didact_matem DEFINITIVAT

2006

Program universitar de formare n domeniul

Pedagogie pentru nvmnt Primar i Precolar

adresat cadrelor didactice din mediul rural

DIDACTICA MATEMATICII

N NVMNTUL PRIMAR

Mihail ROU

Forma de nvmnt ID - semestrul III

Ministerul Educaiei i Cercetrii Proiectul pentru nvmntul Rural

PEDAGOGIA NVMNTULUI PRIMAR I PRECOLAR

Didactica matematicii n nvmntul primar

Mihail ROU

2006

2006 Ministerul Educaiei i Cercetrii Proiectul pentru nvmntul Rural Nici o parte a acestei lucrri nu poate fi reprodus fr acordul scris al Ministerului Educaiei i Cercetrii ISBN 10 973-0-04559-3; ISBN 13 978-973-0-04559-8.

Cuprins

Proiectul pentru nvmntul Rural 1

CUPRINS Introducere ....................................................................................................................... 4

1. Probleme generale ale predrii matematicii n clasele I IV .................................. 5

1.1. Obiectivele unitii de nvare ................................................................................. 5 1.2. Obiectul metodicii predrii matematicii ..................................................................... 5 1.3. Obiectivele predrii-nvrii matematicii ................................................................. 6 1.4. Coninuturi ale matematicii colare .......................................................................... 8 1.5. Formarea conceptelor matematice ........................................................................ 10 1.5.1. Baza psihopedagogic a formrii noiunilor matematice ......................................... 10 1.5.2. Formarea limbajului matematic ............................................................................... 11 1.5.3. Probleme psihologice n formarea noiunilor matematice ....................................... 12 1.5.4. Repere orientative n predarea-nvarea conceptelor matematice ........................ 13 1.6. Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare ............................................... 16 1.7. Bibliografie ............................................................................................................. 16

2. Formarea conceptului de numr natural ............................................................ 17

2.1. Obiectivele unitii de nvare ................................................................................. 17 2.2. Elemente pregtitoare pentru nelegerea conceptului de numr natural ................. 17 2.3. Predarea numerelor naturale n concentru 0-10 ....................................................... 19 2.4. Predare numerelor naturale n concentul 10-100 ..................................................... 21 2.5. Predare numerelor naturale n concentul 100-1000 ................................................. 21 2.6. Formarea noiunilor de ordin i clas ........................................................................ 22 2.7. Predarea numerelor naturale de nai multe cifre ........................................................ 22 2.8. Rspunsuri i comentarii la testul de evaluare ......................................................... 25 2.9. Lucrare de verificare 1 .............................................................................................. 25 2.10. Bibliografie ............................................................................................................... 25

3. Predarea operaiilor cu numere naturale ............................................................. 26

3.1. Obiectivele unitii de nvare ................................................................................. 26 3.2. Predarea adunrii i scderii numerelor naturale .................................................... 26 3.2.1. Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-10 ................................ 26 3.2.2. Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-20 ................................ 29 3.2.3. Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-100 .............................. 31 3.2.4. Adunarea i scderea numerelor naturale mai mari dect 100 .............................. 33 3.3. Predarea nmultirii si a mpririi ............................................................................. 34 3.3.1. Predarea nmulirii ................................................................................................... 34 3.3.2. Predarea mpririi .................................................................................................. 37 3.4. Predarea ordinii efecturii operaiilor ...................................................................... 40 3.4.1. Ordinea efectuarii operaiilor ................................................................................... 40 3.4.2. Folosirea parantezelor ............................................................................................ 41

Cuprins

2 Proiectul pentru nvmntul Rural

3.5. Rspunsuri si comentarii la testul de autoevaluare .................................................43 3.6. Lucrare de verificare 2 ............................................................................................43 3.7. Bibliografie ..............................................................................................................44

4. Predareanvarea mrimilor i unitilor de msur .........................................45

4.1. Obiectivele unitii de nvare ...............................................................................45 4.2. Mrime. Msurarea unei mrimi .............................................................................45 4.3. Uniti de msur ...................................................................................................46 4.4. Estimarea msurilor unei mrimi ............................................................................47 4.5. Obiective i coninuturi ale predrii-nvrii mrimilor i msurilor acestora .........48 4.6. Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare ................................................51 4.7. Bibliografie .............................................................................................................51 5. Predarea elementelor de geometrie .......................................................................52 5.1. Obiectivele unitii de nvare ...................................................................................52 5.2. Locul i rolul elementelor de geometrie n matematica colar ..................................52 5.3. Obiective i coninuturi ale nvrii elementelor de geometrie ..................................53 5.4.Intuitiv i logicn predarea elementelor de geometrie ..................................................54 5.5. Formarea conceptelor geometrice .............................................................................54 5.6. Sugestii metodice .......................................................................................................55 5.7. Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare ....................................................57 5.8. Bibliografie .................................................................................................................57

6. Predarea fraciilor .....................................................................................................58

6.1. Obiectivele unitii de nvare ...................................................................................58 6.2. Formarea noiunii de fracie .......................................................................................58 6.3. Compararea unei fracii cu ntregul ............................................................................60 6.4. Fracii egale ...............................................................................................................60 6.5. Compararea a dou fracii ..........................................................................................60 6.6. Operaii cu fracii ........................................................................................................61 6.7. Aflarea unei fracii dintr-un ntreg ...............................................................................62 6.8. Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare ....................................................64 6.9. Bibliografie .................................................................................................................64

7. Metodologia rezolvrii problemelor .........................................................................65

7.1. Obiectivele unitii de nvare ...................................................................................65 7.2. Conceptul de problem ..............................................................................................65 7.3.Rezolvarea problemelor simple ...................................................................................66 7.4. Rezolvarea problemelor compuse ..............................................................................70 7.5. Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare ....................................................75 7.6. Lucrare de verificare 3 ...............................................................................................75 7.7. Bibliografie .................................................................................................................75

Cuprins


8. Jocul didactic matematic ......................................................................................... 76

8.1. Obiectivele unitii de nvare ................................................................................... 76 8.2. Conceptul de joc ........................................................................................................ 76 8.3. Jocul didactic ............................................................................................................. 77 8.4. Jocul didactic matematic ............................................................................................ 78 8.4.1. Caracteristici ........................................................................................................... 78 8.4.2. Necesitate ............................................................................................................... 79 8.4.3. Rol formativ ............................................................................................................ 79 8.4.4. Locul i rolul n lecia de matematic ...................................................................... 79 8.4.5. Organizare .............................................................................................................. 80 8.4.6. Desfurare ............................................................................................................ 80 8.4.7. Tipuri de jocuri didactice matematice ...................................................................... 81 8.5. Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare ................................................... 82 8.6. Bibliografie ................................................................................................................. 82 9. Evaluarea randamentului colar la matematic ................................................ 83 9.1. Obiectivele unitii de nvare ............................................................................... 83 9.2. Evaluarea ............................................................................................................... 83 9.2.1. Definiii ................................................................................................................... 83 9.2.2. Evaluarea performanelor colare .......................................................................... 84 9.2.3. Strategii de evaluare .............................................................................................. 84 9.2.4. Metode i tehnici de evaluare ............................................................................... 85 9.3. Evaluarea randamentului colar la matematic .................................................... 86 9.3.1. Ce evalum ? ........................................................................................................ 86 9.3.2. Cu ce evalum ? ................................................................................................... 86 9.3.3. Cum evalum ? ..................................................................................................... 89 9.4. Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare ............................................... 92 9.5. Bibliografie ............................................................................................................ 92 10. Elemente de proiectare didactic la matematic ............................................. 93 10.1. Obiectivele unitii de nvare ........................................................................... 93 10.2. Proiectarea pedagogic ..................................................................................... 93 10.2.1. Conceptul de proiectare pedagogic .................................................................. 93 10.2.2. Modelul proiectrii tradiionale ............................................................................ 94 10.2.3. Modelul proiectrii curriculare ............................................................................. 95 10.3 Proiectarea pe uniti de nvare ....................................................................... 95 10.4 Proiectarea activitii didactice la matematic .................................................... 96 10.4.1. Planificarea calendaristic ................................................................................... 97 10.4.2. Proiectarea unitii de nvare ............................................................................ 97 10.4.3. Proiectul de lecie ................................................................................................ 98 10.5. Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare ........................................... 100 10.6. Lucrare de verificare 4 ...................................................................................... 100 10.7. Bibliografie ........................................................................................................ 100

Bibliografie selectiv .................................................................................................... 101

Introducere


INTRODUCERE Cursul de fa i propune s-i familiarizeze pe viitorii profesori pentru nvmntul

primar cu cele mai importante probleme legate de predarea-nvarea matematicii n clasele I-IV.

Concepia care a stat la baza structurrii modulului const n prezentarea problemelor metodice conectate la coninuturile eseniale ale matematicii colare din clasele I-IV.

Coninutul su este focalizat pe pilonii acestei matematici colare: numere (naturale i fracionare), operaii cu numere, mrimi fizice i msurarea lor, elemente de geometrie. La acestea se adaug cteva probleme metodice importante, ce contureaz cadrul metodologic al desfurrii leciilor de matematic i condiioneaz eficienademersului didactic, precum i elemente care in de pregtirea i evaluarea acestor lecii.

Aflat n zona de intersecie a mai multor domenii (pedagogie, psihologie, matematic), didactica matematicii vehiculeaz i valorizeaz concepte proprii ale acestor discipline. De aceea, parcurgerea acestui modul presupune un cititor avizat n domeniul psihopedagogiei procesului educaional, cu capacitate de particularizare a noiunilor specifice acestora la domeniul predrii-nvrii matematicii.

Dup parcugerea i asimilarea modulului, ateptm ca cititorul: s cunoasc specificul predrii-nvrii principalelor coninuturi ale matematicii

colare a claselor I-IV; s aplice creator, n activitile de concepere, organizare i desfurare a unei lecii

de matematic, cunotinele prezentate n acest modul; s-i formeze capacitatea de autoevaluare a demersului metodic din lecia de

matematic. Finalizarea cursului presupune i rezolvarea a 4 lucrri de verificare, ce se afl la

sfritul unitilor de nvare 2 (Formarea conceptului de numr natural), 3 (Formarea noiunii de operaie), 7 (Metodologia rezolvrii problemelor) i 10 (Elemente de proiectare didactic la matematic).

Lucrrile de verificare, rezolvate, vor fi transmise tutorelui ntr-o modalitate stabilit de comun acord (e-mail, prob scris etc).

Punctajul propus pentu rezolvarea fiecrei lucrri se afl menionat dup enunul subiectelor.

Ponderea acestor lucrri de verificare, ce reprezint evaluarea continu, este 50% din evaluarea de bilan.

Probleme generale ale predrii matematicii n clasele I IV


UNITATEA DE NVARE 1


Cuprins

1.1. Obiectivele unitii de nvare........................................................... 5 1.2. Obiectul metodicii predrii matematicii .............................................. 5 1.3. Obiectivele predrii-nvrii matematicii ........................................... 6 1.4. Coninuturi ale matematicii colare.................................................... 8 1.5. Formarea conceptelor matematice .................................................. 10 1.5.1. Baza psihopedagogic a formrii noiunilor matematice.................. 10 1.5.2. Formarea limbajului matematic ........................................................ 11 1.5.3. Probleme psihologice n formarea noiunilor matematice ................ 12 1.5.4. Repere orientative n predarea-nvarea conceptelor matematice . 13 1.6. Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare.......................... 16 1.7. Bibliografie........................................................................................ 16

1.1. Obiectivele unitii de nvare

La sfritul acestei uniti de nvare, studenii vor fi capabili: - s recunoasc determinarea psihopedagogic a metodicii predrii-

nvrii matematicii; - s discrimineze obiectivele i coninuturile matematicii colare a

claselor I IV; - s cunoasc baza psihopedagogic a formrii noiunilor matematice; - s identifice repere orientative n predarea nvarea conceptelor

matematice

1. 2. Obiectul metodicii predrii matematicii

n sistemul tiinelor pedagogice, didactica are ca obiect procesul de nvmnt, studiind ntr-un mod sistemic componentele acestuia i principiile didactice care guverneaz predarea-nvarea, coninuturile, strategiile de nvare i evaluare.

Ca ramur a pedagogiei colare, didactica se ocup cu studiul conceperii, organizrii i desfurrii eficiente a procesului de nvmnt.

Didacticile speciale sau metodicile sunt particularizri interdisciplinare ale didacticii la anumite discipline de nvmnt.

didactica



Astfel, metodica predrii matematicii are ca obiect studierea legitilor i conturarea celor mai eficiente modaliti utilizabile n procesul de predare nvare - evaluare al acestei discipline. Ea ncorporeaz achiziii din domeniul matematicii, pedagogiei, psihologiei, sociologiei, statisticii, care au o semnificaie de natur metodic.

Zona de interes a metodicii matematice se plaseaz n dou planuri: teoretic, de fundamentare logico-tiinific i didactic a procesului

nvrii matematice; practic-aplicativ, de stabilire a normelor privind organizarea i

desfurarea activitii de nvare a matematicii, de creare i ameliorare a demersurilor didactice specifice acestei activiti. Ca intersecie a matematicii cu pedagogia, metodica predrii-

nvrii matematicii abordeaz problematica obiectivelor, coninuturilor, strategiilor didactice (metode i procedee, mijloace de nvmnt, forme de activitate i de organizare a elevilor) menite s conduc fiecare elev n zona proximei dezvoltri, prin cultivarea motivaiei pentru nvarea matematicii.

Funcie de nivelul sistemului de nvmnt vizat, se contureaz cte o metodic specific fiecrui palier: al activitilor matematice din grdinia de copii, al predrii-nvrii matematicii la clasele I- IV, n ciclul gimnazial, liceal sau n nvmntul superior. Fiecare dintre ele se conecteaz cu celelalte, condiionndu-se reciproc.

Metodica de fa i propune nivelul claselor I IV, urmrind s ofere alternative metodologice i modele posibile de lucru, care s asigure optimizarea nvmntului matematic n ciclul primar. Cum predarea-nvarea matematicii este o activitate cu dubl determinare, organizare tiinific i realizare eficient, termenul de metodic nu trebuie neles ca o sum de metode pe care le folosete nvtorul n procesul de nvmnt.

n acest sens, n locul termenului de metodic poate fi folosit cel de metodologie a didacticii matematicii, cu sensul de structur tiinific i normativ, care studiaz demersurile de cunoatere n domeniul respectiv.

Reuita asimilrii i aplicrii metodologiei predrii-nvrii matematicii la clasele I IV este condiionat de nivelul cunoaterii matematicii colare, a fundamentelor acesteia, precum i a psihopedagogiei procesului instructiv-educativ.

1.3. Obiectivele predrii-nvrii matematicii

Obiectivele educaionale sunt induse de idealul educaional i de finalitile sistemului de nvmnt, care contureaz, ntr-o etap istoric dat, profilul de personalitate dorit la absolvenii sistemului de nvmnt. Finalitile sistemului se concretizeaz n finalitile pe niveluri de colaritate (precolari, primar, gimnazial i liceal), care descriu specificul fiecrui nivel de colaritate din perspectiva politicii educaionale.

Finalitile nvmntului primar sunt: asigurarea educaiei elementare pentru toi copiii; formarea personalitii copilului respectnd nivelul i ritmul su de

dezvoltare; nzestrarea copilului cu acele cunotine, capaciti i atitudini care

s stimuleze raportarea efectiv i creativ la mediul social i natural

metodica matematicii

obiective generale

finaliti



i s permit continuarea educaiei. Curriculum-ul naional, elaborat n anul 1998, realizeaz o

periodizare a colaritii prin gruparea mai multor niveluri de clase, care au n comun anumite obiective. Aceste cicluri curriculare au scopul de a evidenia obiectivul major al fiecrei perioade colare i de a regala procesul de nvmnt din acea perioad.

Astfel, s-a format ciclul achiziiilor fundamentale, ce cuprinde copiii de 6-8 ani, aflai n grdini i n clasele I II, ciclul de dezvoltare, cuprinznd copiii de 9-12 ani, corespunztor claselor II VI i ciclul de observare i orientare, ce include copiii de 13-14 ani, din clasele a VII-a i a VIII-a.

La nivelul nvmntului primar, ciclul achiziiilor fundamentale are ca obiective majore acomodarea la cerinele sistemului colar i alfabetizarea iniial. Acest ciclu urmrete:

9 asimilarea elementelor de baz ale principalelor limbaje convenionale (scris, citit, calcul);

9 stimularea copilului n vederea perceperii, cunoaterii i adaptrii la mediul apropiat;

9 formarea motivrii pentru nvare. Ciclul de dezvoltare are ca obiectiv major formarea capacitilor de

baz necesare pentru continuarea studiilor. Acest ciclu urmrete: 9 dezvoltarea achiziiilor lingvistice, a competenelor de folosire

a limbii romne, a limbii materne i a limbilor strine, pentru exprimarea corect i eficient n situaii variate de comunicare;

9 dezvoltarea capacitii de a comunica, folosind diferite limbaje specializate;

9 dezvoltarea gndirii autonome i a responsabilitii fa de integrarea n mediul social.

Studiul matematicii n ciclul primar urmrete ca toi elevii s-i formeze competenele de baz viznd: numeraia, calculul aritmetic, noiuni intuitive de geometrie i msurarea mrimilor.

n acest context, obiectivele cu cel mai mare grad de generalitate, numite obiective cadru, sunt:

1. cunoaterea i utilizarea conceptelor specifice matematicii; 2. dezvoltarea capacitilor de explorare/investigare i de

rezolvare a problemelor; 3. formarea i dezvoltarea capacitii de a comunica utiliznd

limbajul matematic; 4. dezvoltarea interesului i a motivaiei pentru studiul i

aplicarea matematicii n contexte variate.

La nivelul fiecrei clase, aceste obiective sunt detaliate i precizate prin obiectivele de referin.

Astfel, la clasa I, primul obiectiv cadru se materializeaz n urmtorul set de obiective de referin, exprimate n termeni de capaciti dorite la elevi:

1.1 s neleag sistemul poziional de formare a numerelor din zeci i uniti;

1.2 s scrie, s citeasc i s compare numerele naturale de la 0 la 100;

1.3 s efectueze operaii de adunare i scdere n concentrul 0-30,

obiective de

referin

obiectivele ciclurilor

curriculare

obiective cadru



fr trecere peste ordin; Cel de-al doilea obiectiv cadru se regsete n urmtoarele obiective

de referin: 2.1 s stabileasc poziii relative ale obiectelor n spaiu; 2.2 s recunoasc forme plane i forme spaiale, s sorteze i s

clasifice dup form, obiecte date; 2.3. s sesizeze asocierea dintre elementele a dou categorii de

obiecte, desene sau numere mai mici ca 20, pe baza unor criterii date, s continue modelele repetitive reprezentate prin obiecte, desene sau numere mai mici dect 10;

2.4. s se continue modelele repetitive reprezentate prin obiecte, desene sau numere mai mici dect 10;

2.5. s exploreze modaliti de a descompune numere mai mici ca 30, n sum sau diferen folosind obiecte, desene sau numere;

2.6. s rezolve probleme care presupun o singur operaie dintre cele nvate;

2.7. s compun oral exerciii i probleme cu numere de la 0 la 30. 2.8. s msoare dimensiunile, capacitatea sau masa unor obiecte

folosind uniti de msur nestandard aflate la ndemna elevilor; 2.9. s recunoasc orele fixe pe ceas; 2.10. s estimeze numrul de obiecte dintr-o mulime i s verifice

prin numrare estimarea fcut; Al treilea obiectiv cadru se reflect n obiectivul de referin 3.1. s verbalizeze n mod constant modalitile de calcul folosite n

rezolvarea unor probleme practice i de calcul; Cel de-al patrulea obiectiv cadru se regsete n obiectivele de

referin 4.1. s manifeste o atitudine pozitiv i disponibilitate n a utilizarea

numerelor; 4.2. s contientizeze utilitatea matematicii n viaa cotidian. Toate aceste obiective sunt valabile pentru curriculum-ul nucleu,

trunchiul comun ce corespunde numrului minim de ore din planul de nvmnt.

1.4. Coninuturi ale matematicii colare

Curriculum-ul nucleu prevede urmtoarele coninuturi ale nvrii la clasa I:

elemente pregtitoare pentru nelegerea conceptului de numr natural;

numere naturale de la 0 la 100: citire, scriere, comparare, adunare; adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-30, fr

trecere peste ordin; figuri geometrice: triunghi, dreptunghi, ptrat, cerc; msurri cu uniti nestandard pentru lungime, capacitate, mas;

msurarea timpului (uniti de msur: ora, ziua, sptmna, luna; recunoaterea orelor fixe pe ceas)

clasa I



La clasa a II-a sunt prevzute urmtoarele noi coninuturi ale nvrii:

numere naturale pn la 1000 (formare, scriere, citire, comparare, ordonare);

adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-100, fr i cu trecere peste ordin; nmulirea numerelor naturale n concentrul 0-50; mprirea dedus din tabla nmulirii (se transfer n clasa a III-a ncepnd cu anul colar 2004-2005);

elemente intuitive de geometrie: punct, segment, linie dreapt, linie frnt, linie curb; interiorul i exteriorul unei figuri geometrice; exerciii de observare a obiectelor cu form de paralelipiped dreptunghic;

msurarea mrimilor i unitilor de msur pentru lungime (metrul), capacitate (litrul), mas (kilogramul), timp (minutul); monede; utilizarea instrumentelor de msur adecvate: metrul, rigla gradat, cntarul, balana; Clasa a III-a are urmtoarele noi coninuturi ale nvrii:

numere naturale pn la 1000000; adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-1000;

nmulirea numerelor naturale n concentrul 0-100; mprirea (inclusiv cea cu rest) n acelai concentru; ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor rotunde;

elemente intuitive de geometrie: poligon; exerciii de observare a obiectelor cu forme de cilindru sau de con;

msurarea mrimilor i a unitilor de msur pentru lungime (multiplii i submultiplii metrului), capacitate (multiplii i submultiplii litrului), mas (multiplii i submultiplii kilogramului), timp (anul), monede i bancnote. n clasa a IV-a sunt urmtoarele noi coninuturi ale nvrii:

numere naturale: clase (uniti, mii, milioane, miliarde); caracteristicile sistemului de numeraie folosit (zecimal i poziional); scrierea cu cifre romane;

adunarea i scderea numerelor naturale fr i cu trecere peste ordin; nmulirea cnd un factor are cel mult dou cifre sau este 10, 100, 1000; mprirea la un numr de o cifr (diferen de 0) sau la 10, 100, 1000 ( a numerelor a cror scriere se termin cu cel puin unul, dou sau trei zerouri); ordinea efecturii operaiilor i folosirea parantezelor;

fracii: noiunea de fracie; fracii egale, reprezentri prin desene; fracii echiunitare, subunitare, supraunitare; compararea fraciilor; adunarea i scderea fraciilor cu acelai numitor; aflarea unei fracii dintr-un ntreg;

elemente intuitive de geometrie: unghi, drepte paralele; rombul; perimetrul (dreptunghiului i ptratului); aria;

msurarea mrimilor i uniti de msur, cu transformri ale multiplilor i submultiplilor unitilor principale pentru lungime, capacitate, mas; uniti de msur pentru timp (deceniul, secolul, mileniul); monede i bancnote

clasa a II-a



1.5. Formarea conceptelor matematice

Fiecare disciplin de nvmnt trebuie s construiasc n structurile mintale ale elevului un sistem de cunotine, care s se apropie de logica disciplinei respective.

Matematica colar se fundamenteaz pe logica intern a tiinei matematice, dar se construiete innd seama de particularitile psihice ale elevilor.

1.5.1. Baza psihopedagogic a formrii noiunilor matematice

Specificul dezvoltrii stadiale a inteligenei se manifest printr-o proprietate esenial: aceea de a fi concret-intuitiv. Conform concepiei lui Piaget, la vrsta colar mic, copilul se afl n stadiul operaiilor concrete, ce se aplic obiectelor cu care copilul acioneaz efectiv. colarul mic (mai ales n clasa I) gndete mai mult opernd cu mulimile de obiecte concrete, dei principiile logice cer o detaare progresiv de baza concret, iar operaiile cer o interiorizare, o funcionare n plan mintal. Desigur, nu obiectele n sine poart principiile matematice, ci operaiile cu mulimi concrete. n acest cadru, se nscrie necesitatea ca proiectarea ofertei de cunotine matematice pentru colarul mic s ia n considerare particularitile psihice ale acestei vrste. Dintre principalele caracteristici ale dezvoltrii cognitive specifice acestei vrste, reinem:

9 gndirea este dominat de concret; 9 perceperea lucrurilor este nc global; 9 este perceput ntregul nc nedescompus; 9 lipsete dubla aciune de disociere-recompunere; 9 comparaia reuete pe contraste mari, strile intermediare

fiind greu sau deloc sesizate; 9 domin operaiile concrete, legate de aciuni obiectuale; 9 apare ideea de invarian, de conservare (a cantitii, masei,

volumului); 9 apare reversibilitatea, sub forma inversiunii i compensrii; 9 puterea de deducie imediat este redus; 9 concretul imediat nu este depit dect din aproape n

aproape, cu extinderi limitate i asociaii locale; 9 intelectul are o singur pist; 9 colarul mic nu ntrevede alternative posibile; 9 posibilul se suprapune realului.

Spre sfritul micii colariti se pot ntlni, evident difereniat i individualizat, manifestri ale stadiului preformal, simultan cu meninerea unor manifestri intelectuale situate la nivelul operaiilor concrete.

Caracteristicile acestui stadiu determin i variantele metodologice

destinate formrii noiunilor matematice. n acest sens, prioritate va avea nu att stadiul corespunztor vrstei, ct, mai ales, zona proximei dezvoltri a capacitilor intelectuale ale elevilor.

nainte de a se aplica propoziiilor logice, operaiile logice (negaia, disjuncia, conjuncia, implicaia, echivalena), se exerseaz n planul aciunilor obiectuale, ale operaiilor concrete. De aceea, procesul de

dezvoltarea cognitiv a colarului

mic

caracteristici



predare-nvare a matematicii n ciclul primar implic mai nti efectuarea unor aciuni concrete, operaii cu obiectele, care apoi se structureaz i se interiorizeaz, devenind operaii logice abstracte.

Formarea noiunilor matematice se realizeaz prin ridicarea treptat ctre general i abstract, la niveluri succesive, unde relaia dintre concret i logic se modific n direcia esenializrii realitii. n acest proces, trebuie valorificate diverse surse intuitive: experiena empiric a copiilor, matematizarea realitii nconjurtoare, limbajul grafic.

Un material didactic foarte potrivit pentru a demonstra conceptele matematice de baz (mulime, apartenen, incluziune, intersecie, reuniune .a.), care conduc la conceptul de numr natural i apoi la operaii cu numere naturale, este constituit din trusa de piese geometrice (blocurile logice ale lui Dienes, Logi I, Logi II). Datorit faptului c atributul dup care se constituie mulimile (proprietatea caracteristic) de piese geometrice este precis determinat (form, culoare, mrime, grosime), structurile logice se pot demonstra riguros. n operarea cu aceste piese, copiii se gsesc foarte aproape de operarea cu structuri logice.

Limbajul grafic, materializat n reprezentrile grafice, este foarte apropiat de cel noional. El face legtura ntre concret i logic, ntre reprezentare i concept, care reprezint o reflectare a proprietilor relaiilor eseniale ale unei categorii de obiecte sau fenomene. ntre aceste niveluri, interaciunea este legic i continu. Ea este mijlocit de formaiuni mixte de tipul conceptelor figurale, al imaginilor esenializate sau schematizate, care beneficiaz de aportul inepuizabil al concretului.

Imaginile mintale, ca modele parial generalizate i reinute ntr-o form figurativ, de simbol sau abstract, i apropie pe copii de logica operaiei intelectuale, devenind astfel sursa principal a activitii gndirii i imaginaiei, mediind cunoaterea realitii matematice.

Pentru elevul clasei I, primele noiuni matematice sunt cele de numr natural i operaii cu numere naturale (adunare i scdere). Formarea acestor noiuni parcurge urmtoarele etape :

9 sesizarea mulimilor i a relaiilor dintre acestea n realitatea obiectiv (mulimi de obiecte din mediul ambiant, experiena de via a elevilor, imagini ale mulimilor de obiecte concrete);

9 operaii cu mulimi de obiecte concrete (cu mulimi de obiecte reale, cu mulimi de obiecte simbol, cu piesele geometrice, cu rigletele .a.);

9 operaii cu simboluri ale mulimilor de obiecte (imagini i reprezentri grafice);

9 operaii cu simboluri numerice (cifre, semne de operaie, de egalitate i inegalitate).

1.5.2. Formarea limbajului matematic

Se tie c nvarea oricrei tiine ncepe, de fapt, cu asimilarea limbajului ei noional. Studiul matematicii urmrete s ofere elevilor, la nivelul lor de nelegere, posibilitatea explicrii tiinifice a noiunilor matematice.

Exist o legtur strns ntre coninutul i denumirea noiunilor, care trebuie respectat inclusiv n formarea noiunilor matematice. Orice

Coninutul/ denumirea noiunilor

formarea noiunilor

matematice

materialul didactic

limbajul grafic

imaginile mintale



denumire trebuie s aib acoperire n ceea ce privete nelegerea coninutului noional; altfel, unii termeni apar cu totul strini fa de limbajul activ al copilului care, fie c-l pronun incorect, fie c i lipsesc din minte reprezentrile corespunztoare, realiznd astfel o nvare formal.

Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte, se introduce la nceput cu unele dificulti. De aceea, trebuie mai nti asigurate nelegerea noiunii respective, sesizarea esenei, de multe ori ntr-un limbaj accesibil copiilor, fcnd deci unele concesii din partea limbajului matematic. Pe msur ce se asigur nelegerea noiunilor respective, trebuie prezentat i denumirea lor tiinific. De altfel, problema raportului dintre riguros i accesibil n limbajul matematic al elevilor este permanent prezent n preocuprile nvtorilor.

Unul dintre obiectivele generale ale leciilor de matematic se refer la cunoaterea i folosirea corect de ctre elevi a terminologiei specifice. Noile programe de matematic prevd explicit obiective legate de nsuirea unor deprinderi de comunicare, ce presupun stpnirea limbajului matematic i vizeaz capaciti ale elevului cum sunt:

9 folosirea i interpretarea corect a termenilor matematici; 9 nelegerea formulrii unor sarcini cu coninut matematic, n

diferite contexte; 9 verbalizarea aciunilor matematice realizate; 9 comunicarea n dublu sens (elevul s fie capabil s pun

ntrebri n legtur cu sarcinile matematice primite i s rspund la ntrebri n legtur cu acestea).

1.5.3. Probleme psihologice n formarea noiunilor matematice

Contactul cu unele noiuni de matematic are o contribuie major la elaborarea planului abstract-categorial n evoluia colarului mic, cu condiia s nu fie ntreinut nvarea mecanic, neraional.

Pe parcursul unor semnificative uniti de timp, colarii mici sunt antrenai n rezolvarea unor sarcini de relaionare a cunoscutului cu necunoscutul care, ca structuri matematice, au o sfer logic asemntoare. Pe fondul unor structuri de baz, pot fi proiectate construcii operaionale particulare, schimbnd dimensiunile numerice ale mrimilor sau chiar numrul mrimilor puse n relaie. Elevii sunt familiarizai cu deplasarea n sens cresctor sau descresctor n irul numerelor naturale, ca i cu tehnica primelor dou operaii aritmetice (adunarea i scderea). Ei i mbogesc nomenclatorul noional, aflnd c unele numere se cheam termeni, sum desczut, scztor, sau rest, cunosc proprietile de comutativitate i asociativitate ale adunrii, constat c pentru a soluiona ? + b = c trebuie s scad, iar pentru a soluiona ? b = c trebuie s adune. Este un gen de operativitate care cultiv flexibilitatea, concur la creterea vitezei de lucru, stimuleaz descoperirea, nelegerea i raionamentul matematic. Este vorba de o strategie care-l pune pe elev n situaia de a contientiza de fiecare dat semnificaia necunoscutei i de a ajunge la ea prin intermediul raionamentului, care i asociaz ca tehnic operaional, cnd adunarea, cnd scderea. Aceast strategie are avantajul de a pregti terenul achiziionrii de ctre colarul mic a

obiective de

comunicare



capacitii de a rezolva problema, nvndu-l s diferenieze ntre ce se d i ce se cere.

Unul dintre riscurile introducerii defectuoase a elevului n clasa I n noiunile matematice este cel al separrii n timp i spaiu, a exerciiului practic de cunotinele teoretice generalizatoare (regula, principiul de rezolvare), plasate n actul nvrii ca aciuni neasociate, ca tipuri de cunotine autonome, succesive, fr a se crea prilejul de a se fonda una pe alta i de a se ilustra una prin alta.

Momentul iniial al ptrunderii colarului mic n relaiile matematice este nsoit i de alte dificulti, ntre care: persistena unei orientri fixate eronat (ex.: plus, minus, mai mare, mai mic), contientizarea inadecvat a operaiilor matematice, insuficienta cultivare a sensului matematic al operaiei de scdere (condiia ca desczutul s fie mai mare sau cel puin egal cu scztorul), diferenierea nesatisfctoare n probleme a planului datelor de planul necunoscutelor.

n matematic, prestaiile colarului mic sunt puternic dependente de model, datorit capacitii lui reduse de a-i autodirija disponibilitile i procesele psihice n sensul dorit de nvtor. De aici, rezult necesitatea raportrii la prestaiile micului colar nu doar ca la nite rezultate finite, ci ca la nite procese susceptibile de a fi optimizate pe parcursul lor. Pentru aceasta este necesar ca n structura comportamentului didactic al nvtorului s precumpneasc sugestiile, explicaiile, lmuririle, sprijinul, ndrumarea, ncurajarea.

1.5.4. Repere orientative n predarea-nvarea conceptelor matematice

Stabilirea unor repere metodologice n predarea-nvarea matematicii presupune o anticipare concret a direciilor de evoluie a nvmntului matematic n ciclul primar. Considerm c acestea ar putea fi:

9 contientizarea obiectivelor formative i creterea ponderii formativului n ntreaga activitate didactic;

9 apropierea matematicii colare de matematica tiin contemporan, n sensul reducerii decalajului dintre acestea;

9 nvarea structural modular a coninuturilor, ce ar permite exploatri n concentre numerice succesive i reducerea timpului destinat formrii unor deprinderi de calcul;

9 accentuarea caracterului interdisciplinar al cunotinelor i priceperilor matematice, precum i o mai eficient conectare la cotidian, la realitatea nconjurtoare;

9 dobndirea unor strategii de rezolvare a problemelor, n extensia activitilor suplimentare post-rezolvare i a compunerii de probleme.

Metodica predrii matematicii acord un loc prioritar parametrilor metodologici ai aciunii educaionale, n spe complexului de metode, tehnici i procedee didactice, precum i utilizrii mijloacelor de nvmnt. Nu se poate vorbi de metode universale, eficiente sau ineficiente, bune sau rele, active sau pasive. Fiecare situaie de nvare poate admite una sau

repere



mai multe variante metodice, opiunea pentru o variant sau alta fiind condiionat de un complex de factori.

Specifice predrii-nvrii matematice la clasele I- IV sunt strategia inductiv i strategia analogic. n strategia inductiv se ntreprind experimente asupra situaiei date, efectund aciuni reale cu obiecte sau concepte. Pe baza observaiilor fcute n cadrul acestor concretizri, elevii sunt condui progresiv la conceptualizri. Strategia analogic are ca temei o caracteristic a gndirii matematice i anume, relevana ei logic-analogic. Se pot ntlni analogii ntre noiuni, ntre idei, ntre teoreme, ntre domenii. Punctul de plecare l constituie faptul c analogia reprezint forma principal sub care se manifest procesele de abstractizare.

Coninutul tiinific al conceptelor matematice nu exclude, ci, dimpotriv, presupune utilizarea unor metode i procedee bazate pe intuiie, dat fiind faptul c colarul mic are o gndire care se plaseaz la nivelul operaiilor concrete. nvtorul trebuie s asigure un echilibru ntre metodele de tip intuitiv-observativ, cele acionale problematizatoare, pentru a nu ajunge la abuz de intuiie, dar nici la nvmnt formal, fr suport modelator i n care multe noiuni matematice rmn fr o suficient acoperire intuitiv.

Test de autoevaluare

1. Ce elemente de pedagogie se constituie n preocupri specifice didacticii matematicii?

2. Precizeaz obiectivele cadru al nvrii matematice n clasele I-IV. 3. Care dintre coninuturile urmtoare sunt prevzute n curriculum-ul nucleu pentru

clasa I: a) numere naturale de la 0 la 100; b) fracii; c) adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-30, fr trecere peste

ordin; d) nmulirea numerelor naturale n concentrul 0-100; e) figuri geometrice: triunghi, dreptunghi, ptrat, cerc. 4. Enumer cel puin 5 dintre principalele caracteristici ale dezvoltrii cognitive

specifice vrstei colare mici. 5. Care sunt, n opinia ta primele 3 ca importan repere orientative n predarea-

nvarea conceptelor matematice n clasele I-IV.

Rspunsul va putea fi ncadrat n spaiul rezervat n continuare.

strategii



1.6. Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare 1. Revezi 1.2. (Obiectul metodicii predrii matematicii), n partea ce se refer la intersecia

matematicii cu pedagogia. R: obiective, coninuturi, strategii didactice. 2. Revezi 1.3. (Obiectivele predrii-nvrii matematicii), n partea ce se refer la

obiectivele cu cel mai mare grad de generalitate (obiective cadru). 3. R: a), c), e). 4. Revezi 1.5.1. (Baza psohopedagogic a formrii noiunilor matematicii). 5. Revezi i apreciaz importana reperelor prezentate la 1.5.4.

1.7. Bibliografie

1) Neacu I. (coord.), Metodica predrii matematicii la clasele I-IV, EDP, 1988 2) MEN, CNC, Curriculum naional, Programe colare pentru nvmntul primar,

Bucureti, 1998; 3)***** Manuale (n vigoare) de matematic pentru clasele I IV.

Formarea conceptului de numr natural


UNITATEA DE NVARE 2


Cuprins 2.1. Obiectivele unitii de nvare .............................................................. 17 2.2. Elemente pregtitoare pentru nelegerea conceptului

de numr natural ................................................................................... 17 2.3. Predarea numerelor naturale n concentru 0-10 ................................... 19 2.4. Predare numerelor naturale n concentul 10-100.................................. 21 2.5. Predare numerelor naturale n concentul 100-1000.............................. 21 2.6. Formarea noiunilor de ordin i clas .................................................... 22 2.7. Predarea numerelor naturale de nai multe cifre .................................... 22 2.8. Rspunsuri i comentarii la testul de evaluare...................................... 25 2.9. Lucrare de verificare 1........................................................................... 25 2.10. Bibliografie............................................................................................ 25 2.1. Obiectivele unitii de nvare

La sfritul aceste uniti de nvare, studenii vor fi capabili: - s aplice metodologia introducerii unui numr natural, n clasa I; - s discrimineze modaliti de predare a numeraiei n clasele II-IV; - s contientizeze noiunile de ordin i clas

2.2. Elemente pregtitoare pentru nelegerea conceptului de numr natural

Parcurgerea acestui capitol se va face dup o necesar evaluare predictiv a elevilor n primele zile de coal. Vor fi evaluate acele cunotine, priceperi i deprinderi ale elevilor ce se regsesc n structura unitii i vor fi explicitate mai jos. n funcie de rezultatele evalurii, va fi luat o decizie didactic privind ritmul parcurgerii acestui capitol i implicit, timpul afectat: cu ct rezultatele sunt mai bune, cu att timpul va fi mai scurt.

Nu trebuie uitat c acest capitol reprezint doar o pregtire a elevilor pentru asimilare adaptare, o modalitate de egalizare a anselor, de a oferi tuturor copiilor o necesar baz comun de pornire. De aceea, activitatea

evaluare predictiv



nvtorului va fi difereniat i individualizat, oferind fiecrui copil un program personal de compensare sau dezvoltare.

Dup parcurgerea acestui capitol i evaluarea sumativ corespunztoare, nvtorul va avea informaii i va putea decide i asupra tipului de curriculum pe care l va putea aborda cu clasa: trunchiul comun, aprofundare sau extindere.

Coninutul Unitii 2 are un vizibil caracter interdisciplinar, cu trimiteri nu numai n interiorul, ci i n afara ariei curriculare. Se conecteaz cu zona limbii i comunicrii att prin activizarea unui limbaj specific, ct i prin solicitrile de verbalizare a aciunilor n exprimri corecte, complete, clare. Cu zona arte se leag prin cunotine (ex.: culorile), priceperi i deprinderi ce in de grafie (trasare de linii, ncercuiri, barri), desenare i colorare. De zona educaie fizic se leag prin intermediul priceperilor i deprinderilor motrice, de care depinde realizarea unor aciuni directe de manipulare a obiectelor. n interiorul ariei curriculare din care face parte matematica, se conecteaz cu tiinele naturii prin cunotinele despre plante i animale, necesare interpretrii unor imagini, n vederea stabilirii unor proprieti caracteristice.

Prezentm n continuare cte o list coninnd ce trebuie s tie (cunotine) i s fac (priceperi i deprinderi) elevul clasei I n vedrea nelegerii conceptului de numr natural.

Cunotine necesare:

a) culori (rou, galben, albastru); b) forme geometrice plane: cerc, triunghi, dreptunghi, ptrat; c) poziii relative ale obiectelor: sus/jos, fa/spate, pe/sub,

stnga/dreapta, aproape/departe .a; d) mrimea obiectelor: mare/mic, lung/scurt, nalt/scund, lat/ngust; e) elemente de logic matematic (fr utilizarea terminologiei):

propoziie logic i negaia ei, conjuncia a dou propoziii, disjuncia a dou propoziii, implicaia;

f) mulimi (fr utilizarea terminologiei): determinare, apartenen/ neapartenen, operaii cu mulimi (reuniune, intersecie, complementara unei submulimi);

g) corespondene: compararea cantitativ a dou mulimi, ordonarea cantitativ a dou sau mai multe mulimi;

h) invariana cantitii. Priceperi i deprinderi necesare:

a) - precizarea culorii unui obiect sau a unei imagini date; - colorarea unor imagini cu o culoare precizat;

b) - recunoaterea oricreia dintre formele geometrice precizate, pe obiecte din mediul nconjurtor;

- denumire unei forme geometrice date; c) - recunoaterea poziiilor relative ale unor obiecte indicate; - plasarea unor obiecte n poziii relative indicate; - gsirea unor obiecte aezate ntr-o poziie precizat fa de un

reper; d) - stabilirea mrimii relative a dou obiecte comparate; - ordonarea cresctoare/descresctoare dup mrime a dou/trei

obiecte (sau imagini); e) - sortarea obiectelor care au o proprietate dat;

priceperi i deprinderi

interdiscipli-naritate



- alegerea obiectelor caracterizate prin dou atribute simultan; - trierea obiectelor care au cel puin unul dintre atribute date; - utilizarea unui raionament de tipul dac . atunci ntr-o

situaie practic; - descoperirea regulii de formare a unei secvene dintr-un ir de

obiecte/imagini i construirea n continuare a irului; f) - formarea unor mulimi de obiecte avnd o proprietate caracteristic

dat; - formarea unor mulimi de obiecte pentru care proprietatea

caracteristic este o conjuncie de dou atribute; - recunoaterea proprietii caracteristice a unei mulimi date;

- sesizarea apartenenei/neapartenenei unui element la o mulime dat;

- construirea reuniunii a dou mulimi disjuncte de obiecte; - precizarea proprietii caracteristice a interseciei a dou mulimi,

folosind conjuncia; - precizarea proprietii caracteristice a complementarei unei

submulimi, folosind negaia; - construirea mulimii diferen dintre o mulime dat i o submulime

a sa; g) - formarea de perechi ntre elementele a dou mulimi prin

coresponden unu la unu; - stabilirea unei relaii de ordine ntre dou mulimi, exprimat prin

tot att, mai mult/puin; - aezarea n ordine cresctoare/descresctoare a dou sau mai

multe mulimi de obiecte sau imagini; h) - sesizarea faptului c o mulime rmne cu tot attea obiecte,

indiferent de poziia spaial a acesteia; - sesizarea faptului c mrimea obiectelor din dou mulimi nu

decide care dintre are mai multe obiecte.

2.3. Predarea numerelor naturale n concentrul 0-10

Numrul natural reprezint cea mai cunoscut i utilizat entitate matematic, pe care copilul o ntlnete nc din perioada precolaritii. Cunotinele empirice, particulare, dobndite la aceast vrst, se vor lrgi treptat, generalizator, n sensul formrii conceptului de numr natural, n clasele I-IV.

Introducerea numrului natural se realizeaz pe baza corespondenei ntre mulimi finite. Suportul tiinific este dat de noiunea de mulimi echipotente: dou mulimi sunt echipotente dac exist o bijecie de la una la cealalt. Relaia de echipoten mparte mulimile n clase disjuncte, ntr-o clas aflndu-se toate mulimile echipotente ntre ele. O astfel de clas poart numele de cardinal. Orice numr natural este cardinalul unei mulimi finite. De exemplu, numrul 3 este clasa de echipoten a tuturor mulimilor ce au 3 elemente.

Este evident c problema nu poate fi abordat astfel la colarii mici. Calea cea mai utilizat pentru introducerea unui numr natural oarecare n (de exemplu, 4) trece prin urmtoarele etape:

9 se construiete o mulime de obiecte avnd attea elemente ct este ultimul numr cunoscut (n exemplul menionat, 3);

introducere la clasa I

suportul tiinific



9 se construiete o alt mulime, echipotent cu prima; 9 se adaug n cea de a doua mulime nc un obiect; 9 se face constatarea c noua mulime are cu un obiect mai

mult dect prima mulime; 9 se afirm c noua mulime, format din n-1 obiecte i nc un

obiect are n obiecte (deci, 3 obiecte i nc un obiect nseamn 4 obiecte);

9 se construiesc i alte mulimi, echipotente cu noua mulime, formate din alte obiecte, pentru a sublinia independena de alegerea reprezentanilor;

9 se prezint cifra corespunztoare noului numr introdus. Exist i alte modaliti posibile de introducere a numrului natural:

una prezint numrul natural definit prin axiomele lui Peano (cale inaccesibil elevilor), alta consider numrul natural ca rezultat al msurrii unei mrimi cu ajutorul unui etalon. n practica didactic a colii romneti nu se utilizeaz nici una dintre aceste dou modaliti.

Obiectivele leciilor viznd numeraia la clasa I, pentru secvena 0-10, sunt:

a) raportare cantitate numr cifr (se d o mulime de obiecte i se cere s se determine numrul acestora i s se ataeze cifra corespunztoare);

b) raportare cifr numr cantitate (se prezint cifra i se cere s se precizeze numrul corespunztor, apoi s se construiasc o mulime avnd acel numr de obiecte);

c) scrierea i citirea numerelor naturale nvate; d) stabilirea locului numrului nvat, n irul numerelor naturale; e) compararea numrului nou nvat cu celelalte numere cunoscute; f) ordonarea cresctoare/ descresctoare a unor numere naturale

date; g) evidenierea aspectului ordinal al numrului natural; h) compunerea i descompunerea unor mulimi avnd drept cardinal

numrul nou nvat; i) estimarea numrului de obiecte dintr-o mulime dat i verificarea

prin numrare. nsuirea contient de ctre copii a numrului natural este

condiionat de: 9 nelegerea aspectului cardinal al acestuia (ca proprietate

comun a mulimilor echipotente: acelai numr de elemente);9 nelegerea aspectului ordinal al acestuia (stabilirea locului

unui element ntr-un ir); 9 capacitatea de a compara numere naturale, preciznd care

este mai mic/ mare i de a ordona cresctor/ descresctor mai multe numere date;

9 cunoaterea, citirea i scrierea cifrelor corespunztoare numerelor naturale.

n formarea conceptului de numr natural se parcurg urmtoarele etape:

9 aciuni cu mulimi de obiecte (etapa acional); 9 schematizarea aciunii i reprezentarea grafic a mulimilor

(etapa iconic); 9 traducerea simbolic a aciunilor (etapa simbolic).

obiective

condiionri



2.4. Predarea numerelor naturale n concentrul 10-100 Trecerea de la concentrul 0-10 la numere naturale mai mici dect

100 constituie pasul decisiv pentru nelegerea de ctre elevi a structurii zecimale a sistemului nostru de numeraie, ce va sta la baza extinderii continue a secvenelor numerice.

Pentru leciile viznd secvena 10 100, n lista obiectelor urmrite se adaug:

j) nelegerea zecii ca unitate de numeraie, baz a sistemului utilizat; k) formarea, citirea i scrierea unui numr natural mai mare dect 10; l) relaia de ordine n secvena numeric respectiv (compararea i

ordonarea numerelor nvate). nelegerea procesului de formare a numerelor mai mari dect 10 i

mai mici sau egale cu 20 este esenial pentru extrapolarea n urmtoarele concentre numerice. Studiul concentrului 10 20 i ajut pe elevi s-i consolideze cunotinele anterioare i s le transfere n contexte noi, s-i mbogeasc gndirea cu metode i procedee ce vor fi folosite frecvent n nvarea, n continuare, a numeraiei.

Introducerea numrului 11 se poate realiza astfel: 9 se formeaz o mulime cu 10 elemente; 9 se formeaz o mulime cu un element; 9 se reunesc cele dou mulimi, obinndu-se o mulime format

din zece elemente i nc un element; 9 se spune c aceast mulime are unsprezece elemente i c

scrierea acestui numr este 11, adic dou cifre 1, prima reprezentnd zecea i cea de a doua, unitatea.

Pentru a evidenia structura unui numr mai mare dect 10 i mai mic dect 20, este util ca zecea s apar ca unitate de numeraie, prin utilizarea compact a acesteia (de exemplu, mnunchiul de 10 beioare legat). La aceast zece legat se pot ataa unul sau mai multe elemente: unu vine spre zece, formnd numrul unsprezece, doi vin spre zece, formnd numrul doisprezece .a.m.d. O asemenea imagine dinamic este sugestiv pentru colarul mic, ajutndu-l s-i formeze reprezentri ce vor sta la baza nelegerii conceptului de numr natural.

Cu introducerea numrului 20, ca o zece i nc alte 10 uniti, adic dou zeci, se ncheie secvena esenial pentru elevi, ce condiioneaz nelegerea ulterioar a modului de formare, scriere i citire a oricrui numr natural . Dac aceast etap este corect parcurs, nu vor fi ntmpinate dificulti metodice n introducerea numerelor pn la 100. Prin cunoaterea unor astfel de numere, elevii iau contact cu sistemul zecimal, ntlnind , pentru prima dat, o nou semnificaie a cifrelor, dat de locul pe care-l ocup n scrierea numerelor.

2.5. Predarea numerelor naturale n concentrul 100-1000 n predare numerelor naturale din concentrul 100-1000 se folosete

analogia cu procedeele din concentrul anterior nvat, conturndu-se ideea c 10 uniti de un anumit fel formeaz o unitatea nou, mai mare. n acest concentru, elevii adaug la unitile de numeraie cunoscute (unitatea simpl, zecea) o unitatea nou suta i afl c zece sute formeaz o mie.

obiective specifice

introducerea numerelor mai mari dect 10



Formarea oricrui numr mai mare dect 100 se realizeaz dup algoritmul cunoscut de la formarea numerelor mai mari dect 10: o sut i nc o unitate formeaz 101 s.a.m.d. Singura problem metodic nou fa de concentrele anterioare este indus de formarea, citirea i scrierea numerelor ce conin pe 0. Este necesar ca elevii s discrimineze ntre 101 i 110 (de exemplu), n care cifra 0 arat absena zecilor, respectiv a unitilor simple.

2.6. Formarea noiunilor de ordin i clas n etapa urmtoare, predarea-nvarea numerelor naturale mai mari

dect 100 se caracterizeaz prin introducerea noiunilor de ordin i clas. Pn acum, elevii au cunoscut 3 uniti de calcul: unitatea (simpl), zecea i suta. Pentru a ordona i sistematiza secvenele numerice urmtoare, fiecrei uniti de calcul i va fi ataat un ordin, ce reprezint numrul de ordine n scrierea numrului: unitile (simple) vor fi numite uniti de ordinul nti; zecile, uniti de ordinul doi; sutele, uniti de ordinul trei. n acest fel, unitile de mii vor fi uniti de ordinul patru, zecile de mii uniti de ordinul cinci, sutele de mii uniti de ordinul ase .a.m.d. Pe msur ce cunosc ordinele, elevii constat c grupuri de trei ordine consecutive, ncepnd cu primul, conin uniti care se numesc la fel: uniti, uniti de mii, uniti de milioane .a.m.d. Dat fiind aceast periodicitate, este firesc ca un grup de trei ordine consecutive s formeze o nou structur, numit clas. Ordinele 1, 2, 3 formeaz clasa unitilor; ordinele 4, 5, 6 formeaz clasa miilor; ordinele 7, 8, 9 clasa milioanelor .a.m.d. Se poate sugera astfel c procedeul poate fi aplicat n continuare la nesfrit i c, implicit, exist numere naturale orict de mari. n scrierea unor astfel de numere, evidenierea claselor se realizeaz prin plasarea unui spaiu liber ntre ele.

2.7. Predarea numerelor naturale de mai multe cifre

O atenie deosebit n scrierea unui numr trebuie s fie acordat cifrei 0 (zero), care semnific absena unitilor de un anumit ordin. La citirea unui numr n scrierea cruia apar zerouri, acestea nu se rostesc. De altfel, edificatoare n evaluarea deprinderii elevilor de a scrie/citi corect un numr natural orict de mare sunt probele ce conin numere n care lipsesc unitile de diverse ordine.

Urmtoarele extensii secveniale (numere naturale mai mari dect 100) realizate n clasele II-IV , urmresc, n plus, obiectivul general:

m) contientizarea caracteristicilor sistemului de numeraie: zecimal (zece uniti de un anumit ordin formeaz o unitate de ordinul imediat urmtor) i poziional (o cifr poate reprezenta diferite valori, n funcie de poziia pe care o ocup n scrierea unui numr).

Metodologia formrii conceptului de numr natural se bazeaz pe faptul c elevii de vrst colar mic se afl n stadiul operaiilor concrete, nvnd ndeosebi prin intuire i manipulare direct a obiectelor. Pe msur ce ne deplasm ctre clasa a IV-a, are loc ridicarea treptat ctre general i abstract, n direcia esenializrii realitii.

ordin

clas



Pentru alegerea unor strategii didactice eficiente i organizarea unor situaii de nvare cu randament sporit, la clasele I II trebuie s se aib n vedere urmtoarele sugestii metodice:

1. necesitatea ca fiecare elev s opereze direct cu un material didactic bogat, variat i atractiv;

2. gradarea solicitrilor, cu orientare spre abstractizare (de la operare cu obiecte concrete, la folosirea jetoanelor cu imagini, a figurilor simbolice i a schemelor);

3. antrenarea mai multor analizatori (vizual, auditiv, tactil) n nvarea i fixarea unui numr;

4. matematizarea realitii nconjurtoare, ce ofer multiple posibiliti de exersare a numratului;

5. realizarea frecvent de corelaii interdisciplinare (ex.: solicitarea de a gsi, ntr-un text dat, toate cuvintele ce au un anumit numr de litere sau de cte ori apare o liter dat);

6. utilizarea frecvent a jocului didactic matematic sau introducerea unor elemente de joc.

La clasele III IV se va urmri: 9 sublinierea necesitii de a lrgi secvena numeric cunoscut

(de exemplu, elevii pot fi motivai pentru nvarea numerelor mari, trezindu-li-se interesul prin ntrebri de tipul: Vrei s tii cum se scriu i se citesc numerele care arat cte fire de nisip sunt pe o plaj, cte kg are Pmntul, ce distane strbate o nav cosmic ?);

9 exersarea, pn la formarea unor deprinderi corecte i contiente, a citirii i scrierii numerelor naturale orict de mari, ndeosebi a celor n care lipsesc una sau mai multe uniti de un anumit ordin;

9 sugerarea, n timp, a ideii c irul numerelor naturale este nemrginit superior (exist numere naturale orict de mari, deci nu exist un cel mai mare numr natural).

Test de autoevaluare 1. Care este suportul tiinific al introducerii unui numr natural?

2. Precizeaz, folosind cuvinte proprii, obiectivele leciilor viznd numeraia n concentrul 0-10 (clasa I). Dac este necesar particularizeaz pentru un numr ales de tine. 3. Stabilete corespondene ntre elementele coloanelor de mai jos ce reprezint etape n

formarea conceptului de numr natural.

etapa acional traducerea simbolic a aciunilor

etapa iconic aciuni cu mulimi de obiecte

etapa abstract schematizarea aciunii i reprezentarea grafic

4. Care sunt, n opinia ta, primele trei ca importan sugestii metodice legate de predarea numeraiei la clasele I-II. Argumenteaz rspunsul.

sugestii metodice pentru clasele I-II

Sugestii metodice

pentru clasele III-IV



Rspunsul va putea fi ncadrat n spaiul rezervat n continuare.



2.8. Rspunsuri i comentarii la testul de autoevaluare 1. Revezi 2.3. (Predarea numerelor naturale n concentrul 0-10). R: relaia de echipoten ntre mulimi finite. 2. Revezi 2.3. n partea referitoare la obiectivele leciilor viznd numeraia la clasa I. 3. R: I 1, II 2; I 2, II 3; I 3, II 1 (unde I, II reprezint coloanele, iar 1,2,3 numrul liniei). 4. Revezi 2.7. (Predarea numerelor de mai multe cifre), n partea final. 2.9. Lucrare de verificare 1 1. Alege, dintre elementele pregtitoare pentru nelegerea conceptului de numr natural, dou priceperi/deprinderi necesare i exemplific-le cu posibile tipuri de sarcini didactice i situaii de nvare n care ar putea fi antrenai elevii. 2. Stabilete unui algoritm prin care se introduce, la clasa I, numrul 7. 3. Construiete o list cu numere de mai multe cifre, care s se constituie n obiect al activitii independente a elevilor (citire, scriere). Motiveaz introducerea fiecrui numr n list. Dup rezolvare, lucrarea de verificare trebuie transmis tutorelui, ntr-o modalitate pe

care o vei stabili mpreun (e-mail, prob scris etc.).

Sugestii pentru acordarea punctajului Oficiu: 10 puncte Subiectul 1: 30 puncte Subiectul 2: 30 puncte Subiectul 3: 30 puncte

2.10. Bibliografie 1) Neacu I. (coord.), Metodica predrii matematicii la clasele I-IV, EDP, 1988; 2) Rou M., Metodica predrii matematicii pentru colegiile universitare de institutori, Universitatea din Bucureti, Editura CREDIS. 2004; 3) **** MEN, CNC, Curriculum naional. Programe colare pentru nvmntul primar, Bucureti, 1998 (obiective de referin i exemple de activiti de nvare viznd numeraia); 4) **** SNEE, CNC, Descriptori de performan pentru nvmntul primar, Editura Pro Gnosis (matematic, numeraia); 5) **** Manuale (n vigoare) de matematic pentru clasele I- IV (capitolele viznd numeraia).

Predarea operaiilor cu numere naturale


UNITATEA DE NVARE 3


Cuprins

3.1. Obiectivele unitii de nvare ................................................... 26 3.2. Predarea adunrii i scderii numerelor naturale....................... 26 3.2.1. Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-10....... 26 3.2.2. Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-20....... 29 3.2.3. Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-100..... 31 3.2.4. Adunarea i scderea numerelor naturale mai mari dect 100..... 33 3.3. Predarea nmultirii si a mpririi .................................................... 34 3.3.1. Predarea nmulirii ......................................................................... 34 3.3.2. Predarea mpririi ......................................................................... 37 3.4. Predarea ordinii efecturii operaiilor............................................. 40 3.4.1. Ordinea efectuarii operaiilor ......................................................... 40 3.4.2. Folosirea parantezelor................................................................... 41 3.5. Rspunsuri si comentarii la testul de autoevaluare ....................... 43 3.6. Lucrare de verificare 2................................................................... 43 3.7. Bibliografie..................................................................................... 44

3.1. Obiectivele unitii de nvare La sfritul acestei uniti de nvare, studenii vor fi capabili: - s aplice metodologia predrii operaiilor cu numere naturale n clasele

I-IV; - s discrimineze procedee de introducere a ordinei efecturii opraiilor; - s contientizeze implicaiile calculatorii ale apariiei parantezelor ntr-o

expresie numeric.

3.2. Predarea adunrii i scderii numerelor naturale

3.2.1. Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-10

Pentru formarea noiunii de adunare se pornete de la operaii cu mulimi de obiecte concrete (etapa perceptiv), dup care se trece le efectuarea de operaii cu reprezentri ce au tendina de a se generaliza (etapa reprezentrilor), pentru ca, n final, s se poat face saltul la conceptul matematic de adunare (etapa abstract).

adunarea



Introducerea operaiei de adunare se face folosind reuniunea a dou mulimi disjuncte.

n faza concret, elevii formeaz, de exemplu, o mulime de baloane roii cu 3 elemente i o mulime de baloane albastre cu 4 elemente. Reunindu-se cele dou mulimi de baloane se formeaz o mulime care are 7 baloane roii sau albastre. Se repet apoi aciunea folosind alte obiecte (ex. creioane, beioare, flori, degete .a.), pn ce elevii contientizeaz c reunind o mulime format din 3 obiecte cu o alt mulime format din 4 obiecte (indiferent ce sunt acestea) se obine o mulime format din 7 obiecte. n aceast faz, aciunea elevului vizeaz numratul sau compunerea unui numr, date fiind dou componente.

Faza a dou, semiabstract, este caracterizat de utilizarea reprezentrilor simbolice, cum ar fi:

3 4 3 4

3 + 4 = 7 3 + 4 = 7 Se introduc acum semnele grafice + i =, explicndu-se ce

reprezint fiecare i precizndu-se c acestea se scriu doar ntre numere. n faza a treia, abstract, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar

numerele. Se introduce acum terminologia specific (termeni, sum/total) i se evideniaz proprietile adunrii (comutativitate, asociativitate, existena elementului neutru), fr utilizarea acestor termeni i cu apelare la intuire, ori de cte ori este necesar. Tot n aceast etap se poate sublinia reversibilitatea operaiei, prin scrierea unui numr ca sum de dou numere (descompunerea numrului), ce reflect simetria relaiei de egalitate. Acest tip de solicitare antreneaz elemente de creativitate pentru elevul care, n urma unui raionament probabilistic, trebuie s gseasc toate soluiile posibile, anticipnd, n acelai timp, operaia de scdere.

Scderea se introduce folosind operaia de diferen dintre o mulime i o submulime a sa (complementara unei submulimi).

n prima etap (concret), dintr-o mulime de obiecte ce au o proprietate comun se izoleaz (se ndeprteaz, se scoate) o submulime de obiecte i se constat cte obiecte rmn n mulime. Aciunea mental a elevului vizeaz numratul sau descompunerea unui numr n dou componente, dat fiind una dintre acestea.

n a doua etap (semiabstract), reprezentrile utilizate pot fi de tipul urmtor:

scderea



7 - 3 = 4 7 - 3 = 4

Se introduce acum semnul grafic -, explicndu-se ce reprezint i precizndu-se c i acesta se scrie doar ntre numere.

n etapa a treia (abstract), n care se folosesc doar numerele, se introduce terminologia specific (desczut, scztor, rest/diferen) i se evideniaz proprietile scderii numerelor naturale (operaie posibil doar dac desczutul este mai mare sau egal cu scztorul; n cazul egalitii, restul este zero; cnd scztorul este zero, restul este egal cu desczutul), comparndu-se cu proprietile adunrii (scderea nu este comutativ, nici asociativ) i subliniind faptul c la adunare rezultatul (suma) este mai mare dect oricare dintre numerele care se adun (termeni), iar la scdere, rezultatul (diferena) este mai mic dect desczutul. Pentru ilustrarea simetriei relaiei de egalitate n cazul scderii i antrenarea reversibilitii gndirii, este necesar abordarea solicitrii de a scrie un numr ca diferen de alte dou numere.

Legtura dintre adunare i scdere trebuie subliniat i prin realizarea probei fiecrei dintre cele dou operaii: la adunare, se scade din sum unul din termeni i trebuie s se obin cel de-al doilea termen, iar la scdere, se adun diferena cu scztorul i trebuie s se obin desczutul. De asemenea, aceste relaii se evideniaz i n cazul aflrii unui termen necunoscut la adunare sau la scdere, eliminnd ghicirea, ce apeleaz la memorie sau la procedeul ncercare-eroare.

nelegerea acestor aspecte implic i formarea capacitii elevilor de a realiza discriminri terminologice (mai mult cu, mai puin cu), ce vor sta la baza rezolvrii problemelor simple.

De altfel dintre rezolvarea unor situaii-problem (ndeosebi ilustrate cu material didactic concret sau prin imagini, dar i prezentate oral) ce conduc la una dintre cele dou operaii se realizeaz frecvent, nc nainte de abordarea conceptului restrns de problem din matematic. i prin aceste situaii problem poate fi valorificat legtura dintre cele dou operaii, anticipnd cunoaterea faptului c din orice problem de adunare se pot obine dou probleme de scdere. De exemplu, o imagine ce reprezint un lac pe care plutesc 4 rae, iar pe mal sunt alte 3 rae, poate fi exploatat maximal (din punct de vedere matematic) prin formulri de tipul:

9 Pe lac sunt 4 rae, iar pe mal sunt 3 rae. Cte rae sunt n total?

9 Pe lac au fost 7 rae, iar 3 dintre ele au ieit pe mal. Cte rae au rmas pe lac?

9 Pe lac au fost 7 rae, iar acum sunt doar 4. Cte rae au ieit pe mal?



3.2.2.Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0-20

Comentariul privind predarea nvarea celor dou operaii n concentrul 0 10 rmne valabil n esen, extrapolndu-se la noul concentru numeric i lrgindu-se prin abordarea unor probleme metodice specifice acestui concentru.

n predarea adunrii numerelor naturale pn la 20, se pot distinge urmtoarele cazuri:

a) adunarea numrului 10 cu un numr de uniti (mai mic dect 10);

Acest caz nu ridic probleme metodice deosebite, dat fiind i faptul c se coreleaz cu problematica formrii numerelor mai mari dect 10 (zecea i un numr de uniti), abordat anterior, la numeraie.

b) adunarea unui numr format dintr-o zece i din uniti cu un numr format din uniti;

n acest caz este necesar ca elevii s aib deprinderile de a aduna corect i rapid numere mai mici dect 10 i de a descompune numrul mai mare dect 10 ntr-o zece i uniti, precum i priceperea de a aciona numai cu unitile celor dou numere, iar la final, s revin la primul caz. Din punct de vedere metodic este necesar o aciune direct, demonstrativ, apoi, ori de cte ori este necesar, individual, cu obiectele, aciuni ce se vor reflecta n paii algoritmului:

9 descompunerea primului numr n 10 i uniti; 9 adunarea unitilor celor dou numere (cu sum mai mic sau

egal cu 10); 9 compunerea rezultatului din 10 i suma unitilor.

De exemplu: 15 + 3 = (10 + 5) + 3 = 10 + (5 + 3) = 10 + 8 = 18 Scrierea de mai sus (eventual, fr utilizarea parantezelor) trebuie

s apar pe tabl i n caiete, dar ea poate fi neleas de ctre elevi doar dac se realizeaz n paralel cu aciunea direct cu obiectele. De menionat c aceast scriere nu reprezint un scop n sine, ce ar implica automatizarea ei (scrierea desfurat a calcului), ci doar un mijloc de contientizare a algoritmului adunrii.

c) adunarea a dou numere mai mici dect 10 i a cror sum este mai mare dect 10 (cu trecere peste 10).

Pentru nelegerea acestui caz, elevii trebuie s aib capacitatea de a forma zecea, ca sum a dou numere, dintre care unul este dat (gsirea complementului unui numr dat n raport cu 10), priceperea de a descompune convenabil un numr mai mic dect 10 i deprinderea de a efectua adunarea zecii cu un numr de uniti (cazul I).

Paii algoritmului sunt: 9 cutarea unui numr care, adunat cu primul termen, conduce

la suma 10; 9 descompunerea convenabil a celui de-al doilea termen (una

din componente fiind numrul gsit anterior); 9 adunarea zecii cu cealalt component a celui de-al doilea

termen. De exemplu: 8 + 6 = 8 + (2 + 4) = (8 + 2) + 4 = 10 + 4 = 14 Din punct de vedere metodic, se pstreaz sugestiile prezentate n

cazul anterior, cu precizarea c formarea deprinderii respective este deosebit de important i condiioneaz nelegerea efecturii adunrii n

10 + 3

15 + 3

8 + 6

adunarea



orice concentru numeric, deci trebuie s i se afecteze un timp suficient, funcie de particularitile individuale ale elevilor.

n predarea scderii numerelor naturale mai mici dect 20, se pot distinge urmtoarele cazuri:

a) desczutul este cuprins ntre 10 i 20 iar scztorul este mai mic dect unitile desczutului (de exemplu 15 3);

Predarea acestui caz nu ridic probleme metodice deosebite, dac elevii observ c este suficient scderea unitilor, zecea rmnnd neatins. Algoritmul se reflect n modelul:

15 3 = (10 + 5) 3 = 10 + (5 3) = 10 + 2 = 12. b) desczutul este cuprins ntre 10 i 20, iar scztorul este 10

(de exemplu, 15 10); Nici acest caz nu prezint dificulti metodice dac elevii observ c

este suficient scderea zecii, unitile rmnnd neschimbate. Algoritmul se materializeaz n modelul: 15 10 = (5 + 10) 10 = 5 + (10 10) = 5 + 0 = 5

c) att desczutul, ct i scztorul sunt cuprinse ntre 10 i 20

(de exemplu 15 13); Acest caz reprezint o combinaie a celor dou i rezolvarea sa este

reductibil la descompunerea celor dou numere (cu cte o zece i uniti), scderea unitilor de acelai fel (10 10 i uniti - uniti) i adiionarea rezultatelor, ca n modelul: 15 13 = (10 + 5) (10 + 3) = (10 10) + (5 3) = 0 + 2 = 2

Mai mult dect n primele dou cazuri este acum necesar ilustrarea algoritmului prin utilizarea unui material didactic corespunztor (de exemplu beioare), scrierea formalizat de mai sus nefiind altfel accesibil nelegerii elevilor.

d) desczutul este 20 iar scztorul este mai mic dect 10 (de

exemplu 20 3); Este primul caz n care este necesar desfacerea unui zeci n

uniti i apoi scderea din 10 a unitilor scztorului. Pentru formarea priceperii corespunztoare este necesar ca elevii s

aib deprinderea de a efectua corect i rapid scderea din 10 a unui numr de uniti i s neleag necesitatea transformrii uneia din cele dou zeci n uniti.

Algoritmul se reflect n modelul: 20 3 = (10 + 10) 3 = 10 + (10 3) = 10 + 7 = 17 Procedeul este nsuit cu uurin de elevi, dac la nceput este

demonstrat i exersat acional, cu material didactic intuitiv. e) desczutul este 20 iar scztorul este cuprins ntre 10 i 20

(de exemplu 20 13); Cazul reprezint o lrgire a celui anterior, ce face necesar, n plus,

scderea zecilor. Algoritmul este ilustrat de modelul: 20 13 = (10 + 10) (10 + 3) = (10 10) + (10 3) = 0 + 7 = 7 i acest caz l oblig pe nvtor s organizeze situaii de nvare

acionale, care s conduc la nelegerea i apoi parcurgerea fluent a pailor algoritmului, fr s mai solicite elevilor scrierea formalizat de mai sus.

scderea

15 - 3

15 - 10

15 - 13

20 - 3

20 - 13



f) desczutul este cuprins ntre 10 i 20 iar scztorul, mai mic

dect 10, este mai mare dect unitile desczutului (de exempl 15 8);

Este cazul cel mai dificil pentru elevi, iar nelegerea sa condiioneaz nelegerea de a efectua scderi n orice situaie dat i n orice concentru numeric.

Acest caz poate fi rezolvat prin dou procedee. Primul procedeu cuprinde: 9 descompunerea desczutului ntr-o zece i uniti (15 = 10 + 5); 9 descompunerea scztorului astfel nct una dintr

componente s fie egal cu unitile desczutului (8 = 5 + 3); 9 scderea acestei componente a scztorului din unitile

desczutului (5 5 = 0); 9 scderea din zecea desczutului a celeilalte componente a

scztorului (10 3 = 7). Deci,

15 8 = (10 + 5) 8 = (10 + 5) (5 + 3) = 10 + (5 5) 3 = 10 + 0 3=10 3 = 7 Al doilea procedeu revine la: 9 descompunerea desczutului ntr-o zece i uniti (15 = 10 + 5); 9 scderea din zecea desczutului a unitilor scztorului 9 (10 8 = 2); 9 adunarea acestui rest cu unitile desczutului (2 + 5 = 7).

Deci, 15 8 = (10 + 5) 8 = (10 8) + 5 = 2 + 5 = 7 Este necesar ca elevilor s li se prezinte ambele procedee, s fie

solicitai s le aplice pe amndou n una sau mai multe scderi date, pentru ca, apoi, acetia s opteze pentru unul din procedee (care li se pare mai uor), ce va fi folosit n continuare.

Prezentarea celor dou procedee trebuie realizat cu material didactic, fr grab, cu contientizarea fiecrui pas (analiza procedeului) i apoi sinteza tuturor pailor, ilustrat n scrierile formalizate de mai sus, care nu se vor constitui n sarcini de lucru pentru elevi.

3.2.3. Adunarea i scderea numerelor naturale n concentrul 0- 100

Predarea operaiilor de adunare i scdere n concentrul 0 100 trebuie s urmreasc nsuirea de ctre elevi a urmtoarelor idei:

9 calculul n acest concentru se realizeaz n acelai mod ca i n concentrul 0 20;

9 orice numr mai mare dect 10 se descompune n zeci i uniti;

9 zecea este o nou unitate de calcul; 9 operaiile se realizeaz cu unitile de acelai fel (uniti,

zeci), ansamblnd apoi rezultatele pariale;

idei generale

15 - 8



9 10 uniti se restrng ntr-o zece, iar o zece se poate desface n 10 uniti (echivalena dintre 10 uniti i o zece);

9 calculul este mai uor de efectuat n scris (scrierea pe vertical, cu uniti sub uniti i zeci sub zeci).

n predarea adunrii numerelor naturale mai mici dect 100 se disting urmtoarele cazuri:

a) adunarea a dou numere formate numai din zeci (de exemplu 20 + 30);

n abordarea acestui caz, nvtorul trebuie s sublinieze c zecile sunt i ele uniti de calcul i, n consecin, se va opera cu ele ca i cu unitile. Astfel, tiind c 2 + 3 = 5 pentru orice fel de uniti, elevii vor putea deduce cu uurin c 2 zeci + 3 zeci = 5 zeci, adic 20 + 30 = 50.

b) adunarea unui numr format numai din zeci cu un numr mai

mic dect 10 (de exemplu, 30 + 4); Nici acest caz nu ridic probleme metodice deosebite, deoarece se

coreleaz cu problematica formrii numerelor (3 zeci i 4 uniti formeaz numrul 34, deci 30 + 4 = 34).

c) adunarea unui numr format numai din zeci cu un numr format din zeci i uniti (de exemplu, 30 + 24);

n acest caz, algoritmul operaiei presupune: 9 descompunerea numrului al doilea n zeci i uniti; 9 adunarea zecilor celor dou numere; 9 adiionarea la aceast sum a unitilor celui de-al doilea

numr; Deci 30 + 24 = 30 + (20 + 4) = (30 + 20) + 4 = 50 + 4 = 54

d) adunarea unui numr format din zeci i uniti cu un numr

mai mic dect 10, fr trecere peste ordin (de exemplu 32 + 4);

Se difereniaz de cazul anterior prin aceea c se adun unitile celor dou numere, adiionnd apoi i zecile primului numr.

Deci, 32 + 4 = (30 + 2) + 4 = 30 + (2 + 4) = 30 + 6 = 36

e) adunarea a dou numere formate fiecare din zeci i uniti, fr trecere peste ordin (de exemplu 35 + 24);

Paii algoritmului sunt: 9 descompunerea fiecrui numr n zeci i uniti; 9 adunarea zecilor celor dou numere, respectiv unitilor; 9 adiionarea celor dou sume pariale.

Adic 35 + 24 = (30 + 5) + (20 + 4) = (30 + 20) + (5 + 4) = 50 + 9 = 59

f) adunarea a dou numere formate fiecare din zeci i uniti, avnd suma unitilor 10 (de exemplu 35 + 25);

Elementul de noutate introdus de acest caz este faptul c suma unitilor (10) se restrnge ntr-o zece, care se va aduna cu suma zecilor celor dou numere.

Aadar, 35 + 25 = (30 + 5) + (20 + 5) = (30 + 20) + (5 + 5) = 50 + 10 = 60 g) adunarea unui numr format din zeci i uniti cu un numr

mai mic dect 10, cu trecere peste ordin (de exemplu 35 + 7); Apare n plus fa de cazul anterior faptul c suma unitilor este un

adunarea

20 + 30

30 + 4

30 +24

32 + 4

35 + 24

35 + 25



numr mai mare dect 10. Se formeaz din aceast sum o zece, care se va aduna cu zecile primului numr i uniti, ce se adiioneaz la suma zecilor. Deci: 35 + 7 = (30 + 5) + 7 = 30 + (5 + 7) = 30 + 12 = 30 + (10 + 2) = (30 + 10) + 2 = 40 + 2 = 42

h) adunarea a dou numere formate fiecare din zeci i uniti, cu trecere peste ordin (de exemplu 35 + 27);

n acest caz suma unitilor (mai mare dect 10) se transform ntr-o zece, care se va aduga sumei zecilor celor dou numere i uniti, ce se vor adiiona la zecile obinute.

Adic, 35 + 27 = (30 + 5) + (20 + 7) = (30 + 20) + (5 + 7) = 50 + 12 = 50 + (10 + 2) =

= (50 + 10) + 2 = 60 + 2 = 62 n predarea scderii, demersurile sunt asemntoare, astfel nct

vom prezenta gradat cazurile posibile, doar prin exemplificarea scrierilor formalizate ale acestora.

a) 50 20 = 30 (prin analogie cu 5 2 = 3); b) b) 54 4 = (50 + 4) 4 = 50 + (4 4) = 50 + 0 = 50; c) 54 50 = (50 + 4) 50 = (50 50) + 4 = 0 + 4 = 4; d) 54 20 = (50 + 4) 20 = (50 20) + 4 = 30 + 4 = 34; e) 56 4 = (50 + 6) 4 = 50 + (6 4) = 50 + 2 = 52; f) 56 24 = (50 + 6) (20 + 4) = (50 20) + (6 4) = 30 + 2 = 32; g) 50 4 = (40 + 10) 4 = 40 + (10 4) = 40 + 6 = 46; h) 50 24 = (40 + 10) (20 + 4) = (40 20) + (10 4) = 20 + 6 = 26 sau 50 24 = 50 (20 + 4) = (50 20) 4 = 30 4 = 26; i) 54 8 = (50 + 4) 8 = (40 + 10 + 4) 8 = 40 + 4 + (10 8) = 44 +

2 = 46 sau 54 8 = 54 (4 + 4) = (54 4) 4 = 50 4 = 46; j) 54 28 = (50 + 4) (20 + 8) = (40 + 10 + 4) (20 + 8)

= (40 20) + (10 8) + 4 = 20 + 2 + 4 = 26 sau 54 28 = 54 20 8 = (54 20) 8 = 34 8 = 26 .

3.2.4. Adunarea i scderea numerelor naturale mai mari dect 100

Aceste cazuri nu ridic probleme metodice deosebite dac elevii stpnesc algoritmii celor dou operaii, pe care i-au aplicat n concentre numerice mai mici. Singura diferen este dat de ordinul de mrime al numerelor, dar aceasta nu afecteaz cu nimic structura algoritmilor. Desigur, pe lng zecea, apar i alte uniti de calcul, cum sunt suta, mia, etc., dar ele reprezint extrapolri ale cunotinelor i priceperilor anterioare, pe care elevii le pot descoperi singuri. Ei vor constata c se opereaz cu numere de orice mrime, ca i cu numerele mai mici dect 100.

nvtorul trebuie s abordeze gradat cazurile noi n care se opereaz, fr s insiste prea mult pe denumirile acestora (de exemplu,

35 + 7

35 + 27

scderea



adunarea cu trecere peste ordinul sutelor a dou numere mai mari dect 100, dar mai mici dect 1 000), care sunt neimportante pentru elevi, ba chiar le pot da impresia c exist mai multe feluri de adunri. Este necesar s li se ofere bucuria descoperirii c pot opera singuri i n alte contexte dect cele nvate n lecii.

Este necesar i o dozare eficient a sarcinilor calculatorii. Dac timpul afectat acestora este prea mare i nu sunt intercalate i sarcini de alt tip, probabilitatea ca elevii s greeasc este mare, erorile fiind induse nu de lipsa cunotinelor sau priceperilor, ci de monotonie, oboseal, scderea motivaiei pentru efectuarea calculelor. A umple

didact_matem DEFINITIVAT

Documents

Transcript of didact_matem DEFINITIVAT