Acquainted with Fractals - Walter de Gruyter – 2007.Gilbert Helmberg – Getting Acquainted with Fractals - Walter de Gruyter – 2007.

Semestrul Semestrul al al IIII- lea- lea

Programa :Programa : Noţiuni introductive despre fractali şi dimensiune fractală;Noţiuni introductive despre fractali şi dimensiune fractală; Interpolare fractală;Interpolare fractală; Modelarea unor elemente din natură: plante, nori, galaxii etc. Modelarea unor elemente din natură: plante, nori, galaxii etc. Reprezentări grafice Reprezentări grafice

computerizate;computerizate; Modelarea unor forme de relief : munţi bazine hidrografice, ţărmuri etc. Reprezentări Modelarea unor forme de relief : munţi bazine hidrografice, ţărmuri etc. Reprezentări

grafice computerizate;grafice computerizate; Prelucrarea imaginilor: codarea (compresia) fractală. Prelucrarea imaginilor: codarea (compresia) fractală. Algoritmi; Algoritmi; Aplicaţii în meteorologie: efectul fluturelui;Aplicaţii în meteorologie: efectul fluturelui; Alte aplicaţii (în economie, fizică, biologie etc.)Alte aplicaţii (în economie, fizică, biologie etc.)

Bibliografie:Bibliografie: Benoit Mandelbrot – Obiectele fractale, Editura Nemira, 1998.Benoit Mandelbrot – Obiectele fractale, Editura Nemira, 1998. Dick Olivier – Fractali, Editura Teora, 1996. Dick Olivier – Fractali, Editura Teora, 1996. Jaap A. Kaandorp - Fractal Modelling. Growth and Form in Biology – SPRINGER-Jaap A. Kaandorp - Fractal Modelling. Growth and Form in Biology – SPRINGER-

VERLAG – 1994.VERLAG – 1994. Michael Barnsley, Hawley Rising. - Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Michael Barnsley, Hawley Rising. - Fractals Everywhere. Boston: Academic Press

Professional, 1993.Professional, 1993. Yuval Fisher (editor) - Fractal image encoding - SPRINGER-VERLAG – 1998.Yuval Fisher (editor) - Fractal image encoding - SPRINGER-VERLAG – 1998. Radu Dobrescu, Catalin Vasilescu (editori) - Interdisciplinary applications of fractal and Radu Dobrescu, Catalin Vasilescu (editori) - Interdisciplinary applications of fractal and

chaos theory – Editura Academiei, 2004chaos theory – Editura Academiei, 2004

CChiarhiar şi în lanurile de grâu şi în lanurile de grâu “extratereştrii” au decupat “extratereştrii” au decupat

fractali:fractali: