ELEMENTE DE GEOMETRIE.pdf

Prof. Daniel Prutescu [ELEMENTE DE GEOMETRIE]

REPER CARTEZIAN N PLAN.

Distana ntre dou puncte ,M MM x y i ,N NN x y de pe pe ax N MMN x x .

Def: Cuplul format de dou drepte perpendiculare ', 'xx yy , organizate ca axe ', , , ', ,xx O i yy O j , undeO este punctul lor de intersecie, iar ,i j sunt versorii celor dou axe ce definesc sensul pe

fiecare ax, se numete reper cartezian. Def:Ox se numete axa absciselor, iar Oy se numete axa ordonatelor.

Cele dou axe mpart planul n patru unghiuri ale cror interioare se numesc cadrane. Se noteaz cu cifre romane i se numeroteaz n sens invers deplasrii acelor de ceasornic. y II I x0 x>0,y>0 x O III IV x


iv. Produsul vectorial este distributive fa de adunarea vectorilor:

, , ,a u v a u a v a u v

v. 0 ;u v u v sunt coliniari

Dac 1 1 1 2 2 2;u a i b j c k v a i b j c k Expresia analitic este

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2u v b c c b i c a a c j a b b a k

1 1 1

2 2 2

x j k

u v a b c

a b c

Coordonatele sunt: 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

; ;b c a c a b

u vb c a c a b

Identitatea lui LAGRANGE: 22 2 2

u v u v u v

VI. Produsul mixt a tri vectori.

Numrul , ,a b c a b c se numete produsul mixt a vectorilor

Dac 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ; , , ; , ,a a a a b b b b c c c c Expresia analitic este:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

, ,

a a a

a b c b b b

c c c

CORDONATELE UNUI VECTOR.

B A B A B AAB OB OA r r AB x x i y y j

Coordonatele vectorului AB n baza ortonormat , ,O i j sunt: ,B A B AAB x x y y

MPRIREA UNUI SEGMENT NTR-UN RAPORT DAT.

1

1 1M M M A B

kr x i y j r r

k k

Coordonatele vectorului de poziie al punctului ,M MM x y , care mparte segmentul AB n

raportul , , ; ,A A B BAM

k A x y B x yMB

sunt ;1 1

A B A B

M M

x kx y kyx y

k k

.

OBS:

a) Dac mijlocul M segmentului AB , atunci 1k i avem: ;2 2

A B A B

M M

x x y yx y

b) Dac ;G GG x y este centrul de greutate al triunghiului ABC cu

, ; , ; , ;A A B B C CA x y B x y C x y , atunci: ;3 3

A B C A B C

G G

x x x y y yx y

c) Fie , , 1,i i iM x y i n astfel nct 1 ... 0nm m . Punctul ;G GG x y definit prin

1 1 1 1

1 1

... ...;

... ...

n n n n

G G

n n

m x m x m y m yx y

m m m m

se numete centrul de greutate al sistemului

de puncte 1,..., nM M relativ la sistemul de ponderi 1,..., nm m .

Dac1 ... nm m , sistemul de puncte este omogen i avem

1 1... ...;n nG Gx x y y

x yn n

ECUAII ALE DREPTEI N PLAN.

Def: Se numete coeficient unghiular al unei drepte sau panta dreptei, tangenta unghiului pe care

dreapta l face cu axaOx . Se noteazm tg .

OBS:

a) Dac 0 ,90 0o o m , dreapta URC

b) Dac 90 ,180 0o o m , dreapta COBOAR

c) Dac 0 0o m , dreapta d Ox .

d) Dac 90o m , dreapta d Oy .

Panta dreptei ce trece prin dou puncte 1 1 2 2 1 2, ; , ;A x y B x y x x este egal cu 2 1

2 1

AB

y ym

x x

.

OBS:

a) Dac 1 2 0y y m , atunci dreapta AB Ox

b) Dac1 2x x m , atunci dreapta AB Oy .

I. Ecuaia vectorial a dreptei determinat de un punct 0 0 0,M x y i o direcie , 0v a b dat

este: 0 ,r xi y j r v

II. Ecuaiile parametrice ale dreptei determinat de un punct 0 0 0,M x y i o direcie , 0v a b

sunt: 0

0

x x a

y y b

III. Ecuaia cartezian a dreptei determinat de un punct 0 0 0,M x y i o direcie , 0v a b este:

0 0x x y y

a b

OBS:


a) Dac 0a ecuaia dreptei este 0 0x x

b) Dac 0b ecuaia dreptei este 0 0y y

IV. Ecuaia dreptei care trece printr-un punct 1 1,A x y i are panta m este: 1 1y y m x x

Punctul 0 0,B x y aparine dreptei, dac se verific ecuaia pentru

0 0 0 1 0 1;x x y y y y m x x

V. Ecuaia explicit a dreptei, de panta m i avnd ordonata la origine n , este: y mx n

Punctul 0 0,B x y aparine dreptei, dac coordonatele sale verific ecuaia pentru

0 0 0 0;x x y y y mx n

OBS:

a) Dac 1, 0m n y x este ecuaia primei bisectoare.

b) Dac 1, 0m n y x este ecuaia celei de-a doua bisectoare.

c) Dac 0n y mx , reprezint ecuaia unei drepte ce trece prin origine

d) Dac 0, 0 0m n y , este ecuaia luiOx

e) Dac 0x , este ecuaia lui Oy

f) Dou drepte 1 1 2 2;y m x n y m x n coincid dac:

1 2m m (au pantele egale)

1 2n n (taie axaOy n acelai punct)

VI. Ecuaia dreptei determinat de dou puncte distincte 1 1 2 2 1 2, ; , ;A x y B x y x x este:

1 1

2 1 2 1

y y x x

y y x x

OBS:

a) Dac1 2x x , atunci ecuaia dreptei este 1x x .

b) Dac 1 1

2 1 2 1

y y x xt

y y x x

atunci avem ecuaiile parametrice ale dreptei

1 2 1

1 2 1

: ,x x x x t

AB ty y y y t

VII. Ecuaia dreptei determinat de dou puncte distincte 1 1 2 2 1 2, ; , ;A x y B x y x x folosind

determinanii este: 1 1

2 2

1

1 0

1

x y

x y

x y

VIII. Ecuaia dreptei prin tieturi ,0 ; 0, , 0A a B b a b este: 1 0x y

a b . ,0 ; 0,A a B b

sunt interseciile dreptei cu axele de coordonate.

IX. Ecuaia general a dreptei este: 2 20; 0Ax By C A B

OBS: Dac 0B panta este A

mB

UNGHIUL DINTRE DOU DREPTE

A. 1 2

1 21

m mtg

m m

B. Dac 1 1 1 1

2 2 2 2

: 0

: 0

d A x B y C

d A x B y C

, atunci 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cosA A B B

A B A B

C. Dac 1 1 1

2 2 2

:

:

d y m x n

d y m x n

, atunci 1 2

2 2

1 2

1cos

1 1

m m

m m

D. Dac 1 1

2 2

u a i b j

v a i b j

, atunci cosu v

u v

CONDIII DE PARALELISM

Dac 0 0o tg i dreptele sunt paralele sau confundate.

A. Dac 1 1 1 1

2 2 2 2

: 0

: 0

d A x B y C

d A x B y C

, atunci 1 1 11 2 2 2

2 2 2

, , 0A B C

d d A BA B C

OBS:

Dac2 0A , atunci i 1 0A

Dac2 0B , atunci i 1 0B

Dac 1 1 1 2 2 22 2 2

, , , 0A B C

A B CA B C

, atunci dreptele 1 2,d d coincid.

B. Dac 1 1 1

2 2 2

:

:

d y m x n

d y m x n

, atunci 1 2 1 2 1 2;d d m m n n

OBS: Dac1 2 1 2;m m n n , atunci dreptele coincid.

C. Dac 1 1

2 2

u a i b j

v a i b j

, atunci u v dac 1 1 2 22 2

, , 0a b

a ba b

sau dac * astfel nct

u v


CONDIII DE PERPENDICULARITATE

Dac 90o tg nu este definite i dreptele sunt pesrpendiculare.

A. Dac 1 1 1 1

2 2 2 2

: 0

: 0

d A x B y C

d A x B y C

, atunci

1 2 1 2 1 2 0d d A A B B

B. Dac 1 1 1

2 2 2

:

:

d y m x n

d y m x n

, atunci

1 2 1 2 1d d m m

C. Dac 1 1

2 2

u a i b j

v a i b j

, atunci u v dac 1 2 1 2 0u v a a b b

D. 2 2 2AB AC AB AC BC

CONCURENA A DOU DREPTE

Regul: Punctul 0 0 0,M x y aparine dreptei : 0d Ax By C , dac coordonatele sale verific

ecuaia dreptei, adic0 0 0Ax By C

Regul: Punctul de intersecie a dou drepte concurente se obine rezolvnd sistemul format cu

ecuaiile dreptelor. 1 1 1

2 2 2

0

0

A x B y C

A x B y C

sau 1 1

2 2

y m x n

y m x n

OBS:

a) Dac1 2m m , dreptele sunt concurente (sistemul are soluie unic).

b) Dac1 2 1 2;m m n n , drepele sunt paralele (sistemul nu are soluie).

c) Dac1 2 1 2;m m n n , atunci dreptele coincid (sistemul are o infinitate de soluii).

REUNIUNEA A DOU DREPTE

Dac 1 1 1 1

2 2 2 2

: 0

: 0

d A x B y C

d A x B y C

, atunci 1 2 1 1 1 2 2 2: 0d d A x B y C A x B y C

OBS:

a) O ecuaie de forma 2 2 20, 4 0Ax Bxy Cy B A C reprezint dou drepte distincte

din plan ce trec prin origine.

0xy Oy Ox

b) O ecuaie de forma 2 2 20, 4 0Ax Bxy Cy B A C reprezint un punct n plan,

originea 0,0O .

c)

COLINIARITATEA A TREI PUNCTE

Regul: Fie , ; , ; ,A A B B C CA x y B x y C x y , atunci sunt coliniare dac:

* astfel nct AB AC

AB ACm m

AB BC AC

1

1 0

1

A A

B B

C C

x y

x y

x y

COPLANARITATEA A PATRU PUNCTE

Dac 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4, ; , ; , ; ,A x y A x y A x y A x y atunci cele patru puncte sunt coplanare

1 1 1

2 2 2

1 2 1 3 1 4

3 3 3

4 4 4

1

1, , 0 0

1

1

x y z

x y zA A A A A A

x y z

x y z

DISTANE. ARII. VOLUME

Distana de la un punct 0 0 0,M x y la o dreapt : 0d Ax By C este:

0 002 2

;Ax By C

d M dA B

Fie , ; , ; ,A A B B C CA x y B x y C x y , dac notm

1

: 1 0

1

B B

C C

x y

BC x y

x y

i

1

1

1

A A

B B

C C

x y

x y

x y

atunci

2 2;

C B C B

d A BC

x x y y

Dac avem dreapta d determinat de punctul 0M i vectorul 0 1v M M i un punct M

n spaiu nesituat pe d avnd proiecia pe d punctul 'M , atunci 0 0 1

'MM M M

MMv

Aria triunghilui ABC cu vrfurile , ; , ; ,A A B B C CA x y B x y C x y este:

1 1

2 2ABC A C B B A C C B A B A C A B A C AS x y y x y y x y y y y x x x x y y

dac notm

1

1

1

A A

B B

C C

x y

x y

x y

atunci

1

2ABCS


1

2ABCS AB AC

o Fie paralelipipedul construit pe vectorii , ,a b c , de volumV , atunci , ,V a b c

o Dac 1; ; , ,6

OABCOA a OB b OC c V a b c

o Dac 1 2 3 41 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

1, ; , ; , ; ,

6A A A AA x y A x y A x y A x y V , unde

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

1

1

1

1

x y z

x y z

x y z

x y z

FASCICUL DE DREPTE

Def: Mulimea tuturor dreptelor din plan care trec printr-un punct dat 0 0 0,M x y se numete

fascicul de drepte, iar punctul 0 0 0,M x y se numete vrful fasciculului.

Regul: Dac punctul 0 0 0,M x y este determinat ca intersecie a dreptelor 1d i 2d , atunci ecuaia

unei drepte oarecare din fasciculul de vrf0M este:

2 21 1 1 2 2 2 0, 0r A x B y C s A x B y C r s

CONICE

I. CERCUL (mulimea tuturor punctelor egal departate fa de un punct fix, numit centru)

a. Ecuaia cartezian implicit a cercului de centru 0 0 0,M x y i raz r , este:

2 2 2 2

0 0: ; ,C x x y y r x y

b. Ecuaiile parametrice ale cercului de centru 0 0 0,M x y i raz r , sunt:

00

cos, 0,2

sin

x x r tt

y y r t

c. Ecuaia cartezian general a cercului este:

2 2 2 2 2: 2 2 0, 0, ,C x y ax by c a b c x y

i. Dac 2 2 0a b c , atunci C este un cerc cu centrul n

0 0;x a y b i de raz2 2r a b c

ii. Dac 2 2 0a b c , atunci ,C a b

iii. Dac 2 2 0a b c , atunci C

d. Ecuaia cercului determinat de trei puncte 1 1 1 2 2 2 3 3 3, ; , ; ,M x y M x y M x y

este:

2 2

2 2

1 1 1 1

2 2

2 2 2 2

2 2

3 3 3 2

1

1: 0

1

1

x y x y

x y x yC

x y x y

x y x y

Dac 2 22 2

0 0: , ,f f x y x x y y r , atunci avem:

int , , 0C M x y f x y i , , 0ext C M x y f x y .

Intersecia este caracterizat de soluiile sistemului n 2

2 2 2

0 0

0:

Ax By Cd C

x x y y r

Dac avem 0 002 2

;Ax By C

d M dA B

,unde 0 0 0,M x y este centrul cercului i dreapta

are ecuaia : 0d Ax By C , atunci pentru:

0; ,d M d r d C au exact dou puncte comune ( d este secant)

0; ,d M d r d C au exact un punct comun ( d este tangent la cerc)

0; ,d M d r d C Nu au puncte comune ( d este exterioar cercului)

Dedublarea ecuaiei cercului n punctul 1 1 1,M x y reprezint ecuaia tangentei la cerc n

punctul 21 1 0 0 1 0 0M x x x x y y y y r

Puterea punctului ,A a b n raport cu cercul 2 2 2

0 0:C x x y y r este numrul

2 2 2

0 0C A a x b y r

Dac 0 0CAM r

Dac 0 0CAM r

Dac 0 0CAM r

II. ELIPSA (mulimea punctelor M cu proprietatea ' 2MF MF a ).

, 'F F se numesc focarele elipsei;dreapta 'FF se numete axa focal;distana ' 2FF c

distana focal; iar , 'MF MF se numesc razele focale;

0,0O este centru de simetrie.

2 2 2 2' ,0 ; ,0 ; ' 0, ; 0,F c F c B a c B a c

ecuaia cartezian implicit a elipsei este: 2 2

2 2 2

2 2: 1;x y

E b a ca b


Dac 2 2

2

2 2: , , 1

x yf f x y

a b , atunci avem: int , , 0E M x y f x y i

, , 0ext E M x y f x y .

Intersecia este caracterizat de soluiile sistemului n 2 2 2

2 2

0

:1

Ax By C

d E x y

a b

Dedublarea ecuaiei elipsei n punctul 0 0 0,M x y reprezint ecuaia tangentei la elips n

punctul 0 00 0 0 2 2, 1x x y y

M x ya b

III. HIPERBOLA (mulimea punctelor M cu proprietatea ' 2MF MF a )

, 'F F se numesc focarele hiperbolei; dreapta 'FF se numete axa focal;distana ' 2FF c

distana focal; iar , 'MF MF se numesc razele focale; 0,0O este centru de simetrie.

' ,0 ; ,0F c F c

ecuaia cartezian implicit a hiperbolei este: 2 2

2 2 2

2 2: 1;x y

H b a ca b

Dac 2 2

2

2 2: , , 1

x yf f x y

a b , atunci avem: int , , 0H M x y f x y i

, , 0ext H M x y f x y .

Intersecia este caracterizat de soluiile sistemului n 2 2 2

2 2

0

:1

Ax By C

d H x y

a b

Dedublarea ecuaiei hiperbolei n punctul 0 0 0,M x y reprezint ecuaia tangentei la

hiperbol n punctul 0 00 0 0 2 2, 1x x y y

M x ya b

IV. PARABOLA (mulimea punctelor M cu proprietatea ;d M d MF )

F se numesc focarul parabolei; dreapta d se numete directoarea parabolei; 0M F se numesc

raza focal a punctului 0M ; 0p AF este parametrul parabolei.

,0 ; : ; ,02 2 2

p p pF d x A

ecuaia cartezian implicit a parabolei este: 2: 2P y px

Dac 2 2: , , 2f f x y y px , atunci avem: int , , 0P M x y f x y i

, , 0ext P M x y f x y .

Intersecia este caracterizat de soluiile sistemului n 2 2

0:

2

Ax By Cd H

y px

Dedublarea ecuaiei parabolei n punctul 0 0 0,M x y reprezint ecuaia tangentei la

parabol n punctul 0 0 0 0 0,M x y y y p x x

Fie de lucru (elemente de geometrie)

NR. 1

1) Se consider ABC , de vrfuri 1,3 ; 2,1 ; 3, 1A B C .

a) Exprimai vectorul AB

b) Scriei ecuaia parametric a dreptei determinate de punctul C i vectorul AB

c) Calculai OA AB

d) Scriei ecuaia nalimii duse din A pe latura BC

2) S se determine a pentru care punctele , 1 ; 2 ,1 ; , 2A a a B a C a sunt coliniare.

3) Fie 2,3A i dreapta : 1 0d x my m . S se determinem pentru care avem:

a) Panta dreptei d este 2dm

b) Dreapta de ecuaie 1 : 4 3 1 1 0d y m x este paralel cu d

c) Distana de la punctul A la dreapta d este egal cu 3 2

d) Dreapta d face cu axa Ox un unghi cu msura de 45o

NR. 2

1) Se consider ABC , cu vrful 2, 1A i dreptele de ecuaii : 3 10 0BC x y ;

: 2 0AC x

a) Determinai panta dreptei BC

b) Scriei ecuaia dreptei BC sub forma ecuaiei unei drepte prin tieturi.

c) Determinai coordonatele vrfuluiC al triunghiului ABC

d) Calculai aria triunghiului echialteral ABC

2) Fie vectorii 1 22 3 , 7 5 .v a i j v i a j Determinai numrul real a astfel nct:

1 2 v v

3) Fie punctele , 1 ; 1,0 ; 6,3A m m B C . Se cer:

a) Scriei vectorul de poziie al punctului B


b) Ecuaia mediatoarei segmentului BC .

c) m astfel nct lungimea segmentului AB s fie 2 .

d) m astfel nct unghiul ABC s fie drept.

NR. 3

1) Se consider punctele de coordonate 2 1,3 ; ,2 1 ; 2,3 ; 0, 4A m B m m C D .

a) Calculai lungimea vectorului OC

b) Determinai coordonatele simetricului punctului D fa de punctulC .

c) Aflai m astfel nct 5AB .

d) Pentru 2m determinai distana de la punctul A la dreapta DC

2) S se calculeze 2 3 4a b c tiind c 0ax by c este ecuaia nlimii din A a

triunghiului ABC cu vrfurile 2, 4 ; 2, 2 ; 6,10A B C .

3) Fie dreptele 1 : 2 1 0d x y , 2 : 4 2 3 0d x y i punctul 2 1,A a a .

a) Determinai panta unei drepte perpendiculare pe 1d

b) Artai c dreptele 1 2,d d sunt paralele.

c) Aflai a pentru care punctul A se afl pe dreapta 1d

d) Gsii punctele de intersecie al dreptei 1d cu axele de coordonate

NR. 4

1) Fie 3,0 ; 2,4 ; 3,2A B Cr r r a a vectorii de poziie ai vrfurilor triunghiului

ABC .

a) Scriei coordonatele vectorului AB

b) Calculai cos ,A Br r c) Determinai panta dreptei AB

d) Dac 1a , atunci scriei ecuaia dreptei care trece prinC i este paralel cu AB .

2) S se determine perimetrul ptratului ABCD , tiind c 1,1A i 7,9C .

3) Fie punctul 1,2A ,vectorul director 2,3u i o dreapt de ecuaie : 2 3 1 0d x y

a) Scriei ecuaia cartezian a dreptei 1d determinat de punctul A i de direcia vectorului

u

b) Determinai panta unei drepte paralele cu d

c) Artai c dreptele 1,d d sunt perpendiculare.

d) Calculai distana de la punctul A la dreapta d .

NR. 5

1) Se consider ABC , de vrfuri 1,3 ; 2,1 ; 3, 1A B C .

a) Exprimai vectorul BA

b) Determinai coordonatele vectorului 2u OA OB

c) Calculai lungimea medianei AM ( M mijlocul lui BC )

d) Scriei ecuaia nalimii duse din A pe latura BC

2) Fie punctele 2, 1 ; 3, 2A B . Aflai m astfel nct dreapta : 2 4 7 0d mx y s

fie perpendicular pe AB .

3) Fie 2,3A i dreapta : 1 0d x my m . S se determinem pentru care avem:

a) Panta dreptei d este 2dm

b) Dreapta de ecuaie 1 : 4 3 1 1 0d y m x este paralel cu d

c) Distana de la punctul A la dreapta d este egal cu 3 2

d) Dreapta d face cu axa Ox un unghi cu msura de 45o

NR. 6

1) Se consider ABC , cu vrful 2, 1A i dreptele de ecuaii : 3 10 0BC x y ;

: 2 0AC x

a) Aflai coeficientul unghiular al nalimii duse din A pe latura BC

b) Calculai distana de la A la dreapta BC .

c) Determinai coordonatele vrfuluiC al triunghiului ABC

d) Calculai aria ABC

2) Fie un triunghi ABC , cu 2,3 ; 3, 2 ; 5,4A B C . Dac mediana din A are ecuaia

0ax by c , s se calculeze a b c

3) Fie punctele , 1 ; 1,0 ; 6,3A m m B C . Se cer:

a) Scriei vectorul de poziie al punctului B

b) Ecuaia dreptei BC

c) Ecuaia mediatoarei segmentului BC .

d) m astfel nct unghiul ABC s fie drept.

NR. 7

1) Se consider punctele de coordonate 2 1,3 ; ,2 1 ; 2,3 ; 0, 4A m B m m C D .


a) Calculai lungimea vectorului OC

b) Determinai m pentru care msura unghiului dintre OA i OC este 90o

c) Scriei ecuaia dreptei DC

d) Pentru 2m determinai distana de la punctul A la dreapta DC

2) Fie 1,0 ; 3,2 ; , 3A B C m m . S se afle m astfel ca aria triunghiului ABC s fie

6 .

3) Fie dreptele 1 : 2 1 0d x y , 2 : 4 2 3 0d x y i punctul 2 1,A a a .

a) Determinai panta unei drepte perpendiculare pe 1d

b) Artai c dreptele 1 2,d d sunt paralele.

c) Aflai a pentru care punctul A se afl pe dreapta 2d

d) Gsii punctele de intersecie al dreptei 2d cu axele de coordonate

NR. 8

1) Fie 3,0 ; 2,4 ; 3,2A B Cr r r a a vectorii de poziie ai vrfurilor triunghiului

ABC .

a) Calculai cos ,A Br r b) Determinai coordonatele centrului de greutate al triunghiului AOB .

c) Determinai panta dreptei BC

d) Determinai a pentru care patrulaterul AOBC este paralelogram

2) S se determine coordonatele vrfuluiC i aria ptratului ABCD , tiind c 3,2A i

2,3B sunt vrfurile consecutive ale ptratului.

3) Fie punctul 1,2A ,vectorul director 2,3u i o dreapt de ecuaie : 2 3 1 0d x y

a) Scriei ecuaia cartezian a dreptei 1d determinat de punctul A i de direcia vectorului

u

b) Determinai panta unei drepte paralele cu d

c) Artai c dreptele 1,d d sunt perpendiculare.

d) Calculai distana de la punctul A la dreapta d .

ELEMENTE DE GEOMETRIE.pdf

Documents

Transcript of ELEMENTE DE GEOMETRIE.pdf