1

Metode de calcul n astronomie - De la expert la amator -

Partea I

ECLIPSELE DE LUN

Stimate cititor, Pe parcursul a ctorva articole, am s v prezint anumite metode de calcul uor abordabile pentru nivelul de amator. Metode ale cror rezultate comparate cu date i valori ce apar n diverse surse de specialitate v vor da satisfacia obinerii nu numai a unor mici diferene, dar i posibilitatea de a afla cum experii, i aici fac referire la astronomii profesioniti, beneficiind de metode mult mai complexe, softuri speciale i o pregtire superioar, obin acele rezultate la care noi amatorii, apelm atunci cnd rsfoim o publicaie sau navigm pe pagini de internet pentru a afla despre diversele fenomene astronomice de care suntem interesai la un anumit moment. i pentru c eclipsa total de Lun din 15 iunie este vizibil din Romnia, am s prezint pentru aceast prim parte, un model de calcul pentru eclipse de Lun, prezentat n cartea Laboratorul Astrofizicianului Amator autor Matei Alexescu, Editura Albatros, 1986.

1. Introducere

Din timpuri strvechi, omul s-a minunat i nspimntat deopotriv de anumite fenomene astronomice, unele dintre acestea fiind eclipsele. De la atribuirea acestora unor entiti divine ce doreau sa ia sau s mnnce astrul in cauz, fie Luna sau Soarele de pe bolta cereasc, pn la interpretarea tiinific a acestora, au trebuit mii de ani.

Cele mai multe populaii antice credeau s Soarele sau Luna sunt mncate de montri i ntmpinau fenomenul fcnd zgomot puternic, aruncnd sgei n aer sau fcnd sacrificii.

n China, nghiirea soarelui de ctre un dragon prevestea moartea mpratului sau o catastrof natural, n timp ce n India oamenii credeau c aerul devine vtmtor dac dispare soarele.

Civilizaiile inka i maya credeau c o eclips poate provoca probleme la natere. Ca s se apere de pericol, gravidele purtau un bru rou de care legau un vrf de sgeat.

n Egipt, eclipsa reprezenta lupta dintre Apofis, zeul arpe, i Ra, zeul Soare. n India, tradiia spune c aerul este otrvit n timpul unei eclipse de Soare sau

de Lun. Ca s nu se mbolnveasc, oamenii posteau. Ceva mai la est, n Japonia, fntnile erau acoperite ca s fie ferite de otrava din cer.

Vestii pentru cunotinele lor astronomice, mesopotamienii nu erau ferii de atacul superstiiilor. n timpul eclipselor, oamenii ieeau din case i aprindeau focuri ca s readuc soarele pe cer.

Odat cu elaborarea matematic a unor metode de predicie, eclipsele precum i alte fenomene pot fi anticipate pentru lungi perioade de timp.

2

Acum, putem reproduce grafic eclipse ce au avut loc cu sute de ani n urm, dar putem ti i de cele de peste secole avans cu ajutorul softurilor astronomice sau navignd de diverse site-uri cu profil astronomic.

Ceea ce propun n continuare este poate pentru unii dintre noi, acum, in era tehnologiei un nonsens. Avem PC-uri, softuri, putem printr-o simpl apsare de buton, s aflm despre o anumit eclips: momentele de producere ale fazelor eclipsei, graficul acesteia, etc.

Cum aflam eu, despre traversarea Lunii prin conul de umbr i penumbr n timpul unei eclipse de ctre Lun, acum mai dou decenii, cnd sursa de informare era doar Anuarul Astronomic al Academiei Romne, v voi arta in cele ce urmeaz. Dar mai nti sa studiem puin posibilitatea de producere eclipselor.

2. Micarea de revoluie a Lunii i cum se produc eclipsele de Lun Cu toii tim c Luna orbiteaz n jurul Pmntului, iar planul orbitei lunare are

o nclinare pe planului Eclipticii, de 58. Mai tim c o eclipsare a Lunii se produce doar la faza de Lun Plin i nicidecum ntr-o alt faz a acesteia. Poate muli dintre noi s-au ntrebat de ce nu avem eclipse de Lun sau Soare n fiecare lun din an.

Fig. 1 Poziia Lunii n orbit la eclipsa de Lun.

Aa cum se poate vedea i deduce din imaginea de mai sus, n orice alt loc al

orbitei sale s-ar afla satelitul nostru natural Luna, n afar zonelor n care trece la nord sau la sud de planul eclipticii, numite nodurile orbitei, o eclips nu poate avea loc. Dezvoltnd aceast teorie a poziiei n orbita sa, pentru producerea unei eclipse de Lun, trebuie ndeplinite urmtoarele criterii:

3

2.1. Criteriul de latitudine.

Este demonstrat faptul c o eclips de Lun se va produce dac, la faza de Lun Plin (la care diferena dintre longitudinile geocentrice ale Lunii i Soarelui este de 180, adic atunci cnd atrii sunt n opoziie), valoarea absolut a diferenei b (latitudinea ecliptic) raportat geocentric, unghiul dintre centrul Lunii i centrul de conului de umbr este mai mic de 1,41; se poate produce n cazul n care este ntre 1,41 i 1,59 i nu se va ntmpla n cazul n care este mai mare la 1,59.

Fig. 2 Distana minim a Lunii de centru umbrei pentru producerea unei eclipse Pe figura de mai sus, distana minim corespunde cu momentul n care centrul

Lunii este mai apropiat de centrul conului de umbr, aceasta este la momentul n care are loc maximul eclipsei. n timpul unei eclipse avem ntotdeauna unul dintre cele dou scenarii:

a. n cazul n care eclipsa are loc nainte de trecerea Lunii prin nodul orbitei sale, am observa mai nti opoziia, apoi faza maxim a eclipsei.

b. n cazul n care eclipsa are loc dup trecerea Lunii prin nodul orbitei sale, am observa mai nti trecerea prin nod, apoi faza maxim a eclipsei i n cele din urm momentul opoziiei.

Geometria a acestui desen, de asemenea, arat c: dac opoziia are loc mai aproape de unul din cele dou noduri (ascendent sau descendent), distana minim dintre Lun i centrul conului de umbr este mai mic i mrimea (magnitudinea) a eclipsei este mare. Astfel, eclipsa (doar) prin penumbr este datorat unei poziii mai ndeprtate de noduri.

Putem detalia criteriul de apreciere n determinare pentru o valoare b = 0,89 va fi o eclips parial prin umbr i cu certitudine pentru o valoare b = 1,06 nu va eclips parial prin umbr, dar cu siguran va fi o eclips prin penumbr, i n mod similar se poate determina pentru o valoare b = 0.36 va fi o eclips total cu certitudine i pentru o valoare b = 0,53 nu se va produce o eclips total, aceste valori sunt date n graficul din fig. 3.

4

Fig. 3 Valorile absolute de

latitudine a Lunii

Not important: limitele de producere a eclipselor lunare: 1,42 i 1,58 sunt

foarte aproape de limitele de eclipselor solare: 1,41 i 1,59 . Diferenele sunt de ordinul a un minut de grad. Limitele eclipselor lunare sunt

puin mai mari dect limitele pentru eclipse solare din cauza refraciei atmosferice. 2.2. Criteriul de longitudine. Pe lng criteriul de latitudine a centrului Lunii, se poate defini i un criteriu

privind longitudinea la momentul opoziiei Soare Lun. Astfel longitudinea centrului conului de umbr este Soare + 180 fa de nodul din orbita Lunii. Deci, poate avea loc o eclips dac n momentul opoziiei n longitudine, diferena dintre longitudinea nodului orbitei lunare i longitudinea centrului conului de umbr este mai mic de

15,665, nu va fi nici eclipsa dac diferena este mai mare de 17,375, putnd probabil a avea loc o eclips dac este ntre aceste dou valori. Aceleai criterii sunt valabile i n cazul eclipselor de Soare, avnd n vedere mica

Fig. 3 Criteriul n longitudine pentru eclipsele de Lun (vedere din centrul Pmntului)

5

diferen ale criteriilor n latitudine, putem considera c, criteriile n longitudine pentru eclipsele de Lun sunt de fapt, mari dect n cazul celor pentru eclipsele de Soare.

Urmtoarea figur reprezint zonele de longitudine vzute n plan ecliptic i de coordonate geocentrice.

Fig. 4 Criteriul de longitudine pentru eclipsele de Lun

(vedere din spaiu)

3. Despre realizarea graficului eclipsei de Lun n principiu, metodele de calcul pentru realizare grafic a unei eclipse de Lun

sunt asemntoare, diferind doar complexitatea (analitic sau semianalitic) cu care respectivii autori au dorit s-o expun n diversele publicaii1.

Pentru construirea unui asemenea grafic avem nevoie de o serie de elemente, care pot fi extrase din diverse publicaii sau de ce nu, putem apela la internet sau un soft astronomic. n afar de acestea va fi nevoie de o serie de calcule ce vor fi explicate in cele ce urmeaz.

Vom lua ca exemplu pentru acest articol, eclipsa din 15 iunie 2011 pentru care realizm tabelul:

1 Astronomicesky kalendar, V.K. Abalakin, 1981, Laboratorul astrofizicianului amator, M. Alexescu, 1986.

6

3.1. Elemente extrase pentru Soare i Lun Tabelul 1

0h UT RA Dec Raza Paralaxa aparent orizontal

RA Dec Raza Paralaxa Aparent orizontal

Ziua Eclipsei 989.44 0,274844

3631.37 1,008714

03h25m52.27s 47.2782258

+18 43 57.8

+18.2608808

949.98 0,263883

Ziua urmtoare

14h03m55.4s 210.311916

Pentru 5 zile succesive

Pentru a nu ntmpina greuti n calculele ce vor urma, este util ca s lucrm

doar cu grade i fraciuni zecimale de grad, att n cazul declinaiei ct i a ascensiei drepte.

3.2. Fia eclipsei Tabelul 2

Momentul opoziiei Soare-Lun To (egalitatea ascensiilor drepte ale celor doi atrii)

Ascensia dreapt a Soarelui Variaia ascensiei drepte a Soarelui pe or Ascensia dreapt a Lunii Variaia ascensiei drepte a Lunii pe or Declinaia Soarelui n momentul opoziiei cu Luna Declinaia Lunii n momentul opoziiei cu Soarele Variaia orar a declinaiei Soarelui Variaia orar a declinaiei Lunii Raza aparent i paralaxa Soarelui

R

Raza aparent i paralaxa Lunii

r

3.3. Momentul opoziiei Soare Lun Acesta nseamn c la momentul To are loc opoziia dintre cei doi atrii pentru care avem egalitatea + 180 i reprezint n acelai timp conjuncia dintre Lun i conul de umbr al Pmntului. n condiiile date putem scrie c la momentul conjunciei avem egalitatea:

+ 180 + x ( - ) = + x ( - ) Dac notm pentru variaiile diurne

- = - = (1) Aflm valoarea lui x, care reprezint fraciunea de zi la care are loc opoziia i care trebuie adunat la momentul T = 15 iunie 0h UT:

7

x = ( + 180 - ) / ( - ) (2) 3.4. Ascensia dreapt a conului de umbr la momentul To + 180 + x = + x (3) unde valorile i , sunt variaiile orare aflate prin: i / 24 3.5. Ascensia dreapt a Soarelui (formul de control) + x (4) 3.6. Declinaia Soarelui + x (5)

3.7. Declinaia Lunii Pentru aflarea acesteia se recurge la interpolarea prin formula lui Newton

expus mai jos. Dac pentru aflarea ascensiei drepte, o interpolare liniar este suficient ca

precizie n calculul nostru, n privina declinaiei problema st altfel nefiind o variaie liniar, dar s vedem cum se realizeaz aceast interpolare.

Fie 5 valori succesive ale declinaiei Lunii la intervale de 24 ore, prima zi fiind ziua eclipsei la 0h UT, pe care le vom nota cu f1, f2, , f5. Din aceste valori, se calculeaz diferenele f2 - f1; f3 - f2; f5 f4 - diferene pe care le notm cu fI1, fI 2, fI 3 i fI 4. Acestea sunt diferenele de ordinul I.

Se calculeaz apoi diferenele de gradul II, adic fI 2 fI 1, etc. pe care le vom nota cu fII 1, fII 2 i mai departe n acelai mod, diferenele de gradul III i IV. Dac x este fraciunea subunitar care se adaug la prima zi, formnd momentul conjunciei, adic momentul pentru care cutm valoarea declinaiei Lunii, se calculeaz valorile:

dac x.A x(x-1)/2.......B x(x-1)(x-2)/6.......C x(x-1)(x-2)(x-3)/24.D,

iar dup aceea produsele:

Facem suma produselor, (A fI 1) + (B + fII 1) + (C + fIII 1) + (D + fIV 1) (6)

i o adunm la valoarea declinaiei din prima zi, la ora 0h UT. Mai avem cteva valori de aflat i putem ncepe realizarea graficului eclipsei,

dar pentru aceasta trebuie s mai aflm razele unghiulare ale seciunilor conului de umbr i penumbr ale Pmntului la distana Lunii, care se calculeaz cu formulele (7).

8

3.8. Seciunea conului de umbr i penumbr

Vom determina razele unghiulare ale seciunilor conului de umbr i de penumbr ale Pmntului la distana Lunii (fig. 5), care se afl cu ajutorul formulelor:

Fig. 5 Conul de umbr i penumbr al Pmntului la distana Lunii.

umbr = 0,0114 + (0,99833 - R +) penumbr = 0,0114 + (0,99833 + R +) (7)

unde, 0,0114 este o constant ce se aplic pentru corecia conului de umbr i penumbr datorit refraciei atmosferei terestre. Formula de control:

= 2 R

3.9. Realizarea graficului Putem ncepe trasarea graficului adoptnd o scar de 1 = 1 mm i vom trasa dou diametre reciproc perpendiculare. Unul vertical, va reprezenta direcia nord-sud, iar al doilea, orizontal, va marca direcia est-vest, cu estul spre stnga, acesta fiind sensul de deplasare al Lunii n traversarea conului de umbr i penumbr terestre. Intersecia axelor NS i EV se noteaz cu O. Pe segmentul OE s marcm valorile OA = x i AD = y, definite astfel OA = x = ( - ) cos (8) AD = y = - n timp ce pe axa NS se marcheaz segmentul OC OC = y0 = + (9)

9

Desigur, declinaiile Soarelui i Lunii au de asemenea semne opuse, fiind n opoziie; segmentul OC semnific distana centrului Lunii fa de centrul umbrei la momentul opoziiei. Deplasarea Lunii n ascensie dreapt este indicat de segmentul OA, iar deplasarea astrului n declinaie, n acelai interval de timp, este dat de segmentul AD. De aici, ne vom da seama dac Luna trece la nord sau la sud de centrul umbrei: dac valoarea AD < 0, Luna se deplaseaz spre sud, deci marcm segmentul, perpendicular pe dreapta EV sub aceast dreapt i invers, dac AD > 0. n reprezentarea graficului, observm c deplasarea Lunii n raport cu conul de umbr n timp de o or este dat de segmentul OD, care trebuie marcat cu o bun precizie, el fiind un etalon de timp n cazul nostru. Determinarea acestui etalon este dat de formula: OD = AD OA 22 (10) S trasm acum prin punctul C, situat de axa NS, o paralel la segmentul OD: aceast dreapt reprezint traiectoria centrului Lunii prin umbra i penumbra Pmntului. Se deduce c centru discului lunar se va gsi n punctul C, nu la momentul maxim al eclipsei, ci la momentul opoziiei Soare Lun. Distana unghiular a poziiei Lunii dintre momentul opoziiei i momentul fazei maxime a eclipsei e dat de: CM = OC (AD / OA) (11) Daca valoarea CM este pozitiv se marcheaz pe direcia nord-sud, spre dreapta, deci spre vest i invers, respectiv la stnga dac valoarea va fi negativ. Cu valoarea unghiular a razei Lunii i cu scala adoptat de 1 = 1 mm, s trasm cercuri ce reprezint discul Lunii, ale cror centre se vor afla pe dreapta paralel la OD i care trece prin punctul C, adic pe traiectoria centrului Lunii. Aceste cercuri le vom trasa de aa manier nct ele s fie tangente la cercurile ce definesc conurile de umbr i penumbr ale Pmntului. n precizia cu care vom trasa aceste cercuri ct i cea etalonului de timp, segmentul OD, se vor regsii n valorile orare ce le vom afla la finalul realizrii grafice putnd compara cu momentele date n diverse publicaii de specialitate. Realizarea acestui grafic ne d urmtoarele posibiliti i anume:

a) ne permite aflarea unghiurilor de poziie pentru punctele de prime i ultime contacte ale discului lunar cu umbra i penumbra Pmntului;

b) ne d posibilitatea stabilirii orelor fazelor principale ale eclipsei.

Exemplu numeric Eclipsa totala de Lun din 15 iunie 2011

n calculele ce le vom desfura, este recomandat lucrul cu 5 sau 6 zecimale ceea ce ne permite o bun precizie a valorilor obinute. Transformnd n prealabil toate valorile n grade i fraciuni zecimale de grad vom nota n tabelul 1.

10

3.1. Elemente extrase pentru Soare i Lun

0h UT RA Dec Raza Paralaxa aparent orizontal

RA Dec Raza aparent

Paralaxa orizontal

Ziua Eclipsei 251,018750 -23,293667 0,267963 0,983464 83,015417 +23,281861 0,262447 0,002417

Ziua urmtoare 266,267500 -23,103861 0,265449 0,974233 84,053750 +23,324667 0,262424 0,002417

Ziua a 3 a -21,517833 Ziua a 4 a -18,762389 Ziua a 5 a -15,124222

3.3. Momentul opoziiei Soare Lun Din formula (1) rezult variaia diurn a ascensiilor drepte: - = = 84,053750 - 83,015417 = 1,038330 - = = 266,267500 - 251,018750 = 15,248745 (1) iar fraciunea zecimal de zi la care are loc opoziia x = (83,015417 + 180 - 251,018750) / (15,248745 - 1,038330) = 0,842361 (2) sau exprimat n ore, 0,842361 24 = 20h,216664 sau 20h 13m 0s UT 3.4. Ascensia dreapt a conului de umbr la momentul To 83,015417 + 180 + 0,842361 0,043264 = 263,890005 (3) de unde 263,890005 / 15 = 17,592667 = 17h 35m 37s unde valorile i , sunt variaiile orare aflate prin / 24 3.5. Ascensia dreapt a Soarelui (formul de control) + x = 83,015417 + 0,842361 1,038330 = 83,890066 (4) de unde 83,890066 / 15 = 5h,592667 = 5h 35m 37s

3.6. Declinaia Soarelui + x = +23,281861 + 0,842361 0,043944 = +23,318878 (5) sau +231908

11

3.7. Declinaia Lunii

Aici vom dezvolta cele expuse la paragraful de exemplificare. Pentru aceasta notm cele 5 valori ale declinaiei Lunii i aplicm interpolarea prin formula lui Newton.

f fI fII fIII fIV iunie 15, 0h UT -23,293667 +0,189806 iunie 16 -23,103861 +1,396222 +1,586028 -0,226806 iunie 17 -21,517833 +1,169416 -0,059887 +2,755444 -0,286693 iunie 18 -18,762389 +0,882723 +3,628167 iunie 19 -15,124222

Pentru a nu ajunge n situaii n care trebuie refcute calculele, trebuie s fim ateni la semne. Orice eroare la folosire semnelor (-) i (+) duce la rezultate false.

dac 0,842361..A 0,842361 (0,842361 - 1)/2......................................B 0,842361 (0,842361 - 1)( 0,842361 - 2)/6......................C 0,842361 (0,842361 - 1)( 0,842361 - 2)(0,842361 - 3)/24.D,

de unde A = 0,842361, B = -0,066394, C = 0,025620, D = -0,013820, iar de aici suma produselor:

(A fI 1) + (B + fII 1) + (C + fIII 1) + D + fIV 1) (6) 0,842361 0,189806 + (-0,066394) 1,396222 + 0,025620 (-0,226806) + + (-0,013820 -0,059887) = +0,062201 deci, declinaia Lunii la momentul To este: -23,293667 + 0,062201 = -23,231466 = -231353

3.8. Seciunea conului de umbr i penumbr Avnd momentul To , printr-o simpl interpolare liniar ntre valorile din prima

i a doua zi, aflam valorile pentru paralaxele orizontale respectiv razele aparente ale discurilor Soarelui i Lunii = 0,002417 = 8,7, R = 0,262417 = 1544,7 = 0,975833 = 5833, r = 0,265889 = 1557,2 i aplicm formula ce ne va da razele conului de umbr, respectiv de penumbr a Pmntului.

12

umbr = 0,0114 + (0,99833 0,975833 - 0,262417 +0,002417) = 0,7256 penumbr = 0,0114 + (0,99833 0,975833 + 0,262417 +0,002417) (7) = 1,2504 Formula de control:

1,2504 0,7256 = 2 0,262417 = 0,524834

3.9. Realizarea graficului Deplasarea Lunii n ascensie dreapt OA = (0,635364 0,043264) 0,918919 = 0,544092 (8) Deplasarea Lunii n declinaie AD = 0,007909 0,001831 = 0,006078 n timp ce pe axa NS se marcheaz segmentul OC Distana centrului Lunii de centrul conului de umbr la momentul opoziiei OC = + = -23,231466 + 23,318878 = 0,087412 (9) Deplasarea Lunii prin conul de umbr OD = AD OA 22 = ,0060780 ,5440920 22 = 0,544126 (10) Diferena dintre momentul opoziiei i momentul fazei maxime a eclipsei CM = OC (AD / OA) = 0,087412 (0,006078 / 0,544092) = 0,000976 (11) Se poate observa c valoarea AD este foarte mic, de doar 0,4, deci 0,4 mm ceea ce nu va afecta rezultatele orare ce urmeaz a le determina. Acum, fia eclipsei (tabelul 2.) de la punctul 3.2 completat fiind, va arta astfel:

Momentul opoziiei Soare-Lun To (egalitatea ascensiilor drepte ale celor doi atrii)

' mm Ascensia dreapt a Soarelui

83,890066 5h33m37s

Variaia ascensiei drepte a Soarelui pe or

0,043264

Ascensia dreapt a Lunii

263,890005 17h33m37s

Variaia ascensiei drepte a Lunii pe or

0,635364

13

Momentul opoziiei Soare-Lun To (egalitatea ascensiilor drepte ale celor doi atrii)

' mm Declinaia Soarelui n momentul opoziiei cu Luna

23,318878 +231908

Declinaia Lunii n momentul opoziiei cu Soarele

-23,231466 -231353

Variaia orar a declinaiei Soarelui

0,001831

Variaia orar a declinaiei Lunii

0,007909

Raza aparent i paralaxa Soarelui

R

0,262417 0,002417

Raza aparent i paralaxa Lunii

r

0,265889 0,975833

15,7

OA 0,544092 32',6 32,6 AD 0,006078 0',4 0,4 OC 0,087412 5',2 5,2 OD 0,544126 32',6 32,6 CM 0,000976 0',1 0,1 umbr 0,7256 43',5 43,5 penumbr 1,2504 75' 75

Se observ c i n cazul adoptrii unei scri de 1' = 1 mm, precizia n determinarea principalelor momente este de 30 s sau 0,5 m, ceea ce este suficient de precis pentru o abordare de amator. O scar de 1' = 2 mm, ar mbunti valorile obinute.

Fig. 6 Graficul eclipsei

15 iunie 2011

14

Se poate observa c dup trasarea cu mare atenie a cercurilor ce determin discul lunar n graficul nostru, momentul fazei maxime poate fi dat de formula:

2 U2- U3 To Mo

de unde am obinut valoarea: Mo = 20h12m32s

Ne-a mai rmas spre determinare mrimea fazei maxime a eclipsei, dat de

formula din fig. 7. n fig. 7, segmentul KL reprezint diametrul Lunii, iar KB trebuie trasat astfel

nct s treac prin punctul M care este de fapt centrul Lunii la momentul Mo, corespunztor momentul de maxim al eclipsei. Astfel, msurnd pe graficul nostru (fig. 6) vom avea:

7,1)27,15(

5,53g

Fig. 7 Determinarea mrimii unei eclipse

Se constat (vezi paragraful 2.1, scenariul b.) c eclipsa are loc dup trecerea

prin nodul (ascendent) orbitei. Odat terminat ntregul formular de calcul precum i realizarea graficului

putem face comparaii cu alte valori la care putem avea acces. Dau ca exemplu pe cele din tabelul de mai jos:

15

Valori obinute

Site-uri Softuri astronomice

NASA2 IMCCE3 WinOccult EphemerisTool dif dif dif dif P1 17:24:58 17:24:37 21s 17:24,5 0,5m 17:24:24 34s 17:24:23 35s U1 18:23:07 18:22:57 10s 18:22,9 0,2m 18:22:45 22s 18:23:41 34s U2 19:22:23 19:22:29 6s 19:22,5 0,1m 19:22:19 4s 19:22:57 34s M 20:12:32 20:12:36 4s 20:12,6 0m 20:12:37 5s 20:12:10 22s U3 21:02:41 21:02:42 1s 21:02,7 0m 21:02:53 12s 21:03:23 42s U4 22:01:53 22:02:14 21s 22:02,2 0,2m 22:02:26 27s 22:02:39 46s P2 23:00:34 23:00:41 7s 23:00,7 0,1m 23:00:56 22s 23:01:57 23s Mrimea

fazei max.

g 1,70 1,70 1,70 1,70 1,70 Momentul

opoziiei

22:13:00 20:13:08 8s 20:13:21 21s

Desigur abordarea unei metode analitice de calcul pentru acest tip de eclipse ar aduce o mai bun precizie a valorilor orare ce sunt determinate, dar aa cum aminteam, pentru nivelul de amator rezultatele sunt satisfctoare ca precizie. Rezultatele depind de atenia n efectuarea calculelor i precizia realizrii grafice. Pentru cei ce doresc s parcurg acest formular de calcul, propun ca posibil tem, eclipsa de Lun din 10 decembrie 2011 pentru care valorile necesare desfurrii formularului de calcul sunt extrase n tabelul urmtor:

ECLIPSA TOTAL DE LUN DIN 10 decembrie 2011

Elemente extrase pentru Soare i Lun

0h UT RA Dec Raza Paralaxa aparent orizontal

RA Dec Raza aparent

Paralaxa orizontal

Ziua Eclipsei 69,060417 +22,378056 0,249583 0,915928 256,48125 -22,921667 0,270833 0,002472

Ziua urmtoare 82,447917 +22,449444 0,251417 0,922669 257,579167 -22,945556 0,271111 0,002472

Ziua a 3 a +21,401944 Ziua a 4 a +19,258889 Ziua a 5 a +16,116944 * Toate valorile sunt exprimate n grade i fraciuni de grad.

2 Pagina NASA dedicat pentru eclipse http://eclipse.gsfc.nasa.gov/eclipse.html 3 Pagina Institutul de Mecanic Cereasc i Efemeride http://www.imcce.fr/langues/fr/ephemerides/phenomenes/eclipses/lune/

16

FIA ECLIPSEI Momentul opoziiei Soare-Lun To (egalitatea ascensiilor

drepte ale celor doi atrii) ' mm Ascensia dreapt a Soarelui

83,890066 5h33m37s

Variaia ascensiei drepte a Soarelui pe or

0,043264

Ascensia dreapt a Lunii

263,890005 17h33m37s

Variaia ascensiei drepte a Lunii pe or

0,635364

Declinaia Soarelui n momentul opoziiei cu Luna

23,318878 +231908

Declinaia Lunii n momentul opoziiei cu Soarele

-23,231466 -231353

Variaia orar a declinaiei Soarelui

0,001831

Variaia orar a declinaiei Lunii

0,007909

Raza aparent i paralaxa Soarelui

R

0,262417 0,002417

Raza aparent i paralaxa Lunii

r

0,265889 0,975833

15,7

OA 0,544092 32',6 32,6 AD 0,006078 0',4 0,4 OC 0,087412 5',2 5,2 OD 0,544126 32',6 32,6 CM 0,000976 0',1 0,1 umbr 0,7256 43',5 43,5 penumbr 1,2504 75' 75

Valorile obinute, nscriei-le n tabelul de mai jos. Valori

obinute Site-uri Softuri astronomice

NASA IMCCE WinOccult EphemerisTool dif dif dif dif P1 11:33:36 11:33,5 11:33:23 11:34:05 U1 12:45:43 12:45,7 12:45:34 12:46:56 U2 14:06:16 14:06,2 14:06:26 14:06:52 M 14:31:49 14:31,8 14:31:50 14:32:22 U3 14:57:24 14:57,4 14:57:16 14:57:53 U4 16:17:58 16:18,0 16:18:09 16:17:49 P2 17:29:57 17:30,0 17:30:12 17:30:40 Mrimea

fazei max.

g 1,11 1,11 1,11 1,11 Momentul

opoziiei

14:32:20 14:32:19