Elemente de Teoria Mecanismelor
description
Transcript of Elemente de Teoria Mecanismelor
Ion FLOREA
ELEMENTE DE TEORIA MECANISMELOR
Suport curs ID
Ploieşti
2012
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
Geometria si cinematica angrenajelor
Noţiuni preliminare
Definiţii, avantajele şi dezavantajele utilizării angrenajelor
Angrenajele sunt mecanisme care realizează, prin transmiterea forţată a
mişcării de rotaţie între doi sau mai multi arbori, un raport de transmitere
constant. De regulă, un angrenaj este format din două roţi dinţate care se
rotesc in jurul axelor lor şi care ocupă o poziţie relativă invariabilă.
Roata dinţată este un organ de maşină dinţat destinat a pune în mişcare
sau a fi pus în mişcare de cǎtre alt organ de maşină dinţat, prin intermediul
dinţilor aflaţi succesiv şi continuu în contact. Procesul de antrenare a dinţilor,
aflaţi succesiv şi continuu în contact, se numeşte angrenare.
Intr-un angrenaj una din cele două roţi este conducătoare iar cealaltă
este condusă. Transmiterea energiei mecanice de la roata conducătoare la
roata condusă se face cu modificarea caracteristicilor mişcării (multiplicare sau
demultiplicare viteza unghiulară, schimbare de sens) precum şi cu modificarea
momentului de torsiune ( amplificare la reductoarele de turaţie şi reducere la
multiplicatoarele de turaţie). Modificarea mişcării de rotaţie şi a cuplului se
realizează în limitele puterii transmise. Astfel, puterea la roata dinţată condusă
este întotdeauna mai mică decăt cea de la roata conducătoare ca urmare a
pierderilor din cuplele cinematice. Raportul dintre puterea de la arborele de
ieşire şi cea de la arborele de intrare reprezintă randamentul transmisiei.
Utilizarea angrenajelor pe scară largă se datorează avantajelor pe care
acestea le au în raport cu celelalte transmisii mecanice:
-raport de angrenare constant: 6..1u = pentru angrenajele cilindrice şi
conice şi )300(80...15)10(u = la angrenajele melcate;
-randament mecanic mare: 99,0...97,0=η pentru angrenajele cilindrice
şi conice şi 80,0...70,0)60,0(=η pentru angrenaje melcate;
68
-gamă largă de puteri transmise: P=0,001…10 000 kW;
-gama largă de viteze periferice de lucru: s/m)100(10v ≤ ;
-pot transmite puterea între arbori cu direcţii diferite în plan şi în spaţiu;
-construcţie compactă; pot fi închise în carcase pentru a putea fi
protejate împotriva factorilor externi;
-siguranţă si durabilitate mare în exploatare;
-întreţinere relativ uşoară.
Angrenajele prezintă şi unele dezavantaje în raport cu celelalte transmisii
mecanice, şi anume:
-necesită maşini de prelucrat, scule, dispozitive şi verificatoare
complicate si de precizie ridicată;
-costul ridicat de fabricaţie;
-funcţionează cu zgomot şi vibraţii la turaţii ridicate;
-nu se poate realiza orice raport de transmitere deoarece numerele de
dinţi ale roţilor sunt numere întregi; ca urmare a acestui fapt, la proiectare se
admite si o eroare cinematica de %3± a raportului de angrenare.
Avantajele prezentate mai sus, condiţionate si de unele dezavantaje,
impun utilizarea angrenajelor în domenii diverse atât în scop cinematic (pentru
transmiterea şi modificarea mişcării de rotaţie) cât şi în scop dinamic ( pentru
transmiterea momentului de torsiune). Se întâlnesc în construcţii de sine
stătătoare (ansamble) precum reductoarele şi variatoarele de turaţie, în cutiile
de viteze ale unor maşini, în diferite aparate şi dispozitive pentru realizarea
unor lanţuri cinematice.
Clasificarea angrenajelor
Clasificarea angrenajelor se face în principal în funcţie de poziţia relativă
a axelor mişcării de rotaţie, dar şi în funcţie de forma suprafeţelor de
69
rostogolire, forma profilului dinţilor, rezultând astfel formele constructive de
bază.
Mecanismele alcătuite din două roţi dinţate se numesc angrenaje iar cele
cu mai multe angrenaje care concură la realizarea unui anumit raport de
transmitere se numesc sisteme de angrenaje sau trenuri de roţi dinţate.
In continuare se prezintă o clasificare a angrenajelor şi sistemelor de
angrenaje având la bază următoarele criterii:
a) pozitia relativă a axelor
eincrucisataxecu
concurenteaxecu
paraleleaxecu
b) mişcarea relativă a axelor roţilor dinţate:
-sisteme de angrenaje cu axe fixe
)cascada(paralelinasezateroticu
serieinasezateroticu
-sisteme de angrenaje cu axe mobile
lediferentia
planetare
c) poziţia relativă a roţilor dinţate
-angrenaj exterior (ambele roţi au dantură exterioară)
-angrenaj interior (pinionul are dantura exterioară iar roata are
dantura interioară);
d) forma roţilor dinţate: angrenaje cu roţi cilindrice, conice,
hiperboloidale, melcate, cu cremalieră, necirculare;
e) forma profilului dinţilor:
angrenaje cu profil
cercdearcin
)dahipocicloi,aepicicloid(cicloidal
evolventain
f) forma dinţilor: angrenaj cu dantură dreaptă, înclinată, compusă, curbă;
g) posibilitatea variaţiei în timp a raportului de transmitere:
70
-cu raport de transmitere constant (reductoare, multiplicatoare);
-cu raport de transmitere variabil în timp (cutii de viteze);
-cu raport de transmitere variabil ciclic ( angr. cu roţi eliptice).
In fig.1.2 este prezentată o clasificare generală a angrenajelor.
Varietatea mare de tipuri şi forme constructive precum şi domeniile
multiple de utilizare a angrenajelor lasă loc şi altor criterii mai puţin importante
de clasificare.
In fig.1.1 sunt prezentate unele tipuri de angrenaje.
Fig.1.1.a.Angrenaje cilindrice cu dinti drepti si inclinati
Fig.1.1.b.Angrenaje conice cu dinţi drepţi şi curbi
Fig.1.1.c. Angrenaj melcat
71
Indicaţii tehnologice
Roţile dinţate se execută prin diferite procedee tehnologice impuse de
destinaţia acestora, de condiţiile de funcţionare precum: turaţie, putere,
precizie, zgomot, etc. Semifabricatele utilizate pentru execuţie pot fi: forjate,
matriţate, laminate, turnate, etc. Maşinile unelte pe care se execută roţile
dinţate pot fi maşini unelte universale sau speciale de danturat.
Procedee de - turnare
prelucrare a - deformare plastica: ştanţare, presare
roţilor dinţate - prelucrare -copiere - cu freză deget modul
prin aşchiere -cu freză disc modul
-rulare -mortezare - cu cuţit roată
- cu cuţit pieptene
-frezare - freză melc modul
Procedeele de turnare şi ştanţare sunt utilizate pentru roţi de precizie
scăzută, utilizate la turaţii şi sarcini mici, în domenii mai puţin precise.
Prelucrarea roţilor prin copiere conferă acestora o precizie scăzută; se
utilizează în construcţiile unde nu se impune o precizie ridicată sau la realizarea
unicatelor. Se utilizează freza disc modul sau deget modul care realizează
danturarea dinte cu dinte, prelucrând golurile pe toată adâncimea acestora
(dinţii frezei au forma golului dintre dinţi).
Prelucrarea prin rulare asigură precizie ridicată, viteză mare de execuţie,
rugozitate mică. Danturarea prin mortezare se realizează utilizând cuţitul
pieptene pentru roti cilindrice cu dantură exterioară dreaptă sau cuţit
roată pentru roţi cilindrice cu dantură exterioară sau interioară, cu dinţi drepţi
sau înclinaţi. Atât mortezarea cât şi frezarea cu freză melc modul folosesc
procedeul prin rulare (rostogolire), procedee în care scula şi semifabricatul
execută mişcările unui proces de angrenare (la care se adaugă mişcarea
intermitentă de avans radial).
72
Precizia de execuţie a roţilor dinţate cilindrice şi angrenajului este
determinată de treapta de precizie în care se execută roţile dinţate, de
rugozitatea impusă flancurilor şi de jocul dintre flancuri. Treapta de precizie se
alege în funcţie de destinaţia angrenajului şi de viteza periferică de funcţionare.
Roţile dinţate se execută în 12 clase de precizie, treapta 1 fiind cea mai precisă.
Pentru construcţiile uzuale prezintă importanţă roţile executate în clasele de
precizie 5…9.
-criteriul de precizie cinematică ;
-criteriul de funcţionare lină ;
-criteriul contactului dintre dinţi.
73
inclinatiiintdcucilindrice
inclinatiiintdcu
dreptiiintdcuhipoide
speciale
globoidale
cilindrice
melcate
elicoidale
dalehiperboloi
eincrucisat
planaroatacu.angr
tipuridiferitedeateintdroticu
paloida
eloida
circulara
curbadanturacu
inclinatadanturacu
dreaptadanturacu
conice
concurente
cremalieracu.angr
conice
eliptice)necicliceateintdroti(speciale
inclinatadanturacu
dreaptadanturacuerioareint
compusadanturacu
inclinatadanturacu
dreaptadanturacu
exterioare
cilindrice
paralele
Angrenaje
Fig.1.2. Schemǎ de clasificare a angrenajelor
74
Pentru fiecare treaptă de precizie există următoarele criterii de precizie :
Criteriul preciziei cinematice se referă la transmiterea corectă a mişcării
de rotaţie, condiţie necesară funcţionarii angrenajelor cinematice, planetare,
etc.
Criteriul funcţionării line se impune angrenajelor ce lucrează la viteze
mari, unde vibraţiile şi zgomotul trebuie limitate ca valoare.
Criteriul contactului dintre flancuri (al petei de contact) se impune
angrenajelor ce lucrează la puteri ridicate.
Criteriile enumerate mai sus nu sunt obligatorii simultan pentru toate
angrenajele, aceasta depinzând şi de destinaţia acestora. Obligatorie rămâne
însǎ precizia de execuţie a roţilor dinţate.
Pe lânga cele trei criterii de precizie enumerate, angrenajele trebuie să
respecte şi criteriul jocului dintre flancuri. Acest criteriu este independent de
treapta de precizie adoptată şi impune asigurarea unui joc minim jn,min între
flancuri.
Elementele ce concură la realizarea jocului minim dintre flancuri sunt :
-şase tipuri de ajustaje ale roţilor dinţate în angrenare, notate cu A, B, C,
D, E, H în ordinea scăderii jocului minim ;
-opt tipuri de toleranţe ale jocului dintre flancuri Tjn, notate cu (x, y, z) a,
b, c, d, e, h ;
-şase trepte de precizie pentru abaterea distanţei dintre axe, notate cu I,
II, III, IV, V, VI, în ordinea scăderii preciziei.
1.1 Geometria şi cinematica angrenajelor cilindrice cu dinţi drepţi
Sunt destinate transmiterii puterii între doi arbori cu axele paralele.
Prezintă avantajul unui cost de executie redus şi al faptului cǎ nu introduc forţe
axiale în arbori, respectiv în lagăre. Dintre dezavantaje se pot enumera: grad de
acoperire scǎzut, funcţionare cu zgomot la turaţie ridicată, portanţǎ scuzută.
75
Precizia de execuţie precum şi viteza la care poate funcţiona angrenajul
sunt în strânsă corelaţie cu destinaţia acestuia. Pentru reductoarele de uz
general roţile se execută în treptele de precizie 6, 7, 8, 9 ce permit dezvoltarea
unei viteze periferice v<10m/s.
1.1.1 Noţiuni generale privind geometria şi cinematica roţilor dinţate
Roata dinţată - organ dinţat destinat a pune în mişcare un alt organ
dinţat sau a fi pus în mişcare de către acesta, prin acţiunea dinţilor aflaţi
succesiv si continuu în contact. Din categoria de organ dinţat fac parte şi
cremaliera şi melcul.
Dintele - proeminenţa executată pe periferia roţii dinţate destinat a
antrena sau a fi antrenat de către dinţii roţii conjugate în procesul de
angrenare.
Golul (dintre dinţi) - spaţiul care separă doi dinţi alăturaţi ai unei roţi
dinţate.
Dantură - totalitatea dinţilor şi golurilor dintre dinţii unui organ dinţat.
Numărul de dinţi (notat cu z) - numărul total de dinţi pe toată
circumferinţa unei roţi dinţate (chiar şi în cazul în care aceasta nu este
danturată decât pe un sector).
Roată - roata dinţată cu numărul mai mare de dinţi, la un angrenaj
compus din roţi cu numere de dinţi neegale.
Pinion - roata dinţată cu numărul mai mic de dinţi la un angrenaj
constituit din roţi cu numere de dinţi neegale.
Roată conjugată într-un angrenaj este oricare dintre roţi, raportată la
cealalată roată a angrenajului.
Roată dinţată conducătoare, roata dinţată a unui angrenaj care
antrenează în mişcare cealaltă roata dintată.
76
Roată dinţată condusă, roata dinţată a unui angrenaj care este antrenată
în mişcare de către cealaltă roată.
Cilindrul de cap, suprafaţa cilindrică coaxială cu roata dinţată care
conţine (sau este tangentă la ) vârful dinţilor.
Cilindrul de picior, suprafaţa cilindrică coaxială cu roata dinţată care
conţine (sau este tangentă la ) fundul golurilor dintre dinţi.
Cilindrul de rostogolire, suprafaţa cilindrică descrisă de axa instantanee
de rotaţie a mişcării relative a roţii conjugate în raport cu roata considerată. In
timpul mişcarii roţilor dinţate cilindrii de rostogolire ai acestora se rostogolesc
fără alunecare (au viteze periferice egale).
Cilindrul de divizare, suprafaţa cilindrică de rostogolire a roţii dinţate în
angrenarea sa cu organul fictiv care-i defineşte dantura (cremaliera).
Suprafata frontală, intersecţia dintre roata dinţată şi un plan
perpendicular pe axa roţii.
Intersectând cilindri de cap, picior, divizare şi rostogolire cu suprafaţa
frontală rezultă cercurile de cap, picior, divizare şi rostogolire de diametre da,
df, d respective dw.
Raport de angrenare, raportul dintre numarul de dinţi al roţii conduse şi
cel al roţii conducatoare: 12
z/zu = .
77
Raport de transmitere, raportul dintre viteza unghiulară a roţii
conducătoare şi viteza unghiulară a
roţii conduse: 21
/i ωω= ; iu = .
In continuare sunt prezentate
elementele danturii (Fig.1.3):
Flancul dintelui, porţiunea de
suprafaţă, de-a lungul dintelui,
cuprinsă între suprafata de cap şi
suprafaţa de picior.
Profilul dintelui, intersecţia unui
flanc cu o suprafaţa dată. Dacă
suprafaţa dată este suprafaţa frontală
se obtine profilul frontal al dintelui;
dacă suprafaţa dată este o suprafaţă
normală pe dinte se obţine profilul
normal al dintelui.
Flancuri de dreapta, flancurile situate în dreapta unui abservator care
priveşte roata din direcţia unei suprafeţe frontale, dintele find aşezat cu capul
în sus; analog pentru flancurile de stânga.
Flancuri omoloage, toate flancurile de dreapta, respective de stânga.
Flancuri conjugate, flancurile aflate în contact (ale dinţilor roţilor
angrenajului), considerate unele în raport cu celelalte.
Capul dintelui, porţiunea de dinte cuprinsă între cilindrul de divizare şi
cilindrul de cap; înălţimea capului dintelui se notează cu ha.
Piciorul dintelui, porţiunea de dinte cuprinsă între cilindrul de divizare şi
cilindrul de picior; înălţimea piciorului dintelui se notează cu hf.
Inălţimea dintelui, distanţa radială măsurată între cilindrul de cap şi
cilindrul de picior al roţii dintate; înălţimea piciorului dintelui se notează cu h,
fahhh += .
Fig.1.3. Elementele danturii
78
1.1.2. Legea fundamentală a angrenării
Legea fundamentală a angrenării stabileşte condiţiile pe care trebuie să
la îndeplinească profilul dinţilor astfel încât funcţionarea angrenajului să fie
uniformă, cu un raport de transmitere constant.
Pentru demonstrarea legii fundamentale a angrenării se consideră roţile
dinţate 1 şi 2 cu centrele în O1 şi O2, din care au fost reprezentate , spre
simplificare, două sectoare dintate cu doi dinţi aflaţi în contact (fig.1.4). Se fac
ipotezele:
-roata 1 este roată conducătoare:
-transmiterea mişcării se face uniform, cu un raport de transmitere
constant.
79
80
Fig.1.4. Schita de demonstrare a legii angrenarii
Se reprezintă sensurile de rotaţie ale celor două roţi, marcându-se
vitezele unghiulare 1ω şi 2ω . Se construieşte linia centrelor roţilor O1O2 şi
normala comună a flancurilor (profilelor) dinţilor în contact N-N, care se
intersectează în C. Din O1 şi O2 se construiesc perpendicularele pe normala
comună obţinându-se punctele K1 şi K2. Fie M punctul de contact al flancurilor
celor doi dinţi aflaţi în angrenare. In punctual M se suprapun geometric
punctele M1 şi M2 care aparţin dinţilor celor două roţi. Intre punctele M1 şi M2
există mişcare relţivă. Prin unirea centrelor O1 şi O2 ale roţilor cu M1 şi M2 se
obţin razele instantanee de rotaţie R1 şi R2. In continuare se construiesc vitezele
punctelor M1 şi M2 perpendiculare pe razele R1 şi R2 (evident în sensurile date
de 1ω şi 2ω ) rezultând vitezele 1MVr
şi 2MVr
. Acestea se proiectează pe direcţia
normalei N-N obţinându-se componentele normale ale vitezei, n1MV
rşi
n2MVr
şi pe
direcţia tangentei comune la profilele în contact t-t (t-t ⊥ N-N) obţinându-se
componentele tangenţiale t1MVr
şi t2MVr
. Proiecţiile vârfurilor vectorilor viteză se
notează cu A1, A2, B1, B2.
Pentru calculul componentelor normale se consideră
MBBMKO 111 ∆≈∆ (triunghiuri dreptunghice care au câte un unghi ascuţit
egal, având douǎ laturi perpendiculare ). Din asemănarea acestora se pot scrie
rapoartele de asemănare 1
1M
11
n1M
R
V
KO
V= de unde rezultă proiecţia normală a
vitezei
111
1
1111
1
1M11n1M KO
R
RKO
R
VKOV ω⋅=
⋅ω⋅=
⋅=
Vitezele punctelor M1 şi M2 s-au calculat cu relaţiile:
111M RV ⋅ω= ; 222M RV ⋅ω=
81
Analog se procedează pentru determinarea componentei normale a
vitezei punctului M2. Se consideră triunghiurile asemenea MAAMKO 121 ∆≈∆
şi rapoartele de asemănare 2
2M
22
n2M
R
V
KO
V= de unde rezultă:
222
2
2222
2
2M22n2M KO
R
RKO
R
VKOV ω⋅=
⋅ω⋅=
⋅=
Teoretic pot exista trei cazuri privind relaţia dintre vitezele normale ale
celor două puncte:
1. n2Mn1M VV > . In acest caz dintele roţii conducatoare ar patrunde în
materialul dintelui roţii conduse, fapt ce ar conduce la distrugerea roţilor.
Practic acest fenomen nu are loc şi ca atare această situaţie se exclude.
2. n1Mn2M VV > . In acest caz roata 2 ar părăsi contactul (se desface cupla
superioară) cu roata 1. Roata 2 ar deveni roată conducatoare, contrar ipotezei.
3. n2Mn1M VV = .In acest caz sunt respectate condiţiile din ipoteză şi rămâne
singura posibilitate reală de funcţionare a angrenajului. Egalând expresiile
componentelor normale ale vitezelor, se obţine:
n2Mn1M VV = ⇒ 222111 KOKO ω⋅=ω⋅ ⇒ 2
1
11
22
KO
KO
ω
ω=
(dacă se consideră vitezele unghiulare în modul).
Prin definiţie 2
1
2
112
n
ni =
ω
ω= se numeşte raport de transmitere. Raportul de
transmitere include şi semnul (este negativ dacă cele două roţi au sensuri de
rotatie opuse şi pozitiv dacă au acelaşi sens de rotaţie). Raportul 1212 iu = se
numeşte raport de de angrenare, 11
2212
KO
KOu = .
Din asemănarea triunghiurilor dreptunghice CKOCKO 2211 ∆≈∆ (au două
unghiuri opuse la vârf) rezultă: === 12
1
2
11
22 uCO
CO
KO
KO constant. Având în vedere că
distanţa dintre axe este fixă =+= COCOa 21w constant şi că ==11
2212
KO
KOu constant
82
rezultă =+
=u1
aCO W
1constant. Aceasta înseamnă că punctul C, numit polul
angrenării, ocupă o poziţie fixă pe linia centrelor.
Notând 1b11 rKO = ,
2b22 rKO = şi 1w1 rCO = ,
2w2 rCO = , relaţia raportului de
angrenare poate fi scrisă: ===1w
2w
1b
2b12
r
r
r
ru constant.
Cu aceste elemente se poate enunţa legea fundamentală a angrenării:
Condiţia necesară si suficientă pentru ca transmiterea mişcării de la roata
conducătoare (1) la roata condusă (2) să se realizeze uniform şi întrun raport de
transmitere constant este ca profilele dinţilor să fie astfel construite încât
normala comună la flancurile în contact (N-N), să treacă printr-un punc fix C,
numit polul angrenării.
Din demonstraţia prezentată se mai pot emite unele observaţii şi
concluzii legate de funcţionarea unui angrenaj, şi anume:
-vitezele punctelor în contact, M1 şi M2 sunt variabile în timp deoarece
punctele ocupă poziţii diferite pe flancul dinţilor în procesul de angrenare. De
asemenea aceste viteze sunt neegale, 2M1M VV ≠ . Având în vedere proiecţiile
vitezelor pe direcţia normalei (N-N) sunt egale ( n2Mn1M VV = ) rezultă că vitezele
tangenţiale sunt inegale 2Mt1Mt VV ≠ .
-existenţa vitezelor tangenţiale diferite are ca efect asupra mişcării
relative dintre flancuri apariţia unei alunecări relative pe lângă cea de
rostogolire. Intre dinţii aflaţi în contact există rostogolire pură în momentul în
care cei doi dinţi aflaţi în contact se află în C, polul angrenării.
-alunecarea relativă dintre flancurile dinţilor produce pierderi de putere
prin frecare, uzarea dinţilor prin frecarea de alunecare. In polul angrenării
fortele de frecare schimbă de sens, fenomen ce conduce la apariţia de vibraţii şi
sarcini dinamice .
83
1.1.3. Curbe utilizate pentru profilarea dinţilor. Evolventa
Condiţia impusă de legea de bază a angrenării ca normala comună la
profilele în contact să treacă prin polul angrenării C, poate fi îndeplinită de mai
multe curbe. Curbele utilizate pentru profilarea dinţilor trebuie să
îndeplinească condiţiile:
-să respecte legea fundamentală a angrenării;
-tehnologia de execuţie a profilului sa fie cât mai simplă dar precisă, să
necesite SDV-uri cât mai simple, ieftine, universale.
-să fie cât mai puţin sensibile la erorile de execuţie şi montaj din punctul
de vedere al cinematicii angrenajului;
-să asigure capacitate de transmitere cât mai mare;
-să permită interschimbabilitatea roţilor.
Aceste cerinţe sunt îndeplinite de curbele ciclice la care linia de
angrenare (locul geometric al punctelor sccesive de contact la flancurilor
dinţilor) este formată din arce de cerc sau segmente de dreaptă. Curba ciclică
este traiectoria descrisă de un punct invariabil de pe un cerc numit ruletă care
se rostogoleşte fără alunecare pe un
cerc fix ( de rază rb ) numit bază (sau
cerc de bază). Dacă cele două
cercuri sunt tangente exterior se
obţine epicicloida iar dacă sunt
tangente interior se obţine
hipocicloida. Dacă baza
degenerează într-o dreaptă prin
creşterea razei ( ∞→br ) se obţine
ortocicloida. In cazul în care raza
ruletei tinde către infinit iar ruleta
degenerează într-o dreaptă, curba
ciclică devine evolventă. Evolventa
Fig.1.5.Evolvente decalate
84
este curba ciclică cel mai des utilizată deoarece tehnologia de execuţie (prin
rulare) permite obţinerea unei
productivităţi şi precizii ridicate.
Evolventa
Evolventa este curba ciclică
descrisă de un punct fix al unei
drepte
care se rostogoleşte fară
alunecare pe un cerc de bază.
Puncte diferite ale dreptei descriu
evolvente identice la rostogolirea
dreptei pe cercul de bază, dar
decalate între ele. In fig.1.5. se
observă cum sunt generate două
evolvente identice decalate, de stânga, o evolventă de dreapta şi modul în care,
prin alăturarea a două evolvente, se obţin cele doua flancuri ale dintelui.
Pentru stabilirea coordonatelor unui punct curent My al evolventei, în
coordonate polare, se consideră fig.1.6.
Se fac următoarele notaţii:
M0 – punct de început al evolventei, situat pe cercul de bază, rb;
My – punct curent al evoventei de coordonate ),r(M yyy θ ;
K – punctul de tangenţă al dreptei ( ∆ ) cu cercul de bază peste care se
rostogoleşte fără alunecare. Punctul K este în acelaşi timp centrul de curbură al
evoventei, corespunzător punctului curent M de pe evolventă;
yρ - raza de curbură a evolventei corespunzătoare punctului curent My;
KM yy =ρ .
yα - unghiul format de raza ry corespunzătoare punctului My si tangenta
t-t la curbă în acelaşi punct. Acest unghi se numeşte unghi de presiune;
Fig.1.6. Construcţia evolventei
85
yθ - unghiul descris de raza vectoare ry, atunci când punctul curent
parcurge arcul de evolventă din punctul de început al acestuia M0 până în
punctul curent My . yθ se numeşte involută de yα ( yy invα=θ ).
La rostogolirea dreptei ( ∆ ) fără alunecare pe cercul de bază (de rază rb),
segmentul KMy este egal cu arcul KM 0
)). Se exprimă fiecare dintre acestea în
funcţie de raza curentă ry şi unghiul yα .
yyyy sinrKM α⋅=ρ= ; yby tgr α⋅=ρ
Egalând cele două expresii pentru razele locale de curbură yρ şi
efectuând calcule elementare, rezultă:
byy
rcosr =α⋅ (1)
Relaţia (1) constituie un invariant important în studiul angrenajelor. De
asemenea, din aceeaşi relaţie se poate scoate valoarea razei curente
y
b
ycos
rr
α= . Alţi invarianţi utilizaţi frecvent :
α⋅=α⋅=α⋅ cosacosa;dcosdyybyy
(2)
Pentru calculul unghiului yθ se egalează segmental KMy cu arcul de cerc
KM 0
)) unde )(rKM yyb0 α+θ⋅=
)). Această relaţie este valabilă dacă unghiurile yθ şi
yα sunt exprimate în radiani. Se obţine astfel :
ybyyb tgr)(r α⋅=α+θ⋅ ⇒ yyy tg α−α=θ .
Coordonatele punctului curent care descrie evolventa sunt:
),r(M yyy θ unde y
by
cos
rr
α= şi yyyy invtg α=α−α=θ
Valorile pentru yinvα se pot calcula sau se gǎsesc în tabele din carţile de
specialitate. Problema nu o constituie calculul pentru yyy tginv α−α=α (unghiul
exprimat în radiani) ci identificarea argumentului involutei.
86
Pentru calculul unghiului y
α atunci când se cunoaşte yinvα se poate folosi
relaţia :
)invln(e)invln()inv(d)invln(invcinvbayy
5,0
yyyyyα⋅+α⋅α⋅+α⋅α⋅+α⋅+=α
unde .70007702840,0e;5647967,0d
;47428021,0c;9767615,0b;011516685,0a−=−=
−===
Principiul de generare al evolventei însoţit de modul de determinare al
coordonatelor punctului curent My al acesteia permit formularea unor
proprietăţi ale evolventei:
-evolventa este o curbǎ ciclică care nu are niciun punct în interiorul
cercului de bază. Punctul iniţial (de origine) al evolventei M0 se află pe cercul de
bază;
-normala în orice punct la evolventă este dreapta dusă tangentă la cercul
de bază prin punctul considerat;
-centrul de curbură al evolventei este punctul de tangenţă al dreptei la
cerc iar raza de curbură este segmentul cuprins între punctul de pe evolventă
(My) şi punctul de tangenţă al dreptei la cercul de bază ( KM yy =ρ ). Evolventa
este o curbă cu raza de curbură variabilă.
1.1.4. Elementele cinematice ale danturii în evolventă
Se consideră două roţi dinţate de centre O1 şi O2 din care se reprezintă o
pereche de dinţi (conjugaţi) aflaţi în angrenare. Normala (N-N) comună la
flancurile în contact trece conform legii de bază a angrenării prin polul
angrenării (C). Acesta se află la intersecţia normalei cu linia centrelor. Se mai
construiesc:
-tangenta comuna T-T la cercurile de rostogolire ale celor două roţi şi
care trece prin polul angrenării, C;
-tangenta comună t-t la flancurile în contact care trece prin punctul de
contact M;
87
-razele locale ale punctului de contact M raportate la centrele celor două
roţi O1 şi O2, şi anume O1M=R1 şi O2M=R2.
Procesul de angrenare începe în momentul în care piciorul dintelui roţii
conducatoare ia primul contact cu capul dintelui roţii conduse (A)şi se încheie
atunci când capul dintelui roţii conducătoare părăseşte baza dintelui roţii
conduse (E). Punctele de început de angrenare (A) şi ieşire din angrenare (E) se
găsesc la intersecţia cercurilor de cap ale celor două roţi cu linia de angrenare
N-N.
Elementele cinematice ale danturii în evolventă care se definesc în acest
paragraf sunt (fig.1.7.): linia de angrenare, arcul de angrenare, unghiul de
angrenare, unghiul de presiune.
Fig.1.7.Elementele cinematice ale danturii în evolventǎ
Linia de angrenare este locul geometric al punctelor de contact ale
dinţilor aflaţi în angrenare. Teoretic linia de angrenare poate fi orice curbă.
88
Pentru roţile cu dinţi având profil evolventic, linia de angrenare este o dreaptă
N-N care este tangentă comună la cercurile de bază ale celor două roţi şi
normală la profilele în contact.
Arcul de angrenare este arcul descries de un punct de pe flancul dintelui
situat pe cercul de rostogolire de la intrarea acestuia în angrenare (A) până la
ieşirea sa din angrenare (E), '
11CC))
.
Unghiul de angrenare wα este unghiul dintre tangenta comună la
cercurile de rostogolire T-T şi normala comună N-N la flancurile în contact.
Unghiul de presiune α este unghiulm format de tangenta comună la
profilele în contact t-t şi razele locale ale puctului de contact M raportate la
cele două roţi, O1M şi O2M. Se observă că unghiurile de presiune ale dinţilor
celor două roţi ale unui angrenaj sunt diferite. Acestea devin egale între ele
atunci când cei doi dinţi sunt în contact în polul angrenării, adică CM ≡ .
Unghiurile de presiune au valori diferite şi pentru aceeaşi roată, în funcţie de
cercul pe care se află punctul de contact. Se întâlnesc astfel:
- yα - unghiul de presiune corespunzător unui cerc de rază oarecare, ry;
- fα - unghiul de presiune corespunzător cercului de picior, de rază rf;
- aα - unghiul de presiune corespunzător cercului de cap, de rază ra;
- α - unghiul de presiune corespunzător cercului de divizare, de rază r;
- wα - unghiul de presiune corespunzător cercului de rostogolire, de rază rw.
Folosind relaţia invariant (1) stabilită la prezentarea evolventei
yybcosrr α⋅= se pot exprima unghiurile de presiune corespunzătoare unor
puncte de pe flancul dintelui situate pe cercurile de cap aα , picior fα , divizare
α , rostogolire wα , oarecare yα :
a
ba
r
rarccos=α ;
f
bf
r
rarccos=α ;
r
rarccos b=α ;
w
bw
r
rarccos=α ;
y
by
r
rarccos=α .
89
1.1.5.Cremaliera de
referinţă. Cremaliera
generatoare.
Prin rostogolirea fără alunecare a unei drepte peste un cerc de bază,
puncte de pe aceasta descriu evolvente asemenea. In cazul în care raza cecului
de bază creşte, profilul dinţilor se aplatisează. Dacă ∞→br , cercul de bază
degenerează într-o dreaptă. Numărul de dinţi al roţii tinde către infinit ∞→z
iar profilele dinţilor devin linii
drepte. Roata dinţată se transformă în
cremalieră. Cercurile de cap, picior,
divizare şi rostogolire devin linii
drepte. Astfel cercul de rostogolire
devine linie de referinţă iar cercul de
divizare devine linia de divizare. In angrenarea dintre cremalieră şi roată, linia
de referinţă ( ref∆ ) este tangentă cercului de rostogolire al roţii iar dreapta de de
divizare ( div∆ ) este tangentă cercului de divizare.
Profilul dinţilor cremalierei are forma unui trapez isoscel, normala
dintelui face unghiul α cu linia de referinţă a cremalierei. Cremaliera de
referinţă este o cremalieră fictivă ai cărei dinţi au forma şi dimensiunile
precizate şi care este folosită la definirea danturii roţilor dinţate.
Fig.1.8.Cremaliera de referinţǎ
90
Profilul cremalierei de referinţă (profilul de referinţă) este rezultatul
intersecţiei dintre cremaliera de referinţă cu un plan perpendicular pe linia
flancului dintelui (fig.1.8) .
Cremaliera de referinţă se caracterizează prin următoarele proprietăţi:
-este o cremalieră fictivă, situată de aceeaşi parte cu roata;
-roţile care au aceeaşi cremalieră de referinţă pot angrena între ele.
Pentru a micşora numărul sculelor pentru danturat şi a asigura
interschimbalitatea roţilor este necesar să se standardizeze dimensiunile
profilului de referinţă al cremalierei. Profilul cremalierei de referinţă este
standardizat conform STAS 821-82. Parametri cremalierei (profilului) de
referinţă sunt afectaţi de indicele zero (h0a – înălţimea capului dintelui de
referinţă). Având în vedere că în definirea ulterioară a geometriei roţilor
dinţate parametri nu mai sunt afectaţi de acest indice, se va face abstracţie
de el în continuare.
Parametri standardizaţi ai cremalierei de referinţă pentru un angrenaj
cilindric cu dinţi drepti sunt:
- 020=α ; unghiul de presiune al cremalierei (unghiul de înclinare al
flancului dintelui cremalierei);
- ∗
ah =1; coeficientul înălţimii capului dintelui de referinţă;
- *c = 0,25; coeficientul jocului la piciorul dintelui de referinţă;
- *
fρ =0,375; coeficientul razei de racordare la piciorul dintelui de referinţă.
Parametrii ∗∗∗ ρα fa ,c,h, pot avea şi alte valori, diferite de cele
standardizate, pentru dantură modificată .
Elementele geometrice ele profilului cremalierei de referinţă sunt:
m - modulul cremalierei de referinţă [mm], STAS 822-82;
ha – înălţimea capului dintelui de referinţă: mhh a ⋅= ∗ ;
c – mărimea jocului la piciorul dintelui de referinţă: mcc ⋅= ∗ ;
91
hf – înălţimea piciorului dintelui de referinţă: m)ch(h af ⋅+= ∗∗ ;
h – înălţimea dintelui de referinţă: m)ch2(hhh afa ⋅+⋅=+= ∗∗ ;
fρ - raza de racordare la piciorul dintelui de referinţă: mff ⋅ρ=ρ ∗ .
Exemple de valori standardizate ale modulului: 1; 1,25; 1,5; 1,75; 2; 2,25;
2,5; 2,75; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 6; 8.
In continuare se mai pot defini următoarele elemente geometrice ale
cremalierei de referinţă:
p – pasul cremalierei de referinţă: mp ⋅π= ;
s – grosimea dintelui pe linia de referinţă: 2/m2/ps ⋅π== ;
e – mărimea golului pe linia de referinţă: 2/m2/pe ⋅π==
Pasul danturii cremalierei de referinţă este constant pe toată înălţimea
danturii. Grosimea dintelui este egală cu mărimea golului dintre dinţi numai pe
linia de referinţă.
In afara cremalierei de referinţă se mai definesc cremaliera de
funcţionare şi cremaliera generatoare.
Cremaliera de funcţionare este cremaliera cu care angrenează o roată
dintr-un angrenaj roată-cremalieră. Parametrii geometrici ai cremalierei de
funcţionare coincid cu parametrii cremalierei de referinţă ai cremalierei de
referinţă ai roţii conjugate.
Cremalierea generatoare este o cremalierǎ fictivă sau reală care, prin
rostogolirea pe cilindrul de divizare al roţii semifabricat, execută dantura roţii
dinţate. Dinţii cremalierei generatoare sunt astfel executaţi încât umplu
complet golurile dintre dinţii cremalierei de referinţă. Cremaliera generatoare
poate fi folosită ca sculă pentru generarea flancurilor evolventice ale dinţilor
unei roţi dinţate ce urmează a angrena cu o cremalieră de funcţionare.
“Angrenajul” format din cremaliera generatoare şi “roata semifabricat”
este numit “angrenaj generator” iar angrenajul format de o roată dinţată cu o
cremalieră de funcţionare este numit angrenaj de funcţionare.
92
1.1.6. Elementele geometrice ale angrenajului cilindric cu dinţi drepţi cu
profil nedeplasat
Pe baza parametrilor cremalierei de referinţă se pot defini elementele
geometrice ale danturii roţilor dinţate ale unui angrenaj cilindric cu dinţi drepţi.
Pe lângă parametri cremalierei de referinţă se mai consideră cunoscute
numerele de dinţi z1 şi z2 ale celor două roţi şi modulul danturii, m.
-înălţimea capului dintelui:
mhhhh aa2a1a ⋅=== ∗ ;
-înălţimea piciorului dintelui:
m)ch(hhh af2f1f ⋅+=== ∗∗ ;
-înălţimea totală a dintelui:
fa21 hhhh +== ;
Inălţimile parţiale şi totală ale dinţilor celor două roţi sunt egale pentru
un angrenaj căruia nu i s-a efectuat o deplasare de profil.
-pasul pe cercul de divizare:
mp ⋅= π ;
Pasul pe cercul de divizare reprezintă porţiunea din cercul de divizare
(este o lungime de arc) corespunzătoare unui plin şi un gol de dinte. Pasul are
valori diferite măsurat pe cercuri de diametre diferite. Pasul măsurat pe un cerc
oarecare de rază ry se notează cu py. In afara pasului măsurat pe cercul de
divizare p, important în definirea geometriei angrenajului este pasul măsurat
pe cercul de bază pb. Invariantul byy rcosr =⋅ α se poate extinde prin
transformări simple şi la pas,
byy pcosp =⋅ α , sau bpcosp =α⋅ .
93
-diametrele de divizare.
Din fig.1.9 se poate scrie relaţia de calcul a lungimii cercului de divizare prin
două relaţii pe care le egalăm: zpd ⋅=⋅π , zmd ⋅⋅=⋅ ππ .
Fig.1.9. Elementele geometrice ale angrenajului
cilindric cu dinţi drepţi
Rezultă:
11 zmd ⋅= şi 22 zmd ⋅= .
-diametrele cercurilor de cap:
)2z(mh2dd 11a11a +⋅=⋅+= ;
)2z(mh2dd 22a22a +⋅=⋅+= ;
-diametrele cercurilor de picior:
)5,2z(mh2dd 11f11f −⋅=⋅−= ;
)5,2z(mh2dd 12f22f −⋅=⋅−= ;
In relaţiile de mai sus s-au admis pentru coeficienţii parametrilor
cremalierei de referinţă valorile standardizate 25,0c;1h *
a==∗ .
94
-distanţa dintre axe de referinţă :
)2
zz(m
2
dda 1212 ±
⋅=±
= ;
-diametrele cercurilor de rostogolire :
22w11w dd;dd == (pentru dantură nedeplasată) ;
-distanţa reală dintre axe :
a2
dda 1w2w
w =±
= (pentru dantură nedeplasată);
-lăţimile danturii roţilor:
wa ab ⋅Ψ= ,
unde a
Ψ este factorul de laţime a danturii: ;1...3,0)10,0(a
=Ψ
mb,mm5...2b;bbb;bb 212 ≤∆=∆∆+== .
Notă : In relaţiile în care apare semn dublu (± ), semnul superior este valabil
pentru angrenajele exterioare iar cel inferior pentru angrenajele interioare.
In continuare este prezentatǎ schiţa angrenajului cilindric cu dinţi drepţi
(fig.1.10).
95
Fig.1.10.Schiţa angrenajului cilindric cu dinţi drepţi
1.1.7. Gradul de acoperire
Pentru înţelegerea noţiunii de grad de acoperire şi stabilirea relaţiei de
calcul s-a inserat fig.1.11. Se reamintesc şi câteva noţiuni necesare în acest
scop:
linie de angrenare - locul geometric descris de punctele de contact ale dinţilor
aflaţi în procesul de angrenare, N-N;
segment teoretic de angrenare - segmentul 21
KK de pe normala comună N-N
(linia de angrenare) la flancurile dinţilor aflaţi în contact şi care trece prin polul
angrenării, C ;
96
Fig.1.11.Elemente necesare înţelegerii noţiunii de grad de acoperire
Fig.1.12. Schiţa pentru calculul gradului de
acoperire
procesul de angrenare a doi dinţi- începe atunci când piciorul dintelui roţii
conducătoare ia primul contact cu capul dintelui roţii conduse (A) şi se încheie
97
atunci când capul dintelui roţii conducătoare părăseşte piciorul dintelui roţii
conduse (E);
A-punctul de intrare în angrenare a unei perechi de dinţi;
E-punctul de ieşire din angrenare a unei perechi de dinţi;
AE - segmental real de angrenare (A este situat între K1 şi C iar E este situat
între K2 şi C);
arcul de angrenare- arcul parcurs de un punct al cercului de rostogolire al
roţilor dinţate, C1 (respectiv 2
C ) pe toată durata angrenări a doi dinţi conjugaţi,
când acest punct ajunge în '
1C (respective '
2C ).
Pentru ca angrenarea să fie continuă este necesar ca la ieşirea a doi dinţi
din angrenare (punctul E), perechea următoare de dinţi să fie deja intrată în
angrenare (să fi depăşit punctul A). Acest lucru este posibil în cazul în care arcul
de angrenare este mai mare decât pasul pe cercul de rostogolire, adică:
w
'
11pCCC >
))).
Se defineşte astfel, matematic, gradul de acoperire:
1p
CCC
w
'
11 >=ε
)))
.
Dacă, matematic, gradul de acoperire se defineşte ca fiind raportul dintre
arcul de angrenare şi pasul pe cercul de rostogolire, acesta mai poate fi definit
şi ca fiind numărul mediu de perechi de dinţi aflaţi simultan în angrenare.
Pentru desfăşurarea demonstraţiei este necesar a se face următoarele
precizări:
-1
ω ,2
ω - vitezele unghiulare ale celor două roţi;
-vC - viteza liniară a polului angrenării;
-vb – viteza liniară a unui punct de pe cercul de bază;
- t - timpul în care punctual C1 parcurge arcul de angrenare '
11CCC)))
;
98
- e1, '
1e respectiv e2, '
2e reprezintă punctele de început ale evolventei de
pe cercurile de bază, corespunzătoare începerii angrenaii respectiv ieşirii din
angrenare a doi dinţi conjugaţi . In timp ce pe cercurile de rostogolire sunt
străbătute arcele de angrenare '
11CCC)))
respectiv '
22CCC)))
, pe cercurile de bază
sunt străbătute arcele '
11ee))
respectiv '
22ee))
. Tinând seama de modul de definire a
evolventei se poate consemna faptul că AEee '
11=
)).
Având în vedere precizările de mai sus, se poate scrie:
trtvCCC1w1C
'
11⋅⋅ω=⋅=
))); trtvee
1b11b
'
11⋅⋅ω=⋅=
)).
Se ma ţine seama si de invarianţii stabiliţi la definirea evoventei:
wwb
cosrr α⋅= ; α⋅=α⋅ cospcospww
.
Făcând raportul celor două arce, se obţine:
w1b
1w
1b1
1w1
'
11
'
11
cos
1
r
r
tr
tr
ee
CCC
α==
⋅⋅ω
⋅⋅ω=))
)))
⇒ww
'
11'
11cos
AE
cos
eeCCC
α=
α=
)))))
.
Din fig 1.12.se observă că:
CKEKCKAKCEACAE1122
−+−=+=
A2b2tgrAK α⋅= ;
w2b2tgrCK α⋅= ;
E1b2tgrEK α⋅= ;
w1b1tgrCK α⋅=
2a
2b
Ar
rcos =α ;
1a
1b
Er
rcos =α ;
Se poate calcula:
2b
2
2b
2
2a
2a
2b
2
2a
2b
A
A
2
Ar
rr
r
r
r
r1
cos
cos1tg
−=
−
=α
α−=α ;
1b
2
1b
2
1a
Er
rrtg
−=α
Introducând relaţiile de mai sus în relaţia de definirea a gradului de acoperire
se obţine:
99
=α⋅
==εwww
'
11
cosp
AE
p
CCC)))
ww
w2b1b
2
2b
2
2a
2
1b
2
1a
cosp
tg)rr(rrrr
α⋅
α⋅+−−+−
Se ajunge la relaţia de lucru, relaţie de calcul a gradului de acoperire pentru un
angrenaj cilindric cu dinţi drepţi:
=εα⋅⋅π
α⋅−−+−
cosm
sinarrrrww
2
2b
2
2a
2
1b
2
1a (3)
S-a mai folosit relaţia mp ⋅π= şi s-a înlocuit
www2ww1w2b1bcosacosrcosrrr α⋅=α⋅+α⋅=+ unde
w2w1warr =+ .
Dacă dantura nu este corijată, utilizând relaţiile de la 1.1.6 , relaţia ( 3) va avea
următoarea expresie de lucru:
α⋅+−−
α⋅
++−
α⋅
+
π⋅=ε tg)zz(z
cosz
2zz
cosz
2z
2
121
2
2
2
2
22
1
2
1
1 (4 )
1.1.8. Fenomenul de interferenţă
Se constată că dacă numărul de dinţi ai pinionului este situat sub o
valoare minimă min11
zz < (min1
z , valoare ce se va stabili în acest paragraf)
angrenarea roţilor nu se mai face normal, dinţii roţii conjugate tind să intre în
materialul dinţilor pinionului. Fenomenul de pătrundere a vârfului dintelui roţii
conjugate în materialul dintelui pinionului poartă numele de interferenţă. Acest
fenomen se manifestă practic prin îndepărtarea de material din dintele
pinionului sau prin blocarea angrenajului. Dacă îndepărtarea de material se
produce la piciorul dintelui, fenomenul mai portă numele de subtăiere
(fig.1.13).
Interferenţa este nedorită prin efectele pe care le produce: micşorarea
secţiunii de rezistenţă de la baza dintelui care conduce la ruperea prematură a
100
dinţilor; modificarea geometriei danturii care conduce la apariţia unor sarcini
dinamice şi ca atare la apariţia unor solicitări suplimentare.
Interferenţa poate apărea atât în funcţionarea angrenajului cât şi în
procesul de generare (uzinare) a roţilor dinţate.
Din punct de vedere geometric şi
cinematic, interferenţa apare atunci când
punctul de intrare în angrenare A respective
punctul de ieşire din angrenare E se situează în
afara liniei teoretice de angrenare 21
KK .
Pentru stabilirea numărului minim de
dinţi ai pinionului se consideră situaţia limită
când 1
KA ≡ .
In fig.1.14 în care au fost reprezentate
centrele celor două roţi şi elementele
geometrice şi cinematice necesare calculului
geometric demonstrativ, se consideră ACO2∆
în care se aplică teorema lui Pitagora generalizată :
Fig.1.14.Schema de demonstrare
a interferenţei
)90cos(COAC2COACAO2
2
2
22
2α+⋅⋅⋅−+=
2
)h2z(m
2
mh2zm
2
h2d
2
dAO
*
a2
*
a2a22a
2
⋅+⋅=
⋅⋅+⋅=
⋅+== ; (5 )
2
sinzm
2
sindAC 11
α⋅⋅=
α⋅= ;
2
zm
2
dCO 22
2
⋅== ;
α−=α+ sin)90cos( .
Prin înlocuirea relaţiilor de la 1.1.6 în relaţia (5 ) se obţine:
Fig.1.13.Subtaiere la baza
dintelui
101
)sin(2
zm
2
sinzm2
2
zm
2
sinzm
2
)h2z(m
21
2
2
2
1
2*a2
α−⋅
⋅α⋅⋅
⋅−
−
⋅+
α⋅⋅=
⋅+⋅
Efectuând calculele de ridicare la patrat, reducere a termenilor
asemenea şi împarţire a relaţiei prin m2 se obţine:
2*
a
22
1
2
1
2*
a2)h(4sinz]sinz)h(4[z ⋅−α⋅=α⋅−⋅⋅ .
De unde se se ajunge la relaţia :
α⋅−
−
α⋅
=21*
a
2*
a
2
1
2
sin2
zh
)h(sin2
z
z . (6 )
In faza de uzinare (prelucrare a danturii) pinionul (semifabricatul) este
întrun proces de angrenare cu o sculă ce materializează cremaliera
generatoare. Pentru ca pinionul să angreneze corect cu o cremalieră este
suficient să punem condiţia ca aceasta să aibă un număr infinit de dinţi, adică:
∞→2
z .
Aceasta echivalează cu:
∞→α⋅− 21*
asin
2
zh .
La limită se obţine:
0sin2
zh 21*
a=α⋅− sau
α
⋅=
21sin
*h2z
unde z1 reprezintă numărul minim de dinţi ai unei roţi dinţate astfel incât să nu
apară interferenţa. Pentru valorile standardizate ale parametrilor cremalierei
de referinţă 1h*
a= şi
020=α se obţine 1,17z
min= .
Practic se admite numărul minim de dinţi 17zmin
= dinţi pentru a nu
apărea fenomenul de interferenţă atunci când nu se execută o corijare a
danturii.
102
1.1.9. Modificarea danturii
Modificarea danturii înseamnă schimbarea geometriei acesteia în scopul
îmbunătăţirii condiţiilor de funcţionare, de rezistenţă sau uzură precum şi
pentru realizarea unor condiţii impuse.
Condiţiile de funcţionare, de rezistenţă sau uzură ale angrenajului, care
pot fi îmbunătătite prin modificarea danturii, sunt:
-asigurarea unei funcţionări silenţioase prin mărirea gradului de
acoperire;
-creşterea rezistenţei de contact a angrenajului prin mărirea razelor de
curbură ale profilelor sau prin realizarea unei repartiţii uniforme a sarcinilor pe
dinte;
-mărirea rezistenţei la încovoiere a dintelui prin îngroşarea bazei
acestuia;
-mărirea rezistenţei vârfului dintelui prin ingroşarea acestuia;
-evitarea interferenţei pentru roţile dinţate construite cu un număr de
dinţi mai mic decât valoarea minimă admisă, prin realizarea unei deplasări
pozitive de profil, etc.
Dintre condiţiile impuse ce se pot realiza prin modificarea danturii pot fi
amintite:
-realizarea unei distanţe dintre axe standardizată sau impusă din alte
condiţii;
-realizarea unei roţi dinţate care să angreneze cu o roată dinţată
existentă, în condiţiile impuse de montaj, etc.
Modificarea danturii poate afecta profilul acesteia în toate planele
frontale în aceeaşi măsură sau diferit. Sub acest aspect se pot distinge:
103
-modificarea frontală în cazul în care profilul este identic modificat în
toate planele frontale;
-modificare axială în cazul în care profilul nu este identic modificat în
toate planele frontale, putând să rămână nemodificat în anumite zone.
Modificarea axială a danturii constă în reducerea progresivă a grosimii
dintelui înspre extremităţile liniei flancului(bombare). Prin această modificare
se mǎreşte capacitatea de încărcare a angrenajelor, prin micşorarea efectului
de concentratori de eforturi la marginea dintelui. Se recomandă pentru
angrenajele puternic solicitate care conduc la deformarea pronunţată a
arborilor şi la înclinarea roţilor în funcţionare.
Modificarea frontală poate fi realizată în două moduri principale:
-prin modificarea cremalierei de referinţă, respective generatoare;
- prin menţinerea nemodificată a cremalierei de referinţă.
Modificarea frontală prin modificarea cremalierei de referinţă se
realizează prin modificarea parţială sau totală a parametrilor geometriei
cremalierei de referinţă, respective generatoare. Parametri care pot fi
modificaţi sunt:
-unghiul de referinţă, 0α ;
-coeficientul de înălţime a capului dintelui de referinţă, ∗
0ah ;
-coeficientul jocului de referinţă la piciorul dintelui, ∗
0c .
Unghiul de angrenare are valoarea standardizată 0
0 20=α . Acesta poate
lua şi valori de 17030’, 15
0, 14
030’ în construcţia angreanajelor conice sau
17030’, 22
030’ şi mai mari la angrenajele cilindrice. Influenţa modificării
unghiului de referintă asupra roţilor dinţate şi angrenajului se poate sintetiza
în:
-îngroşarea dintelui la bază (pericol de subtăiere) şi subţierea vârfului
dintelui (pericol de ascuţire) prin mărirea unghiului de referinţă;
-scade numărul minim de dinţi ai roţilor dinţate fără a fi necesară
deplasarea de profil ( de ex: zmin=17 pentru 0
0 20=α şi zmin= 8 pentru 0
0 30=α );
104
-creşterea capacităţii angrenajului la presiunea de contact pe flancuri
(prin mărirea unghiului de angrenare şi implicit a razelor echivalente de curbură
ale flancurilor dinţilor). Prin modificarea unghiului de referinţă se modifică şi
gradul de acoperire, mărime ce trebuie verificată ca atare.
Factorul de înălţime a capului dintelui de referinţă are valoarea standardizată
1h 0a =∗ . Modificarea cea mai frecventă a acestuia este în sensul scurtării
dintelui, adică o micşorare a acestuia. Valoarea micşorată obişnuită este
8,0h 0a =∗ iar cea mărită 1,1h 0a =∗ , foarte rar 2,1h 0a =∗ . Consecinţele măririi
factorului de înălţime a capului dintelui de referinţă sunt:
-creşte momentul de încovoiere la baza dintelui (scade rezistenţa
dintelui);
-subţierea accentuată a vârfului dintelui (pericol de ascuţire);
-se măreşte limita inferioară a numărului minim de dinţi pentru care nu
apare fenomenul de subtăiere ( 21zmin = dinţi, pentru 2,1h*
0a= şi 0x = );
-se măreşte gradul de acoperire.
Mărirea înălţimii dintelui se întâlneşte la angrenajele cinematice, cum ar
fi în cazul construcţiei aparatelor de măsură.
Scurtarea dintelui se poate realiza prin micşorarea lui ∗0ah sau prin modificarea
difertenţiată a capului m8,0h 0a ⋅= respectiv a piciorului dintelui
m1,1chh 00a0f ⋅=+= . Modificarea danturii prin scurtarea capului dintelui
constă în micşorarea diametrului semifabricatului înainte de danturare cu o
sculă normală .
Consecinţele scurtării capului dintelui sunt:
-micşorarea momentului încovoietor la baza dintelui (creşte rezistenţa la
încovoiere);
-creşte jocul la piciorul dintelui în timpul angrenării; acesta este de fapt
principalul motiv pentru care se execută o astfel de modificare;
-se micşorează gradul de acoperire; este necesară recalcularea acestuia .
105
Mărirea jocului la piciorul dintelui se impune ca o consecinţă a realizării
altor modificări ale danturii. Astfel, în cazul micşorării piciorului dintelui, raza
de fund a roţii creşte, conducând la micşorarea jocului la piciorul dintelui.
Realizarea unui joc corespunzător la piciorul dintelui presupune mărirea
coeficientului jocului de referinţă de la 25,0c0 =∗ până la 35,0c0 =∗ . Această
modificare a jocului impune modificarea sculei generatoare.
Modificarea danturii prin menţinerea nemodificată a cremalierei
Această modificare se numeşte şi deplasare de profil. Se realizează prin
schimbarea radială a poziţiei organului de referinţă (generator) fată de cercul
de divizare al semifabricatului. Astfel, pentru realizarea unei danturi
nedeplasate, linia de referinţă a cremalierei generatoare coincide cu linia de
divizare (tangenta la cercul de divizare al roţii semifabricat). In fig.1.15
deplasarea specifică de profil este 0x = iar deplasarea reală 0mx =⋅ , unde x
este deplasarea specifică iar m modulul danturii.
Deplasarea profilului este distanţa dintre linia de referinţă a cremalierei
şi linia de divizare a roţii. Valoarea deplasării se consideră pozitivă când linia de
referinţă este deplasată spre vârful dintelui şi negativă cănd este deplasată spre
baza acestuia. Deplasarea specifică poate lua astfel valori pozitive 0x > ,
negative 0x < sau poate fi nulă 0x = în cazul în care profilul este nemodificat. In
fig.1.15 a), b), c) este prezentată poziţia cremalierei generatoare (sculei) fată de
linia de divizare a roţii (semifabricat). De asemenea sunt prezentate şi forme
ale dinţilor obţinuţi prin realizarea deplasării de profil. Se observă că la
deplasarea pozitivă vârful dintelui se ascute şi baza se îngroaşă. La deplasarea
negativă vârful se îngroaşă şi se subţiază baza dintelui.
Din fig.1.15 se observă că, prin deplasarea de profil, se modifică
înălţimea capului şi piciorului dintelui, înălţimea totală a dintelui rămânând
neschimbată. Se mai modifică diametrele de cap, picior iar ddw
≠ .
Se pot scrie următoarele relaţii de calcul:
;m)xh(h *
aa⋅+= m)xch(h **
af⋅−+= (7)
unde deplasarea specifică de profil x, îşi conţine semnul algebric;
106
aah2dd += ;
ffh2dd −= ;
w
wcos
cosdd
α
α= .
Roata dinţată care, în angrenarea cu cremaliera de referinţă, are cercul
de divizare tangent la linia de referinţă se numeşte roată cu profil nedeplasat.
Un angrenaj format din două roţi dinţate cu profil nedeplasat este un angrenaj
nedeplasat (necorijat). Angrenajul la care una sau ambele roţi sunt deplasate se
numeşte angrenaj deplasat. Un astfel de angrenaj are distanţa dintre axe
modificată faţă de angrenajul nemodificat. Excepţie face cazul în care suma
algebrică a deplasărilor de profil ale celor două roţi este nulă, 0xx 21 =+ .
Acest angrenaj se numeşte angrenaj zero deplasat. Atunci când 0xx 21 >+
angrenajul este un angrenaj deplasat pozitiv iar când 0xx 21 <+ angrenajul
este un angrenaj deplasat negativ.
107
Fig.1.15 Deplasare de profil
Recomandările ISO TC 60 privind alegerea coeficienţilor deplasărilor de profil :
-pentru 30z1
≥ , 0xx21
== ;
-pentru 30z1
< şi 60zz21
≥+ , )z30(03,0xx121
−⋅=−= ;
-pentru 10z1
> şi 60zz3021
<+< ,
108
)z30(03,0x11
−⋅= ; )z30(03,0x22
−⋅= ;
-pentru 30zz21
<+ , 9,0xx21
=+ .
Calitatea angrenării se poate îmbunătăţi şi prin flancarea dintelui.
Flancarea constă în retragerea flancului dintelui la vârf (flancare la cap) sau atât
la vârf cât şi la picior. Flancarea se realizează prin modificarea unghiului de
referinţă în zona capului profilului de referinţă. Scopul flancării constă în
atenuarea şocurilor la intrarea în angrenare datorită retragerii flancului dintelui
(este compensată deformarea dinţilor în timpul funcţionării sub sarcină).
Adâncimea depinde de clasa de precizie a angrenajului şi viteza periferică a
acestuia. Se recomandă ca înălţimea flancării să fie cât mai apropiată de
valoarea maximă a acesteia, adică nf
m45,0h ⋅= .
1.1.10. Calculul grosimii dintelui pe un cerc oarecare
Calculul sumei deplasărilor de profil
După cum se ştie, la cremaliera de referinţă, pe linia de referinţǎ,
grosimea dintelui s este egală cu grosimea golului dintre dinţi, e. In procesul de
danturare, cât şi cel de agrenare dintre cremaliera generatoare, respectiv cea
de funcţionare, dacă nu există deplasare de profil, linia de referinţă este
tangentă cercului de divizare. Ca atare, şi grosimea dintelui roţii este egală cu
grosimea golului dintre dinţi.
Cu cât ne depărtăm de cercul de divizare spre capul dintelui grosimea
acestuia scade iar dacă ne apropiem de baza sa, grosimea creşte.
Se pune problema calculului grosimii dintelui sy pe un cerc de rază oarecare ry
atât pentru dantura necorijată cât şi atunci când există deplasare de profil.
Cunoaşterea grosimii dintelui pe anumite cercuri este necesară ca element de
control al danturii.
109
Pentru calculul grosimii dintelui se
va considera un dinte dintrun sector
dinţat, ca în fig.1.16. Desfăşurata de
calcul se va face pentru jumătate din
grosimea dintelui, adică sy/2, respective
s/2, unde.
Conform fig.1.16 se poate scrie
egalitatea:
θ+ψ=θ+ψyy
( 8)
De asemenea se ţine seama de relaţia dintre lungimea arcului sy/2
exprimat în radiani şi raza ry respectiv unghiul la centruy
ψ :
yyy
r2
sψ⋅= ( 9 )
(yy
invα=θ de la definirea evolventei).
Analog pentru ψ şi θ .
Prin înlocuirea relaţiei (9) în 8) se obţine:
αα invr2
sinv
r2
sy
y
y+
⋅=+
⋅
Se înlocuieşte dr2 =⋅ şi yy
dr2 =⋅ şi se scoate
−+⋅= )invinv(
d
sds yyy αα
Tinând seama de invarianţii:
α⋅=α⋅ cosdcosdyy
sau α⋅=α⋅ cosrcosryy
; y
y
cos
cos
d
d
α
α=⇒
Fig.1.16 Calcul grosime dinte
110
Se obţine relaţia de lucru pentru calculul grosimii dintelui pe un cerc de rază ry:
)invinv(dcos
cosss
yy
y
yα−α⋅−
α
α⋅= (10)
unde unghiul de presiune y
α pe cercul de rază ry se poate calcula din
invarianţii:
baayyrcosrcosrcosr =α⋅=α⋅=α⋅
Obţinându-se )cosr
rarccos(
r
rarccos
yy
by αα ⋅==
La un angrenaj deplasat pozitiv există riscul ascuţirii dintelui sub o
valoare admisibilă, situaţia ce ar avea ca efect ruperea vârfului dintelui.
Evitarea ascuţirii capului dintelui se poate face calculând grosimea
acestuia pe cercul de cap, utilizând relaţia (10) cu înlocuirile corespunzătoare
cercului de cap:
mk)invinv(dcos
cosss
aa
a
a⋅≥α−α⋅−
α
α⋅= (11)
unde k=0,3 pentru dinţi normalizaţi sau îmbunătăţiţi şi k=0,5 pentru dinţi căliţi.
Având dedusă rel (10) de calcul a grosimii dintelui pe un cerc oarecare, sy
se poate proceda la calculul sumei deplasărilor de profil xs=x1+x2 ale unui
angrenaj atunci când se impune o altă distantă dintre axe ,
aw decât distanţa dintre axele de referinţă, a.
Se pleacă de la ipoteza că, în cazul unui angrenaj cu joc lateral nul,
plinurile şi golurile pe cercurile de rostogolire sunt reciproc egale, adică:
2w1w es = ; 1w2w es =
Pasul pe cercurile de rostogolire devine:
2w1w2w2w1w1ww ssesesp +=+=+= (12)
111
Se fac înlocuirile grosimii dintelui pe cercurile de rostogolire, plecând de
la relaţia de lucru. Se pot scrie relaţiile intermediare:
)invinv(dcos
cosss
w1w
w
11wα−α⋅−
α
α⋅= ; (13)
)invinv(dcos
cosss
w2w
w
22wα−α⋅−
α
α⋅= ;
wwmp ⋅π= .
unde pw respective mw reprezintă pasul respectiv modulul danturii pe cercurile
de rostogolire.
La dantura deplasată grosimile dinţilor pe cercurile de divizare s1 şi s2 nu
mai sunt egale cu p/2. Valorile pentru acestea se exprimă cu relaţiile (14) :
α⋅⋅⋅+= tgmx22/ps11
; α⋅⋅⋅+= tgmx22/ps22
(14)
Se mai foloseşte relaţia invariant
α⋅=α⋅ cosmcosmww
wmwcos
cosm
=α
α⋅⇒ şi )zz(madd
21ww2w1w+==+
Inlocuind relaţiile (13 ) şi (14 ) în relaţia (12 ), se obţine, succesiv:
2w1ww ssp +=
)invinv(dcos
coss)invinv(d
cos
cossm
w2w
w
2w1w
w
1wα−α⋅−
α
α⋅+α−α⋅−
α
α⋅=⋅π
)invinv()dd(cos
cos)ss(m
w2w1w
w
21wα−α⋅+−
α
α⋅+=⋅π
)invinv()zz(mcos
cos]tgm2)xx(m[m
w21w
w
21wα−α⋅+−
α
α⋅α⋅⋅⋅++⋅π=⋅π
)invinv()zz(mcos
cosm]tg2)xx([m
w21w
w
21wα−α⋅+−
α
α⋅⋅α⋅⋅++π=⋅π
112
)invinv()zz(mm]tg2)xx([mw21ww21w
α−α⋅+−⋅α⋅⋅++π=⋅π
Se împarte relaţia de mai sus prin mw şi se ajunge la relaţia de lucru:
)invinv(tg2
zzxxx
w
12
s21α−α
α⋅
+==+ (15)
Pentru stabilirea valorilor deplasărilor de profil x1 şi x2 se pot folosi
recomandările ISO TC( ), repartizarea deplasării proporţională cu numerele de
dinţi sau conform indicaţiilor de la modificarea danturii.
In oricare dintre situaţii trebuie verificată îndeplinirea condiţiei
deplasării minime de profil.
Relaţia de lucru pentru verificarea deplasării minime în scopul evitării
interferenţei este
17
z17x
min
−= (16)
Trebuie deci, îndeplinită condiţia:
minxx ≥ , adică
17
z17x
−≥ . (17)