MODELAREA BAZAT PE ECUAII1. SISTEME DINAMICE CONTINUE NELINIARE

Exemplul 3:Modelul de cretere echilibrat al lui SolowIpoteze:

1. funcia de producie macroeconomic, de dou ori difereniabil, omogen de grad unu;

nzestrarea tehnic a muncii;

venitul per capita;Calculul venitului per capita:

2.Fora de munc crete cu o rat constant n, care este independent de variabilele celelalte ale sistemului:

3.Economiile sunt o pondere constant n valoarea venitului, (S=sY), s este rata economiilor.

4. n echilibru, economiile sunt egale cu investiiile: S(t)=I(t).

5. Investiiile brute sunt egale cu variaia stocului de capital plus nlocuirea capitalului fix uzat:

Unde este rata amortizrii.Modelul:

nlocuind primele dou ecuaii n a treia, obinem:

Ecuaia de dinamic a capitalului sau investiia net.

Transformm modelul n mrimi per capita:

Atunci:

Ecuaia de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii sau investiia net n mrimi per capita:

Condiia iniial:

Putem rezolva ecuaia dinamic a capitalului per capita dac dm o form analitic funciei de producie per capita.Presupunem c este o funcie Cobb-Douglas omotetic (omogen de grad unu):

Ecuaia de dinamic a capitalului per capita va fi:

Ecuaia diferenial obinut este:

ecuaie diferenial neliniar, omogen, de tip Bernoulli.Rezolvarea ecuaiei Bernoulli:Schimbarea de variabil:

Derivm n raport cu timpul:

Explicitm din relaia de mai sus:

mprim ecuaia de dinamic la :

nlocuim n ecuaia de mai sus:Obinem:

Adic o ecuaie liniar de ordinul unu, neomogen n cu soluia:

Considerm condiiile iniiale:

Atunci:

Sau:

Aceasta este traiectoria de evoluie a nzestrrii tehnice a muncii.

Este traiectoria de evoluie a stocului de capital.Puncte staionare:

Punctele fixe/staionare/de echilibru sunt:

i Modelul Solow are deci dou puncte fixe.

Nu poate fi global stabil, ntruct aceasta este o proprietate posibil pentru sistemele cu un singur punct fix.

La sistemele cu mai multe puncte fixe stabilitatea/instabilitatea se stabilete pentru fiecare punct fix n parte: este stabilitate/instabilitate local, ntr-o vecintate a punctului fix .

Pentru modelul Solow, primul punct fix este local instabil, iar al doilea este local stabil:

Rezult c:

, deci este atractor

este repelor, ntruct traiectoria se deprteaz de acest punct fix, cnd .

ntruct dintr-o vecintate a lui , traiectoria tinde ctre , sistemul este local stabil.

ntruct traiectoria tinde asimptotic ctre , sistemul este local, asimptotic stabil.

Figura: Traiectoria nzestrrii pentru diferite valori iniiale ale lui k(t).Tema 1:Determinai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a capitalului total, a populaiei totale, a venitului per capita i a venitului total, cunoscnd datele:

, pentru T=10 ani.Investiie de compesare: investiii necesare pentru nlocuirea capitalului fix uzat i pentru nzestrarea tehnic a sporului populaiei.

sunt investiiile de compensare: compenseaz capitalul fix uzat i nzestrarea tehnic a sporului populaiei.sf(k) sunt investiiile brute, egale cu economile;

n punctul , investiia brut este egal cu investiia de compensare:

Figura: Investiiile brute i investiiile de compensare

Pentru k= , , respectiv investiiile brute sunt egale cu investiiile de compensare.

Dac , investiiile de compensare sunt mai mici dect investiiile brute i stocul de capital per capita va crete.

Dac , investiiile de compensare devin mai mari dect investiiile brute, ceea ce determin scderea stocului de capital per capita, cu valoarea capitalului necesar nzestrrii sporului de for de munc i a capitalului fix uzat.Am obinut rezultatele:

capitalul crete;

capitalul scade;

capitalul rmne la valoarea staionar, pe temen indefinit.Tem 2: Aplicaie numericSe cunosc datele:

a) Calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii pentru t=1-10 i facei graficul n EXCEL:

b) Calculai traiectoria stocului total al capitalului pentru t=1-10 i facei graficul n EXCEL.

c) Calculai venitul per capita i venitul total i facei graficele corespunztoare n EXCEL

d) Calcuai punctele fixe ale traiectoriei:

e) Calculai traiectoria de echilibru a stocului total al capitalului i a venitului de echilibru pentru , facei graficele n EXCEL:

f) Calculai investiiile brute i consumul pentru t=1-10, n mrimi per capita, n mrimi totale i facei graficele.

Investiiile per capita i consumul per capita sunt respectiv: i .

, sunt investiiile i respectiv consumul, n mrimi actuale.

g) Analizai efectele creterii ratei economiilor de la s0=0,3, la s1=0,35.-asupra traiectoriei de echilibru;

-asupra consumului: stabilii numeric c dac , consumul crete , sau dac consumul scade.

Ecuaii difereniale neliniareAproximrile liniare ale ecuaiilor difereniale neliniareConsiderm ecuaia:

f(.) este neliniar dar continu i difereniabil.n general, aceste ecuaii nu se pot rezolva analitic.

Trebuie s gsim punctele fixe pentru , deci pentru.Presupunem f este continu, difereniabil ntr-un interval deschis care-l conine pe x = x (punctul fix).

Aproximm f folosind dezvoltarea Taylor:

este restul.Aproximarea liniar de ordinul unu are forma:

Dac punctul iniial este suficient de aproape de punctul fix x, atunci

.

Dac x este chiar punctul fix, atunci i putem aproxima f(x) n punctul x prin:

Exemplu:Modelul de cretere economic al lui Solow cu funcia de producie Cobb-Douglas, rezolvat prin aproximare liniar.Ecuaia de evoluie a stocului de capital per capita:

Punctele fixe sunt:

Dezvoltarea Taylor de ordinul unu n punctul fix :

Cu:

Considerm acum :Atunci :

Rezult c panta curbei pentru este

Rezult aproximarea liniar:

ntruct iar n i sunt pozitive, atunci funcia f(k) are pant negativ n

i deci sistemul este local stabil, punctul fix este de tip atractor.

Aproximarea de ordinul unu n jurul echilibrului este:

Este ecuaie diferenial liniar de ordinul unu.

Ecuaia omogen:

Soluia particular verific ecuaia neomogen:

Aplicm condiiile Cauchy:

Soluia:

Pentru aproximarea liniar, , respectiv este punct fix asimptotic local stabil pentru aproximarea liniar.

////Tem: Cunoscnd datele din exerciiile precedente, folosind aproximarea liniar i a ecuaiei de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii, calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a venitului per capita, a investiiilor i consumului per capita, ct i a indicatorilor corespunztori n mrimi actuale. Facei graficele traiectoriilor.Calculai deviaiile absolute i relative ale celor dou soluii (traiectoria k(t) prin rezolvarea ecuaiei Bernoulli i prin aproximarea liniar).

////Ecuaii difereniale de ordin superiorCazul generalEcuaie diferenial de ordinul n, liniar, cu coeficieni constani, neomogen:

Rezolvm ecuaia omogen:

Facem ipoteza c soluia are forma i o punem s verifice ecuaia omogen:

mprim la , obinem ecuaia caracteristic:

Ecuaia caracteristic este o ecuaie algebric liniar, de grad n, are n soluii care pot fi reale (diferite sau multiple) sau complexe conjugate.Soluia general a ecuaiei omogene, cazul rdcinilor reale, distincte:

unde A1 ,A2 ,An sunt constante generalizate arbitrare.Cazul rdcinilor multiple de ordin m