Cuprins - grupa5107.files.wordpress.com · 2.5 Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul I . . ....

Cuprins

1 Integrala definita si generalizari 31.1 Definitie, proprietati, formule de calcul . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Integrala curbilinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Integrala improprie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4 Integrala cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5 Integralele lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Ecuatii diferentiale 472.1 Ecuatia diferentiala de ordinul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Ecuatia diferentiala de ordinul n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.1 Ecuatia si functiile Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2.2 Ecuatia diferentiala cu coeficienti constanti . . . . . . . . 67

2.3 Sisteme diferentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4 Sisteme simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.5 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . 86

3 Integrale vectoriale 933.1 Integrala dubla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2 Integrala tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.3 Integrala de suprafata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1

2 CUPRINS

Capitolul 1

Integrala definita si generalizari

1.1 Definitie, proprietati, formule de calcul

Consideram functia marginita

f : [a, b] → R, [a, b] ⊂ R

si o diviziune ∆

∆ = {x0, x1, . . . , xn}, a = x0 < x1 < . . . < xn = b

cu norma diviziunii‖∆‖ = max

16i6n(xi − xi−1).

Pentru orice i ∈ {1, . . . , n} alegem punctele intermediare ξi ∈ [xi−1, xi] si con-sideram suma

σ∆ =n∑

i=1

f(ξi)(xi − xi−1).

σ∆ se numeste suma Riemann.

Definitia 1.1.1 Numim integraladefinita (Riemann) numarul I cu proprietatea ca∀ε > 0, ∃ηε astfel ca pentru orice diviziune ∆ cu ‖∆‖ < ηε si pentru oricealegere a punctelor intermediare are loc

|σ∆ − I| < ε

Functia f se numeste integrabila (Riemann).

3

4 CAPITOLUL 1. INTEGRALA DEFINITA SI GENERALIZARI

Numarul I este unic determinat si se noteaza

I =

∫ b

a

f(x)dx

Prin definitie ∫ a

a

f(x)dx = 0

∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx

Observatie Daca f > 0, atunci o suma Riemann reprezinta suma ariilor unordreptunghiuri care au baza xi − xi−1 si ınaltimea f(ξi). Aceasta oservatie sta labaza unor formule de calcul aproximativ pentru integrala Riemann.

Teorema 1.1.1 Pentru functia f : [a, b] → R urmatoarele afirmatii sunt echiva-lente

1. f este integrabila2. exista un numar real I astfel ca pentru orice sir de diviziuni ale intervalului

[a, b] de forma ∆n = {xn0 , x

n1 , . . . , x

nkn} cu

limn→∞

‖∆n‖ = 0

si orice alegere a punctelor intermediare xni−1 6 ξn

i 6 xni , i = 1, . . . , kn sirul

sumelor Riemann σ∆n converge la I .

Demonstratie 1. ⇒ 2. Fie ∆n = {xn0 , x

n1 , . . . , x

nkn} o diviziune ca ın enuntul

punctului 2. Fie ε > 0 arbitrar. Deoarece f este functie integrabila exista I si ηε

astfel ca|σ∆n − I| < ε

daca ‖∆n‖ < ηε. Din convergenta la 0 a sirului ‖∆n‖ exista un rang nε cu propri-etatea

‖∆n‖ < ηε, n > nε

Combinand cele doua relatii precedente, rezulta

|σ∆n − I| < ε, ∀n > nε

deci convergenta sirului de sume Riemann. Astfel punctul 2. este demonstrat.2. ⇒ 1. Presupunem prin reducere la absurd ca numarul I definit de punctul

2. nu este integrala lui f . Atunci exista ε0 > 0 astfel ca pentru orice η > 0, poatefi gasita o diviziune ∆η astfel ıncat suma Riemann sa satisfaca

|σ∆n − I| > ε0. (1.1)

1.1. DEFINITIE, PROPRIETATI, FORMULE DE CALCUL 5

daca ın particular η = 1n

, deducem ca diviziunea asociata, notata ∆n satisface‖∆n‖ < 1

nde unde ar urma ca

limn→∞

‖∆n‖ = 0.

Din relatia (1.1) deducem ınsa ca sirul sumelor Riemann nu converge la I , ceeace contrazice 2

Sume Darboux Fie f : [a, b] → R o functie marginita si ∆ o diviziune oarecare.Notam

mi = infx∈[xi−1,xi]

f(x), Mi = supx∈[xi−1,xi]

f(x)

si consideram sumele

s∆ =n∑

i=1

mi(xi − xi−1), S∆ =n∑

i=1

Mi(xi − xi−1).

care se nunesc sumele Darboux. Se poate demonstra imediat ca

s∆ 6 σ∆ 6 S∆ (1.2)

si ca pentru o diviziune ∆′ , care satisface ∆ ⊂ ∆′ (mai fina) are loc

s∆ 6 s∆′ , S∆′ 6 S∆.

Vom notaI = sup

∆s∆, I = inf

∆S∆.

Are loc

s∆ 6 I 6 I 6 S∆ (1.3)

Teorema 1.1.2 Fie f : [a, b] → R o functie marginita. Urmatoarele afirmatiisunt echivalente:

1. ∀ε > 0, ∃ηε astfel ca pentru orice diviziune ∆ cu ‖∆‖ < ηε

S∆ − s∆ < ε (1.4)

2. functa f este integrabila.

Demonstratie Vom demonstra doar implicatia 1 ⇒ 2. Din (1.4) are loc dacafolosim ipoteza

0 6 I − I 6 S∆ − s∆ < ε, ∀∆.


Deoarece ε > 0 este arbitrar rezulta ca I = I . Valoarea lor comuna o notam cu Isi din (1.3) rezulta

s∆ 6 I 6 S∆

Daca tinem cont si de (1.2) deducem

|σ∆ − I| 6 S∆ − s∆ < ε

oricare ar fi diviziunea ∆ si pentru orice alegere a punctelor intermediare ξi

Teorema 1.1.3 Daca f, g : [a, b] → R sunt functii integrabile pe intervalul [a, b]si λ, µ ∈ R atunci λf + µg este integrabila pe [a, b] si are loc

∫ b

a

(λf(x) + µg(x))dx = λ

∫ b

a

f(x)dx + µ

∫ b

a

g(x)dx.

Teorema 1.1.4 Daca f : [a, b] → R este o functie integrabila pe intervalul [a, b]si f(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] atunci

∫ b

a

f(x)dx > 0.

Demonstratie Este suficient sa observam ca σ∆ =n∑

i=1

f(ξi)(xi − xi−1) > 0

pentru orice diviziune si orice alegere a punctelor intermediare

Consecinta 1 Daca f, g : [a, b] → R sunt functii integrabile astfel ca

f(x) 6 g(x), ∀x ∈ [a, b]

atunci are loc ∫ b

a

f(x)dx 6∫ b

a

g(x)dx.

Demonstratie Din ipoteza functia g−f este pozitiva si aplicam Teoremele 1.1.4si 1.1.3. ∫ b

a

g(x)dx−∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

(g(x)− f(x))dx > 0

Consecinta 2 Daca f : [a, b] → R este o functie integrabila si

m 6 f(x) 6 M, ∀x ∈ [a, b]

atunci


m(b− a) 6∫ b

a

f(x)dx 6 M(b− a).

Demonstratie Rezulta imediat daca aplicam consecinta anterioara functiei f sifunctiilor constante m,M

Teorema 1.1.5 Fie f : [a, b] → R o functie integrabila si c ∈ (a, b) astfel ıncatrestrictiile lui f la [a, c] si [c, b] sunt integrabile. Atunci f este integrabila pe [a, b]si ∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx.

Definitia 1.1.2 Fie f : J → R, unde J ⊂ R este un interval. Functia F : J → Rse numste primitiva sau antiderivata a functiei f pe intervalul J , daca

1. F este derivabila pe J2. F ′(x) = f(x), ∀x ∈ J

Reamintim ca orice doua primitive ale functiei f difera printr-o constanta si multimeatuturor primitivelor se mai numeste integrala nedefinita si se noteaza∫

f(x)dxF (x) + c, c ∈ R.

Mai reamintim ca o functie care admite primitive are proprietatea lui Darboux.Aceasta observatie constituie un important instrument prin care decidem uneoridaca o functie admite primitive.Urmatoarea celebra teorema constituie o formula importanta de calcul.

Teorema 1.1.6 (Leibniz Newton) Fie f : [a, b] → R o functie integrabila sicare admite primitive. Atunci pentru orice primitiva F are loc

∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).

Vom folosi notatia F (x)|ba.Demonstratie Consideram o diviziune arbitrara ∆ si aplicam pe intervalul [xi−1, xi]teorema lui Lagrange functiei derivabile F . Exista atunci un punct intermediarξi ∈ (xi−1, xi) astfel ca

F (xi)− F (xi−1) = F ′(ξi)(xi − xi−1) = f(ξi)(xi − xi−1).

Atunci suma Riemann atasata esten∑

i=1

f(ξi)(xi − xi−1) =n∑

i=1

(F (xi)− F (xi−1)) = F (b)− F (a)

si trecand la limita obtinem afirmatia

Observatie Se cunosc exemple de functii integrabile care nu admit primitive.


TABELUL PRIMITIVELORNotam prin F o primitiva a functiei f si J ⊂ R un interval.

f F

1 xn, x ∈ J ⊂ R, n ∈ N xn+1

n + 1

2 xa, x ∈ J ⊂ (0, +∞), a ∈ R \ {−1} xa+1

a + 1

3 ax, x ∈ J ⊂ R, a ∈ R+ \ {0, 1} ax

ln a

41

x, x ∈ J, J ⊂ (−∞, 0) sau J ⊂ (0, +∞) ln |x|

51

x2 − a2, x ∈ J ⊂ R \ {−a, a}, a 6= 0

1

2aln

∣∣∣∣x− a

x + a

∣∣∣∣

6 f(x) =1

x2 + a2, x ∈ J ⊂ R, a 6= 0

1

aarctan

x

a

7 sin x, x ∈ J ⊂ R − cos x

8 cos x, x ∈ J ⊂ R sin x

91

cos2 x, x ∈ J ⊂ R \ {(2k + 1)

π

2}, k ∈ Z tan x

101

sin2 x, x ∈ J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z − coth


11 tan x, x ∈ J ⊂ R \ {(2k + 1)π

2}, k ∈ Z − ln | cos x|

12 coth x, x ∈ J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z ln | sin x|

131√

x2 + a2, a 6= 0, x ∈ J ⊂ R ln(x +

√x2 + a2)

141√

x2 − a2, a > 0, x ∈ J ⊂ (−∞,−a) sau J ⊂ (a,∞) ln(x +

√x2 − a2)

151√

a2 − x2, a > 0, x ∈ J ⊂ (−a, a) arcsin

x

a

Primitivele functiilor rationale

Fie f : J → R o functie rationala, adica este de forma

f(x) =P (x)

Q(x), Q(x) 6= 0,∀x ∈ J

unde P,Q sunt doua polinoame cu coeficienti reali. Se cunoaste ca orice functierationala poate fi descompusa ıntr-o suma finita de fractii simple. Reamintimaceste forme simple si primitivele lor.

1. a0xn + a1x

n−1 + . . . + an−1x + an are primitiva imediata, data de punctul1 din tabel.

2.1

(x− a)n, n ∈ N pe intervalul J ⊂ (a,∞) sau J ⊂ (−∞, a) are primitiva

data de punctul 4 din tabel, daca n = 1 , iar daca n > 1 data de punctul 1.

3.bx + c

(x2 + px + q)n, n ∈ N∗, p2 − 4q < 0; semnalam doua cazuri particulare

importante:


3.1 Daca bx + c este derivata numitorului si n = 1 , atunci primitiva

este ln(x2+px+q), iar daca n > 1 primitiva este(x2 + px + q)−n+1

−n + 1.

3.2 Daca b = 0, c = 1 si n = 1, primitiva functiei1

x2 + px + qeste

2√4q − p2

arctan2x + p√4q − p2

Observatie Daca f : J → R o functie rationala, atunci prin ımpartirea lui P laQ, se obtine

f(x) =P (x)

Q(x)= L(x) +

R(x)

Q(x)

unde grad R < grad Q. FractieiR(x)

Q(x)ıi aplicam urmatoarea teorema.

Teorema 1.1.7 (Descompunerea functiilor rationale ın fractii simple) Fie f :

J → R o functie rationala de forma f(x) =P (x)

Q(x), Q(x) 6= 0, ∀x ∈ J si P, Q

doua polinoame prime ıntre ele. Presupunem ca Q se descompune ın factori primi

Q(x) = (x− a1)α1 . . . (x− am)αm(x2 + p1x + q1)

β1 . . . (x2 + pnx + qn)βn .

Atunci f se descompune unic

f(x) = L(x) +m∑

i=1

(A1,i

(x− ai)αi+

A2,i

(x− ai)αi−1+ . . . +

Ai,i

x− ai

)+

n∑j=1

(B1,jx + C1,j

(x2 + pjx + qj)βj+

B2,jx + C2,j

(x2 + pjx + qj)βj−1+ . . . +

Bj,jx + Cj,j

(x2 + pjx + qj)

)

unde L este un polinom cu coeficienti reali, ai, pj, qj, Aj,i, Bi,j, Ci,j ∈ R si p2j −

4qj < 0.

Teorema 1.1.8 (Integrarea functiilor continue) Orice functie f : [a, b] → Rcontinua este integrabila.


Demonstratie Reamintim ca orice functie continua pe un interval de forma [a, b]este uniform continua, adica ∀ε > 0 exista ηε > 0 astfel ca ∀x′, x′′ ∈ [a, b] cu|x′ − x′′| < ηε rezulta

|f(x′)− f(x′′)| < ε

b− a. (1.5)

Pentru o diviziune ∆ cu norma diviziunii < ηε alegem ui, vi ∈ [xi−1, xi] astfel ca

f(ui) = mi = infx∈[xi−1,xi]

f(x), f(vi) = Mi = infx∈[xi−1,xi]

f(x)

Are loc folosind (1.5)

Mi −mi = |f(vi)− f(ui)| < ε

b− a.

Pentru a demonstra integrabilitatea, vom folosi teorema 1.1.2, deci are loc majo-rarea

S∆ − s∆ =n∑

i=1

(Mi −mi)(xi − xi−1) <ε

b− a

n∑i=1

(xi − xi−1) =

=ε

b− a(b− a) = ε.

Observatie Un caz intalnit ın practica este acela al functiilor care sunt continuepe portiuni; adica pe intervalul [a, b] exista un numar finit de puncte de discon-tinuitate ci ∈ (a, b) de speta ıntaia (exista limitele laterale si sunt finite ) si pefiecare subinterval determinat de punctele de discontinuitate restrictiile sunt con-tinue. Aceste functii rezulta de asemenea integrabile, folosind teorema 1.1.5

Teorema 1.1.9 (Teorema de medie) Daca este o functie continua, atunci existaξ ∈ [a, b] astfel ca

1

b− a

∫ b

a

f(x)dx = f(ξ).

Demonstratie Deorece functia este continua pe un interval ınchis si marginit ısiatinge marginile, deci exista u, v ∈ [a, b] astfel ca

m = f(u) = infx∈[a,b]

f(x), M = f(v) = supx∈[a,b]

f(x).

Aplicand Consecinta 2 a Teoremei 1.1.4, din m 6 f(x) 6 M rezulta

m(b− a) 6∫ b

a

f(x)dx 6 M(b− a)


deci

f(u) = m 6 1

b− a

∫ b

a

f(x)dx 6 M = f(v).

Dar f are proprietatea lui Darboux pe [a, b], fiind continua. Exista deci ξ ∈ [a, b]

astfel ca1

b− a

∫ b

a

f(x)dx = f(ξ).

Urmatoarea teorema este adevarata pentru orice functie intgrabila, dar este usorde demonstrat ın cazul functiilor continue.

Teorema 1.1.10 Daca f : [a, b] → R este o functie continua atunci are loc

|∫ b

a

f(x)dx| 6∫ b

a

|f(x)|dx.

Demonstratie Afirmatia rezulta imediat daca tinem cont de faptul ca |f | rezultafunctie continua, deci integrabila si inegalitatea

−|f(x)| 6 f(x) 6 |f(x)|, ∀x ∈ [a, b]

Teorema 1.1.11 (Existenta primitivelor unei functii continue) Dacafunctiaf : [a, b] → R este continua, functia F : [a, b] → R definita prin

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt, ∀x ∈ [a, b] (1.6)

este o primitiva care se anuleaza ın punctul a.

Demonstratie Vom demonstra ca F este derivabila pentru orice x0 ∈ [a, b] .Folosind definitia si Teorema 1.1.3 rezulta

F (x)− F (x0) =

∫ x

a

f(t)dt−∫ x0

a

f(t)dt =

∫ x

x0

f(t)dt.

Din teorema de medie, exista ξx ın intervalul de extremitati x0, x, astfel ca∫ x

x0

f(t)dt = f(ξx)(x− x0).

Din ultimile doua relatii deducem daca tinem cont si de continuitatea functiei f

limx→x0

F (x)− F (x0)

x− x0

= limx→x0

f(ξx) = f(x0).


(Daca x0 = a sau x0 = b se considera limitele laterale.) Deducem astfel caF ′ = f , iar din definitie F (a) = 0

Observatie Desi orice functie continua admite primitive, nu totdeauna aceastase poate exprima cu ajutorul functiilor elementare. Un exemplu cunoscut estecel al functiei e−x2

; pentru aceasta nu se poate folosi formula Leibniz-Newton, cimetode aproximative de calcul.

Teorema 1.1.12 (Formula de integrare prin parti) Daca f, g : [a, b] → R suntfunctii derivabile, cu derivate continue, atunci

∫ b

a

f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)|ba −∫ b

a

g(x)f ′(x)dx. (1.7)

Demonstratie Din formula de derivare a produsului

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

deducem ca fg este o primitiva a functiei f ′g + fg′ si aplicand teorema LeibnizNewton avem

(fg)(b)− (fg)(a) =

∫ b

a

(fg)′(x)dx =

∫ b

a

(f ′(x)g(x) + f(x)g′(x))dx =

=

∫ b

a

f ′(x)g(x)dx +

∫ b

a

f(x)g′(x)dx

de unde deducem imediat afirmatia teoremei

Teorema 1.1.13 (Schimbarea de variabila) Fie ϕ : [a, b] → [c, d] o functie cuproprietatile: ϕ derivabila , cu derivata continua pe [a, b].Fie f : [c, d] → R o functie continua.Atunci are loc formula

∫ b

a

f(ϕ(t))ϕ′(t)dt =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx. (1.8)

Demonstratie Functia f fiind continua, admite primitive. Fie F o primitiva a luif , deci

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ [c, d] (1.9)

Din teorema Leibniz Newton avem

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx = F (ϕ(b))− F (ϕ(a))


Prin formula de derivare a functiilor compuse din (1.9) deducem

(F ◦ ϕ)′(t) = F ′(ϕ(t))ϕ′(t) = (f ◦ ϕ)(t)ϕ′(t), ∀t ∈ [a, b].

Din nou din teorema Leibniz Newton avem∫ b

a

(f ◦ ϕ)(t)ϕ′(t) = (F ◦ ϕ)(b)− (F ◦ ϕ)(a) =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f(x)dx

Aplicatii ale integralei definite

Aria unei multimi

Definitia 1.1.3 O multime D se numeste elementara daca

D =n⋃

i=1

Di

unde Di sunt dreptunghiuri cu laturile paralele cu axele de coordonate, iar oricedoua dreptunghiuri diferite au cel mult o latura comuna. Numim arie

aria(D) =n∑

i=1

aria(Di)

Observatii1. Reprezentarea unei multimi elementare nu este unica, dar aria este unic

determinata.2. Reuniunea, intersectia si diferenta a doua multimi elementare sunt tot

multimi elementare.

Definitia 1.1.4 Fie A o multime marginita din plan. A are arie daca exista douasiruri de multimi elementare Dn si En, n ∈ N, astfel ca

Dn ⊂ A ⊂ En

sirurile de numere aria(Dn) si aria(En) sunt convergente si

limn→∞

aria(Dn) = limn→∞

aria(En).


Observatii1. Notiunea de arie nu depinde de alegerea multimilor elementare.2. Daca A,B au arie, atunci multimile A ∪B, A ∩B,A \B au arie.3. Daca A,B au arie si A ∩B = ∅, atunci

aria(A ∪B) = aria(A) + aria(B).

4. Daca o multime are arie, nu rezulta ca orice submultime a sa are arie.

Teorema 1.1.14 (Aria unei suprafete plane) Daca f : [a, b] → R+ este con-tinua atunci multimea

D = {(x, y) ∈ R2| a 6 x 6 b, 0 6 y 6 f(x)}

are arie si

aria(D) =

∫ b

a

f(x)dx. (1.10)

Teorema 1.1.15 (Volumul unui corp de rotatie) Daca f : [a, b] → R+ estecontinua atunci corpul de rotatie determinat de f , adica multimea

V = {(x, y, z) ∈ R3|√

y2 + z2 6 r, a 6 x 6 b}are volum dat de formula

vol(V ) = π

∫ b

a

f 2(x)dx (1.11)

Lungimea unui arc de curbaFie f : [a, b] → R+ o functie si corespunzator unei diviziuni ∆ definim functiapoligonala, adica functia care trece prin punctele de coordonate (xi−1, f(xi−1)) si(xi, f(xi)) si pe subintervalele [xi−1, xi] este drepta determinata de aceste puncte.

f∆(x) = f(xi−1) +f(xi)− f(xi−1)

xi − xi−1

(x− xi−1), x ∈ [xi−1, xi], 1 6 i 6 n.

Lungimea acestui grafic este

l∆ =n∑

i=1

√(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2.


Definitia 1.1.5 Spunem ca graficul functiei continue are lungime finita dacaexista o constanta M > 0 astfel ca

l∆ 6 M

pentru orice diviziune ∆ a intervalului [a, b]. Numarul

sup∆{l∆}

se numeste lungimea graficului functiei f .

Teorema 1.1.16 (Lungimea unui arc de curba ) Daca f : [a, b] → R+ este ofunctie derivabila cu derivata continua atunci

1. graficul lui f are lungime finita2. lungimea este data de

l =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx (1.12)

Demonstratie Folosind faptul ca functia f este continua, deci marginita pe [a, b],exista M > 0 astfel ca

√1 + (f ′(x))2 6 M, ∀x ∈ [a, b]

Atunci lungimea graficului unei functii poligonale asociate unei diviziuni arbitrareeste marginita, deoarece

l∆ =n∑

i=1

√(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2 =

n∑i=1

√1 + (f ′(ξi))2(xi − xi−1) 6 M

n∑i=1

(xi − xi−1) = M(b− a)

unde punctele ξi ∈ [xi−1, xi], 1 6 i 6 n exista din aplicarea teoremei lui La-grange functiei f pe intervalele date de diviziune. Deci graficul are lungimefinita. Mai rezulta ca daca ∆n = {xn

0 , xn1 , . . . , x

nkn} este un sir de diviziuni cu

limn→∞

‖∆n‖ = 0, atunci sirul lungimilor graficului functiilor poligonale este con-vergent la numarul l, adica

limn→∞

l∆n = l

Aplicam teorema lui Lagrange pe fiecare subinterval [xni−1, x

ni ]; atunci exista ξn

i ∈[xn

i−1, xni ] astfel ca

f(xni )− f(xn

i−1) = f ′(ξni )(xn

i − xni−1).

1.2. INTEGRALA CURBILINIE 17

Evaluam lungimea graficului functiei poligonale

l∆n =n∑

i=1

√(xn

i − xni−1)

2 + (f(xni )− f(xn

i−1))2 =

n∑i=1

√1 + (f ′(ξn

i ))2(xni − xn

i−1) = σ∆n

adica o suma Riemann asociata functiei√

1 + (f ′(x))2; aceasta functie este in-tegrabila, fiind continua si folosind teorema 1.1.1 rezulta valoarea integralei estelimita sirului l∆n , adica

l =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2dx

Teorema 1.1.17 (Aria unei suprafete de rotatie) Daca f : [a, b] → R+ este ofunctie derivabila cu derivata continua atunci suprafata de rotatie determinata def , adica multimea

S = {(x, y, z) ∈ R3|√

y2 + z2 = f(x), a 6 x 6 b}are arie data de

aria(S) = 2π

∫ b

a

f(x)√

1 + (f ′(x))2dx (1.13)

1.2 Integrala curbilinieIntegrala curbilinie (IC) de speta ıntai

Fie f : D → R o functie continua unde domeniul D ⊂ Rn cu n = 2, 3.Fie γ o curba inclusa ın D care este neteda. Un exemplu teoretic de curba netedaa fost dat ın teorema 1.1.16. In cazul n = 3, o curba neteda este de forma

(γ)

x = x(t)y = y(t)z = z(t)

, t ∈ [a, b] ⊂ R (1.14)

unde x, y, z sunt functii derivabile cu derivate continue pe [a, b]. Mai general ocurba poate fi neteda pe portiuni, adica exista un numar finit de subintervale alelui [a, b] determinate de a = t0 < t1 < . . . < tn = b astfel ca restrictia curbei la[ti−1, ti], ∀i = 1, . . . , n sa fie neteda.


Definitia 1.2.1 Numim integrala curbilinie (IC) de prima speta a functiei f

∫

γ

f(x, y, z)ds =

∫ b

a

f(x(t), y(t), z(t))√

(x′)2(t) + (y′)2(t) + (z′)2(t)dt

(1.15)

unde ds =√

(x′)2(t) + (y′)2(t) + (z′)2(t) este elementul de arc.

Observatii1. Daca γ este o curba plana atunci ın ecuatiile (1.14) vom lua z = 0, iar IC

este∫

γ

f(x, y)ds =

∫f(x(t), y(t))

√(x′)2(t) + (y′)2(t)dt.

2. IC de speta ıntai este independenta de sensul de parcurs pe curba.

3. IC nu depinde de parametrizarea aleasa pentru curba.

Aplicatii 1. Masa unei curbe netede γ. Presupunem ca ın fiecare punctal curbei, masa este o functie continua f(x, y, z), atunci masa curbei este ICurmatoare

M =

∫

γ

f(x, y, z)ds. (1.16)

2. Momentele statice ale unei curbe ın raport cu axele de coordonate se potexprima tot cu ajutorul unor IC

Mx =∫

γxf(x, y, z)ds

My =∫

γyf(x, y, z)ds

Mz =∫

γzf(x, y, z)ds

(1.17)

Integrala curbilinie (IC) de speta a doua

Fie γ o curba inclusa ın D care este neteda, data ca ın (1.14).Fie functiile reale de variabile reale

P, Q, R : D → R, D ⊂ R3

care sunt continue. Presupunem ca γ ⊂ D.


Definitia 1.2.2 Numim intgrala curbilinie de speta a doua∫

γ

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =

=

∫ b

a

(P (x(t), y(t), z(t))x′(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y′(t)+

+R(x(t), y(t), z(t))z′(t))dt (1.18)

Observatie Daca γ este o curba plana, atunci expresia IC este∫

γ

P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

=

∫ b

a

(P (x(t), y(t))x′(t) + Q(x(t), y(t))y′(t))dt (1.19)

Observatie 1. Daca (γ) are extremitatile A,B si C este un punct arbitrar de pecurba , atunci IC se poate desface astfel

∫

γ

=

∫dAC

+

∫dCB

.

Observatie 2. Daca schimbam sensul de parcurs pe curba (γ) atunci IC de spetaa doua ısi schimba sensul. Deci IC de speta a doua depinde de sensul de parcurs,spre deosebire de cea de prima speta, care nu depinde de acesta.3. Daca curba (γ) este ınchisa, atunci alegem un sens de parcurs pe curba si ICse noteaza

∮

γ

P (x, y)dx + Q(x, y)dy + R(x, y)dz.

Sa ilustram ideea de sens de parcurs ın plan. Daca daca domeniul este un disc,atunci vom spune ca parcurgem ın sens direct conturul daca acesta coincide cusensul trigonometric ( invers acelor de ceasornic); acest mod coincide cu lasarea lastanga a domeniului , relativ la un reper fixat (un ansmablu de axe de coordonatepe care s-a fixat un sens), daca deplasarea are loc pe cerc. Astfel vom extindesensul direct pentru curbe ce marginesc domenii oarecare: sensul este direct dacaprin deplasarea ın acest sens pe curba ce margineste domeniul, acesta este lasat lastanga .4. In rationamentele noastre curbele de-a lungul carora facem integrarea suntsimple, adica nu trec de mai multe ori prin acelasi punct.

Aplicatii ale integralei curbilinii


Teorema 1.2.1 (Aria unui domeniu plan) Aria unui domeniu plan marginit deo curba neteda simpla este

aria(D) =1

2

∫

γ

xdy − ydx. (1.20)

Lucrul mecanicPresupunem ca asupra unui punct material se actioneaza cu o forta

−→F a carei

marime si directie depind numai de pozitia punctului M , care se deplaseaza pecurba ıntr-un sens determinat. Presupunem ca

−→F se proiecteaza pe axele Ox, Oy

prin x = x(x, y), y = y(x, y). Lucrul mecanic este dat de

L =

∫

γ

(x(x, y)dx + y(x, y)dy (1.21)

Aceasta ultima aplicatie ne conduce la unele ıntrebari :1. depinde lucrul mecanic de forma traiectoriei ?2. daca traiectoria este ınchisa este lucrul mecanic totdeauna 0 ?

Vom raspinde la aceste ıntrebari prin considerarea urmatoarelor considerente teo-retice.

Independenta de drum a integralei curbilinii

Vom studia acesta problema mai ıntai ın plan, iar ın partea a doua a cursului vomrelua independenta ın R3. In cele ce urmeaza vom presupune ca P,Q : D →R, D ⊂ R2 sunt doua functii continue si ca avem o curba neteda, inclusa ın D

notata (γ) :

{x = x(t)y = y(t)

, t ∈ [a, b].

Teorema 1.2.2 In ipotezele anterioare urmatoarele afirmatii sunt echivalente1. IC este independenta de drum2. pentru orice curba C ınchisa si simpla are loc

∮

C

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (1.22)

Demonstratie 1. ⇒ 2. Fie C o curba ınchisa si simpla, alegem doua punctearbitrare A,B pe C; pe arcele AB si BA alegem doua puncte M, N . Atunci

∮

C

=

∫

AMB

+

∫

BNA

=

∫

AMB

−∫

ANB

= 0

deoarece integrala este independenta de drum.


2. ⇒ 1. Fie doua puncte arbitrare A,B ∈ D si alegem doua drumuri arbitrarede la A la B; pe drumurile AB si BA alegem doua puncte M, N . Observam ca seobtine o curba ınchisa C = ANBMA, pe care, din ipoteza IC este nula. Din

0 =

∮

C

=

∫

AMB

−∫

ANB

deducem independenta de drum a IC

Definitia 1.2.3 Presupunem ca exista o functie F : D → R, D ⊂ R2 cu derivatepartiale de ordinul ıntai continue, astfel ca

∂F

∂x(x, y) = P (x, y),

∂F

∂y(x, y) = Q(x, y), ∀(x, y) ∈ D.

Expresia P (x, y)dx + Q(x, y)dy se numeste diferentiala totala exacta.

Observam ca ın acest caz diferentiala functiei F este:

dF (x, y) =∂F

∂x(x, y)dx +

∂F

∂y(x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Vom arata ın continuare ca independenta de drum a IC este echivalenta cu faptulca P (x, y)dx + Q(x, y)dy este o diferentiala totala exacta.

Teorema 1.2.3 Presupunem ca exista o functie F : D → R cu derivate partialecontinue astfel ıncat

∂F

∂x(x, y) = P (x, y),

∂F

∂y(x, y) = Q(x, y), ∀(x, y) ∈ D.

Atunci are loc∫

γ

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = F (x(b), y(b))− F (x(a), y(a)). (1.23)

In particular integrala rezulta independenta de drum.

Demonstratie Din definitia IC are loc

∫

γ


∫ b

a

(P (x(t), y(t))x′(t) + Q(x(t), y(t))y′(t))dt.


Folosind ipoteza, ultima integrala este egala cu∫ b

a

(∂F

∂x(x(t), y(t))x′(t) +

∂F

∂y(x(t), y(t))y′(t)

)dt.

Demonstram ca expresia de sub integrala este o primitiva pentru functia compusaF (x(t), y(t)). Observam ca este derivabila, fiind o functie compusa de functiiderivabile; derivam functia compusa ın raport cu t prin intermediul functiilor x, yavem

dF (x(t), y(t))

dt=

∂F

∂x(x(t), y(t))

dx

dt+

∂F

∂y(x(t), y(t))

dy

dx=

=∂F

∂x(x(t), y(t))x′(t) +

∂F

∂y(x(t), y(t))y′(t).

Afirmatia rezulta daca aplicam teorema Leibniz Newton. In calculul integraleiintervin doar extremitatile, deci ın acest caz IC este independenta de drum.

Teorema 1.2.4 Daca integrala∫

γ

P (x, y)dx + Q(x, y)dy este independenta de

drum, atunci functia F : D → R, D ⊂ R2 definita prin

F (x, y) =

∫ (x,y)

(x0,y0)

P (x, y)dx + Q(x, y)dy (1.24)

pe orice curba neteda cu extremitatile (x0, y0), (x, y) ∈ D satisface

∂F

∂x(x, y) = P (x, y),

∂F

∂y(x, y) = Q(x, y).

Demonstratie Fie (x1, y1) ∈ D si sa demonstram ca ın acest punct exista derivata

partiala∂F

∂x(x1, y1); pentru aceasta calculam limita

limh→0

F (x1 + h, y1)− F (x1, y1)

h.

Folosind (1.24), ultima expresia devine

limh→0

∫ (x1+h,y1)

(x0,y0)P (x, y)dx + Q(x, y)dy − ∫ (x1,y1)

(x0,y0)P (x, y)dx + Q(x, y)dy

h=

Din definitia IC deducem ca numaratorul poate fi desfacut sub forma


∫ (x1,y1)

(x0,y0)P (x, y)dx + Q(x, y)dy +

∫ (x1+h,y1)

(x0,y0)P (x, y)dx + Q(x, y)dy−

− ∫ (x1,y1)

(x0,y0)P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

∫ (x1+h,y1)


Daca ınlocuim mai sus, gasim, daca mai tinem cont ca pe curba de extremitati(x1, y1), (x1 + h, y1) avem dy = 0

limh→0

∫ (x1+h,y1)


h= lim

h→0

∫ x1+h

x1P (x, y1)dx

h=

= limh→0

P (ξ, y1)h

h= P (x1, y1),

unde ξ se afla ıntre x1 si x1 + h, daca folosim teorema de medie pentru integraladefinita si faptul ca P este o functie continua. Din existenta limitei deducem ca

∂F

∂x(x1, y1) = P (x1, y1)

Pentru celalalta afirmatie procedam analog

Teorema 1.2.5 Presupunem ca functia F : D → R, D ⊂ R2 are derivatepartiale de ordinul doi, continue si ca

dF (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, ∀(x, y) ∈ R2 (1.25)

atunci are loc

∂P

∂y(x, y) =

∂Q

∂x(x, y) (1.26)

Demonstratie Folosim teorema lui Schwarz

∂P

∂y(x, y) =

∂2F

∂y∂x(x, y) =

∂2F

∂x∂y(x, y) =

∂Q

∂x(x, y)

Observatie Reciproca nu este adevarata ın general. De exemplu daca alegem

P (x, y) =−y

x2 + y2, Q(x, y) =

x

x2 + y2, (x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}

atunci∂P

∂y(x, y) =

∂Q

∂x(x, y) =

y2 − x2

(x2 + y2)2.


Daca integram pe conturul unui cerc cu centrul ın origine, valoarea integralei este2π.

Daca IC ar fi independenta de drum, din Teorema 1.2.2 ar rezulta ca∮

C

dx + Qdy = 0

ceea ce contrazice calculul precedent. Aceasta provine din faptul ca functiile P, Qsunt definite pe un domeniu care are ”goluri” (R2 \{(0, 0)}). Un domeniu care nuare ”goluri” se va numi simplu conex. Notiunea descrisa intuitiv poate fi definitariguros, ar aceasta ar depasi cu mult nivelul cursului.

Vom demonstra ın ultimul capitol ca pe un domeniu simplu conex urmatoareleafirmatii sunt echivalente:

1.∫

γ

P (x, y)dx + Q(x, y)dy este independenta de drum

2.∂P

∂y=

∂Q

∂x, ∀(x, y) ∈ D.

1.3 Integrala improprieDupa cum am vazut ın paragraful precedent, notiunea de integrala Riemann sestudiaza pentru functii marginite definite pe intervale marginite si ınchise ( com-pacte). Vom renunta pe rand la cele doua ipoteze.

Integrale improprii pe interval nemarginitFie f : [a, +∞) → R, a ∈ R.

Definitia 1.3.1 f se numeste integrabila pe [a, +∞) daca1. f este integrabila pe intervalul [a, b], ∀b ∈ R2. exista si este finita limita lim

b→+∞

∫ b

a

f(x)dx. Vom nota

∫ +∞

a

f(x)dx = limb→+∞

∫ b

a

f(x)dx. (1.27)

Vom spune ın acest caz ca integrala este convergenta si vom nota∫ ∞

a

f(x)dx < +∞,

iar ın caz contrar ca este divergenta.

1.3. INTEGRALA IMPROPRIE 25

Definitia 1.3.2 Functia f : [a, +∞) → R, a ∈ R se numeste absolut integrabilape [a, +∞) daca ∫ +∞

a

| f(x) | dx < +∞.

Integrala∫ +∞

a

f(x)dx se numeste absolut convergenta.

Exemple

1. Pentru a > 0,∫ ∞

a

xαdx =

{convergenta daca α < −1divergenta daca α > −1

Intr-adevar avem ∫ b

a

xαdx =bα+1

α + 1− aα+1

α + 1

si se constata imediat ca exista limita finita a expresiei de mai sus, pentru b →∞doar daca α < −1, de unde afirmatia.

2.∫ +∞

0

cos xdx este divergenta, deoarece nu exista limita la infinit a functiei

sin x.

3.∫ +∞

a

e−λ2xdx este convergenta, deoarece

limb→+∞

1

λ2(e−λ2a − e−λ2b) =

1

λ2e−λ2a.

Analog se pot defini notiunile de integrabilitate pe intervale de forma (−∞, b],unde b ∈ R sau (−∞, +∞). Mentionam ca ın acest al doilea caz, alegem c ∈ Rsi reducem la situatiile precedente, daca realizam desfacerea

∫ ∞

−∞f(x)dx =

∫ c

−∞f(x)dx +

∫ +∞

c

f(x)dx.

Exista situatii cand integrala∫ ∞

−∞f(x)dx nu este convergenta si totusi exista si

este finita limita urmatoare, numita valoare principala

vp

∫ ∞

−∞f(x)dx = lim

a→+∞

∫ a

−a

f(x)dx (1.28)

De exemplu se poate constata ca integrala∫ ∞

−∞

1 + x

1 + x2dx este divergenta dar are

valoarea principala π. Intr-adevar

lima→+∞

∫ a

−a

1 + x

1 + x2dx = lim

a→+∞

(arctan x +

1

2ln(1 + x2)

) ∣∣+a−a = π.


Teorema 1.3.1 (Teorema de caracterizare) Integrala∫ +∞

a

f(x)dx < +∞ daca

si numai daca ∀ε > 0, ∃bε astfel ıncat ∀ b′, b′′ > bε are loc

|∫ b′′

b′f(x)dx |< ε. (1.29)

Demonstratie. Se aplica teorema lui Cauchy de caracterizare a limitei finite la∞, observand ca

∫ b′

a

f(x)dx−∫ b′′

a

f(x)dx =

∫ b′′

b′f(x)dx

Mentionam o prima aplicatie a teoremei.

Teorema 1.3.2 Daca f : [a, +∞) → R, a ∈ R este absolut integrabila atuncieste si integrabila.

Demonstratie. Afirmatia rezulta imediat daca folosim proprietatile integraleiRiemann, si anume

|∫ b′′

b′f(x)dx |6

∫ b′′

b′| f(x) | dx

Teorema de caracterizare este un instrument teoretic cu ajutorul caruia se pot de-duce criterii de convergenta mai comod de aplicat ın practica decat definitia.

Teorema 1.3.3 (Criteriul de comparatie) Fie integralele∫ +∞

a

f(x)dx si∫ +∞

a

g(x)dx.

1. Presupunem ca sunt ındeplinite conditiile∫ +∞

a

g(x)dx este convergenta (1.30)

| f(x) |6 g(x), x > x1, x1 ∈ R (1.31)

atunci rezulta ca integrala∫ +∞

a

f(x)dx este absolut convergenta.


2. Daca ∫ +∞

a

f(x)dx este divergenta (1.32)

0 6 f(x) 6 g(x), x > x2, x2 ∈ R (1.33)

rezulta ca integrala∫ +∞

a

g(x)dx este divergenta.

Demonstratie. Pentru prima afirmatie observam ca daca b′, b′′ > x1 are loc

|∫ b′′

b′f(x)dx |6

∫ b′′

b′| f(x) | dx 6

∫ b′′

b′g(x)dx

si se aplica teorema de caracterizare.

Pentru a doua afirmatie, daca prin absurd,∫ +∞

a

g(x)dx ar fi convergenta, atunci

din prima parte ar rezulta ca∫ +∞

a

f(x)dx este convergenta, ceea ce contrazice

presupunerea facuta

Teorema 1.3.4 (Criteriul cu limita) 1. Daca

limx→+∞

| f(x) | xα < +∞ si α > 1 (1.34)

atunci∫ +∞

a


2. Dacalim

x→+∞f(x)xα > 0 si α 6 1 (1.35)

atunci∫ +∞

a

f(x)dx este divergenta.

Demonstratie. Prima parte rezulta daca observam ca exista x1 ∈ R+ astfel ca

| f(x) |6 A

xαsi integrala

∫ +∞

x1

A

xαeste convergenta daca −α < −1, potrivit ex-

emplului precedent. Utilizam apoi criteriul de comparatie.Partea a doua rezulta analog, daca observam ca exista x2 ∈ R astfel ca

f(x) > B

xα, ∀x > x2

Observatie. Din demonstratia criteriului precedent deducem ca acesta se poateformula mai general, fara a solicita existenta limitei ci doar majorarile din demon-stratie.


Se poate enunta si demonstra o formula de schimbare de variabila pentru integraleimproprii. Mentionam ca daca x = ϕ(t), la ipotezele Teoremei asupra schimbariide variabila ın integrala Riemann se adauga si lim

t→+∞ϕ(t) = +∞; atunci avem

formula ∫ +∞

a

f(x)dx =

∫ +∞

ϕ(a)

f(v(t))v′(t)dt

si integralele de mai sus au aceeasi natura.

Integralele lui Fresnel∫ +∞

0

sin x2dx si∫ +∞

0

cos x2dx sunt convergente, caci

facand ın integralele∫ +∞

1

sin x2dx si∫ +∞

1

sin x2dx schimbarea x =√

t obtinem∫ +∞

1

sin t

2√

tdt, respectiv

∫ +∞

1

cos t

2√

tdt. Ne ocupam de prima dintre ele, folosind

teorema de caracterizare si integrarea prin parti∫ b′′

b′

sin t

2√

tdt = −cos t

2t12

∣∣∣b′′b′ −∫ b′′

b′

cos t

4t32

dt.

Integrala de mai sus poate fi facuta oricat de mica deoarece limt→+∞

cos t

2t12

= 0 si

descazutul provine de la o integrala convergenta, cum rezulta imediat daca sefoloseste criteriul de comparatie.

Integrale improprii de functii nemarginite

Fie f : [a, b) → R, a, b ∈ R o functie nemarginita ın b.

Definitia 1.3.3 Functia f se numeste integrabila pe [a, b), daca1. f este integrabila pe orice interval ([a, b− ε]), ∀ε > 0

2. exista si este finita limita limε→0

∫ b−ε

a

f(x)dx. Vom nota∫ b

a

f(x)dx = limε→0

∫ b−ε

a

f(x)dx. (1.36)

Integrala se numeste convergenta si vom nota∫ b

af(x)dx < +∞ iar ın caz contrar,

divergenta.

Definitia 1.3.4 Functia f : [a, b) → R, a, b ∈ R se numeste absolut integrabilape [a, b) daca

∫ b

a

| f(x) | dx < +∞. (1.37)


Analog se poate defini integrabilitatea pentru functii definite pe (a, b], nemarginiteın a. Daca f : [a, b] → R si f nu este marginita ıntr-un punct interior intervaluluic, studiul convergentei se poate reduce la cazurile precedente, desfacand integrala

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx +

∫ b

c

f(x)dx.

Pentru ultima situatie se defineste de asemenea notiunea de valoare principalaprin urmatoarea limita (daca exista si este finita)

vp

∫ b

a

f(x)dx = limε→0

(∫ c−ε

a

f(x)dx +

∫ b

c+ε

f(x)dx

)(1.38)

La fel ca ın primul caz furnizeaza o eventuala informatie suplimentara, daca inte-grala este divergenta.

Exemple.

1. Integrala∫ b

0

xαdx este o integrala proprie pentru α > 0. Daca α < 0, functia

este nemarginita ın 0. Aplicam definitia

limε→0

∫ b

ε

xαdx = limε→0

(bα+1

α + 1− εα+1

α + 1

)=

{convergenta daca α + 1 > 0divergenta daca α + 1 6 0

2.∫ b

a

dx

(b− x)α= lim

ε→0

∫ b−ε

a

(b− x)−αdx. Gasim imediat

limε→0

((ε)−α+1

−α + 1− (b− a)−α+1

−α + 1

)=

{convergenta daca α < 1divergenta daca α > 1

3.∫ b

0

ln xdx = limε→0

(x ln x− x) |0ε= limε→0

(b ln b− b− ε ln ε + ε) = b ln b− b.

4.∫ 1

−1

dx

xeste divergenta, dupa cum rezulta din Exemplul 1, dar are valoarea

principala 0; ıntr-adevar

limε→0

(∫ −ε

−1

dx

x+

∫ 1

ε

dx

x

)= lim

ε→0(ln ε− ln ε) = 0.


Teorema 1.3.5 (Teorema de caracterizare) Integrala∫ b

af(x)dx este conver-

genta daca si numai daca ∀ε > 0 exista δ > 0 astfel ca oricare ar fi t′, t′′ ∈ [a, b),cu 0 < b− t′ < δ, 0 < b− t′′ < δ are loc

|∫ t′′

t′f(x)dx |< ε. (1.39)

Demonstratia este analoga celei de la integrale improprii pe interval nemarginit,ca si a rezultatelor ce urmeaza.

Teorema 1.3.6 Daca functia f este absolut integrabila pe [a, b) atunci ea esteintegrabila pe [a, b).

Teorema 1.3.7 (Criteriu de comparatie) Fie integralele∫ b

af(x) si

∫ b

ag(x)dx.

Daca ∫ +∞

a

g(x)dx este convergenta (1.40)

| f(x) |6 g(x), x ∈ [c1, b), c1 > a (1.41)

rezulta ca∫ b

a


Daca ∫ b

a

f(x)dx este divergenta (1.42)

0 6 f(x) 6 g(x), x ∈ [c2, b), c2 > a (1.43)

rezulta∫ b

a

g(x)dx este divergenta.

Teorema 1.3.8 (Criteriul cu limita) 1. Daca

limx→b,x<b

| f(x) | (b− x)α < +∞ si α < 1 (1.44)

atunci∫ b

a


2. Dacalim

x→b,x<bf(x)(b− x)α > 0 si α > 1 (1.45)

atunci∫ b

a

f(x)dx este divergenta.

1.4. INTEGRALA CU PARAMETRU 31

Exemplu Integrala ∫ π2

0

dx

sin32 x

este divergenta, deoarece

limx→0,x<0

x32

sin32 x

= 1.

1.4 Integrala cu parametruDaca f : [a, b] × R → R este o functie cu proprietatea ca pentru orice y ∈ R,exista integrala

F (y) =

∫ b

a

f(x, y)dx (1.46)

spunem ca am definit o integrala cu parametru. Ne punem problema sa studiemproprietatile de continuitate, derivabilitate si integrabilitate ale functiei F .

Teorema 1.4.1 (Continuitatea integralei cu parametru) Daca f : [a, b]×R→R este uniform continua, atunci functia F este continua.

Demonstratie Functia f fiind uniform continua, rezulta ca ∀ε > 0, ∃δ > 0,astfel ca | x′ − x′′ |< δ, | y′ − y′′ |< δ atunci rezulta | f(x′, y′) − f(x′′, y′′) |< ε.Particularizam ın aceasta definitie x′ = x′′ = x, y′ = y, y′′ = y0 si gasim ca

| F (y)− F (y0) |6∫ b

a

| f(x, y)− f(x, y0) | dx < ε(b− a)

de ındata ce | y − y0 |< δ

In particular, daca f este continua pe [a, b] × [c, d], rezultatul din teorema sepasteaza.

Teorema 1.4.2 (Derivabilitatea integralei cu parametru) Daca f : [a, b] ×[c, d] → R si au loc:

i. ∀y ∈ [c, d] exista integrala cu parametru F (y) =

∫ b

a

f(x, y)dx;

ii. exista∂f

∂ycontinua pe [a, b]× [c, d]

atunci F este derivabila si

F ′(y) =

∫ b

a

∂f

∂y(x, y)dx. (1.47)


Demonstratie Din definita derivabilitatii si ipotezele i, ii avem∣∣∣∣F (y)− F (y0

y − y0

−∫ b

a

∂f

∂y(x, y0)dx

∣∣∣∣ =

=

∣∣∣∣∫ b

a

(f(x, y)− f(x, y0)

y − y0

− ∂f

∂y(x, y0)

)dx

∣∣∣∣ 6

6∫ b

a

| f(x, y)− f(x, y0)

y − y0

− ∂f

∂y(x, y0) | dx.

Daca y → y0, membrul ıntai al relatiei precedente poate fi facut oricat de mic, deunde afirmatia teoremei

Exemplu Ca aplicatie sa indicam un alt mod de calcul al integralei

In(y) =

∫ 1

0

dx

(x2 + y2)n, n ∈ N, y 6= 0.

Deoarece ipotezele teoremei anterioare sunt ındeplinite, putem deriva integrala ınraport cu y si gasim

I ′n(y) =

∫ 1

0

∂

∂y

(1

x2 + y2

)n

dx = −2yn

∫ 1

0

dx

(x2 + y2)n+1= −2ynIn+1(y)

Am obtinut astfel relatia

In+1(y) =−1

2nyI ′n(y).

Sa o aplicam pentru calculul integralei I2. Deoarece I1(y) = 1yarctan 1

y, rezulta

caI2 = − 1

2yI ′1(y) =

1

2y3(arctan

1

y+

y

y2 + 1).

Teorema precedenta poate fi generalizata astfel.

Teorema 1.4.3 (Teorema lui Leibniz) Fie integrala cu parametru

F (y) =

∫ β(y)

α(y)

f(x, y)dx, y ∈ [c, d]

si presupunem ındeplinite urmatoarele ipoteze

i. functiile α, β : [c, d] → [a, b] sunt derivabile,


ii. f : [a, b]× [c, d] → R este o functie continua,

iii. exista∂f

∂y: [a, b]× [c, d] → R, continua

atunci F este derivabila si are loc formula

F ′(y) = f(β(y), y)β′(y)− f(α(y), y)α′(y) +

∫ β(y)

α(y)

∂f

∂y(x, y)dx. (1.48)

Demonstratie Fie y0 ∈ [c, d]; avem

F (y)− F (y0)

y − y0

=1

y − y0

∫ β(y0)

α(y0)

(f(x, y)− f(x, y0))dx+

+1

y − y0

∫ α(y0)

α(y)

f(x, y)dx +1

y − y0

∫ β(y)

β(y0)

f(x, y)dx.

Limita primului termen pentru y → y0 este∫ β(y0)

α(y0)

∂f

∂y(x, y0)dx. Pentru cel de-al

doilea termen se foloseste o teorema de medie si anume

1

y − y0

∫ α(y0)

α(y)

f(x, y)dx =α(y0)− α(y)

y − y0

f(x′, y)

unde x′ este cuprins ıntre α(y) si α(y0). Rezultatul se obtine daca folosim con-tinuitatea functiilor α si f si trecem la limita pentru y → y0. Se procedeazaasemanator cu cel de-al treilea termen al relatiei.

Teorema 1.4.4 (Integrarea unei integrale cu parametru) Fie f : [a, b] ×[c, d] → R o functie continua, atunci are loc formula

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx. (1.49)

Demonstratie Deoarece functia este continua ambele integrale exista, de aceearamane de aratat doar egalitatea lor. Fie η ∈ [c, d] si consideram integraleleF1(η) =

∫ η

c

(∫ b

af(x, y)dx

)dy si F2(η) =

∫ b

a

(∫ η

cf(x, y)dy

)dx. Putem aplica

formula de derivare a lui Leibniz si gasim F ′1(η) =

∫ b

af(x, η)dx = F ′

2(η) .Deci F1, F2 difera printr-o constanta. Deoarece F1(c) = F2(c) = 0, rezultaca F1 ≡ F2, iar afirmatia teoremei rezulta pentru η = d


In conditiile teoremei vom spune ca putem schimba ordinea de integrare. Sa maiobservam ca din teorema precedenta se regaseste teorema privind primitiva uneifunctii continue.

Exemplu Sa calculam∫ 1

0

1

ln x(xb − xa)dx, x > 0, a > 0, b > 0.

Observam ca1

ln x(xb − xa) =

∫ b

a

xydy, x ∈ [0, 1]. Deoarece xy este continua pe

[0, 1]× [a, b], putem schimba ordinea de integrare,

∫ 1

0

(∫ b

a

xydy

)dx =

∫ b

a

(∫ 1

0

xydx

)dy =

∫ b

a

(xy+1

y + 1|10

)dy =

∫ b

a

dy

y + 1=

= ln(y + 1) |ba= lnb + 1

a + 1.

Integrale improprii cu parametru

Fie f : [a, +∞)× [c, d] → R, a, c, d ∈ R si consideram integrala cu parametru

F (y) =

∫ +∞

a

f(x, y)dx, y ∈ [c, d]. (1.50)

Reamintim ca existenta integralei de mai sus presupune prin definitie existenta

limitei limb→+∞

∫ b

a

f(x, y)dx, ın care caz vom mai spune ca integrala converge sim-

plu pe [c, d].Ne propunem sa stabilim conditii ın care functia definita de integrala precedentaare proprietati de continuitate, derivabilitate si integrabilitate. Convergenta simplanu mai este suficienta, de aceea vom introduce o notiune mai puternica.Fie bn un sir numeric care are limita +∞ si consideram integrala

Fn(y) =

∫ bn

a

f(x, y)dx.

Definitia 1.4.1 Spunem ca integrala (1.50) este uniform convergenta daca pen-tru orice sir bn care are limita +∞, sirul de functii Fn converge uniform la F pe[c, d].


Teorema 1.4.5 (Teorema de caracterizare) Integrala (1.50) este uniform con-vergenta daca si numai daca ∀ε > 0, ∃δε > 0, astfel ıncat ∀b′ , b′′ > δε siy ∈ [c, d] are loc ∣∣∣∣∣

∫ b′′

b′f(x, y)dx

∣∣∣∣∣ < ε.

Demonstratie Din caracterizarea Cauchy a limitei finite si uniforme la +∞,∀ε > 0,∃δε > 0 astfel ca ∀b′, b′′ > δε si ∀y ∈ [c, d], are loc

∣∣∣∣∣∫ b′

a

f(x, y)dx−∫ b′′

a

f(x, y)dx

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∫ b′′

b′f(x, y)dx

∣∣∣∣∣ < ε.

In practica este util criteriul urmator.

Teorema 1.4.6 (Criteriu de convergenta uniforma si absoluta) Daca f :[a, +∞)× [c, d] → R si exista g : [a, +∞) → R astfel ca

i. | f(x, y) |6 g(x), ∀x ∈ [a, +∞)

ii.∫ +∞

ag(x)dx < +∞

atunci∫ +∞

a

f(x, y)dx este uniform si absolut convergenta.

Demonstratie Afirmatia rezulta imediat din inegalitatea∣∣∣∣∣∫ b′′

b′f(x, y)dx

∣∣∣∣∣ 6∫ b′′

b′| f(x, y) | dx 6

∫ b′′

b′g(x)dx < ε

si din caracterizarea convergentei integralei improprii

Teorema 1.4.7 (Continuitatea integralei improprii cu parametru). Daca f :

[a, +∞) × [c, d] → R este o functie continua si∫ +∞

a

f(x)dx este uniform con-

vergenta , atunci functia F (y) =

∫ +∞

a

f(x, y)dx este continua pe [c, d].

Demonstratie Fie bn → +∞ si Fn(y) =∫ bn

af(x, y)dx care rezulta functii

continue din Teorema continuitatii integralei cu parametru. Din ipoteza sirul Fn

converge uniform la F pe [c, d], iar limita unui sir uniform convergent de functiicontinue este o functie continua.


Teorema 1.4.8 (Derivabilitatea integralei improprii cu parametru) Fie functiaf : [a, +∞)× [c, d] → R cu proprietatile

i.∫ +∞

a

f(x, y)dx converge

ii.∫ +∞

a

∂f

∂y(x, y)dx converge uniform

atunci F este derivabila si are loc

d

dy

∫ +∞

a

f(x, y)dx =

∫ +∞

a

∂f

∂y(x, y)dx. (1.51)

Demonstratie Fie bn → +∞. Derivam integrala cu parametru pe intervalul[a, bn] si gasim

F ′n(y) =

∫ bn

a

∂f

∂y(x, y)dx

iar acest sir converge uniform. Deoarece F ′n converge uniform, trecand la limita,

deducem demonstratia teoremei

Teorema 1.4.9 (Integrabilitatea unei integrale improprii cu parametru) Fiefunctia f : [a, +∞)× [c, d] → R, a, c, d ∈ R continua astfel ıncat

i. integrala∫ +∞

a

f(x, y)dx este uniform convergenta,

ii. integrala∫ +∞

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx este convergenta

atunci are loc∫ +∞

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ +∞

a

f(x, y)dx

)dy. (1.52)

Demonstratie Pentru bn un sir numeric care are limita +∞ observam ca Fn(y) =∫ bn

af(x, y)dx converge uniform la F , iar Fn sunt functii continue; putem integra

termen cu termen si gasim∫ d

c

F (y)dy = limn→+∞

∫ d

c

Fn(y)dy.

In integrala cu parametru putem schimba ordinea de integrare si obtinem∫ bn

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx =

∫ d

c

(∫ bn

a

f(x, y)dx

)dy.

Trecand la limita ın relatia precedenta, obtinem afirmatia teoremei.

1.5. INTEGRALELE LUI EULER 37

1.5 Integralele lui EulerConsideram integralele cu parametru

Γ(p) =

∫ +∞

0

xp−1e−xdx (1.53)

si

B(p, q) =

∫ 1

0

xp−1(1− x)q−1dx. (1.54)

pe care le numim integralele lui Euler. Ne propunem sa le studiem proprietatilede convergenta, continuitate, derivabilitate si sa dam unele aplicatii ale lor.

Teorema 1.5.1 (Convergenta integralelor lui Euler) Integralele improprii cuparametru (1.53) si (1.54) sunt convergente pentru p > 0, respectiv p, q > 0.

Demonstratie Observam ca integrala (1.53) poate fi scrisa ca suma de doua inte-grale ∫ +∞

0

xp−1e−xdx =

∫ 1

0

xp−1e−xdx +

∫ +∞

1

xp−1e−xdx.

Prima integrala este proprie pentru p > 1. Daca p < 1, are loc majorarea

xp−1e−x 6 xp−1 pentru x ∈ [0, 1], iar integrala∫ 1

0

xp−1dx este convergenta,

daca p > 0.Pentru a doua integrala utilizam criteriul cu limita si observam ca pentru orice

α > 0, limx→+∞

xα+p−1

ex= 0 , deci integrala este convergenta. Observam ca daca

p > 1, q > 1 integrala este proprie. In general, integrala Beta se descompune∫ 1

0

xp−1(1− x)q−1dx =

∫ 12

0

xp−1(1− x)q−1dx +

∫ 1

12

xp−1(1− x)q−1dx.

Daca 0 < p < 1 si x ∈ (0,1

2) avem xp−1(1 − x)q−1 6 2xp−1, iar integrala

∫ 12

0

xp−1dx converge daca p > 0.

Daca 0 < q < 1, x ∈ (1

2, 1), rezulta xp−1(1−x)q−1 6 (1−x)q−1, iar integrala

∫ 1

12

(1− x)q−1dx este convergenta pentru q > 0 sfdem

Teorema 1.5.2 Functia Gamma este continua pe (0, +∞).


Demonstratie Observam ca pentru orice interval compact [c, d] ⊂ (0, +∞)functia xp−1e−x este majorata de max{xc−1e−x, xd−1e−x}, iar functia care ma-joreaza este integrabila pe (0, +∞). deci pe [c, d] integrala converge uniform lao functie continua, deci Γ(p) este continua pe [c, d]. Deoarece [c, d] este arbitrar,afirmatia rezulta pe (0, +∞)

Teorema 1.5.3 Functia Gamma este de clasa C∞(0, +∞) (indefinit derivabilape(0, +∞)).

Demonstratie Derivam sub integrala si constatam ca integrala obtinuta este con-vergenta. Intr-adevar Γ′(p) =

∫ +∞0

xp−1 ln xe−xdx, iar functia de sub integralase majoreaza pe orice [c, d] ⊂ (0, +∞) prin xc−1 ln xe−x, care este integrabila.Astfel exista derivata functiei Γ, care rezulta si continua, deci Γ este de clasaC1(0, +∞). Procedeul poate fi repetat, deci rezulta afirmatia din enunt

Graficul functiei GammaFunctia Gamma fiind derivabila si Γ(1) = Γ(2) = 1, din teorema lui Rolle, de-ducem ca exista p0 ∈ (1, 2) astfel ca Γ′(p0) = 0. Se poate calcula valoareaaproximativa p0 = 1, 4616 si Γ(p0) = 0, 8856. Deoarece Γ′′(p) > 0, deducem cap0 este punct de minim. Mai deducem

limp→+∞

Γ(p) = limp→+∞

Γ(p + 1)

p= +∞, lim

p→+∞Γ(p) = +∞

Graficul functiei Γ are urmatoarea forma

Teorema 1.5.4 ( Formule de calcul) Integralele lui Euler satisfac urmatoareleproprietati

Γ(1) = 1 (1.55)

Γ(p + 1) = pΓ(p) (1.56)

B(p, q) = B(q, p) (1.57)

B(1

2,1

2) = π (1.58)


Demonstratie Formula (1.55) se deduce imediat.

Γ(1) =

∫ +∞

0

e−xdx = −e−x∣∣+∞0 = 1.

Pentru a deduce (1.56) integram prin parti.

Γ(p + 1) =

∫ +∞

0

xpe−xdx = −e−xxp∣∣+∞0 +

∫ +∞

0

pxp−1e−xdx = pΓ(p).

Daca ın definitia functiei Beta, facem schimbarea de variabila y = 1−x, obtinemimediat formula (1.57).Pentru formula (1.58), facem schimbarea de variabila x = sin2 t

B(p, q) =

∫ 1

0

dx√x(1− x)

=

∫ +π2

0

1

sin t cos t2 sin t cos tdt = π

Corolarul 1.5.1 Din (1.56) deducem

Γ(n + 1) = n! (1.59)

Γ(n +1

2) =

(2n− 1) . . . 31

2nΓ(

1

2) (1.60)

Teorema 1.5.5 (Legatura dintre Gamma si Beta) Are loc urmatoarea formula

B(p, q) =Γ(p)Γ(q)

Γ(p + q). (1.61)

Demonstratie In formula (1.54) de definitie a functiei Beta facem schimbarea de

variabila t =1− x

xsi deducem

B(p, q) =

∫ +∞

0

tq−1

(1 + t)p+qdt

formula pe care o vom ınlocui mai jos

B(p, q)Γ(p + q) =

∫ +∞

0

tq−1

(1 + t)p+qdt

∫ +∞

0

xp+q−1e−xdx.


In integrala interioara facem schimbarea de variabila x = (1 + t)y si gasim

B(p, q)Γ(p+q) =

∫ +∞

0

tq−1

(1 + t)p+qdt

∫ +∞

0

(1+t)p+q−1yp+q−1e−(1+t)y(1+t)dy =

=

∫ +∞

0

tq−1dt

∫ +∞

0

yp+q−1e−(1+t)ydy = .

In ultima integrala schimbam ordinea de integrare

B(p, q)Γ(p + q) =

∫ +∞

0

yp+q−1e−ydy

∫ +∞

0

tq−1e−tydt

iar ın ultima integrala facem schimbarea ty = u. Atunci gasim

B(p, q)Γ(p + q) =

∫ +∞

0

yq−1e−ydy

∫ +∞

0

uq−1e−udu = Γ(p)Γ(q)

Corolarul 1.5.2 Urmatoarele afirmatii sunt adevarate

Γ(1

2) =

√π (1.62)

∫ +∞

0

e−x2

dx =

√π

2(1.63)

Teorema 1.5.6 (Formula lui Wallis) Are loc

π

2= lim

n→+∞1

2n + 1

(2 4 . . . 2n

1 3 . . . (2n− 1)

)2

= limn→+∞

24n(n!)4

(2n!)2(2n + 1)(1.64)

Demonstratie In formula (??) de definitie a functiei B facem schimbarea devariabila x = sin2 θ care aplica biunivoc [0, 1] ın [0, π

2] si gasim

B(p, q) = 2

∫ π2

0

sin2p−1 θ cos2q−1 θdθ. (1.65)

In (1.65) luam p = m+12

, q = 12

si gasim

∫ π2

0

sinm θdθ =1

2B(

m + 1

2,1

2).


Folosind monotonia integralei gasim

B(m + 1,1

2) < B(m +

1

2,1

2) < B(m,

1

2)

si daca tinem cont de (1.61), avem

Γ(m + 1)Γ(12)

Γ(m + 32)

<Γ(m + 1

2)Γ(1

2)

Γ(m + 1)<

Γ(m)Γ(12)

Γ(m + 12)

Amplificam ultima relatie cuΓ(m)

Γ(m + 12)

si tinem cont de (1.56)

mΓ(m)

(m + 12)Γ(m + 1

2)

<Γ(m + 1

2)

Γ(m + 1)<

Γ(m)

Γ(m + 12)

Din ultima relatie deducem imediat

m

m + 12

<Γ2(m + 1

2

Γ(m)Γ(m + 1)< 1

Amplificam ultima relatie cu m+ 12

msi deducem

1 <m + 1

2

m

Γ2(m + 12

Γ(m)Γ(m + 1)<

m + 12

m.

Folosind din nou (1.56), deducem

limm→+∞

(m +1

2)

(Γ(m + 1

2)

Γ(m + 1)

)2

= 1 (1.66)

relatie din care se obtine

Γ(m + 12)

Γ(m + 1)=

1

m!(m− 1

2)(m− 3

2) . . .

1

2Γ(

1

2) =

1 3 . . . (2m− 1)

m!2m

√π =

=2m!

22m(m!)2

√π.

Inlocuind ın (1.66), deducem

limm→+∞

(m + 12)((2m)!)2π

(22m(m!)2)2= 1

de unde rezulta imediat ( ??).


Teorema 1.5.7 (Formula lui Stirling) Urmatoarea formula este adevarata

n! =√

2πnn+ 12 e−n+ωn , 0 < ωn <

1

12n(1.67)

Demonstratie Are evident loc

ln n! =n∑

k=2

ln k

iar ln k poate fi aproximat, dupa cum rezulta din figura

ln k =

∫ k

k−1

ln xdx +1

2(ln k − ln(k − 1))− εk (1.68)

unde εk =∫ k

k−1ln xdx − 1

2(ln k + ln(k − 1)). In relatia (1.68) paranteza rotunda

semnifica aria triunghiului dreptunhgic ABC, iar ın definitia lui εk, parantezareprezinta aria trapezului ABB′A′. Sa evaluam εk

εk = (x ln x− x)∣∣kk−1 −

1

2ln k(k − 1) = (k − 1

2) (ln k − ln(k − 1))− 1

Un calcul simplu ne arata ca

εk =2k − 1

2

(ln(1 +

1

2k − 1)− ln(1− 1

2k − 1)

)− 1

si daca folosim dezvoltarea ın serie a logaritmului, deoarece | 12k±1

|< 1 obtinem

εk =2k − 1

22

(1

2k − 1+

1

3(2k − 1)3+ . . .

1

(2m + 1)(2k − 1)2m+1. . .

)− 1 =

=1

3(2k − 1)2+

1

5(2k − 1)4+ . . .

1

(2m− 1)(2k − 1)2m+ . . . <

<1

3(2k − 1)2

(1 +

1

(2k − 1)2+

1

(2k − 1)4+ . . .

)=

=1

3(2k − 1)2

1

1− 1(2k−1)2

=1

12k(k − 1).


Deoarece εk < 112k(k−1)

, rezulta ca seria cu termenul general εk este convergenta,

deci exista α =+∞∑

k=2

εk. Rezulta

α− ωn :=n∑

k=2

εk =+∞∑

k=2

εk −+∞∑

k=n+1

εk.

Sa observam ca expresia notata mai sus prin ωn satisface

0 < ωn <

∞∑

k=n+1

1

k(k − 1)=

1

12n.

Sumand dupa k relatia (1.68) gasim

ln n! = (n +1

2) ln n− n + 1− α + ωn

si notam ln C = 1− α. Din relatia precedenta deducem prin inversare

n! = Cnn+ 12 exp−n+ωn (1.69)

Pentru determinarea constantei C, ınlocuim ın formula lui Wallis

π

2= lim

n→+∞24nC4n2(2n+1)e−4n+4ωn

c2(2n)4n+1e−4n+ω4n(2n + 1)= lim

n→+∞c2n

2(2n + 1)=

c2

4

de unde rezulta C =√

2π

O consecinta a acestei formule, de mare importanta pentru calculul probabilitatilor,este urmatoarea teorema care aproximeaza formula termenului general al binomu-lui lui Newton din dezvoltarea (p + q)n, p + q = 1 p > 0, q > 0 cu o functieexponentiala, pentru valori foarte mari ale lui n.

Teorema 1.5.8 (Teorema Moivre-Laplace) Daca p, q > 0, p + q + 1, atunci

limn→+∞

Cknpkqn−k = lim

n→+∞1√

2πnpqe−

(k−np)2

2npq . (1.70)

Demonstratie Notam x = k − np, de unde n − k = nq − x si aproximamfactorialele cu formula lui Stirling. Avem

Cknpkqn−k =

n!

k!(n− k)!px+npqnq−x =


=

√2πn(n+ 1

2)e(−n+ωn)

2πk(k+ 12)e(−k+ωk)(n− k)(−n+k+ 1

2)e(−n+k+ωn−k)

px+npqnq−x =

=eαn

√2π

√n

(x + np)(nq − x)(1 +

x

np)−x−np(1− x

nq)−nq+x,

unde αn tinde la 0, daca n → +∞. Notam cu N produsul ultimelor doua paran-teze si avem

Cknpkqn−k =

eαn

√2π

√n

(x + np)(nq − x)N. (1.71)

Deoarece pentru n suficient de mare au loc majorarile |x|np

< 1, |x|nq

< 1, utilizanddezvoltarea ın serie a logaritmului avem

ln N = (−np− x) ln(1 +x

np) + (−nq + x) ln(1− x

nq) =

= (−np+x)(x

np− x2

2n2p2+. . .)+(−nq+x)(

x

nq− x2

2n2q2−. . .) = − x2

2npq+O(

1

n2).

Deducem caN = e

x2

2npq +O(1

n2).

Inlocuind ın (1.71) si trecand la limita, deducem afirmatia

Teorema 1.5.9 (Formula lui Gauss)

Γ(p) = limn→+∞

n!np

p(p + 1) . . . (p + n)(1.72)

Demonstratie Are loc e−x = limn→+∞

(1− t

n)n . Sa evaluam urmatoarea integrala

folosind integrarea prin parti.∫ n

0

(1− x

n)nxp−1dx = (1− x

n)n xp

p|n0 −

n

p(− 1

n)

∫ n

0

(1− x

n)n−1xpdx =

=n

p

1

n

∫ n

0

(1− x

n)n−1xpdx = . . . =

n!

p(p + 1) . . . (p + n− 1

1

nn

∫ n

0

xp+n−1dx =

=n!np

p(p + 1) . . . (p + n)

Se poate demonstra ca

Γ(p) =

∫ +∞

0

xp−1e−xdx = limn→+∞

∫ n

0

(1− x

n)nxp−1dx

si folosind rezultatul precedent, deducem (1.72).


Teorema 1.5.10 (Formula complementelor ) Daca p ∈ (0, 1) atunci are loc

Γ(p)Γ(1− p) =π

sin πp(1.73)

Demonstratie Inlocuim ın formula lui Gauss si gasim

Γ(p)Γ(1− p) = limn→+∞

n!npn!n1−p

p(p + 1) . . . (p + n)(1− p)(2− p) . . . (n + 1− p)=

limn→+∞

n(n!)2

(n + p− 1)p(1− p2) . . . (n2 − p2)= lim

n→+∞1

p(1− p2)(1− p2

22 ) . . . (1− p2

n2 ).

Vom folosi dezvoltarea functiei sinus ın produs infinit [ ]

sin x = x

∞∏n=1

(1− x2

n2π2

ın care daca facem schimbarea x = πp, gasim exact relatia precedenta

Capitolul 2

Ecuatii diferentiale

2.1 Ecuatia diferentiala de ordinul 1

Forma generala e unei ecuatii diferentiale ordinare de ordinul 1 este

y′(x) = f(x, y) (2.1)

unde x este variabila independenta, y = y(x), x ∈ (a, b) este functia necunos-

cuta, y′(x) =dy

dxeste derivata, iar f : D → R, D ⊂ R2 este o functie continua.

Definitia 2.1.1 Numim solutie a ecuatei (2.1) functia y : (a, b) → R, y = y(x)derivabila pe (a, b) care verifica identic ecuatia (2.1), adica

y′(x) = f(x, y(x)), x ∈ (a, b).

Interpretare geometrica Solutia este o curba ın planul x0y, avand ın fiecarepunct tangenta care variaza continuu in raport cu punctul. Curba se numestecurba integrala si poate fi data cartezian explicit, adica y = y(x) sau cartezianimplicit adica F (x, y) = C. Multimea tuturor curbelor solutie se numeste solutiegenerala.Exemplu Pentru ecuatia

y′ = −y

x

functia y(x) =c

x, c ∈ R este solutia generala, ceea ce se verifica imediat.

Daca nu putem gasi solutia exacta a unei ecuatii, este posibil sa rezolvam graficecuatia punand ın evidenta campul directiilor.

47

48 CAPITOLUL 2. ECUATII DIFERENTIALE

O solutie particulara poate fi determinata prin impunerea unor conditii, de exem-plu conditii initiale de forma

y(x0) = y0, x0 ∈ (a, b). (2.2)

Numim problema Cauchy determinarea unei solutii a ecuatiei (2.1) care satis-face o conditie de forma (2.2). Geometric, aceasta revine la determinarea uneicurbe integrale care sa teaca printr-un punct dat (x0, y0). Vom stabili o teorema deexistenta si unicitate , ın anumite ipoteze asupra lui f a solutiei problemei Cauchy,pe o vecinatate ın jurul lui x0.

Metode elementare de rezolvare

Urmatoarele tipuri de ecuatii clasice admit solutie exprimabila prin formule ıncare intervin integrale si care se numesc ecuatii integrabile prin cuadraturi.

1. Ecuatii de forma y′(x) = f(x)

Consideram problema Cauchy de forma{

y′(x) = f(x)y(x0) = y0

(2.3)

unde x ∈ (a, b) si f este o functie continua pe (a, b). Solutia problemei Cauchyeste de forma

y(x) = y0 +

∫ x

x0

f(t)dt. (2.4)

2. Ecuatii cu variabile separabile

Consideram problema Cauchy de forma{

y′(x) = f(x)g(y)y(x0) = y0

(2.5)

unde x ∈ (a, b) si f este o functie continua pe (a, b) iar g este o functie continuasi nenula pe (c, d).Solutia problemei Cauchy este de forma

y(x) = G−1(

∫ x

x0

f(t)dt). (2.6)

Intr-adevar daca scriem ecuatia sub forma

2.1. ECUATIA DIFERENTIALA DE ORDINUL 1 49

dy

g(y)= f(x)dx

si integram de la xo la x avem

∫ x

x0

f(t)dt =

∫ y(x)

y0

dt

g(t)dt.

Functia

G(y) =

∫ y

y0

dt

g(t)dt

este monotona deoarece G′(y) =1

g(y)are semn constant din ipoteza; fiind con-

tinua rezulta si inversabila, deci formula (2.6) rezulta adevarata.

Exemplu Sa rezolvam ecuatia

{y′(x) = x2y2

1+x2

y(0) = 1

Separam variabilele si gasim

dy

y2=

x2dx

1 + x2.

Prin integrare obtinem

−1

y= x− arctan x + c.

Punand conditia Cauchy y(0) = 1 gasim c = −1 si solutia este

y(x) =1

arctan x− x + 1.

3. Ecuatia omogena

Consideram ecuatia

y′(x) = h(y

x) (2.7)

unde h este o functie continua pe un interval (c, d). facem schimbarea de functie

y

x= u(x)


si prin derivare gasim y′ = u(x)+xu′(x), de unde daca ınlocuim ın ecuatie gasim

xu′(x) = h(u)− u

care este o ecuatie cu variabile separabile.

Exemplu Sa rezolvam ecuata

y′ =xy

x2 − y2.

Observam ca poate fi pusa sub forma

y′ =yx

1− ( yx)2

.

Prin substitutia y = xu(x) gasim

u + xxu′ =u

1− u2

si ajungem la ecuatia cu variabile separabile

xu′ =u3

1− u2.

Prin rezolvarea ei gasim curbele

ln | cy |= − x2

2y2.

4. Ecuatii reductibile la cazul omogen

Consideram ecuatia

y′ =ax + by + c

a1x + b1y + c1

(2.8)

unde a, b, c, a1, b1, c1 ∈ R. Daca c = c1 = 0 atunci ecuatia este omogena. Dacacel putin c sau c1 este diferit de 0, atunci facem schimbarea de variabile

{x = x1 + hy = y1 + k

(2.9)

Se obtine imediat

y′ =ax1 + by1 + ah + bk + c

a1x1 + b1y1 + a1h + b1k + c1

.


Cazul I Presupunem ca ∣∣∣∣a ba1 b1

∣∣∣∣ 6= 0. (2.10)

Atunci sistemul {ah + bk + c = 0

a1h + b1k + c1 = 0

are solutie unica. Alegand h, k solutii ale acestui sistem si facand schimbarea(2.9) obtinem ecuatia omogena

y′1 =ax1 + by1

a1x1 + b1y1

. (2.11)

Cazul II Presupunem ca ∣∣∣∣a ba1 b1

∣∣∣∣ = 0. (2.12)

Atuncia

a1

=b

b1

=1

λ.

Alegand a1 = λa, b1 = λb obtinem ecuatia

y′ =ax + by + c

λ(ax + by) + c1

(2.13)

si facand substitutia z = ax + by obtinem ecuatia cu variabile separabile

z′ − a

b=

z + c

λz + c1

.

5. Ecuatii cu diferentiala totala exacta

Fie ecuatia

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.14)

unde P, Q : D → R, D ⊂ R2 sunt functii continue. Presupunem ca Pdx + Qdyeste diferentiala totala exacta. Atunci exista o functie de clasa C1(D) astfel cadF (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Atunci solutia generala este

F (x, y) = C, C ∈ R. (2.15)

Metoda factorului integrant


Daca Pdx + Qdy nu este diferentiala totala exacta si presupunem ca suntem peun domeniu simplu conex, ınmultim ecuatia cu functia µ ; ecuatia devine

µP (x, y)dx + µQ(x, y)dy = 0.

si punem conditia ca

∂(µP )

∂y=

∂(µQ)

∂x.

Deducem ecuatia

∂(Q)

∂x− ∂(P )

∂y= P

∂ ln µ

∂y−Q

∂ ln µ

∂x(2.16)

orice functie µ care satisface ecuatia (2.16) se numeste factor integrant.

Caz particular I µ depinde doar de y; atunci∂ ln µ

∂x= 0 si prin integrarea

ecuatiei∂ ln µ

∂y=

∂Q∂x− ∂P

∂y

P.

se gaseste factorul integrant.

Caz particular II µ depinde doar de x, atunci prin analogie factorul integrant segaseste ca solutie a ecuatiei

∂ ln µ

∂x= −

∂Q∂x− ∂P

∂y

Q.

Exemplu Sa integram ecuatia

(y + xy2)dx− xdy = 0.

Observam ca∂P

∂y= 1 + 2xy 6= −1 =

∂Q

∂x.

Cautam un factor integrant care depinde doar de y,

∂ ln µ

∂y=−2(1 + xy)

y(1 + xy).

Prin integrare gasim µ =1

y2, iar solutia ecuatiei este

x

y+

x2

2= C.


6. Ecuatia diferentiala liniara

Consideram problema Cauchy care reprezinta determinarea solutiei ecuatiei

y′ + P (x)y = Q(x) (2.17)

care satisface conditia initialay(x0) = y0. (2.18)

Amplificam ecuatia cu factorul integrant

µ = eR x

x0P (t)dt (2.19)

si observam ca se obtine

d

dx

(yeR x

x0P (t)dt

)= Q(x)e

R xx0

P (t)dt.

Integrand pe intervalul de extremitati x, x0 gasim

y(x) =

(y0 +

∫ x

x0

Q(t)eR t

x0P (u)du

)e− R x

x0P (t)dt

. (2.20)

Functia definita de (2.20) satisface y(x0) = y0. Se desprind urmatoarele etape ınrezolvarea unei ecuatii liniare de forma mai generala

a(x)y′ + b(x)y = c(x).

Pas 1. Impartim prin a(x) si gasim ecuatia

y′ + P (x)y = Q(x).

Pas 2. Determinam factorul integrant

µ = eR

P (x)dx

Pas 3. Obtinem ecuatia

d(µy)

dx= µQ(x).

Pas 4. Deducemµy =

∫µQ(x)dx + C

Pas 5. Solutia generala este de forma

y(x) = µ(x)−1(

∫µQ(x)dx + C).


Pas 6. Determinam C din conditia y(x0) = y0.Exemplu Sa rezolvam problema Cauchy

cos x y′ + y = sin x, y(0) = 2.

Pas 1. Ecuatia devine

y′ +1

cos xy = tan x.

Pas 2. Factorulul integrant este

µ = eR

dxcos x =

1 + sin x

cos x.

Pas 3. Obtinem ecuatia

d(1+sin xcos x

y)

dx=

1 + sin x

cos xtan x.

Pas 4. Deducem

1 + sin x

cos xy =

∫1 + sin x

cos xtan xdx = tan x− x + C.

Pas 5. Solutia generala este

y(x) =cos x

1 + sin x

(1 + sin x

cos x− x + C

).

Pas 6. Deducem constanta C = 1.

7. Ecuatia diferentiala Bernoulli

Forma generala este

y′ + P (x)y = Q(x) yα, α ∈ R (2.21)

Pentru unele cazuri particulare ale lui α se obtin cazuri de ecuatii deja studiate. Ingeneral ımpartim prin yα si obtinem

y′

yα+ P (x)y1−α = Q(x).

Facem substitutia

z(x) = y(x)1−α (2.22)

2.2. ECUATIA DIFERENTIALA DE ORDINUL N 55

si obtinem imediat ecuatia liniara

z′ + (1− α)P (x)z = (1− α)Q(x).

Exemplu Sa rezolvam ecuatia

y′ +x

1− x2y = x

√y.

Facem substitutia z =√

y si gasim ecuatia liniara

z′ +x

2(1− x2)=

x

2

cu solutia

z = (1− x2)14 (−1

3(1− x2)

34 + C),

de unde √y = −1

3(1− x2) + C(1− x2)

14 .

2.2 Ecuatia diferentiala de ordinul n

Fie ecuatia diferentiala de forma

y(n)(x) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)), x ∈ (a, b) ⊂ R (2.23)

unde f : D → R, D ⊂ Rn+1 este o functie continua. Ea se va numi ecuatiediferentiala de ordinul n, deoarece antreneaza derivata de ordinul n a functieinecunoscute. Solutia generala este de forma

y = y(x, c1, c2, . . . , cn), c1, . . . , cn ∈ R. (2.24)

Se poate demonstra o teorema de existenta si unicitate a problemei Cauchy carepresupune determinarea unei solutii a ecuatiei (2.23) care satisface conditiile initialeurmatoare

y(x0) = y0

y′(x0) = y0,1

. . .y(n−1)(x0) = y0,n−1

(2.25)

unde x0 ∈ (a, b) iar y0, y0,1 . . . , y0,n−1 ∈ R sunt constante fixate.

Indicam cateva cazuri particulare de ecuatii.


I. Ecuatii de forma y(n) = f(x)

Sa determinam functia y derivabila de n ori care satisface ecuatia

y(n) = f(x), x ∈ (a, b) (2.26)

unde f este o functie continua. Fie x0 ∈ (a, b); evident din teorema primitiveiunei functii continue avem

y(n−1)(x) =

∫ x

x0

f(t1)dt1 + c1

Integrand din nou gasim

y(n−2)(x) =

∫ x

x0

∫ t2

x0

f(t1)dt1dt2 + c1(x− x0) + c2

si procedeul continua.

II. Ecuatii de forma y(n) = f(x, y(n−1))

Consideram ecuatia de forma

y(n) = f(x, y(n−1)), x ∈ (a, b) (2.27)

unde f este o functie continua, care nu depinde explicit de y. Facem substitutia

y(n−1) = p (2.28)

si ecuatia devine

dp

dx= f(x, p). (2.29)

Prin integrare obtinem p si reducem la rezolvarea unei ecuatii de tipul (2.26).Exemplu Sa rezolvam ecuatia

y′′ =√

1 + (y′)2.

Notamy′ = p

si ecuatia devinep′ =

√1 + p2

care este cu variabile separabile, iar prin integrare se obtine

ln(p +√

1 + p2 = x + c1.


de unde gasim

p =1

2

(ex+c1 − e−(x+c1)

).

Solutia problemei este

y =1

2

(ex+c1 + e−(x+c1)

).

III. Ecuatii de forma y(n) = f(y, . . . , y(n−1))

Consideram ecuatia de forma

y(n) = f(y, . . . , y(n−1)), x ∈ (a, b) (2.30)

unde f este o functie continua, care nu depinde explicit de x. Facem substitutia

y′ = p (2.31)

si obtinem o ecuatie diferentiala ın functia p de variabila independenta y.Exemplu Sa rezolvam ecuatia

y′′ = y.

IV. Ecuatia diferentiala liniara de ordin n

Forma generala a ecuatiei liniare este

y(n) + a1(x)y(n−1) + . . . + an(x)y = f(x), x ∈ (a, b) ⊂ R (2.32)

unde ai, i = 1, . . . , n si f sunt functii continue. Daca f(x) = 0, ∀x ∈ (a, b)atunci ecuatia se numeste liniara omogena si este de forma

y(n) + a1(x)y(n−1) + . . . + an(x)y = 0 (2.33)

In caz contrar neomogena.

Teorema 2.2.1 Multimea solutiilor ecuatiei diferentiale liniare de ordin n omogenaeste subspatiu liniar ın spatiul liniar al functiilor de clasa Cn(a, b).

Demonstratie Este suficient sa consideram doua solutii y1, y2 si doua constanteλ1, λ2. Rezulta imediat ca λ1y1 + λ2y2 este o solutie

Dat fiind acest rezultat ne punem problema sa gasim o baza ın spatiul solutiilorsi ın felul acesta sa deducem forma generala a tuturor solutiilor. Pentru aceastaintroducem notiunea de determinant wronskian, cu ajutorul caruia vom caracterizaliniara independenta.


Definitia 2.2.1 Fie y1, . . . , yn solutii ale ecuatiei omogene (2.33), numim wron-skian determinantul notat W

W (x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 . . . yn

y′1 . . . y′n. . . . . . . . .

y(n−1)1 . . . y

(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣(2.34)

Teorema 2.2.2 Pentru orice x0 ∈ (a, b) are loc

W (x) = W (x0)e− R x

x0a1(t)dt

, ∀x ∈ (a, b). (2.35)

Demontratie Nu vom arata ın general, ci ın cazul n = 2. Fie y1, y2 doua solutiiale ecuatiei omogene de ordin 2; au loc atunci

y′′1 + a1(x)y′1 + a2(x)y1 = 0

y′′2 + a1(x)y′2 + a2(x)y2 = 0

Amplificam prima ecuatie cu y2 si a doua cu y1 si le scadem. Obtinem atunci

y′′1y2 − y1y′′2 + a1(y

′1y2 − y1y

′2) = 0

ceea ce este sub forma echivalenta

W ′(x) + a1W (x) = 0.

Prin rezolvarea ecuatiei diferentiale obtinute avem

W (x) = Ce− R x

x0a1(t)dt

.

Punand conditia W (x0) = C gasim afirmatia

Observatie Se constata ca daca wronskianul se anuleaza ıntr-un punct, atuncieste identic nul.

Teorema 2.2.3 Daca y1, . . . , yn sunt solutii ale ecuatiei liniare omogene. y1, . . . , yn

sunt liniar independente daca si numai daca

W (x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b).


Demontratie Vom demonstra doar o implicatie si anume ca daca wronskianuleste nenul, atunci solutiile sunt liniar independente. Fie o combinatie liniara asolutiilor y1, . . . , yn de forma

c1y1(x) + . . . + cnyn(x) = 0

sa aratam ca toate constantele sunt identic 0. Derivam de n − 1 ori combinatialiniara si obtinem

c1y1(x) + . . . + cnyn(x) = 0c1y

′1(x) + . . . + cny′n(x) = 0

. . . . . . . . .

c1y(n−1)1 (x) + . . . + cny

(n−1)n (x) = 0

si obtinem un sistem liniar omogen cu necunoscutele c1, . . . , cn care are deter-minantul nenul, deci numai solutia banala. Afirmatia cealalta rezulta asemanator

Observatie Daca y1, . . . , yn sunt solutii ale ecuatiei liniare omogene, atunci elesunt liniar dependente daca si numai daca

W (x) = 0,

dupa cum rezulta din teorema precedenta.

Citam urmatoarea teorema, fara a o demonstra, deoarece ar fi necesara o bazateoretica mai avansata, fata de nivelul prezentului curs.

Teorema 2.2.4 Multimea solutiilor unei ecuatii diferentiale liniare omogene deordin n este un spatiu liniar de dimensiune n. Orice solutie este de forma

y(x) = c1y1(x) + · · ·+ cnyn(x), c1, . . . , cn ∈ R. (2.36)

2.2.1 Ecuatia si functiile BesselConsideram ecuatia diferentiala liniara omogena de ordinul 2.

x2y′′(x) + xy′(x) + (x2 − ν2)y(x) = 0, (2.37)

care se numeste ecuatia Bessel de indice ν cu ν ∈ R.Cautam solutii de forma unei serii de puteri

y(x) =∞∑

k=0

ckxr+k, r ∈ R, c0 6= 0. (2.38)


Derivam de doua ori

y′(x) =∞∑

k=0

(r + k)ckxr+k−1

y′′(x) =∞∑

k=0

(r + k)(r + k − 1)ckxr+k−2

si ınlocuind ın (1.2.1) deducem

∞∑

k=0

(r + k)(r + k − 1)ckxr+k +

∞∑

k=0

(r + k)ckxr+k + (x2 − ν2)

∞∑

k=0

ckxr+k = 0.

Regrupand termenii se obtine

∞∑

k=0

((r + k)2 − ν2)ckxr+k = −

∞∑

k=0

ckxr+k−2 = −

∞∑

k=2

ck−2zr+k.

Prin identificare gasim

(r2 − ν2)c0 = 0, c0 6= 0, (2.39)

de unde deducem r = ±ν; apoi

((r + 1)2 − ν2)c1 = 0, (2.40)

unde c1 = 0, pentru ν 6= ±12; mai avem si

((r + k)2 − ν2)ck = −ck−2, k > 2. (2.41)

Fixam r = ν > 0; din (2.41) si (2.40), avem

c2k+1 = 04k(ν + k)c2k = −c2k−2

.

Dam valori lui k4(ν + 1)c2 = −c0

4 · 2(ν + 2)c4 = −c2

. . .4 · k(ν + k)c2k = −c2k−2

si ın multim egalitatile; atunci

c2k =(−1)kc0

22kk!(ν + 1) . . . (ν + k)=

(−1)c0Γ(ν + 1)

22kk!Γ(ν + k + 1),


daca folosim relatia de recurenta a functiilor Γ; putem alege c0 astfel ca c0Γ(ν +1)2ν = 1, solutia este de forma

Jν(x) =+∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(ν + k + 1)

(x

2

)ν+2k

(2.42)

si se numeste functie Bessel de prima speta si ordin ν. Functia Bessel este oserie de puteri convergenta pe R si deci uniform convergenta pe orice compact.Functiile Bessel pot fi prelungite la multimea numerelor complexeC. Daca ν ∈ Z,atunci functia

Jν(z) =+∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(ν + k + 1)

(z

2

)ν+2k

este olomorfa pe C. In general, daca ν ∈ R functia Bessel este definita pe C \(−∞, 0), adica pentru z cu proprietatea−π < arg z < π, pentru a sigura definitiacorecta a functiei putere.Inlocuind ν cu −ν, obtnem J−ν solutie a ecuatiei Bessel. Pentru n = 0 avem

J0(x) =∞∑

k=0

(−1)k 1

(k!)2

(x

2

)2k

,

Teorema 2.2.5 Daca ν /∈ Z, solutia generala e ecuatiei (2.37) este

y(x) = c1Jν(x) + c2J−ν(x), c1, c2 ∈ R. (2.43)

Demonstratie Deoarece Jν , J−ν sunt solutii ale ecuatiei,

x2J ′′ν + xJ ′ν + (x2 − ν2)Jν = 0

x2J ′′−ν + xJ ′−ν + (x2 − ν2)J−ν = 0

Inmultim prima ecuatie cu −J−ν , a doua cu Jν si le adunam. Obtinem

x2(JνJ′′−ν − J−νJ

′′ν ) + x(JνJ

′−ν − J−νJ

′ν) = 0.

Fie W wronskianul functiilor Jν ,J−ν , adica

W (x) = W [Jν(x),J−ν(x)] =

∣∣∣∣Jν J−ν

J ′ν J ′−ν

∣∣∣∣ .

Atunci ultima ecuatie devine


x2W ′(x) + xW (x) = 0,

de unde deducem W (x) = kx, k ∈ R. Pentru a determina constanta k, vom calcula

coeficientul termenului 1x

din dezvoltarea lui W . Observam ca acesta se obtinenumai din ınmultirea primilor termeni, deci

W (x) = −2ν

2Γ(ν + 1)Γ(1− ν)

(x

2

)−1

=−2ν

νΓ(ν)Γ(1− ν)

1

x.

Din formula complementelor Γ(ν)Γ(1− ν) = πsin πν

, deducem

W (x) = −2 sin πν

πx.

Daca ν /∈ Z, rezulta ca W (x) 6= 0; urmeaza ca functiile sunt independente siteorema este demonstrata.

Exemplul 2.2.1 Sa determinam solutia corespunzatoare ecuatiei

z2y′′(x) + xy′(x) + (x2 − 1

4)y(x) = 0.

Solutie. Observam ca ν = ±12, deci din teorema

y(x) = c1J 12

+ c2J− 12.

Calculam functiile Bessel corespunzatoare.

J 12

=∞∑

k=0

(−1)k

Γ(k + 1)Γ(32

+ k)

(x

2

)2k+ 12

=∞∑

k=0

(−1)k

k!(2k + 1) . . . 5 · 3 · 1Γ(12)

(x

2

)2k+ 12

=

=∞∑

k=0

(−1)k2k+1x2k+1 1√x

k!(2k + 1) · · · 3 · 1√π22k+1− 12

=

√2

πx

∞∑

k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!.

Ultima serie reprezinta dezvoltarea functiei sinus; asadar

J 12

=

√2

πxsin x.

Avem analog,

J− 12

=∞∑

k=0

(−1)k

Γ(k + 1)Γ(12

+ k)

(x

2

)2k− 12

=∞∑

k=0

(−1)k2kx2k√

2

k!1 · 3 . . . (2k − 1)√

π22k√

x=


=

√2

πx

∞∑

k=0

(−1)kx2k

(2k)!=

√2

πxcos x.

Solutia ecuatiei este deci

y(c) =

√2

πx(c1 sin x + c2 cos x).

Exemplul 2.2.2 Sa calculam integrala

∫ +∞

0

e−a2xJ0(√

kx)dx, k > 0.

Solutie. Avem

J0(x) =+∞∑n=0

(−1)nx2n

22n(n!)2

de unde

J0(√

kx) =+∞∑n=0

(−1)nknxn

(n!)222n

Inmultim cu e−a2x si integram

∫ +∞

0

e−a2xJ0(√

kx)dx =+∞∑n=0

(−1)nkn

(n!)222n

∫ +∞

0

e−a2xxndx

Facem schimbarea t = a2x, reducem la o integrala Γ si obtinem

+∞∑n=0

(−1)nknn!

(n!)222na2(n+1)=

1

a2

+∞∑n=0

(−1)n

n!

(k

4a2

)n

=1

a2e−

k4a2 .

Exemplul 2.2.3 Sa aratam ca are loc

J−n(x) = (−1)nJn(x) (2.44)

Solutie Daca ν = n ∈ N, atunci functia Bessel corespunzatoare este

J−n(x) ==∞∑

k=0

(−1)k

Γ(k + 1)Γ(−n + k + 1)

(x

2

)2k−n

=


=∞∑

k=n

(−1)k

Γ(k + 1)Γ(−n + k + 1)

(x

2

)2k−n

=

=∞∑

m=0

(−1)n+m

Γ(n + m + 1)Γ(m + 1)

(x

2

)2m+n

= (−1)nJn(x).

In egalitatile anterioare s-a folosit faptul ca Γ(k − n + 1) = ∞ pentru k =0, 1, . . . , n−1, afirmatie care poate fi dovedita prin prelungirea functiei Γ la dome-niul complex.Observatie. Din formula de mai sus deducem ca Jn, J−n nu sunt liniar indepen-dente, deci pentru rezolvarea ecuatiilor Bessel de ordin ıntreg nu este suficientafunctia Bessel.

Pentru a generaliza teorema precedenta se pune problema sa gasim o noua functie,care sa fie independenta de functia Bessel de speta ıntai, cu ajutorul careia saexprimam solutia generala. Consideram functia de forma

Nν(x) =Jν(x) cos νπ − J−ν(x)

sin νπ(2.45)

care se numeste functia Bessel de speta a doua si ordin ν sau functia lui Neumann.Sa calculam Nn, n ∈ N.

Nn(x) = limν→n

Nν(x) = limν→n

∂∂ν

Jν(x) cos νπ − π sin νπJ−ν(x)− ∂∂ν

(J−ν)

π cos νπ=

=1

π

∂Jν(x)

∂ν|ν=n − (−1)n ∂J−ν

∂ν|ν=n.

Teorema 2.2.6 Solutia generala e ecuatiei (2.37) este

y(x) = c1Jν(x) + c2Nν(x). (2.46)

Demonstratie. Obtinem imediat acest rezultat, daca observam ca Jν(x) si Nν(x)au wronskianul

W [Jν(x),Nν(x)] = W [Jν(x),−J−ν(x)

sin νπ] =

2

πx.

Observatie Daca ν ∈ Z, obtinem acum, din teorema precedenta solutia generalaexprimata ca o combinatie dintre functiile Bessel si Neumann.

Urmatoarea teorema da informatii asupra comportarii la limita a functiilor Neu-mann.


Teorema 2.2.7 Fie n > 0 si Nn(x) functia Neumann asociata. Atunci exista sisunt finite limitele

a) limx→0,x>0N0(x)ln x

b) limx→0,x>0 xnNn(x)

In particular

limx→0,x>0

|Nn(x)| = ∞.

Demonstratie Folosind considerentele de mai sus

W [Jn(x),Nn(x)] = Jn(x)N ′n(x)− J ′

n(x)Nn(x) =2

πx,

de unde(Nn(x)

Jn(x)

)′=

2

xJn(x)2.

Prin integrare avem

Nn(x)

Jn(x)= cn +

∫ x

an

2

tJn(t)2.

Daca mai observam ca functiia Bessel poate fi scrisa sub forma

Jn(x) =xn

2nn!(1 + xϕn(x)), lim

x→0ϕn(x) = 0,

rezulta afirmatiile teoremei. Functiile Bessel se speta a III-aAceste functii se mai numesc si functiile lui Hankel si sunt prezentate mai jos.Functiile Hankel de speta I

H(1)ν (x) = Jν(x) + j Nν(x) ∀ν ∈ R. (2.47)

Functiile Hankel de speta II

H(2)ν (x) = Jν(x)− j Nν(x) ∀ν ∈ R. (2.48)

Evident ca si aceste functii sunt solutii ale ecuatiei Bessel, satisfac H(1)ν (x) =

H(2)ν (x) si are loc urmatoarea teorema.

Teorema 2.2.8 Solutia generala a ecuatiei Bessel este

y(x) = a1Jν(x) + b1H(1)ν (x) = a2Jν(x) + b2H(2)

ν (x) = a3H(1)ν (x) + b3H(2)

ν (x).(2.49)


Exemplul 2.2.4 Sa se demonstreze

H(1)ν (x) = j e−jνπJν(x)−J−ν(x)

sin νπH(2)

ν (x) = −j ejνπJν(x)−J−ν(x)sin νπ

H(1)−ν(x) = ejνπH(1)

ν (x) H(2)−ν(x) = e−jνπH(2)

ν (x)

H(1)12

(x) = −j√

2πx

eix H(2)12

(x) = j√

2πx

e−ix

H(1)

− 12

(x) =√

2πx

eix H(2)

− 12

(x) =√

2πx

e−ix.

Solutie. Sa demonstram prima.

H(1)ν (x) = Jν(x) + j

Jν(x) cos νπ − J−ν(x)

sin νπ=

=Jν(x)(sin νπ + j cos νπ)− jJ−ν(x)

sin νπ= j

e−jνπJν(x)− J−ν(x)

sin νπ.

Restul se demonstreaza asemanator, folosind definitia functiei Neumann si Exem-plul (2.2.1).

Functiile Bessel modificate ( cu argument imaginar)

In ecuatia Bessel

x2y′′(x) + xy′(x) + (x2 − ν2)y(x) = 0,

facem schimbarea de variabila x = jt si de functie u(t) = y(jt). Avem evidentu′(t) = jy′(x), u′′(t) = j2y′′(x), iar ecuatia devine

j2t2y′′(x) + tu′(x) + (j2t2 − ν2)y(x) = 0,

ceea ce este echivalent cu

t2u′′(t) + tu′(t)− (t2 + ν2)u(t) = 0. (2.50)

Ecuatia (2.50) se numste ecuatie Bessel modificata. Atunci una din solutii este

Jν(jt) =∞∑

k=0

(−1)k

k!Γ(ν + k + 1)

(jt

2

)2k+ν

= jν

∞∑

k=0

1

k!Γ(ν + k + 1)

(t

2

)2k+ν

.

Definim o alta solutie a ecuatiei (2.50) prin formula

Iν(t) = e−jν π2Jν(jt). (2.51)


Se constata ca functia definita de (2.51) se poate pune sub forma

Iν(t) =∞∑

k=0

1

k!Γ(ν + k + 1)

(t

2

)2k+ν

. (2.52)

Se introduce de asemenea o solutie sub forma

Kν(t) =jπ

2e

iπν2 H(1)

ν (jt), (2.53)

care se numeste functie Kelvin.Functiile date de (2.51), (2.52) (2.53) se numesc functii Bessel modificate sau cuargument imaginar, sunt independente, iar solutia generala e ecuatiei modificatese poate pune sub forma

y(x) = c1Iν(x) + c2Kν(x). (2.54)

Exemplul 2.2.5 Sa determinam partea reala si cea imaginara a functiei Besselmodificate (Bessel real si Bessel imaginar) de ordin 0.

Solutie Are loc scrierea I0(xej π4 ) = ber x + j bei (x)

Inlocuim ın

J0(jxej π4 ) =

+∞∑

k=0

(−1)k

(k!)2j2ke(j π

42k)

(x

2

)2k

=+∞∑

k=0

jk

(k!)2

(x

2

)2k

ber x = 1− 1

(2!)2

(x

2

)4

+1

(4!)2

(x

2

)7

− · · · ,

bei x =1

1!

(x

2

)2

− 1

(3!)2

(x

2

)6

+1

(5!)2

(x

2

)10

− · · · .

2.2.2 Ecuatia diferentiala cu coeficienti constanti

Consideram ecuatia diferentiala liniara cu coeficienti constanti

y(n) + a1y(n−1) + . . . + any = f(x), x ∈ (a, b) ⊂ R (2.55)

unde f este o functie continua si fie ecuatia omogena asociata

y(n) + a1y(n−1) + . . . + any = 0. (2.56)


Cautam solutii de formay(x) = eλx.

Prin derivare si ınlocuire ın ecuatia omogena obtinem ecuatia care se numestecaracteristica

λn + a1λn−1 + . . . + an = 0. (2.57)

Vom presupune urmatoarele situatii asupra radacinilor ecuatiei.

I. Radacini reale distincte

Daca λ1, . . . , λn ∈ R distincte sunt radacinile ecuatiei caracteristice atunci functiileeλ1x, . . . , eλnx sunt liniar independente; acest lucru se constata imediat daca cal-culam wronskianul lor

W (X) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

eλ1x eλ2x . . . eλnx

λ1eλ1x λ2e

λ2x . . . λneλnx

. . . . . . . . . . . .λn−1

1 eλ1x λn−12 eλ2x . . . λn−1

n eλnx

∣∣∣∣∣∣∣∣=

= e(λ1+λ2+...+λn)x

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 . . . 1λ1 λ2 . . . λn

. . . . . . . . . . . .λn−1

1 λn−12 . . . λn−1

n

∣∣∣∣∣∣∣∣care este un determinant Vandermonde nenul.

In cazul I. forma generala a solutiei este

y(x) = c1eλ1x + . . . + cneλnx. (2.58)

II. Radacini reale multiple

Presupunem ca λ = α este o solutie a ecuatiei caracteristice cu ordinul de multi-plicitate r, atunci functiile

eαx, xeαx, . . . , xr−1eαx

sunt solutii ale ecuatiei omogene, liniar independente. Vom indica doar modal-itatea de a verifica ca daca α este radacina de ordinul r atunci functia xeαx estesolutie a ecuatiei. Polinomul caracteristic poate fi scris

λn + a1λn−1 + . . . + an = (λ− α)rQ(λ).


Prin derivare avem

nλ(n−1) + a1(n− 1)λ(n−2) + . . . + an−1 = r(λ− α)(r−1)Q(λ) + (λ− α)rQ′(λ).

Daca luam λ = α obtinem relatia

nα(n−1) + a1(n− 1)α(n−2) + . . . + an−1 = 0. (2.59)

Observam ca derivata de ordin m a functiei y(x) = xeαx este

y(m) = mα(m−1)eαx + xαmeαx

si ınlocuim ın ecuatie; gasim

(nα(n−1)eαx + αnxeαx) + a1((n− 1)α(n−2)eαx + αn−1xeαx) + . . . + anxeαx =

=((nα(n−1) + a1(n− 1)α(n−2) + . . . + an−1) + x(αn + a1α

n−1 + . . . + an))eαx = 0.

Ultima egalitate rezulta folosind relatia (2.59) si faptul ca α satisface ecuatia ca-racteristica.

Solutia generala va cuprinde ın cazul II. urmatoarea combinatie liniara

c1eαx + c2xeαx + . . . crx

r−1eαx, c1, c2, . . . , cr ∈ R (2.60)

III. Radacini complexe simple

Presupunem ca ecuatia caracteristica admite solutiile simple λ = α ± jβ. Atuncisolutia generala cuprinde termenii

c1eαx cos(βx) + c2e

αx sin(βx) (2.61)

Se poate demonstra ca functiile eαx cos(βx) si eαx sin(βx) sunt solutii ale ecuatiei(2.56) liniar independente.

IV. Radacini reale complexe multiplePresupunem ca ecuatia caracteristica admite solutiile λ = α ± jβ cu ordinul demultiplicitate s. Acestora le corespund 2s solutii linar independente

eαx cos(βx) eαx sin(βx)xeαx cos(βx) xeαx sin(βx)

. . . . . .xs−1eαx cos(βx) xs−1eαx sin(βx)


In forma generala a solutiei exista urmatoarea combinatie liniara

c1eαx cos(βx)+. . .+csx

s−1eαx cos(βx)+d1eαx sin(βx)+. . .+dsx

s−1eαx sin(βx).(2.62)

Solutia generala a ecuatei diferentiale omogene (2.56) este o combinatie liniaraa tuturor solutiilor obtinute ın situatiile precedente (2.58), (2.60), (2.61), (2.62).

Exemple Solutiile generale ale ecuatiilor1. y′′′ − 2y′′ − 5y′ + 6y = 02. y′′′ + 2y′′ + 4y′ = 03. y(4) + y′′ − 2y = 0.

sunt1. y(x) = c1e

x + c2e−2x + c3e

3x

2. y = c1 + (c2 + c3x)e−2x

3. y = c1ex + c2e

−x + c3 cos(√

2x) + c4 sin(√

2x).

Teorema 2.2.9 Solutia generala a ecuatiei diferentiale liniare (2.55) este

y(x) = c1y1(x) + . . . + cnyn(x) + yp (2.63)

unde y1, . . . , yn sunt solutii liniar independente ale ecuatiei omogene (2.56), iaryp este o solutie particulara.

Demonstratie Notam cu yom = c1y1(x)+. . .+cnyn(x) solutia ecuatiei omogene.Aratam ca (2.63) defineste o solutie a ecuatiei (2.55). Derivam si ınlocuim ınecuatie

y(n)om + y(n)

p + a1(y(n−1)om + y(n−1)

p ) + . . . + an(yom + yp) =

= (y(n)om + a1y

(n−1)om + . . . + anyom) + (y(n)

p + a1y(n−1)p + . . . + anyp) = 0 + f(x).

Pentru afirmatia generala e suficient sa aratam ca pentru orice x0 ∈ (a, b) si oricey0, y0,1, . . . y0,n−1 exista o curba de forma (2.63) care satisface

y(x0) = y0

. . .yn−1)(x0) = y0,n−1

Aceasta revine la determinarea constantelor c1, c2, . . . cn care satisfac sistemul


c1y1(x0) + . . . + cnyn(x0) + yp(x0) = y0

c1y′1(x0) + . . . + cny

′n(x0) + y′p(x0) = y0,1

. . . . . . . . .

c1y(n−1)1 (x0) + . . . + cny

(n−1)n (x0) + y

(n−1)p (x0) = y0,n−1

Deoarece sistemul de functii y1, . . . yn este fundamental, rezulta ca sistemul aresolutie unica, deoarece determinantul este chiar wronskianul

Determinarea unei solutii particulare

Metoda coeficientilor nedeterminati

I. Presupunem ca f contine un polinom de grad m; atunci solutia particularacontine un polinom de forma

A0 + A1x + . . . + Amxm. (2.64)

II. Presupunem ca f contine ceax, c ∈ R, iar a nu este radacina a ecuatiei carac-teristice; atunci solutia particulara contine

Aeax. (2.65)

III. Presupunem ca f contine ceax, c ∈ R, iar a este radacina a ecuatiei caracte-ristice cu ordinul de multiplicitate k; atunci solutia particulara contine

Axkeax. (2.66)

IV. Presupunem ca f contine P (x)eax, a nu este radacina a ecuatiei caracteristice,iar P este un polinom de gradul m; atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . . + Amxm)eax. (2.67)

V. Presupunem ca f contine P (x)eax, a este radacina a ecuatiei caracteristicecu ordinul de multiplicitate k, iar P este un polinom de gradul m; atunci solutiaparticulara contine

(A0 + A1x + . . . + Amxm)xkeax. (2.68)


VI. Presupunem ca f contine P (x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx), numarulcomplex a ± jb nu este radacina a ecuatiei caracteristice, iar P si Q sunt poli-noame de grad cel mult m; atunci solutia particulara contine

(A0 + A1x + . . . + Amxm)eax cos(bx) + (B0 + B1x + . . . + Bmxm)eax sin(bx).(2.69)

VII. Presupunem ca f contine P (x)eax cos(bx), sau Q(x)eax sin(bx) iar numarulcomplex a± jb este radacina a ecuatiei caracteristice cu ordinul de multiplicitatek, iar P si Q sunt polinoame de gradul m; atunci solutia particulara contine

(A0+A1x+ . . .+Amxm)xkeax cos(bx)+(B0+B1x+ . . .+Bmxm)xkeax sin(bx).(2.70)

In general solutia particulara este suma tuturor functiilor particulare din cazurileprecedente.Exemplu Ecuatia y′′′ − 5y′′ + 6y′ = x2 + sin x are radacinile caracteristice λ =0, λ = 2, λ = 3, solutia ecuatiei omogene este

y(x) = c1 + c2e2x + c3e

3x

iar solutia particulara o cautam de forma

yp(x) = x(A + Bx + Cx2) + D sin x + E cos x.

Prin identificare gasim A =19

108, B =

5

36, C =

1

18, D =

1

10, E = − 1

10


Metoda variatiei constantelor

Vom rezolva o ecuatie liniara de ordinul 2, cu coeficienti neconstanti, prin metodavariatiei constantelor. Fie ecuatia

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = f(x), x ∈ I ⊂ R (2.71)

unde f, a, b sunt functii continue pe intervalul I . Din teorie, solutia generala estede forma

y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) + yp(x)

unde y1, y2 sunt solutii liniar independente ale ecuatiei omogene, iar yp este osolutie particulara. Vom arata ca se pot determina doua functii c1(x), c2(x) astfelca solutia particulara sa fie de forma

yp(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) (2.72)

Derivam solutia particulara si obtinem

y′p(x) = c1(x)y′1(x) + c2(x)y′2(x) + c′1(x)y1(x) + c′2(x)y2(x) (2.73)

dupa care punem conditia

c′1(x)y1(x) + c′2(x)y2(x) = 0. (2.74)

Derivam y′p folosind conditia (2.74) si deducem

y′′p(x) = c1(x)y′′1(x) + c2(x)y′′2(x) + c′1(x)y′1(x) + c′2(x)y′2(x). (2.75)

Inlocuim ın ecuatie folosind (2.72), (2.73),(2.74), (2.75) si obtinem

c1(x)y′′1(x)+c2(x)y′′2(x)+c′1(x)y′1(x)+c′2(x)y′2(x)+a(x)(c1y′1+c2y

′2)+b(x)(c1y1+c2y2) = f.

Se obtine imediat, daca folosim faptul ca y1, y2 sunt solutii ale ecuatiei omogene.

c1(y′′1 + a(x)y′1 + +b(x)y1) + c2(y

′′2 + a(x)y′′2 + b(x)y2) + c′1y

′1 + c′2y

′2 = f.

Deducemc′1y

′1 + c′2y

′2 = f (2.76)

Din (2.74) si (2.77) obtinem un sistem cu necunoscutele c′1, c′2, care are solutii,

deoarece determinantul este wronskianul.

Se obtin urmatoarele etape


Pas 1. Se considera ecuatia

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = f(x)

Pas 2. Se determina y1, y2 solutii independente ale ecuatiei omogene si formamsistemul

{c′1(x)y1(x) + c′2(x)y2(x) = 0c′1(x)y′1(x) + c′2(x)y′2(x) = f(x)

Pas 3. Determinam c′1, c′2 si prin integrare aflam c1, c2.

Pas 4. Solutia particulara este

y(x) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x).

Exemplu Sa determinam o solutie particulara a ecuatiei

x2y′′ − 3xy′ + 4y = ln x, x > 0

Avem imediat solutia ecuatiei omogene

yom = c1x2 + c2x

2 ln x.

Sistemul din pasul 2 este{

c′1(x)x2 + c′2(x)x2 ln x) = 0c′1(x)2x + c′2(x)(2x ln x + x) = ln x = f(x)

Deducem

yp = −x2

∫(ln x)2

x3dx + x2 ln x

∫ln x

x3dx =

1

4+

1

4ln x.

Ecuatia Euler- CauchyConsideram ecuatia

xny(n) + a1xn−1y(n−1) + . . . + any = 0. (2.77)

Facem schimbarea de variabila independenta, pentru x > 0

x = et (2.78)

Au loc imediat formulele de derivare

2.3. SISTEME DIFERENTIALE 75

y′ =dy

dt

dt

dx=

dy

dt

1

et=

dy

dt

1

x

y′′ =d2y

dt21

x2− dy

dt

1

x2.

Procedeul continua. Prin ınlocuire ın ecuatie se obtine o ecuatie cu coeficienticonstanti.

Exemplu Sa determinam solutia ecuatiei

x3y′′′ + 2x2y′′ + 2y = 0.

Folosind derivarile precedente deducem

y′ =dy

dt

1

x, xy′ =

dy

dt

y′′ =d2y

dt21

x2− dy

dt

1

x2, x2y′′ =

d2y

dt2− dy

dt

x3y′′′ =d3y

dt3− 3

d2y

dt2+ 2

dy

dt

Se obtine ecuatiad3y

dt3− d2y

dt2+ 2

dy

dt= 0

care are solutiay(x) = c1e

−t + et(c2 cos t + c3 sin t)

care revine lay(x) = c1

1

x+ x(c2 cos ln x + c3 ln x)

2.3 Sisteme diferentialeFie sistemul diferential liniar de forma

X ′ = AX + b(t) (2.79)

unde A este o matrice constanta de dimensiuni n×n care admite forma diagonala.X este vectorul de componente

X = X(t) =

x1(t)x2(t). . .

xn(t)

.


Dupa cum stim de la algebra liniara, o matrice admite forma diagonala daca existao baza de vectori proprii. Forma diagonala este o matrice notata D care are pediagonala valorile proprii, iar restul elementelor sunt 0; matricea schimbarii debaza C are pe coloana vectorii proprii corespunzatori. Legatura dintre cele douamatrice este

D = C−1AC. (2.80)

Consideram transformareaX = CU (2.81)

care duce la noi functii necunoscute ui, i = 1, . . . , n. Substituim ın ecuatia (2.79)si avem

CU ′ = ACU + b(t) (2.82)

Dar matricea C este inversabila si obtinem

U ′ = C−1ACU + C−1b(t) (2.83)

care devine, daca folosim (2.80)

U ′ = DU + C−1b(t). (2.84)

Vectorul solutiilor X rezulta din rezolvarea sistemului X(t) = CU(t).

Valorile proprii realeExemplu Sa rezolvam sistemul

{x′1(t) + 2x1 + 4x2 = 2t− 1

x′2(t) + x1 − x2 = sin t.

Sistemul poate fi scris ın forma matriceala (2.79) cu matricele

X(t) =

(x1(t)x2(t)

), A =

( −2 −4−1 1

)b(t) =

(2t− 1sin t

).

Matricea A are valorile si vectorii proprii

λ1 = 2, X1 =

( −11

), λ2 = −3, X2 =

(41

).

Matricea de schimbare de baza este

C =

( −1 41 1

)C−1 =

1

5

( −1 41 1

)

2.3. SISTEME DIFERENTIALE 77

iar matricea diagonala este

D = C−1AC =

(2 00 −3

).

Avem

C−1b(t) =1

5

(1− 2t + 4 sin t−1 + 2t + sin t

).

Folosind (2.83) avem sistemul cu necunoscutele ui care poate fi rezolvat individ-ual ın raport cu necunoscutele

(u′1(t)u′2(t)

)=

(2 00 −3

)(u1(t)u2(t)

)+

1

5

(1− 2t + 4 sin t−1 + 2t + sin t

).

Obtinem doua ecuatii care pot fi rezolvate

u′1(t) = 2u1(t) + 15− 2

5t + 4

5sin t

u′2(t) = −3u2(t)− 15

+ 25t + 1

5sin t

cu solutia

u1(t) = c1e2t − 4

25cos t− 8

25sin t + 1

5t

u2(t) = c2e−3t − 1

50cos t + 3

50sin t + 2

15t− 1

9

, c1, c2 ∈ R.

Solutia sistemului initial se obtine acum prin ınmultrea cu matricea C.

(x1(t)x2(t)

)=

( −1 41 1

)

c1e2t − 4

25cos t− 8

25sin t + 1

5t

c2e−3t − 1

50cos t + 3

50sin t + 2

15t− 1

9

.

Obtinem

x1(t) = −49

+ 13t + 2

25cos t + 14

25sin t− c1e

2t + 4c2e−3t

x2(t) = −19

+ 13t− 9

50cos t− 13

50sin t + c1e

2t + c2e−3t

.

Valori proprii nereale

Presupunem ca exista doua valori proprii complexe conjugate simple.

Exemplu Sa rezolvam sistemul


x′1(t) = x1 + 2x2 + x3 + 1x′2(t) = x2 + x3 + tx′3(t) = 2x1 + x3 + 2t

.

Matricea sistemului este

A =

1 2 10 1 12 0 1

care are valorile si vectorii proprii

λ1 = 3, X1 =

212

λ2 = j, X2 =

−j1

−1 + j

λ3 = −j, X3 =

j1

−1− j

.

Matricea de schimbare de baza este

C =

2 −j j1 1 12 −1 + j −1− j

care are inversa

C−1 =

15

15

15

− 110

+ 3j 110

25− j 1

5− 1

10− j 1

5

− 110− 3j 1

1025

+ j 15− 1

10+ j 1

5

.

Forma diagonala este

D =

3 0 00 j 00 0 −j

.

Folosind aceleasi notatii, sistemul poate fi scris

X ′ = AX + b(t)

cu

X(t) =

x1(t)x2(t)x3(t)

, b(t) =

1t2t

2.4. SISTEME SIMETRICE 79

Folosind schimbarea X = CU gasim U ′ = C−1ACU + C−1b(t) sau U ′ = DU +C−1b(t). Obtinem apoi prin calcul

C−1b(t) =

15

+ 3 t5

− 110

+ j 310

+ t5− j 3t

5

− 110− j 3

10+ t

5+ j 3t

5

.

Deducemu′1(t) = 3u1 + 1

5+ 3 t

5

u′2(t) = ju2 − 110

+ j 310− j 3t

5+ t

5

u′3(t) = −ju3 − 110− j 3

10+ j 3t

5+ t

5

Integram si gasim

u1(t) = − 2

15− t

5+ c1e

3t.

La integrarea celorlalte alegem constante complexe conjugate una alteia, deci

u2(t) = 3 t5− 1

10− j 7

10+ j t

5+ (c2 + jc3)(cos t + j sin t)

u3(t) = 3 t5− 1

10+ j 7

10− j t

5+ (c2 − jc3)(cos t− j sin t)

.

Folosind acum X(t) = CU gasim

x1(t) = −53

+ 2c1e3t + 2c2 sin t + 2c3 cos t

x2(t) = −13

+ t + c1e3t + 2c2 cos t− 2c3 sin t

x3(t) = 43− 2t + 2c1e

3t + (2c3 − 2c2) sin t− (2c2 + c3) cos t

.

2.4 Sisteme simetriceConsideram sistemul diferential de forma

x′(t) = f(x), x = (x1, . . . , xn) (2.85)

unde f : D → Rn, D ⊂ Rn este o multime deschisa, iar functia vectorialaf(x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), f2(x1, . . . , xn), . . . , fn(x1, . . . , xn)) are deriva-te partiale de ordinul ıntai continue pe domeniul considerat; aceasta se noteazaobisnuit prin f ∈ C1(D).


Pe componente, sistemul (2.85) are forma

x′1(t) = f1(x1, . . . , xn)x′2(t) = f2(x1, . . . , xn). . .x′n(t) = fn(x1, . . . , xn).

Acest sistem, care nu depinde explicit de variabila timp, t, se numeste autonom.Sa definim notiunea de integrala prima pentru un sistem autonom.

Definitia 2.4.1 Functia U : D → R, U(x) = U(x1, . . . , xn) de clasa C1 pe osubmultime deschisa D0, D0 ⊂ D se numeste integrala prima a sistemului (2.85)daca

i. nu este identic constantaii. U(ϕ(t)) ≡ c, c ∈ R, pentru orice traiectorie (solutie) x = ϕ(t) a sistemu-

lui (2.85) care ramane ın D0.

Observatie Constanta din conditia ii. depinde de traiectorie.

Exemplul 2.4.1 Fie sistemul diferential

x′1(t) = x2 − x3

x′2(t) = x3 − x1

x′3(t) = x1 − x2.

Functiile U1(x1, x2, x3) = x21 + x2

2 + x23 si U2(x1, x2, x3) = x1 + x2 + x3 sunt

integrale prime.

Solutie Fie D0 = R3 \ {(0, 0, 0)}. Prima conditie din definitie este evidenta.Pentru a doua, daca x = ϕ(t) este o solutie, avem

x′1x1 + x′2x2 + x′3x3 = x1(x2 − x3) + x2(x3 − x1) + x3(x1 − x2) = 0

care atrage d(x21 + x2

2 + x23) = 0, deci U1(ϕ(t)) = x2

1 + x22 + x2

3 = c1. Analog,deoarece x′1+x′2+x′3 = 0, rezulta x1+x2+x3 = c2 si U2(ϕ(t)) = x1+x2+x3 = c2

Teorema 2.4.1 (Caracterizarea integralelor prime) FunctiaU ∈ C1(D0) este integrala prima a sistemului (2.85) daca si numai daca

∂U

∂x1

(x)f1(x) +∂U

∂x2

(x)f2(x) + . . . +∂U

∂xn

(x)fn(x) = 0, ∀x ∈ D0. (2.86)


Demonstratie Presupunem ca U este o integrala prima a sistemului si fie x = ϕ(t)o solutie a sistemului; din definitie U(ϕ(t)) ≡ c. Daca derivam egalitatea obtinem

U ′(ϕ(t)) =∂U

∂x1

(ϕ(t))dx1

dt(t)+

∂U

∂x2

(ϕ(t))dx2

dt(t)+ . . .+

∂U

∂xn

(ϕ(t))dxn

dt(t) = 0.

Folosind sistemul (2.85) avem x′1 =dx1

dt= f1(ϕ(t)), . . . , x′n =

dxn

dt= fn(ϕ(t))

obtinem

n∑i=1

∂U

∂xi

(ϕ(t))fi(ϕ(t)) = 0. (2.87)

Deoarece prin orice punct al domeniului trece o solutie x = ϕ(t) a sistemului(2.85), rezulta ca (2.86) are loc pentru orice x.Reciproc, daca (2.86) are loc, rezulta ca relatia (2.87) este valabila, deciU(ϕ(t)) ≡ c, pentru orice solutie ϕ

Ne ocupam ın continuare de existenta integralelor prime si de exprimarea solutiilorsistemului cu ajutorul lor.

Definitia 2.4.2 Punctul a ∈ Rn se numeste punct critic al sistemului (2.85) dacaf(a) = (f1(a), . . . , fn(a)) = 0.

Sistemul din exemplul (2.4.1) are originea punct critic.

Definitia 2.4.3 Functiile U1, U2, . . . , Uk de clasa C1 se numesc independente ıntr-o vecinatate a punctului a ∈ Rn, daca matricea iacobiana

(∂Ui

∂xj

(a)

)i = 1, . . . k, j = 1, . . . n (2.88)

are rangul k.

Exemplul 2.4.2 U1 si U2 din exemplul (2.4.1) sunt independente ın vecinatateaoricarui punct diferit de origine.

Solutie Pe R3 \ {(0, 0, 0)} matricea iacobiana(

∂Ui(a)

∂xj

)=

(2x1 2x2 2x3

1 1 1

)

are rangul 2


Teorema 2.4.2 ( Existenta integralelor prime) Intr-o vecinatate a unui punct a ∈Rn, care nu este critic exista exact n− 1 integrale prime independente.

Demonstratie Demonstram ca nu exista mai mult de n − 1 integrale prime in-dependente. Presupunem prin absurd ca exista n integrale prime independenteU1, . . . , Un. Din teorema de caracterizare deducem

∂U1

∂x1

(a)f1(a) +∂U1

∂x2

(a)f2(a) + . . . +∂U1

∂xn

(a)fn(a) = 0

. . .∂Un

∂x1

(a)f1(a) +∂Un

∂x2

(a)f2(a) + . . . +∂Un

∂xn

(a)fn(a) =0.

Se obtine astfel un sistem algebric liniar si omogen avand drept necunoscutef1(a), . . . , fn(a) nu toate nule. Rezulta ca determinantul sistemului este nul, adica

∣∣∣∣∂Ui

∂xj

(a)

∣∣∣∣ = 0

deci U1, . . . , Un nu pot fi independente.Pentru existenta, fie x = ϕ(t, λ1, . . . , λn−1) solutia sistemului care ın punctul t =0 ia valoarea initiala (λ1, λ2, . . . , λn−1, an), a = (a1, . . . , an). Pe componenteavem

xi = ϕi(t, λ1, . . . , λn), i = 1, . . . , n− 1 (2.89)

iar pentru t = 0 obtinem{

λi = ϕi(0, λ1, . . . , λn−1), i = 1, . . . , nan = ϕn(0, λ1, . . . , λn−1).

(2.90)

Din teoria sistemelor diferentiale rezulta ca functiile ϕi sunt de clasa C1 si are loc

D(ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn)

D(t, λ1, . . . , λn−1)(0, a1, . . . , an−1) = fn(a) 6= 0.

Din teoria functiilor implicite, ıntr-o vecinatate V (a) a punctului a exista functiileU1, . . . , Un−1, de clasa C1 pe V (a) astfel ca

{λi = Ui(x), i = 1, . . . , n− 1t = V (x)

x ∈ V (a). (2.91)

Se observa ca Ui nu sunt identic constante si se poate demonstra ca

D(U1, U2, . . . , Un−1)

D(x1, . . . xn−1)(a) 6= 0


adica functiile sunt independente.Demonstrata faptului ca Ui sunt integrale prime este ceva mai dificila si reco-mandam spre exemplu monografia [1]. Urmatoarea consecinta are ınsemnatatepractica.

Consecinta Solutia generala a sistemului (2.85) este de forma

U1(x1, . . . , xn) = c1

. . .Un−1(x1, . . . , xn) = cn−1

(2.92)

unde U1, . . . , Un−1 sunt integrale prime independente.

Exemplul 2.4.3 Daca solutia unui sistem ar fi{

x21 + x2

2 + x3 = c1

x1 + x2 + x3 = c2

atunci graficul acestei curbe, data ca intersectie de suprafete este dat de figura demai jos.

Teorema 2.4.3 Fie U1, . . . , Un−1 integrale prime ale sistemului (2.85) indepen-dente ıntr-o vecinatate a lui a ∈ Rn, care nu este critic si W o integrala primaoarecare. Atunci exista o functie F : Rn−1 → R de clasa C1 ıntr-o vecinatate apunctului (U1(a)), . . . , Un(a)) astfel ca

W (x) = F (U1(x), . . . , Un−1(x)) (2.93)

pentru orice x din vecinatate.

Demonstratie Alegem Un ∈ C1(Rn), astfel ca U1, U2, . . . Un sa fie independenteın vecinatatea lui a si consideram sistemul implicit

yi = Ui(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , n

de unde aplicand teorema functiilor definite implicit, ıntr-o vecinatate a punctuluiU1(a), . . . , Un(a) deducem existenta functiilor Wi de clasa C1 astfel ca

xi = Wi(y1, . . . , yn).

Definim

G(y1, . . . , yn) = W (W1(y), . . . , Wn(y)).

Vom arata ca∂G

∂yn

= 0, deci functia G nu depinde de yn; avem


∂G

∂yn

=n∑

i=1

∂W

∂Wi

∂Wi

∂yn

iar W,U1, . . . , Un−1 este dependent, deci

∂W

∂xi

= a1(x)∂U1

∂xi

+ . . . + an−1(x)∂Un−1

∂xi

.

Rezulta

∂G

∂yn

= a1

n∑i=1

∂U1

∂xi

(x)∂Wi

∂yn

(y) + . . . + an−1

n∑i=1

∂Un−1

∂xi

(x)∂Wi

∂yn

(y) = 0

deoarece

n∑i=1

∂Uj

∂xi

(x)∂Wi

∂yn

(y) =∂yj

∂yn

= 0.

Functia cautata este

F (y1, . . . , yn−1) = G(y1, y2, . . . , yn−1, yn)

Teorema 2.4.4 (Metoda combinatiilor integrabile) Daca exista functiile µ1, . . . , µn :D → R continue care satisfac1. µ1f1 + . . . + µnfn = 02. exista o functie U de clasa C1 astfel ca dU = µ1dx1 + . . . µndxn

atunci U este o integrala prima pentru (2.85).

Demonstratie Este suficient sa observam ca

dU = (µ1x′1 + . . . + µnx

′n)dt = (µ1f1 + . . . + µnfn)dt = 0,

de unde U(ϕ(t)) = C

Exemplul 2.4.4 Sa rezolvam sistemul

{x′1 = x2

x′2 = x1.


Solutie Alegem functiile µ1 = x1, µ2 = −x2 continue, astfel ca1. µ1f1 + µ2f2 = x1x2 + (−x2)x1 = 0

2 x1dx1 − x2dx2 =1

2d(x2

1 − x22).

Urmeaza ca U(x1, x2) = x21 − x2

2 este integrala prima, iar solutia sistemului este

x21 − x2

2 = c

Observatie Daca f 21 + f 2

2 + . . . + f 2n > 0 pe D, atunci sistemul (2.85) poate fi

scris sub forma

dx1

f1(x1, . . . , xn)=

dx2

f2(x1, . . . , xn)= . . . =

dxn

fn(x1, . . . , xn)(2.94)

si se numeste sistem simetric. Deci solutia unui sistem simetric data de (2.94),reprezinta o traiectorie (curba) inclusa ın n−1 suprafete de forma Ui(x1, . . . , xn) =ci, i = 1, n− 1.

Exemplul 2.4.5 In exemplul 2.4.1 sa asociem sistemul simetric si sa determinamsolutia.

Solutie Se observa imediat ca sistemul poate fi scris sub forma simetrica

dx1

x3 − x2

=dx2

x1 − x3

=dx3

x2 − x1

=dt

1.

Daca adunam rapoartele obtinem o fractie cu numaratorul dx1 + dx2 + dx3 sinumitorul 0. Deci din d(x1 + x2 + x3) = 0 deducem x1 + x2 + x3 = c1.Daca amplificam fractiile cu x1, x2, x3 respectiv si adunam rapoartele obtinemd(x2

1 + x22 + x2

3) = 0, de unde x21 + x2

2 + x23 = c2. Deci solutia este de forma

{x1 + x2 + x3 = c1

x21 + x2

2 + x23 = c2

Observatie Daca sistemul (2.85) nu este autonom, deci are forma generala

x′ = f(t, x), x = (x1, . . . , xn), f = (f1, . . . , fn) (2.95)

atunci i se asociaza sistemul simetric

dx1

f1(t, x1, . . . , xn)=

dx2

f2(t, x1, . . . , xn)= . . . =

dxn

fn(t, x1, . . . , xn)=

dt

1


si solutia este intersectia a n suprafete.

Observatie Cunoasterea a k integrale prime independente k < n, permite reduc-erea numarului de functii necunoscute cu k unitati.

Exemplul 2.4.6 Sa rezolvam urmatorul sistem neautonom{

x′1 = tx2

x′2 = tx1.

Solutie Sistemul se pune sub forma simetrica

dx1

tx2

=dx2

tx1

=dt

1.

Din primele doua relatii deducem o prima suprafata U1 = x21 − x2

2 = c1, iar

din ultimile doua relatii ın care folosim U1 obtinem ln(x1 + x2)− t2

2=c2. Deci

solutia este

x21 − x2

2 = c1

ln(x1 + x2)− t2

2= c2

2.5 Ecuatii cu derivate partiale de ordinul IConsideram ecuatia

a1(x1, . . . , xn, z)∂z

∂x1

+ a2(x1, . . . , xn, z)∂z

∂x2

+ . . . +

+an(x1, . . . , xn, z)∂z

∂xn

= a(x1, . . . , xn, z) (2.96)

unde ai sunt functii de clasa C1(D), D ⊂ Rn+1,

n∑i=1

a2i > 0, ∀(x, z) ∈ D, iar

z = z(x1, . . . , xn) este o functie ce trebuie determinata.Ecuatia (2.96) se numeste cvasiliniara.

Definitia 2.5.1 Functia z = z(x1, . . . , xn) se numeste solutie a ecuatiei (2.96)pe multimea deschisa D0 ⊂ Rn daca z este de clasa C1 pe D0 si verifica (2.96)pentru orice x ∈ D0.

2.5. ECUATII CU DERIVATE PARTIALE DE ORDINUL I 87

Cautam solutia ecuatiei (2.96) sub forma implicita

u(x1, . . . , xn, z(x1, . . . , xn)) = 0. (2.97)

Pentru simplificare vom nota (x, z) = (x1, . . . , xn, z(x1, . . . , xn)). Daca pre-

supunem ca∂u

∂z6= 0 din teorema de derivare a functiilor implicite, avem

∂z

∂xi

= −∂u

∂xi

∂u

∂z

, i = 1, . . . , n.

Inlocuim ın ecuatie si gasim

n∑i=1

ai(x, z)

−

∂u

∂xi

∂u

∂z

− a(x, z) = 0

echivalent cu

a1(x, z)∂u

∂x1

+ . . . + an(x, z)∂u

∂xn

+ a(x, z)∂u

∂z= 0. (2.98)

Observatie Ecuatia obtinuta exprima faptul ca u este o integrala prima pentruurmatorul sistem simetric de ordinul n + 1, care se mai numeste caracteristic.

dx1

a1(x, z)= . . . =

dxn

an(x, z)=

dz

a(x, z).

Solutia generala, numita curba caracteristica, este o functie de forma

u(x, z) = F (U1(x, z), . . . , Un(x, z))

unde U1, . . . , Un sunt n integrale prime independente, iar F este o functie de clasaC1 pe domeniul D. Deci solutia ecuatiei cvasiliniare (2.96) este

F (U1(x1, . . . , xn, z), . . . , Un(x1, . . . , xn, z)) = 0 (2.99)

care defineste solutia z = z(x1, . . . , xn) implicit.Atunci cand coeficientii ecuatiei nu depind de functia necunoscuta, ecuatia devine

a1(x1, . . . , xn)∂z

∂x1

+ a2(x1, . . . , xn)∂z

∂x2

+ . . . + an(x1, . . . , xn)∂z

∂xn

=


= a(x1, . . . , xn), (2.100)

si se numeste liniara.In particular, pentru ecuatia liniara omogena, deducem ca solutia ecuatiei este ointegrala prima oarecare a sistemului caracteristic

dx1

a1(x)=

dx2

a2(x)= . . . =

dxn

an(x)(2.101)

si are forma

u(x1, . . . , xn) =

W (U1(x1, . . . , xn), U2(x1, . . . , xn), . . . , Un−1(x1, . . . , xn)) (2.102)

unde U1, . . . , Un−1 sunt integrale prime independente ale sistemului simetric deordin n considerat.Am demonstrat astfel urmatorul rezultat

Teorema 2.5.1 In ipotezele precedente, solutia ecuatiei cvasiliniare este definitaimplicit de (2.99), iar solutia ecuatiei liniare omogene este (2.102).

Exemplul 2.5.1 Sa determinam suprafata z = z(x, y) care satisface ecuatialiniara

y∂z

∂x+ x

∂z

∂y= 0.

Solutie Asociem ecuatiei liniare omogene sistemul caracteristic de ordin 2 pedomeniul R2 \ {(0, 0)}.

dx

y=

dy

x

care are integrala prima U1(x, y) = x2 − y2, deci solutia este

z(x, y) = W (U(x, y))

unde W este o functie de clasa C1 pe un interval real

Exemplul 2.5.2 Sa determinam solutia ecuatiei

x1∂z

∂x1

+ (x3 + z)∂z

∂x2

+ (x2 + z)∂z

∂x3

= x2 + x3.


Solutie Ecuatia este cvasiliniara. Atasam sistemul simetric

dx1

x1

=dx2

x3 + z=

dx3

x2 + z=

dz

x2 + x3

.

Deducem prin adunarea ultimilor trei rapoarte ca

dx1

x1

=d(x2 + x3 + z)

2(x2 + x3 + z)

de unde prin integrare

ln |x1| = 1

2ln |x2 + x3 + z|+ ln c1

deci x2 + x3 + z = c1x21. Apoi din

dx1

x1

=d(x2 − x3)

x3 − x2

deducem ln |x1| = − ln |x2 − x3|+ ln c2, de unde x1(x2 − x3) = c2. Din

dx1

x1

= −d(z − x3)

z − x3

avem x1(z − x3) = c3. Solutia este functia z, definita implicit de

F

(x2 + x3 + z

x21

, x1(x2 − x3), x1(z − x3)

)= 0

Problema Cauchy. Cazul n=2 Se considera ecuatia

P (x, y, z)∂z

∂x+ Q(x, y, z)

∂z

∂y= R(x, y, z). (2.103)

Problema Cauchy revine la determinarea suprafetei z = z(x, y) care contine curbadata explicit

(Γ)

x = f(s)y = g(s)z = h(s)

(2.104)

unde f, g, h sunt functii de clasa C1(I), I ⊂ R si f ′2 + g′2 + h′2 6= 0.


Teorema 2.5.2 Presupunem ca P 2 + Q2 6= 0 pe un domeniu din R2 si

∆ =

∣∣∣∣P Qf ′ g′

∣∣∣∣ 6= 0, ∀s ∈ I. (2.105)

Atunci problema Cauchy (2.103) , (2.104) are solutie unica definita ıntr-o vecinatatea curbei Γ.

Demonstratie Sistemul caracteristic asociat

dx

P (x, y, z)=

dy

Q(x, y, z)=

dz

R(x, y, z)

defineste local o solutie de forma

x = x(t)y = y(t)z = z(t).

Prin orice punct al curbei (Γ), (x0, y0, z0) trece o unica solutie a sistemului caracteristic,dupa cum cunoastem din teorema de existenta si unicitate a sistemelor diferentiale. Ovom nota

x = x(t, x0, y0, z0)y = y(t, x0, y0, z0)z = z(t, x0, y0, z0).

Dar punctul se afla pe curba deci,

x0 = f(s)y0 = g(s)z0 = h(s)

si putem scrie

x = x(t, f(s), g(s), h(s))y = y(t, f(s), g(s), h(s))z = z(t, f(s), g(s), h(s)).

(2.106)

Din ipoteza avem

D(x, y)D(t, s)

=

∣∣∣∣∣∣∣

dx

dt

dy

dtdx

ds

dy

ds

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣P Qf ′ g′

∣∣∣∣ 6= 0, ∀s ∈ I.

Folosind ultima relatie deducem ca sistemul (2.106) poate fi explicitat ıntr-o vecina tate acurbei, sub forma

s = φ1(x, y)t = φ2(x, y).

(2.107)


Daca ın ultima ecuatie din (2.106) ınlocuim (2.107) deducem ecuatia unei suprafete z =z(x, y), care contine curba Γ. Prin modul ın care a fost construita, este asigurat faptul casuprafata este unic determinata.Sa mai aratam ca z este solutie a ecuatiei. Observam ca z este solutie a sistemului carac-teristic, deci

dz

dt= R.

Apoi

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt=

∂z

∂xP +

∂z

∂yQ.

Din cele doua relatii rezulta ca ecuatia cu derivate partiale este satisfacuta.

Observatie Daca ∆ = 0 pe Γ si ın fiecare punct curba caracteristica este tangentala curba Γ, atunci problema Cauchy are o solutie.De multe ori curba Γ din problema Cauchy este data sub forma

{g1(x, y, z) = 0g2(x, y, z) = 0

unde g1, g2 sunt functii de clasa C1 pe D ⊂ R3, cu matricea iacobianaD(g1, g2)

D(x, y, z)de rang 2. Pentru determinarea practica a suprafetei formam sistemul

U1(x, y, z) = c1

U2(x, y, z) = c2

g1(x, y, z) = 0g2(x, y, z) = 0

care exprima faptul ca prin orice punct de pe curba trece o solutie a sistemuluicaracteristic. Deci acesta trebuie sa fie compatibil. Prin eliminarea necunoscutelorx, y, z se obtine o legatura ıntre integralele prime, de forma

ψ(c1, c2) = 0

care conduce la o solutie sub forma implicita.

Exemplul 2.5.3 Sa determinam suprafata data de ecuatia

2xz∂z

∂x+ 2yz

∂z

∂y+ x2 + y2 − z2 = 0

si care contine curba Γ :

{x = 2y2 + z2 = y.


Solutie Sa aflam mai ıntai curbele caracteristice, adica solutiile sistemului simetric

dx

2xz=

dy

2yz=

dz

z2 − x2 − y2.

Deducem

d(x2 + y2 + z2)

2z(x2 + y2 + z2)=

dx

2xz.

de unde gasim x2 + y2 + z2 = c1x. Din primele doua rapoarte avem y = xc2.Apoi formam sistenul

y = c2xx2 + y2 + z2 = c1xx = 2y2 + z2 = y.

Eliminand necunoscutele x, y, z se obtine conditia de compatibilitate c2−c1+2 =0, care conduce la

x2 + y2 + z2 − y − 2x = 0

Capitolul 3

Integrale vectoriale

3.1 Integrala dublaConsideram D ⊂ R2 un domeniu marginit si o functie

f : D → R.

Consideram o diviziune notata ∆ a multimii D in subdomenii disjuncte, notateDi, i = 1, . . . , n a caror reuniune este D. Acest lucru poate fi obtinut de exempluprin considerarea unei retele de drepte paralele cu axele de coordonate. Pentrufiecare Di fie diametrul, notat δi care este supremumul tuturor distantelor dintreorice doua puncte din domeniul Di. Fie ‖∆‖ = max δi. Consideram suma

σn =n∑

i=1

f(xi, yi)aria(Di) (3.1)

unde punctele de coordonate (xi, yi) sunt arbitrar alese ın Di.

Definitia 3.1.1 Functia f este integrabila pe D daca exista un numar I astfel ca∀ε > 0, ∃ηε astfel ca pentru orice diviziune ∆ cu ‖∆‖ < ηε si pentru oricealegere a punctelor intermediare (xi, yi) ∈ Di are loc

|σ∆ − I| < ε

Notam

I =

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy.

Teorema 3.1.1 Orice functie continua pe D este integrabila pe D.

93

94 CAPITOLUL 3. INTEGRALE VECTORIALE

Observatie Daca f > 0 , numarul I reprezinta volumul corpului marginit deplanul z = 0, de suprafata z = f(x, y), (x, y) ∈ D si suprafata cilindrica cugeneratoarele paralele cu axa Oz.

Teorema 3.1.2 Daca f, g : D → R sunt functii integrabile pe D si λ, µ ∈ R,atunci λf + µg este integrabila pe D si are loc∫ ∫

D

(λf(x, y) + µg(x, y))dxdy = λ

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy + µ

∫ ∫

D

g(x, y)dxdy.

Teorema 3.1.3 Daca D = D1 ∪ D2 si D1 ∩ D2 = ∅ si sunt separate printr-ocurba neteda, iar f este integrabila pe D atunci f este integrabila pe Di, i = 1, 2si rezulta

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ ∫

D1

f(x, y)dxdy +

∫ ∫

D2

f(x, y)dxdy.

Reciproc, daca f este integrabila pe Di atunci f este integrabila pe D si are locaceeasi relatie.

Teorema 3.1.4 Daca f, g : D → R si f(x, y) 6 g(x, y), ∀(x, y) ∈ D atunci∫ ∫

D

f(x, y)dxdy 6∫ ∫

D

g(x, y)dxdy.

Daca pentru orice (x, y) ∈ D are loc

m 6 f(x, y) 6 M

atunci este adevarata si egalitatea

m aria(D) 6∫ ∫

D

f(x, y)dxdy 6 M aria(D).

Teorema 3.1.5 Daca f este o functie continua pe D atunci exista (ξ, η) ∈ Dastfel ca ∫ ∫

D

f(x, y)dxdy = f(ξ, η) aria(D).

Calculul integralei duble

Cazul domeniilor dreptunghiulare Fie

D = { (x, y) | x ∈ [a, b], y ∈ [c, d] }.

3.1. INTEGRALA DUBLA 95

Teorema 3.1.6 Presupunem ca f este integrabila pe D si ca pentru orice

y ∈ [c, d] exista integrala∫ b

a

f(x, y)dx. Atunci exista si integrala iterata∫ d

c

dy

∫ b

a

f(x, y)dx si are loc

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ d

c

dy

∫ b

a

f(x, y)dx (3.2)

Analog se poate demonstra si formula

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

dx

∫ d

c

f(x, y)dy. (3.3)

Cazul domeniilor simple Fie domeniul simplu ın raport cu axa Ox:

D = { (x, y) | x ∈ [a, b], ϕ1(x) 6 y 6 ϕ2(x) }

unde ϕ1, ϕ2 sunt functii continue pe [a, b].

Teorema 3.1.7 Daca f este integrabila pe D si pentru orice x ∈ [a, b] exista∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy atunci exista integrala iterata∫ b

a

dx

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy si are loc

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ b

a

dx

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y)dy (3.4)

Analog se poate arata ca daca D este un domeniu simplu ın raport cu Oy, adica

D = {(x, y) | c 6 y 6 d, ψ1(y) 6 x 6 ψ2(y)}

are loc formula∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ d

c

dy

∫ ψ2(y)

ψ1(y)

f(x, y)dx. (3.5)

Consecinta. Aria unui domeniu Daca D este un domeniu simplu, atunci arialui este data de

aria(D) =

∫ ∫

D

dxdy. (3.6)

Este suficient sa demonstram ın cazul D este simplu ın raport cu Ox. Atunci dupa(3.4) avem urmatoarele


∫ ∫

D

dxdy =

∫ b

a

dx

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

dy =

∫ b

a

(ϕ2(x)− ϕ1(x))dx = aria(D).

Schimbarea de variabile ın integrala dubla

Consideram doua domenii D′ si D plane si o transformare

T : D′ → D, T (u, v) = (x, y)

x = ϕ(u, v)y = ψ(u, v)

, (u, v) ∈ D′ (3.7)

cu urmatoarele proprietati:1. ϕ, ψ sunt de clasa C1(D′);2. T este bijectiva

3. IacobianulD(x, y)

D(u, v)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ϕ

∂u

∂ϕ

∂v

∂ψ

∂u

∂ψ

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣6= 0 pe D′.

O functie cu aceste proprietati va fi numita schimbare de variabile sau de coordo-nate.

Teorema 3.1.8 Daca f este integrabila pe D, atunci are loc

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy =

∫ ∫

D′f(ϕ(u, v), ψ(u, v))

∣∣∣∣D(x, y)

D(u, v)

∣∣∣∣ dudv. (3.8)

Demonstratie Fixam reperele ortonormate uO′v si xOy, ın raport cu care re-prezentam cele doua multimi D′ sD respectiv. Divizam domeniul D′ printr-o retea de drepte paralele cu axele de coordonate si fie Di un dreptunghi devarfuri P ′

1, P′2, P

′3, P

′4. Acest dreptunghi este dus prin T ın patrulaterul curbiliniu

P1P2P3P4 din domeniul D. Corespunzator retelei u = const, v = const, pre-supunem ca punctele P ′

1, P′2, P

′3, P

′4 au urmatoarele coordonate:

P ′1(u, v), P ′

2(u + ∆u, v), P ′3(u + ∆u, v + ∆v), P ′

4(u, v + ∆v).


Prin transformarea T acestea sunt duse ınP1(x1, y1) = (ϕ(u, v), ψ(u, v))

P2(x2, y2) = (ϕ(u + ∆u, v), ψ(u + ∆u, v) ≈

≈ (ϕ(u, v) +∂ϕ

∂u∆u, ψ(u, v) +

∂ψ

∂u∆u)

P3(x3, y3)≈ (ϕ(u, v) +∂ϕ

∂u∆u +

∂ϕ

∂v∆v, ψ(u, v) +

∂ψ

∂u∆u +

∂ψ

∂v∆v)

P4(x4, y4) = (ϕ(u, v) +∂ϕ

∂v∆v, ψ(u, v) +

∂ψ

∂v∆v)

Sumele Riemann se exprima atunci

n∑i=1

f(xi, yi)aria(Di) ≈n∑

i=1

f(x(ui, vi), y(ui, vi)aria(D′i)

∣∣∣∣D(x, y)

D(u, v)

∣∣∣∣ .

Intr-adevar aria lui D′i este aria unui dreptunghi, deci ∆u ∆v. Aria patrulaterului

curbiliniu P1P2P3P4 se poate aproxima cu aria unui paralelogram, care are decica arie, dublul ariei triunghiului P1P2P3. Dar aria acestui triunghi este

1

2|(x3 − x1)(y3 − y2)− (x3 − x2)(y3 − y1)| =

=1

2

∣∣∣∣(

∂ϕ

∂u∆u +

∂ϕ

∂v∆v

)∂ψ

∂v∆v − ∂ϕ

∂v∆v

(∂ψ

∂u∆u +

∂ψ

∂v∆v

)∣∣∣∣ =

=1

2

∣∣∣∣(

∂ϕ

∂u

∂ψ

∂v− ∂ϕ

∂v

∂ψ

∂u

)∆u∆v

∣∣∣∣ =

=1

2

∣∣∣∣D(x, y)

D(u, v)

∣∣∣∣ ∆u∆v =

∣∣∣∣D(x, y)

D(u, v)

∣∣∣∣ aria(D′).

Deci

aria(Di) ≈∣∣∣∣D(x, y)

D(u, v)

∣∣∣∣ ∆u∆v.

Inlocuind ın sumele integrale si trecand la limita, rezulta afirmatia

Aplicatii ale integralei duble


Momente de inertie Momentele de inertie ale unei placi de densitate ρ(x, y)relativ relativ la axele de coordonate sunt

IOx =

∫ ∫

D

y2ρ(x, y)dxdy (3.9)

IOy =

∫ ∫

D

x2ρ(x, y)dxdy (3.10)

Momentul de inertie al placii n D relativ la origine O este

IO =

∫ ∫

D

(x2 + y2)ρ(x, y)dxdy. (3.11)

Exemplu Momentul de inertie a unui disc de raza R de masa constant egala cu1, relativ la centru este

IO =

∫ ∫

D

(x2 + y2)dxdy, D = {(x, y) |x2 + y2 6 R2}

Alegand reprezentarea parametrica{

x = ρ cos θy = ρ sin θ

, 0 6 ρ 6 R, 0 6 θ < 2π

se obtine TO =πR4

2.

Coordonatele centrului de greutate Fie D o placa de densitate ρ(x, y), atuncimasa este

M =

∫ ∫

D

ρ(x, y)dxdy. (3.12)

Coordonatele centrului de greutate C sunt date de

xC =

∫ ∫D

xρdxdy

M, yC =

∫ ∫D

yρdxdy

M(3.13)

Exemplu Coordonatele centrului de greutate al sfertului de elipsa aflat ın cad-ranul I sunt

xC =4a

3π, yC =

4b

3π.

Legatura dintre integrala dubla si integrala curbilinieFie D un domeniu marginit de o curba γ, de clasa C1 (neteda) si fie D = D ∪ γ,ınchiderea acestui domeniu. Fie P,Q functii continue pe D ımpreuna cu derivatele

partiale∂P

∂y,

∂Q

∂x. Presupunem ca D este domeniu simplu ın raport cu ambele

axe.


Teorema 3.1.9 (Formula lui Green) In ipotezele precedente are loc∫

γ


∫ ∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy. (3.14)

Demonstratie Presupunem ca D este domeniu simplu ın raport cu axa 0x. Inte-

grala dubla∫ ∫

D

∂P

∂ydxdy poate fi calculata pe domeniul simplu

D = {(x, y) | a 6 x 6 b, φ1(x) 6 y 6 φ2(x)}

si avem ∫ ∫

D

∂P

∂ydxdy =

∫ b

a

dx

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

∂P

∂ydy =

=

∫ b

a

P (x, y)|ϕ2(x)ϕ1(x)dx =

∫ b

a

(P (x, ϕ2(x))− P (x, ϕ1(x))) dx =

=

∫

DC

P (x, y)dx−∫

AB

P (x, y)dx = −∫

CD

P (x, y)dx−∫

AB

P (x, y)dx−

−∫

BC

P (x, y)dx−∫

DA

P (x, y)dx = −∫

γ

P (x, y)dx.

Am obtinut astfel∫ ∫

D

∂P

∂ydxdy = −

∫

γ

P (x, y)dx. (3.15)

Analog se arata ca ∫ ∫

D

∂Q

∂xdxdy =

∫

γ

Q(x, y)dx. (3.16)

Din (3.15) (3.16) rezulta prin adunare formula lui Green

Observatie Formula ramane valabila daca domeniul D se descompune ıntr-unnumar finit de domenii simple sau daca curba γ este neteda pe portiuni.

Teorema 3.1.10 (Independenta de drum a integralei curbulinii) Fie Dun domeniu simplu conex si P, Q functii continue pe D ımpreuna cu derivatele

partiale∂P

∂y,

∂Q

∂x. Presupunem ca D se descompune ıntr-un numar finit de


domenii simple. Fie γ o curba neteda ınchisa inclusa ın D. Urmatoarele urmatoareleafirmatii sunt echivalente:

1.∫

γ

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

2.∂P

∂y=

∂Q

∂x, ∀(x, y) ∈ D.

Demonstratie 2. ⇒ 1. Daca aplicam formula lui Green, relativ la domeniul D′

marginit de γ

∫

γ


∫ ∫

D′

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy = 0.

Reciproc, presupunem ca desi are loc 1., exista un punct P0 astfel ca ın acesta∂P

∂y6= ∂Q

∂x. Din continuitatea derivatelor se poate presupune ca exista un domeniu

D′′ si δ > 0 astfel ca∂Q

∂x− ∂P

∂y> δ > 0.

Aplicam formula lui Green, relativ la domeniul D′′ marginit de γ′′ si obtinem

0 =

∫

γ′′P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

∫ ∫

D′′

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy >

>

∫ ∫

D′′δdxdy > 0.

Din aceasta contradictie rezulta valabilitatea afirmatiei 1. ⇒ 2.

ExempleCalculati integralele pe domeniile specificate:

1. I =

∫ ∫

D

ydxdy unde D este marginit de (x − a)2 + y2 = a2, a > 0.

Trecem la coordonate polare

x = ρ cos θy = ρ sin θ.

Punctele din domeniu sunt caracterizate prin θ ∈ [π2, π

2], 0 6 ρ 6 2a cos θ, iar

iacobianul este ρ ; avem

I =

∫ π2

π2

∫ 2a cos θ

0

ρ2 sin θdρ.

3.2. INTEGRALA TRIPLA 101

2. I=

∫ ∫

D

f(x, y)dxdy unde D este domeniul marginit de dreptele

2|x|+ 3|y| = 1, adica cel din imagine. Alegem transformarea

u = 2x + 3yv = 2x− 3y

cu iacobianul −12 care duce rombul D ın patratul ∆ caracterizat prin−1 6 u 6 1, −1 6 v 6 1 si avem

I =

∫ 1

−1

∫ 1

−1

f(u, v)12dudv

3. Sa dam un exemplu de calcul pentru o integrala impropie larg utilizata ınteoria probabilitatilor numita si integrala lui Gauss:

I =

∫ +∞

0

e−x2

dx.

Ne vom ocupa de integrala improprie∫ +∞0

∫ +∞0

e−x2−y2dxdy. Prin generalizare

aceasta integrala improprie este convergenta daca exista limita

limn→+∞

In =

∫ π2

0

∫ n

0

ρe−ρ2

dρ = limn→+∞

π

2

(−e−ρ2

2

)|n0 =

π

4

3.2 Integrala triplaConstructia integralei triple se aseamana cu cea a intgeralei duble. ConsideramV ⊂ R3 un domeniu marginit si o functie

f : V → R.

Consideram o diviziune notata ∆ a multimii V in subdomenii disjuncte, notateVi, i = 1, . . . , n a caror reuniune este V . Acest lucru poate fi obtinut de exempluprin considerarea unei retele de plane paralele cu planele de coordonate. Pentrufiecare Vi fie diametrul, notat δi care este supremumul tuturor distantelor dintreorice doua puncte din domeniul Vi. Fie ‖∆‖ = max δi. Consideram suma

σn =n∑

i=1

f(xi, yi, zi)vol(Vi) (3.17)

unde punctele de coordonate (xi, yi, zi) sunt arbitrar alese ın Vi.


Definitia 3.2.1 Functia f este integrabila pe V daca exista un numar I astfel ca∀ε > 0, ∃ηε astfel ca pentru orice diviziune ∆ cu ‖∆‖ < ηε si pentru oricealegere a punctelor intermediare (xi, yi, zi) ∈ Vi are loc

|σ∆ − I| < ε

NotamI =

∫ ∫ ∫

V

f(x, y, z)dxdydz.

Teorema 3.2.1 Orice functie continua pe V este integrabila pe V .

Teorema 3.2.2 Daca f, g : V → R sunt functii integrabile pe V si λ, µ ∈ R,atunci λf + µg este integrabila pe V si are loc

∫ ∫ ∫

V

(λf(x, y, z) + µg(x, y, z))dxdydz =

= λ

∫ ∫ ∫

V

f(x, y, z)dxdydz + µ

∫ ∫ ∫

V

g(x, y, z)dxdydz.

Teorema 3.2.3 Daca V = V1∪V2 si V1∩V2 = ∅ si sunt separate printr-un planparalel cu unul dintre planele de coordonate, iar f este integrabila pe V atunci feste integrabila pe Vi, i = 1, 2 si rezulta∫ ∫ ∫

V

f(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫ ∫

V1

f(x, y, z)dxdydz+

∫ ∫ ∫

V2

f(x, y, z)dxdydz.

Reciproc, daca f este integrabila pe Vi atunci f este integrabila pe V si are locaceeasi relatie.

Teorema 3.2.4 Daca f, g : V → R si f(x, y, z) 6 g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ Vatunci ∫ ∫ ∫

V

f(x, y, z)dxdydz 6∫ ∫ ∫

V

g(x, y, z)dxdydz.

Daca pentru orice (x, y, z) ∈ V are loc

m 6 f(x, y, z) 6 M

atunci este adevarata si egalitatea

m vol(V ) 6∫ ∫ ∫

V

f(x, y, z)dxdydz 6 M vol(V ).

3.2. INTEGRALA TRIPLA 103

Teorema 3.2.5 Daca f este o functie continua pe V atunci exista (ξ, η, χ) ∈ Vastfel ca ∫ ∫ ∫

V

f(x, y, z)dxdydz = f(ξ, η, χ) vol(V ).

Calculul integralei triple

1. Cazul domeniilor paralelipipedice Fie

V = { (x, y, z) | x ∈ [a, b], y ∈ [c, d] z ∈ [e, f ]}.

Teorema 3.2.6 Presupunem ca f este continua pe V . Atunci are loc

∫ ∫ ∫

V

f(x, y, z)dxdydz =

∫ f

e

dz

∫ d

c

dy

∫ b

a

f(x, y, z)dx (3.18)

Integrala tripla se poate desface ın mai multe integrale iterate, dar nu le mai enu-meram; se obtin imediat facand schimbari ale ordinii de integrare.2. Cazul domeniilor simple Prin domeniul simplu ın R3 vom ıntelege satisfa-cerea urmatoarelor proprietati:

1. domeniul V este marginit de o suprafata S;2. domeniul V se proiecteaza pe planul xOy ıntr-un domeniu plan simplu ın

raport cu axele de coordonate, notat D;3. orice dreapta paralela cu axa Oz prin interiorul domeniului V (dusa printr-

un punct (x, y) ∈ D ) taie suprafata S ın doua puncte.Deci domeniul V este

V = { (x, y, x) ∈ R3 | (x, y) ∈ D, χ1(x, y) 6 z 6 χ2(x, y) }

unde χ1, χ2 sunt functii continue pe D.Daca f este integrabila pe V , cum D este domeniu simplu, integrala tripla secalculeaza dupa formula

∫ ∫ ∫

V

f(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫

D

dxdy

∫ χ2(x,y)

χ1(x,y)

f(x, y, z)dz =

=

∫ b

a

dx

∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

dy

∫ χ2(x,y)

χ1(x,y)

f(x, y, z)dz. (3.19)


Consecinta (Volumul unui domeniu spatial) Daca V este un domeniu simplu,atunci volumul lui este dat de

vol(V ) =

∫ ∫ ∫

V

dxdydz. (3.20)

Schimbarea de variabile ın integrala tripla

Consideram doua domenii V ′ si V spatiale si o transformare

T : V ′ → V, T (u, v, w) = (x, y, z)

x = ϕ(u, v, w)y = ψ(u, v, w)z = χ(u, v, w)

, (u, v, w) ∈ V ′ (3.21)

cu urmatoarele proprietati:1. ϕ, ψ, χ sunt de clasa C1(V ′);2. T este bijectiva

3. IacobianulD(x, y, z)

D(u, v, w)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ϕ

∂u

∂ϕ

∂v

∂ϕ

∂w

∂ψ

∂u

∂ψ

∂v

∂ψ

∂w

∂χ

∂u

∂χ

∂v

∂χ

∂w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6= 0 pe V ′.

O functie cu aceste proprietati va fi numita schimbare de variabile sau de coordo-nate.

Teorema 3.2.7 Daca f este integrabila pe V , atunci are loc∫ ∫ ∫

V

f(x, y, z)dxdydz =

=

∫ ∫ ∫

V ′f(ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), χ(u, v, w))

∣∣∣∣D(x, y, z)

D(u, v, w)

∣∣∣∣ dudvdw. (3.22)

Aplicatii ale integralei triple

Momente de inertie Momentele de inertie ale unui corp V de densitate ρ(x, y, z)relativ la planele si axele de coordonate sunt

3.3. INTEGRALA DE SUPRAFATA 105

IxOy =

∫ ∫ ∫

V

z2ρ(x, y, z)dxdydz (3.23)

IyOz =

∫ ∫ ∫

V

x2ρ(x, y, z)dxdydz (3.24)

IxOz =

∫ ∫ ∫

V

y2ρ(x, y, z)dxdydz (3.25)

IOx =

∫ ∫ ∫

V

(y2 + z2)ρ(x, y, z)dxdydz (3.26)

IOy =

∫ ∫ ∫

V

(x2 + z2)ρ(x, y, z)dxdydz (3.27)

IOz =

∫ ∫ ∫

V

(x2 + y2)ρ(x, y, z)dxdydz (3.28)

Momentul de inertie al corpului V relativ la origine O este

IO =

∫ ∫ ∫

V

(x2 + y2 + z2)ρ(x, y, z)dxdydz. (3.29)

Coordonatele centrului de greutate Fie V un corp cu densitatea ρ(x, y, z),atunci masa este

M =

∫ ∫ ∫

V

ρ(x, y, z)dxdydz. (3.30)


xC =

∫ ∫ ∫V

xρdxdydz

M, yC =

∫ ∫ ∫V

yρdxdydz

M, zC =

∫ ∫ ∫V

zρdxdydz

M(3.31)

3.3 Integrala de suprafataIntegrala de suprafata de prima speta

Fie S o suprafata marginita, inclusa ıntr-un domeniu spatial V .Suprafata data parametric admite reprezentarea

x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)

, (u, v) ∈ ∆ ⊂ R2 (3.32)


astfel ca x, y, z sunt functii de clasa C1 pe ∆.Presupunem ca

ru × rv 6= 0,

underu =

∂x

∂ui +

∂y

∂uj +

∂z

∂uk

rv =∂x

∂vi +

∂y

∂vj +

∂z

∂vk

(3.33)

Suprafata se mai numeste neteda. Fie elementul de suprafata

dσ = |ru × rv| =√

EG− F 2dudv (3.34)

unde coeficientii E,F, G sunt dati de

E = r2u = (

∂x

∂u)2 + (

∂y

∂u)2 + (

∂z

∂u)2

F = (ru, rv) =∂x

∂u

∂x

∂v+

∂y

∂u

∂y

∂v+

∂z

∂u

∂z

∂v

G = r2v = (

∂x

∂v)2 + (

∂y

∂v)2 + (

∂z

∂v)2

(3.35)

Fie f : V → R o functie continua.

Definitia 3.3.1 Numim integrala de suprafata de prima speta a functiei f , numaruldefinit de∫ ∫

S

f(x, y, z)dσ =

∫ ∫

∆

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))√

EG− F 2dudv. (3.36)

Observatie Aceasta integrala este limita unor sume de forma

n∑i=1

f(xi, yi, zi)aria(Si)

unde Si este o diviziune arbitrara a suprafetei S ın domenii disjuncte, punctele suntarbitrar alese iar norma diviziunii (cel mai mare dintre diametrele suprafetelor Si)tinde la 0.

Suprafata cartezian explicita este data sub forma

z = z(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R2. (3.37)


Atunci are loc reprezentarea parametrica

x = xy = yz = z(x, y)

, (x, y) ∈ D ⊂ R2 (3.38)

Cu notatiile uzuale

p =∂z

∂x, q =

∂z

∂y(3.39)

elementul de suprafata devine

dσ =√

1 + p2 + q2dxdy (3.40)

iar formula de definitie a integralei de suprafata este

∫ ∫

S

f(x, y, z)dσ =

∫ ∫

D

f(x, y, z(x, y))√

1 + p2 + q2dxdy. (3.41)

Suprafata cartezian implicita are ecuatia

F (x, y, z) = 0 (3.42)

Din teoria functiilor definite implicit se poate obtine ecuatia sub forma explicita,z = z(x, y) iar functia z are derivate partiale exprimabile cu ajutorul derivatelorpartiale ale functiei F . Se obtine o formula de calcul si pentru aceasta situatie.

Exemple 1. Atractia stratului simplu Presupunem ca pe S sunt distribuitecontinuu mase cu densitatea ρ(x, y, z) si ca ın afara suprafetei se afla o unitate demasa ın punctul A(x0, y0, z0). Forta cu care este atras A de catre S este conformcu atractia newtoniana

F =m

r2

unde r =√

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 iar versorul fortei de atractie este

F =m

r3

((x− x0)i + (y − y0)j + (z − z0)k

).

Prsupunem ca elementul dσ are masa ρdσ, atunci componentele fortei F sunt

Fx =

∫ ∫

S

ρx− x0

r3dσ


Fy =

∫ ∫

S

ρy − y0

r3dσ

Fz =

∫ ∫

S

ρz − z0

r3dσ.

2. Potentialul stratului simplu W (x0, y0, z0) =m

reste prin definitie potentialul

newtonian al punctului M asupra lui A. Au loc

Fx =∂W

∂x, Fy =

∂W

∂y, Fz =

∂W

∂z.

Potentialul stratului simplu situat pe suprafata S, cu densitatea ρ asupra punctuluiA este

W (x0, y0, z0) =

∫ ∫

S

ρdσ

r.

3. Calculati integrala∫ ∫

S

(y2z2 + z2x2 + x2y2)dσ

unde S este partea superioara a conului z2 = x2 + y2 decupata de cilindrul x2 +y2 − 2x = 0.

Aplicatii ale integralei de suprafata

Aria unei suprafete este

aria(S) =

∫ ∫

S

dσ. (3.43)

Momente de inertie Momentele de inertie al suprafetei S de densitate ρ(x, y, z)relativ relativ origine O este

IO =

∫ ∫

S

(x2 + y2 + z2)ρ(x, y, z)dσ. (3.44)

Coordonatele centrului de greutate Fie S o suprafata cu densitatea ρ(x, y, z),atunci masa este

M =

∫ ∫

S

ρ(x, y, z)dσ. (3.45)


xC =

∫ ∫S

xρdσ

M, yC =

∫ ∫S

yρdσ

M, zC =

∫ ∫S

zρdσ

M(3.46)


Integrala de suprafata de speta a doua

Fie S o suprafata marginita. Presupunem ca S este neteda, deci ın ficare punctadmite versor normal, notat

n = ±(αi + βj + γk) (3.47)

care variaza continuu (ın raport cu punctul). Reamintim ca α, β, γ se numesccosinusi directori si reprezinta cosinusii unghiurilor pe care normala ıi face cuaxele de coordonate:

α = cos ^(n, i), β = cos ^(n, j), γ = cos ^(n, k).

Presupunem ca suprafata este orientata; acest lucru ınseamna ca s-a ales un sensal normalei si ın raport cu acesta este definit sensul direct de parcurs pe o curbainclusa pe suprafata.Presupunem ca suprafata are doua fete si convenim sa denumim fata exterioaraaceea pentru care

cos ^(n, k) = γ > 0

iar fata interioara este aceea pentru care

cos ^(n, k) = γ < 0

Gradientul unui camp scalar

Definitia 3.3.2 Numim camp scalar o functia F : V → R, V ⊂ R3. Multimeapunctelor {(x, y, z) | F (x, y, z) = c }, c ∈ R se numeste suprafata de nivel.

Definitia 3.3.3 Numim gradient al campului scalar F de clasa C1 pe V , vectorul

grad F =∂F

∂xi +

∂F

∂yj +

∂F

∂zk (3.48)

Observatie Se poate demonstra ca vectorul gradient caracterizeaza directia simarimea vitezei maxime de crestere a campului F . Directia vectorului grad Fcoincide cu directia normalei.

Pentru orice punct se asociaza prin formula (3.48) un vector (aplicat ın acel punct)si multimea lor constituie un camp vectorial.

Expresia versorului normal la o suprafata data implicit


Presupunem ca suprafata S este data sub forma cartezian implicita

F (x, y, z) = 0, (x, y, z) ∈ V ⊂ R3 (3.49)

unde F este de clasa C1 pe V . Versorul normal este de forma

n = ±∂F

∂xi +

∂F

∂yj +

∂F

∂zk

√(∂F

∂x)2 + (

∂F

∂y)2 + (

∂F

∂z)2

(3.50)

Expresia versorului normal la o suprafata data explicit

Presupunem ca suprafata S este data sub forma cartezian explicita

z = f(x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R2 (3.51)

unde f este de clasa C1. Fie

p =∂f

∂x, q =

∂f

∂y(3.52)

Versorul normal este de forma

n = ±−pi− qj + k√1 + p2 + q2

(3.53)

Expresia versorului normal la o suprafata data parametric

Presupunem ca suprafata S este data sub forma (3.32). Versorul normal este deforma

n =ru × rv

|ru × rv| (3.54)

unde ru si rv sunt definiti de (3.33).Fie P, Q,R : V → R, V ⊂ R3 functii continue pe V .

Definitia 3.3.4 Numim integrala de suprafata de speta a doua numarul definit de∫ ∫

S

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =

∫ ∫

S

(Pα + Qβ + Rγ)dσ. (3.55)


Pentru o suprafata data parametric formula de calcul, daca tinem cont de (3.54),(3.34) si (3.55) este∫ ∫

S

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =

∫ ∫

∆

(Pα + Qβ + Rγ)√

EG− F 2 dudv =

=

∫ ∫

∆

∣∣∣∣∣∣

P Q Rxu yu zu

xv yv zv

∣∣∣∣∣∣dudv. (3.56)

Observatie Aceasta integrala este limita unor sume de forma

n∑i=1

(Pα + Qβ + Rγ) (xi, yi, zi) aria(Si)

unde Si este o diviziune arbitrara a suprafetei S ın domenii disjuncte, punctele(xi, yi, zi) sunt arbitrar alese pe Si, iar norma diviziunii (cel mai mare dintre di-ametrele suprafetelor Si) tinde la 0. Se constata ca de exemplu ultima suma este

n∑i=1

R γ ariaSi =n∑

i=1

P cos ^(n, k) ariaSi =

=n∑

i=1

P aria(PoiectxoySi)

a carei limita se noteaza prin definitie∫ ∫

S

Pdxdy.

Consideram campul vectorial

V (x, y, z) = P (x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k, (x, y, z) ∈ V ⊂ R3 (3.57)

Observam ca expresia din membrul drept al formulei (3.55) este un produs scalardintre vectorii V si n si formula se poate scrie

∫ ∫

S

∫ ∫

S

Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =

∫ ∫

S

(Pα+Qβ+Rγ)dσ =

∫ ∫

S

V ndσ

(3.58)

Definitia 3.3.5 Numim flux al campului vectorial V prin suprafata S ın directianormalei n numarul dat de ∫ ∫

S

V ndσ (3.59)


Legatura dintre integrala de volum si integrala de suprafata.Divergenta unui camp vectorial

Fie V un domeniu simplu marginit de o suprafata S neteda pe portiuni , cu douafete si n versorul normalei orientat spre exterior. Presupunem ca S se dscompuneın 3 suprafete: S1, S2, S3 astfel:

- fata exterioara a suprafetei S2 are normala n ( reamintim ca pentru aceastacos ^(n, k) = γ > 0)

- suprafata S3 are normala n = 0, deci reprezinta o suprafata cilindrica, cugeneratoarele paralele cu Oz

- fata exterioara a suprafetei S1 are normala −n (deoarece s-a fixat normalaexterioara domeniului, care da fata interioara- ın sensul definitiei).

Teorema 3.3.1 (Formula Gauss Ostrogradski) Fie P, Q, R : V ∪S → R3 treifunctii de clasa C1. Atunci are loc

∫ ∫ ∫

V

(∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

)dxdydz =

∫ ∫

S

(Pα + Qβ + Rγ)dσ. (3.60)

Demonstratie Presupunem ca domeniul simplu V se proiecteaza pe un domeniuD situat ın planul xOy si ca S1 este data cartezian explicit

z = χ1(x, y), (x, y) ∈ D

iar S2 este data cartezian explicit

z = χ2(x, y), (x, y) ∈ D.

Calculam urmatoarea integrala tripla, folosind integralele iterate uzuale:

∫ ∫ ∫

V

∂R

∂zdxdydz =

∫ ∫

D

dxdy

∫ χ2(x,y)

χ1(x,y)

∂R

∂zdz =

=

∫ ∫

D

R(x, y, χ2(x, y))dxdy −∫ ∫

D

R(x, y, χ1(x, y))dxdy =

=

∫ ∫

S2

R(x, y, z)γdσ +

∫ ∫

S1

R(x, y, z)γdσ =

=

∫ ∫

S

R(x, y, z)γdσ.


Repetand ratinamentul pentru fiecare dintre derivatele partiale pentru domeniisimple corespunzatoare obtinem

∫ ∫ ∫

V

∂Q

∂ydxdydz =

∫ ∫

S

Q(x, y, z)βdσ

∫ ∫ ∫

V

∂P

∂xdxdydz =

∫ ∫

S

P (x, y, z)αdσ.

Prin adunarea lor obtinem afirmatia

Consideram campul vectorial de clasa C1

V (x, y, z) = P (x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k, (x, y, z) ∈ V ⊂ R3. (3.61)

Definitia 3.3.6 Numim divergenta scalarul

divV =∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z(3.62)

Cu aceasta notiune formula Gauss Ostrogradski se reformuleaza∫ ∫ ∫

V

divV dxdydz =

∫ ∫

S

V ndσ (3.63)

si exprima fluxul printr-o suprafata ın directia normalei exterioare, prin integraladivergentei pe domeniul marginit de acea suprafata.Interpretare fizica Daca V este viteza de curgere a unui lichid din domeniul Vprin suprafata S ce margineste domeniul, ın directia normalei, atunci fluxul esteintegrala proiectiilor lui V pe normala.

Legatura dintre integrala curbilinie si integrala de suprafata.Rotorul unui camp vectorial

Fie S o suprafata cu doua fete, neteda, orientata si marginita de un domeniu spatialV . Fixam fata exterioara si sensul direct de parcurs pe orice curba inclusa pesuprafata.

Teorema 3.3.2 (Formula lui Stokes) Fie S o suprafata cu proprietatile de maisus si fie Γ o curba neteda care margineste suprafata S. Fie P, Q, R : V → R3

trei functii de clasa C1. Atunci are loc formula∫

Γ

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =

=

∫ ∫

S

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)dydz+

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)dzdx+

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy (3.64)


Demonstratie Presupunem ca S are ecuatia cartezian explicita

z = z(x, y), (x, y) ∈ D

unde D este un domeniu inclus ın planul x0y. Presupunem ca Γ se proiecteaza peD ıntr-o curba L. Calculam integrala curbilinie

∫

Γ

P (x, y, z)dx =

∫

L

P (x, y, z(x, y))dx =

∫

L

P (x, y, z(x, y))dx + 0dy.

Pentru ultima integrala aplicam formula lui Green si avem

∫

L

P (x, y, z(x, y))dx + 0dy =

∫ ∫

D

(0− ∂P

∂y(x, y, z(x, y))

)dxdy =

= −∫ ∫

D

(∂P

∂y(x, y, z(x, y)) +

∂P

∂z(x, y, z(x, y))

∂z

∂y(x, y)

)dxdy =

= −∫ ∫

S

(∂P

∂yγ +

∂P

∂z

∂z

∂yγ

)dσ.

Pentru suprafata data cartezian explicit, au loc

∂z

∂yγ =

q√1 + p2 + q2

= −β.

Inlocuim mai sus si avem∫

Γ

P (x, y, z)dx =

∫ ∫

S

(∂P

∂zβ − ∂P

∂yγ

)dσ =

∫ ∫

S

∂P

∂zdzdx− ∂P

∂ydxdy.

Se obtin analog∫

Γ

Q(x, y, z)dy =

∫ ∫

S

∂Q

∂xdxdy − ∂Q

∂zdydz

∫

Γ

R(x, y, z)dz =

∫ ∫

S

∂R

∂ydydz − ∂R

∂xdzdx.

Prin adunare rezulta demonstratia

Consideram campul vectorial de clasa C1

V (x, y, z) = P (x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k, (x, y, z) ∈ V ⊂ R3. (3.65)


Definitia 3.3.7 Numim rotor vectorul

rotV =

(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)i +

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)j +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)k (3.66)

In practica folosim urmatoare forma mai usor de memorat

rotV =

∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zP Q R

∣∣∣∣∣∣∣∣. (3.67)

Cu aceasta notiune formula lui Stokes se poate scrie∫

Γ

V dr =

∫ ∫

S

rotV ndσ (3.68)

Reamintim ca integrala curbilinie din primul membru se numeste circulatia vec-torului V de-a lungul curbei Γ. Atunci formula lui Stokes afirma ca fluxul rotoruluiprintr-o suprafata ın directia normalei exterioare este circulatia ın sens direct pecurba ce margineste suprafata.

Cuprins - grupa5107.files.wordpress.com · 2.5 Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul I . . ....

Documents

Transcript of Cuprins - grupa5107.files.wordpress.com · 2.5 Ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul I . . ....