; IK ---

MINISTERUL EDUCATIEI ~I iNVATAMiNTULUI

ANATOLIE HRISTEV VASILE FALIE

Manual pentru clasa a IX-a

EDITURA DIDACTIC4. Sl PEDAGOGIC.!. BUCURESTI

DUMITRU MANDA

Manualul a fost elaborat pe baza programei aprobate de M.El cu nr. 3448/28 IV 1979 ~i avizat de Comisia de fizica a M.EJ. Revizuit in 1981.

Cap. 1; 2; :3 ( . 1 - 5}; 5 ~i 6 au fost elaborate de A. Hriste" Cap. 4: R ~i 9 au fost elaborate de V. Falie C~l'- 3 l 6 - 8); 7 ~i 10 au fost ~laborate de D. Manda

REFEREN;fl:

C. VREJOIU, conf. dr. Facultatea de Fizica Bucure~ti-C. CRISTESCU, ~ef de lucrari I.P. Bucure~ti I. POP A, profesor A. PETRESCU; profesor

PAUl~ ~TEFANESCU, ~ef lucrari

Redactor: ELISABETA MESARO~ prof. Tehno.redactor: PARASCHIVA GA~P AR Coperta: NICOLAE SlRBU

CUPRINS

CAP. 1. MI~CAREA ~I REPAUSUL

1.1. Sistem de referintli ................................ o o o o 1.2. Punct material ........................................ o _ . o o o o 1o3. Traiectorie. Coordonate. Legea mi~clirii ........... ~- - .~ ........ . 1./i. Vector de pozitie ........................... - - ..... - - . 1o5. Deplasare ........... 4 . ~ - - .......... - ................. - o .......... . 1.6. Mlirimi vectoriale ........................................... - .......... . 1.7. Viteza _ ................................................... ' .... ........... .. . 1.8. Acceleratia ......... _ .................. . 4 ... ........... - - ............ - .......... o o 1.9. Clasificarea m~clirilor punctului material .................................... . 1.10. Relativi~atea mi~clirii mecanice - ............ - ........................... . 1'.11. Compui:lerea mi~clirilor ........ - ....... - .................. - ............ - ....... . 1.12. Reprezentarea graficli a legii mi~carii .... - .1:. .............. - .

Probleme rezolvate ............ - ..................................................... . lntrebari. Exerci1ii. Probleme ....... - ................................ .

CAP. 2. PRINCIPIILE MECANICII NEWTONIENE

7 8 9

11 12

1~ 18 23 26 27 28 29 31 32

2.1. Principiul inertiei - ...... - .............. - ..... - .. . .... .. . .... . .. ... .. . . . . . . . . . 3~ 2.2. Sisteme de referinta inertiale ...... ~ .. - - .... ... .... .... ... ... . . ... . . . . . . . . 35 2.3. Principiul fundamental al dinamicii ......................... ; . . . . . . . . . . . . 38 2./i. Principiul . actiunilor reciproce ................................. - . . . . . . . . . . ~li

2~5. Principiul suprapun~rii fortelor .... - - .... . . . . ... .. . . . . . . . . . . . . . . . ii8 2.6. Principiul relativitlitii tn mecanica newtoniana - ...... -.... ... . . . . 51

Probleme re,..olvaiie ................ -~ .... - ....... . : .. - ................ - ........ : . . .. 52 lnttebilri. ExerciJii. Probleme .... - - -- ......... - ........... -.......... 57

CAP. 3. ~Il~CAREA PUNCTULUI MATERIAL SUB ACTIUNEA UNOR TIPURI DE FORTE

3.1. Mi~carea rectilinie uniformli ..... , ................................. o Probleme rezolvaiie ............ - ...................................... lntrebilri. Exercifii. Probleme .........................

3

60 62 ,62

3.2. Mi!lcarea rectilinie uniform variata ............................. . Prebleme rezolvate ... - _ ..................................... ~ . - lntrebiiri. Exerci#i. Probleme . .... - ..........................

3.3. M~area corpurilor sub actiunea greutatii. ....... - - .................. ...., Probleme rezolvate :,. _ _.. ~- - _ - __ ...... - ........ - - ... - ....... . lntrebiiri. ExerciJii. Probleme - ~ ............. ~~ -- -. ~ - - -

64. 69 71 72 77 80

3.lt. Fortele de frecare .... ~- _ .- ........................ - ... - ....... _ .... - 83 Probleme rezolvate _ ... - ................................ ' - - ... .:. .. 92 lntrebiiri. ExerciJii. Probleme._ ... - ............................ - . 9~

3.5. Mi~Jcarea circulara un iforma : - __ - ... _ - .... _ . _ .... ~ Problema rezolvata ... __ - ... ____ ................................ - _ 105 lntrebdri. ExerciJii. Probleme~. ~ .................... .;. - _.. 106

3.6. Forte elastice .._ - . ~ ................... - -- .. - 108 Probleme rezolvate ........... 4 .............. - ,..; - -- .............. 4-- 111 lntrebiiri. Exercijii. Probleme .... ............ _.. - ....................... - .,.. 112

3.7. Legea atractiei universale a lui Newton. Ctmpul gravitationaL ........ _. 113 3.8. Masa gravifica. Relatia dintre masa gravifica l}i masa inertiala,

Satelitii artificiali ~ ... _ ............. __ . . .. .... ... . .. 119. Problema. rezolvata: . """ ~ .................. - - _ ....... - ........ - .. ,.. 122

lntrebar~. ExerciJii. Probleme.~ . . - .- ........... - .. ~ - .... - - - ... 122

CAP. 4. ENERGIA M~_gi\_N'.!.C_A""~--r!lN.CTDLULMA.T.ERIAL _$I __ A. ~J.~TEl_MPLDL .. DELEUN~--MNI'ERIALE

4.1. Lucrul mecanic efectuat la mi~Jcarea punctului material intr-un cimp de forte .................... ,.. -- .............. - ........... ~ .. -- .... .... . . . . . . 124

4.2. Energia cinetica. Teorema variatiei energiei cinetice _a punctului material ......... -~ _ _.. -~ - - ................................... -........ 135

4.3. Energia potentiala a pun~tului material in cimp conservativ de Iorte. Energia mecanica a punctului materiafin cimp consft'vativ de forte .... --- - - - ..... -~ . o4 - - .............. 4 " - 139

4.4. Conservarea energiei mecanice - ......... - ............. 4 14~ 4.5.* Sisteme de puncte materiale. Forte interne ~i forte externe . . . . . . 145

Probleme rezolvate -~ __ - .......... - - - __ - ..... -~ -........ 147 lntrebari. ExerciJii. Probleme __ ...... .,. - - .... ,..,.. .. - .. ...... 148

5.1. Teorema impulsului pentru punctul material. Conservarea impulsului 153 --5.2. Teorema impulsului ~i legea conservarii impulsului pentru un sistem

de doua particule ............ - ........... - - .. - . - - - .......... - ... . 154 5.3.* Teorema impulsului ~i legea conservarii impulsului pentru un sistem

oarecare de particule - - - - ........... - ..... - - ................ - -155 5.~. Centrul de masa al unui sistem de doua particule. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4

fi.5.* Centruldemasaalunuisistemoarecare de particule ............. . 5.6. Ciocniri ...................................................... .

Probleme rezolvate ..... ...................................... . lntrebari. Eierci/ii. Probleme ....... . ....................... .

CAP. 6. MOMENTUL CINETIC

158 159 167 168

6.1. Momentul fortei. Momentul cinetic al punctului ~aterial.:........ 172 6.2. Teorema momentului cinetic pentru punctul material. Conservarea

momentului cinetic ................................. -...... 1 J7 6.3*. Teorema momentului cinetic total al unui sistem meeanic. Conserva-

rea momentului cinetic total - .................... ~............. 118 lntrebari. Exercifii. Probleme .. ............................. _.. . . -17~

CAP. 7*. CINBMATICA ~I DINAMICA RICHDULUI

7.1.. Notiunea de rigid ....... -- ... - .. ~.............................. 1~1 7.2. Viteza ~i acceleratia unghiulara.. ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . -181 7.3. Energia cinetica de rotatie. Momentul de inertie al unui rigid...... 184 7.4. Legile cinematicii :;;i dinamicii solidului rigid .... -................ 186

Probleme rezotvute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 lntrebari. Exerrijii. Probleme .. ...... - .................... _...... 192

\ CAP. ~- ECHILIBRUL \1ECAJ\IC AL CORPURILOH

\

8.1. Sis tern. de forte concurente. Rezultanta. ~fi~carea de translatie. . 193 8.2. Compunerea fortelor paralele. Cuplul de forte. Mi~carea de rota tie .. J 97 8.3. Centrul de greutate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.4. Echilibrul mecanic. Conditii de echilibru ..................... _ . . 208 8.5. Echilibrulin cimp gravitational. Echilibrul_ ~i energia potentiaHi . . 21'7

lntrebari. ExerciJii. Probleme. ... . . ... .. . . . . . . . . . . . . . . 220

I CAP. 9. MECANICA FLUIDELOR

9.1. Starea flu ida .......... ~ ...... - ............ -~ ... . . ~. . . . . . . . . . . . . . . 225 9.2. Notiunea de presiune ...... ~-~ ...... - ................... ~. . . . . . . . 226 9.3. Statica fluidelor: hidrostatica !]i aerostatica ........ -. . . . . . . . . . 227 9.4. Dinamica fluidelor ... ..- - .................. _. . . .. . .... ... .... .. . . . . .. . . . . . . . . 24~

lntrebari. ExerciJii. Probleme .... .... .. .... .... .... . . - ... .. . ... . . . . . . . . 252

\ CAP. 10. UNDE ELASTICE. NOTIUNI DE ACUSTICA

10.1 Oscilatorul liniar armonic. Compunerea oscilatiilor ,0 255

10.2. Peridulul gravitational. Rezonanta ............. - - -.. ... . . . . 267 1.0.3. Propagarea mi~dirii oscilatorii -4 , -........ 270

5

10.4. Unde transversale, unde longitudinale. Viteza de propagare.... . . . . 274 10.5. Bcuatia undei plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 10.6. Clasificarea undelor elast ic-P dnpa freeventa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.7. Conditii de audibilitate a osrilatiilor elastke................... 2R5 10.8. Reflexia ~i refractia undelur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 10.9. Difractia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10. to. Interferenta. Unde staponare................................ 293 10 .11. * Co;1rde 9i tuburi son ore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

lntrebari. Exercijii. Probleme .................... ........ 302 Probleme recapltulatlve ..................... , . . . . . . . . . . . . . . 307

1 MI~CAREA ~I REPAUS.UL

Fizica studiaza diferite fenomene ale naturii: mecanice, termice, electrice. optice, atomice etc. Cel mai simplu dintre ele este mi$carea mecanica, studiata in cadrul mecanicii.

Mecanica, numita clasica newtoniand. a fost elaborata in esen~a de ISAAC NEWTON (1643-1727) i expusa in celebra sa ca.rte ,PrincipiilP matematice ale filo.zofiei naturale" (1687), unde sint formulate cele trei legi sau principii ale mecanicii, precum i legea atrac~iei universale (gravita~io-nale) (aplicata la micarea sistemului solar).. .

Mecanica se imparte de obicei in trei capitole: eine:rnatica se ocupa cu descrierea geometr~c~, spa 1io-tem po~aHi, -~l!li..c_~!'i!_lq()

Pentru a studia micarea unui corp trebuie sa alegem totdea.una un alt. ~2orp, numit corp lie referinJa (ci~ e~emplu, Patnintul), la care sa' raportam in/ fiecare moment pozi~ia corpului studiat. Desigur, orice corp de referint( este la rindul sau in micare fa~a de alte corpuri. Pentru a determina pozilia eorpului studiat la diferite momente sint necesare o rigla i un ceasornic.

Corpul de referinta, impreuna cu rigla pentru determinarea pozi~iei corpurilor studiate i cu ceasornicul pentru indicarea momentului, consti-tuie un sistem de referinta, numit pe scurt referential.

1.2. P UNCT MATERIAL

) n mi~~_I':~a~me~_a~:Q_~9-~_JLc()Xp~rilor nu sint dete:minante unele proprietati ale acestora, ~e exemplu, cele termice, cele optice, i de aceea le putern neglija. 'lnmulte probleme nu ne intereseaza nici deformarea corpurilor, de exemplu, la caderea i aruncarea obiectefor, de acee a in astfel de probleme o put em neglija, considerind corpul rigid.

Mica.rea solidului rigid este totni complicata, _de a.ceea se studiaza mai intii miijcarea unui corp a.le carui dimensiuni i rota~ii proprii sint neglijabile in problema datiL Acesta este punctul material, cara.cterizat numai prin masa -~1! (deci un corp eu dimensiuni neglijabile fa~a de distan~ele sale pina la cor-

purile i~conjuratoare). Un acelai corp poate fi considerat punct material intr-o problema i

intr-o alta problema, nu. ~ De exemplu, in micarea unui vapor pe ocean, dimensiunile sale nu sint

esentiale i pot fi neglija,te (fig. 1.1), H1sa ,in cazul manevrarii in rada unui port, ele nu pot fi neglHate. 0 piatra in sa in atmosfera poate fi

5

l

M' 0 M X I ., 0 ~, I .. :-3 -2~-~ 2 4 5 6

x'=-1,6 x=3,2

Fig.1.3. Pozi~ia mobilului pe traieetoria sa rectilinie este determinata de coordonata sa x. Coordonata este pozitiva daca mobilul se afla de. partea pozitiva a axei (M)

~i este negativi1, daca mobilul este de partea eealalta (M').

_dupa cum corpul se afJa de partea po,zitiva sau de c~a negativa a axB~ (fig. 1.3).

Pentru a descrie mi~carea mobilului pe traiectori~ sa rectilinie trebuie sa, cunoa~tem pozi~ia mobilului in fiecare moment pe aceasta traiectorie, adica co~rdonata sEl x in func~ie d.e timpul t:

X= f(t). Aceasta expresie constituie legea micarii ( ecuatia cinematica a micarii). 1.3.2. Cazul mi~carii intr-un plan_. Pentru a determina, pozi~ia corpului ~n fiecare moment, alegem doua axe de coordonate Ox, Oy, perpendiculare intre ele, situate in planul m1~carii. Pozilia M a corpului este data de cele doua coordonate: .x (~bscis~) iy ( ordona.ta), ca;re se ob~in ducind din M paralele Ja axele de coordonate (fig. 1.4) .. Prntrli a. descri~ mi~care. _co~pJJ.ltii (in plan) trebuie sa cunoatem coordonateJe sale ~x, y) in func~ie de timpul t, adica douii fu net ii:

Y = fz(t) (ecua~iile cinematice ale_ micarii). Fiecare ecua~ie descrie micarea proiectiei mobilului pe axa respectiva sau mi~carea mobilului in direc~ia axei respective (de exemplu, spre Est sau spre Nord)~Micare~ pia~~ ~-!Jl~bilului se descom-pune astfel in doua micari_rectilinii gupa cele doua axe alese.

Se pot alege i alte sisteme de coordonate pentru a descrie pozi~ia i mi-carea mobilului, de exemplu pozi~ia unui vapor pe ocean este data de coordo-na-tele sale geografice: latitudinea 'i longitudinea (fig. 1.1).

1.3.3. Cazul mi~carii in spatiu. A,Iegem un sistem de trei axe de roordonate Ox, Oy Oz, perpendiculare intre ele. Attillci pozipa mo~ilului 1l.f est~ gaUf. de trei coordona te: X (abscisa), y (ordonata) lji'i z~(cota), care se obtin dudnd di~ 2\1 paralele Ia axe, cain figura 1.5. Miljicarea corpului in spatiu este descrisa de trei ecuatit:

(eeuatiile cinematice alf' mh;;carii). Ele descriu mi~carea corpului in spapu dupa cele trei direetii. Se pot alege ~i alte sisteme de comdonate pentru a d.etermina pozi~ici mobilulu i

in spatju,

10

~Ji!@. l

z

y

y

y

X

Fig. 1.4. Pozitia unui mobil in plan este data de cele doua coo~donate ale sale: abscisa x =OM'. f?l or~onata y = M'M =OM". A~se1sa x f?l ordo-nata y se obtin pro1ectind pe ax;e~e de coordonate vectorul de pozl\le

Fig. l.o. Pozitia ~obilului tn spatiu est~ data de cele trel coordonate ale s~le. abscisa x = 01\11, ordonata y = M1M = _OM f?i cota z = M'M = OMa Covr-donateie x, y, z se obtin proiectind . P,P axele de coordonate vectorul de pozi\IC

--+ ~ --+ ~ . ) r =OM, (x = rcos

In timpul mi~dirii, vectorul de pozi~ie se schimba ca modul ~i orientare, deci este o functie de timp.

Legam de corpul de referinta un sistem ortogonal de coordonate cu ori~ -+

ginea in punctul 0. Daca proiectam vectorul de pozitie r pe axele de coordo-. -+

nate, ducind din virful vectorului r paralele la axe., ohtinem coordonatele x, y ale mobilului (fig. 1.4 ). Conform teoremei lui Pitagora r 2 = x2 + y2

1.5. DEPLASARE

1.5.1. Caznl mi~earii reetilinii~ Fie A(x1) ~i B(x2) pozitiile mobilului la momentele t11 . respectiv t2 (fig. 1. 7). Deplasarea mohilului in intervalul de timp /)..t = t2 - t1 este segmentul AB (prevazut cu semn) Ax= Xz- x1 . Litera A (delta ma.juscula) scrisa in fata unei marimi inseamna variatia acelei marimi, adica diferenta dintre valoarea finala i cea initiala-

Deplasarea mobilului ln mifcarea rectilinie este variafia coordonatei sale. Deplasarea Ax este pozitiva daca mohilul se mica in sensul pozitiv al

axei (Ax> 0, x2 > x1) ~i negativa daca mobilul se mi~ca in sensul negativ (Ax < 0) (fig. 1. 7).

1.5.2. Caznl mi~earii plane. Fie A, B pozitiile mobilului Ia momentele t11 respectiv t2 (fig. 1.8). Daca urmarim proiectiile mobilului pe axe, se vede ca A' B' = Lix = Xz- xl, respectiv A" B" = Ay Y2-yl, reprezinta depla-safile in directiile axelor respectiv~.

Unind pozitia initiala A{t1) a mohilului cu cea finala B(t2) ohtinem seg~ --+

mentul de dreapta orientat AB care se numete vectorul deplasare al mohi-lului in intervalul de ti:rrip considerat Lit = t2 - t1

t1.' II t1. I B M B 0 B A '

.

. I ~ /' 4 ;. X

-3 -2 -1 0 1 2

x=3,6

_a II , i

A' B A BO B A X

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

b Fig. 1.7. Deplasarile AB, A' B', A;' B" ale mobilului M irt eazul ~a) sint pozitive (mobilul se mi~ca in sensul pozitiv al axel Ox), in cazul (b) s!nt negative (mobilul se mi~ca in sensu! negativ al axei Ox).

12

y

B

--+ Fig. 18 Vectorul deplasare al mobilulJii

~ -+ -+ -'l-AB = fu- = rz. _ ri are drept compo-Fig. 1.9. Deplasarea rezu1.tanta AC este suma vectoriala a deplasarllor componente

~ __,..

AB l?i BC. nente deplasarile pe axe. b.x .= Xz ~ ~1. b.iJ = Y - Yl care se o~tm prm proiec\Ie, dudnd din originea A ~~ vlrful B paralele

la axele de coordonate.

El este caracterizat de modul (lungimea segmentului AB), directie (data de dreapta care trece prin A ~i B) i sens (de la A la B).

--+ . d A d Daca proiectam vectorul deplasare AB pe axele de coordon~te, uci~a

d. . A 81 din virful B paralele la axele de coordonate, obtm.em dep -In or1g1nea _ sarile pe axele de coordonate:

A "B" Ay A'B' =Ax Xz- Xt, = .u.

F . b"l re se misca pe o traiectorie curbilinie oare.care (fig. 1.9) ~ Ie un mo I ca. . . . , . . I t -t D lasarea in r A B c pozitiile sale succes1ve la momente e t1, 2, a ep Sl le , , , ~ 1 1 d t' (f t ) este vectorul AB iar in intervalul de timp (tz, ta) Interva, u e Imp 1, 2 '

~ t d 1 ea globala~' sau rezultanta in intervalul de timp este BC. Ca.re es e ep asar , (t1, ta)?

Evident, este vectorul AC, care se oh~ine unind originea pr~ei deplasari s ca" vectorul deplasare AC este suma

cu virful ultimei deplasari. e ~pune --+ ~

vectorilor deplasare AB i BC: --+- --+- --+ AC , AB + BC. (1.1)

De exemplu un avion se deplaseaza de la Bucureti Ia Piteti AB 105 km i ap~i de la Piteti la BraOV BC = 100 km. Deplasarea rezul-

tanta Bucureti-BraOV este AC = 140 km. , Se vede ca marimea deplasarii rezultante AC nu se ob~ine prin simplii

adunare aritmetica a marimilor deplasarilor AB i BC, ci dupa regula geomec tri('a de mai sus.

13

1.6. M ARIMI VECTOR tALE

Marimile caracterizate prin modul, direc~ie i sens (a~a cum este de exem-plu, vectorul deplasare) se n~mesc marimi vectoriale sau vectori. Ele se r-epre-zinta, conven~ional, la o anumita scara, priri segmente orientate (analog vectorului deplasare). Marimile caracterizate doar printr-un numqr (pozitiv sau negativ) se numesc marimi scalare sau scalari, de exemplu, timpul, masa, temperatura, densitatea.

1.6.1. Adunarea 'Veetorilor. Vectorii se aduna dupa regula geometrica ~ ~

data la. vectorii deplasare. Pentru a ad una doi vectori a i b ii desenam (la o anumita scara) unul cu originea in extremitatea caluilalt i unim originea primului vector cu virful celui de-al doilea. vector (fig. 1.10); Acest vector de inchidere va da suma celor doi vectori.

~

paca in figura 1.10 ducem din originea priinului vector a un vector paralel -?

~i egal cu vectorul b, ob~inem un paralelogram a carui diagonala reprezinta suma celor doi vectori. De aici rezulta:

Regula paralelogramnlni. Suma a doi vectori este data de diagonala pa- ralelogramului construit cu cei doi vectori ,~omponenti ca laturi, avind origine comuna.

. Din aceasta construc~ie se vede ca suma vectorial a este comutativa: ~ ~ ~ ~

a+ b = b +a. (1.2) Daca avem mai mul~i vectori suma lor se ob~ine aplicind succesiv regula

paralelogramului. Acelai rezultat se ob~ine direct cu ajutorul regulii poli-gonului.

Regula poligonnlni. S uma mai multor vectori este data de Zinia de inchidere a co~turului poligonal construit cu vectorii componenti (fig. 1.11).

Apllcind regula paralelogramului sau cea a poligonului pentru trei vee-tori, ne convingem ca adunarea vectorilor este asociativa:

~~~~ ~-)o

(a + b) + c = a + {b + c). (1.3) Orice diagrama de compunere a doi vectori (de exemplu, cea din fig. 1.10)

poate fi privitA ~i ca o descompunere a unui vector in doi v~ctori compo-

l''ig. 1.10. Vectorii se adunii dupii regwa paralelogramului~

I d

Fig. 1.11. Suma mai multor vectori este datA de linia de tnchidere a conturului poligonal construit cu vectorii componenti.

nen~i. In adevar, orice vector poate fi descompus dupa...,doua direc~ii arhit.rare coplanare cu vectorul dat (sau dupa trei direc~ii arbitrare in spatia), deci poate fi inlocuit cu vectorii componenfi. Pentru aceasta ducem prin originea i prin virful vectorului dat drepte pa.ralele cu direc~iile date (fig. 1.12). Se formeaza astfel paralelogramul de compunere a vectorilor.

~ . Astfel, de exemplu, vectorul de pozi~ie r din figura 1.4 are drept vectori

_.. _..

componen~i pe 0 M' ~i 0 M" : -~ _.. _.. ~ _.. _.. r=OM=OJU'+M'M=OM'+OM". Analog in spa~iu (fig. 1.5):

~ _.. _.. -4- -4- _.. ___., _.. r =OM..:_ OM1 + MiM' + M'M = OM1 + 01~12 + OMa. 1.6.2. Seaderea veetoritor. Daca modulul unui vector se reduce la zero,

se oh~ine vectorul zero (nul), notat cu 0, ca ~i'numarul zero; directia vectoru-lui zero ramine nedeterminata. De exemplu, daca adunind ma(multi vectori linia poligonala se inchide, suma vectorilor respectivi este zero. In parti-cular, daca adunam doi vectori egali in n10dul, de aceea~i diree~ie dar de sensuri opuse, oh~inem vectorul zero. De aici se vede ca oridirui vector nenul ~ ' ~. ~ a ii corespunde un vector opus a' = -a, de acela~i modul, de a,cee~H~i

Fig. 1.12. Descompunerea unui vee-~

lor a dupA doua directii date D 1, D 2 ~

roplanare eu vectorul dat a. a b

15

AI b ~--~

tlt-____ _ I '

I ' I '

I ' I ' I '\

-b Fi~. 1.13. Scaderea vectorilor: difertmtil eslf' data de cealalta diagonala a paralelo.

gramului.

diteqie dar de sens opus~ care prm adunare cu primul da vectorul zero:

~ ~ -+ -+ -+ a a' = a + (-a) = a - a 0.

Aeum ;putem defini scaderea vee-tori1or: -+ a sciidea un vector b dintr-un

-+ vector a, inseamna a aduna la a vecto-

-+ rul opus- b:

-+ -)- -+ -+ a - b = a + (-b). (1.4)

Din figura 1.13 se.: vede ca diferen~a a doi vectori este data de cealalta diagonala a paralelogra.mului construit cu cei doi vectori .drept Iaturi.

Pentru a ohtine diferenta a doi vectori, ii tra.sam cu origine comuna ~i unim virfurile lor, orientind sageata spre vectorul descazut. Ducindin figura 1.8

' -+ ~ ~ vector-ii de pozi~ie r1 = OA, ~ = OB, se vede imediat, conform. regulii de sea-

. ~

dere vectoriala, ca vectorul deplasare AB este egal cu diferenfa vectorilor de -~~~"~-+-+ poz1~1e a1 punctelor A, B, anume AB = OB- OA = t 2 - r1 = ar, adica

vei:torul deplasare este egal cu variafia vectoru1ui de pozitie. Prin varia~ia unui vector se in~elege (la fel ca pentru un scalar) diferenfa - binein~eles vecto-riala - dintre valoarea finala si cea initiala. , ,

Un vector este constant (in timp) daca nici modulul, nici direcfia ~i nici sensu! sau nu se schimha in timp: Varia~ia unui vector constant este nula ..

1.6.3. Componentele nnui vector. Daca proiectam ortogonal un vector -+ ~ a = A B pe o ax a 0 x, coborind perpendiculare pe ax a din originea A ~i din virful B al vectorului (fig. 1.14), ob~inem un segment A' B', orientat in sensul pozitiv al axei Ox, daca unghiu1 a format de vectorul; si axa Ox este ascutit

. . '

~i orientat in sensu! negativ al axei, daca unghiul este obtuz. Lungimea aGes-tui segment prevazuta cu semnul plus, respectiv minus, se nume~te compo-

-+ nenta ax a vectorului a pe axa Ox: ax () A' B'.

-+ Componenta unui vector ape o axa Ox este data de formula:

-+ -+

a cos a unde a = I a I, a = .-1:: (a, Ox). (1.5) Cmnpanenta pe axa Oy va fi ay = a cos ~ = a sin a (o cateta este

egala cu ipotenuza inmul~ita cu cosinusul unghiului alaturat sau cu sinusul. unghiului opus).

Componenta este nula daca vectorul este perpendicular peaxa (a = 90) ~i este a, daca vectorul este paralel cu axa (respectiv oc = 0 sau 180).

16

y

Fig. 1.14. Componentele unui vector pe axele de coordonate.

-+ -+ -+ Daca adunam doi vectori a + b = c i proiectaro vectorii pe o axa, ob~inem aceeai egalitate i pentru oomponentele lor: ax + hx = Cx (fig. 1.15).

In general, orice suma de vectori poate fi proiectata pe o axa oarecare ~i se ob~ine o sum a corespunzatoare pentru coroponentele vectorilor:

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+

a = a1 + az + ... + an ~ pr a = pr. a1 + pr. az + ... + pr. am ax = a1x + a2x + ... + anx (1.6)

Proiecfia rezultantei este egala cu suma proiecfiilor vectorilor componenfi sau. componenta pe o axa a. rezultantei este egala cu suma componentelor pe acea axa a vectorilor componenfi. .

Desigur acelasi rezultat se obtine si in cazul diFerentei a doi vectori. , , , J '

.~ -+ -+ -+ Astfel, compon~ntele vectorului deplasare AB = llr = r2 - r1 pe axeie de coordona.te sint deplasarile pe axe: ax = x 2 - x1, Ay = Yz - Y1 (fig. 1.8). Orice egalitate vectoriala da prin proiectare pe a~ele de coordonate egalita~i algebrice pentru componentele vectori]or.

l

-+ Prin urmare orice vector a este caracterizat prin ansamblul componentelor

sale (ax, a11

, az) intr-un anumit sistem de coordonate. Schimbind sistemul de eoordonate, se schimba 'i componentele vectorului, spre deosebire de un scalar a ~carui valoare nu depinde de alegerea sistemului de coordonate.

1.7. VITEZA

1.7.1. Mi~carea reetilinie. Pentru a putea compara mi~carile intre ele trebuie sa comparam deplasarile mobilelo~ efectuat~ in acel0-$i interval de timp ~i anume in unitatea de timp (secunda.). Cu'noscind deplasarea Ax efectuata in intervalul de timp At, pentru a afla deplasarea ce revine (cores~ punde) unita~-ii de timp trebuie sa tmpar~im Ax la At. Ob~inem astfel viteza medie a mobilului in intervalul de timp considerat:

Vm = D.x = Xs - Xi = deplasare ( 1. 7) D.t t2 - t1 durata

Viteza (1.7) are acelai semn ca ~i deplasarea, deoarece At = t2 - t1 este totdeauna. pozitiv. Viteza este pozitiva daca mobilul se mica in sensul pozi-tiv al axei (ax > 0, Vm > 0) i este negativa daca mobilul se mica in sensul

~egativ al axei (Ax < 0, Vm < 0).

BXEMPLU

Un biciclist pleaca din Ploie~ti (x1 = 60 km) la ora t1 = 8,0 h ~i ajunge la Sinaia (x2 = 127 km) la ora t2 = 13,0 h. Viteza medie pe 'aceasta distanta D.x = x 2 - x1

= 67 km san pe intervalul de timp respectiv D.t = t2 - t1 = 5,0 h este Vm = D.xf b.t = 67 km/5,0 h = 13,(1; kmfh. Dar biciclistul n-a mers tot timpul cu aceasta viteza. La lnceput a mers probabil mai repede, apoi mai incet. Cind a oprit sa se odihneasca viteza a fost zero; dadi a pierdut ceva ~i s-a in tors, viteza a fost negativa. Viteza medie calculata pentru alte intervale de timp sau pentru alte distante (de exemplu,

Ploie~ti~Cimpina, Breaza-Comarnic) a fost alta. Pentru a afla viteza la un moment dat t sau intr-un anumit punct x al traiectoriei, de exemplu, viteza biciclistului la Baicoi, in dreptul bornei kilometrice x = 80 km, vom masura viteza medie a biciclistului pe o distanta mica~ de exemplu, D..x =.10 m in vecinatatea bornei kilometrice respective. Luind o distanta ~?i mai mica, !lx = 1 m, l?i folosind un ceas electric vom gasi o viteza foarte apropiata de viteza biciclistului in momentul dnd. trece prin punctul x = S

Conform procedeului descris, cunoscind legea mi~carii .X = f(t) {adidi ecuwa~ia ~inematica a m~carii), putem calcula viteza (II\Omentana). tn adevar, sa calculam v1teza mobilului la moroentul t. Pentru aceasta sa consideram un moment apropiat t' = t + ll.t Calculam coordonata mobilului pentru acest moment t' : x' = f(t') = f(t + ll.t). Calculam deplasarea respectiva ll.x = x' - x = f(t + ll.t) - f(t), o raportam Ia intervalul de timp respectiv ll.t = t' - t ~i facem a poi ca ll.t sa descreasca catr..e zero ( ll.t __. 0).

EXEMPLE

1. Fie Iegea mi~carii x 2t2 - 3. Calculam x' .= 2t'2 - 3 = 2\t + ll.t) 2 - 3. Calculam deplasarea ax= x'- x = 2(t + ll.t)2 - 3- (2t2 - 3) 4tll.t + 2(!1t) 2 ~i o rapor-tam Ia ll.t:

ll.x = 4tll.t + 2(!1t)2 = Itt+ 2 ll.t. ll.t ll.t \,

Facind acum pe ll.t sa descreasca (sa tinda) catre zero (ll.t __,. 0), ultimul termen se anuleaza ~i obtinem viteza (momentana):

2. Mai general, fie legea mi~carii

dx v =-=Itt.

dt

X = At2 + Bt + c' unde A, B, C slnt ni~te constante (numere). Calculam coordonata x' pentru momentul t' = t + ll.t:

(1.10)

x' = A(t + !1t)2 + B(t + ll.t) + C = At2 + 2Atll.t + A(ll.t)2 + Bt + B ll.t + C, de unde deplasjlrea ll.x x' - x = 2Atl:it + B ll.t + A(ll.t) 2 :;;i viteza medie

l:ix A Vm = - = 2At + B + ll.t.

!:it

(1.1'1) Facind acum !:it __. 0 ultimul termen se anuleaza :;;i viteza devine:

' dx -v =- =2At +B.

dt

Prin urmare daca Ie(J'ea. mi~carii este data de un polinom de gradul II in timp (functie patratica de' timp) (~.10), viteza va fi un pol~n?m. de gradul I in timp (functie liniari1 de timp) (1.11). Vom folosi acest rezultat ma1 tirzm.

3. Fie legea. mi~carii x At+ B, unde A, B sint constante. (1.12)

Calculam coordonata x' pentru t' = t + ll.t ~i a poi deplasarea l:ix = x' - x: x' =At'+ B = A(t + !:it) + B; ll.x x'- x = A~t.

Viteza medie

ll.x dx ( ) vm = - = A = const = v. 1.1 ;.{ !:it dt

Nici nu este nevoie sa descre~tem pe ll.t catre zero, deoarece raportul este constant; viteza medie este constanta ~i coincide ru viteza momentana - mi~carea se nume~te rectilinie u,niformd.

20

1.7.2. Mi~carea plana. (Analog se studiaza mi~carea in spatiu:-) Cunoscind ecua~iile mi~carii x = f1(t), y = f2(t), putem calcula, exact ca n1ai sus, vitezele medi~ ~i momentane ale mobilului in. directiile axelor de coordonate. N otam vitezele respective cu un indice corespunzator axei:

l1x Vxrn = -' D.t

l:l.y Vym = -

!J.t (1.14)

Daca luam intervale At din ce in ce mai mici, descrescind (tinzind) catre zero. At __. 0 (at unci ~i A;c __. 0, fly __. 0), ob~inem vitezele momentane:

dx Vx = -:---,

dt dy ..

Vy =-. dt

(1.15)

Pe de alta parte, deplasarile Ax i !l.y sint componentele pe axe ale vee--+

torului deplasare Ar (fig. 1. 8). Daca impartim vectorul deplasare la intervalul de timp (care este un scalar), ob~inem vectorul viteza medie:

___. -+ -+ AB ll.r

Vm=~. = -. ll.t !:it

(1.16) Vectorul viteza medie are directia i sensu! vectorului deplasare, ~ar modulul egal cu modulul vectorului deplasare impar~it la intervalul de timp. Compo-nentele 'vectorului viteza (1.16) pe axe sint tocmai vitezele (1.14) ale proiec-tiilor ~obilului.

1.7.3. lnmultirea vectorilor en sealari. Daca ad.unam un vector a cu el insu~i ob~inem un vector de aceeai direc~ie i acelai sens, dar de modul

-+ -+ -+ dublu, ~eea ce se scrie astfel: a + a _: 2a. La fel pen.tru mai mul~i vectori:

-+ -+ -+ -+ __,...

a + a + a + ... + a = n a. (1.17) de n ori

Daca punem a cum: -+ -+ ( -1) a = -a 1 0 a 0, ( 1.18)

obtinem prin generalizare regula inmul~irii vectorilor cu numere reale (cu scalari).

-+ Prin inmulfirea unui vector a cu un numar real r se ob~ine un vector

/ -+ -+ -+ -+

ra = ar de modul I r I I a I i de aceeai directie cu a; sensu! va fi acela~i -+ -t

cu a daca r > 0 ~i opus lui a daca r < 0 (fig. 1.18) . -+

A impar~i un vector a la un numar real p =F 0 inseamna a-1 inmulti cu .... I 1 numaru -:

p -+ a 1 p p

21

-+ .a,

.. a

I I I I

___...,

i 1.. -= -a=0,5a 2 2

2t

.......

-a

...

-~a=-1 s-a 2 I Fig. 1.18. lmnultirea ~i tmpar\irea vectorilor cu numere (cu scalari).

a die~ modulul vectorului dat se imparte la I p 1 , direc~ia nu' se schimba, iar sensul ramine acela~i daca p > 0 1 se inverseaz~ dac~ p < 0. In cazul vitezei (1.16), At este totdeauna pozitiv!

lnmul~irea vectorilor cu scalari este asociativa i distributiva: -+ -+ -+ ' -+ -+ -+ -+ -+ -~

m(na) = (mn)a, (m + n)a = ma + na, m(a + b) = ma + mb. (1.20) ~.7:4. Vectorul viteza. In cazul mi~carii curbilinii vectorul deplasare

-+ ~ -+ -+ Ar =. AA' ~i vectorul viteza medie Vm= ArjAt, pentru un interval oarecare, au direc~ia secantei AA' Ia traiectorie (fig. 1.19). Pentru a ob~ine viteza momentana intr-un punct A al traiectoriei trebuie sa luain un interval At = = t' - t foarte mic, descrescind catre zero, atunci punctul A' se apropie de A,

iar secanta AA' se rotete bt jurul punctului A (AA'~ AA" etc.) pinit ctnd devine tangenta la traiectorie (cfnd punctele A, A' se confunda), deci vee-torn! viteza momentana

-+ -+ dr v =-,

dt -

ad v llr .. nd A 4 O tea- C LU -+ , ' dt '

(1.21) '/

este tangent la traiectorie in punctul considerat, adica are direc~ia tangentei Ia traiectorJe ~i sensul dat de sensul micarii mobilului tn acel moment.

Proiectind punctul m11terial pe axele de coordonate, micarea sa curhi-- -+ -

.lirHe tn spa~iu r = f(t), v = drfdt se descompune in micari rectilinii dupa \lA.ele de coordonate, descrise de ecua~iile cinematice ale micarii: x . f1(t),

Vx

22

Fig. 1.19. Vectorul vitez~ medie . -+ -

vm = llrf llt are directia secantei la tra-iectorie: AA'. F~ch1d pe ill = t' t sa descreasc~ catre zero, punctul A' se apropie de A {trectnd prin A" etc.), secanta se rote~te in jurul lui A ~i de-.vine tangenta la traiectorie, deci vectorul

-+ -+ viteza (momentan~) v .= drfdt estr tangent Ia traiectorie tn fiecare moment :;;i are sensul dat de sensul mi~dirii.,

y = {2(t), z = (3(t). Vitezele mi~cari~or componente sint componentele vectoru-

~ ...

lui viteza v(vx, v11 , v:z) al mobilului . In cazul plan, aplich)d teorema lui

Pitagora, avem r 2 = x2 + yz, v2 = v; + v;. ln cazul mi~carii rectilinii vectorul de-

-l- ~ _.,..

plasare !).r !?i vectorul viteza vm = l~.rf ~t, _.,.. ~

IJ

0' _....or-

. \ \ \ \

~ v drfdt sint situati chiar pe dreapta mi~arii; in locul figurii 1.19 vom av~a figura 1.20. Aleg!nd dreapta mi~carii, d~ept axa 0' x' !?i

Fig. 1.20. l.n cazul mi~carii rectilinil, _.,..

vectorul deplasare llr ~i vectorul viteza -+ -+ _.,.. -+

-+ _.,..._ -+ Vm = llrf llt, respectiv v = drfdt, slnt proiectind pe aceasta axa vectorii Ar, Vm, v, chiar pe dreapta mir;;dirii O'x'. Proiee-obtinem deplasarea llx', respectiv viteza vm = tati pe aceasta . axa, ei dau ~x',

~x'f llt, v = dx'fdt a~a cu,m le-arn definit Vm = ~x'f ~t, v = dx'fdt. in t 7 .1. Observam ca pentru un vector paralel .

r~1 o axa, componenta (proiectiaLsa pe acea axa este egala cu plus sau minus modulul vectorului, dupa cum acesta este orteu.tat in sensu} pozitiv sau negativ al axei.

Dadi vectorul viteza este constant, micarea este rectilinie uniforma (numita pe scurt, uniforma).

1.8. ACCELERATIA

In general _vectorul viteza se st5himha in timpuln1i~carii, a tit in modul-daca mohilul merge mai repede san moi incet pe traiectoria sa, cit ~i ca direc-(ie - daca traiecivl'ia este curbilinie.

0 aceea~i Va!'ia~ie ..._ vectorului viteza se poate produce intr-un timp mai lung san mai scurt. Pent:ru a compa.ra neuniformitatea diferitelor mi~ca'ri trebuie sa calculam varia~ia de viteza in acela~i interval standard de timp

. (unitatea:de timp). De aceea, vom impar~i varia~ia vitezei la interva,lul Je timp in care ea s-a prod us, pentru a afla varia~ia vitezei care revine (cores-j.>nnde) unitatii de timp.

1.8.1. Acceleratia In micarea rectilinie. ln cazul mi~carii rectilinii, accelerafia medie (in intervalul de timp At) este

am = ~v = v2 - v1 =. variatia vitezei (1.22) ll.t t2 - t1 intervalul de timp

Ea poate fi pozitiva san negativa dupa semnullui Av. Accelera~ia medie caracterizeaza varia~ia globala a vitezei in 1ntervalul

At, dar pe subintervale de t._imp mai scurte varia~ia vitezei poate fi diferita. Pentru a caracteriza varia~ia vitezei ,Ia un moment dat", vom calcula raportul (1.22) pentru intervale At din ce in ce mai mici, descrescind catre zero, ~i vom ob~ine astfel accelera~ja momentana (san instantanee):

a =" ~ij dnd At -+ 0 adica a = ~ . CJ.t dt (1.23)

23

De exemplu, fie legea vitezei: v = 2t - 5 .. Calculam viteza v' Ia momentul apropiat t' = t + flt, anume v' 2t' - 5 = 2{t + flt) - 5. Calculam acum variatia vitezei flv = v' - v = 2(t + flt) - 5 - (2t- 5) = 2 flt ~i o raportam Ia intervalul de timp flt : am = flvj flt = 2, deci am este constanta ~i coincide cu acceleratia momentana. Mai general, dadi Iegea vitezei este v =At + B, unde A, B sint constante, rezulta am = a = A ~i mi~carea se nume~te rectilinie uniform variatd ...

1.8.2. Veetornl aeeeleratie. ln cazul micarii in spafiu, daca impar~im -+ varia~ia vectorului viteza Av (fig. 1.21) la intervalul de timp At in care s-a produs, ob~inem varia~ia medie a vectorului viteza pe unitatea de timp, numita vectorul accelerafie ?ftedie: "

-+ -+ ;m = flv = v2 - v1 = variatia vectorului viteza ( 1.24)

At t2 - t1 intervalul de timp

El caracterizeaza global (in medie) varia~ia vectorului viteza in intervalul de timp considerat. Dar in subintervale de timp mai mici varia~ia poate fi dife-rita. La fel ca in cazul vitezei medii i vitezei instantanee, luind un interval de timp foarte mic (care descrete catre z~ro), ob~inem vectorul accelera~ie momentana (sau instantanee), numit pe scurt vectorul accelera~ie.

Vectorul acceleratie (momentana) este varia~ia vectorului viteza calculata pentru un interval de timp foarte scurt in jurul momentului care ne intere-seaza i impar~ita la acest interval (pentru a ob~ine varia~ia care revine uni-tatii de timp):

-+ -+ -+ flv A d. A O d" ... -+ dv a = cin ut -+ , a ICa a = - . flt dt (1.25)

-+ -+ Accelera~ia medie am are direc~ia i sensu} vectorului A.v (fig. 1.2~). Cind

-+ n descretem pe A.t catre zero, vectorul a ob~inut poate diferi, in general,

-+ -+ -+ putin de am (aa cum Vm are direc~ia secantei, iar v are direc~ia tangentei la traiectorie).

0 b s e r v a ~ i e. Din figura 1.21 se vede ca vectorul accelera~ie este totdeauna indreptat spre ,interiorul" traiectoriei, adica spre partea concava

\ \ \ \ \

~ / \ / \,~/

A1"

traiectoria

24

Fig. 1.21. Variatia vectorului -+ -+ -+

viteza D.:v :::;:= v2 - v1 in inter-valul ae timp . flt = ta - tll vectorul acceleratie medie -~ -+ am = b.vf l::!,.t ~i aeceleratia

-+ -+ momentana a = dvfdt.

a curbei, in sensul in care deviaza virful vectorului viteza cind mohilul se misca pe traiecto:ie. Vectorul accelera~ie este paralel cu vectorul vitezei numai in cazul mi~arii rectilinii, cind numai modulul vitezei variaza, direc~ia rami-nind neschimbata.

Subliniem inca o data ca acceleratia caracterizeaza sa u masoara variatia vectorului viteza ( calculata, pentru unitatea de timp) i nu viteza raportata la timp. Daca vectorul viteza este constant, nu variaza, nu avem accelera~ie, indiferent de valoarea vitezei. Accelera~ia momentana poate fi nenula, chiar daca in acel moment viteza este nula.

Analog ca pentru vectorul viteza, componenta vectorului accelera~ie pe 0 axa reprezinta accelera~ia mobilului in dire~lia acelei axe i este egala cu

accelera~ia cu care se mica proiec~ia mobilului pe acea axa, de exemplu: ax = . Avx i ax = d-Vx (adica AVx cind At -+ o) . ( 1.26)

m At dt flt -+

ln cazul particular al micarii rectilinii, varia~ia Av, calculata pentru un interval At suficient de mic, deci i vectorul accelera~ie, este in acelai sens cu vectorul viteza, daca modulul vitezei crete (micare accelerata) i este in sens opus vectorului viteza, daca modulul vitezei scade (micare incetinita) (fig. 1.22). .

Accelera~ia (L22-1.23) definita mai sus in cazul micarii rectilinii repre--+ -+ -+ -+

zinta componenta vectorului accelera~ie am = Av/ At, a = dvfdt pe dreapta micarii Ox i este pozitiva daca vectorul accelera~ie este orientat in sensul pozitiv al axei. Micarea .este accelerata,daca viteza v i accelera~ia a au acel~i semn,i lncetinita, daca l;lU semne opuse.

EXE:M:PLU

Un tren care se mit?ca cu viteza de 90 kmfh este la un moment dat frinat astfel inctt in 20 secunde viteza sa scade la 18 kmfh. Sa se calculeze acceleratia medie tn aceasta

mi~care tncetinita. Rezolvare. Alegem sensul pozitiv pe traiectorie tn sensul mi~carii (al vitezei). Atunci v1 = {-90 kmfh = 25 mfs, v2 = +18 km/h = 5 m/s ~i acceleratia medie:

v2 - v1 5 - 25 m/s am -1m/s2

At 20 s

Semnul minus arata ca vectorul acceleratie este orientat tn sensul opus sensului pozitiv ales ~i cum vi~eza este pozitiva, semnul este in concordanta cu caracterul iRcetinit al mi~carii (v > 0, a < 0}.

0 b s e r v a ~ i i. 1. ln cazul micarii rectilinii, semnul vitezei v i semnul accelera~iei a depind atit de sensu! micarii mobilului, cit i de sensul ales pozitiv pe axa m~carii. Daca schhnbam sensul pozitiv pe axa micarii, atit v cit i a ii schimha amindoua semnuJ ,(de aceea caracterul accelerat sau ince-tinit nu depinde de sensul ales pozitiv pe axa micarii).

25

A ... Ai ~ v1 0 ;.

V. 2 a

A

2 >b

v2 ..

..;.. v1 B -v2

..

...

f'ig. 1.22. In mh;;carea rectiliniP accelerata vectorii viteza si aceele-ra1.ie au acelal?i sens 'a)', iar . .Jn miscarea incetinita ei au sensuri

' opuse (b). e

Aproape totdeauna se alege sensul pozitiv pe axa micarii in sensul vitezei (al micarii); in acest caz a > 0 inseamna accelerare ~i a < 0 inseail).na frinare.

2. ln cazul mi~carii rectilinii, accelera~ia medie, conform fo;mulei (1.22) ne arata cu cit variaza in medie in unitatea de timp (1 s)' viteza corpului (pentru fiecare secunda din intervalul de timp ll:t pentru care a fost calculata acea accelera~ie medie). ln adevar, din (1.22) avem ll:v = am ll:t ~i pentru At= 1 s, rezulta Av = am. De exemplu, daca acceler-a~ia unui tren este a = 2,0 m/s2, inseamna ca viteza sa crete in fiecare secunda cu 2,0 mfs. Carac-terul accelerat sau incetinit depinde ~i de semnul vitezei: daca v > 0, trenul este accelerat, daca v < 0, el este frinat:Doar semnul.accelera~iei singur nu ne spune inca despre caracterul accelerat sau incetinit al micarii. .

lata inca un exemplu. Daca vectorul accelera~ie al unui lift este indreptat in sus, aceasta inseamna fie pornire accelerata in sus fie frinare la coborire. Daca. vectorul acceleratie al liftului este indreptat in jos, aceasta inseamna fie pornire accelerata in jos fie frinare la urcare.

Exemple de acceleratii. Acceleratia gravita~ionala de cadere libera a corpu-rilor pe suprafa~a pamintului g = 9,8 mfs2, pe suprafa~a Lunii 1,62 mfs2, pe

suprafa~a Soarelui 271 m/s2, pe Marte 3, 77 mfs2 Accelera~ia unui electron intr-un atom de hidrogen Q,9 1022 mjs2 Un .om suporta in mod acceptabil accelera~ii pina Ia de cinci ori accelera~ia gravita~ionala~

1.9. CLASIFICAREA MISCARILOR PUNCTULUI MATERIAL

- 4 reetilinie uniforma v. = .const. (a = 0) (pe scurt: uniformc1) uniform aceelerata

.1 rectilinie

celei din exemplul precedent, in. timp ce pentru aviator traiectoria va fi practio (daca neglijam rezisten~ aerului) o liniB verticaHi, tot timpul sub avion, daca avionul continua sa zbo~e orizontal rectiliniu uniform.

Astfel de exemple ne demonstreaza relativitatea traiectoriei, deplasii.rii i vitezei.

1.11. COMPUNEREA MI$CARILOR

Jln .crirJLpoate participa simultan la doU:a micari. Cum se compun ele pentru a da mi~carea rezultanta?

De exemplu, un om se plimba intr-un va on, care la rindul s" a in mi~care (sau un o Iec ~a e 1ntr-un vagon in mi~care). Cunoscind cele douii mi~oari, cum aflam mi~carea rezultanta a omului (obiectului) fa~a de pamint? Sau, cunoa~tem mi~carea unui satelit a,rtificial fa~a de Pamint ~i mi~carea Pamintului fa~a de Soare, cum calculam micarea satelitului fa~a de Soare?

Alt exemplu: un bloc este ridicat in sus prin intermediul unui scripete ~i in acelai timp scripetele se deplaseaza orizontal de-a lungul bratului ma-caralei. Care va fi micarea (viteza) rezultanta (fig. 1.25)?

Care vor fi deplasarea ~i viteza rezultanta a barcii fata de mal. daca se vislette pe o directie perpendiculara pe cursul apei unui riu (fig. 1.26)?

Studiind exem lele de mai sus, constatam ca deplasarile i vitezele se ;ompun _dupa regula parae ogramu ut, ca orice vectori.

* Fig. 1.29. Blocul este ridieat vertical in sus cu viteza v1 fata de scripetele superior, care se deplaseaza orizontal cu viteza ;:. Care este vi~eza rezultanta ; a blocului fatli

de pamtn~?

28

/; //(({(((({((((((('(((((((>>>>>>>>>>>??????/??/?J?/J.

%/(///W////(<

Xinm 2,2

2,0 I ~ '" 18 I \ 1,6 I \ 1,4 B ~31A) \ 1,2 .1:

' 1.0 1,7 ~ 08 J/ -~Ax=1P m \ o;s ,y~ ,, \

If At I \ 04 A =2,0S I / ----

.,.__._

\ 0,2 (1;0,4) ~ ~~

' tinS

y ~2 f-1 0 1 2 -0.2

3 4 5 ~ 7 ) 8 ,. \ I -04 -0,6 ~ l/

Fig. 1.28. Reprezentarea graficA a legii mi~carii x = f(t).

In exemplul din figura 1.28 la ~omentul (initial) t = 0 mobilul se afla la distanta x0 = 0,20 m de origine (coordona,ta ini~iala). In ,trecut". (t < 0) mobilul a trecut prin origine la, momentul t = - 2,0 s, venind din partea negativa a traiectoriei. La momentul t = 4,0 s mobilul se afla la distanta maxima de origine: x 2,20 m, dupa care a inceput sa se apropie de origine foarte repede. La t = 6,0 s mobilul ajunge in origine i trece de partea ceala.lta ,;negativa" a traiectoriei, departindu-se eel ma.i mult (x = -0,60 m) la t = 7,0 s, dupa care se intoarce din nou in origine la t = 8,0 s.

Viteza medie pe diferite intervale de timp se poate calcula din tabel sau din grafic. Astfel, viteza medie in intervalul (1,0; 3,0) s este:

_ !lx _ x 2 - x 1 _ 1,40 - 0,40 m = O SO / Vm- - - , m S.

!lt t2 - t1 3,0- 1,0 s

Viteza medie in int_ervalul ( -3,0; 0,0) s este: Vm = 0,20- {- 0,20) ~ = ~~ ~ = 0,13 m/s.

0,0- {- 3,0) s 3,0 s

EXPERIMENT

Se vor face experimente privind micarea rectilinie cu ajutorul Trusei de fizica pentru licee.

Montajul mecanic (fig.1.29) contine o bara (lf6) pe care ruleaza un carucioJ' (27) a carui mi~care se studiaza. Montajul electric (fig.1.29, 1.30 ~i 1.31) contJne un electromagnet (20) pentru re~inerea caruciorului, intrerupatoarele ND (18)

30

Fig. 1.29. Montaj pentru studiul mi$ci'irii rectilinii: 66 - bara de rulare, 27 -carucior, 67 - rigla gradata,

18 23 16 2 21

18- tntrerupator ND (1), ---- -~d~ ................ -.....;.;;....J 23- tntrerupator Nl, (2), ~==========;;:::liJ!lv 20- electromagnet, 28- in- L scriptor, 30 - dispozittv de L--'---------r

inregistrare.

t'ig.1.80. \lontajul elPrtrir.

12V

Fig. 1.81. Insrriptorul.

1-'ig. 1.82. fnregistrarea timpului.

31 32

(normal deschis) iN I (23) (normal inchis) i un ins9riptor (28). lnregistrarea timpului (fig. 1.32) se fa.ce printr-o metoda chimica folosind curentul alter-nativ.

Se fac experien~e de masurare a vitezei medii pe diferite distan~e Ax. Se fixeaza pe rigla gradata (67) intrerupatoarele la aqeasta dista,n~a i se ma-soara timpul At, atunci Vm = Ax/ At.

PROBLEME REZOLVATE

1. a) Putem visli pe un riu astfel incit barca sa ramina pe loc fata de mal? b) Se poate deplasa un om pe o scara rulanta astfel incit sa fie in repaus fata de pamint?

Rezol~are. Daca barca are fata de apa exact viteza apei dar in sens opus, ea va ram_!ne ~ .

pe loc fata de mal. La fel, daca omul are fata de scari'i o viteza v' egala in modul, de ~ -+ ~ aceea~i direcpe, dar de sens opU:S cu viteza scarii v, adica v' = -v, ,el va ramtne pe loc fata de pam in t.

..

31

~----------------

}'lg. 1.83. PentrU: problema rezolvatil 2.

2. Picaturile de ploaie, care cad vertical, formeaza pe geamurile unui tramvai in m~care urme tnclinate sub un unghi ex = 60 rata de verticala. Care este viteza picaturilor de ploaie {fata de pamtnt) daca viteza tramvaiului este v = 12 mfs?

~ Rezolpare .. Viteza pi~aturilor de ,ploaie fata de tramvai vr (sub ex= 60 fatfi de ve-rti-

-+ c.ala), compusa cu viteza tramvaiului v (orizontala) trebuie sa dea viteza picaturilor

-+ -+ -+ de ploaie fat~ de pamint (verticala): vp = vr + v. Din figura 1.33 rezulta vp = = v ctg ex= 7,0 mfs.

iNTREBARI. EXERCITII. PROBLEME

-+ 1. Un vector a are modulul a = 12 unitati ~i este orientat exact spre Est. Ce modul ~i

ce orientare au vectorii: -+

-+ a -+ -+ _.!!....?. 1,5 a; -. -a; -0,5a; ~ ' 3 R: 18; 3 spre Est; 12; 6; 4 spre Vest.

2. Cum se compun mai multi vectori daca ei sint pe a-ceea~i dreapta? Ce devine regula paralelogramului in cazul a doi veetori coliniari? tntre ce limite este cnprins modulul

-+-+ sumei ~i diferentei a doi vectori a, b, daca unghiul dintre ei variaza?

-+ -+ R: algebric; a + b ~ I a b t ~I a- b 1 ..

3. Pot fi combinati doi vectori de marimi diferite astfel incit sa dea rezultanta (suma) nula? Dar trei vectori?

R: nu; da in anumite conditii (cind reprezinta laturile unui triungh1). 4. Este operatia de scadere vectoriala, comutativa ~i asociativa?

R: nu -+ -+ -+ -+ -+

5. Cum sint vectorii a ~i b daca sint valabile relatiile: a+ b = c ~i a+ b = c? Dar in -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+

cazul a + b = a b? Dar in cazul a + b = c ~i a2 + b2 = c2? -+ -+ -+ -+ -+

R: a II b; b = 0; a j_ b. 6. tn ce fel de mi~care distanta parcursa coincide cu modulul vectorului deplasare?

R: in mi~carea rectilinie cind viteza nu schimba semnul. 7. Suma pe care -o platim Ia un taxi este proportionala cu: ,distanta parcursa" sau cu

,modulul vect~rului deplasare"? R: cu distanta parcursa.

32

8. Pentru m~carea din figura 1.28 sa. se calculeze: a) viteza medie a mobilului tn inter .. valele de timp: (1, 0; 4,0)s; (4,0; G,O)s; (6,0; 7,0)s ~i (6,0; 8,0)s. Pentru ce intervale de timp viteza medi~ este nula? b) Distanta strabatuta de mobil in tot tinipul mi~,. carii. Care a fost viteza medie, tn modul, pe tntregul interval?

B: a) (),60; -1,1; -0,60 $i 0,0 m/s; b) 5,8 m; 0,53 m/s. 9. Poate un mobil avea o viteza indreptata spre Est ~i in acela!li timp o accelera~ie indrep~

tatli spre Vest sau spre Nord? B: da.

10. Poate avea un corp viteza nuHi, I~ un moment dat, !li acceleratie nenula? B: da.

11. Po ate varia directia vitezei unui mobil daca vectorul acceleratiei este constant? B: da.

12. Un camion, micindu-se curbiliniu, a descris o traiectorie sun forma unui sfert de cere. Care este distanta parcursa ~i care est~ modulul vectorului deplasater

R: 1tR/2; R V2. 13. Un vapor se deplaseaza dl = 7,0 km spre Est, a poi in continuare dz = 3 V2 km

spre N-V. Care este deplasarea rezultanta? B:d = 5,0 km.

14. Viteza unui biciclist este v1 = 1~,4 km/h, iar viteza vintului care ii sufla din fata este v2 = ~.o mfs-. Ce viteza a vintului inregistreaza biciclistul fata de el? Dar daca vintul _ sufla din spate?

R: v' v1 v2 = 8, respectiv 0 mfs. 15. Un tractor cu ~enile se mi~ca cu viteza v = 3,0 mfs. Care este viteza ~enilelor infe-

rioare ~~a celor superioare fata de sol? Dar fata de tractorist? R: a) 0 ~i 2v 6,0 m/s; b) v = 3,0 mfs.

16. Un avion cu elice zboara rectiliniu uniform. Care va fi traiectoria unui virf al elicei in sistemul de referinta legat de: a) elice; b) avion; c) pamlnt?

R: a) punct; b) cere; c) elice (ca filetul unui ~urub). 1'1. Ecuatiile mi~carii a cinci puncte materiale sint urmatoarele x = 2t; x = 2 + 3t;

x = -1 + 2t; x == 2 - t; x = 3. Sa se reprezinte grafic aceste ecuatii pe acee~i diagrama Otx~ Ce semnificatie au punctele de interse~tie a graficului m~ciirii cu axele Ox, Ot?

R: coordonata initiala (la t = 0}; momentul trecerii prin origine(cind x = 0).

3 Fizica ct. a IX-a

2

h Mecanica clas!ca,_ ?laborata in esenta de ISAAC NEWTON {1643-1727) se azeaza pe tret legt foarte I .. ' P . . . . genera. e, numtte pnnclpll. Separa.t fie aceste rtnctpu NEWTON a fo 1 t " lelalte legi ale m ... rmu a . prtnCiptul suprapunerii fortelor. Toate ce-

ecaniCn newtontene se de due at unci din aceste . . .. teoreme. . prtnctpn ca

2.1. PRINCIPI UL INERTIEI {lex prima)

Un tren se. mi~~a .re~til!n~u uniform numai daca este tras de Iocomotiva allttfel arh~e~ge Incetinit I ptna la urma s-ar opri. La fel se intimpla cu diferite a e ve tcu1e.

Sa facem o experienta s.lmpla: sa lasam o hila de otel 1 . tal .dur i foarte hine lustruit (din sticla) vom constata ~a :e un P. a~ onzon-.gohnd~-se) practic re~tiliniu uniform mdit timp. 1n schimh a:e :-~~c~ (r~sto"~ansa~a pe un plan ortzontal tot din lemn sau din cauciuc s~ oJre t e emn Im~d~at. De ce? ~ii~dca e~te puternic frinata de planul orizonta.l a:p;u arr:og~) pnn 1recare, dec1 pnn actlunea unui alt corp. . l Daca am elimi~a. ac~iunile tuturor corpurilor inconjuratoare, adica am lzo a un corp aflat In mt~care, s-ar opri el oare?

"' ~e. masura ce d~minuam frecarile ~i alte actiuni ale mediului constat"' ca m1~carea corpului se apropie tot mai mult de mi~carea rectilinie unifor~~ (de exe~plu, m1~c~rea pe o linie cu perna de aer). De aici prin idea.li . ( ahstractiza.re se aJunge la principiul I al dinamicii (principiul iner~~~:): sau

Acest principiu a fo~t descoperit de GALILEO GALILEI in 1632 formulat de ISAAC NEWTON d t J . . . l

rep pr1ncip1u al dJnamiCn (lex prima) (1686). 34 /

GALILEO GALILEI (1564-1642) mare in\'a-tat italian, astronom, fizician, mecanician, unul din fondatorii f;itiintelor exacte ale naturii. A desco-perit legea inertiei, legile caderii corpurilor' legile pendulului. Pentru prima data in istoria astrono-miei, cu ajutorul unei lunete confectionate de el tnsul?i, a observat corpurile ceref;iti, descoperind muntii de pe Luna, patru sateliti ai planetei Jupiter, fazele planetei Venus, structura stelara a Caii Lactee, petele pe So are. tn car tea sa ,Dialog asupra celor doua sisteme principale ale lumii, ptolemaic. l?'i copernican" (1632) a dezvoltat stra-lucit inva,Vitura lui N. Copernic asupra sistemului solar, pentru care tn 1633 a fost osindit de un tribunal catolic.

Cum se explica at unci faptult- ca in practica mi~carea rectilinie uniforma a vehiculelor trehuie permanent intretinuta prin actiunea unui agent exterior (motor)? In asemenea cazuri. exista totdeauna actiuni opuse mi~carii, de ohicei frecarile, care trehuie invinse sau compensate . .In ca.zul cind toate actiunile asupra punctului material se compenseaza reciproc, acesta ramine in repaus sau in micare rectilinie uniforma.

2.1.1. Inertia ~i masa. Pentru a pune in miscare un corp. pentru a-1 opri sau pentru a-i curha traiectoria a-i schimha vectorul viteza), trehuie sa ac .wnam asupra sa. a oriCe actiune exterioara care cauta sa-i schimbe starea de repaus sau de mi~care rectilinie uniform&, corpul se ooune, reactioneazii. - Se nume~te ~nertw proprietatea unu1 corp de a-~i mentine starea de repaus .illL de mi~care rectilinie uniformd in absepta aotiunjlor exterioare. respectiv de a se opune (reactiona) la orice actiune exterioara care cauta sa-i schimbe starea de repaus sau de mi~care rectiljpjQ uniforma. in care se ana.

Principiul I al dinamicii se numete i p~~ncip~ut ~nerJwi, tocmai fiindca pro prieta tea enun~ata in el este o manifestare a inertiei: un punct material izolat se afla in repaus sau se mica rectiliniu uniform in virtutea inerfiei. 0 masura a inertiei este masa. ln aceasta calitate masa se numeste inertial (sau inerta). ._

2.2, SISTEME DE REFERINTA INERTIALE

Dadi un corp izolat se mica rectiliniu uniform fata de stele (sau este ~n repaus fata de stele), at unci fata de Pamint el se mica curhiliniu din cauza rotatiei proprii diurne a Pamintului, iar fata de o nava cosmica, accelerata fata de stele, else mi~dt accelerat. De aici rezulta evident ca principiul inertiei nu poate fi valahil in orice sistem de referinta.

_istemele de referinja in care este valahil principiul inertiei se numes!l. sisteme de referin~a inertiale.

35

Vom arata ca toate sistemele de referinti1 iner~iale se misca unele fata de _ altele rectiliniu uniform._

Experien~a arata ca sistemele de referin~a legato de stele sau chiar de Soare sint sisteme de referin~a iner~iale cu un mare grad de precizie. ln schimh, sistemele de referin~a legate de Pamint nu sint riguros iner~iale din cauza rota~iei Pamintului fa~a de stele. ln majoritatea covir~itoare a nevoilor practicii, Pamintul poate fi insa considerat sistem de referin~a iner~ial cu un suficient grad de precizie.

Peste tot,in cele ce urmeaza, in rezolvarea problemelor, se in~elege ca se folose~te un sistem de referinta inertial (de obicei Iegat de Pamint ).

Principiile mecanicii n.ewtoniene slnt valabile ln si$temele de re(erinta iner/iale (se va arata la 2.6) ... -

2.2.1. Transformarea Galilei. Un acela!?i eveniment. sau proces (de exemplu mi!?carea unui punct material) poate fi studiat din doua sisteme de referinta diferite - vom spune, de catre doi observatori diferiti. Un eveniment .este caracterizat prin coordonatele sale spatiale x, y, z, care arata locul unde se produce evenimentul, !?i prin coordonata tem-porala t, care arata momentul Ia care se produce evenimentul. Fiecare observator masoara coordonatele evenimentelor cu instrumentele sale {rigla !?i ceasornicul) !?i stabile!?te legile corespunzatoare.

Este important de stabilit legatura dintre coordonatele unui eveniment masurate de diferiti observatori, adica transformdrile de coordonate care dau trecerea de la un sistem de referinJa la altul.

Astfel putem vedea care aspecte ale fenomenelor !?i legilor sint relative, adica depen-dente de sistemul de referinta, !?i care stnt invariante, adica independente de sistemul de referinta (acelea!?i pentru. toti observatorii).

Vom presupune ca riglele !?i ceasornicele diferitilor observatori sint qonstruite ~, eta-lopate identic, adicii dupa aceea!?i ,reteta" (~cela!?i procedeu tehnologic).

;Q

Fie doua sisteme de referinta S !?i S' cu axele paralele (axele Oz, O'i! nu stnt dese-- -nate). Presupunem ca S' se mi9ca fata deS cu viteza u coristanta, astfel incit originile 0, O'

au coincis Ia momentul t t' = 0, unde t este timpul masurat in S, iar t' in S'. Din punctul de vedere al observatorului S, aplicind regula compunerii vectoriale,

rezulta conform figurii 2.1:

y p

(F----------x

-- - - -r = r< + r 0 = r' + ut, (2.1) unde toti vectorii sint masurati cu instrumentele din S. Noi vrem insa sa stabilim legatura dintre

-7

coordonatele (r, t) ale unui eveniment P, masurate de observatorul S cu instrumentele sale, ~i coor-. -donatele (r', t') ale aceluia~i eveniment dar mas u-

Fig. 2.1. Doua sisteme de referinta care se mi!?ca rectiliniu uniform unul

. fata de altul. Transformarile Galilei.

rate de observatorul S' cu instrumentele sale. Or, instrumentele (rigla 9i ceasornicul) din S' se afla in m~care fata de S! Oare distanta O'P masurata de fiecare observator cu instrumentele sale va fi

aceea~i? 1n mecanica clasica newtonianll se considera

ca lungimile (distantele) ~i duratele au caracter

36

. . t (sall absolui) adiea rezultatele masuratorilor d. e lungime ~i durata nu depind tnvartan . ... .. d miscarea instrumentelor de masura, nici de mi~carea obiectelQr masurate.

n tel e . 1 b' 't ( h' Aceasta ipoteza este foarte bine verificata in domeniul v1te~e or o t~nm e c :a.~ ntrll viteze cosmice) dar in domeniul vitezelor foarte mari, aprop1ate de v1teza lummu pe ' . . .. t ... . t

c 3. tos m/s (de exemplu, in cazul particulelor atomice), aceasta 1po eza nu ma1 es e exaeta ~i bebuie apiicata mecanica relativista. . ... . . .

R V A And in cadrul mecanicii clasice, putem cons1dera ca lungtmde ~~ duratele au amm1 . ~ . .

2.3. PRINCIPI UL FUNDAMENTAL Al DINAMICII (lex secunda) .

In procesele de ciocuire a doua corpuri, de frecare intre doua corpuri solide sau intre un solid ~i un fluid de atrac ie re cor uri magnetlza e sa.u e ectrizate etc., corpurile actioneaza reciproG, aael9 Asupta ~ora, adica interactioneaza. .ca efect al intQPae\hu~.ii G0 rpnrile in general ae

Chiar din aceste expel'i9Bte fi ah~mwQ.tii simple ilG poate hanui ca acCel.e-r;aia imprimata are directia fi suuuZ fgrJgi_ flplicate, fiind propgr=tiaJullR cu forta

-l:L_ invers' proporfionala cu masa corpului: ; -:--- const. : e Nenumarate experien~, efectuate cu tot felul-de corpuri, aflate in cele

mai variate stari de miCare, carora li s-au aplicat diferite for~ (gravitationale, - electrice, elastice etc . .), au condus la ~matorul principiu:

vectorul forta este asa si vectorul acce-eraf~e

- . -F = const. m a. tl --

Acesta. este continutul principiului II al dinamicii, numit i prin.cipiul fundamental (lex securi.da). Acest principiu a fost formulat de I. NEWTON (impreuna cu celelalte principii ale mecanicii), in cartea sa 72_Principiile mate-matice ale filozofiei naturale" (1687).

Deoarece unitatea de masura pentru masa ( 1 kg) este fixata, fiind chiar unitate fundamentala in SI (Sistem International de unitati), iar unitatea de. acceleratie a fost deja stahilita ca unitate derivata (1 mfs2), vom alege unitatea de forta astfel incit constanta de proportionalitate din legea de. mai sus sa fie 1. At unci ecua.tia principiului II devine:

- - ~ F = ma, (2.5) iar unitatea de masura pentru forta va fi egala cu unitatea de masa ori uni- tatea de aceeleratie:

[F] = [m] [a] = 1 kg 1m -1 kgm = 1 N~ (2.6) - . sa sa -

Aceasta un1tate in SI se numete newton (N). N ewtonul este egal cu miirimea acelei forfe care_ aplicatii, unui corp cu masa

de 1 kg li imprima o acceleratie de 1 m/s2 lntelegind prin forta medie pe up interval de timp At, o forta constanta

care produce aceeai acceleratie medie sau aceeai varia~ie de viteza pe inte; valul . dt ca fi forta variabila data, putem scrie (2.6) pentru valori medii:

~

- - ll.v - - /lt F m = mam = m-; Av = F m - ; . /lt m ) (2.7)

variatia eitezei are direclia si sensul (ortei (medii) aplicate ( este coliniara cu for~a).

Daca forta aplica~a este coliniara cu viteza, varia~ia de viteza va fi de asemenea coliniara cu viteza, deci _ viteza lti pastreaza direc~ia, adica mitcarea va fi rectilinie pe direc~ia comuna a fortei ti vitezei (fig. 2.3, a).

40

a b

---.....,_-; \ 'Av \

\ \

Fig. 2.3. Variatia vectorului viteza are directia ~i sensul fortei aplicate. (a) Forta ffind paraleUi cu viteza, cre~terea de. viteza ~i acceleratia stnt pe acee~i directie ~i mif}carea este rectilinie. (b) Forta fiind oblica pe viteza, variatia de viteza ~i acceleratia au directia

~i sensul fortei aplicate, deci m~carea va fi curbilinie.

Daca insa forta aplicata este oblica fa~a de viteza, .variatia vitezei va fi in directia i in sensul fortei, deci traiectoria se va curba inspre regiunea spre care este indreptata forta (fig. 2.3, b).

~

este o ecua~ie vectoriala. Varia.tia unui vector de exemplu, A.v~ nu trebuie con--fundata cu variatia modululU:i fJ.v ( ypde v = I v I). De exemplu, intr-o ~

miCare curbilinie uniforma avem 1 v 1 = v = const, deci Av = 0, dar variaza ~

d l d A- 0 -+ l!l.v 0 D trecf"a vectoru u1 v1teza, eel u.v #= I am= #= e asemenea1 varia-/l.t tia modulului, A.v, nu trebuie confundata cu modulul variatiei vectorului

~ -I av I :1= a I v J. 2. In cazul mi3carii rectilinii putem sctie;

F m = mam = mdv / At, F = m dv / dt, (2.8~ unde marimile F, v, a sint componentele vectorilor respectivi pe axa mi~carii Ox, pozitive daca vectorii respectivi sint orientati in sensu! pozitiv ales pe axa fJi negative daca vectorii respectivi sint orientati in sensul opus.

41

- -In cazul micarii plane ecuatia vectoriaiA F - ma se proiecteaz. pe cele dona axe ~i se ohtin dona ecuatii pi 'eempeBeaie.

- -). F ma --. Fx m9-x, F 0 ~"u (2.9)

(analog in caz.ul iil'ij""carii in spatiu). 3;...In ecuatia (2.5) masa apare in calitate de masura a inertiei corpului.

d!_ aceea se numeste masa inerfialtl (sau .. .inerta). In adevar, acceleratia impri-mata unui.corp de ca.tre o forf.a data este cu,atit mai mica, cu cit inertia corpului este mai mare, altfel spus, este invers proportionala cu masura iner-

-tiei corpului; adica cu masa inertiala: ;.= F . m

Pede alta parte, forta gravitationala exercitata asupra unui corp de catre. un cimp gravitational, de exemplu greutatea unui corp in cimpul gravitational terestru, este proportional a tot cu m,asa corpului:

- -G=mg. (2.10) Se va arata mai tirziu ca cele doua mase coincid ( 3.8.\1 ).

-Acceleratia gravitationala g este orientata spre centrul Pamintului, Ia fel ca ~i greutatea .corpurilor ~i are valoarea g ~ 9,8 m/s2 (depinde de altitu-dine ~i latitudine).

Greutatea etalonului masa de 1 kg in cimpul gravita~ional normal (stan-dard) dat de acceleratia gravitationala gn = 9,80665 mjs? ~este:

G = mg = 1 kg 9,80665 mfs2 = 9,80665 N ~ 9,8 N. Acceleratia gravitationala la ~ivelul marii ~i la paralela de 45o este g0 =

= 9,80616 m/s2 -

- -4. Ecuatia F = ma nu ne spune nimic des re natura for ei: ea oate fi de na.tura grav1 a wna. , e ectrica sau in particular forta elastica, forta de

. - -frecare etc. In ecuatia F = ma forta apare sub forma abstracta ca un model 1 .!!!.ecanic al oricarei interacVuni a corpurilor, independent de natura fizica a

- -acestei interac~iuni. In modul acesta, relajia F = ma, pe linga. caracterul de le e a naturi1, poarta ~i caracterul de defini ie dinam ca a or ei. De aceea pentru determinarea mi~carii unui sistem: oscilator astic, sistem solar, atom et~. trebuie cunoscuta ~i legea fortei, de exemplu legea lui Hooke, legea atractiei gravitationale (NEWTON), legea int_eractiunii electrice (COU LOMB) etc.

2.3.2. Jmpulsul. ~a scriem desfa~urat relatia (2. 7):

(2.11)

.se vede ca aici apare produsul'm7J dintre masa ~i viteza. Acest produs repre zinta o nouii marime fizica important&. numita impuls.

42

I mpulsul punctului material estt; --)>. --?-

produsul dintre masa ~i riteza sa, p= _.... Impulsul este o marime vectoriald

care are aceea~i directie i .acelai sens cu vectorul viteza (fig. 2.4).

Revenind la ecuatia (2.11), patem scrie:

- - -- :+ L\v L\(mv) ~p F m=mam=m- = ..---- .= -- = L\t L\t L\t (2.12)

- - - -= P2- Pt , F -m;,=m dv = ~. t2-tl dt dt

traiectoria

Eig. 2.4. Impulsul unui punct material, - -; = mv, are directia ~i sensul vitezei v.

Variatia impulsului are directia ~i sensul fortei aplicate.

F orfa este egala cu yariatia imvulsului raportata la intervalul de timp, adica

varia~ia. impulsului care revine unita~ii de timp.

Aceasta est~ o alta formulare (cea mai ge~erala) a principiului II al di-namicii (de altfel aa 1-a formulat chiar Newton).

Unitatea de masura pentru impuls rezulta din definitia sa: [p]=[m][v]=1kg 1m/s=1 kg.mjs=1N 1s=N s "(2.13)

Aceasta unitate este deci egala cu impulsuf unui punct material care are masa de 1 kg ~i se mi~ca cu viteza de 1 mfs.

EXPERIMENT

Fortele produc doua feluri de efecte: efecte de de ormare a cor urilor (num1 e e ecte statice) i efecte de acc(}lerare a corpurilor (numite efecte dinamiCe).

a) Electele' de deformare. sint folosite pentru a masura for~ele . Exista corpmi, numite elastice, la care deformatiile (nu prea mari) dispar odata cu indepartarea forte-lor care le-au prqdns, de exemplu tot felul de resorturi.

D inttmometrele sint resort uri elast.ice prevazute cu o rigla pentru

' rr1asurarea alungirilor, deci a for~elor aplicate, rigla fiind gradata direct in unitati de for~a (fig. 2.5 ). Cu ajutorul dinamometrelor putem veri-fica legea de compunere vectoriala a for~elor.

a b Fig. 2.6. (a) Alungirea unui resort elastic este proportiom4Hi cu forta de intindere.

(b) Schema unui dinamometru.

43

b) Etectele de accelerare pot fi puse in evidenta cu montajul din figura 1.29. Detafind inelul cu placa de prindere (22, 32) fi folosind difer~te greutati: crestate (25, 26) vom constata ca, cu cit for'(;a de greutate a acestora este mai mare, cu atit acceleratia iroprimata caruciorului este mai mare.

2.4. PRINCIPI Ul ACTI UNILOR RECIPROCE (lex tertia) '\. '

Prin ciocnirea a doua bile, fiecare ii schimba viteza, fiindca in timpul contactului bilele se deformeaza reciproc fli se nasc forte elastice cu care o hila actioneaza asupra celeilalte. La fel, la. ciocnirea a dona vagoane, x:esorturde .t~oa.nelor de Ia fiecare figOn se_ com prima, fiecare vagon actionind asupri: celuilalt cu o forta. ,

r- ln procesul Interactiunii a doua corpuri, fiecare corp exercita o forta , a supra celuuhlt, ad1ca a par totdeauna simultan doua forte, numite. acftune I = reacftune. Care din aceste doua forte se numete actiune i care reactiune,

dep1nae de care corp se considera primul i care al doilea. Primul corp actio-neaza asupra celui de-al doilea cu o forta care se va numi ac ,iune, iar corpl~l .!!_ 01 ea actioneazi) (vom spune acum, reactioneaza) asupra primului cu o forta numita reactiune. Cele doua forte actioneaza simultan (in conceptia ~ , . , f , claslca newtonlana a actiunn instantanee la dlsta,.nta). .

Oriunde constatam o forta actionind asupra unui corp, ea este expresia actiunii unui alt corp din mediul inconjurator, -este o latura a interactiunii dintre cele doua corpuri. 0 forta unica, izolata, este o imposibilitate.

EXPERiMENT

1. Sa luam doua dinamometre, sa le cupHim prin ctrligele lor i apucin-du-le de inele sa le intindem ca in figura 2.6. Oricit le-am intinde, indicatiile dinamometrelor sint permanent identice,( forta cu care primul dinal!lometru a.ctioneaza asupra celui de-al doilea este ~gala ca marime i opusa ca sens cu forta cu care eel de-al doilea dinamometru actioneaza asupra primului. . 2. Punem pe dona carucioare un magnet i o hucata defier i prindem . carucioarele prin intermediul . unor dinamometre de obiecte fixe, ca in figura 2.7. Oricare ar fi distanta dintre magnet i hucata de fier, fortele de interactiu;ne aratate de dinamometre Sint egale in modul i de sensuri opuse.

Fig. 2.8. Fiecare di'namometru actioneaza asupra celuilalt cu o forta egala in modul ~i. de sens opus.

Fig. 2.7. Intera('tiunea dintre un magnet ~i o bucata de tier: St' a trag reeiproc, Pll forte egale tn modul ~i de senS\lri opuse.

Fig. 2.S. Oricare din elevi ar trage de sfoara, ambele carucioare se apropie ~i se intilnesc I mereu tn arela~i loc. ,

Fig. 2.9. Doua carucioare identice, a~ezate pe un plan orizontal ~i cuplate printr-un resort comprimat sint supuse reciproc unor forte egale in modul

f}i de sensuri opuse.

3 .. Pe doua carucioare stau doi elevi itrag de o sfoara (fig. 2.8). Indiferent care dintre ei trage activ ,scurtind" sfoara, amhele carucioare se vor intllni de fiecare data in acelai loc. Fiecare elev ac~ioneaza asupra celuilalt, prin intermediul sforii, cu o'forta egala in modul ide sens opus (ceea ce se poate constata cu ajutorul unor dinamometre intercalate).

4. Intr-o alta varianta a experientei doua carucioare identice sint aezate pe o sticla orizontala i cuplate printr-un resort comprimat, legat cu un fir. Daca ardem firul, cele doua carucioa.re se vor departa Ia fel, sub actiunea unor forte egale in modul i de sensuri opuse (fig. 2.9) .

6. Daca punem un corp pe o platforma orizontala (uoara) aezata pe un - -resort, corpul apasa pe ,platformli cu o forta F egaHi cu greutatea sa G i

-comprima resortul. Apare atunci o forta elastica de reactiune N din partea, resortului, aplicata corpului, egala in modul i de sens opus cu greuta~ea, astfel incit corpul v.a fi in repaus (fig. 2.10).

Acelai Iucru se intimpla cu orice corp atezat pe orice suprafata orizon tala, numa.i ca la materialele dure deformarea nu se observa cu ochiulliher.

.45

.t'tg. 2.10. Corpul a~ezat pe un resort n comprima cu o forta egala cu greutatea

_,.. .

sa G. Se na~te automat o reactmne elas. -.+

tica N din partea resortului, egala in modul ~i de sens _opus, aplicata corpului.

G

Fig. 2.11. Corpul suspendat de un resort (fir) intincle resortul cu o. forta ega!a

-+ cu greutatea sa G'. Se na9te

-> atunci. o forta elastica .F' din partea resortului, aplicata corpului, "'"llgala in modul 9i de sens ~pus tractiunii (greu-

-+ Uitii} G.

6. Jn alta variiinta, suspeudam corpul de un resort (de exemplu de un , dinamometrri) (fig. 2.11) .. ln punctul de legatura corpul ac~ioneaza asupra

resortului sau firului cu forta sa de greutate ~i il intinde. Apare atunci o for~a elastica din partea resortului sau a firului, aplicata corpului, egala in modul i de sens opus cu greutatea corpului (acesta fiind in repaus, in echilibru).

Nenumarate experien~e ~i masuratori dovedesc valabilitatea principiului acfiunilor reciproce sau principiului ac{iunii i reac{iunii:

fiecarei actiuni i se opune totd.eauna o reacfiune e ala in modul si de sen opus, sau alt e , acf~unile reciproce a doua corpuri sint totdeauna egale ca marime

.!_ dirijate in sensuri opuse..:. Cele doua forte, ac~iunea i reactiunea, stnt aplicate unor corpuri diferite,.

*i ac~wneaza pe aceeai hnw, hn1a care unete cele doua corpuri. Daca cele doua for~e ar ac~iona asupra aceluiai corp, acesta n-ar putea fi niciodata

acceler~t, deoarece cele doua forte ar da totdeauna rezultanta nula. Principiul ac~iunii ~i reactiunii p

f=-G 1

-+ -+

Fig. 2.1-l. Piatra este atrasa de Pamtnt cu o forta exact egala tn modul l?i de sens opus cu forta cu care Pamtntul este atras de pia-tra. Efectele acestor forte stnt tnsa cu. totul diferite din cauza maselor total diferite.

De ex em plu, o piatra esttL atrasa de Pamint. cu o fl)rta gravi-tationala egala cu greutatea sla. Dar i piatra, la rtndul e1, atrage Pamintul cu o forta egald in modul i de sens opus, aplicata in centrul Pamintului , (fig. 2.14). Efectele. acestor forte, egale in modul, sint

-~---"'"-tnsa cu totul difer~te, din canza deosebirii colosale in ptivin~a :ntaftei celor dona corpnri

La fel, fortele de atractie gra-vitatlonala reciproca tntre Luna i Pamint, intre oricare satelit i Pamiri.t, intre Pamtnt i Soare etc. sint egale in modul i opuse ca sens.

In cazul interactiunii electrostatic~, de asemenea, forta de atractie sau de respingere, exercitata de un purtator de sarcina asupra altuia, este totdeauna egala in modul i opusa ca sens fortei exercitate de eel de-al doilea purtator de sarcina asupra primului. Cele doua forte actioneaza pe aceea,i dreapta, dreapta care unete cei doi purtatori.

2.5. PRINCIPI UL S UPRAP UNERII FORTE LOR

Fie un punct material asupra caruia actioneaza trei forte care ii iac -+ -+ -+ e~hilibru: F 1 + F 2 F 3 = 0 (fig. 2.15 ). Aceasta tnseamna ca suma a. dou a

-- -forte, de exemplu, F 1 + F 2 este egala in modul i de sens opus cu cea de-a

treia forta: F1 +'F:a =-Fa.

' '

a b - -+ -+

'

' '

-t'lg. 2.15. Punct material supus Ia trei forte ,care t~i fac echilibru: F 1 + F2 + F3 = fL

48

_.,..

.Forta F 1 , aplicatii singurii punctului material, i-ar imprima o anumita 4. ~ ~ ~

acceleratie a1, conform legii fundamentale F 1 = ma1 For~a F 2, aplicata singura -+ - -

ar da o anumita acceleratie a2, F 2 = ma2 si la fel forta F 3 = ma, i-ar imprima r -+ -+

acceleratia a3 :'-cceleratiile sint proportionale cti' fortele. Dadi fortele F r, F 2 actioneaza simultan, acceleratia prod usa de ele trehRie sa fie egala in modul

.,..... ... -). ~

~i de sens opus cu acceleratia a3 prod usa de Fa, de vreme ce corpul rarnine in repaus. Prin urmare, acceleratia rezultanta se com une du a regula paralelo ramului, din acce eratiile pe care le-ar produce se arat fiecare for~a. componenta. daca ar ac ,wna sin ura. De asemenea acceleratia im rirnata

e o or a nu epinde de viteza momentana a corpului (in mecanica relativistii, ~leratia nu este riguros coliniara cu forta. i depinde side viteza corpului). - Astfel de consideratii conduc la formularea prittcipiului independenfei

actiunii fortelor sau principiului suprapunerii fortelor:

dadi mai multe forte ~cponeaza in acelasi timp asupra unui punct material, fiecare forta roduce ro ria sa acceleratie in mod inde endent ~ prezenta ce orlalte forte, acceleratia rezultanta fiind suma vectoriala a accelerafhlor tndividuale.

I. NEWTON a formulat acest principiu separat de celelalte trei principii sub forma urmatoare:

un corp, sub qcfiunea simultanii a douii forte, descrie diagonala unui paralelogram avind ca laturi aceste forfe, in acela$i timp in caT:e ar descrie separat fiecare laturii sub acfiunea forfei corespunziitoare.

EXEMPLU

-Daca aruncam o piatra, asupra ei actioneaza, pe de o parte, forta de greutate G, datorita interactiunii cu Pamintul, ~i pe de alta part() forta arhimedidi ~i fortele de frecare cu aerul, care se opun mi~carii, dar care intr-o prima aproximatie pot fi neglijate. Care este atunci acceleratia pietrei in mi~carea sa Iibera in atmosfera?

-. Conform legii fundamentale, n-avem decit sa impartim forta G la masa

\

1n practica, asupra corpu-lui ao~ioneaza aproape totdea-.una simultanmai mul,te for~e, printre care este for~a de gre-: utate, deoarece nici un corp de pe Pamint nu poate fi sustras interac~iunii sale gr~_vita~ionale cu Pamiritut In afara. de aceasta, corpul este in contact cu medil1l, adica in contact cu alte corpuri (a~ezat pe un plan,

.Fig. 2.16. tn ~i~eat'ea libera in vid a unui earp sprijinit de un perete, mi~cat at>,celeratia sa g este tot timpul aceea9i, orientata intr-un fluid). La contactul cu

-+ vertical in jos ca ?i forta de greutate G. un solid apar, dupa cum am

vazut, doua forte: reactiunea nor~ala i forta de frecare. In cazul Ini~dirii intr-un fluid (Ia c~ntactul 'solid-fluid) a par de asemenea doua forte: for~a arhimedica (verticala) ~i forta de rezistenta (opusa vitezei). ln sfir~it, asupra corpului se pot exercita forte de tractiune sau de impingere prin fire sau tije.

_Qill>a ce am ales corpul pe care vrem sa-l studiem ~i l-am izolat mintal, reprezentam toate fortele care actioneaza asupra lui i care sint evident rezul-tatul interactiunii sale cu mediul exteriQ.r.

In cazul unui r anroxi a r -un unct material toate fortele se a.E ica in acest punct, deci sint forte concrzrente si se compun dupa regula paralelogramului sau a poliyonului.

ln cazul micarii de translatie a unui corpfortele pot fi deplasate paral~l i comp~se_ ca la punctul material. .

:De altf~l, 1n rezolvarea problernelor practice nu este de obicei necesar sa compunem fortele, ci mai degraba sa Ie descompunem.

ln cazul particular cind toate fortele actioneaza pe directia mi~caru, alegem dreapta respectiva drept axa Ox (cu sensu! pozitiv ales in sensul vitezei) ~i consideram for~ele pozitive daca actioneaza in sensu! pozitiv ales i negative daca ac~ioneaza in sensu! negativ. Suma algebrica a acestor forte ne da forta rezultanta, pozitiva daca actioneaza in sensu! pozitiv i negativa in caz contrar:

"LF = ma.

(Litera sigma majuscula, 1;, inseamna su.tr~a.) Cind toa.te fortele actioneaza in planul mi~carii, alegem in acel plan doua

directii conve:ilaliii"e de obicei perpendiCulare intre ele) I descompunem toate fqr~ele, viteza i accelera~ia, dupa cele doua directii a ese. e cele mai ~ ori alegem axele perpendi:culare intre ele, Ox, Oy, atunc1 paralelogramul vee-~ un dreptunghi i componentele vectorilor se ohtin prin proiec{r;-__

ortogonala. Micarea plana se descompune in doua micari rectilinii dupsl cele

':.50

--

doua axe ~i deci pentru fiecare axa separat scriem formulele din cazul mi parii rectilinii. ---

-+ -+ -+ Prin urmare, ecuatia fundamentala R = 1;F = ma scrisa pentru .un

punct material dat se aplica totdeauna proiectind-o pe axele de coordonate ; ortogonale intre ele ( doua axe in cazul mi~carii plane ~i trei axe in cazul

micarii in spatiu), adica pe componente.

"* ma F1y + F2v + ...

(F;z + F2z + ... (2.14)

2.6. PRINCIPI UL RELATIVIT A Til iN MECANICA NEWTONIAN A ,.,y-"

1ndi pentru Galilei era clar ea prin experiente mecanice, efectuate in intE>riorul unni sistem (Iaborator), este imposibil de determinat mh;;carea rectilinie uniforma a acestuia fata de stele sau fata de Soare sau ehiar fata de Pamint. lata ce scria Galilei in 1632 despre fenomP..nele mecanice dintr-o cabina inchisa a unei corabii:

,Daca miscarea eorabiei este reetilinie uniforma, nu veti observa niei cea mai mid1 schimbare in toate fenomenele ;;i nu veti putea hotari, tinind seama de vreunul din aceste Jenomene, daea corabia se isca sau sta e loc. Srtrind veti arcurge e odea ace eas1 Istante ca si atunci cind corahia se afla in repaus, adica, datorita mi~dirii rapide a corl1biei nu veti face sarituri mai mari sp:r.e pu a d cit s- re )rora corabiei, de~i, ln tim 1~1 dt viraflati in aer, odeaua artea o usrt s~riturii sau, "arunelnd un obiect oarecare unui prieten, nu va trebui sil-l aruncati cu o forta mai mare, .ara w1etenul s.e.. va a a mga prora eorabiei, iar dumneavoastrri linga pupa, decit dacii vfti ocupa pozitii inverse idlturile dintr"o cana cu"' apa. atirnatii in t.avan vor ci'\t~ea v odea :;;i nict una din eie nu va cadea !ny directia pupe1, e~1 in tlmpu dt picatura se aflii in aer, eorabia lnainteaza .. 1\Iustele 1si vor continua zborul, indiferent in ee directie, ~i nieiodaUi. nu s' w l f' a ca de sa se t:.trlng~i spre artea ma i

-12iata e pupa, ca ~i cum ar obosi si:i. se tot tin(t duprt mersuleap1d al cori.l.biei." Acesta este de fapt continutuJ ptincipiulu i relativilf~!ii meeaniee. Principiul allui Gaiilei se poate formula fl.:c;tfpl:~~i o experienVi mer.

in mecanica dasidi newtoniana, ...reznlta d1 ~i f9P~a este ~QQOate determin~ cu ajutorul experientelor mecanice locale mi~carea rectilinie uniformli a laboratorului sliu fata de sistemele de referintli inertiale, dar poate determina o mi~care curbilinie accele-ratli a laboratorului. Astfel, prin. experiente mecanice efectuate chiar pe Pamint se poate dovedi mi~carea de rotatie diurnli a Pamlntului: amintim, de exemplu, celebra experientli a lui Foucault din 1851 cu rotatia planului de oscilatie al unui pendul.

PROBLEME REZOLVATE

1. Un clirucior cu ciment, cu masa m = 100 kg, este ridicat cu ajutorul unei macaralQ cu o forta F = 1,20 kN. Care este acceleratia cliruciorului?

-+ -+ Rezolvare. Asupra carueiorului actioneaza doua forte: greutatea G = mg, in jos, ~i

. -+ / . forta de tractiune F exercitata de macara prin cablu, in sus (neglijlim forta arhimedicli !;>i fortele de frecare) (fig. 2.17). Alegind axa Ox vertical in sus, ln.sensul mi~clirii, avem

F -~ mg . F - mg = ma, a = = 2,2 m/s2 m

0 b s e r vat i e. Forta F poate fi exer,citatli prin intermediul unui fir trecut peste scripete. Vom presupune totdeauna in problemele de mai jos eli firul este demasli ne-glijabila, subtire, flexibil ~i inextensibil.. De asemenea, vom presupune totdeauna eli scripetele este ideal, adica de masli neglijabila ~i cu frecliri neglijabile in Jagarele sale {cu rulmenti). ' Un scripete ideal schimba convenabil direcfia forJei: de o parte side alta a scripetelui forta de ip.tindere a firului va fi aceea~i. Se poate verifica aceasta cu ajutorul unor

dinamometre prinse de cele doua capete ale Cirului {fig. 2.18). Prin tensiunea din fir se intelege fortH ca r~

F intinde firul ~~ care se poate mlisura taind firul '-'"' ~i intercalind un dinamometru (fig. 2.1.9). Ten-

tx siunea din fir este o forta elastica care se dato-1

re~te deformarii (alung1rn) elastice a firulm.' 8 1.~ I Astfel de tensiuni in cabluri sau bare din cadrul diferitelor constructii (poduri, acoperi~uri etc.)

0 trebuie neaparat cunoscute pentru a alege cabin J sau bara de grosime corespunzatoare ca sa nu se rupa.

2. Peste un scripete ideal este trecut un fir de Pitt 2.11. La problema l'ezolvata 1, capet~le diruia sint atirnate doua corpuri de

52

/

Fig. 2.1~. Un scripete ideal (de inertie neglijabiUi ~i fred1ri neglijabile i'n lagare} schimba convenabil directia fortei: de o parte ~i de alta

/ a scripetelui forta de intindere a firu1ui (tensiunea din fir) este aceea~i.

mase m1 = 220 g ~i m2 = 230 g. Sa se calculeze acceleratia sistemului ~i tensiunea din fir (fig. 2.20). Rezolvare. Un scripete ideal schimbli convenabil direc#a fortei, deci de o parte ~i de alta a scripetelui tensiunea din fir este aceea~i. Asupra fiecarui corp actioneazli forta de tensiune din fir T in sus ~i forta de greutate in jos. Diferenta acestor doua forte produce acceleratia corpului. Cele doua corpuri,

. fiind legate prin fir, se mi~cli solidar, m2 in jos, mi in ~us, cu acc:'leratii egale in

Fig-. 2.19. Tensru-nea dintr-un fir esie forta care intinde firul ~i se ... poate masura cu un dina-mometru inserat pe

fir.

Fig. 2.20. Un cripete peste care ~'Ste- trecut un fir cu doua corpuri atirnate la capete (Ia exemplul rezclvat ~)

53

modul dar de sensuri opuse. Alegind pentru fiecare corp sensul pozitiv lll axei in sensul mi~carii sale, scriem ecuatia principiului II:

T - m1g = m1a, m2g T = m2a. Aici T, a, g reprezinta marime;:1. sau modulul tensiunii,: acceleratiei, respectiv accele-rafiei gravitationale, semnul ( +) sau (-) provine de la orientarea vectorilor respectivi fata de sensul pozitiP ales de noi pe axa mi~ciirii. Daca am inversa sensul axei, ecuatiH respectivi1 s-ar inmulti cu ( -1), adica toti membrii ~i-ar. schi~ba semnul. Prin adunarea membru cu membru a celor doua ecu~tii, obtinem acceleratia sistt-mului:

a = g m2 ml = g 230 - 220 0,218 mjs2. m1 + m2 220 + 230 lt5

Putem obtine acest rezultat direct, scriind ca forta (m2e: - m1g) este egala en masa sistemului' (m1 + m2) inmultita cu acceleratia sistemului a. Jntroducind expresia accele~atiei a in prima sau a doua ecuatie. de mai sus, gasim tensiunea din fir:

T = 2mtmzg = 2,20 N. mt + Tnz

a. Intr-un lift este suspendat de tavan un dinamometru cle care aUrna un corp cu masa m = 1,00 kg. Ce forta indica dinamometrul daca liftul se mi:;;d'i. cu acceleratia a = 2,0 mjs2 indreptata: a) in sus, b) in jos (fig. 2.21). RezolPare. Daca liftul este in repaus, resortul dinamometrului este in tins cu o forte egala cu greutatea corpului atirnat, acesta fiind in repaus:

F G = mg = 1,00 kg 9,8 m/s 2 =: 9,8 N. a) 1n primul caz, alegind sensul pozitiv in sus, in sensul acceleratiei, a vern pentru rorpul suspendat:

F.,..,.. mg::::;; ma,

m

.,___ ___ _

a b

54

de unde .I

F.= m(g + a) = 1,00 kg (9,8 + 2,0) m/s2 = 11-,8 N > G = 9,8 N. Ac~st caz are loc dnd liftul porne9te accelerat tn su&., Atunci corpul ramine la mceput putin in urma datorita inertiei sale_, resortul se tntinde, se na9te o fort~ elastica supli-mentara necesara pentru a accelera corpuL Exact la fel se inthp.pla dnJ' liftul coboara 9i iPcepe sa frineze (aceea9i acceleratie ca mai sus). Corpul in virtutea inertiei cauta sa-9i mentina viteza, intinde resortul, se na9te o forta elastica suplimentara care tl frtneaza. b) Alegtnd sensu