Elemente de teoria aşteptării ( teoria firelor de aşteptare; teoria cozilor )

Elementele problemei fenomenului de aşteptare :Sursa : mulţimea unităţilor care solicită un serviciu la un moment dat. Sosirea unităţilor în sistemul de aşteptare determină o variabilă aleatoare X care reprezintă numărul de unităţi care intră în sistem în unitatea de timp. Sistemul de aşteptare, format din: - Firul de aşteptare : este determinat de numărul unităţilor care aşteaptă (finit sau infinit) - Statia de serviciu : un lucrator , o masina , etc. care efectueaza serviciul solicitat. Timpul de servire al unei unitati in statia de serviciu este o variabila aleatoare Y

Indicatorii principali ai problemei de aşteptare .1) m - numărul de unităţi ale populaţiei din sursă care

sosesc în sistem care poate avea valorile: - ∞ - sistem deschis - finit – sistem închis2) s - numărul de staţii de serviciu ;3) pn(t) -probabilitatea ca în sistemul de aşteptare să se găsească “n” unităţi la momentul “t” oarecare (pn) ;4) n(t) - numărul de unitati ce se gasesc in sistemul de asteptare (fir + serviciu) la momentul “t”; este o variabilă aleatoare cu distribuţia:

4’) - numărul mediu de unităţi din

sistem la un moment t 5) nf(t) - numărul de unităţi din firul de aşteptare la un

moment dat “t”;

nf(t )este o variabilă aleatoare,care,ţinând cont că există unităţi

în firul de aşteptare atunci când n > s, are distribuţia:

5’) f(t) ş - numărul mediu de unităţi

care se află în fir;

6) ns(t) –numărul de unităţi care sunt servite la un moment “t”:

ns(t) n(t) - nf(t) → variabila aleatoare; 6’) (t) (t) - (t) - numărul mediu de unităţi care sunt servite la momentul “t” ;7) P (n (t)> k) - probabilitatea ca numărul unităţilor din

sistem la momentul “t” să fie mai mare decât k : P (n(t)> k) 1-P(n(t) k) 1- (po

p1 ... pk )8) - timpul mediu de aşteptare al unei unităţi în fir ;

9) - timpul mediu de aşteptare al unei unităţi în sistem .

3.5.1 Legile probabilistice ale sosirilor şi servirilor

Fie X variabila aleatoare discretă ce reprezintă numărul de unităţi sosite în unitatea de timp, într-un sistem de aşteptare. În condiţiile :

a) posibilitatea sosirii unei unităţi la un moment dat este costantă şi nu depinde de ceea ce s-a întâmplat anterior ;

b) posibilitatea unei sosiri într-un interval de timp (t , tΔt) este propor- tională cu lungimea , Δt , a intervalului;

c) probabilitatea ca în intervalul de timp (t , Δt) , Δt foarte mic, să avem mai mult de o sosire este aproximativ egală cu zero variabila aleatoare X , are repartiţia Poisson , cu parametrul λt

unde : Pn(t) - probabilitatea ca la momentul t, numărul de unităţi sosite să fie n ;

λ- numărul mediu de unităţi sosite în unitatea de timp. Observaţie: Acceptând aceleaşi condiţii a) , b) , c) şi pentru numărul unităţilor servite de către o staţie care lucrează fără întrerupere , se obţine ca numărul de servicii ce pot fi făcute de o staţie într-un timp t , este o variabilă aleatoare poissoniană , cu parametru μt , unde μ este numărul mediu de unităţi servite în unitatea de timp. Variabila aleatoare Y1 , timpul dintre două sosiri are o repartiţie exponenţială f(t) λ e –λ t

cu valoarea medie

M(Y1) - intervalul mediu între două sosiri consecutive este inversul numărului mediu de sosiri în unitatea de timp. Observaţie: În mod similar,varibila aleatoare Y,timpul dintre două servicii consecutive are o repartiţie exponenţială de parametru μ şi deci intervalul mediu dintre două servicii

cosecutive este .

Exemplu: Cu ajutorul unor metode statistice s-a stabilit că sosirile la magazia de scule a unei secţii de prelucrări mecanice sunt o variabilă de tip Poisson cu numărul mediu de sosiri de 120 secunde. Să se determine:

a) intervalul mediu dintre două sosiri consecutive;b) numărul mediu de sosiri pe minut;c) probabilitatea ca în 75 secunde să nu fie nici o

solicitare. Rezolvare:

a) Unitatea de timp: 1 min.

120 ..... 60 min λ 2 sosiri /minut intervalul

mediu între 2 sosiri 0.5 min.

b) timpul mediu de servire 20 sec. numărul mediu de unităţi servite în unitatea de timp μ 3 serviri / min.

c) t 75 sec.

1.5.2Ecuaţiile de stare pentru un fenomen de aşteptare ]n regim staţionar

Regim staţionar probabilităţile pn(t) nu depind de momentul “t” , deci sunt constante la orice moment, pk(t)şpk. In acest caz se demonstrează că:

(1)

λ0, λn-1 – parametrul sosirilor (numărul mediu de sosiri in unitatea de timp) este dependent de numărul unitătilor din sistem ; μ1, , μn – parametrul serviciilor, numărul mediu de unităţi servite in

unitatea de timp, dependent de numărul unităţilor din sistem.

3.5.3 Modele de aşteptare

Modelul M( ∞ , 1, 1)

∞ - o infinitate de unităţi in sursa (fenomen de asteptare deschis);

1 – un fir de asteptare; 1 – o staţie de servire.

λn – constant, deoarece populaţia din care provin sosirile este suficient de mare; μn - constant, pentru ca există o singură staţie de servire, deci nu depinde de numărul unităţilor din sistem. Rezultă din (1):

Unde ρ λ/μ este factor de serviciu sau intensitatea traficului Pentru ρ > 1 - NU este suficientă o singură staţie de deservire (avem o aglomerare , crestere a sirului de asteptare). Pentru ρ < 1 se obtine:

po1-ρ ; pnρn(1-ρ) ;

numărul mediu de unităţi din sistem;

numărul mediu de unităţi din fir;

numărul mediu de unităţi in curs de servire; numărul mediu de unităţi servite in unitatea de timp;

timpul mediu de asteptare al unei

unităţi de sistem;

timpul mediu de asteptare al unei unităţi

de sistem;

P(n>k)ρk1 – posibilitatea ca numărul unitaţilor n aflate in sistem

să fie mai mare decat un număr k.

Exemplu: Cu ajutorul unor metode statistice s-a stabilit că sosirile la magazia centrală de scule deservită de un singur gestionar sunt poissoniene cu media λ30 persoane pe oră, iar timpul de servire a unei persoane are o repartiţie exponenţială cu media de 90 sec. Să se determine:

a) Probabilitatea ca in sistemul de asteptare să nu existe nici un solicitant la un moment dat;

b) Probabilitatea ca in sistem să existe 3 solicitanţi la un moment dat;

c) Numărul mediu de solicitanţi din sistemul de asteptare, numarul mediu de solicitanţi care asteaptă (din fir), numărul mediu de solicitanţi care sunt serviţi la un moment dat si numărul mediu de solicitanţi serviţi efectiv intr-o unitate de timp.

d) Timpul mediu de asteptare a unui solicitant pană să fie servit si timpul mediu de asteptare in intreg sistemul de asteptare.

Rezolvare: Unitatea de timp: 1 oră; λ 30 sosiri/oră; μ 3600/9040 serviri/oră;

ρ intensitatea timpului

a) p0 1 – ρ 0,25b) p3 ρ3 p0 0,753 0,25 0,106

c)

d)

Observaţie: Dacă firul de asteptare este limitat, adică sistemul de asteptare are capacitatea mărginită la N unităti deci in firul de asteptare se pot afla cel mult N – 1 unităti, atunci formulele modelului M(∞, 1, 1) devin:

nu mai este necesară conditia ρ<1; unitătile care sosesc in sistem cand n>N, pleacă in altă parte.

Modelul M( ∞ , 1, s)

Unde reprezinta factorul de serviciu al tuturor

statiilor.

Exemplu: La intrarea in stadion, la un meci de fotbal, au fost amplasate 3 case de bilete. Din datele anterioare se stie ca sosirile sunt poissoniene, cu media λ ş 12 spectatori pe minut, iar timpul mesiu de servire – distributie exponentiala negativa – este de 10 sec. Sa se determine numarul mediu de spectatori care asteapta sa intre pe stadion si timpul mediu de asteptare la coada.

λ 12 sosiri/min.μ 6 serviri/min.ρ3

- factorul de serviciu al tuturor statiilor

Modelul M(m,1,1)

In cadrul modelelor anterioare s-a presupus ca populatia din sursa este infinita. In practica, de cele mai multe ori, sosirile sunt in numar foarte mare, insa finite. De exemplu: intr-un atelier exista m (numar finit) masini cu aceleasi caracteristici tehnologice si care functioneaza independent unele de altele. Masinile se pot defecta in mod intamplator si sosesc la reparat dupa o lege poissoniana cu parametrul λ; pentru reparatie

exista un singur mecanic (statie), iar durata reparatiei unei masini urmeaza o repartitie exponentiala (cu parametrul μ). Acest exemplu constituie un model de asteptare cu un fir de asteptare, o statie, populatie finita. Pentru determinarea caracteristicilor acestui model se observa ca probabilitatea ca in intervalul de timp Δt sa soseasca in sistem o unitate, atuci cand exista n unitati in sistem din cele m ale sursei, este cu atat mai mica, cu cat numarul unitatilor ramase in sursa este mai mic. De aceea se poate scrie:

Deoarece exista o singura statie, parametrul μ nu depinde de numarul de unitati din sistem, el fiind constant, μ. Inlocuind in (1) rezulta:

(μ de n ori)

Pentru calculul lui p0 se porneste de la relatia:

Caracteristicile acestui model vor fi:- numarul mediu de unitati aflate in sistem:

- numarul mediu de unitati care sunt servite la un moment dat va fi dat de aceeasi expresie ca la modelul modelul M(∞, 1, 1) deoarece exista o singura statie de servire:

- numarul mediu de unitati aflate in fir:

- timpul mediu de asteptare a unei unitati din fir este:

- timpul mediu de asteptare in sistem:

Exemplu: Intr-un atelier cu 10 masini de acelasi tip la defectarea acestora sunt reparate de catre un mecanic. Stiind ca sosirile sunt de tip poissonian cu λ=1/5 şi durata reparaţiei este exponenţială de parametrul μ = 2, să se calculeze caracteristicile modelului (se consideră unitatea de timp 1 zi = 8 ore). m 10

Observaţie: Probabilitatea ca trei masini sa fie defecte:

Modelul M(m,1,s) - Ca si in cazul M(m,1,1), cand populaţia sursei este finita parametrul λ, reprezentand numarul mediu al sosirilor pe unitatea de timp, depinde de numarul unitatilor ramase in sursa, fiind proportional cu acestea: λn (m-n) λ - Celalat parametru, μ – numărul mediu al venirilor pe unitatea de timp, se va scrie ca si in modelul M(∞,1,s). Cu aceste valori rezulta:

unde: factorul de serviciu al tuturor statiilor

factorul de serviciu al fiecarei statii

Celelalte caracteristici ale modelului se calculeaza pornind de la relatiile lor de definire prezentate anterior.

Exemplu: Intr-o sectie sunt 9 masini identice si sunt angajati 4 mecanici care intervin numai in momentul in care o masina se defecteaza, pentru a o repara. Stiind ca reparatia unei masini este o variabila aleatoare cu parametrul μ = ½ masini pe ora si ca durata medie de functionare a unei masini fara nici o defectiune este de 5 ore, sa se determine:

a) probabilitatea ca in sistemul de asteptare sa se gaseasca 3 masini, apoi 4 masini.

b) Numarul mediu de masini defecte ce asteapta la un moment dat sa fie reparate.

c) Timpul mediu de asteptare in fir si in sistem.

Rezolvare: Unitatea de timp: ora m 9 s 4 λ 1/5 μ 1/2

In multe dintre fenomenele de asteptare preocuparea principala este reducerea timpilor de asteptare/inactivitate proiectand spatii de servire cat mai satisfacatoare, dar evident nu se poate merge cu marirea acestora la infinit. Deci va fi necesara determinarea unui plan optim de asteptare care sa fie cat mai convanabil din punct de vedere economic. Pentru aceasta se studiaza diversele variante ale modelului de asteptare, comparandu-se indicatorii intre ei: timpi de asteptare, numar de statii. In acelasi timp trebuiesc calculate cheltuielile globale, pe unitatea de timp ale fiecarei variante din care se alege cea cu cheltuielile globale minime.