Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2 Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

1

Examenul de bacalaureat naţional 2013 Proba E. c)

Matematică M_mate-info Barem de evaluare şi de notare

Varianta 2 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare. SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. ( )3 3 2 9 6i i− = −

( )2 5 3 10 6i i+ = +

19a = ∈ℝ

2p

2p

1p 2. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... 10 4 1 2 ... 10 10f f f+ + + = ⋅ + + + − =

210=

3p 2p

3. 2 1x x= + Rezultă 1x = , care verifică ecuaţia

3p 2p

4. Se notează cu x preţul iniţial 10% 2200x x+ ⋅ = Preţul înainte de scumpire este 2000 de lei

2p 3p

5. 2 1

1 4

a +=

7a =

3p

2p

6. 3sin cos 4sin sin cosx x x x x+ = ⇒ =

4x

π=

3p 2p

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1.a)

( )1 1 1

2,3 2 4 13 9 1

D = = 2p

2= 3p b)

( ) 2

2

0 0 1

, 1 1 1

1 1 1

D a b a a

b b

= − − =− −

2p

( )( ) 1 11 1

1 1a

a bb

+= − − =+ 2p

( )( )( )1 1a b b a= − − − , pentru orice numere reale a şi b 1p c)

1 2

1

2nP P P∆ = ⋅ ∆A , unde ( )( )2

2

1 1 1

2 2 1 1 2

1

n n

n n

∆ = = − − 2p

( )( )1 2

1 1 2 2 3nP P P n n n∆ = ⇔ − − = ⇔ =A 3p

2.a) 3 24 3 4f X X X= − + − 2p 3 2(4) 4 4 4 3 4 4 8f = − ⋅ + ⋅ − = 3p

b) 1 2 3 4x x x+ + = 1p

1 2 3 3 2x x x x+ = ⇒ = 2p (2) 0 2f m= ⇔ = − 2p

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 2 Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

2

c) 3 3 31 2 3 3 28x x x m+ + = + 2p 3 3 31 2 3 1 2 37( ) 0x x x x x x m+ + = + + ⇒ = 1p

Dacă 0m = , atunci (3) 0f = , deci f se divide cu 3X − 2p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1.a)

( ) ( )2 2

cos cos2 2

x xf x x x

′ ′ ′′ = + = + =

sin 2 sin2

xx x x= − + ⋅ = − , pentru orice x∈ℝ

2p

3p

b) ( ) ( )( )0 0 0y f f x′− = −

( )0 1f = , ( )0 0f ′ =

Ecuaţia tangentei este 1y =

2p

2p 1p

c) ( )'' cos 1 0f x x= − + ≥ , pentru orice x∈ℝ 'f⇒ este crescătoare pe ℝ

'( ) 0f x ≤ , pentru ( ],0x∈ −∞ şi '( ) 0f x ≥ , pentru [ )0,x∈ +∞

( ) (0) ( ) 1f x f f x≥ ⇒ ≥ , pentru orice x∈ℝ

2p 2p 1p

2.a) 1 11

10

0 0

x x xI xe dx xe e dx= = − =∫ ∫ 3p

1

01xe e= − = 2p

b) ( )

1 111 11

00 0

1n x n x n xnI x e dx x e n x e dx+ +

+ = = − + =∫ ∫ 3p

( ) ( )11 1n n ne n I I n I e+= − + ⇒ + + = 2p c) Pentru orice *n∈ℕ şi [ ]0,1x∈ , avem 1 xe e≤ ≤ şi 0n n n x nx x x e x e≥ ⇒ ≤ ≤ 2p

( )1 1 1

0 0 0

1 1n n x nnx dx x e dx e x dx n I e≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤∫ ∫ ∫ 3p