Despre derivatele de ordinul n Unuldintrecelemaifrecventetipuridesubiectedeadmiteredinultimiianiinclude calcululderivatelordeordinulnpentrufunciiaparinndunortipuridiferite.nmaterialulde fata, vom prezenta modul n care se determin acestea pentru anumite clase de funcii. FiretecntoatecazurilevomconsideraofunctieR R I f: ,Ifiindun interval,careesteden oriderivabilapeI(decelemaimulteori,estechiarindefinit derivabilapeI,adicaderivabiladen ori,1 n ).Incelemaimultecazuri,nuvommai specificadomeniuldedefiniie/derivabilitatepentrufunciilecareapar;aceastarmneca exerciiu. 1.Funcii polinomiale. ( ) 0 , , 0 , , ... , :0 111 = + + + + = n knnnna n k a a x a x a x a x f f R R RAvem succesiv: ( ) ( )1 22112 ... 1 a x a x a n x na x fnnnn+ + + + = ( ) ( ) ( )( )23122 ... 2 1 1 a x a n n x a n n x fnnnn+ + + = ( )( )nna n x f = !( )( )( )( ) 0 ...2 1= = =+ +x f x fn n Cu alte cuvinte,dupnderivri succesive, unpolinom degraduln se reducelao constant, iar dup nc o derivare se stinge (adic se anuleaz). Ex.rezolvat1.Sasearatecadacapolinomul[ ] X f R admiteradacinaR 0x de multiplicitate2 m , atunci 0x este radacina a primelor (m-1) derivate ale lui f. Solutie. Se scriefsub forma: ( ) ( ) ( ) R = x x Q x x x fm,0 (1.1) Derivm aceasta relaie i obinem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x Q x x x mQ x x x Q x x x Q x x m x fm m m + = + = 010 010 Daca notam:( ) ( ) ( ) ( ) x Q x x x mQ x Q + =0 1 rezulta: ( ) ( ) ( ) R = x x Q x x x fm,110 (1.2) Rationamentulcontinuacuderivareasuccesivaarelatiilorobtinute,rezultanddupa efectuarea unor notatii similare: ( ) ( ) ( ) R = x x Q x x x fm,220 (1.3) ( )( ) ( ) ( ) R =x x Q x x x fmm,1 01 ceea ce incheie demonstratia. Ex.rezolvat2.(admiterenclasaaXI-a,1987)Ssedetermineparametrii R b a, astfel nct polinomul22+ + =+ n nbX aX fs fie divizibil cu( )21 X . Solutie. Divizibilitatea cu( )21 Xechivaleaza cu10= x rdcin dubl i deci (conform exercitiului precedent) se pun conditiile() () 0 1 1 = =f f . Dar: ()() ( )= + + = = + + =0 2 10 2 1nb a n fb a f Rezolvnd sistemul, gsim:( ) 2 , + = = n b n a . 2.Functii rationale. Trebuiespusdelabuninceputcanutoatefunctiilerationalesederiveaza frumosdenori.Unbunexemplueste( )112+=xx f ;calcululderivateideordinuln pentru o astfel de functie depaseste cadrul programei de liceu. Care sunt atunci acele functii rationale de care ne vom ocupa? Pai numai cele de forma( )( )( ) x Qx Px f =unde( ) x Qadmite numai radacini reale. In acest caz, putem scrie: ( ) ( ) ( ) ( )rmrm mx x x x x x x Q = ...2 12 1undeR rx x x ,..., ,2 1sunt radacinile lui Q. Dupacumsecunoaste(vezimanualuldeAnalizadeclasaaXII-a),functiaf admite o descompunere in elemente simple de forma: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )rrmrrmrrrrmmx xax xax xax xax xax xax C x f+ ++++ ++ +++ =...... ...22 111211211111 unde C(x) este un polinom (catul impartirii lui P la Q). 2.1 Derivata de ordinul n a functieiR I f: ,( ) R += aa xx f ,1 Calculam succesiv: ( )( )21a xx f+ = ( )( )32a xx f+= Procedamprinmetodainductieimatematice:presupunemcapentru1 k avem ( )( )( )( )1! 1++ =kkka xkx f(*) ; trebuie sa aratam ca ( )( )( ) ( )( )211! 1 1+++++ =kkka xkx f . Derivam relatia (*) si rezulta: ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )11 2 21 11 ! 1 !kk k kk kk x af x k kx a x a++ +| | + += = =| |+ +\

( ) ( )( )121 1 !kkkx a++ +=+ Am obinut aadar relaia: ( )( )( )1 ,! 1 11+ = ||

\|++ka xka xkk k (2.1)

2.2 Aplicaii A)Derivata de ordinul n a functiei( )( )2 ,1+= ma xx fm Similar cu rationamentul de mai sus, rezulta ca: ( )( )( )( )( ) ( )n mnnma xmn ma x++ + =|||

\|+1! 1! 111(2.2) B)Derivata de ordinul n a functiei( )b axx f+=1 Se procedeaza tot prin inductie matematica, obtinand: ( )( )( )1 ,! 1 11+ = ||

\|++nb axn ab axnn n n(2.3) C)Ex. rezolvat 3. Fie( )2 31, :2+ = x xx f I f R . Calculati ( )( ) 1 , n x fn. Solutie.Descompunem f in elemente simple sub forma:( ) R += B AxBxAx f , ,2 1 Dupaaducerealaacelasinumitorsiidentificareacoeficientilor,rezulta 1 , 1 = = B A .Deci( )1121=x xx f( )( ) ( )( ) ( )|||

\| =+ + 1 11121! 1n nn nx xn x f . 3. Functii trigonometrice, exponentiale, logaritmice etc. 3.1 Functia( ) ( ) + = x x f f sin , : R R Arhicunoscutdelafizic(descrieecuaiauneioscilaiiarmonicefrpierderide energie). Calculam succesiv: ( ) ( ) + = x x f cos( ) ( ) + = x x f sin2 ( ) ( ) + = x x f cos3 ( )( ) ( ) + = x x f sin4 4 Amajunslacevacareseamanacufunctiadata,numaicaareunfactorde amplificare egal cu 4 . Am putea s demonstrm formule de genul: ( )( ) ( ) + = x x fk ksin4 4 numaicpentru ( )( ) x fk 1 4 + artrebuisastabilimo alta formulaetc.Aceastlips de unitate nu ar fi deloc de natur s simplifice forma rezultatului final. Neamintimdeformuleledereducerelaprimulcadran,nvatelatrigonometrien clasa a IX-a (sperm noi ) i rezult : ( ) ( ) ||

\|+ + = + = 2sin cos x x x f( ) ( ) ||

\|+ + = + = 22sin sin2 2 x x x f( ) ( ) ||

\|+ + = + = 23sin cos3 3 x x x fAcumpresupunem(pasuldeinducie)c ( )( ) 1 ,2sin ||

\|+ + = nnx x fn n si trebuie sa demonstrm c : ( )( )( )1 ,21sin1 1 ||

\| ++ + =+ +nnx x fn n . Intr-adevar, ( )( )( )( ) ( ) ||

\|+ + ==+2cos1 nx x f x fn n n(tinand seama ca are loc identitatea||

\|+ = 2sin cos ): ( )( )( )||

\| ++ + =+ +21sin1 1 nx x fn n. Rezulta deci: ( ) ( )( )1 ,2sin sin ||

\|+ + = + nnx xn n (3.1) Ex. rezolvat 4 Se d funcia( )4sin , :42 2xx x x f f + = R R .a)S se calculeze ( )( )nnnx f4lim b)S se calculeze ( ) ( )||

\|+ ||

\|=4 411 10 f f(ASE, 1997) Soluie.Sescriefunctiasubforma( )4 22 cos 142xxxx f + = Calculammanual primele4derivate,alecarorexpresiinulemaidamaici(oricum,elenuconteaza). Important este ca, incepand cu derivata a 5-a, avem: ( )( ) 5 , ,22 cos 21 ||

\|+ =n xnx x fn nR (1) Aceastaformulasedemonstreazaprininductiedupan.Cazuln=5severificaprin calculdirect.Pentru5 n ,sapresupunemcarelatia(1)esteadevaratasiramanesa aratam ca: ( )( )( )R ||

\| ++ =+xnx x fn n,212 cos 21 (2) Intr-adevar, cum ( )( )( )( ) ( )=+x f x fn n 1, rezulta: ( )( ) ||

\|+ =|||

\|||

\|+ = +22 sin 222 sin 2 21 1 nxnx x fn n n (*) Comparandrelatiile(2)si(*),ramanedearatatca ( )||

\| ++ = ||

\|+212 cos22 sin nxnx .Dar ( )||

\|+ = ||

\|+ + = ||

\| ++22 sin2 22 cos212 cos nxnxnx ,qed(amutilizat relatiile de reducere la primul cadran). a) Avem: ( )( )022 cos21lim222 cos 2lim4lim1 21=|||

\|||

\|+ =||

\|+ =+ nxnxx fnnnnnnnn (reamintim: produsul dintre unsirconvergent lazero siun aldoilea sir marginiteste convergent la zero, chiar daca al doilea sir nu are limita, cum este si in cazul de fata). b) Inlocuind efectiv, avem: 10 10 92212cos 2211cos 2 = = (seutilizeazaformuleledereducerela cercul unitate) 3.2 Functia( )axe x f f = , : R RRezulta in mod imediat prin inductie dupa n ca: ( )( )0 , 1 , = a n e a eax nnax (3.2) 3.3 Functia( ) ( ) ( ) a x x f a f + = ln , , : R . Avem( ) ( )a xa x+=+1lni de aici ncolo rezult c: ( ) ( )( )( )( ) ( )( )1 ,! 1 1 1ln1 1+ = ||

\|+= + na xna xa xnn nn(3.3) Ex. rezolvat 5. (dat la admitere la Matematic prin 1983 mi se pare). S se demonstreze c functia[ ] ( ) ( ) x x f f + = 1 ln , 1 , 0 : Rnu este polinomial.Solutie.Dacfunciadatarfipolinomialdegradn ,artrebuica ( )( ) 1 , 0 + = n k x fk.Dar ( )( )( ) ( )( ){ } 1 \ , 1 , 01! 1 11 + =R x kxkx fkkk. Contradicia este evident. 4. Leibniz, meine Liebe Firete c dac toate functiile carora li se poate calcula derivata de ordinulnar fi de unul din tipurile de mai sus, materialul s-ar termina aici. Exista ns o celebr formul datorat luiLeibniz(unuldinintemeietorii,alaturideNewton,aicalcululuidiferential)carestabilete relaia de derivare denori a unui produs de funcii: ( )( )( )( )( )( )( ) x g x f C x fgk k nnkknn ==0(4.1) OBSERVATIE.In formula de mai sus,( ) ( )g g f f = =0 0, . NudemonstramaiciformulaluiLeibniz.Demonstraiasepoategsindiferite manuale,sautratatedeAnaliz(recomandmpecelalctuitdeMironNicolescu/M. Dinculeanu/S.Marcus in 1966, mai aproape de nivelul de liceu NTREBRI(genVreisfiimiliardar?)1)CuceformuldinAlgebradeclasaaX-a seamn relaia lui Leibniz ? 2) Ce relaie metric din Geometrie i datorm lui Leibniz ? n fine, nu mai divagm inutil. Continuam prin a prezenta cele doua tipuri majore de exercitii care necesita utilizarea formulei (4.1). 4.1Derivatadeordinulnaunuiprodusincareunuldinfactorisestingedupaun numar de pasi. Faraindoialacaatirealizatcaevorbadeproduseincareunuldinfactoriesteun polinom. In acest caz, din dezvoltarea completa a formulei (4.1) vor ramane un numar relativ redus de termeni. Sa luam un exemplu. Ex. rezolvat 6. Calculati ( )( ) x fn, unde( ) x x x f sin2= .Solutie.Avem( )( )( )( )0 ...4232= = = x x . Deci: ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 2 1 2 2 2 21 2 102 202sin 1 sin 2 sin sinsin sin sin sin = + + =+++ = = n n n n nnn nnn nnkk nnkknnx n n x nx x x x x Cx x C x x C x x C x x ( )( )( )||

\| + + ||

\| + + ||

\|+ =22sin 121sin 22sin2 nx n nnx nxnx x 4.2 Cnd nimeni nu cedeaz sau cu alte cuvinte, exist i cazuri n care nici unul din factori nu se stinge dup n k ;cazul ( )10nA x < setrateazanalog.Derivata nA areproprietatealuiDarboux;dac presupunemprinabsurdcnuischimbsemnuln 1c ,nseamncpstreazsemnul constant pozitiv pe intervalul( )1 2, c x .Funcia nA estedecistrictcresctoarepeintervalele( )1 1, x c i( )1 2, c x ,deci ( ) ( )1 1 n nA c A x > i( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 10 0n n n nA x A c A x A x > > > ,contradicie.Rezult c derivata nAschimb semnul n 1c , deci( )20nA x < . Avem( ) ( ) ( )21 1 1 11 0n nA x x A x+ = + > i( ) ( ) ( )21 2 2 21 0n nA x x A x+ = + < ,decipolinomul 1 nA+areordcin( )1 1 2, x x .Analog,existrdcinile ( ) ( )2 2 3 1 1, ,..., ,n n nx x x x pentru 1 nA+.Polinomul 1 nA+aredeci( ) 1 n rdcini realeidistincte.Rmnesartmcicelelaltedourdcinialelui 1 nA+auaceeai proprietate. ntruct( )10nA x > i nA nuarerdcininintervalul( )1, x ,pstreazsemn constant pe acest interval, deci( )1lim limnn nx xA x n x = + = + Deosebimdousubcazuri.1)n par( ) 1 n impar 1lim 0nnxx = < .S-a vzutcnexpresialui 1 nA+coeficientullui 1 nx+este( ) ( )10 limn nxn A x + > =1limnnxn x += = ; cum( )1 10nA x+> , rezult c 1 nA+ are o rdcin( )1,nx . 2)nimpar( ) 1 n par( )11lim 0 limnn nx xx A x + = + > =1limnnxn x += = . i n acest caz am dovedit c 1 nA+ are o rdcin( )1,nx . Analog, se arat c 1 nA+ are i o rdcin( )1,n nx + + , deci are( ) 1 n +rdcini reale i distincte, q.e.d. Pentru a avea ceva de lucru, ncercai: Exercitii propuse. S se calculeze ( )( ) x fn: 1)( )( )xx xx fln 12 +=2)( )xe x x f2=3)( )6 11 612 3 + =x x xx f4)( )x xx f=31 5)( )3 51x xx f=OBSERVATIEIMPORTANTA(foryoursake).Numemoratimecanicformulede genul (2.1) sau (3.2). Este suficient s tii s le deduceti corect; oricum, nu va poate lua mai multde 3-4 minute. Formula lui Leibnizsepoate retine usor daca facetilegatura cu formula de care aminteam din materia clasei a X-a.