Ecuații logaritmice

Carl Friedrich Gauss

“Matematica este regina stiințelor”

Grupa 5

• Bárdi Ferenc Attila

• Csegezi Zsolt Dezső

• Dénes Robert Attila

• Vecsei Szilveszter Márton

• Prin ecuaţie logaritmică vom înţelege o ecuaţie in care necunoscuta x figureaza în expresii ce apar ca argumente ale logaritmilor sau baze ale acestora.

• Se numeşte soluţie a unei ecuaţii logaritmice de necunoscuta x un număr real x0 în ecuaţie, acesta se verifică.

• A rezolva o ecuaţie logaritmică înseamnă a-i determina toate soluţiile. Rezolvarea ecuaţiilor logaritmice se bazează pe proprietatea: doi logaritmi în aceeaşi bază sunt egali dacă argumentele sunt egale.

• Două ecuaţii logaritmice se numesc echivalente dacă mulţimile de soluţii cincid.

Ecuaţii logaritmice de forma:

Logg(x)f(x)=a

• Metodă de rezolvare:Ecuaţia este echivalentă cu sistemul:

f(x)>0 g(x)>0 g(x) 1

f(x)=[g(x)]a

Se rezolvă ecuaţia din sistem şi valorile găsite pentru x vor fi soluţiile dacă se verifică f(x)>0, g(x)>0,g(x) 1

Exemplu 1

1. Logx+1(x2-3x+1)=1 x+1>0 x+1<>1 x2-3x+1>0 x2-3x+1=x+1X2-3x+1=x+1X2-4x=0 =16

X1=4

X2=0 0+1>0 0+1 1-fals 4+1>0 4+1 1 16-14+1>0

M={4}

Ecuaţii logaritmice ce conţin logaritmi în aceeaşi bază

• Dacă are forma simplă: logg(x)f(x)=logg(x)h(x) atunci aceasta este echivalentă cu sistemul:

f(x) >0 h(x)>0 g(x)>0 g(x) 1 f(x)=h(x)Se rezolvă ecuaţia f(x)=h(x). Dintre valorile obţinute vor fi soluţii

date numai acelea care verifică şi celelalte condiţi din sistem.

Exemplu 2

• Log3(x2-4x+3)=log3(3x+21) x2-4x+3>0 3x+21>0 x2-4x+3=3x+21X2-7x-18=0 =49+72=121

X1=9

X2=-2

M={-2,9}Metoda grafica: soluția este abscisa punctului de intersectie a graficelor functiilor f(x) si g(x)

Ecuaţii logaritmice ce conţin logaritmi în baze diferite

• Metodă de rezolvare: Se impum condiţiile de exintenţă asupra logaritmilor. Se aduc logaritmii în aceeaşi bază utilizînd formula:

logax= , a,b>0, a,b<>1,

de trecere de la baza a la baza b pentru numărul x>0 .

Se procedează apoi ca la tipul precedent.

a

x

b

b

log

log

Exemplu 3

2log2x+log x+log0,5x=9Logarimii există dacă x>0.

Gyok2=21/2

½=2-1

De aceea îi aducem în baza 2. Avem:

Log x=log2x/log2 =2log2x

Log0,5x=log2x/log22-1=-log2x

Ecuaţia se scrie echivalent (pentru x>0):

log2x+2log2x-log2x=9

X=8

M={8}

2

2

2

Ecuaţii exponenţial- logaritmice

log2x(9-2x)=3-x 9-2x>0

9-2x=23-x

23-x=23:2x

23:2x>023>2x

3>x

M={3}

Ecuaţii logaritmice cu soluţie unică

• Metoda de rezolvare aplicabilă la o ecuaţie de forma f(x) R, apelează la monotonia funcţiei f.

• Dacă f este strict monotonă atunci soluţia x0

este unică.

Exemplu 4X+2x+log2x=7a se impune condiţia:

x>0 f(x)= X+2x+log2x care este o funcţie strict

crescătoare

Se vede că x=2 este soluţia unică a ecuaţiei

Rezolvare grafică: