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Clasa a 9-a - 1 -

Ecuatia de gradul doi - functia de grad doi

Ecuatia de gradul doi – Functia de gradul doi

Ecuatia de gradul doi .

Forma generala :

- Ecuatia de gradul al doilea este ecuatia :

0 2 cbxax

unde : a , b , c coeficienti

a , b , c R

a 0

Discriminantul ecuatiei :

- Discriminantul ecuatiei de gradul al doilea este expresia :

- 42

cab

Radacina sau Solutie a ecuatiei :

- Numarul se numeste radacina sau solutie a ecuatiei daca este adevarata

propozitia :

0 2 cba

Clasa a 9-a - 2 -



Radacinile ecuatiei de grad doi :

- Discutie dupa discriminantul ecuatiei :

1). Daca > 0 ecuatia are solutii reale x1 , x2 R cu proprietatea

ca : x1 x2

2

1

a

bx

2

2

a

bx

2). Daca = 0 ecuatia are solutii reale x1 , x2 R cu proprietatea ca

: x1 = x2

2

21

a

bxx

ss

3). Daca < 0 ecuatia nu admite solutii reale !!!

dar admite solutii complexe : x1 , x2 C

2

2

1 a

b ix

2

2

2a

b ix

unde : i 2 = - 1

Relatii intre radacini si coeficienti ( Viete ) :

- Daca x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei atunci :

-

21

21

a

c

a

b

xx

xx

Clasa a 9-a - 3 -



Forma ecuatiei de gradul al doilea cand se cunosc radacinile :

- Forma ecuatiei de gradul al doilea cand se cunosc radacinile x1 si x2 este :

0 - 2 PSxx

unde :

S = x1 + x2

P = x1 x2

Descompunerea trinomului de gradul al doilea :

- Descompunerea trinomului de gradul al doilea in produs de polinoame de gradul

intai este :

- - 212

xxxxcbxax a

unde :

x1 si x2 sunt radacinile ecuatiei

0 2 cbxax

Ecuatii care admit aceleasi radacini :

- fie ecuatiile de gradul al doilea : 0 2 cbxax si 0 '2 '' cxbxa

- conditia ca cele doua ecuatii de gradul al doilea sa admita aceleasi radacini este ca

coeficientii lor sa fie proportionali !!!

adica exista R* astfel incat : a’ = a , b’ = b , c’ = c

In cazul cand a , b si c sunt nenuli avem : '''

c

c

b

b

a

a

Clasa a 9-a - 4 -



Ecuatii care admit o radacina comuna :

- fie ecuatiile de gradul al doilea : 0 2 cbxax si 0 '2 '' cxbxa

- Conditia ca cele doua ecuatii sa admita o radacina comuna este ca :

'''''' - - - 2

cbbcbaabcaac

Functia de gradul al doilea .

Functia de gradul al doilea :

- O functie f : R R data prin :

)( 2cbxaxxf

unde : a , b , c R

a 0

se numeste functie de gradul al doilea

Forma canonica :

- daca : - 42

cab , atunci se poate scrie

4

- )(

2

2

aaxf

a

bx

forma care se numeste forma canonica a functiei de gradul al doilea .

Clasa a 9-a - 5 -



Ecuatia atasata :

- Ecuatia atasata ( asociata ) functiei de gradul al doilea este ecuatia :

0 2 cbxax

unde : a , b , c coeficienti ai ecuatiei

a , b , c R

a 0

cu radacinile studiate anterior in functie de discriminant !!!!!!

Graficul functiei :

- Graficul functiei )( 2cbxaxxf se numeste parabola , iar punctul

4

- ,

2

aa

bV

se numeste varful parabolei .

Punctul de extrem :

- Daca a > 0 , 2

- a

bx se numeste punct de minim al functiei .

- Daca a < 0 , 2

- a

bx se numeste punct de maxim al functiei .

Se numeste punct de extrem al functiei de gradul al doilea punctul de minim sau

punctul de maxim .

Clasa a 9-a - 6 -



Maximul sau minimul functiei :

- Daca a > 0 functia f are minim .

Minimul este :

4

a

adica

2

a

bf

4

a

- Daca a < 0 functia f are maxim .

Maximul este :

4

a

adica

2

a

bf

4

a

Graficul functiei :

- Reprezentarea geometrica a graficului functiei de gradul al doilea este o curba

numita parabola .

Pentru a reprezenta graficul se parcurg etapele :

1). Se determina intersectia graficului cu axa Oy .

2). Se determina intersectiile graficului cu axa Ox .

3). Se determina coordonatele varfului 4

- ,

2

aa

bV

4). Se intocmeste un tabel de variatie .

5). Tinand cont de cele determinate anterior se traseaza graficul .

Clasa a 9-a - 7 -



Semnul functiei de gradul al doilea :

- Se disting trei situatii :

1). Daca < 0 , atunci f(x) are semnul lui a , ( ) x R

x - +

cbxaxxf )( 2 Semnul lui a

2). Daca = 0 , atunci f(x) are semnul lui a , ( ) x R \

a

b

2 - si

f(x) = 0 , pentru : a

bx

2 -

x - a

bx

2 - +

cbxaxxf )( 2 Semnul lui a 0 semnul lui a

3). Daca > 0 , si x1 si x2 sunt radacinile atasate , atunci f(x) are semnul

lui a in afara intervalului radacinilor , si semn contrar lui a in intervalul

radacinilor si f(x) = 0 pentru x = x1 , x = x2 .

x - x1 x2 +

cbxaxxf )( 2 Semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

Clasa a 9-a - 8 -



Sa se stabileasca semnul urmatoarelor functii :

1). 32 - - )( 2xxxf

2). 0,13,0 - )(2

xxxf

3). xxxf 75.0 - )( 2

4). 1 ).( 22 xxxf

Rezolvati inecuatiile :

1). 0 246 xx

2). 0 412 xx

3). 0 23 xx

4). 0 232 xx

5). 0 52 xx

6). 0 - 362 x

7). 0 1692 x

8). 0 9 62 xx

9). 0 - 25102 xx

10). 0 - 652 xx

11). 0 - 25102 xx

12). 0 - - 14522 xx

13). 0 542 xx

14). 0 - - 15722 xx

15). 0 - 1232 xx

16). 0 5

3

x

x

17). 0 4

32

x

x

18). 3 1

2

x

x

19). 5 - 2

16

x

x

20). 2

12

2

1

x

x

x

x

21). 0

3

342

xx

x

22). 0 -

-

6

12

2

xx

x

23). 1 -

- -

352

1542

2

xx

xx

24). 1

-

1

122

2

xx

x

25). 12

1

3

2

xx

Clasa a 9-a - 9 -



26). 2 -

1

232

xx

x

27). 0 1

- 652

x

xx

28). 0 -

-

1

22

2

xx

xx

29). 0

-

23

232

2

xx

xx

30). 1

- -

1

62

2

x

xx

31). 2

-

89

41822

2

xx

xx

32). 3 - -

-

34

322

2

xx

xx

33). 1-4

3-2

2

2

x

x

x

x

34). x

x

x

x - 1 2 -

- 1

1

35). 2

3

3

1

1

1

xxx

36). 2 -

1

34

232

2

xx

xx

Rezolvati sistemele de inecuatii :

a).

0 75

0 72

xx

xx

b).

0 - -

0 -

32

122

2

xx

xx

c).

100

32232

2

x

xx

d).

12

23

- -

2

2

xx

xx

e). - 1825852 xx

f).

2 23

32

1 2

3

x

x

x

x

g). 3 2-

3-2 1 -

x

x

h). 2

1

-

3

1

1

12

2

x

x

i).

0 - -

0 6 -

5 - 12

432

xx

x

xx

j).

0 -

32 32

21 31

232

xx

xxxx

xxxx

k).

16

723

56

0 - -

-

2

2

2

x

xx

xx

Clasa a 9-a - 10 -



Rezolvati ecuatiile cu module :

1). 2 - 232 xx

2). 2-3-23 - 22xxxx

3). xxx -149-24-222 -

4). 0 2 - 1 12

xx

5). 1 322 xx

6). 145

45

2

2

xx

xx

7). xx 22 77-

8). 3 2 222

xx

9). 0 4-3322-222 xxxxxx

10). 3

3

2-2

22

xx

xxxx

11). 3-2-1-222

xxx

12). 0 1-3-22 xxx

13). 135-232- 22 xxxx

14). 1 52 - - 322 xxx

15). 549 - - 22 xx

16). parametru este unde , 42 - 12 Rmmx

Clasa a 9-a - 11 -



Rezolvati in R inecuatiile :

1). 2 - 232 xxx

2). 1 -

-

4

452

2

x

xx

3). 2

1

- -

12

22

xx

x

4). 01 2 xxx

5). 3 1

23

x

x

6). 93 - - 2 xx

7). 0 3 - 2 2 xx

8). 0 24 - 5 2 xx

9). 0 -

-

6

22

2

xx

xx

10). xx

xx2

3

- - 122

11). 0 65 - 2 xx

12). 0 10 - 3 2 2 xx

13). 2 -

3

652

xx

x

14). 0 2 4

3

x

x

15). 8 - - 9122 xx

16). 0 2 - 3 - 32

xx

17). 3 342 xxx

18). 33 - - 322 xxx

19). 0 1 2 - 32 xx

20). xxxx22 - - 223

21). 023 - 22 xxx

22). 27310 22 xxxx

23). 9157 - 2 xx

24). 1126 - 2 xx

25). 65 - 2 xx

26). 1 23

32

x

x

27). 2 1-x

2-3x

28). 14

45 -

-

2

2

x

xx

Clasa a 9-a - 12 -



Exercitiu :

Pentru ce valori ale lui m urmatoarea inecuatie este verificata pentru orice x R :

0 - 1112

mxmxm

Exercitiu :

Sa se determine valorile lui m asa incat inecuatia :

0 - 212 mxmmx

sa nu aiba nici o solutie .

Exercitiu :

Sa se determine valorile lui m astfel incat ecuatia :

0674323 - - 2

mxmxm

sa aiba radacini reale .

Exercitiu :

Fie fractia E =

2

221

mxx

mxmx

. Sa se determine m astfel incat fractia E sa aiba

sens si sa fie pozitiva pentru orice x R .

Exercitiu :

Sa se determine parametrul m R astfel incat intre radacinile ecuatiilor urmatoare sa existe

relatia scrisa in dreptul fiecareia :

a). 0521 2

mxxm 2 - 21 xx

b). 03532 2

xmxm xx 21

Clasa a 9-a - 13 -



c). 01 - 22 mxmx xx 21 2

d). 013 2

mmxxm xx 21 3

e). 0533 2 mxmx 3

8 2

221 xx

f). 0375 - - 2

mxmxm xxxx 2121

g). 011 - - 2 mxmmx 4 32

31 xx

h). 0122 22 mmmx x 2 1

1

21

xx

Exercitiu :

Determinati valorile lui m R , pt. care ecuatia :

1). 0674323 - - 2

mxmxm are doua radacini reale ;

2). 0653222 - 2

mxmxm nu are radacini reale .

Exercitiu :

Determinati valorile lui m R , pt. care ecuatia :

0 - 332122

mxmxm are cel putin o radacina reala .

Exercitiu :

Aflati valorile parametrului real m pentru care :

1). R , - 0112 xmxmmx

2). R , - 06532222

xmxmxm

3). R , 2 -

- 3

1

22

2

x

xx

mxx

Clasa a 9-a - 14 -



Exercitiu :

Determinati m R astfel incat :

1). R , 5

22

432

2

x

xx

xmx

2). R , 2

1

32

2

x

xx

mxx

3).

R , 0

-

4912

2082

2

x

mxmmx

xx

4). R , 3

1

12

2

x

xx

mxx

Exercitiu :

Determinati valorile parametrului m R pentru care radacinile urmatoarelor ecuatii

indeplinesc conditiile indicate :

1). 000322 si , - 21

2 xxmmxxm

2). si , , 2121

200031312 xxxxmxmxm

Exercitiu :

Determinati valorile parametrului m R pentru care radacinile urmatoarelor ecuatii

indeplinesc conditiile indicate :

1). xxmxmxm 21

2 , - 0062121

2). xxxxmxmmx 21212 si , , - 000212

3). xxxxmxmx 21212 si , , - 000512

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