Semnale si Sisteme. Setul de probleme nr. 4

Sisteme: proprietati, raspuns ın timp, regim permanent si tranzitoriu

Problema 4.1. Se considera sistemul cu timp continuu u 7→ y, definit de

a) y(t) = h(t)u(t)

b) y(t) = h(t)− 2u(t)

Sa se discute liniaritatea, invarianta ın timp si cauzalitatea acestor sisteme ın functie de h.Aceeasi problema pentru cazul discret. Caz particular: h(n) = 1(n). Calculati ın acest caz raspunsulsistemului de la punctul b) la intrarile u1(n) = 1

21(n), respectiv u2(n) = −121(n). Ce se poate spune

despre liniaritatea acestui sistem?

Problema 4.2. Raspunsul unui sistem de convolutie la impuls Dirac este y⊥(t) = sin 2t1(t). Este sistemulcauzal? Determinati raspusnul la intrarea u(t) = 1(t− 3).

Problema 4.3. Raspunsul la intrare treapta al unui sistem de convolutie discret este y1(n) = 1(n − 1).Determinati functia pondere a sistemului si calculati raspunsul sistemului la intrarea u(n) = n 1(n).

Problema 4.4. Sa se precizeze care din urmatoarele sisteme de convolutie caracterizate prin raspunsurila intrare impuls h(t) sunt stabile:

a) h(t) = e2t 1(−t); h(t) = e−t 1(t); h(t) = e−2t.

b) h(t) = 3e−t sin 3t 1(t); h(t) = t cos t 1(t).

c) h(t) = t2e−t1(t).

Problema 4.5. Utilizati criteriul Hurwitz pentru a decide daca sistemele de mai jos sunt stabile sau nu:

a) H(s) =K(s− 1)

s3 + s2 + s+ 1, K > 0. Aceeasi problema pentru G(s) =

H(s)

1 +H(s).

b) H(s) =s2 − 1

s8 + s4 + 1.

c) H(s) =1

s3 + as2 + 8s+ b. Discutie dupa a, b.

d) H(s) =2s+ 1

s4 + 3s3 + 2s2 + s+ 1.

Problema 4.6. Calculati raspunsul sistemelor de mai jos la intrarile u1(t) = 1(t), u2(t) = t1(t), sirespectiv u3(t) = sin t1(t):

a) H1(s) =s− 1

s+ 1.

b) H2(s) =1

(s− 1)2.

c) G1(s) =1

s2 + 4s+ 5.

1

d) G2(s) =1

s(s2 − 1).

Problema 4.7. Determinati raspunsul ın frecventa pentru sistemul de convolutie avand functia pondereh(t) = e−t cos 3t 1(t).

Problema 4.8. Se considera sistemul descris de ecuatia diferentiala

y + 2y + y = u.

Sa se determine functia pondere a sistemului definit de aceasta ecuatie.Sa se calculeze raspunsul indicial1 al sistemului. Calculati de asemenea si iesirea acestuia pentru

u(t) =

{3 , 0 ≤ t < 30 , in rest

Problema 4.9. Consideram din nou sistemul mecanic de la problema 1.1 cu m = 1kg, k = 2N/m,b = 2kg/sec. Daca la momentul t = 0 corpul se gaseste ın repaus (x = 0, v = 0) calculati pozitia acestuiadupa 10 secunde daca: a) F (t) = 10N=ct.b) F (t) este data ın figura 1.

Figura 1: F (t)

Problema 4.10. a) Care este regimul stationar pentru u(t) = 1(t) al lui

H(s) =1

s2 + s+ 1?

Dar regimul tranzitoriu ?

b) Determinati raspunsul permanent si tranzitoriu al sistemului de convolutie h(t) = e−2t sin t, t ≥ 0, laintrare rampa.

c) Calculati raspunsul sistemului G(s) =1

s2 + 1la intrarea u(t) = cos t. Analizand numai rezultatul

obtinut, ce puteti spune despre stabilitatea acestui sistem ? Aceeasi problema pentru u(t) = cos 2t.

Problema 4.11. Determinati regimurile permanente si tranzitorii ale sistemelor H(s) =s+ 1

s2 + 2s+ 2,

G(s) =1

s2 + 2la semnalele de intrare u(t) = 1(t) si v(t) = sin t1(t).

Problema 4.12. Raspunsul permanent la intrare treapta unitara al unui sistem de ordinul 1 este 2 1(t)iar timpul tranzitoriu este de 3 secunde. Determinati sistemul.

1raspunsul la intrare treapta unitara

2

Problema 4.13. Se considera sistemul ın reactie negativa unitara avand functia de transfer pe calea

directa8

s(s+ 4). Determinati functia de transfer ın bucla ınchisa si raspunsul sistemului ın bucla ınchisa

la intrare treapta. Calculati suprareglajul, eroarea stationara si timpul tranzitoriu.

Problema 4.14. Fie sistemul ın bucla ınchisa avand functia de transfer pe calea directa H(s) =K

s(s+ 2),

K > 0. Specificam urmatoarele performante de regim tranzitoriu la intrare de tip treapta: timp de varftv = 1.1 sec, suprareglaj σ = 5%.

a) Pentru ce valori ale lui K pot fi satisfacute simultan cele 2 cerinte de performanta?

b) In cazul ın care acestea nu pot fi satisfacute simultan, gasiti o valoare de compromis pentru K astfelıncat cele 2 cerinte sa fie relaxate ıntr-o maniera acceptabila.

Problema 4.15. Fie sistemele G1(s) =2

s+ 2si G2(s) =

2(1− s)

(s+ 2)(s+ 1). Calculati raspunsurile la intrare

treapta unitara si comparati regimurile permanente (yp,1, yp,2) si tranzitorii (yt,1, yt,2) ale celor douasisteme. Ce constatati ? De unde provine diferenta dintre cele doua raspunsuri tranzitorii ? Scrieti unprogram Matlab care traseaza raspunsurile de mai sus.

http://www.riccati.pub.ro/

21 noiembrie 2010

3