7/29/2019 formule-analiza.doc

http://slidepdf.com/reader/full/formule-analizadoc 1/4

Formule de analiză matematică

Asimptote

• Asimptote orizontale

Pentru a studia existenţa asimptotei orizontale spre +∞ la graficul unei funcţii se

calculează lim ( ) x  f x→+∞ .

  Cazul 1. Dacă această limită nu există sau este infinită atunci graficul nu are asimptotă

orizontală spre +∞ .  Cazul 2. Dacă această limită există şi este finită,egală cu un număr real l ,atunci graficu

are asimptotă orizontală spre +∞ dreapta de ecuaţie y= l .

Analog se studiază existenţa asimptotei orizontale spre −∞

• Asimptote oblice

Asimptota oblică spre +∞ (dacă există) are ecuaţia y=mx+n unde m şi n se calculează cuformulele:

[ ]

( )lim

lim ( )

 x

 x

 f xm

 x

n f x m x

→+∞

→+∞

=

= − ⋅

Analog se studiază existenţa asimptotei oblice spre −∞

• Asimptote verticale

Se calculează 0

0

lim ( ) x x

 x x

 f x→

<

şi 0

0

lim ( ) x x

 x x

 f x→

>

.

Dacă una din aceste limite este infinită atunci graficul are asimptotă verticală dreapta de

ecuaţie 0 x x= .

Derivata unei funcţii intr-un punct:

0

0

00

( ) ( )( )

lim x x

 f x f x f x

 x x→

−′ =

−

Tangenta la graficul unei funcţii in punctul de abscisă x0:

0 0 0( ) ( )( ) y f x f x x x′− = −

http://variante-mate

7/29/2019 formule-analiza.doc

http://slidepdf.com/reader/full/formule-analizadoc 2/4

Reguli de derivare:

 

2

( )

( )

( )

( )

 f g f g 

 f g f g 

c f c f    

 f g f g f g 

 f f g f g 

 g g 

′ ′ ′+ = +′ ′ ′− = −

′ ′⋅ = ⋅′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅

′ ′ ′   ⋅ − ⋅=    

Tabel cu derivatele unor funcţii uzuale Tabel cu derivatele funcţiilor compuse

( )

( )

( )

( )

2

3 2

4 3

1

2

0

1

( ) 2

( ) 3( ) 4

( )

1 1

1

2

ln

n n

 x x

 x x

 x x

c

 x

 x x

 x x x x

 x n x

 x x

 x x

e e

e e

a a a

−

− −

′ =′ =

′ =

′ =′ =

′ = ⋅

′   = −    

′ =

′ =

′ = −

′ = ⋅

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

1ln

1log

ln

sin cos

cos sin

1

cos

1

sin

1arcsin

1

1arccos

1

1

1

1

1

a

 x x

 x x a

 x x

 x x

tgx x

ctgx x

 x x

 x x

arctgx x

arcctgx x

′ =

′ =⋅

′ =

′ = −

′ =

′ = −

′ =−

′ = −−

′ =+

′ = −+

( )

( )

( )

( )

2

3 2

4 3

1

2

( ) 2

( ) 3

( ) 4( )

1

2

ln

n n

u u

u u

u u

u u u

u u u

u u uu n u u

u

u u

uu

u

e e u

e e u

a a a u

−

− −

′ ′= ⋅

′ ′= ⋅

′ ′= ⋅′ ′= ⋅ ⋅

′ ′   = −    

′′ =

′ ′= ⋅

′ ′= − ⋅

′ ′= ⋅ ⋅

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

ln

logln

sin cos

cos sin

cos

sin

arcsin1

arccos1

1

1

a

uu

u

uu

u a

u u u

u u u

utgu

u

uctgu

u

uu

u

uu

u

uarctgu

u

uarcctgu

u

′′ =

′′ =⋅

′ ′= ⋅

′ ′= − ⋅

′′ =

′′ = −

′′ =−

′′ = −−

′′ =+

′′ = −+

Tabel cu integrale nedefinite

http://variante-mate

http://variante-mate

7/29/2019 formule-analiza.doc

http://slidepdf.com/reader/full/formule-analizadoc 3/4

2

32

4

3

1

1

2

3

4

1

1ln

ln

nn

 x x

 x x

 x x

dx x C  

 x xdx C 

 x x dx C 

 x x dx C 

 x x dx C 

n

dx x C   x

e dx e C  

e dx e C  a

a dx C  a

+

− −

= +

= +

= +

= +

= ++

= +

= +

= − += +

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ ∫ 

( )

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

sin cos

cos sin

1

cos

1

sin1 1

1 1ln

2

1ln

1

ln

1arcsin

 xdx x C 

 xdx x C 

dx tgx C   x

dx ctgx C  

 x x

dx arctg C   x a a a

 x adx C 

 x a a x a

dx x x a C   x a

dx x x a C   x a

 xdx C 

aa x

= − +

= +

= +

= − +

= ++

−= +

− +

= + + ++

= + − +−

= +−

∫ 

∫ 

∫ 

∫ ∫ 

∫ 

∫ 

∫ ∫ 

Formula de integrare prin părţi pentru integrale nedefinite este: 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x f x g x dx′ ′= −∫ ∫ 

Formula de integrare prin părţi pentru integrale definite este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b

b

aa a

 f x g x dx f x g x f x g x dx′ ′= −∫ ∫ 

Aplicaţii ale integralei definite

• Aria subgraficului unei funcţii

Dacă : [ , ] f a b → ¡ este o funcţie continuă pozitivă atunci avem:

( ) ( )b

 f  a

 A f x dxΓ =

∫ • Volumul unui corp de rotaţie

Dacă : [ , ] f a b → ¡ este o funcţie continuă atunci avem:

2( ) ( )b

 f  a

V C f x dxπ  = ∫ 

7/29/2019 formule-analiza.doc

http://slidepdf.com/reader/full/formule-analizadoc 4/4

2

32

43

1

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

2

( )( ) ( )3

( )( ) ( )

4

( )( ) ( )

1

( )ln ( )( )

( )

( )

( )ln

nn

u x u x

u x u x

u xu x

u x dx u x C  

u xu x u x dx C  

u xu x u x dx C  

u xu x u x dx C  

u xu x u x dx C  

n

u xdx u x C  u x

e u x dx e C  

e u x dx e C  

aa u x dx C  

a

+

− −

′ = +

′⋅ = +

′⋅ = +

′⋅ = +

′⋅ = ++

′= +

′ = +

′ = − +

′ = +

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ ∫ ∫ 

∫ 

2

2

2 2

2 2

2

2 2

sin ( ) ( ) cos ( )

cos ( ) ( ) sin ( )

( )

( )cos ( )

( )( )

sin ( )

( ) 1 ( )

( )

( ) 1 ( )ln

( ) 2 ( )

( ) ln ( ) ( )( )

u x u x dx u x C  

u x u x dx u x C  

u x

dx tgu x C  u x

u xdx ctgu x C  

u x

u x u xdx arctg C  

u x a a a

u x u x adx C 

u x a a u x a

u x dx u x u xu x a

′⋅ = − +

′⋅ = +

′

= +

′= − +

′= +

+

′ −= +

− +

′ = ++

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

( )2

2 2

2 2

2 2

( )ln ( ) ( )

( )

( ) ( )arcsin

( )

a C 

u xdx u x u x a C  

u x a

u x u xdx C 

aa u x

+ +

′= + − +

−

′= +

−

∫ 

∫ 

∫ 

http://variante-mate