ArhimedeDe la Wikipedia, enciclopedia liberaArhimede din Siracuza(?????d??)Arhimede Gnditorul, pictura de Fetti (1620)Arhimede Gnditorul, pictura de Fetti (1620)Nascut c. 287 .Hr.Siracuza, SiciliaMagna GraeciaDecedat c. 212 .Hr. (cca. 75 ani)SiracuzaReziden?a Siracuza, SiciliaNa?ionalitate GreacaDomeniu Matematica, Fizica, Inginerie, Astronomie, Inven?iiCunoscut pentru Principiul lui Arhimede, ?urubul lui Arhimede, Hidrostatica, Legea prghiilor, Calcul infinitezimalmodifica Consulta?i documenta?ia formatuluiArhimede din Siracuza (n greaca ?????d??, Archimedes; n. aprox. 287 .Hr. n Siracusa, pe atunci colonie greceasca, d. 212 .Hr.) a fost un nva?at al lumii antice. Realizarile sale se nscriu n numeroase domenii ?tiin?ifice: matematica, fizica, astronomie, inginerie ?i filozofie. Carl Friedrich Gauss considera ca Arhimede ?i Isaac Newton au fost cei mai mari oameni de ?tiin?a din ntreaga istorie a civiliza?iei umane. Se cunosc pu?ine detalii despre via?a lui, dar este considerat drept unul din principalii oameni de ?tiin?a din antichitate. Printre altele a pus bazele hidrostaticii ?i a explicat legea prghiilor. I s-au atribuit proiectele unor noi inven?ii, inclusiv al unor ma?ini de asalt, precum ?i ?urubul fara sfr?it. Experimente moderne au aratat ca Arhimede a proiectat ma?ini capabile sa scoata corabiile din apa ?i sa le dea foc folosind un sistem de oglinzi.[1]Arhimede este n general considerat a fi unul din cei mai mari matematicieni ai antichita?ii ?i unul dintre cei mai mari ai tuturor timpurilor.[2][3] El a folosit metoda epuizarii complete pentru a calcula aria unui arc de parabola prin sumarea unei serii infinite, precum ?i calculul aproximativ al numarului p cu o acurate?e remarcabila pentru acele timpuri.[4] De asemenea a definit spirala care-i poarta numele, formule de calcul a volumelor ?i al suprafe?elor corpurilor de revolu?ie, precum ?i un sistem ingenios de exprimare a numerelor foarte mari.Arhimede a murit n timpul asediului Siracuzei, cnd a fost ucis de un soldat roman, n ciuda ordinului primit de a nu-l ucide. Pe piatra funerara a mormntului a fost sculptata o sfera n interiorul cilindrului circumscris, lucru cerut chiar de Arhimede, deoarece el a demonstrat ca raportul dintre aria sferei ?i a cilindrului circumscris este egal cu raportul volumelor corpurilor, avnd valoarea 2/3.Fa?a de inven?iile sale, scrierile matematice ale lui Arhimede au fost pu?in cunoscute n antichitate. Matematicienii din Alexandria l cuno?teau ?i l-au citat, dar prima compila?ie cuprinzatoare despre el nu a fost data pna n jurul anului 530 d.Hr. de Isidore din Milet, n timp ce comentariile lui Eutocius din Ascalon din secolul VI d.Hr. au deschis larg por?ile cunoa?terii lucrarilor lui Arhimede. Cteva copii ale lucrarilor lui Arhimede care au supravie?uit pna n Evul Mediu, au fost o sursa de inspira?ie pentru oamenii de ?tiin?a din timpul Rena?terii,[5] iar descoperirea n 1906 a unor lucrari necunoscute ale lui Arhimede, au oferit noi perspective de n?elegere a modului n care a ob?inut rezultatele matematice.[6]Cuprins 1 Biografie 2 Descoperiri ?i inven?ii 2.1 Coroana de aur 2.2 ?urubul lui Arhimede 2.3 Gheara lui Arhimede 2.4 Razele de caldura ale lui Arhimede 2.5 Alte descoperiri ?i inven?ii 3 Matematica 4 Opera 4.1 Lucrari care au supravie?uit 4.2 Lucrari apocrife 5 Manuscrisul pe pergament al lui Arhimede 6 Mo?tenirea 7 Vezi ?i 8 Note 8.1 Note 8.2 Referin?e 9 Citari suplimentare 10 Lucrarile lui Arhimede online 11 Legaturi externeBiografieAceasta statuie din bronz a lui Arhimede se afla la Observatorul Archenhold din Berlin. A fost sculptata de Gerhard Thieme ?i dezvelita n 1972.Arhimedeportret imaginar din Evul MediuArhimede s-a nascut c. 287 .Hr. n ora?ul port Siracuza, Sicilia, n acel timp fiind o colonie cu auto-guvernare din Grecia cea Mare. Data na?terii se bazeaza afirma?ia istoricului John Tzetzes din Bizan?, care spune ca Arhimede a trait 75 de ani.[7] n lucrarea Calculul Firelor de Nisip, Arhimede da numele tatalui sau ca fiind Phidius (sau Fidius), un astronom despre care nu se ?tie nimic. Plutarh a scris n lucrarea sa Vie?ile paralele ale oamenilor ilu?rii ca Arhimede era nrudit cu regele Hiero al II-lea al Siracuzei.[8] O biografie a lui Arhimede a fost scrisa de prietenul sau Heracleides, dar lucrarea a fost pierduta.[9] Nu se cunoa?te, de exemplu, daca a fost casatorit sau daca a avut copii. n tinere?e Arhimede a studiat n Alexandria din Egipt, iar Conon din Samos ?i Eratostene din Cyrene i-au fost contemporani. El se refera la Conon din Samos ca la un prieten, n timp ce pe Eratostene l citeaza n doua lucrari (Metoda Teoremelor Mecanicii ?i Problema bovinelor).[a]Arhimede a murit c. 212 .Hr. n timpul celui de Al Doilea Razboi Punic, cnd for?ele romane conduse de generalul Marcus Claudius Marcellus au capturat ora?ul Siracuza dupa doi ani de asediu. Conform cu descrierea data de Plutarh, Arhimede ?i contempla o diagrama matematica cnd ora?ul a fost capturat. Un soldat roman i-a ordonat sa mearga sa-l ntlnesca pe generalul Marcellus, dar Arhimede nu a vrut zicnd ca are de terminat o problema. Soldatul s-a nfuriat ?i l-a ucis cu sabia lui. ntr-o alta descriere data de Plutarh, acesta sugereaza ca a fost ucis n timp ce ncerca sa se predea soldatului roman, avnd cu el ni?te instrumente matematice, iar soldatul l-a ucis creznd ca sunt obiecte de valoare. Generalul Marcellus s-a nfuriat la auzul mor?ii lui Arhimede, pe care l considera un om de mare valoare ?tiin?ifica, ?i a dat ordin sa fie nmormntat onorabil dupa tradi?ia greaca.[10]O sfera are volumul si aria egale cu 2/3 din volumul si aria cilindrului circumscris ei. O sfera si un cilindru au fost scupltate pe mormnt, asa cum a cerut Arhimede.Ultimele cuvinte atribuite lui Arhimede au fost Nu te atinge de cercurile mele (n greaca ? ?? t??? ??????? t??atte), referindu-se la un cerc pe care l studia, n timp ce a fost deranjat de un soldat roman. De multe ori este citat n latina Noli turbare circulos meos, dar nu se ?tie cu adevarat daca a spus aceste cuvinte, deoarece ele nu apar n lucrarea lui Plutarh.[10]Mormntul lui Arhimede con?inea o scupltura care ilustra demonstra?ia lui matematica favorita, constnd dintr-o sfera ?i un cilindru cu acela?i diametru ?i nal?ime. Arhimede a aratat ca volumul ?i aria laterala a sferei sunt egale cu 2/3 din volumul ?i aria cilindrului inclusiv bazele. n 75 .Hr., la 137 de ani de la moartea lui Arhimede, oratorul roman Cicero servea drept chestor n Sicilia. El a auzit pove?tile despre momnt, dar nimeni nu a fost n stare sa-i spuna unde se afla. Eventual el a gasit mormntul lnga poarta Agrigentine din Siracuza ntr-o proasta condi?ie ?i acoperit de buruieni. Cicero a cura?at mormntul, a vazut sculptura ?i a citit cteva versuri care au fost adaugate ca o inscrip?ie.[11] Mormntul descoperit n curtea unui hotel din Siracuza n 1960 este atribuit lui Arhimede, dar loca?ia este totu?i necunoscuta azi.[12]Versiunea standard a vie?ii lui Arhimede a fost scrisa mult dupa moartea lui de istoricii Romei antice. Descrierea asediului Siracuzei data n Istoria Universala de Polybus, a fost scrisa dupa aproximativ 70 de ani de la moartea lui Arhimede ?i a folosit ca sursa pe Plutarh ?i Livy. Dar aduce prea pu?ina lumina asupra lui Arhimede ca persoana, ocupndu-se mai mult de ma?inile de razboi pe care le-a creat pentru apararea ora?ului.[13]Descoperiri ?i inven?iiCoroana de aurArhimede a folosit principiul flotabilitatii pentru a determina daca coroana de aur are o densitate mai mica dect aurul solid.Cea mai cunoscuta anecdota despre Arhimede ne spune cum a inventat metoda de a determina volumul unui obiect de forma neregulata. Conform cu cele spuse de Vitruvius, o coroana votiva din aur a fost executata pentru un templu al regelui Hiero II. Dar la urechile regelui a ajuns zvonul ca, aurarul a furat o parte din aur, nlocuindu-l cu argint. Regele i-a cerut lui Arhimede sa stabileasca cu certitudine daca a fost n?elat sau nu.[14] Arhimede trebuia sa rezolve problema fara a distruge coroana, adica topind-o ?i dndu-i o forma regulata pentru a-i calcula densitatea. n timp ce facea baie, a observat ca intrnd din ce n ce mai mult n cada, mai multa apa se revarsa n afara ei, moment n care ?i-a dat seama ca datorita acestui efect poate calcula volumul coroanei, iar prin mpar?irea masei coroanei la volumul ei i putea afla densitatea. Daca erau folosite metale cu densitate mai mica dect a aurului, atunci ?i densitatea coroanei ar fi mai mica dect a aurului. Excitat de descoperirea pe care a facut-o ?i uitnd ca era dezbracat, a luat-o la fuga pe strazi strignd Evrika! (n greaca: e????a!, ceea ce nseamna Am gasit!).[15] Testul pe l-a facut ulterior cu coroana, a dovedit ca ntr-adevar aurarul folosise o anumita cantitate de argint la fabricarea ei.[16] Acest lucru a fost posibil deoarece apa este incompresibila n condi?ii normale, deci scufundnd coroana, aceasta va dislocui o cantitate de apa egala cu propriul volum.[17]Istoria coroanei de aur nu apare n lucrarile lui Arhimede. Mai mult, metoda practica descrisa a fost pusa sub semnul ntrebarii darorita acurate?ii extreme cu care trebuia sa fie calculat volumul de apa dislocuit.[18] Posibil ca Arhimede sa se fi gndit mai de graba la o solu?ie n care sa aplice principiul din hidrostatica, cunoscut drept principiul lui Arhimede, pe care l-a descris n tratatul sau Despre corpurile plutitoare. Acest principiu stipuleaza ca: un corp scufundat ntr-un fluid, este mpins de jos n sus de catre fluid, cu o for?a egala cu greutatea volumului de fluid dislocuit de acel corp.[19] Folosind acest principiu, a putut sa compare densitatea coroanei de aur cu cea a aurului solid, punnd n balan?a coroana cu e?antionul de referin?a din aur ?i scufundnd apoi balan?a n apa. Daca coroana are o densitate mai mica dect a aurului, va disloca mai multa apa datorita volumului mai mare, producnd o forta mai mare dect cea a e?antionului de referin?a. Aceasta diferen?a de flotabilitate va cauza un dezechilibru al balan?ei. Galileo Galilei considera ca probabil aceasta metoda este aceea?i pe care Arhimede a folosit-o, deoarece, n afara de faptul ca este foarte precisa, se bazeaza pe demonstra?ia pe care nsu?i Arhimede a gasit-o.[20]?urubul lui ArhimedeSurubul lui Arhimede poate ridica eficient apa.O mare parte a lucrarilor de ingineria ale lui Arhimede au izvort din satisfacerea nevoilor ora?ului Siracuza. Scriitorul grec Athenaeus din Naucratis descrie cum regele Hieron II i-a comandat lui Arhimede proiectarea unei corabii uria?e, numita Syracusia, care putea fi folosita pentru calatorii de lux, pentru transportul proviziilor, sau ca nava de razboi. Se spune ca Syracusia a fost cea mai mare corabie construita n antichitatea clasica.[21] Conform cu cele spuse de Athenaeus, corabia era capabila sa transporte 600 de solda?i inclusiv decora?iuni florale, un gimnaziu ?i un templu dedicat zei?ei Afrodita cu toate facilita?ile. Deoarece de pe o astfel de corabie se scurgea o cantitate foarte mare de apa prin carena, ?urubul lui Arhimede a fost dezvoltat cu preponderen?a pentru a scoate apa din santina. Acest ?urub era un dispozitiv cu o lama n forma de ?urub rotativ n interiorul unui cilindru. Era ac?onat cu mna ?i putea fi de asemenea folosit pentru a ridica apa din pu?uri n canalele de iriga?ie. ?urubul lui Arhimede este folosit ?i azi pentru pomparea lichidelor sau solidelor granulate, precum carbunele ?i semin?ele. ?urubul lui Arhimede descris de Vitruvius poate a fost o mbunata?ire a pompei folosite la irigarea gradinilor suspendate ale Semiramidei.[22][23][24]Gheara lui ArhimedeGheara lui Arhimede este o arma care se spune ca a fost proiectata pentru apararea ora?ului Siracuza. Cunoscuta ?i sub denumirea de ma?ina de scuturat corabii, ghiara semana cu un bra? de macara de care erau suspendate crlige cu care putea n?faca navele din apropiere zdruncinndu-le puternic sau chiar scufundndu-le. S-au efectuat ?i experien?e moderne pentru a demonstra fezabilitatea ghiarei, iar n 2005, ntr-un documentar intitulat Superweapons of the Ancient World, a fost reconstituita versiunea ghiarei, concluzionndu-se ca aceasta este un dispozitiv care func?ioneaza.[25][26]Razele de caldura ale lui ArhimedeProbabil Arhimede a folosit oglinzi care au actionat colectiv ca o oglinda parabolica pentru a arde corabiile care atacau ora?ul Siracuza.n secolul al doilea d.Hr. Lucian din Samosata a scris ca n timpul asediului Siracuzei, Arhimede a distrus corabiile inamice cu foc. Cteva secole mai trziu Anthemius din Tralles men?ioneaza lentila convergenta ca arma a lui Arhimede.[27] Dispozitivul, numit cteodata raza de caldura a lui Arhimede, a fost folosit pentru a focaliza razele Soarelui asupra corabiilor care se apropiau, cauznd aprindera lor.Aceasta pretinsa arma a fost subiectul unor dezbateri aprinse despre credibilitatea ei din timpul Rena?terii. Ren Descartes o considera drept falsa, n timp ce cercetatorii moderni au ncercat sa recreeze efectul folosind doar mijloacele pe care se crede ca Arhimede le-ar fi avut la dispozi?ie.[28] S-a sugerat faptul ca un numar mare de scuturi din cupru sau bronz, polizate foarte fin, ar ac?iona ca o oglinda ?i ar fi putut fi folosite la concentrarea razelor Soarelei asupra corabiilor. Adica, ar fi fost folosit principiul oglinzii parabolice ntr-o maniera similara cu cea a unui cuptor solar.Un test cu aceaste raze a fost facut n 1973 de omul de ?tiin?a grec Ioannis Sakkas. Experimentul a avut loc la baza navala Skaramagas din preajma Atenei. Cu aceasta ocazie au folosite 70 de oglinzi, fiecare fiind acoperite cu un strat de cupru ?i avnd dimensiunea n jur de un metru. Oglinzile au fost focalizate asupra unei machete din placaj, a unei corabii romane de razboi, aflata la o distan?a de aproximativ 50m. Cnd oglinzile au fost focalizate cu precizie, corabia a luat foc n cteva secunde. Macheta corabiei a avut ?i un strat de smoala, care a ajutat la ardere.[29]n octombrie 2005 un grup de studen?i de la Institutul de Tehnologie din Messachusetts a reluat experimentul cu 127 de oglinzi patrate din bronz, focalizndu-le pe o macheta din lemn aflata la 30 de metri. Flacarile au izbucnit, dar numai dupa ce pe cer nu au mai fost nori, iar macheta nu s-a mi?cat timp de zece minute. S-a ajuns la concluzia ca arma este fezabila doar n condi?ii ideale. Grupul MIT a repetat experien?a n spectacolul televizat MythBusters, folosind ca ?inta o barca de lemn din San Francisco. Din nou au aparut unele flacari, iar lemnul a fost carbonizat pe alocuri. Dar pentru a se aprinde, lemnul trebuie sa atinga temperatura de autoaprindere, care este n jur de 300 C.[30][31] Cnd au prezentat rezultatul, cei de la MythBusters l-au catalogat drept "busted", adica a cazut la test, datorita timpului prea ndelungat ?i al condi?iilor atmosferice ideale pentru aprindere. De altfel, cei de la MythBusters au spus ca ar fi fost mai u?or sa foloseasca, pentru distan?e scurte, sage?i arznd sau bolovani din catapulte.[1] ?i n 2010 au mai reluat experimentul cu ocazia edi?iei speciale President's Challenge a lui Barack Obama. Din nou experimentul a cazut la test, ajungndu-se la concluzia ca efectul oglinzilor ar fi fost de orbire sau de distrac?ie pentru echipaj.[32]Alte descoperiri ?i inven?iiDe?i Arhimede nu a inventat prghia, el a dat o expica?ie principiului implicat n lucrarea sa Despre Echilibrul Planelor. Descrieri mai vechi despre prghii au fost gasite la urma?ii lui Aristotel din ?coala peripatetica, dar cteodata descoperirea i este atribuita lui Archytas.[33][34] Conform celor spuse de Pappus din Alexandria, lucrarea lui Arhimede despre prghii l-a facut sa exclame: Da?i-mi un punct de sprijin ?i voi muta Pamntul din loc. (n greaca d?? ?? p? st? ?a? t?? ??? ????s?)[35] Plutarh descrie cum a proiectat Arhimede scripetele compus, permi?nd marinarilor sa foloseasca principiul prghiilor pentru a ridica obiecte care altfel ar fi fost prea grele de mutat.[36] De asemenea i se atribuie cre?terea puterii ?i preciziei catapultei, precum si inventarea odometrului (pentru masurarea distan?elor) n timpul Primului Razboi Punic. Odometrul a fost descris ca o caru?a cu mecanism de transmisie care lasa sa cada o bila dupa fiecare mila.[37]Cicero (10643 .Hr.) l men?ioneaza pe Arhimede pe scurt n dialogul lui De re publica, n care descrie o conversa?ie imaginara care ar fi avut loc n 129 .Hr. Dupa capturarea Siracuzei c. 212 .Hr., generalul Marcus Claudius Marcellus i-a spus ca trebuie sa duca napoi la Roma doua mecanisme folosite n astronomie, care aratau mi?carea Soarelui, a Lunii ?i a cinci planete. Cicero men?ioneaza mecanisme similare proiectate de Thales din Milet ?i Eudoxus din Knidos. Dialogul spune ca Marcellus a re?inut un mecanism pentru el ca prada de razboi, iar pe cealalalt l-a donat Templului Virtu?ii din Roma. Mecanismul lui Marcellus a fost prezentat, spune Cicero, de Gaius Sulpicius Gallus lui Lucius Furius Philus, care l descie astfel:Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione. When Gallus moved the globe, it happened that the Moon followed the Sun by as many turns on that bronze contrivance as in the sky itself, from which also in the sky the Sun's globe became to have that same eclipse, and the Moon came then to that position which was its shadow on the Earth, when the Sun was in line.[38][39]Aceast citat este o descriere a unui planetarium. Pappus din Alexandria spune ca Arhimede a scris o lucrare (acum pierduta) despre construc?ia acestui mecanism, intitulata Despre Sfera - Confec?ionare. Cercetarile moderne despre mecanism s-au axat pe mecanismul din Antikytera, un alt mecanism din timpul antichita?ii clasice, care probabil a fost proiectat pentru acela?i scop. Construc?ia unui astfel de mecanism presupune cunoa?terea de angrenaje diferen?iale sofisticate. Multa vreme s-a crezut ca acest lucru este cu mult peste tehnologiile din antichiate, dar mecanismul din Antikytera, descoperit n 1902, a confirmat ca astfel de mecanisme erau cunoscute n Grecia antica.[40][41]MatematicaDe?i este privit adesea ca proiectant de dispozitive mecanice, Arhimede a adus contribu?ii importante ?i n domeniul matematicii. Plutarh scrie: ?i-a pus ntreaga afec?iune ?i ambi?ie n cele mai pure specula?ii n care nu pot exista nevoile obi?nuite ale vie?ii.[42]Arhimede a folosit metoda epuizarii pentru a aproxima valoarea lui p.Arhimede a fost capabil sa foloseasca marimile infinitezimale ntr-un mod similar cu calculul integral modern. Folosind metoda reducerii la absurd, a putut sa dea raspunsuri, cu un grad de precizie arbitrara la problemele pe care le avea, specificnd limitele ntre care se situa rezultatul. Tehnica este cunoscuta drept metoda epuizarii ?i a folosit-o pentru a aproxima valoarea lui p. Arhimede a realizat acest lucru desennd un hexagon regulat circumscris unui cerc ?i altul nscris n cerc. Dublnd laturile hexagonului se ob?ine un poligon regulat cu douasprezece laturi. Calculnd perimetrul acestuia se poate ob?ine o aproximare a valorii p. Pentru o mai mare acurate?e se pare ca Arhimede a facut mpar?irea acestui nou poligon ntr-unul cu 24 de laturi, dupa care a continuat succesiv cu valori duble. Cnd poligoanele au avut 96 de laturi fiecare, el a calculat lungimile laturilor lor ?i a aratat ca valoarea lui p se afla ntre 310/71 (approximativ 3.1408) ?i 31/7 (approximativ 3.1429), fiind compatibila cu valoarea actuala de aproximativ 3,141592653.De asemenea, Arhimede a demonstrat ca aria unul cerc este egala cu p nmul?ita cu raza la patrat. n lucrarea Despre Sfera ?i Cilindru, Arhimede postuleaza ca orice marime adaugata ei nsa?i de suficiente ori va depa?i orice marime data. Aceasta este proprietatea lui Arhimede a numerelor reale.[43]n lucrarea Masurarea cercului, Arhimede da valoarea radicalului din 3 ca aflndu-se ntre 265/153 (aproximativ 1.7320261) ?i 1351/780 (aproximativ 1.7320512). Valoarea actuala fiind de aproximativ 1.732508, ceea ce arata o estimare foarte buna a valorii. El a introdus acest rezultat fara a oferi nici o explica?ie a modului n care a ob?inut aceasta valoare. Acest aspect al muncii lui Arhimede l-a facut pe John Wallis sa remarce ca el s-a comportat: ca ?i cum a avut inten?ia de a-?i acoperi urmele investiga?iei, nefiind dispus sa transmita posterita?ii secretul metodei sale de cercetare, de?i a dorit sa smulga de la ei consim?amntul rezultatelor sale.[44]Asa cum a demostrat Arhimede, aria segmentului parabolic din figura de sus este egal cu 4/3 din triunghiul nscris n figura de jos.n lucrarea Cuadratura parabolei, Arhimede a demonstrat ca aria determinata de o parabola ?i o linie dreapta este egala cu 4/3 nmul?ita cu aria triunghiului inscris, a?a cum se arata n figura din dreapta. El a dat solu?ia la problema printr-o progresie geometrica infinita avnd ra?ia 1/4: \sum_{n=0}^\infty 4^{-n} = 1 + 4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + \cdots = {4\over 3}. \;Daca primul termen al seriei este aria triunghiului, atunci al doilea termen al seriei este suma ariilor a doua triughiuri ale caror baze sunt liniile secante ale triunghiului cu parabola, ?i a?a mai departe.n lucrarea Calculul Firelor de Nisip, Arhimede se ocupa de calculul firelor de nisip pe care le-ar con?ine universul. Pentru a face acest lucru, el a fost nevoit sa estimeze dimensiunile universului ?i sa gaseasca o metoda de a lucra cu numere foarte mari. El scrie: Este cineva, regele Gelo II fiul lui Hiero II, care crede ca numarul de fire de nisip este infinit, dar eu n?eleg prin nisip nu numai cel care exista la Siracuza sau n restul Siciliei, ci ?i cel care se gase?te n fiecare regiune locuita sau nelocuita. Pentru a rezolva problema, Arhimede a inventat un sistem de numarare bazat pe myriade (n greaca ?????, ????de? myrios, plural myriades), desemnnd numarul 10000. El a propus un sistem de numera?ie care sa foloseasca puterea unui myriad de myriad (100 de milioane), concluzionnd ca numarul de fire de nisip cerut pentru a umple ntregul univers este de 81063.[45]OperaOperele lui Arhimede au fost scrise n limba greaca dorica, dialectul antic al Siracuzei.[46] Operele lui Arhimede nu au supravie?uit a?a de bine ca cele ale lui Euclid, ?apte dintre ele fiind cunoscute numai din referin?ele facute de al?i autori la ele. Pappus din Alexandria men?ioneaza lucrarea Despre Sfera - Confec?ionare ?i alta lucrare despre poliedre, n timp ce Theon din Alexandria citeaza o remarca despre refrac?ie dintr-o lucrare pierduta Catoptrica.[b] n timpul vie?ii sale, Arhimede a facut cunoscuta lucrarea lui prin coresponden?a cu matematicienii din Alexandria. Lucrarile lui Arhimede au fost colectate de arhitectul bizantin Isidore din Milet (c. 530 d.Hr.), n timp ce comentariile operelor lui Arhimede scrise de Eutocius din Ascalon n secolul al ?aselea d.Hr, a ajutat la raspndirea lor. Operele lui Arhimede au fost traduse n araba de Thabit ibn Qurra (836901 d.Hr.), iar n latina de Gerard din Cremona (c. 11141187 d.Hr.). n timpul Rena?terii, a fost publicata la Basel, n 1544, prima Edi?ie Princeps a operelor lui Arhimede n greaca ?i latina.[47] n jurul anului 1586 Galileo Galilei a inventat balan?a hidrostatica pentru metale cntarite n apa ?i aer, inspirndu-se aparent din operele lui Arhimede.[48]Lucrari care au supravie?uitSe spune ca Arhimede a facut urmatoarea remarca n ceea ce priveste prghiile: Da?i-mi un punct de sprijin ?i voi muta Pamntul din loc. Despre Echilibrul Planelor (doua volume) Primul volum con?ine cincisprezece propozi?ii ?i ?apte axiome, n timp ce al doilea con?ine zece propozi?ii. n aceasta lucrare Arhimede explica legea prghiilor, declarnd: Marimile sunt n echilibru la distan?e reciproc propor?ionale cu greutatea lor. Arhimede folose?te principii derivate pentru a calcula ariile ?i centrul de greutate al diverselor figuri geometrice, inclusiv triunghiuri, paralelograme ?i parabole .[49] Masurarea cercului Aceasta este o lucrare scurta constnd din trei propozi?ii. Este scrisa sub forma de coresponden?a cu Dositheos, care a fost un student al lui Conon din Samos. n propozi?ia a doua, Arhimede arata ca valoarea lui p este mai mare dect 223/71 ?i mai mica dect 22/7. Cifra din urma a fost utilizata pentru a aproxima numarul p de-a lungul Evului Mediu ?i este folosita ?i astazi, atunci cnd doar doua cifre aproximative sunt necesare. Despre Spirale Aceasta lucrare care con?ine 28 de propozi?ii i este adresata tot lui Dositheus. Tratatul define?te ceea ce acum se nume?te Spirala lui Arhimede. Spirala este definita ca: locul geometric al punctelor care corespund pozi?iilor n timp ale unui punct care se ndeparteaza cu viteza constanta de un punct fix (originea), de-a lungul unei drepte care se rote?te n jurul originii cu viteza unghiulara constanta. n coordonate polare (r, ?), aceasta curba poate fi descrisa de ecua?ia: \, r=a+b\theta n care a ?i b sunt numere reale. Acesta este un exemplu timpuriu de curba mecanica (o curba trasata prin mi?carea unui punct) considerata de matematicienii Greciei antice. Despre Sfera ?i Cilindru (doua volume) n acest tratat adresat Dositheos, Arhimede ob?ine rezultatul de care era foarte mndru, ?i anume, rela?ia dintre sfera ?i cilindrul circumscris de acela?i diametru ?i nal?ime. Volumul sferei este 4/3pr3, iar cel al cilindrului 2pr3. Suprafa?a sferei este 4pr2, iar cea a cilindrului 6pr2. Raportul dintre volumul sferei ?i cel al cilindrului este egal cu raportul dintre suprafa?a sferei ?i suprafa?a cilindrului (inclusiv bazele), avnd valoarea 2/3. De aceea pe mormntul lui Arhimede a fost sculptata o sfera cu un cilindru circumscris, dupa cum el nsu?i a cerut. Despre Conoide ?i Sferoide Aceasta lucrare con?ine 32 de propozi?ii adresate lui Dositheus. n acest tratat Arhimede calculeaza ariile sec?iunilor ?i volumele conurilor, sferelor ?i paraboloizilor. Despre Corpurile Plutitoare (doua volume) n prima parte a acestui tratat Arhimede emite legea echilibrului fluidelor, dovedind ca apa va adopta o forma sferica n jurul centrului de greutate. Acest lucru poate a fost o ncercare de a explica teoria astronomilor contemporani greci, precum cea a lui Eratostene, ca Pamntul este rotund. Fluidele descrise de Arhimede nu sunt auto-gravitante, deoarece el presupune existen?a unui punct fa?a de care toate lucrurile cad pentru a se ob?ine o forma sferica. n partea a doua, calculeaza pozi?iile de echilibru ale sec?iunilor paraboloizilor. Aceasta a fost probabil o idealizare a formei corpului corabiilor. Unele dintre aceste sec?iuni vor pluti cu baza sub apa ?i vrful deasupra apei, similar cu plutirea aisbergurilor. Legea lui Arhimede despre plutire este enun?ata astfel: Orice corp, total sau par?ial cufundat ntr-un fluid, produce o for?a ascensionala egala cu greutatea fluidului dislocuit, dar de sens opus ei. Cuadratura parabolei n aceasta lucrare care con?ine 24 de propozi?ii ?i adesata lui Dositheus, Arhimede demonstreaza prin doua metode ca aria dintre o parabola ?i o dreapta care o intersecteaza este egala cu valoarea 4/3 multiplicata cu aria triunghiului de aceea?i baza ?i nal?ime. El a realizat acest lucru calculnd valoarea progresiei geometrice infinite cu ra?ia 1/4. Ostomachion Acesta este un joc logic cu taiaturi, similar Tangramului, iar descrierea lui a fost gasita ntr-o forma mult mai completa n Manuscrisul lui Arhimede. Arhimede a calculat ariile a 14 piese care pot fi asamblate sub forma de patrat. Cercetarile publicate de Dr. Reviel Netz de la Universitatea Stanford n 2003, argumenteaza ca Arhimede a ncercat sa determine n cte feluri piesele pot fi asamblate sub forma de patrat. Dr. Netz a calculat ca piesele pot fi asamblate sub forma de patrat n 17152 feluri.[50] Numarul de aranjamente este de numai 536 de feluri atunci cnd sunt eliminate solu?iile echivalente, adica cele datorate rota?iei ?i reflexiei.[51] Acest joc logic reprezinta un exemplu de problema timpurie de combinatorica. Originea numelui jocului este neclara, sugerndu-se ca ar proveni de la cuvntul grec antic stomachos (st?a???), care nseamna gtlej sau esofag.[52] Ausonius denume?te acest joc Ostomachion, un cuvnt grec compus din cuvintele ?st??? (osteon oase) ?i ??? (mache lupta). Jocul mai este cunoscut ?i sub denumirea de Patratul lui Archimedes.[53] Problema bovinelor Aceasta lucrare a fost descoperita de Gotthold Ephraim Lessing ntr-un manuscris grec constnd dintr-un poem cu 44 de linii, n libraria Herzog August din Wolfenbttel, Germania n anul 1773. i era adresat lui Eratostene ?i matematicienilor din Alexandria. Arhimede i provoca sa calculeze numarul bovinelor din Cireada Soarelui, prin rezolvarea simultana a mai multor ecua?ii Diofantine. Exista ?i o versiune mult mai dificila a problemei, n care unele raspunsuri cer ca numerele sa fie patrate perfecte. Aceasta versiune a fost rezolvata pentru prima data de A. Amthor[54] n 1880, iar raspunsul este un numar foarte mare, de aproximativ 7.76027110206544.[55] Calculul Firelor de Nisip n acest tratat Arhimede contorizeaza numarul de fire de nisip necesare pentru a umple ntregul univers. Cartea men?ioneaza ?i teoria heliocentrica a sistemului solar propusa de Aristarh din Samos, precum ?i ideile contemporanilor despre dimensiunea Pamntului ?i al distan?elor dintre diverse corpuri cere?ti. Bazndu-se pe sistemul de puteri ale myriadelor, Arhimedea a tras concluzia ca numarul de fire de nisip necesare pentru umplerea ntregului univers este de 81063. n introducere el noteaza ca tatal sau a fost un astronom pe nume Phidias. Calculul Firelor de Nisip sau Psammites este singura lucrare a lui Arhimede care a supravie?uit ?i n care discuta viziunea sa despre astronomie.[56] Metoda Teoremelor Mecanicii Acest tratat a fost considerat pierdut pna cnd a fost descoperit Manuscrisul lui Arhimede n 1906. n aceasta lucrare Arhimede folose?te calculul infinitezimal, aratnd cum pot fi mpar?ite figurile ntr-un numar infinit de par?i infinitezimale, pentru a determina aria ?i volumul lor. Arhimede a folosit aceasta metoda lipsita de rigoare formala, astfel ca a mai folosit n paralel ?i metoda epuizarii pentru a trage concluzii asupra rezultatelor. Ca ?i Problema bovinelor, Metoda Teoremelor Mecanicii a fost scrisa sub forma de scrisoare adresata lui Eratostene din Alexandria.Lucrari apocrifeCartea Lemelor a lui Arhimede sau Liber Assumptorum este un tratat care con?ine 15 propoziii despre natura cercului. Cea mai veche copie cunoscuta a textului este in araba. Savan?ii T. L. Heath ?i Marshall Clagett argumentraza ca acest tratat nu a fost scris de Arhimede n forma sa actuala, deoarece i citeaza pe Arhimede, sugernd modificari facute de un alt autor. Cartea Lemelor probabil ca se bazeaza pe o lucrare a lui Arhimede care acum este pierduta.[57]De asemenea s-a afirmat ca formula lui Heron pentru calculul ariei unui triunghi folosind lungimea laturilor sale i era cunoscuta lui Arhimede.[c] Totu?i, prima referire sigura despre formula este data de Heron din Alexandria n secolul 1 d.Hr..[58]Manuscrisul pe pergament al lui ArhimedeArticol principal: Manuscrisul lui Arhimede.Ostomachion este un joc logic din Manuscrisul lui Arhimede.Principalul document care con?ine operele lui Arhimeste este Manuscrisul lui Arhimede. n anul 1906, profesorul danez Johan Ludvig Heiberg vizitnd Constantinopolul, a examinat un pergament din piele de capra, pe care erau scrise 174 de pagini de rugaciuni, din secolul al 13-lea. El a descoperit ca era un pergament pe care textul fusese scris peste un text mai vechi, care fusese ?ters. Acest tip de pergament, numit n greaca palimpsestus, a fost creat prin ?tergerea textului ini?ial ?i refolosirea lui. Aceasta practica era comuna n Evul Mediu, deoarece pergamentul era scump. Scrierea mai veche de pe pergament a fost identificata ca fiind o copie din secolul al 10-lea d.Hr. a unui tratat necunoscut al lui Arhimede.[59] Pergamentul a stat sute de ani n libraria mnastirii din Conspantinopol nainte de a fi vndut unui colec?ionar privat n anul 1920. Apoi, pe 29 octombrie 1998 a fost vndut la licita?ie unui cumparator anonim pentru suma de 2 milioane de dolari, la Christie n New York.[60] Manuscrisul con?ine ?apte tratate, inclusiv singura copie care a supravie?uit Despre Plutirea Corpurilor n limba greaca originala. De asemenea, este singura sursa despre Methoda Teoremelor Mechanice, despre care aminte?te Suidas ?i crezuta a fi pierduta pentru totdeauna. n manuscris a mai fost descoperit ?i Ostomachion, cu o analiza mult mai completa despre jocul logic dect n textele descoperite anterior. La ora actuala manuscrisul se afla la Muzeul de Arta Walters din Baltimore, Maryland, unde a fost subiectul unor teste moderne, inclusiv cu raze ultraviolete ?i raze X, pentru a fi citit textul ini?ial.[61]Tratatele din Manuscrisul lui Arhimede sunt: Despre Echilibrul Planelor, Despre Spirale, Masurarea Cercului, Despre Sfera ?i Cilindru, Despre Corpurile Plutitoare, Metoda Teoremelor Mecanicii ?i Stomachion.