ELEMENTE DE TEORIA

ELASTICITIIProblema general a teoriei elasticitii o reprezint determinarea

strii de tensiuni, deformaii i deplasri dintr-un corp elastic, atunci cnd

se cunosc: forma i dimensiunile acestuia, modul de ncrcare i rezemare,

precum i caracteristicile elastice ale materialului.

Ecuaiile fundamentale ale Teoriei elasticitii (care vor fi prezentate n cele ce urmeaz) sunt scrise pentru un element de volum infinitezimal i sunt

grupate astfel:

ecuaii de echilibru (Cauchy);

ecuaii geometrice (relaii ntre deformaii si deplasri);

ecuaii constitutive (legea lui Hooke).

n ecuaiile din primele dou grupe nu intervin caracteristici de material i,

n consecin, ele sunt universal valabile. n ecuaiile constitutive intervin aceste

caracteristici i prin urmare acestea depind de natura materialului.

Modelul clasic al Teoriei elasticitii i Rezistenei materialelor adecvat comportrii oelului i altor materiale (n special metalice) are la baz

urmtoarele ipoteze simplificatoare:

continuitatea materiei;

omogenitatea;

elasticitatea perfecta i izotropia materialelor;

ipoteza deformaiilor mici;

proporionalitatea dintre tensiuni i deformaii;

principiul lui Saint Venant;

ipoteza strii naturale.

Ipoteza lui Bernoulli este admis numai n Rezistenei materialelor.

Starea de tensiuni ntr-un punct al unui corp Starea general de tensiuni

Se consider cazul general al unui corp solid solicitat de un sistem

oarecare de sarcini. ntr-un punct oarecare din interiorul corpului se poate duce

un numr nedefinit de faete orientate diferit. La fiecare din aceste faete

elementare corespunde un anumit vector-tensiune pr (figura 2.1). Ansamblul

vectorilor tensiune care acioneaz pe faetele elementare ce trec prin punctul

considerat caracterizeaz starea de tensiune din acest punct i poart denumirea

de fascicolul tensiunilor. Ansamblul fascicolelor tensiunilor ntr-un volum poart

denumirea de cmp de tensiune. Cmpul de tensiune poate fi uniaxial, biaxial,

triaxial.

z

A

dzdx

O

xB

dy

C

p

y

Figura 2.1.

S-a definit n cursul de Rezistena materialelor tensiunea medie pe un

element de arie A (figura 2.2a) prin relaia:

2

AR

=p Amed

Considernd materia continu se poate restrnge orict de mult elementul

de suprafa n jurul punctului M, trecerea la limit fiind permis n aceste

condiii. Se obine astfel valoarea tensiunii n punctul M:

dA

Rd=p lim

0dAM

Tensiunea fiind o mrime tensorial depinde att de Rd r ct i de orientarea

elementului de suprafa dA.

Tensiunea poate fi descompus (figura 2.2b) n dou componente:

- pe direcia normalei n componenta xx, numit tensiune normal

(orientat de direcia axei Ox);

- pe planul seciunii n componenta , numit tensiune tangenial.

O x

y

z

A

M x

y

z

O dA M

xx

p R

a) b)

Figura 2.2.

3

La rndul su, componenta poate fi descompus n planul yOz, (la care Ox

este normal) obinndu-se componentele xy i xz (figura 2.3) care sunt

paralele cu axele Oy i respectiv Oz.

xz

xy

x

y

z

O dA

M xx

xx

p

Figura 2.3.

Starea de tensiuni dintr-un punct oarecare al corpului este perfect

determinat dac se cunosc tensiunile pe trei plane de coordonate care trec prin

acel punct. Dac poziia planelor de coordonate este arbitrar, pe fiecare dintre

aceste plane exist, n cazul general, att tensiuni normale ct i tensiuni

tangeniale.

Din interiorul unui corp solid elastic aflat n echilibru, ntr-o stare general

de tensiuni, se izoleaz un paralelipiped elementar infinitezimal de dimensiuni

dx, dy, dz (figura 2.4.). Paralelipipedul se raporteaz la un sistem de axe

triortogonal.

4

Figura 2.4.

Pentru stabilirea direciei i sensului tensiunilor se adopt conveniile: sunt

considerate pozitive faetele elementului izolat pentru care versorul normalei

(care pleac din faet) este ndreptat n sensul pozitiv al unei axe i negative

faetele care au versorul orientat n sensul negativ al unei axe.

Pe faetele paralelipipedului elementar se prezint componentele

tensiunilor. O tensiune este pozitiv dac:

- acioneaz pe o faet pozitiv i este orientat n sensul pozitiv al unei

axe;

- acioneaz pe o faet negativ i este orientat n sensul negativ al unei

axe.

n figura 2.4. se prezint starea spaial de tensiuni. Toate tensiunile

prezentate sunt pozitive, conform conveniei de semn prezentat anterior.

Tensiunile care acioneaz pe o faet pozitiv sunt considerate negative dac

sunt orientate n sensul negativ al unei axe, iar tensiunile care acioneaz pe o

faet negativ sunt considerate negative dac acioneaz n sensul pozitiv al

unei axe.

Cunoaterea celor 9 componente ale tensiunilor n orice punct al unui corp

nseamn cunoaterea strii de tensiuni din acel corp. Aceasta este starea

general de tensiuni. Rareori toate aceste tensiuni apar simultan.

5

Tensiunea este o mrime tensorial. Componentele tensorului tensiunilor

pentru starea general de tensiuni pot fi prezentate n form matriceal astfel:

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxxT

(2.1)

Semnificaia indicilor este urmtoarea: primul indice indic normala la faeta

pe care acioneaz tensiunea, iar al doilea axa cu care aceasta este paralel.

Prin urmare fascicolul tensiunilor ntr-un punct poate fi reprezentat printr-

un tensor de ordinul trei, pe care l vom denumi tensor-tensiune. Datorit

proprietii de dualitate a tensiunilor tangeniale (xy = yx , zy = yz , zx = xz)

componentele tensorului tensiunilor dispuse simetric fa de diagonala principal

a tensorului sunt egale ntre ele ceea ce ne permite s denumim tensorul

tensiunilor, tensor simetric de ordinul al doilea.

Tensorul tensiunilor se poate descompune n dou componente (aceast

descompunere convenional este util n calcule):

DS TTT += (2.2)

ST reprezint tensorul sferic i caracterizeaz deformaia volumic n

jurul unui punct fiind dat de relaia:

=

m00

0000

T mm

S

(2.3)

unde 3

zzyyxxm

++= reprezint valoarea medie a tensiunilor normale

pe planele de coordonate care mai este denumit i tensiune normal octaedric.

6

DT reprezint deviatorul tensorului tensiunilor, care caracterizeaz

modificarea formei n jurul unui punct i se calculeaz cu relaia:.

=

mzzzyzx

yzmyyyx

xzxymxx

DT

(2.4)

Starea de tensiuni dintr-un punct al corpului este determinat dac se

cunosc tensiunile pe trei plane de coordonate care trec prin acel punct. n fiecare

punct al unui corp exist trei plane pentru care tensiunile tangeniale sunt

nule, numite plane principale. Tensiunile de pe aceste plane se numesc tensiuni

(normale) principale (1, 2, 3). Intersecia planelor principale formeaz axele

numite direciile principale ale tensiunilor (figura 2.5.).

Se vor folosi urmtoarele notaii pentru tensiunile principale:

lqp

sau

321

Figura 2.5.

tensiunile fiind ordonate algebric ( 111p etc.).

2.1.2. Starea plan i uniaxial de tensiuniDin starea general de tensiuni pot fi determinate urmtoarele cazuri

particulare:

7

1. Starea plan de tensiun (figura 2.6). Pentru aceast stare: zz = 0, xz =

zx = 0, yz = zy = 0. Pe faetele opuse acioneaz tensiuni egale i de sensuri

contrare.

Figura 2.6.

n figura 2.7 este prezentat vederea dup axa Oz a strii plane de tensiuni.

Figura 2.7.

n figura 2.8 este reprezentat starea de tensiuni principale n plan.

8

Figura 2.8.

2. Starea uniaxial de tensiuni (traciune pe direcia axei Ox (figura 2.9)).

Figura 2.9.

n figura 2.10 se prezint semnul tensiunilor i alungirilor specifice pentru o

stare uniaxial de tensiuni (pozitive la traciune, negative la compresiune).

xx xx

xxdx dx

y

x

xx xx

xxdx dx

y

x

xx > 0, xx > 0 xx < 0, xx < 0

9

Figura 2.10.

Variaia tensiunilor n jurul unui punct. Tensiuni

principaleStarea spaial de tensiuniTensiunile principale reprezint cea mai simpl stare de tensiune dintr-un

punct al unui corp. n fiecare punct al unui corp exist trei plane pentru care

tensiunile tangeniale sunt nule, numite plane principale, iar tensiunile de pe

aceste plane se numesc tensiuni principale (1, 2, 3). Intersecia planelor

principale formeaz axele numite direciile principale ale tensiunilor.

Poziia planelor principale fa de un sistem de coordonate xOyz ales

arbitrar, adic cosinusurile directoare ale normalelor la planele principale, se

noteaz cu l, m, n i satisfac condiia:

nznmynlxn === ),cos(;),cos(;),cos(

(2.5)

1nml 222 =++

n starea spaial de tensiuni direciile tensiunilor principale 1 respectiv

3, dintr-un punct, (notate cu 1 i 3) sunt reciproc perpendiculare. Direcia 2 este

perpendicular pe planul 1O3 astfel nct, mpreun cu celelalte dou, formeaz

un sistem triortogonal drept. Se fac urmtoarele notaii referitoare la aceste

tensiuni:

lp ==== 3min1max ; (2.6)

Tensiunile principale sunt ordonate algebric, prin urmare ntre tensiuni

exist relaia:

321 >> (2.7)

Observaii:

10

n starea spaial de tensiuni toate cele trei tensiuni principale sunt

diferite de zero.

Tensiunile normale principale sunt independente la schimbarea sistemului

de coordonate.

n planele principale tensiunile tangeniale sunt nule.

Cele trei plane principale dintr-un punct al corpului deformat sunt

reciproc perpendiculare.

Intersecia planelor principale determin axele sau direciile principale.

ntr-un corp elastic, omogen i izotrop direciile principale sunt reciproc

perpendiculare.

Direciile principale se bucur de proprietatea c ele coincid cu

normalele feelor pe care tensiunea tangenial este nul.

Prin raportare la acest sistem de referin, se obin expresiile cele mai

simple pentru tensiuni care reprezint rdcinile reale i distincte ale ecuaiei:

0III 322

13

=+ -- (2.8)

Relaia (2.8) se numete ecuaie secular, iar coeficienii 1I , 2I , 3I se

numesc invariani deoarece nu se modific la rotirea sistemului de axe. 1I , 2I

i 3I se determin cu relaiile:

zzyyxx1I ++= (2.9)

zzxz

xzxx

zzyz

yzyy

yyxy

xyxx2I

++= (2.10)

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

3I

= (2.11)

11

n relaiile (2.10), (2.11) determinanii sunt simetrici fa de diagonala

principal.

Rdcinile ecuaiei seculare (2.8) sunt date de relaiile:

11 31

3cos2 IS +

=

12 31120

32 IS +

+

=

(2.12)

13 31240

32 IS +

+

=

unde:21

31

= RS ;

=

TQ2

cos 1 ;

22

131 IIR = ;

31321 27

231 IIIIQ = ;

213

271

= RT

Observaii:

Tensiunea principal cea mai mare 1 este totodat i cea mai mare

posibil dintre tensiunile ce acioneaz asupra elementului studiat, iar

tensiunea principal minim 3 este cea mai mic din ansamblul

tensiunilor.

O condiie necesar n cazul strii spaiale de tensiune (triaxial) este ca

invariantul I3 al ecuaiei seculare s fie diferit de zero.

Un model geometric al acestei stri de tensiune este elipsoidul lui Lam

sau elipsoidul tensiunilor (figura 2.11): starea de tensiune dintr-un punct al unui

12

corp poate fi reprezentat printr-un elipsoid care are ca semiaxe tensiunile

normale principale i a crui ecuaie este:

123

2

22

2

21

2

=

+

+

zyx ppp

zP

O

3 1 Px

P

2

y

Figura 2.11

Suprafaa elipsoidului reprezint locul geometric al extremitilor

vectorilor tensiunii totale pentru snopul de plane care trece prin punctul

considerat. Dac toate cele trei tensiuni principale sunt egale ntre ele elipsoidul

se transform ntr-o sfer (o stare de tensiune echiaxial ca de exemplu n cazul

compresiunii hidrostatice sau a traciunii uniforme dup cele trei direcii).

Mrimile px, py, pz se pot considera coordonatele extremitii vectorului

tensiunii totale ce acioneaz asupra elementului de suprafa de orientare

oarecare i sunt calculate cu relaiile de mai jos:

nmlp

nmlp

nmlp

zzyzxzz

zyyyxyy

zxyxxxx

++=

++=

++=

Dintre strile triaxiale de tensiune se menioneaz:

13

- starea de tensiune la care nici una dintre cele trei tensiuni nu este

negativ.

O astfel de stare de tensiuni este denumit ntindere triaxial. Un caz

particular al ntinderii triaxiale este ntinderea triaxial uniform (de exemplu

starea de tensiune a unui volum elementar din centrul unei bile nclzite repede i

egal din toate prile. n acest caz tensiunile apar din cauza diferenei de

temperatur dintre straturile exterioare i cele interioare de material. Deoarece nu

apar tensiuni tangeniale o asemenea stare de tensiune se numete ntindere

pur).

- starea de tensiune la care toate cele trei tensiuni normale principale

sunt negative.

Este o stare de compresiune triaxial. Un caz particular al compresiunii

triaxiale este cel al compresiunii triaxiale uniforme, produs de presiunea

hidrostatic exercitat asupra unui corp. i n acest caz tensiunile tangeniale sunt

nule, iar starea de tensiuni poart numele de compresiune triaxial pur. Un alt

caz particular este cel dat de contactul dintre dou sfere sau dintre o sfer i un

plan, cnd dou tensiuni normale principale sunt egale.

- starea de tensiune la care tensiunile normale principale sunt att

pozitive ct i negative.

Este starea triaxial mixt (de exemplu solicitarea care apare ntr-un tub

cu peretele gros supus la o presiune interioar).

Starea plan de tensiuni (biaxial)n aceast stare de tensiuni dou dintre tensiunile principale sunt diferite

de zero, iar a treia 3 este nul. n acest caz suprafaa elipsoidului tensiunilor se

transform n suprafaa unei elipse numit elipsa tensiunilor. O condiie

necesar pentru starea plan de tensiuni este ca cel de al doilea invariant I2 s

fie diferit de zero, iar cel de al treilea invariant I3 s fie egal cu zero. Prin

urmare ecuaia secular (2.8) devine:

14

[ ] 0II 212 =+- (2.13)cu una dintre rdcinile egal cu zero.

Dintr-un corp, aflat ntr-o stare plan de tensiuni, se decupeaz o prism

triunghiular infinitezimal (se secioneaz corpul cu un plan nclinat) aa cum

este indicat n figura 2.12.

Figura 2.12.

Se pune problema determinrii expresiilor pentru tensiunile si precum

i a tensiunilor principale n funcie de unghiul atunci cnd se cunosc

componentele xx , yy i xy ale tensorului tensiunilor pe feele AO i OB

perpendiculare pe planul desenului, avnd ca normale pe Ox i Oy (figura 13).

Figura 2.13.

15

Se scrie echilibrul tensiunilor care acioneaz asupra acestui element i se

obine:

cossin2sincos)( xy2yy2xx ++=

(2.14)

cossin)-()sin-(cos)( 22 xxyyxy +=

Relaiile (2.14) indic faptul c dac sunt cunoscute tensiunile de pe dou

plane ortogonale care trec printr-un punct, se pot calcula tensiunile n raport cu

orice plan care trece prin acel punct.

Se exprim relaiile n funcie de argumentul dublu cunoscnd:

;2

2cos1cos 2 += ;22cos1sin 2 = ;2

2sincossin =

i rezult:

2sin2cos2-

2)( xy

yyxxyyxx +++

= (2.15)

2cos2sin2-

-)( xyyyxx += (2.16)

Relaiile (2.15), (2.16) dau variaiile tensiunilor i n funcie de unghiul

ce poate varia n intervalul [0,]. Fiind dou funcii finite, continui, derivabile

care variaz pe un domeniu nchis ele i ating marginile (au un maxim i un

minim). Se dorete determinarea valorilor extreme. Pentru aceasta se deriveaz

relaia (2.15) n raport cu 2 i se anuleaz derivata. Se obine:

2cos2sin

2)2(d)(d

xyyyxx

+=-

- (2.17)

Din relaiile (2.16), (2.17) se observ c:

16

)2(d)(d)(

= (2.18)

Prin urmare tensiunea normal (funcia )( ) prezint un punct de extrem

(avem tensiuni principale) atunci cnd 0)( = .

Pentru starea plan de tensiuni, tensiunile principale sunt:

( ) 222,1 4-21

2 xyyyxxyyxx

+

+= (2.19)

unde semnul (+) este pentru 1 , deci 1max = i 2min = .

Din relaia (2.19) se observ c xx +yy =1 +2 = constant deci ntr-un

punct dat suma tensiunilor normale n raport cu direciile principale este

constant.

Egalnd cu zero expresia lui din relaia (2.17) se obine:

22-

tgyyxxxy =

deci direciile principale (direciile tensiunilor principale) sunt date de soluiile

ecuaiei:

yyxx

xytg

-2

2 2,1 = (2.20)

Observaii

Direciile principale sunt reciproc perpendiculare (deoarece perioada

funciei este pi ).

Dac tensiunile tangeniale sunt pozitive, direcia tensiunii normale

maxime se afl n primul cadran i se msoar n sens trigonometric.

Pentru tensiuni tangeniale negative, aceast direcie se afl la un unghi

negativ i ascuit fa de axa Ox

Planele normale la direciile principale se numesc plane principale.

17

Pentru materialelor izotrope, direciile tensiunilor principale coincid cu

cele ale deformaiilor principale.

Direciile tensiunilor tangeniale extremale se determin din condiia

0)2(d)(d

=

. Se constat c tensiunile tangeniale extreme apar n plane nclinate

la 45 fa de direciile principale. Tensiunile tangeniale maxime i minime sunt

date de relaiile:

( ) ( )22minmax, 4-21

xyyx += (2.21)

sau

2- 21

minmax,

= (2.22)

cu 1max = i 2min = .

Relaia (2.21) arat c cele dou tensiuni tangeniale sunt egale dar de

sensuri contrare, ceea ce indic faptul c se respect dualitatea tensiunilor

tangeniale. n seciunile n care tensiunile tangeniale au valori extreme,

tensiunile normale sunt diferite de zero.

Un model geometric al strii plane de tensiune este elipsa lui Lam

(figura 2.14). Este o elips avnd semiaxa mare egal cu 1 i cea mic egal cu

2 i a crei ecuaie este:

122

2

21

2

=

+

yx pp (2.23)

18

1

O

2

y

Px x

pBPy

Figura 2.14.

ntr-un punct oarecare B tensiunea p, aflat sub unghiul , se decompune

n componentele px si py.

Funciile )( i )( din relaiile (2.16), (2.17) pot fi prezentate grafic

n coordonate carteziene, n coordonate polare (cea mai sugestiv) i prin n

cercul lui Mohr. Cea mai comod este reprezentarea grafic prin cercul lui Mohr,

n sistemul de coordonate , .

n sistemul axelor principale relaiile (2.16), (2.17) pot fi scrise sub forma:

2cos2-

2)( 2121 ++= (2.24)

2sin2--)( 21= (2.25)

Se ridic la ptrat i se adun ultimele dou relaii rezultnd:

2212221 )2-

(=+)2

+-( (2.26)

19

Relaia (2.26) reprezint matematic ecuaia cercului Mohr pentru starea

plan de tensiune. Este un cerc cu centrul pe axa , la distana 2

21 + de

origine i de raz 2

21 - (figura 2.15).

Figura 2.15.

Orice stare plan de tensiuni se reprezint printr-o pereche de puncte

diametral opuse de pe cerc.

Starea liniar de tensiuni (monoaxial)Condiia necesar pentru a exista o stare de tensiune monoaxial este ca al

doilea i al treilea invariant al tensiunilor s fie egali cu zero. n acest caz ecuaia

secular devine:

[ ] 0- 12 =I (2.27)

cu dou rdcini egale cu zero. Pentru starea de tensiune monoaxial elipsoidul

tensiunilor se transform ntr-un segment de dreapt.

p

q

xy

xx

yy

max

min

p2

20

Starea monoaxial de tensiune este produs de solicitrile axiale. n acest

caz numai tensiunea normal xx este diferit de zero. Pentru studiul variaiei

tensiunilor n jurul unui punct se pstreaz modul de secionare de la starea plan

de tensiuni (vezi figura 2.12). Se figureaz tensiunile care apar i se scrie

echilibrul elementului izolat:

2xx cos)( = (2.28)

cossin-)( xx= (2.29)

sau exprimnd relaiile n funcie de argumentul dublu rezult:

( ) 2cos12

)( += xx (2.30)

2sin2

-)( xx= (2.31)

Se pune problema stabilirii valorilor unghiului pentru care cele dou

tensiuni sunt maxime sau minime. Astfel tensiunea normal este maxim pentru

cos2 = 1 deci pentru 2 = 0, respectiv = 0 (pentru normala pe direcia

forelor). Valoarea minim se obine pentru cos2 = -1 sau 2 = respectiv =

/2 deci pentru seciunea paralel cu direcia forelor. Tensiunile principale sunt:

02min1max

==

==

xx (2.32)

Tensiunea tangeniala are valoarea maxim pentru sin2 = 1 sau 2 = /2

respectiv = /4. Valoarea tensiunii este:

21

2maxxx = (2.33)

Observaii:

La solicitrile axiale n seciunile nclinate apar att tensiuni normale ct

i tensiuni tangeniale.

Tensiunile tangeniale maxime se obin n seciuni nclinate la 45o fa de

axa barei i sunt egale cu jumtatea efortului normal principal.

Dac n relaia (2.26) se face 2 zero rezult:

21221 )2

(=+)2

-( (2.34)

Relaia (2.34) reprezint cercul lui Mohr pentru solicitarea monoaxial:

un cerc cu centru pe axa , care trece prin origine i are raza 1 /2 (figura 2.16).

1

O

M

Figura 2.16.

Valorile tensiunilor i pentru orice seciune diferit de unghiul sunt

date de coordonatele punctelor de pe periferia cercului (de exemplu punctul M).

22

Starea de deformaii ntr-un punct al unui corp Starea general de deformaiiPrin deformaie se nelege modificarea distanei dintre puncte sau

seciuni, sau a unghiurilor dintre dou segmente duse printr-un punct. Prin stare

de deformaie tridimensional sau spaial se nelege deformarea unui corp solid

oarecare. Se spune c un corp este deformat cnd poziiile relative ale punctelor

acestui corp au variat. Variaia relativ a punctelor unui corp deformat se traduce

prin deplasri, variaii de lungime i unghi. Modificrile lungimilor segmentelor

se numesc deformaii liniare, iar modificrile unghiurilor deformaii unghiulare

sau lunecri. Se consider c deformaiile corpului sunt deformaii elastice mici

adic deformaiile corpului dispar dup nlturarea sistemului de sarcini (corpul

revine la forma i dimensiunile iniiale) i sunt foarte mici n raport cu

dimensiunile corpului.

n cursul de Rezistena materialelor deformaiile au fost definite astfel: s-a

considerat un corp solid. Punctele C, D din interiorul corpului determin

segmentul [CD], iar punctele M, O, N segmentele [OM] i [ON] astfel nct ntre

acestea s exist un unghi drept (figura 2.17). Dup deformarea corpului punctele

se deplaseaz n C, D, M, N i O.

D

F1

D

M

O Fn

Fi

N C

O C

M N

Figura 2.17

23

S-a definit ca fiind deformaie liniar absolut variaia lungimii

segmentului [CD]:

0ll]CD[]'D'C[l -- ===

S-a definit deformaia liniar specific sau alungirea specific (alungirea

unitii de lungime) ca fiind limita raportului dintre deformaia liniar absolut i

lungimea iniial a segmentului [CD]:

]CD[]CD[]'D'C[lim

0]CD[

-

=

sau

0

00l00l l

lllim

llim

00

-

==

S-a definit deformaia unghiular sau lunecarea specific ca fiind

mrimea cu care variaz unghiul drept construit n vecintatea punctului O.

S-a considerat corpul prismatic din figura 2.18. Dac se consider faa de

jos imobil, lunecarea feelor paralel cu ele nsele se poate msura prin unghiul

, care msoar variaia unghiului drept. S se numete lunecare absolut, iar lunecare specific. Deoarece lunecarea specific este foarte mic se poate scrie:

hstg =

24

h

S F

S

Figura 2.18.

n figura 2.19. se prezint componentele deformaiilor specifice ale

paralelipipedului elementar, izolat din corpul elastic deformabil. Deformaiile

specifice sunt desemnate prin indici care au urmtoarea semnificaie:

i - alungirea specific pe direcia axei Oi;

ij - lunecarea specific n planul iOj.

Figura .2.19.

25

Totalitatea componentelor definesc tensorul deformaiilor specifice ntr-un

punct al corpului. Componentele tensorului deformaiilor, corespunztor

tensiunilor de mai sus (pentru starea general de tensiuni), pot fi scrise matriceal

astfel:

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

222222

T

(2.35)

Cunoaterea celor 9 componente ale deformaiilor n orice punct al unui

corp nseamn cunoaterea strii de deformaii din acel corp.

Observaii:

Deformaiile specifice, la fel ca i tensiunile, sunt mrimi locale,

determinate n vecintatea unui punct.

Pentru materiale izotrope lunecrile specifice nu depind de sensul

deformrii (de la axa Ox spre Oy sau invers) i n consecin matricea

componentelor tensorului deformaiilor (relaia 2.35) este simetric fat

de diagonala principal.

Tensiunilor normale le corespund alungiri specifice , iar tensiunilor

tangeniale lunecri .

La materialele izotrope nu exist influene reciproce ntre alungirile

specifice i lunecrile . Nu exist o coinciden ntre starea de tensiune i starea de deformaie.

Astfel, la o stare de tensiune monoaxial corespunde o stare de deformare

triaxial i invers. De exemplu n cazul ntinderii barelor de seciune

constant, n seciunea transversal apare o tensiune x i corespund

alungiri specifice pe toate cele trei direcii.

26

n orice punct al corpului deformat exist trei axe reciproc perpendiculare,

numite axele deformaiilor principale, pentru care componentele deformaiei

unghiulare sunt nule. Unghiurile dintre aceste axe nu se modifica n urma deformrii. Cele trei plane perpendiculare definite de aceste axe se numesc

planele principale ale deformaiei. Deformaiile pe direciile principale ale

deformaiilor au valorile 1 , 2 , 3. Lud direciile principale ca axe tensorul

deformaiilor devine:

=

300

0000

T 21

(2.36)

Ca rezultat al solicitrii corpurile se deformeaz i apar deplasri. Prin

deplasare se nelege modificarea poziiei unui punct sau a unei seciuni a

corpului. Se iau n consideraie numai deplasri elastice sau elasto-plastice

produse ca urmare a deformrii corpului, atunci cnd acesta i modific

dimensiunile i forma geometric iniial.

A cunoate starea de deplasri dintr-un corp nsemn s se cunoasc

componentele deplasrii n orice punct al corpului.

Fie un punct O din interiorul unui corp elastic. Dup aplicarea sarcinilor

corpul se deformeaz i punctul ajunge n O. Deplasarea total a punctului va fi

vectorul

cu originea n O i vrful n O. Proieciile lui

pe axele sistemului

triortogonal se noteaz cu u, v i w i se numesc componentele deplasrii (figura

2.20). Aceste componente depind de coordonatele punctului i ntre ele exist

relaia:

222 wvu ++=

27

x

F1

y

z

O

Fn

Fi

u

v

w

O

Figura 2.20.

Observaie:

Vectorul deplasrilor unui punct are componentele u (pe Ox), v (pe Oy) i

w (pe Oz).

Cazul general de deformare poate fi considerat ca rezultatul unei

suprapuneri a dou stri de deformare:

- una datorit deformaiilor liniare egale cu 0 i cu deformaii unghiulare

nule;

- alta datorit deformaiilor liniare xx - 0, yy - 0, zz - 0 i cu deformaiile

unghiulare xy, xz, yz egale cu deformaiile unghiulare ale strii de deformaii iniiale.

La prima stare de deformare se schimb numai volumul (forma rmne

neschimbat) i ea se caracterizeaz prin tensorul sferic al deformaiilor:

=

o

o00

0000

T oo

(2.37)

28

cu 3

zzyyxxo

++= numit deformaie liniar medie.

La cea de a doua stare de deformaie se schimb numai forma (schimbarea

volumului este egal cu zero) i ea este caracterizat prin deviatorul

deformaiilor:

=

ozzzyzx

yzoyyyx

xzxyoxx

D22

2222

T

(2.38)

La starea de deformaie initial se schimb att volumul ct i forma.

Aceast descompunere are o anumit semnificaie fizic, deoarece apariia

deformaiilor plastice din material este legat de apariia deformaiilor

unghiulare. n cazul traciunii sau compresiunii triaxiale ncercrile au artat c

nu apar deformaii plastice n material. Apariia deformaiilor plastice se

datorete numai modificrii formei volumului elementar.

Suma componentelor corespunztoare tensorului sferic i deviatorului

deformaiilor ne d componentele deformaiei n starea de deformaie iniial.

Din aceast cauz descompunerea strii de deformaie initial este echivalent

cu descompunerea tensorului deformailor ntr-un tensor sferic i un deviator al

deformaiilor:

DTTT o += (2.39)

Variaia deformaiilor n jurul unui punctDeformaiile specifice ca i tensiunile pot varia n jurul unui punct.

Variaia deformaiilor n jurul unui punct se exprim prin urmtoarele relaii,

similare relaiilor (2.15) i (2.16):

2sin2

2cos2-

2)( xyyyxxyyxx ++

+=

(2.40)

29

2cos

22sin

2-

-2

)( xyyyxx +=

n orice punct al corpului deformat exist trei axe reciproc perpendiculare,

numite axele deformaiilor principale, pentru care componentele deformaiei

unghiulare sunt nule. Unghiurile dintre aceste axe nu se modific n urma deformrii. Cele trei plane perpendiculare definite de aceste axe se numesc

planele principale ale deformaiei.

Observaie:

Pe cele trei direcii principale de deformaii alungirile specifice au

valorile 1 , 2 , 3 , iar lunecrile specifice sunt nule.

Pentru starea spaial deformaiile principale pot fi determinate ca rdcini

ale ecuaiei:

0-- 322

13

=+ JJJ (2.41)

Invarianii 1J , 2J i 3J pot fi determinai din 1I , 2I i 3I , dai de relaiile

(2.9), (2.10), (2.11), n care se nlocuiesc kk cu kk i ij cu 2ij .

Pentru materiale izotrope, direciile deformaiilor i tensiunilor principale

coincid, iar deformaiile principale sunt date de relaiile:

)2

(+)

2-

(2

+= 2

xy2yyxxyyxx,21 (2.42)

Lunecarea maxim se determin cu relaia:

2xy2yyxx21minmax, )2

(+)

2-

(=2-

=2

(2.43)

30

Ca i n cazul tensiunilor, variaia deformaiilor n jurul unui punct poate fi

prezentat n coordonate carteziene, polare sau prin cercul lui Mohr pentru

deformaii (cercul se traseaz n coordonatele i 2 ).

Dac se reprezint cercurile tensiunilor i cel al deformaiilor suprapuse,

se constat c ele sunt concentrice i raportul diametrelor este:

-1+1

=DD

Ecuaiile fundamentale ale Teoriei Elasticitii

Sub aciunea unui sistem de sarcini corpul se deformeaz. Se pune

problema s se determine noua form luat dup deformare i tensiunile care au

luat natere n corpul respectiv. n scopul determinrii componentelor tensiunilor,

deformaiilor i deplasrilor, Teoria elasticitii se bazeaz pe urmtoarele

ipoteze simplificatoare:

continuitatea materiei

Se consider, c la scar macromecanic materia poate fi considerat continu

i nu discret cum este n realitate (format din atomi i molecule). Mai

apropiat de realitate la corpurile amorfe i mai deprtat la cele cristaline,

aceast ipotez permite lucrul cu funcii continui i trecerea la limit. Studierea

structurii reale, discontinu necesit folosirea unui aparat matematic mult mai

complicat.

omogenitatea

Se admite c materialul este omogen, avnd aceleai proprieti fizico-

chimice n tot volumul su.

elasticitatea perfecta i izotropia materialelor

Se admite comportarea perfect elastic a materialului, adic revenirea la forma

i dimensiunile iniiale dup nlturarea sarcinilor care au produs deformarea.

31

Materialul este considerat izotrop, adic caracteristicile elastice i mecanice

sunt aceleai n toate direciile.

ipoteza deformaiilor mici

Pentru majoritatea corpurilor solide deformaiile elastice sunt foarte mici n

raport cu dimensiunile corpurilor. Ca urmare, sub aciunea sarcinilor corpul

solid i modific n mic msur configuraia iniial. Aceasta face ca ecuaiile

de echilibru static s poat fi scrise pentru corpul deformat la fel ca pentru cel

nedeformat, respectiv ca n urma deformrii direciile forelor i distanele

dintre ele s rmn neschimbate. Aceast ipotez conduce de asemenea la

simplificarea calculelor (infiniii mici de ordinul doi care pot fi neglijai, etc.

proporionalitatea dintre tensiuni i deformaii

Dac solicitarea corpului este de o aa manier nct materialul rmne n

domeniul elastic, se admite c ntre tensiuni i deformaii exist o dependen

liniar, exprimat de legea lui Hooke.

principiul lui Saint Venant

Enunul acestui principiu este urmtorul: dac un sistem de fore este nlocuit

cu un alt sistem static echivalent, aceasta produce diferene apreciabile n

starea de tensiuni i deformaii din vecintatea forelor dar rmne fr efect

(sau cu efecte neglijabile) la distane suficient de mari de locul de aplicaie a

forelor. Prin aplicarea sarcinilor se realizeaz o stare local de solicitare n

jurul locului de aplicare, precum i o stare general a corpului solid solicitat.

Studiul solicitrii corpurilor urmrete stabilirea, n special, a strii generale de

solicitare.

ipoteza strii naturale

Se presupune c n corpurile solide nu exist tensiuni n lipsa sarcinilor.

Admind aceast ipotez, se poate demonstra teorema lui Khirchoff care spune

c pentru un corp, o rezemare i un sistem de sarcini date, starea de tensiuni i

deformaii este unic. n realitate toate operaiile tehnologice, care produc

nclziri i deformaii plastice neuniforme produc tensiuni care rmn n corp n

lipsa ncrcrilor, numite tensiuni remanente. n cazul solicitrilor statice ele pot

32

avea un efect benefic dac sunt de sens contrar tensiunilor create de ctre sarcini,

dar sunt nefavorabile dac lucreaz n acelai sens cu tensiunile de serviciu.

Tensiunile remanente influeneaz semnificativ comportarea la solicitri

variabile. Aceste tensiuni pot fi mult diminuate n urma unui tratament termic de

detensionare, tratament care este dificil de aplicat structurilor de mari dimensiuni.

Aceste ipoteze de lucru sunt perfect valabile pentru studiul comportrii

oelului i altor materiale (n special metalice).

Ecuaiile fundamentale ale Teoriei elasticitii pot fi grupate astfel:

1. ecuaii de echilibru (Cauchy);

2. ecuaii geometrice (relaii ntre deformaii si deplasri);

3. ecuaii constitutive (legea lui Hooke).

Observaii:

Ecuaiile fundamentale ale Teoriei elasticitii sunt scrise pentru un

element de volum infinitezimal.

n ecuaiile din primele dou grupe nu intervin caracteristici de material

i, n consecin, ele sunt universal valabile.

n ecuaiile constitutive intervin aceste caracteristici i deci acestea

depind de natura materialului.

Ecuaii de echilibru (Cauchy)Aceste ecuaii au la baz echilibrul de fore, nu fac apel la caracteristici

fizice i prin urmare sunt valabile pentru orice material.

Dintr-un corp cu grosimea egal cu unitatea se izoleaz un element cu

dimensiunile dx, dy (figura 2.21).

33

yx

x y d x

O

yy

1A x

y

dy

xx

C

y

tj

G x xxx jj

j

j

+

x xyxyx

xx

j+

jjxyy +j y

jyy+y

B

y yjxy

j

Figura 2.21

Elementul trebuie s se afle n echilibrul. Se scriu ecuaiile de echilibru

lund n consideraie forele rezultate din tensiuni precum i forele masice ale

cror componente pe unitatea de volum se noteaz cu X i Y. Pe planele ce

cuprind axele Ox i Oy apar tensiunile xx , yy , xy i yx . Dnd creteri

infinitezimale tensiunilor de pe feele opuse ale elementului de volum i scriind

echilibrul forelor se obine:

- proiecie pe orizontal:

011111 =+

+

++ dydxXdxdxdy

ydydx

xdy yx

yxxy

xxx

- proiecie pe vertical:

011111 =+

+

++ dydxYdydydxx

dxdyy

dx xyxy

xyy

yy

Se mpart relaiile prin dxdy se desfac parantezele i se reduc termenii asemenea.

Se obine:

34

0

0

=++

=++

Yyx

Xyx

yyyx

xyxx

(2.44)

Prin generalizarea relaiilor (2.44) se obin ecuaiile difereniale de

echilibru pentru starea general de tensiuni:

0=Z+z

+

y

+x

0=Y+z

+

y

+x

0=X+z

+

y

+x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

(2.45)

Din a treia ecuaie de echilibru (o sum de momente fa de centrul G al

elementului) rezult:

02

12

12

12

1 =

+++

++dydxdy

ydydxdxdydx

xdxdy yxyxyx

xyxyxy

mprind ecuaia prin 2dxdy i apoi fcnd 0dy,0dx se obine:

yxxy =

n mod similar pentru starea general de tensiuni se folosesc egalitile:

zyyz

zxxz

yxxy

=

=

=

(2.46)

Ecuaiile (2.46) exprim principiul dualitii tensiunilor tangeniale cu

urmtorul enun: pe dou elemente de suprafa ortogonale componentele

tensiunilor tangeniale sunt egale, opuse i perpendiculare pe muchia comun.

Acest principiu este valabil pentru toate punctele corpului solicitat oricare ar fi

natura sarcinilor aplicate i proprietile materialului.

35

Ecuaii geometrice (ntre deformaii i deplasri)Ca rezultat al solicitrii corpurile se deformeaz i apar deplasri. Se vor

stabili relaii geometrice ntre deformatiile specifice , i componentele deplasrii volumului elementar u, v. w, ecuaii valabile pentru orice material.

Pentru uurin demonstraia se va face pentru cazul strii plane de deformaii.

Prin stare plan de deformaie se nelege starea la care au loc deformaii numai

ntr-un singur plan (de exemplu deformaiile xx , yy , xy n planul xOy).

Sub aciunea forelor exterioare elementul din figura 2.21 se deformeaz

(i modific lungimea laturilor precum i unghiurile iniial drepte dintre feele

acestuia). ntruct studiul deformaiilor pe care le obine elementul de volum n

ansamblu este o problem dificil, se prefer s se studieze separat deformaiile

proieciilor acestuia pe planele de coordonate. Se analizeaz proiecia ABCD a

elementului de volum paralelipipedic n planul xOy, nainte i dup deplasarea,

respectiv deformarea acestuia (figura 2.22). Se consider c, componentele

deplasrilor u, v pe axele Ox i Oy variaz.

O

v

dyjj

vv+

dy

yv

b A"

xu

uu

dx jju+

a

O' A'A

dx

dxxjj v

x

B'

C"C'

C B

y dyj

ujy B"

Figura 2.22

36

Dac punctul O are deplasrile u i v atunci punctele A i C vor avea

aceste deplasri plus creterile difereniale obinute prin modificarea

coordonatelor punctelor (figura 2.22). Deplasarea total a punctului A pe direcia

Ox este dxxuuAx

+= , iar alungirea pe aceast direcie este:

dxxuudx

xuudx

=

+=

Alungirea specific pe aceeai direcie este dat de relaia:

xu

dxdx

xx

=

=

n mod analog pe direcia Oy se obine:

yv

dydy

dyyvvdy

yvvdy

yy

=

=

=

+=

n mod analog se determin alungirea specific n direcia Oz, nct pentru

starea spaial de deformaii se poate scrie:

zwyvxu

zz

yy

xx

=

=

=

(2.47)

nafara deplasrii n lungul axei Ox punctul A are i o deplasare n lungul

axei Oy: dxxvv

+ , iar punctul B are o deplasare n lungul axei Ox: dyy

uu

+ .

37

Dreptunghiul elementar OABC se transform n paralelogramul OABC.

Latura OA se nclin cu unghiul (ntruct unghiul este foarte mic, se poate

accepta c este egal cu valoarea tangentei trigonometrice):

xv

xu1

xv

dxxudx

vdxxvv

tg

+

=

+

+=

unde la numitor s-a neglijat xxxu

= fa de unitate.

Latura OC se rotete cu unghiul i n mod analog rezult:

yu

dyyvdy

dyyu

tg

+

=

n aceste condiii lunecarea specific n planul xOy este dat de relaia:

xv

yu

xy

+

=+=

Prin permutri se obin lunecrile specifice n celelalte dou plane. Pentru

starea general de deformaii se poate scrie:

yw

+zv

=

zu

+xw

=

xv

+yu

=

yz

xz

xy

(2.48)

Aa cum deja s-a precizat pentru materialele izotrope lunecrile specifice

nu depind de sensul deformrii i n consecin se poate scrie:

38

zxxz;zyyzyxxy ==;=

Pentru starea plan de deformaie relaiile (2.47), (2.48) se reduc la:

xv

+yu

=

yv

=

xu

=

xy

yy

xx

(2.49)

Cele trei deformaii sunt funcii de u i v. Ele nu sunt independente. Pentru a

stabili relaia dintre acestea se calculeaz:

2

3

2

2

2

yxu

y

yxu

xu

yy

x

x

=

=

=

(2.50)

2

3

2

2

2

x

xyv

x

yxv

yv

x

y

y

=

=

=

(2.51)

23

2

32

2

22

xyv

yxu

yxv

yu

xyxxy

+

=

+

=

(2.52)

Din relaiile (2.50), (2.51), (2.52) se observ c:

39

22

2

22

xyyxyxxy += (2.53)

Relaia (2.53) exprim faptul c materialul este continuu i poart numele

de ecuaia de continuitate sau de compatibilitate a deformaiilor.

Ecuaii constitutive (fizice)Este absolut necesar s se stabileasc o legtur ntre tensiuni i

deformaii. Acesta legtur se determin experimental, tensiunile i deformaiile

fiind legate fizic prin legea de comportare a materialului sub aciunea sarcinilor.

Altfel spus: un anumit material se deformeaz ntr-un anumit fel sub aciunea

unui anumit efort i invers n interiorul corpului se dezvolt anumite tensiuni

cnd acesta se deformeaz ntr-un anumit fel. n acest grup de ecuaii intervin

caracteristic fizice de material i n consecin ele nu mai sunt valabile i pentru

materiale ortotrope, dect n cteva situaii particulare. Din acest motiv,

ecuaiile constitutive vor fi prezentate separat.

Material anizotrop

Starea spaial de tensiuni

Ecuaiile constitutive sau fizice (dintre deformaii-tensiuni sau tensiuni-

deformaii), pot fi exprimate mai comod sub form matriceal. Cazul general este

cel al materialului anizotrop.

Pentru materialul anizotrop, relaiile constitutive pot fi scrise matriceal

astfel:

=

xy

xz

yz

zz

yy

xx

xy

xz

yz

zz

yy

xx

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

(2.54)

40

Relaia (2.54) poate fi scris simbolic:

}]{[}{ ijijij S = (2.55)

unde ][ ijS se numete matrice de complian sau de elasticitate.

Termenii ijS sunt caracteristici elastice ale materialului. n sistemul

principal de axe ale materialului, termenii matricei de complian sunt:

1111

1E

S = ; 22

1212 E

S = ; 33

1313 E

S

= ; 23

23,1114 G

S

= ; 31

31,1115 G

S

= ; 12

12,1116 G

S

= ;

11

2121 E

S = ; 22

221

ES = ;

33

2323 E

S

= ; 23

23,2224 G

S

= ; 31

31,2225 G

S

= ; 12

12,2226 G

S

= ;

11

3131 E

S

= ; 22

3232 E

S

= ; 33

331

ES = ;

23

23,3334 G

S

= ; 31

31,3335 G

S

= ; 12

12,3336 G

S

= ;

(2.56)

11

11,2341 E

S

= ; 22

22,2342 E

S

= ; 33

33,2343 E

S

= ; 23

441

GS = ;

31

31,2345 G

S

= ; 12

12,2346 G

S

= ;

11

11,3151 E

S

= ; 22

22,3152 E

S

= ; 33

33,3153 E

S

= ; 23

23,3154 G

S

= ; 31

551

GS = ;

12

12,3156 G

S

= ;

11

11,1261 E

S

= ; 22

22,1262 E

S

= ; 33

33,1263 E

S

= ; 23

23,1264 G

S

= ; 31

31,1265 G

S

= ; 12

661

GS = ;

unde:

iiE = modul de elasticitate longitudinal (Young), determinat de direcia axei Oi;

ijG = modul de elasticitate transversal (Coulomb), determinat n planul iOj;

ij = coeficientul lui Poisson care caracterizeaz alungirea specific pe direcia

Oj, produs de ctre tensiunea normal ii , cu jiij ;

ikij , = coeficieni de lunecare transversal (Cenov), care caracterizeaz

lunecrile dintr-un plan de coordonate iOk, produse de ctre tensiunile

41

tangeniale care acioneaz ntr-un plan paralel cu un alt plan de coordonate iOj,

cu ijikikij ,, ;

jkii , = coeficieni de influen reciproc de prima spe, care caracterizeaz

lunecarea ij produsa de ctre tensiunea normal ii ;

iijk , = coeficieni de influen reciproc de a doua spe, care caracterizeaz

alungirea specific ii , produs de ctre tensiunea tangenial jk .

Observaii:

Matricea fiind simetric fa de diagonala principal ( jiij SS = ), dintre cele

36 de caracteristici elastice, numai 21 sunt independente.

Se remarc faptul c, spre deosebire de materialele izotrope, la cele

anizotrope tensiunile tangeniale pot produce alungiri specifice, iar

tensiunile normale pot produce lunecri.

Invers, tensiunile pot fi exprimate funcie de deformaii sub forma:

=

xy

xz

yz

zz

yy

xx

xy

xz

yz

zz

yy

xx

QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

(2.57)

sau, simbolic:}]{[}{ ijij Q = (2.58)

unde 1][][ = SQ se numete matrice de rigiditate.

Starea plan de tensiuni

42

n acest caz particular, relaiile constitutive pot fi exprimate matriceal

astfel:

=

xy

yy

xx

xy

yy

xx

SSSSSSSSS

666261

262221

161211

(2.59)

i respectiv

=

xy

yy

xx

xy

yy

xx

QQQQQQQQQ

666261

262221

161211

(2.60)

cu matricele ][S i ][Q simetrice fa de diagonala principal.

Material ortotrop

Starea spaial de tensiuni

Ortotropia este un caz particular important al anizotropiei. La materialul

ortotrop exist 3 plane de simetrie ale caracteristicilor elastice. Pentru cazul

solicitrilor pe direciile principale ale materialului, relaiile constitutive mai sunt

cunoscute sub denumirea de legea lui Hooke n spaiu pot fi scrise matriceal

astfel:

=

xy

xz

yz

zz

yy

xx

xy

xz

yz

zz

yy

xx

SS

SSSSSSSSSS

66

55

44

333231

232221

131211

000000000000000000000000

(2.61)

unde:

43

1111

1E

S = ; 22

21

11

122112 EE

SS === ; 33

31

11

133113 EE

SS

=== ; 22

221

ES = ;

33

32

22

233223 EE

SS

=== ; 33

331

ES = ;

2344

1G

S = ; 31

551

GS = ;

1266

1G

S =

(2.62)

Elasticitatea materialului ortotrop este definit de 9 caracteristici elastice

independente.

Starea plan de tensiuni

Pentru starea plan de tensiuni relaia (2.61) devine:

=

xy

yy

xx

xy

yy

xx

SSSSS

66

2221

1211

0000

(2.63)

Material izotrop

Starea spaial de tensiuni

Elasticitatea materialului izotrop este definit de ctre trei caracteristici

elastice:

E modulul de elasticitate longitudinal (Young),

G - modulul de elasticitate transversal, - coeficientul de contracie transversal (coeficientul Poisson),

dintre care numai dou sunt independente.

ntre aceste caracteristici exist relaia:

)+1(2E

=G (2.64)

44

De asemenea trebuie precizat c spre deosebire de materialele anizotrope

la materialele izotrope nu exist influene reciproce ntre alungirile specifice i lunecrile .

Particulariznd pentru corpul izotrop aflat n stare spaial de tensiuni,

relaiile constitutive pot fi scrise tot sub forma relaiilor (2.54), unde:

ESSS 1332211 === ; ESSSSSS

====== 322331132112 ;

GSSS 1665544 === (2.65)

innd cont de relaiile (2.54) i (2.65), relaiile constitutive pentru

materialul izotrop aflat n stare spaial de tensiuni pot fi scrise explicit sub

urmtoarea form:

=

xy

xz

yz

zz

yy

xx

xy

xz

yz

zz

yy

xx

G

G

G

EEE

EEE

EEE

100000

010000

001000

0001

0001

0001

(2.66)

Se observ c din sistemul de ecuaii (2.66), pentru corpul izotrop aflat n

stare spaial de tensiuni, relaiile constitutive pot fi scrise sub forma:

45

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]yyxxzzzzzzxxyyyy

zzyyxxxx

E

E

E

+=

+=

+=

1

1

1

(2.67)

respectiv:

; ;xy yzxzxy xz yzG G G = = = (2.68)

Relaiile reprezint legea lui Hooke pentru starea spaial de tensiuni sau

legea lui Hooke generalizat pentru materiale omogene i izotrope .

Din relaiile (2.68) pot fi determinate tensiunile funcie de deformaii:

)]([-1 2 zzyyxxxxE

++=

)]([-1 2 zzxxyyyyE

++= (2.69)

)]([-1 2 yyxxzzzzE

++=

Starea plan de tensiuni

Pentru starea plan de tensiuni, relaiile constitutive se scriu sub forma

relaiei (2.61) cu:

ESS 12211 == ; ESS

== 2112 ; GS

166 = (2.70)

Din relaiile (2.61) i (2.70) rezult:

46

=

xy

yy

xx

xy

yy

xx

G

EE

EE

100

01

01

(2.71)

Dezvoltnd se obine legea lui Hooke generalizat pentru starea plan de

tensiuni:

( )( )xxyyyy

yyxxxx

E

E

-1

-1

=

=

(2.72)

Gxy

xy = (2.73)

Din (2.72) i (2.73) se exprim tensiunile funcie de deformaii:

)+(-1

E= yyxx2xx

)+(-1

E= xxyy2yy (2.74)

xyxy G=

Pentru direciile principale relaiile (2.72), (2.74) devin:

( )( )122

211

E1E1

-

-

=

=

(2.75)

respectiv

47

)(1

E

)(1

E

2222

2121

+

=

+=- (2.76)

Starea uniaxial de tensiuni

Pentru starea uniaxial de tensiuni (de exemplu traciune pe direcia axei

Ox), relaiile (2.73) devin:

xxyy

xxxx E

=

=

(2.77)

Din prima relaie (2.77), exprimnd tensiunile funcie de deformaii, rezult

binecunoscuta lege a lui Hooke:

xxxx E = (2.78)

De reinut

Teoria elasticitii stabilete noiuni i relaii care permit determinarea

strii de tensiuni, strii de deformaie i strii de deplasare pentru un corp solid

deformabil.

n plan pentru cunoaterea complet a strii de tensiune, deformaie i

deplasare a corpului elastic trebuie cunoscute urmtoarele opt funcii de poziia

punctului (x,y):

- starea de tensiuni: x = F1 (x,y)

y = F2 (x,y)

xy = F3 (x,y)

- starea de deformatii: x = F4 (x,y)

48

y = F5 (x,y)

xy = F6 (x,y)

- starea de deplasare: u = F7 (x,y)

v = F8 (x,y)

Pentru determinarea celor opt funcii trebuie rezolvate urmtoarele

ecuaii ale elasticitii n plan:

- ecuaiile difereniale de echilibru (relaiile (2.44)):

0=Y+y

+

x

0=X+y

+

x

yyyx

xyxx

- ecuaiile de deformaii (relaiile (2.49)):

xv

+yu

=

yv

=

xu

=

xy

yy

xx

- ecuaia de compatibilitate (relaia (2.53)):

2y

2

2x

2xy2

x

+

y

=yx

- legea lui Hooke (relaiile (2.72), (2.73) sau (2.74)):

( )( )xxyyyy

yyxxxx

E

E

-1

-1

=

=

Gxy

xy =

sau

)(-1 2 yyxxxxE

+=

)(-1 2 xxyyyyE

+=

49

xyxy G =

Energia potenial de deformaie

Energia potenial de deformaie pentru bare drepte

Energia potenial de deformaie specific

La ncrcarea unui corp solid elastic deformabil forele exterioare cresc

treptat de la zero la valoarea lor ntreaga (ncrcare static). n urma deformrii

corpului punctele de aplicaie ale forele exterioare se deplaseaz producnd

astfel un lucru mecanic exterior, iar energia potenial de poziie a forelor

exterioare se schimb. Pn la limita de elasticitate lucrul mecanic cheltuit pentru

deformarea corpului nu se pierde ci se nmagazineaz n corpul solid deformat,

acesta acumulnd energie potenial elastic de deformaie. Cnd forele

exterioare sunt ndeprtate, aceast energie potenial de deformaie readuce

corpul la forma i dimensiunile iniiale. n cele ce urmeaz se va prezenta

calculul energiei de deformaie presupunnd c lucrul mecanic al forelor

exterioare se acumuleaz integral sub form de energie potenial elastic, se

neglijeaz deci energia disipat n acest proces.

Ipotezele pe baza crora se face calculul energiei de deformaie sunt:

materialul este solicitat cel mult pn la limita de elasticitate (are o

comportare perfect elastic), fiind valabil legea lui Hooke;

forele exterioare sunt aplicate static (viteza de deformare este foarte mic,

deci energia cinetic este practic nul);

se neglijeaz efectele termice, piezoelectrice, emisiile ultrasonore care

nsoesc fenomenul deformaiei corpurilor, energia disipat de aceste

fenomene fiind mult mai mic dect cea de deformaie elastic;

se neglijeaz frecrile interioare i frecrile n reazeme.

50

Se determin n continuare energia de deformaie nmagazinat de unitatea

de volum numit energie specific de deformaie. Dintr-un corp solid, elastic

deformabil se izoleaz un element de volum, cu latura egal cu unitatea (figura

2.23). Cubul este orientat astfel nct dou fee paralele s fie normale pe axa

barei (muchiile perpendiculare pe aceste fee sunt paralele cu axa barei) Se

determin mai nti energia potenial de deformaie n cazul ntinderii uniaxiale

(cubul este supus la traciune cu tensiunea ). Fora final care acioneaz n

direcia solicitrii este F= 1 1 (produsul dintre tensiunea i suprafaa pe care

acioneaz). Sub aciunea acestor tensiuni normale laturile cubului paralele cu

axa barei se vor alungi. Unitatea de lungime este foarte mic i alungirea sa este

. Pentru o deplasare a forei pe direcia ei cu aceasta produce un lucru

mecanic egal cu energia poteniala de deformaie acumulat de elementul

reprezentat n figura 2.23 (datorit faptului c latura cubului este egal cu

unitatea i joac rolul de for , respectiv de alungire).

1

Figura 2.23

innd cont de prima teorem a lui Clapeyron (care se enun astfel:

pentru un corp elastic aflat n repaus, lucrul mecanic exterior produs de ctre

sarcini este egal cu energia potenial de deformaie acumulat de ctre acel

corp) se poate scrie:

51

2211

11

=== ULe (2.79)

n relaie factorul rezult din ceea ce a fost demonstrat n cursul de

Rezistena materialelor i anume c pentru deplasri liniar-elastice lucrul

mecanic al unei fore exterioare egal cu semi-produsul dintre for i

deplasarea pe direcia forei. Relaia (2.79) reprezint expresia energiei de

deformaie specific acumulat n unitatea de volum pentru traciunea simpl i

este numeric egal cu aria triunghiului haurat din figura 2.24.

U1

Figura 2.24.

Similar, pentru forfecare sau torsiune se poate scrie:

2U1

= (2.80)

innd cont de legea lui Hooke, din relaiile (9.63) i (9.64) rezult:

GU

EU

2

22

1

2

1

=

=

(2.81)

52

Energia potenial de deformaie elementar i totalDac se izoleaz din acelai corp un paralelipiped elementar avnd muchia

dx paralel cu axa barei, elementul de volum va fi:dxdydzdAdxdV ==

Cnd pe feele dA vor aciona tensiuni, energia potenial de deformaie

elementar (energia potenial de deformaie nmagazinat de un element de

volum dV) se obine nmulind energia de deformaie specific cu volumul

elementului. Prin urmare:

dVUdU 1 = (2.82)

sau particulariznd pentru cele dou tensiuni rezult:

dV

GdU

dVE

dU

2

22

2

=

=

(2.83)

Prin energie potenial de deformaie total se nelege suma energiilor

elementare extins la ntregul volum al barei. nlocuind relaiile (2.83), rezult

formulele pentru determinarea energiei poteniale de deformaie nmagazinat n

volumul V:

=

=

V

V

dVG

U

dVE

U

2

22

2

(2.84)

Energia potenial de deformaie total a barelor drepteSe va determina energia total pentru fiecare solicitare simpl.

Solicitri axiale

innd cont c AN

= din prima relaie (2.84) rezult:

53

==

=

l

A

l

V

dxEANdAdx

EANdAdx

EANU

0

2

02

22

21

21

21 (2.85)

Dac seciunea i fora axial sunt constante n lungul barei, integrala din

relaia (2.85) se calculeaz i rezult:

EAlNU

2

2

= (2.86)

nvovoiere

innd cont c zI

My= (relaia lui Navier) din prima relaie (2.84)

rezult:

==

=

l

zA

l

zV z

dxEIMdAydx

EIMdAdx

EIMyU

0

22

02

22

21

21

21 (2.87)

Dac seciunea i momentul ncovoietor sunt constante n lungul axei

barei, se calculeaz integrala din relaia (2.87) i se obine:

zEIlMU

2

2

= (2.88)

Lunecare

nlocuind relaia lui Juravski zbI

TSz= n a doua relaie (2.84) rezult:

==

=

l

A z

zl

V z

z dxGATkdA

IbASdx

GATdAdx

bITS

GU

0

2

22

2

0

22

221

21

(2.89)

54

n relaia (2.89) a doua integral este un coeficient adimensional a crui

valoare depinde de forma seciunii transversale i care este dat de relaia:

dAbS

IAk

A

z

z= 2

2

2

Torsiune

innd cont c p

t

IrM

= (pentru barele circulare pline i tubulare) din a

doua relaie (2.84) rezult:

==

=

l

p

t

A

l

p

t

V z

t dxGIMdArdx

GIMdAdx

GIrMU

0

22

02

22

21

21

21

(2.90)

Dac seciunea i momentul de torsiune sunt constante n lungul axei

barei, se calculeaz integrala din relaia (2.90) i se obine:

p

t

GIlMU

2

2

= (2.91)

Dac bara este supus simultan la mai multe solicitri simple energia

potenial de deformaie se obine prin nsumarea termenilor corespunztori

fiecrei solicitri. innd cont de relaiile (2.85), (2.87), (2.89) i (2.90) rezult:

+= dxEANUl

0

2

21

+ dxEIMl

z0

2

21

+ dxGATkl

0

2

2dx

GIMl

p

t0

2

21

(2.92)

Observaii:

Dac corpul se compune din mai multe bare se va face suma energiilor

poteniale de deformaie referitoare la fiecare bar.

55

Pentru barele care sunt solicitate la ncovoiere energia potenial de

deformaie din ncovoiere este preponderent fa de aceea provenind din

fora axial i fora tietoare.

Energia potenial de deformaie fiind o funcie ptratica de eforturile

secionale nsumarea termenilor corespunztori fiecrei solicitri nu se

datoreaz aplicrii principiului suprapunerii efectelor, ci faptului c

energia este o mrime scalar.

Energia potenial de deformaie specific pentru starea spaial i

plan de tensiuniDac se trece de la problema barelor (monoaxial) la problema plan

(biaxial), respectiv spaial (triaxial) energia potenial de deformaie va fi

suma energiilor dup cele dou, respectiv trei direcii datorit faptului c este o

mrime scalar. n continuare se va trata doar energia de deformaie specific.

Dac asupra elementului se aplic tensiuni normale pe toate cele trei

direcii innd cont de relaia (2.79) se obine:

( )zzzzyyyyxxxxU ++= 21

1 (2.93)

Dac pe lng tensiunile normale asupra elementului acioneaz i

tensiuni tangeniale, innd cont de relaia (2.80) rezult expresia general a

energiei poteniale de deformaie specific pentru starea spaial de tensiune:

( )xzxzyzyzxyxyzzzzyyyyxxxxU +++++= 21

1 (2.94)

Dac se nlocuiesc deformaiile liniare i deformaiile unghiulare cu

relaiile date de legea lui Hooke generalizat se obine:

56

( ) ( )( )222

2221

21

-21

yzxzxy

zzyyzzxxyyxxzzyyxx

G

EEU

+++

+++++=

(2.95)

Se observ c energia potenial de deformaie specific este funcie

ptratic de tensiuni.

Din relaia (2.95) se poate stabili formula valabil pentru starea plan de

tensiune (zz = 0, xz = yz = 0):

( ) 2221 21-21 xyyyxxyyxx GEEU ++= (2.96)Prin particularizarea relaiei (2.96) se determin relaiile de calcul pentru

energia potenial specific de deformaie n cazul solicitrii de traciune simpl

(yy = 0, xy = 0) i forfecare pur (xx = 0, yy = 0). Se regsesc n acest fel

relaiile (2.81).

n cazul cnd axele de coordonate coincid cu axele principale ale strii de

tensiune, expresia pentru energia potenial de deformaie specific are forma:

pentru starea spaial de tensiune:

( ) ( )- 3231212322211 EE21U ++++= respectiv: (2.97)

( ) - 2122211 EE21U +=pentru starea plan de tensiune:

Energia specific necesar variaiei de volum i schimbrii formeiCnd un corp solid elastic este supus aciunii unor sarcini exterioare el se

deformeaz. Deformaia corpului poate fi separat n dou:

- o variaie de volum (corpul rmnnd asemenea cu forma sa iniial);

- o schimbare a formei.

57

Corespunztor acestor dou aspecte, energia de deformaie specific

acumulat de corp poate fi considerat ca suma dintre energia necesar variaiei

de volum i energia necesar variaie formei:

ifv UUU += 11 (2.98)

Dac presupunem c pe toate feele cubului elementar acioneaz aceeai

tensiune 3

321m

++= , care are rolul unei presiuni hidrostatice, se obine

numai variaia de volum i deci energia va fi folosit numai pentru modificarea

volumului.

Energia de variaie a volumului este:

( ) 2-12

33-3

21 222

1 EEEU mmmv ==

sau nlocuind pe m i efectund calculele se obine:

( ) 2321v1 E621U ++= -

sau (2.99)

( )2zzyyxxv1 E6 21U ++= -

Se observ c pentru 21

= rezult U1v = 0, adic deformarea corpului se

produce fr deformaie de volum. Cum v1U >0 rezult c

Se introduc relaiile (2.97) i (2.99). Dup efectuarea calculelor se ajunge la

urmtoarea relaie pentru calculul energiei de variaie a formei:

( )[ ( ) ( ) ]213232221f1 E61U --- +++= (2.101)

sau

( )[ ( ) ( ) ( )]2zx2yz2xy2xxzz2zzyy2yyxxf1 6E61U ++++++= --- (2.102)

Teorii de rupere (de rezisten)

Alegerea coeficientului de siguran se face n raport cu valorile limit c

sau r pentru stabilirea tensiunii admisibile, adic:

c

La

= (2.103)

unde L reprezint tensiunea normal care caracterizeaz starea limit.

Se consider drept stare de tensiune limit a materialului starea de

tensiuni care corespunde fie nceperii ruperii materialului, fie nceperii apariiei

unui proces fizic care dintr-un motiv oarecare este considerat ca inadmisibil,

nedorit sau periculos.

n starea monoaxial de tensiune aceste valori se obin direct n urma

ncercrilor de laborator la ntindere sau compresiune. Pentru un element aflat

ntr-o stare de tensiune caracterizat prin tensiunile principale 1 , 2 , 3

determinate, calculul coeficientului de siguran necesit determinarea

experimental a tensiunilor limit 1L , 2L , 3L i se determin cu relaia:

3

3

2

2

1

1

LLLc === (2.104)

59

Aceste determinri experimentale se realizeaz rar n practic datorit

numrului mare de ncercri, a instalaiilor i a mainilor complicate i

costisitoare.

Necesitatea de a compara strile de tensiune din diferite puncte ale

corpului, de a stabili punctul cel mai periculos i de a determina coeficientul de

siguran, impune gsirea unui criteriu de apariie a curgerii sau a unui criteriu de

rezisten, adic a unui factor cu ajutorul cruia s-ar putea aprecia pericolul strii

de tensiune i s-ar putea stabili locurile cele mai solicitate ale pieselor, fr a mai

recurge la o ncercare n fiecare caz n parte.

Compararea strilor de tensiune se poate face uor dac se alege drept

baz una din strile de tensiune, cea mai caracteristic i cea mai uor de realizat

experimental i apoi folosind criteriul adoptat se compar cu aceast stare de

tensiune toate celelalte. Aceast stare de tensiune luat drept baz se numete

echivalent. Drept stare echivalent se ia starea monoaxial de tensiune, ntruct

aceasta se poate realiza uor fr a fi necesare maini i dispozitive complicate,

epruvetele au o form simpl i sunt uor de realizat, iar starea de tensiuni din

poriunea de calcul a epruvetei este omogen.

Tensiunea echivalent este tensiuna principal a unui element imaginar

supus la ntindere, executat din acelai material ca i elementul dat i care se

afl ntr-o stare de tensiuni tot att de periculoas ca i elementul dat.

S-au emis mai multe ipoteze asupra ruperii materialelor. Alegerea uneia

dintre ipoteze este determinat de modul n care se verific experimental aceasta

pentru starea de tensiuni considerat. Prin urmare teoriile de rupere vor da

expresiile tensiunii echivalente echiv care fac posibil compararea strii

complexe de solicitare cu cea de ntindere simpl. n urma determinrii tensiunii

echivalente relaia de verificare pentru pies este:

60

aechiv (2.105)

Ipoteza tensiunii normale maximeAceast ipotez admite c starea limit se atinge atunci cnd tensiunea

normal maxim din corp atinge valoarea tensiunii strii limit de la solicitarea

de ntindere monoaxial. Se aplic cu succes pentru predicia ruperii unor corpuri

executate din materiale fragile supuse la solicitri statice.

Dac se consider starea spaial de tensiuni cu tensiunile principale 1 ,

2 , 3 avnd respectat inegalitatea 1 > 2 > 3 atunci starea periculoas

apare atunci cnd

echiv == 1max (2.106)

Conform acestei ipoteze valorile celorlalte dou tensiuni principale nu au nici o

influen asupra trecerii materialului ntr-o stare de tensiuni periculoas. n cazul

strii plane de tensiune tensiunile principale sunt date de relaia:

( ) 222,1 4-21

2 xyyyxxyyxx

+

+= (2.107)

1max = i prin urmare:

( ) 22 4-21

2 xyyyxxyyxx

echiv

+++

= (2.108)

Dac === xyyyxx ;0; se obine:

22 421

2

++=echiv

sau

61

22 45,05,0 ++=echiv (2.109)

Rezultatele experimentale confirm aceast ipotez n cazul ruperii

materialelor fragile cnd tensiunea normal maxim este o tensiune de ntindere.

Ipoteza nu poate fi folosit drept criteriu de rezisten n cazul unei strii

compuse de tensiuni deoarece n general conduce la supradimensionarea pieselor.

Ipoteza deformaiei specifice liniare maximeDup aceast ipotez apariia strii periculoase este determinat de

valoarea lungirii sau scurtrii specifice maxime, atunci cnd aceasta este egal cu

deformaia periculoas echiv .

Deformaiile specifice, n cazul solicitrii spaiale, sunt date de relaiile:

( )[ ]( )[ ]( )[ ]2133

3122

3211

1

1

1

+=

+=

+=

E

E

E

(2.110)

Presupunnd 1 > 2 > 3 criteriul este:

( )[ ]321max1 1 +=== Eechiv (2.111)

Starea de tensiuni este considerat drept stare de tensiune limit dac mrimea

max este egal cu deformaia liniar maxim din starea monoaxial de tensiuni,

adic:

Eechiv =max (2.112)

Egalnd ultimile dou relaii se obine:

62

( )321 +=echiv (2.113)

n cazul strii plane de tensiune relaia devine:

21 =echiv (2.114)

Dac n relaia (2.114) se introduc tensiunile 1 , 2 din relaia (2.105)

n care se consider === xyyyxx ;0; i =0,3 se obine:

22 465,035,0 ++=echiv (2.115)

Ipoteza tensiunii tangeniale maximeAcest criteriu are la baz observaiile experimentale conform crora la

materialele ductile curgerea este rezultatul lunecrilor n lungul unor plane ale

cristalelor sub aciunea tensiunilor tangeniale. n baza acestei teorii, starea limit

se atinge atunci cand tensiunea tangenial maxim atinge valoarea tensiunii

tangeniale corespunztoare strii limit de la ncercarea de ntindere monoaxial.

Tensiunile tangeniale sunt date de relaiile:

( )( )( )213

312

321

212121

=

=

=

(2.116)

innd cont de inegalitatea 1 > 2 > 3 rezult c tensiunea tangenial maxim

este 2 i prin urmare:

63

231

2max

== (2.117)

n cazul strii de tensiune monoaxial, considerat ca stare echivalent, tensiunea

tangenial maxim are valoarea:

2maxechiv = (2.118)

Din ultimile dou relaii rezult:

31 =echiv (2.119)

Pentru starea plan de tensiune ultima relaie devine:

( ) 22 4- xyyyxxechiv +=

iar n cazul particular al barelor la care === xyyyxx ;0; relaia devine:

22 4 +=echiv (2.120)

Un dezavantaj al acestei ipoteze l constituie faptul c nu ine cont de

influena tensiunii normale principale 2 . Ipoteza tensiunii tangeniale maxime a

fost verificat experimental mai ales pentru materialele tenace la solicitrile de

ntindere biaxial i strile de tensiune biaxiale mixte. Ea este confirmat n cazul

materialelor care au aceeai rezisten la ntindere i la compresiune.

Ipoteza energiei de deformaieAceast ipotez consider c starea periculoas este atins atunci cnd

energia de deformaie specific acumulat de pies este egal cu energia

64

specific corespunztoare strii limit de la ntinderea simpl. Energia potenial

de deformaie specific este dat de relaia:

( ) ( )-21 3231212322211 ++++= EEU (2.121)

Pentru starea de tensiune monoaxial echivalent ( )032,echiv1 === relaia

devine:

E

U echivechiv 2

2

1

= (2.122)

Egalnd energia potenial specific acumulat de materialul care se afl

n starea de tensiune studiat cu energia potenial specific a aceluiai material

aflat n starea de tensiune echivalent se obine:

( )313221232221 2 ++++=echiv (2.123)

Pentru starea plan de tensiune 03 = i relaia devine:

212221 2 +=echiv (2.124)

nlocuind n relaia de mai sus pe 1 i 2 din relaia (2.105) i dup

efectuarea calculelor se obine:

( ) 2222 122 xyyyxxyyxxechiv +++= (2.125)

Dac === xyyyxx ;0; i =0,3 relaia devine:

65

22 6,2 +=echiv (2.126)

Aceast ipotez a fost verificat experimental n anumite cazuri de materialele

tenace.

Ipoteza energiei de deformaie modificatoare de formConform acestei ipoteze starea periculoas este produs nu de energia de

deformaie total, ci numai de energia de deformaie modificatoare de form.

Prin urmare se adopt drept criteriu de rezisten cantitatea de energie potenial

specific de variaie a formei acumulat de materialul deformat n punctul

considerat. Aceast energie se calculeaz cu relaia:

( )[ ( ) ( ) ]2132322211 ---61

+++

=

EU f (2.127)

Lund ca stare echivalent solicitarea monoaxial de ntindere ()032,echiv1 === se obine pentru energia potenial specific de variaie a

formei urmtoarea expresie:

21 31

echivfechiv EU += (2.128)

Egalnd cantitatea de energie potenial specific de variaie a formei

acumulat de elementul considerat cu cantitatea de energie potenial specific de

variaie a formei acumulat de elementul aflat n starea de tensiune echivalent se

obine:

( ) ( ) ( )[ ]21323222121 ++=echiv (2.129)

Pentru starea plan de tensiune 03 = i relaia devine:

66

212221 +=echiv (2.130)

nlocuind n relaia de mai sus pe 1 i 2 din relaia (2.105) i dup

efectuarea calculelor se obine:

2222 3 xyyyxxyyxxechiv +++= (2.131)

Dac === xyyyxx ;0; relaia devine:

22 3 +=echiv (2.132)

Unul dintre avantajele ipotezei l constituie faptul c n relaia (1.129)

intr cu drepturi egale toate cele trei tensiuni normale principale. Aceast ipotez

se verific experimental pentru materialele tenace. De asemenea aceasta se

verific i pentru starea plastic a materialului.

Aceast ultim ipotez corespunde mai bine cu realitatea dect toate

celelalte ipoteze. De asemenea trebuie remarcat faptul c ntre aceast ipotez de

rupere i cea a tensiunilor tangeniale maxime exist diferene foarte mici, n

momentul de fa aceste dou ipoteze avnd o larg utilizare.

Teoria strii limit a lui MohrConform acestei teorii starea periculoas apare n momentul n care starea

de tensiuni dintr-un punct a atins o stare limit care este caracteristic fiecarui

material. Starea spaial de tensiuni principale se poate reprezenta n plan cu

ajutorul cercului lui Mohr. Presupunnd 3 < 2 < 1 se construiesc cercurile

C13, C12, C23 cu diametrele 31 , 21 , 32 (figura 2.25).

67

Figura 2.25

n baza ipotezei tensiunii tangeniale maxime starea limit este definit de

tensiunea tangeniala maxim: 2

312m ax

== i este independent de

valoarea tensiunii principale 2 . Prin urmare n definirea strii limit intereseaz

numai cercul de diametru maxim 31 cu centru C13 denumit cerc

determinant. Tensiunea tangenial maxim este ordonata punctului M. Se spune

c M este punctul caracteristic al strii limit.

n cazul materialelor tenace drept stare limit se consider atingerea

limitei de curgere c . Pentru determinarea strii limit pentru un material se

ncarc o serie de epruvete din materialul respectiv cu diferite feluri de solicitri,

n urma crora se obin L1 i L3 (n cazul considerat c1 i c3 ). Valorile

astfel obinute se reprezint n sistemul de axe rectangulare O prin cercurile

lui Mohr cu centre pe axa O (figura 2.26). n figur se reprezint starea de

tensiuni la un material care are rezistena de rupere la ntindere diferit de cea de

la compresiune ( ctcc ), deci cercurile C1 i respectiv C2 care reprezint

68

ntinderea i compresiunea simpl i care au diametre diferite. nfurtoarea

acestor cercuri reprezint starea limit pentru materialul respectiv i pentru un

material dat este unic.

C

O

C

Figura 2.26

Dac se cunoate nfurtoarea pentru studiul rezistenei se procedeaz

astfel: pentru starea de tensiuni dat se determin 1 i 3 i se construiete

cercul lui Mohr. Dac acest cerc este n interiorul nfurtoarei, starea de

tensiuni studiat se gsete n zona de rezisten a materialului. Dac cercul lui

Mohr atinge curba nfurtoare materialul trebuie s cedeze. Deci pericolul pe

care l prezint o anumit stare de tensiuni este caracterizat prin mrimea i

poziia cercului determinant fa de nfurtoarea limit de pe diagrama

cercului. Prin urmare dou stri de tensiune sunt la fel de periculoase dac

cercurile determinante corespunztoare sunt tangente la aceeai nfurtoare.

Cnd materialul rezist la fel la ntindere ca i la compresiune (materiale

tenace) cecurile C1 i C2 au diametre egale i nfurtoarea este reprezentat n

69

acest caz prin dou drepte tangente la aceste cercuri pe poriunea dintre ele

(figura 2.27).

C C2 1

O

Figura 2.27.

Dac pentru curba nfurtoare ce reprezint starea limit coeficientul de

siguran este c=1 atunci pentru curbele nfurtoare corespunztoare strilor

sub starea