5/9/2018 Formule Algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/formule-algebra-559bf6a50d982 1/4

Formule de algebră

Ecuaţia de gradul doi

• Ecuaţia 2 0ax bx c+ + = .Se calculează 2 4b ac∆ = −• Dacă 0∆ > atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale diferite date de formula

1 2,2

b x xa− ± ∆=

• Dacă 0∆ = atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini reale egale date de formula

1 22

b x x

a= = −

• Dacă 0∆ < atunci ecuaţia de gradul doi are două rădăcini complexe diferite date de formula

1 2,2

b i x x

a

− ± −∆=

• 2

1 2( )( )ax bx c a x x x x+ + = − −• Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul doi 2 0ax bx c+ + = :

1 2

1 2

bS x x

a

c  P x x

a

= + = − = ⋅ =

• Alte formule folositoare la ecuaţia de gradul doi:2 2 2

1 23 3 3

1 2

2

3

  x x S P  

  x x S SP  + = −+ = −

Funcţia de gradul doi

: f   R → R 2( )  f x ax bx c= + +

Graficul funcţiei de gradul doi este o parabolă cu varful in punctul ,2 4

bV 

a a

∆  − −    

.

Dacă a>0 atunci parabola are ramurile indreptate in sus.In acest caz valoarea minimă a funcţiei este min4

 f  a

∆= −

Dacă a<0 atunci parabola are ramurile indreptate in jos.In acest caz valoarea maximă a funcţiei este max4

 f  ∆

= −

Prog resii aritmetice

• Formula termenului general:

1 ( 1)na a n r  = + − ⋅

http://bacalaureat.d

5/9/2018 Formule Algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/formule-algebra-559bf6a50d982 2/4

• Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este: 1( )

2

nn

n a aS 

+=

• Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:

2

a cb

+=

Progresii geometrice

• Formula termenului general:1

1

n

nb b q −= ⋅• Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este:

1( 1)

1

n

n

b qS 

q

−=−

• Condiţia ca trei numere a,b,c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:2

b a c= ⋅

Numere complexe

  z a bi= +   este forma algebrică a unui număr complex

( )cos sin  z r iθ θ = + este forma trigonometrică a unui număr complex unde:

• 2 2r a b= + este modulul numărului complex

• [0,2 )θ π ∈ este argumentul redus al numărului complex şi se scoate din relaţiab

tg a

θ  =

2

2 2

1ia bi a b

  z a bi

= −+ = +

= −Formula lui Moivre

( ) ( )cos sin cos sinn

i n i nθ θ θ θ  + = +

Elemente de combinatorică

! 1 2 3 ....!

!

( )!

!

!( )!

n

k 

n

k 

n

n n P n

n A

n k 

nC 

k n k 

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

=−

=−

Binomul lui Newton:

http://bacalaureat.d

http://bacalaureat.d

Calculează numărul de submulţimi ordonate cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemen

Calculează numărul de submulţimi cu k elemente ale unei mulţimi cu n elemente.

5/9/2018 Formule Algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/formule-algebra-559bf6a50d982 3/4

0 1 1 2 2 2( ) ... ...n n n n k n k k n n

n n n n na b C a C a b C a b C a b C b− − −+ = + + + + + +

Formula termenului general din binomul lui Newton este 1

k n k k  

k nT C a b−+ =

Formule cu logaritmi 

loga b  există dacă 0, 1, 0a a b> ≠ >

logc

a b c a b= ⇔ =   Această echivalenţă transformă o egalitate cu logaritm intr-o egalitate fără logaritm

log 1 0

log 1

ln1 0

ln 1

lg1 0

lg10 1

log log log ( )

log log log

log log

loglog

log

1log

log

a

a

a a a

a a a

n

a a

ca

c

a

b

a

e

  A B A B

 A A B

 B

  A n A

bb

a

ba

==

===

=+ = ⋅

 − =    

= ⋅

=

=

Probabilitatea unui eveniment 

Se calculează cu formula:

.( )

.

nr cazuri favorabile P E 

nr total cazuri posibile=

Legi de compoziţie

Fie M o mulţime nevidă pe care s-a dat o lege de compoziţie notată *.

• Legea * este asociativă dacă ( ) ( ) x y z x y z  ∗ ∗ = ∗ ∗   , ,  x y z  ∀ ∈M

• Legea * este comutativă dacă  x y y x∗ = ∗   , x y∀ ∈M

• Legea * are element neutru e dacă  x e e x x∗ = ∗ =    x∀ ∈M• Un element  x ∈M se numeşte simetrizabil dacă  x′∃ ∈M astfel incât  x x x x e′ ′∗ = ∗ =

Relaţiile lui Viete pentru ecuaţia de gradul treihttp://bacalaureat.d

5/9/2018 Formule Algebra - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/formule-algebra-559bf6a50d982 4/4

Dacă  3 2 0ax bx cx d  + + + =  are rădăcinile  1 2 3, , x x x  atunci avem:

 

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

b  x x x

a

c x x x x x x

a

d   x x x

a

+ + = −

⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ ⋅ = −

Relaţiile lui Viete pentru ecua ţia de gradul patru

Dacă  4 3 2 0ax bx cx dx e+ + + + =  are rădăcinile  1 2 3 4, , , x x x x  atunci avem:

 

1 2 3 4

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

1 2 3 4

b  x x x x

a

c x x x x x x x x x x x x

a

d  x x x x x x x x x x x x

a

e x x x x

a

+ + + = −

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ =