1. Relatia de preferinta

Fie X multimea vect de consum unde un vector de consum se noteaza cu x=(x1...xn)T

rel de preferinta stricta « > »x1>x2 => bunul x1 este preferat in detrimentul lui x2.Rel de indiferenta “~” x1 preferat in detrimentul lui x2.Rel de preferinta sau indiferenta “>=” Daca x1>=x2 atunci bunul 1 si bunul 2 aduc aceeasi satisfactie.

2. Functia de utilitate

Masoara gradul de satisfactie al unei persoane in urma consumului unui bun sau pachet de bunuri.

U.X ---> RDaca X1>/ x2 <=> U(x1) >= U(x2)

Proprietati:1. Este continua si crescatoare2. 2. Este dferentiabila de cel

putin ordinul 2.3. Dpdv. economic are sens daca

este concava (forma lui v)

U(x)

3. Curba de indiferenta (izoutilitatea).

Este locul geometric al combinatiilor posibile de cantitati de bunuri care-i aduc consumatorului aceeasi utilitate.

i={x=(x1,x2)T} U(x1,x2)=u = constanta.

Proprietati.

Este descrescatoareEste concava

4. Functii concave s functii convexe.

O functie de mai multe variabile este concava daca matricea hesian este negativ definita, adica daca minorii principali au semne alternante incepand cu smnul minus. O functie de mai multe var este convexa daca mat hesian este pozitiv definita adica min principali sunt pozitivi)

5. Functii quasi – concave si quasi-convexe

quasi-concavitatea este o prop mai larga a notiunii de concavitate respectiv convexitate.O fct. e quasi-concava daca este formata din sect concava in planul functiei putant exista si portiuni convexe.O fct. este quasi-concava daca matricea Hessian bordata este negativ definita.O fct. este quasi convexa daca -/-/ poziiv definita.

Matricea hesian bordata se obtine pornind de la matricea hesian la care se adauga o linie si o coloana ce contine derivatele partiale de ord 1. iar pe ultimul loc se trece 0.

6. Indicatorii functiei de utilitate

a). utilitatea marginala - reprezinta modificarea absoluta a utilit totale atunci cand consumul dintr-un bun creste cu o unitate in conditiile in care cant. din celelalte bunuri raman constante.

x = ( x1 .... xj .... x n) ... x1,xn = constante xj se modifica cu 1 unitate.

U m

j

=∂U ( .)∂Xj−1 oricarej=1 , n

b). rata marginala de substitutie a bunului 1 cu bunul 2. Arata cantitatea din bunul 2 necesara pentru a substitui o unitate din bunul 1 a.i utilitatea sa ramana constanta.obs. bunurile 1 si 2 tre sa fie substituibile.

Rms(1,2)=∂ x 1∂ x 2=−

Um1( x 1)Um2( x 2)

Rms este panta curbei de indiferenta.Panta unei unctii de doua variabile se calc diferentiind functia respectiva in rap cu fiecare variabila.

7. Restrictia bugetara

Pt. a achizitiona un pachet de consum de forma x=(x1,x2)T la preturile unitare p=(p1,p2) un individ are nevoide de venituri V sau R si tre sa respecte restrictia bugetara pX<= x p1x1 + p2x2 <= V

pantaDB=dx 2dx 1

=− p1p2

8.Functia de cerere necompensata (MARSHALL).

Pb. de optim a consumat consta in det acelui pachet de bunuri de consum care-i aduce maxim de utilitate, repectand restrictia bucetara.

max U(x1,x2)p1x1+p2x2=VSe aplica multiplic lui Lagange.

1. Se scrie lagrangeanul asociat pb de optim.

L(x1,x2,lamda) = U(x1,x2) + lamda (V- p1x1-[2x2).

2. Se det punctul de optim local din CNO .. derivatele partiale de ord 1 sunt nule

Se obtin x1*, x2* si cu ele se determina lamda* care dpdv. ec reprezinta utilitatea marginala in rap cu venitulPct. de optim se afla in pct. de tangenta al curbei de indiferenta la dreapta de buget.

Lucru care s eobserva din rel 4 .Pantele celor doua sunt egale.

9. Cererea Necompensata (HICK)

Pb. de optim a consumatorului este duala pb de la cererea necompensata. si consta in minimizarea che. atunci cand utitatea optinuta din consumul pachetului respectiv este cunoscuta.min {p1x1+p2x2}U(x1,x2)=u u>0 u=ct ---> miu

1.se scrie lagrangeanul U(x1,x2, miu) = p1x1 + p2x2 + miu(u-U(x1,x2).2. se det optimul local din CNO.

Cu x1** si x2** se calculeaza miu* pt. p anumita valoare a lui u verifica relatia miu* = 1/lamda*

Punctul d eoptim se afla in punctul de tangenta al dreptei de buget la curba de indiferenta (din rel 4).

10 Indicatori ai cererii

Se porneste de la cererea necompensata pt. un pachet de format din doua bunuri.

x1*=x1(p1,p2,V)x2*=x2(p1,p2,V)

Fie un pachet format din bunurile i,j .Se urmareste modif cererii dintr-un bun la o modif a pretului acelui bun, a pretului celuilalt bun din pachet sau a venitului consumatorului.

a). modificarea cererii din bunul 1 la o modif a pretului sau.

pp. ca pretul lui i scade

dxi(−)dpi(−)

>0 , ibuntipGiffen(bunuriperisabile )

dx 1(+)dpi(−)

<0 , i−normal

b). modif cererii dintr-un bun i la o modif a pretului bunului j. PP ca pretul lui j creste.

dxi (+)dpj (+)

>0 ,i , jsubstituibile

dx 1(−)dpj (+)

<i , jcomplementare

c.) modif cererii din bunul i la o modif a venitului pp. ca venitul creste.

dxi(+)dV (+)

>0 , inormal

dx 1(−)dpi(+)

<0i ,inf erior

11Elasticitatea cererii

Se porneste de la cererea necompensata si se determina cele trei tipuri de elasticitati.

a). elasticitatea directa. – arata cu cat se modifica cererea din bunul i la o modif cu un procent a pretului bunului i.

Exi/pi =∂ xi∂ pi

:xipi

E (-1,1) - > cererea din bunul i inelasticaE(-oo,-1)U (1,oo) -> elasticaE(+-1) cerere nitar elastica(-1) inelatica(1).

b). elasticitatea indirecta (incrucisata.Arata cu cat se modifica cererea din bunul i la o modif cu un procent a pretului bunului j.

Exi/pj =∂ x1∂ pi

:xipj

>0 -> i,j substituibile< 0 > i,j complementare=0 > i,j indiferente.

c). Elasticitatea cererii in rap cu venitul

Arata cu cat se modif cererea din bunul i la o modif cu un procent a venitului consumatorului.

Exi/V =∂ x1 i∂V

:xiV

E(0,1) -> bunul i este bun normal< 0 -> i inferior>1 -> i superior=0 > i se afla la frontiera dintre bun inferior si normal=1 -> i se afla intre normal si superior.

12. Taxe si subventii

Perceperea unei taxe sau acordarea unei subventii deterina modif cantitatilor de bunuri achizitionate la optim si modif restrictiei bugetare. Astfel se va modifica dreapta de buget deplasandu-se la stanga sau la dreapta fata de situatia initiala ceea ce conduce la modif multimii posib de consum.

Taxa pe cantitate conduce la diminuarea cantitatii achizitionate la optim dintr-un bun, DB se deplaseaza catre stanga iar multimea posib de consum scade cu suprafata hasurata.

Taxa pe valoare conduce si ea la modif cand optime achizitionate dintr-un bun, dreapta de buget se deplaseaza spre stanga jos si multimea posib de consum scade cu supraf hasurata.

Taxa pe venit diminueaza de obicei ambele cantitati achizitionate la pct. de optim , DB se va deplasa spre stanga jos si la fel, multimea posib de consum se diminueaza cu supraf hasurata.

13. Functia de utilitate indirecta.Fct. de cheltuiala.

a). se proneste de la problema de optim a consumatorului de forma.

max(x1,x2)p1x1+p2x2 = V

=>

fct de cerere necompensata

x1* = x1(p1,p2,v)x2*= x2(p1,p2,v)Inlocuind x1*,x2* in fct de utilitate se obtine fct. de utilitate indirecta pt. cererea necompensata

U(x1*,x2*) = U*(p1,p2,v).

b). Se porneste de la cealalta pb. de optim in care

min(p1x1+p2x2)U(x1,x2)=u > 0

se obtine fct. de cerere compensata in care cererea din cele 2 bunuri depinde de preturi si de u =>x1** = x1(p1,p2,u)x2** =x2(p1,p2,u)

Inlocuind X1**,x2** in fct. de utilitate se obtine fct. de utilitate indirecta pt. cererea compensata =>U(x1**,x2**) =U**(p1,p2,u’).

c). inlocuind fct. de cerere compensata x1** x2** in restrictia bugetara se obtine fct. de cheltuiala.=> V**=p1x1** + p2x2**

14. Efectele de descompunere a pretului.

O modif a pretului unui bun atunci cand pretul celuilalt bun si venitul cons. raman constante se poate descompune in efect de substitutie si efect de venit prin doua metode:

SLUTSKY si HICKS

met HICKS se urmareste sa se mentina constanta puterea de comparare a consumatorului atunci cand achizitionaza pachetul optim initial.

presupunem ca p1 scade p1’

Scaderea pretului bunului 1 conduce la cresterea multimii posib de consum, iar consumatorul isi va permite sa achizitioneze cu acelasi venit initial V, si pachetele de consum situate intre cele 2 drepte de buget. Se deseneaza o dreapta paralela la noua dr. de buget care trece prin punctul initial A. Astfel pachetul optim se va afla si pe dr. initiala de bug dar si pe dr. intermediara.

Se numeste efect de substit SLUTSKY modif cererii dintr-un bun la o modif a pretului acelui bun a.i puterea de cumparare a consumatorului sa ramana constanta (pachetul A se achiz cu cu venitul V si cu V’)

A ---ES---> B

ES1 = x1*(B)-x1*(A) = x1*(p1’p2,V’)-x1*(p1,p2,v)

Se num efect de venit SLut modif cererii dintr-un bun la o modif a pretului sau atunci cand venitul consumatorului creste de la V’ la V

B---EV-->C

EV1=x1*(C) –x1*(B)=x1*(p1’p2,V)-x1*(p1*,p2,V’).Atunci ef. de pret va fi suma celor doua efecte anterioareA—ES-->B---EV-->C = EP

EP1=ES1+EV1 = x1*(C)-X1*(A)= x1*(p1’,p2,V)-x1*(p1,p2,V).

Prin met slutsky venitul V’ este suma de bani necesara consumatorului pt. a achiz pachetul initial la noile preturi.

V’=p1’x1*(A) + p2x2*(A)

Met. HICKS

Se urmareste sa se mentina constanta utilitatea adusa de pachetul initial A

pp ca p1 scade p1’

Se deseneaza o dreapta paralela la cea de-a doua dr. de buget si tangenta la prima curba de indiferenta a.i pachetele A si B sa aiba aceasi utilitate.

Efectul de substitutie si ef. de venit HICKS se calculeaza la fel ca prin met SLUTSKY cu precizarea ca la efectul de substitutie utilitatea sa ramana constanta. ES1 ;EV1 ;EP1= ca la slut

Prin met hicks venitul V’ se det din relatia U(A)=U(B)

U(a)=U(x1*(a), x2*(A) = U(x1*(p1,p2), x2*(p1,p2,V)).

U(B)=U(x1*(B),x2*(B)=U(x1*(p1’,p2,V’), x2*(p1’,p2,V’)

V’

15. Curba lui ENGEL

Este locul geometric al cant consumate dintr-un bun pt. diferite valori ale venitului atunci cand vectorul de pretur ramane constant.Se vor reprezenta grafic x1*(V);x2*(V) si se det natura bunurilor.

16. Identitatea lui ROYproprietate a functiei de utilitate indirecta pt. cererea necompensata.

∂U∗( p1 , p2 ,V )∂ p1

=−λ8 xi∗( p1, p2 ,V )

17. Lema lui Shephard proprietate a functiei de cheltuiala; cererea compensata este egala cu derivata fct. de cheltuiala in raport cu pretul.

x1**( p1 , p2 ,u )∂V **( p1 , p2 , u)

∂ pi

18. Izocuanta

reprez locul geometric al combinatiilor posibile de factori de productie pt. obtinerea unui output dat.

i(y)={x1/y(x1)=y>0, y – output dat}

obs : izocuanta corespunde curbei de indiferenta din teoria consumatorului are aceleai propr (descrescat si conv) si se reprez graic parcurgand aceeasi pasi.obs: panta izocuantei se numeste rata marginala de substitutie tehnica.Se calc ca raport de prod marginale.

19. PIATA cu conc PERFECTA

caracteristici:

a). Atomicitatea perfecta a cererii si ofertei (nr mare de cumparatori si producatori) acestia din urma detinand un seg mic pe piata si nu pot influenta pretul.b). Omogenitatea produselor c).Intrarea si iesirea libera pe piatad). Transparenta pietei (fiecare are aces la info de pe piata).e). Mobilitatea perfecta a fact. de productie

DETERMINAREA COND de ECHILIBRU

Fie un producator care produce un output in cant y > o pt. care cheltuieste un CT(y) si pe care il vinde pe piata cu concurenta perfecta la un pret p>0.Atunci problema de optim a producatorului va consta in maximizarea profitului.

max Ti(y) = max [VT(y)] = max [yp-CT(y)]co1 I

∂Ti( y )∂ y

=p−∂CT ( y )

∂ y<=> p=Cm( y )

co2 :

∂̄2Ti( y )∂ y2

=−∂2CT ( y )

∂ y2<=>Ti−concava

desen y ca functie de Ti concava

20. Functia de productie.

pe temen lung in functia de cost total se includ si costurile fixe. In timp ce pe termin lung acestea se transfera in costuri variabile.

CT=CV+CF

Indiferent de natura functiei de cost pe term scurt sau pe termen lung se pot calcula 2. tipuri de indicatori.

Costuri medii : CTM(y) = CT(y)/y

Cost marginal : Cm ( y )=

∂CT ( y )∂ y

Cantitatile optime de fact. de prod. se pot determina si aplicand lema lui Shephard.

Xi*=∂CT ( y )

∂pi

In general functiile de cost mediu au forma de U , iar functia de cost marginal intersecteaza functiile de cost mediu in pct. de minim ale acestora din urma.

Pragul de inchidere este pct. de la care producatorul incepe sa obtina profit si este dat de pct. de minim al functiei de cost total mediu

Functiile de cost mediu si marginal pe termen scurt se reprezinta grafic astfel.

Obs. Portiunea din gf. functiei de cost marginal situata deasupra pragului de inchidere se numeste functie de oferta a producatorului.

interpretare

Pe piata cu concurenta perfecta conditia de echilibru este ca pretul de vanzare al outputului sa fie egal cu costul marginal.In functie de val preturilor se det daca producatorul optine sau u profit.

o daca pretul = Cm(y) <P.I = > producatorul nu desfasoara activitate => y=0 Nu exista costuri variabile iar pierderea este data de costuri fixe pi(y)=CT

o daca pretul=Cm(y)=P.I => in acest moment producatorul trebuie sa se hotarasca daca inchide sau nu firma.

o daca p=Cm(y) apartine (P.I,P.R) producatorul desf o activitate dar se afla n pierdere. p>0; P(y)<0, o parte din costurile fixe transformandu-se asupra costurilor variabile.

o daca p=Cm(y)=P.R. producatorul desf o activitate care-i aduce profit nul y>0. pi(y)=0;

o daca p=Cm(y) > P.R. producatorul desf o activitate economica profitabila.