Centrul de Excelen la Matematic

Colegiul Naional Bnean, Timioara

20 februarie 2010INELE I CORPURI

Breviar teoretic

INELE

Se numete inel un triplet format dintr-o mulime nevid A i dou legi de compoziie , , care satisface condiiile:

este grup abelian;

este monoid;

legea este distributiv fa de legea .Dac, n plus, monoidul este comutativ, atunci inelul este inel comutativ.

Elementul neutru al grupului se mai numete elementul zero al inelului, iar elementul neutru al monoidului se mai numete elementul unitate al inelului. Dac este inel, atunci elementele inversabile ale monoidului se numesc elemente unitate ale inelului, iar mulimea acestora se noteaz cu .

Fie un inel i 0 elementul zero al inelului. Spunem c inelul are divizori ai lui zero, dac exist cu astfel nct . n acest caz, se numesc divizori ai lui zero n inelul A. Un inel comutativ care nu are divizori ai lui zero se numete inel integru sau domeniu de integritate.Teorem: Dac , atunci tripletul este un inel comutativ, numit inelul claselor de resturi modulo n.Observaie: Elementul este inversabil n inelul dac i numai dac a i n sunt prime ntre ele.

REGULI DE CALCUL NTR-UN INELTeorem: Fie A un inel. Atunci:1. .

2. Dac A are cel puin dou elemente, atunci .

3. i .

4. i .

Teorem: Fie un inel integru. Pentru orice trei elemente , cu , avem echivalenele:

1.

2.

CORPURI

Un inel se numete corp, dac:

1. este grup abelian cu elementul neutru 0.

2. este grup cu elementul neutru 1.

3. nmulirea este distributiv fa de adunare.

Dac, n plus, nmuirea este i comutativ, atunci corpul este comutativ.

Teorem: Un corp nu admite divizori ai lui zero, adic din .

Observaie: Fie unitatea imaginar (). Considerm j, k dou obiecte matematice ntre care introducem o nmulire astfel: . Expresia formal se numete cuaternion. Fie H multimea tuturor cuaternionilor. Tripletul este un corp necomutativ, numit corpul cuaternionilor.

Fie un ntreg liber de ptrate ( adic d nu se divide prin ptratul niciunui numr ntreg diferit de 1). Definim mulimea . Tripletul este un corp comutativ, numit corp ptratic.Exerciii propuse1. S se arate c, pe mulimea numerelor ntregi, legile determin o structur de inel comutativ i fr divizori ai lui zero. Determinai elementele inversabile ale inelului.

2. a) S se arate c matricea satisface relaia

b) Fie . S se arate c este un inel, n raport cu operaiile de adunare i nmulire a matricilor.

3. Pe mulimea R se definesc dou legi de compoziie . S se determine a, b, c astfel nct tripletul s fie corp comutativ.

4. Fie mulimea . Artai c este inel comutativ i c acest inel are divizori ai lui zero. Determinai elementele inversabile ale inelului.5. Fie un inel. Artai c , dac i , oricare ar fi , atunci inelul este comutativ.

6. Fie un inel cu proprietatea c , oricare ar fi . Artai c , oricare ar fi .

7. S se calculeze cte elemente inversabile fa de nmulire are inelul .8. S se determine suma elementelor inelului .

9. S se calculeze elementul n inelul .10. S se calculeze elementul .n inelul .

11. Fie . Determinai valorile lui n, astfel nct n inelul inversul lui s fie .

12. Rezolvai, n sistemul: .13. Fie matricea

, . Artai c A este inversabil i aflai inversa.14. Rezolvai n ecuaia: .15. n inelul considerm ecuaiile .

a) S se calculezecte elemente inversabile, n raport cu nmulirea, are inelul .

b) S se calculeze produsul soluiilor ecuaiei .c) S se calculeze suma soluiilor ecuaiei .

d) S se calculeze numrul de soluii ale ecuaiei .

e) S se calculeze probabilitatea ca, alegnd un element din inelul , acesta s fie o soluie a ecuaiei .Inelul - aplicaii interesante1.. Algoritmul lui Gauss de aflare a datei Duminicii Patelui Fie n anul n care se caut prima zi de Pate, zi notat cu x..

Se determin urmtoarele resturi:

Se calculeaz

Dac , atunci x se refer la o dat din aprilie, dac , atunci x reprezint o duminic din mai.

Exemplu:Vom calcula data primei zi de Pate n anul 2009, astfel:

Deci, prima zi de Pate n anul 2009 va fi duminic, 19 aprilie.

2. Criptarea i decriptarea mesajelor cu cifrul lui Cezar

Una dintre cele mai cunoscute tehnici de criptare este cifrul lui Cezar, care folosete o permutare circular pe literele alfabetului latin cu o cheie n mulimea:

012345678910111213141516171819202122232425

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

Pentru criptarea mesajului este folosit o funcie bijectiv, unde k reprezint cheia de criptare, , iar reprezint numrul corespunztor literei din mesajul care va fi criptat.

Pentru exemplificare, vom cripta mesajul SIMPOZION cu cheia k=11. Vom calcula:

Astfel, mesajul criptat devine : DTXAZKTZY

Pentru decriptarea mesajului, se folosete funcia, unde k reprezint cheia de decriptare, iar reprezint numrul corespunztor literei din mesajul de decriptat.

Pentru exemplificare, vom decripta mesajul DTXAZKTZY cu cheia k=11.

Astfel, mesajul decriptat devine : SIMPOZION.

3.Criptarea i decriptarea mesajelor cu sistemul Cardano

Sistemul Cardano este un sistem de criptare autosincronizabil cu cheie fluid. Un sistem de criptare se numete autosincronizabil, dac un caracter al cheii fluide se construiete nu numai cu ajutorul cheii k, ci i cu ajutorul unui numr fixat de cactere criptate n prealabil.Sistemul Cardano folosete pentru criptare o cheie fluid , unde y reprezint mesajul criptat ( literele obinute n urma criptrii), iar x reprezint mesajul clar ( ce urmeaz a fi criptat).

Pentru exemplificare, vom cripta cu cheia fluid mesajul MONOID. Utilizm literele alfabetului latin, iar operaiile se efectueaz n . De fiecare dat, se adun mesajul criptat obinut anterior, ca mai jos:

MONOID

x1214131483

z=151511521624

y115216241

BPCQYB

Pentru decriptare, se folosete . Pentru exemplificare, vom decripta mesajul BPCQYB, utiliznd scderea ca adunarea cu opusul n . Prin calcul, obinem urmtoarele date, pe care le atam schemei de decriptare de mai jos.

BPCQYB

y115216241

k=151511521624

x1214131483

MONOID

Am obinut mesajul decriptat MONOID. Material realizat de: prof. Adriana Bnzar i prof. Victoria Popa,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timioara_1328123259.unknown

_1328126782.unknown

_1328127725.unknown

_1328128542.unknown

_1328194792.unknown

_1328194800.unknown

_1328194804.unknown

_1328194806.unknown

_1328194808.unknown

_1328195842.unknown

_1328194807.unknown

_1328194805.unknown

_1328194802.unknown

_1328194803.unknown

_1328194801.unknown

_1328194796.unknown

_1328194798.unknown

_1328194799.unknown

_1328194797.unknown

_1328194794.unknown

_1328194795.unknown

_1328194793.unknown

_1328194739.unknown

_1328194790.unknown

_1328194791.unknown

_1328194789.unknown

_1328128840.unknown

_1328128911.unknown

_1328128771.unknown

_1328128168.unknown

_1328128399.unknown

_1328128506.unknown

_1328128372.unknown

_1328127968.unknown

_1328128027.unknown

_1328127796.unknown

_1328127282.unknown

_1328127512.unknown

_1328127623.unknown

_1328127650.unknown

_1328127584.unknown

_1328127392.unknown

_1328127440.unknown

_1328127351.unknown

_1328126900.unknown

_1328127191.unknown

_1328127239.unknown

_1328126957.unknown

_1328126812.unknown

_1328125665.unknown

_1328126119.unknown

_1328126758.unknown

_1328126514.unknown

_1328126600.unknown

_1328125859.unknown

_1328126018.unknown

_1328125716.unknown

_1328123728.unknown

_1328123979.unknown

_1328125601.unknown

_1328123846.unknown

_1328123467.unknown

_1328123572.unknown

_1328123341.unknown

_1328120964.unknown

_1328121797.unknown

_1328122721.unknown

_1328122913.unknown

_1328123213.unknown

_1328122834.unknown

_1328122233.unknown

_1328122671.unknown

_1328122457.unknown

_1328122184.unknown

_1328121329.unknown

_1328121461.unknown

_1328121499.unknown

_1328121368.unknown

_1328121091.unknown

_1328121279.unknown

_1328121045.unknown

_1328120070.unknown

_1328120396.unknown

_1328120872.unknown

_1328120901.unknown

_1328120785.unknown

_1328120298.unknown

_1328120347.unknown

_1328120251.unknown

_1328119437.unknown

_1328119532.unknown

_1328119965.unknown

_1328119493.unknown

_1328119403.unknown

_1328119294.unknown

_1328119329.unknown