Exerciţii cu matrice - · PDF fileProfesor Blaga Mirela-Gabriela Exerciţii cu matrice 1)Se...
1
Profesor Blaga Mirela-Gabriela Exerciţii cu matrice 1)Se consideră matricea ܣ()= ൭ 2 2 2 2 ൱ , ∈ℝ. a)Calculați ݐ൫ܣ(0)൯. b)Determinați pentru care ݐ൫ܣ()൯ = 0. c)Aflați matricea ∈ ܯଷ,ଵ (ℝ), știind că ܣ(1) ∙ = ൭ 4 5 4 ൱. 2)Fie matricea ܣ()= ൭ +1 0 1 −1 +1 3 0 ൱∈ ܯଷ (ℝ). a)Determinați parametrul real astfel încât matricea ܣ() să fie inversabilă. b)Aflați inversa matricei ܣ(−1). c)Rezolvați ecuația ܣ(−1) ∙ = ൭ 2 3 0 1 −2 1 ൱. 3)Se consideră matricele ܣ= ൭ 3 1 0 1 0 1 0 1 −3 ൱ , ܤ= ൭ 1 −3 −1 −3 9 3 −1 3 1 ൱∈ ܯଷ (ℝ). a)Calculați ݎ ܣși ݎܤ. b)Aflați ܤ , ∈ℕ ∗ . c)Arătați că ( ܣ+ ܤ) = ܣ + ܤ , ∀ ∈ ℕ ∗ . 4)Fie matricea ܣ( ݔ)= ൭ ݔ1 1 1 ݔ1 1 1 ݔ൱∈ ܯଷ (ℝ). a)Arătați că ݐ൫ܣ(ݔ)൯ =( ݔ+ 2)( ݔ− 1) ଶ . b)Aflați inversa matricei ܣ(2). c)Determinați perechile de numere naturale (, ) pentru care matricea ܣ() ܣ∙() are suma elementelor egală cu 24. 5)Se consideră matricea ܣ( ݔ)= ൭ 1 ݔ0 0 1 0 0 0 ௫ ൱∈ ܯଷ (ℝ), ∈ (1, ∞). a)Calculați ݐ൫ܣ(10)൯, pentru = 2. b)Arătați că ܣ( ݔ) ܣ∙(ݕ)= ܣ( ݔ+ ݕ). c)Rezolvați ecuația ܣ(1) ܣ∙(2) ∙ … ܣ∙()= ܣ(55), ∈ℕ ∗ .
Transcript of Exerciţii cu matrice - · PDF fileProfesor Blaga Mirela-Gabriela Exerciţii cu matrice 1)Se...
Profesor Blaga Mirela-Gabriela
Exerciţii cu matrice
1)Seconsiderămatricea퐴(푎) =2 푎 푎푎 2 2푎 푎 2
, 푎 ∈ ℝ.
a)Calculați푑푒푡 퐴(0) .
b)Determinați푎pentrucare푑푒푡 퐴(푎) = 0.
c)Aflațimatricea푋 ∈ 푀 , (ℝ),știindcă퐴(1) ∙ 푋 =454
.
2)Fiematricea퐴(푎) =푎 + 1 푎 0
1 −1 푎 + 13 0 푎
∈ 푀 (ℝ).
a)Determinațiparametrulreal푎astfelîncâtmatricea퐴(푎)săfieinversabilă.
b)Aflațiinversamatricei퐴(−1).
c)Rezolvațiecuația퐴(−1) ∙ 푋 =2 30 1−2 1
.
3)Seconsiderămatricele퐴 =3 1 01 0 10 1 −3
,퐵 =1 −3 −1−3 9 3−1 3 1
∈ 푀 (ℝ).
a)Calculați푟푎푛푔퐴și푟푎푛푔퐵.
b)Aflați퐵 , 푛 ∈ ℕ∗.
c)Arătațică(퐴 + 퐵) = 퐴 + 퐵 ,∀푛 ∈ ℕ∗.
4)Fiematricea퐴(푥) =푥 1 11 푥 11 1 푥
∈ 푀 (ℝ).
a)Arătațică푑푒푡 퐴(푥) = (푥 + 2)(푥 − 1) .
b)Aflațiinversamatricei퐴(2).
c)Determinațiperechiledenumerenaturale(푚, 푛)pentrucarematricea퐴(푚) ∙ 퐴(푛)
aresumaelementeloregalăcu24.
5)Seconsiderămatricea퐴(푥) =1 푥 00 1 00 0 푎
∈ 푀 (ℝ),푎 ∈ (1,∞).
a)Calculați푑푒푡 퐴(10) ,pentru푎 = 2.
b)Arătațică퐴(푥) ∙ 퐴(푦) = 퐴(푥 + 푦).
c)Rezolvațiecuația퐴(1) ∙ 퐴(2) ∙ … ∙ 퐴(푛) = 퐴(55),푛 ∈ ℕ∗.
