1

MODULUL VFORME BILINIARE ŞI FORME PĂTRATICE.

Tema are ca scop prezentarea detaliată a noţiunilor ce stau la baza multor aplicaţii cefolosesc instrumental spaţiilor vectoriale de dimensiune finită şi anume: forme biliniare,forme pătratice, clasificarea acestora, noţiunea de produs scalar într-un spaţiu real, spaţiieuclidiene. Metodele elaborate au o largă utilizare în disciplinele informatice.

Studenţii vor întocmi o temă de casă care constă în rezolvarea problemelor şiexerciţiilor propuse. Cuvinte cheie: forme biliniare, forme pătratice, produs scalar, spaţii euclidieneIndicaţii de studiere a temei: Timpul minim pe care trebuie să-l acordaţi studierii acestuimodul este de 3 ore.Se citeşte cu atenţie şi se notează ideile principale, ecuaţiile matematice, se aprofundeazănoţiunile subliniate. Se apelează la literatura suplimentară indicată. Se parcurg întrebărilede control şi testele de verificare. Se studiază problemele şi exerciţiile rezolvate. Se rezolvăexerciţiile propuse. Dacă nu se înţeleg rezolvările sau nu pot da soluţii unor problemepropuse se restudiază subiectul în cauză.

Cuprins5.1. Forme biliniare.5.2. Forme biliniare simetrice; forme pătratice.5.3. Metoda lui Gauss pentru aducerea unei forme pătratice la o sumă de pătrate.5.4. Metoda lui Iacobi.5.5. Teorema inerţiei (Sylvester).5.6. Spaţii euclidiene.5.7. Baze ortonormate, transformări ortogonale.5.8. Probleme rezolvate.5.9. Teme pentru casa.

După parcurgerea şi însuşirea acestei teme, studentul va cunoaşte: Forme biliniare, matricea asociată unei forme biliniare într-o bază dată şi

transformarea sa la schimbarea bazei; Forme biliniare simetrice şi forme pătratice; Metode de aducere a unei forme pătratice la o sumă de pătrate (Gauss, Jacobi), forme

pătratice pozitiv definite; Spaţii vectoriale euclidiene; Produs scalar, normă, unghi, distanţă; Baze ortonormate, transformări ortogonale, procedee de ortogonalizare;

2

5.1 FORME BILINIAREForme biliniareFie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K. Se numeşte formă biliniară pe

spaţiul V o funcţie :V V K având următoarele proprietăţi:

1. 1 2 1 2, , ,x y y x y x y ;

2. , ,x y x y ;

3. 1 2 1 2, , ,x x y x y x y ;

4. , ,x y x y .

Forma biliniară este o funcţie scalară, adică ia valori scalare. Ea depinde de douăvariabile vectoriale.

Primele două proprietăţi exprimă faptul că dacă se fixează variabila (vectorială) x, seobţine o formă liniară în y. Din următoarele două rezultă că dacă se fixează y, se obţine oformă liniară în variabila x. Tocmai pentru că este liniară în ambele variabile se numeştebiliniară.

Exemple

1. Fie nV K şi A o matrice pătratică de ordinul n. Dacă x şi y sunt vectori, adicămatrice coloană, atunci notând tx transpusa matricei x, aceasta va fi o matrice linie, iarprodusul de matrice , tx y x Ay va fi o matrice având o singură linie şi o singurăcoloană, adică va fi un scalar. Din proprietăţile operaţiilor cu matrice rezultă că suntîndeplinite proprietăţile din definiţia formei biliniare. Aşadar orice matrice pătratică deordinul n defineşte o formă biliniară pe spaţiul nV K .

2. Fie V = 0[ , ]a bC spaţiul vectorial real al funcţiilor reale continnue definite pe

intervalul ,a b şi, pentru orice pereche f şi g de vectori din V

adică funcţii reale continue pe a,b

, , db

a

f g f t g t t . Din proprietăţile de

calcul ale integralelor definite rezultă că sunt îndeplinite proprietăţile din definiţia formeibiliniare.

Matricea unei forme biliniare într-o bază datăFie 1 2, , , nx x x o bază a spaţiului V şi :V V K o formă biliniară pe spaţiul

V. Matricea A care are pe linia i şi coloana j scalarul ,ij i jx x se numeşte matricea

formei biliniare φ în baza 1 2, , , nx x x .

Folosind această matrice se poate exprima valoarea lui ,x y în funcţie de

coordonatele vectorilor x şi y. Într-adevăr, fie 1 2, , , n coordonatele lui x şi1 2, , , n coordonatele lui y în baza 1 2, , , nx x x . Biliniaritatea lui φ înseamnă că φ se

3

distribuie faţă de sumă, adică poate comuta cu operaţia de sumare şi, în cadrul fiecăruitermen, scalarii pot trece în faţa lui φ. Deci:

1 1 , 1 , 1

1

21 2

, , , , ,

, ,....,...

n n n ni j i j i j

i j i j i ji j i j i j

n

n

x y x x x x x x

A

Putem folosi şi scrierea concentrată: , i jijx y a unde, amintim,

,ij i jx x .

Observăm că dacă , i jijx y , pentru orice x şi y, atunci

,ij ij i jx x . Într-adevăr, înlocuind în relaţia , i jijx y pe x cu xi şi y cu

jx , toţi 1 2, , , n sunt nuli în afară de i care este egal cu 1 şi toţi 1 2, , , n sunt

nuli în afară de j care este egal cu 1. Ca urmare în suma , i ji j ijx y un singur

termen este nenul şi anume cel care corespunde perechii de indici i şi j, astfel că

, 1.1i j ij ijx y

Formula de transformare a matricei unei forme biliniare la schimbarea bazei

Fie 1 2, , , nx x x o nouă bază a lui V, 1 2, , , n coordonatele lui x şi1 2, , , n coordonatele lui y în această bază. Notăm i

jT matricea de trecere de la

baza 1 2, , , nx x x la baza 1 2, , , nx x x .

Ne propunem să calculăm matricea ijB a formei biliniare φ în noua bază în

funcţie de matricele A şi T. Pentru aceasta este suficient să exprimăm ,x y în funcţie de

coordonatele noi i şi i . Ţinând seamă că: i i jj şi i i j

j rezultă:

, de unde,j j ji j i k h i k h iij ij k k ij kh k ijh h hx y adică

tB T AT

Reamintim în acest context că formula de transformare a matricei unui operator liniarla schimbarea bazei este 1B T AT .

4

5.2 FORME BILINIARE SIMETRICE; FORME PĂTRATICEForma biliniară :V V K se numeşte simetrică dacă, pentru orice pereche de

vectori x şi y, se îndeplineşte condiţia: , ,x y y x .

PropoziţieForma biliniară φ este simetrică dacă şi numai dacă matricea sa într-o bază oarecare

este simetrică.

Demonstraţie

Fie ,i jA x x matricea formei în baza 1 2, , , nx x x .

Presupunem că forma este simetrică. Atunci, cum pentru orice pereche de vectori x şi yse îndeplineşte condiţia: , ,x y y x , rezultă în particular că:

, ,i j j ix x x x ,

adică matricea A este simetrică.Să mai observăm că dacă matricea A a unei forme biliniare într-o bază oarecare este

simetrică, adică tA A atunci ea este simetrică în orice altă bază. Într-adevăr, dacă matriceade trecere la o nouă bază este T, atunci matricea formei în noua bază este :

şi

t tt t t t t t tB T AT B T AT T A T T AT B .

Reciproc, să presupunem că matricea A este simetrică, adică tA A şi să notăm1 2, , , n , respectiv 1 2, , , n coordonatele a doi vectori oarecare x şi y. Remarcând

că orice matrice pătratică de ordinul unu este simetrică şi că tA A se obţine:

1 1

2 21 2 1 2

1

21 2

, , , , , , ,...

, , , , . Q.E.D....

t

n n

n n

n t

n

x y A A

A y x

Forme pătratice

Dacă în expresia unei forme biliniare: , i iijx y a înlocuim pe y cu x obţinem:

, i jijx x a , adică un polinom omogen de gradul doi în coordonatele

1 2, , , n

ale vectorului variabil x, care se numeşte formă pătratică.

5

Ne punem problema dacă din expresia unei forme pătratice (un polinom omogen degradul doi în 1 2, , , n ) putem să recuperăm forma biliniară din care a provenit, maiprecis matricea formei biliniare. Este suficient de relevant să efectuăm această analiză pentrucazul 2n . Expresia formei biliniare este:

1 1 1 2 2 1 2 211 12 21 22,x y , iar forma pătratică dedusă din

aceasta este 2 21 1 2 211 12 21 22,x x .

Presupunem cunoscută expresia formei pătratice:

2 21 1 2 2,x x ,

adică presupunem cunoscuţi coeficienţii , , şi ne propunem să determinăm elementelematricei formei biliniare. Pentru aceasta dispunem de trei ecuaţii:

11

12 21

22

.

Se vede că elementele de pe diagonala matricei sunt determinate: ele sunt coeficienţiipătratelor. Pentru 12 21

şi este cunoscută numai suma lor.

Deci există o infinitate de forme biliniare care determină aceeaşi formă pătratică.Dar dacă forma biliniară este simetrică, atunci ea este determinată: 12 21 / 2 Acest lucru este valabil şi pe cazul general, adică pentru n oarecare: există o infinitate

de forme biliniare care determină aceeaşi formă pătratică, dar dintre acestea numai una estesimetrică. Când vorbim de matricea unei forme pătratice înţelegem matricea formei biliniaresimetrice ataşate. Ea se alcătuieşte astfel: elementele de pe diagonală sunt coeficienţiipătratelor; elementul de pe linia i şi coloana j este egal cu elementul de pe linia j şi coloana işi este egal cu jumătatea coeficientului lui i j .

La fel ca şi în cazul operatorilor liniari, pornind de la faptul că matricea unei formebiliniare depinde de bază, ne propunem să găsim o bază în care această matrice să aibă formadiagonală.

Spre deosebire de cazul operatorilor liniari, de astă dată problema are întotdeaunasoluţie. Ne vom ocupa însă de rezolvarea acestei probleme numai pentru cazul formelorsimetrice, adică de fapt al formelor pătratice. Soluţia acestei probleme pentru cazul formelorpătratice este utilă în dezvoltarea ulterioară.

Să observăm mai întâi că, dată fiind semnificaţia matricei unei forme pătratice, găsireaunei baze în care această matrice să fie o matrice diagonală echivalează prin rescrierea formeipătratice, astfel încât ea să apară ca sumă numai de pătrate cu diverşi coeficienţi, adică să numai aibă nici un termen mixt, cum ar fi i j .

În consecinţă în loc de „găsirea unei baze în care matricea formei pătratice să fie omatrice diagonală” putem spune „aducerea formei pătratice la o sumă de pătrate”.

6

5.3. METODA LUI GAUSS PENTRU ADUCEREA UNEI FORMEPĂTRATICE LA O SUMĂ DE PĂTRATE

Considerăm forma pătratică . 1

, ;n

i jij ij ji

i jx x

; în care variabilele

1 2, , , n sunt coordonatele vectorului variabil x în baza 1 2, , , nx x x a spaţiului

vectorial V peste corpul comutativ K. Presupunem că 11 , coeficientul lui 21 este nenul

şi îl vom numi în continuare pivot.Prelucrăm din suma ,x x partea constituită din termenii care conţin variabila 1

ţinând seamă că :ij ji

21 1 2 1 3 111 12 13 1

1 2 1 3 121 31 1

21 1 2 1 3 111 12 13 1

21 1 2 311 11 12 13 1

112 22 3 2 3

12 13 1 12 13 111

2

1 2

1

nn

nn

nn

nn

n nn n

-Rezultă:

21 2 311 12 13 1

11

22 312 13 1

11 , 2

2 (1)1 2 311 12 13 1

11 , 2

1,

1

1

nn

nn i j

n iji j

nn i j

n iji j

x x

Să calculăm coeficienţii (1)ij ai noii forme în care nu mai apare 1 :

11 1 1(1)1 1

11 11

1 ij i jij ij i j

.

Observăm că numărătorul din expresia lui (1)ij se calculează după „regula

dreptunghiului”. Aşadar, în ipoteza că 11 0 am scris forma pătratică sub formă de pătratal unei forme liniare înmulţită cu un scalar, la care se adaugă o formă pătrată cu mai puţine

7

variabile: dintre ele lipseşte 1 . Forma liniară din paranteză are drept coeficienţi elementelede pe prima linie a matricei A.

Coeficienţii formei pătratice rămase (din care lipseşte 1 ) se calculează după reguladreptunghiului însoţită de împărţirea la pivot.

Ceea ce s-a făcut cu forma pătratică iniţială se poate face cu forma pătratică obţinută:

în ipoteza că (1)22 0 , alegându-l pe acesta drept pivot, se scrie sub forma următoare:

inversul pivotului înmulţit cu pătratului formei liniare având drept coeficienţi elementeleprimei linii a matricei formei pătratice la care se adaugă o formă pătratică în care nu mai aparenici 1 nici 2 . Se transformă în continuare noua formă pătratică obţinută şi aşa mai departe.

Aşadar, după n transformări (iteraţii), în ipoteza că de fiecare dată elementul de peprima linie şi prima coloană a matricei formei pătratice obţinute este nenul, forma pătraticădevine o sumă de pătrate de forme liniare, aceste pătrate fiind înmulţite cu diverşi coeficienţi:

2 2 2 21 2 3(1) (2) ( 1)

11 22 33

1 1 1 1, nn

nnx x

,

în care:

1 1 2 311 12 13 1

(1) (1) (1)2 2 322 23 2

(2) (1)3 333 3

( 1)

nn

nn

nn

n n nnn

.

Deoarece i sunt expresii liniare depinzând de i , ele constituie coordonatelevectorului variabil x într-o nouă bază, 1 2, , , ny y y . Notând, ca de obicei, cu T matricea detrecere de la baza 1 2, , , nx x x la baza 1 2, , , ny y y putem scrie:

11 12 13 1(1) (1) (1)22 23 2

1 (2) (2)33 3

( 1)

0

0 0

0 0 0 ...

n

n

n

nnn

T

,

din care, calculând matricea T putem obţine noua bază 1 2, , , ny y y .Să revenim acum asupra ipotezei 11 0 . Dacă 11 0 înseamnă că lipseşte

termenul care conţine monomul 21 . Presupunem că în expresia formei pătratice există un

pătrat având coeficientul nenul, altfel spus, diagonala matricei are cel puţin un element nenul,fie acesta 22 .

8

Înlocuind: 1 1 2 2 3 3, , , , n n ( 1 2, , , n vor fi coor-donatele vectorului variabil x într-o nouă bază, şi anume 2 1 , , , nx x x ), matricea formeipătratice va avea pe locul de pe prima linie şi prima coloană elementul 11 coeficientul lui

21 coeficientul lui 2122 0 . Luându-l pe acesta drept pivot se poate efectua

transformarea descrisă.Presupunem că forma pătratică nu conţine nici un pătrat, adică toate elementele de pe

diagonala matricei sunt nule. Presupunem totuşi că matricea are cel puţin un element nenul înafara diagonalei, fie acesta 12 0 .

Trecând la noile coordonate 1 2, , , n , definite de:

1 1 2 2 1 2 2 31 1, , , ,2 2

n n ,

matricea formei pătratice în noile coordonate va avea elementul de pe prima linie şi primacoloană nenul.

Este posibil ca, după r n iteraţii, forma pătratică rămasă să fie nulă. Atunci formapătratică va avea, fireşte, numai r pătrate. Primele r dintre coordonatele 1 2, , , n sedefinesc prin formulele de mai sus, iar celelalte se pot lua egale cu coordonatelecorespunzătoare ;i i r . Numărul r se numeşte rangul formei pătratice. El este egal curangul matricei A a formei, deoarece pe de o parte matricea B a formei în noua bază va aveaprimele r elemente de pe diagonală egale cu cei r coeficienţi nenuli, iar celelalte elemente alematricei sunt nule astfel că rangB r . Pe de altă parte, notând cu T matricea de trecere la

noua bază, acesta este inversabilă şi tB T AT , astfel că rang rangA B r .

5.4. METODA LUI IACOBI

În anumite condiţii se poate aplica şi o altă metodă care cu aspect mai sintetic.

Teoremă

Fie ijA matricea unei forme pătratice în baza 1 2, , , nx x x a spaţiului

vectorial V şi pentru orice 1,2, ,r n să notăm r minorul matricei A format cu primeler linii şi coloane; 0 1 .

Dacă toţi aceşti minori sunt nenuli, atunci există o bază 1 2, , , ny y y în care expresiaformei pătratice este:

2 2 2 21 2 30 11 2

1 2 3, ... nn

nx x

.

9

Demonstraţie

Pentru fiecare r vectorul ry îl căutăm de forma: ry 1 1r x

2 2r rr rx x . Determinăm coeficienţii astfel ca vectorul ry să înde-plinească

următoarele condiţii: 1, 0,rx x 2, 0,ry x …, 1, 0,r ry x , 1r ry x .Ţinând seamă de linearitatea formei în prima variabilă şi de faptul că

, ,i j j i ijx x x x condiţiile impuse vectorului ry revin la sistemul liniar:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

,1 1 1,2 2 1,

1 1 2 2

00

01

r r r rr

r r r rr

r i r r r r r rr

r r r r rr rr

.

Sistemul are r ecuaţii cu tot r necunoscute, iar determinantul matricei coeficienţiloreste tocmai r despre care ştim prin ipoteză că este nenul.

Prin urmare sistemul este compatibil şi chiar determinat. Observăm în plus că, potrivit

regulii lui Cramer, 1rrr

r

.

Rămâne să demonstrăm că vectorii 1 2, , , ny y y formează o bază şi că această bazăîndeplineşte condiţia din enunţul teoremei.

Matricea coordonatelor vectorilor 1 2, , , ny y y este triunghiulară având pe diagonalăelementele rr care sunt nenule. Prin urmare determinantul acestei matrici este nenul, deunde rezultă că vectorii 1 2, , , ny y y constituie o bază.

Să notăm ijB matricea formei pătratice în baza 1 2, , , ny y y .

Pentru ,i r

1 1 2 2 1

2

, , ,

, , 0,ri r i r i i ii i i r i

i r r ij r i

y y x x x y y

y x y x

deoarece

1 2 1, 0, , 0, , , 0, , 1r r r r r ry x y x y x y x .

Din cauza simetriei matricei B deducem că şi pentru i r avem 0ri , adicămatricea B este o matrice diagonală.

Elementele de pe diagonală sunt:

1 1 2 2 , 1

1 1 2 2 , 1 1

1

, ,

, , , ,

.

rr r r r r r r r r i rr r

r r r r r r r r rr r r

rrr

r

y y y x x x x

y x y x y x y x

10

Din definiţia matricei unei forme pătratice rezultă că expresia formeipătratice este cea din enunţ. Q.E.D.

5.5. TEOREMA INERŢIEI (SYLVESTER)

Cunoscând faptul că există mai multe metode de aducere a unei forme pătratice la osumă de pătrate se pune problema în ce măsură pot să difere rezultatele dacă aceeaşi formăpătratică este adusă la o sumă de pătrate prin două metode diferite.

Am remarcat deja că numărul coeficienţilor nenuli nu poate să depindă de metodă.Acest număr a fost numit rangul formei. El este rangul matricei formei într-o bază oarecare,care rang nu se schimbă dacă se schimbă baza.

Pentru a găsi alţi invarianţi ai formelor pătratice trebuie să facem o restricţie asupracorpului de scalari. Mai precis, obiectul teoremei care urmează este cel al spaţiilor vectorialereale, adică acelea în care corpul de scalari este corpul numerelor reale.

Teoremă

Fie V un spaţiu vectorial real finit generat şi ,x x o formă pătratică definită peacest spaţiu. Dacă forma este adusă la o sumă de pătrate prin două metode diferite, atuncinumărul coeficienţilor pozitivi, negativi şi nuli, în cele două rezultate, este acelaşi.

DemonstraţieFolosind una din metode, se ajunge la o bază 1 2, , , nx x x în care expresia formei

pătratice este:

2 2 2 21 2 11 2 1

2 222

,

,

r rr

r r ss

x x

în care 1 2, , , n sunt coordonatele vectorului variabil x în baza 1 2, , , nx x x , iarşii j sunt numere reale strict pozitive şi r s n . Aşadar forma are r coeficienţi strict

pozitivi, s sunt strict negativi, iar restul, până la n, sunt nuli.

Folosind o altă metodă, se ajunge la baza 1 2, , , ny y y în care expresia aceleiaşiforme pătratice este:

2 2 2 21 2 11 2 1

2 222

,

,

p pp

p p qq

x x

în care i sunt noile coordonate ale lui x, iarşi

i j sunt numere reale strict pozitive şi,fireşte, p q n . Altfel spus, prin această metodă s-au obţinut p coeficienţi strict pozitivi, qstrict negativi, iar restul până la n sunt nuli.

Vrem să demonstrăm căşi

p r q s .

11

Presupunem, prin reducere la absurd, că p r . Sunt atunci posibile două situaţii: sau, saup r p r . Alegem prima variantă, adică p r .Considerăm şirul de vectori: 1 2 1 2, , , , , , ,r p p nx x x y y y . Numărul lor este

r n p n r p care este strict mai mare decât dimensiunea n a spaţiului V înipoteza că p r . Prin urmare aceşti vectori nu pot fi liniar independenţi.

Există deci scalarii: 1 2 1 2, , , ; , , ,n p p nv v v nu toţi nuli, astfel încât:

1 1 2 2 1 1 2 2... ...r r p p p p n nx x x y y y .

Cel puţin unul dintre scalarii i este nenul. În caz contrar am avea o combinaţieliniară nulă a vectorilor iy , care constituie o bază, de unde ar rezulta că toţi coeficienţiiacestei combinaţii liniare ar fi nuli, deci odată cu coeficienţii i devin nuli şi coeficienţii jv .

Notăm 0 1 1 2 2 ... r rx x x x . Din relaţia de mai sus rezultă:

0 1 1 2 2p p p p n nx y y y . Am obţinut aici scrierea lui 0x atât ca o

combinaţie liniară de 1 2, , , nx x x , cât şi ca o combinaţie liniară de 1 2, , , ny y y . Maiprecis, pentru vectorul 0x avem, pe de o parte:

1 2 11 2, , , , 0, , 0r r n

r ,

iar pe de altă parte:1 2 1 2

1 20, 0, , 0, , , ,p p p np p nv v v .

Folosind prima expresie a lui φ obţinem:

2 2 2 2 2 20 0 1 1 2 2 1 2

2 2 21 1 2 2

, 0 0 0

0,

r r r

r r

x x

u u u

deoarece toţi coeficienţii i sunt strict pozitivi şi cel puţin unul dintre coeficienţii i estenenul.

Folosind a doua expresie a lui φ obţinem:

2 2 22 2 20 0 1 2 1 1 2 2

2 2 21 1 2 2

, 0 0 0

0,

p p p p p q

p p q p q

x x v v v

v v v

deoarece toţi coeficienţii i sunt strict pozitivi.

Am ajuns astfel la o contradicţie care provine din ipoteza că p r . La fel se înlăturăşi ipoteza că p r . Aşadar p r . Analog se demonstrează că s q . Q.E.D.

Forme pătratice pozitiv definiteO formă pătratică definită pe un spaţiu vectorial real se numeşte pozitiv definită

dacă fiind adusă la o sumă de pătrate, toţi coeficienţii pătratelor sunt strict pozitivi.Teorema anterioară ne asigură că nu întâlnim ambiguităţi în a decide dacă o formă este

sau nu pozitiv definită (altfel spus că definiţia este „consistentă”). Într-adevăr, dacă folosind o

12

metodă de aducere la o sumă de pătrate forma obţinută are n coeficienţi strict pozitivi, atuncila fel se va întâmpla dacă folosim orice altă metodă.

PropoziţieO formă pătratică a unui spaţiu real V de dimensiune n este pozitiv definită dacă şi

numai dacă există o bază în care matricea formei este matricea unitate nI .

DemonstraţieEvident că dacă matricea lui într-o bază este matricea unitate, atunci este pozitiv

definită. Reciproc, să presupunem că forma este pozitiv definită. Există atunci o bază

1 2, ,..., nx x x în care expresia formei pătratice este

2 2 21 21 2, n

nx x cu toţi coeficienţii i strict pozitivi.

Notând i ii expresia formei pătratice devine:

2 2 21 21, nx x .

Matricea formelor liniare i este o matrice diagonală cu elementele de pe diagonală,

deci o matrice inversabilă. Aşadar i reprezintă coordonatele vectorului variabil x într-o altăbază. În această nouă bază matricea formei este matricea nI . Q.E.D.

5.6. SPAŢII EUCLIDIENENoţiunea de produs scalarÎn spaţiul vectorial real tridimensional al vectorilor geometrici, reprezentaţi de săgeţi,

am pus în evidenţă şi alte operaţii în afară de cele care definesc structura de spaţiu vectorial:produsul scalar, produsul vectorial, produsul mixt. Aceste operaţii au fost definite, ca şi celede adunare şi de înmulţire a vectorilor cu numere, folosindu-se noţiunile geometrice de unghişi distanţă, de care nu dispunem în cazul spaţiului real cu mai multe dimensiuni.

Noţiunea de produs scalar, într-un spaţiu oarecare, se defineşte preluând proprietăţileesenţiale ale produsului scalar din spaţiul fizic.

DefiniţieSe numeşte produs scalar pe spaţiul vectorial real V o operaţie în care la

fiecare pereche de vectori x şi y din V se asociază un scalar (număr real) notat ,x y astfelîncât sunt îndeplinite următoarele condiţii:

1. , ,x y y x ;

2. 1 2 1 2, , ,x y y x y x y ;

3. , ,x y x y ;

4. , 0; , 0x x x x , dacă şi numai dacă x .Aşa cum s-a stabilit în capitolul „Calculul vectorial”, produsul scalar al vectorilor

geometrici îndeplineşte aceste condiţii. Acest fapt are două semnificaţii. În primul rând eloferă un exemplu de produs scalar în sensul definit aici. Ca atare definiţia este consistentă. În

13

al doilea rând putem spune că acest produs scalar este o generalizare a celui definit geometricîn spaţiul tridimensional.

Condiţiile (2) şi (3) exprimă faptul că produsul scalar, ca funcţie reală de douăvariabile vectoriale x şi y, este definit astfel încât, dacă se fixează variabila x, se obţine ofuncţie reală liniară în y. Condiţia (1), de simetrie asigură că produsul scalar este liniar şi în x.Aşadar, condiţiile (1), (2) şi (3) exprimă faptul că produsul scalar este o formă biliniarăsimetrică. Următoarea propoziţie relevă conţinutul condiţiei (4).

PropoziţieO formă biliniară simetrică definită pe spaţiul vectorial real V este produs scalar dacă

şi numai dacă forma pătratică asociată ei este pozitiv definită.

Demonstraţie

Fie o formă biliniară simetrică ,x y a spaţiului V.

Notând , ,x y x y , sunt îndeplinite condiţiile (1), (2) şi (3). Dacă forma

pătratică asociată ,x x este pozitiv definită, atunci există o bază în care expresia formeipătratice este:

2 2 21 2, nx x ,

în care 1 2, , , n sunt coordonatele vectorului x în acea bază. Deoarece

, ,x x x x este o sumă de pătrate rezultă că , 0x x . În plus, suma de pătrate

, 0x x dacă şi numai dacă toţi termenii sumei sunt nuli, deci atunci şi numai atunci cândx .

Reciproc, să presupunem că forma biliniară simetrică din care provine forma pătratică ,x x este un produs scalar adică îndeplineşte condiţia (4): , 0

şi , 0x x x x

dacă şi numai dacă x . Fie 1 2, , , nx x x o bază în care expresia formei pătratice este o

sumă de pătrate: 211,x x 2 22

2n

n . Rezultă că pentru

orice , ,i i ii x x şi deci 0i , adică forma pătratică ,x x este pozitiv definită.Q.E.D.

Din propoziţia anterioară rezultă că un produs scalar este o formă biliniară simetricăa cărei formă pătratică este pozitiv definită. Evident că pe un spaţiu vectorial real se potdefini mai multe produse scalare şi anume atâtea câte forme pătratice pozitiv definite sunt.

Dacă spaţiul este finit generat, de dimensiune n, atunci mulţimea formelor pătraticepozitiv definite (deci a produselor scalare) este în corespondenţă bijectivă cu mulţimeamatricelor pătratice reale de ordinul n, simetrice, având toţi minorii 1 2, , , n care aufost definiţi în metoda Iacobi strict pozitivi.

Noţiunea de spaţiu euclidianSe numeşte spaţiu euclidian un spaţiu vectorial real împreună cu un produs scalar pe

care-l vom nota ca mai sus: ,x y înseamnă produsul scalar al vectorilor x şi y. Pentru adesemna un spaţiu euclidian vom folosi de regulă litera E în loc de V.

Aşa cum am menţionat, pe un spaţiu vectorial real V există o infinitate de produsescalare. Alegerea unuia dintre acestea conferă spaţiului V o structură algebrică prevăzută cu o

14

operaţie în plus faţă de cele ale spaţiului vectorial. Această structură poartă numele de spaţiueuclidian.

Inegalitatea lui Cauchy

Pentru orice vector x al spaţiului euclidian E notăm: ,x x x .Din definiţia produsului scalar, numărul de sub radical este pozitiv (chiar strict pozitiv

dacă x ), astfel încât rădăcina sa pătratică este corect definită ca număr real pozitiv şi îlnumim norma lui x. Pentru orice pereche de vectori x şi y este îndeplinită următoareainegalitate numită inegalitatea lui Cauchy:

,x y x y .

Într-adevăr, pentru orice număr real , din definiţia produsului scalar, avem, 0x y x y , deci 2 , 2 , , 0x x x y y y . Rezultă că discriminantul

acestui trinom de gradul doi în este negativ: 2, , , 0x y x x y y , de unde se obţineinegalitatea enunţată.

Inegalitatea triunghiului (Mincowski)

x y x y

Pentru demonstraţie folosim proprietăţile din definiţia produsului scalar:, , 2 , ,x y x y x x x y y y . Cu notaţia introdusă aceasta înseamnă:

2 2 22 ,x y x x y y

de unde, folosind inegalitatea lui Cauchy, , ,x y x y x y , obţinem inegalitateatriunghiului.

Spaţii normate, spaţii Banach, spaţii Hilbert.Se numeşte normă pe spaţiul vectorial real V o funcţie :N V R având următoarele

proprietăţi:1. 0

şi 0N x N x dacă şi numai dacă x ;

2. N x N x ;

3. N x y N x N y .Un spaţiu vectorial real se numeşte spaţiu vectorial normat dacă pe acest spaţiu s-a

definit o normă.

Exemplu

În orice spaţiu euclidian E se poate defini norma: ( )N x x . Din proprietăţileprodusului scalar şi din inegalităţile Cauchy şi Mincowski, rezultă cele trei condiţii dindefiniţia normei.

Un vector al unui spaţiu normat (în particular euclidian) se numeşte versor dacă arenorma egală cu unu.

O mulţime oarecare X se numeşte spaţiu metric dacă există o funcţie::d X X R numită distanţă având următoarele proprietăţi:

15

1. d , d ,x y y x .

2. d , d , d ,x z x y y z .

3. d , 0şi d , 0

x y x y dacă şi numai dacă x y .ExemplePe orice spaţiu normat (şi deci pe orice spaţiu euclidian) se poate defini distanţa în

felul următor: d ,x y N x y . Folosind proprietăţile din definiţia normei se potdemonstra cu uşurinţă proprietăţile din definiţia distanţei.

Pe un spaţiu vectorial real se pot defini distanţe care să nu provină din nici-o normă,cum ar fi: d , 1x y pentru x y şi d , 0x y pentru x y .

Pe orice spaţiu metric se poate defini o topologie cunoscută sub numele de„topologia spaţiului metric”. Menţionăm că un spaţiu topologic se numeşte spaţiu topologiccomplet dacă orice şir fundamental este convergent.

Se numeşte spaţiu Banach un spaţiu normat care, cu topologia corespunzătoare, estecomplet. Dacă, în plus, spaţiul este euclidian, adică norma este definită de un produs scalar,atunci spaţiul se numeşte spaţiu Hilbert.

Unghiul a doi vectori nenuli într-un spaţiu euclidianFie E un spaţiu euclidian şi x, y doi vectori nenuli din E. Numim unghiul vectorilor x

şi y, notat ,x y unghiul din intervalul 0, definit de:

,cos( , )

x yx y

x y

.

Inegalitatea lui Cauchy asigură că membrul drept al egalităţii este un număr cuprins înintervalul 1,1 deci poate fi cosinusul unui unghi. Pe de altă parte, din monotonia funcţiei

cos pe intervalul 0, rezultă că acest unghi este determinat.Spunem că vectorii x şi y sunt ortogonali dacă unghiul lor este drept. Acest lucru este

echivalent cu condiţia: , 0x y .Alegând pe spaţiul vectorial al vectorilor geometrici (definiţi cu ajutorul săgeţilor)

produsul scalar obişnuit, unghiul definit mai sus este acelaşi cu cel obţinut prin măsurarea cuajutorul raportorului. La fel, norma unui vector, coincide cu lungimea lui obţinută prin măsurareacu ajutorul riglei gradată adecvat.

Dacă însă alegem pe acest spaţiu alt produs scalar, atunci nici lungimea vectorilor şinici unghiul lor nu vor mai fi aceleaşi. De exemplu, pe de o parte se pierde atât calitatea deversor, cât şi calitatea de vectori ortogonali, iar pe de altă parte unii vectori cu lungimeadiferită de unu devin versori şi alţi vectori ce formează unghiuri ascuţite sau obtuze devinortogonali.

5.7. BAZE ORTONORMATE, TRANSFORMĂRI ORTOGONALEBaze ortonormateFie E un spaţiu euclidian finit generat. Se numeşte bază ortonormată o bază

1 2, , , ne e e formată din versori ortogonali doi câte doi.

16

Din definiţia versorului şi a unghiului a doi vectori rezultă că o bază ortonormată secaracterizează prin faptul că ,i j ije e simbolul lui Kronecker, care este elementul

generic al matricei unitate. Aşadar o bază este ortonormată dacă şi numai dacă matriceaprodusului scalar, considerat ca formă biliniară simetrică este tocmai matricea unitate nI .

Reamintim că dacă A este matricea unei forme biliniare φ în baza :

1 21 2, , ,

şi , , ,n

ne e e sunt coordonatele lui x, iar 1 2, , , n sunt

coordonatele lui y, atunci:

1

21 2, , , , n

n

x y A

.

Luând în locul formei φ produsul scalar, faptul că, în acest caz, nA I conduce la:

1 1 2 2, n nx y

Aşadar o bază ortonormată se poate caracteriza prin faptul că produsul scalar a doivectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale celor doi vectori înaceastă bază.

Metoda lui Gauss pentru construirea unei baze ortonormateÎn capitolul anterior am arătat deja că dacă o formă pătratică este pozitiv definită

atunci există o bază în care matricea sa este matricea unitate. Produsul scalar se defineştetocmai ca formă biliniară simetrică a cărei formă pătratică este pozitiv definită. Aşadar existăo bază în care matricea produsului scalar este matricea unitate.

Reamintim procedeul de obţinere a unei astfel de baze. Folosind metoda lui Gauss seaduce la o sumă de pătrate forma pătratică definită de produsul scalar. Se obţine o bază 1 2, , , nx x x în care matricea acestei formei pătratice este o matrice diagonală.

Deoarece forma este pozitiv definită elementele de pe diagonală sunt numere strictpozitive. Faptul că matricea produsului scalar este o matrice diagonală înseamnă că

, 0i jx x pentru i j , adică vectorii 1 2, , , nx x x sunt ortogonali doi câte doi.

Evident că ei vor rămâne tot ortogonali dacă vor fi înmulţiţi cu scalari nenuli.

Pe de altă parte orice vector nenul x devine versor dacă se înmulţeşte cu scalarul1x

.

Într-adevăr,

21 1 1, , 1x x x xx x x

.

Operaţia prin care din vectorul nenul x obţinem versorul1e xx

se numeşte

normare. Matricea coordonatelor versorilor 1 2, , , ne e e în baza 1 2, , , nx x x este

17

matricea diagonală având pe diagonală inversele normelor vectorilor ix , deci este o matricenesingulară, de unde rezultă că aceşti versori constituie o bază.

Metoda lui Gramm de ortonormareUrmătoarea metodă descrie construirea pas cu pas a unei baze ortonormate. Fie

1 2, , , nx x x o bază oarecare a spaţiului euclidian E şi notăm 1e versorul obţinut prinnormarea lui 1x .

Pentru a obţine următorul versor al unei baze ortonormate calculăm vectorul auxiliar

2 2 2 1 1,v x x e e . În primul rând să observăm că 2v deoarece 2v este o combinaţieliniară a vectorilor 1 2

şix x în care coeficientul lui 2x este egal cu unu (vectorul 1e se obţine

prin înmulţirea vectorului 1x cu un număr). Pe de altă parte,

2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1, , , , , , 0x e x x e e e x e x e e e ,

adică 2v este ortogonal pe 1e . Notând cu 2e versorul obţinut prin normarea lui 2v , acesta vafi, de asemenea, ortogonal pe 1e .

Analog, considerăm vectorul auxiliar 3 3 3 2 2 3 1 1, ,v x x e e x e e .Deoarece 1e şi 2e sunt combinaţii liniare numai de vectorii 1 2

şix x rezultă că 3v este o

combinaţie liniară de vectorii liniar independenţi 1 2 3,şi

x x x în care coeficientul lui 3x estenenul, deci 3v .

Vom arăta că 3v este ortogonal şi pe 1e şi pe 2e .

3 1 3 3 2 2 3 1 1 1 3 1 3 2

2 1 3 1 1 1

, , , , , ,

, , , 0;

v e x x e e x e e e x e x e

e e x e e e

3 2 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 3 2

2 2 3 1 1 2

, , , , , ,

, , , 0,

v e x x e e x e e e x e x e

e e x e e e

unde am folosit liniaritatea produsului scalar şi că

1 1 2 2 1 2, , 1, , 0e e e e e e .

Versorul 3e al lui 3v va fi iarăşi ortogonal şi pe 1e şi pe 2e .Se continuă acest procedeu până se obţin versorii 1 2, , , ne e e ortogonali doi câte doi.

Aceştia sunt liniar independenţi deoarece dacă 1 1 2 2 n ne e e , înmulţindscalar ambii membri ai acestei egalităţi cu versorul ie se obţine 0i pentru orice indice i.Aşadar ei formează o bază.

Este util de reţinut că orice sistem de n versori ortogonali doi câte doi constituie obază.

În continuare vom studia mulţimea bazelor ortonormate ale unui spaţiu euclidian finitgenerat.

18

Transformări ortogonaleSe numeşte transformare ortogonală trecerea de la o bază ortonormată 1 2, , , ne e e

la o altă bază ortonormată 1 2, , , nf f f .

Notând ijT matricea de trecere, observăm că:

*1 *1 *1 *1 *2 *1 *

*2 *2 *1 *2 *2 *2 **1 *2 *

* * *1 * *2 * *

...

......... ... ... ... ...

...

t t t tn

t t t tt n

n

t t t tn n n n n

T T

.

Ţinând seamă că atât baza 1 2, , , ne e e , cât şi baza 1 2, , , nf f f sunt ortonormaterezultă că elementul generic al produsului TtT este:

* * 1 1 2 2 ... ,ti j i j i j ni nj i j ijf f ,

adică 1nT T I . Aşadar 1 tT T .

Menţionăm că o matrice T care are proprietatea: 1 tT T se numeşte matriceortogonală. Am ajuns la concluzia că matricea de trecere de la o bază ortonormată la o altăbază ortonormată este o matrice ortogonală.

Reciproc, dacă baza 1 2, , , ne e e este ortonormată, atunci elementul generic al

matricei tT T este * * 1 1 2 2 ... ,ti j i j i j ni nj i jf f . Dacă, în plus,

matricea T este ortogonală, atunci elementul generic al matricei tT T este ij , deci

,i j ijf f adică baza 1 2, , , nf f f este ortonormată.

În concluzie, dacă baza 1 2, , , ne e e este ortonormată, atunci 1 2, , , nf f f esteortonormată dacă şi numai dacă matricea de trecere T este ortogonală.

În acest fel, mulţimea bazelor ortonormate se identifică cu mulţimea matricelorortogonale de ordinul n. Această mulţime se notează cu nO şi se poate uşor verifica faptul căeste un grup faţa de operaţia de înmulţire a matricelor, numit grupul ortogonal liniar.

Proprietăţi ale matricelor ortogonaleI) Dacă matricea T a unui operator f al spaţiului euclidian E într-o bază ortonormată

1 2, , , ne e e este ortogonală, atunci matricea lui f în orice altă bază ortonormată va fi totortogonală.

Într-adevăr, fie 1 2, , , nu u u o altă bază ortonormată, notăm 1T matricea de trecerede la baza 1 2, , , ne e e la baza 1 2, , , nu u u şi S matricea lui f în baza 1 2, , , nu u u . Ca şi

T, matricele 1T şi S sunt ortogonale şi 11 1S T TT . Rezultă:

1 1 1 1 11 1 1 1 1 1( ) t tS T TT T T T T T T şi 1 1

t t tS T T T adică 1 tS S .

DefiniţieI) Un operator f al spaţiului euclidian E se numeşte operator ortogonal dacă matricea

sa într-o bază ortonormată este ortogonală.Consistenţa acestei definiţii se bazează pe proprietatea anterioară.

19

II) Dacă f este un operator ortogonal al spaţiului euclidian E, atunci pentru oricevectori x şi y, , ,f x f y x y . Altfel spus, un operator ortogonal păstrează produsulscalar.

Într-adevăr, fie T matricea lui f într-o bază ortonormată 1 2, , , ne e e şiX, Y coloanele coordonatelor vectorilor x şi y în această bază. Rezultă că T este ortogonală

şi 1, , .t i t t tf x f y TX TY X T TY X T TY X Y x y III) Valorile proprii reale ale unei matrice ortogonale T sunt egale cu 1

sau –1.Într-adevăr, fie f operatorul spaţiului euclidian E care în baza ortonormată

1 2, , , ne e e este reprezentat de matricea T. Rezultă că f este un operator ortogonal. Fie λ o

valoare proprie şi v un vector propriu corespunzător, adică f x x . Rezultă pe de o parte

că , ,f x f y x y , iar pe de altă parte 2, , ,f x f x x x x x .

Aşadar 2 , ,x x x x şi cum , 0x x deducem că 2 1 .

Transformările ortogonale ale dreptei

Pentru 1n matricea T se identifică cu un număr real . Condiţia tnT T I revine

la 2 1 , de unde rezultă 1 . Grupul ortogonal de ordinul unu, 1O , se identifică cugrupul rădăcinilor de ordinul doi ale unităţii. Dacă fixăm un punct pe o dreaptă, spaţiuleuclidian de dimensiune unu se identifică cu mulţimea punctelor dreptei. Dacă e este unul dincei doi versori ai dreptei, atunci bazele e şi –e constituie cele două baze ortonormatecorespunzătoare celor două elemente ale grupului 1O .

Transformările ortogonale ale planuluiDeterminăm mai întâi mulţimea matricelor ortogonale de ordinul doi. Dacă

T

este o astfel de matrice, atunci condiţia 2

tT T I este echivalentă cu:

2 2

2 2

1

10

.

Prima ecuaţie a sistemului înseamnă căşi se pot scrie sub forma:

cos , sin , 0,2 . Analog, din a doua ecuaţie rezultă:

cos , sin , 0,2y . În acest fel cele patru necunoscute s-au redus la două,şi situate în intervalul 0,2 . Ele trebuie să satisfacă ecuaţia a treia, adică:

cos cos sin sin 0 adică cos 0

.

20

Deoareceşi

se află în intervalul 0,2 rezultă că: , 32 2

. În

plus să observăm că 32

determină aceleaşi valori pentru γ şi ca şi2

.

La fel, 32

determină aceleaşi valori pentru γ şi ca şi2

. Aşadar sunt

două cazuri posibile.

Cazul I.2

de undecos sin

; [0,2 )sin cos

T

. Să observăm

mai întâi că toate matricele de această formă au determinantul egal cu unu.În continuare ne propunem să identificăm bazele ortonormate reprezentate de aceste

matrice. Pornim de la baza ortonormată constituită de versorii i

şi j

ai axelor unui sistemcartezian de axe ortogonale xOy. Matricea T este matricea de trecere de la această bază la oaltă bază ortonormată formată din vectorii 1 2,e e ale căror coordonate în baza iniţială sunt pecoloanele matricei T:

1

2

cos sin

cos sin2 2

e i j

e i j

Vectorul 1e

se obţine prin rotirea lui i

cu unghiul în sens trigonometric în jurul

originii. La fel, vectorul 2e se obţine prin rotirea lui i

cu unghiul2

, ceea ce este

acelaşi lucru cu rotirea lui j

cu unghiul .

Prin urmare, sistemul de vectori 1 2,e e se obţine prin rotirea sistemului rigid ,i j

cuunghiul în sens trigonometric în jurul originii.

Cazul II.2

de undecos sin

; [0,2 )sin cos

T

. Observăm de

această dată că aceste matrice au determinantul egal cu minus unu.Vectorii 1 2', 'e e ai noii baze, reprezentate de matricea ortogonală T sunt:

1

2

' cos sin

' cos sin2 2

e i j

e i j

,

adică 1 1'e e , dar 2 2'e e

Aşadar, noua bază 1 2', 'e e se obţine prin rotirea sistemului rigid de vectori ,i j

cuunghiul urmată de simetria acestui sistem faţă de axa lui 1e .

21

Fig.7.1

Transformări ortogonale în spaţiuFie T o matrice ortogonală de ordinul trei pe care o interpretăm ca matricea de trecere

de la baza , ,i j k

a versorilor axelor unui triedru triortogonal Oxyz la o altă bază ortonormată

1 2 3, ,e e e .Ne propunem să studiem operatorul liniar f al spaţiului euclidian tridimensional care în

baza , ,i j k

este reprezentat de matricea T. În acest scop, îi punem în evidenţă valorileproprii şi vectorii proprii.

Polinomul caracteristic al matricei T fiind de gradul trei, el are cel puţin o rădăcinăreală . Una din proprietăţile matricelor ortogonale demonstrate mai sus atestă că

1 sau 1 . Dacă matricea T nu are valoarea proprie 1 , atunci sigur matricea –Tare această valoare proprie. Deci putem presupune că 1 este valoare proprie a matricei T.

Fie 1e un versor al direcţiei vectorilor proprii corespunzători valorii proprii 1 adică 1 1 1 1

şi , 1f e e e e . Completăm sistemul liniar independent constituit de

vectorul 1e până la o bază, pe care ortonormând-o prin procedeul lui Gramm obţinem baza

1 2 3, ,e e e .

Să notăm U matricea lui f în baza 1 2 3, ,e e e . Deoarece 1 1f e e rezultă că pe prima

coloană se află coordonatele lui 1f e în baza 1 2 3, ,e e e adică 1, 0, 0. Fie 1 2 3, , coordonatele lui 2f e în baza 1 2 3, ,e e e adică 2 1 1 2 2 3 3f e e e e .

Pe de o parte

2 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1,f e e e e e e e e e e e .

Pe de altă parte, notând 1 2

şiX X coloanele coordonatelor vectorilor 1e , respectiv 2e

şi ţinând seamă că 1 1f e e , rezultă:

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

, ,

, 0.

t t t

t

f e e f e f e TX TX X T TX

X X e e

Aşadar, 1 0 . În mod analog, notând 1 2 3, , elementele celei de a treia coloane

a matrice U, care sunt coordonatele lui 3f e în baza 1 2 3, ,e e e , ajungem la concluzia că

1 0 . Deci matricea U are forma:

ij

xO

y

e1e2φ

22

1 0 000

U

.

Să arătăm că blocul 1U

este o matrice ortogonală de ordinul doi. Fie S

matricea de trecere de la baza , ,i j k

la baza 1 2 3, ,e e e . Deoarece ambele baze suntortonormate, matricea S este ortogonală. Pe de altă parte, din formula de transformare amatricei unui operator la schimbarea bazei rezultă: 1U S TS . Deci matrice U , fiind unprodus de matrice ortogonale, este ortogonală, adică 3

tU U I . De aici rezultă că matricea

1U este ortogonală.

Aşadar,

1

1 0 00 cos sin0 sin cos

U U

sau 2

1 0 00 cos sin0 sin cos

U U

Interpretare geometricăSă notăm , ,OX OY OZ axele versorilor 1 2 3, ,e e e respectiv. Reamintim că asociind

punctelor vectorii lor de poziţie (cu sursa în O) coordonatele carteziene ale unui punct înreperul cartezian OXYZ sunt coordonatele vectorului de poziţie în baza 1 2 3, ,e e e .

Fie v vectorul de poziţie al punctului oarecare P. Vrem să vedem ce devine f v .Vectorul v se descompune 1 2v v v în care 1v este proiecţia lui v pe axa OX, deci aredirecţia lui 1e iar 2v este în planul OYZ, adică este o combinaţie liniară de 2 3

şie e .

Deoarece 1 1f e e rezultă că 1 1f v v .

Dacă 1U U atunci 2f v se obţine prin rotirea lui 2v cu unghiul în planulYOZ în sens trigonometric privit din semispaţiul în care se află axa OX. Rezultă că vectorul v(deci punctul P) se roteşte în jurul axei lui 1v cu unghiul în sensul dat de regula şurubuluidrept.

Dacă 2U U atunci 2f v se obţine din rotirea ca mai sus a lui 2v urmată de

simetria faţă de axa lui 2f e . Transformarea f v a vectorului v este aceeaşi rotire a lui v

descrisă mai înainte, urmată de simetria faţă de planul determinat de 1e şi 2f v .Să mai observăm că trecerea de la f la –f înseamnă simetria faţă de origine care este

compunerea a trei simetrii faţă de plane.În concluzie orice transformare ortogonală este o rotaţie în jurul unei axe urmată,

eventual, de o simetrie faţă de un plan.Deoarece produsul a două matrice ortogonale este tot o matrice ortogonală rezultă că

rezultatul rotirii succesive în jurul unor axe este rotirea în jurul unei a treia axe.

23

5.8. PROBLEME REZOLVATE

5.8.1. 1. Să se aducă la o sumă de pătrate forma pătratică:

2 2 21 1 2 2 1 3 2 3 3, 2 8 6 10 3x x ,

în care 1 2 3, , sunt coordonatele vectorului variabil 3x V K în baza canonică.

RezolvareScriem matricea A a formei pătratice căreia-i aplicăm transformările (iteraţiile)

corespunzătoare:2 4 3 7 1

1034 1 5 15 1413 5 3 2

A

.

De fiecare dată se transformă blocul obţinut prin excluderea primei linii şi coloane, încare se află pivotul. Elementele blocului se transformă cu regula dreptunghiului urmată deîmpărţirea la pivot. De exemplu, primul element al blocului se transformă astfel:

(1)22

2 1 4 47

2

.

Se obţine următoarea expresie a formei pătratice:

2 2 21 2 31 1 14,2 7 103

x x ,

în care:

1 1 2 3

2 2 3

3 3

2 4 3

710314

,

din care se poate scrie matricea de transformare a coordonateelor:

12 4 30 7 1

1030 014

T

şi deci

103 206 172 7

1 1030 2103 7

0 0 14

T

.

Coloanele matricei T constituie vectorii noii baze.

5.8.2. Aducem la o sumă de pătrate prin metoda lui Gauss următoarea formă pătratică din4V R :

24

2 2 21 1 2 2 1 3 3

21 4 2 4 3 4 4

, 2 2 4 3

2 6 10

x x

Rezolvare

1 1 2 10 2 4

1 1 0 32 1 7

2 0 3 54 7 2

1 3 5 1

A

După prima iteraţie matricea obţinută are elementul de pe prima linie şi prima coloanăegal cu zero, deci acest element nu poate juca rolul pivotului.

Forma pătratică a devenit:

2 2 21 2 3 4 2 3 2 4 3 3 4 4, 2 4 8 14 2x x ,

adică pătratul formei liniare având drept coeficienţi elementele primei linii a matricei A plus o

formă pătratică în 2 3 4,şi

a cărei matrice este 1A .Efectuăm următoarea transformare de coordonate:

1 1 2 3 4 2 3 3 2 4 42 , , , . Înlocuind i în funcţie de i formapătratică devine:

2 2 21 2 3 3 4 2 2 4 4, 4 8 14 2x x .

Matricea B a formei în 2 3 4, , are primul element nenul şi deci ei i se pot aplicatransformările respective:

1 2 7

4 102 0 4 22

10 477 4 2

B

Deci:

2 2 2 21 2 3 4, 1/ 4 1/ 22x x ,

unde:

1 1 1 1 2 3 4

2 2 3 4 2 2 3 4

3 3 4 3 2 4

4 4 4 4

2

2 7 2 7 sau

4 10 4 10

22 22

.

25

5.8.3. Aducem la o sumă de pătrate forma pătratică:

1 2 1 3 2 3, 4 6 10x x .Rezolvare

Forma nu conţine nici un pătrat, matricea formei are toate elementele de pe diagonalăegale cu zero.

Efectuăm următoarea transformare: 1 1 2 2 1 2 3 3, , . Înlocuindîn forma pătratică, aceasta devine:

2 21 2 1 3 2 3, 4 4 4 16x x .

Matricei B a formei i se pot aplica transformările respective:

4 0 2

4 80 4 8 15

8 12 8 0

B

Aşadar,

2 2 21 2 3, 1/ 4 1/ 4 1/15x x

unde:

1 1 3 1 1 2 3

2 2 3 2 1 2 3

3 3 3 3

4 2 2 2 2

4 8 sau: 2 2 8

15 15

5.8.4 Să se aducă, prin metoda lui Iacobi, următoarea forma pătratică, la o sumă de pătrate:

2 2 21 2 1 3 2 3 31 2, 3 2 4 10x x ,

în care 1 2 3, , sunt coordonatele vectorului variabil 3x R în baza canonică.Rezolvare

Matricea formei este:

3 1 21 1 52 5 1

A

,

din care rezultă: 1 2 33, 4, 55 toţi nenuli, astfel încât se poate aplica metodaIacobi. Expresia formei pătratice este:

2 2 21 2 31 3 4,3 4 55

x x ,

26

în care 1 2 3, , sunt coordonatele vectorului variabil x într-o nouă bază,

1 11 1 2 21 2 22 2 3 31 1 32 2 33 3, ,y e y e e y e e e .

Vectorii 1 2 3, ,e e e constituie baza canonică, iar coeficienţii se determină dinsistemele:

31 32 3321 22

11 31 32 3321 22

31 32 33

3 2 03 0

3 1; ; 5 01

2 5 1

.

Rezolvând sistemele se obţine:

11 21 22 31 32 331 1 3 7 13 4; , ; , ,3 4 4 55 55 55

.

5.9. TEME PENTRU CASA

5.9.1. Se consideră forma biliniară definită pe spaţiul vectorial R4 prin: 1 1 2 1 2 2 3 3 4 1 4 4, 2 3x y . Să se scrie matricea sa asociată:

a) în baza canonică;b) în baza 1 2 3 4, , ,B u u u u , unde: 1 1,1,1,1u , 2 0,1,2,1u ,

3 0,1,1,0u , 4 1,0,0,2u .

5.9.2. Se dă forma pătratică:, 1 2 1 3 2 3, 2 6 6x x x x x x x x .a) Să se scrie matriceal şi să se determine rangul formei;b) Să se găsească expresia canonică prin metoda Gauss şi să se stabilească matricea

de trecere.

5.9.3. Se consideră forma pătratică: ,

2 2 2 21 2 3 4 1 3 1 4 2 3 3 4, 4 11 24 2 4 4 16x x x x x x x x x x x x x x ;

a) Să se reducă la forma canonică prin metoda lui Gauss şi să se determine şi baza încare are loc forma canonică;

b) Să se reducă la forma canonică prin metoda lui Jacobi şi să se determine baza şiformulele de schimbare a coordonatelor.

5.9.4. Fie V spaţiul vectorial al funcţiilor polinomiale reale care au cel mult gradul trei şi fie

aplicaţia definită prin: 1 1

0 0

,x y x t y s dtds .

a) Să se arate că este o formă biliniară;b) Să se determine matricea sa în baza canonică a spaţiului şi apoi matricea sa în baza

2 2 2 2 31, , ,B t t t t t t .

27

5.9.5. Se consideră formele pătratice:1), 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3, 2 3 2 2 4x x x x x x x x x x x ;

2), 2 2 21 2 3 1 2 2 3, 2 2 2 2x x x x x x x x x .

a) Să se reducă la forma canonică prin metoda lui Gauss şi să se determine şi baza încare are loc forma canonică;

b) Să se reducă la forma canonică prin metoda lui Jacobi şi să se determine baza şiformulele de schimbare a coordonatelor.

5.9.6. Fie 1 2, ,..., nx x x x şi 1 2, ,..., ny y y y doi vectori oarecare din spaţiulvectorial real Rn. Să se cerceteze care dintre expresiile următoare defineşte un produs scalar peRn:

a)1

,

n

i ii

x y x y ;

b)1

,

n

i ii

x y x y ;

c)

12

2 2

1

,n

i ii

x y x y

;

d) 2 2 2

1 1 1

,

n n n

i i i ii i i

x y x y x y .

5.9.7. Fie P X spaţiul spaţiul vectorial real al funcţiilor polinomiale reale definite pe

intervalul 1,1 .

a) Să se arate că 21, , ,..., ,...nX X X formează o bază în P X ;

b) Să se demonstreze că P X este un spaţiu euclidian în raport cu aplicaţia

definită prin: 1

1

,p q p t q t dt

;

c) Polinoamele obţinute din baza canonică 21, , ,..., ,...nX X X prin

procedeul de ortogonalizare se numesc polinoame Legendre. Să se scrie primele cincipolinoame Legendre.

5.9.8. Să se adauge matricei1 1 1 2 11 0 0 1 22 1 1 0 2

A

încă două linii ortogonale între ele şi cu primele trei linii.

28

5.9.9. Se dau formele pătratice:1), 2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3, 2 5 5 4 4 8x x x x x x x x x x x ;

2), 2 2 21 2 3 1 2 2 3, 2 5 2 4x x x x x x x x x .

Să se arate că formele biliniare simetrice ataşate celor două forme pătratice, ,x y şi respectiv ,x y , sunt produse scalare pe R3 şi pentru fiecare să se

găsească câte o bază ortonormată în raport cu produsul scalar respectiv.

Bibliografie

1. Udrişte C., ş.a., -Probleme de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, EdituraDidactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.

2. Udrişte C., -Aplicaţii de algebră, geometrie şi ecuaţii diferenţiale, Editura Didactică şiPedagogică, Bucureşti, 1993.

3. Ion D.I., R. Nicolae, -Algebra, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.4. Flondor D., N. Donciu, -Algebră şi analiză matematică-culegere de probleme, vol I,

Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1978.5. Otlăcan E., ş.a. -Algebră superioară-îndrumar teoretic şi culegere de probleme,

Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 1995.6. Mânzatu E., Gârban V. –Algebră cu aplicaţii rezolvate la calculatorul electronic,

Editura Academiei Militare, Bucureşti, 1982.